用户81116665
范文一：解三角形常见题型
绝密?启用前
2014-2015学年度???学校8月月考卷
试卷副标题
考试范围:xxx;考试时间:100分钟;命题人:xxx
题号 一 二 三 总分
得分 注意事项:
1(答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2(请将答案正确填写在答题卡上
第I卷(选择题)
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人 得分
一、选择题(题型注释)
00,ABC1(在中，若a,6，A,30，B,120，则?ABC的面积是= ( )(
33A(9 ,(9 ,(18 ,(18 【答案】A
【解析】
0000,ABC？,ABC试题分析:在中，,是？A,30,B,120,？C,180,A,B,30
c,a,6等腰三角形，，由三角形的面积公式得
113S,acsinB,，6，6，,93( ,ABC222
考点:解三角形(
2([2014?广西模拟]在?ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ac,3，且a,3bsinA，则?ABC的面积等于( )
133A. B. C.1 D. 224
【答案】A
1【解析】?a,3bsinA，?由正弦定理得sinA,3sinBsinA.?sinB,.?ac,3，??3
1111ABC的面积S,acsinB,×3×,，故选A. 2232
试卷第1页，总17页
…………?…………外…………?…………装…………?…………订…………?…………线…………?…………
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
…………?…………内…………?…………装…………?…………订…………?…………线…………?…………
第II卷(非选择题) 请点击修改第II卷的文字说明
评卷人 得分
二、填空题(题型注释)
,,,,,,,,,,ABC,ABC3(在中，已知，当时，的面积为________. ,AABACA,,tan6
1【答案】 6
,,,,,,,,【解析】由得，ABACA,,tan
,tan,,,,,,,,,,,,,,,,tan2A6， ,,,,,,||||costan,||||ABACAAABAC,cos3Acos6
,,,,,,,,11221,所以，SABACA,,,，，,,. ||||sinsin,ABC223636
考点:平面向量的数量积、模，三角形的面积.
24(在?ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知a、b、c成等比数列，且a
2,c,ac,bc，则A,________，?ABC的形状为________( 【答案】60? 正三角形
2,【解析】?a、b、c成等比数列，?bac. 22222又a,c,ac,bc，?b，c,a,bc.
222bca，-bc1在?ABC中，由余弦定理得cos A,,,，?A,60?. 2bc22bc
2b222由b,ac，即a,，代入a,c,ac,bc， c
332整理得(b,c)(b，c，cb),0，
?b,c，??ABC为正三角形(
评卷人 得分
三、解答题(题型注释)
5(在?ABC中，角A，B，C所对的边分别为abc,,,设S为?ABC的面积，且
3222。 Sbca,，,()4
(?)求角A的大小;
a,6(?)若，求?ABC周长的取值范围.
,A,(12,18]【答案】(1);(2)周长的取值范围是 .3
【解析】
试题分析:(1)在解决三角形的问题中，面积公式…………?…………内…………?…………装…………?…………订…………?…………线…………?…………
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ 试卷第2页，总17页
…………?…………外…………?…………装…………?…………订…………?…………线…………?…………
111最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正S,absinC,bcsinA,acsinB222
弦定理、余弦定理联系起来;(2)在三角形中，两边和一角知道，该三角形是确定的，其解是唯一的，利用余弦定理求第三边.(3)若是已知两边和一边的对角，该三角形具
A，B，C,,有不唯一性，通常根据大边对大角进行判断.(4)在三角形中，注意这个隐含条件的使用，在求范围时，注意根据题中条件限制角的范围.
13试题解析:解:(?)由题意可知， bcAbcAAsin2costan3,,,,24
π所以 4分 A,3
bc,,0,0bca，,,6(?)法一:由已知:，
31,222222由余弦定理得: ,，,，,，()()()bcbcbc362cos()3,，,,，,bcbcbcbc443
bc,(当且仅当时等号成立)
2bc，,6612,，,bc?(，又， ?， ()436bc，,，
从而周长的取值范围是. 12分 (12,18]
bc6,,,43法二:由正弦定理得: ,sinsinBCsin3
bB,43sincC,43sin?，，
2,，，bc，？,，,，,43(sinsin)43sinsin()BCBB,,3，，
,,,,3331,，,，43sincos12sincosBBBB ,,,,,,,,2222,,,,
,,,12sinB,，. ,,6,,
,,,5,，,B? 666
,,,,612sin12B,，,612,，,bc?，即(当且仅当时，等号成立) B,,,63,,
(12,18]从而周长的取值范围是12分 考点:(1)与面积有关的问题;(2)求三角形周长的范围.
222b，c,a，3bc6(?ABC的内角A，B，C对边分别是a，b，c，且，
C2sinsincosAB,( 2
(1)求角A与角B的大小;
7(2)若BC边上的中线AM的长为，求?ABC的面积(
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学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
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,1【答案】(1) (2) A,B,S,AC，CBsinC,362
【解析】
2223,b，c,a(1),A, cosA,,622bc
C2sinsincos AB,,2sinAsinB,1，cosC,1,cos(A，B)2
,cos(A,B),1,A,B,2k,,k,Z
,k,0A,B,取得 6
B
M
C A
AC,2mCM,m(2)设，则
,2C, 3
由余弦定理
222AM,AC，CM,2AC，CMcosC
m,1得
1S,AC，CBsinC,3则?ABC的面积为 2
37(在?ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c, cosC+(cosA-sinA)cosB=0.
(1)求角B的大小;
(2)若a+c=1,求b的取值范围
,1,,,b1B【答案】(1)(2) 23
【解析】(1)由已知得 ,，，,,cos()coscos3sincos0ABABAB
sinsin3sincos0ABAB,,即有
sin0A,cos0B,sin3cos0BB,,tan3B,因为,所以,又,所以,
…………?…………内…………?…………装…………?…………订…………?…………线…………?…………
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ 试卷第4页，总17页
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,,B又,所以. 0,,B,3
222(2)由余弦定理,有. bacacB,，,2cos
11122acB，,,1,cosba,,，3()因为,有. 224
112,,b1,,b1又,于是有,即有. 01,,a24
abc,,C8(在中，内角，，所对的边分别为，已知,ABCAB
AB,2 4sin4sinsin22，,，AB2
C(1)求角的大小;
(2)已知，的面积为6，求边长的值. cb,4,ABC
,10【答案】(1);(2). 3
【解析】
AB,2试题分析:(1)由二倍角的余弦公式把降次，再用两4sin4sinsin22，,，AB2
cosC个角的和的余弦公式求，由三角形三内角和定理可求得，从而求得角cos(A，B)
C;(2)根据三角形的面积公式求出边，再由余弦定理求边. ac(1)由已知得， 2[1,cos(A,B)]，4sinAsinB,2，2
,2cosAcosB，2sinAsinB,2化简得，
23,A，B,cos(A，B),,故，所以， 42
,A，B，C,,因为，所以. C,3
1,b,4S,absinCa,32S,6(2)因为，由，，，所以， C,,,ABC23
222c,10C,a，b,2abcosC由余弦定理得，所以. 考点:两个角和差公式、二倍角公式、余弦定理、三角形的面积公式. 9((12分)(2011?湖北)设?ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=
(?)求?ABC的周长;
(?)求cos(A,C)的值(
【答案】(?)5(?)
