亖呉?盀
范文一：判断极点阶数的方法
判断极点阶数的方法
z已知是，，的n级极点，是，，的m级极点。 fzgz0
z，，，，(一)是fzgz的m+n级极点 0
111zz例如:,0是的一级极点，是的一级极点;则,0是的二级极点 zz，，zeze,1,1
z，，，，，则是fz,gz的阶极点 (二)如果m,nmax(m,n)0
1111z,z,， 例如:0是的2级极点，是的1级极点;则0是的二级极点2z2zze,ze,11
fz，，1，，，， 如果，则需要把fz，gz通分成这种形式 m,n，，gz1
1111zz例如:,0是的一级极点，是的一级极点;则,0却不是,的一级极点zzzeze,1,1
zez11,1,需要把,通分成,再用下面(三)的方法判断。zz，，zeze,1,1
z，，，，fzgz 已知是的n级零点，是的m级零点。 011
fz，，1z(三)是的m-n级极点，其中， m,n,00，，gz1
2zsinz，，例如:z,0是sinz的1级零点，是ze,1的3级零点;则z,0是的2级极点 2z，，ze,1
fz，，1z 如果，则是的可去奇点。 m,n,00，，gz1
zez,1,zz例如:z,0是e,1,z的2级零点，是z，，e,1的2级零点;则z,0是的可去奇点z，，ze,1
判断零点阶数的方法
z，，，，fzgz 已知是的n级零点，是的m级零点。 011
z，，，，fzgz(四)是的m+n级零点 011
zz例如:z,0是z的一级零点，是e,1的一级零点;则z,0是z，，e,1的二级零点
z，，，，fz,gzm,n(五)如果，则是的阶零点 min(m,n)0
2z2z例如:z,0是z的2级零点，是e,1的1级零点;则z,0是z，，，e,1的1级零点
如果，则需要对，，，，用(六)的方法判断 fz,gzm,n
zz例如:z,0是z的1级零点，是e,1的1级零点;却不是，，e,1,z的1级零点，而是2级零点。z，，(六)判断是fz的n级零点的方法有两个 01
，，k，，nz，， 1. 求导法，如果，则是fz的n级零点 ，，，，fz,0,k,0,1,？,n,1;fz,0011010
z简单的说，就是求导一直到在点的导数不等于零了，导几次就是几级零点。 0
,例如:sin0,0,sin0,cos0,1,0,所以0是sinz的1级零点
,0zzz ，，例如:e,1,0,e,1,e,1,0,所以0是e,1的1级零点
z,0z,0
,,，，，，例如:1,cos0,0,1,cosz,sin0,0,sin0,cos0,1,0,所以0是1,cosz的2级零点
z,0
,,zz0z0z，，，，例如:e,1,z,0,e,1,z,e,1,0,e,1,e,1,0,所以0是e,1,z的2级零点
,,z0z0
2. 级数法，
，,knn，1，，，，，，，，zfz,cz,z,cz,z，cz,z，？，，fz如果，则是的n级零点 ,01k0n0n，101k,n
zz，，，，fzfz也就是说在点展成泰勒级数的第一项的幂次是n，那就是的n级零点 0011
3z例如:sinz,z,，？,所以0是sinz的1级零点3!
2zzz例如:e,1,z，，？,所以0是e,1的1级零点 2!
1124 ，，例如:1,cosz,z,z，？,所以0是1,cosz的2级零点24!
