范文一：什么是有限元分析

有限元分析

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有限元分析(FEA，Finite Element Analysis)利用数学近似的方法对真实物理系统(几何和载荷工况)进行模拟。还利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。

目录

简介

特点

步骤

常用软件国外软件

国内软件

发展趋势简介

特点

步骤

常用软件 国外软件

国内软件

发展趋势

展开 编辑本段简介

有限元分析是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的)近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件)，从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。 有限元是那些集合在一起能够表示实际连续域的离散单元。有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用，例如用多边形(有限个直线单元)逼近圆来求得圆的周长，但作为一种方法而被提出，则是最近的事。有限元法最初被称为矩阵近似方法，应用于航空器的结构强度计算，并由于其方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣。经过短短数十年的努力，随着计算机技术的快速发展和普及，有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域，成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法。

编辑本段特点

有限元方法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性仅限于相对小的子域中。20世纪60年代初首次提出结构力学计算有限元概念的克拉夫(Clough)教授形象地将其描绘为:“有限元法=Rayleigh Ritz法+分片函数”，即有限元法是Rayleigh Ritz法的一种局部化情况。不同于求解(往往是困难的)满足整个定义域边界条件的允许函数的Rayleigh Ritz法，有限元法将函数定义在简单几何形状(如二维问题中的三角形或任意四边形)的单元域上(分片函数)，且不考虑整个定义域的复杂边界条件，这是有限元法优于其他近似方法的原因之一。

编辑本段步骤

对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元求解法的基本步骤是相同的，只是具体公式推导和运算求解不同。有限元求解问题的基本步骤通常为: 第一步:问题及求解域定义:根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域。 第二步:求解域离散化:将

求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的离散域，习惯上称为有限元网络划分。显然单元越小(网格越细)则离散域的近似程度越好，计算结果也越精确，但计算量及误差都将增大，因此求解域的离散化是有限元法的核心技术之一。 第三步:确定状态变量及控制方法:一个具体的物理问题通常可以用一组包含问题状态变量边界条件的微分方程式表示，为适合有限元求解，通常将微分方程化为等价的泛函形式。 第四步:单元推导:对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中包括选择合理的单元坐标系，建立单元试函数，以某种方法给出单元各状态变量的离散关系，从而形成单元矩阵(结构力学中称刚度阵或柔度阵)。 为保证问题求解的收敛性，单元推导有许多原则要遵循。 对工程应用而言，重要的是应注意每一种单元的解题性能与约束。例如，单元形状应以规则为好，畸形时不仅精度低，而且有缺秩的危险，将导致无法求解。 第五步:总装求解:将单元总装形成离散域的总矩阵方程(联合方程组)，反映对近似求解域的离散域的要求，即单元函数的连续性要满足一定的连续条件。总装是在相邻单元结点进行，状态变量及其导数(可能的话)连续性建立在结点处。 第六步:联立方程组求解和结果解释:有限元法最终导致联立方程组。联立方程组的求解可用直接法、迭代法和随机法。求解结果是单元结点处状态变量的近似值。对于计算结果的质量，将通过与设计准则提供的允许值比较来评价并确定是否需要重复计算。 简言之，有限元分析可分成三个阶段，前置处理、计算求解和后置处理。前置处理是建立有限元模型，完成单元网格划分;后置处理则是采集处理分析结果，使用户能简便提取信息，了解计算结果。

编辑本段常用软件

国外软件

大型通用有限元商业软件:NASTRAN,ASKA,SAP,ANSYS,MARC,ABAQUS,JIFEX等。还有三维方面的Proe都是比较强大的。

国内软件

国产有限元软件:FEPG,JFEX,KMAS等

编辑本段发展趋势

纵观当今国际上CAE软件的发展情况，可以看出有限元分析方法的一些发展趋势: 1、与CAD软件的无缝集成 当今有限元分析软件的一个发展趋势是与通用CAD软件的集成使用，即在用CAD软件完成部件和零件的造型设计后，能直接将模型传送到CAE软件中进行有限 元网格划分并进行分析计算，如果分析的结果不满足设计要求则重新进行设计和分析，直到满意为止，从而极大地提高了设计水平和效率。为了满足工程师快捷地解 决复杂工程问题的要求，许多商业化有限元分析软件都开发了和著名的CAD软件(例如Pro/ENGINEER、Unigraphics、 SolidEdge、SolidWorks、IDEAS、Bentley和AutoCAD等)的接口。有些CAE软件为了实现和CAD软件的无缝集成而采 用了CAD的建模技术，如ADINA软件由于采用了基于Parasolid内核的实体建模技术，能和以Parasolid为核心的CAD软件(如 Unigraphics、SolidEdge、SolidWorks)实现真正无缝的双向数据交换。 2、更为强大的网格处理能力 有限元法求解问题的基本过程主要包括:分析对象的离散化、有限元求解、计算结果的后处理三部分。由于结构离散后的网格质量直接影响到求解时间及求解结果的 正确性与否，近年来各软件开发商都加大了其在网格处理方面的投入，使网格生成的质量和效率都有了很大的提高，但在有些方面却一直没有得到改进，如对三维实 体模型进行自动六面体网格划分和根据求解结果对模型进行自适应网格划分，除了个别商业软件做得较好外，大多数分析软件仍然没有此功能。自动六面体网格划分 是指对三维实体模型程序能自动的划分出六面体网格单元，现在大多数软件都能采用映射、拖拉、扫略等功能生成六面体单元，但这些功能都只能对简单规则模型适 用，对于复杂的三维模型则只能采用自动四面体网格划分技术生成四面体单元。对于四面体单元，如果不使用中间节点，在很多问题中将会产生不正确的结果，如果 使

