qzuser69881986
范文一：矩阵秩的基本不等式
矩阵秩的基本不等式
定理1：设A ∈R m , n ，B ∈R n , s ，则r (A ) +r (B ) -n ≤r (AB ) ≤min {r (A ), r (B ) }。 证明：由于Bx =0的解一定是ABx =0的解，因此Bx =0的基础解系为ABx =0的基础解系的一部分。于是，s -r (B ) ≤s -r (AB ) ，即r (AB ) ≤r (B ) 。
r (AB ) =r ((AB ) T )=r (B T A T ) ≤r (A T ) =r (A ) 。
这样，我们就证明了r (AB ) ≤r (A ) ，r (AB ) ≤r (B ) ，故r (AB ) ≤min {r (A ), r (B ) }。
我们假设x 1，x 2，……，x s -r (B ) ，x s -r (B ) +1，……，x s -r (AB ) 为ABx =0的基础解系。其中，Bx i =0，1≤i ≤s -r (B ) ；Bx j ≠0，s -r (B ) +1≤j ≤s -r (AB ) 。 下面，我们来证明向量组{Bx j }
s -r (AB ) j =s -r (B ) +1
是线性无关的。事实上，假设数k j ，
s -r (B ) +1≤j ≤s -r (AB ) ，使得
s -r (AB ) j =s -r (B ) +1
s -r (AB )
∑
s -r (AB )
k j (Bx j ) ，于是B
j =s -r (B ) +1
∑
x j =0。
这样，
s -r (AB ) j =s -r (B ) +1
j =s -r (B ) +1
s -r (B )
s -r (AB ) j =1
∑
x j =0为Bx =0的解。于是，存在数k j ，1≤j ≤s -r (B ) ，使得
∑
x j =
∑(-k x ) ，即∑
j j
j =1
k j x j =0。由于向量组{x j }
s -r (AB ) j =1
线性无关，因
此，k j =0，s -r (B ) +1≤j ≤s -r (AB ) 。于是，向量组{Bx j }线性无关。
j =s -r (B ) +1
s -r (AB )
又由于A (Bx j ) =ABx j =0，s -r (B ) +1≤j ≤s -r (AB ) ，因此{Bx j }为
j =s -r (B ) +1
s -r (AB )
Ax =0的基础解系的一部分。于是，
s -r (AB ) -[s -r (B ) +1]+1=r (B ) -r (AB ) ≤n -r (A ) 即r (AB ) ≥r (A ) +r (B ) -n 。
推论1：若A ∈R m , n ，B ∈R n , s 满足AB =0，则r (A ) +r (B ) ≤n 。 证明：0=r (AB ) ≥r (A ) +r (B ) -n ，于是r (A ) +r (B ) ≤n 。
1
范文二：矩阵秩的基本不等式
矩阵秩的基本不等式
赖宝锋
mn,ns,定理1:设，，则。 AR,BR,rArBnrABrArB()()()min(),()，,,,,,证明:由于的解一定是的解，因此的基础解系为的Bx,0ABx,0Bx,0ABx,0基础解系的一部分。于是，，即。 srBsrAB,,,()()rABrB()(),
TTTT。 rABrABrBArArA()()()()(),,,,，，
，，故。 这样，我们就证明了rABrA()(),rABrB()(),rABrArB()min(),(),,,
我们假设，，……，，，……，为的基础xxxxxABx,0srAB,()12srB,()srB,，()1
解系。其中，，;，。 Bx,0Bx,01(),,,isrBsrBjsrAB,，,,,()1()ji
srAB,()下面，我们来证明向量组是线性无关的。事实上，假设数， kBx,,jjjsrB,,，()1
，使得 srBjsrAB,，,,,()1()
srAB,()srAB,()
，于是。 kBx()Bx,0,,jjjjsrB,,，()1jsrB,,，()1
srAB,()
