傻妞也
范文一：C清华大学随机过程
《概率论与数理统计C》课程教学大纲
Probability & Statistics C
课程代码:03100826 课程性质:专业基础理论课(选修)
适用专业:包装、车辆等25个专业 开课学期:4
总学时数:40 总学分数:2.5
修订年月:2006年6月 执 笔:李大红、古伟清
第一部分 大纲
一、课程的性质和目的
概率论与数理统计是研究和揭示随机现象及其统计规律的数学学科,其应用几乎遍及所有 科学技术领域。概率论是根据随机现象的规律性对随机现象的某一结果出现的可能性大小做出 客观的量化定义,表述其特征,研究它们之间的关系。通过本课程的教学,使学生初步掌握处 理随机现象的基本理论和方法,并能应用其解决一些简单工程实际问题。培养学生运用概率方 法分析问题和解决实际问题的能力,同时为学习有关的后继课程打好必要基础。
二、课程教学内容及基本要求
(一)教学内容
1. 随机事件与概率
随机事件及其运算(随机试验, 随机事件与样本空间, 事件之间的关系及其运算) 概 率的定义、性质及其运算(频率, 概率的统计定义, 古典概率, 几何概率,概率的公理化定义, 概率的性质) 条件概率及三个重要公式(乘法公式, 全概率公式, 贝叶斯公式) 事件的独立 性及贝努里(Bernoulli)概型。
2.随机变量及其分布
随机变量及其分布函数的概念及其性质, 离散型随机变量及其概率分布和分布函数, 常见的离散型随机变量分布(0—1分布、二项分布及泊松分布); 连续型随机变量的概率密度 函数与分布函数,常见的连续型随机变量(均匀分布、指数分布及正态分布),求随机变量函 数的分布的方法。
3. 多维随机变量及其分布
二维随机向量及其分布、 边缘分布的概念; 二维离散型随机向量的概率分布与边缘概率 分布的关系及运算;二维连续型随机变量的分布函数与边缘分布函数、概率密度与边缘概率密 度的关系及运算;条件概率密度及条件概率分布;随机变量的独立性及其判别法;随机变量的 简单函数的概率分布,两个随机变量和、极大与极小函数的分布。
4. 随机变量的数字特征
随机变量数学期望的定义及其性质、随机变量函数的数学期望 随机变量方差的定义 及其性质 协方差, 相关系数的定义与计算公式 几种重要随机变量的数学期望与方差。 5. 大数定律和中心极限定理
契比雪夫不等式 贝努里大数定律和契比雪夫大数定律 独立同分布的中心极限定理 和德莫弗--拉普拉斯(Demoivve--Laplace)中心极限定理
(二)基本要求
1. 随机事件与概率
了解样本空间的概念, 理解随机事件的概念, 熟练掌握事件之间的关系与运算。 了解概率的定义.(古典概率, 几何概率, 概率的频率的定义和概率的公理化定义)。 掌 握概率的性质并且会应用性质进行概率的计算。
理解条件概率的概念, 掌握概率的乘法公式, 全概率公式和贝叶斯(Bayes)公式并会 用这些公式进行概率计算.
理解事件独立性的概念, 熟练掌握贝努里概型并会应用它进行概率计算.
2.随机变量及其分布
了解随机变量的概念、掌握离散型随机变量及概率函数(分布列)的概念和性质,能用 概率分布计算有关事件的概率; 掌握连续型随机变量的概率密度和分布函数的概念和性质,能 用概率密度函数或分布函数计算有关事件的概率。
熟练掌握0-1分布、二项分布、泊松(Poisson)分布、均匀分布、指数分布和正态分布 的概念及性质。
掌握求简单随机变量函数的分布的一般方法。
3. 多维随机变量及其分布
理解多维随机变量的概念,掌握二维随机变量的联合概率分布、联合分布函数、联合概率 密度的概念和性质,掌握计算有关事件概率的方法。
掌握二维离散型随机向量的联合概率分布与边缘概率分布的关系,二维连续型随机向量的 联合分布函数与边缘分布函数、联合概率密度与边缘概率密度的关系。
理解条件分布的概念,会计算条件概率分布、条件概率密度
理解随机变量相互独立性概念,会判断随机变量的独立性。
理解两个随机变量和、极大与极小函数的分布概念,并掌握其计算方法。
了解二维均匀分布, 二维正态分布。
4. 随机变量的数字特征
理解数学期望与方差的概念,掌握它们的性质与计算。
掌握随机变量函数的数学期望计算方法。
熟记0—1分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布的期望与方差 理解协方差,相关系数和矩的概念, 掌握他们的性质与计算方法。
5. 大数定律和中心极限定理
了解切比雪夫不等式、切比雪夫定理和伯努利定理。
了解独立同分布的中心极限定理和棣莫弗(Demoiver)-拉普拉斯(Laplace)定理。 注:在此教学目标由到深为分四个层次:即 了解、知道; 理解; 掌握; 运用、推 理
三、课程教学的学时分配
本课程的教学时数为40学时,课内外学时比例为1:2,课内学时分配如下表: 学 时安 排 小计 序号 内 容
理论课时 实验或习题课时 上机课时
1 随机事件与概率 8 1 9
2 随机变量及其分布 8 1 9
3 多维随机变量及其分布 8 1 9
4 随机变量的数字特征 6 1 7
5 大数定律和中心极限定理 4 0 4 机动 2 2 总计 34 6 40
四、本课程与其它课程的联系与分工
先修课程:高等数学、线性代数
后续课程:本课程学习结束后,学生可具备进一步学习相关课程的理论基础
五、建议教材及教学参考书
[1]谢国瑞主编,《概率论与数理统计》,高等教育出版社, 2002.8出版
[2]浙江大学编,《概率论与数理统计》,高等教育出版社, 2001.12出版
第二部分 重点、难点
1. 随机事件与概率
重点:随机事件之间的关系与运算;概率的概念、基本性质与概率计算;乘法定理、全概 率公式和贝叶斯公式的应用。
难点:古典概型下事件概率的计算,条件概率,独立性概念,事件的概率的计算(特别是:加法定理,乘法定理,全概率公式及贝叶斯公式的应用) 。
2.随机变量及其分布
重点:随机变量的概率分布或分布密度与分布函数的互求;求随机变量函数的分布;0—1分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布的概念及性质。
难点:连续随机变量的分布密度及其分布函数的互求;求随机变量函数的分布。
3. 多维随机变量及其分布
重点:二维随机向量的联合概率分布、联合概率密度和联合分布函数的概念及性质;由二 维随机向量的分布函数、概率密度或概率分布求有关事件的概率;由二维随机向量的分布求二 维随机向量的边缘分布;判断随机变量独立性;两个独立随机向量和、极大与极小的分布。 难点:由二维随机向量的分布求二维随机向量边缘分布;条件概率分布、条件概率密度和 条件分布的计算;求两个独立随机变量和的分布。
4. 随机变量的数字特征
重点:随机变量的数学期望和方差的概念、性质及计算;随机变量函数的数学期望的计算, 特别是随机变量的协方差、相关系数的计算。
难点:不同情形下随机变量函数的数学期望计算,协方差、相关系数的计算。
5. 大数定律和中心极限定理
重点:切比雪夫不等式、本章几个定理的条件和结论、正态分布在近似计算中的应用。 难点:依概率收敛的概念,定理的证明与定理的思想。
范文二：清华大学随机过程03
清华大学
信息科学技术学院本科培养方案 及指导性教学计划
2003级
(试行)
2003年8月
1
目 录
1. 信息科学技术学院本科2003级培养方案修订说明 …… .1
2. 信息科学技术学院本科2003级培养方案 ……………… .4
3. 附录1:各专业核心课程、限选课程、任选课程目录 …… .10
4. 附录2:数学辅修专业方案 ………………………………… .17
5. 信息科学技术学院本科2003级 指导性教学计划 ………… 19
6. 电子信息工程专业课程关系图及选课指导说明 …………… 30
7. 电子科学与技术专业课程关系图及选课指导说明 ………… 31
8. 计算机科学与技术专业课程关系图及选课指导说明 ……… 38
9. 自动化专业课程关系图及选课指导说明 ………………… ..40
注:培养方案及指导性教学计划中无课程号或课程号不全的课程,属于新开或重组课程,选课 时请以选课手册为准
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清华大学
信息科学技术学院本科培养方案
为适应现代科技与国家社会经济发展的客观需求,信息科学技术学院(以下简称信息学 院)从2003级开始实行多学科交叉背景下、通识教育基础上的宽口径专业教育,培养基础厚、 专业面宽、具有自主学习能力的复合型人才。
信息学院致力于为学生全面参与教育教学、科学研究、文化艺术、社会服务等活动创造条 件,提倡学生在参与中发现自己的能力和兴趣,最大限度地发展自己的智力和潜能,鼓励学生 敢于面对挑战、不断探索、努力创造、追求卓越,并提供一种基础和环境,促使学生养成独立 工作的能力和终身学习的习惯。
信息学院本科培养方案面向电子科学与技术、电子信息工程、计算机科学与技术、自动化 等四个专业及示范性软件学院计算机软件专业,构建具有各专业公共知识基础的学院平台课程 体系以及具有一定特长的专业核心课程体系,强调对学生进行基本理论、基础知识、基本能力 (技能)以及健全人格、综合素质和创新精神培养,为学生提供增强基础、选择专业的机制。
一、培养目标
信息学院各专业通过各种教育教学活动发展学生个性,培养学生具有健全人格;具有成 为高素质、高层次、多样化、创造性人才所具备的人文精神以及人文、社科方面的背景知识; 具有国际化视野;具有创新精神;具有提出、解决带有挑战性问题的能力;具有进行有效的交 流与团队合作的能力;在信息科学技术领域掌握扎实的基础理论、相关领域基础理论和专门知 识及基本技能,具有在相关领域跟踪、发展新理论、新知识、新技术的能力,能从事相关领域 的科学研究、技术开发、教学及管理等工作。
电子信息工程专业的本科生运用所掌握的理论知识和技能,从事信息获取、处理和应用, 通信及信息系统和网络,模拟及数字集成电路设计和应用,微波及电磁技术理论和应用等方面 的科研、开发与教学工作。
电子科学与技术专业的本科生运用所掌握的理论知识和技能,从事信号与信息处理的新型 电子材料、器件和系统,包括信息光电子和光子器件、微纳电子器件、微光机电系统、大规模 集成电路和电子信息系统芯片的理论和应用等方面的科研、开发与教学工作。
计算机科学与技术专业的本科生运用所掌握的理论知识和技能,从事计算机科学理论、计 算机系统结构、计算机网络、计算机软件及计算机应用等方面的科研、开发与教学工作。
3
自动化专业的本科生运用所掌握的理论知识和技能,从事国民经济、国防和科研各部门的 运动控制、过程控制、机器人智能控制、导航制导与控制、现代集成制造系统、模式识别与智 能系统、生物信息学、人工智能及神经网络、系统工程理论与实践、新型传感器、电子与自动 检测系统、复杂网络与计算机应用系统等领域的科学研究、技术开发、教学及管理工作。 计算机软件专业的本科生运用所掌握的理论知识和技能,从事计算机软件、信息系统与项 目管理等方面的科研、开发与教学工作。
二、学制与学位授予
本科学制4年,对完成并符合本科培养方案要求的学生授予工学学士学位。
按照学分制管理机制,实行弹性学习年限(最长6年)。
三、基本学分学时
1、 培养总学分:不少于170,其中春、秋季学期课程总学分不少于140或145,平均周学 时为20;
2、 夏季学期实践环节15学分,综合论文训练10或15学分。
四、课程结构与学分要求
1. 人文社科类课程
必修不少于35学分 其中:
?“ 两课 ” : 必修5门 ,14学分
10610022 思想道德修养 2学分(秋)
10610013 **思想概论 3学分(春、秋)
10610033 马克思主义政治经济学原理 3学分(春、秋)
10610043 **理论概论 3学分(春、秋)
10610053 马克思主义哲学原理 3学分(春、秋)
? 体育课: 1门,4学分
第1~4学期的体育(1)~(4)为必修,每学期1个学分;第5~7学期的体育专项为限 选,不设学分,计通过与不通过;第8学期的体育为任选。体育学分不够或不通过者不能获 得学士学位。
? 外语课: 1门,4学分
英语:实行以英语水平考试I为标志的目标管理模式,学生必须通过水平考试I,并取 得4学分,才能获得本科毕业资格及学士学位授予资格。
其他语种(德语、日语、俄语等):按学校有关规定执行;
学生可选修外语系提供的不同层次的外语课程,以提高外语水平与应用能力。
4
? 人文选修课: 在以下 10个课组的 6 个课组中选修不少于13学分
经济管理与法律 艺术欣赏与实践 历史与文化 当代中国与世界 文学 哲学与社会思潮 环境保护与可持续发展 科学与技术 国防教育与学生工作 写作
2.数学与自然科学基础课
必修不少于40学分,包括学院必修课和必修学分两部分。其中:
?数学课
必修不少于26学分, 一、二年级数学课基本要求不少于23学分,三、四年级各专业安 排本专业需要的其他数学课。
以下课程中必修 7 门课,不少于21学分:
课号 课程名 学分
10420874一元微积分 4学分(秋)
1042多元微积分 4学分(春)
1042高等微积分 2学分(秋)
10420684几何与代数(1)4学分(秋)
10420692 几何与代数(2) 2学分(春)
几何与代数(2) 3学分(春)
