有关弹性散射的若干问题_实验

范文一：有关弹性散射的若干问题_实验室系和质心系中的散射

有关弹性散射的若干问题

———实验室系和质心系中的散射

张瑜瑜 ,王美娟 ,施梳苏

() 华中师范大学国家理科物理学基地 ,武汉 430079

摘要 :本文首先介绍了弹性散射的圆图 ,然后讨论了实验室系中散射粒子和靶粒子

之间的能量转化 ,定性地画出了能量图像。着重分析了射弹粒子比靶粒子重的情况下 ,同一个实验室系散射角和两个质心系散射角对应的问题 ,画出了散射粒子与靶粒子在不同质量比情况下散射角的变化趋势 ,研究了出现这种“一对二现象”的原因 ,描绘了和这两个质心系散射角对应的实际运动模拟和相应的能量转移。最后给出了散射的速度图像。

关键词 :弹性散射 ;实验室系 ;质心系 ;能量转移 ;运动轨迹模拟 ;一对二现象

中图分类号 :O 572 . 2 文献标识码 :A

弹性散射是分析力学中一个重要的问恒可写为 :

[ 1 ] 质心系题。其过程可以视为射弹粒子与靶粒子

( ) ( )= + = = 之间动量与能量的转化过程。根据动量关系 Pm V Pm V 10 1 10 20 2 20

( ) ( ) P′= m V′+ P′= m V′= 0 ; 我们可以作出散射圆图 , 从中我们会发现 10 1 10 20 2 20

θ实验室系m > m 时会出现一个实验室散射角对应 1 2

( ) ( ) P= m V+ P= m V = 0 = χ 1 1 1 2 2 2 两个质心系散射角的散射情况。产生这 ( ) ( ) P′= m V′+ P′= m V′。在质心系1 1 1 2 2 2 一现象的物理机理是什么呢 ? 我们从能量转四个动量大小都相等 , 因而 : 化入手讨论这个问题。 V′= V n′, V′= - V n′。10 10 0 20 20 0 1 . 弹射散射的圆图

( 在实验室系可以得到 P′= m V n′+ m / 我们先从质心系来讨论散射问题。设1 1 0 1

) m m V, P′= - m V n′+ m V , 定参数 : 用 m 、m 表示射弹粒子和 2 1 2 1 0 1 1 2 ( ) 其中 m = m m / m + m 为折合质量。 1 2 1 2 靶粒子的质量 , 令 m 、m 碰撞前在质心系 1 2 [ 2 ] 用圆图表示这些物理量。以 O 为圆与实验室系的动量分别为 P、P、P、P, 10 1 20 2

心 , R = m V 为半径作圆 , 如图 1 所示。图1 速度分别为 V、V 、V 、V, 碰撞后的动量 10 1 20 2

中的水平方向为入射方向 , 即 P方 1 分别为 P′、P′、P′、P′, 速度分别为 10 1 20 2 ( ) 向 , 矢量 A O = m / m m V, OB = m V 。 1 2 1 1 V′、V′、V′、V′。用 n′表示第一个粒 10 1 20 2 0

容易看到 B 点在圆周上 , A 点在圆内或子碰撞后在质心系中速度方向的单位矢量。圆外由 m < m="" 或="" m=""> m 而定 , 如图 11 2 1 2 在这两个参考系中 , 碰撞过程的动量守

( ) ( ) 根据能量公式 a和 1 b。沿碰撞后 m 在质心系中的运 1 2 ( ) E′= P′/ 2 m 动方向 n′方向画一条半径 O C , 则( )3 2 2 20

( ) ( ) 联立求解 23得 χ ?COB = 是质心系中的散射角。 A C =2 2 ( χ) E′= 1 - co sm V / θ 2 1 P′, CB = P′, ?COB = 是实验室系中的( )1 2 4 m 2碰撞前后能量守恒 , 则有散射角。由图 1 , 我们容易得到一个重要的

2 关系 : ) ( ( E′= E- E′= [ m / m + 2 m / 1 0 2 1 2 1

2 2 θχχ)( ( )tan= m sin/ m + m co s1 2 1 2) χ ( )m co s+ 1 ] m V / 2 m 5 2 1 1

( ) ( ) ( ) 由 145式 , 我们可作出 E′, E′以 1 2

θχ 及实验室散射角与的相关函数图 , 同时用

θ一条直线标出瞄准距离 b 与散射角相应

的值 , 如图 2 所示。

图 1 碰撞前后动量的变化

当 m < m="" 时="" ,="" 上式分母有一个零点在="" 1="" 2="">

π χ θco s= - m / m , 此时存在一个跳变由 1 2 2

π ( ) 变 - , 如图 2 a。2

θχ 当 m > m 时 ,不是的单调函数 , 如1 2

( ) 图 2 b。 θ χ χ 图 2 碰撞后能量和实验室系散射角的变化θθ当 m = m 时 , tan= tan ,= , 即1 2 2 2 分析三种类型的图形可知 , 碰后 m 的 1 θχ ( ) 与有线性关系 , 如图 2 c 。χ 能量 E′随的增大而减小 , m 的能量 E′ 1 2 2 2 . 实验室系中 , 射弹和靶两粒子间能量转化π χ χ 随的增大而增大。特殊地 , 在 = 即 b讨论这一问题 , 我们要用到上面圆图 , 引 ( ) = 0 对心碰撞时 , 能量转化达到最大 ,

22 进参数 E′, E′表征碰撞后实验室系中 1 2 ( ) ( ) ( )E′= [1 - m- m/ m+ m] E6 2max 1 21 20 2 m , m 的能量 , E= m V/ 2 为碰前 m 1 2 1 1 1 1 3 . 实验室系和质心系散射角的“一对二”的能量 , 并且也是系统的总能量 E。在通过上面这些基本式子及图形 , 可利用 0

