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范文一：绝对值的三角不等式；不等式证明的基本方法
二. 教学目的
1、掌握绝对值的三角不等式；
2、掌握不等式证明的基本方法
三. 知识分析
［绝对值的三角不等式］
定理1? 若a，b为实数，则
，当且仅当ab≥0时，等号成立。
几何说明：（1）当ab>0时，它们落在原点的同一边，此时a与－b的距离等于它们到原点距离之和。
（2）如果ab<><0，a>0，b<><>
|a－b|表示a－b与原点的距离，也表示a到b之间的距离。
定理2? 设a，b，c为实数，则
，等号成立
，即b落在a，c之间。
推论1
推论2
［不等式证明的基本方法］
1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。
比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。
比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。
如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到判别式法证。
2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。
所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“
”表述。
综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，其中分析法既可以寻找解题思路，如果表述清楚，也是一个完整的证明过程．注意综合法与分析法的联合运用。
3、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
4、放缩法：欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得
，
，再利用传递性，达到证明的目的．这种方法叫做放缩法。
【典型例题】
例1、已知函数
，设a、b∈R，且a≠b，求证：
思路：本题证法较多，下面用分析法和放缩法给出两个证明：
证明：
证法一：
①
当ab≤－1时，式①显然成立；
当ab>－1时，式①
②
∵a≠b，∴式②成立。故原不等式成立。
证法二：当a=－b时，原不等式显然成立；
当a≠－b时，
∴原不等式成立。
点评：此题还可以用三角代换法，复数代换法、数形结合等证明，留给读者去思考。
例2、设m等于|a|、|b|和1中最大的一个，当|x|>m时，求证：
。
思路：本题的关键是对题设条件的理解和运用，|a|、|b|和1这三个数中哪一个最大？如果两两比较大小，将十分复杂，但我们可以得到一个重要的信息：m≥|a|、m≥|b|、m≥1。
证明：
故原不等式成立。
点评：将题设条件中的文字语言“m等于|a|、|b|、1中最大的一个”转化为符号的语言“m≥|a|、m≥|b|、m≥1”是证明本题的关键。
例3、函数
的定义域为［0，1］且
。当
∈［0，1］，
时都有
，求证：
。
证明：不妨设
，以下分两种情形讨论。
若
则
，若
则
综上所述
点评：对于绝对值符号内的式子，采用加减某个式子后，重新组合，运用绝对值不等式的性质变形，是证明绝对值不等式的典型方法。
例4、已知a>0，b>0，求证：
。
思路：如果用差值比较法，下一步将是变形，显然需要通分，是统一通分，还是局部通分？从题目结构特点看，应采取局部通分的方法。
证明：
①
②
∴原不等式成立。
点评：在上面得到①式后，其分子的符号可由题设条件作出判断，但它没有②明显，所以，变形越彻底，越有利于最后的判断，本题还可以用比值比较法证明，留给读者去完成。
例5、设x>0，y>0，且x≠y，求证：
思路：注意到x、y的对称性，可能会想到重要不等式，但后续思路不好展开，故我们可采用分析法，从消去分数指数幂入手。
证明：∵x>0，y>0，且x≠y，
点评：在不便运用比较法或综合法时，应考虑用分析法。应注意分析法表述方法，其中寻求充分条件的语句常用符号“
”表述。本题应用了分析法，既找到了解题思路，又使问题完满地得到了解决，可谓一举两得。
例6、已知a、b、c∈R+，求证：
。
思路：因不等式的左边的两个因式都可以进行因式分解。结合a、b、c∈R+的条件，运用重要不等式，采用综合法进行证明。
解析：
即
点评：用重要不等式证明不等式，一要注意重要不等式适用的条件，二要为运用重要不等式创造条件。另外，同向不等式相加或相乘，在综合法中常用到。
例7、证明：对于任意实数x、y，有
思路：采取分析法和比较法二者并用的方法来处理。
证明：用分析法
不等式②显然成立，下面证明不等式①
