似曾相识燕归来20795590
范文一：李雅普诺夫函数
李雅普诺夫函数（Lyapunov function）是用来证明一动力系统或自治微分方程稳定性的函数。其名称来自俄罗斯数学家亚历山大·李雅普诺夫（Aleksandr Mikhailovich Lyapunov）。李雅普诺夫函数在稳定性理论及控制理论中相当重要。
若一函数可能可以证明系统在某平衡点的稳定性，此函数称为李雅普诺夫候选函数（Lyapunov-candidate-function）。不过目前还找不到一般性的方式可建构（或找到）一个系统的李雅普诺夫候选函数，而找不到李雅普诺夫函数也不代表此系统不稳定。在动态系统中，有时会利用守恒律来建构李雅普诺夫候选函数。
针对自治系统的李雅普诺夫定理，直接使用李雅普诺夫候选函数的特性。在寻找一个系统平衡点附近的稳定性时，此定理是很有效的工具。不过此定理只是一个证明平衡点稳定性的充分条件，不是必要条件。而寻找李雅普诺夫函数也需要碰运气，通常会用试误法（trial and error）来寻找李雅普诺夫函数。
目录
[隐藏]
1 李雅普诺夫候选函数的定义
2 系统平衡点的转换
3 自治系统的基本李雅普诺夫定理3.1 稳定平衡点
3.2 局部渐近稳定平衡点
3.3 全域渐近稳定平衡点
4 参见
5 参考资料
6 外部链接
李雅普诺夫候选函数的定义[编辑]
令
为标量函数。
若要
为李雅普诺夫候选函数，函数
需为局部正定函数，亦即
其中
是
的邻域。
系统平衡点的转换[编辑]
令
为一个自治（autonomous）的动态系统，其平衡点为
:
可利用
的坐标转换，使得
在新的系统
中，其平衡点为原点。
若系统的平衡点不是原点，可用上述的方式，转换为另一个平衡点为原点的系统，因此以下的说明中，均假设原点是系统的平衡点。
自治系统的基本李雅普诺夫定理[编辑]
主条目：李雅普诺夫稳定性
令
为以下自治系统的平衡点
且令
为李雅普诺夫候选函数
的时间导数。
稳定平衡点[编辑]
若在平衡点的邻域
，李雅普诺夫候选函数
为正定，且其时间导数半负定：
则此平衡点为一稳定的平衡点。
局部渐近稳定平衡点[编辑]
若在平衡点的邻域
，李雅普诺夫候选函数
为正定，且其时间导数为负定：
则此平衡点为一局部渐近稳定的平衡点。
全域渐近稳定平衡点[编辑]
若李雅普诺夫候选函数
为全域正定，其时间导数为全域负定：
且
满足以下的条件（称为“径向无界” radially unbounded）：
.
则此平衡点为一全域渐近稳定的平衡点。
参见[编辑]
常微分方程
控制李雅普诺夫函数
参考资料[编辑]
MathWorld上 Lyapunov Function 的资料，作者：埃里克·韦斯坦因。
Khalil, H.K. Nonlinear systems. Prentice Hall Upper Saddle River, NJ. 1996.
本条目含有来自PlanetMath《Liapunov function》的材料，版权遵守乃遵守知识共享协议：署名-相同方式共享协议。
李雅普诺夫稳定性的理论可延伸到许多领域，尤其是随机微扰的非线性系统: S. P. Meyn and R. L. Tweedie. Markov Chains and Stochastic Stability. London: Springer-Verlag, 1993. ISBN 0-387-19832-6. online: http://decision.csl.uiuc.edu/~meyn/pages/book.html . Second edition to appear, Cambridge University Press, 2009.
