读着倒才猪
范文一：分布列与分布函数的关系？（可编辑）
分布列与分布函数的关系,
复习 0Fx1, x? ;Fx是 x 的非减函数;? 分布函数的特征
其图形是右连续的阶梯曲线F-? 0,F+ ? 1;?
在点 x 处有跳跃,跃度为 p k klim
F xF x 0xx 0
PaXb Fb-
p
xk
分布 F 列与分布x
x
kFa;
分布函数
? Fx PXx
函数的关系 PXa 1- Fa; 0p ?1 k
离散型全部可能的取值; ?分布列 p1 随机变量X?
kk ?1取值的概率.
连续型
特征条件
概率函数或分布律或概率分布只有两个互逆结果的常见的离散型分布
n 次独立重复试验
只有两个互逆结果
二项分布
两点分布 二项分布
的逼近式
k
k k n ?k
X 0 1
P XkC p q , e , lim
n np
取 ?np
n?
k !
p 1- p pk0,1, ?,n,
k
k0 , 1 , 2 , ?,
n+1pk
泊松逼近公式的右端 e , k0, 1, 2,是与 k 的函数, k!
对 于 及? 0 k0,1, 2,kk? e 无穷级数
e0 ;
k!
k ?0
k !kk?
eee e? 1,
k ! k !
kk0 0
ke1k !
所以它构成一个概率分布??又一重要的离散型分布: 3泊松分布 3泊松分布
定义6P48.定义7 设随机变量 X所有可能取的值为 0, 1, 2, ? ,
且取各个值的概率为:k
PXk ?e , k0 , 1 , 2 , ?, k !
其中 ?0是常数,则称 X服从参数为 ?的泊松分布, 记作X~P ?泊松分布的图形特点: 历史上, 泊松分布是作为二项分布 的
近似于1837年由泊松引入的. 在实
际中, 许多随机现象服从或近似服从
泊松分布近数十年来, 泊松分布在
管理科学、运筹学以及自然科学的
许多问题中都有重要的应用, 日益显示其重要性, 成为概率论中最重
要的几个分布之一.
二项分布的近似计算;描绘在一定时间内出现在空间给定区域的随机质点的个数;
典型应用
描绘随机质点的空间分布 泊松定理的条件意味着什么?当 n 很大时,事件A的概率 p 必定很小, 这就意味着,在每
n
次试验中事件A 出现概率很小,我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件. 如地震、火山爆发、特大洪水、等 泊松定理表明 n 重贝努里试验中稀有事件出现的次数近似地服
从泊松分布在自然界和人们现实生活中,经常要遇到在随机时刻出现的某
种事件我们把在随机时刻相继出现的事件所形成的序列,叫做随机
事件流.
很多随机事件流服从泊松分布, 称为泊松事件流泊松流.
泊松事件流具有平稳性、无后效性、普通性的特征 平稳性: 在任意时间区间内,事件发生 k次k?0的概率只依赖于区间长度而与区间端点无关.
无后效性:在不相重叠的时间段内,事件的发生是相互独立的 普通性: 如果时间区间充分小,事件出现两次或两次以上的概率可忽略不计.
例如:一放射性源放射出的 ?粒子数; 某电话交换台收到的电话呼叫数;到
某机场
降落的飞机数;
一个售货员接待的顾客数;
一台纺纱机的断头数; 都可以看作泊松流 对于泊松流,在任意时间间隔0,
t内, 事件如交通事故出现的次数服从参数为t 的泊松分布? 称为泊松流的强
度 某商店由其过去的销售记录知道,某种商品每
例9P50.例10
月的销售量可以用参数 ?5 的泊松分布来描述, 为了以 90% 以上 的把握保证不脱销,问商店在月底至少应进这种商品多少件? 解
设该商品每月的销售数为 X 单位,
则已知 X ~ P5
再设商店在月底应进此种商品 N 单位,
显然当 X N 时脱销,
由题意即求满足 PXN0. 90 的最小的 N
N
k ?5
N
5 e
P Xk0.90
考察 P XN?
k !
k ?0 k ?0k ?5
5 e0.1
或
k!
k?1
Nk ?5
5 e
0. 0681,
于是 N+19,N8 ,
查泊松分布表得?
k!
k ?9即月底至少应进这种商品 8单位才能以 90%以上的把握保证 下月不脱销设某段时间内来商场的顾客数服从参数的泊 例10P50.例11
松分布, 而在商场里的每个顾客购买电视机的概率为p,且顾客之间是否
购买电视机是相互独立的, 试求这段时间内商场售出 k 台 电视机的概率.
解
设X表示售出电视机的台数,Y 表示进入商场的顾客数, n e
则
P Yn, n0,1,2,n
!
0 , n0,1,2,, k ?1; |
P Xk Yn? k k n ?k C p p , nk, k ?1,
1
n由全概率公式知? n?
k k n ?ke | P XkP Xk Yn P Yn
C p 1p
n
n
k ?0
n!
kkn ?k? n? n! p
k n ?kp
e e [ 1 ] p 1p
k! n ?k ! n
k!
n ?k ! n ?k ! nk
k k?
p
p 1p? p
e即商场售出的电视机的台数ee k! k!