kzf，，z(七)是的级零点 k*n01
2例如:0是sinz的1级零点,0是sinz的2级零点
4zz 例如:0是e,1的1级零点,是e,1的4级零点
范文二：判断极点阶数的方法
判断极点阶数的方法
（一）如果m ≠n ，则z 0是f (z )±g (z )的max(m , n ) 阶极点
例如：z =0是
1111的2级极点，是的1级极点; 则z =0是+的二级极点z 2e z -1z 2e z -1
如果m =n ，则需要把f (z )+g (z )通分成
f 1(z )
这种形式 g 1z 1111
例如：z =0是z 的一级极点; 则z =0却不是-z 的一级极点
z e -1z e -111e z -1-z
需要把-z 通分成, 再用下面（三）的方法判断。z
z e -1z e -1
已知z 0是f 1(z )的n 级零点，是g 1(z )的m 级零点。 （二）z 0是
f 1(z )
的m-n 级极点，其中m -n >0， g 1z 例如：z =0是sin z 的1级零点，是z e z -1的3级零点; 则z =0是
f 1(z )
的可去奇点。 g 1z (
2
)
z e -1
sin z
z 2
的2级极点
如果m -n ≤0，则z 0是
e z -1-z
例如：z =0是e -1-z 的2级零点，是z e -1的2级零点; 则z =0是的可去奇点
z e z -1
z
(
z
)
判断零点阶数的方法
已知z 0是f 1(z )的n 级零点，是g 1(z )的m 级零点。 （四）z 0是f 1(z )g 1(z )的m+n级零点
例如：z =0是z 的一级零点，是e -1的一级零点; 则z =0是z e -1的二级零点
（五）如果m ≠n ，则z 0是f (z )±g (z )的min(m , n ) 阶零点
z
(
z
)
例如：z =0是z 2的2级零点，是e z -1的1级零点; 则z =0是z 2+e z -1的1级零点
如果m =n ，则需要对f (z )±g (z )用（六）的方法判断
()
例如：z =0是z 的1级零点，是e z -1的1级零点; 却不是e z -1-z 的1级零点，而是2级零点。
()
（六）判断z 0是f 1(z )的n 级零点的方法有两个
1. 求导法，如果f 1(k )(z 0)=0, k =0, 1, , n -1; f 1(n )(z 0)≠0，则z 0是f 1(z )的n 级零点 简单的说，就是求导一直到在z 0点的导数不等于零了，导几次就是几级零点。
例如：sin 0=0, si n '0=cos 0=1≠0, 所以0是sin z 的1级零点
例如：e 0-1=0, e z -1
(
)'
z =0
=e z
z =0
=1≠0, 所以0是e z -1的1级零点
'例如：1-cos 0=0, (1-cos z )
z =0
=sin 0=0, si n '0=cos 0=1≠0, 所以0是(1-cos z )的2级零点
例如：e z -1-z =0, e z -1-z
2. 级数法， 如果f 1(z )=
(
)'
z =0
=e 0-1=0, e z -1
(
)'
z =0
=e 0=1≠0, 所以0是e z -1-z 的2级零点
∑c (z -z )
k
k =n
+∞
k
=c n (z -z 0)+c n +1(z -z 0)
n
n +1
+ ，则z 0是f 1(z )的n 级零点
也就是说f 1(z )在z 0点展成泰勒级数的第一项的幂次是n ，那z 0就是f 1(z )的n 级零点
z 3例如：sin z =z -+ , 所以0是sin z 的1级零点
3! z 2
例如：e -1=z ++ , 所以0是e z -1的1级零点
2!
z
例如：1-cos z =
（七）z 0是f 1z
k
1214
z -z + , 所以0是(1-cos z )的2级零点 24!
