湘菜大师傅
范文一：降次公式
两角和公式
sin(a+b)=sinacosb+cosasinb
sin(a-b)=sinacosb-sinbcosa
cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
cos(a-b)=cosacosb+sinasinb
tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)
tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb)
cot(a+b)=(cotacotb-1)/(cotb+cota)
cot(a-b)=(cotacotb+1)/(cotb-cota)
倍角公式
tan2a=2tana/[1-(tana)^2]
cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2 sin2a=2sina*cosa
半角公式
sin(a/2)=√((1-cosa)/2) sin(a/2)=-√((1-cosa)/2)
cos(a/2)=√((1+cosa)/2) cos(a/2)=-√((1+cosa)/2)
tan(a/2)=√((1-cosa)/((1+cosa)) tan(a/2)=-√((1-cosa)/((1+cosa)) co t(a/2)=√((1+cosa)/((1-cosa)) cot(a/2)=-√((1+cosa)/((1-cosa)) tan(a/2)=(1-cosa)/sina=sina/(1+cosa)
和差化积
2sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b)
2cosasinb=sin(a+b)-sin(a-b) )
2cosacosb=cos(a+b)-sin(a-b)
-2sinasinb=cos(a+b)-cos(a-b)
sina+sinb=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2
cosa+cosb=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)
tana+tanb=sin(a+b)/cosacosb
积化和差公式
sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]
cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]
sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]
诱导公式
sin(-a)=-sin(a)
cos(-a)=cos(a)
sin(pi/2-a)=cos(a)
cos(pi/2-a)=sin(a)
sin(pi/2+a)=cos(a)
cos(pi/2+a)=-sin(a)
sin(pi-a)=sin(a)
cos(pi-a)=-cos(a)
sin(pi+a)=-sin(a)
cos(pi+a)=-cos(a)
tga=tana=sina/cosa
万能公式
sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))
cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))
tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))
其它公式
a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c) [其中，tan(c)=b/a] a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c) [其中，tan(c)=a/b] 1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2
1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2
其他非重点三角函数
csc(a)=1/sin(a)
sec(a)=1/cos(a)
双曲函数
sinh(a)=(e^a-e^(-a))/2
cosh(a)=(e^a+e^(-a))/2
tgh(a)=sinh(a)/cosh(a)
范文二：降次—公式法
作业------用求根公式法解一元二次方程
姓名 成绩
1．一元二次方程x -2x -1=0的根的情况为（ ）
A ．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C ．只有一个实数根 D．没有实数根
2．用公式法解方程4x -12x=3，得到（ ）．
A ．
x=223±-3-3±3± B．
x= C．
x= D．
x= 2222
2
3
的根是（ ）．
A ．x 1
x 2
．x 1=6，x 2
．x 1
x 2
．x 1=x2
4．若关于x 的一元二次方程x -2x +m =0没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．m <1 b．m="">-1 C．m >1 D．m <>
5．下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A ．x +4=0 B．4x -4x +1=0 C．x +x +3=0 D．x +2x -1=0
6．如果关于x 的一元二次方程k 2x 2-(2k +1) x +1=0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）
A ．k >-222221111 B．k >-且k ≠0 C．k <- d．k="" ≥-且k="" ≠0="">
27．一元二次方程ax +bx+c=0（a ≠0）的求根公式是________，条件是________．
28．当x=______时，代数式x -8x+12的值是-4．
229．若关于x 的一元二次方程（m-1）x +x+m+2m-3=0有一根为0，则m 的值是_____．
10．如果关于x 的方程x -2x -k =0没有实数根，则k 的取值范围为_____________.
11. 若关于x 的一元二次方程x -3x +m =0有实数根，则实数m 的取值范围是_____________.
12．用公式法解下列方程.
（1）2x -4x -1=0； （2）5x +2=3x ； （3）4x -3x +1=0.
