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范文一：九阶旋转幻方

九阶旋转幻方（四川省达县黄庭学校：罗昱森 635014）

摘要：根据三阶幻方外框旋转不变，得出以三阶幻方为心脏的五阶（如果存在）幻方，其外框也可以旋转，从而发现了旋转幻方的存在性和排法. 关键词：二阶等差数列，框框，旋转，任意k π角度. 2

读完幻方的研究成果，我才知道自己的思想早就被前人采用. 随着阶数的增加，排法也迅速增多，三阶幻方的排法，看上去有几种，其实是一种，因为它的上下行、左右列可以交换，于是我由轴对称想到了中心对称，得到了

k π旋转幻方. 以其中心为中心的每个框框都可以任意旋转的角度，其原有的2

性质不变，先由数列的思想得到一个“米”字型支架，其八个支支都为二阶等差数列，如下：

支架的框框可以旋转，上图是最先得出的原始支架，很具有规律性，现在就填充其它空格，从内向外， 29到53之间，还有四对和为82的数组，因每边上的三个数之和有两个不同的值，所以不能盲目填充，但也不难，利用同样的方法填好外面的大框框. 如下图：

就这样，其每个框框可以任意旋转，其数组还可以适当交换，为了减弱其神秘感，我把相隔较近的数字都尽量排得近些，七阶和五阶已经包含在其中，将中间的五阶每个数减去28，便得到五阶旋转幻方，七阶也一样. 这样，奇数阶都不难了.

现在有两个问题没有解决：

（1）对角线上的数组是否可以改变.

（2）大于四的偶数阶是否也具有旋转幻方. 结论：任意奇数都存在旋转幻方.

2010年5月

范文二：九阶扭转幻方[资料]

九阶旋转幻方

(四川省达县黄庭学校:罗昱森 635014) 摘要:根据三阶幻方外框旋转不变，得出以三阶幻方为心脏的五阶(如果存在)幻方，其外框也可以旋转，从而发现了旋转幻方的存在性和排法.

k,关键词:二阶等差数列，框框，旋转，任意角度.2

读完幻方的研究成果，我才知道自己的思想早就被前人采用. 随着阶数的增加，排法也迅速增多，三阶幻方的排法，看上去有几种，其实是一种，因为它的上下行、左右列可以交换，于是我由轴对称想到了中心对称，得到了旋

k,转幻方. 以其中心为中心的每个框框都可以任意旋转的角度，其原有的性质2

不变，先由数列的思想得到一个“米”字型支架，其八个支支都为二阶等差数列，如下:

69 73 5

56 59 20

47 49 31

42 43 38

1 17 29 37 41 45 53 65 81

44 39 40

51 33 35

62 23 26

77 9 13

支架的框框可以旋转，上图是最先得出的原始支架，很具有规律性，现在就填充其它空格，从内向外， 29到53之间，还有四对和为82的数组，因每边上的三个数之和有两个不同的值，所以不能盲目填充，但也不难，利用同样的方法填好外面的大框框. 如下图:

69 4 3 2 73 72 71 70 5

8 56 19 21 59 58 54 20 74

7 18 47 30 49 48 31 64 75

6 22 32 42 43 38 50 60 76

1 17 29 37 41 45 53 65 81

66 57 46 44 39 40 36 25 16

67 55 51 52 33 34 35 27 15

68 62 63 61 23 24 28 26 14

77 78 79 80 9 10 11 12 13

现在有两个问题没有解决:

(1) 对角线上的数组是否可以改变.

(2) 大于四的偶数阶是否也具有旋转幻方. 结论:任意奇数都存在旋转幻方.

范文三：幻方题目

趣味数学1

鉴于同学们对幻方题目感兴趣，特意整理了下面一部分题目给同学们在课余时间思考：

将每组数字填入下面9个格子中，使得处于同一横行，同一竖列，同一斜对角线上3个数加起来的和相等，其中的到的这个相等的和，我们称为幻和值。你能求出每一组等等幻和值吗？试一试，相信自己一定行！

