考研数学：极限的局部保号性和

范文一：考研数学：极限的局部保号性和非局部保号性分析

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考研数学:极限的局部保号性和非局部保号性分析

极限是高等数学中最基本的概念和工具，其它很多重要概念和运算都是由极限引导出来的，如导数的概念、定积分和重积分的概念、无穷级数的运算等，另外，极限本身也是一个重要考点，在每年的考研数学试题中经常有十多分的题目。在极限的各种性质中，极限的保号性是一个非常有用的性质，但一些同学对它理解得不透，解题时不会使用，下面文都教育的蔡老师对极限的保号性做些分析总结，供大家参考。

一、函数极限的局部保号性和非局部保号性

,A,01、函数极限的局部保号性是指:若(或)，则存在正数，lim()0fxA,,xx,0

使得当0,,,xx,时，有(或). fx()0,fx()0,0

lim()0fxA,,A,02.函数极限的非局部保号性是指:若(或)，则存在正数，Xx,,

xX,使得当时，有(或). fx()0,fx()0,

或的极限也有与上类似的结论。对于x,,,x,，,

非局部保号性是相对于局部保号性而言的，局部保号性是在某个点的去心邻域内保号，而非局部保号性是在一个无穷区间上保号，所以可称之为“非局部”。

二、数列极限的保号性

lim0xA,,NA,0数列极限的保号性是指:若(或)，则存在正整数，使得n,,n

nN,x,0x,0当时，有(或). nn

如果将数列视为一种函数，即定义fnx(),，则数列的保号性就类似于函数fx()n

的非局部保号性。

三、极限的增强保号性

A,0k,1lim()0fxA,,函数极限的增强保号性是指:若(或)，则对于任何，xx,0

,,00,,,xx,存在常数，使得当时，有(或). fxkA(),fxkA(),0

lim()0fxA,,lim[()](1)0fxkAkA,,,,证:若，则，根据局部保号性得，存xx,xx,00

,,00,,,xx,在，使得当时，有fxkA()0,,，于是fxkA(),. 0

A,0的情况也类似可证。

lim()0fxA,,lim0xA,,A,0A,0对于(或)以及数列极限(或)的nx,,,,n

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中国知名教育品牌情形，也有与上类似的增强保号性。

四、典型题型分析

fx()例1.设函数在上连续，且，证明:存在， ,lim0fx()(,),,，,,,,,，,(,)x,,x

使得. f()0,,，,

fx()fxx()，证:设，则由得，由极限的保号性得， , lim0lim1,,()()xfxx,，x,,x,,xx

fxx()，存在正数，使得当时，有， xX,,0Xx

faa()，aX,,取，则aX,，于是,; ,,,，,0()()0afaaa

fbb()，bX,,再取，则bX,，于是; ,,,，,0()()0bfbbb

根据零点定理得，存在，使得，即. ,,,,,，,(,)(,)ab,,()0,f()0,,，,

,,fx(),lim1,,例2.设具有二阶连续导数，且，，则( ) f(1)0,fx()x,1x1,

(A)是的极大值 (B)是的极小值 fx()fx()f(1)f(1)

(C)(1,(1))f(1,(1))f是曲线的拐点 (D)不是极值，也不是拐点 yfx,()f(1)

,,,,fx()fx()lim10,,,,0解:?，由极限的保号性知，在的某去心邻域内，x,1x,1x,1x,1

,,x,,10,fx()0,而，?，单调减少， fx()

,,在x,1的左邻域内，由知，单调增加; fxf()(1)0,,fx()

,,在x,1的右邻域内，由知，单调减少; fxf()(1)0,,fx()

x,1综上得，在处取极大值，故应选(A). fx()

,,xx,1fx()0,注:选项(C)是错误的，这是因为在的去心邻域内，在的左fx()

yfx,()右两边都是凸的，其凹凸性并未改变，因此不是曲线的拐点，(1,(1))f

故选项(C)不正确。

从上面的分析我们看到，极限包括函数极限和数列极限，函数极限的保号性包括:局部保号性、非局部保号性和增强保号性，数列极限的保号性包括一般保

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中国知名教育品牌号性和增强保号性;另外，函数极限的保号性不仅可以用于某个函数本身，也可以用于它的导函数，如上面的例2;从解题方面看，极限的保号性常用于判断题和某些证明题，使用时一般需要结合其它知识点，如上面例1中就用到函数的零点定理，例2中结合运用了函数的单调性，这要求同学们会灵活运用所学知识。

关键词:考研数学极限的保号性局部保号性

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范文二：个人原创——专题总结二——极限的局部保号性(智轩老师看过来！）

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[ 本帖最后由 louise 于 2008-7-24 17:33 编辑 ]

高手看过来，看俺总结的对否,以免误导了别人，偶心里不安啊呵呵

写的不错，顶～

k0k0k0k0版主，我怎么没有发附件的权限,该怎么快速的拥有,

感谢楼主～

谢谢分享!挺有见解!