用中间节点将会引起求解时间、收敛速度等方面的一系列问题，因此人们迫切的希望自动六面体网格功能的出现。自适应性网格划分是指在现有网格基础上，根据 有限元计算结果估计计算误差、重新划分网格和再计算的一个循环过程。对于许多工程实际问题，在整个求解过程中，模型的某些区域将会产生很大的应变，引起单 元畸变，从而导致求解不能进行下去或求解结果不正确，因此必须进行网格自动重划分。自适应网格往往是许多工程问题如裂纹扩展、薄板成形等大应变分析的必要 条件。 3、由求解线性问题发展到求解非线性问题 随着科学技术的发展，线性理论已经远远不能满足设计的要求，许多工程问题如材料的破坏与失效、裂纹扩展等仅靠线性理论根本不能解决，必须进行非线性分析求 解，例如薄板成形就要求同时考虑结构的大位移、大应变(几何非线性)和塑性(材料非线性);而对塑料、橡胶、陶瓷、混凝土及岩土等材料进行分析或需考虑材 料的塑性、蠕变效应时则必须考虑材料非线性。众所周知，非线性问题的求解是很复杂的，它不仅涉及到很多专门的数学问题，还必须掌握一定的理论知识和求解技 巧，学习起来也较为困难。为此国外一些公司花费了大量的人力和物力开发非线性求解分析软件，如ADINA、ABAQUS等。它们的共同特点是具有高效的非 线性求解器、丰富而实用的非线性材料库，ADINA还同时具有隐式和显式两种时间积分方法。 4、由单一结构场求解发展到耦合场问题的求解 有限元分析方法最早应用于航空航天领域，主要用来求解线性结构问题，实践证明这是一种非常有效的数值分析方法。而且从理论上也已经证明，只要用于离散求解 对象的单元足够小，所得的解就可足够逼近于精确值。现在用于求解结构线性问题的有限元方法和软件已经比较成熟，发展方向是结构非线性、流体动力学和耦合场 问题的求解。例如由于摩擦接触而产生的热问题，金属成形时由于塑性功而产生的热问题,需要结构场和温度场的有限元分析结果交叉迭代求解，即"热力耦合"的 问题。当流体在弯管中流动时，流体压力会使弯管产生变形，而管的变形又反过来影响到流体的流动??这就需要对结构场和流场的有限元分析结果交叉迭代求解， 即所谓"流固耦合"的问题。由于有限元的应用越来越深入，人们关注的问题越来越复杂，耦合场的求解必定成为CAE软件的发展方向。 5、程序面向用户的开放性 随着商业化的提高，各软件开发商为了扩大自己的市场份额，满足用户的需求，在软件的功能、易用性等方面花费了大量的投资，但由于用户的要求千差万别，不管 他们怎样努力也不可能满足所有用户的要求，因此必须给用户一个开放的环境，允许用户根据自己的实际情况对软件进行扩充，包括用户自定义单元特性、用户自定 义材料本构(结构本构、热本构、流体本构)、用户自定义流场边界条件、用户自定义结构断裂判据和裂纹扩展规律等等。 关注有限元的理论发展，采用最先进的算法技术，扩充软件的能，提高软件性能以满足用户不断增长的需求，是CAE软件开发商的主攻目标，也是其产品持续占有市场，求得生存和发展的根本之道

立体发泡剂

立体发泡剂，是成都恒丰宏业洗涤剂厂最新研发的新型发泡剂，运用发泡体系中:密实发泡+瞬间发泡+集群发泡+持久发泡的四种发泡模式进行重组合成，改变传统发泡剂中普通存在的四大突出问题(发泡过于松散、过于稀疏、过于缓慢、消泡过快)，是发泡剂中的新科状元。有下列特点:

一、特别突出的性能:

1、立体发泡模式:密实发泡+瞬间发泡+集群发泡+持久发泡，得到非常好的排列组合。消除

传统发泡剂中普通存在的四大突出问题:发泡过于松散、过于稀疏、过于缓慢、消泡过快。

2、泡沫呈蜂巢六角型立体结构，能够支撑泡沫长久不破， 3、发泡速度非常快，瞬间产生高泡。

4、有非常高的增稠效果，能够让稠度大幅度提高。 5、有非常好的复配性能，与活性物有1+1大于二的复配效果。 6、有很好的除油去污作用，对常规的油污能轻松清除。 7、耐酸、耐碱、耐硬水、中性不伤手。

8、水溶液清澈透明，不含磷不含甲醛，安全环保。

二、非常广泛的应用范围

1、广泛用于洗洁精等各种洗涤剂的发泡添加剂。

2、广泛用于砂浆王等建筑行业的发泡添加剂。

3、广泛用于轻型建材等行业的发泡添加剂。

4、广泛用于日用化工等行业的发泡添加剂。

5、广泛用于金属清洗等行业的发泡添加剂。

6、广泛用于污水处理等行业的发泡添加剂。

7、广泛用于各种行业的发泡添加剂。

pro/e cad ug masterCAM auto CAD 现在很多软件。关键是你需要哪种。而且要专

心的学下去。cad是比较基础的。可以从它下手。

范文二：什么是有限元分析

有限元分析(FEA，Finite Element Analysis)的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的)近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件)，从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。 有限元是那些集合在一起能够表示实际连续域的离散单元。有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用，例如用多边形(有限个直线单元)逼近圆来求得圆的周长，但作为一种方法而被提出，则是最近的事。有限元法最初被称为矩阵近似方法，应用于航空器的结构强度计算，并由于其方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣。经过短短数十年的努力，随着计算机技术的快速发展和普及，有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域，成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法。

有限元方法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性仅限于相对小的子域中。20世纪60年代初首次提出结构力学计算有限元概念的克拉夫(Clough)教授形象地将其描绘为:“有限元法=Rayleigh Ritz法，分片函数”，即有限元法是Rayleigh Ritz法的一种局部化情况。不同于求解(往往是困难的)满足整个定义域边界条件的允许函数的Rayleigh Ritz法，有限元法将函数定义在简单几何形状(如二维问题中的三角形或任意四边形)的单元域上(分片函数)，且不考虑整个定义域的复杂边界条件，这是有限元法优于其他近似方法的原因之一。

对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元求解法的基本步骤是相同的，只是具体公式推导和运算求解不同。有限元求解问题的基本步骤通常为:

第一步:问题及求解域定义:根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域。

第二步:求解域离散化:将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的离散域，习惯上称为有限元网络划分。显然单元越小(网络越细)则离散域的近似程度越好，计算结果也越精确，但计算量及误差都将增大，因此求解域的离散化是有限元法的核心技术之一。

第三步:确定状态变量及控制方法:一个具体的物理问题通常可以用一组包含问题状态变量边界条件的微分方程式表示，为适合有限元求解，通常将微分方程化为等价的泛函形式。

第四步:单元推导:对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中包括选择合理的单元坐标系，建立单元试函数，以某种方法给出单元各状态变量的离散关系，从而形成单元矩阵(结构力学中称刚度阵或柔度阵)。 为保证问题求解的收敛性，单元推导有许多原则要遵循。 对工程应用而言，重要的是应注意每一种单元的解题性能与约束。例如，单元形状应以规则为好，畸形时不仅精度低，而且有缺秩的危险，将导致无法求解。

第五步:总装求解:将单元总装形成离散域的总矩阵方程(联合方程组)，反映对近似求解域的离散域的要求，即单元函数的连续性要满足一定的连续条件。总装是在相邻单元结点进行，状态变量及其导数(可能的话)连续性建立在结点处。 第六步:联立方程组求解和结果解释:有限元法最终导致联立方程组。联立方程组的求解可用直接法、选代法和随机法。求解结果是单元结点处状态变量的近似值。对于计算结果的质量，将通过与设计准则提供的允许值比较来评价并确定是否需要重复计算。

简言之，有限元分析可分成三个阶段，前处理、处理和后处理。前处理是建立有限元模型，完成单元网格划分;后处理则是采集处理分析结果，使用户能简便提取信息，了解计算结果。

