范文一:五年级奥数教材
目录
!
目录 "!
#
第一周! 图形的变换
……………………… #
$4 轴对称 ………………………………… # % 旋转 …………………………………… ) & 欣赏设计 ……………………………… $ ’4 一笔画
………………………………… *
(4 专题&%’ ……………………………… #"
第二周! 因数和倍数! 一" ……………… #& $4 因数和倍数&%’ % 因数和倍数&’ & 奇数和偶数&%’ ’4 奇数和偶数&’
……………………… #& ……………………… #( ……………………… #* ……………………… "#
(4 专题&’ ……………………………… "’
第三周! 因数和倍数! 二" ……………… "& $4#(.的倍数的特征 %4#(.和/的倍数的特征 & 数的整除&%’ ’4 质数与合数 (4 专题&’
…………………… "&
……………… "(
………………………… "* …………………………… ’#
……………………………… ’’
第四周! 因数和倍数! 三" ……………… ’& $4 分解质因数
…………………………… ’&
" ! !"#$%&’()*+,-./ !0
% 分解质因数的运用&%’ ……………… ’%
& 分解质因数的运用&’ ’4 数的整除&’ (4 专题&’
……………… )!
………………………… )" ……………………………… ))
第五周! 长方体和正方体! 一" ………… )$ $4 长方体和正方体的特征&%’ % 长方体和正方体的特征&’ & 长方体和正方体的表面积&%’ ’4 长方体和正方体的表面积&’ (4 专题&’
………… )$ ………… )% ……… ……… &’
……………………………… &$
第六周! 长方体和正方体! 二" ………… &* $4 表面积和体积&%’ % 表面积和体积&’ & 表面积和体积&’ ’4 表面积和体积&’
…………………… &* …………………… $" …………………… $) …………………… $(
(4 专题&’ ……………………………… $*
第七周! 长方体和正方体! 三" ………… (" $4 表面积和体积&’ % 表面积和体积&’ & 表面积和体积&’ ’4 表面积和体积&’ (4 专题&’
…………………… (" …………………… () …………………… ($ …………………… (*
……………………………… %#
第八周! 分数的意义和性质! 一" ……… %’ $4 分数的意义
…………………………… %’
……………………… %&
% 分数与除法&%’
目录 "!
’
& 分数与除法&’
’4 分数与除法&’
……………………… %(
……………………… %*
(4 专题&’ ……………………………… *#
第九周! 分数的意义和性质! 二" ………… *’ $4 分数的基本性质 % 最大公因数&%’ & 最大公因数&’ ’4 约分
……………………… *’ ……………………… *& ……………………… *(
…………………………………… **
(4 专题&’……………………………… #!#
第十周! 分数的意义和性质! 三" ……… #!’ $4 最小公倍数&%’……………………… #!’ % 最小公倍数&’……………………… #!& & 分数的大小比较&%’………………… #!( ’4 分数的大小比较&’………………… #!* (4 专题&%$’
…………………………… ###
第十一周! 分数的意义和性质! 四" ……… ##’ $4 余数和带余除法&%’………………… ##’ % 余数和带余除法&’………………… ##& & 分数与小数的互化&%’……………… ##% ’4 分数与小数的互化&’……………… #"! (4 专题&%%’ …………………………… #"" 第十二周! 解决实际问题 ……………… #") $4 过桥问题&%’………………………… #") % 过桥问题&’………………………… #"$ & 流水问题&%’………………………… #"%
) ! !"#$%&’()*+,-./ !0
’4 流水问题&’………………………… #’!
(4 专题&%#’ …………………………… #’"
第十三周! 分数的加法和减法 ………… #’& $4 同分母分数加(减法 % 异分母分数加(减法
………………… #’& ………………… #’(
& 分数加减混合计算 ’4 复杂的分数加减运算
………………… #’* ……………… #)#
(4 专题&%/’ …………………………… #))
第十四周! 统计与数学广角 …………… #)$
$4 统计 ………………………………… #)$
% 列举
………………………………… #)*
& 树形图列举 ………………………… # ’4 确定轻重
…………………………… #&)
(4 专题&%1’ …………………………… #&$
第十五周! 综合训练 …………………… #&*
$4 加法原理和乘法原理 ……………… #&*
% 推理趣题 …………………………… #$#
& 抽屉原理 ’4 探索规律
参考答案 ………………………………… #("
…………………………… #$) …………………………… #$$
(4 专题&%.’ …………………………… #$*
奥数从课本学起 "!
#
!"#$%&’
同学们! 你是不是感觉课堂学习太简单! 又感觉奥数太难! 无法入手呢" 么#从课本到奥数$这套书肯定适合你! 它将让你轻松地从课本过渡到奥数%
#从课本到奥数$每个年级包括两本图书&" 版和) 版! 其中 " 版为每天使 用的天天练!) 版为周末使用的周周练%这套丛书在结构安排上与教材同步! 紧 扣教学大纲所囊括的知识要点! 信息丰富! 覆盖面广’在难度设置上! 从每一课时 中选取中等偏难的问题进行讲解和训练! 以达到对课本知识的深入掌握! 然后过渡到奥数的中低难度问题! 由浅入深! 循序渐进! 从而快速达到奥数入门’在题型 内容上! 选取典型且趣味性强的题目! 符合每一学年段学生的认知水平%
#从课本到奥数$" 版每学期安排了%.周! 每周. 小节! 每天只需 #.分钟! 轻松实现从课本到奥数的学习%" 版的设计分为以下五个栏目&
题型概述! 从课堂教学内容中提炼出典型问题! 并详细解析其背景(关联和 解决方法! 简单通俗! 易于掌握%
典型例题! 挑选新颖独特(趣味性强的例题! 辅以巧妙而又易懂的解法! 有 助于开阔视野! 拓展思维%
举一反三! 提供/道具有针对性(层次性和发展性的练习题! 循循引导! 触 类旁通%
拓展提高 ! 紧贴课堂教学内容! 从% 道中低难度的奥数问题切入! 由浅入 深! 层层推进%
奥赛训练! 选取# /道难度适中的奥数问题作为练习题! 让你以更开阔的 视野领悟课本知识! 融会贯通! 驾轻就熟%
那
" ! !"#$%&’()*+,-./ !0
#从课本到奥数$)版是与 " 版相配套的周周练%)版的设计分为以下两个 栏目&
课本同步! 针对 " 版一周所学的内容和方法! 选取-道与课本内容相对应
的典型习题! 通过练习! 达到复习巩固的效果%
奥赛训练! 选取-道历年奥数习题加以训练! 数量适中! 题型灵活! 形式多 样! 拓展提高学习能力! 从而轻松渐入奥数佳境%
这套书的例题和练习题都是由有多年奥数教学经验的老师们精挑细选而来
的! 编写体例和栏目设置也经过反复地探索(研讨! 并通过实践证明这可以有效
促进知识的消化(吸收和升华%只要坚持使用! 肯定会获益匪浅%
祝同学们快乐学习! 学习进步)
第一周! 图形的变换 %!
!
!"#$%&’()
!" 轴 对 称
! 题型概述"
生活中的很多事物都是对称的#画出轴对称图形的关键是先找出对称点#然
后根据要求画出对称轴或画出已知图形的另一半! 今天#我们就学习轴对称的
问题!
! 典型例题"
如图! 所示#这是一个轴对称图形左边的一半#你能画出另一半#使这个图
形成为一个完整的轴对称图形吗$
思路点拨! 根据要求#画出这个图形的另一半#画好以后不要忘了看看这个
图形是不是对称#如图" 所示!
!!!!
图!
图#
! 举一反三"
!" 如图所示#这是一个轴对称图形左边的一半#你能画出另一半#使这个图 形成为一个完整的轴对称图形吗$
第! 题
" ! !"#$%&’()*+,-./ !0
#" 如图所示#这是一个轴对称图形左边的一半#你能画出另一半#使这个图 形成为一个完整的轴对称图形吗$
第#题
$" 如图#利用轴对称变换设计美丽的图案!
第$题
! 拓展提高"
如图! 所示#这是一个轴对称图形左边的一半#你能画出另一半#使这个图
形成为一个完整的轴对称图形吗$
!!!!
图!
图#
思路点拨! 我们只要找准对称点#便能准确地画出另一半#如图" 所示!
第一周! 图形的变换 %!
#
! 奥赛训练"
% 如图所示#你能画出下列轴对称图形的另一半吗$
第%题
& 如图所示#你能画出下列轴对称图形的另一半吗$
第&题
’" 如图所示#你能画出下面轴对称图形的另一半吗$
#$年江苏省海门市小学数学培优检测’
第’题
$! !"#$%&’()*+,-./ !0
#" 旋!! 转
! 题型概述"
旋转是设计图案经常采用的一种方法#把一个图形或造型通过旋转可以变 换出具有奇特效果的图案#让我们踏上今天的(旋转) 之旅!
! 典型例题"
如图所示#钟面上的时针和分针在日夜不停地旋转行走着# 时针走%大格#走了多少度$ 分针走! 小格& 分钟’#走了多少 度$ 分针的速度是时针的多少倍$
思路点拨! 我们知道时针走! 大格#走了%#度#那么走%
大格就走了%#&%’(#&度’*分针) 分钟才走了! 大格&即%#度’#那么! 分钟走 了%#*)’+&度’*分针走了!" 大格#时针才走了! 大格#所以#分针的速度是时 针的!" 倍!
! 举一反三"
!" 青青从$点开始做作业# 点!) 分完成! 这期间时针走了多少度$
#" 如图所示#画出三角形 "#$ 绕点# 顺时针旋转(#-后的图形!
第#题
$" 如图所示#画出梯形"$%& 绕" 点逆时针旋转(#-后的图形!
第$题
第一周! 图形的变换 %!
%
! 拓展提高"
如图! 所示#把这个图形按顺时针旋转(#-#连续三次! 说说你是怎么画的!
!!!!
图!
图#
思路点拨! 按照要求把这个图形顺时针旋转(#-#连续三次#可以画出如图 " 所示的图形!
! 奥赛训练"
% 如图所示#画出图形#"$%&’$# 绕点# 逆时针旋转(#-后的图形!
第%题
& 运用学过的知识#自己设计一个图案或造型!
’" 如图所示#利用旋转设计图案!
#"年江苏省南通市小学数学课外活动’
第’题
&! !"#$%&’()*+,-./ !0
$" 欣赏设计
! 题型概述"
运用对称+旋转等方法可以设计出很多美丽的图案#在今天的学习中#大家 可要展开丰富的想象哦,
! 典型例题"
如图! 所示#将图案继续画下去!
图!
图#
思路点拨! 根据给出图案的规律#我们将剩下的图案画完#如图" 所示!
! 举一反三"
!" 如图所示#将图案继续画下去!
第! 题
#" 如图所示#将图案继续画下去!
第#题
$" 用纸剪一个自己喜欢的图形#通过对称+平移或旋转画出美丽的图案!
第一周! 图形的变换 %!
’
! 拓展提高"
给你一张红纸#怎么才能剪出一个(红双喜)$
思路点拨! 我们把一张正方形的红纸对折#如图! 所示#沿对折的这条边写
一个(喜) 字#如图" 所示#然后把多余的部分剪掉#展开红纸一看#一个大(红双
喜) 便剪成了&对折处不能剪断’!
图!
!!!!!! 图#
! 奥赛训练"
% 给你一张正方形纸#怎么才能剪出一个五角星$
& 拼板是一种智力玩具#它是将薄板分割成一定数量和形状的小块#用来 拼搭各种图形! 下面就举个例子-
&’拿一张纸如图所示的样子画下来#大的等腰直角三角形" 块#小的等腰 三角形%块#正方形+直角梯形和平行四边形各! 块*
&’沿实线剪下来*
&%’你能把它们拼成数字(")吗$
第&题
(! !"#$%&’()*+,-./ !0
!! ’" 小猴灵灵做了一个正方体的盒子#并在上面涂上 了颜色#把它展开后如图所示#你知道小猴做的是 .+/+ 0+1 中的哪一个$
第’题
&(((年江西省(八一杯) 小学数学竞赛’
第一周! 图形的变换 %!
)
% 一 笔 画
! 题型概述"
(一笔画) 问题是属于操作问题中的一类#如果用笔在纸上连续不断而且
不重复地一笔画成某种图形#这种图形就叫一笔画图形! 那么#是不是所有的 图形都能一笔画成呢$
一笔画的图形有什么特点呢$
这就是我们将要研究的
问题!
! 典型例题"
如图所示#有!"#四个图形#请你试一试#能将它们一笔画出来吗$
思路点拨! 通过尝试#大家一定都发现了图!$能够一笔画成#图%#无论
如何也不能够一笔画成!
! 举一反三"
!" 如图#看看这两个汉字哪个能一笔画成#哪个不能$
第! 题
#" 如图#判断这两个图形能够一笔画成吗$
第#题
!*! !"#$%&’()*+,-./ !0
$" 如图#这两个图形能够一笔画成吗$
第$题
如果能#该怎么画$
! 拓展提高"
如图! 所示#为什么这两个图形不能一笔画成#这里面是不是有什么秘密$
图!
思路点拨! 任何图形都是由点和线组成#图形中的点可以分成以下两类- ! 从这个点出发的线的数目是双数#称为偶点* $ 从这个点出发的线的数目是单数#称为奇点!
这两个图形中的"+$+%+& 点都是奇点#其他的点都是偶点#如图" 所示! 瑞士数学家欧拉通过研究发现-
图#
&’一笔画必须是连通的&图形各部分之间连接在一起’*
&’全部是偶点的连通图形可以一笔画成#画时可以以任一偶点为起点#最 后仍回到这点*
&%’只有两个奇点的连通图形可以一笔画成#画时必须以一个奇点为起点#
以另一个奇点为终点*
第一周! 图形的变换 % !
!!
&’奇点的个数超过两个的图形不能一笔画成! 所以#这两个图形都不能一笔画成!
! 奥赛训练"
% 如图#图形!$能不能一笔画成$
第%题
& 如图#这两个图形能不能一笔画成$
第&题
’" 如图#这两个图形能不能一笔画成$
第’题
&((2年吉林省小学数学智力活动’
!" ! !"#$%&’()*+,-./ !0
& 专 题 &’
! 题型概述"
一般情况下#一笔画问题不可能单纯地出现#而是伴随着一定的情境#在一 定的问题情境中#必须学会判断分析#然后再运用一笔画的知识去解决这些实际 问题!
! 典型例题"
如图! 所示#一只蜗牛从 " 点出发#到达$ 点#必须不重复地经过每一条 线! 你能想出好办法吗$
!! 思路点拨! 根据题目的意思#可以归纳为一笔画问题#而且要求起点是 "# 终点是$#自己画一画就可以找到合适的办法了!
我们再分析一下#发现这张图上只有"+$ 两点是奇点#所以#首先可以肯 定可以一笔画成#而且一个是起点#一个是终点! 根据题目的要求#" 是起点#$ 是终点#有下面的画法#如图" 所示!
!!!!
图!
图#
! 举一反三"
!" 如图所示#这是一张公园的平面图#要想使游客走遍每一条路又不重复#
公园应如何设置进出口$ 为什么$
第! 题
#" 陈刚是一名邮递员#他将他所要走的街道画成了一张地图&如图所示#其 中的" 点是邮局’#打算设计一种最好的方法#使得自己每天不重复地走遍每一
第一周! 图形的变换 % !
!#
条街! 小刚想了想#很快就想出了方法! 你知道小刚是怎样设计的吗$
第#题
$" 同学们去参观展览馆#展览室!"&是如图所示分布的#图中的线段都是墙 壁#空缺处是(门)! 要想不重复地参观每一个展览室#从展览室! 出发#应该怎么走$
第$题
! 拓展提高"
晨晨爸爸投递信件的街道如图! 所示#图上数字表示各街道的千米数#他从邮 局出发#走遍各街道#最后回到邮局#走怎样的路线最合理$ 全程要走多少千米$
思路点拨! 这是一个典型的(一笔画) 运用的问 题! 这里一共有, 个奇点#因此不可能一笔画成#必须 在每两个奇点之间重复走一次#也就是在图上再连一 些线#使, 个奇点全部变成偶点! 这样有下列四种情
图!
况#如图" 所示&粗线表示要重复走的街道’! 很明显# 图%走的路线最短!
图#
!$! !"#$%&’()*+,-./ !0
走图%的路线最合理!
&!3"323"3!’&"3%&+3"&2’2+&千米’!
答-全程要走2+千米!
! 奥赛训练"
% 一个邮递员投递信件的街道如图所示#图上数字表示各街道的长&单位- 千米’#他从邮局出发#要走遍各街道#最后回到邮局! 请你为他设计一条最合理 的路线#全程至少走多少千米$
第%题
& 如图所示#这是一些街道的平面图#每段街道长! 千米#有一辆洒水车从 " 点出发#要往每一条街道上洒水#最后仍回到" 点! 请你为它安排一条最合理 的路线#并求出这条路线的长!
第&题
’" 国王想建造+个城堡#并在每两个城堡之间都修一条道路连接它们#但 一共只能有%个交叉路口#而且每个路口只能有两条道路相交! 试绘出城堡和道 路的分布图!
&(,$年俄罗斯列宁格勒数学奥林匹克竞赛’
第二周! 因数和倍数&一’% !!% !*#$+,-.,/"0 !" 因数和倍数&’
! 题型概述"
大家都知道#求一个数的因数可以采用列举的方法#通过找因数#我们还能
解决一些有趣的问题! 今天#我们学习与因数有关的知识!
! 典型例题"
求,#和!22的因数各有多少个$
思路点拨! 我们不妨从! 开始#慢慢地进行列举!
,#’!&,#’"&2#’2&"#’)&!+’,&!#!
因此##的因数有"&)’!#&个’!
同样道理#22’!&!22’"&$"’%&2,’2&%+’+&"2’,&!,
’(&!+’!"&!"!
最后的(!"&!")只能算!22有!" 这个因数!
所以#22的因数有"&$3!’!)&个’!
同学们需要注意-,#的因数有双数个*!22是完全平方数#它的因数有单数个!
所以#完全平方数的因数有单数个#其他数的因数都有双数个#这个结论非常重要!
! 举一反三"
!" 求+#和(#的因数各有多少个$
#" 求!(+的因数有多少个$
$" 甲数的" 倍等于乙数#乙数的% 倍等于丙数#丙数的2 倍等于甲数#求
甲数!
!&! !"#$%&’()*+,-./ !0
! 拓展提高"
一个数是) 个"#%个%# 个)# 个$的连乘积#这个数当然有许多因数是
两位数#这些两位数的因数中#最大的是几$
思路点拨! 根据题意#这个数为" &%&)&$!在从大到小的两位数中#由 ) %"
于((’%&!!#,’"&$#所以#它们都不是这个数的因数#$也不是! " "
(+’" &%#因此#(+是这个数的因数#并且没有比(+ 更大的两位数的因 )
数了!
所以#这些两位数的因数中最大的是(+!
! 奥赛训练"
% 把%!+表示成两个数的和#使其中一个是!%的倍数#另一个是!! 的倍
数#求这两个数!
& 和子去鱼店买了以下几种鱼-青花鱼#每条!%#日元*竹荚鱼#每条!$#
日元*沙丁鱼#每条$,日元*秋刀鱼#每条!#2 日元! 每种鱼都多于! 条#正好花
了%##日元! 请问-和子买了几条竹荚鱼$ &注-!##日元相当于$元人民币! ’
’" 有)#张卡片#分别写着!")#这)#个数#正反两面写的数字相同#卡片
一面是红#一面是蓝! 某班有)#名学生#老师把)# 张卡片中蓝色的一面都朝上
摆在桌上#对同学说-(请你们按学号顺序逐个到前面来翻卡片#规则是-凡是卡
片上的数是自己学号的倍数#就把它翻过来#蓝翻成红#红翻成蓝!) 那么当每个
学生都翻完以后#红色朝上的卡片有几张$ &((+年日本算术奥林匹克竞赛’
第二周! 因数和倍数&一’% !! ’ #" 因数和倍数&’
! 题型概述"
今天#我们学习因数的运用#解决这种问题主要是根据问题的要求#寻找因
数的个数!
! 典型例题"
"(*&!’’&!’..)#在括号内填上适当的数#使等式成立! 共有多少种不
同的填法$
思路点拨! 根据有余数除法各部分之间的关系#可以知道除数与商的积是
"(4)’"2!
两个自然数相乘的积是"2的有四种情况-!&"2#"&!"#%&,#2&+!再根
据(除数比余数大) 可以知道除数只能是"2#!"#,#+!
所以#共有2种不同的填法!
! 举一反三"
!"%$*&!’’&!’..)#在括号内填上适当的数#使等式成立#共有多少
种不同的填法$
#" 在括号里填上合适的数#共有多少种不同的填法$
2(*&!’’&!’..(!
$" 面积是!+) 平 方 厘 米 的 形 状 不 同 且 边 长 是 自 然 数 的 长 方 形#共 有 多 少种$
!(! !"#$%&’()*+,-./ !0
! 拓展提高"
一只盒内共有(+个棋子#如果不一次拿出#也不一个一个地拿出#但每次拿
出的个数要相等#最后一次正好拿完! 那么#共有多少种不同拿法$
思路点拨! 根据题意可以知道#+等于每次拿的个数与拿的次数的乘积!
