德艺双馨老艺术家
范文一：平方根公式
一、说教材
本节课是九年制义务教育课程标准试验教材八年级上册15章“整式的乘除”中第2节“乘法公式”中的第一课时。这节课是学生在已经学习了多项式乘以多项式的基础上，通过探究得出公式，可以提高计算能力，也为后面的因式分解打下基础。
根据新课标的精神，要改变学生的学习方式，实现“课堂素质化、素质课堂化”，我采取“先学后教，当堂训练”的教学模式，这也是我们学校正在推行培养学生综合素质的一种教学模式。
(一)教学目标(依据新课标的理念，人人学有价值的数学，人人都能获得必须的数学，不同的人在数学上有不同的发展。为此，我制定如下教学目标)
1、通过自主探究理解平方差公式意义，掌握平方差公式的结构特征，会用几何图形说明公式的意义，并能正确的运用平方差公式。
2、培养学生观察、分析、比较能力，逻辑推理能力及语言表达能力，提高探索能力。
3、积极参加探索活动，在此过程中培养学生勇于挑战的勇气和战胜困难的自信心。
(二)重难点、关键
重点:平方差公式及应用。
难点:平方差公式结构特点及灵活应用。
关键:正确分析公式的结构特征。
二、学情分析
学生在刚接触了多项式乘以多项式的乘法计算之后，从一般的计算中抽象出特殊形式的式子及结果写成平方差公式，通过对它的学习和研究，丰富了学习内容，也拓宽了学生的视野，在学生探究交流的同时建立数学模型。
三、说教法和学法
我采用“先学后教，当堂训练”的教学模式，即在课堂上教师先揭示教学目标，然后出示自学提纲，指导学生自学，暴露问题后，引导学生研讨解决，教师只能做评定、补充、更正，包括例题也是以自主探究的模式完成，学生能解决的问题一定让学生去解决，教师就是一个引导着、合作者、探究者，最后让学生当堂完成作业，经过严格有梯度的训练，形成学生解决问题的能力。课堂努力营造协作互助、自主探究的氛围，将课堂放给学生，让学生在自主活动中得以发展。
四、结合课件说教学过程
(一)创设情境(揭示目标)
1出示一道较大数字的计算题激发学生学习的欲望
2揭示本节课的学习目标，使学生明确学习的方向。
(二)探索发现(目标教学)
1、出示学生自学提纲，学生按要求自学，教师巡视并掌握学习状况。
2、教师出示第一个自学提纲的验收题，先由学生口答平方差的表达式，同时指一名学生到黑板板书，然后让学生用语言叙述，多数学生答完后教师课件出示，并指出以后可以直接应用此公式解决问题。最后课件演示几何图形面积的转化，由学生口答出两个图形的面积相等，又验证了平方差公式，学生体会数形结合的思想。
3、课件出示第二个自学提纲的验收题，判断以下各题是否可以应用平方差公式计算,让学生清楚公式适用的题型必须是(a+b)(a-b)型。
4、用课件出示第三个自学提纲的验收题，先让学生用方形和圆来表示公式的结构，加深对公式的理解，然后在模仿例子填空，逐步体会到公式中的a和b可以表示数字或者单项式，也可以是多项式。然后出示4道计算题，由易到难，先由学生想一想，对应平方差公式的结构特征，找准公式中的a和b分别指什么，然后解决问题，对于学生出现的错误，
要由学生互相解决，培养学生的分析能力，表达能力。
5、课件出示简便计算的问题，由学生参考例题后自己独立解决，教师给以检查，帮助个别需要帮助的学生。同时回顾开课时老师出示的问题，学生觉得迎刃而解，使学生感到获得成功的喜悦，增强学习的自信心。
范文二：关于一类矩阵的平方根公式
关于一类矩阵的平方根公式 第28卷第8期
2010年8月
河南科学
HENANSCIENCE
Vo1.28No.8
Aug.2010
文章编号:1004—3918(2010)08—0914—03
关于一类矩阵的平方根公式
邓勇,杜刚,张四保
(喀什师范学院数学系,新疆喀什844007)
摘要:从性质CI/2CI:2=C出发,在不求过渡矩阵的前提下,利用Sherman—Morrison公式得到了非负定矩阵A=aa+
6的平方根表示,进而解决了一类特殊矩阵方程X=A的求解问题.其中n,b是中的n维非零列向量.