服从参数为p的泊松分布 设有 N 件产品, 其中有 M 件次品,例3P.15例
11 现从这 N 件中任
正品 次品
求其中恰有 k 件次品的概率 取 n 件不放回,
n
解含的样本点数为 , 设 A恰抽到 k件次品
CN
n ?k
k
A 的次品有 种取法,C A 的正品有 种取法,M C
N ?M
k n ?k
故 A 含的样本点数为, C C
M N ?M
超几何分布的概率公式 k n ?k
CC
M NM
L k nk
k0, 1, ?, min M,n? P A,
n CC
M NM n
k n ?k
C
N1C ?C CN
n
M N ?M
C
k ?0
N
4超几何分布P52.例12 请自读 01
定义6P51.定义8 设随机变量 X所有可能取的值为 0, 1, ?, L,k n ?k
CC
M NM
且 X 的分布列为
P Xk,
k0, 1, ?, L ,
n
C
N
且
其中整数 M, N 0,n ?N-M, Lmin M , n ,则称 X服从参数记作 X~HM, N, n
为 M, N, n的超几何分布,M
limp,对含有两类元素的有限总体进行不放回? N
N
抽样时,确定其中某类元素个数的概率分布 k n ?k
C ?C
k k n ?k
M N ?M
limCp 1p
n
n
N?
C
N某射手连续向一目标射击,直到命中为止,已知他每发命
例10
中的概率是 p,求所需射击发数 X 的概率函数 解显然 X 可能取的值是 1, 2, ? , 为计算 PXk,k 1,2, ?,
设 A 第 k发命中,k 1, 2, ?,k 无穷次伯努利实验序列
于是 PX1 PA p, 1
中事件A首次发生时试验的次数 P X ?2P A A k ?11p ?p , 1 2
01pp ?1,
所需射击发数 X 2
P X ?3 P A A A1p ?p, 1 2 3k ?1
的概率函数
1pp 1
k ?1
k ?1
P X ?k1p ?p ,
可见
k1, 2,?
k ?1p1pk ?1
4几何分布
1p定义7P52.定义9
设随机变量 X 所有可能取的值为 1, 2, ?, 11p
且 X 的分布列为
k ?1
P X ?k1p ?p , ,
0p1
则称 X 服从几何分布 P53. 例13 请自读 我们介绍了离散型随机变量及其概率分布 只要知道了随机变量的分布函
数,就可以计算与
该随机变量有关的事件的概率 对于离散型随机变量,如果知道了它的分布
列,
也就知道了该随机变量取值的概率规律在这个意义 上,我们说离散型随机变量由它的分布列唯一确定 下面,我们将向大家介绍另一种类型的随机变量 ?? 连续型随机变量的描述方法!不能象离散型那样, 以指定它取每个
?3连续型随机变量
值的概率的方式去给出其概率分布
全部可能取值有无穷多,而且充满一个或若干区间而不能一一列举 类似于
前面对离散型随机变量的讨论,对于连续型随机变
量我们首先关心的是:
如何描述它取值的概率规律? 分布函数 其取值的概率规律 ?
例1P 53 例14 设有一质点等可能地落入区间[0, 2]内, 令X为落 入后这个质点到原点 O 的距离,
求 X 的分布函数
解 显然 X 为随机变量,
且可能取值充满了区间[0, 2],
F当 x 0时,Fx PXx
P 0;
当 0x2 时, Fx PXx x /2; 1. 当 x ?2 时,Fx PXx PX0+P0X ?2+P2X ?x 1
x0, x0; 0 12 0 + 2/2 + 0 x
Fx/2, x;
故 X 的分布函数为 0 2连续函数
1, x ?2.
1/2, 0x;2
f xxF
x0, 其 他 f tdtF xF ? 注意到 F-? 0?
非负函数
可积
?
!一、连续型随机变量及其概率密度
定义1P52.定义9 对于随机变量 X 的分布函数 Fx, 若存在非负可积 可
积函数 f x, 使得对任意实数 x,有
x
连续型的分布函数必连续 xf tdt , F 则称 X 为连续型随机变量,称 f x为 X 的概率密度函数, 简称为 y
概率密度或密度. 判定一个函数 f x为面积为1 某连续型随机变量的
密度函数的基本特性:y f x
概率密度的充要条件
1 f x0 ;
非负性
X 取值于x , x+ ?x]的概率
x xO 12x
f tdtF?F?
规范性 1 ;
2 1 - 0其密度在此区间上的积分x x
2 1
概率f tdtf tdt Px Xx Fx - Fx 由定义 3 1 2 2 1
公式
x x x
1 2 1f tdtftdtf tdt
F xf x;
4若 f x 在点 x 处连续,可微性 则? x?