(+’!&(+’"&2,’%&%"’2&"2’+&!+’,&!"!
因为(不一次拿出#也不一个一个地拿出)#所以#!&(+应该去掉#其余的每
个算式都可以看做两种拿法#所以#一共有"&)’!#&种’拿法!
! 奥赛训练"
% 自然数("%#)"%#(&)’!()!那么# 和) 的值可能是多少$
& 一只筐内共有!"#个苹果#如果不一次拿出#也不一个一个地拿出#但每
次拿出的个数要相等#最后一次正好拿完! 那么#共有多少种不同的拿法$
’" 小鸣用2, 元钱按零售价买了若干练习本#如果按批发价购买#每本便宜
" 元#恰好多买2本! 问-零售价每本多少元$
#)年全国(华罗庚金杯) 少年数学邀请赛’
第二周! 因数和倍数&一’% !!) $" 奇数和偶数&’
! 题型概述"
我们都知道-相邻的两个奇数或偶数相差 "! 运用这个结论#可以解决很多
有趣的问题!
! 典型例题"
三个连续偶数的和是"2#它们分别是多少$
思路点拨! 因为它们是三个连续的偶数#后一个总是比前一个多"! 我们假
设中间的偶数是(#那么前一个是&4"’#后一个是&3"’#它们的和是
&4"’3(3&3"’’%(#% *%’(!
因此#中间数是三个连续偶数的平均数#是"2*%’,#另两个数是
,4" ’+#,3"’!#!
所以三个偶数分别是+#,#!#!
! 举一反三"
!" 三个连续奇数的和是"$#它们分别是多少$
#" 五个连续奇数的和是+)#它们分别是多少$
$" 四个连续偶数的和是)"#它们分别是多少$
"*! !"#$%&’()*+,-./ !0
! 拓展提高"
三个连续奇数的和是!)#它们的积是多少$
思路点拨! 因为它们是三个连续的奇数#后一个总是比前一个多"! 同样道
理#中间数是三个连续奇数的平均数!
所以#这三个连续奇数的中间数是!)*%’)#它们分别是%#)#$!
%&)&$’!#)!
所以#它们的积是!#)!
! 奥赛训练"
% 三个连续偶数的和是!,#它们的积是多少$
& 五个连续奇数的和是%)#这) 个奇数中最大的一个是多少$
’" 有三个不同的自然数组成一个等式-
#3$3%’#&$4%!
这三个数中最多有多少个奇数$ &((+年北京市小学生(迎春杯) 数学竞赛’
第二周! 因数和倍数&一’% !"! % 奇数和偶数&’
! 题型概述"
奇数和偶数有一些有趣而常用的性质-
!5 奇数&偶数#连续自然数中的奇数和偶数是相间排列的*
"5 偶数个奇数相加的和是偶数#奇数个奇数相加的和是奇数#任意个偶数
相加的和是偶数*
% 奇数6奇数’偶数#奇数6偶数’奇数#偶数6偶数’偶数#
偶数6奇数’奇数*
25 奇数&偶数’偶数#奇数&奇数’奇数#偶数&偶数’偶数!
运用这些性质可以解决很多问题!
! 典型例题"
!3"3%323.3"#!!3"#!"的和是奇数还是偶数$
思路点拨! 根据性质!-连续自然数中的奇数和偶数是相间排列的! 因此#
在!""#!"这"#!"个数中#奇数和偶数各有"#!"*"’!##+&个’!!##+个奇数
的和是偶数###+个偶数的和也是偶数#偶数加偶数等于偶数! 所以#!3"3%3
23.3"#!!3"#!"的和是偶数!
! 举一反三"
!"!3"3%323)3.3"###3"##!的和是奇数还是偶数$
#"!&"3"&%3%&23.3!,&!(3!(&"#的结果是奇数还是偶数$
$"!#!3!#"3!#%3.3"##$3"##,的和是奇数还是偶数$
学奥数,这里总有一本适合你
自从 2000 年《奥数教程》中首次在图书中使用“奥数”一词以来,华东师范 大学出版社已陆续出版近 200 种“奥数”图书, 形成多品种、多册层次全系列。 入门篇——《从课本到奥数》(年级)A、 智优篇——《优等生数学》(年级)
——《高思学校竞赛数学课本》、《高思学校竞赛数学导引》 专题篇——《数学奥林匹克小丛书》(小学、初中、高中共 种) 题库篇——《多功能题典 数学竞赛》(小学、初中、高中共 种) 高中预赛篇——《高中数学联赛备考手册(预赛试题集锦)》 联赛冲刺篇——《高(初)中数学联赛考前辅导》 终极篇——《走向
“奥数”域外篇——《日本小学数学奥林匹克》、《全俄中学生数学奥林匹克》
范文二:五年级奥数教材
五年级奥数目录
(一)数的整除★★★(被整除也就是找这个数的倍数)
(二)定义新运算★★★(它的符号不同于课本上明确定义或已经约定的符号,先求出表示定义规则的一般表达式,方可进行运算。)
(三)列方程解运用题★★★★(一些数量关系较复杂的问或较隐蔽的逆向问题。用算术方法解答比较困难,如果用方程解就简便得多)
(四)抽屉原理★★★(抽屉原理:将多于n 件的物品任意放到n 个抽屉中,那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件)
(五)不规则图形面积的计算★★★★★(不规则图形,为了计算面积,常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规则图形的和、差关系)
(六)逻辑推理★★★(条件增多,考虑的范围增大)
(七)牛吃草★★★(重点是草的生长速度的的变量)
(八)流水行船★★★(难点在于是逆水行舟还是顺水行舟)
(九)奇数与偶数★★★(根据奇数和偶数的定理,求出几个数的和是什么数)
(十)周期性问题★★★(找出循环,利用除法算式求出余数,最后根据余数的大小得出正确的结果,考点)
(一) 数的整除
如果整除a 除以不为零数b ,所得的商为整数而余数为0,我们就说a 能被b 整除,或叫b 能整除a 。如果a 能被b 整除,那么,b 叫做a 的约数,a 叫做b 的倍数。
数的整除的特征:
(1) 能被2整除的数的特征:如果一个整数的个位数字是2、4、6、8、0,那么这个整数一定能被2整除。
(2) 能被3(或9)整除的数的特征:如果一个整数的各个数字之和能被3(或9)整除,那么这个整数一定能被3(或9)整除。
(3) 能被4(或25)整除的数的特征:如果一个整数的末两位数能被4
(或25)整除,那么这个数就一定能被4(或25)整除。
(4) 能被5整除的数的特征:如果一个整数的个位数字是0或5,那么这个整数一定能被5整除。
(5) 能被6整除的数的特征:如果一个整数能被2整除,又能被3整除,那么这个数就一定能被6整除。
(6) 能被7(或11或13)整除的数的特征:一个整数分成两个数,末三位为一个数,其余各位为另一个数,如果这两个数之差是0或是7(或11或13)的倍数,这个数就能被7(或11或13)整除。
(7) 能被8(或125)整除的数的特征:如果一个整数的末三位数能被8(或125)整除,那么这个数就一定能被8(或125)整除。
(8) 能被11整除的数的特征:如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差(大减小)能被11整除,那么它必能被11整除。
一、例题与方法指导
例1. 一个六位数23□56□是88的倍数, 这个数除以88所得的商是_____或_____. 思路导航:
一个数如果是88的倍数, 这个数必然既是8的倍数, 又是11的倍数. 根据8的倍数, 它的末三位数肯定也是8的倍数, 从而可知这个六位数个位上的数是0或8. 而11的倍数奇偶位上数字和的差应是0或11的倍数, 从已知的四个数看, 这个六位数奇偶位上数字的和是相等的, 要使奇偶位上数字和差为0, 两个方框内填入的数字是相同的, 因此这个六位数有两种可能
或又 230560÷88=2620
238568÷88=2711
所以, 本题的答案是2620或2711.
例2. 123456789□□, 这个十一位数能被36整除, 那么这个数的个位上的数最小是_____. 思路导航:
因为36=9?4, 所以这个十一位数既能被9整除, 又能被4整除. 因为1+2+?+9=45,由能被9整除的数的特征,(可知□+□之和是0(0+0)、9(1+8,8+1,2+7,7+2,3+6,6+3,4+5,5+4)和18(9+9). 再由能被4整除的数的特征:这个数的末尾两位数是4的倍数, 可知□□是00,04, ?,36,?,72,?96. 这样, 这个十一位数个位上有0,2,6三种可能性.
所以, 这个数的个位上的数最小是0.
例3. 下面一个198333?4中间漏写了一个数字(方框), 已 991个 991个
知这个多位数被7整除,那么中间方框内的数字是_____.
思路导航:
□ 991个 991个
=33?3?10993+3□4?10990+44?4
990个 990个
因为111111能被7整除,所以和都能被7整除, 所以只要 990个 990个
3□4能被7整除,原数即可被7整除. 故得中间方框内的数字是6.
例4. 有三个连续的两位数, 它们的和也是两位数, 并且是11的倍数. 这三个数是_____.
三个连续的两位数其和必是3的倍数, 已知其和是11的倍数, 而3与11互质, 所以和是33的倍数, 能被33整除的两位数只有3个, 它们是33、66、99. 所以有
当和为33时, 三个数是10,11,12;
当和为66时, 三个数是21,22,23;
当和为99时, 三个数是32,33,34.
所以,答案为 10,11,12或21,22,23或32,33,34。
[注]“三个连续自然数的和必能被3整除”可证明如下:
设三个连续自然数为n,n+1,n+2,则
n+(n+1)+(n+2)
=3n+3
=3(n+1)
所以,n +(n +1) +(n +2) 能被3整除.
二、巩固训练
1. 有这样的两位数, 它的两个数字之和能被4整除, 而且比这个两位数大1的数, 它的两个数字之和也能被4整除. 所有这样的两位数的和是____.
2. 一个小于200的自然数, 它的每位数字都是奇数, 并且它是两个两位数的乘积, 那么这个自然数是_____.
3. 任取一个四位数乘3456, 用A 表示其积的各位数字之和, 用B 表示A 的各位数字之和,C 表示B 的各位数字之和, 那么C 是_____.
4. 有0、1、4、7、9五个数字,从中选出四个数字组成不同的四位数,如果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来,第五个数的末位数字是_____.
三、拓展提升
1. 找出四个互不相同的自然数, 使得对于其中任何两个数, 它们的和总可以被它们的差整除, 如果要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小, 那么这四个数里中间两个数的和是多少?
2. 只修改21475的某一位数字, 就可知使修改后的数能被225整除, 怎样修改?
3. 500名士兵排成一列横队. 第一次从左到右1、2、3、4、5(1至5)名报数;第二次反过来从右到左1、2、3、4、5、6(1至6)报数,既报1又报6的士兵有多少名?
4. 试问, 能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上, 使得在任何5个相连的数中, 都至少有两个数可被3整除?如果回答:“可以”,则只要举出一种排法;如果回答:“不能”,则需给出说明.
(二) 定义新运算
定义新运算通常是用特殊的符号表示特定的运算意义。它的符号不同于课本
上明确定义或已经约定的符号,例如“+、-、×、÷、、>、<”等。表示运算意义的表达式,通常是使用四则运算符号,例如a ☆b="">”等。表示运算意义的表达式,通常是使用四则运算符号,例如a>
正确解答定义新运算这类问题的关键是要确切理解新运算的意义,严格按照规定的法则进行运算。如果没有给出用字母表示的规则,则应通过给出的具体的数字表达式,先求出表示定义规则的一般表达式,方可进行运算。
值得注意的是:定义新运算一般是不满足四则运算中的运算律和运算性质,所以,不能盲目地运用定律和运算性质解题。
一、例题与方法指导
例1. 设 ab都表示数,规定a △b 表示a 的4倍减去b 的3倍,即a △b=4×a-3×b, 试计算5△6,6△5。
解5△6-5×4-6×3=20-18=2
6△5=6×4-5×3=24-15=9
说明 例1定义的△没有交换律,计算中不得将△前后的数交换。
例2. 对于两个数a 、b, 规定a ☆b 表示3×a+2×b, 试计算(5☆6)☆7,5☆(6☆7)。 思路导航:
先做括号内的运算。
解 (5☆6)☆7=(5×3+6×2)☆7=27☆7=27×3+7×2=95
5☆(6☆7)=5☆(6×3+7×2)=5☆32=5×3+32×2=79
说明 本题定义的运算不满足结合律。这是与常规的运算有区别的。
例3. 已知2△3=2×3×4,4△2=4×5,一般地,对自然数a 、b ,a △b 表示a ×(a+1)×?(a+b-1).
计算(6△3)-(5△2)。 思路导航:
原式=6×7--5×6
=336-30
规定:a △=a+(a+1)+(a+2)+?+(a+b-1), 其中a,b 表示自然数。
例4. 求1△100的值。已知x △10=75,求x.
思路导航:
(1)原式=1+2+3+?+100=(1+100)×100÷2=5050
(2)原式即x+(x+1)+(x+2)+?+(X+9)=75,
所以
10X+(1+2+3+?+9)=75
10x+45=75
10x=30
x=3
二、巩固训练
1. 若对所有b,a △b =a×x,x 是一个与b 无关的常数;a ☆b=(a+b)÷2, 且(1△3)☆3=1△(3☆3)。
求(1△4)☆2的值。
2. 如果规定:③=2×3×4,④=3×4×5,⑤=4×5×6,??,⑨=8×9×10,求⑨+⑧-⑦+⑥-⑤+④-③的值。
三、能力提升
(三) 列方程解应用题
同学们在解答数学问题时,经常遇到一些数量关系较复杂的,或较隐蔽的逆
向问题。用算术方法解答比较困难,如果用方程解就简便得多。它可以进一步培养我们分析问题和解决问题的能力,抽象思维能力,列方程解应用题一般分为五步:
(一)审题;(弄清已知数和未知数以及它们之间的关系)
(二)用字母表示未知数;(通常用“x ”表示)
(三)根据等量关系列出方程;
(四)解方程求出未知数的值;
(五)验算并答题。
一、例题与方法指导
例1. 金台小学学生参加申奥植树活动,六年级共植树252棵,比五年级1
植树总数的4倍少8棵,五年级植树多少棵? 1
思路导航: 111六年级比五年级植树总数的4倍少8棵,就是六年级的4倍的数少8,等1
1
于六年级植树的总数。等量关系是:五年级的4倍-8=六年级的植树总数。 1
解:设五年级植树x 棵,根据题意列方程,得 11x -8=252 4 11x =252+8 4 11x =260 4 1x =260÷14
x =208
验算:把x =208代入原方程
1=1?208-8=2524 左边
右边=252
左边=右边
x =208是原方程的解。
答:五年级植树208棵。
例2. 一瓶农药700克,其中水比硫磺粉的6倍还多25克,含硫磺粉的重量是石灰的2倍,这瓶农药里,水、硫磺粉和石灰粉各多少克? 思路导航:
这是道比较复杂的“和倍应用题”,硫磺粉和水有直接关系,硫磺粉和石灰也有直接关系,因此应设未知数硫磺粉为x 克。水的重量是硫磺的6倍还多25
1x 克,也就是(6x +25)克,石灰的重量就是硫磺粉的重量除以2,也就是2克。
等量关系式表示为:
水+硫磺粉+石灰=农药重量
解:设硫磺粉的重量是x 克,那么,水的重量是(6x +25)克,石灰重1x 2量是克。根据题意列方程,解。 1x =7002 17x =700-25 2 6x +25+x +
. x =675 75
x =90
验算:把x =90代入原方程
=6?90+25+90+1?90=7002 左边
右边=700
左边=右边
x =90是原方程的解。
例3. 两袋米同样重,第一袋吃去18千克,第二袋吃去25千克,余下的第一袋刚好是第二袋的2倍,两袋原来各有多少千克?
思路导航:
题中告诉我们原来两袋大米同样重,解答时可以设两袋大米原来各重x 千克,第一袋剩下的则是(x -18) 千克,第二袋剩下的则是(x -25) 千克。根据题意,第一袋剩下的大米是第二袋剩下的2倍,也就是说,如果把第二袋剩下的扩大2倍就和第一袋剩下的相等。
解:设两袋大米原来的重量各为x 千克,根据题意,列方程得 (x -25) ?2=x -18 2x -50=x -18 2x -x =50-18 x =32
验算:左边=(32-25) ?2=14 右边=32-18=14 左边=右边 x=32是原方程的解
答:两袋大米原来各重32千克。
二、巩固训练
7
1. 李红看一本小说,上午看了60页,相当于下午看的页数的8又4页,李
红这天共看了多少页小说?
2. 已知一个长方形的长是20米,如果把它的宽减少4米,新得到一个
5
长方形,它的面积想法于原来长方形的面积的7,原来长方形的周长是多少?
21
3. 两根绳共长90米,已知第一根绳长的5等于第二根绳长的2,求两根绳各长
多少米?
三、拓展提升
3
1. 甲乙两个粮仓共有粮食55万千克,如果甲仓运出5,乙仓运出6万千
克,则甲乙两仓存粮相等,甲、乙两仓原来各存粮多少万千克?
2. 用5千克含盐20%的盐水,如果把它稀释为含盐15%的盐水,需要加水多少千克?
3. 有甲、乙两筐苹果,如果从甲筐取10千克放入乙筐,则两筐相等;如果
31
从两筐中各取出10千克,这时甲筐余下的10比乙筐余下的3多5千克。求两筐
苹果原来各多少千克?
4. 同学们到郊区野炊。一个同学到老师那里去领碗,老师问他领多少,他说领55个。又问“多少人吃饭”,他说:“一人一个饭碗,两人一个菜碗,三人一个汤碗。”算一算,有多少人吃饭。
(四) 抽屉原理
如果将5个苹果放到3个抽屉中去,那么不管怎么放,至少有一个抽屉中放的苹果不少于2个。道理很简单,如果每个抽屉中放的苹果都少于2个,即放1个或不放,那么3个抽屉中放的苹果的总数将少于或等于3,这与有5个苹果的已知条件相矛盾,因此至少有一个抽屉中放的苹果不少于2个。
同样,有5只鸽子飞进4个鸽笼里,那么一定有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。
以上两个简单的例子所体现的数学原理就是“抽屉原理”,也叫“鸽笼原理”。 抽屉原理1:将多于n 件的物品任意放到n 个抽屉中,那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。
说明这个原理是不难的。假定这n 个抽屉中,每一个抽屉内的物品都不到2件,那么每一个抽屉中的物品或者是一件,或者没有。这样,n 个抽屉中所放物品的总数就不会超过n 件,这与有多于n 件物品的假设相矛盾,所以前面假定“这
n 个抽屉中,每一个抽屉内的物品都不到2件”不能成立,从而抽屉原理1成立。
从最不利原则也可以说明抽屉原理1。为了使抽屉中的物品不少于2件,最不利的情况就是n 个抽屉中每个都放入1件物品,共放入n 件物品,此时再放入1件物品,无论放入哪个抽屉,都至少有1个抽屉不少于2件物品。这就说明了抽屉原理1。
一、例题与方法指导
例1. 某幼儿园有367名1996年出生的小朋友,是否有生日相同的小朋友?
分析与解:1996年是闰年,这年应有366天。把366天看作366个抽屉,将367名小朋友看作367个物品。这样,把367个物品放进366个抽屉里,至少有一个抽屉里不止放一个物品。因此至少有2名小朋友的生日相同。
例2. 在任意的四个自然数中,是否其中必有两个数,它们的差能被3整除?
分析与解:因为任何整数除以3,其余数只可能是0,1,2三种情形。我们将余数的这三种情形看成是三个“抽屉”。一个整数除以3的余数属于哪种情形,就将此整数放在那个“抽屉”里。
将四个自然数放入三个抽屉,至少有一个抽屉里放了不止一个数,也就是说至少有两个数除以3的余数相同。这两个数的差必能被3整除。
例3. 在任意的五个自然数中,是否其中必有三个数的和是3的倍数? 分析与解:根据例2的讨论,任何整数除以3的余数只能是0,1,2。现在,对于任意的五个自然数,根据抽屉原理,至少有一个抽屉里有两个或两个以上的数,于是可分下面两种情形来加以讨论。
第一种情形。有三个数在同一个抽屉里,即这三个数除以3后具有相同的余数。因为这三个数的余数之和是其中一个余数的3倍,故能被3整除,所以这三个数之和能被3整除。
第二种情形。至多有两个数在同一个抽屉里,那么每个抽屉里都有数,在每
个抽屉里各取一个数,这三个数被3除的余数分别为0,1,2。因此这三个数之和能被3整除。
综上所述,在任意的五个自然数中,其中必有三个数的和是3的倍数。
二、巩固训练
1. 有5个小朋友,每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋
子. 请你证明,这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。
2. 一副扑克牌(去掉两张王牌),每人随意摸两张牌,至少有多少人才能保证他们当中一定有两人所摸两张牌的花色情况是相同的?
