范文一:圆柱与圆锥的相关概念
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圆柱 与 圆锥的相关概念
圆柱的认识
1、 圆柱:把一个长方形绕它的一条边旋转一周形成的图形就是圆柱。
2、 圆柱上下两个面叫做底面,它们是面积相等的两个圆。
3、 圆柱两底面之间的距离叫做高。周围的面叫做侧面,圆柱的侧面是曲面。
4、 圆柱的侧面展开后是长方形,长方形的长等于圆柱底面的周长,宽等于圆柱的高。
5、 计算公式:
圆柱的侧面积=底面周长×高, 圆柱的表面积=圆柱的侧面积+两个底面的面积
即S侧=ch = s表=s侧+s底×2=
6、 圆柱所占空间的大小,叫做这个圆柱体的体积.
7、 求圆柱的体积跟求长方体、正方体一样,都是底面积×高
圆柱的体积=圆柱的底面积×高, 即V=sh =
圆锥的认识
1、圆锥:把一个直角三角形绕它的一条直角边旋转一周形成的图形就是圆锥。
2、圆锥只有一个底面,底面是个圆。圆锥的侧面是个曲面。
3、从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。
两个底面之间的距离是圆柱体的高,圆柱有无数条高,且高的长度都相等。
圆柱体的侧面是一个曲面。
圆柱的侧面积=底面周长x高
圆柱的表面积=侧面积+底面积x2
圆柱的体积=底面积x高
如果用V表示圆柱的体积,S表示圆柱的底面积,h表示圆柱的高,圆柱的体积公式可以写成:V=Sh 体积是等底等高圆锥体的3倍
圆锥体特点:
一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3
将圆锥的侧面积不成曲线的展开,是一个扇形
圆锥有一个底面,一个顶点,只有一条高!
圆锥体的表面积=1/2×母线×底面周长+底面积
圆锥体积公式: V=1/3Sh
S是底面积,h是高,r是底面半径
圆柱与圆锥的关系
与圆柱等底等高的圆锥体积是圆柱体积的。
体积和高相等的圆锥与圆柱(等底等高)之间,圆锥的底面积是圆柱的倍。
范文二:圆锥曲线的概念及性质
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圆锥曲线的概念及性质
作者:
来源:《数学金刊·高考版》2015年第04期
圆锥曲线的概念及性质在高考中每年必考,且考查的内容较为丰富,题目变化较多.
(1)圆锥曲线的定义及应用.
(2)圆锥曲线的几何性质.
(1)熟练掌握圆锥曲线的定义、几何性质.
(2)重视数学思想方法的应用,体会解析几何的本质——用代数方法求解几何问题. 例1 若双曲线 - =1(a>0,b>0)的右顶点为A,过其左焦点F作x轴的垂线交双曲线于M,N两点,且 · >0,则该双曲线的离心率的取值范围为( )
A. (2,+∞)?摇?摇?摇?摇 B. (1,2)
C. ,+∞?摇?摇?摇?摇?摇 D. 1,
破解思路 研究圆锥曲线离心率e时,只要求出a,b,c的一个齐次方程,再结合a,b,c的关系(椭圆是b2+c2=a2,双曲线是a2+b2=c2)就可求得e.若涉及范围问题时,往往可以借助圆锥曲线上点的坐标的范围,或者焦半径的范围等.
答案详解 由题意可得M-c, ,N-c,- ,A(a,0),所以 =a+c,- , =a+c, . 因为 · >0,所以(a+c)2- >0,所以a+c- >0,所以2a2+ac-c2>0,所以e2-e-2
例2 已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点与双曲线x2-y2=- 的一个焦点重合,且在抛物线上有一动点P到x轴的距离为m,P到直线l:2x-y-4=0的距离为n,则m+n的最小值为____. 破解思路 本题可利用抛物线的有关定义,将所求的点到x轴的距离转化为到焦点的距离. 答案详解 易知x2=2py(p>0)的焦点为F(0,1),故p=2,因此抛物线的方程为x2=4y. 根据抛物线的定义可知m=PF-1,设PH=n(H为点P到直线l所作垂线的垂足),因此m+n=PF-1+PH. 易知当F,P,H三点共线时m+n最小,因此其最小值为FH-1= -1= -1.