1
x?x
x 0
2
lim
lim? f xdx
0Px f t X d t ; x x
5 PX x 0
独点
00 0
?x ?0
?x ?0
x
x
0
1 b
概率f t d t ,
PaX ?b Pa ?X b Pa?X ?b PaXb aPA0 A; PB1B几乎不可能事件
几乎必然事件
!对 f x 的进一步理解: 若 x 是 f x 的连续点,则x?x 质量f tdt
P xXx?x x
lim lim
limf x? ?x f x?x ?0
?x ?0
?x ?0
?x ?x 这表明 X 的密度 f x 在 x 这一点的值, 恰好是 X 落在区间 如果
我们把概率
x , x+?x]上的概率与区间长度 ?x 之比的极限 理解为质量,
则 f x 相当于线密度
x? x?xf x ?x , P X 它表明随机变量 X
由极限概念知
取值于区间x, x+ ?x]的概率近似等于 f x ?x;这表明 f x ?x 在
连续型随机变量理论中所起的作用与 P X x p 在离散型随机 k
k变量理论中所起的作用相似 注意,密度函数 f x 在某点 a 处的值,并不
等于 X 取值的概
率. 但这个值越大,则 X 取 a 附近的值的概率就越大即在某点 密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度 所以,若已知密 连续型随机变量由它的密度函数所唯一确定
度函数,该连续型随机变量的概率规律就得到了全面描述!例2P56.例15 设
随机变量 X 的概率密度为
2
1 确定常数 A;
,x;
A 4x ?2x 0 2f x?
2 求 X 的分布函数Fx;,
0, 其 它3 求 P0 ?X1, PX1?
0 2?
2 8
3
1f tdt0dxA 4x2x dx0dxA, 解1 A0 2
3
8
3 32
,x;
xx 0 2由概率密度定义知2 4 f x2 由1知
x
xf tdt ,
F,
0, 其 它x
当 x 0 时, x0dt0; F0, x0;0 x3 2 1 3 3 3 2
3 2 1 3xx
x0dt tt dt
当 0x2 时,FFx; xx , 0x ?2;0
2 4 4 4
4 4
0 2x
2
3 3
Fx0dt tt dt0dt 1, x2当 x ?2 时, 1, 0 2
2 4
用概率密度求
3 由密度函数的概率公式知 用分布函数求1 3 3
2
1
1
xx dx
f xd x,
P 0X ?1? 0
P0?X1 F1-F0 ,0 2 4 2
2
1
1223 3 11PX11-PX ?1 F1
f xd x xx d x P X 1
2
2?
1
1 2
2 4例3P57.例16 设随机变量 X 的分布函数为 1 确定系数 A ;
0, x0;2求 P|X| ?/6;Fx Asin x, 0x /2 ;3求 X 的概率密度函数 ;1, x/ 24 做出Fx与 f x的图形?
lim
由分布函数的连续性知 x解1 F F
1,x? /2
2
lim lim
xA ?sin xA ,
而 FA1?
xx2 21P| |P sin0 X X
F F
2
6 6 6 6 2
6 6x
x或
0 ,
0;2
f x?x
3 由可微性知Fcosx ,? 0x
2
Fxfx4 作图11
。 Ox?/2Ox
?/2二、 几个常见的连续型随机变量
1. 均匀分布
假设连续型随机变量 X 在区间[a, b]上取值, 且取值在[a ,b]中 任意子区间内的概率仅与这个子区间的长度成正比,而与其子区间 的位置无关,
即 X 的取值在[a, b]上具有均等性定义1P59.定义11 若连续型随机变量 X
的概率密度为
1 b
1可描述在某区间
, a x b;?
d t 1?
ba
ba
a
f x上具有等可能 fx
结果的随机试验?
,
0, 其 它则称 X在[a,b]上服从均匀分布,记作 X ~ U[a, b] Fx均匀分布的分布函数:
[ ]
x0 , a ; a Obxx
xx ?a d t
1
xf tdt F,
xa b ; a
b ?a
b ?a? 1 ,
x
b,
a O b x
b x
dt
典型应用:数值计算中由于小数点后某位小数四舍五 入所引起的误差;?
0dt?
a b
b ?a
两辆公共汽车前后通过某停车站的时间乘客候车时间等 则在任 例4P60.例17 设某公共汽车站每 10 分钟有一班车通过, 一时刻到站乘客的候车时间 X单位: 分钟在区间[0, 10]上服从均匀 分布,
试求乘客候车时间超过 6 分钟的概率.
1, 0x10;10f x解 ? X ~U[a, b],
0, 其 它 , 10
1 2f xdxdx.
所求概率为 P X6?
6
6
10 5
例5P60.例18 设随机变量X~U[2, 5],现对 X进行三次独立观测,求至少有
两次观测值大于 3 的概率
1,x;
5
25
1
2
3f x解 ? X~U[2, 5], dx则 P X ?3?