3. 从2、4、6、?、30这15个偶数中,任取9个数,证明其中一定有两个
数之和是34。
(五) 不规则图形面积计算(1)
我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形,一般称为基本图形或规则图形. 我们的面积及周长都有相应的公式直接计算. 如下表:
实际问题中,有些图形不是以基本图形的形状出现,而是由一些基本图形组合、拼凑成的,它们的面积及周长无法应用公式直接计算. 一般我们称这样的图形为不规则图形。
那么,不规则图形的面积及周长怎样去计算呢?我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系,问题就能解决了。 一、例题与方法指导
例1 如右图,甲、乙两图形都是正方形,它们的边长分别是10厘米和12厘米. 求阴影部分的面积。
阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形(△ABG 、△BDE 、△EFG )的面积之和。
例2
如右图,正方形ABCD 的边长为6厘米,△ABE 、△ADF 与四边形AECF
的面积彼此相等,求三角形AEF 的面积.
∵△ABE 、△ADF 与四边形AECF 的面积彼此相等,
1∴四边形 AECF的面积与△ABE 、△ADF 的面积都等于正方形ABCD 的。
3在△ABE 中,因为AB=6.所以BE=4,同理DF=4,因此CE=CF=2, ∴△ECF 的面积为2×2÷2=2。
所以S △AEF=S四边形AECF-S △ECF=12-2=10(平方厘米)。 例3
两块等腰直角三角形的三角板,直角边分别是10厘米和6厘米。如
右图那样重合. 求重合部分(阴影部分)的面积。
在等腰直角三角形ABC 中 ∵AB=10
∵EF=BF=AB-AF=10-6=4,
∴阴影部分面积=S△ABG-S △BEF=25-8=17(平方厘米)。 例4
如右图,A 为△CDE 的DE 边上中点,BC=CD,若△ABC (阴影部分)
面积为5平方厘米. 求△ABD 及△ACE 的面积.
思路导航:
取BD 中点F ,连结AF. 因为△ADF 、△ABF 和△ABC 等底、等高,
所以它们的面积相等,都等于5平方厘米.
∴△ACD 的面积等于15平方厘米,△ABD 的面积等于10平方厘米。 又由于△ACE 与△ACD 等底、等高,所以△ACE 的面积是15平方厘米。 二、巩固训练
1. 如右图,在正方形ABCD 中,三角形ABE 的面积是8平方厘米,它是三角形DEC 的面积的
4
,求正方形ABCD 的面积。 5
2. 如右图,已知:S △ABC=1,AE=ED,BD=
2
BC. 求阴影部分的面积。 3
3. 如右图,梯形ABCD 的面积是45平方米,高6米,△AED 的面积是5平方米,BC=10米,求阴影部分面积.
4. 如右图,四边形ABCD 和DEFG 都是平行四边形,证明它们的面积相等.
(六) 不规则图形面积计算(2)
不规则图形的另外一种情况,就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的,这是一类更为复杂的不规则图形,为了计算它的面积,常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规则图形的和、差关系,同时还常要和“容斥原理”(即:集合A 与集合B 之间有:S A ∪B =S A +S b -S A ∩B )合并使用才能解决。 一、例题与方法指导
例1
. 如右图,在一个正方形内,以正方形的三条边为直径向内作三个
半圆. 求阴影部分的面积。
解法1:把上图靠下边的半圆换成(面积与它相等)右边的半圆,得到右图. 这
时,右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样,因此它们的面积相等. 所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半。
解法2:将上半个“弧边三角形”从中间切开,分别补贴在下半圆的上侧边上,
如右图所示. 阴影部分的面积是正方形面积的一半。
解法3:将下面的半圆从中间切开,分别贴补在上面弧边三角形的两侧,如右图
所示. 阴影部分的面积是正方形的一半.
例2. 如右图,正方形ABCD 的边长为4厘米,分别以B 、D 为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆,求阴影部分面积。 解:由容斥原理 S阴影=S 扇形ACB +S 扇形ACD -S 正方形ABCD
例3
如右图,矩形ABCD 中,AB =6厘米,BC =4厘米,扇形ABE 半径
AE =6厘米,扇形CBF 的半CB=4厘米,求阴影部分的面积。
例4. 如右图,直角三角形ABC 中,AB 是圆的直径,且AB =20厘米,如果阴影(Ⅰ)的面积比阴影(Ⅱ)的面积大7平方厘米,求BC 长。 分析 已知阴影(Ⅰ)比阴影(Ⅱ)的面积大7平方厘米,就是半圆面积比三角形ABC 面积大7平方厘米;又知半圆直径AB =20
厘米,可以
求出圆面积. 半圆面积减去7平方厘米,就可求出三角形ABC 的面积,进而求出三角形的底BC 的长.
二、巩固训练
2. 如右图,将直径AB 为3的半圆绕A 逆时针旋转60°,此时AB 到达AC 的位置,求阴影部分的面积(取π=3).
1. 如右图,两个正方形边长分别是10厘米和6厘米,求阴影部分的面积。
3. 如右图,ABCD 是正方形,且FA=AD=DE=1,求阴影部分的面积.
4. 如下页右上图,ABC 是等腰直角三角形,D 是半圆周上的
中点,BC 是半圆的直径,且AB=BC=10,求阴影部分面积(π取3.14)。
总结:对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组
合,分析整体与部分的和、差关系,问题便得到解决. 常用的基本方法有:
一、 相加法:
这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形,分别计算它们的面积,然后相加求出整个图形的面积. 例如,右图中,要求整个图形的面积,只要先求出上面半圆的面积,再求出下面正方形的面积,然后把它们相加就可以了.
二、相减法:
这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差. 例如,右图,若求阴影部分的面积,只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可.
三、 直接求法:
这种方法是根据已知条件,从整体出发直接求出不规则图形面积. 如下页右上图,欲求阴影部分的面积,通过分析发现它就是一个底是2,高为4的三角形,面积可直接求出来。
四、 重新组合法:
这种方法是将不规则图形拆开,根据具体情况和计算上的需要,重新组合成一个新的图形,设法求出这个新图形面积即可. 例如,欲求右图中阴影部分面积,可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处,这时采用相减法就可求出其面积了.
五、 辅助线法:
这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线,使不规则图形转化成若干个基本规则图形,然后再采用相加、相减法解决即可. 如右图,求两个正方形中阴影部分的面积. 此题虽然可以用相减法解决,但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便.
六、 割补法:
这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成
为基本规则图形,从而使问题得到解决. 例如,如右图,欲求阴影部分的面
积,只需把右边弓形切割下来补在左边,这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.
七、 平移法:
这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置,使之
组合成一个新的基本规则图形,便于求出面积. 例如,如右图,欲求阴影部
分面积,可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内,这样整个阴影部分恰是一个正方形。
八、 旋转法:
这种方法是将图形中某一部分切割下来之后,使之沿某一
点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧,从而组合成一个新的基本规则的图形,便于求出面积. 例如,欲求图(1)中阴影部分的面积,可将左半图形绕B 点逆时针方向旋转180°,使A 与C 重合,从而构成如右图(2)的样子,此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积.
九、 对称添补法:
这种方法是作出原图形的对称图形,从而得到一个新的基本规则图形. 原来图形面积就是这个新图形面积的一半. 例如,欲求右图中阴影部分的面积,沿AB 在原图下方作关于AB 为对称轴的对称扇形ABD. 弓形CBD 的面积的一半就是所求阴影部分的面积。
十、重叠法:
这种方法是将所求的图形看成是两个或两个以上图形的重叠部分,然后运用“容斥原理”(SA ∪B =SA +SB-SA ∩B )解决。例如,欲求右图中阴影部分的面积,可先求两个扇形面积的和,减去正方形面积,因为阴影部分的面积恰好是两个扇形重叠的部分.
(七) 逻辑推理
曾经爱因斯坦出过一道测试题, 他说世界上有98%的人回答不出!! 让我们一起来看看是什么题呢。
在一条街上有5座颜色不同的房子,住着5个不同国家的人,他们抽着5种不同的烟,喝着5种不同的饮料,养着5种不同的宠物。有下面15个已知条件,求解。
1、英国人住红色房子。
2、瑞典人养狗。
3、丹麦人喝茶。
4、绿色房子在白色房子左面。
5、绿色房子主人喝咖啡。
6、抽Pall Mall香烟的人养鸟。
7、黄色房子主人抽Dunhill 香烟。
8、住在中间房子的人喝牛奶。
9、挪威人住第一间房。
10、抽Blends 香烟的人住在养猫的人隔壁。
11、养马的人住抽Dunhill 香烟的人隔壁。
12、抽Blue Master的人喝啤酒。
13、德国人抽Prince 香烟。
14、挪威人住蓝色房子隔壁。
15、抽Blends 香烟的人有一个喝水的邻居。
问:哪个国家的人养鱼?
这道题为什么会难倒这么多人呢,首先,我们就来研究一下关于他的最基本的逻辑问题吧。
一、例题与方法指导
例1. 某地质学院的学生对一种矿石进行观察和鉴别:
甲判断:不是铁,也不是铜。
乙判断:不是铁,而是锡。
丙判断:不是锡,而是铁。
经化验证明:有一个人的判断完全正确,有一个人说对了一半,而另一个人完全说错了。你知道三人中谁是对的,谁是错的,谁是只对一半的吗? 思路导航:
丙全说对了,甲说对了一半,乙全说错了。先设甲全对,推出矛盾后,再设乙全对,又推出矛盾,则说明丙全对,甲说对了一半,乙全说错了。
例2. 数学竞赛后,小明、小华和小强各获得一枚奖牌,其中一人得金牌,一人得银牌,一人得铜牌。老师猜测:“小明得金牌,小华不得金牌,小强不得铜牌。”结果老师只猜对了一个,那么谁得金牌,谁得银牌,谁得铜牌?
小华得金牌,小强得银牌,小明得铜牌。
(1)若小明得金牌,小华一定“不得金牌”,这与“老师只猜对了一个”相矛盾,不合题意。
(2)若小华得金牌,那么“小明得金牌”与“小华不得金牌”这两句都是错的,那么“小强不得铜牌”应是正确的,那么小强得银牌,小明得铜牌。
例3. 一位法官在审理一起盗窃案中,对涉及到的四名嫌疑犯甲、乙、丙、丁进行了审问。四人分别供述如下:
甲说:“罪犯在乙、丙、丁三人之中。”
乙说:“我没有做案,是丙偷的。”
丙说:“在甲和丁中间有一人是罪犯。”
丁说:“乙说的是事实。”
经过充分的调查,证实这四人中有两人说了真话,另外两人说的是假话。 同学们,请你做一名公正的法官,对此案进行裁决,确认谁是罪犯? 思路导航:
乙和丁是盗窃犯。如果甲说的是假话,那么剩下三人中有一人说的也是假话,另外两人说的是真话。可是乙和丁两人的观点一致,所以在剩下的三人中只能是丙说了假话,乙和丁说的都是真话。即“丙是盗窃犯”。这样一来,甲说的也是
对的,不是假话。这样,前后就产生了矛盾。所以甲说的不可能是假话,只能是真话。同理,剩下的三人中只能是丙说真话。乙和丁说的是假话,即丙不是罪犯,乙是罪犯。又由甲所述为真话,即甲不是罪犯。再由丙所述为真话,即丁是罪犯。
二、巩固训练
1. 小王、小张、小李三人在一起,其中一位是工人,一位是战士,一位是大学生。现在知道:小李比战士年龄大,小王和大学生不同岁,大学生比小张年龄小。那么三人各是什么职业?
解:小李是大学生,小王是战士,小张是工人.
2. 甲、乙、丙分别是来自中国、日本和英国的小朋友。甲不会英文,乙不懂日语却与英国小朋友热烈交谈。问:甲、乙、丙分别是哪国的小朋友? 解:甲是日本人,乙是中国人,丙是英国人。
3. 徐、王、陈、赵四位师傅分别是工厂的木工、车工、电工和钳工,他们都是象棋迷。
(1)车工只和电工下棋;
(2)王、陈两位师傅经常与木工下棋;
(3)徐师傅与电工下棋互有胜负;
(4)陈师傅比钳工下得好。
问:徐、王、陈、赵四位师傅各从事什么工种?
(八) 牛吃草
牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场,是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变,不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同,求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。
由于吃的天数不同,草又是天天在生长的,所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的,新长的草虽然在变化,但由于是匀速生长,所以每天新长出的草量应该是不变的。这类问题常用到四个基本公式,分别是:
(1)草的生长速度=(对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较少天数)÷(吃的较多天数-吃的较少天数);
(2)原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数;
这四个公式是解决牛吃草问题的基础。一般设每头牛每天吃草量不变,设为"1" ,解题关键是弄清楚已知条件,进行对比分析,从而求出每日新长草的数量,再求出草地里原有草的数量,进而解答题总所求的问题。
一、例题与方法指导
例1.
青青一牧场
青青一牧场,牧草喂牛羊;放牛二十七,六周全吃光。
改养廿三只,九周走他方;若养二十一,可作几周粮?
(注:“廿”的读音与“念”相同。“廿”即二十之意。)
【解说】这道诗题,是依据闻名于世界的“牛顿牛吃草问题”编写的。牛顿是英国人,他的种种事迹早已闻名于世,这里不赘述。他曾写过一本书,名叫《普遍(3)吃的天数=原有草量÷(牛头数-草的生长速度); (4)牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。
的算术》,“牛吃草问题”就编写在这本书中。书中的这道题目翻译过来是:
一牧场长满青草,27头牛6个星期可以吃完,或者23头牛9个星期可以吃完。若是21头牛,要几个星期才可以吃完?(注:牧场的草是不断生长的。)
解答这一问题,首先必须注意牧场里的草是不断生长增多的,而并非一个固定不变的数值。这虽然大大地增加了解题的难度,但我们不要害怕。只要依据下面的思路,就一定会找到问题的答案。
因为27头6星期草料=(27×6=)162头一星期草料
23头9星期草料=(23×9=)207头一星期草料
而这一牧场6星期吃完与9星期吃完,草料数量要相差207—162=45(头牛吃一星期的草料)
这多出的草料,便是 9—6=3(个星期之内新长出的草料)
所以,一个星期新长出的草料便是
45÷3=15(头牛吃一星期的草料)
进而可知,这牧场最初的草料数量就是
(27—15)×6=72(头牛吃一个星期的草料)
现在,有21头牛来吃这牧场里的草,其中必须拿出15头牛来吃每个星期新长出来的草料,这就只剩下:21-15=6(头牛)
去吃最初已经长成的草料了。所以,21头牛来吃这牧场的草料,全部吃光所需要的时间就是
72÷6=12(个星期)
列成综合算式,就是:
[27-(23×9—27×6)÷(9—6)]×6÷[21-(23×9—27×6)÷(9—6)] =[27-45÷3]×6÷[21-45÷3]
=12×6÷6
=12(个星期)
答:21头牛要12个星期才可以吃完。
例2. 一个牧场长满青草,牛在吃草而草又在不断生长,已知牛27头,6天把草吃尽,同样一片牧场,牛23头,9天把草吃尽。如果有牛21头,几天能把草吃尽?
摘录条件:
27头 6天 原有草+6天生长草
23头 9天 原有草+9天生长草
21头 ?天 原有草+?天生长草
解答这类问题关键是要抓住牧场青草总量的变化。设1头牛1天吃的草为"1" ,由条件可知,前后两次青草的问题相差为23×9-27×6=45。为什么会多出这45呢?这是第二次比第一次多的那(9-6)=3天生长出来的,所以每天生长的青草为45÷3=15
现从另一个角度去理解,这个牧场每天生长的青草正好可以满足15头牛吃。由此,我们可以把每次来吃草的牛分为两组,一组是抽出的15头牛来吃当天长出的青草,另一组来吃是原来牧场上的青草,那么在这批牛开始吃草之前,牧场上有多少青草呢?
(27-15)×6=72
那么:第一次吃草量27×6=162第二次吃草量23×9=207
每天生长草量45÷3=15
原有草量(27-15)×6=72或162-15×6=72
21头牛分两组,15头去吃生长的草,其余6头去吃原有的草那么72÷6=12(天)
例3. 一水库原有存水量一定,河水每天入库。5台抽水机连续20天抽干,6台同样的抽水机连续15天可抽干,若要6天抽干,要多少台同样的抽水机? 摘录条件:
5台 20天 原有水+20天入库量
6台 15天 原有水+15天入库量
?台 6天 原有水+6天入库量
设1台1天抽水量为"1" ,第一次总量为5×20=100,第二次总量为6×15=90 每天入库量(100-90)÷(20-15)=2
20天入库2×20=40,原有水100-40=60
60+2×6=7272÷6=12(台)
二、巩固训练
1、某车站在检票前若干分钟就开始排队了,每分钟来的旅客一样多,从开始检票到队伍消失(还有人在接受检票),若开5个检票口,要30分钟,开6个检票口,要20分钟。如果要在10分钟消失,要开多少个检票口?
2、画展9点开门,但早有人来排队入场,从第一个观众来到时起,若每分钟来的观众一样多,如果开3个入场口,9点9分就不再有人排队;如果开5个入场口,9点5分就没有人排队。求第一个观众到达的时间。
3、由于天气逐渐变冷,牧场上的草每天匀速减少。经过计算,牧场上的草可供20头牛吃5天,或者供16头牛吃6天,那么这片牧场上的草可供11头牛吃几天?
4、由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长大,反而以固定的速度在减少。如果牧场上的草可供20头牛吃5天,或者供15头牛吃6天,那么可供多少头牛吃10天?
三、拓展提升
1. 自动扶梯以均匀的速度由上往下行驶,小明和小红要从扶梯上楼,小明每分钟走20梯级,小红每分钟走14梯级,结果小明4分钟到达楼上,小红用5分钟到达楼上,求扶梯共有多少级?
2. 两只蜗牛由于耐不住阳光的照射,从井顶走向井底,白天往下走,一只蜗牛一个白天能走20分米,另一只只能走15分米;黑夜里往下滑,两只蜗牛下滑速度相同,结果一只蜗牛5昼夜到达井底,另一只却恰好用了6昼夜。问井深是多少?
3. 有三块草地,面积分别是5公顷,15公顷和24公顷。草地上的草一样厚而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天;第二块草地可供28头牛吃45天。那么第三块草地可供多少头牛吃80天?
4. 12头牛28天可以吃完10公亩牧场上全部牧草,21头牛63天可以吃完30公亩牧场上全部牧草。多少头牛126天可以吃完72公亩牧场上全部牧草(每公亩牧场上原有草量相等,且每公亩牧场上每天生长草量相等)?
(九) 流水行船
船在流水中航行的问题叫做行船问题。行船问题是行程问题中比较特殊的类型,它除了具备行程问题中路程、速度和时间之间的基本数量关系,同时还涉及到水流的问题,因船在江、河里航行时,除了它本身的前进速度外,还会受到流水的顺推或逆阻。
行船问题中常用的概念有:船速、水速、顺水速度和逆水速度。船在静水中航行的速度叫船速;江河水流动的速度叫水速;船从上游向下游顺水而行的速度叫顺水速度;船从下游往上游逆水而行的速度叫逆水速度。
除了行程问题中路程、速度和时间之间的基本数量关系在这里要反复用到外,行船问题还有几个基本公式要用到。
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
如果已知顺水速度和逆水速度,由和差问题的解题方法,我们可以求出船速和水速。
船速=(顺水速度+逆水速度)÷2
水速=(顺水速度-逆水速度)÷2
一、例题与方法指导
例1. 船在静水中的速度为每小时13千米,水流的速度为每小时3千米,船从甲港顺流而下到达乙港用了15小时,从乙港返回甲港需要多少小时?
根据条件,用船在静水中的速度+水速=顺水速度,知道了顺水速度和顺水时间,可以求出甲乙两港之间的路程。因为返回时是逆水航行,用船在静水中的速度-水速=逆水速度,再用甲乙两港之间的全长除以逆水速度即可求出乙港返回甲港所需时间。
解: 顺水速度:13+3=16(千米/小时)
逆水速度:13-3=10(千米/小时)
全程:16×15=240(千米)
返回所需时间:240÷10=20(千米/小时)
答:从乙港返回甲港需要24小时。
例2. 一艘小船往返于一段长120千米的航道之间,上行时行了15小时,下行时行了12小时,求船在静水中航行的速度与水速各是多少? 思路导航:
求船在静水中航行的速度是求船速,用路程除以上行的时间就是逆行速度,路程除以下行时间就是顺水速度。顺水速度与逆水速度的和除以2就是船速,顺水速度与逆水速度的差除以2就是水速。
解:逆水速度:120÷15=8(千米/小时)
顺水速度:120÷12=10(千米/小时)
船速:(10+8)÷2=9(千米/小时)
水速:(10--8)÷2=1(千米/小时)
答:船在静水中航行的速度是每小时9千米,水速是每小时1千米。
例3. 甲、 乙两港相距200千米。一艘轮船从甲港顺流而下10小时到达乙港,已知船速是水速的9倍。这艘轮船从乙港返回甲港用多少个小时? 思路导航:
根据甲、乙两港的距离和从甲港到乙港的时间可以求出顺水速度是每小时200÷10=20(千米/小时),顺水速度是船速与水速的和,已知船速是水速的9倍,可以求出水速是20÷(1+9)=2(千米/小时),船速为2×9=18(千米/小时),
逆水速度为18-2=16(千米/小时)
解:顺水速度:200 ÷10=20(千米/小时)
水速:20÷(1+9)=2(千米/小时)
船速:2×9=18(千米/小时)
逆水速度:18-2=16(千米/小时)
返回时间:200÷16=12.5(小时)
答:这艘轮船从乙港返回甲港用12.5个小时。
二、巩固训练
1. A 、B 两港间相距360千米,一艘轮船往返两港需35小时,逆流航行比顺流航行多花了5小时。另有一艘机帆船,静水中速度是每小时12千米,这艘机帆船往返两港要多少小时?
2. 甲、乙两只小船在静水中速度分别为每小时12千米和每小时16千米,两船同时从相距168千米的上、下游两港同时出发相向而行,几小时相遇?如果同向而行,甲船在前,乙船在后,几小时乙船追上甲船?