同号
，即
点评：上述证明中，前半部分用的是分析法，后半部分用的是比较法，两种方法结合使用，使问题较容易解决，这一点应加以注意。
例8、（1）用反证法证明以下不等式：已知
，求证p+q≤2。
（2）试证：
（n≥2）。
思路：运用放缩法进行证明。
证明：（1）设p+q>2，则p>2－q，
这与
=2矛盾，
（2）
，
又
。将上述各式两边分别相加得
点评：用放缩法证明不等式过程中，往往采用添项或减项的“添舍”放缩，拆项对比的分项放缩，函数的单调性放缩，重要不等式放缩等。放缩时要注意适度，否则不能同向传递。
【模拟试题】
1、设a、b是满足ab<0的实数，那么（???>
A、
B、
C、
D、
2、设ab>0，下面四个不等式①|a+b|>|a|；②|a+b|<><|a－b|；④|a+b|>|a|－|b|中，正确的是（??? ）
A、①和②??????????? B、①和③??????????? C、①和④??????????? D、②和④
3、下面四个式子①
；②
；③
；④
中，成立的有（??? ）
A、1个???????? B、2个????????? C、3个???????? D、4个
4、若a、b、c∈R，且
，则下列不等式成立的是（??? ）
A、
B、
C、
D、
5、设a、b、c∈R，且a、b、c不全相等，则不等式
成立的一个充要条件是（??? ）
A、a、b、c全为正数???????????????? B、a、b、c全为非负实数
C、
D、
6、已知a<><><0则（???>
A、
B、
C、
D、
7、设实数x、y满足
，若对满足条件的x、y，x+y+c≥0恒成立，c的取值范围是（??? ）
A、
B、
C、
D、
8、对于任意的实数x，不等式
恒成立，则实数a的取值范围是_________。
9、若a>c>b>0，则
的值的符号为__________。
10、设a、b、c∈R+，若
，则
__________。
11、已知x，y∈R，且
，则z的取值范围是__________。
12、设
，
求证：
。
13、已知a、b是不等正数，且
，
求证：
。
14、已知
，求证：
中至少有一个不小于
。
15、设a、b为正数，求证：不等式
①
成立的充要条件是：对于任意实数x>1，有
②
【试题答案】
1、B????????? 2、C?????? 3、C?????? 4、B?????? 5、C?????? 6、D????? 7、A
8、（－∞，3）
9、负
10、9
11、
12、证明：
13、证明：a、b是不等正数，且
而
一定成立，故
成立。
14、证明：用反证法。假设
都小于
，则
，
而
，相互矛盾，
中至少有一个不小于
。
15、证明：设
，那么不等式②对
恒成立的充要条件是函数
的最小值大于b。
当且仅当
，
时，上式等号成立。
故
的最小值是
。
因此，不等式②对x>1恒成立的充要条件是
>b
。
范文二：[绝对值三角不等式证明]绝对值的三角不等式；不等式证明的基本方法
[绝对值三角不等式证明]绝对值的三角不等
式;不等式证明的基本方法 篇一 : 绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法
二. 教学目的
1、掌握绝对值的三角不等式;
2、掌握不等式证明的基本方法
三. 知识分析
,绝对值的三角不等式,
定理1 若a，b为实数，则 ，当且仅当ab?0时，等号成立。
几何说明:当ab>0时，它们落在原点的同一边，此时a与,b的距离等于它们到原点距离之和。
如果ab,1时，式? ?
?a?b，?式?成立。故原不等式成立。
证法二:当a=,b时，原不等式显然成立;
当a?,b时，
?原不等式成立。
点评:此题还可以用三角代换法，复数代换法、数形结合等证明，留给读者去思考。
例2、设m等于|a|、|b|和1中最大的一个，当|x|>m时，求证: 。
思路:本题的关键是对题设条件的理解和运用，|a|、|b|和1这三个数中哪一个最大,如果两两比较大小，将十分复杂，但我们可以得到一个重要的信息:m?|a|、m?|b|、m?1。
证明:
故原不等式成立。
点评:将题设条件中的文字语言“m等于|a|、|b|、1中最大的一个”转化为符号的语言“m?|a|、m?|b|、m?1”是证明本题的关键。
例3、函数 的定义域为,0，1,且 。当 ?,0，1,， 时都有 ，求证: 。
证明:不妨设 ，以下分两种情形讨论。
若
则
，若
则
综上所述
点评:对于绝对值符号内的式子，采用加减某个式子后，重新组合，运用绝对值不等式的性质变形，是证明绝对值不等式的典型方法。
例4、已知a>0，b>0，求证: 。
思路:如果用差值比较法，下一步将是变形，显然需要通分，是统一通分，还是局部通分,从题目结构特点看，应采取局部通分的方法。
证明:
?