3 3 3?0, 其 它 ,
设 Y表示对X的观测值大于 3的次数,Y 0,1, 2, 3,则Y~B3, 2/3,
3
3
k k 3 ?k
20
P Yk C 2 / 3 1 / 3. 所求概率为 PY2 3
27
k ?2
k ?22. 指数分布
定义2P61.定义12 若连续型随机变量 X 的概率密度为x?xed x? x 0? e 1?e ,
x0 ; 00
fxf x,
, x
00? 。其中 ?0为常数,则称X服从参数为的指数分布, 记为 X~E ?
FxO x指数分布的分布函数:
10 x?x? x
1 ?0edx, x? e 0;dx , x0;0
xFx0;
0,O x 指数分布在可靠性理论中描绘设备工作的可靠时间有些系统的寿命
分布也
可用指数分布来近似,如电子产品或动物寿命的分布, 当产品的失效是偶然失效时其寿命服从指数分布. 在排队论中它被广泛地用于描绘等待时间, 如电话通 话时间、各种随机服务系统的服务时间、等待时间等 在更新和维修问题中描绘
设备的寿命和维修时间. 指数分布是伽玛分布和威布尔分布的特殊情况一般地, 当随机质点流在长t 的时间内出现的质点数服从参数为 ?t 的泊松分布时, 其相继出现两个质点的事件间就服从参数为 ?的指数分布例6P61.例19 从某项寿命试验的数据中知,寿命X 服从参数为0.05 的指数分布,
1 求 P0X ?20, PX80|X50;2 如果要使概率 PX x 0.1 , 则 x 取值应在什么范围内?
解 ? X ~E0. 05,?0.05x
0.05
0.05e , x;
0 x
1 ?e ,0 ; f xFx
,x , x0
0,, 0
0?0.05 ?10 ?0.05 ?20
1 P0X ?20F20F100.2387 ;e ?e
?事件X80?X50,
?4
, P X 80 X ?50 80
P X 80 1F
e
? PX80|X50?2.5 P X50
P X50 1F 50
e0. 2231
?0.05 x ?0.05 x ,
2 PX x 0.1,e0.05e d x0.1
即有?
xln 0.1x? 46? - 0.05x ln0. 1 ,
0.05回忆一个重要的二重积分:? 2? x
e dx?
0
21
2
1 1x 2? x
e dx e dx1
0
2
t令 x,2
?
2t
122e dt112dxdt
2
2
x? 1
2
2f xe
, x 23正态分布
正态分布是应用最广泛的一种连续型分布德莫佛最早发现了二项概率的一
个近似公式,这
一公式被认为是正态分布的首次露面十九世纪前叶,高斯加以推广得到正态
分布,所以通常称为高斯分布.
定义3P62.定义13 若连续型随机变量 X的概率密度 函数为
2
x? 1
2
2f xe
, x 2 其中 -?+ ?, 0 为常数,则称X服从参数为和 2? 的正态分布,
记为 X~N,在各种分布中具首要地位
f x所确定的曲线叫作正态曲线 由于连续型随机变量唯一地由它的密度函
数所描述,我们来看
看正态分布的密度函数有什么特点2 x?
12
2f xe , x?
正态分布密度的性质21
f ;
1 在 x 处取到最大值2
令 xμ+c, xμ-c c0, 分别代入f x, 可得 2 正态分布的密度曲线位于 x 轴的上方, f μ+c ?f μ, f μ-c?f μ
?决定图形的中心位置;且关于 x对称, 且 f μ+cf μ-c故 f x以μ为对称轴, 1
, ;
3 密度曲线 y f x有拐点
对密度函数求导:
e2?
2
2 2
x?
x? x ? 2 xx1 2
2 2
222
f xe + e
4 f x 以 x 轴为水平渐近线; e 当 x? ??时,f x ?0 , 2 3?
222? 2
2 2
2
x? x?
2即曲线 y f x向左右伸展时,越来越贴近x轴正态分布 N,的密度函数图
形的特点 :
1x
2 2
22
f x[ ?ee ]
2
3?
2?
两头低,中间高,左右对称的 “峰”状2 x? ?
1
2
2
2
2? e [? x? ]
0 ,若固定,改变的值,? f ? ,反之亦然,?
2 决定了图形中峰的陡峭程度
x μ ?σ为 f x的两个拐点的横坐标若固定,改变 ?的值,则密度曲线左右
整体平移决定了图形的中心位置 用上海99年降雨量的数据画出了频 率直方
图. 从直方图,我们可以初步
看出, 年降雨量近似服从正态分布 下面是我们用某大学男大学生的身 高的数据画出的频率直方图.
可见, 男大学生的身高应服从正态分布.
拟合的正态
密度曲线在自然现象和社会现象中大量的随机变量
都服从或者近似服从正态分布 除了上面提到的年降雨量和某地区成年男 子的身高、体重外,正常条件下各种产品的
质量指标,如零件的尺寸;纤维的强度;
电子元器件的信号噪声、电压、电流;
农作物的产量,小麦的穗长、株高; 射击目标的水平或垂直偏差,测量误差, 生物学中同一群体的形态指标, 经济学中的股票价格、产品的销量等等,
都服从
或近似服从正态分布.