3. 一艘轮船从上游的甲港到下游的乙港,两港间的水路长72千米。已知这艘船顺水4小时能行48千米,逆水6小时能行48千米。开船时,一个小朋友放了个木制玩具在水里,船到乙港时玩具离乙港还有多少千米?
(十) 奇数与偶数
能被2整除的数叫做偶数,不能被2整除的叫做奇数。奇数平常也叫做单数,偶数也叫做双数。0也是偶数。所以。一个整数不是奇数,就是偶数。 奇数和偶数的运算有如下一些性质:
1.偶数±偶数=偶数;奇数±奇数=偶数;偶数±奇数=奇数。
2.奇数×奇数=奇数;奇数×偶数=偶数;偶数×偶数=偶数。
3.如果一个偶数能被奇数整除,那么,商必是偶数。偶数除以,如果能整除,商可能是奇数,也可能是偶数。奇数不能被偶数整除。
4.偶数的平方能被4整除,奇数的平方被4除余1。
一、例题与方法指导
例1. 用0~9这十个数码组成五个两位数,每个数字只用一次,要求它们的和是奇数,那么这五个两位数的和最大是多少?
思路导航:
有时题目的要求比较多,可先考虑满足部分要求,然后再调整,使最后结果达到全部要求。
这道题的几个要求中,满足“和最大”是最容易的。暂时不考虑这五个数的和是奇数的要求。
要使组成的五个两位数的和最大,应该把十个数码中最大的五个分别放在十位上,即十位上放5,6,7,8,9,而个位上放0,1,2,3,4。根据奇数的定义,这样组成的五个两位数中,有两个是奇数,即个位是1和3的两个两位数。 要满足这五个两位数的和是奇数,根据奇、偶数相加减的运算规律,这五个数中应有奇数个奇数。现有两个奇数,即个位数是1,3的两位数。所以五个数的和是偶数,不合要求,必须调整。调整的方法是交换十位与个位上的数字。要使五个数有奇数个奇数,并且五个数的和尽可能最大,只要将个位和十位上的一个奇数与一个偶数交换,并且交换的两个的数码之差尽可能小,由此得到交换5与4的位置。满足题设要求的五个两位数的十位上的数码是4,6,7,8,9,个位上的数码是0,1,2,3,5,所求这五个数的和是(4+6+7+8+9)×10+(0+1+2+3+5)
=351。
例2. 7只杯子全部杯口朝上放在桌子上,每次翻转其中的2只杯子。能否经过若干次翻转,使得7只杯子全部杯口朝下? 思路导航:
盲目的试验,可能总也找不到要领。如果我们分析一下每次翻转后杯口朝上的杯子数的奇偶性,就会发现问题所在。一开始杯口朝上的杯子有7只,是奇数;第一次翻转后,杯口朝上的变为5只,仍是奇数;再继续翻转,因为只能翻转两只杯子,即只有两只杯子改变了上、下方向,所以杯口朝上的杯子数仍是奇数。类似的分析可以得到,无论翻转多少次,杯口朝上的杯子数永远是奇数,不可能是偶数0。也就是说,不可能使7只杯子全部杯口朝下。
例3. 有m (m ≥2)只杯子全部口朝下放在桌子上,每次翻转其中的(m-1)只杯子。经过若干次翻转,能使杯口全部朝上吗? 思路导航:
当m 是奇数时,(m-1)是偶数。由例2的分析知,如果每次翻转偶数只杯子,那么无论经过多少次翻转,杯口朝上(下)的杯子数的奇偶性不会改变。一开始m 只杯子全部杯口朝下,即杯口朝下的杯子数是奇数,每次翻转(m-1)即偶数只杯子。无论翻转多少次,杯口朝下的杯子数永远是奇数,不可能全部朝上。 当m 是偶数时,(m-1)是奇数。为了直观,我们先从m= 4的情形入手观察,在下表中用∪表示杯口朝上,∩表示杯口朝下,每次翻转3只杯子,保持不动的杯子用*号标记。翻转情况如下:
由上表看出,只要翻转4次,并且依次保持第1,2,3,4只杯子不动,就可达到要求。一般来说,对于一只杯子,要改变它的初始状态,需要翻奇数次。对于m 只杯子,当m 是偶数时,因为(m-1)是奇数,所以每只杯子翻转(m-1)次,就可使全部杯子改变状态。要做到这一点,只需要翻转m 次,并且依次保持
第1,2,?,m 只杯子不动,这样在m 次翻转中,每只杯子都有一次没有翻转,即都翻转了(m-1)次。
综上所述:m 只杯子放在桌子上,每次翻转(m-1)只。当m 是奇数时,无论翻转多少次,m 只杯子不可能全部改变初始状态;当m 是偶数时,翻转m 次,可以使m 只杯子全部改变初始状态。
例4. 一本论文集编入15篇文章,这些文章排版后的页数分别是1,2,3,?,15页。如果将这些文章按某种次序装订成册,并统一编上页码,那么每篇文章的第一面是奇数页码的最多有几篇?
可以先研究排版一本书,各篇文章页数是奇数或偶数时的规律。一篇有奇数页的文章,它的第一面和最后一面所在的页码的奇偶性是相同的,即排版奇数页的文章,第一面是奇数页码,最后一面也是奇数页码,而接下去的另一篇文章的第一面是排在偶数页码上。一篇有偶数页的文章,它的第一面和最后一面所在的页码的奇偶性是相异的,即排版偶数页的文章,第一面是奇(偶)数页码,最后一面应是偶(奇)数页码,而紧接的另一篇文章的第一面又是排在奇(偶)数页码上。
以上说明本题的解答主要是根据奇偶特点来处理。
题目要求第一面排在奇数页码的文章尽量多。首先考虑有偶数页的文章,只要这样的第一篇文章的第一面排在奇数页码上(如第1页),那么接着每一篇有偶数页的文章都会是第一面排在奇数页码上,共有7篇这样的文章。然后考虑有奇数页的文章,第一篇的第一面排在奇数页码上,第二篇的第一面就会排在偶数页码上,第三篇的第一面排在奇数页码上,如此等等。在8篇奇数页的文章中,有4篇的第一面排在奇数页码上。因此最多有7+4=11(篇)文章的第一面排在奇数页码上。
二、巩固训练
1. 有大、小两个盒子,其中大盒内装1001枚白棋子和1000枚同样大小的黑棋子,小盒内装有足够多的黑棋子。阿花每次从大盒内随意摸出两枚棋子,若
摸出的两枚棋子同色,则从小盒内取一枚黑棋子放入大盒内;若摸出的两枚棋子异色,则把其中白棋子放回大盒内。问:从大盒内摸了1999次棋子后,大盒内还剩几枚棋子?它们都是什么颜色?
2. 一串数排成一行:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,?到这串数的第1000个数为止,共有多少个偶数?
三、拓展提升
1. 在11,111,1111,11111,?这些数中,任何一个数都不会是某一个自然数的平方。这样说对吗?
2. 一本书由17个故事组成,各个故事的篇幅分别是1,2,3,?,17页。这17个故事有各种编排法,但无论怎样编排,故事正文都从第1页开始,以后每一个故事都从新一页码开始。如果要求安排在奇数页码开始的故事尽量少,那么最少有多少个故事是从奇数页码开始的?
3. 桌子上放着6只杯子,其中3只杯口朝上,3只杯口朝下。如果每次翻转5只杯子,那么至少翻转多少次,才能使6只杯子都杯口朝上?
4.70个数排成一行,除了两头的两个数以外,每个数的3倍都恰好等于它两边的两个数的和,这一行数的最左边的几个数是这样的:0,1,3,8,21,?问:最右边的一个数是奇数还是偶数?
5. 学校组织运动会,小明领回自己的运动员号码后,小玲问他:“今天发放的运动员号码加起来是奇数还是偶数?”小明说:“除开我的号码,把今天发的其它号码加起来,再减去我的号码,恰好是100。”今天发放的运动员号码加起来,到底是奇数还是偶数?
6. 在黑板上写出三个整数,然后擦去一个换成所剩两数之和,这样继续操作下去,最后得到88,66,99。问:原来写的三个整数能否是1,3,5?
(十一) 周期性问题
在日常生活中,有一些现象按照一定的规律不断重复出现。如:人调查十二生肖:鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪;一年有春夏秋冬四个季节;一个星期有七天等。像这样日常生活中常碰到的有一定周期的问题,我们称为简单周期问题。这类问题一般要利用余数的知识来解决。
在研究这些简单周期问题时,我们首先要仔细审题,判断其不断重复出现的规律,也就是找出循环的固定数,如果正好有个整数周期,结果为周期里的最后一个;如果不是从第一个开始循环,利用除法算式求出余数,最后根据余数的大小得出正确的结果。
一、例题与方法指导
例1. 某年的二月份有五个星期日,这年六月一日是星期_____.
因为7?4=28,由某年二月份有五个星期日,所以这年二月份应是29天,且2月1日与2月29日均为星期日,3月1日是星期一,所以从这年3月1日起到这年6月1日共经过了
31+30+31+1=93(天).
因为93÷7=13?2,所以这年6月1日是星期二.
例2. 1989年12月5日是星期二, 那么再过十年的12月5日是星期_____. 思路导航:
依题意知,这十年中1992年、1996年都是闰年,因此,这十年之中共有 365?10+2=3652(天)
因为(3652+1)÷7=521?6,所以再过十年的12月5日是星期日.
[注]上述两题(题1—题2) 都是推断若干天、若干月或若干年后某一天为星期几,解答这类问题主要依据每周为七天循环的规律,运用周期性解答. 在计算天数时, 要根据“四年一闰,整百不闰,四百年才又一闰”的规定,即公历年份不是整百数时,只要是4的倍数就是闰年,公历年数为整百数时,必须是400的倍数才是闰年.
例3. 按下面摆法摆80个三角形, 有_____个白色的.
??
从图中可以看出, 三角形按“二黑二白一黑一白”的规律重复排列,也就是这一排列的周期为6,并且每一周期有3个白色三角形.
因为80÷6=13?2,而第十四期中前两个三角形都是黑色的,所以共有白色三角形13?3=39(个).
例4. 节日的校园内挂起了一盏盏小电灯,小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯. 也就是说, 从第一盏白灯起, 每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯, 小明想第73盏灯是_____灯.
依题意知, 电灯的安装排列如下:
白, 红, 黄, 绿, 白, 红, 黄, 绿, 白, ??这一排列是按“白,红,黄,绿”交替循环出现的,也就是这一排列的周期为4.
由73÷4=18?1, 可知第73盏灯是白灯.
例5. 时针现在表示的时间是14时正, 那么分针旋转1991周后, 时针表示的时间是_____.
分针旋转一周为1小时, 旋转1991周为1991小时. 一天24小
时,1991÷24=82?23,1991小时共82天又23小时. 现在是14时正, 经过82天仍然是14时正, 再过23小时, 正好是13时.
[注]在圆面上, 沿着圆周把1到12的整数等距排成一个圈, 再加上一根长针和一根短针, 就组成了我们天天见到的钟面. 钟面虽然是那么的简单平常, 但在钟面上却包含着十分有趣的数学问题, 周期现象就是其中的一个重要方面.
二、巩固训练
1. 把自然数1,2,3,4,5??如表依次排列成5列,那么数“1992”在_____列.
2. 把分数化成小数后,小数点第110位上的数字是_____. 7
99251 4567 与0. 3 . 这两个循环小数在小数点后第_____位, 73. 循环小数0. 1
首次同时出现在该位中的数字都是7.
4. 一串数: 1,9,9,1,4,1, 4,1,9,9,1,4,1,4,1,9,9,1,4,
??共有1991个数.
(1)其中共有_____个1,_____个9_____个4;
(2)这些数字的总和是_____.
?7?7???7所得积末位数是_____.
50个
三、拓展提升
1. 紧接着1989后面一串数字,写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数. 例如8?9=72,在9后面写2,9?2=18,在2后面写8, ??得到一串数字:
1 9 8 9 2 8 6??
这串数字从1开始往右数,第1989个数字是什么?
2. 1991个1990相乘所得的积与1990个1991相乘所得的积,再相加的和末两位数是多少?
3. 设n 2?2????,那么n 的末两位数字是多少?
1991个
4.在一根长100厘米的木棍上,自左至右每隔6厘米染一个红点,同时自右至左每隔5厘米也染一个红点,然后沿红点处将木棍逐段锯开,那么长度是1厘米的短木棍有多少根?
范文三:五年级奥数上册
巧算(一)
德国大教育家高斯(1777-1855)读小学的时候,有一天,老师出了这样一 道题:
1+2+3+? +99+100的和是多少?
老师刚把这道题说完,小高斯已迅速、准确地说出了答案 5050,这令班上 的同学吃惊不已。原来高斯是用一种巧妙的方法算出这道题的。后来人们称这 种计算方法为“高斯原理” 。
同学们一定想提高自己的计算能力, 使自己计算时算得又快又巧。 这一讲, 我们学习整数的巧算,也就是根据数的 点,数的排列规律,巧妙地运用运算 定律或性质,使计算简便。
例题与方法
例 1.计算(1+3+5+? +1999) -(2+4+6+? +1998)
例 2.计算 99999×77778+33333×66666
例 3.计算
654321×123456-654322×123455=654321*123456-654321*123455-123455 例 4.计算 1234562-1234552
例 5. 9=3×3, 16=4×4,这里“ 9”和“ 16”都叫做“完全平方数” 。在前 300个自然数中, “完全平方数”的和是多少?
练习与思考
1.计算 1+2+3+? +199+200
2.计算 100+99-98+97-96+? 3-2+1
3.计算 1961+1971+1981+1991+2001
4.计算 1990-1985+1980-1975+? +20-15+10-5
5.计算 999+99+9+9999+99999
6.计算 33333×66666
7.计算 9999×2222+3333×3334
8.计算 1989×1999-1988×2000
9.计算 1999+999×999
10.计算 3333332
11.已知数列 1, 4, 7, 10,?
(1)这列数的第 21项是多少?
(2) 118是这列数中的第几个数?
12.在前 200个自然数中,去掉所有的“完全平方数” ,剩下的自然数的和 是多少?
13.计算 2974×3026
14.计算 202-192+182-172+? +22-12
15.计算 1997×19981998-1998×19971997
巧算(二)
上一讲我们学习了整数的巧算,这一讲我们学习小数的巧算。
例 1.计算 578.47-4.62-78.47-3.38
例 2.计算 0.9999×1.3-0.1111×2.7
例 3.计算 3.6×31.4+43.9×6.4
例 4. 7.37×12.5×0.15×16
例 5.计算 0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.99
例 6.计算(44332-443.32)÷(88664-886.64)
练习与思考
用简便方法计算下面各题。
1. 15.4-2.17-3.83+4.6
2. 25.6-(0.23+5.6)-51.7
3. 146.95-48.3-6.95-51.7
4. 12.5×0.64×2.5
5. 36.3×4.5+6.37×45
6. 1+0.2+0.3+0.4+0.5+8.9+8.8+8.7+8.6+8.5
7. 0.876+0.765+0.654+0.543+0.432
8. 36×2.54+1.8×49.2
9. 5.76×1.1+57.7×0.89
10. (22944-22.944) ÷(45888-45.888)
11. 16.15÷1.8+1.85÷1.8
12.(4.8+3.6+2.4+1.2) ÷1.8
13.2.8×7.2×5.1÷2.8÷3.6÷5.1
14.0.7777×0.7+0.1111×2
15.(1+1.2)+(2+1.2×2)+(3+1.2×3)+? +(99+1.2×99)+(100+1.2×100)
平面图形的计算(一)
在这两讲,我们主要讨论这样的问题:根据已知平面图形的特点以及图中 各部分之间的关系,应用公式或其他数量关系,计算出该图形(或其中某个部 分)的面积或图形中有关线段的长度。
到目前为止,我们已经学过了长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯 形这五咱简单图形,它们的概念、性质(特征)与它们的周长、面积的意义的 计算公式,课本上都作了介绍。这些都是我们解答“图形计算”问题所必需的 基础知识。
例题与方法
例 1.图中的甲和乙都是正方形,求阴影部
分的面积。 (单位:厘米)
例 2.计算右图的面积。 (单位:
厘米)
例 3.如图,已知四条线段的长分 别是:AB=2厘 米, CE=6厘米, CD=5厘米, AF=4厘米,并且有两个直角。求四边形 ABCD 的面 积。
例 4.右图是两面三刀个相同的直角三角形叠在一起,求阴影部分的面积。 (单位:分米)
例 5.下页左图是一块长方形草地,长方形的长是 16,宽是 10,中间有两 条道路,一条是长方形,一条是平行四边形,那么,有草部分(阴影部分)的 面积有多大?(单位:米)
练习与思考
1.求图中阴影部分的面积。
2.求图中阴影部分的面积。
3.下左图的长方形中,三角形 ADE 与四边形 DEBF 和三角形 CDF 的面积分 别相等,求三角形 DEF 的面积。
4.四中平等四边形 ABCD 的边 BC 长 10厘米,直角三角形 BCE 的直角边 EC 长 8厘米,已知阴影部分的面积比三 角形 EFG 的面积大 10平方厘米,求 CF 的长。
5.图中三角形的高为 4,面积为 16;长方形的宽为 6,长方形的面积是三 角形面积的多少倍?
6.如图,长方形的长是 8,宽是 6, A 和 B 是宽的中点,求长方形内阴影 部分的面积。
7.如图, BC 长为 5,求画斜线的两个三角形的面积之和。
8.上右图是两个一样的直角三角形重叠在一起,按照图上标出的数,计算 阴影部分的面积。
9.右图是一块长方形草地,长方形长为 16,宽为 12,中间有一条宽为 2的道路,求草地(阴影部分)的面积。
平面图形的计算(二)
例 1.一个正方形,如果它的边长增加 5厘米,那么,所成的正方形比原 来正方形的面积多 95平方厘米。原来的正方形的面积是多少平方厘米?
例 2. 右图中由 9个小长方形组成的一个大长方形。按图中的编号, 1号、 2号、 3号、 4号、 5号长方形的面积依次为 1平方厘米、 2平方厘米、 3平方 厘米、 4平方厘米、 5平方厘米。求 6号长方形的面积。
例 3.右图中三角形 ABC 为等边三角形, D 为 AB 边上的中点。已知三角形 BDE
的面积为 5平方厘米。求等边三角形 ABC 的面积。
例 4.右图中长方形的长为 12厘米,宽为 6厘米。把它的长 3等分,宽 2等分,然后在长方形内任取一点,把这一点与分点及顶点连结(如图) 。求图 中阴影部分的面积。
例 5.把一块边长为 9.5分米的正方形钢板切割成两条直角边分别为 4.5分米的直角三角形小钢板,最多可以切割成多少块?
练习与思考
1.有四个完全一样的直角三角形,它们的两条直角边分别是 7厘米、
5厘米。把它们拼成下左图图的正方形,求大、小两个正方形的面积。
2.上右图中,大、小两个正方形对应边的距离均为 1厘米。已知两个正方 形之间部分的面积是 20平方厘米,求小正方形的面积。
3.求下左图中阴影部分的面积。 (单位:厘米)
4.上右图中,长方形的周长是多少厘米?(单位:厘米)
第 2题
5. 下左图中, 甲三角形的面积比乙三角形的面积大多少平方厘米? (单位:厘米)
6.求图中阴影部分的面积。 (单位:厘米)
7.如图,在腰长为 10厘米,面积为 34平方厘米的等腰三角形的底边上任 意取一点,设这个点到两腰的垂线段分别长 a 厘米和 b 厘米,那么, a+b的长 度是多少厘米?
8.一个正方形,面积为 18.75平方厘米。在正方形内有两条平行于对角的 线段把正方形分成 3等份(如图) 。图中线段 AB 、 CD 各长多少厘米?
9.如图,在梯形 ABCD 中, BO 的长度等于 DO 长度的 2倍,阴影部分的面 积是 4平方分米。求梯形 ABCD 的面积。
10.在等腰三角形 ABC 中, AB 的长度
是 AC 的 2倍,如果这个等腰三角形中的周长是 200
厘米,那
么, BC 长多少厘米?
11.一个梯形,它的下底是上底的 2倍。如果上底延长 7厘米,就形成一 个面积是 42平方厘米的平行四边形。这个梯形的面积是多少平方厘米?
