范文一:玩转数学之思维导图作用及学习圆锥曲线
思维导图——全球超过2.5亿人在使用的高效的学习方法,你不想试一试吗, 利用思维导图成为高考冠军的8大秘诀
1、每天做一张思维导图。把当天学到的内容做成一张导图,内容包括学到的难点、要点、公式、定理、单词等等。
这是对一天所有学过的知识最有效的整理和梳理的过程,也是对所学过的知识内容进行仓储式管理的最好方式。如果知识没有得到有效的管理和存储,就是像工具扔在杂货堆,需要用的时候就是翻天覆地地去找。
2、每周完成一张总思维导图,把一周做的思维导图整理成一张大的思维导图,每门课一个分支,把一周所学到的所有的知识进行分类汇总。
这是一次高效率的强化复习的过程,前面学过的知识,通过几天的消化和沉淀之后,一定有了许多的新的感悟和体验,所以一定要通过周末总体思维导图,做学科知识的进一步的汇总整理,这样所学的知识更加有效的进入我们的大脑,记忆会更加的深刻~
3、每个月底把四周的所有导图整理成一张更大的思维导图。把这张图贴在卧室里,贴在书桌前,每天看几遍,保证你的月考成绩,每次都会成为班级里面的前几名。
导图一定要上墙,这样会给我们不断地带来视觉的刺激。不同的颜色,不同的色彩,不同的图像,关键词,都会给我们大脑带来强烈的视觉冲击,增强我们的记忆,别忘了,我们的大脑是用图像来思考的,图像、色彩、关键词语是大脑思维的基本原料。
4、每天把思维导图的内容讲出来,最好把它录下来,这样会进一步增强记忆。同时也增加了我们语言组织和表达能力~这是赢在未来社会所必需的能力之一。
关于记忆我们必须了解的是:记忆是两个字,所以包含了2层含义,一层是记,如何去,怎样去记更加牢固;另外一层的含义就是忆,到底是否记住了没有,就要看你是否可以回忆
1
的起来。通过思维导图的讲解,语言的表达方式,可以同时训练我们快速记和快速回忆的能力。
5、一天10次看导图。(三顿饭前后;课间十分钟;进厕所前后;起床前后;睡觉前),一次只要3到5分钟。坚持一年,打下终生受益的坚实基础。高考会接近满分~我能做到,你能吗,能做到的就是伟大的人。
记忆是什么,记忆就是大量的有效的重复,思维导图记录的都是一些关键词,通过关键词的串联组合,可以快速地帮助你回忆起所学的内容。关键词的重要性再怎么强调也不过分。因为关键词的作用就像路标、指示牌,它可以快速帮助我们回忆起我们所过的知识。就像帮助我们找到回家的路,这样我们才不会迷失方向。
6、用导图写短文是最有效的学习写作的方式,只要多读,多写短文,一切尽在掌握之中~作文的水平取决于能写和背诵的“短文量”~用思维导图写作文可以让你的思维更加敏捷,逻辑思维、文字语言得到更有效的强化训练。用思维导图,你的作文一定可以接近满分~
中国学生从初中到大学,写作文几乎是最头疼的事,因为根本没有句子可写,写出来的都是流水账。记住我们在写作的时候,写作思路不清晰前,先不要轻易下笔。我给大家的建议是:改装范文,多背,多画导图。用导图背作文,轻松快捷~写作文的第一步是大量的背诵模板范文,朱熹有句名言“问渠那得清如许,惟有源头活水来”,有了源头活水还怕出不来吗,有思维导图,你的写作如虎添翼~
7、一定要建立财富本。收集整理考试的难点、要点,重点,把它们变成多张思维导图,保证每天快速复习一遍~你将一定能突破高考。同时疯狂画导图,并且把它们讲出来,写下来。手、心、嘴、耳并用,培养非凡的多种能力~
兵力部署,战争策略~
8、要练习“三快”:快速读,快速听,快速写~把思维导图在学习中的应用,像奥运项目一样,每天苦练,必定可以获得快速学习的真功夫,这才是让我们终生受益的真功夫~同时想尽各种办法增加“三量”:入眼量,入耳量,出口量。三量增加,一定可以全面征服高考~
附加赠送:
高考就是像一场战争,要想赢得这场战争,只是埋头苦学是远远不够的,我们必须懂得战术也要懂得战略。战术是让我们把一门功课学好,而战略怎是让我们打赢高考这场战争。其中最为重要和关键的一点就是要做好整个学习过程的规划,做好时间管理,对自己有整体性的分析。让自己的优势更强,劣势得到弥补。如果要做到一点,就使用用思维导图,因为没有哪一个学习工具更高效,更实用,让我们思路更加清晰,目标更加明确,可以让我们在这场对我们整个的人生来说至关重要的战争中,让我们发挥得淋漓尽致,快速达成我们的目标,协助我们成为高考冠军~
附:如何做思维导图:全球超过2.5亿人在使用的高效的学习方法,你不想试一试吗,
如何记忆知识,利用思维导图是最有效率的
2
数学思维之美
如何记忆数学知识
3
范文二:圆锥曲线的教案
课 题:8.1椭圆及其标准方程(一)
教学目的:
1234.启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考,学会分析问题和创造地解决问题;培养学生教学重点:椭圆的定义和标准方程 教学难点:椭圆标准方程的推导 教学过程:
一、复习引入: 1.1997年初,从1997年2月中旬起,
海尔·波普彗星将逐渐接近地球,过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年
后,年2月至3月间,许多人目文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢?原来,海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆,通过观察它(说明椭圆在天文学和实际生产生活实践中的广泛应用,指出研究椭圆的重要性和必要性,从而导入本节课的主题)
2.复习求轨迹方程的基本步骤:
3.手工操作演示椭圆的形成:取一条定长的细绳,把它的两端固定在
画图板上的F1,F2两点,当绳长大于两点间的距离时,用铅笔把绳子拉
分析:(1)轨迹上的点是怎么来的?(2)在这个运动过程中,什么是不变的? 二、讲解新课: 1:
平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的 注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方: (1)两个定点--- (2)绳长--在同样的绳长下,两定点间距离较短,则所画出的椭圆较圆(→由此,椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫2.根据定义推导椭圆标准方程:
→取过焦点F1,F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y设P(x,y)为椭圆上的任意一点,椭圆的焦距是2c(c>0).
则F1(-c,0),F2(c,0),又设M与F1,F2距离之和等于2a(2a>2c)(常数)
∴P={PPF1+PF2=2a}
又 PF1=(x+c)2+y2,
∴(x+c)2+y2+(x-c)2+y2=2a,
化简,得 (a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2),
22
由定义2a>2c,∴a-c>0
222222
令∴a-c=b代入,得 bx+ay=ab,
222
x2y2
两边同除ab得 2+2=1
ab
2
2
此即为它所表示的椭圆的焦点在x轴上,焦点是F1(-c,0)F2(c,0)其中
a2=c2+b
如果椭圆的焦点在y轴上(选取方式不同,调换x,y轴)焦点则变成F1(0,-c),F2(0,c),只要将方程
x2y2
+2=1中的x,y调换,即可得 2ab
y2x2
+2=1,也是 2ab
理解:所谓椭圆标准方程,一定指的是焦点在坐
标轴上,且两焦这两个标准方程
x2y2y2x2
点的中点为坐标原点;在2+2=1与2+2=1
abab
x2y2
+=1(m>0,n>0,m≠n)就不能肯定焦点在哪个轴上;分清中,都有a>b>0的要求,如方程mnxyx2y2
两种形式的标准方程,可与直线截距式+=1类比,如2+2=1中,由于a>b,所以在x轴上的
abab
“截距”更大,因而焦点在x轴上(即看x2,y2分母的大小) 三、讲解范例:
例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程: ⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、(4,0),椭圆上一点P到两焦点的距离 之和等于10;
⑵两个焦点坐标分别是(0,-2)和(0,2)且过(-
35,22
解:(1)因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为
x2y2
2+2=1 (a>b>0)
ab
2a=10,2c=8∴a=5,c=4
∴b2=a2-c2=52-42=9
x2y2
+= 所以所求椭圆标准方程为
259
⑵ 因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为
y2x2
+=1 (a>b>0) a2b2
由椭圆的定义知,
3535
2a=(-)2+(+2)2+(-)2+(-2)2
2222
=
31+=2 22
∴a= 又c=2
∴b2=a2-c2=10-4=6
y2x2
+= 所以所求标准方程为
106
另法:∵ b=a-c=a-4
2222
35y2x2
=1,后将点(-,)的坐标代入可求出a∴可设所求方程2+2
22aa-4
若将焦点改为(0,-4)、(0,4)其结果如何;
题(2)由学生的思考与练习,总结有两种求法:其一由定义求出长轴与短轴长,根据条件写出方程;其二是由已知焦距,求出长轴与短轴的关系,设出椭圆方程,由点在椭圆上的条件,用待定系数的办法得出
方程 五、小结 :本节课学习了椭圆的定义及标准方程,应注意以下几点: ①椭圆的定义中, 2a>2c>0;
②椭圆的标准方程中,焦点的位置看x,y的分母大小来确定;
③a、b、c的几何意义八、课后记:
写出适合下列条件的椭圆的标准方程:(口答)
x2y2y2x2
+=1;+=1) (1)a=4,b=3,焦点在x轴;(2)a=5,c=2,焦点在y轴上.(答案:
1692521
(2) 已知三角形ΔABC的一边∠长为6,周长为16,求顶点Ax2y2
=1 解:以BC边为x轴,BC线段的中垂线为y轴建立直角坐标系,则A点的轨迹是椭圆,其方程为:+
2516
若以BC边为y轴,BC线段的中垂线为x轴建立直角坐标系,则A点的轨迹是椭圆,
x2y2
+=其方程为:
1625
课 题:8.2
椭圆的简单几何性质(一)
教学目的:
12.掌握标准方程中a,b,c的几何意义,以及a,b,c,e3教学重点:椭圆的几何性质
教学难点:如何贯彻数形结合思想,运用曲线方程研究几何性质 教学过程:
一、复习引入:
1.椭圆定义x2y2y2x2
2.标准方程:2+2=1,2+2=1 (a>b>0)
abab
3.问题:
(1)椭圆曲线的几何意义是什么? (2)“范围”是方程中变量的取值范围,是曲线所在的位置的范围,椭圆的标准方程中的x,y取值范围是什么?其图形位置是怎样的?