有很多分布还可以用正态分布近似而正态分布自身还有很多良好的性质若
影响某一数量指标的随机因素很多,每一因素独立, 但每个因素所起的作用不
大.
服从正态分布正态分布的分布函数
2若随机变量 X ~N,, 则
2
x?
12
f xe 2, x
2X 的分布函数
2
t?
x
12
F x2,
dt x?
e2下面我们介绍一种最重要的正态分布 ??标准正态分布 x 0 , 1 的正态
分布称为标准正态分布.
其密度函数和分布函数常用 ?x和 ?x表示:2 x
12
?xe , x?
2可查表
2
x
t
得其值
1? x,
2
dt
e x?
2x ?? x
1 x x
例7P64.例20
设 X~N0, 1,
求 PX 0.5, PX 2.5及P-1.64X 0.82 查表得 解
PX 0.5F 0. 5 0. 6915 ;
PX 2.5 1- ?2. 5 1- 0. 9938 0. 0062 ;P-1.64X 0.82 ?0. 82- ?-1. 64
?0. 82-[1- ?1. 64] 0. 7434 ;t
2
s dt? ds
设 X~N ,,2
x?
t?
x
1 21 sx
2
F x2dt
e 2
e ds
?
22
X
Y2即若 X ~N,Y ~ N0, 1 标准正态分布的重要性在于,任何一个一般的
正态分布都
可以通过线性变换转化为标准正态分布 只需将标准正态分布的分布函数制
成表,就可以解决正态分
ab?
ba布的概率计算问题 PY? ? PaXb?
bP Xb?
?至此,我们已介绍了两类重要的随机变量: p
?? 分布列 P Xx离散型k k? f x连续型 ??密度函数
p
F xk其图形是右连续的阶梯曲线分布函数
x
xk
x
FX PXxxf tdt , F
其图形是连续曲线
两点分布二项分布离散型 泊松分布?
超几何分布
常见的分布
几何分布?
均匀分布?
连续型
指数分布正态分布
范文二：统计与分布列
分布列：
1. 一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为： x1，x 2，…，xi ，…，xn X 取每一个xi (i =1，2，…，n ) 的概率P (X =xi )=Pi ，则称表：
为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列. 2、分布列的构成：
（1）列出了离散型随机变量X 的所有取值； （2）求出了X 的每一个取值的概率；
小结：定值 求概率 列表
n
3、分布列的性质: （1）p i ≥0, i =1,2, ???（2）p i =p 1+p 2+???+p n =1
i =14. 两点分布列
∑
如果随机变量的分布列为两点分布列，就称X 服从两点分布，而称p =P(X =1)为成功概率。
5. 超几何分布列:(离散型分布列的一种)
一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品数，则事件{X=k}发
k n -k C M C N -M
生的概率为：P (X =k ) =, k =0, 1, 2,.....,
m , 则称分布列 n
C N
为超几何分布列
6. 独立重复试验与二项分布列
（1）独立重复试验：在相同条件下重复做n 次的试验
（2）二项分布：在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p, 那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为：
k k
P (X =k ) =C n p (1-p ) n -k , k =0, 1, 2,....., n ，此时称随机变量X 服从二项分布，
记为：X --B (n , p )
7. 期望：
（1）一般地, 若离散型随机变量X 的概率分布列为
n
则称：E (X ) =
∑x p
i i =1
i
=x 1p 1+x 2p 2+....... +x n p n 为X 的数学期望或均值
即：离散型随机变量的数学期望即为随机变量取值与相应概率分别相乘后相加。 （1）若离散型随机变量Y=aX+b,则E(Y)=E(aX+b)=aE (X ) +b （2）两点分布列的期望：E (X ) =p （3）二项分布列的期望：E (X ) =np
8. 方差标准差：若离散型随机变量X 的概率分布列为
则称：D (X ) =∑(x i -EX ) 2p i =
(x 1-EX ) 2p 1+(x 2-EX ) 2p 2+....... +(x n -EX ) 2p n
i =1
n
为随机变量的方差。D (X ) 称为标准差。
(1) 两点分布的方差：D (X ) =p (1-p )
(2) 二项分布X --B (n , p ) 的方差：D (X ) =np (1-p )
（3）若Y =aX +b , 则D (Y ) =D (a X +b ) =a D (X )
练习： 1、（13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：
2
根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
（1）确定样本频率分布表中n 1, n 2, f 1和f 2的值；
（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在
区间（30,35］的概率.
解:(1)n 1=7, n 2=2, f 1=
72=0.28, f ==0.08; 22525
(2)频率分布直方图如下所示:
(3)根据频率分布直方图, 可得工人们日加工零件数落在区间(30,35]的概率为0.2, 设日加工零件数落在区间(30,35]的人数为随机变量ξ, 则ξ故4人中, 至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]
的概率为:1-C 4(0.2)0(0.8)4=1-0.4096=0.5904.
