那些寂寞本就属于我
范文一：精编初高中数学衔接选修读本
(建议教学时间9课时)
浙江省磐安中学数学组 徐黎明
编写说明
一、现有初高中数学知识存在以下脱节的现象:
1.立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。
2.因式分解在初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到。
3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。
4.初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。
二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系(韦达定5.
理)在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容。
6.图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下;左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。
7.含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。
8.几何部分很多概念(如重心、垂心等)和定理(如三角形角平分线定等)初中生大都没有学习，而高中都要涉及。 理
(二)纵观现有初高中衔接教学教材绝大多数往往是初中知识的一次重复，内容过于繁杂，挤占了太多的高中教学时间。
本选修课只选择了8个专题，通过这8个专题的教学，对初高中知识起到了较好的衔接作用。
二、内容及教学课时安排:
第一节 数与式的运算(1课时);
第二节 十字相乘法(1课时);
第三节 韦达定理(1课时);
第四节 二次函数的三种表示方式(1课时);
第五节 二次函数的图象和性质(1课时);
第六节 方程与不等式(1课时);
第七节 三角形角平分线的性质(1课时);
第八节 三角形的心(1课时);
第九节 小结与测试(1课时)。
第一节 数与式的运算;
aa,0,,,
,、绝对值: 1||0,0,aa,,,
,,,aa,0.,
绝对值的几何意义:一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离(
a,b两个数的差的绝对值的几何意义:表示在数轴上，数和数b对应的a点之间的距离(
2. 乘法公式:
22(1)平方差公式 ; ()()ababab，,,,
222(2)完全平方公式 ( ()2abaabb,,,，
2233(3)立方和公式 ; ()()abaabbab，,，,，
2233(4)立方差公式 ; ()()abaabbab,，，,,
2222(5)三数和平方公式 ; ()2()abcabcabbcac，，,，，，，，
33223(6)两数和立方公式 ; ()33abaababb，,，，，
33223(7)两数差立方公式 ( ()33abaababb,,,，,
3、二次根式:一般地，形如的代数式叫做二次根式(根号下含aa(0),
22232aabb，，，ab，有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 ，
2222221xx，，a等是无理式，而，，等是有理式( xxyy，，22
把分母(子)中的根号化去，叫做分母(子)有理化(为了进行分母(子)有理化，需要引入有理化因式的概念(两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与2
axby，axby,，与等等( 一般地，与，与，36，axx36,2
与互为有理化因式(分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母axb，axb,
的有理化因式，化去分母中的根号的过程;而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程
aa,0,,,22a二次根式的意义: aa,,,,,aa,0.,
AAB,04. 分式:形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式(分式BB具有下列性质:
AAM，AAM,当M?0时，; ( ,,BBM,BBM，
aaaa，，,,,，aann1212,,,,,,,,k bbbbbb，，,,,，1212nn
22例1、计算:. (1)(1)(1)(1)xxxxxx，,,，，，
22222426，，(1)(1)(1)(1)1xxxxxxx,，,,,，，,,解:原式= ，，
例2、试比较下列各组数的大小:
2(1)和; (2)和. 1110,226,1211,64，
(1211)(1211)1,， 解:(1)= 1211,,
12111211，，
(1110)(1110)1,， = 1110,,
11101110，，
？12111110,12111110，,，？,,,
(226)(226)2,，(2)= 226,,
226226+，
2 ？64226,226，,？,+,
64，
12945,xx，,,,2(01)例3 、化简:(1); (2)( 2x
2945, 解; (1)5454 (52) =5252,，,,,,,=
111122(2) xxxxx，,,,,,,,,,2 ()(01)？2xxxx
c22例4、设，且e,1，2c,5ac，2a,0，求e的值( e,a
222a解:因为 2c,5ac，2a,0， 两边同除以得
cc22？ee,？,1,2，. 2()5()202520(21)(2)0,，,,,，,,,,,eeeeaa
练 习:
1、选择题:
(1)下列叙述正确的是 ( )
ab,ab,ab,ab,(A)若，则 (B)若，则
ab,ab,ab,ab,,(C)若，则 (D)若，则
22abab，,,，248b(2)不论，为何实数，的值 ( ) a
(A)总是正数 (B)总是负数 (C)可以是零 (D)可以是正数也可以是
xx(3)等式成立的条件是 ( ) ,x,2x,2
x,2x,0x,202,,x(A) (B) (C) (D)
22xy,x(4)若，则, ( ) ,yxy，3
546 (A), (B) (C) (D) 455
2、化简:|x,5|,|2x,13|(x,5)(
22aa,，,11b,ab，3、若，求的值( a，1
4(比较大小:2,3 5,4(填“,”，或“,”)(
11115、计算 ，，，，...12233499100，，，，
习 题1 1(解不等式:
x,,13xx，，,,327(1) ; (2) ;
xx,，，,116 (3) (
33xy，,1,(已知，求的值( xyxy，，3
3(填空:
1819(1),________; (23)(23)，,
22(1)(1)2,，，,aa(2)若，则的取值范围是________; a
11111(3)________( ，，，，,
1223344556，，，，，
1111 (4) ，，，，,...13243598100，，，，
111(5) (1)(1)...(1),,,,22223n
4((北京大学等7校自主招生题)求关于x的方程
的实根的个数. xxxx，,，，，,，,1162271021
第二节 十字相乘法
21、对于二次三项式的因式分解:如果能找到两个数a、b，使xpxq，，,0
abp，,,,22则就有，这种方法的xpxqxabxabxaxb，，,,，，，,，，0()()(),abq,.,
关键是适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的乘积，且其和等于一次项的系数，通常要借助画十字交叉线的办法来确定，故称十字相乘法。
2例1 分解因式:x,3x，2.
2解:如图1.2-1，将二次项x分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解
2成,1与,2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为,3x，就是x,3x，2中的一次项，所以，有
2x,3x，2,(x,1)(x,2)(
x 1 ,1 ,1
x 1 ,2 ,2
图1.2,1 图1.2,2
22、关于x的二次三项式ax+bx+c(a?0)的因式分解(
aaaccc,,,,,1212(1)如果能找到四个数 acac,,,,使,1122acacb，,.,12212 则ax，，,，，bxcaxcaxc()()1122
2(2)若关于x的方程的两个实数根是、，则二次axbxca，，,,0(0)xx12
2三项式就可分解为. axxxx()(),,axbxca，，,(0)12
例2 把下列关于x的二次多项式分解因式:
222675xx,,(1); (2) 2456xxyyxy，,,，,
22解:(1) (2) 2456xxyyxy，,,，,2 1
3 22,5 = 2(4)(56)xyxyy，,,,，
图1.2,3
22675xx,,(21)(35)xx，,= = 2(4)(2)(3)xyxyy，,,,,
(22)(3)xyxy,，，, = 例3、把下列各式因式分解
24224(1) (2) (23)3(23)2xx,，,，xxyy,，1336
2(23)3(23)2(23)1(23)2(22)(21)xxxxxx,，,，,,，,，,,,解:(1) ,,,,
42242222(2)=( xxyy,，1336(4)(9)(2)(2)(3)(3)xyxyxyxyxyxy,,,,，,，
练 习:
221、多项式的一个因式为 ( ) 215xxyy,,
xy,3xy，3xy,525xy,(A) (B) (C) (D) 2、把下列关于x的二次多项式分解因式:
222xx，,21(1); (2)( xxyy，,44
22xyxy,，,1(3); (4)( xabxyaby,，，()
题2 习
1(分解因式:
342a，14139xx,， (1) ; (2);
2222bcabacbc，，，，222(3); (4)( 35294xxyyxy，,，，,2(在实数范围内因式分解:
2xx,，53xyxy,,，1(1) ; (2);
22222(3); (4)( 34xxyy，,(2)7(2)12xxxx,,,，
222abcabbcca，，,，，,ABC,ABCb3(三边，，满足，试判定的形状( ac
111144.解方程: ，，，,2222xxxxxxxx,，，，,，32325
第三节 韦达定理
22bac,4对于一元二次方程ax，bx，c,0(a?0)，判别式Δ=:
(1) 当Δ,0时，方程有两个不相等的实数根
2,,,bbac4 x,; ，122a
(2)当Δ,0时，方程有两个相等的实数根
b x,x,,; 122a
(3)当Δ,0时，方程没有实数根(
由(1)(2)得一元二次方程的根与系数之间存在下列关系:
bcx，x,，x?x,( ,1212aa
这一关系也被称为韦达定理( 22例1、已知关于x的方程x，2(m2)x，m，4,0有两个实数根，并且这两,
个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值(
222解:因为方程有实根，Δ= bacmmmm,,,,，,,,？,44(2)4(4)160,0.
2设两个根为 xxxxmxxm,2(2),4，则，,,,,，121212
22222由已知得 ， xxxxxxxxmm，,,？，,,？,,，,21,()321,4(2)3(4)2112121212
2 ？,,,,,,,,？,,mmmmm16170171,0,1.或而m
42xxm,，,90例2、(北京市高一竞赛题)已知a，b是方程的两个实根，且a+b=4，求m的值.