()的k *n 级零点
4
例如：0是sin z 的1级零点, 0是sin z 2的2级零点
例如：0是e z -1的1级零点, 是e z -1的4级零点
已知z 0是f (z )的n 级极点，是g (z )的m 级极点。 （三）z 0是f (z )g (z )的m+n级极点
111
例如：z =0是z 的一级极点; 则z =0是z 的二级极点
z e -1z e -1
范文三：判断极点阶数的方法
判断极点阶数的方法
已知z 0是f (z )的n 级极点，是g (z )的m 级极点。 （一）z 0是f (z )g (z )的m+n级极点
111
例如：z =0是z 的一级极点; 则z =0是z 的二级极点
z e -1z e -1
（二）如果m ≠n ，则z 0是f (z )±g (z )的max(m , n ) 阶极点
例如：z =0是
1111的2级极点，是的1级极点; 则z =0是+的二级极点z 2e z -1z 2e z -1
如果m =n ，则需要把f (z )+g (z )通分成
f 1(z )
这种形式 g 1z 1111
例如：z =0是z 的一级极点; 则z =0却不是-z 的一级极点
z e -1z e -111e z -1-z
需要把-z 通分成, 再用下面（三）的方法判断。z
z e -1z e -1
已知z 0是f 1(z )的n 级零点，是g 1(z )的m 级零点。 （三）z 0是
f 1(z )
的m-n 级极点，其中m -n >0， g 1z 例如：z =0是sin z 的1级零点，是z e z -1的3级零点; 则z =0是
f 1(z )
的可去奇点。 g 1z (
2
)
z e -1
sin z
z 2
的2级极点
如果m -n ≤0，则z 0是
e z -1-z
例如：z =0是e -1-z 的2级零点，是z e -1的2级零点; 则z =0是的可去奇点
z e z -1
z
(
z
)
判断零点阶数的方法
已知z 0是f 1(z )的n 级零点，是g 1(z )的m 级零点。 （四）z 0是f 1(z )g 1(z )的m+n级零点
例如：z =0是z 的一级零点，是e -1的一级零点; 则z =0是z e -1的二级零点
（五）如果m ≠n ，则z 0是f (z )±g (z )的min(m , n ) 阶零点
z
(
z
)
例如：z =0是z 2的2级零点，是e z -1的1级零点; 则z =0是z 2+e z -1的1级零点
如果m =n ，则需要对f (z )±g (z )用（六）的方法判断
()
例如：z =0是z 的1级零点，是e z -1的1级零点; 却不是e z -1-z 的1级零点，而是2级零点。
（六）判断z 0是f 1(z )的n 级零点的方法有两个
1. 求导法，如果f 1(k )(z 0)=0, k =0, 1, , n -1; f 1(n )(z 0)≠0，则z 0是f 1(z )的n 级零点 简单的说，就是求导一直到在z 0点的导数不等于零了，导几次就是几级零点。
()
例如：sin 0=0, si n '0=cos 0=1≠0, 所以0是sin z 的1级零点
例如：e 0-1=0, e z -1
(
)'
z =0
=e z
z =0
=1≠0, 所以0是e z -1的1级零点
'例如：1-cos 0=0, (1-cos z )
z =0
=sin 0=0, si n '0=cos 0=1≠0, 所以0是(1-cos z )的2级零点
例如：e z -1-z =0, e z -1-z
2. 级数法， 如果f 1(z )=
(
)'
z =0
=e 0-1=0, e z -1
(
)'
z =0
=e 0=1≠0, 所以0是e z -1-z 的2级零点
∑c (z -z )
k
k =n
+∞
k
=c n (z -z 0)+c n +1(z -z 0)
n
n +1
+ ，则z 0是f 1(z )的n 级零点
也就是说f 1(z )在z 0点展成泰勒级数的第一项的幂次是n ，那z 0就是f 1(z )的n 级零点
z 3例如：sin z =z -+ , 所以0是sin z 的1级零点
3! z 2
例如：e -1=z ++ , 所以0是e z -1的1级零点
2!
z
例如：1-cos z =
（七）z 0是f 1z
k
1214
z -z + , 所以0是(1-cos z )的2级零点 24!
()的k *n 级零点
4
例如：0是sin z 的1级零点, 0是sin z 2的2级零点
例如：0是e z -1的1级零点, 是e z -1的4级零点
范文四：确定复杂复变函数极点阶数的一种方法
确定复杂复变函数极点阶数的一种方法
第28卷第1期
2012年2月
山西大同大学(自然科学版)
JournalofShanxiDatonguniversity(NaturafScience)
Vo1.28.No.1
Feb2012
文章编号:1674—0874(2012J01—0019—02
确定复杂复变函数极点阶数的-一种方法
王文琦
(山西大同大学物理与电子科学学院,山西大同037009) 摘要:在复变函数论教学过程中,如何确定复变函数极点的阶数是教学的重点和难
点.在分析零点和极点
胜质的基础上,就如何运用零点性质确定极点阶数总结出了一种简捷而有效的方
法,并给出了严格证明.
