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范文一：判断系统稳定性

燕山大学课程设计说明书

摘要

现今数字信号处理理论与应用已成为一门很重要的高新科学技术学科，通过功能强大的MATLAB软件与数字信号处理理论知识相互融合在一起，既使我们对数字信号处理的理论知识能够有更加深厚的解也提高了动手能力，实践并初步掌握了MATLAB的使用。

根据本次课题要求，通过使用MATLAB，方便了对系统函数的繁琐的计算，并且直观形象的用计算机进行模拟仿真，通过观察图，由图像的特征从而进一步的对系统进行形象的分析。

本课题中给出了系统函数，对其稳定性进行分析我们可以通过MATLAB画零极图观察极点的分布，另外还可以通过MATLAB分析系统的单位阶跃响应、单位脉冲响应、幅频相频特性的图形更加具体的对系统进行分析。

关键字:离散系统函数、MATLAB、零极点分布、系统稳定性。

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一、设计原理

1.设计要求

(1):根据系统函数求出系统的零极点分布图并且判断系统的稳定性。

(2):求解系统的单位阶跃响应，并判断系统的稳定性。 (3):求系统的单位脉冲响应，并判断系统的稳定性

(4):求出各系统频率响应，画出幅频特性和相频特性图(zp2tf,zplane，impz等)

2、系统稳定性、特性分析

进行系统分析时我主要利用MATLAB软件绘制出系统零极点的分布图、单位脉冲响应图、单位阶跃响应图等。采用MATLAB软件进行设计时我调用了软件本身的一些函数来对课题进行绘图和分析。诸如zplane、impz、stepz、freqz等。

对系统函数的零极图而言:极点在单位圆内,则该系统稳定,极点在单位圆外，则该系统为非稳定系统。当极点处于单位圆内，系统的冲激响应曲线随着频率的增大而收敛;当极点处于单位圆上，系统的冲激响应曲线为等幅振荡;当极点处于单位圆外，系统的冲激响应曲线随着频率的增大而发散。系统的单位阶跃响应若为有界的则系统为稳定系统。由以上的判据配合图形对系统的稳定性进行分析，达到我们的课程要求。

系统函数H(z)的零极点分布完全决定了系统的特性，若某系统函数的零极点已知，则系统函数便可确定下来。因此，系统函数的零极点分布对离散系统特性的分析具有非常重要意义。通过对系统函数零极点的分析，可以分析离散系统以下几个方面的特性:

(1)系统单位样值响应h(n)的时域特性;

(2)离散系统的稳定性;

(3)离散系统的频率特性;

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二、MATLAB绘图分析

MATLAB功能丰富，可扩展性强。MATLAB软件包括基本部分和专业扩展两大部分的功能。基本部分包括:矩阵的运算和各种变换;代数和超越方程的求解;数据处理和傅立叶变换;数值部分等等，可以充分满足大学理工科本科的计算需要。扩展部分称为工具箱。它实际上是用MATLAB的基本语句辩称的各种子程序集，用于解决某一方面的专门问题，或实现某一类的新算法。

在使用MATLAB语言进行编程过程中，根据题目设计要求，需要用到得主要函数语言有clear，figure，impz，zplane，freqz，stepz等。

clear清除变量和函数。

figure即创建图形窗口的命令。

impz绘制单位脉冲响应。

zplane显示离散系统的零极点分布图。

freqz绘制幅频特性图。

stepz绘制单位阶跃响应图。

roots求多项式的根。

plot用于绘出函数图，plot(x，y)，其中x为横坐标，y为纵坐标，且x，y一般为一维的。

axis为人工选择坐标轴尺寸命令。

title(‘加图形标题')。

xlabel('加X轴标记')。

ylabel('加Y轴标记')。

grid on 加网格线。

subplot(m,n,p)该命令将当前图形窗口分成m×n个绘图区。

2z，5z,50H(z), 04322z,2.98z，0.17z，2.3418z,1.5147(1)

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1)zplane函数求解系统函数零极点分布

对应分子多项式系数为

B=[1,5,-50];

对应分母多项式系数为

A=[2,-2.98,0.17,2.3418,-1.5147];

zplane(B,A);

grid on;

legend('零点','极点');

title('零极点分布图');

x=roots(A);

y=roots(B);

abs(x);

零极点分布图为:

零点rz=(-10,5) rp=(-0.9000,0.7000?0.6000i,0.9900)结合图形分析，极点都在圆内，所以该系统稳定。

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2)求输入为单位阶跃序列时系统的响应

B=[1,5,-50];