外部链接[编辑]
Example 利用李雅普诺夫函数判别常微分方程平衡点稳定性的一些例子
Some Lyaponov diagrams
范文二：李雅普诺夫
收藏 查看我的收藏 有用+1 李雅普诺夫编辑 李雅普诺夫是俄国著名的数学家、力学家。1857年6月6日生于雅罗斯拉夫尔，1918年11月3日卒于敖德萨。19世纪以前，俄国的数学是相当落后的，直到切比雪夫创立了圣彼得堡数学学派以后，才使得俄罗斯数学摆脱了落后境地而开始走向世界前列。李雅普诺夫与师兄马尔科夫是切比雪夫的两个最著名最有才华的学生，他们都是彼得堡数学学派的重要成员。1876年，李雅普诺夫考入圣彼得堡大学数学系，1890年取得博士学位，1893年成为教授，1901年被选为科学院院士。李雅普诺夫在常微分方程定性理论和天体力学方面的工作使他赢得了国际声誉。在概率论方面，李雅普诺夫引入了特征函数这一有力工具，从一个全新的角度去考察中心极限定理，在相当宽的条件下证明了中心极限定理，特征函数的引入实现了数学方法上的革命。中文名李雅普诺夫外文名Aleksandr Mikhailovich Lyapunov国 籍俄国出生地雅罗斯拉夫尔出生日期1857年6月6日逝世日期1918年11月3日职 业数学家毕业院校圣彼得堡大学主要成就引入特征函数代表作品《关于狄利克雷问题的某些研究》 目录
1人物简介
2学术成就
3姓氏命名的数学概念
1人物简介编辑李雅普诺夫(Aleksandr Mikhailovich Lyapunov,1857-1918)俄国数学家、力学家。1857年6月6日生于雅罗斯拉夫尔;1918年11月3日卒于敖德萨。1876年中学毕业时，因成绩优秀获金质奖章，同年考入圣彼得堡大学物理数学系学习，被著名数学家切比雪夫渊博的学识深深吸引，从而转到切比雪夫所在的数学系学习，在切比雪夫、佐洛塔廖夫的影响下，他在大学四年级时就写出具有创见的论文，而获得金质奖章。1880年大学毕业后留校工作，1892年获博士学位并成为教授。1893年起任哈尔科夫大学教授，1900年初当选为圣彼得堡科学院通讯院士，1901年又当选为院士，兼任应用数学学部主席。1909年当选为意大利国立琴科学院外籍院士，1916年当选为巴黎科学院外籍院士。2学术成就编辑切比雪夫创立的彼得堡学派的杰出代表 李雅普诺夫是切比雪夫创立的圣彼得堡学派的杰出代表，他的建树涉及到多个领域，尤以概率论、微分方程和数学物理最有名. 创立了特征函数法 在概率论中，他创立了特征函数法，实现了概率论极限定理在研究方法上的突破，这个方法的特点在于能保留随机变量分布规律的全部信息，提供了特征函数的收敛性质与分布函数的收敛性质之间的一一对应关系，给出了比切比雪夫、马尔可夫关于中心极限定理更简单而严密的证明，他还利用这一定理第一次科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布.他对概率论的建树主要发表在其1900年的《概率论的一个定理》和1901年的《概率论极限定理的新形式》论文中.他的方法已在现代概率论中得到广泛的应用. 常微分方程运动稳定性理论的创始人 李雅普诺夫是常微分方程运动稳定性理论的创始人，他1884年完成了《论一个旋转液体平衡之椭球面形状的稳定性》一文，1888年，他发表了《关于具有有限个自由度的力学系统的稳定性》.特别是他1892年的博士论文《运动稳定性的一般问题》是经典名著，在其中开创性地提出求解非线性常微分方程的李雅普诺夫函数法，亦称直接法，它把解的稳定性与否同具有特殊性质的函数(现称为李雅普诺夫函数)的存在性联系起来，这个函数沿着轨线关于时间的导数具有某些确定的性质.正是由于这个方法的明显的几何直观和简明的分析技巧，所以易于为实际和理论工作者所掌握，从而在科学技术的许多领域中得到广泛地应用和发展，并奠定了常微分方程稳定性理论的基础，也是常微分方程定性理论的重要手段. 为数学物理方法的发展开辟了新的途径 李雅普诺夫对位势理论的研究为数学物理方法的发展开辟了新的途径.他1898年发表的论文《关于狄利克雷问题的某些研究》也是一篇重要论文.该文首次对单层位势、双层位势的若干基本性质进行了严谨的探讨，指出了给