(3)标准形式的方程所表示的椭圆,其对称性是怎样的?
(4)椭圆的顶点是怎样的点?椭圆的长轴与短轴是怎样定义的?长轴长、短轴长各是多少?a,b,c的几何意义各是什么?
(5)椭圆的离心率是怎样定义的?用什么来表示?它的范围如何?在这个范围内,它的变化对椭圆有什么影响?
(6)画椭圆草图的方法是怎样的? 二、讲解新课:
究椭圆的性一致)
x2y2
由椭圆方程2+2=1(a>b>0) 研
ab
质.(利用方程研究,说明结论与由图形观察
(1)范围:
x2y2
从标准方程得出2≤1,2≤1,即有
ab-a≤x≤a,-b≤y≤b,可知椭圆落在
x=±a,y=±b
组成的矩形中.
(2)对称性:
把方程中的x换成-x方程不变,图象关于y轴对称.y换成-y方程不变,图象关于x轴对称.把x,y同时换成-x,-y方程也不变,图象关于原点对称.
如果曲线具有关于x轴对称,关于y轴对称和关于原点对称中的任意两种,则它一定具有第三种原点叫椭圆的对称中心,简称中心.x轴、y轴叫椭圆的对称轴.从椭圆的方程中直接可以看出它的
(3)顶点:x2y2
在椭圆2+2=1的方程里,令y=0得x=±a,因此椭圆和x轴有两个交点A(-a,0),A2(a,0),
abx2y2
它们是椭圆2+2=1ab
x2y2
令x=0,得y=±b,因此椭圆和y轴有两个交B(0,-b),B2(0,b),它们也是椭圆2+2=1
ab
因此椭圆共有四个顶点: A(-a,0),A2(a,0),B(0,-b),B2(0,b加两焦点F1(-c,0),F2(c,0)共有六个特殊点.
A1A2叫椭圆的长轴,B1B2叫椭圆的短轴.长分别为2a,2b
a,b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.
顶点即为椭圆与对称轴的交点.
至此我们从椭圆的方程中直接可以看出它对称性, 顶点.因而只需少量描点就可以较正确了.
(4)离心率:
椭圆的
的范围, 的作图
这种扁平性质由什么来决定呢? 概念定义式:e=
c?
e=a范围:0<><>
置圆,此时也
e→0,c→0,椭圆变圆,直至成为极限位
可认为圆为椭圆在e=0e→1,c→a,椭圆变扁,直至成为极限位置线段F1F2,此时也可认为圆为椭圆在e=1时的特例
五、小结 :这节课学习了用方程讨论曲线几何性质的思想方法;学习了椭圆的几何性质:对称性、顶点、
课 题:8.2椭圆的简单几何性质(二)
教学目的:
1. 掌握椭圆范围、对称性、顶点、离心率、准线方程等几何性质; 2.理解椭圆第二定义与第一定义的等价性;
3.掌握根据曲线方程来研究曲线性质的基本思路与方法;培养学生观察能力,概括能力;提高学生画图能力;提高学生分析问题与解决问题的能力 教学重点:教学难点:椭圆第二定义教学过程:
一、复习引入:
4. 回顾一下焦点在x轴上的椭圆的标准方程的推导过程:如果对椭圆标准方程推导过程中的关键环节进行适当变形,我们会有新的发现:
(x-c)2+y2+(x+c)2+y2=2a ⑴
cca2
?(x-c)+y=a-x=(-x),
aac
2
2
即
(x-c)2+y2
a2
x-
c
=
c
⑵ a
同时还有
(x+c)2+y2a2
x-(-)
c
=
c
(3) a
观察上述三式的结构,说出它们各自的几何意义,从而引出二、讲解新课:
1.椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个(0,1)内常数e,那么这
其中定点叫做焦点,定直线叫做准线,常数e
2.椭圆的准线方程
x2y2a2
对于2+2=1,相对于左焦点F1(-c,0)对应着左准线l1:x=-;
cab2
相对于右焦点F2(c,0)对应着右准线l2:x=y2x2a2
对于2+2=1,相对于下焦点F1(0,-c)对应着下准线l1:y=-;相对于上焦点F2(0,c)对应
cab2
着上准线l2:y=a2
准线的位置关系:x≤a
c
a2a2-c2b2
-c==焦点到准线的距离p=(焦参数) ccc
其上任意点P(x,y)到准线的距离:点评:(1)从上面的探索与分析可知,椭圆的第二定义与第一定义是等价的,它是椭圆两种不同的定
(2
五、小结 :本节课学习了椭圆的第二定义,椭圆两种定义是等价的;椭圆的两种类型的准线方程也是不ca2
-x)(2) 上面(x-a)+y=(ac
2
2
ca2
-x)=a-ex 即(x-a)+y=(ac
2
2
同样(3
七、板书设计八、课后记:本课时背景材料是课本例4,学生解答例4并不困难,但对例4中直线的出现感到突然与困 本设计通过反思椭圆标准方程的推导过 利用引导学使用多媒体辅助教学,增加了课
课 题:8.2椭圆的简单几何性质(三)
教学目的:
1. 能推导,掌握椭圆的焦半径公式,并能利用焦半径公式解决有关与焦点距离有关的问题; 2.能利用椭圆的有关知识解决实际问题,及综合问题; 3.体会数学形式的简洁美,教学重点:焦半径公式的的推导及应用
教学难点:焦半径公式的的推导,应用问题中坐标系的建立 教学过程:
一、复习引入: 二、讲解新课:
x2y2
椭圆的焦半径公式:设M(x0,y0)是椭圆2+2=1(a>b>0)的一点,r1和r2分别是点M与点
ab
F1(-c,0),F2(c,0)的距离.那么(左焦半径)r1=a+ex0,(右焦半径)r2=a-ex0,其中e推导方法一: MF1
2
=(x0+c)2+y0,MF2
22
=(x0-c)2+y0
2
∴MF1-MF2
22
=4cx0,又 MF1+MF2=2a
c?2c?MF=a+x0=a+ex01?x0?MF1-MF2=a∴? ∴?ac
??MF2=a-x0=a-ex0?MF1+MF2=2a
a?
即(左焦半径)r1=a+ex0,(右焦半径)r2=a-ex0r1r2
推导方法二:=e,=e
|MF1||MF2|
?r1=e|MF1|=e(
a
+x0)=a+ex0, ca2
r2=e|MF2|=e(-x0)=a-exc
2
同理有焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式:
?MF1=a+ey0?
?MF2=a-ey0
( 其中F1F2分别是椭圆的下上焦点)
注意:焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关, 可以记为:左加右减,五、小结 :
课 题:8.2教学目的:
椭圆的简单几何性质(四)
1. 了解椭圆的参数方程,了解参数方程中系数a,b的含义.
2.通过学习椭圆的参数方程,进一步完善对椭圆的认识,理解参数方程与普通方程的相互联系.并教学重点:进一步巩固和掌握由曲线求方程及由方程研究曲线的方法及椭圆参数方程的推导. 教学难点:深入理解推导方程的过程.灵活运用方程求解问题. 教学过程:
一、复习引入: 二、讲解新课:
1.问题:如图,以原点O为圆心,分别以a,b (a>b>0)为半径作两个图,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过点A作NA⊥OX垂足为N,过点B作BM⊥AN,垂足为M.求当半径OA绕点O旋转时点M
解答:设A的坐标为(x,y),∠NOA=?,取? 为参数,那么
?x=ON=|OA|cos?
?
?y=NM=|OB|sin?
?x=acos?
也就是 ?(?为参数y=bsin??
这就是所求点A?x
?a=cos??x=acos?
将?变形为?y?y=bsin??=sin??b
x2y2
发现它可化为2+2=1(a>b>0),说明Aab
2.椭圆的参数方程?
?x=acos?
(?为参数注意:?角不是角∠NOM?y=bsin?