关键词:复变函数;零点;极点;极点阶数
中图分类号:O174.5文献标识码:A
1问题的引出
复变函数中定义函数不解析的点为奇点,如果
函数.)虽然在z.不解析,但在.的某个去心邻域
内处处解析,则称.为)的孤立奇点.孤立奇点及
其性质在复变函数中是非常重要的知识点,具有非
常重要的地位【1_3].如复变函数的积分,洛朗级数展 开,复变函数在孤立奇点处的留数,留数定理等很
多有关复变函数的性质都与孤立奇点有着紧密的
联系.在学习孤立奇点概念及其性质时,怎样确定
复变函数的奇点的类型是重点和难点,尤其是在确
定极点阶数的问题时往往比较困难.确定奇点的类 型,通常有两种方法:
(1)把复变函数)在其孤立奇点z.的某去心 领域内展开成洛朗级数,然后根据展开的洛朗级数 中(Z-Zo)的负幂项的情况来确定该奇点属于哪一类 奇点(无负幂项为可去奇点,有限个负幂项为极点, 无穷多个负幂项为本性奇点1;
(2)求解limf(z),看其是否为有限值,..或不 z—0
存在(1iraf()为有限值,是可去奇点,lira.)为..,:—Oz—0 是极点;lim.
)不存在,是本性奇点).确定极点—
0
的阶数,也是两种方法:?把复变函数厂(z)在其孤 立奇点的某去心领域内展开成洛朗级数,根据负幂 项的次数来判断;?利用零点与极点的关系来判 断(若.为函数g()的m阶零点,则_z.为函数 .厂()=1/g()的m阶极点).在实际解题过程中,经 常会遇到一些复变函数,即不容易将其在孤立奇点 的无心邻域内展开成洛朗级数,又不能快速将其表 示成)=1)的形式(即使能表示出来,但..是 否为)的零点还有待确定).那么,如何快速确定 此类复变函数的孤立奇点类型并给出极点的阶数 f若存在极点).本文就此问题进行了分析,并总结 了简洁而有效的方法.
2用零点与极点的联系确定复变函数
的极点阶数
把函数表示成以简单函数的商,和及积的3种 形式:/):P0)/Q(z),/):P)+Q0),/)=P)Q0),
相比将一个函数表示成):1/)的形式,要更为 容易一些.下面利用复变函数零点和极点的性质 以及零点和极点之间的关系来确定以上这3种形 式的函数的极点阶数.
2.1第1种情况
z.是函数P)的m阶零点,是函数Q)的n 阶零点.函数)=PI)/Q(z),(z)=)+Q0),)=
P(z)Q),那么.与这3个函数的关系如何? ..是函数)的m阶零点,是函数Q)的凡阶 零点,根据零点的定义[11可知P)和Q)可以表示 为:P)=(zo)),Q0)=(o)),且0)和)
在解析,并且0)?0,??0.m和n为正
数.
(1))==
VI'
二墨Q垒)一二墨Q.盟
一
.0)")一0))
因为和0)在z.解析,根据解析函数的
收稿日期:2011-11-25
作者简介:王文琦(1982一),女,山西大同人,硕士,助教,研究方向:量子光学.
山西大同大学(自然科学版)
性质可知,在分母不为零时两个解析函数的商仍为 解析函数团,因为(z0)?0,所以(z)/)在.的 邻域内解析,将0)/0)在z.的邻域上展开成泰 勒级数l3]:,.'
=c(z-z
CO+c1一zo)+c20一+…
z=o时,有(.)/咖)=c.?0.
当时m</7,时,
.=
7=_—+7=_——+…+一
0)一.一0)—''
+c一+???
Z—Z0
)在o的去心邻域上展开成洛朗级数后,其一 0)的负幂项为有限个,一z0)项的最高幂为一 0),该项系数为c..因为c.?0,m—n<0所以 z.是(z)的n—m阶极点.
