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范文一：点、线、面之间的关系
数学复习专题
高二文科数学国庆作业
专题一：求柱体、锥体、台体、球的表面积、体积公式
1．将圆心角为1200，面积为3?的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积
2．已知圆台的上下底面半径分别是2,5,且侧面面积等于两底面面积之和, 求该圆台的母线长.
3.（如图）在底半径为2，母线长为4
求圆柱的表面积
4．如图，在四边形ABCD中，?DAB?900，?ADC?1350，
AB?
5，CD?AD?2，求四边形ABCD绕AD旋转
一周所成几何体的表面积及体积.
专题二、三视图还原为直观图
1、下图（1）所示的圆锥的俯视图为（）
图（1）
A B
C D
2、
S直观图
?
S原图形
3、一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为．
M
专题三、线面平行、面面平行
方法一：两平行线能确定一个平面，过已知直线的两个端点作两条平行线使它们与已知平面
相交，关键：找平行线，使得所作平面与已知平面的交线。
（08浙江卷）如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，?BCF=?CEF=90?,AD=
,EF=2。求证：AE//平面DCF.
分析：过点E作EG//AD交FC于G， DG就是平面AEGD 与平面DCF的交线，那么只要证明AE//DG即可。
证明：
方法二：直线与直线外一点有且仅有一个平面，关键：找第三个点,使得所作平面与已知平面
的交线。
（06北京卷）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P?ABCD中，AB?AC，PA?平面ABCD，且PA?AB，点E是PD的中点.求证：PB//平面AEC.
分析：由D、P、B三点的平面与已知平面AEC的交线最易找，第三个点选其它的点均不好找交线.
证明：
方法三：两个平面是平行, 其中一个平面内的直线和另一个平面平行,关键：作平行平面，使得过所证直线作与已知平面平行的平面
（０８安徽卷）如图，在四棱锥O?ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，?ABC?
?
4
,
OA?底面ABCD, OA?2,M为OA的中点，N为BC的中点，证明：直线MN‖平面OCD
分析：M为OA的中点,找OA(或AD)中点,再连线。 证明：
1、如下图(3)，在四棱锥P?ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M,N分别是AB,PC的中点，求证：MN//?平面PAD。 A
M
B
C
P
图(3)
例1、如图所示，已知P、Q是单位正方体ABCD-A1B1C1D1的面A1B1BA和面ABCD的中心。 证明：PQ//平面BCC1B1
例2．如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED＝
2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？并证明你的结论．
例3.如图，已知正方形ABCD的边长是13，平面ABCD外一点P到正方形各顶点的距离都为13，M,N分别是PA,BD上的点，且PM:MA?BN:ND?5:8， （1）求证：MN//平面PBC
； （2）求线段MN的长。
例4.如图，矩形ABCD和梯形BEFC有公共边BC，BE//CF，∠BCF=900，求证：AE//平面DCF
例5、如下图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、O分别是A1B、AC的中点．求证：OM∥平面BB1C1C.
例6.正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP=DQ.
求证：PQ∥平面BCE.
例3.如图，已知正方形ABCD的边长是13，平面ABCD外一点P到正方形各顶点的距离都为13，M,N分别是PA,BD上的点，且PM:MA?BN:ND?5:8， （1）求证：MN//平面PBC
； （2）求线段MN的长。
例4.如图，矩形ABCD和梯形BEFC有公共边BC，BE//CF，∠BCF=900，求证：AE//平面DCF
例5、如下图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、O分别是A1B、AC的中点．求证：OM∥平面BB1C1C.
例6.正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP=DQ.
求证：PQ∥平面BCE.
例7、已知四棱锥P－ABCD的三视图如下．
(1)求四棱锥P－ABCD的体积；
(2)若E是侧棱PC的中点，求证：PA∥平面BDE；
(3)若E是侧棱PC上的动点，不论点E在何位置，是否都有BD⊥AE？证明你的结论．
例8、已知直三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱长都相等，且D,E,F分别为BC,BB1,AA1的中点. (I) 求证：平面B1FC//平面EAD； （II）求证：BC1?平面EAD.
F
CA
D
B
例9、正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1中点．
(1) 求证：平面AMN∥平面EFDB；
(2) 求异面直线AM、BD所成角的余弦值．
例10.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？
A1
B1
C1
例11、如图所示，正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F分别是AB、BC的中点，G为DD1上一点，且D1G:GD?1:2，AC?BD?O，求证：平面AGO//平面D1EF．
专题四、线面垂直、面面垂直
通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直
1如图1，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC交BD于点O，（Ⅰ）求证：AO?平1
面MBD．（Ⅱ）求M?A1BD的体积
练习1：如图，在四棱锥P?ABCD中，平面PAD?平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD?2AD?
8，AB?2DC?
（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD?平面PAD； （Ⅱ）求四棱锥P?ABCD的体积．
P
M
D
A
C
B
练习2、已知ABCD是矩形，PA?平面ABCD，AB?2，PA?AD?4，E为BC的中点．
求证：DE?平面PAE；
利用面面垂直寻求线面垂直
例2如图2，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAC．
练习3 如图１所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G．求证：AE?SB，AG?SD．
应用等腰(等边)三角形三线合一性质
所谓三线合一的性质是等腰三角形底边的中线同时是高和角分线,可以很轻松的得到线线垂直,从而为证明线面垂直做了很好的准备工作.