五、小结 :
椭圆的参数方程及形式, 椭圆的参数方程的应用 课 题:8.3双曲线及其标准方程(一)
教学目的:
1.使学生掌握双曲线的定义,熟记双曲线的标准方程,并能初步应用;
2.通过对双曲线标准方程的推导,提高学生求动点轨迹方程的能力; 3.使学生初步会按特定条件求双曲线的标准方程;
4.使学生理解双曲线与椭圆的联系与区别以及特殊情况下的几何图形(射线、线段等); 5教学重点:教学难点:教学过程:
一、复习引入: 1:
平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的
在同样的绳长下,两定点间距离较长,则所画出的椭圆较扁(→的椭圆较圆(→2.椭圆标准方程:
x2y2y2x222(1)2+2=(2)2+2=其中a=c+babab
二、讲解新课:
1.双曲线的定义:平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值为常数(小于F1F2)的动点的轨迹叫双曲 即MF1-MF2=2a
概念中几个容易忽略的地方:“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于F1F2” 在同样的差下,两定点间距离较长,则所画出的双曲线的开口较开阔(→两定点间距离较短(大于定差),则所画出的双曲线的开口较狭窄(→双曲线的形状与两定点间距离、2.双曲线的标准方程:
根据双曲线的定义推导双曲线的标准方程:推导标准方程的过程就是求曲线方程的过程,可根据求过程如下:(1)建系设点;(2)列式;(3)变换;(4)化简;(5)证明
取过焦点F1,F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y
设P(x,y)为双曲线上的任意一点,双曲线的焦距是2c(c>0则 F1(-c,0),F2(c,0),又设
M与
F1(-c,0),F2(c,0)距离之差的绝对值等于2a
2a<>
∴P={PPF1-PF2=±2a}
又 PF1=(x+c)2+y2,
∴(x+c)2+y2-(x-c)2+y2=±2a,
化简,得:
(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2),
由定义2a<2c ∴c-a="">0
令∴c-a=b代入,得:b2x2-a2y2=a2b2,
2
2
2
2
2
x2y2
两边同除ab得:2-2=1,
ab
2
2
此即为双曲线的标准方程
它所表示的双曲线的焦点在x轴上,焦点是F1(-c,0),F2(c,0), 其中c=a+b
若坐标系的选取不同,可得到双曲线的不同的方程,如轴上,则焦点是F1(0,-c),F2(0,c),将x,y互换,得到
2
2
2
焦点在y
y2x2
-=1a2b2
3.双曲线的标准方程的特点:
(1)双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种:
x2y2
焦点在x轴上时双曲线的标准方程为:2-2=1(a>0,b>0);
aby2x2
焦点在y轴上时双曲线的标准方程为:2-2=1(a>0,b>0)
ab
(2)a,b,c有关系式c=a+b成立,且a>0,b>0,c>222
其中a与b的大小关系:可以为a=b,a4.焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母x、y项的分母的大小来而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位
22
置,即x项的系数是正的,那么焦点在x轴上;y项的系数是正的,那么焦点在y22
x2y2y2x2
五、小结 :双曲线的两类标准方程是2-2=1(a>0,b>0)焦点在x轴上,2-2=1(a>0,b>0)
abab
焦点在ya,b,c有关系式c=a+b成立,且a>0,b>0,c>其中a与b的大小关系:可以为
222
a=b,a课 题:8.4双曲线的简单几何性质 (一)
教学目的:
12.掌握标准方程中a,b,c3教学重点:教学难点:一、复习引入:
二、讲解新课: 1.范围、对称性
x2y222
由标准方程2-2=1可得x≥a,当x≥a时,y才有实数值;对于y的任何值,xab
这说明从横的方向来看,直线x=-a,x=a之间没有图象,从纵的方向来看,随着x的增大,y的绝对值也无
2.顶点
顶点:A1(a,0),A2(-a,0) 特殊点:B1(0,b),B2(0,-b)
实轴:A1A2长为2a, a叫做 虚轴:B1B2长为2b,b叫做x2y2
讲述:结合图形,讲解顶点和轴的概念,在双曲线方程2-2=1中,令y=0得x=±a,故它与x轴有
abx2y2
两个交点A1(a,0),A2(-a,0),且x轴为双曲线2-2=1的对称轴,所以A1(a,0),A2(-a,0)与其对称轴
ab
的交点,称为双曲线的顶点(一般而言,曲线的顶点均指与其对称轴的交点),而对称轴上位于两顶点间的
x2y2
线段A1A2叫做双曲线2-2=1的实轴长,它的长是2a.
ab
x2y2
在方程2-2=1中令x=0得y2=-b2,这个方程没有实数根,说明双曲线和Y轴没有交点。但Y
ab
轴上的两个特殊点B1(0,b),B2(0,-b) 把线段B1B2叫做双曲
线的虚轴,它的长是
3.渐近线
x2y2
过双曲线2-2=1的两顶点A1,A2,作Y轴的平行线x=±a,经过B1,B2作X轴的平行线y=±b,四
ab
矩形的两条对角线所在直线方程是y=±
bxy
x(±=0), aab
bxyx2y2
分析:要证明直线y=±x(±=0)是双曲线2-2=1的渐近线,即要证明
aabab
随着X也即要证曲线上的点到直线的距离|MQ|
越来越短,因此把问题转化为计算|MQ但因|MQ|不好直接求得,因此又把问题 转化为求|MN
|MQ|<>
bbx-x2-a2 aab22=(x-x-a) a
=
abx+x-a
2
2
(|MQ|?x??→0→∞
4.等轴双曲线
a=b
结合图形说明:a=b时,双曲线方程变成x-y=a(或b),它的实轴和都等于2a(2b),这时直线围成正方形,渐近线方程为y=±
2222
5.共渐近线的双曲线系
如果已知一双曲线的渐近线方程为y=±
bkb
x=±x(k>0),那么此双曲线方程就一定是:aka
x2y2x2
y2
-=±1(k>0)或写成2-2=λab(ka)2(kb)2
6.双曲线的草图
具体做法是:画出双曲线的渐近线,先确定限内任意一点的位置,然后过这两点并根据双曲下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部
五、小结 :双曲线的范围、对称性、中心、顶点、
双曲线的顶点及第一象线在第一象限从渐近线分,最后利用双曲线的对
实轴和虚轴、实轴长、虚
bx2y2
轴长、渐近线方程、等轴双曲线;双曲线草图的画法;双曲线2-2=1的渐近线是y=±x,但反过
aab
来此渐近线对应的双曲线则是
x2y2x2y2
-=±1(k>02-2=λ
ab(ka)2(kb)2
课 题:8.4教学目的:
双曲线的简单几何性质 (二)
1234.通过教学使同学们运用坐标法解决问题的能力得到进一步巩固和提高,“应用数学”的意识等到进
教学重点:教学难点:渐近线几何意义的证明,离心率与双曲线形状的关系教学过程:
一、复习引入: 二、讲解新课: 7.离心率
概念:双曲线的焦距与实轴长的比e=范围:e>1
双曲线形状与e的关系:
2cc
=,叫做双曲线的2aa
bc2-a2c2k===-1=e2-1, 2
aaa
因此e越大,即渐近线的斜率的绝对值就大,这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知,
(1)双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化; (2)渐近线的位置(倾斜)利用计算机动画先演示出“e的大小”与“开口的阔窄”的关系,能让学生对此变化规律先形成直观 这样 8.离心率相同的双曲线
x2y2
-=1的离心率e0; (1)计算双曲线49
x2y2
-=1 如果存在很多的话,它们能否用一个特有的(2)离心离为e0的双曲线一定是49
形式表示呢? (3)离心率为
的双曲线有多少条? 2
ca2+b2bkb
分析:e===+()2=+()2的关系式,并从中发现只要实现半轴和虚半轴各与
aaaka
a=2,b=3有相同的比k:1(k>0)的双曲线,其离心率e9.共轭双曲线:以已知双曲线的实轴为虚轴,虚轴为实轴,这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲
x2y2y2x2
-=1与-= 如
169916
注意的区别:三量a,b,c中a,b不同(互换)c 1) 2) 确定双曲线的共轭双曲线的方法:将1变为
x2y2
-=λ(λ≠0),当3) 共用同一对渐近线y=±kx的双曲线的方程具有什么样的特征:可设为
1k2
λ>0时交点在x轴,当λ<>
五、小结 :解例2这类应用题时,首先要解决以下两个问题:(1)选择适当的坐标系(通常是把题中的特殊直线或线段放在坐标轴上,特殊点放在原点);(2)将实际问题中的条件借助于坐标系用数学语言表
课 题:8.4双曲线的简单几何性质 (三)
教学目的:
1234教学重点:教学难点:教学过程: 一、复习引入: 二、讲解新课:
9. 双曲线的第二定义:到定点F的距离与到定直线l的距离之比为常数e=
c
(c>a>0)的点的轨迹是a
常数e是双曲线的离心率. 10.准线方程:
x2y2a2
对于2-2=1来说,相对于左焦点F1(-c,0)对应着左准线l1:x=-,相对于右焦点F2(c,0)对应
caba2
着右准线l2:x=;
c
a2b2
>焦点到准线的距离p=位置关系:x≥a> cc
y2x2a2
对于2-2=1来说,相对于上焦点F1(0,-c)对应着上准线l1:y=-;相对于下焦点F2(0,c)对应
caba2
着下准线l2:y=
c
11 .双曲线的焦半径
定义:双曲线上任意一点M与双曲线焦点F1,F2焦半径公式的推导:利用双曲线的第二定义,设双曲线
x2y2
-=1 (a>0,b>0), a2b2
F1,F2则由第二定义:
MF1d1
=e, ∴
MF1x0+
ac
2
=e ∴MF1=a+ex0
同理 MF2=a-ex0
即有焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式:
?MF1=a+ex0∴? ?MF2=a-ex0
同理有焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式:
?MF1=a+ey0∴?
?MF2=a-ey0
( 其中F1,F2分别是双曲线的下上焦点)
点评:双曲线焦半径公式与椭圆的焦半径公式的区别在于其带绝对值符号,如果要去绝对值,需要对点的
12.焦点弦:
焦点弦公式:可以通过两次焦半径公式得到:
设两交点A(x1,y1)B(x2,y2) 当双曲线焦点在x轴上时,
焦点弦只和两焦点的横坐标有关:
过左焦点与左支交于两点时: AB=-2a-e(x1+x2
过右焦点与右支交于两点时:AB=-2a+e(x1+x2当双曲线焦点在y轴上时,
过左焦点与左支交于两点时:AB=-2a-e(y1+y2过右焦点与右支交于两点时:AB=-2a+e(y1+y213.通径:
2
直接应用焦点弦公式,得到 d=课 题:8.5抛物线及其标准方程(一)
教学目的:
1.使学生掌握抛物线的定义,标准方程及其推导过程; 23教学重点:抛物线的定义
教学难点:抛物线标准方程的不同形式 授课类型:新授课课时安排:1课时教 具:多媒体、实物投影仪教学过程:
一、复习引入:
3.问题:到定点距离与到定直线距离之
轨迹,当0<><1时是椭圆,当e>1时是双曲线。
e=1时轨迹是什么?
若一动点到定点F的距离与到一条定直
一个常数e=1时,那么这个点的轨迹是什么
比是定值e的点的此时自然想到,当线l的距离之比是曲线?
