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范文一：概率论的应用(多为积分方面)
概率思想在计算实无穷积分中的应用
将概率的基本思想, 应用在计算实无穷积分中, 结果表明该方法与小圆弧引理相比, 计算更为方便简
单、适用范围更为广泛. 文章分三部分: 首先讲述小圆弧引理及其局限性; 接着介绍概率基本思想在计算实无穷 积分中的应用及其优越之处; 最后是总结我们的工作并展望未来的工作
.
效果
?p (x )
, a ≤x ≤b ?b
证明构造一连续型随机变量ζ其密度函数为g ζ(x ) =?p (x ) dx 令η=f (ζ) ，由定理2知
?a ?
0, 其他?
b
b
E (η) =?f (x )
a
p (x )
?
b
?dx =
a
f (x ) p (x ) dx
E [?(η)]=??[f (x )]g ζ(x ) dx =??[f (x )]
a
a
b b
a
p (x ) dx
?
b
a
p (x ) dx
?[f (x )]p (x ) dx ? dx =?p (x ) dx ?p (x ) dx
p (x )
a
b
b
a
a
b
再由定理3知
?b f (x ) p (x ) dx ?
??
当
?（x ）在【a , b 】上是下凸函数时，有? a b
?≤
?p (x ) dx ?
a ??
??[f (x )]p (x ) dx
?p (x ) dx
a
b a
b
因
所以
{E (ζ) ≤E (ζ) 设随机变量xy 相互独立且都服从标准正态分布，则其
22
一类基于概率统计求解定积分问题的算法
例1(Hadamard 不等式) 设f (x ) 为区间[a , b ]上的下凸函数，则
a +b 1b 1
f () ≤f (x ) dx ≤[f (a ) +f (b )].
2b -a ?a 2
?1
?a ≤x ≤b
证明：构造一随机变量ξ，其密度函数f (x ) =?b -a
??0 其他
f (E ξ) =f (
11b
), Ef (x ) =f (x ) dx ?a b -a b -a
a +b 1b
由引理1知，f (E ξ) ≤Ef (ξ) 。 所以f () ≤f (x ) dx
2b -a ?a ?(b -x ) /(b -a ) x=a
在构造一随机变量η，其分布律为p (x ) =?
?(x -a ) /(b -a ) x=b
a (b -x ) +b (x -a ) f (a )(b -x ) +f (b )(x -a )
) =f (x ) ，Ef (x ) =
b -a b -a
1
由引理1知，f (x ) ≤[f (a )(b -x ) +f (b )(x -a )]
b -a b b -a
两边积分化简得 ?f (x ) dx ≤[f (a ) +f (b )]
a 2a +b 1b 1
综上便得f () ≤f (x ) dx ≤[f (a ) +f (b )]。 ?a 2b -a 2f (E η) =f (
q
x 1q + +x n p +1
dx =例8 证明:对p > q > 0, lim ? ?p 1n
0x + +x p n →∞0q +11n
1
1
证明 设x 1, x 2, , , x n 是独立同分布的随机变量列，且x n ~U [0, 1]，
q
, , x n 也是独立同分布， 则x 1q , x 2
q
1q 2q 2q q 2
Ex =?x dx =, var x i =Ex i -(Ex i ) =(i =1 n )
0q +1(2q +1)(q +1) 2
q
i
1
q i
q Dx k
所以∑2<>
k =1k
∞
1n q 1n p 11n q 1q
, a . s . ，∑x k →, a . s . 由大数定理可得P (lim ∑x k =Ex k ) =1，即∑x k →
n →∞n n k =11+p n k =11+q k =1
又p > q > 0 , 1 ≥ x n > 0 由
q
x 1q (ω) + +x n (ω) p +1
pd (ω) =原式=lim p .
n →∞x 1(ω) + +x n p (ω) q +1
在平均值方法中：先求I n 的期望和方差，
b -a n b -a n
E (I n ) =E (Eg (x i ) =(b -a ) Eg (x i ) =G ∑g (x i ) ) =n ∑n i =1i =1
b -a n (b -a ) 2
var(I n ) =var(g (x i ) ) =∑n i =1n 2(b -a ) 2
var[g (x i )]=var[g (x i )] ∑n i =1
n
由中心极限定理知：
I n -E (I n ) d
??→N (0, 1)
var(I n )
问题化为：对?ε>0及给定的a ，要使p (|I n -G |<ε)>1-a 成立，n 应为多少？ 根据p (|I n -G |<ε) =p="">
I n -E (I n )
|
var(I n )
ε
var(I n )
) >1-a 查正态分布表可得值x a ，
2
ε(b -a ) 2x a I n -E (I n )
≥x a 即n ≥var(g (x i )) ，就能使I n 与G 之差小|
εvar(I n ) var(I n ) 于ε的概率大于1-a .
