范文一：全国一卷数学

2010年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学(必修+选修) 解析版

本试卷分第I卷(选择题)和第?卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页。第?卷3

至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

注意事项:

1(答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2(每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。 (((((((((

2小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 3(第I卷共1

是符合题目要求的。

参考公式:

如果事件互斥，那么 球的表面积公式 A、B

2 PABPAPB()()()，,，SR,4,如果事件相互独立，那么 其中R表示球的半径 A、B

球的体积公式 PABPAPB()()(),

33p如果事件A在一次试验中发生的概率是，那么 ,,VR4

A次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中R表示球的半径 nk

kknk, PkCppkn()(1)(0,1,2,),,,…nn

一、选择题

(1) cos300:,

3311,(A) (B)- (C) (D) 2222

1.C【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识

1【解析】 cos300cos36060cos60:,:,:,:,，，2

(2)设全集，集合，，则 U,1,2,3,4,5M,1,4N,1,3,5NM,,e,,,,,,，，UA. B. C. D. 1,31,53,54,5,,,,,,,,

2.C【命题意图】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识 【解析】，，则= eM,2,3,5N,1,3,5NM,,e1,3,5,2,3,53,5,,,,,,,,,,，，UU

y,1,,

,xy，,0,xy,满足约束条件则的最大值为 (3)若变量zxy,,2,

,xy,,,20,,

(A)4 (B)3 (C)2 (D)1 3.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.

11【解析】画出可行域(如右图)，，由图可知,当直线经过点A(1,-1)zxyyxz,,,,,2l22

z,,，,,12(1)3时，z最大，且最大值为. max

y yx, lxy:20,,A 0 xy，,01 L0

2 x O

xy,,,20 A

,2

aaaaaaaaaa)已知各项均为正数的等比数列{(4}，=5，=10，则= n123789456

52(A) (B) 7 (C) 6 (D) 42

4.A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.

3 【解析】由等比数列的性质知，aaaaaaa,,,()51231322

133aaaaaaa,,,()aa,5010,所以, 789798828

13336aaaaaaaaa,,,,,()()(50)52所以 456465528

432(1)(1),,xx(5)的展开式 的系数是 x

(A)-6 (B)-3 (C)0 (D)3 5.A. 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.

13,,4323422【解析】(1)(1)1464133,,,,，,,,，,xxxxxxxxx ，，,,

,,

2的系数是 -12+6=-6 x

ABCABC,(6)直三棱柱中，若，ABACAA,,，则异面直线 ，,:BAC901111

ACBA与所成的角等于 11

(A)30? (B)45?(C)60? (D)90?

ABCABC,6.C【命题意图】本小题主要考查直三棱柱的性质、异面直线所成的角、异面111

直线所成的角的求法.

ADAC，DAB【解析】延长CA到D，使得，则为平行四边形，就是异面直线 ADAC,111

0ACBAADB与所成的角，又三角形为等边三角形， ？，,DAB601111(7)已知函数.若且，，则的取值范围是 fxx()|lg|,fafb()(),ab,ab，(A) (B)(C) (D) (1,)，,[1,)，,(2,)，,[2,)，,

7.C【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做

1本小题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得a+b=,从而错选D,这也是a，,2a命题者的用苦良心之处.

11【解析1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或，所以a+b= a，b,aa

12又0

为减函数，所以f(a)>f(1)=1+1=2,即a+b的取值范围是(2,+?).

01,,a01,,x,,

,,1,b1,y【解析2】由0

,,ab,1xy,1,,

11,的取值范围问题，，过点1,1zxy,，zxyyxz,，,,,，yy,,,,,,,1，，2xx

(2,)，,时z最小为2,?(C)

220PFFxy,,1FF(8)已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，?=，601212则

||||PFPF, 12

(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8 8.B【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.

【解析1】.由余弦定理得

222||||||PFPFFF，,1212FFP= cos?122||||PFPF12

22222222，,PFPFPFPFPFPFFF,，,2，，，，1211212120,,,,cos60 222PFPFPFPF1212

||||PFPF,4 12

【解析2】由焦点三角形面积公式得:

0,60113220SbPFPFPFPF,,,,,cot1cot3sin60 ,FPF12121222222

||||PFPF,4 12

ABCDBBACD(9)正方体-中，与平面所成角的余弦值为 ABCD111111

2362(A) (B) (C) (D) 3333

9.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的

D求法，利用等体积转化求出D到平面AC的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想1

的具体体现.

D1 C1 DB【解析1】因为BB//DD,所以B与平面AC所成角和DD与平11111

B1 A1 DD面AC所成角相等,设DO?平面AC，由等体积法得11

O 11D VV,,即.设DD=a, SDOSDD,,,1C DACDDACD,,,,ACDACD111133

则A B

113311222SACADaa,,，，,sin60(2),. SADCDa,,,ACD1,ACD1222222

3SDDa3,ACD1D,,,DOa所以,记DD与平面AC所成角为,则,112S33a,ACD1

6DO3,,cos,所以. ,,,sin3DD31

OODDOO,B【解析2】设上下底面的中心分别为;与平面AC所成角就是B与平面AC11111

OO361所成角， cos1/，,,,OOD11OD321

1,2(10)设则 abc,,,log2,ln2,53

(A)(B) (C) (D) abc,,bca,,cab,,cba,,

10.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用.

11loglog3log1,,e a=2=, b=In2=,而,所以a

1,125c==,而,所以c

11111e3log,,,【解析2】=2=,=ln2=, ，; ab11loglog2,,,33e3e22loglog2loglog2222

1,1112,,,5c=，?c

(11)已知圆的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么PAPB,的O

最小值为

(A) ,，42,，32,，422,，322 (B) (C) (D) 11.D【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析1】如图所示:设PA=PB=(0)x,,?APO=,则?x,A

12,,APB=，PO=，sin， 1，x2,O 2P ，1x

22x(12sin),,==PAPBPAPB,,,||||cos2,

B 224242xx,xx(1),xx,y,=，令，则，PAPBy,,222x，1x，1x，1

422xyxy,，,,(1)0即，由是实数，所以 x

22y,,，322,,,，,，，,,[(1)]41()0yyyy，，,610，，解得或.y,,,322故.此时. x,,21()322PAPB,,,，min

2,,,PAPBPAPBcos1/tancos,,,,,，，，，,,【解析2】设， ，,,,APB,,,,02,,

,,,,,,22,21sin12sin,,cos,,,,,,22,,22,,,,2换元:，xx,,,sin,0112sin,,,,,,,,2222,,sinsin22

112,,xx，，，，1PAPBx,,,，,,,23223 xx

22AxyBxyPx(,),(,),(,0),xy，,1【解析3】建系:园的方程为，设， 11110

222 PAPBxxyxxyxxxxy,,,,,,,,，,,,2，，，，10110111001

22 AOPAxyxxyxxxyxx,,,,,,,，,,,,,001，，，，11101110110

22222222PAPBxxxxyxxxxx,,,，,,,，,,,，,,,22123223 ，，1100110110

(12)已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为

23438323(A) (B) (C) (D) 333

12.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.

【解析】过CD作平面PCD，使AB?平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为,则有h

11222,当直径通过AB与CD的中点时,h,,,22123,故Vhh,，，，，,22max四面体ABCD323

43V,. max3

第?卷

注意事项:

1(答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考

证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2(第?卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域

内作答，在试题卷上作答无效。 (((((((((

3.第?卷共10小题，共90分。

二(填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分(把答案填在题中横线上(

(注意:在试题卷上作答无效) (((((((((

x,2(13)不等式的解集是 . 02xx，，32

xxx,,,,,21,2或13. 【命题意图】本小题主要考查不等式及其解法 ,,

x,2x,2,,,,，，,02210xxx【解析】: ，数轴标根0，，，，，，2xx，，21xx，，32，，，，

xxx,,,,,21,2或得: ,,

3(14)已知为第二象限的角，,则 . ,sina,tan2,,5

2414.【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的,7

正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.

34sin3,【解析】因为为第二象限的角,又, 所以，,,,,,,,,,,sincostan,55cos4,

2tan24,所 ,,,tan(2),2,1tan7,

(15)某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课

程中各至少选一门，则不同的选法共有 种.(用数字作答) 15. A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.

【解析1】:可分以下2种情况:(1)A类选修课选1门,B类选修课选2门,有1221CCCC种不同的选法;(2)A类选修课选2门,B类选修课选1门,有种不3434

1221CCCC,，,181230同的选法.所以不同的选法共有+种. 3434

333【解析2】: CCC,,,30734

BBFDF(16)已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点， 且CC

uuruur

BF2FD,，则的离心率为 . C

316. 【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，3

y

考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何B 的特点:“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求

到简化问题的捷径.

22xF O【解析1】如图，, ||BFbca,，,

D uuruur1D BF2FD,DDy,作轴于点D,则由，得 11

||||2OFBF33,所以, ,,||||DDOFc,,1||||3DDBD221

22acc333c即,由椭圆的第二定义得||()FDea,,,, x,Dca222

233c,,e又由,得aa,,2, ||2||BFFD,3a

22xy，,1【解析2】设椭圆方程为第一标准形式，设，F分 BD所成的比为2，Dxy,，，2222ab

3yb,022，，xby3330,,bbc22，代入 xxxcyy,,,,,,,,,,;ccc22122212222，，

22391cb,,e，,1， 22344ab

三(解答题:本大题共6小题，共70分(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(

)(本小题满分10分)(注意:在试题卷上作答无效) (17((((((((((((

SS,122,,1aaa，S记等差数列的前项和为，设，且成等比数列，求. na,,n3123nn

(18)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效) ((((((((((((

AB 已知的内角，及其对边，满足，求内角( aVABCbabaAbB，,，cotcotC

(19)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效) ((((((((((

投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审(若能通过两位初审专家的评审， 则予以录用;若两位初审专家都未予通过，则不予录用;若恰能通过一位初审专家的评 审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录 用(设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3(

各专家独立评审(

(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率;

(II)求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率(

(20)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效) (((((((((

,,如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为

,棱SB上的一点，平面EDC平面SBC .

(?)证明:SE=2EB;

(?)求二面角A-DE-C的大小 .

(21)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效) (((((((((

42fxaxaxx()32(31)4,,，，已知函数

1fx()(I)当时，求的极值; a,6

(II)若fx()在上是增函数，求a的取值范围 ,1,1，，

(22)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效) (((((((((

2ABCyx:4,已知抛物线的焦点为F，过点的直线与相交于、两点，K(1,0),lC

点A关于轴的对称点为D . x

FBD(?)证明:点在直线上;

8,BDKM(?)设，求的内切圆的方程 . FAFB,9

三，解答题:接答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

(17) 解:

(1)由a=a+(n-1)d及a=5，a=9得 11mw

a+2d=5 1

a+9d=-9 1

解得 a=9 1

d=-2

数列{a}的通项公式为a=11-2n。 mn2 因为Sm=(n-5)+25.