（4）0.3y +y =0.8. （5）2x (x +4) =1； 222222
（6）(x -2)(3x -5) =1； （7
2+=
13. 求证：关于x 的方程x 2+(2k +1) x +k -1=0有两个不相等的实数根．
14. 若关于x 的一元二次方程(a -2) x -2ax +a +1=0没有实数解，求ax +3>0的解集（用含a 的式子表示）．
215. k 取何值时，方程kx －（2k+1）x+k=0，（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等
的实数根；（3）无实数根．
16. 方程x －（k+1）x+
17. 已知一元二次方程（ab －2b ）x +2（b －a ）x+2a－ab=0有两个相等的实数根，求值．
22222218. 已知：a 、b 、c 是三角形三条边的长，求证：方程b x +（b +c－a ）x+c=0没有实数根． 2221k=0能否有相等的实数根．若有请求出来． 411+的a b
范文三：九年级数学降次 —— 一元二次方程的解法 公式法新人教版
公式法
教学内容
1(一元二次方程求根公式的推导过程;
2(公式法的概念;
3(利用公式法解一元二次方程(
教学目标
理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二
次方程(
2 复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax+bx+c=0(a?0)?的求根公式
的推导公式，并应用公式法解一元二次方程(
重难点关键
1(重点:求根公式的推导和公式法的应用(
2(难点与关键:一元二次方程求根公式法的推导(
教学过程
一、复习引入
(学生活动)用配方法解下列方程
22 (1)6x-7x+1=0 (2)4x-3x=52
2 (老师点评) (1)移项，得:6x-7x=-1
712 二次项系数化为1，得:x-x=- 66
7717222 配方，得:x-x+()=-+()612612
7252 (x-)= 12144
755775，x-=? x=+==1 11212121212
5775,1x=-+== 21212612
(2)略
总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，老师点评)(
(1)移项;
(2)化二次项系数为1;
(3)方程两边都加上一次项系数的一半的平方;
2 (4)原方程变形为(x+m)=n的形式;
(5)如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二
次方程无解(
用心 爱心 专心
二、探索新知
2 如果这个一元二次方程是一般形式ax+bx+c=0(a?0)，你能否用上面配方法的步骤求出
它们的两根，请同学独立完成下面这个问题(
2,，,bbac422 问题:已知ax+bx+c=0(a?0)且b-4ac?0，试推导它的两个根x=，12a
2,,,bbac4x= 22a
分析:因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c?也当成一个具体数字，
根据上面的解题步骤就可以一直推下去(
2 解:移项，得:ax+bx=-c
bc2 二次项系数化为1，得x+x=- aa
bcbb222 配方，得:x+x+()=-+()aa2a2a
2bac,4b2 即(x+)= 22a4a
22 ?b-4ac?0且4a>0
2bac,4 ??0 24a
2bac,4b 直接开平方，得:x+=? 2a2a
2,,,bbac4 即x= 2a
22,，,bbac4,,,bbac4 ?x=，x= 122a2a
2 由上可知，一元二次方程ax+bx+c=0(a?0)的根由方程的系数a、b、c而定，因此:
2 (1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax+bx+c=0，当b-4ac?0时，?将
2,,,bbac4a、b、c代入式子x=就得到方程的根( 2a
用心 爱心 专心
(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式(
(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法(
(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根(
例1(用公式法解下列方程(
22 (1)2x-4x-1=0 (2)5x+2=3x
2 (3)(x-2)(3x-5)=0 (4)4x-3x+1=0
分析:用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可(
解:(1)a=2，b=-4，c=-1
22 b-4ac=(-4)-4×2×(-1)=24>0
,,,,,(4)2442626 x= ,,2242，
26，26, ?x=，x= 1222
(2)将方程化为一般形式
2 3x-5x-2=0
a=3，b=-5，c=-2
22 b-4ac=(-5)-4×3×(-2)=49>0
,,,,(5)4957 x= ,236，
1 x=2，x=- 123
(3)将方程化为一般形式
2 3x-11x+9=0
a=3，b=-11，c=9
22 b-4ac=(-11)-4×3×9=13>0
,,,,(11)131113 ?x= ,236，
1113，1113, ?x=，x= 1266
(3)a=4，b=-3，c=1
22 b-4ac=(-3)-4×4×1=-7<0>