12.一个直角梯形的周长是 48厘米,两底之和是两腰之和的 4倍,一条腰 的长度是另一条腰的 1.5倍。还应这个梯形的面积。
13.一个长方形,如果长增加 2厘米,宽增加 5厘米,那么,面积增加 60平方厘米,这时恰好成为一个正方形。原来长方形的面积是多少平方厘米?
列方程解应用题(一)
列方程解应用题是小学数学的一项重要内容,是一种不同于算术解法的新 的解题方法。
传统的算术方法,要求用应用题里给出的已知条件,通过四则运算,逐步 求出未知量。而列方程解应用题是用字母来代替未知数,根据等量关系,列出 含有未知数的等式,也就是方程,然后解出未知数的值。它的优点在于可以使 未知数直接参加运算。
列方程解应用题的关键在于能够正确地设立未知数,找出等量关系,从而 建立方程。而找出等量关系,又在于熟练运用数量之间的各种已知条件。掌握 了这两点,就能正确地列出方程。
列方程解应用题的一般步骤是:
1.弄清题材意,找出未知数,并用 x 表示;
2.找出应用题中数量之间的相等关系,列方程;
3.解方程;
4.检验,写出答案。
例题与方法
例 1.一个数的 5倍加上 10等于它的 7倍减去 6,求这个数。
例 2.两块地一共 100公顷,第一块地的 4们比第二块地的 3倍多 120公 顷。这两块地各有多少公顷?
例 3.琅琊路小学少年数学爱好者俱乐部五年级有三个班,一班人数是三 班人数的 1.12倍,二班比三班少 3人,三个班共有 153人。三个班各有多少 人?
例 4.被除数与除数的和是 98,如果被除数与除数都减去 9,那么,被除 数是除数的 4倍。求原来的被除数和除数。
练习与思考
1.列方程解应用题,有时要求的未知数有两个或两个以上,我们必须 视具体情况,设对解题有利的未知数为 x ,根据数量关系用含有 x 的式子来表 示另一个未知数。
2.篮球、足球、排球各 1个,平均每个 36元。篮球比排球贵 10元,足球 比排球贵 8元。每个排球多少元?
3. 一次数学竞赛有 10道题, 评分规定对一道题得 10分, 错一题倒扣 2分。 小明回答了全部 10道题,结果只得了 76分,他答对了几道题?
.
5.拉萨路小学图书馆一个书架上有上、下两层,一共有 245本书。上层每 天借出 15本,下层每天借出 10本, 3天后,上、下两层剩下图书的本数一样 多。上、下两层原来各有图书多少本?
6.甲、乙、丙三个数的和是 166,已知甲数除以乙数,乙数除以丙数都是 商 3余 2,甲、乙、丙三个数各是多少?
7.玲玲今年 11岁,爷爷今年 74岁。再过几年,爷爷的年龄是玲玲年龄的 4倍?
8. 甲、乙两个养鸡专业户,一共养鸡 3000只。乙养鸡专业户卖掉 800只鸡 后,甲养鸡专业户养鸡的只数正好是乙养鸡专业户剩下的 3倍。甲、乙两个养 鸡专业户原来各养鸡多少只?
列方程解应用题(二)
这一讲我们继续学习列方程解应用题。列方程解应用题,关键是掌握分析 问题的方法,对应用题中数量关系分析得越深刻,所列的方程就越优化,解答 起来就越方便。
例题与方法
例 1.六(1)班同学合买一件礼物送给母校留作纪念。如果每人出 6元,则多 48元;如果每人出 4.5元,则少 27元。求六(1)班学生人数。
例 2.五老村小学体育器材室里的足球个数是排球的 2倍。体育活动课上, 每班借 7个足球, 5个排球,排球借完时,还有足球 72个。体育器材室里原有 足球、排球各多少个?
例 3.甲、乙、丙、丁四人共做零件 325个。如果甲多做 10个,乙少做 5个,丙做的个数乘以 2,丁做的个数除以 3,那么,四个人做的零件数恰好相 等。问:丁做了多少个?
.
练习与思考
1.妈妈买回一箱库尔勒香梨,按计划天数,如果每天吃 4个,则多出
24个香梨;如果每天吃 6个,则又少 4个香梨。问:计划吃多少天?妈妈买回 香梨多少个?
2.一架飞机所带的燃料最多可以用 9小时,飞机去时顺风,每小时可飞 1500千米;返回时逆风,每小时可以飞 1200千米。这架飞机最多飞出多少千 米,就需要往回飞?
3.某商店库存的花布比白布的 2倍多 20米每天卖出 30米白布和 40米花 布,几天以后,白布全部卖完,而花布还剩下 140米。原来库存这两种布共多 少米?
4.一条大鲨鱼,头长 3米,身长等于头长加尾长,尾长等于头长加身长的 一半。这条大鲨鱼全长是多少米?
5.甲、乙从东镇去西镇,丙从西镇去东镇,三人同时出发,途中丙与乙相 遇 2分后又遇到甲。如果每分甲行 50米,乙行 60米,丙行 70米,问:乙比 甲早多少分到西镇?
6.供销社张叔叔买回一批酒精,放在甲、乙两个桶里,两个桶都未装满。 如果把甲酒精倒入乙桶,乙桶装满后,甲桶还剩下 10升;如果把乙桶酒精全 部倒入甲桶,甲桶还能再盛 20升。已知甲桶容量是乙桶的 2.5倍,张叔叔一 共买回多少升酒精?
7. 一个两位数十位止的数字比个位上的数字扩大 4倍, 个位上的数字减去 2,那么,所得的两位数比原来大 58。求原来的两位数。
8. 如右图, 正方形 ABCD 的边长是 8厘米, 三角形 ADF 的面积比三角形 CEF 的面积小 6平方厘米。求 CE 的长。
植树问题
四(1)班同学每年都要开展一次植树活动,去年为一条长 100米的马路一 边植树(如图 1) ,今年为一个周长 80米的正方形花园四周植树(如图 2) ,每次 都是每隔 5米植一棵,问四(1)班这次分别种了多少棵?
同学们, 你会做这道题吗?像这一类研究植树棵树, 每棵距离与总长度之间 数量关系的应用问题叫做植树问题。它的数量关系式分两种情况:
第一种情况:在不封闭线路中的植树问题,它可以分为以下三类:
1、如果两端都植树:植树棵树 =总长度 ÷每棵距离 +1
2、如果一端植树另一端不植树:植树棵数 =总长度 ÷每棵距离
3、如果两端都不植树:植树棵数 =总长度 ÷每棵距离 -1
第二种情况:在一个封闭图形四周植树:植树棵数 =总长度 ÷每棵距离。
例题 1、中心小学在一条道路一边种树 18棵,每隔 6米种一棵,道路两端各栽 一棵。问这条道路长多少米?
试一试 1、在一条马路的一边植树 30棵,两端都栽,每相邻两棵树之间相隔 8米,这条马路长多少米?
例题 2、在一座 400米的大桥两旁悬挂彩灯,每两盏灯之间相隔 5米,连两头在 内共需悬挂多少盏彩灯?
试一试 2、在一条长 2400米的公路两旁插彩旗,相邻两面彩旗相距 30米,在这 条公路上共插彩旗多少面?
例题 3、一块三角形地,三角边分别长 156米、 234米、 186米,在这三条边长 上植树,株距 6米,共植树多少棵?
试一试 3、小朋友做游戏,围成一个长 8米,宽 6米的长方形,每 2个小朋友之 间相距 2米。问共有多少个小朋友在做这个游戏?
例题 4、时钟 4点钟敲 4下, 6秒钟敲完。那么 10点钟敲 10下,几秒钟敲完?
试一试 4、玲从一层走到三层用 32秒,以同样的速度从三层走到十三层又需多 少秒?
例题 5、市第一中学有一个大三角形花坛,如图,它是由四个大小一样的小三角 形组成的,已知每个小三角形的每条边上种花 8朵,而且每个角上都种 1棵, 那么一共种花多少棵?
试一试 5、四(2)班同学编排舞蹈,队形如右图,每个小三角形的每条边等距 离的排 5人,每个顶点上都安排 1人,问这个舞蹈共有多少人参加?
例题 6、有一个圆形花园长 120米。若沿这个花园每隔 6米栽一株丁香花,再在 相邻的两株丁香花之间等距离地栽 2株月季花, 丁香和月季共栽了多少株?每两 株相邻花之间的距离是多少米?
试一试 6、有一个圆形大花坛,周长是 180米,每隔 18米栽一棵杨树,每两棵 杨树之间等距离地栽了 2棵银杏树。 问花坛周围共栽树多少棵?每两棵相邻的树 之间相距多少米?
例题 7、一国际大厦共有 35层,每层楼梯都是 20阶。有一天,大厦停电,有一 位在 16层的旅客只好步行上楼,他要走多少阶楼梯才能到达自己住的那层楼, 另一位旅客实在无奈, 只好边走边数当他数到第 380阶时, 抬头一看正是他住的 那层楼,你知道他住第几层吗?
试一试 7、金桥大厦共 22层,每层楼梯都是 18阶。有一天,大厦停电,有一位 住在顶层的旅客只好步行上楼, 他要走多少阶楼梯才能到达自己住的那层楼?另 一旅客走了 252阶楼梯到了他住的那层楼,那么这位旅客住第几层楼?
综练:
1、 “六一”儿童节,在教室黑板上挂了 8朵彩花,两端都挂每 2朵彩花之间相隔 5分米,那么黑板长多少分米?
2、在展览厅的一面长 150米的墙上挂画(两端不挂) ,每隔 3米挂一幅,上下平 行挂两排,这面墙上可挂多少幅画?
3、 一个边长为 60米的游泳池, 沿池的周围每隔 6米摆放一个小箱子, 共需摆多 少个箱子?
4、小华和小峰比赛爬楼梯,小华从一楼到四楼用了 150秒,小峰从三楼爬到八 楼用了 200秒,谁爬得快?
5、有一个正六边形花坛,在这个花坛里的每条边上种玫瑰(如图) ,若每个小三 角形每边种 7棵,则这个花坛里一共种多少棵玫瑰?
6、有一条公路长 450米,每隔 18米栽一棵柳树,两端都栽,在柳树之间以相等 的距离栽 3棵槐树,问共栽树多少棵?
7、植树节那天,同学们在街道的一旁种树,计划每 6棵树之间的距离是 15米, 照这样计算,种 15棵树的距离是多少米?如果在计划栽 15棵树的这段距离上, 改成每隔 2米栽一棵,可以栽多少棵树?
8、 在 1200米的道路上, 最少种多少棵树, 才能保证至少有两棵树之间的距离小 于 15米?
考练:
1、庆元旦,道路两旁插红旗,红旗已经插了 16面,两头都插,每两面红旗中间 摆 2盆花,一共摆多少盆花?
2、 一个长为 200米, 宽为 120米长方形植物园, 在这个植物园四周每隔 16米竖 立一块 “ 爱护花草树木 ” 的标语牌,一共需木牌多少块?
3、一个排列整齐的小区,从前往后,第一幢楼房与第三幢楼房之间相距 18米, 问第一幢与第十五幢之间相距多少米?
4、如下图:这是一个大型广场的灯光造型,每个交叉点上有一盏灯,每个小三 角形的每条边有 4盏灯。问摆成这样一个造型共需多少盏灯?
5、一个湖泊周长 1800米,沿湖泊周围每隔 12米栽一棵柳树,每两棵柳树中间 栽一棵桃树和一棵杏树,湖周围每相邻两棵树之间的距离是多少米?
6、四年级学生参加广播操比赛,排成 5路纵队,队伍长 20米,每路纵队中的前 后两人相距 1米,问四年级共有学生多少人?
7、 高新开发区的马路边均匀地栽着一行槐树, 林林从第 1棵槐树走到第 19棵槐 树用了 9分钟, 林林又往前走了几棵树后就往回走。 当他回到第 5棵树时共用了 36分钟,林林走到第几棵槐树开始往回走?
8、某市有 1000人参加游行庆祝活动,将 1000人平均分成 5个列队,每个列队 又以 20人为一排,排与排之间相隔 1米。列队与列队之间相隔 8米,这支游行 队伍全长多少米?
长方形、正方形的周长
第 3周 长方形、正方形的周长
同学们都知道,长方形的周长 =(长+宽)×2,正方形的周长 =边长×4。 长方形、 正方形的周长公式只能用来计算标准的长方形和正方形的周长。 如何应 用所学知识巧求表面上看起来不是长方形或正方形的图形的周长, 还需同学们灵 活应用已学知识, 掌握转化的思考方法, 把复杂的问题转化为标准的图形, 以便 计算它们的周长。
例 1 有 5张同样大小的纸如下图(a )重叠着,每张纸都是边长 6厘米的 正方形,重叠的部分为边长的一半,求重叠后图形的周长。
思路与导航 根据题意,我们可以把每个正方形的边长的一半同时向左、 右、上、下平移(如图 b ) ,转化成一个大正方形,这个大正方形的周长和原来 5个小正方形重叠后的图形的周长相等。因此,所求周长是 18×4=72厘米。
练习一
1,下图由 8个边长都是 2厘米的正方形组成,求这个图形的周长。
2,下图由 1个正方形和 2个长方形组成,求这个图形的周长。
3,有 6块边长是 1厘米的正方形,如例题中所说的这样重叠着,求重叠后 图形的周长。
例 2 一块长方形木板,沿着它的长度不同的两条边各截去 4厘米,截掉的面积 为 192平方厘米。现在这块木板的周长是多少厘米?
思路导航 把截掉的 192平方厘米分成 A 、 B 、 C 三块(如图) ,其中 AB 的
面积是 192-4×4=176(平方厘米) 。把 A 和 B 移到一起拼成一个宽 4厘米的长 方形, 而此长方形的长就是这块木板剩下部分的周长的一半。 176÷4=44(厘米) , 现在这块木板的周长是 44×2=88(厘米) 。
练习二
1,有一个长方形,如果长减少 4米,宽减少 2米,面积就比原来减少 44平方米,且剩下部分正好是一个正方形。求这个正方形的周长。
2,有两个相同的长方形,长是 8厘米,宽是 3厘米,如果按下图叠放在一 起,这个图形的周长是多少?
3,有一块长方形广场,沿着它不同的两条边各划出 2米做绿化带,剩下的 部分仍是长方形,且周长为 280米。求划去的绿化带的面积是多少平方米?
例 3 已知下图中,甲是正方形,乙是长方形,整个图形的周长是多少?
思路导航 从图中可以看出,整个图形的周长由六条线段围成,其中三条 横着, 三条竖着。 三条横着的线段和是 (a +b ) ×2, 三条竖着的线段和是 b ×2。
所以,整个图形的周长是(a +b )×2+b ×2,即 2a +4b 。
练习三
1,有一张长 40厘米,宽 30厘米的硬纸板,在四个角上各剪去一个同样大 小的正方形后准备做一个长方体纸盒,求被剪后硬纸板的周长。
2,一个长 12厘米,宽 2厘米的长方形和两个正方形正好拼成下图(1)所 示长方形,求所拼长方形的周长。
3,求下面图形(图 2)的周长(单位:厘米) 。
图(1) 图(2)
例 4 下图是边长为 4厘米的正方形,求正方形中阴影部分的周长。
思路导航 我们把阴影部分周长中左边的 5条线段全部平移到左边,其和 正好是 4厘米。再把下面的线段全部平移到下面,其和也正好是 4厘米。因此, 阴影部分的周长与边长是 4厘米的正方形的周长是相等的。
练习四
1,求下面图形的周长(单位:厘米) 。
2,在()里填上“>” 、 “<”或“ =”="">”或“>
甲的周长()乙的周长
3,下图中的每一小段的长度都相等,求图形的周长。
例 5 如下图,阴影部分是正方形, DF=6厘米, AB=9厘米,求最大的长方形的 周长。
分析 根据题意可知,最大长方形的宽就是正方形的边长。因为 BC=EF, CF=DE,所以, AB +BC +CF=AB+FE +ED=9+6=15(厘米) ,这正好是最大长方形 周长的一半。因此,最大长方形的周长是(9+6)×2=30(厘米) 。
练习五
1,下面三个正方形的面积相等,剪去阴影部分的面积也相等,求原来正方 形的周长发生了什么变化?(单位:厘米)
2,下面是一个零件的平面图,图中每条短线段都是 5厘米,零件长 35厘 米,高 30厘米。这个零件的周长是多少厘米?
3,有两个相同的长方形,长 7厘米,宽 3厘米,如下图重叠着,求重叠图 形的周长。
第 4周 长方形、正方形的面积
专题简析:
长方形的面积 =长×宽,正方形的面积 =边长×边长。掌握并能运用这两个 面积公式,就能计算它们的面积。
但是,在平时的学习过程中,我们常常会遇到一些已知条件比较隐蔽、图 形比较复杂、 不能简单地用公式直接求出面积的题目。 这就需要我们切实掌握有 关概念,利用“割补” 、 “平移” 、 “旋转”等方法,使复杂的问题转化为普通的求 长方形、正方形面积的问题,从而正确解答。
例 1 已知大正方形比小正方形边长多 2厘米, 大正方形比小正方形的面积大 40平方厘米。求大、小正方形的面积各是多少平方厘米?
分析 从图中可以看出,大正方形的面积比小正方形的面积大出的 40平方 厘米,可以分成三部分,其中 A 和 B 的面积相等。因此,用 40平方厘米减去阴 影部分的面积,再除以 2就能得到长方形 A 和 B 的面积,再用 A 或 B 的面积除 以 2就是小正方形的边长。 求到了小正方形的边长, 计算大、 小正方形的面积就 非常简单了。
练 习 一
1,有一块长方形草地,长 20米,宽 15米。在它的四周向外筑一条宽 2米的小 路,求小路的面积。
2,正方形的一组对边增加 30厘米,另一组对边减少 18厘米,结果得到一个与
原正方形面积相等的长方形。原正方形的面积是多少平方厘米?
3,把一个长方形的长增加 5分米,宽增加 8分米后,得到一个面积比原长方形 多 181平方分米的正方形。求这个正方形的边长是多少分米?
例 2 一个大长方形被两条平行于它的两条边的线段分成四个较小的长方形, 其 中三个长方形的面积如下图所求,求第四个长方形的面积。
分析 因为 A E ×CE=6, DE ×EB=35,把两个式子相乘 A E ×CE ×DE ×EB=35×6,而 CE ×EB=14,所以 AE ×DE=35×6÷14=15。
练 习 二
1, 下图一个长方形被分成四个小长方形, 其中三个长方形的面积分别是 24平方 厘米、 30平方厘米和 32平方厘米,求阴影部分的面积。
2,下面一个长方形被分成六个小长方形,其中四个长方形的面积如图所示(单 位:平方厘米) ,求 A 和 B 的面积。
B
1224
A 45
15
3,下图中阴影部分是边长 5厘米的正方形,四块完全一样的长方形的宽是 8厘 米,求整个图形的面积。
例 3 把 20分米长的线段分成两段,并且在每一段上作一正方形,已知两个 正方形的面积相差 40平方分米,大正方形的面积是多少平方分米?
分析 我们可以把小正方形移至大正方形里面进行分析。 两个正方形的面积 差 40平方分米就是图中的 A 和 B 两部分,如图。如果把 B 移到原来小正方形的 上面,不难看出, A 和 B 正好组成一个长方形,此长方形的面积是 40平方分米, 长 20分米,宽是 40÷20=2(分米) ,即大、小两个正方形的边长相差 2分米。 因此,大正方形的边长就是(20+2)÷2=11(分米) ,面积是 11×11=121(平方 分米)
练 习 三
1,一块正方形,一边划出 1.5米,另一边划出 10米搞绿化,剩下的面积比原来 减少了 1350平方米。这块地原来的面积是多少平方米?
2,一个正方形,如果它的边长增加 5厘米,那么,面积就比原来增加 95平方厘 米。原来正方形的面积是多少平方厘米?
3, 有一个正方形草坪, 沿草坪四周向外修建一米宽的小路, 路面面积是 80平方 米。求草坪的面积。
例 4 有一个正方形 ABCD 如下图, 请把这个正方形的面积扩大 1倍, 并画出来。
分析 由于不知道正方形的边长和面积, 所以, 也没有办法计算出所画正方 形的边长或面积。 我们可以利用两个正方形之间的关系进行分析。 以正方形的四 条边为准,分别作出 4个等腰直角三角形,如图中虚线部分,显然,虚线表示的 正方形的面积就是原正方形面积的 2倍。
练 习 四
1,四个完全一样的长方形和一个小正方形组成了一个大正方形,如果大、小正 方形的面积分别是 49平方米和 4平方米,求其中一个长方形的宽。
2, 正图的每条边都垂直于与它相邻的边, 并且 28条边的长都相等。 如果此图的 周长是 56厘米,那么,这个图形的面积是多少?
3,正图中,正方形 ABCD 的边长 4厘米,求长方形 EFGD 的面积。
例 5 有一个周长是 72厘米的长方形,它是由三个大小相等的正方形拼成的。 一个正方形的面积是多少平方厘米?
分析 三个同样大小的正方形拼成的长方形, 它的周长是原正方形边长的 8倍,正方形的边长为 72÷8=9(厘米) ,一个正方形的面积就是 9×9=81(平方厘 米) 。
练 习 五
1, 五个同样大小的正方形拼成一个长方形, 这个长方形的周长是 36厘米, 求每 个正方形的面积是多少平方厘米?
