范文一：物理解题中的数学方法

物理专题练习 —— 数学方法

1.甲、乙两物体相距 s ,同时、同向、沿同一直线运动,甲在前面做初速度为零,加 速度为 a 1的匀加速直线运动, 乙在后面做初速度为 v 0加速度为 a 2的加速直线运动, 则 ( )

A 、若 a 1=a2,则两物体可能相遇一次

B 、若 a 1>a 2,则两物体可能相遇两次

C 、若 a 1

D 、若 a 1>a 2,则两物体可能相遇一次,或不相遇

2.水平地面上有一木箱,木箱与地面之间的摩擦因数为 μ(0<><1) 。现对木箱施加="" 一拉力="" f="" ,使木箱做匀速直线运动。设="" f="" 的方向与水平面夹角为="" θ,如图,在="" θ从="" 0逐渐="" 增大到="" 90o的过程中,木箱的速度保持不变,则(="">

A . F 先减小后增大 B . F 一直增大

C . F 的功率减小 D . F 的功率不变

3.真空中存在空间范围足够大的、水平向右的匀强电场。在电场中,若将一个质量 为 m 、 带正电的小球由静止释放, 运动中小球速度与竖直方向夹角为 37°(取 sin37°=0.6, cos37°=0.8) 。现将该小球从电场中某点以初速度 v 0竖直向上抛出。求运动过程中

(1)小球受到的电场力的大小及方向

(2)小球从抛出点至最高点的电势能变化量

(3)小球的最小动量的大小及方向。

4.一探险队员在探险时遇到一山沟,山沟的一侧竖直,另一侧的坡面呈抛物线形状。 此队员从山沟的竖直一侧, 以速度 v 0沿水平方向跳向另一侧坡面。 如图所示, 以沟底的 O 点为原点建立坐标系 Oxy 。已知,山沟竖直一侧的高度为 2h ,坡面的抛物线方程为 y=221

x h ,探险队员的质量为 m 。人视为质点,忽略空气阻力,重力加速度为 g 。

(1)求此人落到坡面时的动能;

(2) 此人水平跳出的速度为多大时, 他落在坡

面时的动能最小?动能的最小值为多少?

5.如图所示,在某一平面上,有以 O 点为圆心的匀强磁场区域 I 、 II ,磁感应强度大 小均为 B 。 半径为 R 的圆形磁场区域 I 内, 磁场方向垂直该平面向里; 内径为 R 的环形磁 场区域 II 内,磁场方向垂直该平面向外。现有一个质量为 m 、电荷量为 +q 的粒子从边界 上的 A 点沿半径方向射入圆形磁场区域 I ,当粒子回到 A 点时,粒子与圆心 O 的连线恰好 旋转一周。 (不计粒子所受重力)

(1)若环形磁场区域 II 外径足够大,求该粒子的运动速度 v

(2) 若环形磁场区域 II 外径为 5

3R , 求该粒子回到 A 点时所 需的最短时间 t 。

计算过程中可能用到的数据参考下表:

范文二：高考物理总复习解题方法专题之物理解题中数学方法的应用

物理解题中数学方法的应用

. 中学物理考试大纲明确要求考生必须具备 :“ 应用数学处理物理问题的能力 能够根 据具体问题列出物理量之间的关系式,进行推导和求解,并根据结果得出物理结论,必要 时能运用几何图形、函数图像进行表达、分析。 ”

一、高考命题特点

高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用, 借助物理知识渗透考查数学能力是 高考命题的永恒主题 . 可以说任何物理试题的求解过程实质上是一个将物理问题转化为数学 问题经过求解再次还原为物理结论的过程 .

二、数学知识与方法

物理解题运用的数学方法通常包括几何 (图形辅助 ) 法、图象法、函数法、方程 (组 ) 法、 递推法、微元法等 . 比例法等

1. 几何的知识应用

1. 相似三角形法:相似三角形法通常寻找的是一个矢量三角形与一个几何三角形相似。 利用相似三角形对应边的比例关系求解力的大小,特别是当几

何三角形的边长己知时。

【例 1】 如右图 1A 所示,轻绳的 A 端固定在天花板上, B 端

系一重为 G 的小球,小球静止在固定的光滑大球表面上,己知 AB 绳长为 l , 大球半径为 R , 天花板到大球顶点的竖直距离 AC =d,

角 ABO >90o。 求绳中张力和大球对小球的支持力 (小球直径忽

略不计)

【解析】选小球为研究对象,受到重力 G 、绳的拉力 F 和

大球支持力 F N 的作用 (如图 1B 示 ) 。 由于小球处于平衡状态, 所

以 G 、 F 、 F N 组成一个封闭三角形。 根据数学知识可以看出三角 形 AOB 跟三角形 FGF N 相似,根据相似三角形对应边成比例得

F/L=G/(d+R)=FN /R

解得 F=G? L/(d+R) F N =G? R/(d+R)

[讨论 ] 由此可见,当绳长 L 减小时 F 变小, F N 不变。

2.正弦定理(拉密定理) :如果在共点的三个力作用下,物体处于平

衡状态,那么各力的大小分别与另外两个力夹角的正弦成正比。如右

图 2所示,表达式为: F 1/Sin α=F 2/Sin β=F 3/Sin θ 此法适用于三力构成的是锐角或钝角三角形。

【例 2】 如图,船 A 从港口 P 出发支拦截正以速度 0v 沿直线航 行的船 B , P 与 B 所在航线的垂直距离为 a , A 船启航时, B 船 与 P 的距离为 b , a b ,如果略去 A 船启动时的加速过程, 认为它一启航就做匀速运动,求: (1) A 船能拦到 B 船的最小速率 v ; (2) A 船拦到 B 船时两船的位移

G F N

F

图 1B

F 3

解析:(1)设两船在 C 相遇 在△ PBC 中,

β

α?=?R t v R vt

0 0v R R v β

α

??=

,式中 b a R =?α

当 β=900时,即 v 跟 PB 垂直时, v 最小,最小速率为 0v b

a

v = (2)拦到船时, A 船位移为 2

2

a

b ab s A -=

B 船位移为 2

2

2a

b b s B -=

答案:(1) 0v b a v =(2) 22a b ab s A -=222

a

b b s B -=

【练习】 如图所示, 临界角 C 为 450的液面上有一点光源 S 发出一束

光垂直人射到水平放置于液体中且距液面为 d 的平面镜 M 上.当平 面镜 M 绕垂直过中心 O 的轴以角速度 ω做逆时针匀速转动时,观察 者发现水面上有一光斑掠过. 则观察者观察到的光斑在水面上掠过的 最大速度为多少 ?

解析:当平面镜 M 以角速度 ω逆时针转动时,反射光线将以角

速度 2ω同向转动.反射光线射到水面形成的光斑 (应是人看到折射光线出射处 ) 由 S 向左沿 水面移动.将其移动速度 v 分解如图.由图可知. θ越大, OP 越大, v 越大.但当 θ>450时, 反射光线 OP 将在水面上发生全反射. 观察者将看不到光斑, 因此, 当 θ角非常接近 450时 观 察 者 看 到 的 光 斑 移 动 速 度 最 大 , 其 值 为

ωω

θωθωθd d d OP v v m 4) 2

2

(2cos 2cos 2cos 222===?==

答案:ωd 4

【练习】 如图 3所示,小球质量为 m ,置于倾角为 θ的光滑斜面上, 悬线与竖直方向的夹角为 α,系统处于静止状态。求斜面对小球的支持力 F N 和悬线对小球的拉力 F 。

【解析】 选小球为研究对象,小球受力如图所示,球受三个力作用 而处于平衡状态。根据正弦定理得:

F/sin(180o-θ)=F N /sin(180o-α)=mg /sin(α+θ) 即 F/sinθ=F N /sinα=mg/sin(α+θ) 所以 F=mg? sin θ/sin (α+θ) F N =mg ? sin α/sin (α+θ) 3. 圆的知识应用

与圆有关的几何知识在物理解题中力学部分和电学部分均有应用, 尤其带电粒子在匀强 磁场中做圆周运动应用最多,其难点往往在圆心与半径的确定上,其方法有以下几种:

(1)依切线的性质定理确定:从已给的圆弧上找两条不平行的切线和对应的切点,过切

点做切线的垂线,两条垂线的交点为圆心,圆心与切点的连线为半径 .

(2)依垂径定理 (垂直于弦的直径平分该弦,并平分弦所对的弧 ) 和相交弦定理 (如果弦与 直径垂直相交, 那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 ) 来确定半径:如图 24-3.

由 B E 2

=C E ×ED =CE ×(2R -C E )

得 R =CE

EB 22

+2CE

也可用勾股定理得到:

O B 2=(O C -C E ) 2+E B 2, R 2=(R -C E ) 2+E B 2 得, R =

CE

EB 22

+2CE .

此两种求半径的方法,常用于带电粒子在匀强磁场中运动的习题中 .

【例 3】 如图直线 MN 上方有磁感应强度为 B 的匀强磁场。正、 负电子同时从同一点 O 以与 MN 成 30°角的同样速度 v 射入磁场 (电子质量为 m , 电荷为 e ) , 它们从磁场中射出时相距多远?射出 的时间差是多少?

解:由公式知,它们的半径和周期是相同的。只是偏转方向相

反。先确定圆心,画出半径,由对称性知:射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。所以两

个射出点相距 2r ,由图还可看出,经历时间相差 2T /3。答案为射出点相距 Be

mv

s 2=,时间

差为 Bq

m

t 34π=?。关键是找圆心、找半径和用对称。

【练习】圆心为 O 、半径为 r 的圆形区域中有一个磁感强度为 B 、方向为垂直于纸面向里的 匀强磁场,与区域边缘的最短距离为 L 的 O '处有一竖直放置的荧屏 MN ,今有一质量为 m 的电子以速率 v 从左侧沿 OO '方向垂直射入磁场,越出磁场后打在荧光屏上之 P 点,如图 所示,求 O ' P 的长度和电子通过磁场所用的时间。

解析 :电子所受重力不计。它在磁场中做匀速圆周运动,圆心为 O ″ ,半径为 R 。圆 弧段轨迹 AB 所对的圆心角为 θ,电子越出磁场后做速率仍为 v 的匀速直线运动, 如图 4所示, 连结 OB , ∵ △ OAO ″≌ △ OBO ″ , 又 OA ⊥ O ″ A , 故 OB ⊥ O ″ B , 由于原有 BP ⊥ O ″ B ,可见 O 、 B 、 P 在同一直线上,且∠ O ' OP =∠ AO ″ B =θ,在直角三角形 OO ' P 中, O

'

图

24-3

P

O '

M

N

P =(L +r ) tan θ,而 )

2(tan 1)

2tan 2θ

θ-=

, R

r =) 2tan(θ,所以求得 R 后就可以求出 O ' P 了,电子经过磁场的时间可用 t =V

R

V AB θ=来求得。 由 R

v

m Bev 2

=得 R=θtan ) (. r L OP eB mv += mV

eBr

R r ==) 2tan(θ

,

2222222) 2

(tan 1)

2tan r B e v m eBrmv -=-=

θθ

θ 2

2222, ) (2tan ) (r

B e v m eBrmv

r L r L P O -+=+=θ, ) 2arctan(

2

2222r B e v m eBrmv

-=θ

) 2arctan(22222r

B e v m eBrmv eB m v

R

t -=

=

θ

2.图象法

物理图像能形象地表达物理规律、 直观地描述物理过程、 鲜明地表示物理量之间的相互关系 .

因此 , 图像在中学物理中应用广泛,是分析物理问题的有效手段之一 . 高考考纲明确指出, 必要时考生能运用几何图形、函数图像进行表达、分析。

在高考试题中对图像问题的考查主要集中在作图(即直接根据题目要求作图) 、用图(包 括从题给图像中获取信息帮助解题以及根据题意作出相关图像来帮助解题)两个方面。

对作图题, 在描绘图像时, 要注意物理量的单位、 坐标轴标度的适当选择及函数图像的 特征等 , 特别要注意把相关物理量的数值在坐标轴上标示清楚 .

对用图题中要求从题给图像获取信息帮助解题类问题, 要注意正确理解图像的内涵:如 明确图像所代表的物理过程; 弄清坐标所代表的物理量及其单位, 进而弄清图线上各点读数 的物理意义; 弄清图线与坐标轴上的截距的物理意义; 弄清图线与坐标轴所围面积的物理意 义;弄清图线渐近线的物理意义;弄清图线上一些特殊点(如图线的拐点、端点、极值点及 两条图线的交点等)的物理意义等 .