22uum,，,90ux,解:令，则二次方程的两个实根是
74922222. uaub,,,？abaabbababmab，,？,，，,，？,？,,4,16292,,()1224
1122ab,例3、若且，则 . 2310,2310,aabb，,,，,,，,ab
3122310xx，,,解:由已知a，b是方程的两个根， ？，,,,,abab,22
11ab，? ，,,3abab
练 习
1(选择题:
22(1)方程xkxk,，,2330的根的情况是 ( )
(A)有一个实数根 (B)有两个不相等的实数根
(C)有两个相等的实数根 (D)没有实数根 2(2)若关于x的方程mx， (2m，1)x，m,0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ( )
11(A)m, (B)m,, 44
11(C)m,，且m?0 (D)m,,，且m?0 44
2(填空:
112(1)若方程x,3x,1,0的两根分别是x和x，则，, ( 12xx122(2)方程mx，x,2m,0(m?0)的根的情况是 (
(3)以,3和1为根的一元二次方程是 (
22aab，，，,,816|1|03(已知，当k取何值时，方程kx，ax，b,0有两个不相等的实
数根, 24(已知方程x,3x,1,0的两根为x和x，求(x,3)( x,3)的值( 1212
习题3
1(选择题: 2(1)已知关于x的方程x，kx,2,0的一个根是1，则它的另一个根是( )
(A),3 (B)3 (C),2 (D)2 (2)下列四个说法: 2 ?方程x，2x,7,0的两根之和为,2，两根之积为,7; 2?方程x,2x，7,0的两根之和为,2，两根之积为7;
72?方程3 x,7,0的两根之和为0，两根之积为; ,32?方程3 x，2x,0的两根之和为,2，两根之积为0(
其中正确说法的个数是 ( )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 22(3)关于x的一元二次方程ax,5x，a，a,0的一个根是0，则a的值是( )
(A)0 (B)1 (C),1 (D)0，或,1 2(填空: 2(1)方程kx，4x,1,0的两根之和为,2，则k, ( 222(2)方程2x,x,4,0的两根为α，β，则α，β, ( 2(3)已知关于x的方程x,ax,3a,0的一个根是,2，则它的另一个根是 ( 2(4)方程2x，2x,1,0的两根为x和x，则| x,x|, ( 1212223(试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程mx,(2m，1) x，1,0有两个不相等的
实数根,有两个相等的实数根,没有实数根, 24(求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x,7x,1,0各根的相反数(
25、(复旦大学自主招生题)已知方程 (a为实数)xx,xaxaa,,，，，,(2)(35)012
22的两个实根，求的最大值. xx，12
第四节 二次函数的三种表示方式
二次函数可以表示成以下三种形式:
21(一般式:y,ax，bx，c(a?0);
22(顶点式:y,a(x，h)，k (a?0)，其中顶点坐标是(,h，k)(
3(交点式:y,a(x,x) (x,x) (a?0)，其中x，x是二次函数图象与x轴交1212
点的横坐标(
例1 已知某二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线y,x，1上，并且图象经过点(3，,1)，求二次函数的解析式(
2？y,2a,0解:时，x=1，故可设二次函数的解析式为，且，yax,,，(1)2
3又图象经过点(3，,1)，代人得.所以二次函数的解析式为a,,4
32 yx,,,，(1)24
例2 已知二次函数的图象过点(,3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的解析式(
yaxx,，,(3)(1)解:设二次函数的解析式为，由(-3+1)?2=-1知二次函
1数的图象的顶点的横坐标x=-1，而当x=-1时，y=-4a，所以，,,？,,42,aa2
1所求二次函数解析式为. yxx,,，,(3)(1)2
例3 已知二次函数的图象过点(,1，,22)，(0，,8)，(2，8)，求此二次函数的解析式(
2解:设二次函数解析式为y,ax，bx，c(a?0)，则
a,,2abc,，,,22,,
,,2所求函数解析式为 ,,,b12yxx,,,,2128.c,,8,,
,,c,,8428abc，，,,,
练 习
1(选择题: 2(1)函数y,,x，x,1图象与x轴的交点个数是 ( )
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)无法确定
12(2)函数y,, (x，1)，2的顶点坐标是 ( ) 2
(A)(1，2) (B)(1，,2) (C)(,1，2) (D)(,1，,2) 2(填空:
(1)已知二次函数的图象经过与x轴交于点(,1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y,a (a?0) ( 2(2)二次函数y,,x+23x，1的函数图象与x轴两交点之间的距离为 ( 3(根据下列条件，求二次函数的解析式(
(1)图象经过点(1，,2)，(0，,3)，(,1，,6); (2)当x,3时，函数有最小值5，且经过点(1，11);
(3)函数图象与x轴交于两点(1,2，0)和(1，2，0)，并与y轴交于(0，,2)(
习题4
1(填空题:
(1)已知某二次函数的图象与x轴交于A(,2，0)，B(1，0)，且过点C(2，4)，则该二次函数的表达式为 (
(2)已知某二次函数的图象过点(,1，0)，(0，3)，(1，4)，则该函数的表达式为 (
22(把已知二次函数y,2x，4x，7的图象向下平移3个单位，在向右平移4个单位，求所得图象对应的函数表达式(
3(已知某二次函数图象的顶点为A(2，,18)，它与x轴两个交点之间的距离为6，求该二次函数的解析式(
22224.已知二次函数其中m是任意实ymmxmaxmamb,，，,，，，，(1)2()(3),
数，a和b是实常数，其图象过点 ABxCy(1,0),(,0),(0,).20
(1)求截距的最小值; yo
AB (2)求弦AB的长度的最大值;
AB (3)当取最大值时，求 S ABC.
第五节 二次函数图象和性质
2二次函数y,ax，bx，c(a?0)具有下列性质: 2(1)当a,0时，函数y,ax，bx，c图象开口向上;顶点坐标为
2bbacb4,b，对称轴为直线,,;当,时，随着的增大而减xxyx(,),,24aa2a2a
bb小;当x,时，y随着x的增大而增大;当x,时，函数取最小值y,,,2a2a
24acb,( 4a2(2)当a,0时，函数y,ax，bx，c图象开口向下;顶点坐标为
2bbacb4,b，对称轴为直线x,,;当x,时，y随着x的增大而增(,),,24aa2a2a
bb,时，随着的增大而减小;当,时，函数取最大值,大;当xyxxy,,2a2a
24acb,( 4a2例1、把二次函数y,x，bx，c的图象向上平移2个单位，再向左平移42个单位，得到函数y,x的图象，求b，c的值. 22解:将函数y,x的图象向右平移4个单位得到函数y,(x-4)的图象，22然后再向下平移2个单位得到函数y,(x-4)-2即y,x-8x+14的图象，所以b=-8，c=14. 2例2、已知函数y,x，,2?x?a，其中a?,2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值(
2解:结合的图象可知: yx,
2,,,20a当时，x=-2时，y=4;x=a时，y=a. 最大最小
02,,a当时，x=-2时，y=4;x=0时，y=0. 最大最小
2a,2当时，x=a时，y= a;x=0时，y=0. 最大最小
2,,,11x例3、(安徽省竞赛题)已知二次函数当时的最大值yaxxa,,,,
17是，求实数a的值. 8
2a,0,,,11x解:显然.二次函数 在时的最大值只能在图象yaxxa,,,,
x,,1x,1的顶点或在或这两个端点时取到，即
111717171222或或或？,,aaa(),,,aa(1)(1),,,,,aa(1)1,,,8228aa88a,,2.
11111722,,,11x当时，二次函数，在的最a,,yxxx,,,，,,，，(4)88888
大值当x,,1时取到为1，故不合舍去.
11722a,,2,,,11x当时，二次函数在的最大值yxxx,,,，,,，，222()48
117当时取到为，符合题意.所求的实数a=-2. x,,？84
练 习
1(选择题:
(1)下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 ( ) 22 (A),2 (B),2,4，2 yxyxx22(C)y,2x,1 (D)y,2x,4x 22(2)函数y,2(x,1)，2是将函数y,2x ( )
(A)向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的
(B)向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的
(C)向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
(D)向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
2(填空题 2(1)二次函数y,2x,mx，n图象的顶点坐标为(1，,2)，则m, ，n, ( 2(2)已知二次函数y,x+(m,2)x,2m，当m, 时，函数图象的顶点在y轴上;当m, 时，函数图象的顶点在x轴上;当m, 时，函数图象经过原点( 2(3)函数y,,3(x，2)，5的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ;当x, 时，函数取最 值y, ;当x 时，y随着x的增大而减小( 23(已知函数,,,2，3，当自变量在下列取值范围内时，分别求函数的yxxx
最大值或最小值，并求当函数取最大(小)值时所对应的自变量的值: x
(1)x?,2;(2)x?2;(3),2?x?1;(4)0?x?3(
习题5
1(选择题: 2(1)把函数y,,(x,1)，4的图象的顶点坐标是 ( )
(A)(,1，4) (B)(,1，,4) (C)(1，,4) (D)(1，4) 2(2)函数y,,x，4x，6的最值情况是 ( )
(A)有最大值6 (B)有最小值6
(C)有最大值10 (D)有最大值2 2(3)函数y,2x，4x,5中，当,3?x,2时，则y值的取值范围是 ( )
(A),3?y?1 (B),7?y?1
(C),7?y?11 (D),7?y,11
2、 填空题:
12(1)将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得yx,2
到的函数解析式为 .