关键词:对角矩阵:矩阵的平方根;非负定矩阵
中图分类号:0184文献标识ti-q:A
在统计学和计量经济学中,确定非负定矩阵的平方根,对于分析研究协方差矩阵的结构发挥着重要作用.
我们已经知道,协方差矩阵总是非负定的,反之非负定矩阵总可以表示成协方差矩阵;一个对称矩阵C称为
非负定的,如果对R中任意向量都有XrCX>10;一个对称矩阵C称为正定的,如果对中任意非零向量
都有xTcx>0.文献[1]从理论上给出了非负定矩阵的算术平方根是存在且唯一的,但计算时往往是通过
过渡矩阵及每一个特征根来计算其算术平方根的,计算过程非常繁琐,从而给实际应用带来很大麻烦.文
献[3]利用Lagrange插值多项式给出了任意非负定矩阵的算术平方根表示.这种方法虽然比文献[5.8]有很
大的改进和可操作性,但却不可避免地要涉及到确定矩阵的特征值和矩阵多项式,当矩阵的阶数较高时这也
绝非易事.然而当非负定矩阵是一些特殊矩阵时,我们完全可以另辟蹊径,得到它的算术平方根公式.
众所周知,零矩阵与单位矩阵是最简单的非负定矩阵,除此之外,我们所熟悉的非负定矩阵就是形如
aa的矩阵且(口口T)=,其中O#a?是n维列向量.受此启发,我们将讨论一类稍微复杂些的非负
v'~Ta
定矩阵
A:aaT+bbT(1)
的平方根表示,这里a与b是R(?2)中线性无关的列向量.在此基础上,如果这类矩阵的算术平方根
有便捷公式,那么矩阵方程:A的解便随即可得.
1基本概念及引理
定义1t-]设A?且A非负定,若存在非负定矩阵使得X2:A,则称是A的算术平方根,记作=
4"或:,/.
引理113]若A是一个凡阶实对称矩阵,则必有正交矩阵Q,使得QAQ=QAQ=A,其中是以A的
n个特征值为对角元素的对角矩阵.
引理2f2I非负定矩阵的算术平方根是存在且唯一的.
引理3非负定矩阵A的算术平方根是矩阵A的一1次多项式,其中k是A的互异特征根的个数.
即存在唯一的一1次多项式(A),使得(A).
引理4t41若C=AB,则R(C)?min(R(A),R()),其中R(C)表示矩阵C的秩. 2主要结论及证明
引理3虽然给出了非负定矩阵的算术平方根公式,但多项式(A)的确定却是非常困难的.对于某些
特殊类型的矩阵,可以避免使用这种方法.由引理1知道,对称矩阵A可以分解成如下形式:
收稿日期:2010—01—20
基金项目:新疆维吾尔自治区高校科研计划重点项目(XJEDU2008131) 作者简介:邓勇(1967一),男,四川遂宁人,教授,主要从事矩阵的数值计算研究. 2010年8月邓勇等:关于一类矩阵的平方根公式9l5一
A=QDQ,
这里Q是一个正交矩阵,D=diag(入,入,…,入)是由A的n个特征值组成的对角矩阵,并且Ai?O(l,2,…,rr)?
由(1)式,我们可以将A改写成A=BB的形式,这里=(口,)是由向量口,b作为列的nx2矩阵.由此,可得
如下定理:
定理1矩阵A=伽+bb的特征值是曰的特征值再加上n-2个零. 证明由引理4可得,R(A)~<rain(R(),R(B)).因为=(口,6)中的向量口,b是线性无关的,所以
R(B):R(BT):2.即R(A)?min(R(B),R(B)):2.显然R(A)?2,进而R(A)-2.所以A的特征值中必
有一2个是零.又因为A是非负定矩阵,所以A的非零特征值就是A=曰的特征值,而
刀:I:)c口:I乏:),
且曰的特征值为
,+?,/(一卢)+4y
^1
,
2一一———_2——'
其中:=口a,13=b—b,=(b).