因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根(
用心 爱心 专心
三、巩固练习
教材P 练习1((1)、(3)、(5) 42
四、应用拓展
2m，2 例2(某数学兴趣小组对关于x的方程(m+1)+(m-2)x-1=0提出了下列问题( x
(1)若使方程为一元二次方程，m是否存在,若存在，求出m并解此方程(
(2)若使方程为一元二次方程m是否存在,若存在，请求出(
你能解决这个问题吗,
2 分析:能((1)要使它为一元二次方程，必须满足m+1=2，同时还要满足(m+1)?0(
(2)要使它为一元一次方程，必须满足:
22m，,10,,m，,11m，,10,?或?或? ,,,m,,20m,,20(1)(2)0mm，，,,,,,
2 解:(1)存在(根据题意，得:m+1=2
2 m=1 m=?1
当m=1时，m+1=1+1=2?0
当m=-1时，m+1=-1+1=0(不合题意，舍去)
2 ?当m=1时，方程为2x-1-x=0
a=2，b=-1，c=-1
22 b-4ac=(-1)-4×2×(-1)=1+8=9
,,,,(1)913 x= ,224，
1 x=，x=- 122
1 因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x=1，x=-( 12222 (2)存在(根据题意，得:?m+1=1，m=0，m=0
因为当m=0时，(m+1)+(m-2)=2m-1=-1?0
所以m=0满足题意(
2 ?当m+1=0，m不存在(
?当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3?0
所以m=-1也满足题意(
当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0，
解得:x=-1
当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0
用心 爱心 专心
1 解得x=- 3
因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1;当
1m=-?1时，其一元一次方程的根为x=-( 3
五、归纳小结
本节课应掌握:
(1)求根公式的概念及其推导过程;
(2)公式法的概念;
(3)应用公式法解一元二次方程;
(4)初步了解一元二次方程根的情况(
六、布置作业
1(教材P 复习巩固4( 45
2(选用作业设计:
一、选择题
2 1(用公式法解方程4x-12x=3，得到( )(
,,3636,A(x= B(x= 22
,,323323,C(x= D(x= 22
2 2(方程x+4x+6=0的根是( )( 322
A(x=，x= B(x=6，x= 3221212
C(x=2，x= D(x=x=- 6221212
222222 3((m-n)(m-n-2)-8=0，则m-n的值是( )(
A(4 B(-2 C(4或-2 D(-4或2
二、填空题
2 1(一元二次方程ax+bx+c=0(a?0)的求根公式是________，条件是________(
2 2(当x=______时，代数式x-8x+12的值是-4(
22 3(若关于x的一元二次方程(m-1)x+x+m+2m-3=0有一根为0，则m的值是_____(
三、综合提高题
222 1(用公式法解关于x的方程:x-2ax-b+a=0(
用心 爱心 专心
bc2 2(设x，x是一元二次方程ax+bx+c=0(a?0)的两根，(1)试推导x+x=-，x?x=;121212aa3322(2)?求代数式a(x+x)+b(x+x)+c(x+x)的值( 121212
3(某电厂规定:该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时，?那么这户居民这
个月只交10元电费，如果超过A千瓦时，那么这个月除了交10?元用电费外超过部分还要按
A每千瓦时元收费( 100
(1)若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A千瓦时，则超过部分电费为多少元,(?
用A表示)
(2)下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况
月份 用电量(千瓦时) 交电费总金额(元)
3 80 25
4 45 10
根据上表数据，求电厂规定的A值为多少,
答案:
一、1(D 2(D 3(C
2,,,bbac42二、1(x=，b-4ac?0 2(4 3(-3 2a
2222444aaba,，,三、1(x==a??b?
2
22((1)?x、x是ax+bx+c=0(a?0)的两根， 12
22,，,bbac4,,,bbac4 ?x=，x= 122a2a
22,，,,,,bbacbbac44b ?x+x==-， 12a2a
22,，,bbac4,,,bbac4c x?x=?= 12a2a2a
222 (2)?x，x是ax+bx+c=0的两根，?ax+bx+c=0，ax+bx+c=0 121122
3232 原式=ax+bx+cx+ax+bx+cx1111222
22 =x(ax+bx+c)+x(ax+bx+c) 111222
=0
用心 爱心 专心
19A23((1)超过部分电费=(90-A)?=-A+A 10010100
A (2)依题意，得:(80-A)?=15，A=30(舍去)，A=50 12100
用心 爱心 专心
用心 爱心 专心
范文四：用公式法求下列方程的根
初三学年数学《用公式法解一元二次方程》导学案
课型：展示课 备课组：初三备课组 制作人：李秀娟 学习目标： 1.
2.
