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范文一：可积条件

§2 可积条件

(一) 教学目的：理解定积分的充分条件，必要条件和充要条件． (二) 教学内容：定积分的充分条件和必要条件；可积函数类

基本要求：掌握可积的必要条件, 充分条件及证明思路. 掌握可积函数类. (三) 教学建议：

(1) 理解定积分的第一、二充要条件是本节的重点，要求学生必须掌握．

(2) 证明定积分的第一、二、三充要条件是本节的难点．对较好学生可要求掌握这些定

理的证明以及证明某些函数的不可积性．

——————————————————————

必要条件:

Th 1 f (x ) ∈R [a , b ]，? f (x ) 在区间 [ a , b ]上有界.

充要条件:

1. 思路与方案:

思路: 鉴于积分和与分法和介点有关, 先简化积分和. 用相应于分法T 的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和 , 即用极限的双逼原理考查积分和有极限, 且与分法T 及介点ξi 无关的条件 .

方案: 定义上和 S (T ) 和下和 s (T ) .

研究它们的性质和当→0时有相同极限的充要条件 .

2. Darboux 和: 以下总设函数 f (x ) 在区间 [ a , b ]上有界. 并设m ≤f (x ) ≤M , 其中m 和M 分别是函数f (x ) 在区间 [ a , b ]上的下确界和上确界 .

定义 Darboux 和, 指出Darboux 和未必是积分和 . 但Darboux 和由分法T 唯一确定. 分别用S (T ) 、s (T ) 和∑(T ) 记相应于分法T 的上（大）和、下（小）和与积分和. 积分和

∑(T ) 是数集(多值) . 但总有 s (T ) ≤∑(T ) ≤ S (T ) , 因此有 s (T ) ≤

____

S (T ) .

s (T ) 和 S (T ) 的几何意义 .

3. Darboux 和的性质: 本段研究Darboux 和的性质, 目的是建立Darboux 定理. 先用分点集定义分法和精细分法: T ≤T '表示T '是T 的加细 .

____

性质1 若T ≤T ', 则s (T ) ≤s (T ') , S (T ) ≥S (T ') . 即 : 分法加细, 大和不增, 小和不减 . ( 证 )

性质2 对任何T , 有 m (b -a ) ≤S (T ) , M (b -a ) ≥s (T ) . 即 : 大和有下界, 小和有上界. ( 证 )

性质3 对任何T 1 和 T 2 , 总有s (T 1) ≤S (T 2) . 即: 小和不会超过大和 .

证 s (T 1) ≤ s (T 1+T 2) ≤ S (T 1+T 2) ≤ S (T 2) . 性质4 设T '是T 添加p 个新分点的加细. 则有

s (T ) ≤s (T ') ≤s (T ) + p (M -m ) T ,

S (T ) ≥S (T ') ≥S (T ) - p (M -m ) .

证设T 1是只在T 中第i 个区间[x i -1 , x i ]内加上一个新分点x 所成的分法, 分别设

M 1=sup

[x i -1, x ]

f (x ) , M

=sup f (x ) , M i =sup f (x ) .

[x , x i ]

[x i -1, x i ]

显然有 m ≤M 1 和 M 2≤M i ≤M . 于是

0≤S (T ) -S (T 1) =M i (x i -x i -1) -M 1(x -x i -1) -M 2(x i -x )

=(M i -M 1)(x -x i -1) +(M i -M 2)(x i -x ) ≤

≤(M -m )(x -x i -1) +(M -m )(x i -x ) =(M -m )(x i -x i -1) ≤(M -m ) .

添加p 个新分点可视为依次添加一个分点进行p 次. 即证得第二式.

可类证第一式.

系设分法T '有p 个分点，则对任何分法T ，有

S (T ) -p (M -m ) ||T || ≤ S (T ') ， s (T ) +p (M -m ) ||T || ≥ s (T ') .

证 S (T ) -p (M -m ) ||T || ≤ S (T +T ') ≤ S (T ') .

s (T ) +p (M -m ) ||T || ≥ s (T +T ') ≥s (T ') .

上积分和下积分:

设函数f (x ) 在区间 [ a , b ]上有界. 由以上性质2 ，s (T ) 有上界，S (T ) 有下界 . 因此它们分别有上确界和下确界.

定义记?

f (x ) dx =inf S (T ) , ?

f (x ) dx =sup s (T ) . 分别称 ?

和?

为

函数f (x ) 在区间 [ a , b ]上的上积分和下积分.

对区间 [ a , b ]上的有界函数f (x ) , ?对任何分法T , 有 s (T ) ≤

a __

和?

存在且有限 , ?

≥

. 并且

≤ ?

≤S (T ) .

上、下积分的几何意义.

例1 求

5. Darboux 定理 :

Th 1 设函数f (x ) 在区间 [ a , b ]上有界, T 是区间 [ a , b ]的分法 . 则有

D (x ) dx 和 ?

D (x ) dx . 其中D (x ) 是Dirichlet 函数 .

T →0

S (T ) =?

f (x ) dx , s (T ) =?

T 0

f (x ) dx .