对用图题中要求根据题意作出相关图像来帮助解题类问题, 要根据题意把抽象的物理过程用 图线表示出来,将物理量间的代数关系转化为几何关系 , 运用图像直观、简明的特点,分析 解决物理问题 .

高 考 解 题 方 法 指 导 :图 象 专 题

课 时 综 述

1. “ 图 ”在 物 理 学 中 有 着 十 分 重 要 的 地 位 , 它 是 将 抽 象 的 物 理 问 题 直

M

N

O ,

观 化 、 形 象 化 的 最 佳 工 具 。 作 为 一 种 解 决 问 题 的 方 法 , 图 解 法 具 有 简 易 、 方 便 的 特 点 , 学 习 中 应 通 过 针 对 性 训 练 、 强 化 对 图 像 的 物 理 意 义 的 理 解 , 以 达 到 熟 练 应 用 图 像 处 理 物 理 问 题 , 熟 能 生 巧 的 目 的 。

2. 中 学 物 理 常 用 的 “ 图 ” 有 示 意 图 、 过 程 图 、 函 数 图 、 矢 量 图 、 电 路 图 和 光 路 图 等 。 若 题 干 和 选 项 中 已 给 出 函 数 图 ,需 从 图 像 横 、纵 坐 标 所 代 表 的 物 理 意 义 , 图 线 中 的 “ 点 ” 、 “ 线 ” 、 “ 斜 率 ” 、 “ 截 距 ” 、 “ 面 积 ”等 诸 多 方 面 寻 找 解 题 的 突 破 口 。即 使 题 干 和 选 项 中 没 有 出 现 函 数 图 ,有 时 用 图 象 法 解 题 不 但 快 速 、准 确 ,而 且 还 可 以 避 免 繁 杂 的 中 间 运 算 过 程 , 甚 至 可 以 解 决 用 计 算 分 析 无 法 解 决 的 问 题 。

【例 4】 一位蹦床运动员仅在竖直方向上运动,弹簧床对运动员的弹力 F 的大小随时间 t 的 变化规律通过传感器用计算机绘制出来,如图所示 . 重力加速度 g 取 10m/s2, 试结合图象, 求运动员在运动过程中的最大加速度.

解:.由图象可知,运动员的重力为 mg =500N ①

弹簧床对运动员的最大弹力为 F m =2500N ②

由牛顿第二定律得 F m -mg =ma m ③

则运动员的最大加速度为 a m =40m/s2④

(本题也可以求上升的最大高度)

【练习】某同学将一直流电源的总功率 P E 、输出功率 P R 和电源内部的发热功率 P r 随电流 I

变化的图线画在了同一坐标上,如右图中的 a 、 b 、 c 所示。以下判断正确的是 ( ABC )

A. 直线 a 表示电源的总功率;

B. 曲线 c 表示电源的输出功率;

C. 电源的电动势 ε = 3 V,内电阻 r = 1 Ω;

D. 电源的最大输出功率 P m = 9w。

第 14题图

【练习】 质量相等的 A 、 B 两物体放在同一水平面上, 分别受到水平拉力 F 1和 F 2的作用做 匀加速直线运动。在 t 0和 4t 0时速度达到 2v 0和 v 0时,撤去 F 1和 F 2后,继续做匀减速运 动直到停止,其速度随时间变化情况如图所示,若 F 1、 F 2做的功分别为 W 1和 W 2, F 1、 F 2的冲量分别为 I 1和 I 2 , 则有 ( )

A 、 W 1>W 2, I 1>I 2 B 、 W 1>W 2, I 1I 2 D 、 W 1

解 :由图可知 , 摩擦力 f 相同 , 对全过程 , 由动能定理 W - fS=0 W= Fs S 1 > S2 W 1>W 2 由动量定理 I - ft=0 I= ft t 1 < t2="" i=""><>

【练习】 “神舟”六号飞船完成了预定的空间科学和技术实验任务后返回舱开始从太空向地 球表面按预定轨道返回, 返回舱开始时通过自身制动发动机进行调控减速下降, 穿越大气层 后, 在一定的高度打开阻力降落伞进一步减速下落, 这一过程中若返回舱所受空气摩擦阻力 与速度的平方成正比,比例系数(空气阻力系数)为 k ,所受空气浮力恒定不变,且认为竖 直降落。从某时刻开始计时,返回舱的运动 v — t 图象如图中的 AD 曲线所示,图中 AB 是曲 线在 A 点的切线,切线交于横轴一点 B ,其坐标为(8, 0) , CD 是曲线 AD 的渐进线,假如 返回舱总质量为 M =400kg, g =10m/s2,求 (1)返回舱在这一阶段是怎样运动的?

(2)在初始时刻 v =160m/s,此时它的加速度是多 大?

(3)推证空气阻力系数 k 的表达式并计算其值。

4t 5t

3t 2t t 2v v

【练习】用伏安法测一节干电池的电动势和内电阻,伏安图象如 图 5所示,根据图线回答:

(1)干电池的电动势和内电阻各多大?

(2) 图线上 a 点对应的外电路电阻是多大?电源此时内部热 耗功率是多少?

(3)图线上 a 、 b

两点对应的外电路电阻之比是多大?对应的输出功率之比是多大?

(4)在此实验中,电源最大输出功率是多大?

命题意图:考查考生认识、理解并运用物理图象的能力. B 级要求.

错解分析:考生对该图象物理意义理解不深刻.无法据特殊点、斜率等找出 E 、 r 、 R , 无法结合直流电路的相关知识求解.

解题方法与技巧:利用题目给予图象回答问题,首先应识图(从对应值、斜率、截面、 面积、横纵坐标代表的物理量等) ,理解图象的物理意义及描述的物理过程:由 U -I 图象知 E =1. 5 V,斜率表内阻,外阻为图线上某点纵坐标与横坐标比值;当电源内外电阻相等时, 电源输出功率最大.

(1) 开路时 (I =0) 的路端电压即电源电动势, 因此 E =1. 5 V, 内电阻 r =

短

I E =5. 75

. 1 Ω=0. 2 Ω

也可由图线斜率的绝对值即内阻,有 r =

5

. 20

. 15. 1- Ω=0. 2 Ω (2) a 点对应外电阻 R a =

a a I U =5

. 20

. 1 Ω=0. 4 Ω 此时电源内部的热耗功率 P r =I a 2r =2. 52×0. 2=1. 25 W ,也可以由面积差求得 P r =I a E -I a U a =2. 5×(1. 5-1. 0) W=1. 25 W

(3)电阻之比:

b a R R =0. 5/5. 05. 2/0. 1=1

4 输出功率之比:

b

a P P =0. 55. 05. 20. 1??=11 (4)电源最大输出功率出现在内、外电阻相等时,此时路端电压 U =E /2,干路电流

图 5

I =I 短 /2,因而最大输出功率 P 出 m =

25. 1×2

5. 7 W=2. 81 W 当然直接用 P 出 m =E 2/4r 计算或由对称性找乘积 IU (对应于图线上的面积)的最大值, 也可以求出此值.

3.函数法(极值问题) , 数学方法包括(1)用三角函数关系求极值; (2)用二次

方程的判别式求极值; (3)用不等式“和积不等式”的性质求极值。

【例 5】 物体放置在水平地面上, 物理与地面之间的动摩擦因数为 μ, 物体重为 G ,

欲使物体沿水平地面做匀速直线运动,所用的最小拉力 F 为多大?

该题的已知量只有 μ和 G ,说明最小拉力的表达式中最多只含有 μ和 G , 但是, 物体沿水平地面做匀速直线运动时, 拉力 F 可由夹角的不同值而有不同的 取值。因此,可根据题意先找到 F 与夹角有关的关系式再作分析。

解:设拉力 F 与水平方向的夹角为 θ,根据题意可列平衡方程式, 即 0cos =-f F θ…… ① G F N =+θsin …… ② N f μ=………… ③ 由联立① ② ③ 解得:

) sin cos cos (sincos sin 2φθφθμμθθμμ++=+=

G G F )

sin(2φθμμ++=

G

, 其中 μ

φ1

tan =

, ∴ G F 2

min μ

μ

+=

【例 6】 :一轻绳一端固定在 O 点,另一端拴一小球,拉起

小球使轻绳水平,然后无初速度的释放,如图所示,小球 在运动至轻绳达到竖直位置的过程中, 小球所受重力的瞬 时功率在何处取得最大值?

解:当小球运动到绳与竖直方向成 θ角的 C 时, 重力 的功率为:

P=mg υcosα=mgυsinθ????①

小球从水平位置到图中 C 位置时,机械能守恒有:

2

2

1cos mv mgL =

θ?????② 解①②可得:θθ2sin cos 2gL mg P = 令

y=cosθsinθ

) sin sin cos 2(2

1

) sin cos 2(2

1

sin cos 222422θθθθθθθ??=

=

=y

2) cos (sin2sin sin cos 222222=+=++θθθθθ 又 根据基本不等式 abc c b a ≥++,定和求积知:

当且仅当 θθ2

2sin cos 2=, y 有最大值

3

3cos cos 1cos 222=

-=θθθ:得 由 结论:当 3

3

cos =

θ时, y 及功率 P 有最大值。 【练习】 (作图法)从车站开出的汽车作匀加速运动,它开出一段时间后,突然发

现有乘客未上车,于是立即制动做匀减速运动,结果汽车从开动到停下来共用 20秒,前进了 50米。求这过程中汽车达到的最大速度。

解:设最大速度为 v m , 即加速阶段的末速度为 v m : 画出其速度时间图象如右图所示,图线与 t 轴围成的面 积等于位移。即:

m V t S ??=

2

1

即:s m :VV m

m /5202

1

50=?=

解得

【练习】如图所示,光滑水平面上,质量为 2m 的小球 B 连接着轻质弹簧,处于静止;质量 为 m 的小球 A 以初速度 v 0向右匀速运动,接着逐渐压缩弹簧并使 B 运动,过一段时间, A 与弹簧分离,设小球 A 、 B 与弹簧相互作用过程中无机械能损失,弹簧始终处于弹性限度以 内

(1)求当弹簧被压缩到最短时,弹簧的弹性势能 E .

(2)若开始时在小球 B 的右侧某位置固定一块挡板 (图中未画出 ) ,在小球 A 与弹簧分离前

使小球 B 与挡板发生正撞,并在碰后立刻将挡板撤走.设小球 B 与固定挡板的碰撞时间极 短,碰后小球 B 的速度大小不变、但方向相反。设此后弹簧弹性势能的最大值为 m E ,试求

m E 可能值的范围.

解:. (1) 当 A 球与弹簧接触 以后,在弹力作用下减 速运动,而 B 球在弹力作用下加速运动,弹簧势能增加,当 A 、 B 速度相同时,弹簧的势能 最大.

设 A 、 B 的共同速度为 v ,弹簧的最大势能为 E ,则 A 、 B 系统动量守恒,有

v m m mv ) 2(0+= ①

由机械能守恒

E v m m mv ++=220) 2(2121 ② 联立两式得 2

03

1mv E = ③

(2)设 B 球与挡板碰撞前瞬间的速度为 v B ,此时 A 的速度为 v A

系统动量守恒 B A mv mv mv 20+= ④

B 与挡板碰后,以 v B 向左运动,压缩弹簧,当 A 、 B 速度相同(设为 v 共 )时,弹簧势能 最大,有 共 mv mv mv B A 32=- ⑤

m E mv mv +?=22032

121共 ⑥ 由④⑤两式得 3

40B

v v v -=共 ⑦

联立④⑤⑥式,得 ]16

3) 4([382

020v v v m

E B m +--= ⑧

当弹簧恢复原长时与小球 B 挡板相碰, v B 有最大值 v Bm ,有

' '

02A Bm

mv mv mv =+ ⑨ 2'22

0111222

A Bm mv mv mv =+ ⑩ 联立以上两式得 v Bm =03

2

v

即 v B 的取值范围为 03

2

0v v B ≤

< ⑾="" 结合⑦式知,当="" v="" b="">

0v 时 E m 有最大值为 E m 1=2

021mv ⑿

当 v B =3

20v 时, E m 有最小值为 E m 2=2

271mv 第 18题图

m

A B

4. 方程法

物理习题中, 方程组是由描述物理情景中的物理概念, 物理基本规律, 各种物理量间数 值关系,时间关系,空间关系的各种数学关系方程组成的 .

列方程组解题的步骤

(1)弄清研究对象,理清物理过程和状态,建立物理模型 .