定范围内的本问题有解的若干充要条件.他的研究成果奠定了解边值问题经典方法的基础.3姓氏命名的数学概念编辑在数学中以他的姓氏命名的有:李雅普诺夫第一方法，李雅普诺夫第二方法，李雅普诺夫定理，李雅普诺夫函数，李雅普诺夫变换，李雅普诺夫曲线，李雅普诺夫曲面，李雅普诺夫球面，李雅普诺夫数，李雅普诺夫随机函数，李雅普诺夫随机算子，李雅普诺夫特征指数，李雅普诺夫维数，李雅普诺夫系统，李雅普诺夫分式，李雅普诺夫稳定性等等，而其中以他的姓氏命名的定理、条件有多种.结巴口吃矫正
范文三：李雅普诺夫函数
1 李雅普诺夫稳定性
系统的李雅普诺夫稳定性指的是系统在平衡状态下受到扰动时，经过“足够长”的时间以后，系统恢复到平衡状态的能力。因此，系统的稳定性是相对系统的平衡状态而言的。
自治系统的静止状态就是系统的平衡状态。无外部输入作用时的系统称为自治系统。
，，x,0设系统状态方程为，若对所有t，状态x满足，则称该状态x,f(x,t)
xf(x,t),0x为平衡状态，记为。故有下式成立。由此式在状态空间中所确定ee
的点，称为平衡点。
，，x,Axx线性定常系统的平衡点:将方程化成，其平衡状态应满x,f(x,t)e
Ax,0足代数方程。解此方程，当A是非奇异时，则系统存在惟一的一个平衡x,0点。当A是奇异时，则系统的平衡点可能不止一个。 e
如果A的行列式值为0，则A为奇异矩阵;行列式值不为0，则A为非奇异矩阵。换言之，能求逆的矩阵为非奇异矩阵。
大范围渐近稳定性的理解: 系统不管在什么样的初始状态下，经过足够长的时间总能回到平衡点附近且不断的向平衡点靠拢，则系统就是大范围渐近稳定。
对于线性系统，由于其满足叠加原理，所以系统若是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳定的。在此验证了线性系统稳定性与初始条件大小无关的特性。
对于线性系统，从不稳定平衡状态出发的轨迹，理论上一定趋向于无穷远。 2. 李雅普诺夫稳定性理论
李雅普诺夫第一法又称间接法。它的基本思路是通过系统状态方程的解来判别系统的稳定性。对于线性定常系统，只需解出特征方程的根即可作出稳定性判断。对于非线性不很严重的系统，则可通过线性化处理，取其一次近似得到线性化方程，然后再根据其特征根来判断系统的稳定性。
，x,Ax,线性定常系统，渐近稳定的充要条件是系统矩阵A的特征值均具
，，Re,,0,i,1,2,？n有负实部，即 i
李雅普诺夫第二法又称直接法。运用此法可以在不求出状态方程解的条件下，直接确定系统的稳定性。 之间要用到二次型函数。
李氏第二法是从能量观点出发得来的，它的基本思想是建立在古典力学振动系统中一个直观的物理事实上。如果系统的总能量(含动能和势能)随时间按增长而连读的衰减，直到平衡状态为止，那么振动系统是稳定的。
李氏第二法是建立在更为普遍的情况上的，即:如果系统由一个渐近稳定的平衡状态，那么当它运动到平衡状态的临域内时，系统积蓄的能量随时间的增长而衰减，直到平衡状态处达到最小值。
，定理:设系统的状态方程为，其平衡状态为。如果存在x,f(x,t)f(0,t),0
,一个具有连续的一阶偏导数的标量函数，在围绕状态空间原点的一个域v(x,t)
,，内，使得对于非零状态x(t),,和所有t,t,,，满足条件:?是正定且v(x,t)00
，,有界，?是负定且有界，则系统原点的平衡状态在域内是一致渐近稳定v(x,t)
的。
如果对状态空间中所有非零初始状态x(t)满足上述条件，且当时，x,,0
有，则在原点处的平衡状态实在大范围一致渐近稳定的。 v(x,t),,
标量函数称之为李雅普诺夫函数。此函数的形式并不是惟一的，其中v(x,t)
Tv(x),xAx最简单的形式是二次型函数。二次型的形式一定适合线性系统。对于非线性系统来说不一定都是这种简单形式。 v(x)
，定理:设系统的状态方程为，其平衡状态为。如果存在x,f(x,t)f(0,t),0
,一个具有连续的一阶偏导数的标量函数，在围绕状态空间原点的一个域v(x,t)
,，x(t),,t,t,,内，使得对于非零状态和所有，满足条件:?是正定且v(x,t)00
，，,，x(t),,t,t,,有界，?是负半定且有界，?对任意和所有，在v(x,t)v(x,t)00
,x,0时不恒等于零，则系统原点的平衡状态在域内是一致渐近稳定的。
x(t)如果对状态空间中所有非零初始状态满足上述条件，且当时，x,,0
有，则在原点处的平衡状态实在大范围一致渐近稳定的。 v(x,t),,
，x,Axx,0定理:线性定常连续自治系统 在平衡状态处，大范围渐近稳e
定的充要条件是:对任给的一个正定实对称矩阵Q，存在一个正定的对称矩阵P，