A 、2 ，4 ，6 ，13 ，15 ，17 ，24 ，26 ，28

B 、3 ，5 ，-7 ，1 ，7 ，-3 ，9 ，-5 ，-1

C 、0 ，3 ，-3 ，6 ，-6 ，9 ，-9 ，12 ，-12

D 、6，9 ，12 ，15 ，18 ，21 ，24 ，27，30

E 、0，-1 ，1 ，6 ，-6 ，7 ，-7 ，8，-8

如果变成16个格子，如下图，使得处于同一横行，同一竖列，同一斜对角线上4个数加起来的和相等。你还会做吗？挑战自我，超越自己！你能行！

1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11,12,13,14,15，16

范文四：[资料]幻方题目教案

幻方问题教案

执教:杜羲

传说公元前二千多年，在洛水里浮起一只大乌龟，它的背上有个奇特的图案，(如图1)，后来人们把它称之为洛书，实际上它是由九个数字排成一定的格式(如图2)，图中有一个非常有趣的性质:它的横、竖、对角线上的每三个数字之和都是15。许多人产生了这样的问题，图中的九个数字，有没有别的填法,如果把图形变成4×4个方格，是否也可以进行这样的填数游戏,

1、奇偶性规律:偶数是能被2整除的整数，如0、2、6、8等，奇数是指被2除余1的整数。奇偶数的加法具有下列性质:

奇数+奇数=偶数

奇数+偶数=奇数

偶数+偶数+偶数

2、数的整除规律:a整除b，且a整除c，则a整除b+c，或a整除b-c。 3、商和余数:整数a除以整数b时，商数是q，余数是r，必有等式a=b×q+r，0?r

当r=0时，就说b整除a，记为b|a。

如:30被7除余2，满足关系式30=7×4+2，又因为2<4，也可以说4除30余2。 4、自然数分类:如果两个整数分别被a除，所得余数相同，那么我们说这两个整数对于a是同余的。如偶数对于2是同余的(余数都为零)，所有奇数对于2也是同余的，(余数都是1)。="">

由同余，可以对整数进行分类，如整数可按3分成:被3除余0，被3除余1，被3除余2这三类，也可按4分类，分成被4除余0，被4除余1，被4除余2，被4除余3这四类。

5、自然数分拆:将一个自然数写成两个自然数的和，叫做自然数的二分拆，其中一个和的形式称为该自然数的一个分拆。如9写成2+7，4+5，1+8等就是对9的分拆，而2+7(或4+5，1+8)就是它的一个分拆。一个分拆的被加数和加数调换位置后得到的分拆视为同一个分拆，如2+7和7+2视为9的同一分拆。

例1:将1-9这九个数，填入图3的方格内，使每行、每列、及两条对角线上三个数字的和都相等。

分析与解:假设图形中填入的数如图4所示，并设各边和对角线的三数之和为k，则解法的关键是找出中心数及各顶点的数。我们分三步来完成:

(1)求每行、每列三个数的和，即k值。

(2)确定中心数，即b=, 2

(3)试填各顶点数及其它方格内数。

?a+b+c+a+b+c+a+b+c=3k 111222333

又?a+b+c+a+b+c+a+b+c=1+2+…+9=45 111222333

?3k=45 k=15

?a+b+c=a+b+c=a+b+c=b+b+b=15 123222321123

?(a+b+c)+(a+b+c)+(a+b+c)+(b+b+b)=4×15 123222321123

(a+a+a+b+b+b+c+c+c)+3b=60 1231231232

45+3b=60 3b=15 b=5 222

试填a，若a为奇，?a+c=10，故C为奇，a和a也应同奇或同偶，若a、a同奇，则c为奇，b为奇，这样就出现了六11133232323个奇数，与1-9的自然数中只有5个奇数矛盾;若a和a同偶，则c为偶，b为偶，c也为偶，这样共出现了五个偶数，23231

与1-9的自然数中只有4个偶数矛盾，故a1不能为奇数，则a应填偶数，此时c、a、c也只能取偶数，由于a+c=C+a=10，11331313又?2+8=4+6=10，故只需取a=2，C=8，a=4，c=6即可，其它各方格中的数须填a=9，b=3。C=1，b=7。如图5所示，这13312221样就得到本题的一个解，若取a=4，c=6，a=2，c=8，须取a=9，b=7，b=3，c=1，根据对称轮换，答案是唯一的。13312312

说明:此题是引例中的问题，将1-9九个数，填入列3×3个方格内，使每行每列、每条对角线的和相等，这叫做三阶幻方，一般地，在n×n个方格内，填上n×n个连续自然数，并且每行、每列、每条对角线上n个自然数的和都相等，则称它为n阶幻方。解决幻方问题的关键是确定中心数和顶点数。