所以n=5时, Sm取得最大值。

(18)解:

(1)因为PH是四棱锥P-ABCD的高。

所以AC?PH又AC?BD,PH,BD都在平面PHD内,且PH?BD=H.

所以AC?平面PBD

故平面PAC平面PBD

n(n-1)2 (2)由(1)知Sm=na+ d=10n-n12

,6 (2)因为ABCD为等腰梯形，ABCD,ACBD,AB=.

0 ，，3 所以HA=HB=. 因为APB=ADR=60

6所以PA=PB=,HD=HC=1.

3 可得PH=.

13 等腰梯形ABCD的面积为S=AC x BD = 2+. ……..9分 2

323，133 所以四棱锥的体积为V=x(2+)x= ……..12分 33

(19)解:(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助,因此该地区

70老年人中需要帮助的老年人的比例的估计值为. ……4分 ,14%500

2500(4027030160)，，,，2(2) k,,9.96720030070430，，，

由于所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性9.9676.635,

别有关. ……8分

(3)由于(2)的结论知，该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定该地区老年人中男,女的比例，再把老年人分成男,女两

层并采用分层抽样方法比采用简单反随即抽样方法更好. ……12分

,,,,,,,，,,,,,F+F(20)解:(1)由椭圆定义知 22

,又 2AB=AFFAB,,,,，,,,～,,,得,,,

2 L的方程式为y=x+c,其中c=1-b ?? (2)

设A,(x,y),B(x,y)则A,B两点坐标满足方程组 1111

y=x+c

2y x2+ =1 2b

222 化简得(1+b)x+2cx+1-2b=0

2-2c1-2b 则x+x=.xx= 2212121+b 1+b

(2)

4即 . ,,,,2xx213

22484(1)4(12)8,,bbb22,，,,,,()4xxxxb,则解得 . 121222229(1)11，，，bbb2(21)解:

11xxxx2fxexexex'()1(1)(1),,，,,,，(?)时，，。当fxxex,,,a,()(1)22

时fx'(),,;当时，fx'()0,;当时，fx'()0,。x,,,,,1x,,1,0x,，,0,，，，，，，

fx()故在，单调增加，在(-1，0)单调减少。 ,,,,10,，,，，，，

aaxfxxxax()(1),,,gxxax()1,,,gxea'(),,(?)。令，则。若，则a,1

gx'(),,gx()gx()当时，，为减函数，而g(0)0,，从而当x?0时?x,，,0,，，

0，即fx()?0.

gx'(),,gx()若，则当时，，为减函数，而g(0)0,，从而当xa,0,lna,,，，

时,0，即,0. 综合得的取值范围为 gx()fx()axa,0,ln,,,1，，，,

(22)解: (1) 因为AC=BD

所以?BCD=?ABC

又因为EC与圆相切于点C,故?ACE=?ABC 所以?ACE=?BCD

(II)因为?ECB=?CDB, ?EBC=?BCD, ??5分

BCCD所以?BDC??ECB,故 = BEBC

2即 BC=BE×CD ??10分

,,,(23)解:(I)当时，C的普通方程为，C的普通方程为yx,,3(1)123

22xy，,1.

yx,,3(1),1322,(,),联立方程组解得C与C的交点为(1,0)， 12xxy,，,1,22

xysincossin0,,,,,,(II)C的普通方程为. 1

2(sin,cossin)aaa,A点坐标为，故当变化时，P点轨迹的参数方程为 a

12xa,sin,21122,1 (为参数)P点轨迹的普通方程为 a()xy,，,yaa,,sincos416,2

11故P点是圆心为，半径为的圆 (,0)44

(24)解::

-2x+5,x,2

(1)由于f== 2x-3,x?2 则函数y=f的图像如图所示.。 (x)(x)

??5分

yax,(?)由函数与函数的图像可知，当且仅当时，函数yf,yf,a,,2xx，，，，

yax,与函数的图像有交点。故不等式的解集非空时，a的取值范围为fax,x，，

1,,,,,,，,,2,。10分 ，，,,2,,

范文二：2017年全国数学一卷理科试题

2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国 I 卷)

理科数学

注意事项:

1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净 后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、 选择题:本题共 12小题,每小题 5分,共 60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的。

1. 已知集合 {}{}

131x A x x B x =<><>

,则() A . {}0=< a="" b="" x="" x="" b="" .="" a="" b="R" c="" .="" {}1=""> A B x x

D . A B =?

2. 如图,正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图 . 正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的

中心成中心对称,在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是()

A . 14 B . π8

C .

12

D .

π4

3. 设有下面四个命题()

1p :若复数 z 满足 1

z

∈R ,则 z ∈R ;

2p :若复数 z 满足 2z ∈R ,则 z ∈R ;

3p :若复数 12z z , 满足 12z z ∈R ,则 12z z =; 4p :若复数 z ∈R ,则 z ∈R .

A . 13p p , B . 14p p , C . 23p p , D . 24p p , 4. 记 n S 为等差数列 {}n a 的前 n 项和,若 4562448a a S +==, ,则 {}n a 的公差为()

A . 1 B . 2

C . 4

D . 8 5. 函数 ()f x 在 ()-∞+∞, 单调递减,且为奇函数.若 ()11f =-,则满足 ()121f x --≤ ≤ 的 x 的取值范围是()

A . []22-, B . []11-, C . []04,

D . []13,

6.

()62111x x ?

?++ ??

?展开式中 2x 的系数为 A . 15 B . 20 C . 30 D . 35

7. 某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为 2, 俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形,这些梯形的面积之和为

A . 10 B . 12 C . 14

D . 16 8. 右面程序框图是为了求出满足 321000n n ->的最小偶数 n ,

那么在

和

可以分别

填入

A . 1000A >和 1n n =+

B . 1000A >和 2n n =+ C . 1000A ≤ 和 1n n =+ D . 1000A ≤ 和 2n n =+

9. 已知曲线 1:cos C y x =, 22π:sin 23C y x ?

?=+ ??

?,则下面结论正确的是()

A .把 1C 上各点的横坐标伸长到原来的 2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 π

6

个单位长度,得到曲 线 2C

B .把 1C 上各点的横坐标伸长到原来的 2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 π

12

个单位长度,得到 曲线 2C

C .把 1C 上各点的横坐标缩短到原来的 12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 π

6

个单位长度,得到曲 线 2C

D .把 1C 上各点的横坐标缩短到原来的 2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 π

12

个单位长度,得到 曲线 2C

10. 已知 F 为抛物线 C :24y x =的交点, 过 F 作两条互相垂直 1l , 2l , 直线 1l 与 C 交于 A 、 B 两点, 直线 2l 与 C

交于 D , E 两点, AB DE +的最小值为() A . 16 B . 14

C . 12

D . 10

11. 设 x , y , z 为正数,且 235x y z ==,则()

A . 235x y z < b="" .="" 523z="" x="" y="">

C . 352y z x

D . 325y x z

12. 几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件,为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学 题获取软件激活码”的活动,这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列

1, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 8, 1, 2, 4, 8, 16,?,其中第一项是 02,接下来的两项是 02, 12,在接下来

的三项式 62, 12, 22,依次类推,求满足如下条件的最小整数 N :100N >且该数列的前 N 项和为 2的整 数幂.那么该款软件的激活码是( ) A . 440 B . 330 C . 220 D . 110 二、 填空题:本题共 4小题,每小题 5分,共 20分。

13. 已知向量 a , b

的夹角为 60?, 2a = , 1b = ,则 2a b += ________. 14. 设 x , y 满足约束条件 21210x y x y x y +≤??

+≥-??-≤?

,则 32z x y =-的最小值为 _______

15. 已知双曲线 22

22:x y C a b

-, (0a >, 0b >)的右顶点为 A ,以 A 为圆心, b 为半径作圆 A ,圆 A 与双曲线 C 的

一条渐近线交于 M , N 两点,若 60MAN ∠=?,则 C 的离心率为 _______.

16. 如图,圆形纸片的圆心为 O ,半径为 5cm ,该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O , D 、 E 、 F 为元 O 上

的点, DBC △ , ECA △ , FAB △ 分别是一 BC , CA , AB 为底边的等腰三角形, 沿虚线剪开后, 分别以 BC ,

CA , AB 为折痕折起 DBC △ , ECA △ , FAB △ ,使得 D , E , F 重合,得到三棱锥.当 ABC △ 的边长变

化时,所得三棱锥体积(单位:3cm )的最大值为 _______.

三、 解答题:共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21题为必考题,每个试题考生都必 须作答。第 22、 23题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60分。

17. ABC △ 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知 ABC △ 的面积为 23sin a

A

.

(1)求 sin sin B C ;

(2)若 6cos cos 1B C =, 3a =,求 ABC △ 的周长 18. (12分)

如图,在四棱锥 P ABCD -中, AB CD ∥ 中,且 90BAP CDP ∠=∠=?.

(1)证明:平面 PAB ⊥平面 PAD ;

(2)若 PA PD AB DC ===, 90APD ∠=?,求二面角 A PB C --的余弦值. 19. (12分)

为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程,实验员每天从该生产线上随机抽取 16个零件,并测量其尺寸 (单位:cm ) .根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布

()2N μσ, .

(1)假设生产状态正常,记 X 表示一天内抽取的 16个零件中其尺寸在 ()33μσμσ-+, 之外的零件数,求

()1P X ≥ 及 X 的数学期望;

(2) 一天内抽检零件中, 如果出现了尺寸在 ()33μσμσ-+, 之外的零件, 就认为这条生产线在这一天的生 产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. (I )试说明上述监控生产过程方法的合理性:

(II )下面是检验员在一天内抽取的 16个零件的尺寸: 9.95 10. 12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10. 04

10.26 9.91 10. 13

10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得 16

19.97i i x ===∑,

0.212s =≈, 其中 i x 为抽取的第 i 个零件的尺 寸, 1216i = , ,

, . 用样本平均数 作为 μ的估计值 ?μ

,用样本标准差 s 作为 σ的估计值 ?σ,利用估计值判断是否需对当天 的生产过程进行检查,剔除 ()????33μσμσ-+, 之外的数据,用剩下的数据估计 μ和 σ(精确到 0.01) .

附:若随机变量 Z 服从正态分布 ()

2N μσ,

, 则 ()330.9974P Z μσμσ-<>

160.9974

0.9592≈0.09≈.

20. (12分)

已知椭圆 C :22

221x y a b +=()0a b >>,四点 ()111P , , ()201P ,

, 31P ?- ??

, 41P ? ??中恰有三点在椭 圆 C 上.

(1)求 C 的方程;

(2)设直线 l 不经过 2P 点且与 C 相交于 A 、 B 两点,若直线 2P A 与直线 2P B 的斜率的和为 1-,证明:l 过 定点. 21. (12分)

已知函数 ()()2e 2e x x

f x a a x =+--.

(1)讨论 ()f x 的单调性;

(2)若 ()f x 有两个零点,求 a 的取值范围.