2(2)若二次函数，当,,,23x时的最大值等于6，最小yaxxca,,，,2(0)值等于-3，则a+c= .
223、已知二次函数且方程的两个根和满足yxaxa,，，,xaxa，,，,(1)0xx12
求证: 01,,,,xx12
(1) 0322;,,,a
2(2)若二次函数的图象与直线y=x相交于A、B两点，求证:yxaxa,，，,02.,,AB
第六节 不等式与方程
1、一元二次不等式解法
2(1)当Δ,0时，抛物线y,ax，bx，c(a,0)与x轴有两个公共点(x，0)12和(x，0)，方程ax，bx，c,0有两个不相等的实数根x和x(x,x)，结合图象21212可知
2不等式ax，bx，c,0的解为 x,x，或x,x; 122,x,x( 不等式ax，bx，c,0的解为 x122 (2)当Δ,0时，抛物线y,ax，bx，c(a,0)与x轴有且仅有一个公共点，
b2方程ax，bx，c,0有两个相等的实数根x,x,, ，结合图象可知 122a
b22不等式ax，bx，c,0的解为 x?, ;不等式ax，bx，c,0无解( 2a22(3)如果?,0，抛物线,，，(,0)与轴没有公共点，方程yaxbxcaxax
，,0没有实数根结合图象可知 ，bxc，
22不等式ax，bx，c,0的解为一切实数;不等式ax，bx，c,0无解( 例1 解不等式: 22 (1)x，2x,3?0; (2)x,x，6,0; 22 (3)4x，4x，1?0; (4)x,6x，9?0; 2 (5),4，x,x,0(
,,,31xx,,2x,3xR,xR,.;(2)或;(3);(4){3};(5) 解:(1)
练 习
1(解下列不等式: 22(1)3x,x,4,0; (2)x,x,12?0; 22(3)x，3x,4,0; (4)16,8x，x?0( 222.解关于x的不等式x，2x，1,a?0(a为常数)(
2. 二元二次方程组解法
22方程是一个含有两个未知数,并且含有未知数的xxyyxy，，，，，,260
项的最高次数是2次的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程(其中至少有一个方程是由一个二元二次方程组成的方程组叫做二元二次方程组(二元二次方程组一般可以用代入消元法来解(
例1、解方程组
22,xy，,,440,? ,? xy,,,220.,
2xy,，22y,,1解:由? 得，代入? 得或 yyy，,？,0,0
x,2x,0,, 所以原方程的解为，或. ,,y,,1y,0,,
练 习:
22,xy，,13,1(下列各组中的值是不是方程组的解? ,xy，,5,
x,2,x,3,x,1,x,,2,,,,,(1) (2) (3) (4) ,,,,y,3;y,2;y,4;y,,3;,,,,
2(解下列方程组:
yx,，5,xy，,3,,,(1) (2) ,,22xy,,10;xy，,625;,,
22,xy2,yx,2,，,1,,,(3) (4) 54,,22xy，,8.,,,yx,,3;,
习 题6
1(解下列不等式: 22 (1)3x,2x，1,0; (2)2x,x?,1;
2(解下列方程组:
2,x222,(3)9,xy,，,,,y1,,(1) (2) 4,,xy，,20;,,xy,,,20;,
22,xy，,4,,(3) ,22xy,,2.,,
23、已知二次函数y,ax，bx，c，且过(-1,0)，问是否存在常数a、b、c，使得
2x，12xaxbxc,，，,对任意实数都成立, 2
第七节 三角形角平分线性质
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线。三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。角的平分线是射线。三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等(即内心)。显然角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。在一个角的内部(包括顶点)，且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。其次三角形角平分线还有很重要的一个性质:
定理:三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。
ABMB已知，如图，AM为?ABC的角平分线，求证 =.ACMA
证明1:过M作ME?AB于E，MF?AC于F,
ABS ABM,??BAM=?CAM, ?ME=MF, ?(等高时，三角ACS ACM
SMB ABM,形面积之比等于底之比), (同高时，三角形MCS ACM
ABMB面积之比等于底之比) ? =.ACMA
证明2.:过B作BE?AM交AM于E，过C作CF?AM
ABBE与F,则 ABEACF,？,ACCF
MBBE BMECMF又 , ？,MCCF
ABMB ？=.ACMA
证明3: 过C作CN?AB交AM的延长线于N ，
ABMB则 ?ABM??NCM ， ？,CNMC
，,，,，CNABAMCAM又 ?AC=CN
ABMB? =.ACMA
证明4(相似形) 过M作MN?AB交AC于N ， 则
ABMNANBM ABCMNC ? 又?,,,ACNCNCMC
CAM =?AMN ?AN=MN ,，BAM
ABMB ？=.ACMA
证明5:过C作CE?DA与BA的延长线交于E。 则
ABBM, ? ?BAM=?AEC, ?CAM=?ACE, ,AEMC
?BAM=?CAM, ? ?AEC=?ACE ? AE=AC,
ABMB? =.ACMA
证明6: 作三角形的外接圆，AM交圆于D， 由
ABMB正弦定理得， ,,sinsin，，BMABAM
ACCM, 又?BAM=?CAM，?sinsin，，CMACAM
BMA+?AMC=180? sin?BAM=sin?CAM,
ABMBsin?BMA=sin?AMC, ? ？=.ACMA
练习: 01.在?ABC中，AB=AC,?A=36,BD,CE分别是?ABC，?BCD角平分线，则?ABC中的等腰三角形有 ( )
A、5个 B、4个 C、3个 D、2个 21.在?ABC中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD是?BAC的平分线，
FM?AD，则FC的长为 。
习 题7
0、已知在?ABC中，?C=901，AD平分?BAC，CD=求平分线3,23,BD,AD的长，AB,AC的长。
2. 在?ABC中，D是BC边的中点，DE平分?ADB,DF平分?ADC，连结EF交AD与O点，M、N分别是AB,AC的中点，分别连结MO,NO交AC,AB的延长线上与P、Q两点，连结PQ,求证:PQ=AD。
第八节 三角形的心
三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在本节中将分别给予介绍( 三角形的“五心”指的是三角形的外心,内心，重心，垂心和旁心。旁心在初高中学习过程中很少涉及，所以在这里不作介绍。
1、三角形的外心:三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)(
外心定理:三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等,都等于三角形的外接圆半径(
证明:如图8-1，设AB、BC的中垂线交于点O，则有
OA=OB=OC，故O也在AC的中垂线上，因为O到三顶点的距
离相等，故点O是ΔABC外接圆的圆心(因而称为外心
另外，锐角三角形的外心在三角形内; 直角三角形的外心在斜边中点; 钝角三角形的外心在三角形外(
2、三角形的内心:三角形的三条内角平分线交于一点,
这点称为三角形的内心(内切圆圆心)(
内心定理:三角形的内心到三边的距离相等,都等于三
角形内切圆半径(
证明:如图8-2，设?A、?C的平分线相交于I、过I
作ID?BC，IE?AC，IF?AB，则有IE=IF=ID(因此I也
在?C的平分线上，即三角形三内角平分线交于一点。
abc，，S 内切圆半径r的计算: 设三角形面积为S，并记p=，则r,( 特p2
abc，,有 r,别的，在直角三角形中,( 2
3、三角形的重心:三角形的三条中线交于一点,这点称
为三角形的重心(
重心定理:三角形的重心到边的中点与到相应顶点的
距离之比为 1?2(
证法1:如图8-3，D、E、F为三边中点，设BE、CF交于G，连接EF，显然
1，由三角形相似可得GB,2GE，GC=2GF(又设AD、BE交于G'，EFBC,2
同理可证G'B=2G'E，G'A=2G'D，即G、G'都是BE上从B到E的三分之二处的点，故G'、G重合，即三条中线AD、BE、CF
相交于一点G(
证法2 设BE、CF交于G，BG、CG中点为
1H、I(连EF、FH、HI、IE， 因为，EFBC,2
1，所以EFHI为平行四边形(所以 HIBC,2
HG=GE、IG=GF，GB=2GE，GC=2GF(同证法
1可知AG=2GD，AD、BE、CF共点(证毕
4、三角形的垂心:三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心(
垂心定理:斜三角形的三个顶点与垂心
这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂
心就是第四个点(所以把这样的四个点称为
一个“垂心组”(
证明 如图，AD、BE、CF为ΔABC三
条高，过点A、B、C分别作对边的平行线
相交成ΔA'B'C'，显然AD为B'C'的中垂线;
同理BE、CF也分别为A'C'、A'B'的中垂线，
由外心定理，它们交于一点，命题得证
如果?ABC是正三角形，那么着四心
重合，并称为中心，它具有外心、内心、重心及垂心的所有性质。
练习:
(设G为?ABC的重心，M、N分别为AB、CA1
的中点，求证:四边形GMAN和?GBC的面积相等(
2(三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对
边的距离的二倍
习题8
、在?ABC中，?A是钝角，H是垂心，且AH=BC，则cos?BHC=( ) 1
A(,122 B(122 C(33 D(12
2(如果一个三角形的面积与周长都被一条直线平分，则此直线一定通过三角形的 ( )
A(内心 B(外心 C(重心 D(垂心(1996年全国初中联赛)
3、过等腰?ABC底边BC上一点P引PM?CA交AB于M;引PN?BA交AC于N. 作点P关于MN的对称点P'.试证:P'点在?ABC外接圆上.(杭州大学《中学数学竞赛习题》.