范文三：什么是有限元

Chapter 1

什么是有限元 by caoer

1.1 PDE

有限元是一种求解问题的数值方法，求解什么问题呢？－－求解PDE(偏微分方程). 那么PDE 是做什么用的呢？－－描述客观物理世界。我想如果这两个问题搞清楚了也就明白了为什么要用fem,fem 可以做那些东西。 PDE 可以描述很多物理现象，电磁，流体，换热，diffusion, 力学，河床变迁，物种竞争，股票金融，等等等等。。。。乃至整个宇宙，当然也不是所有的物理现象都可以用PDE 描述，如微观世界分子原子的运动等等，所以我从来都不建议用有限元方法仿真微观物质现象的原因，但也有PDE 应用于微观位置如possion 方程来解析plasma 的物理现象，这在量子物理里面用统计的方法过于庞大，泼松方程反而使问题简单而且能吻合实验，这些都是题外话就不多说了。除了PDE 以外，ODE 同样也可以描述客观世界，但ODE 多用于控制系统，很有一些线性PDE 的解法也都是将PDE 转化为ODE 来做解析解的

1.2 求解PDE

有了PDE 以后，问题是如何求解并得到结果，首先要说明的是不是所有的PDE 都有解的，往往有解的PDE 才有实际工程意义。对于数值解法，常用的是有限差分，有限元和谱方法，还有蒙特卡罗法。有限差分出现的较早，计算精度相对较高，但是费时，且模型形状必须规则，边界条件处理困难，好处是可以比较方便的控制计算精度，适用于流体类的仿真。有限元方法效率高且满足精度要求，边界条件容易处理，得到了广大的应用，尤其是固体领域。谱方法由于可以采用FFT 方法的来求解，使得程序有着精度高，收敛快的特点，也克服了有限元条件下使用高阶插值方程计算费时的缺点，常常使用periodic boundary condition，但也有越来越多的算法使得一类二类边界成为可能，适合微观尺度的PDE 解，谱方法和有限元结合产生的谱元法取两者之优点，使得应用前景非常好。蒙特卡罗法不是基于弱解形式的，随机数的多维采样最终得到统计上的结果，多用于金融分析。咱这里还是着重有限元解PDE ，顾名思义，有限元将整个计算几何模型划分为很多小的单元（element ）, 每个单元的含有一定数量的节点(node)，具体单个单元有多少节点，有对应的不同算法与差值方程，拿一个简单的线性4节点平面单元来说，每个单元包含4个节点，每个节点有对应的variable 值，比如简单固体力学问题，每个节点就有对应的位移值，热力学问题每个节点就有对应的温度值，等等。然后单元内部的variables 就通过差值方法计算得出弱解(weak formation) 是建立在变分法基础上的，通过这个方法将strong form 的PDE 转换为weak form, 使得有限元的求解成为可能，具体如何推导weak form 可以参考一些有限元书籍，如果一本基础的有限元书籍没有介绍如何推导weak form, 那么可以考虑选择换一本了。推导所得的弱解形式仍需要通过计算机来计算，Galerkin 方法推导出含有求和符号的公式，在计算机中多半以loop 的形式来计算这个量，往往这个量就是stiffness matrix中的component ，这个loop 多半是围绕gauss 积分点进行的。公式中还会存在积分计算，有限元方法多用gauss quaradure 的方法来计算，精度一般可以满足。也就说一般简单的限元计算中存在两次approximation, 一次是Galerkin 一次是gauss, 这也是很多人在计算完以后需要进行validation 的原因，同时对于非线性问题newton 法本身就是通过计算误差来判断收敛的，固体有限元常常使用能量增量作为newton 求解器的判据。单个单元的stiffness matrix计算完成后，还需要将所有单元的矩阵装配为一个大型的矩阵，然后进行线性代数计算。这个装配是很有技巧的，因为一般情况下stiffness matrix 是一个很大的稀疏矩阵，０值往往可以省去以节省计算量。一个由10x10x10个8节点矩形单元组成的模型会有11x11x11个node, 如果是热力学问题变量是温度T, 每个节点上有一个自由度，组装后的的stiffness matrix会有(11x11x11)x(11x11x11)=1771561之大，随着单元数或变量的增加，计算是惊人的，这样

一个大的矩阵求解显然不能用常规的方法(gaussian elimination)，这就是各种这样求解稀疏矩阵算法存在的原因了，有效且快速求解线代方程组是一个好的solver 的标准。

1.4 后处理

其实对于最基本的有限元方法，求解得到的仅仅是variable 的值，如力学就是节点位移值，thermal problem就是温度值，流体就是位移速度加压力值，如果我们想知道应力或者应变怎么办呢？后处理系统里面个都会增加相应子程序来计算stress, strain, flux 等等。这也就是为何我们能看到各种各样的contour 的原因了，当然读者也可以自己加入计算各种量的子程序，如应变能密度什么的。关于什么是有限元就介绍到这里，仅仅是一些随笔和想法，具体的理论和推导需要自身实践与探索，本文行文仓促只是阐述自己对有限元的粗浅理解。有不对的地方还请指正。

下一章会谈及一些我曾经用过得软件。

Chapter 2 有限元软件的介绍与比较

有限元软件很多，有商业的，开源的，免费的，并行的，多物理场的，专业于某领域

【这里仅仅介绍一些笔者曾经用过的，遗漏的还请高手补充。】

2.1ANSYS

第一个学习的有限元软件，也是上世纪末本世纪初国内最流行的，为什么流行呢？应为ansys 的教程铺天盖地，所以大家都学习ansys 因为有教程上手快，那个时abaqus 的教程可谓是凤毛麟角，自然学习的人也就不多，当时组里导师都是用ansys ，自然我也就用了。如果一个有限元软件推广的好，那么他的教程一定要推广的好，fem 是一个专业性很强的软件，教程推广不够，销售自然不行。题外话，接下来说说对用他的感受。

当时学习ansys 是直奔apdl 去的，加上理论背景很弱所以学习过程异常艰苦。总得说来ansys 是一个很中规中具的软件，功能很强大，计算也很可靠，速度快，基本上固体力学的问题都能解决。作为一个工程软件还是很不错的。帮助文件很丰富，我也挑不出他什么缺点。只是感觉国内学习ansys 已经陷入了一个怪圈，用户喜欢就某一个应用技巧钻的很深，对于其基础的理论却忽略不视，这无不于大量ansys 教材的编写误导有关。是指算例，却不关心原理，悲哀。

2.2COMSOL （femlab ）

第一次用comsol 的时候它叫femlab2.0, 无奈的是只是作为一种兴趣学习的，因为时间精力问题最后也没有很深入，偶然机会１年后又开始认真的学习，逐渐体会到他的强大，我想说的是comsol 对于各种物理场的research 的确是一把利器，他可以任意的由用户输入ＰＤＥ, 计算结果并出contour, 这对于懂得有限元理论却又不想花大量的时间来编程的人来说，就是种bliss, 然而缺点就是速度太慢，这也是可以理解的，毕竟comsol 是将单元与pde 信息进行重组后计算，而不是很多商业有限元已经将Ｐde 固化在单元信息里了，但是其出色的weak form PDE模块是不可多得的有限元分析模块。还有其建模与后处理模块相当方便，比ansys 方便很多。至于计算的精确性笔者还抱有怀疑态度，细节就不提了。国内现在这个软件推的很好，大有赶超ansys 之势。值得一提的是comsol 的并行计算能力，采用的umfpack+mpich的构架，总体并行效率还是非常令人满意的。