?
?原不等式成立。
点评:在上面得到?式后，其分子的符号可由题设条件作出判断，但它没有?明显，所以，变形越彻底，越有利于最后的判断，本题还可以用比值比较法证明，留给读者去完成。
例5、设x>0，y>0，且x?y，求证:
思路:注意到x、y的对称性，可能会想到重要不等式，但后续思路不好展开，故我们可采用分析法，从消去分数指数幂入手。
证明:?x>0，y>0，且x?y，
点评:在不便运用比较法或综合法时，应考虑用分析法。应注意分析法表述方法，其中寻求充分条件的语句常用符号“ ”表述。本题应用了分析法，既找到了解题思路，又使问题完满地得到了解决，可谓一举两得。
例6、已知a、b、c?R+，求证: 。
思路:因不等式的左边的两个因式都可以进行因式分解。结合a、b、c?R+的条件，运用重要不等式，采用综合法进行证明。
解析:
即
点评:用重要不等式证明不等式，一要注意重要不等式适用的条件，二要为运用重要不等式创造条件。另外，同向不等式相加或相乘，在综合法中常用到。
例7、证明:对于任意实数x、y，有
思路:采取分析法和比较法二者并用的方法来处理。
证明:用分析法
不等式?显然成立，下面证明不等式?
同号
，即
点评:上述证明中，前半部分用的是分析法，后半部分用的是比较法，两种方法结合使用，使问题较容易解决，这一点应加以注意。
例8、用反证法证明以下不等式:已知 ，求证p+q?2。
试证: 。
思路:运用放缩法进行证明。
证明:设p+q>2，则p>2,q，
这与 =2矛盾，
，
又 。将上述各式两边分别相加得
点评:用放缩法证明不等式过程中，往往采用添项或减项的“添舍”放缩，拆项对比的分项放缩，函数的单调性放缩，重要不等式放缩等。放缩时要注意适度，否则不能同向传递。
1、设a、b是满足ab0，下面四个不等式?|a+b|>|a|;?|a+b||a|,|b|中，正确的是
A、?和? B、?和? C、?和? D、?和?
3、下面四个式子? ;? ;? ;? 中，成立的有
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
4、若a、b、c?R，且 ，则下列不等式成立的是
A、 B、
C、 D、
5、设a、b、c?R，且a、b、c不全相等，则不等式 成立的一个充要条件是
A、a、b、c全为正数 B、a、b、c全为非负实数
C、 D、
6、已知ac>b>0，则 的值的符号为__________。
10、设a、b、c?R+，若 ，则 __________。
11、已知x，y?R，且 ，则z的取值范围是__________。
12、设 ，
求证: 。
13、已知a、b是不等正数，且 ，
求证: 。
14、已知 ，求证: 中至少有一个不小于 。
15、设a、b为正数，求证:不等式 ?
成立的充要条件是:对于任意实数x>1，有 ?
1、B 2、C 3、C 4、B 5、C 6、D 7、A
8、
9、负
10、9
11、
12、证明:
13、证明:a、b是不等正数，且
而 一定成立，故 成立。
14、证明:用反证法。假设 都小于 ，则 ，
而
，相互矛盾，
中至少有一个不小于 。
15、证明:设 ，那么不等式?对 恒成立的充要条件是函数 的最小值大于b。
当且仅当 ， 时，上式等号成立。
故 的最小值是 。
因此，不等式?对x>1恒成立的充要条件是 >b 。篇二 : 关于2倍角公式老师布置的题目里有道不会做.证明恒等式/=tan2а
不要答案 只要?答题思路?