【解析】
试题分析:(I)利用余弦定理表示出c的平方，把a，b及cosC的值代入求出c的值，
从而求出三角形ABC的周长;
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学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
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(II)根据cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，然后由a，c及sinC的值，利用正弦定理即可求出sinA的值，根据大边对大角，由a小于c得到A小于C，即A为锐角，则根据sinA的值利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，然后利用两角差的余弦函数公式化简所求的式子，把各自的值代入即可求出值(
222解:(I)?c=a+b,2abcosC=1+4,4×=4，
?c=2，
??ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5(
(II)?cosC=，?sinC===(
?sinA===(
?a,c，?A,C，故A为锐角(则cosA==，
?cos(A,C)=cosAcosC+sinAsinC=×+×=(
点评:本题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查学生的基本运算能力，是一道基础题(
10(在中，内角所对边长分别为，，( (1)求;
(2)若的面积是,，求(
【答案】(1)(2)
【解析】(1)由，，可得，;
，由正弦定理，，则，故，( 由，
(
(2)由的面积是,，可得，得(
(
11((2013?浙江)在锐角?ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b(
(?)求角A的大小;
(?)若a=6，b+c=8，求?ABC的面积(
【答案】(1)(2)
…………?…………内…………?…………装…………?…………订…………?…………线…………?………… 【解析】(?)由2asinB=b，利用正弦定理得:2sinAsinB=sinB，
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ 试卷第6页，总17页
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?sinB?0，?sinA=，
又A为锐角，
则A=;
222222(?)由余弦定理得:a=b+c,2bc?cosA，即36=b+c,bc=(b+c),3bc=64,3bc， ?bc=，又sinA=，
则S=bcsinA=( ?ABC
tanB2c12(在?ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，1,( tanAa(1)求B;
,1(2)若cos(C，),，求sinA的值( 36
,26+1B=【答案】(1);(2)( 36
【解析】
试题分析:(1)根据题意结合题中所给条件，运用切化弦和正弦定理，可化简得得sinBcosAsinC2sinABsinC()2，，结合两角和差的三角公式可化简得:，+1=,cosBsinAsinAcosBsinAsinA
sinCsinC21cosB=由三角形内角和为180度，得:,，即可解得,又因为B (0，,2cosBsinAsinA
,,2,B=B=0<><><>
,,,26+1角的变换可求得:( sinA=sin(B+C)=sin(C+)=sin[(C+)+]=3666
tanBc2sinBcosAsinC2+1=+1=试题解析:(1)由及正弦定理，得， 2分 cosBsinAsinAtanAa
sinBcosAcosBsinAsinC，2sinABsinC()2，sinCsinC2,,,所以，即，则( cosBsinAsinAcosBsinAsinAcosBsinAsinA
sin0sin0AC,,，因为在?ABC中，
1cosB=所以( 5分 2
,B=因为B0),，，,，所以( 7分 3
2,,,,5,0<>
,1,22cos(C+)=因为，所以sin(C+)=( 10分 6363
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学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
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,,,26+1所以14分 sinA=sin(B+C)=sin(C+)=sin[(C+)+]=3666
考点:1.解三角形;2.三角变换的运用
,ABC13(在中，已知( 3sin21cos2BB,,
(1)求角的值; B
,,ABC(2)若，求的面积( BCA,,2,4
,133，【答案】(1),;(2)( BSACBCC,,,sin,ABC322
【解析】
3sin21cos2BB,,试题分析:(1)运用正余弦的二倍角公式将化简得到
20,,,BtanB23sincos2sinBBB,，结合，进而得到的值，从中可确定B的
BCB,sinAB、?BC值;(2)先由角的大小及的值，结合正弦定理得到，AC,,6sinA
CsinC进而由三角形的内角和定理算出，再由两角和差公式算出的值，最后由三角形
1,ABCSACBCC,,的面积计算公式即可求得的面积( sin,ABC2
23sin21cos2BB,,23sincos2sinBBB,试题解析:(1)因为，所以
0,,,Bsin0B,tan3B,因为，所以，从而
πB,所以 6分 3
,ACBCπ,A,B,(2)因为，，根据正弦定理得 sinsinBA43
BCB,sinAC,,6所以 sinA
5,562,,,，CAB,,,,,因为，所以 sinsinsin()C,,，,1212464
133，ABCSACBCC所以?的面积 12分( ,,,sin,ABC22
考点:1(正、余弦的二倍角公式;2(正弦定理;3(三角形的面积计算公式(
,,222f(x),3(cosx,sinx),2cos(x，)，10,14(已知的定义域为[]. 24
(1)求f(x)的最小值.
,,ABCBA,45b,32a(2)中,,,边的长为函数的最大值,求角大小3,3f(x)
,ABC及的面积.
,ABC,3f(x)【答案】(1)函数的最小值;(2) 的面积. S,，9(31)…………?…………内…………?…………装…………?…………订…………?…………线…………?…………
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ 试卷第8页，总17页
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【解析】
,,fxx()2sin(2),，2x，fx()33试题分析:(1)先化简的解析式可得: .将看作一个
,2x，f(x)3x整体，根据的范围求出的范围，再利用正弦函数的性质便可得函数的最
,ABC小值.(2) 由(1)知函数的最大值，这样，在中，便已知了两边及一边的对角，故首先用正弦定理求出另两个角，再用三角形面积公式可得其面积.
试题解析:(1)先化简的解析式: fx()
,,,，3cos2sin2xx fxxx()3cos2[1cos(2)]1,,，，，,，2sin(2)x32
4,,,,3,02由,x,,,x，,，得， ,,sin(2x，),1233322
3,x,所以函数的最小值，此时. ,2(,),,3f(x)22
,,ABCA,45(2) 由(1)知函数的最大值.中，，
a,6b,32，，
,bsinA32sin451,b,asinB,,,B,A,45故(正弦定理),再由知，故a62
,,,B,30C,180,A,B,105，于是，
1,ABCSabC,,，sin9(31)从而的面积. 2
考点:1、三角恒等变形;2、解三角形.
,,,,,,,,,,,,,,OP15(已知向量,，,，定义函数f(x)2cos(),1xsin(),cos2xxOQ，,,,,,,,22,,,,
,,,,,,,,
OP,?. OQ
(1)求函数f(x)的表达式，并指出其最大值和最小值;
(2)在锐角?ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f(A),1，bc,8，求?ABC的面积S.
,(2)x,222【答案】(1)f(x),sin，f(x)的最大值和最小值分别是和,.(2)S4
2,2.
【解析】
,(2)x,2试题分析:(1)由向量的数量积公式及三角函数公式可得f(x) ,sin，由4
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此可得f(x)的最大值和最小值分别为和,;(2)由f(A),1可求得角A，再由三角22
1形面积公式S,bcsin A即可得其面积. 2
,,,,,,,,试题解析:(1)f(x) ,,(,2sin x，,1)?(,cos x，cos 2x) OPOQ,
,,sin 2x,cos 2x,sin) (2)x,24
?f(x)的最大值和最小值分别是和, 22
,2(2)?f(A),1，?sin,. (2)A,42
,,,3,,,?2A,,或2A,,.?A,或A,. 444442
,又??ABC为锐角三角形，?A,.?bc,8， 4
112??ABC的面积S,bcsin A,×8×,2 2222考点:1、三角函数及三角形的面积;2、向量的运算.
ABCcos2cos0BB，,16(在?中，内角的对边分别为，且( ABC,,abc,,
B(1)求角的值;
ac，,5,ABCb,7(2)若，，求的面积(
π133B,【答案】(1);(2). SacB,,sin322
【解析】
2cos2cos0BB，,2coscos10BB，,,试题分析:(1)先用倍角公式将化简为，从
cosB,ABCB中求解得出，结合，可得到的值;(2)由的面积计算公式B,(0,),
1Sac，,5b,7SacB,sin可知，要计算面积，只须再计算出的值，结合，，ac2
222bacacB,，,2cos可想到利用余弦定理并转化成
22，代入数据进行运算即可得到ac的值，从而可计算出bacacacB,，,,()22cos
,ABCS的面积.