2.3FEAP

这个其实是老大哥，虽然很多人不知道它。开源，不免费，但是很便宜，也有免费的学生版本，大家可以下载学习用。据说abaqus 和ansys 都是源于这套程序，abaqus 技术部里面的人都是feap 搞这个组里出来的，虽然是用fortran 编的，但是编程思路清晰，注解丰富，参考文档相近，实在是不可多得学习fem 的神器。不提供gui 的输入方式，命令的输入和apdl 和umat 方式很像，都是文本macro 方式。计算速度超快，带有后处理功能，提供强

劲的二次开发接口，可以自己编写子程序输出其他后处理软件如tecplot. 具有openmpi 并行能力，提供丰富的elastic, plastic ，hyperelastic 模块。缺点是之用于固体力学与热计算，当然可以自己开发其他单元，如电磁的。还有就是feap 只运行于linux 下，使用者需要知道如何make 程序。

2.4libmesh 和 deal II

之所以把这两个程序放在一起，是因为都出自于同一个大师。c++开源免费程序，非常的robust ，但是还有一些小bug 存在，可以应用于更广泛的领域如流体，强劲在于adaptive meshing, 和remesh, 从而可以解决很多常规有限元无法解决的问题，如singularity 问题。libmesh 虽然是后起之秀，但是发展异常迅猛，无奈只有那20多个例子作为教程，对于初学FEM 的朋友那就是灾难了，而且似乎固体不是libmesh 的主攻方向，如果要在libmesh 上开发一个壳单元，就必须对整个内部插值环境有很好的了解，只能说难度很大。需要有c++背景以及有限元理论知识，也是笔者遇到门槛最高的一个有限元软件，推荐给专业人事。同样是在Ｌinux 下运行的软件。

2.5 ALGOR_pipeline

这个软件在也挺有名，但是国内用的少，主要是固流耦合这快做得比较好，就我所知一些有名的飞机和流体机械厂都用他，我主要是用pipeline 这个插件，也许名字记得不对，就是用来计算整个管路系统的震动的，前处理中设定管路，就可以计算出各阶振型与频率，很方便，据说准确性挺好。其主模块用的不多，不做讨论了。

基本上笔者主要使用的就是这几种有限元软件，我想如果能精通上面任何一种软件，学习其他的软件都是一个很快的过程。如果你是博士生且有一个比较长得研究学习时间，推荐用feap 和libmesh, 或者是基于如PETSc/blas求解器这样的自编程序， 如果是硕士，推荐comsol ，本科毕业设计，推荐ansys. 当然每个人水平周围环境都不一样，不能一概而论，总之多学一点东西没有坏处，每个软件都有其深厚的背景。

Chapter 3 有限元的数值方法

这里先略过有限元的几何建模与网格划分部分，因为一来不是数值方法的主要部分，二来我对这块也不是很精通，所以直接从数值解法入手。这部分可以说是ch4与ch5的总体概览部分。也是fem 的核心。

3.1 单元离散化与jacobian

划分好网格后，就意味着单元编号以及节点都已确定下来了，其实这步在有限元分析的一开始就设定好了。拿平面单元为例，如果选用平面8节点矩形单元来计算热力学问题，那么每个单元有8个节点温度值，要知道每个节点的位置并不是规则均匀分布在实际有限单元上的，人们通常将节点的global 坐标转换到local 坐标上，以方便计算推导，之后再通过jacobian 转换到global 上，这点和连续介质力学的reference 转换是同一道理。但是不是jacobian 的建立是不是必须的呢？不是，如果所有的插值方程都是基于global 的，那么local 空间可以省去，jacobian 自然不需要了，这种做法不被推荐，应该编出来的程序可扩展性非常差，而且计算量较大，所以在大型通用有限元里面都是计算jacobian 的。

3.2 运动方程与各种矩阵

得到了单个单元的8节点test function 或 grediant of test function的积分值以后（积分的计算用gauss 法），就需要联系所有的单元，装配成为一个整体的矩阵，这个矩阵就是stiffness matrix, 如果是一个4单元简单正方形区域，那么装配好的stiffness matrix 就是一个21x21矩阵，以k 标记，除此以外，如果是瞬态问题，也会有质量矩阵存在，多半是一个对角矩阵，其值一般是test function的积分值，如果存在damping 那么还会存在damping matrix, 一个有限元系统一般只存在这3个矩阵，然后通过一个运动方程将其连立起来，即

M*u_tt+D*u_t+K*u=F,F是source 。这就是将pde 转化为弱解再转化为有限元方程的最后形式。这个矩阵绝对是一个稀疏矩阵，对于稀疏矩阵传统的gaussian elimination方法似乎就显得非常笨拙了，所以各种各样求解稀疏矩阵的求解器就出现了。

3.3 Ax=b求解.

有了 M*u_tt+D*u_t+K*u=F 方程，接下来要做得就是求解他，如果是一个2x2的矩阵，手工即可计算得到，实际应用中，往往都是上万阶的矩阵。也许有人会问了u_tt和u_t是怎么解得的？瞬态问题由于有了时间变量的加入，所有必须要有对应的时间积分求解器，二阶的有newmarks, HHT，energy conserved 方法，一阶的有crank nicolson, 向前向后euler 法等等，这点在求解器部分会详述，经过时间求解器的计算后，运动方程还可以化简为 K_tilde＊u=F的形式，也就是线代求解器需要解的最后方程，求解后，各节点的u 值得到。完毕。

3.4 多场耦合方法

如果有多个场存在怎么办呢？道理很简单，比如一个固体场一个温度场，两个pde 出来的运动方程是这样的 M1*u1_tt+D1*u1_t+K1*u1=F1和 M2*u2_t+K2*u2=F2,将两个场的运动方程线性进行叠加（线性耦合），得到 M1*u3_tt+(D1+M2)*u3_t+(K1+K2)*u3=F1+F2 ,再化简，得到 K_tilde＊u3=F3，使用求解器求解既得结果。这里只是简单的线性耦合，对于复杂物理现象的非线性耦合都是在这个基础之上进行变化。而且要注意的是，最后所得的K_tilde不一定是对称矩阵，也就意味着求解器必须要有解Unsymmetric matrix的能力。

3.5 边界条件加载

边界条件的加载，都是在所有单元矩阵装配完毕以后进行的，往往是variable 或是gradiant of variable的值被限定住了，对于低阶边界条件，如Dirichlet boundary condition, 常用的方法是增加一个惩罚量，这个惩罚量相当大>1e10，这样便使得u 被固定在人为设定的u0位置。对于natrual boundary condition, 也就是q_n的值如何确定，通常于变量的梯度值相关，如果q_n的表达式已知，那么只需要计算出q_n的精确值带入source 相即可，需要注意的是natural boundary condition要求比较精细的网格，否则会导致局部节点的计算失真。对于固体问题，q_n代表的是压力，具体边界上的力（或弯矩在板壳杆单元中）可以通过修改源相{F}来施加载荷。