?COB 中 , 由正弦定理有 :能量转化关系来讨论瞄准距离 b 与实验室

θχ πχ系中散射角及质心系中散射角之间的关 - ( )χ2 = P′/ sin m V / sin 1 2 2 系 , 根据 m 与 m 的关系 , 可作如下讨论 : 1 2

θχ (θ) 角对应两个不同的和 b 值除外。 max

对于这种现象我们可以定性分析如下 :设 b0

θ 为对应的瞄准距离。max

θ 当 b = 0 与 b = a 时 ,均等于 0 , 见图 3

( ) b上两图。

当 b由 a 向 b减小时 , 同时 b由 0 向1 0 2

θ b增大 , 这两种情况下分别同时增大 , 我0

们总是可以适当地调整 b与 b的数值 , 从 1 2

θ( ) 而使它们所对应的相等 , 如图 3 b下图。

ψ此时 , 对靶粒子 m 而言 , 它所对应的偏转角 2

ΨΨ却是不同的 , 有 > 。 1 2

ΨΨ当特殊状态 b = b时 , 与同时趋 0 1 2

ΨΨ于 , 即 m 偏转角为。这样 , 在质心系 0 2 0

χχ χ中 m 的散射角有两个值 , 并且 < ,="" 如1="" 1="" 2="">

( ) 图 4 b。我们把这种同一个实验室系的

θχ 散射角对应与两个质心散射角的问题

称为“一对二现象”。

( ) ( ) 考查 45式可知 , 产生这种现象的根源在于 , 不同的瞄准距离对应于不同的能量

( ) 转化过程。反映到转化能量 E′4式中即 2

χ 表述为 b与 b对应的值是不同的。这 1 2

是不难理解的。

当 b = 0 时 , m 与 m 对心碰撞。相互 1 2 ( ( ) 作用最强 , 使得 E′达到最大值用 4式表 2 图 3 实验室系靶粒子与射弹粒子运动轨迹模拟 ) 征;

4 . 散射的速度图像当 b = a 时 , m 与 m 处于相互作用最 1 2

根据上面的讨论 , 我们可以作出速度图弱的状态。

θ像来表示碰撞后实验室的散射角 , m 的出 2 我们容易得到 , 当 b 从 a 减少到 0 , m 1

χ 与 m 的作用增强 , E′表现为随增大单调Ψ 2 2 χ射角 , 以及质心系中的散射角 , 从而将

( ) θ递增。观察图 2 b, 可看出不是关于 b 的物理问题直观化。θ单调函数 , 于是产生一个对应两个不同通过速度合成图像 , 我们可以形象地看

θ到 , 当 m > m 时 , 同一个角对应不同的的能量的转化过程 , 即对应两个质心系散射 1 2

Ψ ΨΨχ两个值、, 以及不同的质心系散射角、1 1 2 χ角 , 这就是“一对二现象”的本质原因。 χ( ) ( ΨΨ, 如图 4 b。但在不同的、下由图 2 1 2 ?m < m="" 时="" ,="" 这种“一对二现象”就不="" 1="" 2="" ψ)="" ψ3="" 可知=""> , m 碰撞后速度 V ′与 m 碰1 2 1 1 2 θθ存在了 , 因为此时 , b = a 时= 0 , b = 0 时后速度 V ′是不相等的 , 对于 V ′表现在矢量2 1 π( ) θ = , 如图 3 a。是 b 的单调函数 , E′仍2 的长度不等 , 而对于 V ′则是方向与长度均2

( ) ( ) 不等 , 如图 4 ab。这意味着

到相对木板静止所经历的时间 t 为何故向后倾斜。再如汽车在水平面上做转弯

t = - v / a, 受向里的摩擦力和向外的惯性力。运动时 0 2

μ( ) = M v / gM + m 当汽车的转弯速度增大时 , 惯性力大于摩擦 0

( ) 2如果物体运动过程倒置过来 , 那么物力 , 所以汽车做离心运动。在处理运动学习 ( ) 体做初速度为零 , 加速度为 a = M + m g题时 , 巧用惯性力能使

2 μ/ M 的匀加速运动。由 S = at / 2 得 , 物问题变得简单易懂 , 使物体运动过程清晰。

以上是我个人的观点 , 希望能与各位老师共体相对木板滑行的距离为

2 μ( ) 同讨论。S = M v / 2 gM + m 0

参考文献例 3 说明在惯性参考系中 , 只要加上

(人民教育出版社物理室编. 高一物理实验修订本? 1 ( ) 适当的惯性力这里是 - m a, 就仍然能用 1 ) 必修M . 北京 :人民教育出版社 ,2000. P65 - 66. 牛顿运动定律和运动学公式求解。周衍柏 . 理论力学教程 M . 北京 : 高等教育出版 2 由以上几例可以看出 , 运动物体在非惯社 ,1986 . P45 - 46 .

黄冈市 3 + x 课题组. 黄冈兵法 M . 西安 : 陕西性系中 , 除受真实的力 , 还受惯性力作用。在 3 师范大学出版社 ,2002 . P173 . 不同的环境中 , 给物体加上适当的惯性力 , 解 ( ) 薛金星 . 中学教材全解高一物理下M . 西安 : 题很方便 , 而且还能解释生活中的一些现象。陕西人民教育出版社 ,2003 . P172 . 4

如例 1 中 , 如果不加惯性力就不能解释小球

ΨΨΨ()= = , b = b。两以上分析 , 我们从射弹粒子与靶粒子的上接第 35 页 1 2 0 0

种能量转化过程实际归并为同一过程 , 故能量转化入手 , 作出了碰撞后射弹粒子和靶 ΨΨ χ 粒子能量与的函数图像。重点讨论了 m = 。11 2

> m 时出现的所谓的“一对二现象”, 其物 2

θχ 理本质可从 - 图像中体现 , 形象地从运动

轨迹模拟阐述了这种现象 , 最后描绘出了

碰撞前后速度图像。“一对二现象”在图像中

可清晰地看出。实验室与质心系中散射问题

之一“一对二现象”得到较合理的阐释。

参考文献

1 刘连寿主编 . 理论物理基础教程 M . 北京 : 高等

教育出版社 ,2003 .