22coscos10BB，,,试题解析:(1)由已知得
1cos1B,,cosB,即(2cos1)(cos1)0BB,，,(解得，或 2
0,,Bπcos1B,,因为，故舍去
πB,所以 …………?…………内…………?…………装…………?…………订…………?…………线…………?………… 3
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ 试卷第10页，总17页
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222(2)由余弦定理得 bacacB,，,2cos
π2将，代入上式，整理得 b,7B,()37acac，,,3
ac，,5ac,6因为，所以
133ABC所以?的面积. SacB,,sin22
考点:1.二倍角公式;2.余弦定理;3.三角形的面积计算公式.
2217(已知函数 fxxxxx()cos23sincossin,，,
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间; fx()
(2)在中，A、B、C分别为三边所对的角，若，求,ABCabc、、af,,3,(A)1bc，的最大值.
,,(,)(),，，,kkkZ,,T,,36【答案】(1)，函数的单调递增区间为;(2)因此
23bc，的最大值为(
【解析】
，，fx试题分析:(1)将函数的解析式第一、三项结合，利用二倍角的余弦函数公式化
2简，第二项利用二倍角的正弦函数公式化简，合并后提取，再利用两角和与差的正弦
,函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，找出的值，代入周期公式
2,T,x,，即可求出函数的最小正周期，由正弦函数的递增区间列出关于的不等式，
，，，，fxfxf(A)1,求出不等式的解集即可得到的递增区间;(,)由及确定出的的解
cosAaA析式，变形后利用特殊角的三角函数值求出的度数，可得出的值，再由的值，
cosAa利用余弦定理列出关系式，将与的值代入，利用完全平方公式变形后，再利用
bc，基本不等式即可求出的最大值(
22fxxxxxxx()cos23sincossin3sin2cos2,，,,，试题解析:(1)
,,，2sin(2)x6， 3分
2,,,T,2所以函数的最小正周期为. 4分
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学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
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,,,,,,，,，,，,222()kxkkZ,，,,，,kxkkZ(),,,,36262由得
,,(,)(),，，,kkkZ,,36所以函数的单调递增区间为. 6分
,,,2sin(2)1A，,Af(A)1,0,,A,36(2)由可得，又，所以。 8分
2222223()3,，,,，,bcbcbcbcabcbcA,，,2cos由余弦定理可得，即又
bc，bc，2222bc,()3()3()3(),，,,，,bcbcbcbc，,2322，所以，故，当
,bc,,,,22bcbc，,,3,,bc,,3且仅当，即时等号成立
23bc，因此的最大值为( 12分
考点:解三角形;三角函数的化简求值;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调性(
2cos=A18(在所对的边分别为且. ,ABC中，角A,B,Cabc,,,3
B+C22sin+cos2B+C(1)求; ，，2
,ABCa,3(2)若,求面积的最大值.
1435,ABC【答案】(1);(2)面积的最大值为( 94
【解析】
B+C22sin+cos2B+C180:试题分析:(1)求，首先利用三角形内角和等于对其转，，2
化成单角，再利用倍角公式进行恒等变化得
22B+C22cos=A？cos,2sin+cos2B+C=1cos+2cos1AAA,，,且，由已知，，，，，332
2cos=A,ABCa,3带入即可;(2)若,求面积的最大值，由已知，可求出3
15SbcA,sinbca,3，可利用，因此求即可，又因为，可想到利sinA,,ABC23
2223=2bcbc，,，bc用余弦定理来解，由余弦定理得，，利用基本不等式可求出的3
,ABC最大值，从而得面积的最大值(
2B+CA22？cos,2sin+cos2B+C=2coscos2AA,，且试题解析:(1) ，，322
42142,，,,，，,1cos+2cos12AA 6分 ，，…………?…………内…………?…………装…………?…………订…………?…………线…………?………… 939
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ 试卷第12页，总17页
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222(2) 由得a2cos,，,bcbcA
242bc9223=22cbcbcbbc，,，,,，,？,bc即，， 3332
211929535,, SbcA？,,，，,,，sin1=,ABC,,2223434,,
35面积的最大值为 12分 ？,ABC4
考点:三角恒等变换，解三角形
,ABC19(在中，角的对边分别为，且满足ABC,,abc,,(2)coscos,abCcB,,,
a,8. c,7,
C(1)求角;
,ABC(2)求的面积.
,103【答案】(1),;(2)或63. C3
【解析】
试题分析:本试题主要是考查了解三角形中正弦定理和余弦定理的综合运用，求解边和角的关系，同时也考查了三角形面积公式的运用. (1)根据已知中的边角关系可以用正
CC弦定理将边化为角，得到角的关系式，得到角;(2)结合(1)中求出的角，运用
b余弦定理，求出的值，然后利用正弦面积公式可得所求.
试题解析:(1) ？(2)coscosabCcB,,
2分 ？,,(2sinsin)cossincosABCCB
即 2sinAcosC,sinBcosC，cosBsinC,即2sinAcosC,sin(B，C)？,2sincossinACA 4分
1,？C,？,？,,ABCAC,sin0,cos所以 6分 ？C,(0,),32
2222496428cos60,，,，:bb(2)由余弦定理，得:即 8c,a，b,2abcosC,
分
2b,3b,5bb,，,8150即，解得或 10分
113?由 SabC,,，，，,sin85103222
113或 12分. SabC,,，，，,sin8363222
考点:1.解斜三角形;2.正、余弦定理;3.两角和差公式;4.三角形的面积计算公式.
,Cb,ABCc,2ac20(在中，角，，所对的边分别是，，，已知，. CAB,3
试卷第13页，总17页
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学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
…………?…………内…………?…………装…………?…………订…………?…………线…………?…………
(1)若,ABC的面积等于3，求，b; a
(2)若，求,ABC的面积. sinsin()2sin2CBAA，,,
23a,2b,2【答案】(1)，;(2) .3
【解析】
1222试题分析:(1)利用余弦定理及面积公式，列ababCc，,,2cosSabC,sin2
b方程组就可求出，;(2)要求三角形面积，关键在于求出边长.但已知等式条件不a
sinC能直接利用正余弦定理将角化为边，所以先根据诱导公式将化为再利用sin(),AB，
sincos2sincosBAAA,两角和与差的正弦公式及二倍角公式化简，得，此时约分时
,,cos0A,cos0A,注意讨论零的情况. 当时，A,，B,;当时，得26
sin2sinBA,，对这一式子有两个思路，一是用正弦定理化边，二是继续化角，
23,, ,,,,,,sin()2sintan.AAAA336
22试题解析:(1)由余弦定理及已知条件得，abab，,,4， 2分
1?ABCab,43又因为的面积等于，所以，得( 4分 abCsin3,2
22,abab，,,4，a,2b,2联立方程组解得，( 7分 ,ab,4，,
sincos2sincosBAAA,(2)由题意得，即， sin()sin()4sincosBABAAA，，,,
,,4323cos0A,A,B,当时，，，，， 10分 a,b,2633
cos0A,sin2sinBA,ba,2当时，得，由正弦定理得，
22,abab，,,4，2343联立方程组解得，( 13分 a,b,,33ba,2，,
123?ABC所以的面积( 14分 SabC,,sin23
考点:正余弦定理，面积公式.
21((本题满分12分)
BC，72,ABC4sincos2,,A在锐角中，abc,,分别为角ABC,,的对边，且. 22(1)求角A的大小;
sinBsinC(2)求的最大值.