把一根直尺固定在图板上直线L位置,把一块三角板的一条直角边紧靠着真心直尺的边缘,再把一条细绳的一端固定在三角板的另一条直角边的一点A,取绳长等于点A到直角标顶点C的长(即点A到直线L的距离),并且把绳子的另一端固定在图板上的一点用铅笔尖扣着绳子,使点A到笔尖的一段绳子紧二、讲解新课: 1. 抛物线定义:
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做定点F叫做抛物线的焦点,
定
直线l叫做抛物线的2.推导抛物线的标准方程:
如图所示,建立直角坐标系系,设|KF|=p(p>0),那么焦点
F的坐标为(
p
,0),2
p
准线l的方程为x=-,
2
设抛物线上的点M(x,y),则有(x-化简方程得 y2=2px 方程y2=2px
p2p
)+y2=|x+22
(p>0(p>0)(1)它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上,焦点坐标是F(
pp
,0),它的准线方程是x=-22
(2)一条抛物线,由于它在坐标系的位置不同,方程也不同,有四种不同的情况,所以抛物线的标准方程还有其他几种形式:y=-2px,x=2py,x=-2py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点222
3.抛物线的准线方程:如图所示,分别建立直角坐标系,设出|KF|=p(p>0),则抛物线的标准方程如下:
2
,0),准线l:x=2
pp2
(2)x=2py(p>0), 焦点:(0,),准线l:y=-22
p2
(3)y=-2px(p>0), 焦点:(-,0),准线l:x=2p2
(4) x=-2py(p>0), 焦点:(0,-),准线l:y=2(1)y=2px(p>0), 焦点:(
相同点:(1)抛物线都过原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线都与对称轴垂直,垂足与焦点在对称轴它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的
12p=,即
44不同点:(1)图形关于X轴对称时,X为一次项,Y为二次项,方程右端为±2px、左端为y;图形关于Y轴对称时,X为二次项,Y为一次项,方程右端为±2py,左端为x(2)开口方向在X轴(或Y
2
2
轴)正向时,焦点在X轴(或Y轴)的正半轴上,方程右端取正号;开口在X轴(或Y轴)负向时,焦点
在X轴(或Y点评:(1)建立坐标系是坐标法的思想基础,但不同的建立方式使所得的方程繁简不同,布置学生自
己写出推导过程并与课文对照可以培养学生动手能力、自学能力,提高教学效果 ,进一步明确抛物线上(2)猜想是数学问题解决中的一类重要方法,请同学们根据推导出的(1)的标准方程猜想其它几个结论,非常有利于培养学生归纳推理或类比推理的能力,帮助他们形成良好的直觉思维—数学思维的一种另外让学生推导和猜想出抛物线标准方程所有的四种形式,也比老师直接写出这些方程给学生(3)对四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程进行完整的归纳小结,让学生通过对比五、小结 :
课 题:8.6抛物线的简单几何性质(一)
教学目的:
1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质;
2.能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论,在此基础上列表、描点、画抛物线图形; 3.在对抛物线几何性质的讨论中,注意数与形的结合与转化 教学重点:抛物线的几何性质及其运用 教学难点:抛物线几何性质的运用 授课类型:新授课课时安排:1课时教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析:
生活和科学技术中经常用到,也是大纲规定的必须掌握的内容,对于研究抛物线的几何性质和研究椭圆、双曲线的几何性质一样,按范围、对称性、顶点、离心率顺序来 已知抛物线的标准方程,求它的焦点坐标和准线方程时,首先要判断抛物线的对称轴和开口方向,一次项的变量如果为x(或y),则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴,一
次项的符号决定开口方向,由已知条件求抛物线的标准方程时,首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型,再求出方程中的参数p
第一课时内容主要讲抛物线的四个几何性质、抛物线的画图、例1、例2、及其它例题;第二课时主要内容焦半径公式、通径、例教学过程:
一、复习引入: 二、讲解新课:
抛物线的几何性质 1.范围
因为p>0,由方程y=2px(p>0)可知,这条抛物线上的点M的坐标(x,y)满足不等式x≥0,所以
2
这条抛物线在y轴的右侧;当x的值增大时,|y|也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸. 2.对称性
以-y代y,方程y=2px(p>0)不变,所以这条抛物线关于x轴对称,我们把抛物线的对称轴叫做抛
2
物线的轴. 3.顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程y2=2px(p>0)中,当y=0时,x=0,因此抛物线
y2=2px(p>0)的顶点就是坐标原点.
4.离心率
抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用e表示.由抛物线的定义可知,e=1.
抛物线不是双曲线的一支,抛物线不存在渐近线
通过图形的分析找出双曲线与抛物线上的点的性质差异,当抛物线上的点趋向于无穷远时,抛物线在这一点的切线斜率接近于对称轴所在直线的斜率,也就是说接近于和对称轴所在直线平行,而双曲线上的点趋向于无穷远时,它的切线斜率接近于其渐近线的斜率附:抛物线不存在渐近线的证明.(反证法)
2假设抛物线y=2px存在渐近线y=mx+n,A(x,y)为抛物线上一点,
A0(x,y1)为渐近线上与A横坐标相同的点如图,
则有y=±2px和y1=mx+n. ∴ y1-y=mx+n
px
=x?m+
n2p
xx
当m≠0时,若x→+∞,则y1-y→+∞ 当m=0时,y1-y=n
2
2px,当x→+∞,则y1-y→+∞
这与y=mx+n是抛物线y=2px的渐近线矛盾,所以抛物线不存在渐近线
五、小结 :
课 题:8.6抛物线的简单几何性质(二)
教学目的:
1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质; 2.掌握焦半径公式、直线与抛物线位置关系等相关概念及公式; 3.在对抛物线几何性质的讨论中,注意数与形的结合与转化 教学重点:抛物线的几何性质及其运用 教学难点:抛物线几何性质的运用 教学过程:
一、复习引入: 抛物线的几何性质:
二、讲解新课:
1.抛物线的焦半径及其应用:
定义:抛物线上任意一点M与抛物线焦点F的连线段,叫做抛物线的焦半径公式:
抛物线y2=2px(p>0),PF=x0+
pp
=+x0 22pp
=-x0 22
抛物线y2=-2px(p>0),PF=x0-
抛物线x=2py(p>0),PF=y0+
2
pp
=+y0 22pp
=-y0 22
抛物线x=-2py(p>0),PF=y0-
2
2.直线与抛物线:
(1)位置关系:
相交(两个公共点或一个公共点);相离(无公共点)
下面分别就公共点的个数进行讨论:对于y2=2px(p>0)
当直线为y=y0,即k=0当k≠0,设l:y=kx+b
将l:y=kx+b代入C:Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0,消去y,得到 关于x的二次方程ax+bx+c=(*)
2
若?>0,相交;?=0,相切;?<>
联立?
?y=kx+b2
ax+bx+c=0 ,得关于x的方程2
?y=2px
当a=0(二次项系数为零)当a≠0,则
若?>0?=0?<0,无公共点>0,无公共点>
弦长公式:d=
?
+k2,其中a和?分别是ax2+bx+c=0(*)中二次项系数和判别式,k为直a
线l:y=kx+b当代入消元消掉的是y时,得到ay+by+c=0,此时弦长公式相应的变为:
2
d=
?1+2ak
(3)焦点弦:
定义:过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。
焦点弦公式:设两交点A(x1,y1)B(x2,y2),可以通过两次焦半径公式得到: 当抛物线焦点在x轴上时,焦点弦只和两焦点的横坐标有关: 抛物线y=2px(p>0), =p+(x1+x22
抛物线y=-2px(p>0), =p-(x1+x22
当抛物线焦点在y轴上时,焦点弦只和两焦点的纵坐标有关: 抛物线x=2py(p>0), AB=p+(y1+y22
抛物线x2=-2py(p>0),=p-(y1+y2(4)通径:
定义:直接应用抛物线定义,得到通径:d=2p(5)若已知过焦点的直线倾斜角θ
2pp??
2py+y=?y=k(x-)?22
y-p2=0??1则?k 2?y-k22
??yy=-p?y=2px?12
12p4p22p2
?AB=y-y= ?y1-y2=+4p=1222
sinθsinθsinθk
(6)常用结论:
p?
2pk2p2?y=k(x-)22222
y-p=0和kx-(kp+2p)x+=0 ?2?y-k42
??y=2px
?y1y2=-p2和x1x2=
3.抛物线的法线:
过抛物线上一点可以作一条切线,过切点所作垂直于切线的直线叫做抛物线在这点的法线,抛物线的法线有一条重要性质:
经过抛物线上一点作一直线平行于抛物线的轴,那么经过这一点的法线平分这条直线和这点与焦点连线的夹角如图. 抛物线的这一性质在技术上有着广泛的应用.例如,在光学上,如果把光
源放在抛物镜的焦点F处,射出的光线经过抛物镜的反射,变成了平行光
线,汽车前灯、探照灯、手电筒就是利用这个光学性质设计的.反过来,
2
?x=2pt2
4.抛物线y=2px(p>0)的参数方程:?(t为参数)
y=2pt ?
五、小结 :
课 题:小结与复习(一)
教学目的:
13 教学重点:三种曲线的标准方程和图形、性质教学难点:授课类型:新授课
课时安排:1课时教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程:
抛物线:
二、章节知识点回顾:
椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹,由这些条件可以求出它们的标准方程,并通1.椭圆定义x2y2y2x2
2.椭圆的标准方程:2+2=1,2+2=1 (a>b>0)
ababx2y2
3.椭圆的性质:由椭圆方程2+2=1(a>b>0)
ab
(1)范围: -a≤x≤a,-b≤y≤b,椭圆落在x=±a,y=±b组成的矩形中.
(2)对称性:图象关于y轴对称.图象关于x对称中心,简称
中心.x轴、y(3)顶点:椭圆共有四个顶点: A(-a,0),A2(a,0),B(0,-b),B2(0,bF1(-c,0),F2(c,0)共有
A1A2叫椭圆的长轴,B1B2叫椭圆的短轴.长分别为2a,2 a,b分别为椭圆的长半轴
长和顶点 (4)离心率: =
c?e=<>
一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个(0,1)内常数e,那么这个点
其中定点叫做焦点,定直线叫做准线,常数e
5.椭圆的准线方程
x2y2a22
对于2+2=1,左准线l1:x=-;右准线l2:x=cab
y2x2a22
对于2+2=1,下准线l1:y=-;上准线l2:y=cab
a2a2-c2b2
-c==焦点到准线的距离p=(焦参数) ccc
6.椭圆的焦半径公式:(左焦半径)r1=a+ex0,(右焦半径)r2=a-ex0,其中e焦点在y
?MF1=a+ey0
轴上的椭圆的焦半径公式:?( 其中F1,F2MF=a-ey20?
可以记为:左加右减,上
?
?x=acos?
(?为参数?y=bsin?