答案与提示
13318x,第一节练习:1.DDAC;2.当时，原式=，当时，原式=8-x;5,,xx,1322
(1)2x,,x,4;,,,43;x(3)3x,x,,3;3.1;4.;5.;习题1.或(2)或2.1;99100,
,,,11a3.(1);(2)(3);(4)(5);61,23,1465119800(1)2nn，4.0.提示:原方程化为 ，利用数轴知无解. xx，,，，,,23251
第二节练习:1、B;2.(1),;(2);(12)(12)xx，，，,((22))((22))xyxy，，，,
2()()xayxby,,(1)(1)xy,，(3);(4);习题:(1);(2)(x+1)(x-1)(1)(1)aaa，,，
(2x+3)(2x-3);(3)(b+c)(2a+b+c);(4)(3x-y+4)(x+2y+1);2.(1)
513513，,()()xx,,;(2);(3)(25)(25)xx,,,，22
;(4)(x-3)(x+1);3.正三角((72))((72)),，，,xyy(15)(15)xx,,,，
x,,3.形;4.(提示:各项分母因式分解，在裂项相消。)
2xx，,,230k,4第三节练习:1.CD;2.(1)-3;(2)有两个不相等的实数根;(3);3.k,0且;4.-1.习题:1.CBC;2.(1)2;(2)(3)6;(4);3.;;3m,,14m,,14174
2xx，,,710;4..5.18. m,,14
2(1)(2)xx，,第四节练习:1.AC;2.(1);(2)4;3.(1) yxx,,，，25
322(2);(3);习题:1.(1) yxx,,，,,2(12)(12)yxx,，,2yx,,，(3)52
5222(2);2.;3.;4.(1);yxx,,，，23yxx,,，21220yxx,,,2810,4(2)2;(3)1.
第五节练习:1.DD;2.(1)4,0;(2)2，-2,0;(3)下，直线x=-2，(-2,5)，-2，大，5，,,2;(1)当时，，无最小值x=-2=3y;(2)当时，，无最小值x=-1=4y;最大最大
当时，，当时，x=-1=4x=1y=1y当时，，当时，x=0=3x=3y(3);(4) 最大最小最大
172y=-12。习题:1.DCD;2.(1);(2);3.(1)0323,,,a; 或-1yx,，,(2)1最小52
,,,,xx1520,,,,xx52,,第六节练习:1.(1)(2);2.(1);(2);(3)或或,,,,yy,,,2015yy,,,25,,,,
x,53x,2x,2,,,;(4)。习题:1.(1)无解;(2);2.(1)1212,,,，x,,,y,,2y,,34y,0,,,
1024,,x,x,,,,x,0,x,,3111,,,35或;(2)或;(3);3.。 abc,,,,,,,,,412y,0424y,,1,,,,,y,y,,,,35,,
第七节练习:1.A;2.9。习题:1.AD=2、提示:先证MN23,33,3;ABAC,,
?BC，进而证明PQ?NM，得到MN?EF?BC?PQ，再通过PQ?NM 得到
MN=AD:BD，由于NM=BD，进而得到结果PQ=AD。 一个PQ:
第八节练习: 1(证明 如图，连GA，因为M、N分别为AB、CA的中点，所以?AMG的面积=?GBM的面积，?GAN的面积=
?GNC的面积,即四边形GMAN和?GBC的面积相
等( 2(证明 如图8-7，O为?ABC的外心，H为
?ABC外接圆于D，连DA、DB，则垂心，连CO交
DA?AC，BD?BC，又AH?BC，BH?AC(所以
DA?BH，BD?AH，从而四边形DAHB为平行四
DB=2OM，所以AH=2OM(同理可证 边形。又显然
BH=2ON，CH=2OK(证毕(习题:1、B;2.、A;3、
NP'=NP=NC， 故证明 由已知可得MP'=MP=MB，
点M是?P'BP的外心，点N是?P'PC的外心.于是有?BP'P=12?BMP=12?BAC， ?PP'C=12?PNC=12?BAC.??BP'C=?BP'P+?P'PC=?BAC， 从而，P'点与A、B、C共圆，即P'在?ABC外接圆上.
范文二：静宁一中初高中数学衔接读本
初高中数学衔接读本
高耀文编著
如何做好高、初中数学的衔接
初中生经过中考的奋力拼搏,刚跨入高中,都有十足的信心、旺盛的求知欲, 都有把高中课程学好的愿望。但经过一段时间,他们普遍感觉高中数学并非想象中 那么简单易学,而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩,有些章节如听天书。在做习题、 课外练习时,又是磕磕碰碰、跌跌撞撞,常常感到茫然一片,不知从何下手。相当 部分学生进入数学学习的“困难期” ,数学成绩出现严重的滑坡现象。渐渐地他们认 为数学神秘莫测,从而产生畏惧感,动摇了学好数学的信心,甚至失去了学习数学 的兴趣。造成这种现象的原因是多方面的,但最主要的根源还在于初、高中数学教 学上的衔接问题。下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。希望同学们 认真吸取前人的经验教训,搞好自己的数学学习。
一 高中数学与初中数学特点的变化
1 数学语言在抽象程度上突变。不少学生反映,集合、映射等概念难以理解, 觉得离生活很远,似乎很“玄” 。确实,初、高中的数学语言有着显著的区别。初中 的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及抽象的 集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。
2 思维方法向理性层次跃迁。高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶 段,很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式,如解分式方程分几步;因式 分解先看什么,再看什么。即使是思维非常灵活的平面几何问题,也对线段相等、 角相等 , 分别确定了各自的思维套路。因此,初中学习中习惯于这种机械的、便于操 作的定势方式。高中数学在思维形式上产生了很大的变化,数学语言的抽象化对思 维能力提出了高要求。当然,能力的发展是渐进的,不是一朝一夕的。这种能力要 求的突变使很多高一新生感到不适应,故而导致成绩下降。高一新生一定要能从经 验型抽象思维向理论型抽象思维过渡,最后还需初步形成辩证型思维。
3 知识内容的整体数量剧增。高中数学在知识内容的“量”上急剧增加了。例 如:高一《代数》第一章就有基本概念 52个,数学符号 28个; 《立体几何》第一章有 基本概念 37个,基本公理、定理和推论 21个;两者合在一起仅基本概念就达 89个之 多,并集中在高一第一学期学习,形成了概念密集的学习阶段。加之高中一年级第 一学期只有七十多课时,辅助练习、消化的课时相应地减少了。使得数学课时吃紧, 因而教学进度一般较快,从而增加了教与学的难度。这样,不可避免地造成学生不 适应高中数学学习,而影响成绩的提高。这就要求:第一,要做好课后的复习工作, 记牢大量的知识。第二,要理解掌握好新旧知识的内在联系,使新知识顺利地同化
于原有知识结构之中。第三,因知识教学多以零星积累的方式进行的,当知识信息 量过大时,其记忆效果不会很好,因此要学会对知识结构进行梳理,形成板块结构, 实行“整体集装” 。如表格化,使知识结构一目了然;类化,由一例到一类,由一类 到多类,由多类到统一;使几类问题同构于同一知识方法。第四,要多做总结、归 类,建立主体的知识结构网络。
二 不良的学习状态
1 学习习惯因依赖心理而滞后。初中生在学习上的依赖心理是很明显的。第一, 为提高分数,初中数学教师将各种题型都一一罗列,学生依赖于教师为其提供套用 的“模子” ;第二,家长望子成龙心切,回家后辅导也是常事。升入高中后,教师的 教学方法变了,套用的“模子”没有了,家长辅导的能力也跟不上了。许多同学进 入高中后,还象初中那样,有很强的依赖心理,跟随老师惯性运转,没有掌握学习 的主动权。表现在不定计划,坐等上课,课前没有预习,对老师要上课的内容不了 解,上课忙于记笔记,没听到“门道” 。
2 思想松懈。有些同学把初中的那一套思想移植到高中来。他们认为自已在初 一、二时并没有用功学习,只是在初三临考时才发奋了一、二个月就轻而易举地考 上了高中,有的还是重点中学里的重点班,因而认为读高中也不过如此。高一、高 二根本就用不着那么用功,只要等到高三临考时再发奋一、二个月,也一样会考上 一所理想的大学的。存有这种思想的同学是大错特错的。有多少同学就是因为高一、 二不努力学习,临近高考了,发现自己缺漏了很多知识再弥补后悔晚矣。
3 学不得法。老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉,剖析概念的内涵,分析 重点难点,突出思想方法。而一部分同学上课没能专心听课,对要点没听到或听不 全,笔记记了一大本,问题也有一大堆;课后又不能及时巩固、总结、寻找知识间 的联系,只是赶做作业,乱套题型,对概念、法则、公式、定理一知半解,机械模 仿,死记硬背。还有些同学晚上加班加点,白天无精打采,或是上课根本不听,自 己另搞一套,结果是事倍功半,收效甚微。
4 不重视基础。一些“自我感觉良好”的同学,常轻视基础知识、基本技能和 基本方法的学习与训练,经常是知道怎么做就算了,而不去认真演算书写,但对难 题很感兴趣,以显示自己的“水平” ,好高骛远,重“量”轻“质” ,陷入题海。到 正规作业或考试中不是演算出错就是中途“卡壳” 。
5 进一步学习条件不具备。高中数学与初中数学相比,知识的深度、广度,能 力要求都是一次飞跃。这就要求必须掌握基础知识与技能为进一步学习作好准备。 高中数学很多地方难度大、方法新、分析能力要求高。如二次函数值的求法、实根 分布与参变量的讨论、 ,三角公式的变形与灵活运用、空间概念的形成、排列组合应 用题及实际应用问题等。有的内容还是初中教材都不讲的脱节内容,如不采取补救 措施,查缺补漏,就必然会跟不上高中学习的要求。