B (4,0.2),
2. 某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学. 在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院. 现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）. （Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
（Ⅱ）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.
21
C 3+C C 49
（1）所求概率p =7373=
C 1060
（2）
301C 6C 4C 62C 4201601
变量X 可取0, 1, 2, 3. p (X =0) ===, p (X =1) ===, 33
C 101206C 1012021203
C 6C 4C 6C 436341
p (X =2) ===, p (X =3) ===，
120120101201203020603641446
EX =0?+1?+2?+3?==
1201201201201205
3. （本小题满分12分）
某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的数据如下表：
（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
b =
∧
∑(t -)(y -)
i
i
i =1
n
∑(t i -)
i =1
n
2
? ?=-，a
（1）
t =
1+2+ +72. 9+3. 3+3. 6+4. 4+4. 8+5. 2+5. 9
=4, y ==4. 377
设回归方程为y =bt +a , 代入公式，经计算得3*14+2+0. 7+0+0. 5+1. 8+4. 8141
==,
(9+4+1) *214*221
a =y -b t =4. 3-*4=2. 3
2
所以，y 关于t 的回归方程为y =0. 5t +2. 3. b =
b =
1
>0, ∴2007年至2013年该区人均纯收入稳步增长，预计到2015年，2
该区人均纯收入y =0. 5?9+2. 3=6. 8(千元） 所以，预计到2015年，该区人均纯收入约6千8百元左右。
23
和, 现安排甲组研发新35
4. 某企业甲, 乙两个研发小组, 他们研发新产品成功的概率分别为产品A , 乙组研发新产品B . 设甲, 乙两组的研发是相互独立的. (1)求至少有一种新产品研发成功的概率;
(2)若新产品A 研发成功, 预计企业可获得120万元, 若新产品B 研发成功, 预计企业可获得利润100万元, 求该企业可获得利润的分布列和数学期望.
试题解析: (1)解:设至少有一组研发成功的事件为事件A 且事件B 为事件A 的对立事件, 则事件B 为新产品A , B 都没有成功, 因为甲, 乙成功的概率分别为
23, , 则35
?2??3?122
P (B )= 1-?? 1-?=?=, 再根据对立事件概率之间的概率公式可得
?3??5?3515P (A )=1-P (B )=
1313, 所以至少一种产品研发成功的概率为. 1515
5. （本小题满分12分）
一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.
（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；
（2）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望
E (X ) 及方差D (X ) .
【解析】 （1）
用Y 表示日销售量，则a =p (Y ≥100) =(0. 006+0. 004+0. 002) ?50=0. 6, b =p (Y <50) =0.="" 003?50="0.">
A 表示连续2日销量不低于100且一日销量低于50，则p (A ) =aab +baa =2a 2b =0. 108. 所以，所求事件概率为0. 108
（2）
X 可取0, 1, 2, 3. 由(1) 知，日销量不低于100的概率a =0. 6, X ~B (3, 0. 6).
0011∴p (x =0) =C 3a (1-a ) 3=0. 064. p (x =1) =C 3a (1-a ) 2=0. 288. p (x =2) =C 32a 2(1-a ) 1=0. 432. 33p (x =3) =C 3a (1-a ) 0=0. 216. EX =na =3*0. 6=1. 8, DX =na (1-a ) =0. 72.
X 的分布列如下，数学期望EX 和方差DX 分别为1. 8和0. 72.
6. （本小题满分12分）
在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上 的产量具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
（1）设X 表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X 的分布列；
（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于．．．2000元 的概率.
【答案】 （1）（800,0.2）（2000,0.5）（4000,0.3） （2） 【解析】 （1）
0.896
利润X =产量*价格-成本. 考虑产量和价格，利润X 可以取300*6-1000=800，300*10-1000=2000，500*6-1000=2000，500*10-1000=4000，即800, 2000, 4000三个. p (X =800) =0. 5*0. 4=0. 2,
p (X =2000) =0. 5*0. 6+0. 5*0. 4=0. 5, p (X =4000) =0. 5*0. 6=0. 3
（2）
利润X =产量*价格-成本. 考虑产量和价格，利润X 可以取300*6-1000=800，由(1) 知，一季利润不少于2000的概率p =0. 5+0. 3=0. 8. 2000的概率 则3季中至少有2季的利润不少于
33P =C 32p 2(1-p ) +C 3p (1-p ) =3*0. 82*0. 2+0. 83=0. 896
所以，3季中至少有2季的利润不少于2000的概率是0. 896
7. （本小题满分13分）
一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字 是2,2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片. （1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;
X 表示所取3张卡片上的数字的中位数， （2）学科 网求X 的分布列（注：若三个数a , b , c
满足
a ≤b ≤c ，则称b 为这三个数的中位数）.