TTAP，PA,,Qv(x),xPx且满足矩阵方程。而标量函数是这个系统的一个二次
形式的李雅普诺夫函数。
T(1)如果任取一个正定矩阵Q，则满足矩阵方程AP，PA,,Q的实对称矩阵P是惟一的，若P是正定的，系统在平衡状态x,0是渐近稳定的。P的正定e
性是一个充要条件。
T，(2)如果v(x),x(,Q)x沿任意一条轨迹不恒等于零，则Q可取正半定，结论不变。
(3)为计算方便，在选用正定实对称矩阵Q时，常取，于是矩阵PQ,I
T可按下式确定 然后检验P是不是正定的。 AP，PA,,I
范文四：李雅普诺夫判据
一、背景介绍
从经典控制理论可知，线性系统的稳定性只决定于系统的结构和参数而与系统的初始条件及外界扰动的大小无关。但非线性系统的稳定性则还与初始条件及外界扰动的大小有关。因此在经典控制理论中没有给出稳定性的一般定义。李雅普诺夫第二法是一种普遍适用于线性系统、非线性系统及时变系统稳定性分析的方法。李雅普诺夫给出了对任何系统都普遍适用的稳定性的一般定义。
李雅普诺夫第二方法可用于任意阶的系统，运用这一方法可以不必求解系统状态方程而直接判定稳定性。对非线性系统和时变系统，状态方程的求解常常是很困难的，因此李雅普诺夫第二方法就显示出很大的优越性。它的基本思路不是通过求解系统的运动方程，而是通过借助与一个李雅普诺夫函数来直接对系统平衡状态的稳定性做出判断。它是从能量观点进行稳定性分析的。如果一个系统被激励后，其储存的能量随着时间的推移逐渐衰落，到达平衡状态时，能量将达最小值，那么，这个平衡状态是渐进稳定的。
但是，由于系统的复杂性和多样性，往往不能直观地找到一个能量函数来描
V(x)述系统的能量关系，于是李雅普诺夫定义一个正定的标量函数，作为虚构
V(x),d(x)/dt的广义能量函数，然后，根据的符号特征来判别系统的稳定性。
V(x)V(x)对于一个给定系统，如果能找到一个正定的标量函数，而是负定的，
V(x)则这个系统是渐进稳定的。这个叫做李雅普诺夫函数。
V(x)V(x),0nxx,,设为由维矢量所定义的标量函数，，且在处，恒有。所有在
x,域中的任何矢量，如果:
V(X),0V(x)1)，则称为正定的。
V(X),0V(x)2)，则称为半正定。
V(X),0V(x)3)，则称为负定的。
V(X),0V(x)4)，则称为半负定的。
V(X),0V(X),0V(x)5)或，则称为不定的。
二、问题
用李雅普诺夫第二法来研究下面的系统是否稳定
2211,,,,,,,,，x,Ax，Bu,201，其中取A=，B=0 ,,,,
,,,,0,1,10,,,,
y,x，x，x123输出:
判断系统的稳定性，若系统不稳定试设计稳定器U优化。
三、解决方法
1、稳定性判定:
在Matlab中计算得
>>A=[2,2,1;-2,0,1;-1,-1,0]
>>a=det(A)
a=2
由上可得原点是系统唯一的平衡点
ppp,,111213,, 设， PpppQI,,,212223,,,,ppp,,313233
TAPPAI，,,将上式带入中可以求出P。 A=[-1,2,1;-2,0,1;-1,-1,0];
B=[1 0 0]';
C=[1 1 1]';
D=0;
Q=eye(3);
P=lyap(A',Q)
-0.7500 -0.2500 -0.5000，，
,, P= -0.2500 -0.7500 0.0000,,
,,-0.5000 0.0000 -2.0000，，
由于，由希尔维斯特判据可知，P(即)不是正定的，所以原系,1,0V(x)
统不是渐近稳定，只在李亚普诺夫意义下稳定。 、设计稳定器U 2
222 正定标量函数为:， Vxxxx(),，，123
,,,,
沿任意轨迹求的对时间的导数为:， Vxxxxxxx()222,，，Vx()112233
,，，，，x2x2xxu,1123,,,，，其中将系统方程改写为， x2xx,213
,,,,，xxx312,
2， 得到: ， V(x),4x，2xu11
，要使得系统是稳定的，则必须要使恒小于0(为负定)， V(x)取， U,,4x1
2，可得，满足条件。 V(x),,2x,01
,221,,,,,201 代入原系统状态方程，则A= ,,
,,,1,10,,
TAPPAI，,, 将上式带入中可以求出P。
0.7500 -0.5500 0.1000，，
,,-0.5500 1.5500 -0.6000 P=,,则为正定。 V(x),1,0,,2,0,,3,0,,