例3 已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为 ,则p等于( )
范文三:圆柱_与_圆锥的相关概念
圆柱与圆锥的相关概念
面的旋转
点的运动形成线;线的运动形成面;面的运动形成体。
圆柱的认识
1、圆柱:把一个长方形绕它的一条边旋转一周形成的图形就是圆柱。
2、圆柱上下两个面叫做底面,它们是面积相等的两个圆,也就是说圆柱上下一样粗。
3、圆柱两底面之间的距离叫做高。周围的面叫做侧面,圆柱的侧面是曲面。
4、圆柱的侧面展开后是长方形,长方形的长等于圆柱底面的周长,宽等于圆柱的高。
5、将一个长方形绕着它的一条边旋转一周可以得到一个圆柱,这时长方形的长等于圆柱的高,宽等于底面圆的半径。
圆柱体特点:
1、一个圆柱体是由两个底面和一个侧面组成的,圆柱体的两个底面是完全相同的两个圆。
2、圆柱有无数条高,且高的长度都相等。
3、圆柱体的侧面是一个曲面。
截一个圆柱:
横着截:截面是一个与上下底面一样大的圆 竖着截(沿着高或直径截):截面是一个长方形 斜着截:截面是一个椭圆
侧面展开图:
侧面是长方形:底面圆的周长?高 侧面是正方形:底面圆的周长?高
圆锥的认识
1、圆锥:把一个直角三角形绕它的一条直角边旋转一周形成的图形就是圆锥。
2、圆锥只有一个底面,底面是个圆。圆锥的侧面是个曲面。
3、从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高,圆锥只有一条高。
4、把圆锥的侧面展开得到一个扇形。
圆锥体特点:
将圆锥的侧面展开,它是一个扇形。
圆锥有两个面,但只有一个底面,一个顶点,一条高。
截一个圆锥:
横着截:截面是一个下底面不一样大的圆 竖着截(沿着高或直径截):截面是一个三角形 斜着截:截面是一个椭圆
范文四:圆锥曲线的基本概念
圆锥曲线的基本概念
【基础知识】
1.已知 ) , (o o y x P 为椭圆 ) 0(122
22>>=+b a b
y a x 上一点, 1F 、 2F 为左右焦点, (1) , , a b c 之间的关系式:2
c =_________________
(2)长轴长 =_____________;短轴长 =____________;焦距长 =_______________
(3)离心率 e = ;
(4)通径(过焦点与椭圆的长轴垂直的弦)长: 。 2.已知 ) , (o o y x P 为双曲线 ) 0, 0(122
22>>=-b a b
y a x 上一点, 1F 、 2F 为左右焦点, (1) , , a b c 之间的关系式:2c =_________________-
(2)实轴长 =_____________;虚轴长 =____________;焦距长 =_______________
(3)离心率 e = ;
(4)通径(过焦点与椭圆的长轴垂直的弦)长: 。
3.与渐近线有关的结论 ①若渐近线方程为 x a
b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为 (0≠λ) ②若双曲线与 122
22=-b
y a x 有公共渐近线,可设为 ; (0≠λ) (0>λ,焦点在 x 轴上; 0<λ,焦点在 y="" 轴上)="">λ,焦点在>
4.等轴双曲线
①代表方程: ;②离心率 =e ;③渐近线互相 ,分别为 , ④通用方程可以用 表示; (0≠λ)
5.抛物线 ) 0(22>=p px y 几何性质 () , (00y x P 为其上一点)
(1)焦点:___________,准线:______________;
(2)几何特征:焦点到顶点的距离 = ;焦点到准线的距离为 ;
通径长为 (通径是最短的焦点弦) ,顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
6.圆锥曲线的统一定义:到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹。
当 e ∈ 时轨迹为抛物线, 当 e ∈ 时轨迹为双曲线, 当 e ∈ 时轨迹为椭圆;
范文五:圆锥曲线概念
圆锥曲线
1. 若方程 221x ky +=表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围为( ) A . (0,+∞) B . (0, 2) C . (1,+∞)
D . (0, 1)
答案:D
解析:本题考查焦点与椭圆方程的关系
2. 椭圆 12222=+b y a x 和 k b
y a x =+22
22()0>k 具有( )
A. 相同的离心率 B.相同的焦点 C. 相同的顶点 D.相同的长、短轴
答案:A
解析:本题考查离心率的概念及其椭圆方程
3. 若双曲线 192
2=-m y x 的渐近线 l 方程为 x y 3
±
=,则双曲线焦点 F 到渐近线 l 的 距离为 ( )
A.2
B. C.5
D.2
答案:C
解析:本题考查双曲线的性质及其点到直线的距离公式
4. 焦点为 ()6, 0,且与双曲线 12
22
=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是( ) A.