1. 平均值法
取n 个相互独立的在(a , b ) 上均匀分布的随机变量x 1, x 2, x n 。则g (x i ) 也是一列独立同分布的随机变量。
b -a n 1b G
g (x i ) ，故由大数定理得：lim I n =G 且Eg (x i ) =，记I n =g (x ) dx =∑?a n →∞n i =1b -a b -a
b -a n (b -a ) 2
var(I n ) =var(∑g (x i ) ) =n 2
n i =1
(b -a ) 2
var[g (x i )]=var[g (x i )] ∑n i =1
n
范文二：概率论在积分中的应用
概率论在积分中的应用
郑淑红
（河南商丘职业技术学院 河南商丘 476000）
[摘 要] 用概率论的思想方法，能够解决一些积分中的问题，并能体
现思想方法的简捷性和独特性，本文在积分不等式的证明和积分计算中引进了概 率方法，取得了较好的效果。
[关键词] 概率；积分；随机变量
1. 预备知识
引理 1
[1] ：设ξ是一随机变量，取值于区间（a ，b ） ，－∞≤a
0。
解：建立概率模型：设（ξ，η）服从二维正态分布，此二重 积分恰为（ξ，η）落在椭圆
2 2
2 2
x y
k
a b
+ ≤
内的概率，其中ξ，η相
互独立且ξ～N(0， a
2 )， η～N(0， b 2 )， 于是 x 2 =
2 2
( ) ( )
a b
ξ η
+
～x
2 (2)，
所求概率为 P(x
2 ≤k)=I=
2 2
1
1
2
z k
k
e dz e
? ?
= ?
∫
。
例 5：计算
2
2 ( 2 3)
(2 2 3)
x x
x x e dx
+∞
? + +
?∞
+ +
∫
。
解：直接计算起来是很麻烦的，现利用随机变量的数学期望与 方差的公式以及密度函数的性质进行计算。
因为 x
2 +2x+3=
2
2
( 1) 2
1
2( )
2
x+ +
， 所以
2
2
2
( 1)
1
2( )
( 2 3) 2
2
x
x x
e e e
+
?
? + + ?
=
，
从而可利用正态分布随机变量 X ～N(-1， 1 2
) ，即：
2
2 ( 2 3)
(2 2 3)
x x
x x e dx
+∞
? + +
?∞
+ +
∫
=
2
2 2 ( 1) 2 2
(2 2 3) (2 2 3)
x
e x x e dx e E X X
π
π
π
+∞
? ? + ?
?∞
+ + = + +
∫
= π e
-2 [2E(X 2 )+2E(X)+E(3)] 。
E(X)=-1 ， E(3)=3 ，
E(X
2 )=D(X)+[E(X)] 2 =
2
1 3
( 1)
2 2
? + ? =
，所以：
2
2 ( 2 3)
(2 2 3)
x x
x x e dx
+∞ 因
? + +
?∞
+ +
∫
=
2 2
[3 2 3] 4 e e π π
? ?
? + =
。
4. 结束语
本文将概率的基本思想应用于证明和计算积分，概率和积分看
似两个完全不相关的领域，经过探讨，能够找出二者之间的关系， 同时，我们也看到，在运用概率的思想方法解决问题，其思想方法 的独特性、简捷性，是我们在教学研究中值得运用的方法。
参考文献：
[1]周概容. 概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，1984，P227-228.
[2]魏宗舒等. 概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，1983， P150-151.
[3]孙胜利. 商丘职业技术学报[J].概率模型及其应用，2006（5）. Abstract: Using the theory of probability method，can solve in some integral problem，and could manifest of the simple and direct and the distinctive quality thinking method，this article obtain a better effect on introdueing the probability method in the integral inequality proof and the integral computation to.