感谢楼主～辛苦了～

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你看到书仔细啊，

不错的总结，支持并感谢你的奉献。

写的不错，顶～

辛苦啦～～1[s:2]

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感谢楼主～

支持～～～～～谢谢～～～支持～～～～～谢谢～～～

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感谢楼主～辛苦了～

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保号性到底怎么保的我到现在还是很迷茫。所以先谢谢楼主啦～

感谢楼主～辛苦了～

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范文三：极限的保号性很重要.doc极限方法

极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致

1 极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种）

2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？）

1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在） e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记

（x趋近无穷的时候还原成无穷小）

2落笔他法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）

首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！

必须是 X趋近而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件

（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）

必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g

（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！）必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！

当然还要注意分母不能为0

落笔他法则分为3中情况

1 0比0 无穷比无穷时候直接用

2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了

3 0的0次方 1的无穷次方无穷的0次方

对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0）

3泰勒公式 (含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！）

E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开对题目简化有很好帮助

4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法

取大头原则最大项除分子分母！！！！！！！！！！！

看上去复杂处理很简单！！！！！！！！！！

5无穷小于有界函数的处理办法

面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。

面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！

6夹逼定理（主要对付的是数列极限！）

这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。

7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）

8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）

可以使用待定系数法来拆分化简函数

9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下， xn的极限

与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化

10 2 个重要极限的应用。这两个很重要！！！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。地2个就如果x趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式

（地2个实际上是用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）

11 还有个方法，非常方便的方法

就是当趋近于无穷大时候

不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！！！！！！！！ x的x次方快于 x！快于指数函数快于幂数函数快于对数函数（画图也能看出速率的快慢） !!!!!! 当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了

12 换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中

13假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的

14还有对付数列极限的一种方法，

就是当你面对题目实在是没有办法走投无路的时候可以考虑转化为定积分。一般是从0到1的形式。

15单调有界的性质

对付递推数列时候使用证明单调性！！！！！！

16直接使用求导数的定义来求极限，

（一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式，看见了有特别注意）

（当题目中告诉你F(0)=0时候 f（0）导数=0的时候就是暗示你一定要用导数定义！！！！）

范文四：考研高数局部保号性在定理证明中的应用

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考研数学:局部保号性在定理证明中的应用

学习函数极限的性质的时候，有一个重要的性质叫做函数极限的局部保号性，也称为局部保序性，今天跨考教育数学教研室邵伟如老师为大家具体讲解局部保号性在定理证明中的应用知识。

函数极限的局部保号性定理内容为:如果lim f (x ) =A , 且A 0(或A 0) ，那么存在x ?x 0

0x -x 0δ常数δ0, 使得当时，有f (x ) 0(或f (x ) 0) , 即一个函数极限的符号确定

的话，求极限的函数在一个邻域内与该点处极限保持相同

的符号。这个定理还有一个常用的

x ?(x 0-δ, x 0) ?(x 0, x 0+δ) 时，推论:若存在常数δ0, 使得当有f (x ) 0(或f (x ) 0) ，

且极限x ?x 0lim f (x ) 存在，则x ?x 0lim f (x ) ?0(或?0) , 即在某点的去心邻域内，函数的符号确定的话，那么其极限的符号在这一去心邻域内也能确定。这个定理沟通了函数与极限之间符号之间的关系，所以凡是讨论到极限的符号或函数的符号问题的时候都应该想到应用这个定理去解决。那么，在高等数学中哪些考点哪些定理是应用了局部保号性的呢,下面邵老师为大家做一个整理。

与局部保号性联系最紧密的是函数的极值部分的定理，大家知道，在驻点是可疑的极值点，要判定驻点是否为极值点，有两个方法，一个的极值第一充分条件，一个是极值第二充分条件，如果函数二阶可导的话，显然极值第二充分条件有不可替代的优势，尤其是极值问题与隐函数结合考查的时候。