,,A【答案】(1);(2) 3
【解析】
试题分析:本题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式、诱导公式、三角函数最
…………?…………内…………?…………装…………?…………订…………?…………线…………?………… 值等基础知识，考查运用三角公式进行三角变换的能力和计算能力.第一问，利用三角
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ 试卷第14页，总17页
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0BC，形的内角和为转化，用诱导公式、降幂公式、倍角公式化简表达式，得到180
cosAcosAcosA关于的方程，解出的值，通过的正负判断角是锐角还是钝角;第A
CC二问，将角用角表示，利用两角和与差的正弦公式化简，由于角和角都是锐BB角，所以得到角的取值范围，代入到化简的表达式中，得到函数的最小值. B
B，,CAA,ABC，，,,试题解析:(?)因为，所以， sinsincos,,222
A7722所以由已知得，变形得， 4coscos2,,A2(1cosA)(2cosA1)，,,,222
12整理得，解得( cosA,(2cosA1)0,,2
,因为是三角形内角，所以( 5分 A,A3
231,2(?) ,,,，sinsinsinsin()sincossinBCBBBBB322
3111,( 9分 ,，,,,，sin2(1cos2)sin(2)BBB44264
,3sinBsinC,当B时，取最大值( 12分 34
考点:1.诱导公式;2.降幂公式;3.倍角公式;4.两角和与差的正弦公式;5.三角函数
的最值.
BC，72,ABC22(在锐角中，分别为角的对边，且. 4sincos2,,Aabc,,ABC,,22(1)求角A的大小;
,ABC(2)若BC边上高为1，求面积的最小值,
,3,A【答案】(1);(2). 33
【解析】
试题分析:本题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式、诱导公式、三角函数最值等基础知识，考查运用三角公式进行三角变换的能力和计算能力.第一问，利用三角
0BC，180形的内角和为转化，用诱导公式、降幂公式、倍角公式化简表达式，得到
cosAcosAcosAA关于的方程，解出的值，通过的正负判断角是锐角还是钝角;第
11RtABD,RtADC,sinC,sinB,二问，在和中，，，代入到三角形面积公式bc
1CSbcA,sin中，要求面积的最值，只需求化简后的表达式中的分母的最值，将角2
CBB用角表示，利用两角和与差的正弦公式化简，由于角和角都是锐角，所以得到B角的取值范围，代入到化简的表达式中，得到函数的最小值，从而三角形面积会有最大值.
B，,CAA,ABC，，,,sinsincos,,试题解析:(?)因为，所以， 222
A77224coscos2,,A2(1cosA)(2cosA1)，,,,所以由已知得，变形得， 222
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学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
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12整理得，解得( cosA,(2cosA1)0,,2
,因为是三角形内角，所以( 5分 A,A3
111133(?)的面积( ,ABCSbcA,,，，，,sin22sinsin24sinsinBCBC设， yBC,4sinsin
2,2则 ,,,，yBBBB4sinsin(B)23sincos2sin3
,( 9分 ,，,,,，3sin21cos22sin(2B)1BB6
,2,,,,,,,5B因为，，所以，从而， 0,,B,,,,,,,,2B0B62266632
,3S故当,时，的最小值为( B33
考点:1.诱导公式;2.降幂公式;3.倍角公式;4.两角和与差的正弦公式;5.三角函数
的最值.
,323(已知函数，且其图象的相邻对称轴间的距离f(x),sin,xsin(,x，),(,,0)64
,为. 4
119,,)求(I在区间上的值域; f(x)[,]128
1,a,1,b，c,2,,ABC,ABC(II)在锐角中，若求的面积. f(A,),,82
311S,【答案】(I) 的值域是;(II)( fx()[,,]424
【解析】
119,,f(x)试题分析:(I) 求在区间上的值域，解这类问题常常通过三角恒等变形，[,]128
把它转化为一个角的一个三角函数来解，本题通过三角恒等变形得
,1,,T,,,fxx()sin(2)，因为其图象的相邻对称轴间的距离为，故它的周期，,4223
1,,ABC,,2,,fxx()sin(4)可得，这样得，从而可求值域;(II)在锐角中，23
,1,,ABCbcA,若由(I)可得,求的面积，只需求出的值即可，又因为f(A,),,382
222a,1,b，c,2,bc,1a,b，c,2bccosA可用余弦定理，求得，从而有
1SbcA,sin 求得面积( 2
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313试题解析:(I)f(x),sinx(sinx，cosx),,,,224
3133132sinsincos,(1,cos2x)，sin2x, 2分 ,,x，,x,x,,224444
13,1,sin(2x,) 3分 ,sin2,x,cos2,x,2344
,1,,2？,,2？f(x),sin(4x,)T,T,由条件知，，又，. 4分 22,23
1191,,,10,25,,？x,[,]？4x,,[,]sin(4x,),[,1,]， ， ， 33612832
11的值域是. 7分 ？f(x)[,,]24
,1,A,(II)由，得, 9分 (,),fA382
222b，c,2bc,1由及余弦定理a,b，c,2bccosA，得， 12分 a,1,
13,ABCS,bcsinA,的面积. 14分 ？24
考点:三角恒等变化，三角函数值域，解三角形(
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学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
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范文二：解三角形常见题型
解三角形常见题型
正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。
题型之一：求解斜三角形中的基本元素
指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题．
????????
1. 在?ABC中，AB=3，AC=2，BC=，则AB?AC? ( )
A．?
3223 B．? C． D．
3223
【答案】D
2．（1）在?ABC中，已知A?32.00，B?81.80，a?42.9cm，解三角形；
（2）在?ABC中，已知a?20cm，b?28cm，A?400，解三角形（角度精确到10，边长精确到1cm）。 3．（1）在?ABC
中，已知a
?cB?600，求b及A；
（2）在?ABC中，已知a?134.6cm，b?87.8cm，c?161.7cm，解三角形 4(2005年全国高考江苏卷) ?ABC中，A?
A．4sin?B?
?
3
，BC＝3，则?ABC的周长为（ ）
?
?
??
???
??3 B．43sin?B???3 3?6??
C．6sin?B?
?
?
??
???
??3 D．6sin?B???3 3?6??
分析：由正弦定理，求出b及c，或整体求出b＋c，则周长为3＋b＋c而得到结果．选(D)． 5 （2005年全国高考湖北卷) 在ΔABC中，已知AB?
线BD=，求sinA的值．
分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC及BC，再由正弦定理，即得sinA． 解：设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且DE?
2
2
466
,cosB?，AC边上的中36
12AB?，设BE＝23
在ΔBDE中利用余弦定理可得：BD?BE?ED?2BE?EDcosBED，
2
78266
5?x2??2??x，解得x?1，x??3336
222
故BC=2，从而AC?AB?BC?2AB?BCcosB?
3028
，即AC?sinB?， 36
2?sinA?故sinA在△ABC中，已知a＝2，b＝22，C＝15°，求A。
答案：∴B?A，且0?A?180，∴A?30
题型之二：判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状． 1. (2005年北京春季高考题)在?ABC中，已知2sinAcosB?sinC，那么?ABC一定是
（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 解法1：由2sinAcosB?sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，
即sinAcosB－cosAsinB＝0，得sin(A－B)＝0，得A＝B．故选(B)．
sinCca2?c2?b2
?解法2：由题意，得cosB＝，再由余弦定理，得cosB＝．
2sinA2a2ac
ca2?c2?b222
∴ ＝，即a＝b，得a＝b，故选(B)．
2a2ac
评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法1)，⑵统一
化为边，再判断(如解法2)．
2．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（ ）
A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 答案：C
解析：2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B）又∵2sinAcosB＝sinC， ∴sin（A－B）＝0，∴A＝B
a2tanA
3.在△ABC中，若2?，试判断△ABC的形状。
tanBb
答案：故△ABC为等腰三角形或直角三角形。 4. 在△ABC中，?cosA?bcos?，判断△ABC的形状。
答案：△ABC为等腰三角形或直角三角形。
题型之三：解决与面积有关问题
主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题．
?