Key word: Probability; Integral; Random variable
作者简介： 郑淑红（1964-） ，女，河南宁陵人，河南商丘职业技术学 院讲师，主要从事数学教学和研究。 收稿日期：2007-3-24
范文三：概率方法在积分中的应用
概率方法在积分中的应用
概率论是研究随机现象及其规律性的数学学科，它既有着自己独特的概念和方法，内容丰富，又与其他科学分支有着紧密的联系，具有广泛的应用性。在概率论中,连续性随机变量的概率分布函数、数学期望与积分有着一定联系, 这使得用概率论的思想方法求解证明某些复杂的、无法用常规数学分析方法解决的定积分、由定积分推广而来的广义积分、积分不等式成为可能。下面，本文将结合实例，对上述问题做一定浅显分析:
一、定积分的近似求解
在实际当中，经常会碰到复杂函数的定积分，虽然积分存在，但是积不出来，这时我们不得不考虑其数值计算。下面给出的方法是一种行之有效的数值计算法。
例1 设01，求f(x)在区间[0,1]上的积分值: ,,fx()
1dxf(x)J=。 ,0
解:设(,，,)服从正方形上的均匀分布，则可知,服,,0,x,1,0,y,1
从[0,1]上的均匀分布，,也服从[0,1]上的均匀分布，且,与,独立。又记事件
,=, ,,,,f(x)
,则的概率为
1f(x)1dxf(x)dydx,====J p,,,,f(x),,,000
即定积分的值J就是事件A的概率。由伯努利大数定律，我们可以用重复p
试验中A出现的频率作为的估计值。这种求定积分的方法也成为随机投点法，p
,,即将(，)看成是向正方形内的随机投点，用随机点落在,,0,x,1,0,y,1
区域,,中的频率作为定积分的近似值。 ,,f(x)
下面用蒙特卡洛的方法，来得到A出现的频率:
(1)先用计算机产生(0，1)上均匀分布的个随机数:，，=1,2，2niyxii,这里的可以很大， ？nn
(2)对对数据(，)，=1,2，,记录满足如下不等式 i？nnyxii
f() ,yxii
,n的次数，这就是事件A发生的频数，由此可得事件A发生的频率，,nn,n则J ,n
注:对于一般的区间上的定积分 ,,a,b
bdxg(x)W=, ,a
作线性变换=，即可化成[0,1]区间上的积分。进一步若y(x,a)(x,b)
1，可令 =， ,,g(a，(b,a)y),cf(y)c,g(x),dd,c
则01 此时有 ,,f(y)
b1dxg(x)f(y)W==+， dyc(b,a)S0,,a0
其中=。这说明以上方法带有普遍性。 (b,a)(d,c)S0
二、广义积分计算
广义积分是高等数学中较难的概念之一，需要我们掌握其定义和相关性质。
在进行广义积分计算时，我们应选取简便且有效的方法。对于广义积分，现有如
fx()[,)a，,AAa(),[,)aA下定义:设函数在有定义，并且对任意的在区间上可
Alim()fxdxfx()[,)a，,积，当极限存在时，称这极限值为在区间上的广义I,a,，,A
A，,，,lim()fxdxfxdxI(),,fxdx()积分。记作，这时也称积分是收敛的，,,,aaa,，,A
，,fxdx()并且用记号表示它的值。如果上述的极限不存在，称积分是发散,a
，,的，这时虽用同样的记号，但已经不表示数值了。而含参变量的广义fxdx(),,,
，,积分，就是形如的积分，称为含参量的广义积分。在数理方程和fxydx(,)y,a
概率论中经常出现这种形式的积分。对于广义积分的计算，我们有很多方法，比如说换元法，拉普拉斯变换，Fourier积分变换或函数的性质等很多方法，而,
对于一些特殊类型的广义积分的计算，我们还可以用概率论的有关知识。在概率论中，有一些重要的分布，比如说正态分布，指数分布，分布等等，而关于这,
些分布的数字特征均是关于概率密度函数的广义积分，例如，概率积分是标准正态概率密度函数的广义积分，是很重要的积分之一，在概念论方面经常遇到，且有广泛应用。下面通过一些实例，对概率论在特殊类型广义积分计算中的应用进行探索，并期望在这一探索中，领会出一些令人耳目一新的方法。
1. 用概率论中的指数分布计算广义积分
,,x,,ex,0,px(),,分布函数为定义1 :密度函数为,0,0x,,
,,x,1,0,,exFx(),,,0，这里，是常数，这个分布称为指数分布。 ,0,0x,,
,22x,(456)xxedx，，例2 计算 ,0
这个例题可以用广义积分的分部积分法直接求解，但要用到两次分部积分