例2:把1到6这六个数分别填在图7-a中三角形三条边上的六个圆圈内，使每条边上三个圆圈内的数的和都相等。

分析与解:设填入顶点圆圈内的数分别为a、b、c，其余三个圆圈内的数分别是d、e、f。每条边上三个圆圈内数的和为k，如图7-a。

?a+d+b=k,b+e+c=k,a+f+c=k

?(a+d+b)+(b+e+c)+(a+b+c)=3k

又?a+b+c+d+e+f=1+2+…+6=21

?(a+b+c+d+e+f)+(a+b+c)=3k

21+(a+b+c)=3k

由上式可知:a+b+c最小时，k值也最小，a+b+c最大时，k值也最大，且k是整数，当a+b+c=1+2+3=6时，k=9，a+b+c=4+5+6=15时，k=12，所以k可取9、10、11、12四种情况。

当k=9时，a+b+c=6，6只有一个三拆分，6=1+2+3，因此a=1，b=2，c=3，其余三个圆圈内分别填4、5、6、，即e=4，f=5，d=6。这样就得到一个基本解(如图8)将这个解左、右旋转或适当调换后，可以得到其余的五个解。

当k=10时，a+b+c=9，9有三种三拆分，9=1+2+6=1+3+5=2+3+4，当a、b、C为1，2，6时，以2、6为顶点的一边只能填2，如图9-a，2重复了，故此解排除;当a、b、C为1、3、5时，其余边上的圆圈内约数填上2、4、6即可(如图9-b);当a、b、c为2、3、4时，以3、4为顶点的一边只能填上3，如图9-c，3重复了，故此解也排除。当k=11，12时，可仿照上面方法求出基本解。

说明:这个数阵问题中各条边是相互连接的，叫做封闭型数阵图。封闭型数阵图的解题突破口，是确定各边顶点所应填的数。为确定这些数，采用的方法是建立有关的等式，通过以最小值到最大值的讨论，来确定每条边上的几个数之和，再将和数进行拆分以找到顶点应填入的数，其余的数再利用和与顶点的数就容易被填出。例3、把1-9这九个数，分别填入圆10-a中，使得从中辐射出的每条线上三个圆圈内的数的和相等。

分析与解:由图10-a可知，计算每条线段上的三个圆圈内数的和时都要用到中心数，因此确定中心数是解此题的关键。该中心数为χ，其余各数如图10-b所示，每条线段上的三数之和为k。

?χ+a1+a2=χ+b1+b2=χ+c1+c2=χ+d1+d2=k

?(χ+a1+a2)+(χ+b1+b2)+(χ+c1+c2)+(χ+d1+d2)=4k

(a1+a2+b1+b2+c1+c2+d1+d2+χ)+3χ=4k

又?a1+a2+b1+b2+c1+c2+d1+d2+χ=1+2+…+9=45

? 45+3χ=4k

观察上式，k是整数，即(45+3χ)被4整除，而(45+3χ)?4=45?4+3χ?4，45除以4的余数为1，则3χ除以4的余数应为3，当χ=1、5、9时，3χ?4的余数为3。

当χ=1时，k=(45+3×1)?4=12，12拆分成含有一个1的三个自然数的和有以下四种形式: 12=1+2+9=1+3+8=1+4+7=1+5+6这样就得到一个解(如图11-a)。

当χ=5、9时，仿照上面方法可得到相应的解，(如图11-b，图11-c所示)。

说明:此题中的数阵图，称为辐射型数阵图，解法的关键是确定中心数。具体方法是:通过所给条件建立有关等式，通过整除性的讨论，确定出中心数的取值，然后求出各边上数的和，最后将和自然数分拆成中心数的若干个自然数之和，确定边上其他的数。

例4、，如图12-a中，以?为顶点，有四个小的等腰三角形和三个大的等腰三解形，将1-9这九个数，填入?内，使每个三角形的三个顶点的数字之和相等。

分析与解:设应填入的数如图12-b所示，观察可知，在计算每个小三角形和大三角形各顶点数字和时，最中间的小三角形三个顶点分别用了三次，其中各顶点用了二次，设每个三角形的三个顶点数的和为k，即: a+b+c=k,d+e+f=k,c+e+g=k,g+h+I=k

a+g+d=k,b+e+h=k,c+f+I=k

?(a+b+c)+(d+e+f)+(c+e+g)+(g+h+i)+(a+g+d)+(b+e+h)+(c+f+i)=7k

即:(a+b+c+d+e+f+g+h+i)+(c+e+g)=7k

a+b+c+d+e+f+g+h+I=3k

又?a+b+c+d+e+f+g+h+I=1+2+…+9=45

? 3k=45

k=15

在1-9这九个数中，15的三拆分有下列几种情况:

15=1+9+5=1+8+6=2+9+4=2+8+5=3+7+5=2+7+6=3+8+4=4+5+6，在这些拆分中，2、4、5、6、8、出现过三次，其它数字出现过两次，所以C=2，e=8，g=5或c=6，e=4，g=5，再将其它数填入，这样就得到本题的两个解(如图13-a，图13-b所示)

说明:此题中的数阵图为复合型数阵图，解题的关键是要以中心数和顶点数为突破口。

及时练习:

1、用九个连续自然数构造一个三阶幻方，使每一横行及每一竖列的三个数之和都等于60。 2、将1-9这九个自然数分别填入如图14的九个?内，使三角形每边上的四数之和都等于19，且有一个顶点?的数字为1。

3、将1-7这七个数字填写到如图15的小圆圈中，使每条直径上的三个数字之和都为10。 4、把1-10这十个数分别填在如图16的五边形边上的十个圆圈内，使每条边上的三个圆圈内的数的和尽可能最小。

5、把1-9这九个数分别填入如图17的大三角形中的九个小三角形内(每个小三角形只填一个数)，要求靠近大三角形三条边的每五个数相加的和相等，问怎样填才能使五个数的和尽可能地大一些，这五个数的和的最大值是多少,

答案:1、解:先用1-9这九个自然数构造一个三阶幻方(如图18-a)，这个三阶幻方的每行，每列之和为15，题目要求和为60，只需将每个数都加上15即可(如图18-b)

2、设三个顶点数字之和为m，每边三个数之和为k，由于顶点的数属于两边公有，所以将三条边的数字和加在一起，等于将1-9加了一遍，同时将三个顶点数多加了一遍，因为1-9九个自然数的和为45，故m+45=3k，，由题目可知k=19，?m=12，将12三拆分且含有1的结果是12=1+2+9=1+3+8=1+4+7=1+5+6，排除1、2、9，1、3、8，1、5、6，填入1、4、7。再填入其它各数。即得解(如图19)

3、解:设每条直径的三个数字之和为k，将所有直径的数字相加，中心数加了三次，其它各数加了一次，设中心数为χ，则

(1+2+…+7)+2χ=3k

28+2χ=3k

由题目可知k=10，则χ=1，再填出其它各数。如图20所示。

4、解:设各顶点数之和为m，五边形每条边上的数字和为k，将五条边的所有数字相加时，各顶点数加了两次，其余各数加了一次，则

(1+2+3+…10)+m=5k

55+m=5k

当m=1+2+3+4+5=15时，k值最小，k=14，将1、2、3、4、5分别填入各个顶点，再由k=14填出其余各数，如图21所示:

5解:设填入的数为a、b、c、d、e、f、g、h、I靠近大三角形边的五个数相加的和是k，由图22-a可知:

a+c+b+f+e=k

e+f+g+g+I=k

a+c+d+h+I=k

?2(a+b+c+d+e+f+g+h+i)-(b+d+g)=3k

90-(b+d+g)=3k

要使k最大，使b+d+g的值最小，分别取b、d、g为1、2、3，求得k=28，再填入其余各数，如图22-b。

范文五：三阶幻方(含答案)

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三阶幻方

同学们:

33，在(三行三列)的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1—9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻

44，44，方。如果在(四行四列)的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在方格内填上16个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等，这样的图形叫四阶幻方。一般地，在几×几(几行几列)的方格里，既不重复又不遗漏地填上几×几个连续自然数，(注意这几×几个连续自然数不一定非要从1开始)，每个数占一个格，且每行、每列、每条对角线上的几个自然数和均相等，我们把这个相等的和叫做幻和，几叫做阶，这样排成的数的图形叫做几阶幻方。

(一)思路指导与解答

例1. 用1,9这九个数编排一个三阶幻方。

abc

def

ghi

图1 图2

分析:我们先用a、b、c、d、e、f、g、h、i分别填入九个空格内以代表应填的数。看图(2):

(1)通过审题，我们知道幻和是多少才好进行填数。同时可以看到图(2)中，e是一个中间数，也是关键数。因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和;其次是三阶幻方中四个角上的数:a、c、g、i它们各自都要参加一行，一列及一条对角线的求和运算。如果e以及四个角上的数被确定之后，其它的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。

(2)求幻和:

幻和 ,，，，，，，，，,()1234567893

,,453

,15

(3)选择突破口，显然是e，看图2。

aeibehcegdef，，,，，,，，,，，,15 因为:

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所以: ()()()()aeibehcegdef，，，，，，，，，，，

,，，，,1515151560

也就是: ()abcdefghie，，，，，，，，，，,360

又因为: abcdefghi，，，，，，，，,45

45360，，,e 所以

36045，,,e

e,5

也就是说，图1中的中心方格中应填5，请注意，这个数正好是1,9这九个数中正中间的数。

(4)四个角上的数，a、c、g、i的特点。

ai，,10i 我们先从a开始:想:a是奇数还是偶数。如果a为奇数，因为，所以也是奇数。因为奇，奇,偶。又因为adg，，,15，所以d与g同是奇数或同是偶数。分两种情况:

<1>当d、g都是奇数时，因为def，，,15，ghi，，,15，其中e，i都是奇数，所以f、h也只能是奇数。这样在图1中应填的数有a、d、e、f、g、h、i这七个奇数，而1,9中九个数只有五个奇数，所以矛盾，说明d、g不可能为奇数。

<2>当d、g为偶数时，因为，，因为i为奇数，dfghi，,，，,1015，cg，,10所以f、h、c只能是偶数，这样就有c、d、f、g、h五个偶数，而1,9这九个数中只有四个偶数，矛盾。说明d、g都是偶数也不行。

ai，,10 所以a不能是奇数，那么只能是偶数，于是由知i也是偶数。

用同样的方法可以得到c、g也只能是偶数。也就是说图1中四个角上的数都应填偶数。

(5)试验填数排出幻方。

因为是偶数，所以a的范围有2、4、6、8四个数，根据幻和等eacgi,5，、、、

于15进行试验。

a,2c,4 当时，或6，若，则有 ic,,84，g,6

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，若，则有 c,6bdfh,,,,9731，，，g,4

，这样可填出两个幻方。 bdfh,,,,7913，，，

当时，请同学们自己练习填写。 a,468、、

用1,9这九个数编排的三阶幻方有八个:

294276492

753951357

618438816

438672618

951159753

276834294

834816

159357

672492

图3

说明:在上面图形中给出的用1,9这九个数字编排的八个三阶幻方中的任何一个，

都可以对它上面的数字进行适当的对调与旋转。从而得到其它七个图形。

例2. 请编出一个三阶幻方，使其幻和为24。

2438,, 分析:根据题意，要使三阶幻方的幻和为24，所以中心数必为，那么与8

在一条直线上的各个组的其余两个数的和为16。

因为: 11516412167916，,，,，,，，

2141651116，,，,，

3131661016，,，,，

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按上述条件填出并调整可得到一个三阶幻方，其幻和为24。

7611

1284

5109

例3. 在下面图中的A、B、C、D处填上适当的数，使其成为一个三阶幻方。

分析:从第一行和对角线可得:

,,ADA，，,7106，，

716，,D

D,9

,，，,915630 这样幻和

从第一行中可求出:

A,,，,307914()

从第二行中可求出:

B,,，,3010155()

从第三行中可求出:

C,,，,3011613()

例4. 在下面各图形的?里填上适当的数，使每条线上三个数的和都等于21。

9 10

分析:这道题只要我们求出一个顶点上的数，其它数就容易求出来了。我们先想右下角的数。

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(1) 21813211011,,,,，

想:“13”左右两个数的填法，“11”上下两个数的填法。

1311/\/\11211021129310 3849475856676576

当8右边的数和10下面的数出现同一个数时，就是右下角要填的数，即右下角要填6。

(2)填写左下角?内的数:，左下角为7。 21867,，,()

(3)填写下面?内的数:，上面数应填5。 216105,，,()

59721，，, (4)左边线上三个数相加:，说明符合条件。

9 10

678

,答题时间:25分钟,

(二)认真思考，独立完成

1. 用1,9这九个数补全图1中的幻方，并求幻和。

图1

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2. 用3,11这九个数补全图2中的幻方，并求幻和。

图2

3. 在图3的空格中填入不大于15且互不相同的自然数使每一横行、竖行和对角线上的三个数之和都等于30。

请做完之后再看答案～

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【试题答案】

(二)认真思考，独立完成

1. 用1,9这九个数补全图1中的幻方，并求幻和。

438

951

276

2. 用3,11这九个数补全图2中的幻方，并求幻和。

498

1173

6510

3. 在图3的空格中填入不大于15且互不相同的自然数使每一横行、竖行和对角线上的

三个数之和都等于30。

71211

14106

9813

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