二选一
10420243 随机数学方法 3学分(春)
10420803 概率论与数理统计 3学分(春)
二选一
10420252 复变函数引论 2学分(秋)
复变函数 3学分(秋)
二选一
以下课程中必修不少于5学分
课号 课程名 学分
10420262数理方程引论 2学分(秋)
20240433 数值分析 3学分(春)
40250443 数值分析与算法 3学分(春)
30230253数值分析与算法 3学分
00420013 数学实验 3学分(春)
四选一
20240013 离散数学(1) 3学分(春)
20240023 离散数学(2) 3学分(秋)
40230104随机过程 4学分(春)
30250143 应用随机过程 3学分(秋)
二选一
40420563 泛函分析(1) 3学分(秋)
实分析 3学分(春)
应用泛函分析 4学分
30420324流形上的微积分 4(秋)
00420113 (数论与编码 ) 代数编码理论 3(春)
10420672 初等数论与多项式 2(秋)
60420013 应用统计 3学分
5
允许在院系教务部门认可下选修理学院的同类型课程。
鼓励学生在完成数学平台要求基础上修读数学系设置的数学辅修专业,辅修专业方案 详见附录2。
? 自然科学基础
必修不少于12学分,允许在院系教务部门认可下选修理学院的同类型课程。 以下课程中必修 4 门课,不少于 10 学分:
课号 课程名 学分
10430525大学物理A(1)5学分(春)
10430535 大学物理A(2) 5学分(秋)
10430484 大学物理B(1)(中英文均可) 4学分(春)
10430194 大学物理B(2)(中英文均可) 4学分(秋)
10430344 大学物理(1)(英) 4学分(春)
10430354 大学物理(2)(英) 4学分(秋)
不少于 8学分
10430212 物理实验(1) 2学分(秋)
10430661 物理实验(1) 1学分(秋)
二选一
10430222 物理实验(2) 2学分(春)
10430701物理实验(2) 1学分(春)
二选一
以下课程中必修不少于 2 学分
课号 课程名 学分
20430094 量子与统计 4学分(春)
量子力学(选) 2学分(春)
20430022统计力学(选) 2学分(春)
10450012 现代生物学导论(选) 2学分(秋) 10430713近代物理实验(A ) 3学分(秋、春) 10430723 近代物理实验(B ) 3学分(秋、春) 10430733 近代物理实验(C ) 3学分(秋、春) 10430743 近代物理实验(D ) 3学分(秋、春) 10430543 近代物理 3学分(春) 10430372高新技术中的物理 2学分(春) 不少于2学 分
10440012大学化学 B 2学分(秋)
3.工程技术基础课
必修课 6 门,15学分:
课号 课程名 学分
20130342工程图学基础 (信息类 ) 2学分(秋)
20220214电路原理 4学分(春)
20220221 电路原理实验 1学分(春)
电子技术基础 3学分(春)
数字逻辑电路 3学分(秋)
电子技术系列实验 2学分(春/秋)
6
4.学院公共专业基础课
以下课程中必修不少于7门课,不少于22学分
课号 课程名 学分
30210041 信息科学技术概论 1学分(秋)
20230093 计算机语言及程序设计 3学分 (秋)
30240233 程序设计基础 3学分 (秋) 四选一
34100063 程序设计基础 3学分 (秋)
30250023 计算机语言及程序设计 3学分 (秋)
30230263 数据结构与算法 3学分 (春)
34100044 数据结构与算法 4学分 (春)
30240184 数据结构 4学分 (春)
3025 数据结构 3学分 (春)
四选一
微电子学导论 3学分 (春)
半导体器件与集成电路 3学分 (春) 三选一
集成电路原理与设计 3学分 (春)
30230 104 信号与系统 4学分 (春)
3024信号处理原理 4学分 (春) 三选一
40250144 信号与系统分析 4学分 (春)
30230153 控制原理 3学分 (春)
40240013系统分析与控制 3学分(春) 三选一
40250074 自动控制理论(1) 4学分 (春)
30210033 通信原理概论 3学分(秋、春) 二选一
30230343 现代通信原理 3学分(秋、春)
微机原理 4学分(秋)
30240354 计算机组成原理 4学分(秋) 三选一
30250064 计算机原理及应用 4学分(秋)
5.专业核心课组 A1-A5(详见附录1)
A1:电子信息工程专业核心课,6门课,15 学分;
A2:电子科学与技术专业核心课, 6 门课,17 学分;
A3:计算机科学与技术专业核心课, 6 门课,17 学分;
A4:自动化专业核心课, 7 门课,19 学分;
A5:计算机软件专业核心课, 6 门课,16 学分。
经院系教务部门同意,可以跨组选修课程。
7
6.专业限选课组 B1-B5(详见附录 1)
B1:电子信息工程专业 限 选课程不少于7学分;
B2:电子科学与技术专业 限 选课程不少于7学分;
B3:计算机科学与技术专业 限 选课程不少于11学分;
B4:自动化专业 限 选课程不少于11学分;
B5:计算机软件专业 限 选课程不少于10学分;
7. 任选课程 C1-C4(详见附录1)
经院系教务部门同意,也可以选修其他课程。
电子信息工程专业 任选课 不少于5学分
电子科学与技术专业 任选课 不少于5学分
计算机科学与技术专业 任选课 不少于4学分
自动化专业 任选课 不少于4学分
计算机软件专业 任选课 不少于3学分
8. 夏季学期实践环节
必修 5 门课,15学分
课号 课程名 学分
12090022军事理论与技能训练 3学分(夏季0)
外语强化训练 2学分(夏季1)
Java语言(选) 2学分(夏季2)
+
+
c 语言 (选) 2学分(夏季2)
电子技术课程设计 3学分(夏季2)
专业实践 5学分(夏季3)
9. 综合论文训练
必修10或15学分
8
附录1:各专业核心课程、限选课程、任选课程目录
A组课程(A1-A5):为各专业核心课程
A1:电子信息工程专业核心课程6 门,15学分
课号 课程名 学分 先修要求
30230303 电磁场与波 3(秋) 大学物理
40230114 数字信号处理 4(秋) 电子技术基础、数字逻辑电路 30230313 通信电路 3(秋) 电子技术基础、数字逻辑电路 30230331 通信电路实验 1(春) 通信电路
30230193 微波工程基础 3(春) 电磁场与波
40230821 电磁场与微波实验 1(春) 微波工程基础
A2:电子科学与技术专业核心课程6 门,17学分
课号 课程名 学分 先修要求
以下必修2门课6学分
30230523 固体物理学 3(秋)
30230483 固体物理 3(秋)
30230543 半导体物理学 3(秋)
40230803 半导体物理 3(秋)
以下课程中必修11学分
30230313 通信电路 3(秋) 电子技术基础、数字逻辑电路 40230773 微波与光导波技术 3(春) 电动力学或电磁场与波
40230821 电磁场与微波实验 1(春) 微波与光导波技术
40230393 微电子工艺技术 2(秋)
30230363 微电子器件电子学 3(春)
40230423 数字集成电路分析与设计 3(春)
40230572 模拟集成电路分析与设计 3(秋)
30230024 电动力学 4(秋) 大学物理
A3:计算机科学与技术专业核心课程6 门,17学分
课号 课程名 学分 先修要求
40240433计算机系统结构 3(春) 操作系统
30240243 操作系统 3(春) 计算机组成原理,数据结构
40240144 编译原理 4(春) 数据结构
40240243 计算机网络 3(秋) 操作系统
40240432 形式语言与自动机 2(秋) 离散数学(1)
20240103 汇编语言程序设计 3(秋)
9
A4:自动化专业核心课程7 门,19 学分
课号 课程名 学分 先修要求
40250154自动控制理论(2)3(秋) 自动控制理论(1)、线代
20230013运筹学 3(秋) 线代 随机数学
30250 电力电子技术基础 2(秋) 电路原理 模电 数电
30250093 计算机网络 3(春) 计算机原理
40250 人工智能 2(春) C语言 数据结构
电力拖动与运动控制 4(春)
过程控制 4(春) 自动控制理论
检测原理 2(秋) 电子技术基础 数字逻辑 自控 理论
*:其中 电力拖动与运动控制、过程控制 两门课中选一门
A5:计算机软件专业核心课程6 门,16学分
课号 课程名 学分 先修要求
34100073 编译原理 3(秋)
34100053 操作系统 3(秋)
44100113 计算机网络 3(秋)
34100082 数据库原理 2(秋) 数据结构
4410 软件工程 3(春)
4410 软件平台与中间件技术 2(秋)
B组课程(B1-B5):为各专业限选课程
B1:电子信息工程专业限选课不少于7学分
课号 课程名 学分 先修要求
30230353 图象信息原理 3 信号与系统 电路原理
40230283 光纤应用技术 A 3 电磁场理论 电子技术基础 数 字逻辑电路
40230583 数字图象处理基础 3 信号与系统 数字信号处理 30230202 天线原理 2 电磁场与波 微波工程基础 40230223 射频通信电路 3 微波工程基础
40230143 信号检测与处理 3 随机数学方法 信号与系统 40230212 综合通信网 2 信号与系统
40230132 语音信号处理 2 数字信号处理 随机过程
30230142 通信原理实验 2 通信电路原理 现代通信原理 40230083 高频电路系统课程设计 3 通信电路
40230453 射频通信系统课程设计 3 电磁场理论、通信电路
10
B2:电子科学与技术专业限选课不少于7学分
课号 课程名 学分 先修要求
30230423 物理光学 3 大学物理 微积分
统计力学 2 大学物理
40230642 信息显示技术 2 电子离子光学
30230443 激光原理 3 量子力学 电动力学 物理光学
30230463 光电子技术基础 3 电动力学 物理光学
40230623 光电子技术实验 3 物理光学 激光原理 光电子技术基础
40230633 集成光电子学概论 3 电动力学 固体物理 半导体物理 40230292 现代分析技术 2 大学物理 固体物理 半导体物理 40230272 薄膜与微细技术 2 固体物理 半导体物理
物理电子技术实验 1 微波技术 薄膜与微细技术
30230303 电磁场与波 3 大学物理
40230453 超大规模集成电路 CAD 3电子技术基础 数字逻辑电路
40230433 集成电路课程设计 3微电子器件电子学 半导体工艺
数字集成电路分析与设计
纳电子引论 2
计算微电子学 2
40230041 半导体物理实验 1 半导体物理
40230401 半导体器件与集成电路实验 1 数字逻辑电路 集成电路分析与
设计 微电子器件电子学
B3(B31-B34):计算机科学与技术专业限选课不少于11学分,其中:
B31:计算机系统结构-----计算机科学与技术专业选修不少于2学分
课号 课程名 学分 先修要求
30240253 微计算机技术 3汇编语言程序设计
嵌入式系统 3计算机组成原理 操作系统
40240412 数字系统设计自动化 2数字逻辑电路
30240222 VLSI 设计导论 2数字逻辑电路
B32:计算机软件与理论---计算机科学与技术专业选修不少于2学分
课号 课程名 学分 先修要求
初等数论及其应用 2 离散数学
30240192 高性能计算导论 2 (英语讲课)计算机系统结构
30240262 数据库系统原理 2 数据结构
网络编程与计算技术 2 计算机组成原理
软件开发方法 2 C ++ 数据结构 软件工程
30240134 软件工程 3 C++ 数据结构
11
B33:计算机应用技术-----计算机科学与技术专业选修不少于2学分
课号 课程名 学分 先修要求
30240042 人工智能导论 2 离散数学
40240452 模式识别 2 几何与代数 概率与统计 人工智能导论 40240062 数字图象处理 2 概率与统计 程序设计基础
40240392 多媒体技术基础及应用 2 信号处理原理
40240422 计算机图形学基础 2 数据结构
40240472 计算机实时图形和动画技术 2 几何与代数
40240402 虚拟现实 2 计算机组成原理
40240462 现代控制技术 2 系统分析与控制
40240372 信息检索 2 数据结构
40240362 电子商务平台及核心技术 2 数据结构 JAVA程序设计 数据库系统原理
40240492 数据挖掘 2 数据库系统原理
B34:计算机科学与技术专业专题训练不少于5学分,其中计算机网络专题训练为必选
课号 课程名 学分 先修要求
计算机网络专题训练 1(秋 )
操作系统专题训练 2(秋 )
编译原理专题训练 2(秋 )
数据库专题训练 2(秋 )
B4:自动化专业限选课 不 少于11学分(其中课程学分不少于7学分,实验学分 不少于4学分)