证 ( 只证第一式 . 要证 : 对?ε>0 , ?δ>0 , 使当 T <δ>

0≤S (T ) -

<ε. 0≤s="" (t="" )="">

是显然的. 因此只证 S (T ) -

<ε.>

=inf S (T ) , ? 对?ε>0 , ? T ' , 使S (T ') <>

设 T ' 有p 个分点, 对任何分法T , 由性质4的系, 有

S (T ) -p (M

-m ) ≤ S (T ') ,

由*) 式, 得

S (T ) -p (M -m ) ≤ S (T ') <>

即

S (T ) -p (M -m ) <>

亦即 S (T ) -

<+ p="" (m="" -m="" )="" t="">

于是取 δ=

ε, ( 可设M >m , 否则f (x ) 为常值函数, ?

= S (T ) 对任何

2p (M -m )

分法T 成立. ) 对任何分法T , 只要

<δ,>

0≤S (T ) -

=ε.

此即 T →0

S (T ) =?

f (x ) dx

可积的充要条件:

Th 2 （充要条件1 ）设函数f (x ) 在区间 [ a , b ]上有界.

f (x ) ∈ R [ a , b ] ? ?

= b

证 ?) 设 ?f (x ) dx =I , 则有

x I .

T →0

∑

f (i ) ?x i =即对 ?ε>0 , ?δ>0 , 使当

<δ>

| ∑f (x i ) ?x i -I |

对? ξi ∈ ?x i 成立.

在每个 [ x i -1 , x i ] 上取ηi , 使 0≤M εi -f (ηi )

, 于是,

2(b -a )

| S (T ) -

∑f (ηε

i ) ?x i | = ∑( M i -f (ηi )) ?x i

因此, T <δ>

| S (T ) -I | ≤ | S (T ) -

∑f (ξi ) ?x i | + | ∑f (x i ) ?x i -I |

= __

此即 , ? ?

= I .

→0

S (T ) =I . 由Darboux 定理a

同理可证 ?

= I . ? a

= a

∑__

?) 对任何分法T , 有s (T ) ≤

(T ) ≤ S (T ) , 而

s (T ) =?

→0

= ?

= →0

S (T ) .

令?

和 ?

的共值为I , 由双逼原理 ? →0

∑(T ) =I .

Th 3 f (x ) 有界. f (x ) ∈ R [ a , b ] ? 对 ?ε>0 , ? T , ? S (T ) -s (T ) <>

证 ?) f (x ) ∈ R [ a , b ]?( S (T ) -s (T ) ) = 0. 即对?ε>0 , ?δ>0 ,

? T , T <δ时, ?="" 0≤s="" (t="" )="" -s="" (t="" )=""><>

?) s (T ) ≤

≤ ?

____

≤S (T ) , 由S (T ) -s (T ) <ε,>

0≤ ?

– ?

<ε, ?="">

= ?

定义称 ωi =M i -m i 为函数f (x ) 在区间[ x i -1 , x i ]上的振幅或幅度. 易见有ωi ≥ 0 . 可证 ωi =

sup

x ', x ''∈[x i -1, x i ]

f (x ') -f (x '') .

Th 3’ (充要条件2 ) f (x ) 有界. f (x ) ∈ R [ a , b ] ? 对 ?ε>0 , ? T , ?

∑ωI ?x i <>

Th 3’ 的几何意义及应用Th 3’的一般方法: 为应用Th 3’, 通常用下法构造分法T : 当函数f (x ) 在区间 [ a , b ]上含某些点的小区间上ωi 作不到任意小时, 可试用f (x ) 在区间 [ a , b ]上的振幅ω=M -m 作ωi 的估计 , 有ωi ≤ ω. 此时, 倘能用总长小于ε

2ω

( ω≠0, 否则f (x ) 为常值函数 )的有限个小区间复盖这些点，以这有限个小区间

的端点作为分法T 的一部分分点，在区间 [ a , b ]的其余部分作分割，使在每个小区间上有ωi

ε2(b -a )

, 对如此构造的分法T , 有

n -m

∑ω

i =1

?x i =

∑ω

k =1

?x k + ∑ωj ?x j <>

j =1

n -m

k =1

ε2(b -a )

n -m

?x k + ∑ω?x j ≤

j =1

≤

∑2(b -a )

i =1

?x i + ω∑?x j ≤

j =1

ε2(b -a )

(b -a ) + ω

ε2ω

=ε.

Th 4 ( (R ) 可积函数的特征 ) 设f (x ) 在区间 [ a , b ]上有界. f (x ) ∈ R [ a , b ]

? 对? ε>0 和 ? σ>0 , ? δ>0, 使对任何分法T , 只要 T <δ,>

ωi '≥ε的那些小区间?x i '的长度之和 ∑?x i '<>

证 ?) f (x ) 在区间 [ a , b ]上可积, 对? ε>0和 ? σ>0 , ? δ>0, 使对任何分法T , 只要 T <δ,>

ε∑?x i '≤∑ω

i '

?x i '≤

∑ω

?x i <εσ ,="" ?="" ∑?x="" i=""><>

εω

, 此时有

?) 对?ε>0 , ? T , ? ωi '≥ε的区间总长小于

∑ωi ?x i =∑ωk ?x k + ∑ωi '?x i '≤ε∑?x k + ω∑?x i '≤ε(b -a ) +ω

k =1

i '=1

k =1

i '=1

εω

=ε(b -a +1).

例讨论Dirichlet 函数D (x ) 在区间 [ 0 , 1 ]上的可积性 .

三．可积函数类：

1．

闭区间上的连续函数必可积：

Th 5 （证） 2．

闭区间上有界且仅有有限个间断点的函数可积 .