综上可知,A的全部特征值为A,,A,,定理1得证.
因为向量,b线性无关,所以一非负,进而c.=,/万,c=,/有意义. 与正交矩阵联系在一起,可设D=diag(一,:,0,…,0),则
A=QO".Q=Qdiag(,,0,…,O)Q,
其中Q是过渡矩阵.由此可得本文的主要结沦:
定理2对称非负定矩阵A=aa+bb的平方根为
A=c1A(A+.o),,
其中E是nXn单位矩阵.
将A的特征值
(3)
证明由于A+c.E非负定,从而(A+c.E)非负定.而c:,/瓦>0,所以CIA(A+c.)非负 定.又A(A+c.E)=(A+coE)A,进而A(A+co),=(A+c0)一A,所以 cA(A+coE-Qdiag(,,0,…,0)Q??
通过直接计算可知鲁,/(_1,2)?由(2)我们可得公式A1/2=cIA(A+coE)-?因此定理2得证?
3公式改进及实例
为便于今后应用,现将公式(3)作进一步改进.为此,我们引入Sherman.Morrison公式嘲
(R+s"),:R一一(1+UR一s)一RSUR,,
其中R是一个×n可逆矩阵,s与u分别是中的向量,且uTR?一1. 对矩阵(aa+bb+cE)连续应用两次Sherman—Morrison公式,最终得到 A:(aa+bb)佗=—l_[口+8bbT-口b(ab+ba)],(4) CoC1
其中:6=b+c0,e=aTa+co.
一
916河南科学第28卷第8期
例设口=(1,1,1,1),6=(1,1,0,0),求矩阵方程=A的解,其中A=aa+bb. 解因为
a'--aa+bb=
22
22
11
11
11
l1
11
11
从而BB的特征值为A,1=3?,/,令
则
翻:
,=
c口,,BTB=()c口,=《 oL=aa,卢=矿b,=(口6),Co:,/:2,
c】_,=,~=bTb+co=4,~=aTa+c0=6.
44
44
44
44
44
44
44
44
,sbb=
因此,由公式(4)可得矩阵方程的解为
X:A112_ 2
参考文献:
44
44
44
44
44 44 44 44 +
66 66 00 00 66 66 00 00 00 00 0O 00 00 00 00 00 ,ab?(ab+ba)=
44 44 22 22 22 22 00 00
】
,/10
42
42
20
20
33
33
11
ll
ll
l1
22
22
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FormulaofSquareRootonSpecialMatrix DengYong,DuGang,ZhangSibao
(DepartmentofMathematics,KashgarTeachersCollege,Kashgar844007,XinjiangChina)
Abstract:FromthepropertyofCC=C,representationofsquarerootofanon—
negativedefinitematrixA=aa+bb
wasgivenbyusingtheSherman—
Morrisonformula,whichwillavoidthecomputationofthetransfermatrix.Sothe computationalproblemonspecialmatrixX=Awassolved,whereaandbarenone—
zerocolumnvectorsin'.