课号 课程名 学分 先修要求
40250203系统辨识基础 3(秋) 自动控制理论(1)(2)
40250712模式识别基础 2(秋) 微积分 线代 随机
30250083计算机仿真 3(春) 计算机原理 自控理论
40250213 计算机控制系统 3(秋) 计算机原理 自控理论
40250353 数字图像处理 3(秋) 信号与系统
40250192 系统工程导论 2(春) 运筹学
40250642 CIM 系统导论 2(春) 运筹学 c语言与程序设计
控制专题实验 2(全年 ) 自控理论 运控/过控
检测技术专题实验 2(全年 ) 检测原理
机器人控制综合实验 2(全年 ) 机器人控制
嵌入式系统设计实践 2(全年 ) 计算机原理
*:其中 控制专题实验为必选,四门实验类课程总计不少于4学分 。
B5:计算机软件专业限选课不少于10学分
课号 课程名 学分 先修要求
34100032 计算机基础实践 2
34100023 JAVA程序设计 3
14100014 英语听说 4
14100022 英语阅读写作 2
14100032 强化英语 2
12
20240112 汇编语言程序设计 2 *
40240382 计算机系统结构 2 *
3410 程序设计实践 5 *
44100123 分布式系统设计 3
44100092 形式语言与自动机 2 *
44100102 人工智能导论 2 *离散数学
44100132 嵌入式系统及其软件工具 2
3410 数据库设计与开发技术 2
3410 WEB程序设计 2
3410 软件体系结构 2
4410 软件项目管理 2
4410 计算机图形学 2 *数据结构
4410 数据挖掘 2 *
*部分课程可以与计算机系课程共享。
C组课程(C1-C5):为各专业开出的任选课程
C1:电子信息工程专业开出的任选课程
课号 课程名 学分 先修要求
30230272 数据库 2 离散数学
40230522 电子线路CAD 2 电子技术基础 数字逻辑电路 数值分析
与算法
40230872 信号处理实验与设计A 2 数字信号处理 微机原理
40230162 锁相技术与频率合成 2 电子技术基础 数字逻辑电路 通信电路 30230162 计算机图形基础 2 C语言知识 图象信息原理
20230142 C 语言高级编程 2 计算机语言与程序设计知识
20230192 单片机和嵌入式系统 2 数字逻辑电路 计算机原理
40230512 数字系统集成化设计与综合 2 数字逻辑电路 计算机软件基础 30210023 软件工程 3 计算机软件基础 计算机原理
现代传输系统 3 (原为移动通信、卫星通信和光纤
通信)现代通信原理
30230172 遥感原理 2 电磁场与波
40230782 图象新技术 2
40230492 图象通信系统 2 数字图象处理 图象信息原理
40230202 图象处理系统 2 数字图象处理 数电
40230231 微波工程新领域 1
30230012 专业英语 2
C2:电子科学与技术专业开出的任选课程
课号 课程名 学分 先修要求
30230272 数据库 2 离散数学
40230283 光纤应用技术 A 3 电磁场理论 电动力学
00230052 光电子技术及其应用 2 大学物理 电动力学
13
30230492 微电子学概论 2 大学物理
30230233 付立叶光学 2 微积分 电子线路基础
40230603 电子离子光学 3 电动力学 泛函分析
40230381 光电子与光电子技术实验 1 光电子技术及其应用
40230852 信号处理实验与设计 B 2 信号分析
20230142 C 语言高级编程 2 计算机语言与程序设计知识
40230312 激光光谱 2 激光原理
40230362 光检测技术 2 半导体物理 光电子技术基础
40230671 光传感技术 1 光电子技术基础 激光原理
40230681 光电子 CAD 与仿真 1 半导体物理 激光原理 随机过程 70230223 量子电子学(B+M) 3 量子力学 电动力学
70230113 非线性光学(B+M) 3 物理光学
40230692 导波光学 (1) 2 电动力学 微波技术
40230303 真空技术 3 大学物理 统计力学
40230662 光通信技术 2 物理光学 激光原理
微电子新器件(B+M) 2 半导体器件基础
微电子系统集成概论 (B+M) 2 集成电路分析与设计
射频MOS电路设计(B+M) 2 集成电路分析与设计
数模混合集成电路(B+M) 2 集成电路分析与设计
00230012 专业英语 2 微电子器件电子学
00230062 半导体传感器 2 半导体器件基础 电子线路
MEMS与微系统 2 半导体器件基础
半导体存储器 2 集成电路分析与设计
00230072 量子信息学引论 2 量子力学
30230313 通信电路 3 电子技术基础、数字逻辑电路
40230132 语音信号处理 2 数字信号处理 随机过程
40230162 锁相技术与频率合成 2 电子技术基础 数字逻辑电路 通信电路 20230192 单片机和嵌入式系统 2 数字逻辑电路 计算机原理
40230512 数字系统集成化设计与综合 2 数字逻辑电路 计算机软件基础 30210023软件工程 3 计算机软件基础 计算机原理
C3:计算机科学与技术专业开出的任选课程
课号 课程名 学分 先修要求
30240253 微计算机技术 3汇编语言程序设计
初等数论及其应用 2 离散数学
网络编程与计算技术 2 计算机组成原理
30240134 软件工程 3 C++ 数据结构
30240042 人工智能导论 2 离散数学
40240452 模式识别 2 几何与代数 概率与统计 人工智能导论 40240062 数字图象处理 2 概率与统计 程序设计基础
40240392 多媒体技术基础及应用 2 信号处理原理
40240422 计算机图形学基础 2 数据结构
40240472 计算机实时图形和动画技术 2 几何与代数
40240402 虚拟现实 2 计算机组成原理
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40240462 现代控制技术 2 系统分析与控制 40240372 信息检索 2 数据结构
40240362 电子商务平台及核心技 术 2 数据结构 JAVA程序设计 数据库系统原 理
40240492 数据挖掘 2 数据库系统原理
C4:自动化专业开出的任选课程
课号 课程名 学分 先修要求
互联网信息处理 2(秋) 计算机网络
机器人控制 3(春) 自控理论
40250692 电子测量技术 2(春) 电子技术基础 数字逻辑电路
电力电子系统设计 2(春) 微机原理
40250382 现代检测技术基础 2(春) 电子技术
智能仪表设计 2(秋) 微机原理
40250272生产系统计划与控制 2(春) 运筹学 CIM 系统导论
40250362现代电子技术 2(春) 电子技术基础 数字逻辑电路
智能控制 3(秋) 自控理论
过程控制系统 2(秋) 过程控制
40250033UNIX系统基础 3(春) 数据结构
40250592 离散时间信号处理 2(春) 信号与系统分析
系统的可靠性分析 2(秋) 概率 自控 电路
40250412 多媒体技术与应用 2(秋) C语言 数据结构
40250372 单片机技术及应用 2(春) 计算机原理
40250482 电子商务概论 2(春) C语言 数据结构
40250502虚拟现实技术及其应用 2(春) 计算机语言及程序设计
40250562智能优化算法及其应用 2(秋) 自控理论
网络安全 2(秋) 计算机网络
40250532 随机控制 2(秋) 自动控制
40250122 控制专题 2(秋) 自动控制
现场总线技术及其应用 2(秋) 计算机网络
嵌入式系统设计 2(春) 计算机原理
操作系统 2(春) 数据结构
数据库系统原理 2(秋) 数据结构
学科前沿讲座 2(秋)
15
附录2
数学辅修专业方案
坚实的数学基础是创新型人才所必备的。数学辅修专业的目标是培养学生学习 数学的能力。辅修数学专业要求学生确实对数学有兴趣而且学有余力,引导这部分 学生在本阶段打下更坚实的数学基础。数学系从其它系招收的跨学科培养的研究 生,取得数学辅修专业证书的将优先考虑。
1、 基础课基本要求:达到下面4门课程上的要求,而且该4门课程的学分积不低于75分。 每年招生人数不超过100人,报名人数超过时,按4门数学基础课程的学分积择优录 取。
(A)微积分 (大于等于10学分),例如
10420874 一元微积分 4学分
1042 多元微积分 4学分
1042 高等微积分 2学分
(B)几何与代数 (大于等于6学分),例如
10420684 几何与代数(1) 4学分
几何与代数(2) 3学分
或者
10420692 几何与代数(2) 2学分
(C)数学实验 (大于等于4学分)
10420854 数学实验 4学分
注记:上述课程或者替代为
40420054 数值分析 4学分
数值分析与算法 (信息学院)
(D)随机数学方法 (大于等于3学分)
10420243 随机数学方法 3学分
注记:上述课程或者替代为
20521424 概率论(1) 3学分
16
2.专业课:
流形上的微积分 4学分
测度与积分 3学分
40420563 泛函分析(1) 3学分 先修 测度与积分 00420033 数学模型 3学分
30420073 抽象代数 3学分
或者
应用抽象代数 3学分
20555423 数理统计 3学分
微分几何 3学分
拓扑学 3学分
20515423 偏微分方程(1) 3学分
3.选修课:
60420013 应用统计 3学分
60420094 应用随机过程 4学分
60420133 金融数学 3学分
60420024 高等数值分析 4学分
60420174 现代优化方法 4学分
60420214 不确定规划 4学分
00420023 模糊数学 3学分
40420263 微分方程数值解 3学分
其它由数学系开设的研究生课程
取得数学辅修专业证书的条件:在上述的“专业课”和“选修课”上取得20学分以 上,而且“专业课”的学分在10学分以上。
注:本科阶段在“专业课”和“选修课”上取得8学分以上,进入研究生阶段可免 修数学公共学位课;也可以继续攻读数学辅修专业证书。
17
信息学院本科指导性教学计划 第一学年
课号 课程名 学分 周 学时 考试或
考 查
说明及主要 先修课
12090043 军事理论与技能训练 3 3周 考查 秋季学期
课号 课程名 学分 周 学时 考试或
考 查
说明及主要 先修课
10720011体育(1)12考查
10610022 思想道德修养 2 2 考查
10640433 英语选修 2 2 考查
10420874 一元微积分 4 4 考试
10420644 几何与代数(1) 4 4 考试
20130342 工程图学基础 2 2 考试
20230093 计算机语言与程序计 3 3 考试
30250023 计算机语言与程序计 3 3 考试
30240233 程序设计基础 3 3 考试 四选一
34100063 程序设计基础 3 3 考试
30210041 信息科学技术概论 11 考查
人文选修课 ≥1 1 (见全校性选修课选课手册) 建 议计算机科学与技术专业学生选 计算机科学导论
合计 ≥20 ≥21
春季学期
10720021 体育(2) 1 2 考查
00501622 **思想概论 3 2 考试
10640443 英语选修 2 2 考查
10420764 多元微积分 4 4 考试 一元微积分
10420692 几何与代数(2) 2 2 考试
几何与代数(2) 3 3 考试
10430484 大学物理B(1) 4 4 考试 一元微积分
10430344 大学物理 (1)(英) 4 4 考试
10430525 大学物理A(1) 5 5 考试 一元微积分
20220214 电路原理 4 4 考试
20220221 电路原理实验 1 1 考查
合计 ≥21≥21
夏季学期
外语强化训练 2 2
18
第二学年 秋季学期
课号 课程名 学分 周 学时 考试或
考 查
说明及主要 先修课
10720031 体育(3) 1 2 考查
10610033 马克思主义政治经济学
原理
3 2 考试
10420753 高等微积分 2 2 考试 一元微积分
10420252 复变函数引论 2 2 考试 二选一 复变函数 3 3 考试 一元微积分
10430194 大学物理B(2) 4 4 考试 大学物理(1)
10430354 大学物理(2)(英) 4 4 考试 三选一 10430535 大学物理A(2) 5 5 考试 大学物理A(2)
10430212 物理实验(1) 2 2 考查 大学物理(1)
10430661 物理实验(1) 1 1 考查 大学物理(1)
电子技术基础 3 3 考试 电路原理
电子技术系列实验 2 2 考查 跨学期课,本学期完成1学分 人文选修课 ≥2 2 (见全校性选修课选课手册) 10420262 数理方程引论 2 2 考查 二选一
20240013 离散数学(1) 3 3 考试
合计 ≥21≥22