Th 6 （证）

系1 闭区间上按段连续函数必可积 .

系2 设函数f (x ) 在区间 [ a , b ]上有界且其间断点仅有有限个聚点, 则函数

f (x ) 在区间 [ a , b ]上可积.

例2 判断题 : 闭区间上仅有一个间断点的函数必可积 . ( ) 闭区间上有无穷多个间断点的函数必不可积 . ( ) 闭区间上的单调函数必可积（） Th 7 （证）

?0 , x =0 , ?

例3 f (x ) =?111 n =1 , 2 ,

<. ?="">

n +1n ?n

证明f (x ) 在[ 0 , 1 ]上可积.

关于可积性的更一般的充分条件为:

Th 闭区间 [ a , b ]上的正规函数( regulated function )f (x ) 是可积的.

参阅 : S . K . Berberian , Regulated function : Bourbaki’s alternative to the Riemann integral , The American Mathematical Monthly , Vol. 86 , No.3. 1979, P 208—211.

范文二：可积条件

§3 可积条件

教学目的:掌握可积判别准则及可积函数类。

重点难点:重点为可积性判别 , 难点为可积函数类的证明。教学方法:讲练结合。一可积的必要条件

定理 9. 2 若函数 f 在 []b a , 上可积,则 f 在 []b a , 上必定有界.

证用反证法.若 f 在 []b a , 上无界,则对于 []b a , 的任一分割 T ,必存在属于 T 的某个小区间 k k x f x ??在 , 上无界.在 k i ≠各个小区间 i ?上任意取定 i ξ,并记 ()i

i i

x f G ?=

∑≠ξ

现对任意大的正数 M ,由于 f 在 k ?上无界,故存在 k k ?∈ξ,使得 (. k

k x G

M f ?+>

ξ 于是有

()()()i

i i

k k i

i i

f x f x

f ?-

?≥?∑∑≠=ξξξ1

M G x x G

M k k

=-???+

由此可见,对于无论多小的 T ,按上述方法选取点集 {}i ξ时,总能使积分和的绝对值大于任何预先给出的正数,这与 f 在 []b a , 上可积相矛盾. 口注 :有界函数不一定可积。例 1 证明狄利克雷函数 ()??

?=x x x D , 0, 1为无理数

为有理数

在 []10,

上有界但不可积. 证显然 ([]. 1, 0, 1∈≤x x D

对于 []10,

的任一分割 T ,由有理数和无理数在实数中的稠密性,在属于 T 的任一小区间 i ?上,当取 i ξ全为有理数时,

()11

=?=?∑∑==n

i i

n i i

x D ξ;当取 i ξ全为无理数时,

()01

=?∑=i

i i

D ξ. 所以不论多么小, 只要点集 {}i ξ取法不同 (全取有理数或全取无理数 ) ,

积分和有不同极限,即 ()x D 在 []10, 上不可积. 口

由此可见, 有界是可积的必要条件. 以后讨论函数的可积性时, 总是假设函数是有界的.

二可积的充要条件

要判断一个函数是否可积, 固然可以根据定义, 直接考察积分和是否能无限接近某一常数, 但由于积分和的复杂性和那个常数不易预知, 因此这是极其困难的. 下面即将给出的可积准则只与被积函数本身有关,而不涉及定积分的值.

设 {}

n i T i , , 2, 1 =?=为对 []b a , 的任一分割. 由 f 在 []b a , 上有界, 它在每个 i ?上存在上、下确界:

()(). , , 2, 1, inf , sup n i x f m x f M i

x i x i ===?∈?∈

作和

()(), , 1

n i n

i i

x m T s x M T S ?=?=

∑∑==

分别称为 f 关于分割 T 的上和与下和 (或称达布上和与达布下和 ,统称达布和 ) .任给

, , , 2, 1, n i i i =?∈ξ,显然有

()()(). 1

∑=≤?≤

i i

T S x

f T s ξ

与积分和相比较,达布和只与分割 T 有关,而与点集 {}i ξ无关.由不等式 (1),就能通过讨论上和与下和当 0→时的极限来揭示 f 在 []b a , 上是否可积.所以,可积性理论总是从讨论上和与下和的性质入手的.

定理 9. 3 (可积准则 ) 函数 f 在 []b a , 上可积的充要条件是:任给 0>ε, 总存在相应的一个分割 T ,使得

()()ε<-t s="" t="">

设 i i i m M -=ω称为 f 在 i ?上的振幅,有必要时也记为 f

i ω。由于

S(T) -()=

T s ∑=n

i i

i χ?(或记为 i T

i x ?∑ω) ,

因此可积准则又可改述如下:

定理 3. 9', 函数 f 在 []b a , 上可积的充要条件是:任给 0>ε,总存在相应的某一

分割 T ,使得

εω<>

i x

几何意义是:若 f 在 []b a , 上可积,则包围曲线 =y ()x f 的一系列小矩形面积之和可以达到任意小,只要分割充分地细;反之亦然. 三可积函数类

根据可积的充要条件, 我们证明下面一些类型的函数是可积的 (即可积的充分条件 ) .

定理 9. 4 若 f 为 []b a , 上的连续函数,则 f 在 []b a , 上可积.