根据tan2a,可知分子要化简为sin2a，分母cos2a，选择适当的二倍角公式向这方面靠
1+sin4а-cos4а=1+2sin2a*cos2a-
=2sin2a
1+sin4а+cos4а =1+2sin2a*cos2a+2cos2a -1
= 2sin2a*cos2a+2cos2a
=2cos2a
原式=2sin2a/2cos2a=tan2a
范文三：绝对值的三角不等式
绝对值不等式证明
主备人：迟克勤 张滢好 李红涛 审核： 朱玉国
学习目标： 1.对深化绝对值的定义及其几何意义的理解和掌握;
2. 高考要求：（1）理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：
|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R);|a+b|≤|a-c|+|c-b|(a,b∈R).
难点： 利用绝对值的三角不等式证明
一、绝对值三角不等式
复习： 绝对值的几何意义：
10. 实数a的绝对值|a|，表示数轴上坐标为a的点A
20. ?两个实数a,b，它们在数轴上对应的点分别为A,B，
那么|a?b|的几何意义是
思考：比较大小：
3?(?2??2；
3?2??2；?3?(?2)
??2
1．定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤ ，当且仅当 时，等号成立．
2．定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤ ，当且仅当 时，等号成立．
探究 绝对值三角不等式：探究|a|，|b|，|a?b|之间的关系.
①a?b?0时,如下图, 容易得：
②a?b?0时,如图, 容易得：|a?b||a|?|b|. |a
?b||a|?|b|
.
③a?b?0时,显然有：|a?b|
定理1 如果a,b?R, 那么|a?b||a|?|b|.综上,得 |a|?|b|. 当且仅当 时, 等号成立. 在上面不等式中,用向量a,b分别替换实数a,b, 则当a,b不共线时, 由
向量加法三角形法则:向量a,b,a?b构成三角形, 因此有
|a?b||a?||b |
它的几何意义就是:
定理1的证明:
定理2 如果a,b,c?R, 那么|a?c|
|a?b|?|b?c|. 当且仅当 时, 等号成立.
例1 设??0,x?a?
?4,y?b??6，求证：2x?3y?2a?3b??
例2：设M,??0x?a?
?2,y?b??2，a?M,y?M，求证：xy??M?
推论：（1）a,b?R证明a?b?a?b ， （2） a?b?a?b
例3 已知实数a,b,c,满足不等式a?b?c，证明不等式x?a?x?b?c的解集为R
思考：利用三角不等式讨论f(x)?x?5?x?的最小值
巩固练习：
1、已知 x?a?2,y?b?2，求证： (x?y)?(a?b)?c.。
2、 （1）、已知A?a?cccc,B?b?.求证：(A?B)?(a?b)?c。 22
cc（2）、已知x?a?,y?b?.求证：2x?3y?2a?3b?c。 46
3、⑴a?b?a?b≥2a;⑵a?b?a?b≤2b
4、（2012江苏高考题）已知实数x，y满足：|x＋y|
作业：教材19页习题1-4：3 5 7 8。 115
范文四：绝对值的三角不等式
高二导学案 学科 数学 班 组 姓名 制作人 范桂娟 审核 高二 数学组 年 月 日
(3)几何说明
课题 1、4 绝对值的三角不等式
掌握含有绝对值的三角不等式的定理1和定理2及其证明，理解推论 知识与技能目标 1、推论2. 并运用定理和推论证明 (4)推广 学习 通过定理及推论的证明了解证明不等式的基本方法 过程与方法目标 2、定理2及其证明 目标 在证明过程中充分体会不等式的几何背景和意义 情感态度与价值观 重点 定理、推论的证明和运用 难点 证明方法的综合运用
教具
3、(1)推论1及其证明 一、课前知识准备
1、不等式的基本性质5、6.
a，ba,b2、 、的几何意义 导学
二、阅读教材第17、18页、回答:
1、定理1
过程
(1)举例
(2)推论2及其证明
(2)证明
三、应用 四、练习 教材19页第3、4、5、7题
,,例1:设 <><><>
,,x,ay,b,M,Mxy,ab例2:设M、>0.<><>
课堂小结
a,bx,ax,b例3:已知实数a、b、c满足不等式>c. 证明不等式+>c的解集为R
课后作业
课后回顾
范文五：绝对值不等式的证明
绝对值不等式的证明
知识与技能：
1. 理解绝对值的三角不等式， 2．应用绝对值的三角不等式． 过程方法与能力：
培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；提高分析问题、解决问题的能力. 情感态度与价值观：
让学生通过对具体事例的观察、归纳中找出规律，得出结论，培养学生解决应用问题的能力和严谨的学习态度。
教学重点：理解绝对值的三角不等式
应用绝对值的三角不等式．
教学难点：应用绝对值的三角不等式． 教学过程： 一、引入：
证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：
（1）a?b?a?b （2）a?b?a?b
ab
ab
（3）a?b?a?b （4）?