注:计算机科学与技术系“离散数学(1)”为必修课,自动化系、电子系“数理方程引 论”为必修课。
春季学期
10720041 体育(4) 1 2 考查
10420243 随机数学方法 3 3 考试 二选一
10420803 概率论与数理统计 3 3 考试
10430701 物理实验(2) 1 1 考查
10430222 物理实验(2) 2 2 考查 大学物理(2)
数字逻辑电路 3 3 考试
电子技术系列实验 2 2 考查 跨学期课,本学期完成1学分 30230104 信号与系统 4 4 考试
40250144 信号与系统分析 4 4 考试
40240013 系统分析与控制 3 3 考试 微积分 电路 复
40250074 自动控制理论(1) 4 4 考试 变 几何与代数
30230263 数据结构与算法 3 3 考试
30240184 数据结构 4 4 考试
3025 数据结构 3 3 考试
34100044 数据结构与算法 4 4 考试
微电子学导论 3 3 考试
半导体器件与集成电路 3 3 考试
集成电路原理与设计 3 3 考试
物理、生物类课程 ≥22
19
20240023 离散数学(2)(选) 3 3 考试
人文选修课 ≥1 1 (见全校性选修课选课手册) 合计 ≥23≥24
注:计算机科学与技术系“信号处理原理”在第三学年秋季学期开设,“离散数学”(2) 为必修课。电子系 “控制原理” 安排在第四学年秋季学期开设。
夏季学期
电子技术课程设计 3 3周 考查 电子技术基础
Java语言(选) 2 2周 考查 二选一 +
+
c 语言 (选) 2 2周 考查
第三学年
秋季学期
课号 课程名 学分 周 学时 考试或
考 查
说明及主要 先修课
10610043**理论概论 32考试
40250443数值分析与算法 33考试 微积分
30250143 应用随机过程 3 3 考试 微积分、随机数学方法 30250064 计算机原理及应用 4 4 考试 数字逻辑电路
40250683 自动控制理论(2) 3 3 考试 自动控制理论(1) 30250013 电力电子技术基础 2 2 考查 电路原理、模拟电子 控制专题实验* 2 2 考查 自控(1)
人文选修课 ≥2 ≥2 见全校性选修课选课手册 体育专项(1)
合计 ≥22≥21
*:跨学期课
春季学期
10610053马克思主义哲学原理 32考试
离散数学(选) 2 2 考试 微积分
20250013运筹学 3 3 考试 几何与代数(1)(2) 30250093计算机网络 3 3 考试 计算机原理
检测原理 2 2 考试 电子技术基础 数字逻辑电路 自控理论
4 4 考试 自动控制理论
4 4 考试 自动控制理论 二选一 B4组专业限选课 ≥2 ≥2
C4组任选课 **≥2 ≥2
控制专题实验 * 2 2 考查 自控 运控/过控
检测技术专题实验 (选 )* 2 2 考查 检测技术
机器人控制综合实验
(选 )*
2 2 考查 自控. 机器人控制
20
人文选修课 ≥2 ≥2 见全校性选修课选课手册 体育专项(2)
合计
≥21≥21
*:跨学期课
**:除选C4组任选课外,也可选C1、C2、、C3、C5组中的课程
夏季学期
专业实践 5 5周
第四学年
秋季学期
课号 课程名 学分 周 学时 考试或
考 查
说明及主要 先修课
30210033通信原理概论 33考试 信号与系统
40250 人工智能 2 2 考试 C语言 数据结构
B4组专业限选课 ≥5 ≥5 考试/考查
C4 组专业任选课** ≥2 ≥2 考试/考查
检测技术专题实验*(选) 22考查 检测技术
机器人控制综合实验
*(选)
2 2 考查 自控. 机器人控制
嵌入式系统设计实践
*(选)
2 2 考查 嵌入式系统
人文选修课 ≥5 ≥5 见全校性选修课选课手册 体育专项(3)
合计 ≥19≥19
*:跨学期课的实验、设计类课程毕业前不少于6学分(包括“电子技术系列实验”2学分) **:除选C4组任选课外,也可选C1、C2、、C3、C5组中的课程
免试读研的学生可选修1~2门研究生课程
春季学期
40250650 综合论文训练 10 (15周)
免试读研的学生可选修1~2门研究生课程
21
范文三：随机过程及其应用-清华大学
4.1(等待时间的和) 设诚恳按照参数λ的Poisson 过程来到公交站，公交车于时刻t 发出，那么在[0, t ]时间段内到达的乘客等待时间总和的期望应该如何计算那？
对于某一个乘客而言，假设其到达时间为t k ，那么他等待时间就是
t -t k 所以乘客总的等待时间为S (t ) =∑(t -t k )
k =0N (t )
使用条件期望来处理平均等待E (S (t )) =E (E (t ) |N (t ) =n )
对于某已成了而言，其到达时刻t k 随机[0, t ]内均匀分布的随机变量。但在车站上，乘客是先后到达次序排队，所以在N (t ) =n 的条件下，
t 1, t 2,..., t n 形成了独立均匀分布的顺序统计量。不过就他们的和t 1+... +t n
而言，可以那他们看着顺序统计量，也可以把他们看着不排顺序的n 各独立的[0, t ]内均匀分布的随机变量，所以
E (E (t ) |N (t ) =n ) =nt -E (∑t k ) =nt -
k =0n
nt nt =22
N (t ) t t λt 2
从而有E (E (t )) =E () =E (N (t )) =
222
4.2(数值记录) 设{X n , n ∈N }是一独立同分布的非负期望随机变量序列。定义风险率λ(t ) 如下λ(t ) =
f (t )
1-F (t )
这里f (t ) 和F (t ) 分别是X k 的概率密度分布和分布函数。定义随机过程
N (t ) 如下N (t ) =#{n :X n >max(X n -1,.., X 0), X n ≤t }
这里#A 表示集合A 中的元素个数。如果把N (t ) 中的时间t 看做时间，那么N (t ) 是一个非齐次Poisson 过程。事实上，由于X k 彼此独立，所以N (t ) 具有独立增量性。很明显N (0) =0，于是只需要检查一个时间微元内N (t ) 的状态。
假定?t 充分小，在X n ,..., X 0中只有X n 在(t , t +?t ]上，因此
P (N (t +?t ) -N (t ) =1) =∑P (X n ∈(t , t +?],X n >max(X n -1,..., X 1))
n =1∞
P (X n ∈(t , t +?],X n >max(X n -1,..., X 1)) =P (X n ∈(t , t +?],X n -1≤t ,..., X 1≤t ) =P (X n ∈(t , t +?])P (X n -1≤t ,..., X 1≤t ) =(f (t ) ?t +o (?t ))(F (t ))
n -1
所以
P (N (t +?t ) -N (t ) =1) =(f (t ) ?t +o (?t )) ∑(F (x )) n -1
n =2∞
f (t ) ?t +o (?t ) 1-F (t ) =λ(t ) ?t +o (?t ) =
另一方面，可以证明P (N (t +?t ) -N (t ) ≥2) =o (?t ) 所以N (t ) 是非齐次的Poisson 过程，强度λ(t ) 。
这里所提到的风险率在可靠性研究中有着重要作用。假定某种起见的寿命为随机变量，其概率分布和密度分布为F (t ) 和f (t ) ，那么风险率微元λ(t ) ?t +o (?t ) 表示该器件在[0, 1]时间段内为失效的条件下，将会在
[t , t +?t ]内失效的概率。由此可以说明“风险”一次的含义。从而可
知，与指数相应的风险率是常数，而且在所有非负连续随机变量的分布函数中，唯有指数分布相应的风险率为常数。事实上，由
d
F (t ) =λ(1-F (t )), F (0) =0
上式正好指数分布的分布函数。 dt
直接解得F (t ) =1-exp(-λt )
4.3(Poisson过程的和与差) 两个独立的Poisson 过程的和仍然是Poisson 过程，事实上，设N 1(t ) 和N 2(t ) 是两个独立的Poisson 过程，参数分别是λ1和λ2。则N 1(t ) +N 2(t ) 的母函数为
G N 1(t ) +N 2(t ) (z , t ) =E (z N 1(t ) +N 2(t ) ) =E (z N 1(t ) )(z N 2(t ) )
=G N 1(z , t ) G N 2(z , t ) =exp((λ1+λ2) t (z -1))
所以N 1(t ) +N 2(t ) 是参数λ1+λ2
的Poisson 过程。类似的结论可以拓广到n 个独立的Poisson 过程的和：
..., λn ，那么..., N n (t ) 是n 个独立的Poisson 过程，参数分别为λ1，如果N 1(t ) ，
N 1(t ) +... +N n (t ) 仍然是Poisson 过程，参数λ1+... +λn 。
考虑两个独立Poisson 过程差X (t ) =N 1-N 2。可以肯定，X (t ) 不是Poisson 过程，因为P (X (t ) <0)>0，这与Poisson 过程的非负明显矛盾。计算X (t ) 的特征函数可以知道：
φN -N (j ω) =E (exp(j ω(N 1(t ) -N 2(t ))))
1
2
=E (exp(j ω(N 1(t ))) E (exp(-j ωN 2(t ))) =φN 1(t ) (j ω) φN 1(t ) (-j ω)
=exp(λ1t (exp(j ω) -1) +λ2t (exp(-j ω) -1)) =exp(λ1+λ2) t (P (j ω) -1)
λ2λ1+λ2
exp(-j ω)
这里P (j ω) =
λ1λ1+λ2
exp(j ω) +
所有X (t ) 是Poisson 过程，其中Poisson 过程参数λ1+λn ，随机变量Y k 服从两点分布：P (Y k =1) =
λ1λ1+λ2
, P (Y k =1) =
λ2λ1+λ2
4.4(事件分类)[0,t]内进入商店的顾客服从Poisson 过程，顾客有男有女之分。如果每次进入商店的顾客中，男顾客出现的概率为p ，女顾客出现的概率为q ，p +q =1那么每次进入想点的男顾客人数N m (t ) 有
N m (t ) =∑Y k
k =0N (t )
其中，Y k 为取值0,1独立同分布的随机变量，不妨设男顾
客出现时Y k 取1，
1
根据式φY (t ) (j ω) =G N (t ) (φY (t ) (j ω)) =exp(λt (φY (t ) (ω) -1))
得到φN m (t ) exp((j ω), t ) =exp(λt (φY (exp (j ω)) -1)
=exp(λt (p exp (j ω) +q -1) =exp(λpt (exp (j ω) -1)
可以看到，进入商店的男顾客
人数N m (t ) 服从参数为λp 的Poisson 过程。同理女顾客人数服从参数为
λq 的Poisson 过程。
4.6(散弹噪声分析) 电真空以及半导体中的噪声有很大一部分来源于“散弹效应”。单个电子在器件内渡越是会引起微小的窄脉冲电流，设该波形为i (t ) 。而阴极发射的电子数目服从Poisson 分布，大量电子的运动在电路中的总电流强度可以用过滤Poisson 过程进行近似。
Y (t ) =∑i (t -τk )
k =0N (t )
q 为电子所携带电荷量，τa 为电子在器件内的?2q
?2t , t ∈[0, τa ]
其中i (t ) =?τa
??0, 其他
t
渡越时间。由式m Y (t ) =E (Y (t )) =λ?0h (t , τ) d τ, 设t >τa 得
m Y (t ) =λ?i (i -τ) d τ=λq , 如果设t , s >τa 由式C Y (t , s ) =λ?
0t
min(t , s ) 0
h (t , τ) h (s , t ) d τ可知
Y (t ) 的协方差函数为C Y (t , s ) =λ?
min(t , s )
i (t -τ) i (s -τ) d τ整理后得到
?4q 2?11??λ4 τa (τa -(t -s )) 2-(τa -(t -s )) 3?
C Y (t , s ) =?τa ?26?, |t -s |≤τa 所以散弹效应所
?0, |t -s |>τa ?
引起的噪声电流是宽平稳的随机过程。
4.7(发射强度很大时的Gauss 近似) 过滤Poisson 过程的性质不仅仅受到滤波器冲击响应h 的影响，和标准Poisson 过程N (t ) 的强度λ也有
很大关系。现需要研究当λ→∞时，过滤Poisson 过程Y (t ) 的渐进形态，为此首先把Y (t ) 归一化。设m Y (t ) =E (Y (t )), σY (t ) =(Y (t )) , 令
η(t ) =
Y (t ) -m Y (t )
则E (η(t )) =0, Var (η(t )) =1。η(t ) 的特征函数满足
σY (t )
φη(t ) (ω) =exp -j
?
lg(φη(t ) (ω)) =-j
?