Chapter 4 常用固体单元

记得自己刚学ansys 的时候就被自带的100多个单元模型搞的晕头转向，到底应该选择什么样的单元？这些单元有什么不同？这些问题一直困扰着我，其实把每一种单元都搞透是一件不太可能的事情，但有件事情可以做得就是对于几个大类的单元有个底层数值方法上的了解，这对于单元的选择与开发是至关重要的。这里仅以3d 单元作为例子。

有限元方法中以单个单元为基础，所有的单元都有相同的属性，这些单元组成了整个domain, 可以说了解了单元也就了解了整个模型，现代有限元软件都将pde 整合在了单元信息里面，还句话说，Pde 所推导出的弱解形式中非边界条件term 都体现在了单元中。

4.1 固体单元, 变量：位移u1,u2,u3

工程力学中最常用的单元，常用于连续介质的力学计算，一般分为small deformation 和 finite deformation 两个区域，记得ansys 里面有个大变形开关，一打开后计算变得惨不忍睹，所以选择small 还是finite 要看具体的问题, 此外对于不同的材料，如超弹，粘弹，弹塑材料都有不同的数学模型，这里选择的时候一定要慎重，不要想当然，最好要看看手册和理论，计算方法上常用的有displacement,mixed,enhanced strain方法，displacement 是最原始的，收敛效果不好，可以用于解决一般基础问题，推荐后面两种来解非常规材料。此外，对于同样的pde 模型，单个单元节点越多计算越精确，单元数目相同情况下，6面体单元比

4面体单元精度高。商业软件一般都考虑的很周全，如果是自编软件的话，就需要考虑很多问题了，如locking, buckling, convergence 等等，这些东西很有趣也很深奥，既需要深厚的理论功底又要有实际的编程能力，如果要做实际可用的大规模问题，对计算机cpu 的构架，cache 的大小，data layout 和编译器都需要很好的理解，才能编写出高质量的代码。所以编写一个small deformation 的固体单元对于科技发展的今天，已经是本科生的课堂设计实验课了。但对于大变形，多场耦合，粘弹性材料，多尺度，还是需要比较深厚的张量推导内力的，所以搞力学理论背景的要多了解了解计算机相关原理及建立高效编程习惯，搞计算机出生的要建立张量运算推导和物理现象的概念，那样就是有限元开发的有用人才，这句话我和广大有限元爱好者共勉。

4.2 热单元，变量：温度T .

是相对简单的一种单元，pde 本身也很简单，就是换热方程，节点自由度就是T , 由于温度T 没有方向性，所以T 只有1维量，计算量小。另外heat flux = gradient of T, 重点参看一下Fourier heat conduction equation.

4.3 壳单元，变量：u1 , u2 , u3 , θ1 , θ2 , （θ3）

有些具有曲面外壳的材料，其一个方向的变形要远远小于其他方向的。 也有一种大变形的壳单元，只含有5个变量, 少一个θ或是u, 但是有可能在计算的时候不收敛，所以在使用不同的shell 单元时，一定要多看看说明，遇到不收敛的情况也不用慌张，多从手册分析解决问题。壳单元很多，最著名的要属MITC 了，bathe 在84年开发的，影响至今还在，基本上目前所有的壳单元(除了degenerated solid method）都是基于MITC 的。壳单元（理论）可以说是近100年来固体力学工作者最令人神往的地方，因为起广泛的应用使得大家不得不对器感兴趣，小到人的眼球，大到屋顶，重要到导弹潜艇，到处都是壳啊。。。。壳太复杂了，以至于有很多人尽量避开他去研究板，要说目前最高深的板壳理论还是钱伟长大师的非线性板壳理论（个人理解），可惜在现在西方的文献里，大家都只提von karman nonlinear plate/shell theory, 钱老的研究可以说是提前的人类文明至少50年（还是个人理解），因为就目前来说nonlinear 板壳的应用还是凤毛麟角。将nonlinear shell/plate理论变成有限元单元的，目前笔者还没看到，等待某位大牛出现将其编出。

4.4 框架单元, 变量:u1,u2,u3,θ1,θ2,θ3

常用于结构计算，如弯曲，剪切变形。也就是材料力学里面各种梁的计算，这里pde 方程是关于u 的4阶grediant, 解的方法是将二阶gradiant of u 看作是Moment,3阶看作是shear stress ，这类单元通常是2节点单元，一头一尾相互连接。

索单元和板单元就不赘述了，可以参看相关资料，与框架单元大同小异。索单元甚至更简单，和热单元类似。还有一些薄膜单元点单元什么的应用很少，就不多说了。

看到论坛上很多人开口闭口二次开发，其实所谓二次开发很大程度上都集中于新单元的开发，如果你有新的pde ，要想计算实现它，就必须写出新的单元代码，从而实现计算。其他方面的二次开发无外乎一些后处理或是mesh 上面的新功能，而这些商用有限元基本成熟，所以再提二次开发之前，先想想现有的单元库里面有没有我需要的单元，如果没有再二次开发它，而这个过程是漫长而检苦的。

Chapter 6 有限元的未来

基本上有限元数值方法的最核心内容已经差不多说完了，对应不同的问题人们题出了很多很好的方法，但这些方法都是基于我之前所述的理论基础之上的。接下来谈谈我对有限元将来发展趋势的看法，或许能和打算或正在从事fem 的朋友有些共鸣。

6.1 并行计算

随着多核cpu 进入个人电脑市场，并行软件已经是大势所趋，那么并行fem 软件作为大型科学计算软件，并行趋势极为明朗，各大fem 公司分分研制推出并行版，但是并行版的计算准确性与效率还需要经受考验，由于并行机制的设定，每个cpu 返回的计算结果不同步，会导致latency ，矩阵的blocks 分解如何建立行至有效的ghost node/halos, 减少communication time, 对于各种并行构架的适应性，都是大型有限元并行化要解决的问题，不过当Nvidia 公司推出基于Fermi 构架的GPU 以后，科学计算界为之兴奋，但其是否能催生出有效的并行通用有限元程序还是一个挑战。而且目前个人电脑上并行计算的speedups 并不能提高很多，有2-3倍就已经很不错了。所以并行fem 仍需经历考验，但一定是大势所趋。

6.2 多尺度模型计算

高性能显微设备的诞生，人们对于微观尺度的物质越发感兴趣，fem 能否描述微观世界呢？纳米级材料，微流场，原子的diffusion,dislocation 等等，量子力学由于考虑的电子的作用，使得计算量过于庞大，分子动力学方法虽然已获得了一定成功，但是终归不如fem 来的有效和方便。描述不同尺度下的材料，俨然以成为众多学者们研究的主要方向，在坚凯围棋的第6版有限元书中增加了此方面内容，也有不少学者结合md 和mc 的方法，来建立多尺度仿真系统，都有一些进展。