,2xe,,2法，并要求极限。这里注意到被积函数中含有因式，刚好是参数为的指数分布概率密度函数的一部分，故有，
,,122x,22x,(456)xxedx，， ,，，xxedx(456)2,,002
1522 ,，，EXX(456),，，23EXEX22
,,2这里是服从参数为的指数分布的随机变量。由概率论知识可知， X
11222,,,，,，， EXDXEXDXEX()22,,,
,2512122x,(456)xxedx，，故 ,,,，,，2()32,04222
2. 利用概率论中的正态分布计算广义积分 1) 利用正态分布的概率密度性质计算广义积分 定义2 : 设为连续型随机变量，若的概率密度函数为XX
2()xu,,122,2,，，其中，为已知参数，则称服从正态(),,,,，,xufxe,()X
,,2
2分布，记作~ XNu(,),
概率密度具有规范性，即
2()xu,,，,12,2 ? e,1,,,,,2
2()xa,,，,22P利用此式可以简单计算edx类型广义积(其中为常数，)。 p,0ap,,,,
2(2)x,，,，,,2x,4edx例3 计算广义积分? ;? edx ,,,,,,
t解:?令 x,
2
22tt，,2，,，,,,111,x,22edx则 ,edt,,edt2,,,,,,,,,,222222,
2(2)x,，,,4edx? ,,,
2(2)x,,，,212(2) ,edx,22,,,22,
,2,
22N(3,2)此例中，?看作随机变量~;?看作随机变量~。通XXN(0,1)
常微积分方法求解本例题比较困难，把被积函数看作或变换成某个正态分布的概
率密度，再利用?式计算积分，则较为简单。
2) 利用正态分布的期望定义计算广义积分
，,xfxdx()fx()定义3 :设连续型随机变量的概率密度为，若绝对收敛，,,,
则称此积分为的期望，记作。 EX()X
2对于正态分布~可以证明，即有: EXu,XNu(,),
2()xu,,，,122, ? xedxu,,,,,,2
2()xa,,，,22p利用?式可以较为方便地计算型广义积分 xedx,,,
2(4)x,,，,6例4 计算广义积分 (1)xedx,,,,
22(4)(4)xx,,,,，,，,222(3)2(3)解:原式,,xedxedx ,,,,,,
22(4)(4)xx,,,,，,，,22112(3)2(3) ,,,,xedxedx2323,,,,,,2323,,
,,,,6461,,
36, ,
2本例中可看作随机变量，~这类广义积分一般用换元法比较麻X(4,(3))
烦，而把被积函数看作或变换成某随机变量正态分布的期望表达式，则很容易求
解。
3) 利用正态分布的方差定义计算广义积分
EX()fx() 定义4 设连续型随机变量的期望为，概率密度函数为，若
2,,,,，,x存在，则称 EXEX(()),，，
，,2[()]()xExfxdx,DX() 为的方差，记作。 X,,,
22若~，则可证明，即有: XNus(,)DXS(),
2()xu,,，,1222,2xuedx,,, (),,,2,,
22由方差的定义可以推算出其计算公式，即有 DXEXEX()(),,
22，于是对于正态分布有: EXDXEX,，()
2()xu,,，,12222,2 ? xedxa,，,,,,2,,
2()xa,,，,2122p利用?, ?，?式可以比较方便地计算型广义积xcedx,(),,,,,2分。
2(4)x,,，,28例5 计算广义积分 (4)xedx,,,,
2(4)x,,，,12222, 解:原式 ,,,xedx22(4),,,22,
由?式知，
2,,222, 原式
,82,
这类广义积分的计算一般需要换元法和分部法，是比较繁杂的，这里把所求积分变换成某随机变量正态分布的方差表达式，简化了积分计算。
3. 利用分布求被积函数中含有三角函数的广义积分 ,
对于被积函数含有三角函数形式的广义积分，可以借助概率论中特征函数的知识来判断积分的敛散性，并进行求值。
[3],fx()定理 :设为服从概率密度为的随机变量，其特征函数为， X,()t为常数，则有广义积分:
ixix,,,，,EeEe，1,,,,,,()]cos()()xfxdx,,，, ,,,22
ixix,,,，,EeEe,1,,,,,,()]sin()()xfxdx,,,, ,,,22i
,,,，i证明:由欧拉公式可知， eei,，(cossin),,
ix,,ix,exix,，cossin,,exix,,cossin,, ，，
ixix,,,，,EeEe，故有 coscos(),,,,Exxfxdx,,,2