??ω?
?取对数以后得到 m Y (t ) ?φY (t ) ??σY (t ) ??σY (t ) ?
ω
?ω?
?m Y (t ) +lg(φY (t ) ) ?σY (t ) ?σY (t ) ?
ω
=-j
ωσY (t ) ω
m Y (t ) +λ?(exp(j
t
ωσY (t )
t
h (t , τ) -1) d τ
t ω2
=-j m Y (t ) +j λ?h (t , τ) d τ-2λ?h 2(t , τ) d τ
σY (t ) σY (t ) 02σY (t ) 0
2ω?1?=-+o ?所以当λ→∞时有
2??
ω2
lg(φη(t ) (ω)) →-
ω
2
也就是说φη(t ) (ω) →exp(-
ω2
2
)
所以当单位时间内出现的脉冲个数趋于无穷大时，归一化的过滤Poisson 过程的极限分布为Gauss 分布。
4.8(特烈：Poisson 过程) 如果某个更新过程的更新强度为
?λ, t ≥0
可以利用更新方程式来计算时间间隔的概率分布，由式λN (t ) =?
?0, <>
t
f T (t ) =λN (t ) -?λN (t -τ) f T (τ) d τ得f T (t ) =
d
F T (t ) =λ(1-F (t )) 立刻得 dt
F (t ) =1-exp(-λt ) 恰好说明分布函数就是指数分布。
4.
7.6(周期性) 状态i 的周期d i 是集合T i ={n :P ii (n ) >0}的最大公约数，即
(n ) d i =gcd{n :P >0}如果d 1=1, 就状态i 非周期的。如果d i >1，则称状态i ii
为周期态。
7.10(两个状态的Markov 链) 设离散时间Markov 链的样本空间只有两个状态，这种连接在现实生活中十分常见。比如天气预报问题，吧晴天和阴天作为(0,1)两种样本状态，可以通过构造Markov 链来研究天气在两种状态之间的统计规律。两个状态Markov 链的一步转移概率
1-α
为2*2的随机矩阵，为P =(
α
1-β
β
要得到n 步) 其中α，β∈[0, 1]。
转移概率，需要计算P n 。可以利用特征分解吧矩阵对角化一简化矩阵乘幂的计算。以上矩阵为列，设其两个特征值不同，则可以找到2*2的矩阵Q ，使得P =Q (
λ0
λ1
) Q -1其中λ0，λ1非标是矩阵P 的两个特征值，
n
矩阵Q 的列分别是对应于λ0，λ1的特征向量。从而有P =Q (
λn 0
λ1
-1
) Q n
只需要具体求出P 的特征向量就可以完成P n 的计算。P 的特征值是下
t -λI ) =0其中I 是单位矩阵。于是列特征方程的解d e (P
(1-α-λ)(1-β-λ) -αβ=0得到的两个解是λ0=1，λ1=1-α-β-因
1α
) 且有 α>0, β>0, 所以λ0≠λ1，进而得到Q =(1βQ -1=
1β
(α+β1
) 所以 -1
α
P n =
0β11α1
()()(α+β1β0(1-α-β) n 11βα(1-α-β) α) =() +(-1α+ββα-βα+β
n
α-α
)
β
如果
|1-α-β|<1, 那么当n="" →∞时，有p="" n="">
1βα
() 即当时间n 趋于无穷大时，
α+ββα
N 步咋混一概率存在极限，即
lim
n →∞
(n ) (n ) P 00=lim P 10=
n →∞
βα+β
和
lim
n →∞
(n ) (n )
P 11=lim P 01=
n →∞
αα+β
抓你概率极限与初始状态无关，如果
时转移概率为
|1-α-β|=1，必然有α+β=2，即α=β=1，此
01P =() 链从一个状态转移到另一个状态，随机性消失，过程具有很强的周期性，
10
正是这种周期导致你步转移概率在n →∞时不存在极限。 7.11设有三个状态{0,1，2}的Markov 链，一步转移矩阵为
121(2
1
02
1111
) 有于P 01=>0, 所以0→1。而P 12=>0，故1→2，导致0→1→2
2444
120
3311P 21=>0和P =>0得到2→1→0，所以该链所以状态都相通，是不可约的。 10
32
状态图
7.12设有四个状态{0，1，2，3}的Markov 链，一步转移概率为
121(2120
1212120
00120
00121
) 状态如下所示，状态3是吸收态。状态0，1相互可达，
但是两者都无法到达状态2。所以该链有两个闭集{3}和{0,1}。状态
2可以到达其他状态，而无法从其他状态到达状态
2.
不可约链的一步转移矩阵具有明显的特征，即不可能通过初等行列置换得到如下形式：
（
D B
其中C 是方阵。如果链还可约的，那么一定可以同初等行列）0C
D B
吧一步转移矩阵变换为式的形式，子 阵C 本身就是随机矩阵。 （）
0C
进一步证明，任何一个Markov 链的转移概率矩阵通过适当行列置换
P 10
可以化为如下的一般形式：P =(
0R 1
0P 2
00
00
) 其中P ....., P m 分别是1，0Q
0 P m R 2 R m
不可约的闭子集的转移矩阵，且相应于Q 的状态不存在不可约的闭子集。
7.14(两个状态的周期性) 最简单也是基本的两个状态周期链{0,1}具有如下形式的一步转移矩阵：P =(期2。
01
) 其状态转移图如下所示，该链周10
如果周期i 具有周期d i ，并不是说对于任何的
正整数k ，都有P ii (kd ) >0。当k 充分大后，这一论断成立。
i
可以证明，相同的状态具有相同的周期性，即周期性的类性质。设
i ?j , i 和j 的周期分别为d i 和d j ，则
?m , n , k , 使得P ii
(m +kd j +n )
>P ij (m ) P jj
(kd j )
(n )
P ji >0?d i |m +kd i +n
(m +(k +1) d i +n ) (m ) ((k +1) d i ) (n )
P >P P ji >0?d i |m +(k +1) d i +n ii ij P jj
所以d j |d i , 同理可证明 d j |d i ，因此d i =d j 。
利用周期性，可以对Markov 链中的状态从周期的角度进行分类。为方便起见，只讨论不可约链的情况，，此时各个状态周期d 都相同。状态空间为E ，整条链呈现出从一组状态向另一组状态转移的循环往复的特征。选状态i 0，引入如下子类。
) C 0={j ∈E , P i 0(n j >0, n ≡0(modd )}) C 1={j ∈E , P i 0(n j >0, n ≡1(modd )}
) C d -1={j ∈E , P i 0(n j >0, n ≡d -1(modd )}
很明显E =C 0?C 1?... ?C d -1
上面给出的子类的表示方法说明了链的转移很规律，当0≤k ≤d -1时，从子类C k 转移到C k +1，然后从子类为说明上述分析的正确性，只C d -1回到C 0。需验证如果
(a )
i ∈C p ，P ，则j ∈C p +1。由于P a =kd +p , 进而有a +1=kd +p +1，ij >0i 0i >0, 所以
而
a +1a
P i 0i ≥P i 0i ≥P ii >0, 结论是自然的，如下图
7.14（不可约周期性链的转移矩阵）上面的结果如果从转移矩阵的角度出发可以看得更清楚。通过适当的行列置换，周期为d 且不可约的Markov 链的一步转移概率矩阵可以写成如下形式
00P =(
0A d 1
A 120 00
0 A 23 00
00
) 自行计算P 2，P 3,...., 体会其变化规律。
A d -1, d
7.15(一维无限制随机游动) 研究一维无限制随机游动中个状态的性质。链中质点向右和向左的概率分别为p 和1-p 。该状态所以状态都相通，故各个状态具有相同的性质。因而只需要讨论0状态。经你步从0转移的概率为
(n )
P 00
2k
∞() p k (1-p ) k , n =2k
={k 由∑n =1P ii (n ) =∞可知，0状态十分具有常返性决
0, n =2k -1
∞
∞2k k (2k )! k k
定于下列级数是否收敛，即∑() p (1-p ) =∑(p (1-p ) k ) 为分析
k =1k k =1k ! k !
该级数的收敛性，引入Stirling 公式n ! 2πn () n , n →∞则有：
(2k k
) p k (1-p ) k
22k (
2k 2k
)
[4p (2-p )]k k k （其中 是?） p (1-p ) =
k 2k k 2πk () e
n e
∞
[4p (1-p )]k 1
如果p=1/2，级数∑发散，吃屎0状态是 常返状态。 ∑
k k k =1k =1
∞
如果p ≠1/2, 4p =(1-p ) =a <1,>
∞
[4p (1-p )]k a k
∑0状态是滑过态。∑k k =1k =1k ∞
7.16(二维随机无限制“平衡”时的随机游动) 现在讨论二维平面上随机游动的各状态性质，质点的位置是平面上坐标为整数点，每个一点代表一个状态，每一个状态有上下左右四个相邻状态，质点的每一次转移都以一定的概率转移到四个相邻状态之一。故平面上的随机游动也是不可约的。根据一维随机游动的结论，只讨论“平衡”的情况，此时向上下左右运动的概率完全相同，均为1/4。由于链不可约，所以仍然只研究(0,0)状态，入下图所示。主要到奇数步不可能返回，所以只考虑偶数步从（0,0）转移到(0,0)的概率。
P
2n
00, 00
(2n )! 12n 12n 2n n n n
=∑() =() （）()() ∑n k n -k k ! k ! (n -k )! (n -k )! 44k =1k =1
∞
n
根据有关组合的恒等式∑()(
k =0
n n
k n -k
) =(
2n
12n 2n 2(2n )
) 得到P 00=() () ，00n n 2
使用Stirling 公式
P
(2n )
00，00
12n 4n 21
() () =位发散级数。4n πn π
∑P
k =1
∞
(2n )
00, 00
∑
1k =1n π
∞
得到二维无限制“平衡”是随机游动是常返的。
7.17设有四个状态{0，1，2，3}的Markov 链，其一步转移矩阵为
00(
100101
1200012
0) 有图知，00
该链所以状态图都
相通，是不可约链，所以状态都是常返的。
7.18设有5个状态{0,1,2,3,4}的Markov 链，其一步转移矩阵为
1212(
0014
12120014
0012120
0012120
000) 012
由图知{0,1}和{2,3}是两个闭
真子集，子集内状态彼此相通，所以状态{0,1,2,3}均常返。而状态4位非常返。
7.19(一维无限制随机游动) 已经知道当p =时，一维无限制随机游动是常返的，现在进一步研究其是否为正常返。由于链中有无穷多个相通状态，所以尽管链是不可约的，也无法对它是否正常返值直接做判
(n )
断。因此所限计算以P 00为系数的幂级数（列7.15）。利用负二项式定
1
2
理，有。
P (z ) =∑P
k =0∞
(2k ) 2k 00
z
-1
1n -1(2k )! z 2k 22
(1-z ) A (z ) =∑() =(1-z ) 利用式lim ∑a k =lim -n →∞z →1n k =0k =0k ! k ! 2∞
-1
1n -1(2k )
得到lim ∑P 00=lim (1-z ) P (z ) =lim (1-z )(1-z 2) 2=0所以μ0=∞，从而可--n →∞n z →1z →1
k =0
知0状态是零常返的，进而得到一维无限制随机游动的所有状态为零常返。
7.20(正常返，但转移概率无极限) 这个列子在讨论周期性时提过。这链有两个状态{0,1}，一步转移矩阵为P =(
P
(n ) 00
0110
) 容易看出
=P
(n ) 11
?1, n =2k 1n -1(n ) 1
所以有lim 很明显该链为正常返，且平P =?∑11=n →∞n 20, n =2k -1k =0?
(n ) (n )
P 00和lim P 均返回时间为2, 。可是另一方面，lim 11都不存在极限。这n →∞n →∞
说明几遍是正常返的链，其n 步转移概率的极限仍然可能不存在。 7.21(无穷多个平稳分布) 设Markov 链有四个状态{1,2,3,4}，其一步转
0100
1000
) 则有两个不可约正常返的闭真子集，{1,2}
00010010
移概率矩阵为(
和{3,4}。该链的平稳分布为(, , , ), α, β≥0, α+β=1所以平稳分布
2222
ααββ
有无穷多个。
7.22(双随机转移矩阵) πi =1
7.23(Ehrenfest模型)Ehrenfest 买模型的状态空间{0, 1, 2,..., M }是有限集
?0 1 M
合，其一步转移矩阵为
?