A=[2,-2.98,0.17,2.3418,-1.5147]; stepz(B,A,2000);

gridon;

title(‘单位阶跃系列输入的系统响应’);

单位阶跃响应图为:

由图可见，该系统的单位阶跃响应曲线随着n增大最终归于有界。因此，验证了该系统是一个稳定系统。

3)系统的单位脉冲响应

a=[1,5,-50];

b=[2,-2.98,0.17,2.3418,-1.5147]; impz(a,b,100);

grid on;

title(‘系统单位脉冲响应’)

单位脉冲响应图为:

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由图可见，该系统的冲激响应曲线随着n增大而收敛。因此，验证了该系

统是一个因果稳定系统。

4)系统相频幅频特性图及分析

clear

a=[1,5,-50];

b=[2,-2.98,0.17,2.3418,-1.5147]; [H,w]=freqz(a,b,400,'whole'); Hf=abs(H);

Hx=angle(H);

clf

figure(1);

plot(w,Hf);

title('离散系统幅频特性曲线')

figure(2) plot(w,Hx) title('离散系统相频特性曲线')

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系统幅频特性图为:

由图可见，该系统的幅频特性曲线是一个凹面我们可以推断该系统具有带阻滤波的特性。

系统相频特性图为:

由上我们可以看出系统在一个期间内的相位变化。

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z H(z),1z,0.5(2)

1)zplane函数求解系统函数零极点分布

对应分子多项式系数为

B=[1];

对应分母多项式系数为

A=[1,-0.5];

zplane(B,A);

grid on;

legend('零点','极点'); title('零极点分布图'); x=roots(A);

y=roots(B);

abs(x);

零极点分布图为:

燕山大学课程设计说明书 2)求输入为单位阶跃序列时系统的响应 a=[1,-0.5];

b=[1];

stepz(B,A,2000); gridon;

title(‘单位阶跃系列输入的系统响应’); 单位阶跃响应图为:

3)系统的单位脉冲响应

a=[1,-0.5];

b=[1];

impz(a,b,100);

grid on;

title(‘系统单位脉冲响应’) 单位脉冲响应图为:

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4)系统相频幅频特性图及分析

clear

a=[1,-0.5];

b=[1];

[H,w]=freqz(a,b,400,'whole');

Hf=abs(H);

Hx=angle(H);

clf

figure(1);

plot(w,Hf);

title('离散系统幅频特性曲线')

figure(2) plot(w,Hx) title('离散系统相频特性曲线')

系统幅频特性图为:

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系统相频特性图为:

zH(z),(3) 2z,1

1)zplane函数求解系统函数零极点分布

燕山大学课程设计说明书对应分子多项式系数为

B=[1];

对应分母多项式系数为

A=[1,-1];

zplane(B,A);

grid on;

legend('零点','极点'); title('零极点分布图'); x=roots(A);

y=roots(B);

abs(x);

零极点分布图为:

2)求输入为单位阶跃序列时系统的响应a=[1,-1];

b=[1];

stepz(B,A,2000); gridon;

title(‘单位阶跃系列输入的系统响应’);

燕山大学课程设计说明书单位阶跃响应图为:

3)系统的单位脉冲响应

a=[1,-1];

b=[1];

impz(a,b,100);

grid on;

title(‘系统单位脉冲响应’) 单位脉冲响应图为:

燕山大学课程设计说明书 4)系统相频幅频特性图及分析

clear

a=[1,-1];

b=[1]

[H,w]=freqz(a,b,400,'whole');

Hf=abs(H);

Hx=angle(H);

clf

figure(1);

plot(w,Hf);

title('离散系统幅频特性曲线')

figure(2) plot(w,Hx) title('离散系统相频特性曲线')

系统幅频特性图为:

燕山大学课程设计说明书系统相频幅频特性图为:

zH(z),(4)3z,2

1)zplane函数求解系统函数零极点分布

对应分子多项式系数为

B=[1];

对应分母多项式系数为

A=[1,-2];

zplane(B,A); grid on;

legend('零点','极点'); title('零极点分布图'); x=roots(A); y=roots(B);

abs(x);

零极点分布图为:

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2)求输入为单位阶跃序列时系统的响应 a=[1,-2];

b=[1];

stepz(B,A,2000); gridon;

title(‘单位阶跃系列输入的系统响应’); 单位阶跃响应图为:

燕山大学课程设计说明书 3)系统的单位脉冲响应

a=[1,-2];

b=[1];

impz(a,b,100); grid on;

title(‘系统单位脉冲响应’) 单位脉冲响应图为:

4)系统相频幅频特性图及分析 clear

a=[1,-2];

b=[1];

[H,w]=freqz(a,b,400,'whole');