2,有一张长方形纸,长 12厘米,宽 10厘米。从这张纸上剪下一个最大的正方 形后,剩下部分的周长是多少厘米?
3,有一个小长方形,它和一个正方形拼成了一个大长方形 ABCD (如下图) ,已 知大长方形的面积是 35平方厘米, 且周长比原来小长方形的周长多 10厘米。 求 原来小长方形的面积。
一般应用题
在小学里,通常把应用题分为“一般应用题”和“典型应用题 |”两大类。 “典 型应用题”
有基本的数量关系、 解题模式, 较复杂的问题可以通过 “转化” , 向基本的问题靠拢。 我们已经学过的“和差问题” 、和“倍差问题”等等,都是“典型应用题” 。 “一般应 用题 |”没有各顶的数量关系,也没有可以以来的 解题模式。解题时要具体问题具 体分析,在认真审题,理解题意的基础上,理清一知条件与所求问题之间的数量关 系,从而确定解题的方法。对于比较复杂的问题,可以借助线段图、示意图、直观 演示等手段帮助分析。
例题与方法
例 1、把一条大鱼分成鱼头、鱼身、鱼尾三部分,鱼尾重 4千克,鱼头的重量 等于鱼尾的重量加身一般的重量,而鱼身体、的重量等于鱼头的重量加上鱼尾的重 量。这条鱼重多少千克?
例 2、一所小学的五年级有四个班,其中五(1)班和五(2)班共有 81人,五(2) 班和五(3)班共有 83人五(3)班和五(4)班共有 86人,五(1)班比五(4)班多 2人。这所学校五年级四个班各有多少人?
例 3、甲、乙两位渔夫在和边掉鱼,甲钓了 5条,乙钓了 3条,吃鱼时,来了 一位客人和甲、乙平均分吃这条鱼。吃完后来客付了 8角钱作为餐费。问:甲、乙 两为渔夫各应得这 8角钱中的几角?
例 4、一个工地用两台挖土机挖土,小挖土机工作 6小时,大挖土机工作 8小 时, 一共挖土 312方。 已知小挖土机 5小时的挖土量等于大挖土机 2小时的完土量, 两种挖土机每小时各挖土多少方?
例 5、甲、乙、丙三人用同样多的钱合买西瓜。分西瓜时,甲和丙都比乙多拿 西瓜 7。 5千克。结果甲和丙各给乙 1.5元钱。每千克西瓜多少元 |?
例 6、小红有 一个储蓄筒,存放的都是硬币,其中 2分币比 5分币多 22个。 而按钱数算, 5分币比 2分币多 4角。已知这些硬币中有 36个 1分币。问:小红的 储蓄筒里 共存了多少钱?
练习与思考
(第 1~4题 13分,其余每题 12分,共 100分。 )
1. 有一段木头,不知它的长度。用一根绳子俩量它,绳子多 15米;如果将绳 子对折以后再来量,又不够 04米。问:这段绳子长多少米?
2. 甲、 乙两人拿出同样多的钱合买一段花布, 原约定各拿花布同样多。 结果甲 拿了 6米,乙拿了 14米。这样,乙就要给甲 12元钱。每米花布的单价是多少元?
3. 甲、 乙丙合三人各出同样多的钱合买苹果若干千克。 分苹果时, 甲和丙都比 乙多拿 7。 8千克苹果,这样甲和丙各应给乙 6元钱。每千克苹果多少钱?
4. 学校买了 2张桌子和 5把椅子,共付了 330元 。每张桌子的价钱是每把椅 子的 3倍。每张桌子多少元?
5. 某校六年级有甲、乙、丙丁四个班,不算甲班,期于三个班的总人数是 131人,不算丁班,期于三个班的总人数是 134人。已知乙、丙两个班的总人数比甲、 丁两个班的总人数少 1人,甲、乙丙、丁四个班共有多少人?
6. 李大伯买了 15千克特制面粉和 35千克大米,共用去 31.2元。已知 1千克 特特制面粉的价格是 1千克大米的 2倍。 李大伯买特制面粉和大米各用去多少元?
7. 14千克大豆的价钱与 8千克花生的价钱相等,已知 1千克花生比 1千克大 豆贵 12元,大豆和花生的单价各是多少元?
8. 某车间按计划每天应加工 50个零件, 实际每天加工 56个零件。 这样, 不仅 提前 3天完成原计划加工凌驾的任务,而求多加工了 120个零件。这个车间实际加 工了多少个零件?
9. 用 8千克丝可以织 6分米宽的绸 4米, 现在有 10千克的丝, 要织 75分米宽 的绸,可以织几米? |
盈亏问题(一)
盈亏问题又叫盈不足问题,是指把一定数量的物品平均分给固定的对象,如 果按某种标准分,则分配后会有剩余(盈) ;按另一种标准分,又会不足(亏) ,求 物品的数量和分配对象的数量。例如:
小朋友分苹果,如果每人分 2个,就多余 16个;如果每人分 5个,
就缺少 14个。小朋友有多少个?苹果有多少个?
比较两次分的结果,第一次余 16个,第二次少 14个,两次相差 1+14=30
(个) 。这是因为第二次比第一次每人多分了 5-2=3(个)苹果。相差 30个,就 说明有 30÷3=10(个)小朋友。请小读者自己算出苹果的个数。
例题与方法
例 1、将一些糖果分给幼儿园小班的小朋友,如果每人分 3 粒,就会余下糖果 17粒;如果每人分 5粒,就会缺少糖果 13粒。问:幼儿园下班有多少个小朋友 |这 些糖果共有多少粒?
例 2、学生搬一批砖,每人搬 4块,其中 5人要搬两次;如果么人搬 5块,就 有两人没有砖可搬。搬砖的学生有多少人?这批砖共有多少块?
例 3某校在植树活动中,把一批树苗分给各班,如果每班分 18棵,就会有余下 24棵; 如果每班分 20棵, 正好分完。 这个学校有多少个班?这批树苗共有多少棵?
练习与思考
1. 小朋友分糖果若每人分 4粒则多 9粒; 若每人呢分 5粒则少 6粒。 问:有多 少小朋友?有多少粒糖果?
2. 小朋友分糖果, 每人分 10粒正好分完; 若每人呢分 16粒, 则有 3个小朋友 分不到糖果。问:有多少粒糖果?
3. 在桥上测量桥高。 把绳长对折后垂到水面, 还余 4米; 把绳长 3折后垂到水 面,还余 1米。桥高多少米?绳长多少米?
4. 某校安排新生宿舍, 如果每间住 12人, 就会有 34人没有宿舍住; 如果每间 住 14人就会有空出 4间宿舍。这个学校有多少间?要安排多少个新生?
5. 在依次大扫除中,有一些同学被分配擦玻璃,他们当中如果有 2人擦 4块, 其余的人各擦 5块,就会多下 12块玻璃没有人擦;如果么人擦 6块,刚好擦完。擦 玻璃的同学有多少人?玻璃共有多少块?
6. 有一个数,减去 3所的差的 4倍,等于它的 2倍加上 36。这个数是多少?
7. 体育老师和一个朋友一起上街买足球。他发现自己身边的钱,如果买 10个 “冠军”牌足球,还差 42元;后来他向朋友借了 1000元,买了 31个“冠军”牌足 球,结果多了 13元。体育老师原来身边带了多少元?
8. 某小学生乘汽车去春游, 如果每辆车坐 65人, 就会有 15人不能乘车; 如果 每辆车多坐 5人恰好多余了一辆车。一共有多少辆汽车?有多少个学生?
第五讲 盈亏问题(二)
上一讲,我们讲了盈亏问题的一般情形,也就是在量词分配中恰好洋盈(多 余) ,一次亏(不足) 。事实上,在许多问题里,也会出现两次都是盈(多余) ,或者 两次都是亏(不足)的情况。
例 1、学校将一批铅笔奖给三好学生,每人 9支缺 15支;每人 7支就缺 7支。 问:三好学生有多少人,铅笔有多少支?
例 2、 某小学的部分同学外出参观, 如果每辆车坐 55人就会余下 30个座位; 如 果每辆车坐 50人,就还可以坐 10人。有多少辆车?去参观的学生多少人?
例 3、学校规定上午 8时到校。王强上学去,如果每分钟走 60米,可以提早 10分钟到校; 如果每分钟作呕 50米可以提早 8分钟到校。 问:王强什么时候离开家? 他家离学校多远?
练习与思考
(第 1~4题 13分,其余每题 12分,共 100分。 )
1. 同学们打羽毛球,每两人一组。每组分 6个羽毛球,少 10个球;每组分 4个羽毛球,少 2个球。问:共、有多少个同学打球?有多少个羽毛球?
2. 学校将一批钢笔奖给三好学生,每人 8支缺 11支;每人 7支缺 7支。问:三好学生有多少人?钢笔有多少支?
3. 某小学的部分学生去春游, 如果每辆车坐 50人, 就会余下 30个座位; 如果 每辆车坐 40个人,还可以坐 10人。问有多少辆车?去春游的学生多少人?
4. 一筐苹果分给一个小组, 每人 5个剩 16个; 每人 7个缺 12个。 这个小组有 多少人?共有多少苹果?
5. 一些学生分练习本。其中两人每人分 6本,其余每人分 4本,就会多 4本; 如果有一人分 10本,其余每人分 6本,就会少 18本。学生有多少人?练习本多少 本?
6. 一个学生从家到学校,先用每分 50米的 速度走了 2分,如果这样走下去, 他会迟到 8分; 后来他改用每分 60米的速度前进, 结果早到学校 5分。 这个学生家 到学校的路程是多少米?
7. 筑路对计划每天筑路 720米, 实际每天比原计划多筑 802米, 这样, 在规定 完成任务时间的前 3天,就只剩下 1160米未筑。这条路多长?
8. 老师给幼儿园小朋友分苹果。 每 2人 3个苹果, 多 2个苹果, 每 3人 5个苹 果,少 4个苹果。问:有多少小朋友?多少苹果?
行程问题(一)
讨论有关物体运动的速度、 时间、 路程三者关系的应用题叫做行程应用题。 行程问题的主要数量关系是:
路程 =速度×时间
如果用字母 s 表示路程, t 表示时间, v 表示速度,那么,上面的数量关系 可用字母公式样表示为:s=vt。
行程问题内容丰富多彩、千变万化。主要有一个物体的运动和两个或几物 体的运动两大类。 两个或几个物体的运动又可以分为相遇问题、 追及问题两类。 这一讲我们学习一个物体运动的问题的一些简单的相遇问题。
例题与方法
例 1. 小明上学时坐车,回家时步行,在路上一共用了 90分。如果 他往返都坐车,全部行程需 30分。如果他往返都步行,需多 少分?
例 2.甲、乙两城相距 280千米,一辆汽车原定用 8小时从甲城开到乙城。 汽车行驶了一半路程,在中途停留 30分。如果汽车要按原定时间到达乙城, 那么,在行驶后半段路程时,应比原来的时速加快多少?
例 2. 一列火车于下午 1时 30分从甲站开出,每小时行 60千米。 1小时后,另一列火车以同样的速度从乙站开出,当天下午 6时 两车相员。甲、乙两站相距多少千米?
例 4.苏步青教授是我国著名的数学家。一次出国访问,他在电车上碰到 了一位外国数学家,这位外国数学家出了一道题目让苏步青做,题目是:甲、乙两人同时从两地出发,相向而行,距离是 100千米。甲每小时行 6千米,乙每小时行 4千米。甲带着一只狗,狗每小时行 10千米。这只狗同甲 一道出发,碰到乙的时候,它就掉头朝甲这边走,碰到甲时又往乙那边走,直 到两人相遇。这只狗一共走了多少千米?
苏步青略加思索,就把正确答案告诉了这位外国数学家。小朋友们,你能 解答这道题吗?
例 5. 甲、 乙两辆汽车同时从东、 西两地相向开出, 甲车每小时行 56千米, 乙车每小时行 48千米,两辆汽车在距中点 32千米处相遇。东、西两地相距多
少千米?
练习与思考
1. 小 王、小李从相距 50千米的两地相向而行,小王下午 2时出发步 行,每小时行 4.5千米。小李下午 3时半骑自行车出发, 、经过 2.5小时两人相遇。小李骑自行车每小时行多少千米?
2. A 、 B 两地相距 60千米。两辆汽车同时从 A 地出发前往 B 地。甲车比乙 车早 30分到达 B 地。当甲车到达 B 地时,乙车离 B 地还有 10千米。甲国君从 A 地到 B 地共行了几小时?
3. 一辆公共汽车和一辆面包车同时从相距 255千米的两地相向而行, 公共 汽车每小时行 33千米,面包车每小时行 35千米。行了几小时后两车相距 51千米?再行几小时两车又相距 51千米?
4.甲、乙两人同时从 A 、 B 两地相对而行,甲骑车每小时行 16千米,乙骑 摩托车每小时行 65千米。 甲离出发点 62.4千米处与乙相遇。 A 、 B 两地相距多 少千米?
5.小张的小王同时分别从甲、乙两村出发,相向而行。步行 1小时 15分 后,小张走了两村间路程的一半还多 0.75千米,此时恰好与小王相遇。小王 的速度是每小时 3.7千米,小张每小时行多少千米?
6. A 、 B 两地相距 20千米,甲、乙两人同时从 A 地出发去 B 地。甲骑车每 小时行 10千米,乙步行每小时行 5千米。甲在途中停了一段时间修车。乙到 达 B 地时,甲比乙落后 2千米。甲修车用了多少时间?
7. A 、 B 两地相距 1000千米,甲列车从 A 地开出驶往 B 地, 2小时后,乙 列车从 B 地开出驶往 A 地,经过 4小时与甲列车相遇。已知甲列车比乙列车每 小时多行 10千米。甲列车每小时行多少千米?
8.小李由乡里到县城办事,每小时行 4千米,到预定到达的时间时,离县 城还有 1.5千米。如果小要每小时走 5.5千米,到预定到达的时间时,又会多 走 4。 5千米。乡里距县城多少千米?
9. A 、 B 两城相距 75千米,小红从 A 向 B 走,每小时走 6.5千米,小明从 B 地走向 A ,每小时走 6千米。小军骑自行车在小红和小明间联络,小军从 A 走向 B ,每小时走 15千米。三人同时动身,小军在途中遇见的小明即折顺往 A 走,遇见了小红,又折回向 B 走,再遇见了小明又折回往 A 走??一直到三人 在途中相遇为止。小巧玲珑军共走了多少千米?
10.东、西两镇相距 240千米,一辆客车上午 8时从东镇开往西镇,一辆 货车上午 9时从西镇开往东镇,到中午 12时,两车恰好在两镇间的中点相遇。 如果两车都从上午 8时由两地相向开出,速度不变,到上午 10时,两车还相 距多少千米?
第二十二讲 行程问题(二)
本讲主要讲“相遇问题” 。
相遇问题一般是指两个物体从两地出发,相向而行,共同行一段路程,直 至相遇,这类应用题的基本数量关系是:
总路程 =速度和×相遇时间
这里的“速度和”是指两个物体在单位时间内共同行的路程。
例题与方法
例 1.甲、乙两辆汽车同时从东村、西村之间公路的中点向相反方向行驶, 6小时后, 甲车到达东村, 乙车离西村还有 42千米。 已知甲车的速度是乙车的 2倍。东、西两村之间的公路长多少千米?
例 2.一支 1800米长的队伍以每分 90米的速度行进,队伍前端的联系员 用 9分的时间跑到队伍末尾传达命令。联络员每分跑多少米?
例 3.甲、乙两车相距 516千米,两车同时从两地出发丰向而行,乙车行 驶 6小时后停下修理车子,这时两车相距 72千米。甲车保持原速继续前进, 经过 2小时与乙车相遇。求乙车的速度。
例 4.甲、乙两列车同时从 A 、 B 两地相对开出,第一次在离 A 地 75千米 处相遇。相遇后两列车继续前进,到达目的地后又立刻返回,第二次相遇在离 B 地 55千米处。求 A 、 B 两会间的路程。
练习与思考
1.甲、乙两人分别从东、西两地同时相向而行。 2小时后两人相距 96千 米, 5小时后两人相距 36千米。东、西两地相距多少千米?
2.甲、乙两人骑车从同一地点向相反方向出发,甲车每小时行 13千米, 乙车每小时行 12千米 。 如果甲先行 2小时,那么, 乙行几小时后两人相距 99千米?
3.甲、乙两地相距 59千米,汽车行完全程要 0.7小时,步行要 14小时。 一个人从甲地出发,步行 1.5小时后改乘汽车,他到达乙地共要几小时 ?
4.甲、乙两车分别从 A 、 B 两地同时相向而行。甲车每小时行 82千米,乙 车每小时行 72千米,两车在离中点 30千米处相遇。 A|B两地相距多少千米?
5.甲、乙两车同时从东、西两地相向开出,甲车每小时行 40千米,经过 3小时已驶过中点 25千米,这时乙车与甲车还相距 7千米。求乙车的速度。
6.甲、乙两车同时同地同向行进,甲车每小时行 30千米,乙车每小时行
的路程是甲车的 1.5倍。当乙车行到 90千米 的地方时立即按原路返回,又行 了几小时和甲车相遇?
7.两辆汽车从同一地点向相反方向开出,第一辆汽车每小时行 48千米, 第二辆汽车每小进行 52千米。如果第一辆车先行 1.2小时,那么,两辆汽车 同时行驶几小时后,它们之间的距离为 557.6千米?
8.一架运输机和一架客机同时从某地起飞相背飞行, 2.5小时后两机相距 3650千米。 已知客机比运输机每小时多飞行 100千米, 运输机每小时飞行多少 千米?
9. A 、 B 两地相距 6千米,甲、乙两人分别从 A 、 B 两地同时出发在两面三 刀地间往返行走 (到达另一地后就马上返回) , 在出发 40分后两人么一次相遇。 乙到达 A 地后马上返回, 在离 A 地 2千米的地方两面三刀人第二次相遇。 求甲、 乙两人的速度。
10.客车和货车同时从甲、乙两地相对开出,客车每小时行 54千米,货车 每小时行 48千米。两车相遇后又以原速继续前进,客车到达乙地后立即返回, 货车到达甲地后也立即返回,两车在距中点 108千米处再以、次相遇。甲、乙 两地相距多少千米?
行程问题(三)
本讲的内容是“追及问题” 。
追及问题一般是知两个物体同时运动,经过一定时间,后者追上前者的 问题。追及问题的基本数量关系是:
速度差 ×追及时间 =追及路程
例 1 中巴车每小时行 60千米,小轿车每小时行 84千米,两车由同一个车 库出发。 已知道中巴车先开出, 30分钟后小轿车顺着中巴车的路线出发, 小轿 车经过多少时间能追上中巴车?
例 2 甲、乙两车同时、同地出发去同一目的地,甲车每小时行 40千米,乙 车每小时行 35千米。途中甲车因故障修车用了 3小时,结果甲车比乙车迟 1小时到达目的地。两地间的路程是多少千米?
例 3 兄妹两人同时离家去上学,哥哥每分走 90米,妹妹每分走 60米。哥 哥到校门口时,发现忘带课本,立即沿原路回家去取,行到离学校 180米处与 妹妹向隅,他们呢家离学校有多远?
例 4 小华、小丽个小霞三人都要从甲地到乙地,早上 6时小华和小丽两人 一起从甲地出发一,小华每小时走 5千米,小丽每小时走 4千米。小霞上午 8时才从甲地出发。傍晚 6时,小华和小霞同到到达乙地。小霞是在什么时间追 上小丽的?
练习与思考
1. 哥哥放学回家,以每小时 6千米的速度步行, 18分后,弟弟也从 同一所学校放学回家,弟弟骑自行车以每小时 15千米的速度追
上哥哥。经过几分弟弟可以追上哥哥?
2.两辆卡车为王村送化肥,第一辆以每小时 30千米的速度由仓库开往王 村,第二辆晚开 12分,以每小时 40千米的速度由仓库开往王村,结果两车同 时到达。仓库到王村的路程有多少千米?
3.好马每天走 240里,劣马每分走 150里,劣马先走 12天,好马几天可 以追上劣马?(我国古代算题)
4.小玲每分行 100米,小平每分行 80米,两人同时同地背向行了 5分后, 小玲调转方向去追赶小平。小玲追上小平时一共行了多少米?
5.一架飞机从甲地飞往乙地,原计划每分飞行 9千米,现在按每分 12千 米的速度飞行, 结果比原计划提前半小时到百叶窗。 甲、 乙两地相距多少千米?
6.一辆摩托车追前面的汽车,汽车每小时行 28千米,摩托车每小时行 40千米,摩托车开出 4小时后追上汽车。汽车比摩托车早出发几小时?(得数保 留一位小数)
7.一支队伍长 450米,以每秒 1。 5米的速度行进。一个战士因画需从排 尾赶到排头,并立即返回排尾。如果他的速度是每秒 3米,那么,这位战士往 返共需多少时间?