102M
M -1M 03M
0M -1M
2M 01
???????
?很明星该模???1??M ?0?
型是不可约的，且状态有限，所以所有状态都正常返。状态转移如图所示
现求它的平稳分布。
1π1M
i -1i +1
πi =(1-) πi -1+πi +1, i =1, 2,.., M -1
M M 1
πM =πM -1
M
π0=
M M
?M ??M ?1M
? ?可以求得πi = 所以 ππ=π=π2?π=∑∑i 000M i ?0 i ?2i =0i =0????
平稳分布为πi = i ??2M , I =1, 2,... M ??零状态的平均返回时间μ0，有平稳分布得到π0=
?M ?1
111M
=?μ==2 0M 2μ0π0
7.24(带有一个反射壁的一维随机游动) 设带一个反射壁的随机游动状
?q q
态空间为{0, 1, 2,...}，0为反射壁，其一步转移矩阵为P = 0
?
p 0q 0p 0 00p
?? ?
? ? ??
很明显该链是不可约的，状态转移如图所示，现求其平衡方程式π=πP
π0=q π0+π1?p ?
的解π={π0, π1,...}由此得到πj = q ??π0 πj =p πj -1+q πj +1, j ≥1??
?p ?所以，要让π成为分布，必须满足∑πj =π0∑ q ??=1话句话说，需要 j =0j =0??
∞
∞
j
j
?p ? ∑ q ??<∞ j="">
∞
j
如果p
?p p ??p ?
? ?π
0=1-, πj = 1-, j ≥1 ? ?q ?q ??q ?
j
7.25定理(带一个反射壁的一维随机游动) 正如在7.24中所提到过得，利用平稳方程无法判断该链的正常性。所以利用定理7.9(常返性判据
1-p n -2q k
Ⅱ) ，有y 1=py 2，y k =py k +1+qy k -1, k =2, 3,..... 解得y n =(∑() +1) y 1可p k =0p
q q
见该方程具有非零有界解得充分必要条件是∑() <><1?q><>
p k =0p
∞
k
因此当q
7.26(一维无限制的随机游动) 本列采用定理7.9研究7.15中给定的随机游动，列7.15中给出的方法涉及诸如String 公式等复杂的分析工
1
2
12
12
具。现在用定理7.9重新分析该问题。划去0状态所有对应的行和列，有y 1=py 2, y k =py k +1+py k -1, k =2, 3,... ，
p n -2q k
y -1=qy y -2, y k =py k +1qy k -1, k =-2, -3,.... 得到y n =(∑() +1) y 1, n =2, 3,....
q k =0p p n -2p k
是上述方程没有非零有界解得y -n =(∑() +1) y -1, n =2, 3,.... 不难看出，
q k =0q
∞
q k p
充分不要条件是∑() =∞, 且∑() k =∞所以只有当p =q 时，否则一定
k =0p k =0q
∞
常返。
7.27(首次返回时间)Markov 链中最典型也是最重要的停时时首次返回时间，也就是从状态i 出发首次返回i 的时间，即 T i =inf{n :X n =i |X 0=i }如果X n ≠i , ?n , 那么T i ={∞}。
7.28(首次击中时间) 另外一个重要停时是Markov 链首次到达状态空间返回时间的某个子集A 的时间T A , 称为首次击中时间
T A =inf{n :X n ∈A }很明显
{ω：T A (ω) =n}={ω:X 0(ω) ∈A,..., X n -1(ω) ∈A, X n (ω) ∈A}
7.29(停时的延迟) 如果τ是停时，n 0是确定整数，那么τ+n 0也是停时，因为事件{τ+n 0=m}等价于事件{τ=m -n 0}，而根据停时定义，事件
{τ=m -n 0}仅依赖于{X 0, X 1,..., X m -n 0}，因此是停时。也就是说，停时确
定性延迟还是停时。
7.30(停时反列Ⅰ) 设{X n }为Markov 链，i 为该链的一个状态，对随机时间τ做如下定义：
τ=inf{n ≥0:X n -1=i }则τ不是停时，因为事件{τ=n}和X n +1有关，不是有
{X 0, X 1,.... X n }决定。
7.30(停时反列Ⅱ) 设{X n }为Markov 链，i 为该链的一个状态，对随机时间τ做如下定义：
不仅τ=sup{n ≥0:X n =i }则τ不是停时，因为事件{τ=n}和{Xk }∞k =n +1有关，仅有{τ=n}和{Xk }∞k =0所决定。
7.32(赌徒输光问题) 两个赌徒甲、乙入赌场进行一些赌博。令A 为甲的原始读本，每次读本输赢的概率相同，赌注为1. 假设甲手中的赌术到达B 时，即认为自己到达了赚钱的目的，会离开赌场，那么在他达到赚钱目的之前，有多大的肯会把手中的赌本全部输光？该问题称为赌徒输光问题。
设X 0是甲在起始时刻的赌本，每次下注的结果为X k ，第n 时刻甲手中的赌本为{S n }，高过程具有两个吸收壁(0和B) 的唯一对称随机游动，即S n =∑X k +X 0这里P (X i =1) =P (X i =-1) =, i =1, 2,... 于是赌徒输光问题
k =0n
1
2
就变成了过程{Sn }在到达B 之前到达0的概率有多大。这个问题可以使用Wald 等式解决。
设T =inf{n :S n 或S n =B }很显然T 是过程{Xk }的停时。由Wald 等式，得到
(-A ) P (S T =0) +(B -A ) P (S T =B ) =E (∑X k ) =E (T ) E (X 1) =0
k =1T
且有P (S T =0) +P (S T =B ) =1，所以有P (S T =B ) =, P (S T =0) =
A
B B -A
。 B
7.33(首达时间的计算) 考虑一维无限制随机游动，向右和向左的概率分别为p 和q =1-p ，设X 0=1, 现在通过母函数来计算从1出发到达0所用时间的概率分布。令T 0=inf{n :X n =0|X 0=1}则T 0分布的母函数为
G (z ) =E (z T 0|X 0=1) =pE (z T 0|X 1=2, X 0=1) +qE (z T 0|X 1=0，X 0=1)
=
pzE (z 0|X 1=2, X 0=1) +qE (z |X 1=2, X 0=1) 这里T 0是首次到达2之后，继
续转移并首次到达0所用的时间。由于首次到达2的时间是停时，有强
Markov
性得到
E (z T 0|X 1=2, X 0=1) =E (z T 0|X 1=2)
所以
~
G (z ) =pzE (z T 0|X 1=2) +qz 由于T 0=T 1+T 0，其中T 1是达到2后，继续转移
并首次到达1的时间：T 0是到达1后，继续转移并首次到达0所需的时间。再次使用强Markov 性，有
E (z |X 1=2) E (z |X T 1=1) =G 2(z ) 因此G (z ) =pzG 2(z ) +qz
T 1
~T 0
~
进而有
1--4pqz 2
G (z ) =
2pz
其中，G (z ) 为T 0的母函数。通过Taylor 展开可以得到T 0的分布，同时
?∞, p ≥q
d ?G (z ) =?1还可以得到T 0的均值，即E (T 0|X 0=1) =lim , p
??q -p
7.34(更新时刻) 考虑Markov 链{X n }∞n =0，设T 0=0，且X 0=i ，令
T k =inf{n >T k -1:X n =i },k =1, 2,.... T k 代表是从状态i 出发后，第k 次到达状
态i 的时间。鱼鱼{T k =m }仅决定于{X n }∞n =0，所以T k 是停时。设
τk =T k -T k -1，则得到随机序列{τ1, τ2,...}，且有
P (τk =s k |τk -1=s k -1,..., τ1=s 1) =P (X T k =i , X T k -1+m ≠i , 0
根据Markov 性，在X T k -1=i B ={τk -1=s k -1,... τ, 1=s 1}是T k -1前所发生的事件。
的条件下，B 和T k -1后发生的事件τk =s k 相互独立，所以
P (τk =s k |τk -1=s k -1,..., τ1=s 1) =(X T k =i , X T k -1+m ≠i , 0
Markov 性，得到P (X T =i , X T
k
k -1+m
≠i , 0
=P (X T k -1+τk =i , X T k -1+m ≠i , 0
(s )
所以{τk }∞是独立同分布的随机序列，满足习惯上称时P (τ=s ) =f k =1k ii 。
刻{T k }为相应状态i 的更新时刻。
7.35设Markov 链的状态空间为{1,2,3,4,5,6},其一步转移概率矩阵为
? 0 1 3 0 0 0 1 ?4
120120014
01301300
001201214
00013014
1??2?1?3??0?
该链是不可约且非周期的，其平稳分布π?很明显，1?
3?1?2??0??
为
所以该为可π= ?可以直接验证πi P ij =πj P ji , ?i , j ∈E 成立。逆Markov 链。
并不是所有在平稳分布的Markov 链都是可逆的。如状态空间(1,2,3)
?1
2
的Markov 链，具有如下转移矩阵 0
1 ?2
?0??1?
很明显，该链是不可约且2?1?0?
2?1111
状态有限，是正常返且存在平稳分布π=(, , ) 但是π1P 12-π2P 21=≠0
3336
1212
?131311??81681684?
所以该链是不可逆的。
7.36利用细致平衡方程求解7.35，得到
π1
2
==
π2
3
π2
3
==
π3
2
π4
3
==
π3
2
π5
2
==
π4
3
π1
2
π6
4
π2
3
π6
4
π4
3
π6
4
π5
2
π6
4
131311?
立刻得到分布π为π=? ?所以链是可逆的，且平稳分布
?81681684?
为π。
7.37(Ehrenfest模型) 该模型的一步转移矩阵如式
1?? 0?
M ?1M -1 ?0 M ?M ?2
0 ?M ?
3 ?所示，可以得到如下关系
?M
1 ?
0 ?M
M -11? ?0
M M ? 10???
M -1i i -1M -(i -1) i -1πi (+) =(1-i ) πi -1+πi 即πi -1=πi , 0≤i ≤M
M M M M M
所以该模型是可逆。因此求解细致平衡方程
M π01
M -(i -1) M (M -1)...(M -(i -1)) πi =πi -1=... =π0
i M (M -1)... 2?1
π1=
?M ?
= i ??π0, 1≤i ≤M ??
得到π0=
?M ?11
? π=, 1≤i ≤M i M M ?2?i ?2
7.38(整数值生灭过程) 设Markov 链的状态空间为整数集Z ，一步转移高了为
?p i , j =i +1?
P ij =?q i , j =i -1其细致平衡方程为
?0, 其他?
πi p i =πi +1q i +1
i
p i p
故πi +1=πi =... =π0∏k , i ≥0
q i +1k =0q k +1-1q i +1q πi =πi +1=... =π0∏k +! , i <>
p i k =i p k
p k -∞-1q k +1
由此知道，如果1+∑∏+∑∏<>
i =0k =0q k +1i =-1k =i p k
∞
i
该链可逆，否则不可逆。如果转移概率满足p i =p , q i =q 那么该链就退化成了一维无限制随机游动，此时一定不可逆，不能使用细致平衡方程来求解平稳分布。
7.39(带反射壁的整数值生灭过程) 吧列7.38中抓住哪个台0改为反射
?q 0, i =0, j =0
?p , i =0j =1
0??
壁，于是得到新的一步转移概率P ij =?p i , i >0, j =i +1其细致平衡方程为
?q , i >0j =i -1?i ?0, 其他?
πi p i =πi +1q i +1, i ≥0
很明显，如果p i =p , q i =q , 当p
所以πi +1=π0∏, i ≥0
q k =0k +1
i
的。有于p
7.40(带反射壁的整数值生灭过程) 把列7.16已就“平衡”情况讨论了二维无限制随机游动的常返性，现在利用细致平衡方程讨论该链的可逆性，并讨论平稳分布{π(m , n ) }的存在性。其一步转移概率为
?a , (k , l ) =(1, 0), (0, 1), (0, 1)
P (i , j )(i +k , j +l ) =?k , l
?0, (k , l ) 为其他整值
选择(0,0)作为基点，二维空间上任何一点(m,n)都可以找到一条路径和(0,0)
相
通
。
不
妨
设
m , n ≥0
, 则路径为
(m , n ) →(m -1, n ) →... →(0, n ) →(0, n -1) →... →(0, 0)
对于其他情况，可以构造出相应的路径。利用细致平衡方程，得到
π(m , n )
?a 1, 0??a ?
?π(m -1, n ) =... = 1, 0?π(0, n ) = a ? a ??-1, 0??-1, 0??a 1, 0?