(2)按照物理情境中物理现象发生的先后顺序,建立物理概念方程,形成方程组骨架 . (3)据具体题目的要求以及各种条件,分析各物理概念方程之间、物理量之间的关系, 建立条件方程,使方程组成完整的整体 .

(4)对方程求解,并据物理意义对结果作出表述或检验 . 【例 7】 如图所示,竖直固定的光滑绝缘的直圆筒底部放置一场源 A ,其 电荷量 Q = +4×10-

3 C, 场源电荷 A 形成的电场中各点的电势表达式

为 r

Q

k

U =,其中 k 为静电力恒量, r 为空间某点到 A 的距离.有一个 质量为 m = 0.1 kg的带正电小球 B , B 球与 A 球间的距离为 a = 0.4 m, 此时小球 B 处于平衡状态, 且小球 B 在场源 A 形成的电场中具有的电 势能表达式为 r

Qq

k

=ε, 其中 r 为 q 与 Q 之间的距离. 有一质量也为 m 的不带电绝缘小 球 C 从距离 B 的上方 H = 0.8 m处自由下落,落在小球 B 上立刻也小球 B 粘在一起向下 运动,它们到达最低点后又向上运动,它们向上运动到达的最高点 P . (取 g = 10 m/s2, k = 9×109 N·m 2/C2) ,求: (1)小球 C 与小球 B 碰撞后的速度为多少? (2)小球 B 的带电量 q 为多少? (3) P 点与小球 A 之间的距离为多大?

(4)当小球 B 和 C 一起向下运动与场源 A 距离多远时,其速度最大?速度的最大值为 多少?

解:(1)小球 C 自由下落 H 距离的速度 v 0 = gH 2= 4 m/s

小球 C 与小球 B 发生碰撞,由动量守恒定律得:mv 0 = 2mv 1,所以 v 1 = 2 m/s

(2)小球 B 在碰撞前处于平衡状态,对 B 球进行受力分析知:

2a qQ k

mg =,代入数据得:8109

4

-?=q C

(3) C 和 B 向下运动到最低点后又向上运动到 P 点,运动过程中系统能量守恒,设 P 与 A 之间的距离为 x ,由能量守恒得:

x

Qq k

a x mg a Qq k mv +-=+?) (22212

1

代入数据得:x = (0.4+

5

2

) m(或 x = 0.683 m)

(4)当 C 和 B 向下运动的速度最大时,与 A 之间的距离为 y ,对 C 和 B 整体进行受力分析 有:2

2y Qq

k

mg =,代入数据有:y = 52 m (或 y = 0.283 m)

由能量守恒得:

y

Qq k y a mg mv a Qq k mv +--?=+?) (22212212

m 21

代入数据得:m/s 28m -=v (或 v m = 2.16 m/s)

【练习】 如图所示, ABC 为光滑轨道, AB 部分呈水平状态,

BC 部分为半径为 R 的半圆环,整个装置处于竖直平面内。 AB 上静止一个质量 M=0.99千克的木块,一颗质量为 0.01千克的子弹以 400米 /秒的水平速度打入木块且不穿出,然 后沿轨道运动到半圆最高点,要使木块平抛的水平位移最 大,半圆环 BC 的半径应多大?最大水平位移多大?(g 取 10m/s2) (1. R=0.2m S max =0.8m )

5. 递推法、

凡涉及数列求解的物理问题具有多过程、 重复性的共同特点, 但每一个重复过程均不是 原来的完全重复,是一种变化了的重复, 随着物理过程的重复,某些物理量逐步发生着 “前 后有联系的变化” . 该类问题求解的基本思路为:

(1)逐个分析开始的几个物理过程

(2)利用归纳法从中找出物理量的变化通项公式 (是解题的关键 ) ,最后分析整个物理过 程,应用数列特点和规律解决物理问题; ③无穷数列的求和, 一般是无穷递减等比数列,有 相应的公式可用 .

【例 8】 如图所示, n 个相同的木块 (可视为质 点 ) ,每块的质量都是 m ,从右向左沿同一 直线排列在水平桌面上,相邻木块间的距 离均为 l ,第

n

个木块到桌边的距离也是

l, 木块与桌面间的动摩擦因数为 μ.开始 时,第 1个木块以初速度 υ

0向左滑行,其余所有木块都静止,在每次碰撞后,发生碰

撞的木块都粘在一起运动.最后第 n 个木块刚好滑到桌边而没有掉下. (1)求在整个过程中因碰撞而损失的总动能.

(2)求第 i 次 (i≤ n 一 1) 碰撞中损失的动能与碰撞前动能之比.

(3)若 n = 4, l =0.10 m, υ0一 3.0m /s ,重力加速度 g=10 m/s 2

,求 μ的数值.

解:(1)整个过程木块克服摩擦力做功 w=μmg . l +μmg . 2l +?? +μmg . nl=

2

) 1(mgl

n n μ+ ①

根据功能关系,整个过程中由于碰撞而损失的总动能为

△ E k =Ek0一 W ②

得 2

) 1(2120mgl

n n m E μυ+-=? ③

(2)设第 i 次 (i ≤ n 一 1) 碰撞前木块的速度为 υi ,碰撞后速度为 υi ’ ,则

(i +1)m υi ’ =imυi ④ 碰撞中损失的动能△ E 时与碰撞前动能 E ki 之比为

υ

υ

υ

22. 22

) 1(2

1

21i

i

i

Ki

Ki

im m i im E

?+-

=

(i ≤ n -1) ⑤

1

1

+=

i E

Ki

Ki

(i ≤ n -1) ⑥ (3)初动能 22

00υm E K =

第 1次碰撞前

mgl E E

K K μ-=01

⑦

第 1次碰撞后 E

K 1

’ =

2/2/2/01111

mgl E E E E E

K K K K K μ-=-=?- ⑧

第 2次碰撞

E

K 2

=

E

K 1

’ 2/2/) 20

mgl l mg E

K μμ-=

=(

第 2次碰撞后

E

K 2

’ =3/53/022

mgl E E E

K K K μ-=?-

第 3次碰撞前 E K 3

=

E

K 3

’ 3/143/) 3(0

mgl l mg E

K μμ-=

--

第 3次碰撞后 E

K 3

’ =

2/74/033

mgl E E E

K K K μ-=?-

据题意有

l mg mgl E

K ) 4(2/74/0

μμ=- ⑨

带人数据,联立求解得 μ=0. 15 ⑩

6、微元法

微元法就是将研究对象分割成许多微小的单元, 或从研究对象上选取某一微元加以分析, 从 而可以化曲为直,使变量、难以确定的量为常量、容易确定的量。

【例 9】 如图 2所示,某力 F=10牛作用于半径 R=1米的转盘的边缘上,力 F 的大 小保持不变,但方向始终保持与作用点的切线方向一致,则转动一周这个力 F 做的 总功应为:A 0焦耳 B 20π焦耳

C 10焦耳 D 20焦耳

解:分析:把圆周分成无限个小元段,每个小元段

可认为与力在同一直线上,故 ΔW=FΔS ,则转一周中

各个小元段做功的代数和为 W=F×2πR=10×2πJ=20

πJ ,故 B 正确。

【例 10】 在光滑的水平面上 , 有一竖直向下的匀强磁场, 分布在宽度为 L 的区域内 , 现有一 边长为 d (d

进磁场时的速度是多少 ?

解 :设线框即将进入磁场时的速度为 v 0, 全部进

入磁场时的速度为 v t

将线框进入的过程分成很多小段 , 每一段的运 动可以看成是 速度为 v i 的匀速运动 , 对每一 小段,由动量定理 :

f 1Δt=B2 L2 v0Δt /R = mv0– mv1 (1)

f 2Δt=B2 L2 v1Δt /R = mv1– mv2 (2)

f 3Δt=B2 L2 v2Δt /R = mv2– mv3 (3)

f 4Δt=B2 L2 v3Δt /R = mv3– mv4 (4)

?? ??

f n Δt=B2 L2 vn-1Δt /R = mvn-1– mvt (n )

v 0Δt+ v1Δt + v2Δt + v3Δt +??+ vn-1Δt

+ vn Δt =d

将各式相加,得 B 2L 2 d /R = mv0– mvt

【练习】 半径为 r 的均匀带电圆环,电量为 +q, 求在其轴线上距环心 O 距离为 x 的一点 p 的场强方向 ?

分析:可将带电圆环看作由 n 个点电荷组成的,任意点电荷都能找到与之对称 的另一点电荷,这两个点电荷在 p 点产生的电场强度的矢量和的方向沿轴线方向。 所以, p 点的电场强度的方向必沿轴线且由 o 指向 p 。

7、比例法

比例计算法可以避开与解题无关的量, 直接列出已知和未知的比例式进行计算, 使解题 过程大为简化 . 应用比例法解物理题,要讨论物理公式中变量之间的比例关系,清楚公式的 物理意义,每个量在公式中的作用,所要讨论的比例关系是否成立 . 同时要注意以下几点:

(1)比例条件是否满足:物理过程中的变量往往有多个 . 讨论某两个量比例关系时要注意 只有其他量为常量时才能成比例 .

(2)比例是否符合物理意义:不能仅从数学关系来看物理公式中各量的比例关系,要注 意每个物理量的意义 (例:不能据 R =

I

U

认定为电阻与电压成正比 ). (3)比例是否存在:讨论某公式中两个量的比例关系时,要注意其他量是否能认为是不

变量,如果该条件不成立,比例也不能成立 .(例在串联电路中,不能认为 P =R

U 2

中, P 与

R 成反比,因为 R 变化的同时, U 随之变化而并非常量 )

【例 11】 如图 1所示电路中, R=10欧,滑动变阻器 R W 的最大阻值为 20欧, U=6伏。当滑动 片 p 从 a 滑至 b 时,电压表示数如何变化?

分析:电压表测的是 R 两端的电压,要知电压表示数变化范围,首先要画出滑片 p 在 a

和 b 时的等效电路,分别求出电压表在这两种情况下的示数。

p 在 a 时的等效电路如图甲所示, 因 R W 被短路, 所以 R W 接入电路的电阻为零, 这时电压 表示数即为电源电压, p 在 b 端的等效电路见图乙,这时 R W 与 R 串联, R W 接入电路的电阻为

它的最大值 20欧。

p在 a 端时, U R =6伏, p 在 b 端时,因为 R 与 R W 串联,所以 R 与 R W 两端的电压 U R 、 U W 的

关系是

,当 U=6伏时,

,因此当 p 从 a 滑至 b 时, 电压表示数变化为 6伏至 2伏。

说明 :在 p 在 b 端时的解法,也可应用比例式

来求解,所以

UR =2伏。

【练习】 列车从车站出发做匀加速直线运动, 一位旅客站在站台上列车的最前端, 测得第一 节车厢经过他的身旁的时间是 4秒, 假设各节车厢长度相同且不计车厢连接处的长度, 则第 9节车厢经过他的身旁所用的时间是多少?(0.68秒)

范文三：数学方法在物理解题中的引用

数学方法在物理解题中的引用

. 中学物理考试大纲明确要求考生必须具备 :“ 应用数学处理物理问题的能力 能够根 据具体问题列出物理量之间的关系式,进行推导和求解,并根据结果得出物理结论,必要 时能运用几何图形、函数图像进行表达、分析。 ”

一、高考命题特点

高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用, 借助物理知识渗透考查数学能力是 高考命题的永恒主题 . 可以说任何物理试题的求解过程实质上是一个将物理问题转化为数学 问题经过求解再次还原为物理结论的过程 .