三 科学地进行学习
高中学生仅仅想学是不够的,还必须“会学” ,要讲究科学的学习方法,提高学 习效率,才能变被动学习为主动学习,才能提高学习成绩。
1 培养良好的学习习惯。反复使用的方法将变成人们的习惯。什么是良好的学 习习惯?良好的学习习惯包括制定计划、课前自学、专心上课、及时复习、独立作 业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。
(1)制定计划使学习目的明确,时间安排合理,不慌不忙,稳扎稳打,它是推动 主动学习和克服困难的内在动力。但计划一定要切实可行,既有长远打算,又有短 期安排,执行过程中严格要求自己,磨炼学习意志。
(2)课前自学是上好新课、取得较好学习效果的基础。课前自学不仅能培养自学 能力,而且能提高学习新课的兴趣,掌握学习的主动权。自学不能走过场,要讲究 质量,力争在课前把教材弄懂,上课着重听老师讲思路,把握重点,突破难点,尽 可能把问题解决在课堂上。
(3)上课是理解和掌握基础知识、 基本技能和基本方法的关键环节。 “学然后知不 足” ,课前自学过的同学上课更能专心听课,他们知道什么地方该详,什么地方可以 一带而过,该记的地方才记下来,而不是全抄全录,顾此失彼。
(4)及时复习是高效率学习的重要一环。通过反复阅读教材,多方面查阅有关资 料,强化对基本概念知识体系的理解与记忆,将所学的新知识与有关旧知识联系起 来,进行分析比效,一边复习一边将复习成果整理在笔记本上,使对所学的新知识 由“懂”到“会” 。
(5)独立作业是通过自己的独立思考,灵活地分析问题、解决问题,进一步加深 对所学新知识的理解和对新技能的掌握过程。这一过程也是对意志毅力的考验,通 过运用使对所学知识由“会”到“熟” 。
(6)解决疑难是指对独立完成作业过程中暴露出来对知识理解的错误,或由于思 维受阻遗漏解答,通过点拨使思路畅通,补遗解答的过程。解决疑难一定要有锲而 不舍的精神。做错的作业再做一遍。对错误的地方要反复思考。实在解决不了的要 请教老师和同学,并要经常把易错的知识拿来复习强化,作适当的重复性练习,把 求老师问同学获得的东西消化变成自己的知识,使所学到的知识由“熟”到“活” 。 (7)系统小结是通过积极思考,达到全面系统深刻地掌握知识和发展认识能力的 重要环节。小结要在系统复习的基础上以教材为依据,参照笔记与资料,通过分析、 综合、类比、概括,揭示知识间的内在联系,以达到对所学知识融会贯通的目的。 经常进行多层次小结,能对所学知识由“活”到“悟” 。
(8)课外学习包括阅读课外书籍与报刊,参加学科竞赛与讲座,走访高年级同学 或老师交流学习心得等。课外学习是课内学习的补充和继续,它不仅能丰富同学们 的文化科学知识,加深和巩固课内所学的知识,而且能够满足和发展兴趣爱好,培
范文三：厦门双十中学初高中化学学习衔接读本
厦门双十中学初高中化学学习衔接读本
第一章 化合价——开启氧化还原反应的金钥匙 自主练习——先下手为“强”
1(请写出你熟悉的化合价口诀。
2(请写出常见原子团的名称和化学式。
3(下列反应属于氧化还原反应的是( )
高温 A(3CO+FeO3CO+2Fe B(Fe+CuSO===Cu+FeSO 23244
C(NaCO+2HCl,2NaCl+HO+CO? 2322
? D( Cu(OH)CO 2CuO+ HO+CO? 22322
4( 下列反应中，既属于化合反应，又属于氧化还原反应的是( )
点燃 通电 A(CH + 2OCO+2HOB(2HO2H?+O?2HO,,,,42222222
点燃 C(HSO+Zn,ZnSO+ H? D(3Fe+ 2OFeO 2442234
5(下列物质中，硫元素的化合价最低的是( )
A(HSO B(SO C(S D(HS 2332
，6，1,2，1
OSNaH6(有、、、四种元素，按指定化合价最多可以组成的化合物有( ) A(5种 B( 6种 C( 7种 D( 8种 7(某元素在化学反应中，由化合态变为游离态，则该元素( ) A(一定被氧化 B(一定被还原
C(可能被氧化，也可能被还原 D(化合价降低为0
8( 成语是中华民族灿烂文化中的瑰宝，许多成语中蕴含着丰富的化学原理，下列成语中涉及氧化还原反应的是
A(木已成舟 B(铁杵成针 C(蜡炬成灰 D(滴水成冰 9(下列四种基本反应类型中，一定是氧化还原反应的是
A(化合反应 B(分解反应 C(复分解反应 D(置换反应 10(下列各组变化中，后者一定包括前者的是
A(化学变化、物理变化 B(氧化还原反应、分解反应 C(化合反应、氧化还原反应 D(中和反应、复分解反应 11(氢氧化钾是我国古代纺织工业常用作漂洗的洗涤剂，古人将贝壳(主要成分是碳酸钙)灼烧后的固体(主要成分是氧化钙)与草木灰(主要成分是碳酸钾)在水中相互作用，就生成
)分解反应 。 了氢氧化钾，请按要求用化学方程式表示上述反应:(1
(2)化合反应 。(3)复分解反应 。 12(请从下列物质中选择合适的反应物，按以下要求各写出一个化学方程式: ?Fe ?H ?HO ?CO ?HSO?Ba(OH)?CuSO?CuO 2224 2 4
(1)属于氧化还原反应的化合反应: ; (2)属于氧化还原反应的分解反应: ; (3)有盐生成的置换反应: ; (4)有水生成的复分解反应: ; (5)不属于四种基本反应类型的氧化还原反应 。
自主练习参考答案
,(一价钾钠氯氢银，二价氧钙钡镁锌，三铝四硅五价磷，谈变价，也不难，二三铁，二四碳，二四六硫都齐全，铜汞二价最常见。
2(
名称 氢氧根 硝酸根 硫酸根 碳酸根 铵离子 氯酸根 碳酸氢根
,,,,,, 22+化学式 OH NO SO CO HCOClONH 343334
，30，2，4
Fe,Fe3( A、B(解析:氧化还原反应应该有元素化合价的升降，A中，，，CO,CO2
0，2，20
Fe,FeCu,CuB中，，，C、D中均无元素化合价的升降。)
4(D(解析:,中碳元素的化合价由,,价上升到，,价，氧气中氧元素的化合价由,价下降到,,价，属于氧化还原反应但不属于化合反应;,中,,中氢元素的化合价由+1价下降2
到0价，氧元素的化合价由,2价上升到0价，属于氧化还原反应但不属于化合反应;,中锌元素的化合价由0价上升到，2价，氢元素的化合价由+1价下降到0价，属于氧化还原反应但不属于化合反应;,中氧气中氧元素的化合价由0价下降到,,价，铁元素的化合价由0价上升到，8/3价，属于氧化还原反应也属于化合反应。)
5(D(解析:A中HSO硫元素的化合价是+4价;B中SO硫元素的化合价是+6价;C中S233
硫元素的化合价是0价; D中HS硫元素的化合价是,2价。 2
6(D(解析:?两种元素相互组合HO、HS、SO、NaO;?三种元素相互组合HSO、 NaOH、223224NaSO;?四种元素相互组合NaHSO。) 244
7(C(解析:化合态时元素的化合价可能是正价，也可能是负价，转变成游离态0价，因此，元素可能是被还原也可能是被氧化，所以选C。)
8(C 9(D 10(D
高温 11((1)分解反应CaCOCaO+CO?;(2)化合反应CaO+HO===Ca(OH) ;(3)复分3222
解反应Ca(OH)+KCO==CaCO?+2KOH; 解析:根据题中信息如:贝壳(主要成分是碳酸2233
钙)灼烧后的固体(主要成分是氧化钙)，联系碳酸钙的分解;氧化钙与草木灰(主要成分是碳酸钾)在水中相互作用，联系氧化钙与水发生化合反应生成氢氧化钙，氢氧化钙与碳酸钾发生复分解反应生成沉淀和氢氧化钾。
点燃 电解 12((1)2CO +O2CO (2)2HO2H?+O? 22222
(3)Fe+CuSO===FeSO+Cu (4)HSO+Ba(OH)====BaSO?+2HO; 4424242
? (5)CO+CuOCO+ Cu 2
范文四：2016-2017学年初高中衔接教材(苏教版)
前言
高中数学是初中数学的一个延伸与拓展，主要培养学生的运算能力．基础知识的应用能力．建模能力．推理及其逻辑思维能力．创新能力等．有许多知识点在初中教材中没有专门进行深层次的讲解，在高中教材中也没有专门列出来进行讲解，但在习题中常常运用到，故这些知识点作为初高中衔接内容在步入新高一前是很有必要去学习的，从而克服学生在初高中“断层”中走出来，快乐的享受高中数学带来的乐趣．
1．绝对值型函数与方程，初中没有讲，高中在必修一第二章函数．第三章指数函数．对数函数．幂函数及第四章函数与方程．必修五第三章不等式中均有体现绝对值型函数与方程，及绝对值不等式主要考查数形结合和分类讨论思想．
2．立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中在必修一中第一章集合．必修五第三章不等式中均有体现；
3．因式分解中，初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解，对系数不为1的涉及不多，而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求；高中教材中许多化简求值都要用到它，如解方程．不等式等；
4．二次根式中对分子．分母有理化初中不作要求，而分子．分母有理化是高中数学中函数．不等式常用的解题技巧；
5．初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了解水平。而高中则是贯穿整个数学教材的始终的重要内容；配方．作简图．求值域（取值范围）．解二次不等式．判断单调区间．求最大最小值．研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法；
6．二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系（韦达定理）初中不作要求，此类题目仅限于简单的常规运算，和难度不大的应用题，而在高中数学中，它们的相互转化屡屡频繁，且教材没有专门讲授；
7．含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解，高中则作为重点，并无专题内容在教材中出现，是高考必须考的综合题型之一；