这样，为的解。于是，存在数，，使得 1(),,,jsrBkx,0Bx,0,jjjsrB,,，()1
srABsrB,,()()srAB,()srAB,()，即。由于向量组线性无关，因xkx,,()kx,0x,,,,,jjjjjjj,1j,1jsrBj,,，,()11
srAB,()此，，。于是，向量组线性无关。 srBjsrAB,，,,,()1()k,0Bx,,jjjsrB,,，()1
srAB,()又由于，，因此为ABxABx()0,,srBjsrAB,，,,,()1()Bx,,jjjjsrB,,，()1
的基础解系的一部分。于是， Ax,0
srABsrBrBrABnrA,,,，，,,,,()()11()()(),,
即。 rABrArBn()()(),，,
mn,ns,AR,BR,推论1:若，满足，则rArBn()()，,。 AB,0
证明:，于是。 0()()(),,，,rABrArBnrArBn()()，,
1
范文三：矩阵秩的不等式性质
２０１２年第３期（总第８０期）牡丹江师范学院学报（自然科学版）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭｕｄａｎｉａｎＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔ ｊｇｙ Ｎｏ．３，２０１２
ＴｏｔａｌＮｏ８０
矩阵秩的不等式性质
金启胜，包翠莲
（）安庆职业技术学院，安徽 安庆 ２４６００３
摘 要：由伴随矩阵秩的等式性质联想到一般矩阵秩的一个重要不等式性质，给出更为简捷的证明方法，并举出实例验证性质的正确性．
关键词：矩阵；秩；向量
［（）中图分类号］文献标志码］文章编号］Ｏ１５１．２１ ［Ａ ［１００３６１８０２０１２０３０００５０１－－－
基本的数学概念．在矩 矩阵的秩是一个重要、阵的变换、向量组的线性关系、线性方程组解的判定和求解等方面应用十分广泛．其中伴随矩阵的
得出性质有许多数学工作者进行了深入的研究，
］１２－
了不少有价值的结论［这里就伴随矩阵秩的一．个等式性质进行引申和拓展，得出一般矩阵秩的一个重要不等式性质，并给出一种简单明了的证明方法以及具体的应用．
是方程组Ａ则ＡＸ＝０的解向量．Ｘ的维数为ｐ，Ｘ
个解向量，因而＝０的基础解系中恰含（ｐ－秩Ａ）
秩Ｂ≤ｐ－秩Ａ，所以秩Ａ＋秩Ｂ≤ｐ，证毕．
推论１ 设Ａ１，且Ａ１Ａ２＝Ａ２均为ｎ阶矩阵，
）·则秩Ａ１＋秩Ａ２≤ｎ＝（０，２－１ｎ．
…Ａｍ均为ｎ阶矩阵，推论２ 设Ａ１，且Ａ２，
Ａ１Ａ２…Ａｍ＝０，
）则秩Ａ１＋秩Ａ２＋…＋秩Ａｍ≤（·ｍ－１ｎ．
１ 有关结论
［］２３－
定理１Ａ＊为Ａ的伴 设Ａ为ｎ阶矩阵，
秩Ａ＝ｎ；，随矩阵，则秩Ａ＊＝秩Ａ＝ｎ－１；，
秩Ａ＜ｎ－１．，
证明 当秩Ａ＝ｎ时，由ＡＡ＊＝｜Ａ｜≠０，Ｅ得到秩Ａ＊＝秩（ＡＡ＊）Ａ｜Ｅ）｜Ａ｜＝秩（｜＝ｎ．
Ａ中所有ｎ－１阶子式全 当秩Ａ＜ｎ－１时，
为０，即Ａ＊中所有元素为零，即Ａ＊＝０，故秩Ａ＊
当秩Ａ＝ｎ－１时，Ａ中至少有一个ｎ－１阶＝０．
子式不等于零，故Ａ＊≠０，从而秩Ａ＊≥１；另一方面，因秩Ａ＝ｎ－１，故Ａ中所有ｎ阶子式都等
从而｜Ａ｜＝０，所以Ａ于于零，Ａ＊＝｜Ａ｜Ｅ＝０，
）是秩Ａ＋秩Ａ＊≤ｎ（参见定理２而秩Ａ＝ｎ－．
故秩Ａ＊≤１．所以秩Ａ＊＝１，证毕．１，
［］
定理２３ 设Ａ为ｍ×ｐ矩阵，Ｂ为ｐ×ｎ矩若Ａ则秩Ａ＋秩Ｂ≤ｐ．阵．Ｂ＝０，证明 因为Ａ所以Ｂ的ｎ个列向量都Ｂ＝０，
２ 应用
［３－４］
例１求其伴随 设４阶矩阵Ａ的秩为２，矩阵Ａ＊的秩．
解 因为秩Ａ＝２＜３，由定理１可知，秩
Ａ＊＝０．
［３－４］
例２且Ａ２＝Ａ．若秩 设Ａ为ｎ阶矩阵，证明：秩（其中Ｅ为ｎ阶单Ａ＝ｒ，Ａ－Ｅ）ｒ，＝ｎ－
位矩阵．
证明 因为Ａ２＝Ａ，所以Ａ（Ａ－Ｅ）＝０，由定理２可知，秩Ａ＋秩（Ａ－Ｅ）≤ｎ．又因为 Ｅ＝Ｅ－Ａ＋Ａ，所以 ｎ＝秩Ｅ＝秩（Ｅ－Ａ＋Ａ）
Ｅ－Ａ）＋秩Ａ≤秩（
Ａ－Ｅ）＝秩（＋秩Ａ．
从而 秩（Ａ－Ｅ）＋秩Ａ＝ｎ，故 秩（证毕．Ａ－Ｅ）＝ｎ－ｒ，
参考文献
［］金启胜．］）：由伴随矩阵所联想的几个问题［科技信息，１Ｊ．２００９（１２６８．