2 L D ??L andau and E. M . Lif shitg , Mechanics ,

Courseof Theoretical PhysicsVol . 1 , Third Editio n ,

Read Educatio nal and Profesio nal Publishing L t d ,

1981 .

致谢 :本文撰写过程得到刘连寿老师的悉心指导 ,在

此深表感谢 ! 图 4 实验室系与质心系中的速度

范文二：妙用质心和质心系求解竞赛题

智浪教育—普惠英才文库

巧用质心和质心系求解竞赛题

应用质心和质心系解答竞赛题是一中重要的解题方法。特别是系统所受外力为零时，质心做匀速直线运动，抓住这个特点来求解有关力学问题往往能化难为易，化繁为简。下面举例说明。

例1、如图，一水平放置的圆环形刚性套槽固定在桌面上。槽内嵌着三个大小相同的刚性小

mm球，它们的质量分别为、、，其中，小球与槽壁刚好mm,m,2m123231v0

I接触，而它们之间的摩擦可以忽略不计。开始时三球处在槽中I 、II、III

,Rv,mm的位置，彼此之间距离相等，、静止。以初速度沿槽m02132

III运动，R为圆环的内半径和小球半径之和。设各球间的碰撞皆为弹性碰撞。II求此系统的运动周期T。

分析与解答:

此题的常规解法是逐一应用动量守恒，找出系统的运动规律。从而求出周期。该方法比较麻烦。如果注意到三个小球在运动过程中在圆的切线方向不受力。故可以认为系统的质心作匀速圆周运动。系统运动一个周期，即质心运动一个圆周。设质心的速率为 vc

mvv2R,R,100，所以周期 ,,,vT,,20sc510，，mmmvc123

例2、在光滑水平面上有两个质量均为m的物体A和B，B上有一劲度系为k的轻弹簧。

ABv物A以速度向静止的物体B运动，并开始压缩弹簧，求:从开始v00

压缩弹簧到最大压缩量过程中物体B的位移。

分析与解答:

先求出弹簧的最大压缩量。当两物体速度相等时，弹簧压缩量最大。此时两物体速度为v设最大压缩量为。由动量守恒和能量守恒得: xm

(1) mv,2mv0

111222mv,2mv，kx (2) m0222ACB

mxv,由(1)(2)得: m02k

在运动过程中相对于地面来说。A、B两物体都做复杂的变加速运动。现在以质心为参考系来研究A、B两物体的运动规律。注意到系统不受外力，质心做匀速直线运动。其中质心位

mvv00于AB两物体的中点处，质心速度。在质心系中，A、B两物体相对质心C,,vc22m

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vv''00的初速度:，; 0,,,,,,,vvvvvAccBcc022

由于质心位于AB两物体连线的中点处。故可以将弹簧等效为两根一样的弹簧串联，劲度系数都为2k，AB两物体在两弹簧的作用下相对质心做对称的简谐运动，两物体相对质心C

m的振动周期都为T，且。当弹簧压缩量最大时，两物体相对质心C运动的距离T2,,2k

xTm,mt都是由于两物体振动的起始位置都是平衡位置，故运动的时间; ,,422k2

xvv,Tmmm00xv所以，B物体对地的位移: ,,,,Bc4242k22k

例3用长为l=1m的不可伸长的弹性轻绳系上同样的小球使它们静止在光滑的水平面上，开始弹性轻绳松弛彼此相距0.5m，现使其中一个小球沿垂直于两球球心连线方向，以速度

v10运动。求经过3min时两球的速度为多少, v,0.1m/s0

分析与解答:

v0系统不受外力，系统的质心做匀速直线运动，速度。现以质心为参考系，,vc2

2v末0两球最初开始相对质心以速率向左和向右运动。经1初2

00.5cos30过，弹性绳第一次拉直。拉t,,53s1vcCv0

2初直的瞬间，遵循弹性碰撞的规律，在垂直于弹性绳方向

上的分速度不变。由于两球质量相同，沿弹性绳方向分速1末度大小不变，方向反向。如此反复，这相当于小球在以绳长

为直径的“圆筒”中发生弹性碰撞，“碰撞”前后小球速度类似“光反射”定律。碰l,1m

v0后两球以沿各自方向匀速运动，到再次拉直，又“碰撞”，如次循环。可得知两球沿边长2

3a,l的正三角形边匀速运动。 2

1x,vt,9m在质心系中，经过t,3min，球1运动了的路程。由: 102

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avv2c2x,1912,,,9.89。可得经过，两球相对质心t,3mina230，1602

,,,v0v,v，v位置如图所示，即和位置，速度方向如图。球2对地的速度:，。1,2v12CCc2末末2

v3000方向与质心运动方向成角。故; 60v,2，cos30,m/s2220

,,,v00vv,v，v球1对地的速度:，方向与质心运动方向成，,120vc11CCc12

v0故 v,,0.05m/s12

v1cv1例4、质量为M的粒子A以速度运动，与质量为m的静止Bv

粒子发生弹性碰撞，设M>m。求A粒子在碰撞后，相对于原运动方向最大偏角。 ,分析与解: AMvAvv, 选质心为参考系，质心速度，且质心速度不变。cθM，m

,,,mMvp,Mv,v,在质心系中，A的初动量();B粒子的初动量:1cM，m

,,mMvp,M,v,,; (0)2cM，m

''在质心系中，碰后两个粒子动量分别，。由动量守恒和能量守恒有: pp12

'' (1) p，p,p，p,01212

22'2'2pppp1212，,， (2) 2M2m2M2m

mv''v,得:;可知A粒子在质心系中速度大小保持不变，即恒为:，p,p,p,p1c1212M，m但是方向不确定。

,,,

vv,v，v现转到对地参考系来研究A粒子的运动，设A粒子碰后的速度为，有: 11C1c

vmc1v由下面矢量图可得，当于以为圆心的圆相切时，最大。且，,sin,,v,11cvMc

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m,,arcsin Mv1cv1

θvc

范文三：巧用质心和质心系求解竞赛题

巧用质心和质心系求解竞赛题

湖南省浏阳市第一中学(410300)张学明

应用质心和质心系解答竞赛题是一中重要的解题方法。特别是系统所受外力为零时, 质心做匀速直线运动, 抓住这个特点来求解有关力学问题往往能化难为易, 化繁为简。下面举例说明。