另外，配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等初中大大淡化，甚至老师根本没有去延伸发掘，不利于高中数学的学习。
新的课程改革，难免会导致很多知识的脱节和漏洞。本书当然也没有详尽列举出来。我们会不断的研究新课程及其体系。将不遗余力地找到新的初高中数学教材体系中存在的不足，加以补充和完善。
欢迎广大读者提出宝贵意见，我们将不胜感激！
目录
第一章 数与式的运算 ............................................. 3
1.1 绝对值 . ................................................. 3 1.2乘法公式 ................................................ 6 1.3 二次根式 . ............................................... 8 1.4分式 ................................................... 13 练习一 . .................................................... 16
第二章 方程与不等式 ............................................ 18
2.1分解因式 ................................................ 18 2.2 一元二次方程 . ........................................... 22 练习二 . ..................................................... 27 2.3 二次函数 . ............................................... 29 2.4 二次函数的三种表示方式 . ................................. 34 2.5 一元二次不等式解法 . ..................................... 38
第一章 数与式的运算
1.1 绝对值
一、基础知识点：
绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即
?a , a >0, ?
|a |=?0, a =0,
?-a , a <0.>
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：a -b 表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 二、例题解析
【例1】解不等式：x -+x -3＞4．
【解析】解法一：由x -1=0，得x =1；由x -3=0，得x =3； ①若x <1，不等式可变为-(x -1)="" -(x="" -3)="">4， 即-2x +4＞4，解得x 4，
∴不存在满足条件的x ；
③若x ≥3，不等式可变为(x -1) +(x -3) >4， 即2x -4＞4， 解得x ＞4． 又x ≥3， ∴x ＞4．
综上所述，原不等式的解为 x 4．
解法二：如图1．1－1x -1表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|P A |，即|P A |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|．
所以，不等式x -+x -3＞4的几何意义即为
|P A |＋|PB |＞4． 由|AB |＝2，可知
|x －1|
图1．1－1 |x －3| 点P 在点C （坐标为0）的左侧．或点P 在点D （坐标为4）的右侧． x 4． 【练习】
1．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．（并画图像）
2．求函数y =|x +3|+|x -5|的值域．
y =x -+x +4
3．求函数的值域：
参考答案
1．3x －18
?-2x +2(x <-3) 2．解：∵y="|x" +3|+|x="" -5|="">
?8 (-3≤x <5)>
??
2x -2(x ≥5) ∴y =|x +3|+|x -5|的图像如图所示，
由图像知：函数y =|x +3|+|x -5|的值域为[8,+∞)
?-2x -3(x ≤y =x -1+x +4=?
-4)?5(-4
3．解：
?
2x +3(x ≥1)∴y ≥5
∴函数的值域为：[5, +∞).
1.2乘法公式
一、基础知识点
（1）平方差公式 (a +b )(a -b ) =a 2-b 2； （2）完全平方公式 (a ±b ) 2=a 2±2ab +b 2． （3）立方和公式 (a +b )(a 2-ab +b 2) =a 3+b 3； （4）立方差公式 (a -b )(a 2+ab +b 2) =a 3-b 3； 二、例题解析
【例1】计算：(x +1)(x -1)(x 2-x +1)(x 2+x +1) ．
【例2】已知a +b +c =4，ab +bc +ac =4，求a +b +c 的值． 【练习】 （1）
2
2
2
121211
a -b =(b +a ) （ ）； 9423
22
（2）(4m + ) =16m +4m +( ) ；
（3）(a +2b -c ) 2=a 2+4b 2+c 2+( ) ． （4）若x +
2
1
mx +k 是一个完全平方式，则k 等于． 2
2
2
（5）不论a ，b 为何实数，a +b -2a -4b +8的值．
参考答案
22226242
?(x +1) -x x -1． 【例1】解法一：原式=(x -1) ?==(x -1)(x +x +1) ??
解法二：原式=(x +1)(x 2-x +1)(x -1)(x 2+x +1) =(x 3+1)(x 3-1) =x -1． 【例2】解： a 2+b 2+c 2=(a +b +c ) 2-2(ab +bc +ac ) =8．
6
111112
a -b m ,
4ab -2ac -4bc 321624【练习】（1） （2） （3）（4）
（5）总是正数
1.3 二次根式
一、基础知识点
a ≥0) 的代数式叫做二次根式．根号下含有字母．且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如
3a
2b
+
2
x +
1，2
x 2+
y 2
1．分母（子）有理化
把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，
我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如
与
，
与
与
一般地，
与
与
b 与b 互为有理化因式．
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程
在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运
=
a ≥0, b ≥0) ；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然
后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．
2
=a =?
二、例题讲解
?a , a ≥0,
-a , a <0.>
【例1】 将下列式子化为最简二次根式：
（1
（2
a ≥0) ； （3
x <0)>
【例2】
(3．
【例3】 试比较下列各组数的大小：
（1
（2
【例4】
化简：2004?2005．
【例 5】 化简：（1
； （2
【练习】 1．填空： （1
__ ___；
（2
(x -x 的取值范围是；
2
．若b =，求a +b 的值．
3．比较大小：2
（填―＞‖，或―2，
∴6＋4＞6＋22，
== 1
【例 4
】解：
2004?
2005
＝2004?
2004?
＝???2004
???
＝12004?
【例
5】解：（1）原式=
=
=
=
2=2．
（2）原式
=x -1， x
∵0
【练习】
1．（1
-2 x 2）3≤x ≤5 x 2．1 3．＞
（
1.4分式
一、基础知识点
1．分式的意义 形如A A A 的式子，若B 中含有字母，且B ≠0，则称为分式．当M ≠0时，分式具B B B 有下列性质：
A A ?M A A ÷M ==； ． B B ?M B B ÷M
上述性质被称为分式的基本性质．
二、例题解析
【例1】若
【例2】（1）试证：5x +4A B =+，求常数A , B 的值． x (x +2) x x +2111=-（其中n 是正整数）； n (n +1) n n +1
（2）计算：111++ +； 1?22?39?10
（3）证明：对任意大于1的正整数n ， 有
1111++ +<． 2?33?4n="" (n="" +1)="">
【例3】设e =
【练习】
1．填空题： c ，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值． a
（1）对任意的正整数n ，111）； =（-n n +2n (n +2)
（2）若2x -y 2x =，则＝ x +y 3y
x -y 的值． x +y 2．正数x , y 满足x 2-y 2=2xy ，求
3．计算
1111+++... +． 1?22?33?499?100
参考答案
例1解： ∵A B A (x +2) +Bx (A +B ) x +2A 5x +4， +===x x +2x (x +2) x (x +2) x (x +2)
∴??A +B =5, 解得 A =2, B =3． 2A =4, ?