ixix,,,，,EeEe， sinsin(),,,,Exxfxdx,,,2i
ix,,ix,又由特征函数的定义，得，，即证。 e,,,()e,,,,()
x,，,,,例6 计算广义积分 (cos)(1,0),,,xxedx,,,,,,
解:因被积函数含有分布密度函数的一部分，故 ,
x,，,,, (cos),xxedx,0
x,,,，,xe1，, ,,,，,,,,(1)(cos)xdx1，,,0,,，(1),,
,，1 ,,,，,,,(1)cosEx
1 ,，,,,,,[()()]2
111 ,，[],,，，11,,,,,，2(1)(1)ii
,,,其中为服从参数的分布的随机变量，其密度函数为 X,
x,,,xe ()0(1,0),,,,,，,,fxx1，,,,，()1,,
fxx()0,0,,
1特征函数为,, ()t,，1，(1)it,
更进一步，如果遇到被积函数中为含有三角函数稍复杂的形势，可以考虑用
三角函数的积化和差等公式先降价处理，在进行计算，也可以简化计算。
三、引进随机变量证明积分不等式
bab，1,,例7 求证，当f(x)为[a,b]上的连续的下凸函数时，。ffxdx,，，,,,a2ba,,,
bab，1,,当f(x)为[a,b] 上的连续的上凸函数时，。 ffxdx,，，,,,a2ba,,,
证明:设连续型随机变量的密度函数为: ,
1当时，,,,axbb-apx,, ，，，其它，0
，,b1ab，则而 ,E=(),xpxdxxdx,,,,,,aba,2
，,bb11。 Effxpxdxfxdxfxdx,,,=()()()()，，,,,,,aababa,,
fE,,,Ef()由引理1可知，当f(x)为[a,b]上的连续的下凸函数时，， ，，
bab，1,,。 即ffxdx,(),,,a2ba,,,
fE,,,Ef()当f(x)为[a,b] 上的连续的上凸函数时，，即，，
bab，1,,。 ffxdx,(),,,a2ba,,,
这两个不等式是数学分析中的两个重要积分不等式。 例8 求证，对于可积函数f(x),(f(x)>0),
bb12。 fxdxdxba,,()，，,,aafx()
,,,Uabyfx,,,,,f证明:令为严格整函数，则为正随机变量，考，，，，，，
10,，,察上的连续下凸函数，对该函数运用引理1，得: fx,，，，，x
,,111,,，从而， EE1,E,,,,E,,,
，,bb11Efxpxdxfxdxfxdx,,,,而， ，，，，，，，，,,,,,aababa,,
，,bb111111Epxdxdxdx,,,， ，，,,,,,aa,fxfxbabafx,,，，，，，，
bb111fxdxdx,1所以， ，，,,aababafx,,，，
bb12fxdxdxba,,即。 ，，，，,,aafx，，
例9 若与与上连续，则 f(x)g(x),,a,b
bbb222 (f(x)g(x)dx),(f(x)dx)(g(x)dx)。,,,aaa
证明:设随机变量的概率分布及其概率密度函数分别为: F(x)p(x),
0,x,a,1,,,x,a,b,,x,a,, F(x),,x,,,a,b,p(x),，b,a,,b,a,,0,else,1,x,b,,
，,b1222,,,,f()f(x)p(x)dxf(x)dx,,,,,a,ba则: ，,b1222,,,g(,)g(x)p(x)dxg(x)dx,则:,,,,a,ba
，,b1,,, f(,)g(,)f(x)g(x)p(x)dxf(x)g(x)dx，,,,,a,ba
222,f(,)g(,),,f(,)g(,),由引理2知把以上各式代入，即
2bbb222,,,,,,f(x)g(x)dxf(x)g(x)dxg(x)dx,成立。 ,,,,,,,,,aaa,,,,,,
四、结束语
本文将概率的基本思想应用于证明和计算积分，通过以上的一些例子，使我们看到，概率论方法不仅在数学分析中能方便的应用，在其他的数学分支中也有其重要的应用。运用概率的思想方法解决问题，其思想方法独特、简捷，这不但有利于揭示不同数学分支之间的内在联系，而且可以加强逆向思维能力的训练，从而有利于对知识的理解和掌握，为我们在今后的解题过程中提供了一种新的思虑，新的方法，有利于我们开阔视野，丰富想象，培养创新精神。
参考文献:
[1]同济大学应用数学系.《高等数学》(第五版) [M]，北京:高等教育出版社，2002年7月
[2]蔡兴光，李德宜.《微积分》[M], 科学出版社，2004年8月