二、数学知识与方法

物理解题运用的数学方法通常包括几何 (图形辅助 ) 法、图象法、函数法、方程 (组 ) 法、 递推法、微元法等 . 比例法等

1. 几何的知识应用

1. 相似三角形法:相似三角形法通常寻找的是一个矢量三角形与一个几何三角形相似。 利用相似三角形对应边的比例关系求解力的大小,特别是当几

何三角形的边长己知时。

【例 1】 如右图 1A 所示,轻绳的 A 端固定在天花板上, B 端

系一重为 G 的小球,小球静止在固定的光滑大球表面上,己知 AB 绳长为 l , 大球半径为 R , 天花板到大球顶点的竖直距离 AC =d,

角 ABO >90o。 求绳中张力和大球对小球的支持力 (小球直径忽

略不计)

【解析】选小球为研究对象,受到重力 G 、绳的拉力 F 和

大球支持力 F N 的作用 (如图 1B 示 ) 。 由于小球处于平衡状态, 所

以 G 、 F 、 F N 组成一个封闭三角形。 根据数学知识可以看出三角 形 AOB 跟三角形 FGF N 相似,根据相似三角形对应边成比例得

F/L=G/(d+R)=FN /R

解得 F=G? L/(d+R) F N =G? R/(d+R)

[讨论 ] 由此可见,当绳长 L 减小时 F 变小, F N 不变。

2.正弦定理(拉密定理) :如果在共点的三个力作用下,物体处于平

衡状态,那么各力的大小分别与另外两个力夹角的正弦成正比。如右

图 2所示,表达式为: F 1/Sin α=F 2/Sin β=F 3/Sin θ 此法适用于三力构成的是锐角或钝角三角形。

【例 2】 如图,船 A 从港口 P 出发支拦截正以速度 0v 沿直线航 行的船 B , P 与 B 所在航线的垂直距离为 a , A 船启航时, B 船 与 P 的距离为 b , a b ,如果略去 A 船启动时的加速过程, 认为它一启航就做匀速运动,求: (1) A 船能拦到 B 船的最小速率 v ; (2) A 船拦到 B 船时两船的位移 解析:(1)设两船在 C 相遇

G F N

F

图 1B

F 3

在△ PBC 中,

β

α?=?R t v R vt

0 0v R R v β

α

??=

,式中 b a R =?α

当 β=900时,即 v 跟 PB 垂直时, v 最小,最小速率为 0v b

a

v = (2)拦到船时, A 船位移为 2

2

a

b ab s A -=

B 船位移为 2

2

2a

b b s B -=

答案:(1) 0v b a v =(2) 22a b ab s A -=222

a

b b s B -=

【练习】 如图所示, 临界角 C 为 450的液面上有一点光源 S 发出一束

光垂直人射到水平放置于液体中且距液面为 d 的平面镜 M 上.当平 面镜 M 绕垂直过中心 O 的轴以角速度 ω做逆时针匀速转动时,观察 者发现水面上有一光斑掠过. 则观察者观察到的光斑在水面上掠过的 最大速度为多少 ?

解析:当平面镜 M 以角速度 ω逆时针转动时,反射光线将以角

速度 2ω同向转动.反射光线射到水面形成的光斑 (应是人看到折射光线出射处 ) 由 S 向左沿 水面移动.将其移动速度 v 分解如图.由图可知. θ越大, OP 越大, v 越大.但当 θ>450时, 反射光线 OP 将在水面上发生全反射. 观察者将看不到光斑, 因此, 当 θ角非常接近 450时 观 察 者 看 到 的 光 斑 移 动 速 度 最 大 , 其 值 为

ωω

θωθωθd d d OP v v m 4) 2

2

(2cos 2cos 2cos 222===?==

答案:ωd 4

【练习】 如图 3所示,小球质量为 m ,置于倾角为 θ的光滑斜面上, 悬线与竖直方向的夹角为 α,系统处于静止状态。求斜面对小球的支持力 F N 和悬线对小球的拉力 F 。

【解析】 选小球为研究对象,小球受力如图所示,球受三个力作用 而处于平衡状态。根据正弦定理得:

F/sin(180o-θ)=F N /sin(180o-α)=mg /sin(α+θ) 即 F/sinθ=F N /sinα=mg/sin(α+θ) 所以 F=mg? sin θ/sin (α+θ) F N =mg ? sin α/sin (α+θ) 3. 圆的知识应用

与圆有关的几何知识在物理解题中力学部分和电学部分均有应用, 尤其带电粒子在匀强 磁场中做圆周运动应用最多,其难点往往在圆心与半径的确定上,其方法有以下几种:

(1)依切线的性质定理确定:从已给的圆弧上找两条不平行的切线和对应的切点,过切 点做切线的垂线,两条垂线的交点为圆心,圆心与切点的连线为半径 .

(2)依垂径定理 (垂直于弦的直径平分该弦,并平分弦所对的弧 ) 和相交弦定理 (如果弦与 直径垂直相交, 那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 ) 来确定半径:如图 24-3.

由 B E 2

=C E ×ED =CE ×(2R -C E )

得 R =CE

EB 22

+2CE

也可用勾股定理得到:

O B 2=(O C -C E ) 2+E B 2, R 2=(R -C E ) 2+E B 2 得, R =

CE

EB 22

+2CE .

此两种求半径的方法,常用于带电粒子在匀强磁场中运动的习题中 .

【例 3】 如图直线 MN 上方有磁感应强度为 B 的匀强磁场。正、 负电子同时从同一点 O 以与 MN 成 30°角的同样速度 v 射入磁场 (电子质量为 m , 电荷为 e ) , 它们从磁场中射出时相距多远?射出 的时间差是多少?

解:由公式知,它们的半径和周期是相同的。只是偏转方向相

反。先确定圆心,画出半径,由对称性知:射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。所以两

个射出点相距 2r ,由图还可看出,经历时间相差 2T /3。答案为射出点相距 Be

mv

s 2=,时间

差为 Bq

m

t 34π=?。关键是找圆心、找半径和用对称。

【练习】圆心为 O 、半径为 r 的圆形区域中有一个磁感强度为 B 、方向为垂直于纸面向里的 匀强磁场,与区域边缘的最短距离为 L 的 O '处有一竖直放置的荧屏 MN ,今有一质量为 m 的电子以速率 v 从左侧沿 OO '方向垂直射入磁场,越出磁场后打在荧光屏上之 P 点,如图 所示,求 O ' P 的长度和电子通过磁场所用的时间。

解析 :电子所受重力不计。它在磁场中做匀速圆周运动,圆心为 O ″ ,半径为 R 。圆 弧段轨迹 AB 所对的圆心角为 θ,电子越出磁场后做速率仍为 v 的匀速直线运动, 如图 4所示, 连结 OB , ∵ △ OAO ″≌ △ OBO ″ , 又 OA ⊥ O ″ A , 故 OB ⊥ O ″ B , 由于原有 BP ⊥ O ″ B ,可见 O 、 B 、 P 在同一直线上,且∠ O ' OP =∠ AO ″ B =θ,在直角三角形 OO ' P 中, O

'

图

24-3

P

O '

M

N

P =(L +r ) tan θ,而 )

2(tan 1)

2tan 2θ

θ-=

, R

r =) 2tan(θ,所以求得 R 后就可以求出 O ' P 了,电子经过磁场的时间可用 t =V

R

V AB θ=来求得。 由 R

v

m Bev 2

=得 R=θtan ) (. r L OP eB mv += mV

eBr

R r ==) 2tan(θ

,

2222222) 2

(tan 1)

2tan r B e v m eBrmv -=-=

θθ

θ 2

2222, ) (2tan ) (r

B e v m eBrmv

r L r L P O -+=+=θ, ) 2arctan(

2

2222r B e v m eBrmv

-=θ

) 2arctan(22222r

B e v m eBrmv eB m v

R

t -=

=

θ

2.图象法

物理图像能形象地表达物理规律、 直观地描述物理过程、 鲜明地表示物理量之间的相互关系 .

因此 , 图像在中学物理中应用广泛,是分析物理问题的有效手段之一 . 高考考纲明确指出, 必要时考生能运用几何图形、函数图像进行表达、分析。

在高考试题中对图像问题的考查主要集中在作图(即直接根据题目要求作图) 、用图(包 括从题给图像中获取信息帮助解题以及根据题意作出相关图像来帮助解题)两个方面。

对作图题, 在描绘图像时, 要注意物理量的单位、 坐标轴标度的适当选择及函数图像的 特征等 , 特别要注意把相关物理量的数值在坐标轴上标示清楚 .

对用图题中要求从题给图像获取信息帮助解题类问题, 要注意正确理解图像的内涵:如 明确图像所代表的物理过程; 弄清坐标所代表的物理量及其单位, 进而弄清图线上各点读数 的物理意义; 弄清图线与坐标轴上的截距的物理意义; 弄清图线与坐标轴所围面积的物理意 义;弄清图线渐近线的物理意义;弄清图线上一些特殊点(如图线的拐点、端点、极值点及 两条图线的交点等)的物理意义等 .

对用图题中要求根据题意作出相关图像来帮助解题类问题, 要根据题意把抽象的物理过程用 图线表示出来,将物理量间的代数关系转化为几何关系 , 运用图像直观、简明的特点,分析 解决物理问题 .

高 考 解 题 方 法 指 导 :图 象 专 题

课 时 综 述

1. “ 图 ”在 物 理 学 中 有 着 十 分 重 要 的 地 位 , 它 是 将 抽 象 的 物 理 问 题 直

M

N

O ,

观 化 、 形 象 化 的 最 佳 工 具 。 作 为 一 种 解 决 问 题 的 方 法 , 图 解 法 具 有 简 易 、 方 便 的 特 点 , 学 习 中 应 通 过 针 对 性 训 练 、 强 化 对 图 像 的 物 理 意 义 的 理 解 , 以 达 到 熟 练 应 用 图 像 处 理 物 理 问 题 , 熟 能 生 巧 的 目 的 。

2. 中 学 物 理 常 用 的 “ 图 ” 有 示 意 图 、 过 程 图 、 函 数 图 、 矢 量 图 、 电 路 图 和 光 路 图 等 。 若 题 干 和 选 项 中 已 给 出 函 数 图 ,需 从 图 像 横 、纵 坐 标 所 代 表 的 物 理 意 义 , 图 线 中 的 “ 点 ” 、 “ 线 ” 、 “ 斜 率 ” 、 “ 截 距 ” 、 “ 面 积 ” 等 诸 多 方 面 寻 找 解 题 的 突 破 口 。即 使 题 干 和 选 项 中 没 有 出 现 函 数 图 ,有 时 用 图 象 法 解 题 不 但 快 速 、准 确 ,而 且 还 可 以 避 免 繁 杂 的 中 间 运 算 过 程 , 甚 至 可 以 解 决 用 计 算 分 析 无 法 解 决 的 问 题 。

【例 4】 一位蹦床运动员仅在竖直方向上运动,弹簧床对运动员的弹力 F 的大小随时间 t 的 变化规律通过传感器用计算机绘制出来,如图所示 . 重力加速度 g 取 10m/s2, 试结合图象, 求运动员在运动过程中的最大加速度.

解:.由图象可知,运动员的重力为 mg =500N ①

弹簧床对运动员的最大弹力为 F m =2500N ② 由牛顿第二定律得 F m -mg =ma m ③

则运动员的最大加速度为 a m =40m/s2 ④

( 本题也可以求上升的最大高度)

【练习】某同学将一直流电源的总功率 P E 、输出功率 P R 和电源内部的发热功率 P r 随电流 I 变化的图线画在了同一坐标上,如右图中的 a 、 b 、 c

所示。以下判断正确的是 ( ABC ) A. 直线 a 表示电源的总功率;

B. 曲线 c 表示电源的输出功率;

C. 电源的电动势 ε = 3 V,内电阻 r = 1 Ω; D. 电源的最大输出功率 P m = 9w。

【练习】 质量相等的 A 、 B 两物体放在同一水平面上, 分别受到水平拉力 F 1和 F 2的作用做 匀加速直线运动。在 t 0和 4t 0时速度达到 2v 0和 v 0时,撤去 F 1和 F 2后,继续做匀减速运

第 14题图

动直到停止,其速度随时间变化情况如图所示,若 F 1、 F 2做的功分别为 W 1和 W 2, F 1、 F 2的冲量分别为 I 1和 I 2 , 则有 ( )

A 、 W 1>W 2, I 1>I 2 B 、 W 1>W 2, I 1I 2 D 、 W 1

解 :由图可知 , 摩擦力 f 相同 , 对全过程 , 由动能定理 W - fS=0 W= Fs S 1 > S2 W 1>W 2 由动量定理 I - ft=0 I= ft t 1 < t2="" i=""><>

【练习】 “神舟”六号飞船完成了预定的空间科学和技术实验任务后返回舱开始从太空向地 球表面按预定轨道返回, 返回舱开始时通过自身制动发动机进行调控减速下降, 穿越大气层 后, 在一定的高度打开阻力降落伞进一步减速下落, 这一过程中若返回舱所受空气摩擦阻力 与速度的平方成正比,比例系数(空气阻力系数)为 k ,所受空气浮力恒定不变,且认为竖 直降落。从某时刻开始计时,返回舱的运动 v — t 图象如图中的 AD 曲线所示,图中 AB 是曲 线在 A 点的切线,切线交于横轴一点 B ,其坐标为(8, 0) , CD 是曲线 AD 的渐进线,假如 返回舱总质量为 M =400kg, g =10m/s2,求 (1)返回舱在这一阶段是怎样运动的?

(2)在初始时刻 v =160m/s,此时它的加速度是多 大?