P例3：如图2所示，已知PA垂直于?O所在平面，AB是?O的直径，
C是?O的圆周上异于A、B的任意一点，且PA?AC，点E是线段PC的
中点.求证：AE?平面PBC.
AB
图2 C 应用两条平行线的性质
大家知道两条平行线中如果有一条与一个面中的直线垂直,则两条平行线都与平面中的直线垂直. 在三角形中位线与底边平行,可以得到线线平行的关系,平行四边形对边平行也可以得到线线平行,这样的结论很多,我们可以欣赏体会这样的方法.
例3:如图3所示,P为△ABC所在平面外一点,BC?平面PAB,G为PB的中点,M为PC的中点,N在AB上,AN?3NB,求证:AB?平面MNG. P
M
G
应用平面图形的几何性质
我们都发现在立体几何问题的解决中,平面图形的性质产生了很重要的地位,在学习立体几何的过程中,平面几何的诸多知识点不能推广到三维空间,但同学们要注意平面图形的性质在解决立体几何的时候会发挥很重要的作用.
例4:如图4所示,四边形ABCD是边长为1的菱形,点P是菱形ABCD所在平面外一点， ∠BCD?60?,E是CD的中点,PA?平面ABCD,求证:BE⊥平面PAB.
P
D
AC
图4
4 如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，
作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．
5 如图３，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA?平面ABC．若AE⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．
1
2．ABC—A′B′C′是正三棱柱，底面边长为a，D，E分别是BB′，CC′上的一点，BD＝2a，EC＝a．
（1）求证：平面ADE⊥平面ACC′A′； （2）求截面△ADE的面积．
1、S是△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB⊥BC.
A
B
2、在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD 证明:AB⊥平面VAD
C
C
B
如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD， ∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)求证：CD⊥AE；(2)求证：PD⊥面ABE.
4、如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为平行四边形。?DAB?60?,AB?2AD,PD? 底面
ABCD ，证明：PA?BD
专题五、求异面直线、直线与平面所成的角 1、异面角的范围： 2、线面角的范围： 专题六、等体积法求高
1、（如图（5），在三棱锥A?BCD中，O,E分别是BD,BC的中点，CA?CB?CD?BD?
2,
AB?AD?
（1） 求证：AO?平面BCD；
（2） 求异面直线AB与CD所成角的余弦值； （3） 求点E到平面ACD的距离。
A
O
B
E
C
图（5）
例3. （1991年全国高考题）已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在平面，且GC=2，求点B到平面EFG的距离。
例3．（茂名2010二模）如图，在底面是菱形的四棱锥S—ABCD中，SA=AB=2
，SB?SD? （1）证明：BD?平面SAC；
（2）问：侧棱SD上是否存在点E，使得SB//平面ACE？请证明你的结论； （3）若?BAD?120，求几何体A—SBD的体积。
1、在棱长为a的正方体AC1中找出表示下列距离的垂线段:
直接法：
（1）点A到面BCC1B1的距离； （2）B1D1到面ABCD的距离； （3）点A到面BDD1B1的距离． (4)求C到平面BDC1的距离。
?的中点，D为AC的8、圆锥PO如图5所示，图6是它的正(主)视图．已知圆O的直径为AB，C是AB
中点．
（1）求该圆锥的侧面积； （2）证明：AC?平面POD； （3）求点O到平面PAC的距离．
P
A
C 图
5
B
范文二：点、线、面之间的位置关系
点、线、面之间的位置关系
考纲要求：①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理． ◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，这条直线上所有的点在此平面内．
◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．
◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定． 理解以下判定定理．
◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．
◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行．
◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．
◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．
理解以下性质定理，并能够证明．
◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行． ◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．
◆垂直于同一个平面的两条直线平行．
◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线于另一个平面垂直．
③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．
1.2.1 平面的基本性质
重难点：理解平面的概念及表示，掌握平面的基本性质并注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言．
经典例题： 如图，设E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是正方体ABCD-A1B1C1D1
所在棱上的中点，求证：E ，F ，G ，H ，P ，Q 共面.
当堂练习：
1．下面给出四个命题： ①一个平面长4m, 宽2m; ②2个平面重叠在一起比一个平面厚; ③一个平面的面积是25m2; ④一条直线的长度比一个平面的长度大, 其中正确命题的个数是（ ）
A ． 0 B ．1 C ．2 D ．3
2．若点N 在直线a 上，直线a 又在平面
A ．N B ．N 内，则点N ，直线a 与平面之间的关系可记作（ ） C ．N D ．N
3． 空间不共线的四点，可以确定平面的个数为（ ）
A ．0 B ．1 C ．1或4 D ． 无法确定
4． 空间 四点A ，B ，C ，D 共面但不共线，则下面结论成立的是（ ）
A ． 四点中必有三点共线 B ． 四点中必有三点不共线
C ．AB ，BC ，CD ，DA 四条直线中总有两条平行 D ． 直线AB 与CD 必相交
5． 空间不重合的三个平面可以把空间分成（ ）
A ． 4或6或7个部分 B ． 4或6或7或8个部分 C ． 4或7或8个部分 D ． 6或7或8个部分
6．下列说法正确的是（ ）
①一条直线上有一个点在平面内, 则这条直线上所有的点在这平面内; ②一条直线上有两点在一个平面内, 则这条直线在这个平面内; ③若线段AB , 则线段AB 延长线上的任何一点一点必在平面内; ④一条射线上有两点在一个平面内, 则这条射线上所有的点都在这个平面内.