[3]梁之舜等.《概率论与数理统计》(第五版) [M]，高等教育出版社，2002年7月
[4]何平凡，用概率论方法证明数学分析中的一些不等式[J].实践与探索
[5]原全，董魏莉.某几类积分的概率技巧解法[J].高校讲坛,2008.第32期
[6]胡学平，概率方法在分析中的若干应用[J].高等数学研究,2007.1,第一期
[7]陆晓恒.概率方法在证明数学问题中的应用[J].高等数学研究，2003，6月
[8]张志民,陈书勤.概率方法在数学分析中的应用[J].周口师专学报,1994.3.第一期
徐烈民.不等式的证明的概率方法[J].高等数学研究,2010.1,第[9]杨晓华,
一期
范文四：试论概率论在积分中的应用
龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn
试论概率论在积分中的应用
作者：钟志波
来源：《课程教育研究·中》2015年第03期
【摘要】概率论是一门研究随机现象统计规律的学科。概率论作为数学的一个分支和其它分支学科之间是相互交叉和渗透的。本文探讨概率论在计算积分和多重积分极限等方面的应用，并通过实例进行了分析，进一步说明概率论在解决积分问题中的独特性和简捷性。
【关键词】概率 积分 勒贝格控制收敛定理 辛钦大数定律
【中图分类号】O211 【文献 概率论是一门研究随机现象统计规律的学科. 概率论作为数学的一个分支和其它分支学科之间是相互交叉和渗透的. 因为随机现象的普遍性，使得概率论具有极其广泛的应用. 由于概率解法在其它方面的应用已成为数学研究的一个很重要的内容之一，因此学习概率论的解法具有一定的应用价值。
本文通过一些实例的分析，探讨了概率论与积分两者之间的联系，进一步说明概率论在积分中的应用，一方面显示出概率论的方法与思想在解决积分问题中的独特性和简捷性，另一方面也体现了数学学科间的深刻联系。
1.预备知识
定义1 若随机变量X 的概率密度为f （x ）=1/（b-a ），a
则称X 在区间（a ，b ）上服从均匀分布，记为X ～U （a ，b ）. 此时X 的数学期望E （X ）为■，方差D （X ）为■.
定义2 若随机变量X 的概率密度为f （x ）=■e■，x>0，？兹>00，其它
则称X 服从参数为？兹的指数分布，简记为X ～e （？兹）. 此时x 的数学期望E （X ）为？兹，方差D （X ）为？兹2。
定义3 若随机变量的概率密度为：
f（x ）=■e■，-∞
则称X 服从参数为？滋和？滓2的正态分布，记为X-N （？滋，？滓2），其中？滋和？滓（？滓>0）都是常数，此时X 的数学期望E （X ）为？滋，方差D （X ）为？滓2. 定义 4 若二维随机变量（X ，Y ）具有概率密度
范文五：概率论在广义积分计算中应用的研究
概率论在广义积分计算中应用的研究
董智杰
通辽市左翼中旗白音塔拉农场学校 通辽028000
摘要:对于一些特殊类型的广义积分的计算，我们可以利用概率论的有关知识求解。本文所给出的几
,种特殊类型广义积分的计算，分别利用了概率论中指数分布、正态分布和分布，从而体现了不同数学分支的内在联系。
,关键词:广义积分 指数分布 正态分布 分布
一 引言
广义积分是高等数学中较难的概念之一，需要我们掌握其定义和相关性质。在进行广义积分计算时，我们应选取简便且有效的方法。对于广义积分，现有如下定义:设函数fx()
A在有定义，并且对任意的在区间上可积，当极限存[,)a，,AAa(),[,)aAlim()fxdx,a,，,A
I在时，称这极限值为在区间上的广义积分。记作fx()[,)a，,
A，,，,，这时也称积分是收敛的，并且用记号lim()fxdxfxdxI(),,fxdx(),,,aaa,，,A
，,，,表示它的值。如果上述的极限不存在，称积分是发散的，这时虽用fxdx()fxdx(),,a,,
，,同样的记号，但已经不表示数值了。而含参变量的广义积分，就是形如的积fxydx(,),a
y分，称为含参量的广义积分。在数理方程和概率论中经常出现这种形式的积分。对于广义
,积分的计算，我们有很多方法，比如说换元法，拉普拉斯变换，Fourier积分变换或函数
[1]的性质等很多方法，而对于一些特殊类型的广义积分的计算，我们还可以用概率论的有关
,知识。在概率论中，有一些重要的分布，比如说正态分布，指数分布，分布等等，而关于
[2]这些分布的数字特征均是关于概率密度函数的广义积分，例如，概率积分是标准正态概率密度函数的广义积分，是很重要的积分之一，在概念论方面经常遇到，且有广泛应用。下面通过一些实例，对概率论在特殊类型广义积分计算中的应用进行探索，并期望在这一探索中，领会出一些令人耳目一新的方法。