(3)推证空气阻力系数 k 的表达式并计算其值。

【练习】用伏安法测一节干电池的电动势和内电阻,伏安图象如图 5所示,根据图线回答:

4t 5t

3t 2t t 2v v

(1)干电池的电动势和内电阻各多大?

(2) 图线上 a 点对应的外电路电阻是多大?电源此时内部热 耗功率是多少?

(3)图线上 a 、 b 两点对应的外电路电阻之比是多大?对应 的输出功率之比是多大?

(4)在此实验中,电源最大输出功率是多大?

命题意图:考查考生认识、理解并运用物理图象的能力. B 级要求.

错解分析:考生对该图象物理意义理解不深刻.无法据特殊点、斜率等找出 E 、 r 、 R , 无法结合直流电路的相关知识求解.

解题方法与技巧:利用题目给予图象回答问题,首先应识图(从对应值、斜率、截面、 面积、横纵坐标代表的物理量等) ,理解图象的物理意义及描述的物理过程:由 U -I 图象知 E =1. 5 V,斜率表内阻,外阻为图线上某点纵坐标与横坐标比值;当电源内外电阻相等时, 电源输出功率最大.

(1) 开路时 (I =0) 的路端电压即电源电动势, 因此 E =1. 5 V, 内电阻 r =

短

I E =5. 75

. 1 Ω=0. 2 Ω

也可由图线斜率的绝对值即内阻,有 r =

5

. 20

. 15. 1- Ω=0. 2 Ω (2) a 点对应外电阻 R a =

a a I U =5

. 20

. 1 Ω=0. 4 Ω 此时电源内部的热耗功率 P r =I a 2r =2. 52×0. 2=1. 25 W ,也可以由面积差求得 P r =I a E -I a U a =2. 5×(1. 5-1. 0) W=1. 25 W

(3)电阻之比:

b a R R =0. 5/5. 05. 2/0. 1=1

4 输出功率之比:

b

a P P =0. 55. 05. 20. 1??=11 (4)电源最大输出功率出现在内、外电阻相等时,此时路端电压 U =E /2,干路电流 I =I 短 /2,因而最大输出功率 P 出 m =

25. 1×2

5

. 7 W=2. 81 W 当然直接用 P 出 m =E 2/4r 计算或由对称性找乘积 IU (对应于图线上的面积)的最大值, 也可以求出此值.

图 5

3.函数法(极值问题) , 数学方法包括(1)用三角函数关系求极值; (2)用二次

方程的判别式求极值; (3)用不等式“和积不等式”的性质求极值。

【例 5】 物体放置在水平地面上, 物理与地面之间的动摩擦因数为 μ, 物体重为 G ,

欲使物体沿水平地面做匀速直线运动,所用的最小拉力 F 为多大?

该题的已知量只有 μ和 G ,说明最小拉力的表达式中最多只含有 μ和 G , 但是, 物体沿水平地面做匀速直线运动时, 拉力 F 可由夹角的不同值而有不同的 取值。因此,可根据题意先找到 F 与夹角有关的关系式再作分析。

解:设拉力 F 与水平方向的夹角为 θ,根据题意可列平衡方程式, 即 0cos =-f F θ…… ① G F N =+θsin …… ② N f μ=………… ③ 由联立① ② ③ 解得:

) sin cos cos (sincos sin 2φθφθμμθθμμ++=+=

G G F )

sin(2φθμμ++=

G

, 其中 μ

φ1

tan =

, ∴ G F 2

min μ

μ

+=

【例 6】 :一轻绳一端固定在 O 点,另一端拴一小球,拉起

小球使轻绳水平,然后无初速度的释放,如图所示,小球 在运动至轻绳达到竖直位置的过程中, 小球所受重力的瞬 时功率在何处取得最大值?

解:当小球运动到绳与竖直方向成 θ角的 C 时, 重力 的功率为:

P=mg υcosα=mgυsinθ????①

小球从水平位置到图中 C 位置时,机械能守恒有:

2

2

1cos mv mgL =

θ?????② 解①②可得:θθ2sin cos 2gL mg P = 令

y=cosθsinθ

B

) sin sin cos 2(2

1

) sin cos 2(2

1

sin cos 222422θθθθθθθ??=

=

=y

2) cos (sin2sin sin cos 222222=+=++θθθθθ 又 根据基本不等式 abc c b a ≥++,定和求积知:

当且仅当 θθ2

2sin cos 2=, y 有最大值

3

3cos cos 1cos 222=

-=θθθ:得 由 结论:当 3

3

cos =

θ时, y 及功率 P 有最大值。 【练习】 (作图法)从车站开出的汽车作匀加速运动,它开出一段时间后,突然发

现有乘客未上车,于是立即制动做匀减速运动,结果汽车从开动到停下来共用 20秒,前进了 50米。求这过程中汽车达到的最大速度。

解:设最大速度为 v m , 即加速阶段的末速度为 v m : 画出其速度时间图象如右图所示,图线与 t 轴围成的面 积等于位移。即:

m V t S ??=

2

1

即:s m :VV m

m /5202

1

50=?=

解得

【练习】如图所示,光滑水平面上,质量为 2m 的小球 B 连接着轻质弹簧,处于静止;质量 为 m 的小球 A 以初速度 v 0向右匀速运动,接着逐渐压缩弹簧并使 B 运动,过一段时间, A 与弹簧分离,设小球 A 、 B 与弹簧相互作用过程中无机械能损失,弹簧始终处于弹性限度以 内

(1)求当弹簧被压缩到最短时,弹簧的弹性势能 E .

(2)若开始时在小球 B 的右侧某位置固定一块挡板 (图中未画出 ) ,在小球 A 与弹簧分离前 使小球 B 与挡板发生正撞,并在碰后立刻将挡板撤走.设小球 B 与固定挡板的碰撞时间极 短,碰后小球 B 的速度大小不变、但方向相反。设此后弹簧弹性势能的最大值为 m E ,试求

m E 可能值的范围.

m

A B

解:. (1) 当 A 球与弹簧接触以后, 在弹力作用下减速运动, 而 B 球在弹力作用下加速运动, 弹簧势能增加,当 A 、 B 速度相同时,弹簧的势能最大.

设 A 、 B 的共同速度为 v ,弹簧的最大势能为 E ,则 A 、 B 系统动量守恒,有

v m m mv ) 2(0+= ①

由机械能守恒

E v m m mv ++=220) 2(2121 ② 联立两式得 2

03

1mv E = ③

(2)设 B 球与挡板碰撞前瞬间的速度为 v B ,此时 A 的速度为 v A

系统动量守恒 B A mv mv mv 20+= ④

B 与挡板碰后,以 v B 向左运动,压缩弹簧,当 A 、 B 速度相同(设为 v 共 )时,弹簧势能 最大,有 共 mv mv mv B A 32=- ⑤

m E mv mv +?=22032

121共 ⑥ 由④⑤两式得 3

40B

v v v -=共 ⑦

联立④⑤⑥式,得 ]16

3) 4([382

020v v v m

E B m +--= ⑧

当弹簧恢复原长时与小球 B 挡板相碰, v B 有最大值 v Bm ,有

' '

02A Bm

mv mv mv =+ ⑨ 2'22

0111222

A Bm mv mv mv =+ ⑩ 联立以上两式得 v Bm =03

2

v

即 v B 的取值范围为 03

2

0v v B ≤

< ⑾="" 结合⑦式知,当="" v="" b="">

0v 时 E m 有最大值为 E m 1=2

021mv ⑿

当 v B =3

20v 时, E m 有最小值为 E m 2=2

271mv 4. 方程法

物理习题中, 方程组是由描述物理情景中的物理概念, 物理基本规律, 各种物理量间数

值关系,时间关系,空间关系的各种数学关系方程组成的 .

列方程组解题的步骤

(1)弄清研究对象,理清物理过程和状态,建立物理模型 .

(2)按照物理情境中物理现象发生的先后顺序,建立物理概念方程,形成方程组骨架 .

(3)据具体题目的要求以及各种条件,分析各物理概念方程之间、物理量之间的关系, 建立条件方程,使方程组成完整的整体 .

(4)对方程求解,并据物理意义对结果作出表述或检验 . 【例 7】 如图所示,竖直固定的光滑绝缘的直圆筒底部放置一场源 A ,其 电荷量 Q = +4×10-

3 C, 场源电荷 A 形成的电场中各点的电势表达式

为 r

Q

k

U =,其中 k 为静电力恒量, r 为空间某点到 A 的距离.有一个 质量为 m = 0.1 kg的带正电小球 B , B 球与 A 球间的距离为 a = 0.4 m, 此时小球 B 处于平衡状态, 且小球 B 在场源 A 形成的电场中具有的电 势能表达式为 r

Qq

k

=ε, 其中 r 为 q 与 Q 之间的距离. 有一质量也为 m 的不带电绝缘小 球 C 从距离 B 的上方 H = 0.8 m处自由下落,落在小球 B 上立刻也小球 B 粘在一起向下 运动,它们到达最低点后又向上运动,它们向上运动到达的最高点 P . (取 g = 10 m/s2, k = 9×109 N·m 2/C2) ,求: (1)小球 C 与小球 B 碰撞后的速度为多少? (2)小球 B 的带电量 q 为多少? (3) P 点与小球 A 之间的距离为多大?

(4)当小球 B 和 C 一起向下运动与场源 A 距离多远时,其速度最大?速度的最大值为 多少?

解:(1)小球 C 自由下落 H 距离的速度 v 0 = gH 2= 4 m/s

小球 C 与小球 B 发生碰撞,由动量守恒定律得:mv 0 = 2mv 1,所以 v 1 = 2 m/s

(2)小球 B 在碰撞前处于平衡状态,对 B 球进行受力分析知:

2a qQ k

mg =,代入数据得:8

109

4-?=q C

(3) C 和 B 向下运动到最低点后又向上运动到 P 点,运动过程中系统能量守恒,设 P 与 A 之间的距离为 x ,由能量守恒得:

x

Qq k

a x mg a Qq k mv +-=+?) (22212

1

代入数据得:x = (0.4+5

2

) m(或 x = 0.683 m)

(4)当 C 和 B 向下运动的速度最大时,与 A 之间的距离为 y ,对 C 和 B 整体进行受力分析 有:2

2y

Qq

k

mg =,代入数据有:y = 52 m (或 y = 0.283 m)

由能量守恒得:

y

Qq k y a mg mv a Qq k mv +--?=+?) (22212212

m 21

代入数据得:m/s 28m -=v (或 v m = 2.16 m/s)

【练习】 如图所示, ABC 为光滑轨道, AB 部分呈水平状态,

BC 部分为半径为 R 的半圆环,整个装置处于竖直平面内。 AB 上静止一个质量 M=0.99千克的木块,一颗质量为 0.01千克的子弹以 400米 /秒的水平速度打入木块且不穿出,然 后沿轨道运动到半圆最高点,要使木块平抛的水平位移最 大,半圆环 BC 的半径应多大?最大水平位移多大?(g 取 10m/s2) (1. R=0.2m S max =0.8m )

5. 递推法、

凡涉及数列求解的物理问题具有多过程、 重复性的共同特点, 但每一个重复过程均不是 原来的完全重复,是一种变化了的重复, 随着物理过程的重复,某些物理量逐步发生着 “前 后有联系的变化” . 该类问题求解的基本思路为:

(1)逐个分析开始的几个物理过程

(2)利用归纳法从中找出物理量的变化通项公式 (是解题的关键 ) ,最后分析整个物理过 程,应用数列特点和规律解决物理问题; ③无穷数列的求和, 一般是无穷递减等比数列,有 相应的公式可用 .

【例 8】 如图所示, n 个相同的木块 (可视为质 点 ) ,每块的质量都是 m ,从右向左沿同一 直线排列在水平桌面上,相邻木块间的距 离均为 l ,第

n

个木块到桌边的距离也是

l, 木块与桌面间的动摩擦因数为 μ.开始 时,第 1个木块以初速度 υ

0向左滑行,其余所有木块都静止,在每次碰撞后,发生碰

撞的木块都粘在一起运动.最后第 n 个木块刚好滑到桌边而没有掉下. (1)求在整个过程中因碰撞而损失的总动能.

(2)求第 i 次 (i≤ n 一 1) 碰撞中损失的动能与碰撞前动能之比.

(3)若 n = 4, l =0.10 m, υ0一 3.0m /s ,重力加速度 g=10 m/s 2

,求 μ的数值.