A ． ①②③ B ． ②③④ C ． ③④ D ． ②③
7．空间三条直线交于同一点，它们确定平面的个数为n ，则n 的可能取值为（ ）
A ． 1 B ．1或3 C ．1或2或3 D ．1或 4
8．如果
A ． B ．那么下列关系成立的是（ ） C ． D ．
9．空间中交于一点的四条直线最多可确定平面的个数为（ ）
A ．7个 B ．6个 C ． 5个 D ．4个
10．两个平面重合的条件是它们的公共部分有（ ）
A ．两个公共点 B ．三个公共点 C ．四个公共点 D ．两条平行直线
11．一条直线和直线外的三点所能确定的平面的个数是（ ）
A ． 1或3个 B ．1或4个 C ．1个、3个或4个 D ． 1个、2个或4个
12．三条直线两两相交，可以确定平面的个数是（ ）
A ．1个 B ．1个或2个 C ．1个或3个 D ．3个
13．空间四边形ABCD 各边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果EF
（ ）
A ．一定在直线BD 上 B ．一定在直线AC 上 C ．在直线AC 或BD 上 D ．不在直线AC 上也不在直线BD 上
14．设平面与平面交于直线, 直线
，直线CB 、CD , 直线, , 则M_______． GH=P，则点P 15．直线AB 、AD ，点E AB ，点F BC ，点G CD ，点H DA ，若直线HE
直线FG=M，则点M 必在直线___________上．
16．如图, 在棱长为a 的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M 、N 分别
为AA1、C1D1的中点，过D 、M 、N 三点的平面与直线A1B1交于
点P ，则线段PB1的长为_______________．
17．如图, 正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线BD1与过A1、D 、
C1的平面交于点M ，则BM ：MD1=________________．
求证：B 、D 、O 三点共线． 18．如图，E 、F 、G 、H 分别是空间四边形AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且EH 与FG 交于点O ．
19．证明梯形是平面图形．
20．已知: 直线
, 且直线与a, b, c都相交． 求证: 直线共面．
21．在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 直线A1C 交平面ABC1D1于点M , 试作出点M 的位置．
参考答案：
经典例题：
证明：连接EF ，QG ，E ，F ，Q ，G 分别是A1D1，D1C1，A1A ，C1C 的中点，
，F ，G ，E ，P 确定平面，由于EF||A1C1||QG, 同理FG||EP，设E ，F ，G ，Q 确定平面
G ，故都经过不共线的三点E ，F ，重合，即E ，F ，G ，P ，Q 五点共面，同理可证E ，F ，G ，H ，Q 五点共面，故E ，F ，G ，H ，
P ，Q 共面．
当堂练习： 1.A; 2.B; 3.C; 4.B; 5.B; 6.B; 7.B; 8.A; 9.B; 10.D; 11.C; 12.C; 13.A; 14.
; 15. BD; 16. ; 17. 2:1;
18. 证明： E ，
.
.
. 同理可证O ,
, O 三点共线．
20. 证明: 如图 , 设与分别交于
A ,B ,C , 经过可确定一个平面经过a, b可确定一个平面
.
, 同理B , 则AB , 即 因经过的平面有且只有一个
, 与为同一平面
. 同理即共面．
21. 解: 连结D1B , A1B , CD1, 则D1B 与A1C 的交点即为所求作的点M.
证明: D1B 平面ABC1D1 , D1B平面A1BCD1 ,
平面ABC1D1平面A1BCD1= D1B. A1C 平面ABC1D1=M, M 平面AB C1D1, M平面A1BCD1 , M D1B ．故M 为D1B 与A1C 的交点．
即B 、D 、
范文三：点、线、面之间的关系
点、线、面之间的关系
一、知识梳理：
1．平面概述
（1）平面的两个特征：①无限延展 ②平的（没有厚度）
（2）平面的画法：通常画平行四边形来表示平面
（3）平面的表示：用一个小写的希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β；用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC 。
2．三公理三推论:
公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内：
A ∈l ,B ∈l ,A ∈α,B ∈α?l ?α
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。
公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。
推论一：经过一条直线和这条直线外的一点, 有且只有一个平面。
推论二：经过两条相交直线, 有且只有一个平面。
推论三：经过两条平行直线, 有且只有一个平面
3．空间直线:
（1）空间两条直线的位置关系：
相交直线——有且仅有一个公共点；
平行直线——在同一平面内，没有公共点；
异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。相交直线和平行直线也称为共面直线。
异面直线的画法常用的有下列三种：
b
b a
（2）平行直线：
在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的。即公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
（3）异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。推理模式：A ?α, B ∈α, a ?α, B ?a ?AB 与a 是异面直线。
4．直线和平面的位置关系
（1）直线在平面内（无数个公共点）；a ?α
（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；a α=A
（3）直线和平面平行（没有公共点）; a //α
5．两个平面的位置关系有两种：两平面相交（有一条公共直线）、两平面平行（没有公共点）
二、基础检测：
1． 空间不共线的四点，可以确定平面的个数为（ ）