124
122
2=-y x B.
124122
2=-x y C.
112
242
2=-x y D.
112242
2=-y x
答案是 :B
二、离心率
5. 若椭圆
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>
则双曲线
22
22
1
x y
a b
-=的离心率为 ()
A. 5
4
C. 3 2
答案:B
解析:本题考查的是椭圆与双曲线的离心率,及其 a,b,c, 之间的关系 6.
已知椭圆 的左焦点为 ,右顶点为 ,点 在椭圆上,且 轴, 直线 交 轴于点 .若 ,则椭圆的离心率是() A. B. C. D.
答案:D
解析:椭圆与向量结合,利用垂直的条件得到离心率
7. 双曲线
22
22
1
x y
a b
-=(0
a >, 0
b >)的左、右焦点分别是
12
F F
, ,过
1
F 作倾斜角为 30
的直线交双曲线右支于 M 点,若
2
MF 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为()
答案:B
解析:焦点三角形的考查
8. 已知 F 1、 F 2是双曲线 ) 0
, 0
(1
2
2
2
2
>
>
=
-b
a
b
y
a
x
的两焦点,以线段 F 1F 2为边作正三角 形 MF 1F 2,若边 MF 1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是()
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>F A B
BF x
⊥AB y P 2
AP PB
=
1 3 1
2
A. 24+ B. 1-
C .
2
1
3+ D. 13+
答案:D
解析:焦点三角形的考查,利用边之间的关系得到离心率
9. 在 ABC △ 中, AB BC =, 7
cos 18
B =-.若以 A B , 为焦点的椭圆经过点 C ,则该椭 圆的离心率 e = .
答案:
38
解析:焦点三角形与余弦定理的结合题型,利用焦点三角形边的关系
10. 已知 1F 、 2F 是椭圆的左右焦点,在椭圆上存在点 P 使得 1290F PF ∠=,则离心率 e 的 取值范围为 __________________________.
答案:)?
解析:根据题意可知椭圆上最大的角大于 0
90, 最大的角出现在 y 轴上的端点处, 找到 a,b,c,
的关系,最后得到离心率的关系
11. 双 曲 线 22
221x y a b
-=(a >0, b >0) 的 两 个 焦 点 为 1F 、 2F , 若 P 为 其 上 一 点 , 且
122PF PF =, 则双曲线离心率的取值范围为( )
A.(1,3)
B.(]
1,3
C.(3,+∞)
D.[)
3, +∞
答案:B
解析:利用题中焦半径之间的关系与双曲线定义得到焦半径的长度, 然后再根据焦半径的取 值范围得到离心率的取值范围
12. 已知椭圆 的左、 右焦点分别为 ,
若椭圆上存在 22
221(0) x y a b a b
+=>>12(,0), (,0) F c F c -
一点 使
,则该椭圆的离心率的取值范围为 .
答案:1,1)
解析:利用正弦定理与椭圆定义得到焦半径的长度, 然后根据椭圆中焦半径的取值范围得到 离心率的取值范围。 三、焦点三角形面积问题
13. 为椭圆 19
2522=+y x 上一点, 1F 、 2F 为左右焦点,若 ?=∠6021PF F 则 12F PF 的
面积为 , 点的坐标为 .
答案:
, 44??
±± ? ???