Hf=abs(H);

Hx=angle(H);

clf

figure(1);

plot(w,Hf);

title('离散系统幅频特性曲线')

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figure(2) plot(w,Hx) title('离散系统相频特性曲线')

系统幅频特性图为:

系统相频幅频特性图为:

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三、总结

我通过画零极图分析极点分布，由极点都分布在单位圆内得出该系统为稳定的。又通过作出系统的单位脉冲响应得出收敛的特性进一步验证了系统本身的稳定特性。系统的单位阶跃响应的有界性也说明了系统的稳定性。

我还画出了系统的幅频相频特性图分析出系统具有的带阻滤波特性还有相位的变化，基本完成了课程设计的要求。

四、心得体会

通过这次数字信号处理课程设计，使我对数字信号处理这门课程有了更深刻的认识，认识到了MATLAB软件的巨大功用并能初步掌握软件的使用方法，对以后的科学研究打下了一定的基础。课程设计过程中虽然遇到了许多问题但通过咨询老师同学，最终还是自主完成课程题目，使我更加对系统的稳定性有了深的认知这会促进我以后课程的继续学习。通过这次课设使自己能真正的处理现实当中的相关问题，而且对信号分析与处理的基本方法有了更深一层的理解，更重要的是提高了独立分析和解决实际问题的能力，这对以后进一步学习和实验提供了宝贵的经验

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参考文献

1、Matlab 7.0从入门到精通人民邮电出版社刘保柱等 2010 2、MATLAB在数字信号处理中的应用清华大学出版社薛年喜 2003年

3、自动控制原理国防工业出版社吴忠强 2004.06 4、信号处理原理及应用林洪彬谢平王娜机械工业出版社2009年

范文二：判断系统稳定性论文

判断系统稳定性

摘要

本课题主要是根据系统函数求出系统的零极点分布图并且求解系统的单位脉冲响应, 利用MATLAB 软件绘制出系统零极点的分布图, 根据零极点在单位圆的分布, 判断因果系统的稳定性. 从课题研究和设计过程当中对系统稳定性的判断有了清楚的认识, 既极点在单位圆内, 则该系统稳定, 极点在单位圆外，则该系统为非稳定系统。

关键字：离散系统，零极点分布

一、绪论 . ................................................... 3 二、方案 . ................................................... 2 实验原理 . ................................................ 2 三、过程论述及结果分析 ...................................... 3 1. 分别画出各系统的零极点分布图，并判断系统的稳定性 ....... 4 2. 分别求出系统的单位脉冲响应 ............................. 5 四、结论 . ................................................... 6 参考文献 . ................................................... 7

一、绪论

编制MATLAB 程序，完成以下功能，根据系统函数求出系统的零极点分布图，并求解系统的单位脉冲响应；根据零极点分布图判断系统的稳定性；绘制相关信号的波形。具体要求如下：

h (z ) =

2z 4

-2. 98z

+5z -50

+2. 3418z -1. 5147

+0. 17z

（1）画出各系统的零极点分布图，并判断系统的稳定性；（2）求出系统的单位脉冲响应.

二、方案

实验原理

离散系统的时域方程为

∑

k =0

d k y (n -k ) =

∑

k =0

p k x (n -k )

其变换域分析方法如下：

∞

y [n ]=x [n ]*h [n ]=

Z 域

∑

m =-∞

x [m ]h [n -m ]?Y (z ) =X (z ) H (z )

p (z ) D (z )

p 0+p 1z d 0+d 1z

-1-1

H (z ) =

+... +p M z +... +d N z

-M -N

系统的转移函数为

∑p -i

k z

∏(1-ξi z -1

) H (z ) =

i =0N

i =1N

∑d -i ∏(1-λ-1

k z

i z

)

分解因式 i =0

i =1

其中

ξi

和

λi

称为零、极点。

三、过程论述及结果分析

1. 分别画出各系统的零极点分布图，并判断系统的稳定性

+5z -50

h (z ) =

2z 4

-2. 98z

+0. 17z

+2. 3418z -1. 5147

用ZPLANE 函数求系统的零极点，MATLAB 源程序为：

%计算传递函数的零极点

X = [ 2 -2.98 0.17 2.3418 -1.5147 ]; %分母系数矩阵 P1 = roots (X); %极点

M = max ( abs(P1) ); %取极点模最大值

if (M<1) %判断是否全部极点在单位圆内="" disp="" ('系统稳定')="">

disp ('系统不稳定') %否则系统不稳定 end;

%计算传递函数的零点

D = [1 5 -50]; %分子的系数矩阵 Z1 = roots (D); %零点

zplane (D,X); %作出零极点分布图

零极点分布图为：

由上图可知，极点都在圆内，所以该系统稳定。

2. 求出系统的单位脉冲响应.

h (z ) =

z ?