A ．0 B．1 C．1或4 D ． 无法确定
2． 空间 四点A ，B ，C ，D 共面但不共线，则下面结论成立的是（ ）
A ． 四点中必有三点共线 B． 四点中必有三点不共线
C ．AB ，BC ，CD ，DA 四条直线中总有两条平行 D ． 直线AB 与CD 必相交
3． 空间不重合的三个平面可以把空间分成（ ）
A ． 4或6或7个部分 B． 4或6或7或8个部分
C ． 4或7或8个部分 D． 6或7或8个部分
4．若a ,b是异面直线, b, c是异面直线, 则a ,c的位置关系是（ A ）
A． 相交、平行或异面 B． 相交或平行 C． 异面 D ． 平行或异面
5．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是（ D ）
A．异面 B ． 相交 C．平行 D ．异面或相交
6．下面命题中，正确结论有（ B ）
① 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
② 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）
相等；
③ 如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补； ④ 如果两条直线同平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．
A． 1个 B． 2个 C ． 3个 D．4个
M ，则7．正方体ABCD A 1BC 11D 1中，O 是B 1交平面AB 1D 1于点1D 1的中点，直线AC
下列结论中错误的是（ D ）
A ．A 、M 、O 三点共线
C ．A 、O 、C 、M 四点共面 A 四点共面 B ．M 、O 、A 1、D ．B 、B 1、O 、M 四点共面
8．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，E ，F ，G ，H ，M ，N 分别是所在棱的中点，
则下列结论正确的是（ B ）
A ．GH 和MN 是平行直线；GH 和EF 是相交直线
B ．GH 和MN 是平行直线；MN 和EF 是相交直线
C ．GH 和MN 是相交直线；GH 和EF 是异面直线
A 1D ．GH 和EF 是异面直线；MN 和EF 也是异面直线
范文四：空间点、线、面之间的位置关系
考点2 空间点、线、面之间的位置关系
1. （15泰州一模）若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为出所有真命题的序号）
①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线．
②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．
③若直线m?α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线．
④若直线m?α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【答案】②④
【分析】 对于①，若直线m⊥α，如果α，β互相垂直，则在平面β内，存在与直线m平行的直线．故①错误；
对于②，若直线m⊥α，则直线m垂直于平面α内的所有直线，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．故②正确；
对于③，若直线m?α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．故③错误； 对于④，若直线m?α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．故④正确． （写2．（15江苏高考压轴）设?,?是两个不重合的平面，m,n是两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若n??,n∥?,???=m,则n∥m；②若m??,n??，m∥?,n∥?，则?∥?；
③若???，???=m,n??,n?m，则n??；④若m??,???,m∥n，则n∥?.其中正确的命题序号为 .
【答案】①③
【分析】逐个判断。由线面平行的性质定理知①正确；由面面平行的判定定理知直线m,n相交时才成立，所以②错误；由面面垂直的性质定理知③正确；④中，可以是n??，所以④错误，即正确命题是①③.
3．设l为直线，?，?是两个不同的平面，则下列命题中正确的有____________. ①若l∥?，l∥?，则?∥?
③ 若l??，l∥?，则?∥? ②若???，l∥?，则l?? ④若l??，l??，则?∥?
【答案】④【分析】①若l∥?，l∥?，则?与?相交或平行，故①错误； ②若???，l∥?，则l与?相交、平行或l??，故②错误；
③若l??，l∥?，则?与?垂直，故③错误；
④若l??，l??，则由平面与平面平行的判定定理知?∥?，故④正确．故选④． 4.设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的有___________.
① 若m∥α，n∥α，则m∥n ② 若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β ③ 若α⊥β，m?α，则m⊥β ④ 若α⊥β，m⊥β，m??，则m∥α
【答案】④【分析】①不对，由面面平行的判定定理知，m与n可能相交，也可能是异面直线；②不对，由面面平行的判定定理知少相交条件；③不对，由面面垂直的性质定理知，m必须垂直交线；故正确的只有④.
5.已知空间直线l不在平面α内，则“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的_____________条件.
【答案】必要非充分【分析】若l∥α，则直线l上有两个点到平面α的距离相等成立，当直线和平面相交时，直线l上也可能存在两个点到平面α的距离相等，但此时l∥α不成立，∴“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的必要不充分条件．
6. 已知直线a不平行于平面α，给出下列四个结论：
①α内的所有直线都与a异面；
②α内不存在与a平行的直线；
③α内的直线都与a相交；
④直线a与平面α有公共点．
以上正确命题的序号________．
【答案】④【解析】因为直线a不平行于平面α，则直线a与平面α相交或直线a在平面α内，所以①、②、③均不正确．故答案为④.
