青涩不清纯
范文一：6)一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上
陕西省礼泉第一中学 王培博 Email: wpb_0920@163.com 邮编 713200 瞄准二大题型—“棱柱”与“折展”，重视一个热点---“射影”:
-------2008年高考数学立体几何命题预测(教师版)
陕西省礼泉第一中学 王培博
一、全面回顾近年高考试题、把握命题方向，运筹帷幄之中: 07、06、05三年陕西省高考选择题，填空题列表:
(07理一、6).一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是
33333 (A) (B) (C) (D) 答C 43412
(07文7.Rt?ABC的三个顶点在半径为13的球面上，两直角边的长分别为6和8，则球心到平面ABC的距离是 (A)5 (B)6 (C)10 (D)12 答D
,,(07理一、10).已知平面α?平面β，直线mα，直线nβ，点A?m,点B?n，记点A、B之间的距离为a,点A到直线n的距离为b,直线m和n的距离为c,则
A.b?a?c B.a?c?b C. c?a?b D. c?b?a 答:D
,(07文一10).已知P为平面a外一点，直线la,点Q?l,记点P到平面a的距离为a,点P到直线l的距离为b，点P、Q之间的距离为c，则
a,b,ca,c,bb,c,acab,,(A) (B) (C) (D) 答:A
新疆源头学子小屋http://wwwxjktyg.com.wxc//特级教师王新敞wxckt@126com.(06文理一11) 已知平面α外不共线的三点A,B,C到α的距离都相等,则正确的结论是( ) 新疆新疆源头学子小屋源头学子小屋http://wwwxjktyg.com.wxc//http://wwwxjktyg.com.wxc//特级教师特级教师王新敞王新敞wxckt@126com.wxckt@126com.A 平面ABC必平行于α B 平面ABC必与α相交
新疆新疆源头学子小屋源头学子小屋http://wwwxjktyg.com.wxc//http://wwwxjktyg.com.wxc//特级教师特级教师王新敞王新敞wxckt@126com.wxckt@126com.C 平面ABC必不垂直于α D 存在?ABC的一条中位线平行于α或在α内 答D
新疆源头学子小屋http://wwwxjktyg.com.wxc//特级教师王新敞wxckt@126com.(06文理二、15) 水平桌面α上放有4个半径均为2R的球,且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形) 在这4个球的上面放1个半径为R的小球,它和下面4个球恰好都相切,则小球的球心到水平桌面α的距离是-------答 3R (05年全国?文理、4)设三棱柱ABC-ABC的体积为V，P、Q分别是侧棱AA、CC上的点，且PA=QC，则四棱锥111111B-APQC的体积为
1111(A) (B) (C) (D) 答CVVVV3624 (05年全国?文理、11)不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有 ,,
(A)3个 (B)4个 (C)6个 (D)7个 答D
比较:
第一类:球的组合体
07年选择题(理一、6)几何模型球的内接正三棱锥，(文一、7)球的内接直三棱锥，问题(理)求三棱锥体积，文求点到面的距离。
06年填空题(理、文二、15)几何模型五个球(四大一小)叠成锥形(连心线构成正四棱锥)，问题求点到面距离。
05年两个选择题几何模型一是三棱柱中套四棱锥，另一个是四棱锥顶点(不共面四点)与平面距离，问题前一个是求体积，后一个是求平面个数。
三年试题共性:球的组合体中距离，体积问题。
第二类:“距离”
07理(一、10)几何模型两条异面直线上点与点，点与线，线与线间距离，问题是比较大小。07文(一10)几何模型平面外一条直线上点到平面，点到线、点到点之间距离。问题是比较大小。
06文理(一11)几何模型平面α外不共线的三点A,B,C到α的距离都相等。问题是选择可能性。
1
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共性:比较距离之大小。
07、06、05三年陕西省高考立体几何解答题列表: (07年陕西省理19.本小题满分12分) 如图,在底面为直角梯形的四棱锥
ABCDPA,4,P,ABCD中,AD//BC,PA,平面，ABC,90:,，
,. BC,6ADAB,,2,23
(?)求证: BD,平面PAC;
(?)求二面角的大小. (文:二面角P—BD—A的大小) APCD,,
新疆源头学子小屋http://wwwxjktyg.com.wxc//特级教师王新敞wxckt@126com.(06年陕西省文理19本小题满分12分)
如图,α?β,α?β=l , A?α, B?β,点A在直线l 上的射影为A, 点B在l的射影为B,已知AB=2,AA=1, BB=2, 1111