当m>/Z时,
0)=0一z0)一)/咖),)/咖)在z.解析,且 G)/西)=Co?0,m—n>0,故o是jq(z)的m— 阶零点.(此时Zo不是仁)的孤立奇点) 当m:/7,时,)在z.的去心邻域上的洛朗展 开式为:
='=
co+cl0一0)+c2—D)+…
其中没有一zo)的负幂项,因此是)的可去奇 点.
(2).)=尸)+Q),
)=P)+Q)=
一
zo)0)+一z0)咖)
为)零点,0)+咖0)?0时,零点的阶数取 m,/7,中较小的值.将上式右边做级数展开后,系数 不为零的一zo)的最低幂为m和n中较小的那一 项.
(3)0)=P).Q),
.G)=P)Q):一zo),0)(z)
.为)的m+n阶零点.
2.2第2种情况
=ZO是函数)的m阶极点,是函数Q)的 rt阶极点.函数g)=尸)/Q),)=尸)+Q), )=)?Q0),那么z.与这3个函数的关系如何. zo是函数)的m阶极点,是函数Q)的n阶 极点,根据极点定义【41,可得,
)奇,奇咖仁),
其中,)和咖0)是z.邻域内的解析函数,且, (o)?0,(0)?0.
(1)gl(z)=P()/Q(z), ==?
错
当m<时,
=='=
()
(z)(z)在邻域内解析,且()(z)?0,n嘲> 0,Zo是()的IT,一m阶零点.
当m>n时,
z=='=
.
(Z--Z.)一(z)'
((z)在ZO邻域内解析,且(z)(z)?0,m-/t>
0,是(z)的m一71,阶极点.
当m~11,时,Zo是所()的可去奇点. (2)(z)=P(z)+Q(z) 当m?n时,令肚max(m,r/,),o为函数g2(z)的 .7v阶极点.因为将z)和Qa)做洛朗展开后再相加,
(Z--Z..)的最高幂取m和//,中较大的那一项.
当m=/-t,()+咖()?O时,
g2()_P()+Q()=
,N=m=n)
所以z.是函数()的N=m=rt阶极点.
当m=n,(o)+()=0时,是函数g2(z)的低
于n阶的极点或可去奇点.
(3)g3(z)=P(z)?Q(z)
()=P(z).Q(z)=
'
(z)咖(z),
.为函数(z)的m+n阶极点.
综上所述,形式较复杂的函数,可以通过整理
变形使之以较为简单的函数商,和以及积的形式表 示出来,再利用复变函数零点与极点直接的关系通 过上述方式来确定其极点的阶数.
(下转第93页)
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(1.No.115CoalGeologicalProspectingInstituteofShanxi,DatongShanxi,037003; 2.SchoolofCoalEngineering,ShanxiDatongUnivesity,DatongShanxi,037003) Abstract:InordertodiscovertheinnerconnectionsbetweentheconstructionChiandrelevantlengthmeasurement,thearticle
probesintotheseconcepts.TheconstructionChiwasalwaysthesamewhiletheGuanZaoChivariedinlength,andthetwomeasure-
mentsCO—existedforaverylongtime.
Keywords:constructionChi;ancientChitypes;comparisonofthelengthofChi;measurement
[责任编辑李海]
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AnApproachtoDeterminetheOrderofPoleofComplexFunctions
WANGWen-qi
(SchoolofPhysicsandElectronicsScience,ShanxiDatongUniversity,DatongShanxi,037009)
Abstract:Intheteachingprocess,howtodeterminethecomplexfunctionoftheorderofpoleis
veryimportant.Thispaperpro—
videsamethodofusingthenatureofzerotodeterminethecomplexfunctionoftheorderofpole
accordingtotheanalysisofthena—
tureofzeroandpole.Someproo~arealsogiveninthepaper.