7. 若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中真命题的序号是________．
①若m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线；
②若m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线；
③已知α、β互相平行，m、n互相平行，若m∥α，则n∥β；
④若m、n在平面α内的射影互相平行，则m、n互相平行．
【答案】②【解析】①为假命题，②为真命题，在③中，n可以平行于β，也可以在β内，故是假命题，在④中，m、n也可能异面，故为假命题．
8. 已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m?β，则α∥β是l⊥m的_______________条件．
【答案】充分不必要【解析】若l⊥α，α∥β，则l⊥β，又m?β，所以l⊥m，充分性成立．反之不成立，故α∥β是l⊥m的充分不必要条件．
9．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c________(填位置关系)．
【答案】 平行或相交或异面
【分析】 当a，b，c共面时，a?c；当a，b，c不共面时，a与c可能异面也可能相
交．
10．(2014·江西七校联考)已知直线a和平面α，β，???＝l，a??，a??，且a在α，
β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是________．
【答案】 相交、平行或异面
【分析】 依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．
11．平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________
个平面．
【答案】 1或4
【分析】 若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行，则确定一个平面；否则确定四个平面．
12．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________对．
【答案】 24
【分析】 如图所示，与AB异面的直线有B1C1，CC1，A1D1，DD1四条，因为各棱具有不同的位置，且正方体共有12
条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线
第12题图 FGQ82
13．在正方体AC1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关
系是________．
【答案】 相交
【分析】 如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF?平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．
第13题图 FGQ83
14．给出下列命题：①l1?l2，②l1?l2，l1，l2，l3是空间三条不同的直线，l2?l3?l1?l3；
l2?l3?l1?l3；③l1?l2?l3?l1，l2，l3共面；④l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面．其中正确命题的序号是________．
【答案】 ②
【分析】 当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1与l3也可能相交或异面或平行，故①不正确；l1⊥l2，l2?l3?l1?l3，故②正确；当l1?l2?l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故③不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故④不正确．
15．(2014·深圳调研)两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是________(填序号)．
①两条相交直线；②两条平行直线；③两个点；④一条直线和直线外一点．
【答案】 ③
【分析】 如图，在正方体ABCD－EFGH中，M，N分别为BF，DH的中点，连接MN，DE，CF，EG.当异面直线为EG，MN所在直线时，它们在底面ABCD内的射影为两条相交直线；当异面直线为DE，GF所在直线时，它们在底面ABCD内的射影分别为AD，BC，是两条平行直线；当异面直线为DE，BF所在直线时，它们在底面ABCD内的射影分别为AD和点B，是一条直线和一个点．
第15题图 FGQ84
16. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四
个结论：
第16题图 FGQ85
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为________(填序号)．
【答案】 ③④
【分析】 A，M，C1三点共面，且在平面AD1C1B中，但C?平面AD1C1B，因此直线AM与CC1是异面直线，同理AM与BN也是异面直线，AM与DD1也是异面直线，①②错，④正确；M，B，B1三点共面，且在平面MBB1中，但N?平面MBB1，因此直线BN与MB1是异面直线，③正确．
G，H分别为FA，FD的中点．
第17题图 FGQ167
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？
由(1)知BG?CH，∴EF?CH，∴EF与CH共面．
又D?FH，∴C，D，F，E四点共面．
18．如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，
OA＝2，M为OA的中点．
第18题图 FGQ168
(1)求四棱锥O－ABCD的体积；
(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值的大小．
【解】(1)由已知可求得，正方形ABCD的面积S＝4，
第18题图 FGQ169
(2)如图，连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE，
则∠EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角，
∴△DEM
为直角三角形，
PA所成角的余弦值为________．
【分析】 因为四边形ABCD为正方形，故CD?AB，则CD与PA所成的角即为
AB与PA所成的角，即为∠PAB.
20. (2015·南京、盐城模拟)一个正方体的展开图如图所示，A，B，C，D为原正方体的顶点，
则在原来的正方体中：
第20题图 FGQ170
①AB?CD；②AB与CD相交；
③AB⊥CD；④AB与CD所成的角为60?.
其中正确的结论是________(填序号)．
【答案】 ④
【分析】 如图，把展开图中的各正方形按图1所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图2所示的直观图，可见①，②，③不正确．图2中，BE?CD，∠ABE为AB与CD所成的角，△ABE为等边三角形，∴∠ABE＝60，∴④正确．
?
图1 图2
第20题图 FGQ171 第20题图 FGQ172
21．在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN
是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．
第21题图 FGQ173
【答案】 ②④
【分析】 图①中，直线GH?MN；图②中，G，H，N三点共面，但M?面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM?HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H?面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中GH与
MN异面．
22．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．
第22题图 FGQ174
求证：(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点．
【证明】 (1)连接EF，CD1，A1B
.
第22题图 FGQ195
∵E，F分别是AB，AA1的中点， ∴EF?BA1. 又A1B?D1C， ∴EF?CD1， ∴E，C，D1，F四点共面．
第22题图 FGQ175
(2)∵EF?CD1，EF＜CD1， ∴CE与D1F必相交，设交点为P， 则由P?CE，CE?平面ABCD，
得P?平面ABCD. 同理P?平面ADD1A1. 又平面ABCD?平面ADD1A＝DA， 1∴P?直线DA. ∴CE，D1F，DA三线共点.
范文五：空间点、线、面之间的位置关系
1
空间点、线、面之间的位置关系
【 知识梳理】
1.平面的基本性质
公理 1:如果一条直线上的 ___两点 _____在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理 2:如果两个平面有一个公共点, 那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是经过 __这个公共 点 ___的一条直线.
公理 3:经过 ______不在同一条直线上 ______________的三点,有且只有一个平面. 推论 1:经过 _____一条直线和这条直线外的一点 _______________,有且只有一个平面. 推论 2:经过 ___两条相交直线 _____________,有且只有一个平面. 推论 3:经过 ____两条平行直线 ____________,有且只有一个平面. 2.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类
??
?
共面直线 ???
??
异面直线:不同在任何一个平面内
(2)异面直线判定定理
过平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内 ______________的直线是异面直线. (3)异面直线所成的角
①定义:设 a , b 是两条异面直线,经过空间任意一点 O ,作直线 a ′∥ a , b ′∥ b ,把 a ′与 b ′所成 的 ____________叫做异面直线 a , b 所成的角.