(二)选考题:共 10分。请考生在第 22、 23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。 22. [选修 4-4:坐标系与参考方程 ]

在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C 的参数方程为 3cos sin x y θθ=??=?, , (θ为参数) , 直线 l 的参数方程为 41x a t y t =+??=-?

,

, (t

为参数) .

(1)若 1a =-,求 C 与 l 的交点坐标;

(2)若 C

上的点到 l a . 23. [选修 4-5:不等式选讲 ]

已知函数 ()()2

411f x x ax g x x x =-++=++-, .

(1)当 1a =时,求不等式 ()()f x g x ≥ 的解集;

(2)若不等式 ()()f x g x ≥ 的解集包含 []11-,

,求 a 的取值范围.

2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国 I 卷)

理科数学

注意事项:

1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净 后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

四、 选择题:本题共 12小题,每小题 5分,共 60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的。

24. 已知集合 {}{}

131x A x x B x =<><>

,则() A . {}0=< a="" b="" x="" x="" b="" .="" a="" b="R" c="" .="" {}1=""> A B x x

D . A B =?

【答案】 A

【解析】 {}1A x x =<,>

B x x x =<>

∴ {}0A B x x =< ,="" {}1a="" b="" x="" x="">< ,="" 选="">

25. 如图,正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图 . 正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的

中心成中心对称,在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是()

A . 14 B . π8

C .

12

D .

π4

【答案】 B

【解析】 设正方形边长为 2,则圆半径为 1

则正方形的面积为 224?=,圆的面积为 2π1π?=,图中黑色部分的概率为 π2

则此点取自黑色部分的概率为 π

π48

=

故选 B

26. 设有下面四个命题()

1p :若复数 z 满足 1

z

∈R ,则 z ∈R ;

2p :若复数 z 满足 2z ∈R ,则 z ∈R ;

3p :若复数 12z z , 满足 12z z ∈R ,则 12z z =; 4p :若复数 z ∈R ,则 z ∈R .

A . 13p p , B . 14p p , C . 23p p , D . 24p p ,

【答案】 B

【解析】 1:p 设 z a bi =+,则

22

11a bi z a bi a b -==∈++R ,得到 0b =,所以 z ∈R . 故 1P 正确; 2:p 若 z =-21,满足 2z ∈R ,而 z i =,不满足 2z ∈R ,故 2p 不正确;

3:p 若 1z 1=, 2z 2=,则 12z z 2=,满足 12z z ∈R ,而它们实部不相等,不是共轭复数,故 3p 不正确; 4:p 实数没有虚部,所以它的共轭复数是它本身,也属于实数,故 4p 正确;

27. 记 n S 为等差数列 {}n a 的前 n 项和,若 4562448a a S +==, ,则 {}n a 的公差为() A . 1 B . 2

C . 4

D . 8

【答案】 C

【解析】 45113424a a a d a d +=+++=

6165

6482

S a d ?=+

= 联立求得 11272461548a d a d +=???+=??①

②

3?-① ② 得 ()211524-=d

624d =

4d =∴

选 C

28. 函数 ()f x 在 ()-∞+∞, 单调递减,且为奇函数.若 ()11f =-,则满足 ()121f x --≤ ≤ 的 x 的取值范围是()

A . []22-, B . []11-, C . []04, D . []13,

【答案】 D

【解析】 因为 ()f x 为奇函数,所以 ()()111f f -=-=,

于是 ()121f x --≤ ≤ 等价于 ()()()121f f x f --≤ ≤ |

又 ()f x 在 ()-∞+∞,

单调递减 121x ∴--≤ ≤

3x ∴1≤ ≤

故选 D

29. ()62111x x ?

?++ ??

?展开式中 2x 的系数为

A . 15

B . 20 C . 30 D . 35

【答案】 C.

【解析】 ()()()66622111+1111x x x x x ??

+=?++?+ ???

对 ()6

1x +的 2x 项系数为 2

665

C 152

?=

= 对 ()6211x x

?+的 2x 项系数为 4

6C =15, ∴ 2x 的系数为 151530+= 故选 C

30. 某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为 2,

俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形,这些梯形的面积之和为

A . 10 B . 12 C . 14 D . 16

【答案】 B

【解析】 由三视图可画出立体图

该立体图平面内只有两个相同的梯形的面

()24226S =+?÷=梯

6212S =?=全梯

故选 B

31. 右面程序框图是为了求出满足 321000n n ->的最小偶数 n , 那么在

和

可以分别

填入

A . 1000A >和 1n n =+ B . 1000A >和 2n n =+ C . 1000A ≤ 和 1n n =+ D . 1000A ≤ 和 2n n =+ 【答案】 D

【答案】 因为要求 A 大于 1000时输出,且框图中在“否”时输出

∴“ ”中不能输入 A 1000> 排除 A 、 B

又要求 n 为偶数,且 n 初始值为 0, “ n 依次加 2可保证其为偶 故选 D

32. 已知曲线 1:cos C y x =, 22π:sin 23C y x ?

?=+ ??

?,则下面结论正确的是()

A .把 1C 上各点的横坐标伸长到原来的 2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 π

6

个单位长度,得到曲 线 2C

B .把 1C 上各点的横坐标伸长到原来的 2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 π

12

个单位长度,得到 曲线 2C

C .把 1C 上各点的横坐标缩短到原来的 12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 π

6

个单位长度,得到曲 线 2C

D .把 1C 上各点的横坐标缩短到原来的 2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 π

12

个单位长度,得到 曲线 2C 【答案】 D

【解析】 1:cos C y x =, 22π:sin 23?

?=+ ??

?C y x

首先曲线 1C 、 2C 统一为一三角函数名,可将 1:cos C y x =用诱导公式处理. πππcos cos sin 222???

?==+-=+ ? ?????y x x x .横坐标变换需将 1=ω变成 2=ω,

即 112

πππsin sin 2sin 2224??????=+→=+=+ ? ? ??????

?C 上各 坐 短它原 y x y x x 点横 标缩 来

2ππsin 2sin 233???

???→=+=+ ? ????

?y x x .

注意 ω的系数,在右平移需将 2=ω提到括号外面,这时 π4+x 平移至 π

3

+x , 根据“左加右减”原则,“ π4+

x ”到“ π3+x ”需加上 π12,即再向左平移 π

12

.

33. 已知 F 为抛物线 C :24y x =的交点, 过 F 作两条互相垂直 1l , 2l , 直线 1l 与 C 交于 A 、 B 两点, 直线 2l 与 C

交于 D , E 两点, AB DE +的最小值为() A . 16

B . 14

C . 12

D . 10

【答案】 A 【解析】

设 AB 倾斜角为 θ.作 1AK 垂直准线, 2AK 垂直 x 轴 易知 1

1cos 22?

??+=??

=??

???=--= ?????

AF GF AK AK AF P P GP P

θ(几何关系)

(抛物线特性)

cos AF P AF θ?+=∴ 同理 1cos P

AF θ

=

-, 1cos P BF θ=+

∴ 22221cos sin P P

AB θθ

=

=- 又 DE 与 AB 垂直,即 DE 的倾斜角为

π

2

θ+ 2222πcos sin 2P P

DE θθ=

=

??+ ???

而 24y x =,即 2P =.

∴ 22

112sin cos AB DE P θθ??+=+ ???22

22sin cos 4sin cos θθ

θθ+=224sin cos θθ=24sin 24

=θ 216

16sin 2θ

=≥ ,当 π4θ=取等号

即 AB DE +最小值为 16,故选 A

34. 设 x , y , z 为正数,且 235x y z ==,则()

A . 235x y z < b="" .="" 523z="" x="" y="">< c="" .="" 352y="" z="" x="">< d="" .="" 325y="" x="" z="">

【答案】 D

【答案】 取对数:ln 2ln3ln5x y ==.

ln33ln 22x y => ∴ 23x y >

ln 2ln 5x z =

则

ln55ln 22

x z =< ∴="" 25x="" z=""><∴ 325y="" x="" z=""><,故选>

35. 几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件,为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学

题获取软件激活码”的活动,这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列

1, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 8, 1, 2, 4, 8, 16,?,其中第一项是 02,接下来的两项是 02, 12,在接下来 的三项式 62, 12, 22,依次类推,求满足如下条件的最小整数 N :100N >且该数列的前 N 项和为 2的整 数幂.那么该款软件的激活码是( ) A . 440 B . 330 C . 220 D . 110 【答案】 A

【解析】 设首项为第 1组,接下来两项为第 2组,再接下来三项为第 3组,以此类推.

设第 n 组的项数为 n ,则 n 组的项数和为 ()12

n n +

由题, 100N >,令

()11002

n n +>→ 14n ≥ 且 *n ∈N ,即 N 出现在第 13组之后

第 n 组的和为 12

2112

n

n -=--

n 组总共的和为

(

)2122

212

n n

n n --=---

若要使前 N 项和为 2的整数幂,则 ()12

n n N +-

项的和 21k -应与 2n --互为相反数

即 ()*

21214k n k n -=+∈N , ≥

()2log 3k n =+ → 295n k ==, 则 ()

2912954402

N ?+=

+=

故选 A

五、 填空题:本题共 4小题,每小题 5分,共 20分。

36. 已知向量 a , b

的夹角为 60?, 2a = , 1b = ,则 2a b += ________.

【答案】 【解析】 ()

2

2222(2) 22cos602a b a b a a b b

+=+=+????+

221

222222

=+???+444=++12=

∴

2a b +=

37. 设 x , y 满足约束条件 21210x y x y x y +≤??

+≥-??-≤?

,则 32z x y =-的最小值为 _______.

【答案】 5-

不等式组 21210x y x y x y +≤??

+≥-??-≤?

表示的平面区域如图所示

2x +y +1=0

由 32z x y =-得 322

z y x =

-, 求 z 的最小值,即求直线 322

z

y x =-的纵截距的最大值

当直线 322z

y x =-过图中点 A 时,纵截距最大

由 21

21x y x y +=-??+=?

解得 A 点坐标为 (1,1) -,此时 3(1) 215z =?--?=-

38. 已知双曲线 22

22:x y C a b

-, (0a >, 0b >)的右顶点为 A ,以 A 为圆心, b 为半径作圆 A ,圆 A 与双曲线 C 的

一条渐近线交于 M , N 两点,若 60MAN ∠=?,则 C 的离心率为 _______.

【解析】 如图,

OA a =, AN AM b ==

∵ 60M AN ∠=?

,∴ AP =

, OP ==

∴ tan AP OP θ==

又∵ tan b a

θ=

b a =,解得 223a b =

∴ e ==

39. 如图,圆形纸片的圆心为 O ,半径为 5cm ,该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O , D 、 E 、 F 为元 O 上

的点, DBC △ , ECA △ , FAB △ 分别是一 BC , CA , AB 为底边的等腰三角形, 沿虚线剪开后, 分别以 BC ,

CA , AB 为折痕折起 DBC △ , ECA △ , FAB △ ,使得 D , E , F 重合,得到三棱锥.当 ABC △ 的边长变

化时,所得三棱锥体积(单位:3cm )的最大值为 _______.