Keywords:symmetricmatrix;squarerootofamatrix;nonnegativedefinitematrix
范文三：平方根序列的几个渐进公式
Ξ
平方根序列的几个渐进公式
马爱梅 ( )延安职业技术学院, 陕西 延安 716000
摘 要: 利用解析的方法, 研究了数论专家 F Sm a ran dach e 在其《O n ly P ro b lem s N o t So lu t io n s》一
() 书中提出的第 80 个问题, 得到了平方根序列 a n 及其推广形式的一些有趣的渐进公式。
关键词: 数论函数; 均值公式; 渐进公式
() 中图分类号: O 154 文献标识码: A 文章编号: 10042602X 20060220010202 1993 年, 数论专家 F. Sm a ran dach e 在文献1 1) (1()2 j ++ O 1 = ?j j Φ N 中提出了 100 多个数论中尚未解决的问题, 引起了 1许多学者的极大研究兴趣。 其中, 第 80 个问题是: ()2 ++ O 1 = ?? j j Φ N j Φ N 平方根序列: 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3,= 2N + lo gN + ()C + O 1 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 1 1 2 ()= 2x + lo gx + C + O 16, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 2 3 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 这里 C 是 E u le r 常数. . 教授要求我们研究这个序列的 FSm a ran dach e 1 2 (() ) 2 a n 的均值公式 () 性质。 我们把这个序列记作, 它不难表示为a n
() () a n = n , 这里[ x ]是不超过x 的最大整数。参 2 n , 则 定理 设 n 是正整数, a n = 11 5 3 4 2 考文献2研究了平方根序列的几个均值公式, 我们2 2 4 4 (() ) ( n ] = x + x +a n = [?? 5 3 nΦ x nΦ x 这里给出了 4 个新的均值公式。 1 4 ()O x 1 1 的均值公式 证明 因为对任意正数x , 一定存在正整数()a n 2 2 N , () 使得N Φ x < n="" +="" 1,="" 于是我们有="" ()="" 设是正整数,="n" a="" n="" 定理="" 1="" n="" ,="" 则="" 1="" 1="" 2="" 2="" (()="" )="" (="" )="" 1="" a="" n="[n" ]="" 1="" 1="" 1="" 2="" ()="" lo="" gx="" +="" c="" +="" o="" 1nφ="" x="" nφ="" x="=" 2x="" +="" ()a="" n="" 2="" 1="" 1="" nφx="" nφx="" [="" n="" ]="" 2="" 2="" (="" )="" (="" )="" [="" ]+="" [="" i="" ]+="+" i="" 证明="" 因为对任意正数x="" ,="" 一定存在正整数2222="" 1φ="">< 22φ="">< 3="" 2="" 2="" n="" ,="" 1="" 1="" ()="" 使得n="" φ="" x="">< n="" +="" 1,="" 于是我们有="" 2="" 2="" (="" )="" )="" )="" ([="" i="" ]+="" o="" n="" 22="" ()="" n="" φ="" iφ="" x="">< n="" +="" 1="" 1="" 1="" 1="" 1="" ()2="" 2="" a="" n="" φ="" x="" nnφ="" x="" [="" n="" ]="" 2="" 2="" (="" ()="" )="" +="" n="" +="" 1-="" n="" ’n="" 5’="" 2="" +="3" 1="" +="" ’="1" 1="" 1="+" +="" 2="" )(="" o="" n="" +="" 22="" 22="" []="" []="" i="" i="" 1φ="">< 22φ="">< 3="" 1="" 1="" 2="" 2="" ()="" )="" (j="" +="" o="" n="" 12="" j="" +="1" ++="" ()o="" 1="" j="" φ="" n="" 2="" [i="" ]="" 3="" 1="" 1="" ()="" n="" φ="" iφ="" x="">< n="" +="" 1="" 2="" 2="" 2="" ()="" 2="" j="" +j="" +="O" n="" 1="" 12="" 2="" j="" φ="" n="" j="" φ="" n="" )="" (="" ()="3’" 1="" +="" 5’="" +n="" ’="" +="" n="" +="" 1-="" 2="" n="" 5="" 3="" 1="" 4="" 2="" 2="" 2="" 2="" (+)="N" +="" o="" nn="" ()+="" o="" 1="" 3="" 5="">
28 Ξ 收稿日期: 2006 02 () 作者简介: 马爱梅 1967 , 女, 陕西绥德县人, 延安职业技术学院讲师.