8.李华以每小时 4千米的速度从学校出发步持到 20.4千米以外的冬令营 报到, 半小时后, 营地的老师闻讯前往迎接, 老师每小时比李华多走 1.2千米。 又过了 1.5小时,张明从学校骑车去营地报到,结果三人同时在途中相遇。张 明骑车每小时行多少千米?
9.甲、乙两人各骑一辆自行车由同一地点出发,到相隔 45千米的某地办 事。乙比甲早出发 20分,而甲比乙早到 45分,甲到达时乙在甲的后面 10千 米处。甲每小时行多少千米?(得数保留整数)
10.玲玲从家到县城上学,她以每分 50米的速度走了 2分后,发现按个人 速度走下去要迟到 8分,于是她加快了速度,每分多走 10米,结果到学校时, 离上课还有 5分。玲玲家到学校的路程是多少米?
第7周 一般应用题(一)
专题简析:
一般复合应用题往往是有两组或两组以上的数量关系交织在一起,有的已 知条件是间接的,数量关系比较复杂,叙述的方式和顺序也比较多样。因此,一 般应用题没有明显的结构特征和解题规律可循。 解答一般应用题时, 可以借助线 段图、示意图、直观演示手段帮助分析。在分析应用题的数量关系时,我们可以 从条件出发,逐步推出所求问题(综合法) ;也可以从问题出发,找出必须的两 个条件(分析法) 。在实际解时,可以根据题中的已知条件,灵活运用这两种方 法。
例 1 五年级有六个班,每班人数相等。从每班选 16人参加少先队活动,剩下 的同学相当于原来 4个班的人数。原来每班多少人?
分析与解答:从每班选 16人参加少先队活动, 6个班共选 16×6=96(人) 。剩下 的同学相当于原来 4个班的人数,那么, 96人就相当于原来(6-4)个班人人 数,所以,原来每班 96÷2=48(人) 。
练 习 一
1,五个同学有同样多的存款,若每人拿出 16元捐给“希望工程”后,五位同学 剩下的钱正好等于原来 3人的存款数。原来每人存款多少?
2, 把一堆货物平均分给 6个小组运, 当每个小组都运了 68箱时, 正好运走了这 堆货物的一半。这堆货物一共有多少箱?
3,老师把一批树苗平均分给四个小队栽,当每队栽了 6棵时,发现剩下的树苗 正好是原来每队分得的棵数。这批树苗一共有多少棵?
例 2 某车间按计划每天应加工 50个零件,实际每天加工 56个零件。这样,不 仅提前 3天完成原计划加工零件的任务, 而且还多加工了 120个零件。 这个车间 实际加工了多少个零件?
分析 如果按原计划的天数加工,加工的零件就会比原计划多 56×3+120=288 (个) 。为什么会多加工 288个呢?是因为每天多加工了 56-50=6(个) 。因此, 原计划加工的天数是 288÷6=48(天) ,实际加工了 50×48+120=1520(个)零 件。
练 习 二
1, 汽车从甲地开往乙地, 原计划每小时行 40千米, 实际每小时多行了 10千米, 这样比原计划提前 2小时到达了乙地。甲、乙两地相距多少千米?
2,小明骑车上学,原计划每分钟行 200米,正好准时到达学校,有一天因下雨, 他每分钟只能行 120米,结果迟到了 5分钟。他家离学校有多远?
3,加工一批零件,原计划每天加工 80个,正好按期完成任务。由于改进了生产 技术,实际每天加工 100个,这样,不仅提前 4天完成加工任务,而且还多加工 了 100个。他们实际加工零件多少个?
例 3 甲、乙二人加工零件。甲比乙每天多加工 6个零件,乙中途停了 15天没 有加工。 40天后,乙所加工的零件个数正好是甲的一半。这时两人各加工了多 少个零件?
分析 甲工作了 40天,而乙停止了 15天没有加工,乙只加工了 25天,所以他 加工的零件正好是甲的一半, 也就是甲 20天加工的零件和乙 25天加工的零件同 样多。由于甲每天比乙多加工 6个, 20天一共多加工 6×20=120(个) 。这 120个零件相当于乙 25-20=5(天) 加工的个数, 乙每天加工 120÷(25-20) =24(个) 。 乙一共加工了 24×25=600(个) ,甲一共加工了 600×2=1200(个)
练 习 三
1,甲、乙二人加工一批帽子,甲每天比乙多加工 10个。途中乙因事休息了 5天, 20天后, 甲加工的帽子正好是乙加工的 2倍, 这时两人各加工帽子多少个?
2,甲、乙两车同时从 A 、 B 两地相对开出,甲车每小时比乙车多行 20千米。途 中乙因修车用了 2小时, 6小时后甲车到达两地中点,而乙车才行了甲车所行路 程的一半。 A 、 B 两地相距多少千米?
3,甲、乙两人承包一项工程,共得工资 1120元。已知甲工作了 10天,乙工作 了 12天,且甲 5天的工资和乙 4天的工资同样多。求甲、乙每天各分得工资多 少元?
例 4 服装厂要加工一批上衣,原计划 20天完成任务。实际每天比计划多加工 60件,照这样做了 15天,就超过原计划件数 350件。原计划加工上衣多少件? 分析 由于每天比计划多加工 60件, 15天就比原计划的 15天多加工 60×15=900 (件) ,这时已超过计划件数 350件, 900件中去掉这 350件,剩下的件数就是 原计划 (20-15) 天中的工作量。 所以, 原计划每天加工上衣 (900-350) ÷(20 -15) =110(件) ,原计划加工 110×20=2200(件) 。
练 习 四
1,用汽车运一堆煤,原计划 8小时运完。实际每小时比原计划多运 1.5吨,这 样运了 6小时就比原计划多运了 3吨。原计划 8小时运多少吨煤?
2,汽车从甲地开往乙地,原计划 10小时到达。实际每小时比原计划多行 15千 米,行了 8小时后,发现已超过乙 20千米。甲、乙两地相距多少千米?
3,小明看一本书,原计划 8天看完。实际每天比原计划少看了 4页。这样,用 10天才看完了这本书。这本书一共有多少页?
例 5 王师傅原计划每天做 60个零件,实际每天比原计划多做 20个,结果提前 5在完成任务。王师傅一共做了多少个零件?
分析 按实际做法再做 5天,就会超产(60+20)×5=400(个) 。为什么会超产 400个呢?是因为每天多生产了 20个, 400里面有几个 20,就是原计划生产几 天。 400÷20=20(天) ,因此,王师傅一共做了 60×20=1200(个)零件。
练 习 五
1, 食堂准备了一批煤, 原计划每天烧 0.8吨, 实际每天比原计划节约了 0.1吨, 这样比原计划多烧了 2天。这批煤一共有多少吨?
2,造纸厂生产一批纸,计划每天生产 13.5吨,实际每天比原计划多生产 1.5吨,结果提前 2.5天完成了任务。实际用了多少天?
3,机床厂生产一批机床,原计划每天生产 15台,实际每天生产 18台,这样比 原计划提前 3天完成了任务。这批机床一共有多少台?
一般应用题(二)
专题简析:
较复杂的一般应用题, 往往具有两组或两组以上的数量关系交织在一起, 但 是,再复杂的应用题都可以通过“转化”向基本的问题靠拢。因此,我们在解答 一般应用题时要善于分析,把复杂的问题简单化,从而正确解答。
范文四:五年级上册教材
杂谈
教材总体分析
本册美术教材共16课,约24——26课时。从课程领域来看,包括欣赏.评述、造型.表现、设计.应用和综合.探索四大类,涉及欣赏、色彩知识、工艺装饰、泥塑、中国画、儿童画、电脑绘画、综合应用等美术知识。
与此前使用的鲁美版教材相比,本套教材具有鲜明的特点,我个人认为主要体现在以下几个方面:
1、如上所述,本册学生学习的内容较为广泛,较之旧教材更充分地开阔了
学生视野,使学生认识到美术与生活的密切联系。
2、知识的横向联系脉络清晰。某个知识点不是集中在某一册或某个单元部
分,而是跨越学期、学年甚至学科,形成“草蛇灰线”的联系和延伸,
使学生对这些知识的学习理解连贯化、系统化。
3、 知识的传授和学习不再是简单的技法掌握,而是寓知识于学习过程,
纯粹的机械性知识附着于实用化的习作应用中,让学生在绘画和制作过
程中认识知识,从而进一步使理论与实践紧密结合,并体现美术的生活
化、实用化。
教材单元和分课分析
本册教材没有划分单元,但为了便于分析了解,我把内容和形式相近的课归纳为几个单元。
第一单元 色彩知识(第1、2课) 本单元主要从对比色和邻近色方面分析色彩的变化应用。对比色和邻近色的知识分别在四年级上册和下册进行过学习,这两课的学习应在以前学习的基础上进行联系和延伸。
第1课 万绿丛中一点红 本课的重点是:对比色视觉效果的应用和色彩搭配。难点:运用色彩的变化特点与规律进行设计表现。
本课的开始可以以对四年级对比色知识的回顾延伸导入。在学习过程中,可以充分运用直观教学的优势,以图片、幻灯、课件等方式展示对比色的视觉特点、产生的问题以及调整后的效果对比和视觉感受,促进学生对本课理论知识的掌握。同时,可以结合几幅范画,让学生认识对比色知识在艺术创作中的应用和产生的效果。
第2课 色彩的和谐 本课重点:认识邻近色以及邻近色的过渡变化规律。难点:认识邻近色的视觉特点和应用。
本课的内容在四年级《冰川与晚霞》中已经通过色彩渐变练习有所接触,但概念没有明确,在开始阶段同样可以通过回顾联系以往知识导入。邻近色的视觉效果与对比色正好相反,体现的是一种舒适、和谐的感觉,所以在日常生活中的室内装饰等方面应用较为广泛,因此在讲解中可以通过学生课前相关资料的收集和直观演示生活中的实例,加深学生的理解。
这两课对色彩表现效果的要求较高,与以前的知识联系较为密切,学生在表现阶段应鼓励采用多种形式,如水彩、彩纸剪贴等方式;对于理解表现有困难的,也可以降低标准要求,如画简单的色彩渐变画等,避免学生产生畏难心理。
第二单元 实用装饰美术(第3、4、5、6课) 本单元通过多个领域的学习,认识实用美术在生活中的作用和应用,并掌握一些表现技法。
第3课 适合纹样 重点:适合纹样的定义、种类和变化规律。难点:适合纹样外形和骨架的变化特点。
本课是基础知识课,在以往学习的单独纹样、连续纹样的基础上认识适合纹样的概念和变化特点。本课的学习应先明确适合纹样的特征,并从日常的生活用品中找到其应用的实例,知道所学知识与生活的关系。在学生习作时,要强调外形与骨架的作用,让学生明确实用美术的表现中要本着认真、细致的态度,保持作品的规范、方正、匀称和美观,才能达到最好的效果。在设计制作中应该鼓励学生在纹样、骨式上创新表现,不要局促于对课本范作的临摹,也可以让学生课前收集一些相关资料,让学生有更多的参考余地。
第4课 礼物的外套 重点:采用多种材料和方法对物品进行美化、包装。难点:根据物品的材质和外形选取合适的包装美化方法。
这一课同样是根据物品外形进行装饰,不同的是从平面装饰拓展为立体形装饰。在导入时,可以让学生欣赏生活中礼品包装的实物或图片,了解礼品包装的作用;也可以把包装好的礼品与未包装的礼品做对比,看同样的礼物,给人的印象有什么不同,让学生自己总结出礼品精美包装的好处,导入课程。
在技法学习时,可以选取一种礼品外形为例作演示,但不要面面俱到,以免学生的创新能力受到限制。也可以让学生根据所带物品的外形分组交流技法和需要解决的问题,无法解决的问题再由教师解决。
本课材料的耗用较多,应鼓励学生在包装材料上尽量使用废旧物品,如旧挂历纸、彩色塑料绳等,这样一方面避免材料浪费,同时“变废为宝”也会让学生在完成后产生更深的成就感。另外,本课还可以结合当时的节日,如教师节、仲秋节等,让学生间或师生间互赠礼品,增加学生的兴趣。
第5课 趣味文字 重点:变体美术字的基本变化规律和书写方法。难点:变形美术字在笔画、间架和应用范围的特殊要求。
学生在日常生活中对美术字接触较多,如广告牌、黑板报、报刊等都可以随处见到,而变形美术字具有的趣味性和随意性给学生的印象和兴趣更高。鉴于教材上的资料有限,课前师生可以共同收集一些这方面的资料作为参考。
课的开始阶段,可以通过相关资料的展示和汇集导入,同时说一说这些变形字的来源,了解变形美术字的应用范围和应用的效果。由于学生对美术字的认识不够系统和规范,教师可以按照字体变化的特点分一分类,分别举例介绍,如笔画的变化,字形的变化,结构的变化,根据字义的象形变化,立体化变化等等,并简单介绍它们的特点和应用。
在学生习作时应该注意两点:一是要让学生知道,变形美术字的特点是活泼有趣,并不适用于庄重、严肃、规整的标牌、报头等地方,所以使用时应该有选择性;二是学生往往认为变形美术字简单,不必规范书写,所以在书写时不定框格、骨架,使字过度变形,失去美感和规范。对这两点要注意强调。
第6课 地球的新生 重点:充分应用材料和学过的知识表现自己的想法和内心感受。难点:设计制作中个性的发挥以及与主题统一性的关系。
本课是这一单元最后一课,具有总结和综合应用的意义。在明确主题的基础上,进行招贴画、宣传册、手抄报、海报、文化衫等的设计制作。这一课学生的自主性和个性发挥余地较充裕,但对于基础不高的学生来说有一定难度,而且学生的工作量也较大。因此,这一课可以采用小组合作的形式,学生按照自己选择的表现方式分成3—5人的小组,共同完成一幅作品。每个小组的成员应进行合理搭配,避免小组间表现能力差距过大,造成进度不一致的情况。小组的成员在进行设计制作前应进行交流,确定表现内容和步骤,根据各人的能力进行分工,按照共同协商的结果进行设计表现。
学生在日常的学习中具有手抄报、黑板报等版面设计装饰的基础,通过共同的分工协作,应该能够取得较好的效果。教师在本节课的主要职责包括:解决小组内交流无法解决的问题,强调突出主题,不要过多堆砌题外的内容,还要监督小组内的活动,避免合作中出现合作形式化、分工不明确、出现分歧等问题。
第三单元 塑型习作(第7、9课) 这两课的表现方式有一定的共性,特别是都把泥塑作为表现的主要方法,表现的形象主要是立体的建筑和器皿(第7课也可以用平面绘画表现)。
第7课 古朴精美的华表 重点:记忆表现或设计表现标志性建筑,深入刻画其细部特征。难点:在习作中体现出传统标志性建筑庄重、古朴、个性鲜明的特色。
本课可以从课题的华表导入,将表现的范围逐步扩充到类似的图腾柱、纪念碑等具有特殊意义的标志性建筑。学生日常对这些建筑都有接触,但大多没有仔细观察,印象不很深刻;所以教师可以展示一些资料图片,特别是细部的结构、花纹、图案等,并找一些身边的例子,像青云山民族广场的图腾柱、烈士纪念碑等,简单分析每一类的造型特点、用途、代表的意义、上面刻画的内容以及本民族文化特色的体现等。
本课的绘画和泥塑两种表现方法在技法上有一些不同要求,所以可以共同选取一种;或者分为两课时,分别用两种方法表现。
在表现中应鼓励学生的独创,但独创的作品同样应该突出特色和明确细部的特征,符合这类标志性建筑的特点。
第9课 陶泥的世界 重点:运用揉、搓、粘等技法和点、线面的组合塑造立体造型。难点:运用技巧,富有创意地塑造物品。
这一课是立体雕塑课。本课的课本范画内容和造型上都很有特色,而且内容比较丰富,可以引导学生欣赏和分析作品,导入课题。
本课的进度可以考虑“三步走”,教师的讲解穿插于学生的制作过程中。第一步:引导学生按照“技法点击”的方法练习制作一个简单的器具,主要是掌握基本技法。第二步:按照已经掌握的基本技法和教材上的造型,进行尝试制作。第三步:在此基础上,进行造型和技法上的创新,自己设计具有创意的泥塑作品。当然,这个步骤并不一定面面俱到,对于在表现、创新和技法学习上有困难的学生,可以适当降低标准,只要完成前两步甚至第一步即可。
第四单元 绘画创作(第10、11课) 这两课主要是绘画技能的练习提高,引导学生根据特定的主题,进行绘画习作和在内容、画面组织、构图、用色等方面的创新。
第10课 诗情画意 重点:运用自己已有的造型能力表现古诗的主要内容。难点:在绘画习作中体现古诗的意境和主题,并体现独创性。
课前,应让学生选取要表现的一首诗(一般是学生比较喜欢或印象比较深的)。
本课教材提供的参考范作较多,表现的方式和选材也比较丰富,所以可以通过欣赏和分析引出主题。在欣赏中,要让学生充分思考:作品表现的是哪一首古诗?画面表现了这首诗的什么内容?你认为作品是否较好地展现了原诗的主题?你还能不能采用其他的方法设计画面内容?另外,学生的语文教材中也有不少相关的古诗插图,可以让学生一并参考欣赏和分析。在此基础上,结合自己准备配图的诗进行分析,根据诗的主要内容(写人、状物、写景、叙事等类型),
确定画面的主体(在这里,可以结合4年级的《主体与背景》一课的知识),考虑把什么作为主要的和着重刻画的内容表现。
在学生习作中要注意两个问题,一是学生表现时大多忽视草图的作用,或不愿费事,而自己的表现能力又有限;结果很难做到一次成功。所以要强调画草稿的作用,让学生明白这样并不是多费事,而往往能达到事半功倍的作用。二是本课的范画较多,不少学生会直接临摹现成作品而不愿自创。要解决这个问题,应该在作品的欣赏中就针对这些作品分析,让学生在吸收作品优点的基础上,对他们不盲从;而要有自己的创意。对于创造力不足或不够自信的学生,可以让他们在临摹的基础上作一些具有自己创意的改动和变化;对于这种创意,同样应该予以肯定和鼓励,使学生逐步培养创新能力,而不仅是机械地重复别人的技法和思路。
第11课 为解放军叔叔画张像
重点:习作中人物结构、比例、五官的表现和特定职业的衣着、仪态的特征的体现。难点:人物刻画从总体到局部、从基本特征到细节的表现。
作为人民的子弟兵,解放军的形象一直为我们爱戴、歌颂,所以本课可以从思想教育入手,特别是结合一些感人的故事(如救灾时奋不顾身的英雄形象),让学生怀着一定的感情和热情去表现这一形象,能够较好地提升本课的层次和质量。
解放军作为一种特殊的职业,其着装、仪容、风纪都有着较为显著的特点;而只有体现出这些特点,画出的形象才会“像”解放军。所以,在发展阶段,应该结合图片、录象、课件等直观媒介,让学生在原有印象的基础上进一步明确解放军的衣着、姿态有怎样的特征,并在作品中体现出来。
学生的人物表现能力参差不齐,所以在表现时可能效果不一。在设计内容主题时,可以让学生的选题不限于人物写生,也可以表现相关的故事、场面,如战斗故事等;一些女学生可能对此兴趣不大,也可以让她们做一些表达自己对子弟第五单元 跨学期主题延伸(第8、12、13、16课)
这几课的题材、领域、表现方法等各有不同,但有一个共同点:它们的内容都是跨越了多个学期甚至年级的课题的系列延伸。如12课的内容是从一年级就出现的“自制小玩具系列”,16课是“珍爱国宝” 主题系列的一部分。这样的划分有一个优点,就是确保了知识的连贯性和延续性,在很大程度上避免了“学过即忘”的问题;但也带来了问题,即知识缺乏深入性,同时主题延伸间隔较大也容易使学生串不起来。因此,在这一部分的教学中,教师应该起到“向导”的作用,承上启下地把知识串联起来,让学生不忘已有知识、学好现有知识、展望未学知识,以求最好地体现出这类课程的优势。
第8课 鸟语花香
这是中国画主题系列的第一课,也是学生在课堂上首次正规地接触国画。本课的重点:掌握花鸟画一些基本的知识技法,并应用于习作当中。难点:在绘画中体会和表现出创意、想象和简单的情趣。
本课的内容和课时有限,要让学生在短时间内掌握大量技法知识并不现实;而且太多的知识,也可能使学生原有的新奇感受到畏难情绪的影响,甚至影响学生今后对国画的学习兴趣。所以,本课主要是培养学生的兴趣,并了解一些基本的国画常识,不要以过于标准的技法要求约束学生。
本课可以安排两课时:第一课时,主要是让学生认识一些必要的知识,如笔墨、赋彩、构图、虚实等知识,并让学生尝试,通过实践体会国画的特点和魅力。第二课时主要让学生在已有知识基础上进行自创。这一课时可以让学生分组练习,每组成员内尽量安排一两个以往有一定学习基础的学生,起到示范和带头作用。对于学生的习作,只要能大胆表现、富有创意、善于借鉴即可,不要从技法上过多衡量。
第12课 会跳的玩具
重点:总结运用玩具弹跳的原理和规律,并在设计中合理应用。难点:自制玩具设计独创性、操作实用性和外形美观性的统一。
本课是一年级开始的“自制小玩具”系列主题的延伸。在导入时,教师可以引导学生回顾以前学过的“会走的玩具”、“会游的玩具”等内容,一方面能够加强这些相关知识与本课的联系,一方面通过回顾归纳制作这类玩具的规律和经验,为本课的设计和制作打下基础。
本课所需要的材料比较多,而材料的实际应用率并不高。建议课前学具准备时让学生分组准备工具材料,制作时3—4人一组集中使用,以免学生个人准备时过于费力。
本课可以安排两课时,第一课时让学生按教材上的设计图进行制作,以熟悉原理、规律和步骤;第二课时则由学生以自创为主,设计出具有鲜明个人特色的作品。对于设计创意不足的学生,也可以2—3人合作,发挥群策群力的优势,共同设计。
第13课 电脑美术
重点:学习掌握画图程序中“反色”功能的操作方法、效果把握和实际应用。难点:在学习应用中充分结合已经学过的电脑画图知识和对比色知识。
本课是“电脑美术”课题的延伸,这一课题从一年级开始,逐步认识和积累新的知识。一般来说,学生在电脑前操作时兴趣都比较高,并喜欢大胆尝试画图工具箱中的各种功能。教师应该利用学生的这种热情,先让他们运用已有的知识进行练习,充分运用“铅笔”、“笔刷”、“喷枪”、“填色桶”、“橡皮”、
“几何形”等工具画图、填色,用“复制”、“”翻转、“拉伸”等功能制作出各种视觉效果,以加强新旧知识的联系过渡。
在应用“反色”功能后,可以让学生思考:为什么反色的变化是唯一的,不会变成其他颜色?变化后的颜色与原来的颜色是什么关系?视觉上产生什么样的感觉?然后联系前面的对比色知识让学生了解,使学生在掌握新知识,联系原有知识的同时,认识到美术知识的广泛性和实用性。
第16课 珍爱国宝—古代的陶瓷艺术
重点:了解中国古代陶瓷艺术的艺术特色和历史贡献。难点:学习从造型、质感、纹饰等方面欣赏和认识陶瓷制品的艺术价值。
本课为欣赏课,也是“珍爱国宝”课题的一部分。在开始阶段,先让学生分组自主欣赏,谈谈自己的看法。同时,学生也可以结合自己课前收集的资料,进行补充说明。
在此基础上,教师进行补充性讲解。由于个人对作品的印象有所不同,教师不应过多强调自己对某一作品的看法,而可以针对作品的显著特点介绍。如陶规的质朴,蛋壳陶的精巧,从彩绘上看原始绘画艺术的特点,从釉色上看瓷器的精致等等。在讲解中,要注意从造型、质感、纹饰等方面欣赏和认识陶瓷制品的艺术价值,让学生从中学习怎样欣赏陶瓷艺术。
在讲解中,应扣住“珍爱国宝”这一主题,可以在讲解中穿插一些相关的历史知识,如“China”一词的由来,“海上瓷器之路”的开辟,中国瓷器在西方的价值等,让学生认识到陶瓷艺术特别是瓷器艺术是我国的历史瑰宝和灿烂文明的体现,从而加深学生的民族自豪感。
第六单元综合实践(第14、15课)
这两课的内容主要是本学期内容和技能的总结和综合运用,在表现方式上综合了本册和以前所学的多种技法,并培养了学生多方面的能力。
第14课 美术学习记录袋
重点:学习用档案收集保管的方式整理自己的作业。难点:在制作中体现出学生的个人特色和独创性。
这一课实际上是本学期作业和知识内容的一个回顾。课前,要让学生把日常的作业收集起来,除了作业本上的书面作业外,还包括国画、手工、手抄报、海报等。对于不易携带和包装的作品,如立体手工、泥塑等,可以用照片、写生图、书面说明等代替。
制作中最重要的一步是标签的制作。标签的制作有多种内容形式,如个人档案、作品目录、自评互评、作品心得等。在标签上不一定把这些内容都体现出来,
关键是体现出自己的独创性和特色,教师的评价时只要看学生有这些方面的体现就应该予以肯定。
在作品的收集、整理和汇总中,对学生的认真、条理、严谨性有较高的要求,教师在学生的制作指导中应注意引导学生这一习惯的培养。
第15课 元宵节里挂彩灯
重点:彩灯的设计制作和展示。难点:制作中小组合作的应用和个人特色的体现。
本课是立体手工制作课,也是多种表现手法的综合应用展示。在导入时,可以结合对元宵节知识的了解,并结合直观展示的彩灯图片,激发学生的兴趣。然后,分析一下“技法点击”的制作方法,把彩灯制作的步骤进行分解、分工。为节约时间、材料,提高制作效率,本课可以让学生分成3—4人的小组合作制作,各小组明确分工,共同讨论设计造型和装饰方案,进行制作。在设计时应该让学生尽量发挥自己的创造力,表现出自己的特色,而不要受教材范作的束缚。制作剩余的时间,可以让学生设计几条灯谜,以备下节使用。
第二课时可以设计成“灯会”形式,各小组把自己的作品连同灯谜展现出来,全班用活动的形式赏花灯、猜灯谜,在活动中进行作品的互评,同时也提高了学习的兴趣。展示结束后,可以共同评出最好的作品,从造型、装饰、展示效果、灯谜趣味性等方面,进行总结性的评价,在快乐的气氛中结束本课。
教材教学的实施
总的来看,新教材也对我们教师提出了新的要求,对美术教师在课堂上的角色和职责给予了新的界定:
1、教师应当在教学中起到“穿针引线”的作用,把年级段之间、知识点之间和学科之间的跨越性内容联系整合起来,使学生对知识的理解整体化、体系化、全面化。
2、教师应该引导学生把习作的技法、效果、心得与抽象的理论知识相结合,通过技法应用促进理论理解,让学生在快乐学习中潜移默化地学到知识。
3、教师应充分考虑在教学中的“因材施教”,对于技法和知识掌握上有困难的学生,可以适当降低标准和要求,并及时肯定和鼓励,避免学生因认知和习作的后进而失去学习兴趣。对于基础好、功底扎实、学习兴趣高的学生,则鼓励他们大胆拓展和尝试,在所学知识基础上取得创新。
4、应把所学知识与日常生活紧密联系,知道生活中处处离不开美术,美术的学习是为了应用于生活;从而加深对美术学习的重视。
兵感情的工艺品、礼物等。
范文五:五年级PEP教材上册
Unit 1 My new teachers