432z -12z -2. 98z +0. 17z +2. 3418z -1. 5147

+5z -50

MATLAB 源程序为：

A = [2 -4.98 3.15 2.1718 -3.8565 1.5147]; %单位阶跃响应函数的分母系数矩阵 P2 = roots (A);

M1 =max ( abs (P2) ); if (M1<>

disp ('系统稳定') %如果极点全在单位圆内，系统稳定 else

disp ('系统不稳定') %否则系统不稳定 end;

四、结论

根据系统函数的极点在图上的分布来判断系统的稳定性, 如果极点在单位圆内，那该系统为稳定系统, 如果极点在单位圆外，那该系统为非稳定系统。要获得系统函数H(z)的零极点分布图，可直接应用zplane 函数，其语句格式为zplane(A,B)。其中，B 与A 分别表示H （z ）的分子和分母多项式的系数向量。它的作用是在Z 平面上画出单位圆、零点与极点。

分析信号的方法有两种，一种是时域分析法，一种是频域分析法。频域分析法是研究控制系统的一种经典方法，是在频域内应用图解分析法评价系统性能的一种工程方法。该方法是以输入信号的频率为变量，对系统的性能在频率域内进行研究的一种方法。频域分析法不必直接求解系统的微分方程，而是间接地揭示系统的时域性能，它能方便的显示出系统参数对系统性能的影响，并可以进一步指明如何设计校正。这种分析方法有利于系统设计，能够估计到影响系统性能的频率范围。

参考文献

[1] 张威. MATLAB 基础与编程入门（第二版）. 西安电子科技大学出版社 [2] 高西全. 丁玉美. 数字信号处理（第三版本）西安电子科技大学出版社

[3] 杨亚东. 数字信号处理课程设计指导书

范文三：判断系统稳定性论文《精选文档》

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判断系统稳定性

摘要

本课题主要是根据系统函数求出系统的零极点分布图并且求解系统的单位脉冲响应,利用MATLAB软件绘制出系统零极点的分布图,根据零极点在单位圆的分布,判断因果系统的稳定性.从课题研究和设计过程当中对系统稳定性的判断有了清楚的认识,既极点在单位圆内,则该系统稳定,极点在单位圆外，则该系统为非稳定系统。

关键字:离散系统，零极点分布

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一、绪论 ................................................ 3 二、方案 ................................................ 2

实验原理 .............................................. 2 三、过程论述及结果分析 ................................... 3

1.分别画出各系统的零极点分布图，并判断系统的稳定性 ...... 4

2.分别求出系统的单位脉冲响应 ........................... 5 四、结论 ................................................ 6 参考文献 ................................................ 7

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一、绪论

编制MATLAB程序，完成以下功能，根据系统函数求出系统的零极点分布图，并求解系统的单位脉冲响应;根据零极点分布图判断系统的稳定性;绘制相关信号的波形。具体要求如下:

2z，5z,50h(z), 4322z,2.98z，0.17z，2.3418z,1.5147

(1)画出各系统的零极点分布图，并判断系统的稳定性;

)求出系统的单位脉冲响应. (2

二、方案

实验原理

离散系统的时域方程为

dy(n,k),px(n,k),,kk,0,0 kk

其变换域分析方法如下:

y[n],x[n],h[n],x[m]h[n,m],Y(z),X(z)H(z),m,,,Z域

,1,Mp(z)p，pz，...，pz01MH(z),,,1,ND(z)d，dz，...，dz01N系统的转移函数为

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MM,1,i,(1,z)pz,,iki,0i,1H(z),,KNN,i,1dz(1,z),,,kii,0i,1分解因式

,,ii其中和称为零、极点。

三、过程论述及结果分析

1.分别画出各系统的零极点分布图，并判断系统的稳定性

2z，5z,50h(z), 4322z,2.98z，0.17z，2.3418z,1.5147

用ZPLANE函数求系统的零极点，MATLAB源程序为:

%计算传递函数的零极点

X = [ 2 -2.98 0.17 2.3418 -1.5147 ]; %分母系数矩阵

P1 = roots (X); %极点

M = max ( abs(P1) ); %取极点模最大值 if (M<1) %判断是否全部极点在单位圆内="">

disp ('系统稳定') %如果极点全在单位圆内，系统稳定 else

disp ('系统不稳定') %否则系统不稳定 end;

%计算传递函数的零点

D = [1 5 -50]; %分子的系数矩阵 Z1 = roots (D); %零点

zplane (D,X); %作出零极点分布图

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零极点分布图为:

由上图可知，极点都在圆内，所以该系统稳定。

2.求出系统的单位脉冲响应.