第 2 期 马爱梅: 平方根序列的几个渐进公式 11
5 3 12 1 4 2 3 9 1 4 4 4 3 3 () ()= x + x += x + x + lo gx + C + O 1O x 5 3 2 2 3
这 C 是 E u le r 常数. 1 1 2 (() ) 3 推广的 1 和 的均值公式a n 3 () 定理 4 设 n 是正整数, a n = n , 则 (()a n 1 1 1 1 7 5 6 3 () 定理 3 n , 则 设 n 是正整数, a n = 2 3 2 6 6 x +(() ) ( ) (a n = [ n ]=) O N ??7 nΦ x nΦ x 2 1 1 1 3 9 1 3 3 x +x +lo gx= = 1 证明 ??因为对任意正数x , 一定存在正整数()2 2 3 a n 3 nΦ x nΦ x [ n ] 3 3 N , () 使得N Φ x < n="" +="" 1,="" 于是有="" ()+="" c="" +="" o="" 1="" 1="" 1="" 1="" 2="" 3="" 2="" 证明(()="" )="" (="" )="" a="" n="[" n="" ]="" nφ="" x="" nφ="" x="" 1="" 1="" 1="" 11="" 1="3" 2="" 3="" 2="" 1="" (="" (="" )="" )="" =="" [="" i="" ]+="" [="" i="" ]+="" (()a="" n="" 3="" φ="" x="" nnφ="" x="" [="" n="" ]="" 33331φ="">< 2="" 2φ="">< 3="" 1111="" 1="" 2="" 3="" 2="+" +="" +="" (="" 1="" 1="" ))="" +="" [="" i="" ]="" +="" (="" o="" n="" 33="" 3="" 3333[="" i="" ]="" [="" i="" ]="" 1φ="">< 2="" 2φ="">< 3="" ()="" n="" φ="" iφ="" x="">< n="" +="" 1="" 1="" 1="" 3="" 3="" 2="" (="" ()="7" 1="" +="" 19="" 2="" +’’+="" n="" )="" ()="" +="" 1-="" n="" ’="" +="" o="" 1="" 1="" 33="" ]="" [="" i="" ()="" n="" φ="" iφ="" x="">< n="" +="" 11="" 1="" 2="" 2="" ()="" o="" n="" n="" +="" 1="" 3="" 3="" )="" )="" (="" (1-="" 19’="" +="" +="" +="" n="" ’="" 1="" 1="" n="7" 1="" +="" ’="" 3="" 3="" 2="" 3="" 2="" )="" )="" ()="" (="" (1-="" n="" j="" +="" o="" n="" +="" n="?" j="" φ="" n="" 1="" ()="" +="" o="" 1="" 1="" 1="" 2="" n="" 2="" 2="" ()="" 3="" j="" +="" 1j="" +="" o="" n="" ()="+" 3="" j="" φ="" n="" 1="" 3="" 3="" (="" (())="" 5="" 3="" 1="" 1="" )="N+" o="" 1="" +="" 1-="" n="" 2="" 2="" 2="" j="" ()="" 3j="" +3j="" +="" j="" +o="" n="" j="" φ="" n="???j" φ="" n="" j="" φ="" n="" j="" φ="" n="" 1="" 2="" ()(="" 7="" 5="" )o="" 1="" +="3" j="" +="" 3="" j="" +="" 1="" 6="" 2="" j="" ()="" no="" n="+" j="" φ="" n="" 7="" 17="" 5="" ()="" 6="3j" +="" 3="" ++="" o="" 1="" 6="" 6="" ()o="" n="" .="x" +j="" j="" φ="" n="" j="" φ="" n="" j="" φ="" n="" 7="" 3="" n()()="" o="" 1="" n="" +="" 1+="3N" +="" lo="" gn="" +="" c="" +="" 2="" 1="" 1="" 1="" 1="" 3="" 3="" 3="" 3="" (="" ()="x" x="" +)="" 1+="" 3x="" +="" lo="" gx="" +="" c="" +="" o="" 12="" 3="">
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〔责任编辑 贺小林〕
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: 80’, A bsta c tA cco rd in g to o n e sequ en ce in th e thp ro b lem w h ich w a s p re sen ted b y n um b e r th eo re t ic exp e r t
(). , . FSm a ran dach e in h is o n ly p rcb lem no t so lu t io n sth e sequ en ce is deno ted b y a n U sin g th e E u le r sum 2
, - m a t io n A b e l equ a t io n fo rm u la an d o th e r ex isted re su lt s abo u t n um b e r th eo re t ic fu n c t io n a s w e ll a s th e
() idea o f sec t io n , th e a sym p to t ic fo rm u la o s a n an d it s gen e ra liza t io n a re o b ta in ed, th en a se r ie s o f regu2 ?nΦ x
la r re su lt s is o b ta in ed.