例 1、如图,一水平放置的圆环形刚性套槽固定在桌面上。槽内嵌着三个大小相同的刚性小球,它们的质量分别为 1m 、 2m 、 3m ,其中 1322m m m ==接触,而它们之间的摩擦可以忽略不计。开始时三球处在槽中 I 、 II 、 III 的位置,彼此之间距离相等, 2m 、 3m 静止。 1m 以初速度 2

v π=

沿槽

运动, R 为圆环的内半径和小球半径之和。设各球间的碰撞皆为弹性碰撞。求此系统的运动周期 T 。分析与解答:

此题的常规解法是逐一应用动量守恒,找出系统的运动规律。从而求出周期。该方法比较麻烦。如果注意到三个小球在运动过程中在圆的切线方向不受力。故可以认为系统的质心

作匀速圆周运动。系统运动一个周期,即质心运动一个圆周。设质心的速率为 c v

5032101R

v m m m v m v c π=

=++=

,所以周期 s v R T c 202==π

例 2、在光滑水平面上有两个质量均为 m 的物体 A 和 B , B 上有一劲度系为 k 的轻弹簧。物 A 以速度 0v 向静止的物体 B 运动,并开始压缩弹簧,求:从开始

压缩弹簧到最大压缩量过程中物体 B 的位移。分析与解答:

先求出弹簧的最大压缩量。当两物体速度相等时,弹簧压缩量最大。此时两物体速度为 v 设最大压缩量为 m x 。由动量守恒和能量守恒得:

mv mv 20= (1)

22202

122121m kx mv mv += (2) 由(1) (2)得:k

v x m 20

= 在运动过程中相对于地面来说。 A 、 B 两物体都做复杂的变加速运动。现在以质心为参考系来研究 A 、 B 两物体的运动规律。注意到系统不受外力,质心做匀速直线运动。其中质心位于 AB 两物体的中点处,质心速度 2

0v m m v v c ==

。在质心系中, A 、 B 两物体相对质心 C

的初速度:200'

v v v v c Ac =

-=, 2

00'

v v v c Bc -=-=; 由于质心位于 AB 两物体连线的中点处。故可以将弹簧等效为两根一样的弹簧串联, 劲度系

数都为 2k , AB 两物体在两弹簧的作用下相对质心做对称的简谐运动,两物体相对质心 C 的振动周期都为 T , 且 k

T 22π

=。当弹簧压缩量最大时, 两物体相对质心 C 运动的距离都是

2m x 由于两物体振动的起始位置都是平衡位置,故运动的时间 k

m T t 22

4π==; 所以, B 物体对地的位移:k

m v k m v x T v x m c

B 2224240

0-=-=π

例 3用长为 l =1m的不可伸长的弹性轻绳系上同样的小球使它们静止在光滑的水平面上,开始弹性轻绳松弛彼此相距 0.5m ,现使其中一个小球沿垂直于两球球心连线方向,以速度

s m v /1. 00=运动。求经过 3min 分析与解答:

系统不受外力, 系统的质心做匀速直线运动, 速度 v c 两球最初开始相对质心以

v 过 s v t 52

30cos 5. 000

1==

,弹性绳第一次拉直。拉 m l 1=为直径的“圆筒”中发生弹性碰撞, 后两球以

v 沿各自方向匀速运动,到再次拉直,又“碰撞” ,如次循环。可得知两球沿边长 l a 2

的正三角形边匀速运动。在质心系中,经过 min 3=t ,球 1运动了 m t v x 92

01==

的路程。由:

v 2

v 1c

89. 92

91≈-

-a

a x 。可得经过 min 3=t ,两球相对质心位置如图所示, 即末 1和末 2位置, 速度方向如图。球 2对地的速度:→

→

+=C C v v v 21,

02v v c =。方向与质心运动方向成 0

60角。故 s m v v /20

330cos 22002=?

=; 球 1对地的速度:

→

+=C C v v v 11, 2

01v v c =方向与质心运动方向成 0

故 s m v v /05. 02

1==

例 4、质量为 M 的粒子 A 以速度 v 运动,与质量为 m 的静止 B

粒子发生弹性碰撞,设 M>m。求 A 粒子在碰撞后,相对于原运动方向最大偏角 θ。分析与解:

选质心为参考系,质心速度 m

M Mv

v c +=,且质心速度不变。在质心系中 , A 的初动量 m

M v

mM v v M p c +=

-=→

→

→) (1; B 粒子的初动量 :

M v

mM v M p c +-

=-=→

→

) 0(2;

在质心系中,碰后两个粒子动量分别 '

1p , '

2p 。由动量守恒和能量守恒有:

2' 121=+=+p p p p (1) m

p M p m p M p 22222' 2

2' 12221+=+ (2) 得:'

2' 121p p p p ===; 可知 A 粒子在质心系中速度大小保持不变, 即恒为:

M mv

v c +=1,

但是方向不确定。

现转到对地参考系来研究 A 粒子的运动,设 A 粒子碰后的速度为 1v ,有:→

→

+=c C v v v 11 由下面矢量图可得,当 1v 于以 c v 1为圆心的圆相切时, θ最大。且 M

v v c c =

1sin θ,

m arcsin

=θ

范文四：质心系

质心系

前面我们回顾了 Newton 定律以及由它导出的一些重要的推论,主要有

由于 Newton 定律只在惯性系中才是成立的,因此作为其推论,这些定理的成立的前提当然也要求所涉及的量都是相对于某个惯性系测量或计算出的。但是, 存在一个可能是非惯性系的特殊参考系, 这些推论在其中也都是成立的, 其中一些, 譬如动量定理, 其形式来的还要更加简单。这个特殊的参考系就是质心系, 也就是以质心为原点并随质心一起平动的参考系。