【答案】 【解析】 由题,连接 OD ,交 BC 与点 G ,由题, OD BC ⊥

OG ,即 OG 的长度与 BC 的长度或成正比 设 OG x =

,则 BC =, 5DG x =-

三棱锥的高 h

21

32

ABC S x =?=△

则 21

3

ABC V S h =?=

△

令 ()452510f x x x =-, 5

(0,) 2

x ∈, ()3410050f x x x '=-

令 ()0f x '>,即 4320x x -<, 2x="">< 则="" ()()280f="" x="" f="">

则 45V = ∴

体积最大值为 3

六、 解答题:共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21题为必考题,每个试题考生都必

须作答。第 22、 23题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60分。

40. ABC △ 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知 ABC △ 的面积为 23sin a

A

.

(1)求 sin sin B C ;

(2)若 6cos cos 1B C =, 3a =,求 ABC △ 的周长.

【解析】 本题主要考查三角函数及其变换,正弦定理,余弦定理等基础知识的综合应用 .

(1) ∵ ABC △ 面积 2

3sin a S A

=. 且 1sin 2S bc A =

∴

21

sin 3sin 2

a bc A A = ∴ 22

3sin 2

a bc A =

∵ 由正弦定理得 22

3sin sin sin sin 2A B C A =,

由 sin 0A ≠得 2

sin sin 3B C =.

(2)由(1)得 2sin sin 3B C =, 1

cos cos 6

B C =

∵ πA B C ++=

∴ ()()1cos cos πcos sin sinC cos cos 2

A B C B C B B C =--=-+=-=

又 ∵ ()0πA ∈,

∴ 60A =?

, sin A =

1cos 2A =

由余弦定理得 2229a b c bc =+-= ① 由正弦定理得 sin sin a

b B A

=

?, sin sin a c C A =

? ∴ 2

2sin sin 8sin a bc B C A

=?= ②

由 ①②

得 b c +=

∴ 3a b c ++=+ABC △

周长为 3

41. (12分)

如图,在四棱锥 P ABCD -中, AB CD ∥ 中,且 90BAP CDP ∠=∠=?.

(1)证明:平面 PAB ⊥平面 PAD ;

(2)若 PA PD AB DC ===, 90APD ∠=?,求二面角 A PB C --的余弦值. 【解析】 (1)证明:∵ 90BAP CDP ∠=∠=?

∴ PA AB ⊥, PD CD ⊥ 又∵ AB CD ∥ ,∴ PD AB ⊥

又∵ PD PA P = , PD 、 PA ?平面 PAD ∴ AB ⊥平面 PAD ,又 AB ?平面 PAB ∴平面 PAB ⊥平面 PAD

(2)取 AD 中点 O , BC 中点 E ,连接 PO , OE ∵

AB CD ∴四边形 ABCD 为平行四边形 ∴

OE

AB

由(1)知, AB ⊥平面 PAD

∴ OE ⊥平面 PAD ,又 PO 、 AD ?平面 PAD ∴ OE PO ⊥, OE AD ⊥ 又∵ PA PD =,∴ PO AD ⊥ ∴ PO 、 OE 、 AD 两两垂直

∴以 O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz -

设 2PA =

,∴ ()

00D

、 )20B ,

、 (00P ,

、 ()

20C ,

∴ (0PD =

,

、 2PB =

、 ()

00BC =- , 设 ()n x y z = , , 为平面 PBC 的法向量 由 00n PB n BC ??=?

??=??

,得 200

y +=-=?? 令 1y =

,则 z =, 0x =,可得平面 PBC

的一个法向量 (01n =

, ∵ 90APD ∠=?,∴ PD PA ⊥

又知 AB ⊥平面 PAD , PD ?平面 PAD ∴ PD AB ⊥,又 PA AB A = ∴ PD ⊥平面 PAB

即 PD

是平面 PAB

的一个法向量, (0PD = , ,

∴ cos PD n PD n PD n ?===?

,

由图知二面角 A PB C --

为钝角,所以它的余弦值为 42. (12分)

为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程,实验员每天从该生产线上随机抽取 16个零件,并测量其尺寸 (单位:cm ) .根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布

()2N μσ, .

(1)假设生产状态正常,记 X 表示一天内抽取的 16个零件中其尺寸在 ()33μσμσ-+, 之外的零件数,求 ()1P X ≥ 及 X 的数学期望;

(2) 一天内抽检零件中, 如果出现了尺寸在 ()33μσμσ-+, 之外的零件, 就认为这条生产线在这一天的生 产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. (I )试说明上述监控生产过程方法的合理性:

(II )下面是检验员在一天内抽取的 16个零件的尺寸: 9.95 10. 12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10. 04

10.26 9.91 10. 13

10.02 9.22 10.04 10.05 9.95

经计算得 16

1

9.97i i x ===∑,

0.212s =

≈, 其中 i x 为抽取的第 i 个零件的尺 寸, 1216i = , ,

, . 用样本平均数 作为 μ的估计值 ?μ

,用样本标准差 s 作为 σ的估计值 ?σ,利用估计值判断是否需对当天 的生产过程进行检查,剔除 ()????33μσμσ-+, 之外的数据,用剩下的数据估计 μ和 σ(精确到 0.01) .

附:若随机变量 Z 服从正态分布 ()

2N μσ,

, 则 ()330.9974P Z μσμσ-<+=.>

≈0.09≈.

【解析】 (1) 由题可知尺寸落在 ()33μσμσ-+,

之内的概率为 0.9974,落在 ()33μσμσ-+, 之外的概率为 0.0026.

()()0

16160C 10.99740.99740.9592P X ==-≈

()()11010.95920.0408P X P X ≥=-=≈-=

由题可知 ()~160.0026X B ,

()160.00260.0416E X ∴=?=

(2)(i )尺寸落在 ()33μσμσ-+,

之外的概率为 0.0026, 由正态分布知尺寸落在 ()33μσμσ-+,

之外为小概率事件, 因此上述监控生产过程的方法合理. (ii )

39.9730.2129.334μσ-=-?= 39.9730.21210.606μσ+=+?=

()()339.33410.606μσμσ-+=,

, ()9.229.33410.606? ,

, ∴需对当天的生产过程检查. 因此剔除 9.22 剔除数据之后:9.97169.22

10.0215

μ?-=

=.

()()()()()

()()()()()

()()()()()2

2

2

2

222

2

2

2

2

2

2

2

2

2

[9.9510.0210.1210.029.9610.029.9610.0210.0110.029.9210.029.9810.0210.0410.0210.2610.029.9110.02110.1310.0210.0210.0210.0410.0210.0510.029.9510.02]15

0.0σ=-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-?

≈08

0.09σ∴=≈

43. (12分)

已知椭圆 C :22

221x y a b +=()0a b >>,四点 ()111P , , ()201P ,

, 31P ?- ??

, 41P ? ??中恰有三点在椭 圆 C 上.

(1)求 C 的方程;

(2)设直线 l 不经过 2P 点且与 C 相交于 A 、 B 两点,若直线 2P A 与直线 2P B 的斜率的和为 1-,证明:l 过 定点.

【解析】 (1)根据椭圆对称性,必过 3P 、 4P

又 4P 横坐标为 1,椭圆必不过 1P ,所以过 234P P P , ,

三点

将 (

)23011P P ?- ??

, , 代入椭圆方程得 222113

1

1b a

b ?=??

??+=??,解得 24a =, 21b = ∴椭圆 C 的方程为:2

214

x y +=.

(2) ① 当斜率不存在时,设 ()():A A l x m A m y B m y =-, , ,

, 22112

1A A P A P B y y k k m m m

----+=

+==- 得 2m =,此时 l 过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足. ② 当斜率存在时,设 ()1l y kx b b =+≠∶ ()()1122A x y B x y , , ,

联立 22

440y kx b x y =+??+-=?

,整理得 ()222

148440k x kbx b +++-= 122814kb x x k -+=+, 2122

44

14b x x k -?=+

则 22121211P A P B y y k k x x --+=

+()()212121

12

x kx b x x kx b x x x +-++-= 2222

88884414kb k kb kb b k --+=-+ ()811411k b b b -=

=-+-, 又 1b ≠

21b k ?=--,此时 64k ?=-,存在 k 使得 0?>成立.

∴直线 l 的方程为 21y kx k =-- 当 2x =时, 1y =- 所以 l 过定点 ()21-,

.

44. (12分)

已知函数 ()()2e 2e x x

f x a a x =+--.

(1)讨论 ()f x 的单调性;

(2)若 ()f x 有两个零点,求 a 的取值范围.

【解析】 (1)由于 ()()2e 2e x x

f x a a x =+--

故 ()()()()22e 2e 1e 12e 1x x x x

f x a a a '=+--=-+

① 当 0a ≤时, e 10x a -<, 2e="" 10x="" +="">.从而 ()0f x '<恒成立. ()f="" x="" 在="" r="">

② 当 0a >时,令 ()0f x '=,从而 e 10x a -=,得 ln x a =-.

综上,当 0a ≤R 当 0a >时, () f x 在 (, ln ) a -∞-上单调递减,在 (ln , ) a -+∞上单调递增

(2)由(1)知,

当 0a ≤时, ()f x 在 R 上单调减,故 ()f x 在 R 上至多一个零点,不满足条件. 当 0a >时, ()min 1

ln 1ln f f a a a

=-=-+. 令 ()1

1ln g a a a

=-+. 令 ()()11ln 0g a a a a =-

+>,则 ()211

' 0g a a a

=+>.从而 ()g a 在 ()0+∞,

上单调增,而 ()10g =.故当 01a <时, ()0g="" a=""><.当 1a="时" ()0g="" a=".当" 1a="">时 ()0g a >

若 1a >,则 ()min 1

1ln 0f a g a a =-

+=>,故 ()0f x >恒成立,从而 ()f x 无零点,不满足条件. 若 1a =,则 min 1

1ln 0f a a

=-+=,故 ()0f x =仅有一个实根 ln 0x a =-=,不满足条件.

若 01a <,则 min="">

1ln 0f a a

=-+<,注意到 ln="" 0a="" -="">. ()22110e e e a a f -=++->.

故 ()f x 在 ()1ln a --,

上有一个实根,而又 31ln 1ln ln a a a ??

->=- ???

. 且

33ln 1ln 133ln(1) e e

2ln 1a a f a a a a ????

-- ? ?

??????????-=?+--- ? ? ? ???????

()3333132ln 11ln 10a a a a a a ????????

=-?-+---=---> ? ? ? ?????????

. 故 ()f x 在 3ln ln 1a a ??

??-- ? ????

?,

上有一个实根. 又 ()f x 在 ()ln a -∞-,

上单调减,在 ()ln a -+∞, 单调增,故 ()f x 在 R 上至多两个实根. 又 ()f x 在 ()1ln a --,

及 3ln ln 1a a ????-- ? ????