Keywords:complexfunctions;zero;pole;orderofpole
[责任编辑高海]
范文五：浅析以复变函数零点性质确定极点阶数的方法
()自然科学 贵州教育学院学报 第 20卷 第 6Vo l. 20. No. 6
()Jun. 2009 期 2009年 6Journal of Guizhou Education Institute Natural Science
月 3 浅析以复变函数零点性质确定极点阶数的方法
李茂材 ,李汝烯 ,拓 行
()大理学院物理与电子信息学院 ,云南 大理 671003
摘要 :在复变函数论教学过程中 ,如何确定复变函数极点的阶数是教学的重点和难点 。在分析零点和极 点性质的基础上 ,就如何运用零点性质确定极点阶数总结出了一种简捷而有效的方法 ,并给出了严格证明 。
关键词 :零点 ;极点 ;极点阶数
( ) 中图分类号 : O174. 5 文献标识码 : A 文章编号 : 1002 - 6983 200906 - 0007 - 02
Using the na ture of zero to determ ine the order of pole
L IMao2cai, L I Ru2xi, TUO Hang
()College of Physics and Electronic Inform ation, Dali University, Dali, Yunnan, 671003 China
Abstract: In the teaching p rocess, how to determ ine the comp lex function of the order of pole is very impo rtant.
This paper p rovides a method of using the nature of zero to determ ine the comp lex function of the order of pole accord2 ing to the analysis of the nature of zero and pole. Som e p roofs are also given in the paper.
Key words: zero; pole; the order of pole
( ) P z) ( ) ( ) . 但在实际解题过程中形如 : f z、f z= 数 = 1 问题的提出 ( )Q z
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P z+ Q z、f z= P z?Q z类型的复变函数 , 复变函数论中 ,孤立奇点及其相关性质是非常
重要的知识点. 因为 ,诸如复变函数积分 、Laurant既不容易将其在孤立奇点的无心邻域内展开成
级 数展开式 、复变函数在孤立奇点处的残数 、残数定1 ( ) Laurant级数 ,又不能快速将其表示成 f z= 的 理 等很多有关复变函数的性质都是围绕其孤立奇( )g z 点展 开的. 在学习孤立奇点概念及其性质时 ,确定(( ) 形式 即使能表示出来 , 但 z = a 是否为 g z的零点 复变函 数的极点的阶数又是教学重点和难点 ,特) 还有待确定 . 那么 ,如何快速确定此问题中复变函 别是学生 在确定极点阶数的问题时往往感觉比较(数的孤立奇点类型并给出极点的阶数 若存在极 困难. 就此 问题 ,通常的处理方法有三种 : 其一 , ) 点 . 本文就此问题进行了分析 ,并给出了一种简捷 )( ) (把复变函数 f z在其孤立奇点 设为 z = a 的某
而有效的方法. 无心邻域 0 <>
ε( ) 2 用复变函数零点性质确定几 < 内展开成="" laurant级数="" f="" z="cz" -="" a="" n="">
( z 种类型的函数的极点阶数 n = - ? n ( ) ) - a,然后根据 Laurant级数展开式的主要部分来 P z( ) 2. 1 形如 f z= 类型的函数 ( )Q z 判断孤立奇点是否为复变函数的极点并确定极点的 ( ) 定理 2. 1 设点 z = a为函数 f z的孤立奇点 , (阶数 ;其二 , 利用零点和极点的简单倒数关系 若
( ) z = a 为函数 g z的 m 阶 零 点 , 则 z = a 为 函 数 1( ) f z= ) 的 m 阶极点 来确定极点的阶数 ; 其三 , ( ) ( ) 且 f z在点 a 的某去心邻域内能表示成 f z= ( )g z
( ) (求解极限 lim f z= ?的方法 此种方法只能确定 z = ( ) P zz?a ( ) ,且点 a 为函数 P z的 m 阶零点 , 又为函数 ( )Q z a 是否为复变函数的极 点 , 而不 能确定极点的阶
3收稿日期 : 2009 - 06 - 13
( )基金项目 :云南省十一五规划课题资助项目 GY07041
( ) 作者简介 :李茂材 1972 - ,男 ,大理学院讲师 ,硕士 ,主要研究方向 :数学物理方法教学研究.