如果我们用表示粒子在某个惯性系中的位矢, 而 a r K a a r ′K 则表示它在质心系中

的位矢,它们之间有如下关系:

CM a r R r a ′=+K K K (1) 在质心系中质心当然始终是位于原点的,因此

0a a a

m r ′=∑K (2)

另一方面, 体系的总动量就是质心的动量, 因此, 体系在质心系中的总动量就该为零。当然,上式两边对时间求微商也就得到了同样的结论。 , 0a a a a a a

d p m r m r dt ′′==∑∑K K ′=K (3) 这个方程其地位就相当于在一般惯性系中的质心运动定理。

利用这些关系, 你会发现描述体系状态的那些量 —— 如角动量以及动能 —— 都可以表示为两部分之和:一部分描述质心的运动, 另一部分则描述体系相对于质心的运动。如角动量

()()

CM CM CM CM CM a a a a a a a a a a a a

a a a L L r p R r m R r R m R r m r R a

′′==×=+×+??′′=×+×????

+×∑∑∑∑∑K K K K K K K K K K K K K a +CM R ??×??????

K (4) 其中第一项正是质心的角动量,而最后一项则是体系相对于质心的角动量: CM CM CM , a a a

L R P L r m a

r ′′=×=×′∑K K K K K K (5) 而中间两项则显然是等于零的,因此

CM L L L ′=+K K K (6) 角动量变化的原因,即力矩,也可以作类似的分解,一部分对质心的运动负责,另一部分则负责相对于质心的运动:

()CM CM CM CM CM with and a a a a a a a a a a a

a a a a

a r F R r F R F r F R F r F ττττττ′==×=+×′=×+×′′=+=×=×∑∑∑∑∑∑K K K K K

K K K K K K ′K K K K K K K K (7)

由于总的外力 ,第一项正是质心角动量的变化率,而我们又知道 CM

F MP =K K L

τ=K K ,由此

L τ′′=K K (8) 即不管质心系是否是惯性参考系(也就是说,不管体系是否受到外力的作用) , 在质心系中角动量定理依然成立。

特别是,对于刚体,描述其运动的动力学定律除质心运动定理外,另一个方程就可以用质心系中的角动量定理代替,而 CM CM

L τ=K K 则仅仅是质心运动定理的一个推论, 并不是什么新的方程。这样刚体的运动就分成了两部分, 一部分是质心的运动, 另一部分则是相对于质心的转动 (对于一般的复杂体系, 如果你不

考虑内部运动的细节, 而只关心它作为整体是否在空间平移和旋转, 这个结论显然也是成立的) 。当然,如果刚体是作定点转动的,其运动就仅由方程 (14)来确定了,因此,也就没有必要对运动做这样的分解了。但是,如果你想要这样做, 即便是定点转动,也可以将它看作是这两个运动的合成。

你看到,刚体的运动方程本身并不难从 Newton 定律的组合得到,而且对于刚体来说, 我们还可以将上一节中有关线性运动与转动之间的对应更进一步, 譬如 (线) 动量等于质量乘速度, 而刚体角动量则是某个称为惯量张量的量与角速度的乘积。差别在于,我们知道质量是惯性的量度,也就是说,它反映了物体速度改变的难易程度,当我们把动力学定律写成 i F mx

i = 的形式时,实际上就暗含了这样的含义:在空间的不同方向改变同一物体速度的难易程度 (或者说需要的力的大小)是一样的,换言之,惯性在无论哪个方向上都是一样的;而对于刚

体,有些出乎意料的是,当你想要将其角速度在 1?x

方向或者 2?x 方向上改变相同的数值所需要的力矩一般来说是不同的, 也就是说, 沿着不同轴转动的惯性是不一样的, 因此, 描述转动惯性的量也就不再像描述线运动惯性的质量那样是一个简单的数(标量) ,而是一个张量,一个 2阶张量。因此,前面我们讲角动量等于惯量张量与角速度的乘积,这个乘积不是简单的数与矢量的乘法,而是一个 2阶张量与一个 1阶张量 (矢量) 的张量积的缩并。理解刚体运动的主要困难基本上就来源于此。尽管这方面的研究在我们有了第一章中关于转动以及张量的基本了解之后并不是特别困难,但是为了使我们目前的讨论仅仅限于对 Newton 力学以及其一般推论的回顾上, 关于刚体这个具体的问题我将放在后面作为 Lagrange

力学的一个应用来介绍。 [顺便提一句,如果你愿意,本来也可以将中

的质量理解为一个线性映射,它把角速度这个矢量映射为另一个称为力的矢量, 按照我们第一章的说法,这就是一个 2阶张量(线性性是显然的了) ,这个 2阶张量的分量就是 F ma =K K ij m δ。 ]

继续我们前面的讨论。体系动能也可以像角动量那样表示为质心动能和质心系中体系的动能两部分之和:

CM 2CM CM 121

1 with and 22

a a a a a a a a T m r r T T T MV T m r ′=?==+r ′′′

==∑∑?K K

(9)

而动能变化,也就是功,则不难表示成下面的形式

()()()

()()(

)CM

CM CM CM a a a a a a a a a a a a

a a a

a a a a dT dT dT F f dr F f dR dr F f dR F f dr F dR F f dr ′

=+′=+?=

+?+′=+?++?′

=?++?∑∑∑∑∑K K K K K K K

K K K K K K

K K K K K

(10) 由于 CM CM CM CM 12F dR d MR R dT ??