?, 上均至少有一个实数根,故 ()f x 在 R 上恰有两个实根. 综上, 01a <>

(二)选考题:共 10分。请考生在第 22、 23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。 45. [选修 4-4:坐标系与参考方程 ]

在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C 的参数方程为 3cos sin x y θθ=??=?, , (θ为参数) , 直线 l 的参数方程为 41x a t y t

=+??=-?

,

, (t

为参数) .

(1)若 1a =-,求 C 与 l 的交点坐标;

(2)若 C 上的点到 l a . 【解析】 (1) 1a =-时,直线 l 的方程为 430x y +-=.

曲线 C 的标准方程是 2

219

x y +=,

联立方程 22

43019x y x y +-=???+=?

?,解得:30x y =??=?或 2125

2425x y ?

=-

????=??, 则 C 与 l 交点坐标是 ()30, 和 21242525??

- ???

(2)直线 l 一般式方程是 440x y a +--=. 设曲线 C 上点 ()3cos sin p θθ,

. 则 P 到 l

距离

d =

=

,其中 3

tan 4

?=

. 依题意得:max d =16a =-或 8a =

46. [选修 4-5:不等式选讲 ]

已知函数 ()()2

411f x x ax g x x x =-++=++-, .

(1)当 1a =时,求不等式 ()()f x g x ≥ 的解集;

(2)若不等式 ()()f x g x ≥ 的解集包含 []11-,

,求 a 的取值范围. 【解析】 (1)当 1a =时, ()2

4f x x x =-++,是开口向下,对称轴 1

2

x =

的二次函数. ()211121121x x g x x x x x >??

=++-=-??-<>

, , ≤ x ≤ , ,

当 (1,) x ∈+∞时,令 242x x x -

++=,解得 x =

()g x 在 ()1+∞,

上单调递增, ()f x 在 ()1+∞, 上单调递减 ∴此时 ()()f x

g x ≥ 解集为 1? ??

. 当 []11x ∈-,

时, ()2g x =, ()()12f x f -=≥ . 当 ()1x ∈-∞-,

时, ()g x 单调递减, ()f x 单调递增,且 ()()112g f -=-=. 综上所述, ()()f

x g x ≥ 解集 1?-???

.

(2)依题意得:242x ax -++≥ 在 []11-, 恒成立. 即 220x ax --≤ 在 []11-,

恒成立. 则只须 ()

()2

2

1120

1120a a ?-?-??----??≤ ≤ ,解出:11a -≤ ≤ . 故 a 取值范围是 []11-,

.

2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国 I 卷)

理科数学

注意事项:

1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净 后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

七、 选择题:本题共 12小题,每小题 5分,共 60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的。

47. 已知集合 {}{}

131x A x x B x =<><>

,则() A . {}0=< a="" b="" x="" x="" b="" .="" a="" b="R" c="" .="" {}1=""> A B x x

D . A B =?

【答案】 A

【解析】 {}1A x x =<,>

B x x x =<>

∴ {}0A B x x =< ,="" {}1a="" b="" x="" x="">< ,="" 选="">

48. 如图,正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图 . 正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的

中心成中心对称,在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是()

A . 14 B . π8

C .

12

D .

π4

【答案】 B

【解析】 设正方形边长为 2,则圆半径为 1

则正方形的面积为 224?=,圆的面积为 2π1π?=,图中黑色部分的概率为 π2

则此点取自黑色部分的概率为 π

π48

=

故选 B

49. 设有下面四个命题()

1p :若复数 z 满足 1

z

∈R ,则 z ∈R ;

2p :若复数 z 满足 2z ∈R ,则 z ∈R ;

3p :若复数 12z z , 满足 12z z ∈R ,则 12z z =;

4p :若复数 z ∈R ,则 z ∈R .

A . 13p p , B . 14p p , C . 23p p , D . 24p p ,

【答案】 B

【解析】 1:p 设 z a bi =+,则

22

11a bi z a bi a b -==∈++R ,得到 0b =,所以 z ∈R . 故 1P 正确; 2:p 若 z =-21,满足 2z ∈R ,而 z i =,不满足 2z ∈R ,故 2p 不正确;

3:p 若 1z 1=, 2z 2=,则 12z z 2=,满足 12z z ∈R ,而它们实部不相等,不是共轭复数,故 3p 不正确;

4:p 实数没有虚部,所以它的共轭复数是它本身,也属于实数,故 4p 正确;

50. 记 n S 为等差数列 {}n a 的前 n 项和,若 4562448a a S +==, ,则 {}n a 的公差为() A . 1 B . 2

C . 4

D . 8

【答案】 C

【解析】 45113424a a a d a d +=+++=

6165

6482

S a d ?=+

= 联立求得 11272461548a d a d +=???+=??①

②

3?-① ② 得 ()211524-=d

624d =

4d =∴

选 C

51. 函数 ()f x 在 ()-∞+∞, 单调递减,且为奇函数.若 ()11f =-,则满足 ()121f x --≤ ≤ 的 x 的取值范围是()

A . []22-, B . []11-, C . []04, D . []13,

【答案】 D

【解析】 因为 ()f x 为奇函数,所以 ()()111f f -=-=,

于是 ()121f x --≤ ≤ 等价于 ()()()121f f x f --≤ ≤ |

又 ()f x 在 ()-∞+∞,

单调递减 121x ∴--≤ ≤

3x ∴1≤ ≤

故选 D

52. ()62111x x ?

?++ ??

?展开式中 2x 的系数为

A . 15

B . 20 C . 30 D . 35

【答案】 C.

【解析】 ()()()66622111+1111x x x x x ??

+=?++?+ ???

对 ()6

1x +的 2x 项系数为 2

665

C 152

?=

= 对 ()6211x x

?+的 2x 项系数为 4

6C =15, ∴ 2x 的系数为 151530+= 故选 C

53. 某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为 2,

俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形,这些梯形的面积之和为

A . 10 B . 12 C . 14 D . 16

【答案】 B

【解析】 由三视图可画出立体图

该立体图平面内只有两个相同的梯形的面

()24226S =+?÷=梯

6212S =?=全梯

故选 B

54. 右面程序框图是为了求出满足 321000n n ->的最小偶数 n , 那么在

和

可以分别

填入

A . 1000A >和 1n n =+ B . 1000A >和 2n n =+ C . 1000A ≤ 和 1n n =+ D . 1000A ≤ 和 2n n =+ 【答案】 D

【答案】 因为要求 A 大于 1000时输出,且框图中在“否”时输出

∴“ ”中不能输入 A 1000> 排除 A 、 B

又要求 n 为偶数,且 n 初始值为 0, “ n 依次加 2可保证其为偶 故选 D

55. 已知曲线 1:cos C y x =, 22π:sin 23C y x ?

?=+ ??

?,则下面结论正确的是()

A .把 1C 上各点的横坐标伸长到原来的 2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 π

6

个单位长度,得到曲 线 2C

B .把 1C 上各点的横坐标伸长到原来的 2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 π

12

个单位长度,得到 曲线 2C

C .把 1C 上各点的横坐标缩短到原来的 12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 π

6

个单位长度,得到曲 线 2C

D .把 1C 上各点的横坐标缩短到原来的 2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 π

12

个单位长度,得到 曲线 2C 【答案】 D

【解析】 1:cos C y x =, 22π:sin 23?

?=+ ??

?C y x

首先曲线 1C 、 2C 统一为一三角函数名,可将 1:cos C y x =用诱导公式处理. πππcos cos sin 222???

?==+-=+ ? ?????y x x x .横坐标变换需将 1=ω变成 2=ω,

即 112

πππsin sin 2sin 2224??????=+→=+=+ ? ? ??????

?C 上各 坐 短它原 y x y x x 点横 标缩 来

2ππsin 2sin 233???

???→=+=+ ? ????

?y x x .

注意 ω的系数,在右平移需将 2=ω提到括号外面,这时 π4+x 平移至 π

3

+x , 根据“左加右减”原则,“ π4+

x ”到“ π3+x ”需加上 π12,即再向左平移 π

12

.

56. 已知 F 为抛物线 C :24y x =的交点, 过 F 作两条互相垂直 1l , 2l , 直线 1l 与 C 交于 A 、 B 两点, 直线 2l 与 C

交于 D , E 两点, AB DE +的最小值为() A . 16

B . 14

C . 12

D . 10

【答案】 A 【解析】

设 AB 倾斜角为 θ.作 1AK 垂直准线, 2AK 垂直 x 轴 易知 1

1cos 22?

??+=??

=??

???=--= ?????

AF GF AK AK AF P P GP P

θ(几何关系)

(抛物线特性)

cos AF P AF θ?+=∴ 同理 1cos P

AF θ

=

-, 1cos P BF θ=+

∴ 22221cos sin P P

AB θθ

=

=- 又 DE 与 AB 垂直,即 DE 的倾斜角为

π

2

θ+ 2222πcos sin 2P P

DE θθ=

=

??+ ???

而 24y x =,即 2P =.

∴ 22

112sin cos AB DE P θθ??+=+ ???22

22sin cos 4sin cos θθ

θθ+=224sin cos θθ=24sin 24

=θ 216

16sin 2θ

=≥ ,当 π4θ=取等号

即 AB DE +最小值为 16,故选 A

57. 设 x , y , z 为正数,且 235x y z ==,则()

A . 235x y z < b="" .="" 523z="" x="" y="">< c="" .="" 352y="" z="" x="">< d="" .="" 325y="" x="" z="">

【答案】 D

【答案】 取对数:ln 2ln3ln5x y ==.

ln33ln 22x y => ∴ 23x y >

ln 2ln 5x z =

则

ln55ln 22

x z =< ∴="" 25x="" z=""><∴ 325y="" x="" z=""><,故选>

58. 几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件,为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学

题获取软件激活码”的活动,这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列

1, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 8, 1, 2, 4, 8, 16,?,其中第一项是 02,接下来的两项是 02, 12,在接下来 的三项式 62, 12, 22,依次类推,求满足如下条件的最小整数 N :100N >且该数列的前 N 项和为 2的整 数幂.那么该款软件的激活码是( ) A . 440 B . 330 C . 220 D . 110 【答案】 A

【解析】 设首项为第 1组,接下来两项为第 2组,再接下来三项为第 3组,以此类推.

设第 n 组的项数为 n ,则 n 组的项数和为 ()12

n n +

由题, 100N >,令

()11002

n n +>→ 14n ≥ 且 *n ∈N ,即 N 出现在第 13组之后

第 n 组的和为 12

2112

n

n -=--

n 组总共的和为

(

)2122

212

n n

n n --=---

若要使前 N 项和为 2的整数幂,则 ()12

n n N +-

项的和 21k -应与 2n --互为相反数

即 ()*

21214k n k n -=+∈N , ≥

()2log 3k n =+ → 295n k ==, 则 ()

2912954402

N ?+=

+=

故选 A

八、 填空题:本题共 4小题,每小题 5分,共 20分。

59. 已知向量 a , b

的夹角为 60?, 2a = , 1b = ,则 2a b += ________.