解:(1)整个过程木块克服摩擦力做功 w=μmg . l +μmg . 2l +?? +μmg . nl=

2

) 1(mgl

n n μ+ ①

根据功能关系,整个过程中由于碰撞而损失的总动能为

△ E k =Ek0一 W ②

得 2

) 1(2120mgl

n n m E μυ+-=? ③

(2)设第 i 次 (i ≤ n 一 1) 碰撞前木块的速度为 υi ,碰撞后速度为 υi ’ ,则

(i +1)m υi ’ =imυi ④ 碰撞中损失的动能△ E 时与碰撞前动能 E ki 之比为

υ

υ

υ

22. 22

1) 1(1

1i

i

i

Ki

Ki

im m i im E

?+-

=

(i ≤ n -1) ⑤

1

1

+=

i E

Ki

Ki

(i ≤ n -1) ⑥ (3)初动能 22

00υm E K =

第 1次碰撞前

mgl E E

K K μ-=01

⑦

第 1次碰撞后 E

K 1

’ =

2/2/2/01111

mgl E E E E E

K K K K K μ-=-=?- ⑧

第 2次碰撞

E

K 2

=

E

K 1

’ 2/2/) 20

mgl l mg E

K μμ-=

=(

第 2次碰撞后

E

K 2

’ =3/53/022

mgl E E E

K K K μ-=?-

第 3次碰撞前 E K 3

=

E

K 3

’ 3/143/) 3(0

mgl l mg E

K μμ-=

--

第 3次碰撞后 E

K 3

’ =

2/74/033

mgl E E E

K K K μ-=?-

据题意有

l mg mgl E

K ) 4(2/74/0

μμ=- ⑨

带人数据,联立求解得 μ=0. 15 ⑩

6、微元法

微元法就是将研究对象分割成许多微小的单元, 或从研究对象上选取某一微元加以分析, 从 而可以化曲为直,使变量、难以确定的量为常量、容易确定的量。

【例 9】 如图 2所示,某力 F=10牛作用于半径 R=1米的转盘的边缘上,力 F 的大

小保持不变,但方向始终保持与作用点的切线方向一致,则转动一周这个力 F 做的 总功应为:A 0焦耳 B 20π焦耳

C 10焦耳 D 20焦耳

解:分析:把圆周分成无限个小元段,每个小元段

可认为与力在同一直线上,故 ΔW=FΔS ,则转一周中

各个小元段做功的代数和为 W=F×2πR=10×2πJ=20

πJ ,故 B 正确。

【例 10】 在光滑的水平面上 , 有一竖直向下的匀强磁场, 分布在宽度为 L 的区域内 , 现有一 边长为 d (d

进磁场时的速度是多少 ?

解 :设线框即将进入磁场时的速度为 v 0, 全部进

入磁场时的速度为 v t

将线框进入的过程分成很多小段 , 每一段的运 动可以看成是 速度为 v i 的匀速运动 , 对每一 小段,由动量定理 :

f 1Δt=B2 L2 v0Δt /R = mv0– mv1 (1)

f

2

Δt=B2 L2 v1Δt /R = mv1– mv2 (2)

f 3Δt=B2 L2 v2Δt /R = mv2– mv3 (3)

f 4Δt=B2 L2 v3Δt /R = mv3– mv4 (4)

?? ??

f n Δt=B2 L2 vn-1Δt /R = mvn-1– mvt (n )

v 0Δt+ v1Δt + v2Δt + v3Δt +??+ vn-1Δt

+ vn Δt =d

将各式相加,得 B 2L 2 d /R = mv0– mvt

【练习】 半径为 r 的均匀带电圆环,电量为 +q, 求在其轴线上距环心 O 距离为 x 的一点 p 的场强方向 ?

分析:可将带电圆环看作由 n 个点电荷组成的,任意点电荷都能找到与之对称

的另一点电荷,这两个点电荷在 p 点产生的电场强度的矢量和的方向沿轴线方向。

所以, p 点的电场强度的方向必沿轴线且由 o 指向 p 。

7、比例法

比例计算法可以避开与解题无关的量, 直接列出已知和未知的比例式进行计算, 使解题 过程大为简化 . 应用比例法解物理题,要讨论物理公式中变量之间的比例关系,清楚公式的 物理意义,每个量在公式中的作用,所要讨论的比例关系是否成立 . 同时要注意以下几点:

(1)比例条件是否满足:物理过程中的变量往往有多个 . 讨论某两个量比例关系时要注意 只有其他量为常量时才能成比例 .

(2)比例是否符合物理意义:不能仅从数学关系来看物理公式中各量的比例关系,要注 意每个物理量的意义 (例:不能据 R =

I

U

认定为电阻与电压成正比 ). (3)比例是否存在:讨论某公式中两个量的比例关系时,要注意其他量是否能认为是不

变量,如果该条件不成立,比例也不能成立 .(例在串联电路中,不能认为 P =R

U 2

中, P 与

R 成反比,因为 R 变化的同时, U 随之变化而并非常量 )

【例 11】 如图 1所示电路中, R=10欧,滑动变阻器 R W 的最大阻值为 20欧, U=6伏。当滑动 片 p 从 a 滑至 b 时,电压表示数如何变化?

分析:电压表测的是 R 两端的电压,要知电压表示数变化范围,首先要画出滑片 p 在 a

和 b 时的等效电路,分别求出电压表在这两种情况下的示数。

p 在 a 时的等效电路如图甲所示, 因 R W 被短路, 所以 R W 接入电路的电阻为零, 这时电压 表示数即为电源电压, p 在 b 端的等效电路见图乙,这时 R W 与 R 串联, R W 接入电路的电阻为

它的最大值 20欧。

p在 a 端时, U R =6伏, p 在 b 端时,因为 R 与 R W 串联,所以 R 与 R W 两端的电压 U R 、 U W 的

关系是

,当 U=6伏时,

,因此当 p 从 a 滑至 b 时,

电压表示数变化为 6伏至 2伏。

说明 :在 p 在 b 端时的解法,也可应用比例式

来求解,所以

UR =2伏。

【练习】 列车从车站出发做匀加速直线运动, 一位旅客站在站台上列车的最前端, 测得第一 节车厢经过他的身旁的时间是 4秒, 假设各节车厢长度相同且不计车厢连接处的长度, 则第 9节车厢经过他的身旁所用的时间是多少?(0.68秒)

范文四：物理解题中数学方法的应用

宿迁市2006高三物理二轮复习专题

.

一、高考命题特点

高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用，借助物理知识渗透考查数学能力是

高考命题的永恒主题.可以说任何物理试题的求解过程实质上是一个将物理问题转化为数学

问题经过求解再次还原为物理结论的过程.

二、数学知识与方法

物理解题运用的数学方法通常包括几何(图形辅助)法、图象法、函数法、方程(组)法、

递推法、微元法等. 比例法等

1.

1．相似三角形法：相似三角形法通常寻找的是一个矢量三角形与一个几何三角形相似。

利用相似三角形对应边的比例关系求解力的大小，特别是当几

何三角形的边长己知时。 A

1 如右图1A所示，轻绳的A端固定在天花板上，B端

F 系一重为G的小球，小球静止在固定的光滑大球表面上，己知C AB绳长为l，大球半径为R，天花板到大球顶点的竖直距离AC=d,

B N角ABO＞90o。求绳中张力和大球对小球的支持力（小球直径忽

F略不计）

【解析】选小球为研究对象，受到重力G、绳的拉力F和 O G 大球支持力F图1A 的作用(如图1B示)。由于小球处于平衡状态，所N

以G、F、F组成一个封闭三角形。根据数学知识可以看出三角N

形AOB跟三角形FGF相似，根据相似三角形对应边成比例得 NF F/L=G/(d+R)=F/R N

解得 F=G?L/(d+R) F=G?R/(d+R) NFG N [讨论] 由此可见，当绳长L减小时F变小，F不变。 N

2．正弦定理（拉密定理）：如果在共点的三个力作用下，物体处于平 图1B

衡状态，那么各力的大小分别与另外两个力夹角的正弦成正比。如右 图2所示，表达式为： F α 2θ FF/Sinα=F/Sinβ=F/Sinθ 1233 β 此法适用于三力构成的是锐角或钝角三角形。

F1 2如图，船A从港口P出发支拦截正以速度图2 v沿直线航0行的船B，P与B所在航线的垂直距离为a，A船启航时，B船与P的距离为，，如果略去A船启动时的加速过程，b,ab

认为它一启航就做匀速运动，求：

（1）A船能拦到B船的最小速率v；

（2）A船拦到B船时两船的位移

1

宿迁市2006高三物理二轮复习专题 解析：（1）设两船在C相遇

vtvt0在?PBC中，, R,,R,,

,,Rav,v，式中 R,,,0R,,b

a0当vv=90时，即跟PB垂直时，最小，最小速率为 ,v,v0b

2bab（2）拦到船时，A船位移为B船位移为 s,s,AB2222b,ab,a

2abab答案：（1）（2） v,vs,s,A0B2222bb,ab,a

0【练习】如图所示，临界角C为45的液面上有一点光源S发出一束光垂直人射到水平放置于液体中且距液面为d的平面镜M上．当平面镜M绕垂直过中心O的轴以角速度,做逆时针匀速转动时，观察

者发现水面上有一光斑掠过．则观察者观察到的光斑在水面上掠过的

最大速度为多少?

解析：当平面镜M以角速度,逆时针转动时，反射光线将以角

速度2,同向转动．反射光线射到水面形成的光斑(应是人看到折射光线出射处)由S向左沿

0水面移动．将其移动速度vv分解如图．由图可知．越大，OP越大，越大．但当>45,,

0时，反射光线OP将在水面上发生全反射．观察者将看不到光斑，因此，当角非常接近45,时观察者看到的光斑移动速度最大，其值为

,,,vOP,22d2d2v,,,,,4d, m2coscoscos,,,22()2

答案： 4d,

【练习】 如图3所示，小球质量为m，置于倾角为θ的光滑斜面上， 悬线与竖直方向的夹角为α，系统处于静止状态。求斜面对小球的支持力

F和悬线对小球的拉力F。 F N

α F【解析】 选小球为研究对象，小球受力如图所示，球受三个力作用 N 而处于平衡状态。根据正弦定理得：

θ F/sin(180o－θ)=F/sin(180o－α)=mg /sin(α+θ) N

即 F/sinθ=F/sinα=mg/sin(α+θ) mg N图3 所以 F=mg?sinθ/sin(α+θ) F=mg?sinα/sin(α+θ) N

3.圆的知识应用

与圆有关的几何知识在物理解题中力学部分和电学部分均有应用，尤其带电粒子在匀强

磁场中做圆周运动应用最多，其难点往往在圆心与半径的确定上，其方法有以下几种：

(1)依切线的性质定理确定：从已给的圆弧上找两条不平行的切线和对应的切点，过切

2

宿迁市2006高三物理二轮复习专题 点做切线的垂线，两条垂线的交点为圆心，圆心与切点的连线为半径.

(2)依垂径定理(垂直于弦的直径平分该弦，并平分弦所对的弧)和相交弦定理(如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项)来确定半径：如图24-3.

２由BＥ＝CＥ×ＥＤ＝CE×（２R－CＥ）

2EBCE得R＝＋ 2CE2

也可用勾股定理得到：

２２２２２2ＯB＝（ＯC－CＥ）＋ＥB，R＝（R－CＥ）＋ＥB

2EBCE得，R＝＋. 图24-3 2CE2

此两种求半径的方法，常用于带电粒子在匀强磁场中运动的习题中.

3 如图直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。正、

负电子同时从同一点O以与MN成30?角的同样速度v射入磁场

v （电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？射出B 的时间差是多少？ O

N M 解：由公式知，它们的半径和周期是相同的。只是偏转方向相

反。先确定圆心，画出半径，由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。所以两

个射出点相距2r，由图还可看出，经历时间相差2T/3。答案为射出点相距2mv，时间s,Be

,4m差为。关键是找圆心、找半径和用对称。 ,,t3Bq

【练习】圆心为O、半径为r的圆形区域中有一个磁感强度为B、方向为垂直于纸面向里的

匀强磁场，与区域边缘的最短距离为L的O＇处有一竖直放置的荧屏MN，今有一质量为m的电子以速率v从左侧沿OO＇方向垂直射入磁场，越出磁场后打在荧光屏上之P点，如图所示，求O＇P的长度和电子通过磁场所用的时间。 M L

A O＇

N

解析 ：电子所受重力不计。它在磁场中做匀速圆周运动，圆心为O ″，半径为R。圆

O 弧段轨迹AB所对的圆心角为θ，电子越出磁场后做速率仍为v的匀速直线运动， 如图4所示，连结OB，??OAO″??OBO″，又OA?O″A，故OB?O″B，由于原有BP?O″B，可见O、B、P在同一直线上，且?O＇OP=?AO″B=θ，在直角三角形ＯＯ＇P中，O＇

P

3

宿迁市2006高三物理二轮复习专题 ,2tan(),r2P=（L+r）tanθ，而，，所以求得R后就可以求出O＇Ptan(),,tan,,2R21,tan()2

,ABR了，电子经过磁场的时间可用t=来求得。 ,VV

2Lmvv 由,得R= .OP,(L，r)tan,BevmReBM O , A

θ ,reBr， tan(),,OB 2RmV

R P θ/2 ,θ/2 2tan()2eBrmvN 2 tan,,,22222,mv,eBr21,tan()O// 2

2(L，r)eBrmv,， OP,(L，r)tan,,22222mv,eBr

2eBrmv ,,arctan()22222mv,eBr

,Rm2eBrmv t,,arctan()22222veBmv,eBr

物理图像能形象地表达物理规律、直观地描述物理过程、鲜明地表示物理量之间的相互关系.