,,0.1000 -0.6000 1.2000，，
通过以上的计算可知施加控制器后，经校正后的系统是稳定的。 U,,4x13、结构图
在Matlab中利用simulink搭建框图进行仿真。
图1 输入输出波形如下:
图2
X,X,X123波形如下:
图3 控制器U波形如下:
图4
误差曲线如下:
图5
四、结论
由希尔维斯特判据可判定原系统是不稳定的，施加控制器后，由希尔维斯特判据可判定经校正后的系统是稳定的，由仿真结果可以证实。不稳定的系统可以通过加控制器U，使系统最终趋向渐近稳定，成为稳定的系统。由上可知，李雅
V(x)普诺夫第二法的关键在于寻找一个满足判据条件的李雅普诺夫函数。 五、参考文献
[1]刘豹 唐万生. 现代控制理论[M].北京.机械工业出版社
[2]胡寿松 自动控制原理 [M].北京.科学出版社
[3]网络文献 http://www.baidu.com
[4]网络文献 https://www.google.com
范文五：碟形飞行器李雅普诺夫优化控制器设计
2008年 102008 O ct. FL IGH T D YNAM ICS
月
碟 形 飞 行 器 李 雅 普 诺 夫
优 化 控 制 器 设 计
1 顾文锦, 马名中
2 ( 1. 海军航空工程学院 控制工程系 , 山东 烟台 264001;
)2. 海军航空工程学院 研究生管理大队 , 山东 烟台 264001
摘 要 : 针对一类简单控制器实现的碟形飞行器变质量矩 /推力矢量复合控制系统 , 通过转换 , 建立了关联
控制系统 , 并基于李雅普诺夫优化设计方法 , 对碟形飞行器的控制器进行了设计 。最后 , 将此控制方法应用于
碟形飞行器全弹道飞行试验进行仿真 。仿真研究表明 , 与传统的静态控制器设计方法相比 , 这种方法显示了巨
大的优越性。
关 键 词 : 碟形飞行器; 复合控制 ; 关联控制 ; 李雅普诺夫优化
( ) 文献标识码 : A 中图分类号 : V24911 文章编号 : 100220853 2008 05 20025203
表明 , 这种设计能够实现碟形飞行器的机动飞行控 引言
制 , 并达到了良好的控制性能。
传统的控制理论都是建立在信息流基础上的 ,
1 碟形飞行器关联控制模型 对于一个单个系统 , 基于信息反馈 , 可以设计控制器
使其具有预期的品质。在这方面 , 传统控制理论已
常规飞行器通过控制舵面的偏转调整气动力来 发展得很完善。但是一些单个子系统 , 通过相互间
实现飞行控制 而碟形飞行器呈圆盘形 是一种无尾 ,,的信息传递可以产生复杂的大系统。对于一般的大 () 无舵 , 翼身完全融合的非常规飞行器 如图 1 所示 , [ 1 ] 系统 , 目前还没有较好的统一处理方法 。文献 它的飞行无法采用传统方式实现。为了实现碟形飞 [ 2 ]中指出 , 现有大系统的设计思想往往采用竞争 行器的控制 可以将变质量矩控制与推力矢量控制 ,[ 6,9 ] 稳定性设计思想 , 它是保守的 、不经济的 , 有时更是 相结合 , 构成复合控制 。 难以实现的。因此 , 大系统理论从 20 世纪 70 年代
至今 , 曾经热了一下又长期停滞不前 , 很大程度上是
由于人们习惯于用处理小系统的思维和方法去处理
大系统的问题。事实上 , 子系统间信息关联是可以
利用的 , 通过子系统间的组织 、相互协调 , 就可能实
现“盲人与跛子 ”之间的相互帮助 , 从而实现 1 + 1 >
2 的效果 , 这种机制将赋予大系统一种巨大的生机。
文献 [ 3,5 ]在这方面做了一些工作 , 并取得了一些
重要成果 。
本文针对一类简单控制器实现的碟形飞行器推
图 1 碟形飞行器复合控制原理 力矢量 /变质量矩的复合控制系统 , 通过转换 , 建立
图 1中坐标系及符号的定义与文献 [ 6,9 ]中一 了信息关联控制系统 , 并基于李雅普诺夫优化设计
致。通过对碟形飞行器所受合外力和力矩的分析 , 方法 , 对碟形飞行器控制器进行了设计。仿真结果
收稿日期 : 2008 203 224;修订日期 : 2008207 208
基金项目 :总装备部预研重点基金项目 ( 6140511 )
作者简介 :顾文锦 ( 1938 2) ,男 ,江苏常州人 ,教授 /博导 ,研究方向为飞行器高超声速及变轨技术等 ;
马名中 ( 1984 2) ,男 ,湖北蕲春人 ,硕士研究生 ,研究方向为飞行器控制 、飞行器建模与仿真 。
飞 行 力 学 第 26卷 26