【答案】 【解析】 ()

2

2222(2) 22cos602a b a b a a b b

+=+=+????+

221

222222

=+???+444=++12=

∴

2a b +=

60. 设 x , y 满足约束条件 21210x y x y x y +≤??

+≥-??-≤?

,则 32z x y =-的最小值为 _______.

【答案】 5-

不等式组 21210x y x y x y +≤??

+≥-??-≤?

表示的平面区域如图所示

2x +y +1=0

由 32z x y =-得 322

z y x =

-, 求 z 的最小值,即求直线 322

z

y x =-的纵截距的最大值

当直线 322z

y x =-过图中点 A 时,纵截距最大

由 21

21x y x y +=-??+=?

解得 A 点坐标为 (1,1) -,此时 3(1) 215z =?--?=-

61. 已知双曲线 22

22:x y C a b

-, (0a >, 0b >)的右顶点为 A ,以 A 为圆心, b 为半径作圆 A ,圆 A 与双曲线 C 的

一条渐近线交于 M , N 两点,若 60MAN ∠=?,则 C 的离心率为 _______.

【解析】 如图,

OA a =, AN AM b ==

∵ 60M AN ∠=?

,∴ AP =

, OP ==

∴ tan AP OP θ==

又∵ tan b a

θ=

b a =,解得 223a b =

∴ e ==

62. 如图,圆形纸片的圆心为 O ,半径为 5cm ,该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O , D 、 E 、 F 为元 O 上

的点, DBC △ , ECA △ , FAB △ 分别是一 BC , CA , AB 为底边的等腰三角形, 沿虚线剪开后, 分别以 BC ,

CA , AB 为折痕折起 DBC △ , ECA △ , FAB △ ,使得 D , E , F 重合,得到三棱锥.当 ABC △ 的边长变

化时,所得三棱锥体积(单位:3cm )的最大值为 _______.

【答案】 【解析】 由题,连接 OD ,交 BC 与点 G ,由题, OD BC ⊥

OG ,即 OG 的长度与 BC 的长度或成正比 设 OG x =

,则 BC =, 5DG x =-

三棱锥的高 h

21

32

ABC S x =?=△

则 21

3

ABC V S h =?=

△

令 ()452510f x x x =-, 5

(0,) 2

x ∈, ()3410050f x x x '=-

令 ()0f x '>,即 4320x x -<, 2x="">< 则="" ()()280f="" x="" f="">

则 45V = ∴

体积最大值为 3

九、 解答题:共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21题为必考题,每个试题考生都必

须作答。第 22、 23题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60分。

63. ABC △ 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知 ABC △ 的面积为 23sin a

A

.

(1)求 sin sin B C ;

(2)若 6cos cos 1B C =, 3a =,求 ABC △ 的周长.

【解析】 本题主要考查三角函数及其变换,正弦定理,余弦定理等基础知识的综合应用 .

(1) ∵ ABC △ 面积 2

3sin a S A

=. 且 1sin 2S bc A =

∴

21

sin 3sin 2

a bc A A = ∴ 22

3sin 2

a bc A =

∵ 由正弦定理得 22

3sin sin sin sin 2A B C A =,

由 sin 0A ≠得 2

sin sin 3B C =.

(2)由(1)得 2sin sin 3B C =, 1

cos cos 6

B C =

∵ πA B C ++=

∴ ()()1cos cos πcos sin sinC cos cos 2

A B C B C B B C =--=-+=-=

又 ∵ ()0πA ∈,

∴ 60A =?

, sin A =

1cos 2A =

由余弦定理得 2229a b c bc =+-= ① 由正弦定理得 sin sin a

b B A

=

?, sin sin a c C A =

? ∴ 2

2sin sin 8sin a bc B C A

=?= ②

由 ①②

得 b c +=

∴ 3a b c ++=+ABC △

周长为 3

64. (12分)

如图,在四棱锥 P ABCD -中, AB CD ∥ 中,且 90BAP CDP ∠=∠=?.

(1)证明:平面 PAB ⊥平面 PAD ;

(2)若 PA PD AB DC ===, 90APD ∠=?,求二面角 A PB C --的余弦值. 【解析】 (1)证明:∵ 90BAP CDP ∠=∠=?

∴ PA AB ⊥, PD CD ⊥ 又∵ AB CD ∥ ,∴ PD AB ⊥

又∵ PD PA P = , PD 、 PA ?平面 PAD ∴ AB ⊥平面 PAD ,又 AB ?平面 PAB ∴平面 PAB ⊥平面 PAD

(2)取 AD 中点 O , BC 中点 E ,连接 PO , OE ∵

AB CD ∴四边形 ABCD 为平行四边形 ∴

OE

AB

由(1)知, AB ⊥平面 PAD

∴ OE ⊥平面 PAD ,又 PO 、 AD ?平面 PAD ∴ OE PO ⊥, OE AD ⊥ 又∵ PA PD =,∴ PO AD ⊥ ∴ PO 、 OE 、 AD 两两垂直

∴以 O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz -

设 2PA =

,∴ ()

00D

、 )20B ,

、 (00P ,

、 ()

20C ,

∴ (0PD =

,

、 2PB =

、 ()

00BC =- , 设 ()n x y z = , , 为平面 PBC 的法向量 由 00n PB n BC ??=?

??=??

,得 200

y +=-=?? 令 1y =

,则 z =, 0x =,可得平面 PBC

的一个法向量 (01n =

, ∵ 90APD ∠=?,∴ PD PA ⊥

又知 AB ⊥平面 PAD , PD ?平面 PAD ∴ PD AB ⊥,又 PA AB A = ∴ PD ⊥平面 PAB

即 PD

是平面 PAB

的一个法向量, (0PD = , ,

∴ cos PD n PD n PD n ?===?

,

由图知二面角 A PB C --

为钝角,所以它的余弦值为 65. (12分)

为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程,实验员每天从该生产线上随机抽取 16个零件,并测量其尺寸 (单位:cm ) .根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布

()2N μσ, .

(1)假设生产状态正常,记 X 表示一天内抽取的 16个零件中其尺寸在 ()33μσμσ-+, 之外的零件数,求 ()1P X ≥ 及 X 的数学期望;

(2) 一天内抽检零件中, 如果出现了尺寸在 ()33μσμσ-+, 之外的零件, 就认为这条生产线在这一天的生 产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. (I )试说明上述监控生产过程方法的合理性:

(II )下面是检验员在一天内抽取的 16个零件的尺寸: 9.95 10. 12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10. 04

10.26 9.91 10. 13

10.02 9.22 10.04 10.05 9.95

经计算得 16

1

9.97i i x ===∑,

0.212s =

≈, 其中 i x 为抽取的第 i 个零件的尺 寸, 1216i = , ,

, . 用样本平均数 作为 μ的估计值 ?μ

,用样本标准差 s 作为 σ的估计值 ?σ,利用估计值判断是否需对当天 的生产过程进行检查,剔除 ()????33μσμσ-+, 之外的数据,用剩下的数据估计 μ和 σ(精确到 0.01) .

附:若随机变量 Z 服从正态分布 ()

2N μσ,

, 则 ()330.9974P Z μσμσ-<+=.>

≈0.09≈.

【解析】 (1) 由题可知尺寸落在 ()33μσμσ-+,

之内的概率为 0.9974,落在 ()33μσμσ-+, 之外的概率为 0.0026.

()()0

16160C 10.99740.99740.9592P X ==-≈

()()11010.95920.0408P X P X ≥=-=≈-=

由题可知 ()~160.0026X B ,

()160.00260.0416E X ∴=?=

(2)(i )尺寸落在 ()33μσμσ-+,

之外的概率为 0.0026, 由正态分布知尺寸落在 ()33μσμσ-+,

之外为小概率事件, 因此上述监控生产过程的方法合理. (ii )

39.9730.2129.334μσ-=-?= 39.9730.21210.606μσ+=+?=

()()339.33410.606μσμσ-+=,

, ()9.229.33410.606? ,

, ∴需对当天的生产过程检查. 因此剔除 9.22 剔除数据之后:9.97169.22

10.0215

μ?-=

=.

()()()()()

()()()()()

()()()()()2

2

2

2

222

2

2

2

2

2

2

2

2

2

[9.9510.0210.1210.029.9610.029.9610.0210.0110.029.9210.029.9810.0210.0410.0210.2610.029.9110.02110.1310.0210.0210.0210.0410.0210.0510.029.9510.02]15

0.0σ=-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-?

≈08

0.09σ∴=≈

66. (12分)

已知椭圆 C :22

221x y a b +=()0a b >>,四点 ()111P , , ()201P ,

, 31P ?- ??

, 41P ? ??中恰有三点在椭 圆 C 上.

(1)求 C 的方程;

(2)设直线 l 不经过 2P 点且与 C 相交于 A 、 B 两点,若直线 2P A 与直线 2P B 的斜率的和为 1-,证明:l 过 定点.

【解析】 (1)根据椭圆对称性,必过 3P 、 4P

又 4P 横坐标为 1,椭圆必不过 1P ,所以过 234P P P , ,

三点

将 (

)23011P P ?- ??

, , 代入椭圆方程得 222113

1

1b a

b ?=??

??+=??,解得 24a =, 21b = ∴椭圆 C 的方程为:2

214

x y +=.

(2) ① 当斜率不存在时,设 ()():A A l x m A m y B m y =-, , ,

, 22112

1A A P A P B y y k k m m m

----+=

+==- 得 2m =,此时 l 过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足. ② 当斜率存在时,设 ()1l y kx b b =+≠∶ ()()1122A x y B x y , , ,

联立 22

440y kx b x y =+??+-=?

,整理得 ()222

148440k x kbx b +++-= 122814kb x x k -+=+, 2122

44

14b x x k -?=+

则 22121211P A P B y y k k x x --+=

+()()212121

12

x kx b x x kx b x x x +-++-= 2222

88884414kb k kb kb b k --+=-+ ()811411k b b b -=

=-+-, 又 1b ≠

21b k ?=--,此时 64k ?=-,存在 k 使得 0?>成立.

∴直线 l 的方程为 21y kx k =-- 当 2x =时, 1y =- 所以 l 过定点 ()21-,

.

67. (12分)

已知函数 ()()2e 2e x x

f x a a x =+--.

(1)讨论 ()f x 的单调性;

(2)若 ()f x 有两个零点,求 a 的取值范围.

【解析】 (1)由于 ()()2e 2e x x

f x a a x =+--

故 ()()()()22e 2e 1e 12e 1x x x x

f x a a a '=+--=-+

① 当 0a ≤时, e 10x a -<, 2e="" 10x="" +="">.从而 ()0f x '<恒成立. ()f="" x="" 在="" r="">

② 当 0a >时,令 ()0f x '=,从而 e 10x a -=,得 ln x a =-.