［］北京大学数学系几何与代数教研室代数小组．高等代数［北京；高等教育出版社，２Ｍ］．２００２：２０５２０９．－［］毛纲源．线性代数解题方法技巧归纳［武汉；华中科技大学出版社，３Ｍ］．２０００：１５６１６６．－［］杨永根．线性代数．方法与应用［北京；科学出版社，４Ｍ］．２００１：９３９５．－２０１２０４１１ 收稿日期：－－
）基金项目：２０１２年安徽省自然科学研究项目（ＫＪ２０１２Ｚ２３６
编辑：文心
·５·
范文四：谈矩阵秩的不等式
第9卷 第1期衡水学院学报Vol . 9, No . 1
2007年3月Journal of Hengshui University Mar . 2007
谈矩阵秩的不等式
郭素霞
(衡水学院 数学与计算机科学系, 河北 衡水053000)
摘 要:矩阵的秩是矩阵重要的数字特征之一, 在代数研究中有着重要的作用, 它与线性方程组、线性空间等都有着密切的
联系. 因而, 了解矩阵的秩可为更好地学习、研究代数打下基础. 本文讨论了矩阵秩的一些常见不等式.
关键词:矩阵的秩; 矩阵的初等变换; 基础解系
中图分类号:O. 151. 21 文献标识码:A 文章编号:1673-2065(2007) 01-0053-02 矩阵A 的秩记为r (A ) . 1 基本定理
r
[1]定理1 r (A ) =0ΖA P 上m ×s r (AB ) ≤m r () , r (B ) }r (A ±B ) ≤r (A ) +r (B ) r (A ±B ) ≥r (A ) -r (B )
[2]176
.
r B ) r (A ) +r (B ) ≤n .
定理2P B .
E n
命题2 设A 为s ×n 矩阵, B 为n ×m 矩阵, 则r (AB ) ≥r (A ) +r (B ) -n.
证明 由于
E S E n B A 0
E n A
E n
B
定理3 设A 与B 是m ×n 矩阵, 则
[2]584
. .
定理4 设A, B 都是m ×n 矩阵, 则
[1]584
-A 0-E m
=
E n 0
则=E n 定理5 A 是一个n ×s 矩阵, 如果P 是s ×s 可逆矩阵, Q 是n ×n 可逆矩阵, 那么
r (A ) =r (A P ) =r (QA )
[2]180
0 =r (E n ) +r (AB ) =
n +r (A +B ) . 又E B
≥r (A ) +r (B ) ,
A
.
定理6 A 0 [3]164
==r (A ) +r (B ) .
0 B 故n +r (AB ) ≥r (A ) +r (
B ) , 即r (A +B ) ≥r (A ) +r (B ) -n.
命题3 设A, B
, C 分别为m ×n, n ×s, s ×t 的矩阵, 则
r (AB C ) ≥r (AB ) +(B C ) -r (B ) .
A 0[3]164
定理7 ≥r (A ) +r (B ) .
C 2 矩阵秩的不等式
命题1 设A 与B 为n 阶方阵, 若AB =0, 则
r (A ) +r (B ) ≤n .
证明 设r (A ) =r , r (B ) =s 则由AB =0知, B 的每一列向量都是以A 为系数方阵的齐次线性方程组的解向量.
当r =n 时,
由于该齐次方程组只要零解, 故此时B =0, 即r (A ) =n, r
(B ) =0, 结论当然成立.
①收稿日期:2006-06-10
证明 设E s , E t 分别为s, t 阶单位矩阵, 则由于
AB B
AB E s
C
C
0-E =
AB B
B ,
且
E s
0-E 是可逆矩阵, 故
作者简介:郭素霞(1962-) , 女, 河北武强县人, 衡水学院数学与计算机科学系副教授.
54 衡水学院学报 第9卷
r (AB ) +r (B C ) ≤r
AB B
B AB =AB B
AB 0
=
证明 由基本定理有
r (AB +A +B ) =r (A (B +E ) +B ) ≤
0
B
=r (AB C ) +r (B ) ,
r (A (B +E ) ) +r (B ) ≤ r (A ) +r (B ) . 即r (AB +A +B ) ≤r (A ) +r (B ) .