熟练掌握用公式法解一元二次方程的步骤。 通过公式法解一元二次方程的学习，树立转化的思想。
思维导航：1. 当一元二次方程的一边是0, 而另一边易于分解成两个一次因
式的乘积时, 我们就可以用公式的方法求解. 这种用公式解一
元二次方程的方法称为公式.
2. 公式法的条件是方程左边易于分解, 而右边等于零, 关
键是熟练掌握因式分解的知识, 理论依旧是“如果两个
因式的积等于零, 那么至少有一个因式等于零. ”
授课模式：目标导航、双主高效
用公式法求下列方程的根: (1)2x 2-x -2=0;
12
(2)x -x +1=0;
4 23x +x +
1=0. ()
温故而知新
一元二次方程ax
的求根公式是：
2
+bx +c =0(a ≠0)
x =
-b ±
2a
如何把一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)写成(x +h )2=k 的形式？
ax +bx +c =0
2
2b c x +x +=0 a a
x 2+
2
b c
x =-a a
2
2
b c ?b ??b ?
x +x +=-+ ? ? a a ?2a ??2a ?
22
b b -4ac ?? x += ?2a ?4a 2 ? 2
b b 2-4ac ?? x +(a ≠0) ?=22a ?4a ?
2
反过来，对于方程ax +bx +c =0(a ≠0)，
我们把b 2-4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)
?”来表示, 的根的判别式，用符号“
2
即一元二次方程ax +bx +c =0(a ≠0)，
按要求完成下列表格：
24y 不解方程，判别方程 + 1 = 4 y 的根的情况.
2
k 2 =不解方程，判别关于 x 的方程 x + + 0 的根的情况.
22
不解方程，判别关于 x 的方程 的根的情况. 2
ax +bx +c =0(a ≠0)
a x -ax -1=0(a ≠0)
范文五：均值不等式的降次作用
均值不等式的降次作用
张 宏
(广东省佛山市广东省工业贸易职业技术学校 , 528000)
不等式中的项的次数越高 , 不等式越复杂 , 例
如比较如下两个不等式 :
( a +2c ) 3+(
b +2a
) 3+(
c +2b
) 3 3
a +2c +
b +2a
+
c +2b
3
不等式 中的项的次数较低 , 显然比不等式 简单 , 能否把不等式 中的项的次数降下来 , 转 化为证明不等式 呢 ? 答案是肯定的 , 用均值不 等式就可以做到 , 下面以例子说明如何使用均值 不等式进行降次 .
例 1 已知 a, b, c R + , 求证 :
(a +2c ) 3+(b +2a ) 3+(c +2b ) 3 3.
证 (
a +2c )
3+(
b +2a )
3+(
c +2b ) 3 =[(
a +2c
) 3+1+1]+[(
b +2a
) 3+1+1]
+[(
c +2b
) 3+1+1]-6
3(
a +2c
+
b +2a
+
c +2b
) -6,
只要证
a +2c +b +2a +c +2b
3即可 , 去分母并化简 , 此不等式等价于整式不等式 : 2a 3+2b 3+2c 3+3ab 2+3bc 2+3ca 2
3a 2b +2b 2c +3c 2a +6abc
1
a 1
+a 1>2,
a 2-a 1=2-
a 1
-a 1<>
所以 1
2) 假设当 n =k 时命题成立 , 即 1
1
f (1)
a k +1, f (2) =
2
<2,>
综合 1) , 2) 有 , 命题对任意 n N +时成 立 , 即 1
于是可以得到以下结论 :
结论 3:如果函数 y =f (x ) 在 R 上单调 递增 , 当 a 1
4 增 , 当 a 1>a 2时 , 数列 {a n }是单调递减数列 . (2) 若函数 y =f (x ) 在 R 上单调递减 . 因为若 a n +1 f (a n ) =a n +1, 所以数列不具备单调性 , 是一 个摆动数列 .
结论 5:如果函数 y =f (x ) 在 R 上单调 递减 , 若 a 1 a 2时 , 则数列是一个摆动数列 , 不具有单调性 . {a 2n }和 {a 2n -1}都是单 调数 列 , 而且单调性相反 .