一 .单词:
(以下单词要求学生能听. 说. 认读和正确地书写) (以下要求学生能听. 说. 认读的单词)
Young 年轻的 from 从;来自 funny 滑稽可笑的 Canada 加拿大
tall 高的 like 像、喜欢 strong 强壮的 Know 知道 kind 和蔼的、亲切的 principal 校长
old 年老的 university student 大学生 short 矮的 Miss 小姐
thin 瘦的 lady 女士;小姐;夫人 strict 严格的 so much 很;非常 smart 聪明的、巧妙的 fun 有趣;逗笑 active 积极的、活跃的 quiet 安静的、文静的 Mr 先生 like 像、喜欢 very 很、非常 but 但是
who’s = who is what’s = what is he’s = he is she’s = she is
二.重点句型:
(以下句子要求学生会在实际生活中运用。)
1. --- Who's your art teacher? 2. ---Who’s your principal?-
--- What's he like? ---Miss Lin. --- He's short and thin. ---Is she young?
---No, she’s old. She’s very kind.
(以下课文要求学生背诵。) Let ’s talk 1:
Let ’s talk 2:
四会句型(要求学生听,说,读,写)
--- Who’s your English teacher? --- Mr Carter. --- What’s he like? --- He’s tall and strong. --- Is she quiet?
--- No, she isn’t. She’s very active.
--- Is she strict? Yes, she is, but she’s very kind
练习部分
一 .单词接龙。
Miss( ) →__ __ __ ___ ___(聪明) → __ __ __ __(高的) → lady( )
→__ __ __ __ __(年轻) →go →(老的) →doll( ) →__ __ __ __(喜
欢) →eight( )- →__ __ __ __(瘦的)
二.翻译短语。
1. short and strong ___________ 2. university student ______________ 3. 既漂亮又活泼 _____________ 4. 一位和蔼的老师 ____________
三.情景对话。给左边的问句选择正确的答语,把其编号写到左边的括号里。 ( ) 1. Is she strict? A. Mr Carter. ( ) 2. What’s she like? B. Yes, he is. ( ) 3. Is he strong? C. No, she isn’t. ( ) 4. What’s he like? D. He’s tall.
( ) 5. Who’s your art teacher? E. She’s beautiful.
四.按要求完成下面的句子。
1. What’s he like? (用strong 回答)
2. teachers, you, new, have, do (?) (连词成句) 3. Who your English teacher? (改错句)
4. She’s young. (变为一般疑问句)
5. Our principal is strict and active. (写出中文意思)
Unit 2 My days of the week
一 .单词:
(以下单词要求学生能听. 说. 认读和正确地书写) (以下要求学生能听. 说. 认读的单词) Monday 星期一 Moral Studies 思想品德课 Tuesday 星期二 Social Studies 社会课
Wednesday 星期三 wait 等等;等待 Thursday 星期四 tomorrow 明天 Friday 星期五 often 经常 Saturday 星期六 love 爱;热爱 Sunday 星期天 yeah 是; 行
day 天 play computer games 玩电脑游戏 have 有、吃 do housework 做家务 on 在…..时候 do homework 做作业 watch TV 看电视 read books 读书
What about…? …怎么样? too 也
二.重点句型:
(以下句子要求学生会在实际生活中运用。)
1. --- What day is it today? 2. --- What do you do on Saturdays?
--- It's Monday, --- I often do my homework. --- What do we have on Mondays? --- Let me see. We have ….
(以下课文要求学生背诵。) Let ’s talk 1.
Let ’s talk 2
四会句型(要求学生听,说,读,写)
--- What day is it today? --- It’s Wednesday.
--- What do you have on Thursdays?
--- We have English, math and science on Thursdays. --- What do you do on Saturdays? --- I watch TV on Saturdays. --- What about you, Mike? --- I do my homework, too.
练习部分
一 .一周七天,写出缺少的那几天。
___________→ Monday_______ → ________ → ________ Saturday
二、情景交际。
→__________ →
1. 如果你想问“今天是星期几?”应该说:( ) A. What do you do on Mondays? B. What day is it today? C. When is your brithday?
2. 如果你想问“你们星期一上什么课?”应该说:( ) A. Monday is my favorite. B. We have English, math, and P.E.
C. What do you have on Monday?
3. 别人问你:“What do you do on Saturdays?” 你应该回答:( ) A. I like Saturdays.
B.I play computer games and read books on Saturdays.
C. It’s Saturday today.
4.“你呢?”除了说“What about you?”外,还可以说:( ) A. Oops! B. Oh, Really? C. And you? 三、英汉互译。(10分)
1.I do housework on Sundays.
2.Oh, I play computer games on Monday evening. 3.It’s 9:00. It’s time to read books. 4. 你们星期四上什么课? 5. 你星期三晚上做什么? 四、按要求改写句子。
1.It’s Saturday today.(对画线部分提问 对画线部分提问)
对画线部分提问) 4.I like Saturdays.(改为否定句 ) 5.What day is tomorrow? (根据实际情况回答)
Unit 3 What’s your favourite food?
一.单词:
(以下单词要求学生能听. 说. 认读和正确地书写) (以下要求学生能听. 说. 认读的单词) eggplant 茄子 cabbage 洋白菜;卷心 fish 鱼 pork 猪肉 green beans 青豆 mutton 羊肉 tofu 豆腐 menu 菜单 potato 土豆 sound 听起来 tomato 西红柿 Mew Mew 猫咪 tasty 好吃的 healthy 健康的 sweet 甜的 now 现在 sour 酸的 have to 不得不 fresh 新鲜的 eat 吃 salty 咸的 I ’d like=I would like favourite 最喜欢的 fruit 水果 grape 葡萄 for 为 unch 中餐 we 我们
they’re = they are 他们是
二.重点句型:
(以下句子要求学生会在实际生活中运用。)
1. ---What would you like for lunch? 2. It’s tasty. It’s my favourite. --- I’d like some tomatoes and mutton.
(以下课文要求学生背诵。)
Let ’s talk 1.
Let ’s talk 2.
四会句型(要求学生听,说,读,写)
--- What do you have for lunch on Mondays? --- We have tomatoes, tofu and fish. --- What’s your favourite fruit? --- I like apples. They’re sweet.
--- I like fruit. But I don’t like grapes. They’re sour.
练习部分
一.按要求写出下列单词的正确形式。
bean(复数 tomato(复数 I’d like(完整形式 thin(反义词 Potato(复数 let’s(完整形式
二、用所给单词的适当形式填空。 1. Watermelon is (I) favorite fruit.
2. Your school menu (sound) very good.
3. I don’t like
4. Usually we have some (eggplant) and bread for
lunch on Tuesdays.
5. The hamburger is 6. Opens! The noodles are too
三.将A 、B 左右两栏的句子连线。(4分)
A B
1. What do you have for breakfast today? My favorite food is fish.
2. What would you like for lunch? No, we have cabbage and mutton. 3. What’s your favorite food? I have pork and cabbage for breakfast. 4. Do you have any noodles? I’d like some fish and noodles.
四.英汉互译。
1. We have mutton, fish and tofu today.
2. What do you have for lunch on Thursdays? 3. What is your favorite food?
4.I like apples because they are sweet.
5. 但是我不喜欢葡萄。
6. 星期三的晚饭吃什么?
Unit 4 What can you do?
一.词组:
(以下词组要求学生能听. 说. 认读和正确地书写) (以下要求学生能听. 说. 认读的单词) cook the meals 烧饭
empty the trash 倒垃圾 water the flowers 浇花 helpful 有帮助的 sweep the floor 扫地 at home 在家里 clean the bedroom 打扫卧室 make the bed 铺床 set the table 摆饭桌 wash the clothes 洗衣服 do the dishes 洗碗碟 use a computer 使用计算机 can ’t=can not 二.重点句型:
(以下句子要求学生会在实际生活中运用。)
1. I’m helpful! I can sweep the floor…. 2.
(以下课文要求学生背诵。) Let ’s talk 1..
Let ’s talk 2..
ill 有病的 wash the windows 擦窗户 just do it 就这么干吧 do housework 做家务 put away the clothes 收拾衣服 have a try 试一试 robot 机器人
play chess 下棋 I’d like to=I would like to
--- Can you do housework?
--- Yes, I can.
四会句型(要求学生听,说,读,写) --- What can you do? --- I can sweep the floor. --- I can cook the meals --- I can water the flowers. --- Can you make the bed? --- No, I can’t.
--- Can you use a computer? --- Yes, I can.
练习部分
一、根据提示,完成词组。
1. 做饭_______ the _________ 2. 拖卧室_________ the__________ 3. 扫地图_________the ________ 4. 浇花图__________ the ________ 5. 看电视图 ____________TV 6. 铺床 _______the bed 7. 做家务do_________ 8. 洗衣服_________the clothes 9. 摆饭桌________the table 10. 在家里at______
二.用所给单词的适当形式填空。(10分)
1. 2. 3. 4. 5.
三.将问句与答语连接起来。
What can you _______(do)?
I can ___________(clean) the classroom. My sister can cook the ______________(meal).
I can do many things at home, so I’m very___________(help). ____________(be) you ill today?
1. What can you do? A. She can water the plants.
2. What can Sarah do? B. Fish.
3. Can you use a computer? C. No, I can’t.
4. Can you wash the clothes? D. Yes, I can. I’m a computer.
5. What’s you favourite food? E. I can wash the clothes.
四.连词组句。(10分)
1. can, What, do? You,
___________________________________________________
2. can, Sarah, the, set, table.
___________________________________________________
3. you, the, Can, water, flowers?
____________________________________________________
4. can, I, the bed, make,
_____________________________________________________
5. can, I, the, floor. sweep,
_____________________________________________________
Unit 5 My new room
一.单词: (以下单词要求学生能听. 说. 认读和正确地书写) (以下要求学生能听. 说. 认读的单词) Curtain 窗帘 look at 看一看 trash bin 垃圾箱 own 自己的 closet 壁橱 flat 公寓 mirror 镜子 third 第三的 end table 床头柜 over 在…上面 bedroom 卧室 in front of 在…前面 kitchen 厨房 work 工作
bathroom 卫生间 tell 告诉;说
living room 客厅 very much 非常;很多
in 在…里面 air-conditioner 空调 on 在…上面
under 在…
下面
near 在.. 旁边
behind 在…后边
clothes 衣服
二.重点句型:
(以下句子要求学生会在实际生活中运用。)
1. --- Is this your bedroom? 2. --- Where is the trash bin?
--- Yes, it is. Come and look at my new curtains. ---.It’s near the table.
(以下课文要求学生背诵。)
Let ’s talk 1.
Let ’s talk 2.
四会句型(要求学生听,说,读,写)
There are two bedrooms, a kitchen, a bathroom and a living room.
There is a mirror, a bed and a big closet.
The closet is near the table.
Many clothes are in the closet.
The trash bin is behind the door.
练习部分
一、填入所缺字母,完成单词。
1. 窗帘 curt __ __ t 2. 衣橱cl __ s __
3. 卧室b __ droom 4. 垃圾箱tr __ sh b_ n
5. 镜子 m__ r__ __r 6. 卫生间ba__ __ room
7. 厨房 k__ tch __ n 8. 在……下面 __ nd __ r
9. 在……后面b __ h __ nd 10. 在……旁边 n __ __r
二、 将汉语与对应英语连线。
1. 我自己的房间 A. on the third floor
2. 在第三层 B. in front of the desk
3. 在书桌前面 C. my own room
4. 在墙上 D. over the bed
5. 在床的上方 E. on the wall
三、 选择填空。
( ) 1.There ___ a small closet in my bedroom.
A. am B. is C. are D. be
( ) 2.There ____ some pictures on the wall.
A. am B. is C. are D. be
( ) 3.My father has ______air-conditioner.
A. a B. an C. some D. \
( ) 4.Tom is behind Jim, Jim is _______Tom.
A. front B. in front of C. over D. behind
( ) 5.There is a TV set ______ the closet.
A. near B. in C. under D. behind
四、连词组句。
1、 trash bin , The ,the ,door, is , behind
___________________________________________________
2、Many , are , in , closet , clothes , the
___________________________________________________
3、my , I , room , have , own
___________________________________________________
4、are , There , studies , two , my , house , in
___________________________________________________
5、in , a , and , There , the , mirror , is , end table ,an ,bedroom
___________________________________________________
Unit 6 In nature park
一.单词: (以下单词要求学生能听. 说. 认读和正确地书写) (以下单词要求学生能听. 说. 认读) river 河流 sky 天空
flower 花 cloud 云
grass 草 mountain 山;山脉 lake 湖泊 nature park 自然公园 forest 森林 farm 农场
path 路 holiday 假期
park 公园 village 乡村;村庄 picture 照片 city 城市
house 房子 air 空气
bridge 桥 run 跑;奔跑
tree 树 any 任何的;所有的 road 公路
building 建筑物
clean 干净的
二.重点句型:
(以下句子要求学生会在实际生活中运用。)
1. There is a forest in the nature park.
2. There are many small houses in my village.
(以下课文要求学生背诵。)
Let ’s talk 1.
Let ’s talk .2.
四会句型(要求学生听,说,读,写)
--- Is there a forest in the park?
--- Yes, there is.
--- No, there isn’t.
--- Are there any pandas in the mountains?
--- No, there aren’t.
--- Are there any fish in the rivers?
--- Yes, there are.
练习部分
一、填入所缺字母,完成单词。
1. 河流r _ v _ r 2. 树 tr _ _ 3. 房子 h __ __ se
4. 花 fl _ _ er 5. 森林 f _ r _ s _ t 6. 建筑物bu _ _ ding
7. 公园 p _ _ k 8. 公路 r _ _ d 9. 桥 bri _ _ e
10. 干净的 cl _ _ n
二、选择填空。
( )1.___ a river in the park?
A. Is there B. Are there C. There is D. There are
( )2. —Is there a bird in the sky? ---_____ .
A. Yes, there are B. Yes, there isn’t
C. Yes, there is D. No, there is
( ) 3.Are there any fish in the river?
A. No, there isn’t. B. Yes, there are two fish.
C. Yes, there are two fishes. D. No, there are.
( )4. —How many books are there on the shelf?---_____.
A. Yes, there are B. No, there aren’t.
C. They are many books. D. Three
( )5.The bridge is the river.
A. in B. on C. over D. in front of
( )6.There are tall buildings in the village.
A. no B. not C. many D. a
三、根据汉语完成句子。
1、公园里有一个湖。 There is a in the 2、村庄里有一条河? There a in the village?
3、床头柜上有一面镜子吗?不,没有。
.
4、城市里有许多高的建筑物吗?
Are there tall .
四、 连词组句。
1、 there, Is, forest, nature park, the, a, in
?
2、 There, many, fish, in are, river, the
3、 any, in, the, Are, there, pandas, mountain
?
4、 many, There, houses, my, are, in, village
5、 can, many, see, You, fish