新疆源头学子小屋http://wwwxjktyg..com/wxc/特级教师王新敞wxckt@126.com求: (?) 直线AB分别与平面α,β所成角的大小; (?)二面角A,AB,B的大小 11
(05年全国?本小题满分12分) V
在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，
新疆王新敞奎屯平面VAD?底面ABCD DC 1)求证AB?面VAD;
新疆王新敞奎屯 2)求面VAD与面VDB所成的二面角的大小 AB共性:
三年解答题中几何模型有两年是四棱锥(07、05年)，一年是直二面角(06年)，问题是有二年均是证线面垂直和求二面角大小(07、05年)，一年是求线面所成角和二面角的大小(06年)。连续三年均考查了二面角计算问题。在完成二面角的平面角作法时，三年的立体几何作法都可以归为“垂线法”，即通过线面垂直和三垂线定理完成二面角的平面角。
我认为这样陕西省连年重复考查某几个知识点是一种策略。作用一是符合“高考就是教学指挥棒”，考什么，考生就得重视什么～; “不排除重点知识点重复考”的精神，二是已考的知识点太集中， 考虑到大部分考生的思维定势“今年考了的明年可能不考”“几种常见几何模型轮翻考”的特点，相对扩大了下一年数学立体几何高考复习的知识点，要求考生全面复习，有利于避免猜题者猜中题目。
2008年高考大纲要求降低立体几何的考查难度，这种命题方式优为重要～它要求考生认真学习08年考纲，全面掌握立体几何的基本知识和基本技能，掌握逻辑推理能力，提高空间想能力，熟练运用空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行，垂直的性质定理和判定定理解决空间的平行和垂直问题，能计算空间角度，距离和体积等。
二、瞄准二大题型—“棱柱”与“折展”，重视一个热点---“射影”:
“射影”的核心是“垂直”，点到线、点到面、线到线、线到面、面到D1C1面的射影都离不开“垂直”。一条直线平行与一个平面，在平面内无数条平
行线中，它在平面内的射影是离它最近的平行线，一条直线与一个平面所成BA11F角定义为它与该平面内所有直线所成角中最小的角，这个角不是别的角，就
是该直线与它在这个平面内的射影所成角。高考数学部分对垂直的考查那是EDC不容置疑的。
AB 2 例1图
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ABCDABCD,BDAACC举例:例1、在正方形中，过对角线的一个平面交于E，交于F， ?1111111
BFDEBFDEBFDE四边形一定是平行四边形;?四边形有可能是正方形;?四边形在底面ABCD111
BFDEBBD内的投影一定是正方形;?四边形有可能垂直于平面。以上结论正确的11
为 。
BFDEAADDBBCC,DEBF, 解析:如图1，四边形分别交两平行平面于，从而由面面平行的111111
DEBF//.DFBE//.BFDE性质定理知同理可得从而知四边形一定是平行四边形，故?对。要使111
BFDEDEBEDEABDEBB,,,,,,平面 AA四边形为正方形，则有又111111
DABBDEDA,？平面 AA,//,BFDE这是不可能的，从而知四边形不可能是正方形，故?错;11111111
BFDE四边形在底面ABCD内的投影点分别为A，B，C，D，显然其射影是正方形，故对?;当E，F1
BFDEEFBDEFBBEFBBD,,,,,平面分别为AA，CC的中点时，四边形为菱形，此时有，111111
故?对从而以上结论正确的为 ???。
ABCDABCD,例2、如图，在正方体中，,为中截面的中心，则?,,,在该正方体各个面上1111
的射影可能是____((要求:把可能的图的序号填上)
D
C
A B
P D1
C1
BA1 1 ? ? ? ? 例2图
解析:?,,,在正方体某一个面上的射影，应当是连结三个顶点 ,，,，,在这个面上的射影而得的图象(由于,，,在下底面上的射影是它们各自本身，,在下底面上的射影是,,中点，故?,,,在上底面上的射影是上底面对角线,,，因此，图?是可能的，且?,,,在下底面上的射影是
BCBCAC下底面对角线，也是图?的情形;而,在侧面上的射影是,，,在侧面上的射影是它1111
BCBC本身，,在侧面上的射影是侧面的中心，故图?也是可能的(同理可知，?,,,在其他三11
个侧面上的射影也都是图?的情形，于是图?，?是不可能的(因此，所有可能的图形是?，?(
D1C1
ABCD,ABCD 例3、 如图，在棱长为1的正方体中，Q1111
A1B1
PAPCCBDDB(I)在侧棱上是否存在一个点P，使得直线与平面111
DC32所成角的正切值为;
ABCCAC(?)若P是侧棱上一动点，在线段上是否存在一个定点，Q111
APDQAPD使得在平面上的射影垂直于。并证明你的结论.11例3图
AP分析:(?)直线与平面所成角即直截与它在该平面内射影所成角，故该问的切入点是完成在平BDDBBDDB面内的射影。连AC，设AC与BD相交于点O,AP与平面相交于点G，,连结OG，1111
3