证由于 f 在闭区间 []b a , 上连续,因此在 []b a , 上一致

连续.这就是说,任给 0>ε,存在 >δ0,对 []b a , 中任意两点 x '`x '',只要 x x ''-'δ<, 便有="">

b x f x f -

''-'ε

所以只要对 []b a , 所作的分割 T 满足 δ<>

小区间 i ?上,就能使 f 的振幅满足

()()a

b x f x f m M i i i -

''-'=-=ε

ωsup

从而导致

εε

χω=?-≤

?∑∑T

i T

i x

由定理 3. 9',证得 f 在 []b a , 上可积.

应该注意到一致连续性在本定理证明中所起的重要作用.

定理 9. 5 若 f 是区间 []b a , 上只有有限个间断点的有界函数,则 f 在 []b a , 上可积. , 证不失一般性,这里只证明 f 在 []b a , 上仅有一个间断点的情形,并设该间断点即为端点 b .

任给 0>ε, 取 δ', 满足 m M -

'<>

δ, 且 a b -<'δ, 其中 M 与 m 分别为 f 在

[]b a , 上的上确界与下确界 (设 M m <,否则>

为常量函数,显然可积 ) .记 f 在小区间

[]b b , δ'-=?'上的振幅为 ω',则

()2

2ε

δω=

-<''m M m M

因为 f 在 []δ'-b a , 上连续, 由定理 9. 4知 f 在 []δ'-b a , 上可积. 再由定理 9. 3, (

必

要性 ) ,存在对 []δ'-b a , 的某个分割 {}121, , , -???='n T ,使得

?∑'

i T i x

令 ?'=?n ,则 {}121, , , -???=n T 是对 []b a , 的一个分割,对于 T ,有

. 2

εε

δωωω=+

''+?=?∑∑'

i T i i T

i x x

根据定理 9. 3, (充分性 ) ,证得 f 在 []b a , 上可积. 口定理 9. 6 若 f 是 []b a , 上的单调函数,则 f 在 []b a , 上可积.

证设 f 为增函数,且 ()()()(), , b f a f a f a f =<若 ,则="" f="">

[]b a , 的任一分割 T ,由 f 的增性, f 在 T 所属的每个小区间 i ?上的振幅为

()(), 1--=i i i x f x f ω

于是有

()()[T

x f x f x n

i i i

∑∑---≤?1

()()[b f a f -= 由此可见,任给 0>ε,只要 , b f a f -<>

这时就有

, εω<>

i x

所以 f 在 []b a , 上可积.

注意,单调函数即使有无限多个间断点,仍不失其可积性. 例 2 试用两种方法证明函数

() , 2, 1, 11

, 1, 0, 0=???

??≤<+==n n="" x="" n="" n="" x="" x="" f="" 在区间="" []1,="">

证 [证法一 ] 由于 f 是一增函数,虽然它在 []1, 0上有无限多个间断点 , , 3, 2, 1

n n

x n

但由定理

9. 5,仍保证它在 []1, 0上可积. 口

[证法二 ](仅利用定理 9. 3,和定理 9. 5) 任给 0>ε,由于 01

lim

=∞→n

n ,因此当 n 充分大时

21ε

???1, 2ε上只 9. 5和定理 9. 3,推

知 f 在 ??????1, 2ε上可积,且存在对 ???

???1, 2ε的某一分割 T ',使得

?∑'

i T i x

在把小区间 ??????2, 0ε与 T '合并 , 成为对 []1, 0的一个分割 T . 由于 f 在 ??

???2, 0ε上的振幅 10 ω,

因此得到

εε

εωεωω=+<>

0i T i i T i x x

所以 f 在 []1, 0上可积. 口例 3 证明黎曼函数

()()???

??===内的无理数

以及互素 1, 01, 0, 0, , , , , 1

x p q q p q

p x q x f 在区间 []1, 0上可积,且

()01

=?dx x f

分析已知黎曼函数在 1, 0=x 以及一切无理点处连续,而在 ()1, 0内的一切有理点处间

断.证明它在 []1, 0上可积的直观构思如下:在黎曼函数的图象中画一条水平直线 2

y , 在

此直线上方只有函数图象中有限个点, 这些点所对应的自变量可被含于属于分割 T 的有限个小区间中,当足够小时 , 这有限个小区间的总长可为任意小 ; 而 T 中其余小区间上函数的

振幅不大于 2ε, 把这两部分相合 , 便可证得 2εω

i x . 作业

:1,2

范文三：AM060106 可积的充要条件　

AM060106 可积的充要条件要判断一个函数是否可积，由定义，可直接考察积分和是否能无限接近某一常数，但由

于积分和的复杂性和那个常数不可预知，因此这是极其困难的。下面的可积准则只与被积函

数本身有关，而不涉及定积分的值。鉴于积分和与分割和介点有关，先简化积分和。用相

T应于分割的“最大”和“最小”的两个“积分和”去夹挤一般的积分和，即用极限的

T,夹挤原理考查积分和有极限，且与分割及介点无关的条件。 i

1 Darboux 和

M，，定义1.3 设函数fx在区间上有界。并设和分别是函数在区间 [ a , b ]f(x)m

T,,上的下确界和上确界，分割将区间a,b分成个小区间: [ a , b ]n

,,,,,,,,x,x,？,x,x,？,x,xx,x。 12k,1kn,1n01

,,x,xmM，，fx 设与分别是函数在上的下确界与上确界，作和 k,1kkk

，，，，sT,m,xST,M,x 与， ,,kkkk,1,1kk

TT，，，，sTST称是分割的Darboux小和，是分割的Darboux大和。

T 注 (1) Darboux小和与Darboux大和只与分割有关;