?=?=????K K

(11)

因此,动能在质心系中仍然成立

()a a

a dT F f dr ′a ′=+?∑K K K (12)

有关质心系中的位力定理我建议你自己做一下。

范文五：质心系中质点组的运动定律

质心系中质点组的运动定律

宁国强

1. 引言

众所周知，牛顿运动定律是在惯性系中低速情况下才成立的规律。所以，以牛顿运动定律为基础而推导出来的一些运动定律当然也都只能在惯性系中才成立[1~4]。在研究和解决力学问题时通常选用惯性参考系，但在许多情况下选用非惯性参考系可能会使问题简单化[5~8]。在非惯性系中引入惯性力以后，牛顿运动定律可以沿用，但其推导出的运动定律是否可以沿用呢？如果可以沿用，其表达式又如何呢？本文将导出质心坐标系（质心坐标系既可以是惯性系，也可以是非惯性系）中质点组的运动定律，并以此为基础讨论质心坐标系中的碰撞与散射现象。

2. 质心参考系

以质点组的质心为原点，坐标轴与静止惯性参考系平行，这种参考系称为质心参考系或质心系。

根据质心和质心参考系的定义，可以知道质心参考系的特征。由质心定义可知，在质心参考系中，质心的位置矢量为

?rc???

?miri?mi

. （2-1）

将rc?对时间取一阶导数，得

?mivi???

vc???0.

m?i

(2-2)

由上式知 ?mivi??0. (2-3)

公式（2—3）说明了质点组对质心的总动量为零，这个结论是质心参考系定义的直接结果，与质点组整个系统的运动无关系，它反映出了质心参考系的特征。因此，我们称质心参考系为零动量参考系。正是由于有了这一特征，才能使得质心参考系成为讨论质点组运动的重要参考系[9~11]。

质心参考系既可以是惯性系，也可以是非惯性系。由质心运动定理

?dv?cFi?m?r?c?m 可知，我们所研究的系统，如果所受

的合外力为零，则质心C

在静止惯性参考系中以恒定速度Vc作惯性运动，此时

质心参考系也是惯性参考系。如果所受合外力不为零，则质心相对于静止惯性系作加速运动，这样，质心参考系就不再是惯性参考系，而是非惯性参考系。

3. 质心系中质点组的运动定律

3.1 质心系中质点组的动量定理和动量守恒定律

若在非惯性系中引入惯性力，则可以导出适用于非惯性系的动量定理，推导如下：

?x?y?z?(以下简称k?系)相对另一惯性系O?xyz（以下简称k

系）作加速运动，k?系原点在k系中的加速度用ac表示，现有n个质点组成的质

???

点系相对k系作加速运动，r1?,r2?,?,rn?表示各质点相对k?系原点的位矢，???

?,?,vn?表示各质点相对于k?系运动的速度。相对于k?系，第i个质点的运动v1?,v2

设有一质心系C

微分方程为

dvi?dt

???

?Fi?fi?Fei，（3-1）

个质点上的外力、相互作用内力、惯性力。将式

???

式中Fi,fi,Fei分别为作用于第i

（3-1）两端对n个质点求和，可得

ddt

nnn????

?mivi???Fi??fi??Fei，（3-2） ni?1

i?1

式中?

i?1

mivi??Pr??

为质点系相对于质心系k?的动量，Fei??miac是由非惯性系引

起的第i个质点受到的惯性力。注意到对质点系来说，有?

i?1

fi?0

，式（3-2）就

成为

?dPrdt

i?1

n??

Fi?(?mi)ac，（3-3）

i?1

式中?

i?1

mi?M

，M为质点系的总质量。由惯性系中的质心运动定理，有

i?1

Fi?Mac?0，因此，（3-3）式可进一步写为

?dPrdt

于是

i?1

Fi?Mac?0. （3-4）

?Pr?

i?1

mivi??0. （3-5）

这样，我们就得到一个重要而又简单的结论：在质心参照系中，质点组的动量任何情况下都恒等于零！（2-3）式与（3-5）式是相同的，前者由质心的定义直接得出，后者由牛顿第二定律导出。由（3-5）式的导出过程可以看出，（3-5）式既是质心参照系中质点系的动量定理，又是质心参照系中质点系的动量守恒定律。

这里，有两个可能的疑问需要讲清楚：

一、在惯性参考系中，质点组动量守恒是有条件的：体系所受合外力为零。难道在质心系中，动量守恒就不需要条件？是的，只要是质心系中，质点系的动量就一定守恒，而且总动量就是零。如果要说条件的话，“质心系”本身就是体系动量守恒的条件。也就是说，“质心”和“质心系”的定义本身就包含了“质点组的总动量任何情况下都恒等于零的参照系就是质心系”的意思。

二、合外力如不为零，它对动量的贡献到哪里去了？合外力的作用是其冲量使质心的动量获得了一增量，而对质点组中各质点相对于质心的相对动量的矢量和没有贡献。

3.2 质心系中质点组的动能定理和机械能守恒定律

当合外力不为零时，质心系是非惯性系。在质心系中对第i个质点应用动能定理:

d(12

???????2? miri?)?Fi?dri??fi?dri??(?miac)?dri? ，（3-6）

对i求和，得

d(?

i?1n

???2)?miri

i?1

Fi?dri??

i?1

n???? fi?dri??ac??midri? . （3-7）

i?1

???注意到：?mdr???)?0，故有 ?dmr?d(Mr?iiiic

i?1

d(?

i?1

???2)?miri

i?1

Fi?dri??

i?1

??（3-8） fi?dri? .

上式即是质心系中的动能定理，它表明：质点组相对于质心的总动能的微分，等于质点组中各个质点相对于质心发生位移时所有内力和外力所做功的代数和。

由（3-8）式可见：质心系中的动能定理与惯性系中的动能定理具有相同的数学形式。须要注意的是：不仅外力做功对体系动能的变化有贡献，而且内力做功对体系动能的变化也有贡献。但质心系中惯性力做的总功为零，它对动能的变化没有贡献。

静止惯性参考系与质心参考系中的动能是有联系的，这一联系由柯尼西定理描述，其推导过程如下：

如图1所示，C为质点组的质心，O?xyz为静止惯性参考系，C心参考系。第i个质点在两参考系中的位矢和速度有下列关系： ????????r??r?