8.双曲线的定义:平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值为常数(小于F1F2)的动点的轨迹叫双曲 即MF1-MF2=2a在同样的差下,两定点间距离较长,则所画出的双曲线的开口较开阔(→两定点间距离较短(大于定差),则所画出的双曲线的开口较狭窄(→双曲线的形状与两定点间距离、9.双曲线的标准方程及特点:
(1)双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种:
x2y2
焦点在x轴上时双曲线的标准方程为:2-2=1(a>0,b>0);
aby2x2
焦点在y轴上时双曲线的标准方程为:2-2=1(a>0,b>0)
ab
(2)a,b,c有关系式c=a+b成立,且a>0,b>0,c>222
其中a与b的大小关系:可以为a=b,a:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母x、y项的分母的大小
22
而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的
位置,即x项的系数是正的,那么焦点在x轴上;y2项的系数是正的,那么焦点在y2
11.双曲线的几何性质: (1)范围、对称性
x2y2
由标准方程2-2=1,从横的方向来看,直线x=-a,x=a之间没有图象,从纵的方向来看,随着x
ab
的增大,y双曲线不
(2)顶点
顶点:A1(a,0),A2(-a,0),特殊点:B1(0,b),B2(0,-b)
实轴:A1A2长为2a, a叫做虚轴:B1B2长为2b,b叫做(3)渐近线
bxyx2y2
过双曲线2-2=1的渐近线y=±x(±=0)
aabab
(4)离心率
双曲线的焦距与实轴长的比e=
2cc
=,叫做双曲线的范围:e>1 2aa
bc2-a2c2
双曲线形状与e的关系:k===-1=e2-1,e越大,即渐近线的斜率的绝对值就2
aaa
12.等轴双曲线
定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线, 等轴双曲线的性质:
(1)渐近线方程为:y=±x;(2)渐近线互相垂直;(3)离心率
e=13.共渐近线的双曲线系
如果已知一双曲线的渐近线方程为y=±
bkb
x=±x(k>0),那么此双曲线方程就一定是:aka
x2y2x2y2
-=±1(k>0)或写成2-2=λ22
ab(ka)(kb)
14.共轭双曲线
区别:三量a,b,c中a,b不同(互换)c 确定双曲线的共轭双曲线的方法:将1变为
15. 双曲线的第二定义:到定点F的距离与到定直线l的距离之比为常数e=
c
(c>a>0)的点的轨迹是a
常数e是双曲线的离心率. 16.双曲线的准线方程:
x2y2a2
对于2-2=1来说,相对于左焦点F1(-c,0)对应着左准线l1:x=-,相对于右焦点F2(c,0)对应
caba2
着右准线l2:x=;
c
b2
焦点到准线的距离p=
c
y2x2a2
对于2-2=1来说,相对于上焦点F1(0,-c)对应着上准线l1:y=-;相对于下焦点F2(0,c)对应
caba2
着下准线l2:y=
c
定义:双曲线上任意一点M与双曲线焦点F1,F2焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式:
?MF1=a+ex0∴?
MF=a-ex20?
焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式:
?MF1=a+ey0∴?
?MF2=a-ey0
( 其中F1,F2分别是双曲线的下上焦点)
18.双曲线的焦点弦:
焦点弦公式:
当双曲线焦点在x轴上时,
过左焦点与左支交于两点时: AB=-2a-e(x1+x2过右焦点与右支交于两点时:AB=-2a+e(x1+x2当双曲线焦点在y轴上时,
过左焦点与左支交于两点时:AB=-2a-e(y1+y2过右焦点与右支交于两点时:AB=-2a+e(y1+y219.双曲线的通径:
2
d=抛物线定义:
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的21.抛物线的准线方程:
p,0),准线l:x=2
pp
(2)x2=2py(p>0), 焦点:(0,),准线l:y=-22
p(3)y2=-2px(p>0), 焦点:(-,0),准线l:x=2p(4) x2=-2py(p>0), 焦点:(0,-),准线l:y=2 (1)y2=2px(p>0), 焦点:(
相同点:(1)抛物线都过原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线都与对称轴垂直,垂足与焦点在对称轴它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的
12p=,即
44不同点:(1)图形关于X轴对称时,X为一次项,Y为二次项,方程右端为±2px、左端为y;图形关于Y轴对称时,X为二次项,Y为一次项,方程右端为±2py,左端为x(2)开口方向在X轴(或Y
2
2
轴)正向时,焦点在X轴(或Y轴)的正半轴上,方程右端取正号;开口在X轴(或Y轴)负向时,焦点
在X轴(或Y22.抛物线的几何性质 (1)范围
因为p>0,由方程y=2px(p>0)可知,这条抛物线上的点M的坐标(x,y)满足不等式x≥0,所以
2
这条抛物线在y轴的右侧;当x的值增大时,|y|也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸. (2)对称性
以-y代y,方程y=2px(p>0)不变,所以这条抛物线关于x轴对称,我们把抛物线的对称轴叫做抛
2
物线的轴. (3)顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程y=2px(p>0)中,当y=0时,x=0,因此抛物线
2
y2=2px(p>0)的顶点就是坐标原点.
(4)离心率
抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用e表示.由抛物线的定义可知,e=1.
抛物线y=2px(p>0),PF=x0+
2
pp
=+x0 22pp
=-x0 22
抛物线y=-2px(p>0),PF=x0-
2
抛物线x2=2py(p>0),PF=y0+pp=+y0 22
pp=-y0 22抛物线x2=-2py(p>0),PF=y0-
24.直线与抛物线:
(1)位置关系:
相交(两个公共点或一个公共点);相离(无公共点)将l:y=kx+b代入C:Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0,消去y,得到 关于x的二次方程ax+bx+c=(*) 2
若?>0,相交;?=0,相切;?<>
联立??y=kx+b2,得关于x的方程ax+bx+c=0 2?y=2px
当a=0(二次项系数为零)当a≠0,则
若?>0?=0?<0,无公共点 (2)相交弦长:="" 弦长公式:d="?+k2,">0,无公共点>
(3)焦点弦公式:
抛物线y=2px(p>0), =p+(x1+x22
抛物线y=-2px(p>0), =p-(x1+x22
抛物线x=2py(p>0), AB=p+(y1+y22
抛物线x=-2py(p>0),=p-(y1+y22
(4)通径:
定义:通径:d=2p(5)若已知过焦点的直线倾斜角θ
2pp??2py+y=?y=k(x-)?22y-p2=0??1则?k 2?y-k22??y=2pxyy=-p??12
12p4p22p2?AB=y-y= ?y1-y2=+4p=12sinθsin2θsinθk2
(6)常用结论:
p?2pk2p2?y=k(x-)22222y-p=0和kx-(kp+2p)x+=0 ?2?y-k42??y=2px
?y1y2=-p2和x1x2= 2?x=2pt25.抛物线y2=2px(p>0)的参数方程:?(t为参数) y=2pt ?
范文三:圆锥曲线的应用
高考要求
而不是客体的展示也
就是说,所考的应用题通常已进行过初步加工,并通过语言文字、符号或图
即将应用题的材料陈述转化成数学问题这就要抽象、归纳
其中的数量关系,并把这种关系用数学式子表示出来
解出结果,从而得到实际
问题的解答 知识点归纳
解析几何在日常生活中应用广泛,如何把实际问题转化为数学问题是解
决应用题的关键,而建立数学模型是实现应用问题向数学问题转化的常用方法解函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想题型讲解
例1 设有一颗彗星沿一椭圆轨道绕地球运行,地球恰好位于椭圆轨道的焦点处,当此彗星离地球相距m 万千米和星的直线与椭圆的长轴夹角分别为
π2
43
m 万千米时,经过地球和彗
和
π3
,求该彗星与地球的最近距离分析:本题的实际意义是求椭圆上一点到焦点的距离,一般的思路:由直线与椭圆的关系,列方程组解之;或利用定义法抓住椭圆的第二定义求解何意义可知:只有当该彗星运行到椭圆的较近顶点处时,彗星与地球的距离才达到最小值即为a -c ,这样把问题就转化为求a ,c 或a -
解:建立如下图所示直角坐标系,设地球位于焦点F (-c ,0)处,椭圆的方程为
x a
22
+
y b
22
=1,
π3
当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为
时,由椭圆的几何意义可知,彗星A 只能满足∠xFA =
π3
(或∠xFA ′=
π3
)
作AB ⊥Ox 于B ,则|FB |=故由椭圆的第二定义可得 m =
c a
12
|FA |=
23a
m ,
(
13
a
2
c
-c )① 且
c a
43
m =
c a
2
(
c
-c +
23
m )②
两式相减得m =
12
2
23
m ,∴a =2c
代入①,得m =∴c =
23
(4c -c )=
23
32
c ,
m a -c =c =
m
答:彗星与地球的最近距离为
23
m 万千米点评: (1)在天体运行中,彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆,而恒星正是它的一个焦点,该椭圆的两个端点,一个是近地点,另一个则是远地点,这两点到恒星的距离一个是a -c ,另一个是a +
(2)以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的,以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想另外,数学应用问题的解决在数学
化的过程中也要时刻不忘审题,善于挖掘隐含条件,有意识地训练数学思维的品质
例2 某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑,挖出的土只能沿道路AP 、BP 运到P PA =100 m,PB =150 m,∠APB =60°,试说明怎样运土最省工分析:首先抽象为数学问题,半圆中的点可分为三类:(1)沿AP 到P 较近;(2)沿BP 到P 较近;(3)沿AP 、BP 到P 同样远显然,第三类点是第一、二类的分界点,设M 是分界线则有|MA |+|P A |=|MB |+|PB |于是
|MA |-|MB |=|PB |-|PA |=150-从而发现第三类点M 满足性质:点M 到点A 与点B 的距离之差等于常
数50,由双曲线定义知,点M 在以A 、B 为焦点的双曲线的右支上,故问题转化为求此双曲线的方程解:以AB 所在直线为x 轴,线段AB 的中点为原点建立直角坐标系xOy ,设M (x ,y )是沿AP 、BP 运土同样远的点,则 |MA |+|P A |=|MB |+|PB |,
在△PAB 中,由余弦定理得
|AB |2=|PA |2+|PB |2-2|PA ||PB |cos60°=17500,
且500,b >0)
∵2a =50,4c =17500,c =a +b , 解之得a 2=625,b 2=375022
∴M 点轨迹是
x
2
625
-
y
2
3750
=1(x ≥25于是运土时将双曲线左侧的土沿AP 运到P 处,右侧的土沿BP 运到P 处最省工点评:(1)本题是不等量与等量关系问题,涉及到分类思想,通过建立直角坐标系,利用点的集合性质,构造圆锥曲线模型(即分界线)从而确定出最优化区域(2)应用分类思想解题的一般步骤:①确定分类的对象;②进行合理
例3 根据我国汽车制造的现实情况,一般卡车高3 m ,宽m 现要设计横断面为抛物线型的双向二车道的公路隧道,为保障双向行驶安全,交
通管理规定汽车进入隧道后必须保持距中线0m 已知拱口AB 宽恰好是拱高OC 的4倍,若拱宽为a m,求能使卡车安全通过的a 的最小
整数值分析:根据问题的实际意义,卡车通过隧道时应以卡车沿着距隧道中线04 m到2 m间的道路行驶为最佳路线,因此,卡车能否安全通过,取决于
距隧道中线2 m(即在横断面上距拱口中点2 m)处隧道的高度是否够3 m,
解:如图,以拱口AB 所在直线为x 轴,以拱高OC 所在直线为y 轴建立直角坐标系,
由题意可得抛物线的方程为x =-2p (y -∵点A (-∴(-
a 2
a 2
2
a 4
),
,0)在抛物线上,
a 4
)2=-2p (0-
),得p =
a
2
∴抛物线方程为x 2=-a (y -
a 4
)
取x ,代入抛物线方程,得
2=-a (y -
2
a 4
),y a
2
2
>3,
由题意,令y >3,得
2
-164a
∵a >0,∴a -12a -16>0
∴a
>6+2又∵a ∈Z ,∴a 应取14,15,16,?