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APBDDB从已知正方体中易得AO?平面在面内的射影，于是有?AGO是AP与平面OG为11，
BDDBAPDDQ所成的角. (?)要使得在平面上的射影垂1111
D1C1
QAPAPDDQ直于，认识到为平面的斜线，故只要证明斜线11A1B1
APDDQ垂直平面即可。从正方体中可以看出点当Q是AC1111P的中点O时，有DO?平面ACCA，又AP平面ACCA，,1111111
D故 DO?AP.于是存在。 11CG
O解法一:(?)如图示1,设PC=m,连AC，设AC与BD相交
AB
BDDB于点O,AP与平面相交于点G，,连结OG，因为PC?平11
1mBDDBBDDB面，平面?平面APC,OG,故OG?PC，所以，OG,PC,.又AO?BD,AO?111122
BDDBBDDBBB，所以AO?平面，故?AGO是AP与平面所成的角. 11111
例3解图示1 2
OA， 2在中RtAGOAGO,，,,,,tan32mGO
2
11BDDB32即m,.所以，当PC,时，直线AP与平面所成的角的正切值为.1133
(?)可以推测，点Q应当是AC的中点O，因为DO?AC, 且 DO?AA ，所以 DO111111111111?平面ACCA，又AP平面ACCA，故 DO?AP.那么根据三垂线定理逆定理知，DO在平面,11111111
APD的射影与AP垂直。 1
解法二:
分析:建系后，由于直线与平面所成角和直线与该平面的法向量所成角互余，如果设AP与平面z,BBDDBBDD所成的角为，则，只要求出平面的sincos(),,,,,11112D1C1
QA1B1n一个法向量，则直线所在向量与平面的法向量之余弦值
PAP,n,ynAC==，再设P(0，1，m)cos(),,D，又由已知可得则可以用2CAP,n
AB 例3解图示2 待定系数法和向量的数量积可得解决问题。x(?)建立如图示2，所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，
D(0，0，0)，B(1，1，1)，D(0，0，1)所以 BDBB,,,,(1,1,0),(0,0,1),111
4
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BBDD又知，为平面一个法向量。ACACBDACBB,,,,0,0APmAC,,,,(1,1,),(1,1,0).111
APAC,,2BBDD设AP与平面所成的角为，则。,sincos(),,,,,,1122APAC,22m,，
2321依题意有解得。 ,,m,22322,，m1(32)，
1BBDD故当时，直线AP与平面所成的角的正切值为32。 PC,113
(?)若在AC上存在这样的点Q，设此点的横坐标为，则Q(x，1,，1)，。xxDQxx,,(,1,0)111依题意，要使DQ在平面APD上的射影垂直于AP，等价于APDQAPDQ,,,,01111
1即Q为AC的中点时，满足题设要求。,,，,,,,xxx(1)0.112E M
F
例4(04年浙江省19)如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的BC平面互相垂直， AB=2，AF=1，M是线段EF的中点。
DA(?)求证AM?平面BDE;
(?)求二面角A—DF—B的大小;
例4题图 0(?)试在线段AC上确定一点P使得PF与BC所成角 60
方法一:
(?)要证AM?平面BDE，只要证明AM平行于平面BDE内的一条直线即可。记AC与BD的交点为O,连接OE,
?O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形， E?四边形AOEM是平行四边形，?AM?OE。 M?平面BDE， 平面BDE，?AM?平面BDE。OE,AM,F BC(?)在平面AFD中过A作AS?DF于S，连结BS，
O
DA?AB?AF， AB?AD， ?AB?平面ADF， AD:AF,A,
?AS是BS在平面ADF上的射影，由三垂线定理得BS?DF。 ??BSA是二面角A—DF—B的平面角。
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6E在RtΔASB中， AS,,AB,2,M3
F? tan，ASB,3,，ASB,60:,BCS?二面角A—DF—B的大小为60o。
(?)设CP=t(0?t?2),作PQ?AB于Q，则PQ?AD，DA E
M?PQ?AB，PQ?AF，， AB:AF,AF?PQ?平面ABF，平面ABF，?PQ?QF。QE,BC
P Q在RtΔPQF中，?FPQ=60o， PF=2PQ。 DA2?ΔPAQ为等腰直角三角形，?PQ,(2,t).2
2又?ΔPAF为直角三角形，?， PF,(2,t)，1
22? (2,t)，1,2,(2,t).2
所以t=1或t=3(舍去) 即点P是AC的中点。
方法二
(?)建立如图所示的空间直角坐标系。
设，连接NE，AC:BD,N
22 则点N、E的坐标分别是(,,0)、(0,0,1),22