因此, 图像在中学物理中应用广泛，是分析物理问题的有效手段之一.高考考纲明确指出，必要时考生能运用几何图形、函数图像进行表达、分析。 在高考试题中对图像问题的考查主要集中在作图（即直接根据题目要求作图）、用图（包

括从题给图像中获取信息帮助解题以及根据题意作出相关图像来帮助解题）两个方面。

对作图题，在描绘图像时，要注意物理量的单位、坐标轴标度的适当选择及函数图像的

特征等,特别要注意把相关物理量的数值在坐标轴上标示清楚.

对用图题中要求从题给图像获取信息帮助解题类问题，要注意正确理解图像的内涵：如

明确图像所代表的物理过程；弄清坐标所代表的物理量及其单位，进而弄清图线上各点读数

的物理意义；弄清图线与坐标轴上的截距的物理意义；弄清图线与坐标轴所围面积的物理意

义；弄清图线渐近线的物理意义；弄清图线上一些特殊点（如图线的拐点、端点、极值点及

两条图线的交点等）的物理意义等.

对用图题中要求根据题意作出相关图像来帮助解题类问题，要根据题意把抽象的物理过程用

图线表示出来，将物理量间的代数关系转化为几何关系,运用图像直观、简明的特点，分析解决物理问题.

4一位蹦床运动员仅在竖直方向上运动，弹簧床对运动员的弹力F的大小随时间t的

变化规律通过传感器用计算机绘制出来，如图所示.重力加速度g取10m/s

2,试结合图象，

4

宿迁市2006高三物理二轮复习专题

求运动员在运动过程中的最大加速度．

第14题图

解：．由图象可知，运动员的重力为 mg＝500N ?

弹簧床对运动员的最大弹力为 F

＝2500N ? m

由牛顿第二定律得 F－mg＝ma ? mm

2则运动员的最大加速度为 a＝40m/s ? m

（ 本题也可以求上升的最大高度）

【练习】某同学将一直流电源的总功率P、输出功率P和电源内部的发热功率P随电流IERr变化的图线画在了同一坐标上，如右图中的a、b、c

P (W) 所示。以下判断正确的是 （ ABC ） 9

A. 直线a表示电源的总功率；

6 B. 曲线c表示电源的输出功率； a b

3 C. 电源的电动势, = 3 V，内电阻r = 1 ,；

c (A) ID. 电源的最大输出功率P= 9w。 m0 1 3 2 【练习】质量相等的A、B两物体放在同一水平面上，分别受到水平拉力F和F的作用做12匀加速直线运动。在t和4t时速度达到2v和v时，撤去F和F后，继续做匀减速运000012动直到停止，其速度随时间变化情况如图所示，若F、F做的功分别为W和W，F、12121F的冲量分别为I和I, 则有 （ ） 212

A、W＞W，I＞IB、W＞W，IID、WW1 212 由动量定理 I - ft=0 I= ft t< t="">

v

5

2v

A

0vB

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【练习】“神舟”六号飞船完成了预定的空间科学和技术实验任务后返回舱开始从太空向地

球表面按预定轨道返回，返回舱开始时通过自身制动发动机进行调控减速下降，穿越大气层

后，在一定的高度打开阻力降落伞进一步减速下落，这一过程中若返回舱所受空气摩擦阻力

与速度的平方成正比，比例系数（空气阻力系数）为k，所受空气浮力恒定不变，且认为竖

直降落。从某时刻开始计时，返回舱的运动v—t图象如图中的AD曲线所示，图中AB是曲线在A点的切线，切线交于横轴一点B，其坐标为（8，0），CD是曲线AD的渐进线，假如返回舱总质量为M=400kg，g=10m/s

2，求

（1）返回舱在这一阶段是怎样运动的？

（2）在初始时刻v=160m/s，此时它的加速度是多

大？

（3）推证空气阻力系数k的表达式并计算其值。

【练习】用伏安法测一节干电池的电动势和内电阻，伏安图象如

图5所示，根据图线回答：

（1）干电池的电动势和内电阻各多大？

（2）图线上a点对应的外电路电阻是多大？电源此时内部热

耗功率是多少？

（3）图线上a、b两点对应的外电路电阻之比是多大？对应的输出功率之比是多大？ 图5

（4）在此实验中，电源最大输出功率是多大？

命题意图：考查考生认识、理解并运用物理图象的能力．B级要求．

6

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错解分析：考生对该图象物理意义理解不深刻．无法据特殊点、斜率等找出E、r、R，无法结合直流电路的相关知识求解．

解题方法与技巧：利用题目给予图象回答问题，首先应识图（从对应值、斜率、截面、

面积、横纵坐标代表的物理量等），理解图象的物理意义及描述的物理过程：由U-I图象知E=1．5 V，斜率表内阻，外阻为图线上某点纵坐标与横坐标比值；当电源内外电阻相等时，

电源输出功率最大．

（1）开路时（I=0）的路端电压即电源电动势，因此E=1．5 V，内电阻r=E1.5= ΩI7.5短

=0．2 Ω

1.5,1.0也可由图线斜率的绝对值即内阻，有r= Ω=0．2 Ω 2.5

U1.0a（2）a点对应外电阻R== Ω=0．4 Ω aI2.5a

22此时电源内部的热耗功率P=Ir=2．5×0．2=1．25 W，也可以由面积差求得ra

P=IE-IU=2．5×(1．5-1．0) W=1．25 W raaa

1.0/2.5R4a（3）电阻之比：== R0.5/5.01b

1.0，2.5P1a输出功率之比：== P0.5，5.01b

（4）电源最大输出功率出现在内、外电阻相等时，此时路端电压U=E/2，干路电流

1.57.5I=I/2，因而最大输出功率P=× W=2．81 W 短出m22

2当然直接用P=E/4r计算或由对称性找乘积IU（对应于图线上的面积）的最大值，出m

也可以求出此值．

3数学方法包括（1）用三角函数关N

F 系求极值；（2）用二次方程的判别式求极值；（3）用不等式“和积

θ 不等式”的性质求极值。 f

5物体放置在水平地面上，物理与地面之间的动摩擦

mg 因数为μ，物体重为G，欲使物体沿水平地面做匀速直线运

动，所用的最小拉力F为多大？

7

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该题的已知量只有μ和G，说明最小拉力的表达式中最多只含有μ和G ，但是，物体沿水平地面做匀速直线运动时，拉力F可由夹角的不同值而有不同的

取值。因此，可根据题意先找到F与夹角有关的关系式再作分析。

解：设拉力F与水平方向的夹角为θ，根据题意可列平衡方程式， 即……? Fcos,,f,0

……? N，Fsin,,G

…………? f,,N

由联立???解得：

,G,G,G, F,,,22,sin,，cos,1，,(sin,cos,，cos,sin,)1，,sin(,，,)

1,tan,,其中, ? FG,min2,1，,

6O：一轻绳一端固定在点，另一端拴一小球，拉起A L O

T 小球使轻绳水平，然后无初速度的释放，如图所示，小球θ

C在运动至轻绳达到竖直位置的过程中，小球所受重力的瞬

θ α 时功率在何处取得最大值？

v mg

θC解：当小球运动到绳与竖直方向成角的时，重力B

的功率为：

P=mg υcosα=mgυsinθ ?????

C 小球从水平位置到图中位置时，机械能守恒有：

12mgLcos,,mv ??????2

2P,mg2gLcos,sin, 解??可得：

y=cosθsinθ 令

1224？y,cos,sin,,(2cos,sin,)2

1222,(2cos,,sin,,sin,)2

22222又？2cos,，sin,，sin,,2(sin,，cos,),2

根据基本不等式，定和求积知：a，b，c,3abc

8

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222cos,,sin,y 当且仅当，有最大值

322 2cos1coscos由,,,,得：,,3

3,cos,结论：当时，y及功率P有最大值。 3

【练习】（作图法）从车站开出的汽车作匀加速运动，它开出一段时间后，突然发

现有乘客未上车，于是立即制动做匀减速运动，结果汽车从开动到停下来共用

-1 V/m.s20秒，前进了50米。求这过程中汽车达到的最大速度。

解：设最大速度为v,即加速阶段的末速度为v： mm画出其速度时间图象如右图所示，图线与t轴围成的面 0t 20

积等于位移。即：

1 S,，t，Vm2

1即： 50,，20V解得：V,5m/smm2

【练习】如图所示，光滑水平面上，质量为2m的小球B连接着轻质弹簧，处于静止；质量为m的小球A以初速度v向右匀速运动，接着逐渐压缩弹簧并使B运动，过一段时间，A0

与弹簧分离，设小球A、B与弹簧相互作用过程中无机械能损失，弹簧始终处于弹性限度以

内

（1）求当弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能E． （2）若开始时在小球B的右侧某位置固定一块挡板(图中未画出)，在小球A与弹簧分离前使小球B与挡板发生正撞，并在碰后立刻将挡板撤走．设小球B与固定挡板的碰撞时间极短，碰后小球B的速度大小不变、但方向相反。设此后弹簧弹性势能的最大值为E，试求m

E可能值的范围． m

A B v0 2m m

第18题图 解：．（1）当A球与弹簧接触以后，在弹力作用下减

速运动，而B球在弹力作用下加速运动，弹簧势能增加，当A、B速度相同时，弹簧的势能最大．

设A、B的共同速度为v，弹簧的最大势能为E，则A、B系统动量守恒，有

mv,(m，2m)v ? 0

9

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1122由机械能守恒 ? mv,(m，2m)v，E022

12联立两式得 ? E,mv03

（2）设B球与挡板碰撞前瞬间的速度为v，此时A的速度为v BA

系统动量守恒 mv,mv，2mv ? 0AB

B与挡板碰后，以v向左运动，压缩弹簧，当A、B速度相同（设为v）时，弹簧势能共B

最大，有 ? mv,2mv,3mvAB共

1122 ? mv,，3mv，E0m共22

v,v40B由??两式得 ? v,共3

2vv3m8200联立???式，得 ? Ev,[,(,)，]mB3416

当弹簧恢复原长时与小球B挡板相碰，v有最大值v，有 BBm

''mvmvmv,，2 ? 0ABm

1112'22 ? mvmvmv,，ABm0222

2联立以上两式得 v＝ vBm03

2即v的取值范围为 ? ,,0vvBB03

v120结合?式知，当v＝时E有最大值为E＝ ? mvBmm1042

v2102当v＝时，E有最小值为E＝ mvBmm20327

4.

物理习题中，方程组是由描述物理情景中的物理概念，物理基本规律，各种物理量间数

值关系，时间关系，空间关系的各种数学关系方程组成的. 列方程组解题的步骤

(1)弄清研究对象，理清物理过程和状态，建立物理模型. (2)按照物理情境中物理现象发生的先后顺序，建立物理概念方程，形成方程组骨架.