(b?0)
请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？ 实际上，性质a?b?a?b和
ab?ab
(b?0)可以从正负数和零的乘法、除法法则直
接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明a?b?a?b对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。 现在请同学们讨论一个问题：设a为实数，a和a哪个大？
显然a?a，当且仅当a?0时等号成立（即在a?0时，等号成立。在a?0时，等号不成立）。同样，a??a.当且仅当a?0时，等号成立。
含有绝对值的不等式的证明中，常常利用a??a、a??a及绝对值的和的性质。
定理（绝对值三角形不等式） 如果a,b
是实数，则
a?b≤a?b≤a?b
注：当a、b为复数或向量时结论也成立. 特别注意等号成立的条件.
定理推广：
a1?a2???an≤a1?a2???an
当且仅当都a1，a2，?，an非正或都非负时取等号. 探究：利用不等式的图形解不等式 1. x?1?x?1?1; 2．x?2y?1.
.
3．利用绝对值的几何意义，解决问题：要使不等式x?4?x?3
二、典型例题：
例1、证明 （1）a?b?a?b， （2）a?b?a?b。
证明（1）如果a?b?0,那么a?b?a?b.所以a?b?a?b?a?b. 如果a?b?0,那么a?b??(a?b). 所以a?b??a?(?b)??(a?b)?a?b
（2）根据（1）的结果，有a?b??b?a?b?b，就是，a?b?b?a。所以，a?b?a?b。
例2、证明 a?b?a?b?a?b。 例3、证明 a?b?a?c?b?c。 思考：如何利用数轴给出例3的几何解释？
（设A，B，C为数轴上的3个点，分别表示数a，b，c，则线段AB?AC?CB.当且仅当C在A，B之间时，等号成立。这就是上面的例3。 特别的，取c＝0（即C为原点），就得到例2的后半部分。）
探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式a?b?a?b的几何解释？
含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例2和例3的结果来证明。 例4、已知 x?a?
c2
,y?b?
c2
，求证 (x?y)?(a?b)?c.
证明 (x?y)?(a?b)?(x?a)?(y?b) ?x?a?y?b（1）
?x?a?
c2
,y?b?
c2c2?
，
c2
?c （2）
∴x?a?y?b?
由（1），（2）得：(x?y)?(a?b)?c 例5、已知x?证明 ?x?
a4a4,y?
a6a6
. 求证：2x?3y?a。
a2,3y?a2?a2a2
,y?，∴2x?，
?a。
由例1及上式，2x?3y?2x?3y?
注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。
三、小结：
借助图形的直观性来研究不等式的问题，是学习不等式的一个重要方法，特别是利用绝对值和绝对值不等式的几何意义来解不等式或者证明不等式，往往能使问题变得直观明了，帮助我们迅速而准确地寻找到问题的答案。关键是在遇到相关问题时，能否准确地把握不等式的图形，从而有效地解决问题。
四、练习：
1、已知A?a?2、已知x?a?
c2c4
,B?b?,y?b?
c2c6
.求证：(A?B)?(a?b)?c。
.求证：2x?3y?2a?3b?c。
五、作业： 1．求证
a?b1?a?b
?
a1?a
?
b1?b
a?b1?ab
.
2．已知 a?1,b?1.求证：?1.
2
2
3．若?,?为任意实数，c为正数，求证：???(1?c)?(1?
1c
)?
2
.
（??
2
?2
??
2
?2?，而??c2
?
1c
?
2
c?
2
?2
1c
?
2
）
4. a、b、c均为实数,a?b,b?c,a?c,
5.已知函数f(x)?ax2?bx?c,当0≤x≤1时,f(x)≤1 求证:a?b?c≤17 作业：导学大课堂练习
课后反思：绝对值不等式的证明
求证:≤
2
3
a?b?2c?b?c?2a?c?a?2b
a?b?b?c?c?a
?2.
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