22(,,1),,NE ?=, 22
222,2,0又点A、M的坐标分别是()、(,,1) 22
22AMAMAMNE ? =?=且与不共线， (,,1),,NE22
BDEBDENEAM?。又?平面， 平面， NE,AM,
AMBDE??平面。
6
陕西省礼泉第一中学 王培博 Email: wpb_0920@163.com 邮编 713200 (?)?AF?AB，AB?AD，AF?AB?平面ADF。:AD,A,
?为平面DAF的法向量。AB,,(2,0,0)
22?=(?=0，NEBD ,,,,,1)(,2,2,0)22
22?=(?=0 NE NF,,,,,1)(2,2,0)22
得，?为平面BDF的法向量。 NENEDB,NENF,
1? =? 的夹角是60o。 ABNE,COSABNE,,,2
即所求二面角A—DF—B的大小是60o。
(?)设P(t,t,0)(0?t?2)得
?CB=(0，2，0) PFtt,,,(2,2,1),
PF又?和所成的角是60o。 CB
(2,t),2
? cos60:,22(2,t)，(2,t)，1,2
232解得t,或t,(舍去)，即点P是AC的中点。 22
例5、(04年北京16)如图，在正三棱柱中，AB,3，，M为的中点，ABCABC,AA,4AA11111P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱到M的最短路线长为29，设CC1
A C 11这条最短路线与的交点为N，求: CC 1
B 1(?)该三棱柱的侧面展开图的对角线长; M
N (II)PC和NC的长;
A C (III)平面NMP与平面ABC所成二面角(锐角)的大小(用反三角函数表示)P B
解:(I)正三棱柱的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线ABCABC,例5题图 111
22长为. 9497，,
7
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,(II)如图，将侧面绕棱旋转使其与侧成在同一平面上，点P运动到点120BBCCCCAACCP111111
PCx,的位置，连接，则就是由点P沿棱柱侧面经过棱到点M的最短路线. 设，则MPMPCC111
22()3229，，,x，在中，由勾股定理得 求得PCx,RtMAP,11C1A1
B1NCPC241x,2. ？,,,,？,PCPCNC2. , .又1MMAPA551
N
ACxP1 (III)如图，连结，则就是平面NMP与平面ABC的交线，PPPPx11PB作于H，又平面ABC，连结CH，由三垂线定理得，NHPP,CC,11
. CHPP,1
A C 11？，NHC 就是平面NMP与平面ABC所成二面角的平面角(锐角)
B 1
M 1PC,RtPHC, 在？，,，,PCHPCP60中，,？,,CH11N 22
C
A P H P 14 B NC45RtNCH,tgNHC，,,,. 在中，, CH15
4故平面NMP与平面ABC所成二面角(锐角)的大小为. arctg5
三、强化练习与拓展:
D1ABCDABCD,DD1、如图:已知正方体的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱运C111111动，点N在正方形ABCD内运动，则MN中点P的轨迹面积MB1A1是( ) PDC, ABCD .4 . . 2 . ,,,
2NDD分析:由于点M在棱上，所以是直角三角形，,MDN1题1图 AB
ADDDMN的特殊情况是正方体棱，，，由于点P是MN的中点，所以无论那一种情况，DPDC1
的长都等于1。动点P到定点D的距离是以D为球心，半径为1的球面在正方体内的部分。应为还
11,应面的，所以轨迹的面积为，则选D ，,4,882
8
陕西省礼泉第一中学 王培博 Email: wpb_0920@163.com 邮编 713200 引申:条件同上，设P点的轨迹为C，则C截到此正方体所成两部分体积之比可能为( )。
答:D . : 1:1 6) .( 1:2 . 1:ABCD3 .,,,
ABCDABCD,AAAABB2、如图:在正方体中，P为平面内一动点，且点P到和BC的距离1111111相等，则P点的轨迹是下图中的( )D1C1
A1B1B1A1A1B1A1A1B1B1
PBABAABBDCADBCA
AB
PNAA,AABB分析:如图示:在平面内，过P做于N，连结PB，则，PNPB,111题2图解
AAB所以点P的轨迹是以为准线的抛物线。此轨迹通过AB的中点和点。则选B。11
PAAPB,,,,于于,B3、已知二面角的平面角为,P为二面角内一点,,设,,,,l,,,,l,
PA=1,PB=2,A、B
,A
POOlOO
C
B,
题3图解 CDAB
到棱的距离分别是x, y,当变化时，点(,)xy的轨迹是( ) l,
PB,,于B分析:如图示:因为PAA,,于，，所以过PA、PB作平面γ，则,，,的交线l,,
22222且lC,,,。设AC=x,BC=y.由勾股定理可得:，PAACPBBCPC，,，,