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( ) ( ) ( ) φQ z的 n阶零点 ,则 : m = n且a+ < a="0时" ,="" a是低于="" n阶="" 当="">
( ) 极点或可去奇点 . > m 时 , 点 a 为函数 f z的 n - m 阶极 ?当 n
点 ; 下面我们对定理 2. 2进行证明.
( ) ?当 n < m="" 时="" ,="" 点="" a="" 为函数="" f="" z的="" m="" -="" n="" 阶零="" (="" )="" 证明="" 因为函数="" p="" z以点="" a为="" m="" 阶极点="" ,则由="" [="" 3="" ]点="" ;="" (="" )="" 极点性质="" 得="" p="" z在="" a点的某去心邻域内能表成="" :="" φ(="" )="" (="" )?当="" n="m" 时="" ,="" 点="" a="" 为函数="" f="" z的可去奇点="" ;="" z="" (="" )="" (="" )="" φ(="" )p="" z="," a?="" 0="" ;同理="" ,因为函数="" q="" z="" m="" (="" )下面我们对定理="" 2.="" 1="" 进行证明.="" z="" -="" a="">
( ) < z(="" )="" 证明="" 因为函数="" p="" z以点="" a为="" m="" 阶零点="" ,由(="" )="" (="" )="" 以点="" a为="" n阶极点="" ,则有="" q="" z=",">< a?="" n="" 代="" [="" 1="" ][="" 2="" ]="" (="" )z="" -="" a="" 数学基本定理="" 和泰勒定理="" 知在点="" a的某邻域0="" ;所以="" :="" 内="" mφ(="" )="" (="" )="" (="" )="" (="" )="" 函数="" p="" z可以表示为="" :="" p="" z="z" -="" az,其中="">
( ) ( ) ( ) m ? n 时 , f z= P z+ Q z= ? 当 φ( ) ( ) φ( ) z在 a点解析 , 且a?0 . 又因为函数 Q z
以 n ψ( ) ( ) ( ) z φz < z="" (="" )="" (="" )="" (="" )="" 点="" a="" 为="" n阶零点="" ,="" 同理有="" :="" q="" z="z" -="">< z+="其" mnn(="" )="" (="" )="" (="" )="" z="" -="" a="" z="" -="" a="" z="" -="" a="" (="" )="" (="" )="" 中="">< z在="" a="" 点解析="" ,="" 且="">< a?="" 0="" .="" m="" (="" )φ(="" )p="" z="" (="" )="" z="" z="" -="" a="" ()="" ψ(="" )="" 其="" 中="" n="max" m="" ,="" n,z在="" a="" 点="" 解="" 析="" ,="" (="" )="" 这样一来="" ,="" f="" z="=" =="" n="" (="" )q="" z="" (="" )="" (="" )z="" -="">< z="" ψ(="" )="" ()="" (="" )="" a?="" 0="" .="" 所以="" ,="" f="" z以点="" a为="" n="max" m,="" n阶="" φ(="" )z="" 1="" (),="" 其中="" n=""> m 极点 . n - m( ) ( )z - a < z="" (="" )="" φ(="" )="" φ?当="" m="n," 且="" a+a?="" 0时="" ,="" (="" )="" (="" )="" φφzz因为="" 在="" a点及其邻域内解析="" ,则="" 在="" φ(="" )="" (="" )="" z="">< z="" (="" )(="">< z="">< z="" (="" )="" (="" )="" (="" )="" f="" z="P" z+="" q="" z="+" =="" mn(="" )="" (="" )="" z="" -="" a="" z="" -="" a="" (="" )φz[="" 2="" ]="" a="" 点="" 的="" 邻域="" 上可="" 以展="" 开="" 成泰="" 勒="" 级="" 数="" ,="" 即="" :="" φ(="" )="" (="" )="" z+="">< z="" (="">< z="" ,n?