(3)据具体题目的要求以及各种条件，分析各物理概念方程之间、物理

量之间的关系，建立条件方程，使方程组成完整的整体. (4)对方程求解，并据物理意义对结果作出表述或检验. 7如图所示，竖直固定的光滑绝缘的直圆筒底部放置一场源A，其电荷量Q = ＋4×10－3 C，场源电荷A形成的电场中各点的电势表达式

10

Q宿迁市2006高三物理二轮复习专题 为，其中k为静电力恒量，r为空间某点到A的距离．有一个质量为m = 0.1 kgU,kr

的带正电小球B，B球与A球间的距离为a = 0.4 m，此时小球B处于平衡状态，且小球

QqB在场源A形成的电场中具有的电势能表达式为，其中r为q与Q之间的距,,kr

离．有一质量也为m的不带电绝缘小球C从距离B的上方H = 0.8 m处自由下落，落在

小球B上立刻也小球B粘在一起向下运动，它们到达最低点后又向上运动，它们向上运

2922动到达的最高点P．（取g = 10 m/s，k = 9×10 N?m/C），求：

（1）小球C与小球B碰撞后的速度为多少？

（2）小球B的带电量q为多少？

（3）P点与小球A之间的距离为多大？

（4）当小球B和C一起向下运动与场源A距离多远时，其速度最大？速度的最大值为

多少？

解：（1）小球C自由下落H距离的速度v2gH = = 4 m/s 0

小球C与小球B发生碰撞，由动量守恒定律得：mv = 2mv，所以v = 2 m/s 011（2）小球B在碰撞前处于平衡状态，对B球进行受力分析知：

qQ4,8 ，代入数据得：C q,，10mg,k29a

（3）C和B向下运动到最低点后又向上运动到P点，运动过程中系统能量守恒，设P与A

之间的距离为x，由能量守恒得：

QqQq12 ，2mv，k,2mg(x,a)，k12ax

2 代入数据得：x = (0.4＋) m（或x = 0.683 m） 5

（4）当C和B向下运动的速度最大时，与A之间的距离为y，对C和B整体进行受力分析

Qq2有：2mg,k，代入数据有：y = m（或y = 0.283 m） 25y

QqQq1122 由能量守恒得：，2mv，k,，2mv,2mg(a,y)，k 1m2a2y

代入数据得：（或v = 2.16 m/s） v,16,82 m/smm

【练习】如图所示，ABC为光滑轨道，AB部分呈水平状态，

BC部分为半径为R的半圆环，整个装置处于竖直平面内。

AB上静止一个质量M=0.99千克的木块，一颗质量为0.01

11

千克的子弹以400米/秒的水平速度打入木块且不穿出，然后沿轨道运动到半圆最高点，要宿迁市2006高三物理二轮复习专题 2使木块平抛的水平位移最大，半圆环BC的半径应多大？最大水平位移多大？（g取10m/s）

(1．R=0.2m S=0.8m ) max

5.

凡涉及数列求解的物理问题具有多过程、重复性的共同特点，但每一个重复过程均不是

原来的完全重复，是一种变化了的重复，随着物理过程的重复，某些物理量逐步发生着“前

后有联系的变化”.该类问题求解的基本思路为：

(1)逐个分析开始的几个物理过程

(2)利用归纳法从中找出物理量的变化通项公式(是解题的关键)，最后分析整个物理过程，应用数列特点和规律解决物理问题；?无穷数列的求和，一般是无穷递减等比数列，有

相应的公式可用.

8如图所示，n个相同的木块(可视为质

点)，每块的质量都是m，从右向左沿同一

直线排列在水平桌面上，相邻木块间的距

离均为l，第n个木块到桌边的距离也是

l,木块与桌面间的动摩擦因数为μ．开始

时，第1个木块以初速度υ向左滑行，其余所有木块都静止，在每次碰撞后，发生碰0

撞的木块都粘在一起运动．最后第n个木块刚好滑到桌边而没有掉下．

(1)求在整个过程中因碰撞而损失的总动能．

(2)求第i次(i?n一1)碰撞中损失的动能与碰撞前动能之比．

2(3)若n= 4，l=0.10 m，υ一3.0m／s，重力加速度g=10 m／s，求μ的数值． 0

解：(1)整个过程木块克服摩擦力做功

，,n(n1)mgl w=μmg．l +μmg．2l +??+μmg．nl= ? 2

根据功能关系，整个过程中由于碰撞而损失的总动能为

?E=E一W ? k k0

21n(n，1),mgl得 ,E,m, ? ,022(2)设第i次(i?n一1)碰撞前木块的速度为υ，碰撞后速度为υ’，则 ii

(i +1)mυ’=imυ? ii

碰撞中损失的动能?E时与碰撞前动能E之比为 ki

12

112.2(1),宿迁市2006高三物理二轮复习专题 imim,,ii,，22KiE (i?n-1) ? ,,12KiEim,i2

1,EKi (i?n-1) ? ,i，1EKi

2(3)初动能 ,m2,EK00

第1次碰撞前,,,mgl ? EEK1K0

第1次碰撞后 ,,,,/2,/2,,mgl/2’= ? EEEEEEK1K1K1K1K0K1

第2次碰撞,,（2mg)l,/2,,mgl/2=’ EEEK0K2K1

第2次碰撞后,,,/3,5,mgl/3’= EEEEK2K2K0K2

,,(3mg)l,,/3,14,mgl/3第3次碰撞前 =’ EEEK0K3K3

第3次碰撞后 ,,,/4,7,mgl/2’= EEEEK3K3K0K3

据题意有 /4,7,mgl/2,,(4mg)l ? EK0

带人数据，联立求解得 μ=0．15 ?

微元法就是将研究对象分割成许多微小的单元，或从研究对象上选取某一微元加以分析，从

而可以化曲为直，使变量、难以确定的量为常量、容易确定的量。

如图2所示，某力F=10牛作用于半径R=1米的转盘的边缘上，力F的大

小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F做的

总功应为：A 0焦耳 B 20π焦耳

C 10焦耳 D 20焦耳

解： 分析：把圆周分成无限个小元段，每个小元段

可认为与力在同一直线上，故ΔW=FΔS，则转一周中

各个小元段做功的代数和为W=F×2πR=10×2πJ=20

13

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πJ，故B正确。

10在光滑的水平面上,有一竖直向下的匀强磁场，分布在宽度为L 的区域内, 现有一边长为d (d＜L ＝的正方形闭合线框以垂直于磁场边界的初速度v滑过磁场，则线框在滑0进磁场时的速度是多少?

解:设线框即将进入磁场时的速度为v,全部进0

入磁场时的速度为vt

将线框进入的过程分成很多小段,每一段的运

动可以看成是 速度为v的匀速运动, 对每一i

小段，由动量定理:

22fΔt=B L vΔt /R = mv – mv（1） 1001

22fΔt=B L vΔt /R = mv – mv（2） 2112

v22fΔt=B L vΔt /R = mv – mv（3） 3223

22fΔt=B L vΔt /R = mv – mv（4） 4334

?? ??

22fΔt=B L vΔt /R = mv – mv（n） 0 nn-1n-1t

vΔt+ vΔt + vΔt + vΔt +??+ vΔt 0123n-1

+ vΔt =d nd L 22 将各式相加，得B L d /R = mv – mv 0t

【练习】 半径为r的均匀带电圆环，电量为+q， 求在其轴线上距环心O距离为x的一点p

的场强方向 ？

分析：可将带电圆环看作由n个点电荷组成的，任意点电荷都能找到与之对称 的另一点电荷，这两个点电荷在p点产生的电场强度的矢量和的方向沿轴线方向。 所以，p点的电场强度的方向必沿轴线且由o指向p。

7

比例计算法可以避开与解题无关的量，直接列出已知和未知的比例式进行计算，使解题

过程大为简化.应用比例法解物理题，要讨论物理公式中变量之间的比例关系，清楚公式的

物理意义，每个量在公式中的作用，所要讨论的比例关系是否成立.同时要注意以下几点：

(1)比例条件是否满足：物理过程中的变量往往有多个.讨论某两个量比例关系时要注意只有其他量为常量时才能成比例.

(2)比例是否符合物理意义：不能仅从数学关系来看物理公式中各量的比例关系，要注

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U意每个物理量的意义(例：不能据R＝认定为电阻与电压成正比). I

(3)比例是否存在：讨论某公式中两个量的比例关系时，要注意其他量是否能认为是不

2U变量，如果该条件不成立，比例也不能成立.(例在串联电路中，不能认为Ｐ＝中，P与RR成反比，因为R变化的同时，U随之变化而并非常量)

11如图1所示电路中，R=10欧，滑动变阻器R的最大阻值为20欧，U=6伏。当滑动W

片p从a滑至b时，电压表示数如何变化？

电压表测的是R两端的电压，要知电压表示数变化范围，首先要画出滑片p在a

和b时的等效电路，分别求出电压表在这两种情况下的示数。

p在a时的等效电路如图甲所示，因R

被短路，所以R接入电路的电阻为零，这时电压WW

表示数即为电源电压，p在b端的等效电路见图乙，这时R与R串联，R接入电路的电阻为WW

它的最大值20欧。

p在a端时，U=6伏，p在b端时，因为R与R串联，所以R与R两端的电压U、U的RWWRW关系是 ，当U=6伏时， ，因此当p从a滑至b时，

电压表示数变化为6伏至2伏。

：在p在b端时的解法，也可应用比例式 来求解，所以

U=2伏。 R

15

【练习】列车从车站出发做匀加速直线运动，一位旅客站在站台上列车的最前端，测得第一宿迁市2006高三物理二轮复习专题 节车厢经过他的身旁的时间是4秒，假设各节车厢长度相同且不计车厢连接处的长度，则第

9节车厢经过他的身旁所用的时间是多少？（0.68秒）

16

范文五：物理方法在数学解题中的应用_李光才

摘 要 :数学方法和物理有着不解之缘 . 用数学方法去解 物理问题似乎理所当然 (因为数学是工具 ), 但是反过来用物 理方法去解数学问题 (它有时巧妙与简洁 ), 也许不太为人们 所重视 . 本文谈谈物理方法在解数学问题中的应用 .

关键词 :物理方法 数学问题 应用 早在两千多年以前 , 古希腊学者阿基米德就曾用物体的 平 衡 定 律 解 一 些 几 何 问 题 , 数 学 家 庞 加 莱 也 说 过 :物 理 学 不 仅给数学工作者一个解题的机会 , 而且帮助我们发现解题的 方 法 , 其 方 式 有 二 :它 引 导 我们 预 测 解 答 及 提 示 适 合 的 论 证 方法 .

我们首先来看物理方法在解几何问题上的应用 .

例 1:如图 , G 是 △ ABC 的重心 , l 是 △ ABC 外一直线 , 若自 A ﹑ B ﹑ C ﹑ G 各向 l 作垂线 , 垂足分别是 A ′ ﹑ B ′ ﹑ C ′ ﹑ G ′ , 则 AA ′ +BB′ +

CC ′ =3GG′ .

这个问题直接用几何方法可以证明 , 只是稍嫌麻烦 (还要 作辅助线 ), 但若从力学的角度考虑 , 结论几乎是显然的 .

证明 :今在 A ﹑ B ﹑ C 各置一个单位质点 , 则整个质点系质量 为 3单位 , 且重心恰好在 G.

若重力方向视为与 l 垂直方向 , 则质点组 {A, B , C}对 l 的力 矩为 :l ·AA ′ +l·BB ′ +l·CC ′ , 它恰好等于质心 G (质量为 3个单 位 ) 对于 l 的力矩 , 而这个力矩正好是 3GG ′ .

例 2:三个乡村要联合办一所小学 , 其中甲村有 50名 , 乙村 庄有学生 70名 , 丙村有学生 90名 . 问这所学校办在什么地方可 以使学生所走路程总和最小 ?

这个问题从数学的角度出发属于求函数的极值问题 , 现

在我们用物理的方法来解决 .

解 :如图 , 在一块木板上画好三个村位置 , 然后在标有三 村位置的点处各钻一孔 , 再把三条系在一起的绳子分别穿过 三个孔 , 绳子下段各挂有重量比是 5:7:9的三个重物 , 当它们 平衡时 , 绳子结点所在位置 , 即为所求学校的位置 . (利用位能 最小原理 )

最后我们来看一个求三角函数的例子 . 例 3:求 sin18°的值 .

解 :如图 , 力系 {O, f 1△ , f 2△ , f 3△ , f 4△ , f 5△ }中 , 合力 △

F=0, 考虑它在 X 方 向上的合力 (令 |fi △

|=1, i=1, 2, 3, 4, 5) 有 1+cos72°+cos72°-cos36°

-cos36°=0, 即 1+2cos72°-2cos36°=0.又 cos72°=sin18°, cos36°=1-2sin 2

18°, 代入上式有 4sin 2

18°+2sina18°-1=0,

解得 sin18°=14

(%

姨 -1)(负值舍去 ) .

还有许多物理方法可用来解某些数学问题 , 这方面的例 子我们就不一一举了 , 读者若有兴趣可参考 .

(弥勒县第一中学 , 云南 弥勒

652300)

李光才

物 理 方 法 在 数 学 解 题 中 的 应 用

B

3636

7272

69

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