222212,，,，xyxyxy,,,,1(0,0)所以:即:
(,)xy所以当变化时，点的轨迹是第一象限的双曲线。选C。 ,
4、(06陕西理二、15) 水平桌面α上放有4个半径均为2R的球,且相邻的球都相切(球心的连线构
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新疆源头学子小屋http://wwwxjktyg.com.wxc//特级教师王新敞wxckt@126com.成正方形) 在这4个球的上面放1个半径为R的小球,它和下面4个球恰好都相切,则小球的球心到水平桌面α的距离是 -----------------
解析:水平桌面α上放有4个半径均为2R的球，且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形)(在这4个球的上面放1个半径为R的小球，它和下面4个球恰好都相切，5个球心组成一个正四棱锥，这个正四棱锥的底面边长为4R，侧棱长为3R，求得它的高为R，所以小球的球心到水平桌面α的距离是3R(
R,05、在北纬圈上有A、B两地，它们在此纬度圈上的弧长等于(R是地球的半径)，则A、B602
R,两地的球面距离为--------答 3
,ADE6、(2006年辽宁省)、已知正方形ABCD，E、F分别是边AB、CD的中点，将沿DE折起，如下图所示:记二面角A-DE-C的大小为θ
BCA()， 0<>
EFB(1) 证明:BF//平面ADEC
EF(2) 若为正三角形，试判断点A,ACDDDA
在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上，
题6图
证明你的结论，并求出角θ的余弦值。
分析:折迭问题关键在于分析“折前”与“折后”的不变量(角的不变量与边不变量)，在第一问中，折前BF//ED在折后不改变，故在折后的图中，利用线面平行的性质，易得结论(1)。关于结论(2)，判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上，可以有二种思路，
一、可以先做出A在面BCDE上的射影，再证在EF上，这一GGA点只要通过EF垂直平分线段CD(“折前”与“折后”的不变量)和
B证明CG=DG (斜线相等则射影相等)两点可以说明G在EF上。
EGC HF
D,,二、在平面AEF内，做，然后再证明AGCDE,平面BAGEF,
,(如果付上为正三角形，，则CDAEF,平面，，，，,ACDAFCD,AGCD,EFCDF,,
,AED,则得AGCDE,平面B)。即与G重合。由于二面角A-DE-C的两半平面是面和G
平面BCDE，AGCDE,平面B且AAED,面，利用三垂线定理，可得出二面角的平面角，,AHG
,AEF设正方体棱长为2a，连结AF，在折后的图中有:，所以为直角AFaEFAEa,,,3,22
10
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3AHDEADAF,,,？ AG=a三角形，，，又在，，AGEFAEAF,,,RtADE,2
2a2GH1？ GH=？ AH=， ？,,, cosACAH4255B
7、(陕西省07高三检测一)如图在正三棱柱ABC,ABC中，点E是BB上的1111
E,AECAC一点，截面侧面。 11
A1C1B1BEEB,(?)求证: 1
题7图
AAAB,AECABC(II)若，求面与面所成锐二面角的度数。F1111111ACB
,,ACAC分析:(?)过E作EG ，取AC中点F，则EG 面，连结FG，11G11BEEB,则四边形BFGE为矩形，，则(II)第二问属FGAABB,,111A面的另一个公共点的方法是找与这两个半平面均相交的第三个平面(如侧面“无棱二面角”，先找“棱”，已是两个面的一个公共点，寻找该两个半平1BBCC)，第三平面与二面角的两个半平面的交线如果相交，则该交点为棱22E11CEBCD,,ADB的另一个点，如图示则为所求棱。由以上所推知是1111,ABBCBD,,CAAD,DCDAC的中点，则，为直角三角形，，011111111111CAAD,，CAC又由三垂线定理可知 ，则为所求二面角的平面角，为451111A1C1B1
D
11
范文二：[侧棱长为a的正三棱锥]在正三棱锥P
[侧棱长为a的正三棱锥]在正三棱锥P 篇一 : 在正三棱锥P
在正三棱锥P-ABC中，?，?，则此三棱锥的外接球的表面积为。 题型:填空题难度:中档考点:
考点名称:球的表面积与体积 球的体积公式:
V球=;
球的表面积:
S球面=
求球的表面积和体积的关键:
由球的表面积和体积公式可知，求球的表面积和体积的关键是求出半径。
常用结论:
1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的倍.
2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的4倍.
3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是.