②范围:____________.
答案:(1)平行 相交 (2)不经过该点 (3)①锐角或直角 ② ??0, π
2 3. 同一条直线 4. 相等 3.公理 4
平行于 ______同一条直线 ______的两条直线互相平行. 4.定理
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角 ___相等 _____. 【 自我检测 】 1. 若直线 a 与 b 是异面直线, 直线 b 与 c 是异面直线, 则直线 a 与 c 的位置关系是 2.如果两条异面直线称为“一对”,那么在正方体的十二条棱中共有异面直线 ____24____对. 3.三个不重合的平面可以把空间分成 n 部分,则 n 的可能取值为 ___4,6,7,8_____. 4. (2010·全国Ⅰ ) 直三棱柱 ABC — A 1B 1C 1中,若∠ BAC =90°, AB =AC =AA 1,则异面直线 BA 1与 AC 1
所成角的大小为 __60°______.
将直三棱柱 ABC — A 1B 1C 1补成如图所示的几何体. 由已知易知:该几何体为正方体. 连结 C 1D ,则 C 1D ∥ BA 1.
∴异面直线 BA 1与 AC 1所成的角为∠ AC 1D (或补角 ) , 在等边△ AC 1D 中,∠ AC 1D =60°. 5.下列命题:
2
①空间不同三点确定一个平面; ②有三个公共点的两个平面必重合;
③空间两两相交的三条直线确定一个平面; ④三角形是平面图形;
⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形; ⑥垂直于同一直线的两直线平行;
⑦一条直线和两平行线中的一条相交,也必和另一条相交; ⑧两组对边相等的四边形是平行四边形. 其中正确的命题是 ____④ ____(填序号 ). 【例题分析】
例 1、 如图所示,空间四边形 ABCD 中, E 、 F 、 G 分别在 AB 、 BC 、 CD 上,且满足 AE ∶ EB =CF ∶ FB =2∶ 1, CG ∶ GD =3∶ 1,过 E 、 F 、 G 的平面交 AD 于 H ,连结 EH .
(1)求 AH ∶ HD ;
(2)求证:EH 、 FG 、 BD 三线共点.
(1)解 ∵ AE EB CF
FB 2,∴ EF ∥ AC .
∴ EF ∥平面 ACD . 而 EF ? 平面 EFGH ,
且平面 EFGH ∩ 平面 ACD =GH ,∴ EF ∥ GH . 而 EF ∥ AC ,∴ AC ∥ GH . ∴ AH HD CG
GD
3,即 AH ∶ HD =3∶ 1. (2)证明 ∵ EF ∥ GH ,且 EF AC 13, GH AC 1
4
∴ EF ≠ GH ,∴四边形 EFGH 为梯形.
令 EH ∩ FG =P ,则 P ∈ EH ,而 EH ? 平面 ABD ,
P ∈ FG , FG ? 平面 BCD ,平面 ABD ∩ 平面 BCD =BD , ∴ P ∈ BD . ∴ EH 、 FG 、 BD 三线共点.
变式 1
如图, E 、 F 、 G 、 H 分别是空间四边形 AB 、 BC 、 CD 、 DA 上的点,且 EH 与 FG 相交于点 O . 求证:B 、 D 、 O 三点共线. 证明 ∵ E ∈ AB , H ∈ AD ,
∴ E ∈平面 ABD , H ∈平面 ABD . ∴ EH ? 平面 ABD . ∵ EH ∩ FG =O ,∴ O ∈平面 ABD . 同理可证 O ∈平面 BCD , ∴ O ∈平面 ABD ∩ 平面 BCD ,
即 O ∈ BD ,∴ B 、 D 、 O 三点共线.
例 2、 如图所示,直线 a 、 b 是异面直线, A 、 B 两点在直线 a 上, C 、 D 两点在直线 b 上.求证:BD 和 AC 是异面直线.
证明两直线为异面直线的方法: 1.定义法 (不易操作 ) .
2.反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两直线平行或相交,由假设的条件 出发,经过严密的推理,导出矛盾,从而否定假设肯定两条直线异面.此法在异面
3
直线的判定中经常用到. 3.判定定理.
证明 假设 BD 和 AC 不是异面直线,则 BD 和 AC 共面,设它们共面于 α. ∴ A 、 B 、 C 、 D ∈ α,∴ AB 、 CD ? α,即 a 、 b ? α. 这与 a 、 b 是异面直线矛盾,故假设不成立. ∴ BD 和 AC 是异面直线.
变式 2 如图是正方体或四面体, P 、 Q 、 R 、 S 分别是所在棱的中点, 这四个点不共面的是 ___④ ____(填序号 ) .
例 3、 (2009·全国Ⅰ ) 已知三棱柱 ABC — A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等, A 1在底面 ABC 上的射影为 BC 的
中点,则异面直线 AB 与 CC 1所成的角的余弦值为 3
4.
解题导引 高考中对异面直线所成角的考查,一般出现在综合题的某一步,求异面直线所成角的一般步骤 为:
(1)平移:选择适当的点,平移异面直线中的一条或两条成为相交直线,这里的点通常选择特殊位置的点, 如线段的中点或端点,也可以是异面直线中某一条直线上的特殊点. (2)证明:证明所作的角是异面直线所成的角.