1. (2005年全国高考上海卷) 在?ABC中，若?A?120，AB?5，BC?7，
则?ABC的面积S＝2．在?ABC中，sinA?cosA?
2
，AC?2，AB?3，求tanA的值和?ABC的面2
积。
答案：S?ABC?
112?3AC?ABsinA??2?3??(?) 2244
3. （07浙江理18）已知△
ABC
1，且sinA?sinBC． （I）求边AB的长； （II）若△ABC的面积为
1
sinC，求角C的度数． 6
解：（I
）由题意及正弦定理，得AB?BC?AC?
1，BC?AC?，
两式相减，得AB?1．
（II）由△ABC的面积
111
BC?AC?sinC?sinC，得BC?AC?， 263
AC2?BC2?AB2(AC?BC)2?2AC?BC?AB21
??， 由余弦定理，得cosC?
2AC?BC2AC?BC2
所以C?60．
?
题型之四：三角形中求值问题
1. (2005年全国高考天津卷) 在?ABC中，?A、?B、?C所对的边长分别为a、b、c，
c1222
设a、b、c满足条件b?c?bc?a和??3，求?A和tanB的值．
b2
分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理．
b2?c2?a21
?，因此，?A?60? 解：由余弦定理cosA?
2bc2
在△ABC中，∠C=180°－∠A－∠B=120°－∠B.
由已知条件，应用正弦定理
1csinCsin(120??B)
?3??? 2bsinBsinB
?
1sin120?cosB?cos120?sinB1
?cotB?,解得cotB?2,从而tanB?.
2sinB22
2．?ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，cosA?2cos并求出这个最大值。
B+CπAB+CA
解析：由A+B+C=π，得 ，所以有cos =sin
22222
B?C
取得最大值，2
B+CAAAA13
cosA+2cos =1－2sin2+ 2sin－ － 2+
2222222πA1B+C3
当sin = A= 时, cosA+2cos
22322
，B，C所对的边分别为a，b，
c，已知sinA?3．在锐角△ABC中，角A
，（1）求3
tan2
B?CA
?sin2的值；（2）若a?
2，S△ABCb的值。 22
1，所以cosA＝，
33
解析：（1）因为锐角△ABC中，A＋B＋C＝?
，sinA?则
B＋C
B＋CA＋sin2Atan2＋sin2＝22cos22
2
1－cos（B＋C）11＋cosA17＝＋1－cosA）＝＋＝1＋cos（B＋C）21－cosA33
sin2
（2
）因为S?ABCS?ABC＝bcsinA＝bc?将a＝2，cosA＝
4
2
1
212，则bc＝3。 3
13222
，c＝代入余弦定理：a＝b＋c－2bccosA中， 3b
得b－6b＋9＝0解得b
点评：知道三角形边外的元素如中线长、面积、周长等时，灵活逆用公式求得结果即可。 4．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c?2，C?（Ⅰ）若△
ABCa，b；
（Ⅱ）若sinC?sin(B?A)?2sin2A，求△ABC的面积．
本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关
知识的能力．满分12分．
解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，a?b?ab?4， 又因为△
ABC
2
2
?
． 3
1
absinC?ab?4． ······························· 4分 2
?a2?b2?ab?4，
联立方程组?解得a?2，b?2． ··························································· 6分
?ab?4，
（Ⅱ）由题意得sin(B?A)?sin(B?A)?4sinAcosA，
即sinBcosA?2sinAcosA， ···························································································· 8分 当cosA?0时，A?
??，B?
，a?
b?， 26
当cosA?0时，得sinB?2sinA，由正弦定理得b?2a，
?a2?b2?ab?4，联立方程组?解得a?
b?
?b?2a，
所以△
ABC的面积S?
1 ················· 12分 absinC?
2题型之五：正余弦定理解三角形的实际应用
利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等
方面都要用到解三角形的知识，例析如下： （一.）测量问题
1. 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边
选定A、B两点，望对岸标记物C，测得
∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm，求河的宽度。
分析：求河的宽度，就是求△ABC在AB边上的高，而在河的一边，已测出AB长、A D B ∠CAB、∠CBA，这个三角形可确定。 图1
解析：由正弦定理得
ACAB
?，∴AC=AB=120m，
sin?CBAsin?ACB
11
又∵S?ABC?AB?ACsin?CAB?AB?CD，解得CD=60m。
22
点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”。
（二.）遇险问题
2 某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？
解析：如图舰艇在A点处观测到灯塔S在东15°北的方向上；舰艇航行半小时后到北达B点，测得S在东30°北的方向上。 在△ABC中，可知AB=30×0.5=15，∠ABS=150°，∠ASB=15°，由正弦定理得
南BS=AB=15，过点S作SC⊥直线AB，垂足图2 为C，则SC=15sin30°=7.5。
这表明航线离灯塔的距离为7.5海里，而灯塔周围10海里内有暗礁，故继续航行有触礁的危险。
点评：有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；（2）
画出示意图，并将已知条件在图形中标出；（3）分析与所研究问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正
弦定理和余弦定理求解。 （三.）追击问题
3 如图3，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°
°
图3
当cosA?0时，得sinB?2sinA，由正弦定理得b?2a，
?a2?b2?ab?4，联立方程组?解得a?
b? ?b?2a，
所以△
ABC的面积S?1 ················· 12分 absinC?2题型之五：正余弦定理解三角形的实际应用
利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下：
（一.）测量问题
1. 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物C，测得
∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm，求河
的宽度。
分析：求河的宽度，就是求△ABC在AB
边上的高，而在河的一边，已测出AB长、A D B ∠CAB、∠CBA，这个三角形可确定。 图1 解析：由正弦定理得
ACAB?，∴AC=AB=120m，sin?CBAsin?ACB
11又∵S?ABC?AB?ACsin?CAB?AB?CD，解得CD=60m。 22
点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”。
（二.）遇险问题
2 某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？
解析：如图舰艇在A点处观测到灯塔S
在东15°北的方向上；舰艇航行半小时后到北达B点，测得S在东30°北的方向上。 在
△ABC中，可知AB=30×0.5=15，∠ABS=150°，∠ASB=15°，由正弦定理得
南BS=AB=15，过点S作SC⊥直线AB，垂足图2
为C，则SC=15sin30°=7.5。
这表明航线离灯塔的距离为7.5海里，而灯塔周围10海里内有暗礁，故继续航行有触礁的危险。
点评：有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；（2）画出示意图，并将已知条件在图形中标出；（3）分析与
所研究问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解。 （三.）追击问题
3 如图3，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°
°
图3
方向，距A有9n mile并以20n mile/h的速度沿南
偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h的速度航
行，应沿什么方向，用多少h能尽快追上乙船？
解析：设用t h，甲船能追上乙船，且在C处相遇。
在△ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，
设∠ABC=α，∠BAC=β。
∴α=180°－45°－15°=120°。根据余弦定理AC?AB?BC?2AB?BCcos?， 222
12?81??20t??2?9?20t?(?)，128t2?60t?27?0，（4t－3）（32t+9）=0，解2
39得t=，t=（舍） 432
33∴AC=28×=21 n mile，=15 n mile。
44?28t?2
根据正弦定理，得sin??BCsin??AC15?α=120°，∴β为锐角，
21β=arcsin?，又＜＜，∴
arcsin＜， 414
14
14
214∴甲船沿南偏东?3－
的方向用h可以追上乙船。 44点评：航海问题常涉及到解三角形的知识，本题中的 ∠ABC、AB边已知，另两边未知，
但他们都是航行的距离，由于两船的航行速度已知，所以，这两边均与时间t有关。这样根据余弦定理，可列出关于t的一元二次方程，解出t的值。
4．如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1）？
解析：连接BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10COS120°=700.