? ?? x f (x ) =0f (x 0) 0, f (x ) 00第二充分条件的内容是:设函数在处存在二阶导数且，

?? ?? x x f (x ) 0, f (x 0) =0, f (x ) f (x ) 000则在处取得极小值;?若则在处取得极大值;?若

x 则f (x ) 在0处是否取极值未知. 这个定理涉及到了导数的符号问题，所以是依靠局部保号性来证明的。与这个定

理平行的另一个定理是判定拐点的第二充分条件，定理内容是:设函

?? ?“ x f (x ) =0, f (x 0) ?0, 则点(x 0, f (x 0)) 为曲线f (x ) 00数三阶可导且在点处有且

y =f (x ) 的拐点。这个定理中一样涉及到导数的符号问题，所以仍是由局部保号性证明的。

再来看一道真题，设函数f (x ) 有二阶连续导数，f ? (0)=0,lim x ?0f “(x ) =1, x 则讨论f (0)是否为极值点，(0,f (0))是否为拐点。这道题非常典型，已知极限的符号，讨论函数的符

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f “(x ) 0, x 号，明显的局部保号性的使用标志。由极限等于1可知，函数极限在0的左右邻域内符号为正，那么根据保号性，在这一去心邻域内，要求极限的函数而分母恒大于0，所

以可以断定，分子f “(x ) 在去心邻域内大于0，此时不能根据二阶导函数大于0就断定0点为极小值点，因为第二充分条件需要的是f “(0)的符号，不是去心邻域内导函数的符号，那么接下去就根据二阶导函数的符号可以得到一阶导函数在去心邻域内单调递增，而f ?(0)=0，结合二者可知在0

点的左右两侧邻域，一阶导函数符号发生了改变，先减后增，因此0这一点为极小值点，此题得解。从整个分析过程可知，第一步由局部保号性得到的结论在解题过程中起到了至关重要的作用。

经过以上分析我们需要掌握两点:1、局部保号性定理内容及结论;2、何时需要考虑使用局部保号性去解决问题。

文章来源:跨考教育

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范文五：考研高数局部保号性在定理证明中的应用

考研数学：局部保号性在定理证明中的应用

函数极限的局部保号性定理内容为：如果lim f (x ) =A , 且A >0(或A <0) ，那么存在x="" →x="">

0<δ常数δ>0, 使得当时，有f (x ) >0(或f (x ) <0) ,="">

的话，求极限的函数在一个邻域内与该点处极限保持相同的符号。这个定理还有一个常用的

x ∈(x 0-δ, x 0) ?(x 0, x 0+δ) 时，推论：若存在常数δ>0, 使得当有f (x ) >0(或f (x ) <0)>

且极限x →x 0lim f (x ) 存在，则x →x 0lim f (x ) ≥0(或≤0) , 即在某点的去心邻域内，函数的符号确定的话，那么其极限的符号在这一去心邻域内也能确定。这个定理沟通了函数与极限之间符号之间的关系，所以凡是讨论到极限的符号或函数的符号问题的时候都应该想到应用这个定理去解决。那么，在高等数学中哪些考点哪些定理是应用了局部保号性的呢？下面邵老师为大家做一个整理。

' '' x f (x ) =0f (x 0) >0, f (x ) 00第二充分条件的内容是：设函数在处存在二阶导数且，

'' '' x x f (x ) <0, f="" (x="" 0)="0," f="" (x="" )="" f="" (x="" )="">

x 则f (x ) 在0处是否取极值未知. 这个定理涉及到了导数的符号问题，所以是依靠局部保号性来证明的。与这个定理平行的另一个定理是判定拐点的第二充分条件，定理内容是：设函

'' '" x f (x ) =0, f (x 0) ≠0, 则点(x 0, f (x 0)) 为曲线f (x ) 00数三阶可导且在点处有且

y =f (x ) 的拐点。这个定理中一样涉及到导数的符号问题，所以仍是由局部保号性证明的。

再来看一道真题，设函数f (x ) 有二阶连续导数，f ' (0)=0,lim x →0f "(x ) =1, x 则讨论f (0)是否为极值点，(0,f (0))是否为拐点。这道题非常典型，已知极限的符号，讨论函数的符

f "(x ) >0, x 号，明显的局部保号性的使用标志。由极限等于1可知，函数极限在0的左右邻域内符号为正，那么根据保号性，在这一去心邻域内，要求极限的函数而分母恒大于0，所

以可以断定，分子f "(x ) 在去心邻域内大于0，此时不能根据二阶导函数大于0就断定0点为极小值点，因为第二充分条件需要的是f "(0)的符号，不是去心邻域内导函数的符号，那么接下去就根据二阶导函数的符号可以得到一阶导函数在去心邻域内单调递增，而f '(0)=0，结合二者可知在0点的左右两侧邻域，一阶导函数符号发生了改变，先减后增，因此0这一点为极小值点，此题得解。从整个分析过程可知，第一步由局部保号性得到的结论在解题过程中起到了至关重要的作用。

经过以上分析我们需要掌握两点：1、局部保号性定理内容及结论；2、何时需要考虑使用局部保号性去解决问题。

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