T,,，，，，a,bsT,ST(2) 对的同一分割的小和与大和，总有;

T,,，，a,bsT (3) Darboux小和与Darboux大和的几何意义: 对的一个分割，小和 (或

T，，ST大和)是分割的所有积分和的下确界(或上确界)，即

nn,,,,，，ST ,, (或=)。 ,，，，，，，sTinff,xsupf,x,,,,,,kkkk,k,kk,1k,1,,,,

2 Darboux 和的性质

T,，，,,a,bsT性质1 对的同一分割的小和与大和，任意积分和都介于小和与大和n

，，ST之间，即

，，，，f,,x,ST，，sT,。 ,kk,1k

,,x,x,证在小区间上任取一点，总有 k,1kk

，，m,f,,M,k,1,2,？n. kkk

,,x,x,x 将它乘以小区间的长，再从1到相加，得 nk,1kk

nnn

，，，，，，sT,m,x,f,,x,M,x,ST ， ,,,kkkkkkk,1,1,1kk

，，，，f,,x,ST即，，。 sT,,kk,1k

,,TTTT,,,,对a,b的一个分割，增加有限个新分点构成a,b的一个新分割，称是的

,TT,加细，记为。

,,,TT,,性质2 若，则，。即: 分割加细，大和不s(T),s(T)S(T)S(T)

增，小和不减。

,TT[x , x]i证设是只在中第个区间内加上一个新分点所成的分割，分别设 xi,1i

M,supf(x)M,supf(x) ，，。 M,supf(x)12i[x,x][x,x][x,x]i,1ii,1i

显然有和。于是 M,M,Mm,M2i1

, S(T),S(T),M(x,x),M(x,x),M(x,x)12iii,i,i11

。 ,(M,M)(x,x)，(M,M)(x,x),012ii,ii1

,,pp 添加个新分点可视为依次添加一个分点进行次。即证得S(T)S(T)。

, 可类证,s(T)。 s(T)

T,性质3 对任何，有 m(b,a),S(T)， M(b,a)。即: 大和有下界， s(T)

小和有上界。

证由题意可得下列不等式成立:

mmfMMin,,,,,,,(),,1,2,,,, 。 (1.1) iiiii

,x 对不等式(1.1)遍乘后，作和式得 i

mbamxfx()(),,,,,, ,,iiii,,11ii

,,,,MxMba()。 ,ii,1i

即证得，。 mba(),,ST()Mba(),,sT()

,性质4 对任何和，总有。即: 小和总不会超过大和。 TTs(T)S(T)1122

,,,证。 s(T)s(T，T)S(T，T)S(T)112122

,TTp性质5 设是添加个新分点的加细。则有

,,, + ， (1.2) s(T)s(T)s(T)p(M,m),(T)

,,, 。 (1.3) S(T)S(T)S(T), p(M,m),(T)

T[x , x]i证设T是只在中第个区间内加上一个新分点所成的分割，分别设 xi,1i1

M,supf(x)M,supf(x) ，，。 M,supf(x)12i[x,x][x,x][x,x]i,1ii,1i

显然有和。于是 M,M,Mm,M2i1

0,S(T),S(T),M(x,x),M(x,x),M(x,x)12iii,i,i111

,(M,M)(x,x)，(M,M)(x,x),12ii,ii1

,(M,m)(x,x)，(M,m)(x,x),(M,m)(x,x)i,1iii,1

。 ,(M,m),(T)

pp 添加个新分点可视为依次添加一个分点进行次。即证得(1.3)式。

可类证(1.2)式。

,TTp 推论设分割有个分点，则对任何分割，有

,, S(T),p(M,m),(T), S(T)， s(T)，p(M,m),(T) , s(T)。

,, 证 S(T),p(M,m),(T)| , S(T，T) , S(T)。

,, s(T)，p(M,m),(T), s(T，T) ,s(T)。

,,x,,S(T),s(T),,f(x)[a,b]不等式或的几何意义:若函数在上可积，则,iii,1

下图中包围曲线y,f(x)的一系列小矩形面积之和可以达到任意小，只要分割充分的细;

反之亦然。

3 上积分和下积分

设函数在区间上有界。 f(x)[ a , b ]

bb,sups(T) 定义1.4 记，。分别称 f(x)dxf(x)dx,infS(T),,aaTT

bb和为函数在区间上的上积分和下积分。 f(x)dxf(x)dxf(x)[ a , b ],,aa

b对区间上的有界函数，由Darboux和的性质3，和[ a , b ]f(x)f(x)dx,abbbT,存在且有限，。并且对任何分割，有 f(x)dxf(x)dxf(x)dx,,,aaa

bb,,,，，，， sT ST。 (1.4) f(x)dxf(x)dx,,aa

上、下积分的几何意义

11例1.1 求和，其中是Dirichlet函数。 D(x)dxD(x)dxD(x),,00

4 Darboux定理

T定理1.2(Darboux定理) 设函数在区间上有界，是区间的分f(x)[ a , b ][ a , b ]割。则有

bblimlim =， =。 S(T)f(x)dxs(T)f(x)dx,,aa,(T),0,(T),0

b,, 证(只证第一式) 由，对，使 f(x)dx,,,0 , ， T,infS(T),aT

b,, S(T)< f(x)dx。="" (1.5)="" ，="">

,TTp设有个分点，对任何分法，由Darboux和的性质5的推论和(1.5)式，得

b,,, < 即="" s(t),p(m,m),(t)s(t)f(x)dx，="" ,="">

b,, S(T)f(x)dx

b,,于是取，( 可设，否则f(x)为常值函数，f(x)dx= S(T)对,M,m,a2p(M,m)

