吐槽帝9
范文一：二次根式的加减——最简二次根式
二次根式的加减——最简二次根式
教学内容
最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算．
教学目标
理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．
通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求． 重难点关键
1．重点：最简二次根式的运用．
2．难点：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．
教学过程 一、复习引入 计算（1
5
，（2
（3
3
a
二、探索新知识
观察上面计算题的最后结果，可以发现这些式子中的
1．被开方数不含分母；
2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做 化简=
例1．下列各式中，哪些式最简二次根式？哪些不是最简二次根式？不是最简二次根式的请
说明理由。 （1）
35
（2）
33
（3）. 5 （4）8 （5）24x
（6）
x +6x +9x
32
例2．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB 的长．
222
解：因为AB =AC+BC
所以
=
=
=
132
因此AB 的长为6.5cm ．
三、应用拓展
例3．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：
1=
12-1
，
1?=
3-2
，
，……
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算 111+1+1）的值．
分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到
化简的目的．
解：原式=+……+1） =）（+1）
范文二：二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念
(2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编☆二次
根式、最简二次根式、同类二次根式的概念
点评：此题主要考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2. （2011?江苏徐州，5，2x的取值范围是（ ） A、x≥1 B、x＞1 C、x2
B．x≤2 D．x2 B、x＞3 C、x≥2 D、x D. a≥ 2222
考点：二次根式的性质与化简
.
分析：由已知得2
a﹣1≤0，从而得出a的取值范围即可．
1
解答：?1?2a，∴2a﹣1≤0，解得a≤．故选B．
2点评：本题考查了二次根式的化简与求值，是基础知识要熟练掌握． 10. 5.已知y?，则2xy的值为（ ） A．?15 B．15 C．?
1515 D． 22
考点：二次根式有意义的条件．
分析：首先根据分式有意义的条件求出x的值，然后根据题干式子求出y的值，最后求出2xy的值．
?2x?5?0
解答：解：要使有意义，则?，
5?2x?0?
55
解得x＝，故y＝－3，∴2xy＝－2××3＝－15．
22
故选A．
点评：本题主要考查二次根式有意义的条件，解答本题的关键是求出x和y的值，本题难度一般．
11. （2011四川泸州，8，2分）设实数a，b在数轴上对应的位置如图所示，化简 a2+|a+b|的结果是（ ）
A.-2a+b B.2a+b C.-b D.b
考点：二次根式的性质与化简；实数与数轴．
分析：根据数轴上a，b的值得出a，b的符号，a0，以及a+b＞0，即可化简求值．
解答：解：根据数轴上a，b的值得出a，b的符号，a0，a+b＞0，∴a2+|a+b|=-a+a+b=b，
故选：D．
点评：此题主要考查了二次根式的化简以及实数与数轴，根据数轴得出a，b的符号是解决问题的关键．
12.（2011四川攀枝花，3，3分）下列运算中，正确的是（ ）
A、2+3=
B、a?a=a
2
3
C、（a）=a
336
D、27=－3
考点：二次根式的加减法；立方根；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方。
分析：此题涉及到二次根式的加减，同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加，幂的乘方：
底数不变，指数相乘；根式的化简，4个知识点，根据各知识点进行计算，可得到答案． 解答：解：A、2和不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误； B、a?a=a=a，
故此选项正确； C、（a）=a
3
3
3×3
2
2+1
3
=a，故此选项错误； D、27=3，故此选项错误．故
9
选：B．
点评：此题主要考查了二次根式的加减，同底数幂的乘法，幂的乘方，根式的化简，关键是同学们要正确把握各知识点的运用．
13 . （2011广州，9，3分）当实数x的取值使得x?2有意义时，函数y=4x+1中y的取值范围是（ ）
A.y≥-7 B. y≥9 C. y>9 D. y≤9
【考点】函数值；二次根式有意义的条件． 【专题】计算题．
【分析】易得x的取值范围，代入所给函数可得y的取值范围．
【解答】解：由题意得x-2≥0， 解得x≥2， ∴4x+1≥9， 即y≥9． 故选B．
【点评】考查函数值的取值的求法；根据二次函数被开方数为非负数得到x的取值是解决本题的关键．
14. （2010河南，3，3分）下列各式计算正确的是（ ）
?1?
A．??1???
???3
?2?