2z，5z,50zh(z),， 432z,12z,2.98z，0.17z，2.3418z,1.5147

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MATLAB源程序为:

A = [2 -4.98 3.15 2.1718 -3.8565 1.5147]; %单位阶跃响应函数的分母系数矩阵 P2 = roots (A);

M1 =max ( abs (P2) );

if (M1<1)>

disp ('系统稳定') %如果极点全在单位圆内，系统稳定 else

disp ('系统不稳定') %否则系统不稳定

end;

四、结论

根据系统函数的极点在图上的分布来判断系统的稳定性,如果极点在单位圆内，那该系统为稳定系统,如果极点在单位圆外，那该系统为非稳定系统。要获得系统函数H(z)的零极点分布图，可直接应用zplane函数，其语句格式为zplane(A,B)。其中，B与A分别表示H(z)的分子和分母多项式的系数向量。它的作用是在Z平面上画出单位圆、零点与极点。

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参考文献

[1] 张威. MATLAB基础与编程入门(第二版).西安电子科技大学出版社 [2] 高西全.丁玉美.数字信号处理(第三版本)西安电子科技大学出版社

[3] 杨亚东.数字信号处理课程设计指导书

范文四：一类二阶微分系统奇点稳定性的判断

( ) Journal of J iaozuo Instit ute of Technology Nat ural Science, Vol . 20 , No . 6 , Nov. 2001

一类二阶微分系统奇点稳定性的判断

刘锐宽

( )辽宁工程技术大学基础部 , 辽宁阜新 123000 摘要 : 从二阶微分系统右端多项式的系数中构造一个矩阵 A , 由矩阵 A 的特征根、特征向

量来直接确定二阶微分系统的奇点类型及其稳定性.

关键词 : 特征矩阵 ; 奇点依特征矩阵分类 ; 广义特征向量

中图分类号 :()文献标识码 : A 文章编号 : 1007Ο7332 2001 06Ο0485Ο04 Q 175 . 13

0 引言

本文讨论的二阶微分系统形式如下 :

d x 2 = ax + bx y + ax + by + C 1 1 2 2 2d t ()1 , d y 2 = ax y + by + ax + by + C1 1 3 3 3 d t

() 1的轨线方程为其中 a, C为实数 , 且 a, b不能同时为零 , 系统 , b, 1 13 1 1

2 ax y + by+ ax + by + C 1 1 3 3 3d y ()2 , = 2 d x a x + b x y + a x + b y + C 1 1 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )= 0 ()变型得- ax + by + Cd x + ax + by + Cd y + ax + by+ x d y - y d x 3 1 3 3 3 2 2 2 1 1

() ()由文献1 知方程 3称雅可比型方程 , 1 称为雅可比系统.

x x 12() 令 x = , 则方程 3 等价于, y = x x 33

d x d x 2d x 13 x () x 34 x 2= 0 , 1

bx ax bx + Cx ax + bx + Cx -ax -2 + 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 1 1 1 2

令阵征矩阵其中 x = 1 的情况见文献 1 . 3

aa- a 231 T bb 23()- b) ( 5 1, x = x , x , x , A = 1 2 3 CC 230

TT T T () ()x 则方程 4 可写成d x x A 6 = 0 .

依文献 1 、4() 方程 6至少有一个线性解 , 且线性解的系数组是矩阵 A 的特征向量.

1 判定法

由文献 5 知 :

() ( ) 而矩阵 , 1若矩阵 A 的实特征向量为 u, u , u , 则方程有线性解 : ux + uy + u= 0 1 1 3 1 2 3

() A 至少一个线性无关的实特向量 , 最多有三个线性无关实特征向量. 故方程组 1至少有一条线性

收稿日期 : 2001Ο08Ο10 ; 修回日期 : 2001Ο09Ο20 ( ) 作者简介 : 刘锐宽 1937Ο, 男 , 安徽合肥人 , 教授 , 现从事微分方程定性理论研究.

焦作工学院学报 (自然科学版) 2001 年第 20 卷 486

轨线 , 最多有 3 条线性轨线.

() ( ) ( λ2设 A 有 3 个实的互异的 i = 1 , 2 , 3, 分别对应 3 个线性无关的特征向量 u u , i i i1

) ( ) () ( ) ( u , u i = 1 , 2 , 3, 即系统 1有 3 条不相交于一点的线性轨线 L u + u + u = 0i = i2 i3 i i1 i2 i3 ) () 1 , 2 , 3, 则系统 1至少有两个奇点.