11(n +1) -n 1， -==n n +1n (n +1) n (n +1) 例2 （1）证明：∵
∴111（其中n 是正整数）成立． =-n (n +1) n n +1
（2）解：由（1）可知
111111111++ + =(1-) +(-) + +(-) =1- ＝1?22?39?10223910109． 10
（3）证明：∵111111111) ＝++ +＝(-) +(-) + +(-2334n n +12?33?4n (n +1)
11-， 2n +1
1 又n ≥2，且n 是正整数，∴ 一定为正数， n ＋1
∴1111++ +0．于是
（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根
x 1，2
（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x 1＝x 2＝－
b ； 2a
（3）当b 2－4ac 0时，方程有两个不相等的实数根
-b ± x 1，2
＝；
2a
（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－
b ； 2a
（3）当Δ0，所以方程一定有两个不等的实数根
b c
，x 1·x 2＝．这一关系a a
（其中Δ＝b 2|a |
a +a ，
x 2=． x 1=
22
（3）由于该方程的根的判别式为
Δ＝a 2－4×1×（a －1）＝a 2－4a ＋4＝（a －2）2，
所以，①当a ＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝1；
②当a ≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根 x 1＝1，x 2＝a －1． （3）由于该方程的根的判别式为
Δ＝22－4×1×a ＝4－4a ＝4（1－a ），
所以①当Δ＞0，即4（1－a ） ＞0，即a 1时，方程没有实数根．
说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．
【例2】已知方程5x
2
+kx -6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．
分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值．
解法一：∵2是方程的一个根，
∴5×22＋k ×2－6＝0， ∴k ＝－7．
所以，方程就为5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝2，x 2＝－所以，方程的另一个根为－
3
． 5
3
，k 的值为－7． 5
36
，∴x 1＝－．
55
解法二：设方程的另一个根为x 1，则 2x 1＝－由 （－
3k
）＋2＝－，得 k ＝－7． 55
3
，k 的值为－7． 5
所以，方程的另一个根为－
【练习】
1．已知关于x 的方程x 2＋2（m －2）x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．
2．已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．
3．若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根． （1）求| x1－x 2|的值；
（2）求
（3）x 13＋x 23．
【例3】 若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零．另一根小于零，求实数a 的取值范围．
【练习】 1．填空:
（1）若方程x 2－3x －1＝0的两根分别是x 1和x 2，则
11
的值； +
x 12x 22
11
+＝ x 1x 2
（2）方程mx 2＋x －2m ＝0（m ≠0）的根的情况是 ． （3）以－3和1为根的一元二次方程是 ．
2
|b -1|=0，当k 取何值时，方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实
数根？
3．已知方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1和x 2，求（x 1－3）（ x 2－3）的值．
练习二
1．填空:
（1）方程kx 2＋4x －1＝0的两根之和为－2，则k ＝ ． （2）方程2x 2－x －4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝ ．
（3）已知关于x 的方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ． （4）方程2x 2＋2x －1＝0的两根为x 1和x 2，则| x1－x 2|＝
（5）若m ，n 是方程x 2＋2005x －1＝0的两个实数根，则m 2n ＋mn 2－mn 的值等于 ．
（6）如果a ，b 是方程x 2＋x －1＝0的两个实数根，那么代数式a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3的值是 ．
（7）若方程x 2－8x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2，且3x 1＋2x 2＝18，则m ＝ ． 2．试判定当m 取何值时，关于x 的一元二次方程m 2x 2－（2m ＋1） x ＋1＝0有两个不相等
的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？
3．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数．
4．已知关于x 的方程x 2－kx －2＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根为x 1和x 2，如果2（x 1＋x 2）＞x 1x 2，求实数k 的取值范围．
5．关于x 的方程x 2＋4x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2满足| x1－x 2|＝2，求实数m 的值．
m 2
=0． 6．已知关于x 的方程x -(m -2) x -4
2
（1）求证：无论m 取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；
（2）若这个方程的两个实数根x 1，x 2满足|x 2|＝|x 1|＋2，求m 的值及相应的x 1，x 2．
7．若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的一个大于1．零一根小于1，求实数a 的取值范围．
2.3 二次函数
一、基础知识点
二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像和性质
问题1 函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间存在怎样的关系？ 为了研究这一问题，我们可以先画出y ＝2x 2，y ＝
12
x ，y ＝－2x 2的图象，通过这些函2
数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系，推导出函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间所存在的关系．
先画出函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象． 先列表：
从表中不难看出，要得到2x 2的值，只要把相应的x 2的值扩大两倍就可以了． 再描点．连线，就分别得到了函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象（如图
2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y ＝2x 2的图象可以由函数y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．
同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y ＝函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系．
12
x ，y ＝－2x 2的图象，并研究这两个2
图2.2-1
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
2
二次函数y ＝ax （a ≠0）的图象可以由y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到．在
二次函数y ＝ax 2（a ≠0）中，二次项系数a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．
问题2 函数y ＝a （x ＋h ）2＋k 与y ＝ax 2的图象之间存在怎样的关系？
同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y ＝2（x ＋1）2＋1与y ＝2x 2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y ＝2x 2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y ＝2（x ＋1）2＋1的图象．这两个函数图象之间具有―形状相同，位置不同‖的特点．
类似地，还可以通过画函数y ＝－3x 2，y ＝－3（x －1）2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
二次函数y ＝a （x ＋h ）2＋k （a ≠0）中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．
由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象的方法：
图2.2-2
b b b 2b 22
由于y ＝ax ＋bx ＋c ＝a （x ＋x ）＋c ＝a （x ＋x ＋2）＋c －
a a 4a 4a
2
2
b 2b 2-4ac
) + =a (x +， 2a 4a
所以，y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移．上下平移得到的，于是，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）具有下列性质：
b 4ac -b 2
, ) ，（1）当a ＞0时，函数y ＝ax ＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为(-2a 4a
2
对称轴为直线x ＝－
b b b
；当x -时，y 随着2a 2a 2a
b 4ac -b 2
x 的增大而增大；当x ＝-时，函数取最小值y ＝．
2a 4a
b 4ac -b 2
, ) ，（2）当a -时，y 随着2a 2a 2a
b 4ac -b 2
x 的增大而减小；当x ＝-时，函数取最大值y ＝．
2a 4a
【例1】 求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向．对称轴．顶点坐标．最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．
解：∵y ＝－3x 2－6x ＋1＝－3（x ＋1）2＋4， ∴函数图象的开口向下； 对称轴是直线x ＝－1； 顶点坐标为（－1，4）；
当x ＝－1时，函数y 取最大值y ＝4；
当x －1时，y 随着x 的增大而减小； 采用描点法画图，选顶点A （－1，4）），与x 轴交于点
B 和
C (，与y 轴的交点为D （0，1），过这五点画出图象（如图2－5所示）． 说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便．图象更精确．
【例2】某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间关系如下表所示：
若日销售量y 是销售价x 的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？
【例3】把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，求b ，c 的值．
【例4】已知函数y ＝x 2，－2≤x ≤a ，其中a ≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值．
【练习】 1．填空题
（1）二次函数y ＝2x 2－mx ＋n 图象的顶点坐标为（1，－2），则m ＝ ，n ＝ ． （2）已知二次函数y ＝x 2+（m －2）x －2m ，当m ＝时，函数图象的顶点在y 轴上；
当m ＝ 时，函数图象的顶点在x 轴上；当m ＝ 时，函数图象经过原点． （3）函数y ＝－3（x ＋2）2＋5的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标
为 ；当x ＝ 时，函数取最 值y ＝ ；当x 时，y 随着x 的增大而减小．
2．求下列抛物线的开口方向．对称轴．顶点坐标．最大（小）值及y 随x 的变化情况，并画出其图象．
（1）y ＝x 2－2x －3； （2）y ＝1＋6 x－x 2．
3．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3，当自变量x 在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x 的值：
（1）x ≤－2；（2）x ≤2；（3）－2≤x ≤1；（4）0≤x ≤3．
2.4 二次函数的三种表示方式
通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式： 1．一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）；
2．顶点式：y ＝a （x ＋h ）2＋k （a ≠0），其中顶点坐标是（－h ，k ）．
除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象与x 轴交点个数．
当抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴相交时，其函数值为零，于是有
ax 2＋bx ＋c ＝0． ①
并且方程①的解就是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b 2－4ac 有关，由此可知，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交点个数与根的判别式Δ＝b 2－4ac 存在下列关系：
（1）当Δ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴有两个交点；反过来，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴有两个交点，则Δ＞0也成立．
（2）当Δ＝0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴有一个交点，则Δ＝0也成立．
（3）当Δ3时，y ＞0，即x 2－x －6＞0； 当－20的解是x 3； 一元二次不等式 x 2－x －60（a ≠0）呢？
我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象来解一元二次不等式ax 2＋
bx ＋c ＞0（a ≠0）．
为了方便起见，我们先来研究二次项系数a ＞0时的一元二次不等式的解．
我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ＞0），设△＝b 2－4ac ，它的解的情形按照△＞0，△=0，△0）与x 轴分别有两个公共点．一个公共点和没有公共点（如图2.3－2所示），因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0（a ＞0）与ax 2＋bx ＋c 0）的解．
（1）当Δ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴有两个公共点（x 1，0）和（x 2，0），方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根x 1和x 2（x 10的解为 x x 2； 不等式ax 2＋bx ＋c 0）与x 轴有且仅有一个公共点，方程ax 2＋b
bx ＋c ＝0有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－ ，由图2.3－2②可知
2a
b
不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解为 x ≠－；
2a 不等式ax 2＋bx ＋c 0）与x 轴没有公共点，方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实数根，由图2.3－2③可知
不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解为一切实数； 不等式ax 2＋bx ＋c 2，则不等式ax 2-bx+c＞0的解集为 .