命题8 设A, C 均为m ×n 矩阵, B 和D 均为n ×s 矩阵, 则r (AB -CD ) ≤r (A -C ) +r (B -D ) .
证明 根据分块矩阵的乘法可知
E m A -C
从而r (AB C ) ≥r (AB ) +r (B C ) -r (B ) .
32
命题4 A 是一方阵, 则r (A ) +r (A ) ≥2r (A )
证明 由命题3有
r (A ) =r (AAA ) ≥r (A ) +r (A ) -r (A )
32
即r (A ) +r (A ) ≥2r (A ) .
3
2
2
B -E n 命题5 A 1, A 2…A p 都是n 阶方阵, A 1A 2…A p =0则r (A 1) +r (A 2) +…+r (A p ) ≤(p -1) n .
证明 由命题3有
0=r (A 1A 2…A p ) ≥r (A 1) +r (A 2A 3…A p ) -n ≥
0 E n
A -C
AB -B -D
0 E s
=
由此易知
r (A C -D ) A -B r (A 1) +r (A 2) +r (A 3…A p ) -2n ≥ r (A 1) +…+r (A p ) -(p -1) n . 则有r (A 1) +r (A 2) +…+r (A p ) n 命题6n E 阵, 则r (AB --E ) -E ) .
证明 因为-E =A (B -E ) +A -E 故有r (AB -E ) =r[A(B -E ) +A -E ]≤
r (A (B -E ) ) +r (A
-E ) ≤ r (B -E ) +r (A -E ) . 即r (AB -E ) ≤r (A -E ) +r (B -E ) .
命题7 设A, B 都是n 阶方阵, 则
r (AB +A +B ) ≤r (A ) +r (B )
≥
r (AB -CD ) 从而得r (AB -CD ) ≤r (A -C ) +r (B -D ) . 参考文献:
[1] 杨子胥. 高等代数习题解[M].济南:山东科技出版社,
2001.
[2] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数
[M].3版. 北京:高等教育出版社, 2000.
[3] 钱吉林. 高等代数题解精粹[M].北京:中国民族大学出版
社, 2002.
On I nequa liti es of Ma tr i x Rank
G UO Su -xia
(Depart m ent ofMathe matics and Co mputer Science, Hengshui University, Hengshui, Hebei 053000, China )
Abstract:Matrix rank, one of the i m portant nu merical characteristics of matrix, plays an i m portant r ole in algebra . It has a cl ose relati on t o linear equati ons and linear s pace . The study of matrix rank can lay a f oundati on f or the further study and research of algebra . Hence, it is necessary t o discuss s o me co mmon inequalities of matrix rank .
Key words:matrix rank; ele mentary transf or mati on of matrix; basic s oluti on syste m
〔责任编校:卫立冬 英文校对:吴秀兰〕
范文五：关于矩阵秩的一个不等式的注记
第 卷第 期黄 山 学 院 学 报 & ’ ,-.$&"/!$0
年 月%()* + J ourna l of Hua ngs ha n Unive rs ity 123$4))*
关于矩阵秩的一个不等式的注记
方炜
黄山 黄山学院 数学系"安徽 !!"#$"%#
摘 要本文得到了关于矩阵秩的不等式 的更为精确的推广形式$%&%&%& !"#$!"#!$’!