( ) λλ3设矩阵 A 有两个互异实特征根、且对应于 3 个线性无关的特征向量 , 即 A 的特征为 1 1 2

( )λλu 个单根对应的特征向量为 u, ; 1 个二重根且对应于两个线性无关的特征向量 1 11 u, 13 2 12

( ) ( ) () u, u, u、u, u , u时雅可比型系统 1有一条奇线和一弧立奇点. 21 22 23 31 32 33

() ( λ 4设 A 的特征根为 1 个三重根 , 且对应 2 个线性无关的特征向量 u u , 1 11 ) 和uu , 12 13

T T U )) ( λ) ( ( u , 若 A 的广义特征向量 V = v , v , v 使 A - EV = , 则系统有奇线 u u, u , 1 2 3 2 21 22 2 23

uu x + u y + = 0 而无孤立奇点. 2321 22

() ( α βλ 5设矩阵 A 的特征根为一个实根和一对共轭复根?i , 且对应的实特征向量为 u, 11

)( ) () u u ,, 共轭复根对应的共轭复特征向量为 : v ?w ij = 1 , 2 , 3, 则系统 1有一孤立奇点 12 j j13

v x + v y + v = 0 1 2 3 . w x + w y + w = 0 1 2 3

λλλα α α 且当< 时为稳定焦点="" ,="" 当=""> 时为不稳定焦点 , 而当= 时为中心. () ( λλ 6定理矩阵 A 有两个互异实特征根、且只对应两个线性无关的特征向量 u,u, 12 1 2 11

有两 ))( )λ( , 即二重根只对应一个线性无关的特征向量时 , 雅可比型系统 1 u 、u , u u , 13 23 22 2 21

个孤立奇点 :

u= 0 ux + uy + = 0ux + u y +u 11 12 1321 22 23 ()() 8 , , 7M : M : 2 1 uv x + v y + v = 0 ux + u y + = 0 1 2 3 21 22 23 T T () 其中] . 9 u( λV ] = ) u uA - E[ V V 23 2 13 21222

λ< 时="" 1=""> λ时为不稳定退化结点 , λλ且 M 是不稳定的高次奇点 ; M 是退化结点 ,1 而当当重根 1 2 22

为稳定的退化结点.

证明

() i作变换

y = x + x + u u x u 111 1 12 2 13 3 y u x + u x + = u x ()221 1 22 2 10 , 23 3 y u x + u x + u x 3= 31 1 32 2 33 3

λ v u u0 0 11 1121 - 1 v λ 0 u u21 则 B A B 2令12 22 , . B = = v 0 λ 0 3u u213 23

()() 方程 6 在变换 10下将变为

d y d y d y 123 yy y ()12311 = 0 .

λλλy yy + y 2 2 31 1 2 2

() η 展开方程 11左端行列式 , = ζ则得并令 y = 1 , y= , y 3 2 1

()12 ληζ λζη (η λ) (ζη ηζ)= 0 , - d+ d- + d- d 212

合并整理得

2 ηζ (λλ)ζ ζηη d+ - - ]d= 0 , 1 2

2 ηηd- ()即13 , = ζ (λλ)ζ ζηd- - 1 2

() 方程 13为方程组

第 6 期刘锐宽 : 一类二阶微分系统奇点稳定性的判断 487

ζd (λλ)ζ ζη- - = 1 2 d t ()14 . ηd 2 η= - d t

的轨线方程.

() ()ηζ依据文献3 、4 有在平面上的奇点 0 , 0是方程组 14 的高次奇点.

λλ此时 , a = - , b = 0 , a= 0 , a= - 1 , a= 0 , c βββ= 0 . d = 0 ,= 0 ,= 0 ,= - 1 , 1 2 1 2 3 1 2 3

2 2 2 2 2 2 2d a+ b?0 (λλ) ?0 而 d bc = 0 , a+ b+ c+ = - = c = 0 q = a d - 1 2

λ当 1λ() , 则 0 , 0点不稳定. > 0 > 时 a 2 当λ 1() β, 故 0 , 0仍是不稳定. 即在ηζ平面上的奇点 ?0 < λ时="" a="">< 0="" ,="" 但由于="" b="0" ,="" 32="">

() ( ) 0 , 0是一个不稳定的高次奇点. 由文献知 x y 平面上的奇点 M x , y亦是一个不稳定的高 3 1 1 1 次奇点 , 0 的交点. = 而这里 M 点是直线 ux + uy +u = 0 和 uxu + uy + 1 11 12 22 1321 23