2
2
4
?1
B
?2
3
6
C．2a+4a=6a D．（a）=a
考点：二次根式的加减法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；零指数幂；负整数指数幂 分析：根据各选项进行分析得出计算正确的答案，注意利用幂的乘方的运算以及二次根式的加减，负整数指数幂等知识分别判断即可． 解答：解：A、（﹣1）﹣（
1﹣1
）=1﹣2=﹣
1，故此选项错误；B2
2
2
2
2
3
6
法计算，故此选项错误；C、2a+4a=6a，故此选项错误；D、（a）=a，故此选项正确．故选D． 点评：此题主要考查了二次根式的混合运算以及幂的乘方的运算和负整数指数幂等知识，此题难度不大注意计算要认真，保证计算的正确性．
15. （2011湖北随州，3，3）要使式子
a?2
有意义，则a的取值范围为 a≥－2且a≠0 ． a
考点：二次根式有意义的条件。 专题：计算题。
分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
解答：解：根据题意得：a+2≥0且a≠0， 解得：a≥－2且a≠0． 故答案为：a≥－2且a≠0．
点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 16. （2011梧州，14，3分）当a ≥﹣2 a+2在实数范围内一有意义． 考点：二次根式有意义的条件。 专题：计算题。
分析：根据二次根式的被开方数是非负数列出关于a的不等式，然后解不等式即可． 解答：解：根据题意，得 a+2≥0，
解得，a≥﹣2； 故答案是：≥﹣2．
点评：本题考查了二次根式有意义的条件．二次根式的被开方数大于等于零．
17. （2011福建龙岩，12，3
有意义，则实数x的取值范围是 ．
考点：二次根式有意义的条件.
分析：根据二次根式的性质（被开方数大于等于0）解答．
解答：解：根据题意，得x﹣3≥0，解得，x≥3；故答案是x≥3．
点评：本题考查了二次根式有意义的条件．二次根式的被开方数是非负数． 18. （2011福建省三明市，11,4
2011= ．
考点：实数的运算；零指数幂。 专题：计算题。
分析：根据二次根式的化简和零指数幂等知识点进行计算即可． 解答：解：原式=2﹣1 =1，
故答案为1．
点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关
20. （2011广东肇庆，11，3
考点：二次根式的性质与化简。 分析：根据二次根式的性质计算． 解答：解：原式
点评：主要考查了二次根式的化简．注意最简二次根式的条件是：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数因式．上述两个条件同时具备（缺一不可）的二次根式叫最简二次根式．
21. （2010广东，7，4分）使x?2在实数范围内有意义的x的取值范围是______ _____． 考点：二次根式有意义的条件
分析：先根据二次根式有意义的条件得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
解答：解：∵使x?2在实数范围内有意义，∴x﹣2≥0，解得x≥2．故答案为：x≥2． 点评：本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0． 22.（2011广西百色，15，3分）化简4= ____ ． 考点：二次根式的性质与化简． 分析：根据二次根式的性质解答． 解答：解：4=22=2．
点评：主要考查了二次根式的化简．
注意最简二次根式的条件是：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数因式．上述两个条件同时具备（缺一不可）的二次根式叫最简二次根式． 23.（2011广西崇左，3，2分）若二次根式x?1有意义，则x的取值范围是 ． 考点：二次根式有意义的条件．
分析：根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围．
解答：解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0，
x≥1．
故答案为x≥1．
点评：此题考查了二次根式有意义的条件，只要保证被开方数为非负数即可． 24.（2011?随州）要使式子
有意义，则a的取值范围为 a≥﹣2且a≠0 ．
考点：二次根式有意义的条件。 专题：计算题。
分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
解答：解：根据题意得：a+2≥0且a≠0， 解得：a≥﹣2且a≠0． 故答案为：a≥﹣2且a≠0．
点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
二、填空题
▲ . 1.