于是,BC=107。 ∵??sinACBsin120?3?，∴sin∠ACB=， 2077
北 ∵∠ACB<>
∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援。
B
范文三：解三角形常见题型
解三角形知识点、常见题型及解题方法
题型之一:求解斜三角形中的基本元素
指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题(
1. 在中，AB=3，AC=2，BC=，则 ( ) 10,ABCABAC,,
2332A( B( C( D( ,,3223
【答案】D
00)在中，已知，，cm，解三角形; 2((1,ABCA,32.0B,81.8a,42.9
00(2)在中，已知cm，cm，，解三角形(角度精确到，边1,ABCa,20b,28A,40
长精确到1cm)。
03((1)在ABC中，已知，，，求b及A; ,a,23c,，62B,60
(2)在ABC中，已知，，，解三角形 ,acm,134.6bcm,87.8ccm,161.7
,4(2005年全国高考江苏卷) 中，，BC,3，则的周长为( ) A,,ABC,ABC3
,,,,,,43sinB，，3A( B( 43sinB，，3,,,,36,,,,
,,,,,,C( D( 6sinB，，36sinB，，3,,,,36,,,,
分析:由正弦定理，求出b及c，或整体求出b，c，则周长为3，b，c而得到结果(选(D)(
4665 (2005年全国高考湖北卷) 在ΔABC中，已知AB,,cosB,，AC边上的中36
线BD=，求sinA的值( 5
分析:本题关键是利用余弦定理，求出AC及BC，再由正弦定理，即得sinA(
126新疆王新敞奎屯DE,AB,解:设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且，设BE,x 23
222在ΔBDE中利用余弦定理可得:， BD,BE，ED,2BE,EDcosBED
782662新疆王新敞奎屯x,,，解得，(舍去) 5,x，，2，，xx,13336
3022128222新疆王新敞奎屯故BC=2，从而，即又， AC,sinB,AC,AB，BC,AB,BCB,2cos336
221
2703新疆王新敞奎屯,故， sinA,sinA1430
6
在?ABC中，已知a,2，b,，C,15?，求A。 22
000答案: ?，且，?BAAA,,,,018030
题型之二:判断三角形的形状:给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状( 1. (2005年北京春季高考题)在中，已知，那么一定是,ABC2sinAcosB,sinC,ABC
( )
A(直角三角形 B(等腰三角形 C(等腰直角三角形 D(正三角形 解法1:由,sin(A，B),sinAcosB，cosAsinB， 2sinAcosB,sinC
即sinAcosB,cosAsinB,0，得sin(A,B),0，得A,B(故选(B)(
222acb，,sinCc解法2:由题意，得cosB,，再由余弦定理，得cosB,( ,2ac2sin2Aa
222acb，,c22? ,，即a,b，得a,b，故选(B)( 2ac2a
评注:判断三角形形状，通常用两种典型方法:?统一化为角，再判断(如解法1)，?统一
化为边，再判断(如解法2)(
2(在?ABC中，若2cosBsinA,sinC，则?ABC的形状一定是( )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
答案:C
解析:2sinAcosB,sin(A，B)，sin(A,B)又?2sinAcosB,sinC，
?sin(A,B),0，?A,B
2tanaA3.在?ABC中，若，试判断?ABC的形状。 ,2tanBb
答案:故?ABC为等腰三角形或直角三角形。
4. 在?ABC中，，判断?ABC的形状。 ,,coscosAb,
答案:?ABC为等腰三角形或直角三角形。
题型之三:解决与面积有关问题
主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题( 1. (2005年全国高考上海卷) 在中，若，，， ，,A120,ABCAB,5BC,7
新疆王新敞奎屯则的面积S,_________ ,ABC
22(在中，，，，求的值和的面,ABCAC,2AB,3,ABCsincosAA，,tanA2
积。
1126，3答案: SACABA,，,，，，sin()23,，26,ABC22443. (07浙江理18)已知的周长为，且( ?ABC21，sinsin2sinABC，,(I)求边的长; AB
1(II)若的面积为，求角的度数( sinC?ABCC6
解:(I)由题意及正弦定理，得，， ABBCAC，，,，21BCACAB，,2
两式相减，得AB,1(
111(II)由的面积，得， ?ABCBCAC,BCACCCsinsin,326
22222ACBCAB，,()21ACBCACBCAB，,,由余弦定理，得， cosC,,,2ACBC22ACBC所以( C,60
题型之四:三角形中求值问题
1. (2005年全国高考天津卷) 在中，所对的边长分别为， ,ABC，A、，B、，Ca、b、c
c1222，A设满足条件和，求和的值( b，c,bc,a,，3a、b、ctanBb2
分析:本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理(
2221b，c,acos解:由余弦定理，因此， A,,，A,60:22bc
在?ABC中，?C=180?,?A,?B=120?,?B.
1csinCsin(120:,B) 由已知条件，应用正弦定理 ，3,,,2bsinBsinBsin120:cosB,cos120:sinB311解得从而 cotB,2,,,cotB，,tanB,.2sinB22
BC，2(的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，cos2cosA，,ABCABC、、2
并求出这个最大值。
πB+CAB+CA= ,，所以有cos =sin。 解析:由A+B+C=π，得22222
B+CAAAA1322cosA+2cos =cosA+2sin =1,2sin + 2sin=,2(sin , )+ ; 2222222
πA1B+C3 = ，即A= 时, cosA+2cos取得最大值为。 当sin22322
223(在锐角中，角所对的边分别为，已知，(1)求ABC，，abc，，?ABCsinA,3BCA，22的值;(2)若，，求的值。 S,2tansin，a,2b?ABC22
221解析:(1)因为锐角?ABC中，A，B，C,,，，所以cosA,， sinA,33则
BC，2sinBCAA，2222tansinsin，,，BC，2222cos 2
1cosBC11cosA17,(，)，,，(,),，,1cosA1cosBC21cosA33，(，),
1122(2)，则bc,3。 因为,，又,,S2SbcsinAbc,ABCABC223
13222将a,2，cosA,，c,代入余弦定理:中， abc2bccosA,，,3b
42得解得b,。 b6b90,，,3
点评:知道三角形边外的元素如中线长、面积、周长等时，灵活逆用公式求得结果即可。
,4(在中，内角对边的边长分别是，已知，C,( ?ABCABC，，abc，，c,23
(?)若的面积等于，求; 3?ABCab，
(?)若，求的面积( sinsin()2sin2CBAA，,,?ABC
本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关
知识的能力(满分12分(
22， 解:(?)由余弦定理及已知条件得，abab，,,4
1又因为的面积等于，所以，得( ???????????????????????????????? 4分 3?ABCab,4abCsin3,2
22,abab，,,4，联立方程组解得，( ????????????????????????????????????????????????????????????? 6分 a,2b,2,ab,4，,
(?)由题意得， sin()sin()4sincosBABAAA，，,,
即， ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分 sincos2sincosBAAA,
,,4323时，，，，， 当A,B,cos0A,a,b,2633当时，得，由正弦定理得， cos0A,sin2sinBA,ba,2
22,abab，,,4，2343联立方程组解得，( a,b,,33ba,2，,
123所以的面积( ????????????????? 12分 ?ABCSabC,,sin23
题型之五:正余弦定理解三角形的实际应用
利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等
方面都要用到解三角形的知识，例析如下:
(一.)测量问题
1. 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边C 选定A、B两点，望对岸标记物C，测得
?CAB=30?，?CBA=75?，AB=120cm，求河
的宽度。 B A D
图1 分析:求河的宽度，就是求?ABC在AB
边上的高，而在河的一边，已测出AB长、
?CAB、?CBA，这个三角形可确定。
ACAB,解析:由正弦定理得，?AC=AB=120m，又sinsin，，CBAACB
11?，解得CD=60m。 SABACCABABCD,,，,,sinABC22
点评:虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”。 (二.)遇险问题
2 某舰艇测得灯塔在它的东15?北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30?北。若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险,
解析:如图舰艇在A点处观测到灯塔S
北 在东15?北的方向上;舰艇航行半小时后到
东 达B点，测得S在东30?北的方向上。 在西 ? 3015? A C B
?ABC中，可知AB=30×0.5=15，南 图2 ?ABS=150?，?ASB=15?，由正弦定理得
BS=AB=15，过点S作SC?直线AB，垂足为C，则SC=15sin30?=7.5。
这表明航线离灯塔的距离为7.5海里，而灯塔周围10海里内有暗礁，故继续航行有触礁的危险。
点评:有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是:(1)准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语;(2)画出示意图，并将已知条件在图形中
)分析与所研究问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理标出;(3
求解。
(三.)追击问题
3 如图3，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45? 北
方向，距A有9n mile并以20n mile/h的速度沿南
A
偏西15?方向航行，若甲船以28n mile/h的速度航 45?