3+5
8【答案】（I ） 84 （II ）
【解析】
（I ）
9?8?733
种，3个完全相同共有C 4+C 3=5，2?3
33C 4+C 33?25
∴所求事件A 的概率p (A ) ==?5=. 3
C 99?8?784
3
9中取3共有C 9=
所以, 取3个完全不同卡片的概率是
（II ）
5
84
中位数X 可以取1, 2, 3
321C 4+C 4C 53417
当X =1时，如(1)(1)(1, 2, 3) ，p (X =1) ===，3
C 98442
1211131C 4C 3+C 4C 3C 2+C 3+C 32C 243
当X =2时，如(1, 2)(2)(2, 3) ，p (X =2) ==，3
C 98412
C 7C 271
当X =3时，如(1, 2)(3)(3) ，p (X =2) ===，3
C 98412
所以, EX =
3443714147
?1+?2+?3==8484848428
X 的分布列如下：
9、(本小题满分12分)
一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，
要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得 200分）。设每次击鼓出
1
，且各次击鼓出现音乐相互独立。 2
（Ⅰ）设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列；
现音乐的概率为
（Ⅱ）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
（Ⅲ）玩这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了。请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因。 【解析】 （Ⅰ）
（Ⅱ）
1
由（1）知，一盘游戏不出现音乐的概率p =. 设事件A :玩3盘，至少出现1次音乐. 则
8
1511
p (A ) =1-p 3=1-=. 512512
511
所以，玩3盘至少出现1512
（Ⅲ）
1331-5
由（1）知，玩一盘游戏得分的数学期望EX =-200?+10?+20?+100?=<>
88884
所以，从理论上讲，玩家必输无疑，且玩得越多，输得越多
8. （本小题满分13分）
为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从 一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾 客所获的奖励额.
（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求 ①顾客所获的奖励额为60元的概率 ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;
（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和 50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成. 为了使顾客得到的奖励 总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球 的面值给出一个合适的设计，并说明理由.
范文三：概率与分布列
概 率 分 布 列
1．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )
A ．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312
112．在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥p 2为事件“|x －y |≤p 3为22
1事件“xy ≤”的概率，则( ) A．p 1
3. 如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数f (x ) ＝x ，若在矩形ABCD 内随机取一
点，则此点取自阴影部分的概率等于________．
4. 从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________． 2
x 2y 2
5. 在区间[1,5]和[2,4]分别取一个数，记为a ，b ，则方程22＝1表示离心率大于5的双曲线a b 的概率为________
6. 从混有5张假钞的20张一百元钞票中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假钞，则这两张都是
2213假钞的概率为( C. D.1715510
7. 箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球．从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖(每人一次) ，则恰好有3人获奖的概率是( )
A. 16966244625625625625
8. 有三位同学过节日互赠礼物，每人准备一件礼物，先将礼物集中在一个袋子中，每人从中随机抽取一件礼物，设恰好抽到自己准备的礼物的人数为ξ，则ξ的数学期望E (ξ) ＝________.
9. 某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概
2率为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X 为该毕业生得到面3
试的公司个数．若P (X ＝0) ＝1X 的数学期望E (X ) ＝________. 12
210. 某校在2015年的中学数学挑战赛中有1 000人参加考试，数学考试成绩ξ～N (90，σ)(σ>0，试卷满分150
3分) ，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于1105
分的考生人数约为( ) A．200 B．400 C．600 D．800
11. 位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、
1向右移动的概率都是. 质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是________． 2
12. 在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1,2,3，?，18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为( ) A.1111 5140830668
13. 有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1
本，若将其随机地抽取并排摆放在书架的同一层
1234上，则同一科目的书都不相邻的概率是( C.5555
14. 先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别有1,2,3,4,5,6个点) ，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x ，y ，设事件A 为“x ＋y 为偶数”，事件B 为“x ，y 中有偶数且x ≠y ”，则概率P (B |A ) 等于( )
1112A. 2345
?y ≥0，
15. 已知Ω＝{(x ，y )|??y ≤4－x 2 }，直线y ＝mx ＋2m 和曲线y ＝4－x 有两个不同的交点，它们围成的平面
π－21]，则实数m 的取2π区域为M ，向区域Ω上随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为P (M ) ，若P (M )∈[
值范围为( )
133A ．[1] B．[0，] C．[，1] D．[0,1] 233
16. 已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率是( ) A.3277 D. 10989
17. 有一种游戏规则如下：口袋里有5个红球和5个黄球，一次摸出5个，若颜色相同则得100分；若4个球颜色相同，另一个不同，则得50分，其他情况不得分．小张摸一次得分的期望是________分．
??－1，点数不是3的倍数，18. 连续掷一枚均匀的正方体骰子(6个面分别标有1,2,3,4,5,6) ，现定义数列a n ＝??1，点数是3的倍数，?