?= a ??-1, 0?
m
m
?a 1, 0??a 0, 1?
? ? a ?π(0, n -1) =... = a ?
-1??0，?-1, 0?
m
?a 0, 1?
a ??π(0, 0)
-1??0，
n
同理可得
π(-m , n )
?a -1, 0??a ?
?π(-m +1, n ) =... = -1, 0?π(0, n ) = a ? a ??1, 0??1, 0??a -1, 0?
?= a ??1, 0?
m
m
?a 0, 1??a ? ?π(0, n -1) =... = -1, 0? a ? a ??0, -1??1, 0?
m
?a 0, 1?
?
a ?π(0, 0) ?0, -1?
n
π(m , -n )
?a 1, 0??a 1, 0? ??π(0, -n ) = π(m -1, -n ) =... = ? ??a -1, 0??a -1, 0??a 1, 0?
?= a ??-1, 0?
m
m
?a 0, -1??a ? ?π(0, -n +1) =... = 1, 0? a ? a ??0, -1??-1, 0?
m
m
?a 0, -1?
?
a ?π(0, 0) ?0, 1?
n
π(-m , -n )
?a -1, 0??a -1, 0? ??π(0, -n ) = π(-m +1, n ) =... = ? ??a 1, 0??a 1, 0??a -1, 0?
?= a ??1, 0?
m
?a 0, -1??a ? ?π(0, n -1) =... = -1, 0? a ? a ??0, 1??1, 0?
∞
m
?a 0, -1?
?
a ?π(0, 0) ?0, 1?
n
??a ?m ?a ?m ?∞??a ?n ?a ?n ?
1, 0?+ -1, 0??∑ 0, 1?+ 0, -1??<∞>
? a ??n =0 a ? a ?? m =0?a -1, 0??1, 0????0, -1??0, 1???
这个条件是无法到达的，所以该链不可逆。事实上，当
a 1, 0=a 0, 1=a -1, 0=a 0, -1时，二维无限制“平衡”的随机游动的所有状态都
是零常返，平稳分布不存在：其他情况下，所有状态均为非常返态，
平稳分布同样不存在。和一位情形相似，如果设x 轴和y 轴为反射壁，限制质点在第一象限运动，那么可逆条件为
?a 1, 0? ?∑ ?m =0?a -1, 0?
∞
m
?a 0, 1?
?<∞只需要a 1,="">
∞
n
此时平稳分布为
π(m , n )
?a 1, 0?
?= a ??-1, 0?
m
?a 0, 1? ? a ??0, -1?
n
?a ? 1-1, 0? a ?
-1, 0??
-1
?a ?
1-0, 1? a ?
0, -1??
-1
7.41设有离散分支过程，群体中单个个体繁殖下一代的数目如下分布
则个体繁殖下一代数目的均值值m X 为
13117
m X =1?+2?+3?=>0
2161616
1131
母函数G (z ) =+z +z 2+z 3求解G (z ) =z ，得到
421616
(z -1)(z 2+4z -4) =0?z 1=1, z 2=-2+22, z 3=-2-22最小正根(灭种概
率) 22-1）=0. 828如果调整下一代个体繁殖数目的概率取值，可以得到表所示的结果
有表可知，通过改变个体繁殖数目的统计特性，可以调整其均值并而
影响群体的灭种概率。当m X ≤1时，群体必然灭种；而当m X >1时，增大m X 可以改变母函数G (z ) 的形状，从而灭种概率想笑的方向发展。 7.43(有限个非常返态) 如果Markov 链中非常返态的数目有限，则其一
?D n ?D 0?n 步转移矩阵可以写成P = B Q ??可知P = *
???
0?
?由式7-74(如果状态n ?Q ?
j 非常返，那么?i 即P ij (n ) →0, n →∞) ，对于非常态j 有P ij (n ) →0, n →∞，
v (n ) =lim Q n I A =0A 也就是说，如果所以Q n →0, n →∞，由此得到v =lim
n →∞n →∞
非常返态数目有限，则在非常返态中无限逗留的概率是0。这和直观非常一致。
列7.44(带有一个反射壁的一维随机游动) 列7.25中已经讨论了带一个反射壁的随机游动的常返性，使用的工具定理是7.9。这里从另外一个角度，利用“从状态i 出发永不访问0状态的概率v i >0”以说明当
p >q 时
0状态为非常，从而该链所有状态均为非常返。
选定A=N,解方程v =Qv 得到
1q
v 1=(1+) v 1p p 1q q v 3=(v 2-qv 1) =v 1(1++() 2)
p p p v 2=q
v i =∑() k
k =1p
i -1
鉴于0≤v i ≤1,
q q v 1∑() k ≤1→v 1≤1-
p k =0p
q q
从而得到v i ≤1-() i 其实只要p p
∞
由于v 是方程v =Qv 的最大解，所有v 1=1-有
v 1>0就可以说明0状态非常返了
7.45(设备维修问题) 考虑7.7中设备维修问题，该链的一步转移矩阵为
?a 0 a 0P = 0
0 ?
a 1a 1a 00
a 2a 2a 1a 0
a 3 ?
?a 3 ?
a 2 ?其中{a i , i ≥0}代表每天机器失效数目的概率分
?a 1 ?
? ?
布，如果a 0a 1a 2>0，则该链是不可约的。
在状态空间中任取状态i ，考虑A i ={i , i +1,...}，对于任意的i , i ≥1, A i 对应
?a 1
a 0
得转移矩阵都是相同的，Q = 0
?
a 2a 1a 0
a 3 ?
?a 2 ?
所以对于方程v =Qv ，满?a 1 ?? ?
足0≤v ≤I A 的最大完全解完全一样。换句话说，不同的A i 相应的无限逗留概率没有区别。
对于而言，v i =P (X n ≥1, n ≥1|X 0≥i ) 是从状态i 出发永不访问状态0的概率。而对于A i , v 1=P (X n ≥i , n ≥1|X 0≥i ) 是从状态i 出发永不访问子集
{0, 1, 2,..., i -1}的概率由于访问{0, 1, 2,..., i -1}必然经过状态i -1，所以v 1也就
是永不访问状态i -1的概率。要想从i 出发达到0状态，必须搜西安从然后再从i -1状态到达0状态。于是有如下i 站在哪个台到达i -1状态，
递推关系1-v i =(1-v 1)(1-v i -1) 设v 1=1-β, 对上式递推可以得到v i =1-βi 为了得到确定β，回到方程v =Qv ，由第一行得带v 1=a 1v 1+a 2v 2+a 3v 3... 从而有1-β=a 1(1-β) +a 2(1-β2) +a 3(1-β3) +...
由于{a}是概率分布，所以有β=a 0+a 1β+a 2β+... =∑a k βk =G (β) 函
∞
k k =0
2
k =0∞
数G (β) 是相应于概率分布{ak }∞。。。。。。未完 k =0的母函数。
7.46设Markov 链的状态空间为{1, 2,.. 7, }一步转移矩阵为
?0. 50. 5? ?0. 80. 2 ? ?00. 40. 6 ?P = 100?计算从状态出发，被各个常返类吸 ?100 ? 0. 100. 20. 10. 20. 30. 1? ?0. 10. 10. 100. 10. 20. 4??
收的概率。
7}, 且有 该链有两个常返类R 1={1，2},R 2={3，4，5}非常返类为T ={6，
?00. 40. 6?
??0. 50. 1?
P 0?, ?0. 10??0. 20. 10. 2? 1= 0. 20. 4??，P 2= 10
?? 10?B 1= 0. 10. 1??，B 2= 0. 100. 1??0??????
?0. 30. 1??1??0. 1?将R 1, R 2简并后，得到Q = 0. 20. 4??, b 1=B 1 1??= 0. 2??
??????
?1?
??0. 5??10
?b 2=B 2 1?= 0. 2?
1???此时一步转移矩阵变成了P = 01?? b b
?12
0??0? Q ??
利用L
(∞)
k
?0. 2??0. 8?-1-1 ? (I -Q ) b =，(I -Q ) b ==∑Q b k =(I -Q ) b k ，有12 0. 4? 0. 6?? ????m =0
∞
m
-1
所以状态6出发，被R 1吸收的概率为 0. 2，被R 2吸收的概率为0. 8。第八章
范文四：改进线性同余法随机数发生器 - 《清华大学学报》首页
清华大学学报(自然科学版) 2009年第49卷第2期
CN 1122223 N . 49, N o . 2J T singhua U niv (Sci &Tech ) , 2009, V o l 9 38
1912193
改进线性同余法随机数发生器
沈华韵, 张 鹏, 王 侃
(清华大学工程物理系, 北京100084)
摘 要:在粒子输运M onte Carlo 程序中广泛采用线性同余法随机数发生器。为了改善该发生器产生的随机数序列的统计品质, 该文基于洗牌法思想设计了一种新的随机数发生器。在新算法中, 以原线性同余法随机数发生器的中间整型变量为基础, 型变量。由于位操作的计算量较少, 不会有明显的增加, 。
关键词:随机数; 线性同余法; 洗牌法; M onte Carlo 方法中图分类号:O 211. 5
文章编号:100020054(2009) 0220191203
文献标识码:A
(linear congruen tial random num ber generato rs ,
。著名的粒子输运L CGs ) 是目前使用最多、
M te SE 和KENO 的随
, 所有的线性同余法(晶格”“特性) 。具体地说, 如果把由L CGs 连续产生的N 个随机数作为N 维单位立体空间内点的坐标, 则这些点将落在少数相关的平行的N -1维超平面上。
为此, M arsaglia 和B ray 提出了通过打乱原有
[1]
随机数序列的顺序来加强随机性的想法, 称为洗牌法。实现洗牌法的关键是额外构造一个整型随机变量, 据此打乱原有的随机数序列。目前, 由B ays 和
[1]
D u rham 提出的B ays 2D u rham shuffle 算法的计算效率最优, 因此被作为标准算法。
但是该算法需在线性同余法的基础上增加乘法与下取整操作, 还是会对随机数发生器的效率产生一定的影响。为此, 本文提出一种新的对随机数发生器的效率影响极小的实现洗牌效果的算法。
I m proved l i near congruen ti a l rando m
nu m ber genera tors
SHE N Hua yun , ZHANG P eng , W ANG Ka n
(D epart men t of Engi neer i ng Physics , Tsi nghua Un iversity ,
Be ij i ng 100084, Ch i na ) Abstract :L inear congruential random num ber generato rs (L CGs ) are used in m any M onte Carlo transpo rt codes . A n i m p roved shuffle algo rithm w as developed to i m p rove the statistical qualities of these random num ber sequence .
In this algo rithm , the random integral
variable required fo r shuffling is obtained by bit m ani pulati on of the integral variable generated in the L CGs . T hus, th is algo rithm is very fast and statistical tests indicate that the statistical quality is significantly i m p roved . A pp licati on in a parallel environm ent is also discussed .