TT任何分法成立。) 对任何分割，只要,(T),,，就有

b,,S(T),f(x)dx ,，,,。 0,,a22

blim即S(T)=f(x)dx。 ,a,(T),0

5 可积准则

定理1.3(可积准则I) 设函数在区间上有界。 f(x)[ a , b ]

bb = 。 ,f(x), R [ a , b ]f(x)dxf(x)dx,,aa

IIlim证设 =，则有=。即对使,,,0 , ，,,0 , f(x)dx,f(x),x,ii,,(T),0a

当时有 ,(T),,

,,I, , , ,x | | < 对成立。="">

,, [ x , x ]0,M,f(,),在每个上取，使，于是， i,1iiii2(b,a)

,,x,x | | = < 。="" s(t),f(,)(="">

因此，时有 ,(T),,

,,,I,I,,x| | | | + | | < +="。">

bIIlim,此即=。由Darboux定理， = 。 S(T)f(x)dx,a,(T),0

bbbI,同理可证 = = 。 f(x)dxf(x)dxf(x)dx,,,aaa

T,,,(f,T) 对任何分割，由性质1，有 S(T)，结合Darbour定理，得 s(T),n

bblimlim == = 。 s(T)f(x)dxf(x)dxS(T),,aa,(T),0,(T),0bbII,(f,T)lim,令和的共值为，由夹挤原理 =。 f(x)dxf(x)dxn,,aa,(T),0定理1.4 设函数在区间上有界。在上可积,对，f(x)[ a , b ]f(x)[a,b],,,0

，使得S(T),s(T),,。， ,,0,,,(T),,

f(x), R [ a , b ],S(T),s(T) ,,。 ,,,0 , ， ,,0,,,(T),,, ,

lim,证 f(x), R [ a , b ]( S(T),s(T) ) = 0. ,,(T),0

,即对,,,0 , ，,,0 , , T, ,(T),,时， S(T),s(T),,。 0,

bb,,,, s(T)f(x)dx f(x)dxS(T)，由S(T),s(T),， ,,0,,,aa

bbbb– ， = 。 ,f(x)dxf(x)dx,,f(x)dxf(x)dx,,,,aaaa

,M,m[ x , x ], 定义1.5 称为函数在区间上的振幅或幅度，有必要f(x)iii,1ii

f时记为。 ,i

S(T),s(T),,,x,,易见有 0 ，。 ,iii,1i

,,,,supf(x),f(x)可证=。 i,,,x,x,[x,x]i,1i

定理1.4’(可积准则II) 设函数在区间上有界。在上可积f(x)[ a , b ]f(x)[a,b]

，T,,x,,对，，使得。 ,,,,0,iii,1

。 f(x), R [ a , b ],,,x,,,,,0 , ， ,,0,,,(T),,, , ,Ii可积准则II的几何意义及应用可积准则II的一般方法: 为应用可积准则II，通

T常用下法构造分割:

, 当函数在区间上含某些点的小区间上作不到任意小时，可试用f(x)[ a , b ]f(x)i

,,,在区间上的振幅作的估计，有。此时，倘能用总长小于[ a , b ],,,M,mii

,，否则为常值函数 )的有限个小区间复盖这些点，以这有限个小区间的f(x) ( ,,02,

T端点作为分割的一部分分点，在区间 [ a , b ]的其余部分作分割，使在每个小区间上有

,T,<，对如此构造的分割，有>

nmn,m

,,x,,,x ， ,,x ,,,iikkjji,1,11,kj

mn,m,,x ， ,,x, <>

nn,m,,,,(b,a) ， ,,,,,x ， ,,x 。 ,,ij2(b,a)2(b,a)2,i,1j,1

定理1.5(Riemann可积函数的特征) 设f(x)在区间 [ a , b ]上有界。

T 对和，使对任何分割，只要f(x), R [ a , b ],, ,,0 , ， ,,0, ,,0

,,,，对应于的那些小区间,x的长度之和。 ,(T),,,x,,,,i,i,i

证在区间上可积，对和，使对f(x)[ a , b ], ,,0 , ， ,,0,, ,,0

T任何分割，只要，就有 ,(T),,

。 ,,x,,,x,,,x,,, , , ,x,,,,,,,,,,iiiiii

,,,, 对的区间总长小于此时有 ,,,0 , ， T, , ,,,i,

mnmn,,,,,,,,,x,,x ， ,x,,x ， ,x,(b,a)， = ,,,,,,,,iikkiiki,,,,,11,1,1kiki

=。 ,(b,a，1)

范文四：小弟请教可积的充分条件！

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同济高数书说若f(x)在[a ,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在【a，b】上可积;但是看到二李全书上说若f(x)在[a ,b]上有界，且只有有限个第一类间断点，则f(x)在【a，b】上可积。请问到底那种说法是严格意义上的正确说法，难道有有限个第二类间断点 f(x)就一定不可积吗,