S n 是其前n 项和，则S 5＝3的概率是________．
19. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6
21局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，比赛停止时一共33
已打ξ局．
(1)列出随机变量ξ的分布列； (2)求ξ的数学期望E (ξ) ．
20. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．
(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；
(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望．
范文四：分布列与方差
高三数学一轮复习学案 (57) 制版:贾明霞 审核:张继国 教师寄语:有志者事竟成 姓名: 班级:
离散型随机变量的分布列与其数字特征 一、 高考要求: (1)理解离散型随机变量及其分布列的概念. (2)理解期望与方差的概念，能计算简单离散型随机变量的期 望与方差，并能解决一些实际问题. 二、知识梳理:1、有关概念:
若X服从参数为N,M, n的超几何分布，则E(X )=
三、典型例题:
题型一、离散型随机变量的分布列
例1、某校组织一次夏令营活动，有8名同学参加，其中有5
名男同学，3名女同学，为了活动的需要，要从8名同学中随机
抽取3名同学，执行一项特殊任务，记其中有X名男同学。(1)题型三:离散型随机变量期望与方差的应用
求X的分布列(2)求执行任务的同学中有男有女的概率 例3、设甲、乙两名射手在一次射击中分别射中的环数为两个相
,,互独立的随机变量，，已知甲、乙两名射手在每次射击中
称E(X)=______________________ 为随机变量X的数学期 射中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别
望。 为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，
称D(X)=____________________ 为随机变量X的方差，它,,0.3，0.2 (1)求，的分布列;
刻画了随机变量X相对于其均值E(X)的______________，其 ,,,(2)求的数学期望与方差，并比较甲、乙的射击技术 ___________为随机变量X的标准差，记作______.
均值与方差的性质:
E(aX+b)= ;D(aX+b)=
2、有关特例
题型二:离散型随机变量的期望与方差
例1、某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是:从装有9个白球、
1个红球的箱子中每次随机的摸出一个球，记下颜色后放回，摸
出一个红球可获得奖金10元;摸出两个红球可获得奖金50元。
现有甲、乙两位顾客，规定:甲摸一次，乙摸两次，令X表示
若X服从两点分布，则E(X)= ，D(X)=__________ 甲、乙两人摸球后获得的奖金总额。求: (1)X的分布 列
若X,B(n,p),则E(X)= ,D(X) =______ (2)X的均值
四、巩固练习: 11、(2010高考)某同学参加3门课程的考试。假设该A 、-0.1 B、0 C、0.1 D、0.2
1、随机变量X的分布列如图 47、已知随机变量X服从二项分布，且Ex=2.4,DX=1.44，X 1 2 4 同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第则E(5X+4)等于( ) 则二项分布的参数n，p的值为( ) 5A、15 B、1 A n=4，p=0.6 B n=6,p=0.4 P 0.4 0.3 0.3 三门课程取得优秀成绩的概率分别为，(,)，pqpqC、2. D、2.3 C n=8，p=0.3 D n=24，p=0.1 且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记ξ为该生
8、一个袋子中装有5只黑球，5只白球从中任意取出取得优秀成绩的课程数，其分布列为 4个，其中含有白球个数的期望是_______________
9、(2010高考)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，先ξ 0 1 2 3 播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种
2粒补种的种子数记为X，则E(X)= 624 p a b10、(2010高考)某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖125125
励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内(?)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率;
1.甲、印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为(?)求，的值; pq6
乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。 (?)求数学期望ξ。 E (?)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率; 4、设掷一枚骰子的点数为ξ，则( ) (?)求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ. 35 2A、Eξ=3.5，Dξ= B、Eξ=3.5，Dξ= 3.5 12 35C、Eξ=3.5，Eξ=3.5 D、Eξ=3.5，Dξ= 16
6、某一离散型随机变量ξ的概率分布列如下表，且
Eξ=1.5，则a-b的值( )
ξ 0 1 2 3
P 0.1 a b 0.1
范文五：分布列与方差
四、巩固练习：
1、随机变量X 的分布列如图 A 、-0.1 B、0 C、0.1 D、0.2
7、已知随机变量X 服从二项分布，且Ex=2.4,DX=1.44，11、（2010高考）某同学参加3门课程的考试。假设该
4
，第二、第同学第一门课程取得优秀成绩的概率为
则E （5X+4）等于（ ） A 、15 B 、1 C 、2. D 、
2.3
4、设掷一枚骰子的点数为ξ，则（ ） A 、E ξ=3.5，D ξ=3. 52
B 、E ξ=3.5，D ξ=3512 C 、E ξ=3.5，E ξ=3.5 D 、E ξ=3.5，D ξ
=35
16
6、某一离散型随机变量ξ的概率分布列如下表，且 E ξ=1.5，则a-b 的值（ ）
则二项分布的参数n ，p 的值为（ ） A n=4，p=0.6 B n=6,p=0.4 C n=8，p=0.3 D n=24，p=0.1 8、一个袋子中装有5只黑球，5只白球从中任意取出4个，其中含有白球个数的期望是_______________ 9、（2010高考）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，先播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒补种的种子数记为X ，则10、（2010高考）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16
. 甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。
（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； （Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望E ξ.
5
三门课程取得优秀成绩的概率分别为p ，q (p ＞q ) ，
且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
(Ⅰ) 求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率； (Ⅱ) 求p ，q
的值；
(Ⅲ) 求数学期望E ξ。
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