4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是.
篇二 : 在正三棱锥P
在正三棱锥P-ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，有下列四个论断:?AC?PB;?AC?平面PDE;?AB?平面PDE;?平面PDE?平面ABC(其中正确的个数为A(1个B(2个C(3个D(4个题
型:单选题难度:中档考点:
考点名称:柱、锥、台、球的结构特征 棱柱:
概念:如果一个多面体有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线互相平行。这样的多面体叫做棱柱。棱柱中两个互相平行的面叫棱柱的底面，其余各个面都叫棱柱的侧面，两个侧棱的公共边叫做棱柱的侧棱，棱柱中两个底面间的距离叫棱柱的高。
分类:?按侧棱是否与底面垂直分类:分为斜棱柱和直棱柱。侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱;
?按底面边数的多少分类:底面分别为三角形，四边形，五边形…、分别称为三棱柱，四棱柱，五棱柱，…
棱锥:
概念:如果一个多面体的一个面是多边形，其余各个面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫棱锥。在棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面，棱锥中这个多边形叫做棱锥的底面，棱锥中相邻两个侧面的交线叫做棱锥的侧棱，棱锥中各侧棱的公共顶点叫棱锥的顶点。棱锥顶点到底面的距离叫棱锥的高，过棱锥不相邻的两条侧棱的截面叫棱锥的对角面。
分类:按照棱锥底面多边形的边数可将棱锥分为:三棱锥、四棱锥、五棱锥…
正棱锥的概念:如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。
棱台:
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台，原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面。
圆柱的概念:
以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。
旋转轴叫做圆柱的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面，平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边叫做圆柱侧面的母线。
圆锥的概念:
以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体;
圆台的概念:
用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分;
球的定义:
第一定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫球体，简称球。
半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。
第二定义:球面是空间中与定点的距离等于定长的所有点的集合。
球的截面与大圆小圆:
截面:用一个平面去截一个球，截面是圆面;
大圆:过球心的截面圆叫大圆，大圆是所有球的截面中半径最大的圆。
球面上任意两点间最短的球面距离:是过这两点大圆的劣弧长;
小圆:不过球心的截面圆叫小圆。
棱柱的性质:
?棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等，直棱柱的各个侧面都是矩形，正棱柱的各个侧面都是全等的矩形;
?与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形;
?过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。
棱锥的性质:
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点至截面距离与棱锥高的平方比。
正棱锥性质:
?正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高也相等;
?正棱锥的高、斜高、斜高在底面的射影、侧棱、底面的外接圆的半径R、底面的半边长可组成四个直角三角形。
圆柱的几何特征:
?底面是全等的圆;?母线与轴平行;?轴与底面圆的半径垂直;?侧面展开图是一个矩形。
圆锥的几何特征:
?底面是一个圆;?母线交于圆锥的顶点;?侧面展开图是一个扇形。
圆台的几何特征:
?上下底面是两个圆;?侧面母线交于原圆锥的顶点;?侧面展开图是一个弓形。
球的截面的性质:
性质1:球心和截面圆心的连线垂直于截面;
性质2:球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有如下关系:r2=R2-d2.