（2000?江西）计算：
考点：二次根式的加减法。
分析：运用二次根式的加减法运算的顺序，先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
解答：解：原式
点评：合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变． 2. （2011山东日照，15，4分）已知x，y为实数，且满足?x?(y?1)?y=0，那么x
2011
﹣y
2011
= ﹣2 ．
考点：非负数的性质：算术平方根；有理数的乘方。 专题：计算题。
分析：根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可． 解答：解：∵?x?(y?1)?y=0， ∴?x?(1?y)?y=0，
∴x+1=0，y﹣1=0， 解得x=﹣1，y=1， 2011201120112011
∴x﹣y=（﹣1）﹣1， =﹣1﹣1， =﹣2．
故答案为：﹣2．
点评：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 1
3. （2011新疆建设兵团，9，5分）若二次根式3x－1有意义，则x的取值范围是 x≥．
考点：二次根式有意义的条件． 专题：计算题．
分析：根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解． 解答：解：根据二次根式有意义，分式有意义得：3x﹣1≥0，
1
解得：x≥．
3
1
故答案为：x≥．
3
点评：本题考查二次根式有意义的条件，知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 4. （2011新疆乌鲁木齐，11，4）若x?1在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥1 ． 考点：二次根式有意义的条件。 专题：存在型。
分析：先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 解答：解：∵x?1在实数范围内有意义，∴x－1≥0，解得x≥1． 故答案为：x≥1．
点评：本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．
5. （2011重庆綦江，12，4分）若2x?1有意义，则x的取值范围是 ． 考点：二次根式有意义的条件。 专题：计算题。
分析：根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解． 解答：解：要是2x?1有意义， 则2x－1≥0，
解得x≥
1． 2
1． 2
故答案为：x≥
点评：本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
6. 要使式子 a+2a有意义，则a的取值范围为 a≥-2且a≠0．
考点：二次根式有意义的条件． 专题：计算题．
分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
解答：解：根据题意得：a+2≥0且a≠0， 解得：a≥-2且a≠0． 故答案为：a≥-2且a≠0．
点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 7. （2011?青海）若a，b是实数，式子
和|a﹣2|互为相反数，则（a+b）= ﹣
2011
1 ．
考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值。 分析：根据题意得可得出答案． 解答：解：依题意，得
+|a﹣2|=0，
+|a﹣2|=0，再根据非负数的意义，列方程组求a、b的值，即
根据非负数的意义，得， 2b+6=0，
解得：b=﹣3， a﹣2=0， 解得：a=2，
20112011
∴（a+b）=（﹣1）=﹣1． 故答案为为：﹣1． 点评：此题主要考查了绝对值以及互为相反数的定义和算术平方根的性质，初中阶段学习了三个非负数：a2≥0，|a|≥0，a≥0（a≥0）；必须熟练掌握非负数的性质． 8. 若二次根式
有意义，则x的取值范围是 x≤．
考点：二次根式有意义的条件。
分析：根据二次根式的性质（被开方数大于等于0）列出关于x的不等式，然后解不等式即可．
解答：解：根据二次根式有意义，分式有意义得：1﹣2x≥0，
解得：x≤．
故答案是：x≤．
点评：本题考查了二次根式有意义的条件．二次根式的被开方数是非负数． 9.（2011山东菏泽，9，3
有意义的x的取值范围是 ．
考点：二次根式有意义的条件． 专题：计算题． 分析：本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数．
解答：解：根据题意得：4x﹣1≥0，解得x≥
11．故答案为x≥． 44
点评：函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取
全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
10. 已知a、b为有理数，m、n分别表
示5的整数部分和小数部分，且
amn?bn2?1，则2a?b?考点：二次根式的混合运算；估算无理数的大小． 专题：计算题．
分析：只需首先对5a，其小数部分用
5a
表示．再分别代入amn＋bn＝1进行计算．
解答：解：因为2a，∴ a－2时，原式＝
a 2
2 a
范文四：最简二次根式和二次根式的混合运算练习
最简二次根式和二次根式的混合运算练习
1.把下列二次根式化成最简二次根式 (1) 8x5y2
(2)
27x2?9x3
(3) a11
a2?b
2
(4)
xa2a3
3x5?x
6
2.已知两个最简二次根式2x?2和a?x?1是同类二次根式，
求a、b、x的值。
3.计算或化简下列各式 (1) ??32?
(2) 15?1220?54
45
?45 (3) 2a?a2b?36a?2a2b
(4) 12xx?6xx219?2xx
(5) 24?(1212?23)?(8
?)
(6) (4.?2
1
3
)?(4.?)
(7) 1??xy?x3?2??y2
y2x??2
y2??20???0.02xy?xy???
(8) ab?
ab?ba?ab
b?a
?2
(9) (2?)2000?(2?)2000
(10)
(a?)3?(?)3
(11) (2a?b?22ab)?(6a?b)
(12) (7?3)2
?2(7?3)2?3
4.计算或化简下列各式 (1) 13?2?12
2?1?3?1
(2) 11
7?4?7?43
(3) (3?72)2?
?? (4) a?a2?11a?a2?1
?
a?a2?a?a2?1
(5) ??122??3?2?2?1?1?3??
?(?3)
2
5 (6?2??)?(3?2)
6 3?2?3
(3?22)(3?2)
7 3(1?)?2(1?3)??2?5
8 ?6?26?(6?)(2?2)?
6??
9 2??2?2??2?2?2??2?2?2?3
10.已知x
?