?. ri?rc?ri?， rici

?x?y?z?为质

质点组在静止惯性参考系的动能是：

??2?1Ek??miri

2i?12

????r??)2

?mi(rci

i?1n

??2?1??mirc

2i?12

i?1

???2?miri

i?1

????r??mirci

??2?1?Mrc22

i?1

???2???r???mr??miricii

i?1

??2?1?Mrc

i?1

? ??2. （3-9）miri

???以上推导过程中应用了关系：mr，式中1Mr???2是将质点组的全部质???Mr?0?iicc

i?1

量看作集中在质心而运动时的动能，称之为质心的动能；而1

mr?i?i?则为质点

i?1

组中各质点相对质心运动时的动能之和。（3-9）式表明：静止惯性参考系中质点组的动能等于质心的动能与各质点相对质心运动的动能之和，这个关系称为柯尼西定理。

须要注意的是：不论质心系是惯性系还是非惯性系，柯尼西定理都成立。除质心系以外的其它非惯性运动的参考系此定理一般不成立。

由（3-8）式知道，在质心系中机械能守恒的条件是：仅有保守力对体系做功。

在除质心系以外的其他非惯性系中，上述条件不能保证机械能守恒。

3.3 质点组对质心的动量矩定理和动量矩守恒定律

在质心参照系中，质点Pi的动力学方程是

dr?

???

?Fi?fi?(?mi??rC) （3-10）

用ri?从左边矢乘上式两边，并对i求和，得

ddt

i?1

????)??(ri?miri

i?1

??(e)????(ri?Fi)?rC?

i?1

? （3-11） miri?

在导出上式时，假定了两质点间的内力沿它们的联线方向，因此内力的合力矩可

?以证明为零。因 ?mr??0，上式化为 ii

i?1n

ddt

i?1

????)?(ri??miri

i?1

??(e) （3-12）

(ri??Fi)

亦即

?dJ?dt

?M? （3-13）

上式就是质点组对质心的动量矩定理，其中

J??

??)?(ri??miri

i?1n

——质点组对质心C的总动量矩（3-14）

M??

i?1

??(e) ——对质心C的合外力矩（3-15） (ri??Fi)

J??常矢量

当 M??0，则。

以上就是质心系中质点组的动量矩守恒定律。

可见，质心系中质点组的动量矩定理和动量矩守恒律与对定点的动量矩定理和动量矩守恒律数学形式相同。对其它动点，一般不具有类似形式的动量矩定理和动量矩守恒律。

综上所述，在质心系中，质点组的动量恒为零；质点组的动能定理和（对质心的）动量矩定理与惯性系中相应的定理具有完全相同的数学形式，这表明质心系是一个特殊的、重要的参照系。

4. 在质心坐标系中讨论碰撞、散射问题

4.1 碰撞

两体碰撞是物理学中的一个典型问题[12~13]。在分子运动中有碰撞问题，在工程技术中、日常生活中都有碰撞问题。当两运动物体突然相互接触时，就发生了碰撞。而碰撞更广义的定义是：当两个物体相互接近时，它们有相互作用，因而改变了它们的运动状态，即引起动量、能量的交换。常常用小球作为碰撞物体的模型。如果两个小球发生对心碰撞，即两个小球碰撞前的速度矢量在它们中心连线上，则碰撞过程中的冲击力和碰撞后两小球的速度矢量也必然在此联线上。由于碰撞过程所经历的时间非常短，而作用力非常大，因此可略去其它非冲击力，则系统的动量守恒，但动能一般不守恒。通常是分离速度小于趋近速度，这两个速度的比值定义为恢复系数e，分离速度和趋近速度都是两球之间的相对速度。

下面在质心系中来讨论对心碰撞的问题：

假定两个小球发生对心碰撞。建立一个静止惯性参照系及与质心相固结的质心坐标系。由于不受外力的作用，静止惯性参照系中系系统动量守恒，则两球质心的速度不变，因此质心坐标系是一惯性参考系，质心相对于静止惯性参照系的速度为

vc?

m1v1?m2v2

m1?m2

?常量（4-1）

其中vc为质心的速度，v1、v2分别为两小球碰撞前相对于静止惯性参照系的速度，m、m为两球质量。在质心坐标系中，两球碰撞前的速度分别记作V1、V2，

碰撞后的速度记作V1?、V2?，则

?V1?v1?vc

? （4-2） V?v?v2c?2

?V??v??v?11c? （4-3）

????V2?v2?vc

其中v1?、v2?分别为两球碰撞后相对于静止惯性参照系的速度。

由式（4-2）、（4-3）可得在质心坐标系中两球碰前的趋近速度和碰后的分离速度分别为

??V1?V2?v1?v2? ??V??v??v? （4-4）V??2121

其中v1?v2为静止参照系中两球碰前的的趋近速度，v2??v1?为静止参照系中两球碰后的的分离速度。由此可得恢复系数

v2??v1?v1?v2

V2??V1?

V1?V2 （4-5）

由（4-5）可得：

V1??V2???e(V1?V2) （4-6）在质心系中，体系动量为零，故

m1V1?m2V2?m1V1??m2V2??0 （4-7）

由（4-6）、（4-7）可得：

?V???em(V?V)/(m?m)??eV?1212121? （4-8）

???V2?em1(V1?V2)/(m1?m2)??eV2

（4-8）式即为质心系中两球碰撞后的速度公式。由此我们得出一个重要结论：在质心系中，两球正碰之后，各自反弹，速度大小均为各自的碰前速度乘于恢复系数e.

我们知道，在静止参照系中，两球碰撞后的速度为：

??m1v1?m2v2??em2?v1?v2???v1?

m1?m2?