="" (="" )="" z="" -="" a="" n="" 2="" (="" )="" (="" )="" +="" cz="" -="" a+="" cz="" -="" a+="c(" )0="" 1="" 2="" (="" )="cz" -="" a="" 所以="" f="" z以点="" a="" 为="" n="m" =="" n阶极点="" .="" n="" =="" 0="" φ(="" )="" (="" )="" m="n且" a+="">< a="0时" ,="" 点="" a是低="" 于="" m="" 阶极点或可去奇点="" .="" 毕.="" (="" )φa="" 令="" z="a则有" :="" φ(="" )="" 0="" ,因为="" a?0,="c" 0(="" )="" (="" )="" (="" )="" 2.="" 3="" 形如="" f="" z="P" z?q="" z类型的函数="" (="">< a="">
φ( ) ( ) a? 0 定理 2. 3 如果点 a 为函数 P z的 m 阶零点 , ( ) φ( z) z的 m ( )( )P zn - m又为函数 Q z 的 n阶零点 ,则点 a为函数 f ( ) 所以 , f z= 1 ? = ( )( ) ( )Q z z - a < z="(" )="" (="" 阶="" 零="" 点="" .="" 因="" 为="" 在="" 条="" 件="" 情="" 况="" 下="" f="" z="z" -="" +="" n="" mn="" m="" +n2="" )="" φ(="" )="" (="" )="" (="" )="" (="" )="" λ(="" )="" 1="" az?="" z="" -="">< z="z" -="" az,其中="" :="" (="" )="" (="" )="" +="" c="" z="" -="" a+="" c="" z="" -="" a+="" ]="" c0="" 1="" 2n="" -="" m="" λ(="" )="" φ(="" )="" (="" )="" λ(="" )="" (="" )z="">< z,="" a?="" 0="" ,显然点="" a="" 为="" f="" z="" (="" )="" z="" -="" a="" c="" c="" c="" 0="" 1="" 2="" 的="" m="" +="" n阶零点="" .="n" -="" m+="" +="" +="" +(="" )="" z="" -="" a="" n="" -="" m="" -="" 1="" n="" -="" m="" -="" 2="" (="" )="" (="" )="" z="" -="" az="" -="">
c3 结论 n - m - 1 + c+ n - m z - a ( ) P z( ) ( ) ( )由上述可见 ,形如 f z= 、f z= P z 其中 : n > m ( )Q z ( cz 0 ( ) ( ) ( ) ( ) + Q z、f z= P z?Q z类型的复变函数可利 用( ) 则 f z在 a 点 的主 要 部分 是 : +n - m ) - a 零点的性质 ,采用以上简捷有效的方法来确定其 c c c n - m - 1 极点的阶数. 1 2 + + + n - m - 2 n - m - 1 ( ) z - a( ) z - az - a
( ) 因 c? 0, 所以点 a是 f z的 n - m 阶极点 . 0 参考文献 :
( ) 同理可证 :当 n < m="" 时="" ,="" 点="" a为="" f="" z的="" m="" -="" n阶="" ()="" [="" 1="" ]梁昆淼.="" 数学物理方法="" 第="" 2版="" [m="" ].="" 北京="">
( ) 育 出版社 , 1994: 82. 零点 ;当 n = m 时 , 点 a为 f z的可去奇点 . 毕.
( ) ( ) ( ) (2. 2 形如 f z= P z+ Q z类型的函数 [ 2 ]四川大学数学系微分方程教研室. 高等数学 数学物
) () 理方法 第 2版 [M ]. 北京 :高等教育出版社 , 2008: ( ) 定理 2. 2 设函数 P z以点 a 为 m 阶极点 ,
( ) 76 - 98. Q z以点 a为 n阶极点 . 那么 , 当 m ? n或 m = () [ 3 ]钟玉泉. 复变函数论 第 3 版 [M ]. 北京 :高等教育 n
出版社 , 2004: 193 - 203. ( ) ( ) φ( ) ( ) , 且 a+ < a?="" 0="" 时="" ,="" 点="" a="" 为="" f="" z="P" z+="">
( ) () Q z的 N 阶极点 , 其中 N = max m , n;
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