()作变换ii

y = x u 1x + u x + u 23 321 1 22 2 y = 2()v x + v x + v x 15 , 1 1 2 2 3 3 y x + u 312 2 = u x + u x 11 1 13 3

uλ v u1 0 11 2 121 - 1 λ v u0 u0 2记, 则 212 C B C . C = = 22 λ v 0 u0 3u123 13

() 在变换15下方程将变成 : ()6

d y d y d y 123 y y y() 16 23= 0 . 1

λλλy yy+ y 1 2 2 1 1 3

() η ζ 得展开方程 16左端行列式 , 并令 y = 1 , y= , y = 3 2 1 (ζ λη) ζ λζη λ(ζη ηζ) ()- + d+ d- d- d= 0 17 , 221

化简整理得

ζ λλ) ηζ (λλ) ζη ([ - - - ]d+ - d= 0 , 2 1 2 1

+ (λ- λ) η ζ η d2 1 ()即=18 . ζ(λλ)ζd - 2 1

() 方程 18是方程组

ζd (λλ)ζ= - 2 1 d t ()19 . ηd ζ λλ) η(= + - 2 1 d t

的轨线方程.

τ 0 () () τ 19有奇点 0 , 0且其特征根τλλ又由于其标准矩阵为型 , 方程组 , = = - 12 2 1τ 1

( ) ( ) ( ) ( ηζ依文献3 、4 知 0 , 0是方程组 19的退化结点. 对应在平面奇点 0 , 0的点 M x , 2 2

) () λλλλ y 也是方程组 1的退化结点. 且当> 时为不稳定的 , < 时为稳定的退化结点.="" 这里2="" 2="" 1="" 2="" 1="" (="" )="" m="" x="" ,="" y="" 是直线="" ux="" +="" uy="" +="" u="0" 和="" v="" x="" +="" v="" +="" v="0" 的交点.="" 2="" 2="" 2="" 21="" 22="" 231="" y="" 3="">

λ( )λ综上所述 , 当 A 有 2 个互异实特征根, 且只有 2 个线性无关的特征向量时 , 方程组 1 1 2

有 2 个孤立奇点 1 个奇点为 ux + u y + u= 0 与 u x + u y + u= 0 的交点是 1 个不稳定的 11 12 13 21 22 23

u高次奇点 ; 1 个奇点为 v x + v y + v = 0 与 ux + u y + = 0 的交点 , 是 1 个退化结点 , 且 231 2 3 21 22

λλλλ当重根大于单根时为不稳定的退化转点 , 而当小于时为稳定的退化结点. 2 1 2 1

焦作工学院学报 (自然科学版) 2001 年第 20 卷 488

2 举例

d x 2 2 x - 7 x y + x - 6 y + 2 = - d t 求雅可比型方程组的奇点并判断其稳定性d y 2 x y - 7 y - 2 x + 6 y - 3 2 = - d t

- 2 2 1

解矩阵 A 为 λλλ- 6 6 7 λ, A 的特征根为= 5 , = = 1 ; 对应= 5 的特征向量为 13 1 2

2 - 3 0

() () λ1 , - 1 , 1, 对应= 1 的特征向量为 2 , 1 , 1, 这是 2 个互异实特征根对应 2 个线性无关的特 2

征向量的情况 , 方程组有 1 个不稳定的高次奇点 M 和 1 个退化结点 M . 1 2

x - y + 1 = 0 2 1 ( )高次奇点 M 为 , 则 M 点为 - , - 1 1 3 3 2 x + y + 1 = 0

V u 121 V 2u ( )( λ)解得广义特征向量 - 1 , - 1 , 0 由 A - E 22= 2 V 3u 23

2 x + y + 1 = 0 ( ) 退化结点 M 为即 M 为 - 1 , 1. 2 2 x + y = 0

1 2 λ( ) λ 由于- = - 4 < 0="" ,="" 所以="" m="" 为稳定的退化结点="" ,="" 即方程组有高次奇点="" -="" ,="" -="" ,="" 稳定2="" 1="" 2="" 3="" 3="">

( ) 的退化结点 - 1 , 1.

参考文献 :

1 Степеноp B B курсДцххереннаΟцнюпуравыхуравненийM . 1950 . 150 - 160 .

2 Edovard Goursat Diff rential Equatio ns Being Part Volume. 北京 : 商务印书馆 , 1952 . 163 - 164 . 3 王联 , 王慕秋. 非线性微分方程定性分析 M . 黑龙江 : 哈尔滨工业大学出版社 , 1987 . 4 刘锐宽 , 陶敬东. () () () 雅可比方程 J acobi的一种解法 J . 阜新矿业学院学报自然科学版, 1994 4: 115 . 5 刘锐宽 , 李伟. ( ) ( ) 雅可比型系统奇点稳定性的判别 J . 合肥工业大学学报自然科学版, 1995 , 18 3:

21 .