行，应沿什么方向，用多少h能尽快追上乙船, B 解析:设用t h，甲船能追上乙船，且在C处相遇。 15?
在?ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，
C 设?ABC=α，?BAC=β。 图3
?α=180?,45?,15?=120?。根据余弦定理
222， ACABBCABBC,，,,2cos,
1222，，(4t,3)(32t+9)=0，解12860270tt,,,2881202920()ttt,，,，，，,，，，，2
39得t=，t=(舍) 324
33?AC=28×=21 n mile，BC=20×=15 n mile。 44
3，15,BCsin532根据正弦定理，得，又?α=120?，?β为锐角，,,,,sinAC2114
535372253,β=arcsin，又,,，?arcsin,， 2414141414
533,?甲船沿南偏东,arcsin的方向用h可以追上乙船。 4414
点评:航海问题常涉及到解三角形的知识，本题中的 ?ABC、AB边已知，另两边未知，
但他们都是航行的距离，由于两船的航行速度已知，所以，这两边均与时间t有关。
这样根据余弦定理，可列出关于t的一元二次方程，解出t的值。 4(如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待
,营救(甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，
,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援(角度精确到1),
222解析:连接BC,由余弦定理得BC=20+10,2×20×10COS120?=700.
sinACBsin120:3,于是,BC=10。 ?，?sin?ACB=， 7207107
??ACB<90?，??acb=41?。 北="" 船应朝北偏东71?方向沿直线前往b处救援。="">
B A 20 ?
10
?C
范文四：解三角形常见题型
题型之一：求解斜三角形中的基本元素
????????
1. 在?ABC中，AB=3，AC=2，BC=，则AB?AC? ( )
323
??????????????15
2.已知△ABC中，AB?a，AC?b，a?b?0，S?ABC?，a?3,b?5，则?BAC?（ ）
4
A．?
32
B．?
2
C．
2
D．
3
A.． 30 B ．?150 C．150 D． 30或150
3．（1）在?ABC中，已知A?32.00，B?81.80，a?42.9cm，解三角形；
（2）在?ABC中，已知a?20cm，b?28cm，A?400，解三角形（角度精确到10，边长精确到1cm）。
4．在?ABC
中，已知a
?c?，B?600，求b及A；
5 、在ΔABC中，已知AB?
6.在△ABC中，已知a＝2，b＝22，C＝15°，求A。
463
,cosB?
66
??0?0
，AC边上的中线BD=5，求sinA的值．
题型之二：判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状．
1. (2005年北京春季高考题)在?ABC中，已知2sinAcosB?sinC，那么?ABC一定是（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 2．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（ ）
A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 3.在△ABC中，若
4. 在△ABC中，?cosA?bcos?，判断△ABC的形状。
ab
22
?
tanAtanB
，试判断△ABC的形状。
题型之三：解决与面积有关问题。主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题．
1、 在?ABC中，若?A?120，AB?5，BC?7，
则?ABC的面积S＝?
2．在?ABC中，sinA?cosA?
3．在?ABC中，sinA?cosA?
22
，AC?2，AB?3，求tanA的值和?ABC的面积。
22
，AC?2，AB?3，求tanA的值和?ABC的面积。
4、已知△
ABC
1，且sinA?sinB?
1
C．
（I）求边AB的长；（II）若△ABC的面积为sinC，求角C的度数．
6
（II）由△ABC的面积
12
BC?AC?sinC?
16
sinC，得BC?AC?
13
，
题型之四：三角形中求值问题
1．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，
c，已知sinA?
3，（1）求tan
2
B?C2
?sin
2
A2
的值；（2）若a?
2，S△ABC?
，求b的值。
2．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c?2，C?（Ⅰ）若△
ABCa，b；
（Ⅱ）若sinC?sin(B?A)?2sin2A，求△ABC的面积．
?3
．
3．在?ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、
c，且sinA?
5
sinB?
10
（I）求A?B的值；（II
）若a?b?
1，求a、b、c的值。
, 5．在?ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a?c?2b，且sinAcosC?3cosAsinC
22
求b
范文五：解三角形常见题型(3)
解三角形常见题型
正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。
题型之一：求解斜三角形中的基本元素
指已知两边一角(或二角一边或三边) ，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线) 及周长等基本问题．
1. 在?ABC 中，AB=3，AC=2，BC=，则AB ?AC = ( ) A ．-
2332
B ．- C ． D ．
3223
【答案】D
3．（1）在?ABC
中，已知a
=c B =600，求b 及A ； 4(2005年全国高考江苏卷) ?ABC 中，A =
A ．43sin B +
π
3
，BC ＝3，则?ABC 的周长为（ ）
?
?
π?
π??
?+3 B ．4sin B +?+3 3?6??
C ．6sin B +
?
?
π?
π??
?+3 D ．6sin B +?+3 3?6??