答:满足本题条件使卡车安全通过的a 的最小正整数为点评: 本题的解题过程可归纳为两步:一是根据实际问题的意义,确定解题途径,得到距拱口中点2 m 处y 的值;二是由y >3通过解不等式,结合问题的实际意义和要求得到a 的值,值得注意的是这种思路在与最佳方案有关的应用题中是常用的例4 如图,某隧道设计为双向四车道,车道总宽22 m,要求通行车辆限高4,隧道全长5 km
(1)若最大拱高h 为6 m,则隧道设计的拱宽l 是多少? (2)若最大拱高h 不小于6 m,则应如何设计拱高h 和拱宽l ,才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小?
(半个椭圆的面积公式为S =
π4
lh ,柱体
体积为底面积乘以高)
(1)解:如下图建立直角坐标系,则点P (11,4),
椭圆方程为
x a
22
+
y b
22
=1将b =h =6与点P 坐标代入椭圆方程,得 a =
4477
,此时l =2a =
887
7
≈因此隧道的拱宽约为33(2)解法一:由椭圆方程
x a
22
+
y b
22
=1,得
11a
22
+
4. 5b
2
2
=1
因为
11a
22
+
4. 5b
2
2
≥
2?11?4. 5
ab
,
π4
πab 2
99π
即ab ≥99,且l =2a ,h =b ,所以S =
11a
22
lh =≥
2
当S 取最小值时,有
=
4. 5b
2
2
=
12
,
得a =112,b
此时l =2a =222≈,h =b ≈6故当拱高约为6、拱宽约为
解法二:由椭圆方程
x a
22
+
y b
22
=1,得
11a
22
+
4. 5b
2
2
=1
于是b =
2
814
2
2
a b =
22
814
(a -121+
a
2
121
2
2
-121
+242)≥
814
(2121
2
+242)=813121,
即ab ≥99,当S 取最小值时, 有a -2
2
922
得a =112,b =,以下同解法一例5 一摩托车手欲飞跃黄河,设计摩托车沿跑道飞出时前进方向与水平方向的仰角是12°,飞跃的水平距离是35 m,为了安全,摩托车在最高点与落地点的垂直落差约10 m,那么,骑手沿跑道飞出时的速度应为多少?(单位是 km/h,精确到个位)
(参考数据:sin12°,cos12°,t an12°=0)
分析:本题的背景是物理中的运动学规律,摩托车离开跑道后的运动轨迹为抛物线,它是由水平方向的匀速直线运动与竖直方向上的上抛运动合成的,它们运行的位移都是时间t 的函数,故应引入时间t ,通过速度v 的矢
解: 摩托车飞离跑道后,不考虑空气阻力,其运动轨迹是抛物线,轨迹方程是x =vt cos12°,y =vt sin12°-
12
39t
2
其中v 是摩托车飞离跑道时的速度,t 是飞行时间,x 是水平飞行距离,y 是相对于起始点的垂直高度,将轨迹方程改写为
y =-
1
1
2(cos12??v ) 2
39x +t an12°2x ,
2
即y =-51219
x v
22
+02125x
当x ≈00207v 2时,取得y max ≈v 2当x =35时,y 落=-62741v
2
+7
∵y max -y 落=10, v 2
1v
2
-17,
解得v ≈或v ≈若v ≈88 m/s,则x 246 m,与题目不符, 而v ≈19,符合题意,为所求解故v ≈44 m/s=69≈答:骑手沿跑道飞出时的速度应为70 km/h点评:本题直接构造y 是x 的函数解析式很困难,应引入适当的参数(时间t )作媒介,再研究x 与y 是怎样随参数变化而变化的,问题往往就容易解决了这种辅助变量的引入要具体问题具体分析,以解题的简捷为原则例6 A 、B 、C 是我方三个炮兵阵地,A 在B 正东6 km,C 在B 正北偏西30°,相距4 km,P 为敌炮阵地,某时刻A 处发现敌炮阵地的某种信号,由于B 、C 两地比A 距P 地远,因此4 s 后,B 、C 才同时发现这一信号,此信号的传播速度为1 km/s,A 若炮击P 解:如下图,以直线BA 为x 轴,线段BA 的中
垂线为y 轴建立坐标系,则
B (-3,0)、A (3,0)、C (-5,23)
因为|PB |=|PC |,
所以点P 在线段BC
因为k BC =-3,BC 中点D (-4,3), 所以直线PD 的方程为y -3=
13
(x +4) ①
又|PB |-|PA |=4,故P 在以A 、B 为焦点的双曲线右支上
设P (x ,y ),则双曲线方程为联立①②,得x =8,y =53, 所以P (8,53)k PA =
x
2
4
-
y
2
5
=1(x ≥0) ②
5
38 3
=故炮击的方位角为北偏东30° 小结:
解决圆锥曲线应用问题时,要善于抓住问题的实质,通过建立数学模型,实现应用性问题向数学问题的顺利转化;要注意认真分析数量间的关系,紧扣圆锥曲线概念,充分利用曲线的几何性质,确定正确的问题解决途径,灵活运用解析几何的常用数学方法,求得最终完整的解答
学生练习
12 m时,水面宽4 m,若水面下降1 m时,则水面宽为
m 26m C 5 m 9 m
解析:建立适当的直角坐标系,设抛物线方程为x 2=-2Py (P >0),由题意知,抛物线过点(2,-2),
∴4=2p 32p =1∴x 2=-2y 当y 0=-3时,得x 02=6∴水面宽为2|x 0|=26答案:B
20 m,拱高是4 m,在建桥时每隔4 m需用
一柱支撑,其中最长的支柱是
A 4 m 384 m C 48 m 292 m
解析:建立适当坐标系,设抛物线方程为x 2=-2py (p >0),由题意知
其过定点(10,-4),代入x 2=-2py ,得p
∴x 2=-25x 0=2时,y 0=
-425
,∴最长支柱长为4-|y 0|=4-
425
=384(m )
答案:B
的各点所在的曲线是
A D
解析:设旗杆高为m ,华表高为n ,m >旗杆与华表的距离为2a ,以旗
杆与地面的交点和华表与地面的交点的连线段所在直线为x 轴、垂直平分线为y M (x ,y ),由题意
(x +a ) +y (x -a ) +y
2
222
=
m n
,
即(m 2-n 2)x 2+(m 2-n 2)y 2-2a (m 2-n 2)x + (m 2-n 2)a 2=0答案:B
年12月19日,太原卫星发射中心为摩托罗拉公司(美国)发射了两颗“铱星”系统通信卫星椭圆,近地点为m km,远地点为 n km,地球的半径为R km,则通信卫星运行轨道的短轴长等于 A 2(m +R )(n +R )
(m +R )(n +R ) mn D 解析:由题意
n -m 2
m +n +2R
2
-c =m +R , ①
n -m 2
m +n +2R
2
+c =n +R , ②
∴c =,2b =2(
m +n +2R
2
) -(
2
)
2
=2
答案:A
OP =1 m ,水从喷头P 喷出后呈
抛物线状先向上至最高点后落下,若最高点距水面2 m,P 距抛物线对称轴1 m ,则在水池直径的下列可选值中,最合算的是
A 5 m 6 m
解析:以O 为原点,OP 所在直线为y 轴建立直角
坐标系(如下图),则抛物线方程可设为
y =a (x -1)2+2,P 点坐标为(0,1), ∴1=a +2a =-∴y =-(x -1)2+2
令y =0,得(x -1)=2,∴x
=1±2
∴水池半径OM =2+1≈2(m )因此水池直径约为23|OM (m )答案:C
知灯口直径是 60 cm,灯深40 cm,则光源到反射镜顶点的距离是
解析:设抛物线方程为y =2px (p >0),点(40,30)在抛物线y =2px 上,∴900=2p 340p 22
p 2
光源到反射镜顶点的距离为
458
答案:
458
1400 m的A 、B 两哨所,听到炮弹爆炸声音的时间相差3 s,
已知声速340 m/s炮弹爆炸点所在曲线的方程为________________
解析:设M (x ,y )为曲线上任一点,
则|MA |-|MB |=34033=1020<1400∴m 点轨迹为双曲线,且a="c">1400∴m>
14002
2
2
10202
=510,
∴b =c -a =(c +a )(c -a )=12103190
2
∴M 点轨迹方程为
x
22
-
y
2
510
x
22
1210?190
=1答案:
-
y
2
510
1210?190
=1
x 2=2y (0≤y ≤20)在杯内放入一个玻璃球,要使球触及酒杯底部,则玻璃球的半径r 的范围为________解析:玻璃球的轴截面的方程为x 2+(y -r )2=r 2
由x =2y ,x +(y -r )=r ,得y +2(1-r )y =0,由Δ=4(1-r )=0,得r =1
答案:00),
则36=2p 32,p =9所以所求抛物线的标准方程是y 2=18x , 焦点坐标是F (
92
,0)
(2)∵盛水的容器在焦点处,∴A 、F
|AF |=(2-
92
) +6
22
=
132
(或|AF |=
92
+2=
132
)
故每根铁筋的长度是611有一种电影放映机的放映灯泡的玻璃上镀铝,只留有一个透明窗用
地方发出光线反射到卡门上,并且这两物体间距离为,灯丝距顶面距离为2,为使卡门处获得最强烈的光线,在加工这种灯泡时,应使用何
种曲线可使效果最佳? 试求这个曲线方程分析:由于光线从灯丝发出,反射到卡门上光线应交于一点,这就是光线聚焦,只要把灯丝、卡门安在椭圆的2个焦点上,反射面采用旋转椭球面就可以使光线经反射后聚焦于卡门处,因而可获得强光
解:采用椭圆旋转而成的曲面,如下图建立直角坐标系,中心截口BAC 是椭圆的一部分,设其方程为
x a
22
+
y b
22
=1,灯丝距顶面距离为p ,由于△
BF 1F 2为直角三角形,因而,|F 2B |2=|F 1B |2+|F 1F 2|2=p 2+4c 2,由椭圆性质有|F 1B |+|F 2B |=2a ,所以a =
12
(p +
p
2
+4c
2
),a =
x
2
12
(8+2. 82+4. 52)
≈4,b =a -c ≈337 m22
4. 05
2
+
y
22
3. 37
=1
12某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔如图所示,已知上部呈抛物
线形,跨度为20 m,拱顶距水面6 m,桥墩高出水面4 m,现有一货船欲过此孔,该货船水下宽度不超过18 m,目前吃水线上部分中央船体高5 m,宽16 m,且该货船在现在状况下还可多装1000 t 货物,但每多装150 t 货物,船体吃水线就要上升0m ,若不考虑水下深度,该货船在现在状况下能否直
接或设法通过该桥孔?为什么?