4．一元二次方程x 2＋4x －m =0的两个实根之积的平方不大于36，试求m 的取值范围。 【小结】
（1）解一元二次不等式的步骤：1． 把二次项的系数变为正的。（如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正）
2．解对应的一元二次方程。（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根） 3．求解一元二次不等式。（根据一元二次方程的根及不等式的方向）
4．要重视数形结合思想，解一元二次不等式就是借助于二次函数的图象，抓住①抛物线的开口方向②抛物线y =ax +bx +c 与x 轴的交点，从而确定不等式的解集。同时运用二次函数图象的直观性帮助记忆。
2
含有参数的不等式
1．若0
2．解关于x 的不等式x 2＋2x ＋1－a 2≤0（a 为常数）．
3．解关于x 的不等式x 2－（1＋a ）x ＋a ＜0（a 为常数）．
1
）<0；>
分式不等式
1．解下列不等式的解集 （1）-x +12x -52
>0. （2）≤0. （3）≥3. x -55x +23-5x
（4）x +8
x 2
+2x +3
<2. （5）（1-2x=""><>
（7）（x 2
-1）（x 2
-6x +8）≤0 （8）x 2-4x +1
3x 2
-7x +2
≥1
2．当m 为何值时，关于x 的不等式m (x -1)=3(x +2)的解是（1）正数？
2．解关于x 不等式 ax
x -1
< 1="">
2）是负数？ （
3．当k 为何值时，不等式2kx +kx-
2
3
<0对于一切实数x 都成立？="">
1-kx -x 2
4．不等式<2的解集是r ,求实数k="">
1-x +x 2
5．已知函数f （x ）=x+px+q,且f （2）=2,若对于任意实数x 恒有f （x ）≥x,
求实数p ，q 的值.
2
绝对值不等式
1．解下列不等式：
2
（1）x -3x >4 （2）
2x -3x x
>1 （3）>
x +21+x 1+x
（4）x -x -6<>
（6）|x -1|+|x +2|>5
3．如果对一切实数x, 不等式|x -1|+|
2
（5）|2x +1|≥x -3
2. 等式|x -4|+|x +3|
x +2|>a 恒成立，求实数a 的取值范围.
范文五：初高中政治衔接
政治学科初高?中政治教学衔?接
我们思想政治?这一学科的初?高中在知识衔?接中没有多大?的关系。因此我只是在?学生的思维方?式和学生的学?习方式上谈谈?我的想法及做?法
近些年来，越来越多的高?一新生对新上?手的高中课程?总是不能很快?适应。无论是对课程?的思想认识、教学内容，还是教师的教?学方法、学生自身的学?习方法等诸多?方面，都很
因为环境、学习的不适应?导致难一时之?间转变过来。许多学生刚进?入高中后的一?段时间，
成绩下滑?，进而苦恼、悲伤、茫然，心理压力增大?;再加上家长的?期望值过高，无形中更增加?了学生的心理?负担，这与学生的成?长相当不利。因此做好初高?中政治教学的?衔接工作就显?得尤为迫切和?必要。
一、初高中政治教?学衔接的必要?性
1(初高中政治学?科教学容量、知识深度、教学节奏的变?化而形成的衔?接问题。总体而言，高中学科的知?识容量和难度?都比初中大，这在较大程度?上影响到教师?的教和学生的?学。 2(初高中学生身?心变化、学习习惯与学?习方式不同等?因素而形成的?衔接问题。由于年龄特征?和心理上的差?异，初中生的学习?心理、学习习惯、学习方法及学?科素养还有许?多不适应高中?学习之处。
3(中考和高考性?质上的差异而?形成的衔接问?题。初中思想品德?学科的中考与?高中思想政治?学科的高考是?两种性质完全?不同的考试。
二、初高中政治教?学衔接的对策?
第一，思想认识方面?的衔接——转变学生的思?想认识，端正态度，明确目标
刚从初中考政?治过来的高一?新生，他们及家长都?认为只要把书?本上的重点划?一划和勾一勾?就行了，不需要花太多?的时间去理解?、运用;或者大多认为?平时不需要背?书，只要考前背一?背，花几晚上就可?以考高分的“临时抱拂脚”的错误认识。可见，学生在思想上?对政治课的重?视程度是远远?不够的，甚至是非常错?误的。
俗话说“好的开始就是?成功的一半”。针对这样的状?况，作为高中政治?教师，首先要解决的?问题就是转变?学生的思想认?识问题。第一堂课就应?该让学生明确?初高中政治的?差异性，明确学习高中?政治的具体要?求;同时可以针对?高考状况对学?生进行宣传、教育，引起学生的重?视，并让学生树立?考大学的志愿?，进而奋发向上?，有所作为。当然，在这方面，初中教师也要?注意在初中阶?段，就有目的地端?正学生的学习?态度。
第二，教法的衔接—注重理论联系?实际，学以致用
教学方法是实?施“衔接”的桥梁，思想品德课和?思想政治课在?教学方法上有?许多共通之处?。教法的衔接有?很多方面，但是立足生活?，注重理论联系?实际，学以致用，是政治课教学?的基本原则和?基本方法，也是政治课堂?教学的生命力?所在。思想品德课和?思想政治课教?学如果脱离了?生活实际，教学就成了无?源之水、无本之木。因此在初高中?的政治课教学?中都应坚持和?贯彻这一原则?，但高中教学较?初中教学在理?论联系实际的?深度上更进一?步，体现得更为明?显。初中在平时的?教学中，也强调联系时?政热点、自身学习和生?活中的问题，但主要停留在?道德行为规范?上，对问题的分析?、作答，言之有理即可?。而高中不同，在教学中更重?视平时的时政?学习和热点分?析，重视对人类面?临的共同问题?的剖析，重视对自身学?习和生活问题?的认识。对问题的分析?、作答，不仅要言之有?理，还要言之有据?，更强调学生分?析解决问题的?实际能力。因此在教学中?必须进一步加?强理论联系实?际，要引导学生更?加关心社会、关注人生。通过情景教学?，更多地引导学?生用所学的理?论对实际问题?进行分析思考?，达到学以致用?，在理论与实际?的结合中学会?理解、判断、思考和创新。 第三，学法的衔接—引导学生转变?学习方式，养成良好学习?习惯
初中学习偏重?于形象思维，注重榜样、体验感受、实践活动。而高中则注重?形象思维与理?性思维的统一?，强调培养学生?的抽象思维能?力和逻辑推理?的能力，培养学生的独?立分析、解决问题的能?力。因此，在高一教学的?初期，高中教师要做?到特别注意引?导学生学习方?式的转变，引导学生形成?科学有效的学?习方式，形成良好的学?习习惯，使学生在预习?、课堂笔记、问题探讨、构建知识体系?、纠错、查漏补缺、规范答题等方?面增加主动性?和创造性。要引导学生学?会预习、听课、做笔记;学会分析、归纳、推理、判断;学会探究和质?疑;学会独立思考?和自主学习。这些直接关系?到学生学习能?力的整体提升?，并最终影响教?学实效。
1、指导学生学会?预习和复习。做好课前预习?和课后复习是?提高教学效益?的重要途径，但习惯于学生?在初中阶段普?遍认为思想政?治课不重要，是“副科”、“豆芽学科”，不需要预习，也没有什么好?复习的。因此，在解决学生思?想认识问题，端正学生学习?态度的基础上?，让学生充分认?识到所学知识?难度加大，做好课前预习?和课后复习有?其必要性和重?要性。尤其是预习，应引导学生学?会看书，学会阅读，学会分析，提高学生的自?学能力。 2、指导学生学会?记忆和学会背?书。(平时以比赛的?学生激发他们?的学习热情) 3、引导学生学会?做笔记。现在的学生不?会做笔记也大?一大难题。“好记性不如烂?笔头”。高中阶段的学?习，由于难度的增?加，老师课堂的讲?解特别重要，许多关键的知?识点都是在老?师的讲课中增?添和过渡的。因此做笔记就?显得尤为重要?。做笔记的时候?应该怎么做,不仅要记板书?，个别的关键字?词必须要有批?注;记笔记可以有?自己的独立见?解，会取得出其不?意的效果等等?。因此必须引导?学生改变初中?阶段简单记录?板书的学习思?维和观念，要做到在课堂?上多动手、勤动手。
总之，初高中政治教?学的衔接问题?，不仅仅是教学?层面上知识的?增补与温故知?新的问题，它要求我们在?教学实际中，必须遵循初高?中教学规律和?特点，不断探索，从而从根本上?解决初高中政?治教学的衔接?问题。
步岩
2015.6.16
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