Deter mi natio n of st abilit y of o dd poi nt s of special seco nd differential system

L IU RuiΟkuan

( )Dept . of B asic S ciences , L i aoni n g En g . Tech nical U ni versi t y , Fu x i n 123000 , Chi na

( ) Abstract : It has co nst ructed a mat rix A f ro m multio no mial co nfficient s of t he system 1 o n t he rit he . Thus , kinds and stability of o dd poins are directly deter mined by charcteristic root s and charact ristic vecto rs.

Key words : system ; o dd point s charcteric mat rix characteric root s ; characterisitic vecto rs

(本文责任编校宫福满毋爱君)

范文五：实验2 利用MATLAB判断系统的稳定性

实验 2利用 MATLAB 判断系统的稳定性、实现极点配置、

设计状态观测器

1、实验设备

PC 计算机 1台, MATLAB 软件 1套。 2、实验目的

(1)学习判定系统稳定性的方法;

(2)学习闭环系统极点配置定理及算法,学习全维状态观测器设计方法;

(3) 学习用 SIMULINK 搭建仿真模型, 比较直接状态反馈闭环系统和带有状态观测器的状态反馈闭环系统在不同初始条件下的性能。 3、实验原理及实验内容

(1)判定系统的稳定性

[]

001631234100010=?????

?????-+??????????---=?

y u x x 程序:

A=[010;001;-4-3-2];B=[1;3;-6];C=[100];D=0;

[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,1)

(2)极点配置和状态观测器设计

已知系统的状态方程和输出方程如下,用状态反馈使闭环系统的极点为 -2+j、 -2-j ,由于状态变量不能量测,设计状态观测器使观测器的极点为 -6, -6

[]

01103210=?

???+??????--=?

y u x x 程序:

A=[01;-2-3];B=[0;1];C=[10];P=[-2+j;-2-j];K=acker(A,B,P)P1=[-6;-6];

Gt=acker(A',C',P1);G=Gt'

(3)极点配置状态反馈系统的实现

根据(2)中的运行结果,用 SIMULINK 搭建仿真模型,实现极点配置状态反馈系统,绘制系统的单位阶跃响应曲线

(4)设计全维状态观测器。

(a)根据(2)中的运行结果,用 SIMULINK 搭建仿真模型,设计观测器,假设原系统的初始条件为 x1(0)=0.5,x2(0)=0.1,观测器的初始条件为 x1(0)=-0.3,x2(0)=0.6时,观察并比较示波器中原系统状态变量和观测器状态变量的单位阶跃响应。

(b )在 MATLAB 命令窗口输入, plot(tout,yout),观察并比较示波器中原系统状态变量和观测器状态变量的单位阶跃响应。

(5)比较直接状态反馈闭环系统和带有状态观测器的状态反馈闭环系统在不同初始条件下的性能。

(a)原系统的初始条件为 x1(0)=0.5,x2(0)=0.1,观测器的初始条件为 x1(0)=-0.3,x2(0)=0.6时, 观察并比较示波器中原系统状态变量和观测器状态变量的单位阶跃响应。

(b )在 MATLAB 命令窗口输入, plot(tout,yout)

观察并比较示波器中原系统状态变量和观测器状态变量的单位阶跃响应。

4. 实验报告:

(1)写出将实验内容的程序和运行结果。

一:)判定系统的稳定性

[]0 0 1

6 3 1 2

3 4 1

0 0 0

1 0

??????????-+?

=?y

u x

程序:

A=[010;001;-4-3-2];

B=[1;3;-6];

C=[100];

D=0;

[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,1)

z =

-4.3028

-0.6972

p =

-1.6506

-0.1747+1.5469i

-0.1747-1.5469i

k =1

二:已知系统的状态方程和输出方程如下,用状态反馈使闭环系统的极点为 -2+j、 -2-j , 由于状态变量不能量测,设计状态观测器使观测器的极点为 -6, -6

[]

01103210=???

???+??????--=?

y u x x K =

G =

97三

示

波

器

图

形

四:

五:

(2)实验体会。

1:带有状态观测器的状态反馈系统在不同初始条件下更加稳定, 反馈平稳, 图像更加平缓, 稳定性更强。

2:初始状态值越大,系统稳定性越低, 、反馈时间越长,系统平稳所需时间越长。

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