Key words :random num ber; linear congruential; shuffling; M onte
Carlo m ethods
1 改进线性同余法随机数发生器
设计随机数发生器时需兼顾随机数序列的统计品质和随机数的产生效率, 否则将不具备实际应用
价值。线性同余法尽管存在自身的缺陷, 但高的计算效率是其非常突出的特性。本文的研究目的就是在基本保证该方法计算效率的前提下, 改善该方法产生的随机数序列的统计品质。1. 1 线性同余法随机数发生器
在[0, 1) 上均匀分布的随机数序列是采用M on te Carlo 方法计算实际问题的基础, 产生该序
线性同余法的一般形式是:对任意初始值x 0
,
收稿日期:2008205212
基金项目:国家自然科学基金资助项目(10775081) ;
国家“九七三”重点基础研究项目(2007CB 209800)
作者简介:沈华韵(1982—) , 男, 浙江, 博士研究生。
通讯联系人:王侃, 教授, E 2. tsinghua . edu . cn m ail :w angkan @m ail
列的方法有:随机数表方法、物理方法和数学方法。
前两种方法由于自身的各种缺陷, 限制了在计算机上的使用, 数学方法具有简单、高效、可重现性等特点, 已成为实际通常采用的方法。
[1-3]
在数学方法中, 线性同余法随机数发生器
192
清华大学学报(自然科学版) 2009, 49(2
)
满足x 0
x i =(ax i -1+c ) m od (M ) ,
Νi =
, i =1, 2, …. M
c , x 0, W , L , T ) 。除了参数T , 其他的含义都已经在
(1)
前面给出, 而T 用于表示该算法中第二步的整数选取, T =1表示选用整数x i , T =2表示选用整数ax i -1。在目前这种M 取2的整数次方的情况下, 从这两个整数的性质可以看出, 在步骤2中, 若选取的二进制的位数较小, 则T 的不同选取不会对结果产生影响, 但整数ax i -1的有效位要多于x i , 因此T =2时有较大的选择余地。若取消了对参数M 的限制, 则上述特性自然就不再存在。
I L CGs 的前面4个参数的选择完全等同于原先的L CGs , 因而此处就不再详细介绍, 重点介绍参数W 和L 的选取。
[1]
:对于i s 位组成的整型随机变量的周期不会大于2。这条性质表明, 参数W 不宜太小, 否则随机变量n 的周期太短, 特别是不能等于0。如果W =0, 则除了初始少数几个随机数外, 该方法将完全失去打乱随机数序列的能力。同时, 如果T =1, 则W 不宜太大。以极端情况W =S -L 为例, 由于大的随机数Ν必然对应于大的x i , 而在这种情况下, 大的x i 必将使第二步中的n 也相对要大, 因此辅助数组V 中存放的随机数经过一段时间后, 将由原来杂乱无
-S
序的情况逐步变得有序, 并且有n 2
s
其中:M 为模数, M >0; a 为乘子, 0
通常, 用表达式L CGs (M , a , c , x 0) 表示上述随机数发生器。根据增量c 的不同取值, 又分别称为乘同余法(c =0) 和乘加同余法(c ≠0) 。考虑到随机数的产生效率, 模数M 通常取2的整数次方, 以便递推公式(1) 中第一式子的取模操作可以用位操作来代替。至于相关参数的具体选择, 已有很多文献对此作了详细讨论[2-3]。
1. 2整型随机变量。从线性同余法的递推公式可以看出, 在产生任一随机数Ν之前, 会先产生两个整数ax i -1和x i 。这两个整数在计算机中会按照图1所示的方式进行存储。图中的整数x 代指任一整数, 参数W 是二进制位的编号, 按低位到高位的顺序分别取0至S -1, L 是二进制位的数量
。
至于参数L 的选择, 需要兼顾改善效果和存储量之间的平衡。随着L 的增大, 打乱的效果会加强,
但同时要求辅助数组V 就越大。建议通常情况下L 不要超过5, 最大也不要大于10。从本文的研究结果看, 在上述条件下, 已能取得很好的改进效果。
对I L CGs 后3个参数的最终确定, 是在上述大原则下, 进行一系列的测试获得的。
最后, 讨论该方法在并行环境中应用的问题。为了使并行计算和串行计算的结果相一致, 通常在随机数序列使用的过程中采用分段法, 即, 给每个需要模拟的粒子一个单独的编号, 然后根据这个编号与随机数序列中一段连续的随机数相对应起来。在线性同余法中有专门的算法用于实现上述的对应关系。但用了本文的改进算法以后, 原有的算法已不再适用。为此, 有如下方案:根据粒子的编号、原始的线性同余法和文[4]中的算法, 确定与该粒子对应的随机数序列, 然后用本文的洗牌算法来打乱该段随机数, 即把该算法的作用对象由原先的整个随机数序列变为现在一系列分段后的序列。
[4]
图1 整数在S 位二进制计算机中的存储格式
据此, 设计如下的算法:
对一给定L CGs , 使用一个辅助数组V [0],
L
V [1],…, V [N -1],其中N =2, L 为适当选择的常数, 即图1中选定的二进制位的数量。首先, 把由L CGs 产生的前N 个随机数依次赋值给数组V ;
步骤1 由式(1) 生成ax i -1、x i 和Νi ;
L -1
步骤2 赋值n =
∑I
l =0
W +l
2, 其中I W +l 为整数
l
ax i -1或x i 在计算机中相应存储位置的值(0或1) ,
见图1;
步骤3 赋值Ν=V [n ],V [n ]=Νi , 并输出随机数Ν。为了区别于简单的L CGs , 用专门的符号I L CGs (i m p roved L CGs ) 来表示据该算法设计的随机数发生器。对于一个特定的发生器, 表示为I L CGs (M , a ,
沈华韵, 等: 改进线性同余法随机数发生器193
该方案的一个缺点是, 单个粒子可以使用的随机数数量有所减少。以M CN P 5中传统的随机数发
481919
生器L CGs (2, 5, 0, 5) 为例, 原来给每个粒子分配152917个随机数, 如果算法3中的L 取3, 则每个
3
粒子确定可以使用的随机数数量为152917-2+1=152910, 从这个角度也说明L 的值不宜过大。但是, 这种随机数数量的微弱减少, 换来统计品质的改善是值得的。
1. 3 I LCGs 的计算效率
2. 2 32位随机数发生器
32
研究如下一对随
机数发生器, L CGs (2,
[3]32
2891336453, 1, 1) 和I L CGs (2, 2891336453, 1, 1, 51, 9, 2) 。虽然这是一个32位的发生器, 但ax i -1是一个64位的整数, 因此可以选取参数W =51, T =2。用D IEHA RD 进行检验的结果列于表1中, 未列出改进前后都通过的统计检验方法。
表1 32位随机数发生器统计检验结果的对比
检验方法
生日间隔检验二进制秩检验(6×8) 位流检验(执行20次)
O 检验检验
11的个数检验
L CGs
I L CGs
与算法B ays 2D u rham shuffle 一样, I L CGs 仅
仅是洗牌法的另一种具体实现, 因此两者对随机数序列统计品质的改善是一致的。但从随机数发生器的另一个指标——计算效率来看, I L CGs 具有明显优势。
I L CGs 中步骤2, 在FOR TRAN I B S 因此, 相对于B ays 中的乘操作和下取整操作, 充分体现了该算法高的计算效率。由线性同余法的递推公式和模数的选择方式可知, L CGs 本身的计算量是很小的。在这种情况下, 该算法在计算效率上的改进就显得尤其有价值。
[5]
没有通过通过没有通过没有通过次通过8次低16位没有通过通过位没有通过通过
没有通过通过低17位没有通过通过
从表1中对比结果可知, 该算法对原随机数序
列统计品质的改进具有明显效果。
3 结 论
通过上述的检验结果可知, 据该改进算法设计的I L CGs 产生的随机数序列在随机性方面要明显优于原有的L CGs ; 并且, 与标准算法B ays 2D u rham shuffle 相比, 本文的改进算法在计算效率上具有明显优势, 使得实现洗牌效果所引起的计算量的增加是完全可以忽略的。因此, 在对随机数序列的统计品质及计算效率有较高要求的场合, 该方法具有很好的实用价值。同时, 也可以作为一种新的产生随机数的标准算法。
2 LCGs 和I LCGs 的对比
为了检验该算法对随机数序列的改进效果, 本
[6]
文采用包含18种不同检验方法的D IEHA RD 检验程序, 对分别由本文方法改进前后的线性同余法随机数发生器产生的随机数序列进行统计检验。此处, 给出对M CN P 传统48位随机数发生器和文[3]提供的一个32位随机数发生器的检验结果。2. 1 M CNP 传统48位随机数发生器
M CN P 程序默认的随机数发生器是L CGs (2,
1919[2]
5, 0, 5) , 采用本文的改进算法构造一个新的随
481919
机数发生器I 用这2个L CGs (2, 5, 0, 5, 27, 3, 1) 。
48
参考文献 (References )
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strides [J]. T rans A m N ucl S oc , 1994, 71:202-203.
发生器分别产生10个随机数, 消耗的时间分别为76. 1s 和76. 2s 。可见, 因改进算法的使用而引起的计算时间的增加是完全可以忽略的。
用D IEHA RD 统计检验程序检验该48位的L CGs 时, 对于其中的3种检验(O PSO , overlapp ing p airs
overlapp ing
quadrup les sp arse occup ancy , DNA 检验) , 随机数
sp arse
occupancy ;
OQ SO ,
9
彭国伦. Fo rtran 95程序设计[M]. 北京:中国电力出版社,
2002.
T he D IEHA RD
battery of h ttp:
tests of
[6]M arsaglia G S .
edu pub diehard .
序列的高位通过了检验, 但低位的10到12位则没有
通过。而对应的I L CGs 通过了所有的18种检验。
random ness [EB OL ]. [200825212]. stat . fsu.
范文五：清华大学环境工程原理(分离过程原理)期末试卷(环5)
环5 《环境工程原理》——分离过程原理 试题 班级： 姓名： 学号：
一、（15分）沉降
（1）采用旋流分离器和离心机对悬浊液中的固体成分进行分离，如果改变装置直径，其各自的离心分离因素将如何变化？
（2）采用两台旋风分离器A和B处理大气中的粉尘，其总效率一样，但粒级效率不同，试问这两台旋风分离器的临界直径一样吗？为什么？
二、（20分）某板框过滤机有10个滤框，滤框尺寸为500 mm×500 mm×20 mm。过滤操作在20°C、恒压下进行，过滤常数为K=4.2×10-5 m2/s，qe=0.02m3/m2，滤饼体积和滤液体积之比为0.04m3/m3，滤饼洗涤、拆装等时间为10min，假设滤饼不可压缩。求：
（1）全框充满所需时间；
（2）板框过滤机的生产能力；
（3）如改用回转真空过滤机，所用滤布和过滤压差与板框过滤机的相同。转筒直径为1m，长度为1m，浸入角为120°。要维持与板框过滤机相同的生产能力，则转速应为多少？
三、（25分）采用活性炭固定床吸附塔对某印染废水进行处理，假设印染废水中的污染物均可为活性炭所吸附，进水COD浓度为100g/m3。固定床吸附塔柱高2m，柱直径0.2m，活性炭填充密度为800kg/m3。废水流过吸附塔的速率为10m/h。假设吸附区高度为0.1m, 瞬间形成，并以0.1m/h的速率缓慢下移。
（1）计算穿透时间和穿透点出现时活性炭吸附塔内的平均COD吸附量为多少（g-COD/kg－活性炭）？
（g/m3）的关系满足：q=1.4ρ1/2，（2）假设活性炭平衡吸附量q（g/kg）与印染废水COD浓度ρ
求穿透点出现时，活性炭吸附塔的饱和度为多少？
（3）如果把进水COD浓度提高到200g/m3，活性炭与印染废水COD之间的吸附平衡关系不变，穿透点出现时，活性炭吸附塔的饱和度为85％，求穿透时间。
四、（20分）采用清水吸收含SO2的气体，常压101.3kPa、温度为25°C。假设气体中SO2的摩尔分数为0.2。
。 (1) 请写出SO2的气-液平衡关系式（以摩尔分数表示）
(2) 采用逆流操作时，假设液气比为50，气体出口处气体中SO2摩尔分数要求达到0.05，并请画出操作线和平衡线的关系示意图。计算气体出口和进口处的推动力。
(3) 假设液气比仍为50，处理含H2S的气体，问气体出口处的H2S摩尔分数是否也能降低到0.05？为什么？
五、（20分）采用萃取的方法处理含酚废水。已知待处理的含酚废水为5L，酚浓度为100mg/L，密度为1000kg/m3, 要求萃取后废水中的酚浓度达到10mg/L以下。假设酚的分配系数为10，并不随溶液组成而变化
（1）采用单级萃取时，问需要加多少kg的萃取剂？
（2）如果将（1）计算的萃取剂分成两等份，进行二级错流萃取，问废水中的酚浓度可以降低到多少mg/L？并请画出操作线和平衡线的关系示意图。、解：
ui2，增加直径分离因数变小，减少直径分离因素变大，ui保（1）旋流分离器分离因数Kc=rmg
rmω2，增加直径分离因数变大，减少直径分离因素变小，持不变。离心分离器分离因数Kc=g
ω保持不变。
（2）总效率与粒级效率之间的关系为η0=∑xmiiη，总效率相同，而粒级效率不同，说明各种粒径的颗粒被分离的比例也是不同的，所以临界直径不同。
二、解：
（1）以一个框为基准进行计算。框全充满时滤饼体积：
V饼=0.5×0.5×0.02=0.005m3；相应的滤液量＝0.005=0.125m3 0.04
q=0.125V==0.25m3/m2 A0.5×0.5×2
根据恒压过滤方程，得过滤时间为
q2+2qqe0.252+2×0.25×0.02t===1726s=28.8min ?5K4.2×10
（2）板框压滤机的生产能力：
qv=10V10×0.125==5.37×10?4m3/s 1726+10×602326
（3）设转筒真空过滤机的转速为n，则回转真空过滤机的生产能力为
qv'=nV=5.37×10?4m3/s
转筒真空过滤机面积A=3.14×1×1=3.14m2；Ve=qeA=0.02×3.14=0.0628m3
1200
浸没度ψ==1/3 0360
根据恒压过滤方程，有：
V2+2VVe=KA2ψ
n或者nV