因为 a n +2=f (a n +1) =f [f (a n ) ], 函数 y =f [f (x ) ]在 R 上单调递增 , 所以数列 {a 2n }和 {a 2n -1}都是单调数列 . 当 a 1f (a 3) =a 4, 可以证明 :此时 {a 2n -1}单调递增 , {a 2n }单调递减 ; 当 a 1>a 3时 , a 2= f (a 1)
01
24数学通讯 2009年第 1期 (下半月 ) 同步参考
2(a 3+ab 2) +2(b 3+bc 2) +2(c 3+ca 2)
+(ab 2+bc 2+ca 2+a 2b +b 2c +c 2a )
4a 2b +4b 2c +4c 2a +6ab c.
使用均值不等式 , 易证后一个不等式成立 , 原 不等式得证 .
例 2 已知正数 a, b, c 满足 a +b +c =1, 求 证 :
(a +a ) 10+(b +b ) 10+(c +c ) 10
10 39 .
证 设 ( 3) 10 9表示 9个 (
3)
10相加 , 则
左边 =[(a + a ) 10+(
3
) 10 9]
+[(b + b ) 10+(
3 ) 10 9]
+[(c + c ) 10+(
3
) 10 9]-(
3
) 10 27
10(a +
a ) (3) 9+10(b +
b ) (3) 9
+10(c +
c ) (3) 9-
10 39 9
=
10
39
[(a +a ) +(b +b ) +(c +c ) -9].
只要证 (a +
a ) +(b +b ) +(c +c ) 10
即可 , 此不等式的左边 =(9a +
a ) +(9b +b ) +
(9c +
c
) -8(a +b +c) 2 3+2 3+2 3-8 1=10.
原不等式得证 .
例 3 已知 a, b, c R
+
, 且 ab c =1, 求证 :
(2a +1) 3 +
(2b +1) 3
+
(2c +1) 3 9 .
证
(2a +1) 3 +
(2b +1) 3
+
(2c +1) 3
=[
(2a +1) 3 +27+27]+[
(2b +1) 3
+27+27]
+[
(2c +1) 3
+27+27]-27 6
9
(
2a +1+2b +1+2c +1) -9,
只要证
2a +1+2b +1+2c +1
1即可 , 去
分母 , 易得等价的整式不等式 :
2+2(a +b +c ) 8abc 1+(a +b +c ) 4, 而 1+(a +b +c) 1+33=1+3=4成 立 , .
例 4 已知正数 a, b, c, d 满足 a +b +c +d =1, 求证 :6(a 3+b 3+c 3+d 3) (a 2+b 2+c 2+ d 2) +8.
证 左边 =3(a 3+a 3+64) +3(b 3+b 3+ 64) +3(c
3+c 3+
64) +3(d
3+d 3+
64) -64 4 4(a
2+b 2+c 2+d 2) -
16
=(a 2+b 2+c 2+d 2) +
4
[(a 2+
16
) +(b 2+ 16 )
+(c 2+
16
) +(d 2+
16
) -
16
4]-
16
(a 2+b 2+c 2+d 2)
+
4[2(a +b +c +d ) -4]-16
=(a 2+b 2+c 2+d 2) +
4
(
2
1-
4
) -
16
=(a 2+b 2+c 2+d 2) +
8
.
例 5 已知正数 a, b, c, 并且它们满足 :a 2008 +b 2008+c 2008=3, 求证 :a +b +c 3.
证 设 1 2007表示 2007个 1相加
3=a 2008+b 2008+c 2008=(a 2008+1 2007) + (b 2008+1 2007) +(c 2008+1 2007) -2007 3 2008 2008a 2008+2008 2008b 2008
+2008 2008c -2007 3
=2008(a +b +c) -2007 3.
2008(a +b +c) 3+2007 3=2008 3, a +b +c 3.
例 6 已知正数 a , b, c 满足 :a 3+b 3+c 3= 24. 求证 :a 8+b 8+c 8 768.
证 设 28 5表示 5个 28相加 , 则
3(a 8+b 8+c 8)
=(a 8+a 8+a 8+28 5) +(b 8+b 8+b 8+25 5) +(c 8+c 8+c 8+28 5) -28 15
882a +882b +882c -28 15 =8 25(a 3+b 3+c 3) -28 15
=8 25 24-28 15,
a 8+b 8+c 8 8 25 8-28 5=768. (收稿日期 :2008-06-17) 25
同步参考 数学通讯 2009年第 1期 (下半月 )