解:如下图,建立直角坐标系,设抛物线方程为y =ax 2,则A (10,-2)在抛物线上, ∴-2=ax ,a =-正中央航行2
150
,方程即为y =-
150
x 让货船沿
2
∵船宽16 m,而当x =8时,y =-
150
282=1,
∴船体在x =±8之间通过B (8,-1),
∴B 点离水面高度为6+(-28)72(m ),而船体水面高度为5 m,
∴无法直接通过5-4(m ),0÷004=7,而15037=1050(t ),
∴要用多装货物的方法也无法通过,只好等待水位下降13
2003
年
10月15日9时,“神舟”五号载人飞船发射升空,于9时
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2个焦点的椭圆A 距地面200 km ,远地点B 距地面已知地球半径R
(1)求飞船飞行的椭圆轨道的方程;
(2)飞船绕地球飞行了十四圈后,于16日5时59分返回舱与推进舱
5
分离,结束巡天飞行,飞船共巡天飞行了约6310 km,问飞船巡天飞行的平均速度是多少? (结果精确到1 km/s)(注:km/s即千米/秒)
解:(1)设椭圆的方程为
x a
22
+
y b
22
=1由题设条件得
a -c =|OA |-|OF 2|=|F 2A |=6371+200=6571, a +c =|OB |+|OF 2|=|F 2B 解得a =6646,c =75,所以a 2=44169316,
b 2=a 2-c 2=(a +c )(a -c )=67213∴所求椭圆的方程为
x
2
44169316
+
y
2
44163691
=1(注:由44163691≈得椭圆的方程为
x
22
6646
+
y
2
2
6645. 6
=1,也是正确的)
(2)从15日9时到16日6时共21个小时,即213减去开始的9分50 s ,即9360+50=590(s ),再减去最后多计的1分
钟,共减去590+60= 650(s ),得飞船巡天飞行的时间是2133600-650=74950(s ),
平均速度是
60000074950
≈8(km/s
所以飞船巡天飞行的平均速度是
1410 m跳台跳水训练时,身体(看成一点)在空
中的运动路线为如下图所示坐标系下经过原点O 的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件)在跳某个规定动作时,正常情况下,该运动员在空中的最高处距水面10
2
3
m ,入水处距池边的距离为4
m ,同时,运动员在距水面高度为5 m或5 m以上时,必须完成规定的翻腾动作,并调整好入水姿势,否则就
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(1(2)在某次试跳中,测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线,
且运动员在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距离为3水会不会失误?并通过计算说明理由35
m ,问此次跳
(3)要使此次跳水不至于失误,该运动员按(1)中抛物线运行,且运动员在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距离至多应为多少?
解:(1)在给定的直角坐标系下,设最高点为A ,入水点为B ,抛物线的解析式为
y =ax +bx +c 由题意知,O 、B 两点的坐标依次为(0,0)、(2,-10),且
2
顶点A 的纵坐标为,所以有c =0,
3
24ac b
4a
2
=
23
,4a +2b +c =-10解之得a =-
256
, b=
103
,c =0或a =-
b 2a
32
,b =-2,c =0∵抛物线对称轴在y 轴右侧,∴-又∵抛物线开口向下,∴a 0,后一组解舍去>0∴a =-
256
,b =
103
,c =0∴抛物线的解析式为y =-
256
x 2+
103
(2)当运动员在空中距池边的水平距离为3y =(-
256
35
m 时,即x =3
35
-2=
85
时,
)3(
85
)+
2
103
3
85
=-
163
,
∴此时运动员距水面的高为 10-
163
=
143
0的区域内完成动作并做好入水姿势时,当然不会失误,但很难做到∴当y 0) ,(x A ≤x ≤x B ,y >0) ,其中x A ,x B 分别为A ,B 的横坐
标,P =|MN |.
所以 M (-(x A +
P 2
P 2
,0) ,N (
P 2
,0) . 由 |AM |=,|AN |=3得
P 2
) 2+2Px A =17, ①(x A -
4
) 2+2Px A =9. ②
由①、②两式联立解得x A =
?p =4?p =2
,再将其代入①式并由p >0解得?或?. P ?x A =1?x A =2
P
?p =2
因为△AMN 是锐角三角形,所以>x A ,故舍去?.∴ P =4,x A =1.
x =22?A
由点B 在曲线段C 上,得x B =|BN |-
P 2
=4.综上得曲线段C 的方程为y 2=8x (1≤x ≤4,y >0) .
解法二:如图建立坐标系,分别以l 1、l 2为x 、y 轴,M 为坐标原点. 作AE ⊥l 1,AD ⊥l 2,BF ⊥l 2,垂足分别为E 、D 、F . 设 A (x A ,y A ) 、B (x B ,y B ) 、N (x N ,0) .依题意有
x A =|ME|=|DA|=|AN|=3,y A =|DM |=
锐角三角形,故有
AM
2
-DA
2
=22,由于△AMN 为
x N =|AE |+|EN |=4.=|ME |+
AN
2
-AE
2
=4 X B =|BF |=|BN |=6.
设点P (x ,y ) 是曲线段C 上任一点,则由题意知P 属于集合{(x ,y )|(x -x N ) 2+y 2=x 2,x A ≤x ≤x B ,y >0}. 故曲线段C 的方程y =8(x -2)(3≤x ≤6,y >0) . 【例4】已知椭圆
x a
22
2
+
y b
22
=1(a >b >0) 的长、短轴端点分别为A 、B ,从此椭圆上一点M 向x 轴作垂线,
恰好通过椭圆的左焦点F 1,向量AB 与OM 是共线向量。
(1)求椭圆的离心率e ;
(2)设Q 是椭圆上任意一点, F1、F 2分别是左、右焦点,求∠F 1QF 2的取值范围; 解:(1)∵F 1(-c , 0), 则x M =-c , y M =∵k AB =-(2)设
b a
b
2
a
,∴k OM =-b
2
b
2
ac
。
22
, OM 与AB 是共线向量,∴-
ac
=-
b a
,∴b=c,故e =。
F 1Q =r 1, F 2Q =r 2, ∠F 1Q F 2=θ, ∴r 1+r 2=2a , F 1F 2=
2c ,
cos θ=
r 1+r 2-4c
2r 1r 2
222
=
(r 1+r 2) -2r 1r 2-4c
2r 1r 2
22
=
a
2
r 1r 2
-1≥
(
a 2
2
r 1+r 2
-1=0 )
2
当且仅当r 1=r 2时,cos θ=0,∴θ∈[0,
π
2
]。
811
【例5】如图,已知梯形ABCD 中|AB |=2|CD |,点E 分有向线段AC 所成的比为,双曲线过C 、D 、E
三点,且以A 、B 为焦点.求双曲线的离心率.
解:如图,以AB 的垂直平分线为y 轴,直线AB 为x 轴,建立直角坐标系xOy ,则CD ⊥y 轴. 因为双曲线经过点C 、D ,且以A 、B 为焦点,由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称. 依题意,记A (-c ,0) ,C (
c 2
,h ) ,B (c ,0) ,其中c 为双曲线的半焦距,c =
12
|AB |,h 是梯形的高.
由定比分点坐标公式,得点E 的坐标为
-c +x E =
8
112=-7c , y =
E
8191+
11
x a
22
?
c
0+
811
?h 8
=
819
h .
1+
11
c a
设双曲线的方程为得
-
y b
22
=1,则离心率e =.由点C 、E 在双曲线上,
2
?1c
2h
① ??2-2=1,
?4a b
?22
?49?c -64?h =1. ② 22?361b ?361a
由①式得
h b
22
1c c
=?2-1代入②式得2=9所以,离心率e =4a a
22
c a
22
=3
【例6】已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1. (1)求椭圆C 的标准方程;
(2)若直线l :y=kx+m与椭圆C 相交于A,B 两点(A,B 不是左右顶点),且以AB 为直径的图过椭圆C 的右
顶点.求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标. 解:(I )由题意设椭圆的标准方程为
x a
22
+
y b
22
=1(a >b >0) ,由已知得:a +c =3,a -c =1,∴a =2,
c =1,∴b =a -c =3∴椭圆的标准方程为
222
x
2
4
+
y
2
3
=1
?y =kx +m ,?222
(Ⅱ)设A (x 1,y 1) ,B (x 2,y 2) ,联立?x 2y 2 得(3+4k ) x +8m kx +4(m -3) =0,
+=1. ?