个人还是同意高数书上的说法第二类间断点有无穷间断和震荡间断对于前者显然不行因为不满足有界的条件但是对于震荡间断点我觉得结果还是值得讨论的。。。

原帖由子木轻扬于 2008-5-7 18:37 发表个人还是同意高数书上的说法第二类间断点有无穷间断和震荡间断对于前者显然不行因为不满足有界的条件但是对于震荡间断点我觉得结果还是值得讨论的。。。

你说的有道理～～～

恩，同意LS的～[s:7]

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范文五：张红娟浅谈R可积的条件 (2)

浅谈 Rimann 可积的条件

张红娟指导老师 :王仁虎

(数学与统计学院 09(4)班 090901442)

摘要本文介绍了函数在 []

, a b 上黎曼可积的六个充要条件,提出了黎曼积分常用的几个可积充分条件的统一, 并将教材中介绍的充要条件及充分条件进行了拓展, 且举例说明了拓展的优越性 .

关键词 R 可积几乎处处连续至多可数上下积分

中图分类号 o172.2

Discussion on Rimann integrable condition

Instructor:Wang Renhu ZhangHongjuan

(school of mathematics and stasistics,09(4)class of 090901442)

Abstract :this paper introduces the function of this product in Manke six necessary and sufficient conditions,proposed by Rieman integral commonly used several integrable sufficient conditions for uniform,and will in the material necessary and sufficient conditions and sufficient conditions for the expansion,and illustrates the development superiority .

Key word:R interable almost everywhere continuous at most countable points on

引言:在数学分析中, 我们熟知, f 在 []

, a b 上连续则可积, 但可积函数不至是连续的, 有有限个间断点的有界函数和单调函数也可积, 但间断点处处稠密并非单调函数却无法判断, 因此仅有数学分析中的三个充分条件不仅在解决问题上远远不足,而且不够精练,那么我们就得研究更广,更简练的条件 .

一、函数可积充要条件的等价描述

?J ∈R, ? ε>0, ?

δ>0, ?T, T <>

?{}

K δ?

[], a b , 有

()1

i f x

J ξε

=?-<>

2 f在 [], a b 上的上几分等于下积分 . 即 :S=s.

3 对 ? ε>0, ?[], a b 的某个分割 T ,使得振幅和 ()()1

i i

T T i S s w x

ε=-=

?<>

4 ()()lim 0T T n S s →∞

??-=??

. 5 对 ? ε>0,?]0, , i i W a b T x ε

ηη≥?>??

6 f在 [], a b 上几乎处处连续 . 下面给出命题的证明命题 2的证明:

必要性设 f 在 [], a b 上可积, (), b a

J f x dx =

由定积分的定义 , ? ε

>0,

δ>o,只要 T <δ,>

()1

i f x

J ξε

=?-<∑, 由于="" 和="" ()()t="" t="" s="" s="" 与="" 分="" 别="" 为="" 积="">

{

}i T ε关于点集的上下确界 , 所以当 <δ,>

()T S J ε

-<, (),="" t="" s="" j="">

这就说明当 T 0→, ()()T T S s 与都以 J 为极限,由达布定理则 S=s=J.

充分性设 S=s=J,由达布定理得:

()()0

T T S s J

→→==,

则 , 0εδ??>, 当 T <δ时 ,="">

T T i J s f x

S J εξε

=-<><>

从而 f

在 [], a b 上可积,且

()b a

f x dx J =?

命题 3的证明:

必要性设 f 在 [], a b 上可积,由命题 2的结论,则 ()()0

T T S s J →→==

即 ()()lim 0T T n S s →∞

??-=??

, 于是, ε?>0只要 T 足够小, 总 ?分割 T , 使得 ()()T T S s ε-<, 充分性="" 由="" ()()t="" t="" s="" s="" s="" s="" ≤≤≤,由已知="" ε?="">0, ?分割 T ,使得 ()()T T S s ε-<>

可推得

()()0T T S s S s ε≤-≤-<>

由 ε的任意性,必有 S=s,由命题 2,则 f 在 [], a b 上可积 .

命题 4即为命题 3的推论 . 命题 5的证明:

必要性设 f 在 [], a b 上可积,由命题 3,对 0, σεη=>?某一分割 T, 使得

k k

x σ

?<>

k k k k

x w

x εεη

?≤

?<>

由此即得 k k x ''

?∑<>

充分性 ()

()

0, =

0, 022b a M m εεεεη'''?>>=

>--取 , 由假设, ?某一分割 T ,

使得 k w ε'≥的那些 k '?的总长 k k x η''

?<∑,设 t="" 中其余满足="" k="" w=""><的那="" 些="" 小="" 区="">

为 k ''?. 则有:

x ?∑= k k k w x '''

?∑+ k k k w x ''''''

?∑

< ()k="" k="" k="" k="" k="" m="" m="" x="" w="" x="">

-?+?∑∑

< ()()m="" m="" b="" a="" ηε-+-="">

=22

εεε'

由命题 3知 f 在 [], a b 上可积 .

命题 6的证明;

对 [], a b 上的有界函数 f ,任取分点组 T , a =01n x x x b +<= ,="">

[]1, i i i E x x -=, 1i i i x x x -?=-,

做函数

()x Φ=,

(), , i i m x E f a x a ∈??

=?, ()x ψ=,

(), , i i M x E f b x b ∈??

, 其中

()[]

1, inf i i i x x x m f x -∈= ()1, 2, i n = ,

()[]

1, sup i i i x x x M f x -∈= ()1, 2, i n = .