( ) ( ( ) )可以得到碟形飞行器的质心运动动力学方程、动质Xk + 1 = AXk + B Xk 1 1 1 1 2 ( ) 4 心运动学方程、绕动质心转动的动力学和运动学方 ( ) ( ) ( )Xk + 1 = KXk + AXk 2 1 2 2 程 , 以及角度关系方程等数学模型 , 这些非线性方程 为了寻求系统在关联反馈结构下最优 , 先断开 描述了碟形飞行器的基本运动。 关联反馈量 KX( k ) , 而采用输入 u ( k ) , 同时设 1 根据纵向运动假设 , 可得碟式飞行器纵向运动 , AXB 111 简化方程为 : X = , A = X 0 A 2 2 ? θ (ξα)M v = - X - M g sin+ P co s + 0 , X 1 0 0 0 , ? ( ) = X uk == K 1 1θ θ (ξα)M v= Y - M g co s+ P sin + ( )X 0 K u k 0 2
?b ( )1 ωξξJ = XP sin+ yP co s+ M + zdbzP 0 T 0z( )5
( ) μξM x- P sinx z b 0 b则可以得到 :
, ? ,bX ( k + 1 ) = A X ( k ) + u ( k ) ( )6 ω; =dbz
( )式 6 已经为标准状态方程 , 可以在状态空间进行 式中符号定义见文献 [ 6 ,9 ]。利用小扰动假设 , 且
优化设计 , 以求解最优反馈阵 K。首先定义李雅普 ( ) 考虑对速度不进行控制 , 对式 1 进行小偏差线性
b )( 诺夫函数 V k 为 : 化 , 同时把 ω简写为 ω , 则可得到纵向通道变质量 dbz z T [ 6,9 ] (( ) ( )( )) k = X k P X k 7 V 矩 推力矢量复合控制线性化方程 。/
若执行机构均采用一阶惯性环节 , 同时考虑执 式中 , P 为正定矩阵。取 V 的差分 , 有 :
T T 行机构的动态响应特性 , 则碟形飞行器纵向通道控 (( ) ) ( ) ( ) ( ) V k =X k + 1 P X k + 1 - Xk P X k v制状态方程为 : ,,, TT T, T ) (( =X k A PA -( ) ) ( ) ( ) P X k +Xk A P u k + ? , ,T ,T , θ ω = ( ( ( )))( ) ( )8 zu k PA X k + u k P u k
,?求取 V ( k ) 对 u ( k ) 的偏导数并令其为零 , 以使 v ωθ ξ= a;- a+ ax+ a ξ24 24x b 0z
? ) ( V 达最小 得到 vk,:)θ ξ( + a- a+ a 33 34 350( )2 θ = a; 34 , , , T TT - 1 ( )) ( )( ( ) ( ) ? u k 3 = - P + P PA + P A X k 9 ωθ = d; + + - w + xddxx 11 b12z131 bb, , , T TT - 1 ? ) ) ( )( ( = - P + P PA + P A 10 K 3 ωθ ξ+ d+ d- w 232022z ξξ + = d; 0021 ( ) ( ) 通过联立方程式 5 和式 10 , 可以求取关联 , a, a, a, a, a和 a均为模型线性化后基 式中 ξ 24 33 34 35 x 控制器参数 K。由于在碟形飞行器飞行过程中 , 基3 3 于基准弹道参数的动力学系数; x, ξ为参考输入; b 0 于基准弹道参数的动力学系数 A , B 不断变化 , 因 1 1 ( di = 1,w, w分别为两个执行机构的响应频率; 1 2 ij 此 关联控制器参数 需要在线计算 与传统的静态 ,K,) 2; j = 1, 2, 3 为待设计控制器参数 。控制器设计相比 , 这种方法能够实现更精准的飞行 3 3 考虑系统镇定问题 , 令参考输入 ξ= 0, 同 x= b0控制 。 时定义