: ; ; .Key word ssqu a re roo tm ean va lu ea sym p to t ic fo rm u la
范文四：应用递归算法求某数a的平方根。求平方根的迭代公式如下：
下列给定程序中,函数 fun 的功能是:应用递归算法求某数 a 的平方根。求平方根的迭代公式如下:
2/) (001x a x x += 例如, 2的平方根为 1.414214。 请改正程序中的错误,使它能得出正确的结果。 注意:不要改动 main 函数,不得增行或删行,也不得更改程序的结构。 试题程序: #include x, fun(x,1.0)); } (1)错误:fun(double a,double x0) 正确:double fun(double a,double x0) (2)错误:if(fabs(x1-x0)>0.00001) 正确:if(fabs(x1-x0)>=0.00001) 美国普林斯顿大学的鲍莫尔和耶鲁大学的托宾从分析持有货币的机会成本和将 生利资产转化为货币的交易成本入手，将现代管理科学“最适量存货控制理论” 运用于货币需求的研究。得出交易性货币需求的平方根公式。 鲍莫尔假定： 1、人们有规律地每隔一段时间取得一定的收入（比如：月收入为Y），支出则是连续和均匀的，在每一期的期末（比如月末），所有的收入Y都被花光； 2、生息资产一律采取短期政府债券形式。人们只有两类资产：现金和债券， 现金的名义收益率为0，债券的名义收益率为i (i＞0); 3、每次出售债券与前一次出售的时间间隔相等； 4、每次出售债券变现的现金金额都相等，都为C； 5、每次交易债券需支付固定的佣金费用b。 假定某人月收入为900元，每月月初得到，月末花光。 （一）若此人每月不购买债券，则货币需求和交易过程如下： 收入所得期内：套现次数为1次； 因不买卖债券，故交易成本为0； 平均手持现金余额为450（=900/2=Y/2=C/2），故持有现金余额的机会成本 为450×i(=C/2×i) （实际收入Q增加会提高货币的意愿持有量。即收入水平 的提高会促使家庭增加开支，为了支持更大的交易量，家庭将增加平均货币持有 量，根据测算，货币的实际收入弹性约为1/2。也就是实际收入Q的a%的增长会带来需要的货币持有量(a/2)%的增长。因此在不购买债券的情况下，平均手持现 金额为收入的1/2;即持有货币是变现金额的1/2） 持有现金的总成本是 C/2×i （二）若此人每月初用一半的收入买债券，在月中时将债券卖出变为现金 收入所得期内：套现次数为2次（=900/450=Y/C）； 因买卖债券2次，故交易成本为2×b（=Y/C×b）； 平均手持现金余额为225(=450/2=C/2)，故持有现金余额的机会成本为 225×i(=C/2×i); 持有现金的总成本是Y/C×b+ C/2×i （三）若此人每月初用2/3的收入（即600元）购买债券，10天后卖出300 元债券，20天后再卖出剩下的300元债券，直到月末。 收入所得期内：套现次数为3次（=900/300=Y/C）； 因买卖债券3次，故交易成本为3×b（=Y/C×b）； 平均手持现金余额为150(=300/2=C/2)，故持有现金余额的机会成本为 150×i(=C/2×i); 持有现金的总成本是Y/C×b+ C/2×i 是不是持有的货币（货币需求）越少，成本就越小呢？答案是否定的。每个 月初购买的债券越多，则手持现金越少，从而货币需求的机会成本就越少。然而 债券的交易次数也越多，交易的佣金就越多。理性经济人的目标是使得持有现金 的总成本最小。 （四）持有现金的总成本最小时的交易性货币需求量的求解 收入所得期内：套现次数为Y/C次； 因买卖债券Y/C次，故交易成本为Y/C×b； 平均手持现金余额为C/2，故持有现金余额的机会成本为C/2×i； 持有现金的总成本X是Y/C×b+ C/2×i。 求函数X（C）=，X对C求导，得 ，令，得 。 （1） 又因为在收入所得期内，所持有的平均交易性现金余额（Md）为C/2，故交易性货币需求的最佳量为： （2） （1）式或者（2）式就是鲍莫尔的“平方根公式”。范文五：平方根公式推导