考点名称:直线与平面平行的判定与性质 线面平行的定义:
若直线和平面无公共点，则称直线和平面平行。
图形表示如下: 线面平行的判定定理:
平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。 线线平行线面平行
符号语言:
线面平行的性质定理:
如果一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 线面平行线线平行
符号语言:
证明直线与平面平行的常用方法:
反证法，即
判定定理法，即
面面平行的性质定理，即
向量法，平面外的直线的方向向量n与平面的法向量n垂直，则直线与平面平行，即
考点名称:直线与平面垂直的判定与性质 线面垂直的定义:
如果一条直线l和一个平面α内的任何一条直线垂直，就说这条直线l和这个平面α互相垂直，记作直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足。
线面垂直的画法:
画线面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示:
线面垂直的判定定理:
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
符号表示:
如图所示， 线面垂直的性质定理:
如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
线面垂直的判定定理的理解:
判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性语句，一定要记准(
如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面，这个结论是错误的(
如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面，这个结论也错误，因为这无数条直线可能平行.
证明线面垂直的方法:
线面垂直的定义拓展了线线垂直的范围，线垂直于面，线就垂直于面内所有直线，这也是线面垂直的必备条件，利用这个条件可将线线垂直与线面垂直互相转化，这样就完成了空间问题与平面问题的转化(
证线面垂直的方法?利用定义:若一直线垂直于平面内任一直线，则这条直线垂直于该平面(?利用线面垂直的判定定理:证一直线与一平面内的两条相交直线都垂直，?利用线面垂直的性质:两平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面，?用面面垂直的性质定理:两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另
一个平面(?用面面平行的性质定理:一直线垂直于两平行平面中的一个，那么它必定垂直于另一个平面(?用面面垂直的性质:两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面的交线垂直于第三个平面(?利用向量证明(
考点名称:平面与平面垂直的判定与性质 平面和平面垂直的定义:
如果两个平面相交，所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直。如图，
面面垂直的判定定理:
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
面面垂直的性质定理:
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。
性质定理符号表示:
线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化关系:
证明面面垂直的方法:
证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直、线面垂直来实现的，在关于垂直问题的论证中要注意三者之间的相互转化，必要时可添加辅助线，如:已知面面垂直时，一般用性质定理，在一个平面内作出交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后转化为线线垂直，故要熟练掌握三者之间的转化条件及常用方法(线面垂直与面面垂直最终归纳为线线垂直，证共面的两直线垂直常用勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质;证不共面的两直线垂直通常利用线面垂直或利用空间向量(
常用结论:
如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，此结论可以作为性质定理用，
从该性质定理的条件看出:只要在其中一个平面内通过一点作另一个平面的垂线，那么这条垂线必在这个平面内，点的位置既可以在交线上，也可以不在交线上，如图(
范文三：正三棱锥
正三棱锥：底面为等边三角形 ，三条侧棱相等，顶点在底面的射影是三角形的中心【即内心[到三条边的距离相等]，外心[到底面的三个顶点距离相等]，中心是外心、内心还是垂心】；各侧面和各侧棱与底面的二面角和夹角相等；外切球与内切球的球心在同一点，球心到顶点的距离等于到面距离的两倍长，即外切球球心是内切球球心的半径的两倍长。