二、主要结果
2.1 用概率论中的指数分布计算广义积分
,,x,,x,,,ex,0,1,0,,ex定义1 密度函数为,分布函数为，这px(),Fx(),,,0,0x,0,0x,,,
里，是常数，这个分布称为指数分布。 ,,0
,22x,例1:计算 (456)xxedx，，,0
这个例题可以用广义积分的分部积分法直接求解，但要用到两次分部积分法，并要求
,2x，刚好是参数为的指数分布概率密度函数极限。这里注意到被积函数中含有因式e,,2的一部分，故有，
,,122x22x,, ,，，xxedx(456)xxedx，，(456)2,,002
1522 ,，，EXX(456),，，23EXEX22
X这里是服从参数为的指数分布的随机变量。由概率论知识可知， ,,2
11222，， ,,,，,DXEXEXDXEX()22,,,
,2512122x,故 ,(456)xxedx，，,,，,，2()32,042222.2 利用概率论中的正态分布计算广义积分 2(2(1利用正态分布的概率密度性质计算广义积分
2()xu,,12,2XXfxe,定义2 设为连续型随机变量，若的概率密度函数为，()
,,2
22XXNu(,),，其中，为已知参数，则称服从正态分布，记作~ (),,,,，,xu,
2()xu,,，,12,2e,概率密度具有规范性，即 ? 1,,,,,2
2()xa,,，,22Pap,利用此式可以简单计算edx类型广义积(其中为常数，p,0)。 ,,,
2(2)x,，,，,,2x,4例2:计算广义积分? ;? edxedx,,,,,,
tx,解:?令
2
22tt，,，,,,，,2111,x,22,edt,,edt则 2edx,,,,,,,,,,222222,
2(2)x,，,,4? edx,,,
2(2)x,,，,212(2),,edx22 ,,,22,
,2,
22XXN(0,1)此例中，?看作随机变量~;?看作随机变量~。通常微积分N(3,2)
方法求解本例题比较困难，把被积函数看作或变换成某个正态分布的概率密度，再利用?式
计算积分，则较为简单。
2(2(2利用正态分布的期望定义计算广义积分
，, 定义3 设连续型随机变量的概率密度为，若绝对收敛，则称此积分为fx()xfxdx(),,,X的期望，记作。 EX()
2XNu(,),对于正态分布~可以证明，即有: EXu,
2()xu,,，,12,2xedxu, ? ,,,,,2
2()xa,,，,22pxedx利用?式可以较为方便地计算型广义积分 ,,,
2(4)x,,，,6例3:计算广义积分 (1)xedx,,,,
22(4)(4)xx,,,,，,，,222(3)2(3),,xedxedx解:原式 ,,,,,,
22(4)(4)xx,,,,，,，,22112(3)2(3),,,,xedxedx2323 ,,,,,,2323,,
,,,,6461,,
36, ,
2X(4,(3))本例中可看作随机变量，~这类广义积分一般用换元法比较麻烦，而把被积函数看作或变换成某随机变量正态分布的期望表达式，则很容易求解。 2(2(3利用正态分布的方差定义计算广义积分
2EXEX(()), 定义4 设连续型随机变量的期望为，概率密度函数为，若EX()fx()存在，则称 ,,,,，,x，，
，,2X 为的方差，记作。 DX()[()]()xExfxdx,,,,
22XDXS(),Nus(,)若~，则可证明，即有:
2()xu,,，,1222,2xuedx,,, (),,,2,,
22DXEXEX()(),,由方差的定义可以推算出其计算公式，即有
22EXDXEX,，()，于是对于正态分布有:
2()xu,,，,12222,2xedxa,，, ? ,,,2,,
2()xa,,，,2122pxcedx,()利用?, ?，?式可以比较方便地计算型广义积分。 ,,,,,2
2(4)x,,，,28例4:计算广义积分 (4)xedx,,,,
2(4)x,,，,12222,,,,xedx22(4) 解:原式 ,,,22,
由?式知，
2 原式,,222,
,82,
这类广义积分的计算一般需要换元法和分部法，是比较繁杂的，这里把所求积分变换成某随机变量正态分布的方差表达式，简化了积分计算。
,2.3 利用分布求被积函数中含有三角函数的广义积分
对于被积函数含有三角函数形式的广义积分，可以借助概率论中特征函数的知识来判断积分的敛散性，并进行求值。