第 31页

综上,当 0a ≤R 当 0a >时, () f x 在 (, ln ) a -∞-上单调递减,在 (ln , ) a -+∞上单调递增

(2)由(1)知,

当 0a ≤时, ()f x 在 R 上单调减,故 ()f x 在 R 上至多一个零点,不满足条件.

当 0a >时, ()min 1ln 1ln f f a a a =-=-

+. 令 ()11ln g a a a =-

+. 令 ()()11ln 0g a a a a =-+>,则 ()211' 0g a a a

=+>.从而 ()g a 在 ()0+∞, 上单调增,而 ()10g =.故当 01a <时, ()0g="" a=""><.当 1a="时" ()0g="" a=".当" 1a="">时 ()0g a >

若 1a >,则 ()min 11ln 0f a g a a

=-

+=>,故 ()0f x >恒成立,从而 ()f x 无零点,不满足条件. 若 1a =,则 min 11ln 0f a a

=-+=,故 ()0f x =仅有一个实根 ln 0x a =-=,不满足条件. 若 01a <,则 min="" 11ln="" 0f="" a="" a=""><,注意到 ln="" 0a="" -="">. ()22110e e e a a f -=++->. 故 ()f x 在 ()1ln a --, 上有一个实根,而又 31ln 1ln ln a a a ??->=- ???

. 且

33ln 1ln 133ln(1) e e 2ln 1a a f a a a a ????-- ? ???????????-=?+--- ? ? ? ???????

()3333132ln 11ln 10a a a a a a ????????=-?-+---=---> ? ? ? ?????????

. 故 ()f x 在 3ln ln 1a a ????-- ? ????

?, 上有一个实根. 又 ()f x 在 ()ln a -∞-,

上单调减,在 ()ln a -+∞, 单调增,故 ()f x 在 R 上至多两个实根. 又 ()f x 在 ()1ln a --, 及 3ln ln 1a a ????-- ? ????

?, 上均至少有一个实数根,故 ()f x 在 R 上恰有两个实根. 综上, 01a <>

(二)选考题:共 10分。请考生在第 22、 23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。 68. [选修 4-4:坐标系与参考方程 ]

在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C 的参数方程为 3cos sin x y θθ=??=?, , (θ为参数) , 直线 l 的参数方程为 41x a t y t =

+??=-?

, , (t 为参数) .

(1)若 1a =-,求 C 与 l 的交点坐标;

(2)若 C 上的点到 l a .

【解析】 (1) 1a =-时,直线 l 的方程为 430x y +-=.

曲线 C 的标准方程是 2219

x y +=,

第 32页 联立方程 2243019x y x y +-=???+=??,解得:30x y =??=?或 21252425x y ?=-????=??

, 则 C 与 l 交点坐标是 ()30, 和 21242525??- ???

(2)直线 l 一般式方程是 440x y a +--=.

设曲线 C 上点 ()3cos sin p θθ,

. 则 P 到 l

距离

d ==,其中 3tan 4

?=. 依题意得:max d =16a =-或 8a =

69. [选修 4-5:不等式选讲 ]

已知函数 ()()2411f x x ax g x x x =-++=++-, .

(1)当 1a =时,求不等式 ()()f x g x ≥ 的解集;

(2)若不等式 ()()f x g x ≥ 的解集包含 []11-,

,求 a 的取值范围. 【解析】 (1)当 1a =时, ()24f x x x =-++,是开口向下,对称轴 12x =的二次函数. ()211121121x x g x x x x x >??=++-=-??-<>

, , ≤ x ≤ , , 当 (1,) x ∈+∞时,令 242x x x

-++=,解得 x =()g x 在 ()1+∞,

上单调递增, ()f x 在 ()1+∞, 上单调递减 ∴此时 ()()f x

g x ≥ 解集为 1? ??

. 当 []11x ∈-,

时, ()2g x =, ()()12f x f -=≥ . 当 ()1x ∈-∞-,

时, ()g x 单调递减, ()f x 单调递增,且 ()()112g f -=-=. 综上所述, ()()f

x g x ≥ 解集 1?-???

. (2)依题意得:242x ax -++≥ 在 []11-,

恒成立. 即 220x ax --≤ 在 []11-,

恒成立. 则只须 ()

()2211201120a a ?-?-??----??≤ ≤ ,解出:11a -≤ ≤ . 故 a 取值范围是 []11-,

.

范文三：2016新课标全国一卷数学试题

2016新课标全国一卷

一 . 选择题:本大题共 12小题,每小题 5分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的 .

(1)设集合

2

{|430}A x x x =-+<, {|230}b="" x="" x="-">,则 A B = (A ) 3(3, ) 2--(B ) 3(3, ) 2-(C ) 3(1,)

2(D ) 3

(,3) 2

(2)设 (1i) 1i x y +=+,其中 x , y 是实数,则 i =x y + (A ) 1(B

C

) D ) 2

(3)已知等差数列 {}n a 前 9项的和为 27, 10=8a ,则 100=a

(A ) 100(B ) 99(C ) 98(D ) 97

(4)某公司的班车在 7:00, 8:00, 8:30发车,小明在 7:50至 8:30之间到达发 车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过 10分钟 的概率是 (A )

13(B ) 12(C ) 23(D ) 34

(5)已知方程 22

22

13x y m n m n

-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距 离为 4,则 n 的取值范围是

(A ) (– 1,3) (B ) (– 3) (C ) (0,3) (D ) 3)

(6)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直 的半径 . 若该几何体的体积是

283

π

,则它的表面积是 (A ) 17π(B ) 18π(C ) 20π(D ) 28π (7)函数 y =2x 2– e |x |在 [– 2,2]的图像大致为

A. B. C. D.

(8)若 101a b c >><>

,则 (A ) c c a b <(b )="" c="" c="" ab="" ba=""><(c )="" log="" log="" b="" a="" a="" c="" b="" c=""><(d )="" log="" log="" a="" b="" c="" c="">< (9)执行右面的程序图,如果输入的="" 011x="" y="" n="==," ,="" ,则输出="" x="" ,="" y="" 的值满="">

(A ) 2y x =(B ) 3y x =(C ) 4y x =(D ) 5y x = (10)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A 、 B 两点,交 C 的标准线于 D 、 E 两点 . 已知 |AB

|=|

DE|= C 的焦点到准线的距离为

(A)2 (B)4 (C)6 (D)8

(11)平面 a 过正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点 A , a //平面 CB 1D 1, a ?平面 ABCD =m , a ?平面 ABA 1B 1=n ,则 m 、 n 所成角 的正弦值为

(A)

(B

(C) (D)13

12. 已知函数 () sin(

)(0), 2

4

f x x+x π

π

ω?ω=>≤=-

为 () f x 的零点, 4

x π

=

为

() y f x =图像的对称轴,且 () f x 在 51836ππ??

???

单调,则 ω的最大值为

(A ) 11 (B ) 9 (C ) 7 (D ) 5 二、填空题:本大题共 3小题,每小题 5分

(13)设向量 a =(m , 1) , b =(1, 2) ,且 |a +b |2=|a |2+|b |2,则 m =.

(14)5(2x 的展开式中, x 3的系数是 . (用数字填写答案)

(15)设等比数列 {}n a 满足 a 1+a 3=10, a 2+a 4=5,则 a 1a 2… a n 的最大值为。 (16)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料。生产一 件产品 A 需要甲材料 1.5kg ,乙材料 1kg ,用 5个工时;生产一件产品 B 需要 甲材料 0.5kg , 乙材料 0.3kg , 用 3个工时, 生产一件产品 A 的利润为 2100元, 生产一件产品 B 的利润为 900元。 该企业现有甲材料 150kg , 乙材料 90kg , 则 在不超过 600个工时的条件下, 生产产品 A 、 产品 B 的利润之和的最大值为元。 三 . 解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 .

(17) (本题满分为 12分) △ ABC 的内角 A , B , C 的对边分别别为 a , b , c , 已知 2cos (cos cos ) . C a B+bA c =

(I )求 C ;

(II

)若 c ABC = 的面积为

2

,求 ABC 的周长.

(18) (本题满分为 12分) 如图, 在已 A , B , C , D , E , F 为顶点的五面体中, 面 ABEF 为正方形, AF =2FD ,

90AFD ∠= ,且二面角 D -AF -E 与二面角 C -BE -F 都是 60 .

(I )证明平面 ABEF ⊥EFDC ; (II )求二面角 E -BC -A 的余弦值.

(19) (本小题满分 12分)

某公司计划购买 2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰 . 机器有一易损零件,在购进机 器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200元 . 在机器使用期间,如果备件不足再 购买,则每个 500元 . 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理 了 100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:

以这 100台机器更换的易损零件数的频率代替 1台机器更换的易损零件数发生的概率, 记 X 表示 2台机器三年内共需更换的易损零件数, n 表示购买 2台机器的同时购买的易损 零件数 .

(I )求 X 的分布列;

(II )若要求 () 0.5P X n ≤≥,确定 n 的最小值;

(III )以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在 19n =与 20n =之中选其一, 应选用哪个?

20. (本小题满分 12分)

设圆 222150x y x ++-=的圆心为 A ,直线 l 过点 B (1,0)且与 x 轴不重合, l 交圆 A 于 C , D 两点,过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E . (I )证明 EA EB +为定值,并写出点 E 的轨迹方程;

(II )设点 E 的轨迹为曲线 C 1,直线 l 交 C 1于 M , N 两点,过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P , Q 两点,求四边形 MPNQ 面积的取值范围 .

(21) (本小题满分 12分) 已知函数

2() (2) (1) x f x x e a x =-+-有两个零点 .

(I)求 a 的取值范围;

(II)设 x 1, x 2是的两个零点,证明:122x x +

.

(23) (本小题满分 10分)选修 4— 4:坐标系与参数方程

在直线坐标系 xoy 中,曲线 C 1的参数方程为(t 为参数, a >0) 。在以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 2:ρ=4cosθ.