; x b3 仿真研究 ωX= , X= 1 2 zξ 0θ 构造碟形飞行器纵向通道俯仰角跟踪回路并对( ) (则式 2 采用矩阵形式可以改写为下式 该式 关联控制器参数进行设计后 , 可以通过仿真对这一 ) 是一个信息关联系统 :设计进行分析验证 。为此 , 选取理想弹道为 : ?X= AX+ B X 1 1 1 1 2( ); 0 ? t ? t 11 ( )3 ? ; - ; 2 1X= KX+ AX 2 1 2 2( ) ; t =) ( p r ( t < t="" t="" )="" +="" ;="" t="" -="" t="" 1="" 1="" 1="" 2="" t-t="" 2="" 1(="" )式中="" ,="" a,="" b="" ,="" k,="" a为式="" 2="" 中对应的系数矩阵="" ,="" 其="" 1="" 1="" 2="">
( )t< t="" ;="" 2="" 中="" k为需要设计的控制器="">
t= 2418 s, ; = 2 ?, t= 120 s。 这里 , ; = 20 ?, 1 2 2 1
仿真过程中 , 在理想弹道上选取八个特征点 , 采 2 李雅普诺夫优化设计
用文献 [ 6, 7 ]中的方法求解动力学系数。同时 , 执
ττ行机构的延迟时间设定为 = 0103 s, = 011 s。 ξ ( )x 对式 3 进行离散化 , 有
第 5期 顾文锦等. 碟形飞行器李雅普诺夫优化控制器设计 27
, 因此采用了推力矢量 /变质量矩复合控制。 制目标 为便于比较分析研究 , 本文分别采用文献 [ 4 ]中基
于参数相依李雅普诺夫方法求取的静态控制器与本 文章通过建立信息关联系统模型 , 采用李雅普诺夫 文的李雅普诺夫优化关联设计方法进行仿真 , 结果 优化关联设计思想对复合控制器进行了设计 , 它有
如图 2和图 3所示。 别于传统的基于信息解耦的思想 , 而是充分利用各
子系统间的信息关联。仿真研究表明 , 该方法能够
实现对碟形飞行器更精准的飞行控制 , 对于现代复
杂控制对象 , 具有多执行机构的复合控制器设计具
有重要的借鉴意义 。
参考文献 :
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本文研究的亚声速碟形飞行器 , 由于本身是一
个静不稳定系统 , 单一控制难以达到机动飞行的控
D esign of Con trollers for Fly ing Saucer
Ba sed on L yapunov O ptim iza tion
1 2GU W en2jin, MA M ing2zhong
( 1. D epa rtm en t of C on tro l Eng ineering, NAAU , Yan ta i 264001, C h ina;
)2. G radua te S tuden ts B rigade, NAAU , Yan ta i 264001, C h ina
A b stra c t: Fo r moving2m a ss / th ru st2vec to ring compound con tro l ove r a flying sauce r ba sed on simp le con tro l2 le rs, a mode l of in te rconnec ted con tro l system is e stab lished by tran sition, and ba sed on the de sign ing m e thod of L yap unov op tim iza tion, the con tro lle rs of the flying sauce r a re de signed. F ina lly, the con tro l m e thod is u sed to the sim u la tion of the flying sauce r’s fu ll tra jec to ry flying exam ina tion, and the re su lt show s tha t, comp a red to the de2 sign ing m e thod of conven tiona l sta tic2sta te con tro lle rs, th is m e thod show s grea t advan tage s.
Key word s: flying sauce r; compound con tro l; in te rconnec ted con tro l; lyap unov op tim iza tion
(编辑 :姚妙慧 )