分析：由正弦定理，求出b 及c ，或整体求出b ＋c ，则周长为3＋b ＋c 而得到结果．选(D)． 5 （2005年全国高考湖北卷) 在ΔABC 中，已知AB =
线BD =，求sin A 的值．
分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC 及BC ，再由正弦定理，即得sin A ． 解：设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE //AB ，且DE =
2
2
46
, cos B =，AC 边上的中36
12AB =，设BE ＝23
在ΔBDE 中利用余弦定理可得：BD =BE +ED -2BE ?ED cos BED ，
2
78266
5=x 2++2??x ，解得x =1，x =-3336
222
故BC =2，从而AC =AB +BC -2AB ?BC cos B =
3028
，即AC =sin B =，
36
2=sin A =故sin A
在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，求A 。
答案：∴B >A ，且0
题型之二：判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状． 1. (2005年北京春季高考题) 在?ABC 中，已知2sin A cos B =sin C ，那么?ABC 一定是
（ ）
A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 解法1：由2sin A cos B =sin C ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，
即sin A cos B －cos A sin B ＝0，得sin(A －B ) ＝0，得A ＝B ．故选(B)．
sin C c a 2+c 2-b 2
=解法2：由题意，得cos B ＝，再由余弦定理，得cos B ＝．
2sin A 2a 2ac
c a 2+c 2-b 222
∴ ＝，即a ＝b ，得a ＝b ，故选(B)．
2a 2ac
评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法1) ，⑵统一
化为边，再判断(如解法2) ．
2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ）
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 答案：C
解析：2sin A cos B ＝sin （A ＋B ）＋sin （A －B ）又∵2sin A cos B ＝sin C ， ∴sin （A －B ）＝0，∴A ＝B
a 2tan A
3. 在△ABC 中，若2=，试判断△ABC 的形状。
tan B b
答案：故△ABC 为等腰三角形或直角三角形。 4. 在△ABC 中，α，判断△ABC 的形状。 c o s Ab =c o s β答案：△ABC 为等腰三角形或直角三角形。
题型之三：解决与面积有关问题
主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题．
1. (2005年全国高考上海卷) 在?ABC 中，若∠A =120，AB =5，BC =7，
则?ABC 的面积S ＝i n A +c o s A =A B C 2．在?中，s
积。
2
A B C C =2B =3，A ，A ，求tan A 的值和?的面
2
A C ?A B s i n ?2答案：S ?A B 1212) 43. （07浙江理18）已知△
ABC
1，且sin A +sin B =C ．
（I ）求边AB 的长； （II ）若△ABC 的面积为
1
sin C ，求角C 的度数． 6
解：（I
）由题意及正弦定理，得AB +BC +AC =
1，BC +AC ，
两式相减，得AB =1．
（II ）由△ABC 的面积
111
BC AC sin C =sin C ，得BC AC =， 263
AC 2+BC 2-AB 2(AC +BC ) 2-2AC BC -AB 21
==， 由余弦定理，得cos C =
2AC BC 2AC BC 2
所以C =60．
题型之四：三角形中求值问题
1. (2005年全国高考天津卷) 在?ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边长分别为a 、b 、c ，
c 1222
设a 、b 、c 满足条件b +c -bc =a 和=+3，求∠A 和tan B 的值．
b 2
分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理．
b 2+c 2-a 21
=，因此，∠A =60? 解：由余弦定理cos A =
2bc 2
在△ABC 中，∠C=180°－∠A －∠B=120°－∠B.
由已知条件，应用正弦定理
1c sin C sin(120?-B )
+3=== 2b sin B sin B
=
1sin 120?cos B -cos 120?sin B 31
=cot B +, 解得cot B =2, 从而tan B =.
2sin B 22
2．?ABC 的三个内角为A 、B 、C ，求当A 为何值时，cos A +2cos 并求出这个最大值。
B+CπA B+CA
解析：由A+B+C=π，得 ，所以有cos =sin
22222
B +C
取得最大值，2
B+CA A A A 13
cosA+2cos =1－2sin 2+ 2sin－ － 2+
2222222πA 1B+C3
当sin = A= 时, cosA+2cos
22322
，B ，C 所对的边分别为a
，b ，c ，已知sin A =3．在锐角△ABC 中，角A
（1）求tan 2
B +C A
+sin 2的值；（
2）若a =2，S △ABC b 的值。 22
1，所以cosA ＝，
3解析：（1）因为锐角△ABC 中，A ＋B
＋C ＝π，sin A =
则
B ＋C
B ＋C A ＋sin 2A tan 2＋sin 2＝22cos 22
2
1－cos （B ＋C ）11＋cos A 17＝＋1－cos A ）＝＋＝1＋cos （B ＋C ）21－cosA 33
sin 2
（2
）因为S
ABC S
11bc ＝3。 ＝bcsin A ＝bc ABC
22将a ＝2，cosA ＝
4
2
13222
，c ＝代入余弦定理：a ＝b ＋c －2bccos A 中， 3b
得b －
6b ＋9＝0解得b
点评：知道三角形边外的元素如中线长、面积、周长等时，灵活逆用公式求得结果即可。 4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c =2，C =（Ⅰ）若△ABC a ，b ；
（Ⅱ）若sin C +sin(B -A ) =2sin 2A ，求△ABC 的面积．
本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关
知识的能力．满分12分．
解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，a +b -ab =4，
又因为△
ABC 2
2
π
．
3
1
ab sin C =ab =4． ······························· 4分 2
?a 2+b 2-ab =4，
联立方程组?解得a =2，b =2． ··························································· 6分
?ab =4，
（Ⅱ）由题意得sin(B +A ) +sin(B -A ) =4sin A cos A ，
即sin B cos A =2sin A cos A ， ···························································································· 8分 当cos A =0时，A =
ππ
，
B =，a =b =， 2633
当cos A ≠0时，得sin B =2sin A ，由正弦定理得b =2a ，
?a 2+b 2-ab =4，
联立方程组?
解得a =，b =．
33?b =2a ，
所以△ABC 的面积S =
1ab sin C =． ················· 12分 23
题型之五：正余弦定理解三角形的实际应用
利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下： （一. ）测量问题
1. 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边
选定A 、B 两点，望对岸标记物C ，测得
∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm，求河的宽度。
分析：求河的宽度，就是求△ABC 在AB 边上的高，而在河的一边，已测出AB 长、A D B ∠CAB 、∠CBA ，这个三角形可确定。 图1
解析：由正弦定理得
AC AB
=，∴AC=AB=120m，
sin ∠CBA sin ∠ACB
11
又∵S ABC =AB ?AC sin ∠CAB =AB ?CD ，解得CD=60m。
22
点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”。
（二. ）遇险问题
2 某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？
解析：如图舰艇在A 点处观测到灯塔S 在东15°北的方向上；舰艇航行半小时后到北达B 点，测得S 在东30°北的方向上。 在△ABC 中，可知AB=30×0.5=15，∠ABS=150°，∠ASB=15°，由正弦定理得
南BS=AB=15，过点S 作SC ⊥直线AB ，垂足图2 为C ，则SC=15sin30°=7.5。
这表明航线离灯塔的距离为7.5海里，而灯塔周围10海里内有暗礁，故继续航行有触礁的危险。
点评：有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；（2）画出示意图，并将已知条件在图形中标出；（3）分析与所研究问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解。
（三. ）追击问题
3 如图3，甲船在A 处，乙船在A 处的南偏东45°
方向，距A 有9n mile并以20n mile/h的速度沿南
偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h的速度航
行，应沿什么方向，用多少h 能尽快追上乙船？
解析：设用t h，甲船能追上乙船，且在C 处相遇。
在△ABC 中，AC=28t，BC=20t，AB=9，
设∠ABC=α，∠BAC=β。
∴α=180°－45°－15°=120°。根据余弦定理
°
AC 2=AB 2+BC 2-2AB ?BC cos α，
图3
12
=81+(20t )-2?9?20t ?(-) ，128t 2-60t -27=0，（4t －3）（32t+9）=0，解
2
39得t=，t=（舍）
432
33
∴AC=28×=21 n mile，=15 n mile。
44
(28t )
2
根据正弦定理，得sin β=
BC sin α
=AC
15=，又∵α=120°，∴β为锐角，
21β=arcsin
π，又＜＜，∴
arcsin ＜，
414
14
14
142
3π－
arcsin 的方向用h 可以追上乙船。
4414
∴甲船沿南偏东
点评：航海问题常涉及到解三角形的知识，本题中的 ∠ABC 、AB 边已知，另两边未知，
但他们都是航行的距离，由于两船的航行速度已知，所以，这两边均与时间t 有关。这样根据余弦定理，可列出关于t 的一元二次方程，解出t 的值。
4．如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到1）？
解析：连接BC, 由余弦定理得BC 2=202+102－2×20×10COS120°=700. 于是,BC=10。
北
3sin ACB sin 120?
=，∴sin ∠ACB=， 20710B
∵∠ACB<90°，∴∠acb=41°。 ∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往b="">