[3]X,()t定理 :设为服从概率密度为的随机变量，其特征函数为， 为常数，fx(),则有广义积分:
ixix,,,，,EeEe，1,,,,,,()]cos()()xfxdx,,，, ,,,22
ixix,,,，,EeEe,1,,,,,,()]sin()()xfxdx,,,, ,,,22i
,,,，ieei,，(cossin),,证明:由欧拉公式可知，
ix,,ix, ，， exix,，cossin,,exix,,cossin,,
ixix,,,，,EeEe，coscos(),,,,Exxfxdx故有 ,,,2
ixix,,,，,EeEe，sinsin(),,,,Exxfxdx ,,,2i
ix,,ix,e,,,()e,,,,()又由特征函数的定义，得，，即证。
x,，,,,例5:计算广义积分 (cos)(1,0),,,xxedx,,,,,,
, 解:因被积函数含有分布密度函数的一部分，故
x,，,,, (cos),xxedx,0
x,,,，,xe1，,,,,，,,,,(1)(cos)xdx 1，,,0,,，(1),,
,，1,,,，,,,(1)cosEx
1 ,，,,,,,[()()]2
111,，[] ,,，，11,,,,,，2(1)(1)ii
X,其中为服从参数的分布的随机变量，其密度函数为 ,,,
x,,,xe()0(1,0),,,,,，,,fxx 1，,,,，()1,,
fxx()0,0,,
1,,()t特征函数为 ,，1，(1)it,
更进一步，如果遇到被积函数中为含有三角函数稍复杂的形势，可以考虑用三角函数的积化和差等公式先降价处理，在进行计算，也可以简化计算。
三 结束语
运用概率论的知识进行广义积分的计算，可以化简计算。通过以上的一些例子，使我们看到，处理广义积分计算的问题的数学思想和方法不仅局限于高等数学，也推广到概率统计中一些重要分布上，我们不但要会用微分的方法来处理概率论中的有关问题，而且也应该
会用概率论有关概念及方法来处理微积分的一些问题，这不但有利于揭示不同数学分支之间的内在联系，而且可以加强逆向思维能力的训练，从而有利于对知识的理解和掌握。
参考文献:
[1] 同济大学应用数学系，高等数学(第五版)[M]，北京:高等教育出版社，2002年7月， [2] 蔡兴光，李德宜，《微积分》[M], 科学出版社，2004年8月
[3] 梁之舜等，《概率论与数理统计》(第五版)[M]，高等教育出版社，2002年7月，
On Probability Theory in the Generalized
Application of Integral Calculation
Dong Zhijie
Department of Mathematics, Chifeng College, tongliao 028000
Abstract: For some special types of generalized integrals, we can use probability theory to solve the relevant knowledge. Presented in this paper and some special types of generalized integrals, respectively, using the exponential distribution in probability theory, normal
,distribution and distribution, which reflects the inherent relationship of different branches
,Key words: generalized integral; exponential distribution; normal distribution;—distribution
致 谢
非常感谢通辽市左翼中期白音塔拉农场学校的领导和老师们，从最初的定题，到资料收集，到写作、修改，到论文定稿，给了我耐心的指导和无私的帮助。同时，感谢我大学时所有任课老师和所有同学在这四年来给自己的指导和帮助，是他们教会了我专业知识，教会了我如何学习，教会了我如何做人。正是由于他们，我才能在各方面取得显著的进步，在此向他们表示我由衷的谢意，并祝所有的老师培养出越来越多的优秀人才，桃李满天下～
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