解析:利用焦点三角形的面积公式及其等面积法
14.已知 、 是椭圆 (>>0)的两个焦点, 为椭圆 上一点,
且 . 若 的面积为 9,则 =___________. 答案:3
解析:焦点三角形的面积的考查
15. 已知 P 为椭圆
122
2
2=+b
y a x ) 0(>>b a 上的一点, 21, F F 是焦点, α=∠21PF F , 求证 :21PF F ?面积是 2
tan
2
α
b
证明:设 m PF =1, n PF =2,由余弦定理得 2
22
2
122cos 4m n mn F
F c α+-==
①
由椭圆定义得 a n m 2=+ ②
P 1221
sin sin a c
PF F PF F =
P P 1F 2F 1:22
22=+b
y a x C a b P C 21PF PF ⊥21F PF ?b
由①得:222
2() 21cos 1cos a c b mn αα
-==++
∴12221sin sin tan 21cos 2
F PF S mn b b αααα?=
==+ 解析:考查椭圆的定义及其半角公式,余弦定理,三角形面积公式 四、焦点弦问题
16. 过双曲线 19
162
2=-y x 左焦点 F 1的弦 AB 长为 6, 则 2ABF ?(F 2为右焦点) 的周长是 ( ) A.28 B.22 C.14
D.12
答案:A
解析:双曲线第一定义的考查及其过焦点弦的性质的考查
17. 已知 21F F 、 为椭圆 19
252
2=+y x 的两个焦点,过 1F 的直线交椭圆于 A 、 B 两点若
1222=+B F A F ,则 =_____________.
答案:8
解析:椭圆第一定义的考查
18. 若 A 点坐标为 ()1,2, 1F 是椭圆 2212516
x y
+=的左焦点,点 P 是椭圆上的动点,则
1PA PF +的取值范围为
答案:[10-+
解析:利用椭圆的第一定义将焦半径转换,再利用三角形的特点得到取值范围
19. 若点 A 坐标为(2, 2) , 2F 是双曲线 2
2
13
y x -=的右焦点,点 P 为双曲线的动点,则
(1) 2PA PF -的范围为
(2) 2PA PF +的范围为
(3) 22PA PF +的范围为 .
答案:(1) [2,2]-(2
) ]∞(3) [3,+) ∞ 解析:(1)利用三角形边之间的关系可以得到
(2)利用双曲线的第一定义得到 (3)先提取 2,再利用双曲线的第二定义
20. 已知 F 是抛物线 24C y x =:的焦点,过 F 且斜率为 1的直线交 C 于 A B , 两点.设
FA FB >,则 FA 与 FB 的比值等于 .
答案:
21. 已知双曲线 ()22
2210, 0x y C a b a b
-=>>的右焦点为 F , 过 F
的直线交 C
于 A B 、 两点,若 4AF FB =, 则 C 的离心率为 ( )
A.
65 B.75 C.8
5
D.
9
5
答案:A
22. 椭圆 1C :22
221x y a b +=的左准线为 l , 左、 右焦点分别为 21F F 、 , 抛物线 2C 的准线也为 ,
焦点为 2F , 1C 与 2C 的一个交点为 P ,
线段 2PF 的中点为 G , O 是坐标原点, 则 的值为( )
l 2
11PF OG
PF OF -
A. B.1
C.-
D.
答案:D 【经典作业】
1. 点 P 是以 12F F 、 为焦点的双曲线
22
12556
x y -=的一点,且 1PF =12,则 2PF =( B ) A.2 B.22 C.4或 22 D.2或 22 答案:B
解析:双曲线第一定义的考查,但须注意焦半径的取值范围
2. 已知 12F F 、 是椭圆的两个焦点,满足 120MF MF ?=的点
M 总在椭圆内部,则椭圆离心 率的取值范围是( C )
A. (0,1) B.1
(0,]2
C.(0,
2
D.,1) 2
答案:C
解析:M 点的轨迹是原点为圆心, c 为半径的圆,因为该圆在内部,说明
心率的取值范围
3. 已知双曲线 22
221(0, 0) x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为 12F F 、 , P 是准线上一点,且
12PF PF ⊥, 124PF PF ab ?=,则双曲线的离心率是 ( B )
答案:B
解析:利用焦半径之间的乘积及其垂直可以算出 12PF PF 、 的长度,最后得到离心率
1-2
1
2
1
4. 点 P 在椭圆
22
1259
x y +=上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点 P 的横坐 标是 ____________.
答案:
2512
解析:求出焦半径的长度再利用等面积法就可以得到 p 点的横坐标
5. A B 、 分别是椭圆 22
221(0x y a b a b
+=>>的左端点和上端点, F 是右焦点, 若 AB BF ⊥,
则椭圆的离心率为 .
答案:
12
解析:利用射影定理得到 a,b,c 之间的关系
6. 已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中, 有一个内角为 60, 则 双曲线 C 的离心率为 .
答案:
2
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