关键词矩阵秩不等式 $((
中图分类号文章编号文献标识码$!"#"$%" $" $%&’(!))’*%(++,&+-!+++’!+(
介绍 3 3 ! 其中 %&"D<;:58$8>;%>G "对任意 矩阵 用 表示 的秩我们3 7%& 5!6"66 ";
%&%4& <;98::5&;g>>"成的向量空间向 量 空 间 的 维 数明显 地 " " 8"9 66 ;<><7 !6&="" "="">< 66%&是比%&更为精确的一般的不等式根据%&="">
和 其中 6"6"6&<""""""&""6;<"" !*/!//*/!%3%3;""式我们立即得到下面的 "
是 的第 列是 的第 行根*"3&6 ; "/!;<""*"3&/ ; ’ ;推论 设 是两个 矩阵则B&$ 3 >)?5!"3 7 %>&@7 %?&C%D@&7 %>@?&7 %>&@7 %?&C5EF :##据定义容易验证向量空间 向量空间<><88"9’ "6/6;这里=""><><;5%9&9& :,:::’="">?>?;<>
3 推论 设 的意义如定理所4&$> %;
生成的向量空间对矩阵的加法和 众所周知 ""*!’3 引理和主要定理的证明 "
引理 设 是 个 矩阵则B >;%; 7%%>&#%7%>& ;G7@&7&@7& & !>?#!>!?!" ;)? 53"3. " !!! &&&+&"&对这两 !!!!!,7>@7?A3#7>?#5;37>7?引 理 设 分 别 是 4 > %; 矩阵则""%&%&+%&*,’的一个一般的推广形式本出了 H!. 7>CH#7>#5;37>7%>%?%>&@7%?&" 3%;;;; (’ ; I 7%7%>&C5EF+D"&#:,; ";&%%7>&CH);@B@B II( ; 收稿日期$(++,.+-.(/ 作者简介方 炜安徽歙县人黄山学院教师研究方向为基础代数$%%0& ’,."""’ & ! ! # &&""!!!%&’()%&’("#"!)$!)$ "#4"+/ )4"+/ )&)4"+/ &$ &1 & ,"#$ "#$ , , $ $ !)!) ""!!’4"+///’4"+///&$&"&1&" ..#%!&"’("$" ""#1 "#* "#$ "#$ 4"+" ’.’!///&$&,’,引理 设 是个秩为 的 矩阵对 的 * & % +!, #& #%&")%&")&)%&"6 !!!’$1,任意满秩分解 均有 &#-.#/#/#0#0$ &-&. ,这里 - 为 +!% 列满矩阵#. 为 %!, 行满矩阵$ #%!&"’6" .证明设 %&##& #"####& #"## !!!!-!"""."#$ $$1%", , , 从 得到 2#&# "#222$%"%# !"-.!")")&)"!,""3%!,"3$1"1%"%其中 !"#6#4"+///.&".&3 于是 即有由 ## # # ## ## .!!!&!"&.!"&""!!$",$%$""#$ 3#")$ 同理可得 生成的向量空间 由 生成的 & #!/&"#"# & #", &$1% 向量空间 注意到 我们#4"+#%&"#%"#4"+# //!!-/.&--+($ ,, 0 ,立即得到 /#/$ &-. 1 %0 ,!"#其中 !"#%&44#4"+01’//".&".&3 又 的转置 有满秩分解 于是 & &$&$#.$-$$ /# &$’ "#$ 3#")$ 0, 0 ,也就是说 0#0$ /$&... *,- 定理的证明设 有如下的满秩分 % &"#$# & #" !," 因而由5知 !"解 &#-.!"#$#&#," !*" """ . 2$ +6 ( ,0,这里 分别为 列满矩阵而 分别为+%%&# -!".44" "" .1 !"!#&#" 0, %&%+"%,--.3"$,7 行满矩阵根据可得%!&"!, #!*" "’"#$ 0 0 ,4 4 , , .*, -8 5 &#-.""""" ,"#$ "#$ #%&+786#4 9!"’’(!"." .(+$ "#$ ) , . 1另一方面#根据"及二"得 !!5 ) , #!-#-#.#-" !5"$1, ’.9+$ ), ,0,.*-, . 1 0 ,##!"!&"%&%--)% ’1!, ."$, ’"#$ ,0 , 其 中 为 矩 阵 而## # + % & # !--&-"!!!""$1,." ."#$ *, - , , 为矩阵接下来我们!.$#.$#& #.$"!%!&""!, ###%!&"’!6)4" !:"$1," .." "#$ "#$ 需要计算和 的秩####$#$##$# !--&-".!..&."综合""即得证$ !!9:$1$1,, 由维数公式可得 参考文献% %##&#"#4"+!---/$1, !##& #" ---$ 1 , 屠伯埙线性代数方法 导 引 上 海 复 旦 大 学 )$* ; )<*; %="" ++,="" ,="" 出版社#$="">:#$?5 #4"+#4"+!/"!/".-".&" 代 数 学 辞 典 武 汉 樊 恽 主 编华 中 师 大 出 版 社 )1* ; )<*; %="" #="" "#$="" "#$="" $="=5#=@&="> , 关 于 矩 阵 秩 的 一 个 不 等 式 高 等 数 学 研 究 沈 华)** ; )A*; # #4"+!/)/"&".&" "#1 1??*#’!:" ,, #4"+/)4"+/’4"+!///"&"&3&$&" .."#1 "#1 "# "$%# $& ’" (")*+’,(%- ’.$+% %/) 0’%(1 2’"3 ! B7C DE" , 4.5%267%%F, GH"I 7%G"J2EK 7 +L%E E87JG %EIM2G 76LMG +7G"8 %7,! "+ENM72"GO "I L6G7",E4(& $?19S 8)- 9$2:5%+7G%"8 %7,! ",ENM72"GO >