3?4
?
??=64m 2k 2-16(3+4k 2)(m 2-3) >0,即3+4k 2-m 2>0,则?
8m k ?
,?x 1+x 2=-2
3+4k ?
2
?4(m -3)
. ?x 1?x 2=2
3+4k ?
又y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m ) =k x 1x 2+mk (x 1+x 2) +m =
22
3(m -4k ) 3+4k
2
22
,
因为以A B 为直径的圆过椭圆的右顶点D (2,0) ,∴k AD k BD =-1,即
y 1x 1-2
?
y 2x 2-2
=-1,
∴y 1y 2+x 1x 2-2(x 1+x 2) +4=0,∴
2k 7
3(m -4k ) 3+4k
2
22
+
4(m -3) 3+4k
2
2
+
16mk 3+4k
2
+4=0,∴7m +16mk +4k =0
22
解得:m 1=-2k ,m 2=-
,且均满足3+4k 2-m 2>0,
当m 1=-2k 时,l 的方程为y =k (x -2) ,直线过定点(2,0) ,与已知矛盾; 当m 2=-
2k 7
时,l 的方程为y =k x -
?
?
2??2?
,直线过定点0? ? ,7?7??
所以,直线l 过定点,定点坐标为 ★★★自我提升
1. 已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆
?2
?,0? ?7?
x
2
3
+y 2=1上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在
BC 边上,则△ABC 的周长是(C )
(A )2(B )6 (C )43 (D )12
2.如果双曲线的两个焦点分别为F 1(-3, 0) 、F 2(3, 0) ,一条渐近线方程为y =线间的距离是( C )
A .63 B.4 C.2 D.1
3.抛物线y =4x 2上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是( B) ( A )
1716
2x ,那么它的两条准
( B )
1516
( C )
62
78
( D ) 0
4.双曲线的虚轴长为4,离心率e =,F 1、F 2分别是它的左,右焦点,若过F 1的直线与双曲线的左支
交于A 、B 两点,且|AB|是|AF 2|与|BF 2|的等差中项,则|AB|为(A ).
A 、82 B、42 C、22 D、8
5.已知椭圆中心在原点,一个焦点为F (-23,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方
2
x 2y +=1 . 程是 164
6.过椭圆左焦点F ,倾斜角为60?的直线交椭圆于A 、B 两点,若|FA |=2|FB |,则椭圆的离心率为( B )
(A)
3
(B) +
23
(C)
12
(D)
2
7.椭圆=1的离心率e=
x a
22
,则m=___________m=8或2。
8. F 1、F 2是椭圆
+
y b
22
=1(a>b>0)的两焦点,过F 1的弦AB 与F 2组成等腰直角三角形ABF 2,其中
∠BAF 2=90,则椭圆的离心率是________6-3
9.已知椭圆E 的离心率为e ,左、右焦点为F 1、F 2,抛物线C 以F 2为焦点,F 1为其顶点,若P 为两曲线的公共点,且e |PF 2|=|PF 1|,则e =__________。
33
10.如图,已知三点A (-7, 0),B (7,0),C (2,-12). ① 若椭圆过A 、B 两点,且C 为其一焦点,
求另一焦点P 的轨迹方程;
② 若双曲线的两支分别过A 、B 两点,且C 为其一
焦点,求另一焦点Q 的轨迹方程。
解析:①由椭圆定义知,|AP|+|AC|=|BP|+|BC|,
即|PB |-|PA |=|AC |-|BC |=2<|ab |="">|ab>
故P 的轨迹为A (-7,0)、B (7,0)为焦点实轴长为2的双曲线的一支, 其方程为x -
2
y
2
48
② 经讨论知,无论A 在双曲线的哪一支上, 总有|QA|+|QB|=|AC|+|BC|=28>|AB|=14
故点Q 的轨迹为以A (-7,0)、B (7,0)为焦点长轴长为28的椭圆,
=1(x <0)>0)>
其方程为
x
2
196
+
y
2
147
=1。 x
22
a b
x 轴 时,恰好|AF 1|:|AF 2=3:1
(I )求该椭圆的离心率;
11.如图,A 为椭圆+
y
22
=1(a >b >0) 上的一个动点,弦AB 、AC 分别过焦点F 1、F 2.当AC 垂直于
(II )设AF 1=λ1F 1B ,AF 2=λ2F 2C ,试判断λ1+λ2是否为定值?若是,则求出该定值;若不是,请说明理由.
解:(I )当A C 垂直于x 轴时,
AF 1:AF 2=3:1
,
由AF 1+AF 2=2a ,
a 2
2
得A F 1=
3a 2
,A F 2=
2
在Rt△AF 1F 2AF 1解得 e
=(b a
2
=AF 2
+(2c )
2
2
. 由-e
e
2
II a -c a
)
2
==
22
22
,则
==
,b =c .
,
则椭圆方程为
x
22
0) ,F 2(b ,0) 焦点坐标为F 1(-b ,
2b
+
y b
22
=1,
化简有x +2y =2b .
222
设A (x 0,y 0) ,B (x 1,y 1) ,C (x 2,y 2) , ①若直线AC 的斜率存在,则直线AC 方程为y =
2
2
y 0x 0-b
2
(x -b )
2
代入椭圆方程有(3b -2bx 0) y +2by 0(x 0-b ) y -b y 0=0. 由韦达定理得:y 0y 2=-所以λ2=故λ1+λ2=
AF 2F 2C
b
b y 0
2
22
3b -2bx 0
,∴y 2=-
b y 03b -2bx 0
2
2
3b +2x 0
b
=
y 0-y 2
=
3b -2x 0
b
,同理可得λ1=
-3b -2x 0
-b
=
6b
=6.
3b +2b b
=5
②若直线AC ⊥x 轴,x 0=b ,λ2=1,λ1= ∴λ1+λ2=6.
综上所述:λ1+λ2是定值6. 12.已知椭圆
x
22
a b
22
此正方形外接圆为x +y-2y-8=0,求椭圆方程和直线l 的方程。
解:圆方程x 2+y2-2y-8=0+
y
22
=1(a >b >0)上两点A 、B ,直线l :y =x +k 上有两点C 、D ,且ABCD 是正方形。
设正方形的边长为p y=x+k的距离应等于正方形边长p 式可知k=-2或k=4。
(1)设AB : CD: 得A (3,1)B (0,-2∴a =12,b =42
2
(2)设AB :y=x+4482222
a =, b =16,此时b >a (舍去)。
5
综上所述,直线l 方程为y=x+4,椭圆方程为
x
2
12
+
y
2
4
=1。
范文五:圆锥曲线的定义
圆锥曲线(椭圆、双曲线)的第一定义复习
班级 姓名 学号
x2y2
+=1,焦点在x轴上,则其焦距为 1.已知椭圆的方程为8m2
2.设F1,F2为定点,|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=6,则动点M的轨迹 是
x2y2
3.椭圆+=1的左右焦点为F1,F2,一直线过F1交椭圆于A、B两点,则?ABF2的167
周长为
4
=10为不含根式的形式是
x2y2
-=1表示椭圆,则m的取值范围是 5.方程2mm-1
x2y2
+=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则6.已知椭圆92
|PF2|=;∠F1PF2的大小为
x2y2
7.已知F1、F2是椭圆C:2+2=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,ab
且PF1F2的面积为9,则b。 1⊥PF2.若?PF
y2x2π-=1的两个焦点,P为其上一点,且∠F1PF2=,则8.已知F1、F2是双曲线456
?PF1F2的面积为。
x2y2
+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,9.若点O和点F分别为椭圆43
则OP?FP的最大值为 。
10.离心率为2,长轴长为6的椭圆的标准方程是 3
x2y2
+=1恒有公共点,则m的取值范围是 11.直线y=kx+1(k∈R)与椭圆5m
12.以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1,则长轴长的最小值 为
13.设动点P到A(-5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6,则P点的轨迹方 程是
x2y214.双曲线1上一点P到点(5,0)的距离为15,那么该点到点(-5,0)的距离 169
为
15.圆P过点
方程
x2y2x2y216.椭圆+=1与双曲线a=1有相同的焦点,则a的值是 4a2,且与圆
外切,则动圆圆心P的轨迹
x2y2
17.过双曲线2-2=1(a>0,b>0)的焦点且垂直于x轴的弦的长度为 ab
18.双曲线3mx-my=3的焦距是4,则m的值是 22
x2y2
-=1上一点,|PF1|=6,则PF2等于 19.P是以F1、F2为焦点的双曲线169
20.一条直线与双曲线两支交点个数最多为
x2y2
+=1代表双曲线时,其焦点坐标为 21.当方程k4
x2y2
-=1的左、右焦点,P(3,1)为双曲线内一点,点A在双22.已知F1,F2为双曲线54
曲线上,则|AP|+|AF2|的最小值为
23.平面内有两个定点F1,F2和一动点M,设命题甲:MF1-MF2是定值;命题乙:点M的轨迹是双曲线。则命题甲是命题乙的________________条件。
24.直线y=kx+1与双曲线x2-4y2=16,只有一个公共点,则k的取值集合是_______________________________.
25.已知圆(x+4)+y=25圆心为M1,(x-4)+y=1的圆心为M2,一动圆与这两个圆都外切,求动圆圆心的轨迹方程为 2222
x2y2
26.设椭圆E:2+=1的焦点在x轴上 2a1-a
(Ⅰ)若椭圆E的焦距为1,求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,P为椭圆E上的第一象限内的点,直线F2P交y轴与点Q,并且F1P⊥FQp在某定直线上。 1,证明:当a变化时,点
1x2y2
27.如图,椭圆C:2+2=1(a>b>0)的离心率为,其2ab
左焦点到点P(2,1)
不过原点O的直线l与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分. (Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ) 求?ABP的面积取最大时直线l的方程.
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1时是椭圆,当e>2c>