(3)寻找:在立体图形中,寻找或作出含有此角的三角形,并解之. (4)取舍:因为异面直线所成角 θ的取值范围是 0°<θ≤ 90°,所以所作的角为钝角="">
如图, A 1D ⊥平面 ABC , 且 D 为 BC 的中点, 设三棱柱的各棱长为 1, 则 AD =32
由 A 1D ⊥平面 ABC 知 A 1D =1
2
, Rt △ A 1BD 中,易求 A 1B 141422
∵ CC 1∥ AA 1,∴ AB 与 AA 1所成的角即为 AB 与 CC 1所成的角.在△ A 1BA 中,由余弦定理可知 cos ∠ A 1AB =
1+1-
122×1×1=34
∴ AB 与 CC 1所成的角的余弦值为 34.
变式 3 在空间四边形 ABCD 中,已知 AD =1, BC =3,且 AD ⊥ BC ,对角线 BD =2, AC 2
,求 AC 和 BD 所成的角.
如图所示,分别取 AD 、 CD 、 AB 、 BD 的中点 E 、 F 、 G 、 H ,连结 EF 、 FH 、 HG 、 GE 、 GF .
由三角形的中位线定理知, EF ∥ AC ,且 EF 34, GE ∥ BD ,且 GE =13
4GE 和 EF
所成的锐角 (或直角 ) 就是 AC 和 BD 所成的角. 同理, GH ∥ AD , HF ∥ BC . GH 12HF =3
2
又 AD ⊥ BC ,∴∠ GHF =90°,∴ GF 2=GH 2+HF 2=1.
在△ EFG 中, EG 2+EF 2=1=GF 2, ∴∠ GEF =90°,即 AC 和 BD 所成的角为 90°.
4
例 4、 如图所示,在四棱锥 P — ABCD 中,底面是边长为 2的菱形,∠ DAB =60°,对角线 AC 与 BD 交于点 O , PO ⊥平面 ABCD , PB 与平面 ABCD 所成的角为 60°. (1)求四棱锥的体积;
(2)若 E 是 PB 的中点,求异面直线 DE 与 P A 所成角的余弦值.
多角度审题 对 (1)只需求出高 PO ,易得体积;对 (2)可利用定义,过 E 点作 P A 的平行线,构造三角形再 求解.
解 (1)在四棱锥 P — ABCD 中, ∵ PO ⊥平面 ABCD ,
∴∠ PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角,即∠ PBO =60°, [2分 ] 在 Rt △ AOB 中,∵ BO =AB ·sin 30°=1,又 PO ⊥ OB ,
∴ PO =BO ·tan 60°3,
∵底面菱形的面积 S =2×12×2×2×3
2
23,
∴ V P — ABCD =1
3
23×3=
2.[7分 ]
(2)
取 AB 的中点 F ,连结 EF , DF , ∵ E 为 PB 中点,∴ EF ∥ P A ,
∴∠ DEF 为异面直线 DE 与 P A 所成角 (或其补角 ) . [9分 ] 在 Rt △ AOB 中, AO =AB ·cos 30°=3,
∴在 Rt △ POA 中, P A =6,∴ EF =
6
2
在正三角形 ABD 和正三角形 PDB 中, DF =DE 3,
由余弦定理得 cos ∠ DEF =DE 2+EF 2-DF 2
2DE ·EF
=(3)2+??622-(3)2
2×
2=6
42=2
4
.[12分 ]
所以异面直线 DE 与 P A 2
4
.[14分 ] 【突破思维障碍】
求两条异面直线所成的角的大小,一般方法是通过平行移动直线,把异面问题转化为共面问题来解 决.根据空间等角定理及推论可知,异面直线所成角的大小与顶点位置无关,往往将角的顶点取在其中的 一条直线上.特别地,可以取其中一条直线与另一条直线所在平面的交点或异面线段的端点.总之,顶点 的选择要与已知量有关,以便于计算,具体步骤如下:
5
(1)利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点选在特殊的 位置上;
(2)证明作出的角即为所求角;
(3)利用三角形来求解,异面直线所成角的范围是 (0°, 90°]. 【易错点剖析】
1.求异面直线所成的角时,仅指明哪个角,而不进行证明. 2.忘记异面直线所成角的范围,余弦值回答为负值.
【强化练习】 一、填空题
1.和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是 ___异面或相交 ______. 2.给出下列命题:
①若平面 α上的直线 a 与平面 β上的直线 b 为异面直线,直线 c 是 α与 β的交线,那么 c 至多与 a 、 b 中的一条相交;②若直线 a 与 b 异面,直线 b 与 c 异面,则直线 a 与 c 异面;③一定存在平面 α同时和异 面直线 a 、 b 都平行.其中正确的命题为 ____③ ____(填序号 ) . ①错, c 可与 a 、 b 都相交;
②错,因为 a 、 c 可能相交也可能平行;
③正确,例如过异面直线 a 、 b 的公垂线段的中点且与公垂线垂直的平面即可满足条件
3. 如图所示,在正三角形 ABC 中, D 、 E 、 F 分别为各边的中点, G 、 H 、 I 、 J 分 别为 AF 、 AD 、 BE 、 DE 的中点,将△ ABC 沿 DE 、 EF 、 DF 折成三棱锥以后, GH 与 IJ 所成角的大小为 ___60°___.
将三角形折成三棱锥,如图所示, HG 与 IJ 为一对异面直线,过 D 分别作 HG 与 IJ 的平行线,
因 GH ∥ DF , IJ ∥ AD , 所以∠ ADF 为所求,
因此 HG 与 IJ 所成的角为 60°.