3?13?1，y??122
?1
求x?y?5的值。
分式与根式计算练习
b2a)3÷(2b23a)0×(－b－2x21 (4x＋22a) 2 (x－2＋2－x
)÷2x
3 4 4 (322
5 xx＋y－y
y－x＋2xyx2－y2
6 x2－1x2＋3x＋2x2＋4x＋4
÷(x＋1)·x－1
7 －1·
8 4ba＋2a3ab (1＋
分式与根式应用题
１、某人在环形跑道上跑步，共跑两圈，第一圈的速度是 x 米/分钟，第二圈的速度是 y 米/分钟（x＞y ），则他平均一分钟跑的路程是多少？
２、若菱形的两条对角线的长分别为 32和 32求菱形的面积。
３、如图，是某住宅的平面结构示意图，图中标明了有关尺寸（墙体厚度忽略不计，单位：m），房主计划把卧室以外的地面都铺上地
砖，如果他选用的地砖的价格是 a 元/m2
，则买砖至少需要多少元？若每平方米需砖 b 块，则他应该买多少块砖？（用含 a，x，y 的代数式表示）。
六、（10分）某同学作业本上做了这么一道题：“当 a
时，试
求 a＋，其中是被墨水弄污的，该同学所
求得的答案为1
2
，请你判断该同学答案是否正确，说出你的道理。
范文五：最简二次根式,二次根式的加减法(A卷)
最简二次根式，二次根式的加减法（A卷）
一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．在根式3x5y，x2?y2，21，
x
，a，xy中，最简二次根式的个数2
是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．下列计算中正确的是（ ） A．2＋32＝5
B．（3＋7）·＝·＝10 C．（3＋2）（3－23）＝－3 D．（2a＋）（2a＋）＝2a＋b
3．若a＞0，把?
4a
化为最简二次根式为（ ） b
2
?ab b
22
ab D． ab C．－bb
4．下列各组根式中，不是同类根式的一组是（ ）
1
27 A．3，，2
A．
2b
?ab B．－
B．24，
1
， 54
C．
34
a3b4，a5b2，a7
xx3?y3
D．y，xy，
yx
5．最简根式a?4b和b4a?3b?6是同类二次根式，则（ ） A．a＝3，b＝1 B．a＝2，b＝1
C．a＝1，b＝2 D．a＝1，b＝1 6．下列二次根式中与
1
是同类二次根式的是（ ） 12
A． B．27 C． 7．当x0，b＞0，化简a2?
abab
???2＝________． baba
12．已知a＝3＋22，b＝3－22，则a2b－ab2的值为________．
?b?b2?4ac
13．当a＝2，b＝－10，c＝－4时，代数式＝________．
2a
14．若
7?y(y?5)
2
?
7?yy?5
，则y的取值范围为________．
(a?1)2a
15．已知a为实数，给出下列4个命题：①若＝－1，则a0，④若a≥－2，则有意义，写出正确命题的代2
aa?1a
17．解答题：（1）若x＝
2?1
，求x2＋2x＋5值； （2）若x＝
13?22
，y＝
13?22
，
求
11
?的值． xy
a2?3ab3b2
18．（1）先化简，再求值：，其中a＝2，b＝5． ?
34
（2）当x＝3，y＝4时，求代数式x3y?4x2y2?4xy3的值．
b1a22
19．计算：（1）36＋24－9 （2）（2b＋aab）－（4ab＋aa）
54b
（a＞0，b＞0）
20．观察下列各式及验证过程：
111??232111212
????验证：
232?3322?322
3
111131311113
(?)???验证： (?)?
2342?3?4234382?32?438111141411114
(?)???验证：． (?)?23453?4?54153454153?4?5
（1）按照上述三个等式及其验证过程的基本思路，猜想
111
(?)的变形结果并进行456
验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n≥2的自然数）表示的等式，并验证．
四、细心想一想（每小题4分，共28分）
21．最简根式2n?和3m?3是同类二次根式，求m，n的值．
x
22．化简：
2x?y
4x2?4xy?y2
（2x＞y）．
x
23．把根号外面的因式移到根号里面，写出过程
（a－1）?
24．已知a＋b＝6，ab＝4，且a＞b，求
25．当a＞1时，化简a－?2a?a2．
26．已知x＞0，y＞0，且x＋3xy－4y＝0，求
27．已知：2≈1.414，计算0.5?的值（结果精确到0.01）
参考答案
一、1．C 2．C 3．B 4．D 5．D 6．B 7．C 8．D 二、9． 10．6 11．a
1m
，化简m3?2m2n?mn2，其中m＞n＞0． a?1n?1
a?a?b
的值．
x
的值． y
1
与a3 a
a与
a 8
12．42
5?33
2
14．5y，原式＝
2x?y
(2x?y)2(2x?y)xx
???x x2x?yx
23．解：∵ －
1
＞0， a?1
?1
???a a?1
∴ a－1b， ∴ a－b＝2，
a?ba??
a?b?2ab ?
a?b5
25．解：∵ a＞1，∴ a－?2a?a2＝a－（a－1）＝1 26．解：∵ x＋3xy－4y＝0 ∴ （x?4y）（x? ∵ x＞0，y＞0， ∴
y）＝0
x?y＝0，
x(x)2
? ＝1 y(y)2
27．解：原式＝
72
＋32＝22
2≈5.04
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