显然 ()()()i i x f x x Φ≤≤ψ ()1, 2, i n = , 记

{}1max i n

T i x ≤≤=

约定分点增多的时候原分点不变,设 0n T →∞→时 ,于是 (){}n x Φ必为递增,

(){}n

x ψ必为递减,且都有界,从而极限都存在,令

()()lim n n x x →∞

Φ=Φ, ()()lim n n x x →∞

ψ=ψ,

则 ()x Φ与 ()x ψ都是可测函数,且成立不等式

()()x f x Φ≤≤ ()x ψ, x ∈[], a b ,

由 Lebegue 积分有界收敛定理,有

()[]

, , lim

n n a b a b x dx x dx →∞

Φ=

Φ?

与 ()[]

()[]

, , lim

n n a b a b x dx x dx →∞

ψ=

ψ?

又

()[]

()1

, n

n i

T i a b x dx m x

s =Φ=

?=∑?

及

()[]

()1

, n

n i

i T i a b x dx M

x S =ψ=

?=∑?

上述二式右端正是 f 在 [], a b 上 R 可积的小和与大和 .

由 f 在 [], a b 上可积 ?()

()lim 0T T n S s →∞?

?-=?? ()()[]

, lim

0n n n a b x x dx →∞

?Φ-ψ=?????

()()[]

, lim

0n a b x x dx →∞

?Φ-ψ=?????

()()0x x ?Φ-ψ=???? a.e 即 ()()x x Φ=ψ a.e ?f 的不连续点是零测集 , 即, f 在 [], a b 上几乎处处连续 .

例 1 设 f 在 [], a b 上有界, {}n a ?[], a b 且 lim , n n a c c →∞

=∈[], a b , 证明 f 在 []

, a b 上只有 n a 为其间断点,则 f 可积 .

证明由于 f 在 [], a b 的间断点为可数个 12, n a a a ,所以 {}n a 的测度为零, 即 f 在 [], a b 上几乎处处连续,又 f 在 [], a b 上有界,从而 f 在 [], a b 上可积 .

例 2 证明狄利克莱函数 ()D X 在 [], a b 上不可积 . 证明因为

()D X =0c

x Q

x Q ∈??∈?

1 , 显然 ()D X 在 []0,1上有界,但 ()D X 在 []0,1处处不连续,即间断点集为 []0,1,而

[]0,1的测度为 1, ()D X 在 []0,1上不可积 .

二、一个 Rimann 可积充分条件的统一

定理设 f 为定义在 [], a b 上的有界函数,若 f 有至多可数个间断点,则 f 可积 .

证明设 f 的间断点集为 A ,则 A 为至多可数集,下证至多可数集 A 的测度

为零:

设 A={}12, n x x x ,因为单点集 {}()n x n N ∈是闭集,所以 {}n x 是可测集,则

{}1n n A x ∞

=? 是可测集 . 0ε?>,取 n x 的领域 1, 2n n N x ε+?

? ?

,于是 11

n n n A x ε

∞

+=?

? ??

从而 1

n m A ε

∞

=≤

=∑

由的 ε任意性,知

0m A =,

从而 A 的测度为 0. 故 f 在 [], a b 上几乎处处连续,则 f 在 [], a b 上可积 .

由于至多可数个间断点包括没有间断点, 有有限个间断点, 有可数个间断点 . 而连续函数没有间断点,单调函数有至多可数个间断点 . 则 [], a b 上的连续函数、

单调函数都是可积的 .

下证单调函数的间断点是至多可数

证明先对 [], a b 上的递增函数 f 来证明 .

设 f 在 [], a b 上的间断点的集合为 A ,则 x A ∈的充要条件是

()()00f x f x -<+,对任意的 12,="" x="" x="" a="">

若

12. x x

则

()()()()11220000f x f x f x f x -<><>

因此, 对每一 x A ∈, 对应于直线上的开区间 ()()()110, 0f x f x -+, 且这些开区间是互不相交的, 于是, 根据直线上互不相间的开区间至多可数, 所以, A 至多为可列集 . 则单调函数的间断点是至多可数的 .

由于 [], a b 上的连续函数、单调函数必有界,而连续函数、有有限个间断点的函数、单调函数都有至多可数个间断点 . 因此有:

系 1 闭区间 [], a b 上的连续函数必可积

系 2 闭区间 [], a b 上有有限个间断点的有界函数必可积系 3 闭区间 [], a b 上的单调函数必可积例证明下列函数在 []0,1上可积 .

(1) 10() 00x f x x x x ???≠???=????=?1- , (2) sgn sin 0() 00x g x x x π??

?≠???=???

?=?

. 解(1)虽然函数 ()f x 的间断点 1, 1, 2, n x n n

是一列可数集, ()f x 有可

数个间断点,则 ()f x 在 []0,1上可积 . (2) ()g x 的间断点为 1, 1, 2, n x n n

是可数集, ()g x 有可数个间断点, 则

()g x 在 [], a b 上可积 .

参考文献:

[1] 华东师范大学数学系编 . 数学分析(上册,第三版) [M].北京:高等教育出版社, 1990.

[2] 刘玉莲,数学分析(上册,第二版) ,高等教育出版社, 1987.

[3] 朱时,数学分析札记,贵州省教育出版社, 1994.

[4] 夏道行、严绍宗、实变函数与应用泛函分析基础,上海科技出版社, 1987.

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