? （4-9） mv?mv?emv?v????1122112??v??2

m1?m2

可见，在质心系中得到的两球的速度公式较静止参照系中的速度公式要简单得多。容易看出，只要将（4-1）、（4-8）代入（4-3）并利用（4-4），就可得到

（4-9）。

在质心系中，体系碰撞前后的总动能分别为

(m1V1?m2V2)

1m1(m1?m2)2

V1?

1m2(m1?m2)2

V2 （4-10）

T??

(m1V1??m2V2?)?

(m1V1?m2V2)

em1(m1?m2)2

V1?

em2(m1?m2)2

V2 （4-11）

动能损失为

?T?T?T??

1?e2

(m1V1?m2V2)

1?e2

m1(m1?m2)

V1?

1?e2

m2(m1?m2)

（4-12）

讨论：

① 对于完全弹性碰撞（e?1），有

V1???V1,V2???V2,?T?0. （4-13）

可见，在质心系中，两球发生弹性碰撞，各球以原速率反弹，体系动能守恒。

② 对于完全非弹性碰撞（e?0），有

V1??V2??0,

（4-14）

?T?(?T)max?

(m1V1?m2V2)?T （4-15）

可见，在质心系中，两球发生完全非弹性碰撞，两球相对质心静止，动能损失殆尽。

4.2 散射

弹性散射是分析力学中一个重要的问题

[14]

。其过程可以视为射弹粒子与靶粒子之间动

量与能量的转化过程。在两粒子体系的质心系

中，

????

m1V1?m2V2?m1V1??m2V2??0

（4-16）

因此，在质心系中，两质点速度始终方向相反，并沿两质点的联线方向（如图2所示）。

?与v1的夹角）为?r，质心系中的散射角设静止参照系中的散射角（即v1

（即V1?与V1的夹角）为?c（如图3所示）。

从图4可以看出：

???

??vc?V1?，（4-17） v1即

（4-18） ?

?|cos?r?|vc|?|V1?|cos?c?|v1

?|sin?r?|V1?|sin?c|v1

? tg??r

由于 vc?

|V1?|sin?c|vc|?|V1?|cos?c

. （4-19）

??m1v1?m2v2m1?m2

，

?m(v?v2)??

V1?v1?vc?21

m1?m2

?m1(v2?v1)??V2?v2?vc?

m1?m2

对于弹性散射，V1??V1,

2??V2

.若散射前，v2?0，则

vc?

m1v1m1?m

1??

m2v1m1?m

，代入（4-19）式，得

tg?r?

sin?ccos?c?

m1m2

（4-20）

例如，粒子被重原子核散射时，由于m1??m2，故?r??c；而中子-质子散射时，由于m1?m2，?r??c/2 .

5. 采用质心系处理力学问题的举例

下面我们通过两个例子说明质心坐标系处理力学问题的优势。

[例1] 一个人从船头走到船尾，人的质量为m,船的质量为M,船长为L，问船在水中移动了多远的距离。（不计水的阻力）

[解法一] 在静止坐标系中：

设船的速度为V，人的速度为v；船相对于静水移动的距离为x，人相对于静水移动的距离则为L-x .

根据动量守恒定律，得 MV?mv?0

?Vdt?m?vdt?0

Mx?m(L?x)?0

故 x?Lm?M?m?

[解法二] 在质心坐标系中：

设船移动的距离为x，人移动的距离则为L-x .由于整个系统不受外力作用，所以质心不会移动，即

?rc?Mx?m(L?x)?0

故 x?Lm

?M?m?

[例2] 从地球发射一宇宙飞行体，要使其脱离太阳系，至少需要多大速度（第三宇宙速度的求解）？已知在太阳系中，飞行器的逃逸速度为42.2km/s，地球的公转速度为29.8km/s.

[解法一] 在静止坐标系中：

设发射时飞行体相对于地球速度为V?，地球速率的改变是?V1，这个改变量是个小量，忽略二阶及以上小量，于是地球动能的改变量为：

?Eke?

Me??Ve??V?2

??Ve

??MeVe?V. ?

如取发射的方向垂直于太阳引力的方向，则发射过程的前后，在发射的方向上动量守恒。根据发射前后动量守恒，有

?Me?m?Ve?Me?Ve??V1??m?Ve?V?? 于是 ?V1??

地球动能的改变可写为 ?Eke?MeVe?V1??mVeV?

根据飞行体从射出到获得逃逸太阳系的速度这一过程的动量守恒关系，得

MeVe?Me?V1?m?Ve?V???M

?Ve??V2??m?Ve?V0??

于是 ?V2??V1?

?V??V0???

V0?

上式中的V?即是飞行体能实现逃逸太阳系这一目的，在脱离地球引力范围进入

太阳系时所需相对地球的最小速度。

由能量关系，可得

12???

m?V??Ve??121212

Me(Ve??V1)?

GMemR?1212

m?V0??Ve??

Me(Ve??V2)

m?V??Ve??MeVe?V1?m?V??Ve??mVeV??

mV??

GMemRR

m?V0??Ve??MeVe?V2

GMem

m?V0??Ve??mVeV0?

GMemR

mV?0

所以

V??

?16.7

(kms)

[解法二] 在质心坐标系中：

从发射到脱离地球引力的过程中，太阳的引力与飞行器的位移垂直，与地球的位移垂直，不做功；质心的加速度导致的惯性力做的功为零。于是，机械能守恒。

?V??

GMemR

?V0?

由（4-10），上式中 ??

GMemR

m(m?Me)

故所以

mV??

mV0?

V???

?16.7kms

6. 结束语

质心系一般是非惯性系，在非惯性系中处理力学问题的关键是引入惯性力。由于质心系具有总动量为零的重要特征，导致在质心参考系中，惯性力对质点组总动量的变化无贡献，惯性力对质点组做的总功为零，惯性力对质心的力矩矢量和为零。在质心系中的动量定理与动量守恒律特别简单，而动能定理及机械能守恒律、动量矩定理及动量矩守恒律与静止惯性系中的相应规律有相同的数学形式。许多力学问题在质心系中处理起来特别简单，因此，质心系是一种重要的参照系。

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