4. (2009·全国Ⅱ改编 ) 已知正四棱柱 ABCD — A 1B 1C 1D 1中, AA 1=2AB , E 为 AA 1的 中点,则异面直线 BE 与 CD 1所成的角的余弦值为 ________1010
如图所示, 连结 A 1B , 则 A 1B ∥ C D 1, 故异面直线 BE 与 CD 1所成的角即为 BE 与 A 1B 所成的角.设 AB =a ,则 A 1E =a , A 1B 5a , BE =2a .
△ A 1BE 中,由余弦定理得:cos ∠ A 1BE =BE 2+A B 2-A E 22BE ·A 1B 2a 2+5a 2-a 22×2a 5a
310105.正四棱锥 S — ABCD 的侧棱长为 2,底面边长为 3, E 为 SA 的中点,则异
面直线 BE 和 SC 所成的角为 ________. 60°
解析 设 AC 与 BD 的交点为 O ,则 OE ∥ SC ,∴∠ BEO (或其补角 ) 即为异面直线 BE 和 SC 所成的角,
EO =12SC =22BO 1262
,
在△ SAB 中, cos A 12SA =322=6
4
在△ ABE 中, cos A =AB 2+AE 2-BE 2
2AB ·AE
6
∴ BE =2.
在△ BEO 中, cos ∠ BEO =BE 2+EO 2-BO 22BE ·EO 1
2
,∴∠ BEO =60°.
6.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论: ① AB ⊥ EF ;② AB 与 CM 所成的角为 60°;③ EF 与 MN 是异面直线;④ MN ∥ CD . 则正确结论的序号是 ______.①③
解析 把正方体的平面展开图还原成原来的正方体,如图所示,易知 AB ⊥ EF , AB ∥ CM , EF 与 MN 异面, MN ⊥ CD ,故①③正确.
7.下面命题正确的是 ________(填序号 ) .② ①若直线 a 、 b 相交, b 、 c 相交,则 a 、 c 相交; ②若 a ∥ b ,则 a 、 b 与 c 所成的角相等; ③若 a 、 b 与 c 所成的角相等,则 a ∥ b ; ④若 a ⊥ b , b ⊥ c ,则 a ∥ c .
8.在图中, G 、 H 、 M 、 N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线 GH 、 MN 是异面直线 的图形有 ____________. (填上所有正确答案的序号 ) (2)(4)
二、解答题
9.如图所示,正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1中, E , F 分别是 AB 和 AA 1的中点. 求证:(1)E , C , D 1, F 四点共面; (2)CE , D 1F , DA 三线共点.
证明 (1)如图所示,连结 CD 1, EF , A 1B , ∵ E 、 F 分别是 AB 和 AA 1的中点,
∴ EF ∥ A 1B ,且 EF 1
2A 1B , (2分 )
又∵ A 1D 1綊 BC ,
∴四边形 A 1BCD 1是平行四边形, ∴ A 1B ∥ CD 1,∴ EF ∥ CD 1, ∴ EF 与 CD 1确定一个平面 α, ∴ E , F , C , D 1∈ α,
即 E , C , D 1, F 四点共面. (6分 )
(2)由 (1)知 EF ∥ CD 1,且 EF =1
2CD 1,
∴四边形 CD 1FE 是梯形,
∴ CE 与 D 1F 必相交,设交点为 P , (8分 ) 则 P ∈ CE ? 平面 ABCD , 且 P ∈ D 1F ? 平面 A 1ADD 1,
∴ P ∈平面 ABCD 且 P ∈平面 A 1ADD 1.(10分 ) 又平面 ABCD ∩ 平面 A 1ADD 1=AD ,
7
∴ P ∈ AD ,∴ CE , D 1F , DA 三线共点. (14分 )
10.如图,在正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1中, P 、 Q 、 M 、 N 分别为 AD 、 AB 、 C 1D 1、 B 1C 1的中点,求证:A 1P ∥ CN , A 1Q ∥ CM ,且∠ P A 1Q =∠ MCN .
证明 如图所示,在 A 1B 1上取中点 K ,易知四边形 MKBC 为平行四边形. (3分 ) ∴ CM ∥ BK .
又∵ A 1K ∥ BQ ,且 A 1K =BQ , ∴四边形 A 1KBQ 为平行四边形, ∴ A 1Q ∥ BK , (9分 )
由公理 4有 A 1Q ∥ MC , (10分 ) 同理可证 A 1P ∥ CN , 由于∠ P A 1Q 与∠ MCN 对应边 分 别 平 行,且方向相反.
∴∠ P A 1Q =∠ MCN .(14分 )
11.如图,正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1的棱长为 2, E 为 AB 的中点.求异面直线 BD 1与 CE 所成的角的余弦 值.
解 延长 DC 至 G ,使 CG =EB ,连结 BG 、 D 1G ,
∵ CG 綊 EB ,
∴四边形 EBGC 是平行四边形. ∴ BG ∥ EC .
∴∠ D 1BG 就是异面直线 BD 1与 CE 所成的角. (6分 ) 在△ D 1BG 中, D 1B =3, BG 5, D 1G 2+3=13.
∴ cos ∠ D 1BG =D B 2+BG 2-D G 2
2D 1B ·BG =
12+5-132×35=15
∴异面直线 BD 1与 CE 15
.
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