(I )说明 C 1是哪种曲线,学 . 科 . 网并将 C 1的方程化为极坐标方程;

(II )直线 C 3的极坐标方程为 θ=α0,其中 α0满足 tan α0=2,若曲线 C 1与 C 2的公共点都在 C 3上,求 a 。

范文四：2012年高考理科数学全国一卷

2012年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

一、选择题:本大题共 12小题,每小题 5分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符 合题目要求的。

1. 已知集合 A={1, 2, 3, 4, 5}, B={(x , y ) |x∈ A , y ∈ A , x-y ∈ A},则 B 中所含元素的 个数为

A.3 B.6 C.8 D.10

2. 将 2名教师, 4名学生分成 2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小 组有 1名教师和 2名学生组成,不同的安排方案共有

A.12种 B.10种 C.9种 D.8种

(3)下面是关于复数 z= 的四个命题

P1:=2 p2: =2i

P3:z的共轭复数为 1+I P4 :z 的虚部为 -1

其中真命题为

A P2 ,P3 B P1 ,P2 C P2, P4 D P3 P4

(4)设 F1, F2是椭圆 E :+ =1 (a>b >0) 的左、右焦点 , P 为直线 x= 上的一点,

△ F2PF1是底角为 30°的等腰三角形,则 E 的离心率为

A B C D

(5)已知 {an}为等比数列, a4+a1=2 a5a6=-8 则 a1+a10 =

A.7 B.5 C-5 D.-7

(6)如果执行右边的程序图,输入正整数 N (N≥2)和实数 a1.a2,…an ,输入 A,B, 则

(A)A+B为 a1a2,… , an 的和

(B ) 为 a1a2.… , an 的算式平均数

(C ) A 和 B 分别是 a1a2,…an 中最大的数和最小的数

(D ) A 和 B 分别是 a1a2,…an 中最小的数和最大的数

(7)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体 的体积为

(A ) 6 (B)9 (C)12 (D)18

(8)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线 y2=16x的准线交于 A , B 两 点, ,则 C 的实轴长为

(A ) (B ) (C ) 4(D ) 8

(9)已知 w >0,函数 在 单调递减,则 w 的取值范围是

(A ) (B ) (C ) (D ) (0,2]

(10)已知函数 ,则 y=f(x )的图像大致为

(11)已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上, △ ABC 是边长为 1的正三角形, SC 为 O 的直径,且 SC=2,则此棱锥的体积为

(A ) (B ) (C ) (D )

(12)设点 P 在曲线 上,点 Q 在曲线 y=ln(2x )上,则 |PQ|的最小值为

(A ) 1-ln2(B ) (C ) 1+ln2(D )

第Ⅱ 卷

二。填空题:本大题共 4小题,每小题 5分。

(13)已知向量 a , b 夹角为 45°,且 |a|=1,|2a-b|= ,则 |b|=____________.

(14)设 x , y 满足约束条件 则 z=x-2y的取值范围为 __________.

(15) ,某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件 1或元件 2正常工作,且元件 3正常工作,则部件正常工作。设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布 N (1000,502) ,且各个元件能否正常工作互相独立,那么该部件的使用寿命超过 1000小时 的概率为 _________________.

(16)数列 {an}满足 an+1+(-1) nan=2n-1,则 {an}的前 60项和为 ________。

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

(17) (本小题满分 12分)

已知 a , b , c 分别为 △ ABC 的三个内角 A , B , C 的对边, 。

(Ⅰ )求 A ;

(Ⅱ )若 a=2, △ ABC 的面积为 ,求 b , c 。

(18) (本小题满分 12分)

某花店每天以每枝 5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10元的价格出售。如 果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理。

(Ⅰ ) 若花店一天购进 16枝玫瑰花, 求当天的利润 y (单位:元) 关于当天需求量 n (单位:枝, n ∈ N )的函数解析式。

(Ⅱ )花店记录了 100天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表:

以 100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。

(ⅰ )若花店一天购进 16枝玫瑰花, X 表示当天的利润(单位:元) , 求 X 的分布列、数学 期望及方差;

(ⅱ ) 若花店计划一天购进 16枝或 17枝玫瑰花, 你认为应购进 16枝还是 17枝?请说明理 由。

(19) (本小题满分 12分)

如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1中, AC=BC= AA1, D 是棱 AA1的中点, DC1⊥ BD 。

(1) 证明:DC1⊥ BC ;

(2) 求二面角 A1-BD-C1的大小。

(20) (本小题满分 12分)

设抛物线 C :x2=2py(p >0)的焦点为 F ,准线为 l , A 为 C 上一点,已知以 F 为圆心, FA 为半径的圆 F 交 l 于 B , D 两点。

(1) 若∠ BFD=90°, △ ABD 的面积为 ,求 p 的值及圆 F 的方程;

(2) 若 A , B,F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 之有一个公共 点,求坐标原点到 m , n 距离的比值。

(21) (本小题满分 12分)

已知函数 f (x )满足 f (x ) =f′ (1) ex-1-f (0) x+ x2.

(1) 求 f (x )的解析式及单调区间;

(2) 若 f (x ) ≥ x2+ax+b,求(a+1) b 的最大值。

(22) (本小题满分 10分)选修 4— 1;几何证明选讲

如图, D , E 分别为 △ ABC边AB,AC的中点,直线DE交 △ ABC 的外接圆于 F , G 两 点,若 CF ∥ AB ,证明:

(Ⅰ ) CD=BC;

(Ⅱ ) △ BCD △ GBD 。

(23) (本小题满分 10分)选修 4— 4;坐标系与参数方程

已知曲线 C1的参数方程式 (为参数) , 以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立坐标 系,曲线C2的极坐标方程式 =2. 正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D 依逆时针次序排列,点A的极坐标为 。

(Ⅰ )求点A,B, C , D 的直角坐标;

(Ⅱ )设 P 为 C1上任意一点,求 的取值范围。

(24) (本小题满分 10分)选修 4— 5;不等式选讲

已知函数

(Ⅰ )当 a=-3时,求不等式 (x) 3的解集;

(2)若 f (x ) ≤ 的解集包含 [1,2],求 a 的取值范围。

范文五：2010年高考全国一卷数学(河南)

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2010年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学 (必修 +选修 II)

本试卷分第 I 卷 (选择题 ) 和第Ⅱ卷 (非选择题 ) 两部分。第 I 卷 1至 2页。第Ⅱ卷 3 至 4页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第 I 卷

注意事项:

1.答题前,考生在答题卡上务必用直径 0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、 准考证号填写清楚,并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2. 每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效 ......... 。 3.第 I 卷共 12小题,每小题 5分,共 60分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。

参考公式:

如果事件 A 、 B 互斥,那么 球的表面积 公式

() () () P A B P A P B +=+ 24S R π=

如果事件 A 、 B 相 互独立,那么 其中 R 表示球的半径 () () () P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么 343

V R π=

n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径

() (1)

(0,1,2, ) k k n k

n n P k C p p

k n -=-=…

一.选择题 (1)复数

3223i

i

+=- (A)i (B)i - (C)12-13

i (D) 12+13i

(2)记 cos(80) k -?

=, 那么 tan100?=

A. k B. -k

C.

D.

(3)若变量 , x y 满足约束条件 1,

0, 20, y x y x y ≤??

+≥??--≤?

则 2z x y =-的最大值为

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(A)4 (B)3 (C)2 (D)1

(4) 已知各项均为正数的等比数列 {n a }, 123a a a =5, 789a a a =10, 则 456aaa = (A) (5)35(1(1

+的展开式中 x 的系数是

(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4

(6)某校开设 A 类选修课 3门, B 类选择课 4门,一位同学从中共选 3门,

若要求两类课程中各至少选一 门,则不同的选法共有 (A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种

(7)正方体 ABCD-1111A B C D 中, B 1B 与平面 AC 1D 所成角的余弦值为 23 D(8)设 a=3log 2,b=In2,c=12

5

-

, 则

A a<><>

D c<>

(9) 已知 1F 、 2

F 为双曲线 C:2

2

1x y -=的左、右焦点,点 p 在

C 上,∠ 1F p 2F =0

60,则 P 到 x 轴的距离为

(A)

(C) (D)

(10)已知函数 F(x)=|lgx|,若 0

(A)) +∞ (B)

) +∞ (C)(3,) +∞

(D)[3,) +∞

(11)已知圆 O 的半径为 1, PA

、 PB 为该圆的两条切线, A 、 B 为俩切点,那么 PA PB ? 的

最小值为

(A) 4-

(B)3- (C)

4-+ (D)3

-+(12)已知在半径为 2的球面上有 A 、 B 、 C 、 D

四点,若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体积的 最大值为 (A)

(C) (D)

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理科数学 (必修 +选修 II)

第Ⅱ卷

注意事项:

1.答题前,考生先在答题卡上用直径 0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚,然后贴好条形码。请 认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2.第Ⅱ卷共 2页,请用直径 0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答,在试题卷上作答无效 ......... 。 3。第Ⅱ卷共 l0小题,共 90分。

二.填空题:本大题共 4小题,每小题 5分,共 20分.把答案填在题中横线上. (注意:在试题卷上作答无效 )

(13)1x ≤的解集是 (14)已知 α为第三象限的角, 3cos 25α=-

, 则 tan(2) 4

π

α+=(15)直线 1y =与曲线 2y x x a =-+有四个交点,则 a 的取值范围是 (16)已知 F 是椭圆 C 的一个焦点, B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线交 C 于点 D ,

cot cot a b a A b B +=+

且 BF 2FD =uu r uu r

,则 C 的离心率为 .

三.解答题:本大题共 6小题,共 70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤.

(17)(本小题满分 10分 )(注意:在试题卷上作答无效 ............ ) 已知 ABC V 的内角 A , B 及其对边 a , b 满 cot cot a b a A b B +=+,求内角 C .

(18)(本小题满分 12分 ) (注意:在试题卷上作答无效 ......... ) .

投到某杂志的稿件,先由两位初审专家进行评审.若能通过两位初审专家的评审, 则予以录用;若两位初审专家都未予通过,则不予录用;若恰能通过一位初审专家的评 审,则再由第三位专家进行复审,若能通过复审专家的评审,则予以录用,否则不予录 用. 设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0. 5, 复审的稿件能通过评审的概率为 0. 3. 各专家独立评审.

(I)求投到该杂志的 1篇稿件被录用的概率;

(II)记 X 表示投到该杂志的 4篇稿件中被录用的篇数,求 X 的分布列及期望.

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(19) (本小题满分 12分) (注意:在试题卷上作答无效 .........

) 如图,四棱锥 S-ABCD 中, SD ⊥底面 ABCD , AB//DC, AD ⊥DC , AB=AD=1, DC=SD=2, E 为棱 SB 上的一点,平面 EDC ⊥平面 SBC .

(Ⅰ)证明:SE=2EB;

(Ⅱ)求二面角 A-DE-C 的大小 .

(20)(本小题满分 12分 ) (注意:在试题卷上作答无效 ......... ) 已知函数 () (1)ln 1f x x x x =+-+.

(Ⅰ)若 2'() 1xf x x ax ≤++,求 a 的取值范围; (Ⅱ)证明:(1) () 0x f x -≥ .

(21) (本小题满分 12分 ) (注意:在试题卷上作答无效 .........

) 已知抛物线 2:4C y x =的焦点为 F ,过点 (1,0) K -的直线 l 与 C 相交于 A 、 B 两点, 点 A 关于 x 轴的对称点为 D .

(Ⅰ)证明:点 F 在直线

BD 上;

(Ⅱ)设 8

9

FA FB = ,求 BDK ?的内切圆 M 的方程 .

(22) (本小题满分 12分 ) (注意:在试题卷上作答无效 ......... ) 已知数列 {}n a 中, 111

1, n n

a a c a +==-

.

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(Ⅰ)设 51

, 22

n n c b a =

=

-,求数列 {}n b 的通项公式; (Ⅱ)求使不等式 13n n a a +<成立的 c="" 的取值范围="">

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