动网格，边界元，无网格等等都是fem 的发展或联系方向，本人不是很了解，不赘述，欢迎补充指正。

推荐书籍：(建议按顺序阅读)

1. 《Introduction to the finite element method，3rd edition》，by Reddy

2. 《The finite element method for engineers， 4th edition》， by Huebner

3. 《Computational inelasticity》， by Simo

4. 《Introduction to the nonlinear finite element》， by Reddy

5. 《The Finite Element Method, 6th edition》， by O.C. Zienkiewicz

范文四：有限元分析轴承座

ANSYS及其应用考核大作业

学号：109054339 姓名：高银川

按图1尺寸建立轴承座的实体模型，孔到两边线距离均为15mm（因结构和载荷的对称性，只建立了一半模型）尽量采用六面体网格划分轴承座的单元，轴承座在下半孔面上作用正弦径向压力载荷P1，P式中P0=1=P0sinθ，2FrFr为πrb

b为轴承孔厚度）径向合力，，轴向均布压力载荷P2，P2=0.4P0。r为轴承孔半径，

径向合力Fr取值：（学号最后2位数字）?100N，小于1000N时加上1000N。

要求：

（1） 为何采用Ansys计算；

（2） 建模过程。简单叙述；

（3） 网格划分。简单叙述，列出分割后的实体图和网格图，并说明单元和节点

数；

（4） 加载过程。详细叙述加载部位和加载过程；

（5） 计算结果。列出米塞斯等效应力、第一主应力和变形图，并进行强度分析；

（6） 学习体会；

一.采用Ansys计算的原因

随着现代工业的不断发展，人们对产品质量的要求逐步提高，传统的产品设计技术目前已远远不能满足产品的功能和市场的要求。而现代设计技术是以电子计算机为手段，以网络为基础，建立在现在管理之上，运用工程设计的新理论、新方法，实现计算机结果最优化，设计过程高效化的设计技术，它是传统设计技术的延伸和发展，它使传统设计技术发生了质的飞跃。

有限元法已成为非常普及的数字化分析方法，国际上已发布了众多的有限元分析软件，因此，甚至可以说只要你能够进行工程设计和画图，就可以进行有限元分析。因此采用Ansys计算，很方便，很实用。

二. 建模过程。

1. 创建基座模型

（1）生成长方体

（2）平移并旋转工作平面

（3）创建圆柱体

2. 创建支撑部分3. 偏移工作平面到轴瓦支架的前表面

4．创建轴瓦支架的上部

5. 在轴承孔的位置创建圆柱体为布尔操作生成轴孔做准备

6．从轴瓦支架“减”去圆柱体形成轴孔.

7. 创建一个关键点

8.创建一个三角面并形成三棱柱9.关闭 working plane display.

10．沿坐标平面镜射生成整个模型.

11.粘接所有体.

三. 网格划分

网格划分是有限元分析的关键环节，有时候好的网格划分不仅可以节约计算时间，而且往往是求解成功的钥匙。划分网格一般包括以下三个步骤：定义单元属性（TYPE、REAL、MAT）,制定网格的控制参数，生成网格。

1．单元类型选择

由于对轴承座是进行三维实体的结构分析，故选择10节点的Solid 95单元，该单元类型能够用于不规则形状，而且不会再精度上有任何损失。它由10个节点定义，每个节点3个自由度：x,y,z方向。

2．制定材料属性

指定线弹性材料的弹性模量EX=3e7，泊松比PRXY=0.3。

3．划分网格

采用智能网格划分方式。

Main Menu: Preprocessor →Meshing →Mesh Tool→将智能网格划分器(Smart Sizing)设定为“on”,并选择网格精度SIZE=2。得到如下图所示，得到的轴承座有限元模型的总单元数21630个，节点总数为34519个。

四．轴承座加载过程

1.根据已知条件有：

轴承座所受到的径向合力Fr =39*100=3900N

轴承孔半径r=17mm

轴承孔厚度b=12mm

由于我们只截取一般模型进行结构分析，故半个轴承孔的径向均布载荷

2FP0=r=2*3900/（0.017*0.012*π）=12176845Pa,而实际情况轴承孔所受并非πrb

均布载荷，轴承孔最下部分受载荷最大，左右两腰部分所受载荷最下几乎为零，即轴承孔面上所受压力载荷为非线性的。故，我们将它近似为P1=0.75

P0=9132634Pa。轴向均布压力载荷P2=0.4 P0=4870738Pa。

2.轴承座的约束情况

根据实际结构和安装情况，轴承座是靠底座的四个螺栓孔与安装基座相连接来实现固定的，此处为刚性约束，可以在其孔面上施加限制X,Y方向的对称约束，而在地面边线上施加Y方向位移为零的约束。这样与实际情况基本相符。

3.具体模型加载步骤如下

(1)约束四个安装孔:Main Menu: Solution→Define Load→Apply→Structural→Displacement →Symmetry B.C. →On Areas拾取四个安装孔的8个柱面→ OK

(2)在整个基座的底部施加位移约束

Main Menu: Solution→Define Load→Apply→Structural→Displacement →on Lines +

拾取基座底部的所有边线，选择 UY 作为约束自由度→OK。

(3) 在导孔端面上施加推力载荷（面载荷）

Main Menu: Solution→Define Load→Apply→Structural→Pressure→On Areas→拾取导孔counterbore上宽度为 “3”的所有面→OK→输入面上的压力值

28959276→Apply(4)在轴承孔的下半部分施加径向压力载荷

Main Menu: Solution→Define Load→Apply→Structural→Pressure→On Areas→拾取宽度为17的所有柱面→OK→输入压力值108597285→OK

最终得到的模型加载如下

图

五．计算结果分析

1. Main Menu: Solution→Solve→Current LS。审核状态文件中的信息，确认后，单击OK，程序开始进行计算。

2.米赛斯等效应力图

3.第一主应力图

4.