正四棱锥：四个面都是正方形，是特殊的正三棱锥；顶点在底面的射影是三角形的中心【即内心[到三条边的距离相等]，外心[到底面的三个顶点距离相等]，中心是外心、内心还是垂心】；各侧面和各侧棱与底面的二面角和夹角相等；外切球与内切球的球心在同一点，球心到顶点的距离等于到面距离的三倍，即外切球球心是内切球球心的半径的三倍长。
正三棱柱：底面是等边三角形，侧棱相等、平行, 且都垂直于底面，侧面都为长方形，上下两面互相平行。
正四棱柱：底面为正方形，侧棱相等、平行, 且都垂直于底面，侧面都为长方形，上下两面互相平行。
范文四：正三棱锥31494
正三棱锥
正三棱锥
立体几何名词
底面是正三角形，侧面的三个三角形全等，且为等腰三角形。
正三棱锥的顶点在底面内的射影是底面的中心，所谓“中心”就是外心、内心、重心、垂心??之类的心都归一在同一点。
正三棱锥不等同于正四面体，正四面体必须每个面都是正三角形。
正三棱锥性质
1( 底面是正三角形。
2( 侧面是三个全等的等腰三角形。
3( 顶点在底面的射影是底面三角形的中心(也是重心、垂心、外心、内心)。
4(大用处的四个直角三角形(见图)。
(1)斜高、侧棱、底边的一半构成的直角三角形;(含侧棱与底边夹角)
(2)高、斜高、斜高射影构成的直角三角形;(含侧面与底面夹角)
(3)高、侧棱、侧棱射影构成的直角三角形;(含侧棱与底面夹角)
(4)斜高射影、侧棱射影、底边的一半构成的直角三角形。
说明:上述直角三角形集中了正三棱锥几乎所有元素。在正三棱
锥计算题中，常常取上述直角三角形。其实质是，不仅使空间问题平面化，而且使平面问题三角化，还使已知元素与未知元素集中于一个直角三角形中，利于解出。
补充高考可能用到的数据(如图):
对于棱长为a的正三棱锥，有:有:
1、侧面高为(a?3)/2
2、高为(a?6)/3
3、内切球半径(a?6)/12
4、外接球半径(a?6)/4
范文五：已知在三棱锥P
已知在三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC，AC⊥BC，且PA=AC=BC=1，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
（Ⅰ）求证：PB⊥平面AEF；
（Ⅱ）求二面角A-PB-C的大小．
考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．
专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．
分析：（Ⅰ）要证PB⊥平面AEF，只要证PB垂直于平面AEF内的两条相交直线即可，可转化为证明PB垂直于AE，可证AE垂直于平面PBC，结合已知条件，利用线面垂直的判定进行证明；
（Ⅱ）以A为坐标原点，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，然后利用平面法向量所成的角求二面角的平面角．
解答：（Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABC，BC?面ABC， ∴PA⊥BC，又AC⊥BC，PA⊥BC，PA∩AC=A，∴BC⊥面PAC，
而AE?PAC，∴BC⊥AE，又PA=AC，点E是PC的中点，∴AE⊥PC，
又AE⊥BC，BC∩PC=C，∴AE⊥面PBC，而PB?面PBC，AE⊥PB，又EF⊥PB，AE⊥BP，AE∩EF=E，∴PB⊥平面AEF；
（Ⅱ）解：以A为坐标原点，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
∵PA=AC=BC=1，则A（0，0，0），P（0，0，1），C（0，1，0），B（1，1，0）．∴二面角A-PB-C的大小为60°．
已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．
（Ⅰ）求证：D1E⊥A1D；
（Ⅱ）在棱AB上是否存在点E使得AD1与平面D1EC成的角为
π
6
？若存在，求出AE的长，若不存在，说明理由．
21．已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动． （Ⅰ）求证：D1E⊥A1D；
（Ⅱ）在棱AB上是否存在点E使得AD1与平面D1EC成的角为
π
6
？若存在，求出AE的长，若不存在，说明理由．考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算．
专题：空间角．
分析：（Ⅰ）连AD1，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD1为D1E在平面AD1的射影，利用三垂线定理可得结论；
（Ⅱ）求出A到平面D1EC的距离，利用等体积，建立方程，即可求得结论． 解答：（Ⅰ）证明：连AD1，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD1为D1E在平面AD1的射影，而AD=AA1=1，则四边形ADD1A1是正方形，∴A1D⊥AD1，由三垂线定理得D1E⊥A1D； （Ⅱ）解：设AE=x，则∵AD1与平面D1EC成的角为30度
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