变形图

5.强度分析

将结果进行扩展，得到整个模型的结果显示图。在底座边线上施加UY约束，可得到轴承座的第一主应力，轴承座的第一主应力基本都是压应力，即σ10。

从第一主应力图可看出轴承座大部分处于压应力状态，应力值在

0.77MPa-17MPa之间，而在两块腹板与套筒托架相连处有应力集中，其值为113MPa。

六.学习体会

通过将近一段时间对ansys的学习，让我对ansys软件有了初步的了解。首先，有限元法作为数值计算方法在工程分析领域应用较为广泛的一种计算方法，自20世纪中叶以来，以其独有的计算优势得到了广泛的发展和应用，已出现了不同的有限元算法。ansys软件在工程分析应用中得到了较为广泛的应用。

我们作为机械专业的学生，了解和初步学会ansys软件的使用对我们机械零件的设计有很大帮助，学会ansys软件是很重要的一件事。要学好ansys，就必须有扎实的力学理论基础，对ansys分析结果有比较准确的预测和判断；同时需要不断摸索出软件使用经验，不断总结方法以提高解决问题的效率。在完成作业的同时，也锻炼了我们使用ansys的能力，我们也应该继续学习，能更熟练的使用ansys软件。

范文五：变桨轴承有限元分析

变桨轴承有限元分析方法

风力发电机组的变桨轴承不仅滚道要满足静强度和疲劳寿命要求, 套圈的静强度以及疲 劳寿命也要满足要求, 特别是近年来机组的功率逐渐增大, 机组套圈的应力和变形量已经不 能够被忽略。轮毂旋转,变桨轴承处在往复交变的载荷中,套圈的疲劳断裂时有发生,套圈 的疲劳强度必须予以正确校核。 轴承的变形量也是一个重要的考核指标, 套圈变形过大会带 来滚子接触角增大, 滚道边缘压溃的风险, 而且还会带来保持架不正常受载, 破坏保持架的 危害。同时变形量过大会影响轴承密封的效果。

变桨轴承的有限元分析可以有效解决上述问题, 分析中考虑所有临近部件的影响, 在模 型中予以正确的建立,模型中包含叶根、轮毂、螺栓等相关部件。合理考虑各个部件之间的 接触关系,以及螺栓预紧力的效果。

分析中考虑的有限元模型如下图所示:

有限元模型

局部视图

滚子与滚道之间的接触非线性必须被正确考虑, 轴承在受载的过程中, 接触刚度不断增 大,接触角发生改变。

接触刚度如下图所示:

通过有限元仿真分析,可以详细计算轴承内部接触情况,比如接触载荷、接触角、轴承 的相对变形量和应力水平。如下图所示:

风力发电机组的偏航变桨轴承不仅滚道要满足静强度和疲劳寿命要求, 套圈的静强度以 及疲劳寿命也要满足要求,还要考虑变形量以及边缘接触等。

近十年风机设计经验, 国内领先的专业技术水平, 可以分析风力发电机各个部件有限元 静强度和疲劳寿命分析; 偏航变桨轴承的有限元分析, 包含套圈静强度和疲劳寿命计算, 套 圈变形量计算,滚道安全系数,滚子接触角边缘接触计算等。 Kind_new@126.com

下面文章为初期轴承计算的数值求解方法。

风力机组偏航变桨轴承载荷分布分析及数值求解

摘要:大型风力发电机组偏航和变桨轴承通常采用四点接触球轴承, 本文对四点接触球轴承 在外载下轴承内部载荷分布进行了详细分析, 列出了外载和变形的平衡方程, 给出了数值求 解的步骤,并用 MATLAB 编写了求解程序。最后对某型风力发电机组的偏航变桨轴承进行 强度校核,为轴承的选型和设计提供依据。

关键词:风力机; 偏航; 变桨; 轴承; 载荷分布; 数值求解

The Load Distribution Analysis and Numerical Solution of Wind Turbine

Yaw and Pitch Bearings

Abstract : Large wind turbine yaw and pitch bearings usually use four-point contact ball bearings, this paper analyzed the internal load distribution of four-point contact ball bearings under

external load, gave out the balance equation between the external loads and the deformation, and wrote the programs by MATLAB. At last, it showed strength check for some wind turbine yaw bearing, provided the basis for bearing selection and design.

接触载荷

接触角

相对变形量

套圈应力

局部应力

套圈变形

Key word: wind turbine; yaw ; pitch ; bearing ; load distribution; numerical solution

0 引言

轴承是风力发电机组的关键部件, 风力发电机组中的轴承包括偏航轴承、 变桨轴承和传 动系统轴承等。 变桨轴承安装于叶片和轮毂之间, 保证不同风速条件下风力发电机组正常工 作, 保证叶片可以相对其轴线旋转以达到变桨的目的。 偏航轴承位于机架和塔顶之间, 当风 向改变时, 保证机架能够正对风向, 捕获更多的风能。 偏航和变桨轴承目前大量采用四点接 触球轴承, 根据风力发电机组功率大小差异, 偏航和变桨轴承中单排、 双排的四点接触球轴 承目前均有采用。 这两种轴承工作时一般为低速的回转运动或间歇摆动, 主要失效形式是滚 道与钢球失效、连接螺栓或轮齿失效。因此对该类轴承的强度校核至关重要。

四点接触球轴承的载荷分布状态决定了轴承内外圈之间的相对位移、 轴承的刚性以及受 载最大钢球位置与最大载荷值,因而轴承的载荷分布分析一直是关注的重点。文献 [1]用一 种近似的方法求解钢球的最大接触载荷,计算结果与真实值会产生较大的误差;文献 [2]也 提出了一种简单的计算方法, 进行了很多理想化的假设, 并且很多参数需要查表获取, 计算 精度也难以保证。文献 [3]简单列出了载荷和偏移量的平衡方程,没有给出详尽的数值求解 方法。 本文基于 Hertz 弹性接触理论对风力发电机组偏航变桨轴承进行了载荷分布的精确分 析;并给出了数值求解的详细步骤;用 MATLAB 编译了求解程序。最后对某 -MW 风力发电 机组的偏航轴承进行分析计算。

1轴承载荷分布分析

1.1载荷位移关系

偏航和变桨轴承一般为四点接触球轴承,对于四点接触球轴承,钢球 -滚道接触的载荷 位移关系为:

1.5() Q Kn n δ= (1)

其中:Q 为钢球和滚道之间的接触载荷, n δ为被滚动体隔开的两个滚道之间的法向趋 近量,等于钢球与每个滚道的趋近量之和。

Kn 为两个滚道间的载荷位移系数,可以写成如下形式:

3/2

2/32/31(1/) (1/) Kn Ki Ke ??= ?

+?? (2)

其中:Ki 为滚道和内圈的载荷位移系数; Ke 为滚道和外圈的载荷位移系数。

1.2 平衡方程的建立

在分析时假定轴承外圈固定,内圈在径向载荷 r F 、轴向载荷 a F 和倾覆力矩 M 的联合 作用下的径向位移、轴向位移和角位移分别为:r δ、 a δ和 θ,如图 2.1所示,本文计算时 考虑轴承游隙为 0。四点接触球转盘轴承的滚道是由两段圆弧组成的;受载荷作用的滚动体 与内圈滚道的一条圆弧和相对方向上的外圈滚道上的一条圆弧产生接触, 称这两个接触点为 一个接触对, 四点接触球轴承有别于一般轴承, 每个钢球和内外圈之间具有两个接触对, 如 图 2.1所示。同时考虑接触对 1和接触对 2建立轴承的静力学模型。

图 2.1轴承受载示意图

当角位移很小时, 角位移产生的径向位移可以忽略不计, 只考虑由其产生的轴向位移分 量。设钢球总数为 z ,第 i 个钢球的方位角为 ψ,对于方位角为 ψ的钢球,根据轴承内圈受 载产生位移后的几何关系得出在接触对 1处的沟曲率中心距 1S 和工作接触角 ψα1的表达式:

1S =

1sin 0.5cos sin A a D ψαδθψ

α++=

(4)

1cos ψα=

(5)

其中 (1) w A fi fe D =+-, i f 为内圈沟曲率半径系数; e f 为外圈沟曲率半径系数; w

D 为钢球直径, wp D 为钢球回转直径, 0α为原始接触角。

则在接触对 1处的趋近量为:

11n S A δ=- (6)

接触对 1处接触载荷 1Q ψ为:

1.5

11() 0

n Kn Q ψδ?=?

? 1100n n δδ>≤ (7) 在接触对 2处的沟曲率中心距 2S 和工作接触角 2ψα的表达式:

2S = (8)

2sin 0.5cos sin A a D ψαδθψ

α--=

(9)

2cos ψα=

则在接触对 2处的趋近量为:

22n S A δ=- (11)

接触对 2处接触载荷 2Q ψ为:

1.5

22() 0

n Kn Q ψ

δ?=?

? 2200n n δδ>≤ (12) 根据平衡条件列出以下方程组:

112211

112211112211cos cos cos cos sin sin 1

(sin cos sin cos )

2Z Z

r i i Z Z

a i i Z Z wp i i F Q Q F Q Q M D Q Q ψψψψψψψψ

ψψψψαψαψ

αααψαψ======?

=+??

?

=-???=-??

∑∑∑∑∑∑ (13)

以上平衡方程组是一个非线性方程组, 当轴承的校核参数给定时, 对应一组外部载荷 r F 、

a F 和 M 可以通过牛顿迭代法求解得到未知变量 r δ、 a δ和 θ的值。并可以进一步求解出钢

球所受到的最大载荷 max Q ,最后求解出滚动体与滚道的最大接触应力 max σ。

max max 32Q ab

σπ=

(14)

其中 a 和 b 分别为 hertz 接触椭圆的长半轴和短半轴。算出最大接触应力就可以对轴承 在外载下进行强度校核。

2方程组的数值求解方法

式 (13)为非线性方程组 , 必需用数值方法来求解,这里采用牛顿迭代法求解非线性方程 组。

把式 (13)写成如下形式:

1123112211

21231122113123112211(, , ) cos cos cos cos 0

(, , ) sin sin 0

1

(, , ) (sin cos sin cos ) 0

2Z Z

r i i Z Z

a i i Z Z wp i i f x x x Q Q F f x x x Q Q F f x x x D Q Q M ψψψψψψψψψψψψαψαψαααψαψ======?

=+-=??

?

=--=???=--=??

∑∑∑∑∑∑ (15)

321, , x x x 即 r δ、 a δ和 θ三个未知量。

牛顿迭代过程如下:

) () () (1) () () 1(k k k k x f x J x x -+-= (16)

其中:) (x J 为 ) (x f 的雅克比矩阵, () f x 如下:

??

??? ??=) , , () , , () , , () (321332123211x x x f x x x f x x x f x f (17)

) (x J 如下:

??????

??

??

????????????????????=332132321313213332122321213

212332112321113211) , , () , , () , , () , , () , , () , , () , , () , , () , , () (x x x x f x x x x f x x x x f x x x x f x x x x f x x x x f x x x x f x x x x f x x x x f x J (18)

在求解 ) (x J 中,求解偏导数有一定难度,此处用差商代替微商, h ?为一个小量,方 法如下:

h x x x f x x h x f x x x x f ?-?+=??)

, , () , , () , , (3211321113211

h

x x x f x h x x f x x x x f ?-?+=??)

, , () , , () , , (3211321123211 (19)

… …

通过以上分析在 MATLAB 中编译求解方程组的程序,其中 ) (x f 和 ) (x J 编译成两个 m 函 数文件, 主程序中引用这两个 m 文件。 其迭代求解过程为:先给 x 赋初值再求解 (1)

k x +的值;

求出 (1)

k x

+和 ()

k x

的差值与误差控制小量比较;若大于误差控制小量,继续迭代求解,否则

结束求解。 该迭代求解方法的收敛性与初值相关, 若计算不收敛, 则需要调整初值再进行计

算。

通过迭代求出外载下轴承的 r δ、 a δ和 θ三个分量,进而可以求解钢球与滚道的接触载 荷以及接触应力,对轴承在外载下进行强度校核。

3算列

这里对某 2MW 风力发电机组的偏航轴承进行强度校核 , 该偏航轴承为单排四点接触球 轴承,轴承的钢球回转直径为 2763.5mm ,钢球个数为 186,钢球直径为 40mm ,这里仅列 出了部分极限载荷及计算结果,极限载荷如下表所示:

表 1 偏航轴承部分极限载荷工况

工况编号

r F (kN)

a F (kN)

M

(kNm)

1 152.4 1150.3 2928.2 2 191.1 1517.8 2136.8 3 151.3 1553.5 4350.5 4 148.2 1267.7 7197.8 5 74.8 1666.2 0.19 6

182.6

1296.2

2574.5

计算结果为:

表 2 偏航轴承计算结果

工况

最大接触载荷

(kN)

最大接触应力

(Mpa) 安全系数

1 35.7 2739.0 3.6 2 30.8 2607.4 4.2 3 51.6 3096.8 2.5 4 81.9 3612.4 1.6 5 13.1 1960.9 9.8 6

33.4

2678.8

3.9 通过表 2可以看出这些工况下安全系数大于 1.1,轴承强度符合要求。

4结论

风力发电机组的偏航和变桨轴承有着特殊的工况条件和设计要求, 准确的受力分析依靠 手工计算无法完成, 本文对四点接触球轴承的载荷分布进行了精确的分析, 列出了轴承外载 下载荷与偏移量的非线性方程组, 并给出了数值求解的详细步骤以及用 MATLAB 编译了求解 程序。 本文提供的方法可以准确的求解轴承的内部载荷分布, 并对轴承进行强度校核, 可为 风力发电机组偏航和变桨轴承的选型和设计提供依据。

参考文献:

[1] 徐立民,陈 卓 . 回转支撑 [M]. 合肥 安徽科学技术出版社, 1988 [2] 哈里斯等著,罗继伟等译 . 滚动轴承分析 [M]. 北京 机械工业出版社 2009 [3] 陈龙,赵联春,夏新涛等 变桨轴承载荷分布分析 [J] 轴承 2010(1) :1-4 [4] 罗继伟 罗天宇 滚动轴承分析计算与应用 [M] 北京机械工业出版社 2010

近十年风机设计经验, 国内领先的专业技术水平, 可以分析风力发电机各个部件有限元 静强度和疲劳寿命分析; 偏航变桨轴承的有限元分析, 包含套圈静强度和疲劳寿命计算, 套 圈变形量计算,滚道安全系数,滚子接触角边缘接触计算等。 Kind_new@126.com

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