范文一：高中数学 解三角形 课件
解三角形
[基础训练A 一、选择题
1．在△ABC A ．1 B ．-1 2．若A 为△ABC
3．在△ABC A ．sin A B ．A ．直角三角形 43 2
5．在△ABC 00A ．30或60 6．边长为5,7,80 A ．90 B 二、填空题
1．在Rt △ABC 2．在△ABC A ．2 B ．
3．在△ABC 4．在△ABC 5．在△ABC 中，三、解答题
1． 在△ABC 中，若a cos A +b cos B =c cos C , 则△ABC 的形状是什么？
2．在△ABC 中，求证：
a b cos B cos A -=c (-) b a b a
3．在锐角△ABC 中，求证：sin A +sin B +sin C >cos A +cos B +cos C 。
4．在△ABC 中，设a +c =2b , A -C =
π3, 求sin B 的值。
（数学5必修）第一章：解三角形
[综合训练B
一、选择题
1．在△ABC 中，A ．1:2:3 B 2．在△ABC A ．大于零 B 3．在△ABC A ．2b sin A B
4．在△ABC A ．直角三角形 5．在△ABC A ．90 B ．01A ．- B ．-57．在△ABC 6．在△ABC A ．直角三角形 二、填空题
2．若A , B 3．在△ABC 4．在△ABC 中，若a =9, b =10, c =12, 则△ABC 的形状是_________。 1．若在△ABC 5．在△ABC 中，若a =3, b =2, c =
6．在锐角△ABC 中，若a =2, b =3，则边长c 的取值范围是_________。
三、解答题
1． 在△ABC 中，A =120, c >b , a =S ABC =b , c 。
2． 在锐角△ABC 中，求证：tan A ?tan B ?tan C >1。
06+2则A =_________。 2
3． 在△ABC 中，求证：sin A +sin B +sin C =4cos
4． 在△ABC 中，若A +B =1200，则求证：A B C cos cos 。 222a b +=1。 b +c a +c
5．在△ABC
[提高训练C 一、选择题
1．A 为△ABC A ．(2, 2) B A +B A ．2cos 23．在△ABC 21A ．12 B ． 22．在△ABC 4．在△ABC 中，∠A ．sin A >cos A 5．在△ABC A ．90 B ．06．在△ABC tan B b 2
A ．直角三角形 B ．等腰或直角三角形 C ．不能确定 D ．等腰三角形
二、填空题
1．在△ABC 中，若sin A >sin B , 则A 一定大于B ，对吗？填_________（对或错）
2．在△ABC 中，若cos A +cos B +cos C =1, 则△ABC 的形状是______________。
3．在△ABC 中，∠C 是钝角，设x =sin C , y =sin A +sin B , z =cos A +cos B ,
则x , y , z 的大小关系是___________________________。
4．在△ABC 中，若a +c =2b ，则cos A +cos C -cos A cos C +2221sin A sin C =______。 3
5．在△ABC 中，若2lg tan B =lg tan A +lg tan C , 则B 的取值范围是_______________。
6．在△ABC 中，若b 2=ac ，则cos(A -C ) +cos B +cos 2B 的值是_________。
三、解答题
1．在△ABC 中，若(a 2+b 2) sin(A -B ) =(a 2-b 2) sin(A +B ) ，请判断三角形的形状。
2． 如果△ABC 内接于半径为R 的圆，且2R (sin2A -sin 2C ) =(2a -b ) sin B ,
求△ABC 的面积的最大值。
3． 已知△ABC
4． 在△ABC A , B , C 的
大小与边a , b , c
（数学5必修）第一章 [基础训练A 组]
一、选择题
b 001.C =tan 30, b =a tan 30=c =2b =c -b =a
2.A 00 πππππ3.C cos A =sin(-A ) >sin B , -A , B 都是锐角，则-A >B , A +B <, c=""> 22222
4.D 作出图形 1, A =300或1500 2
6.B
11. 202. 1203. 6-4. 1205. 4 1. 5.D b =2a sin B ,sin B =2sin A sin B ,sin A =
所以△ABC 是直角三角形。 a 2+c 2-b 2b 2+c 2-a 2
2. 证明：将cos B =，cos A =代入右边 2ac 2bc
2222a 2+c 2-b 2b +c -a 22a -2b -) = 得右边=c ( 2abc 2abc 2ab
a 2-b 2a b ==-=左边， ab b a
a b c o s B c o s A -) ∴-=c (b a b a
3．证明：∵△ABC 是锐角三角形，∴A +B >π
2, 即π
2>A >π
2-B >0
A >c o B s ；同理s i n B >c o C s ；s i n C >c o A s A >s i -(B ，即) s i n ∴s i n π
2
∴sin A +sin B +sin C >cos A +cos B +cos C
A +C A -C B B cos =4sin cos ，
4. 解：∵a +c =2b , ∴sin A +sin C =2sin B ，即2sin 2222
B πB 1A -C B ∴sin =cos ，而0
, ∴cos =，
=222222B B 39∴sin B =2sin cos =2
? =
2.A A
3.D
4.D 1.C A
5.B (a b 6.C c 27.D 所以A =B 或A +B = 2二、填空题
21 S ?ABC =bc s i n A =32
a +b +c s i n A +s i B n +1. 1c =c , =a 42, =a 1=2a 9===s C i n s A i 3
213
s i -B ) πππ2. > A +B >, A >-B ，即t a n A >t a (-B =222c o -B ) 2
c o s B 11==A >, t a A n t B a >n 1，t a n s i n B t a B n t a n B
s i n B s i C n B +t a C n =+3. 2 t a n c o s B c o C s
s i n B c o C s +c B o +s C s i n B s +i n C () A 2s i n = =1c o s B c o C s s A i n s i n A 2
4. 锐角三角形
5. 600 cos A =π6． 三、解答题
12
a 2=b 2+所以b =1, 1. 解：S ?ABC =
2. 证明：∵△A ∴s i n ∴sin A ∴tan A 3. 证明：∵sin A 2
A + =2s i 2
C =2c o ?2
A =4c o 2 =2s i 2B A -B (+2A B 2s o s 22B C c s 2222A +B ) 2
∴sin A +sin B +sin C =4cos A B C cos cos 222
a 2+ac +b 2+bc a b +=1，只要证=1， 4．证明：要证b +c a +c ab +bc +ac +c 2
即a 2+b 2-c 2=ab
而∵A +B =1200, ∴C =600
a 2+b 2-c 2
2cos C =, a +b 2-c 2=2ab cos600=ab 2ab
∴原式成立。
C A 3b +c cos 2= 222
1+c o C s +1c o A s 3B s i n A ?+s i C n
?= ∴s i n 5．证明：∵a cos 2
二、填空题
1. 对 s i n A >s i n B , 则
2. 直角三角形 a b >?a >b ?A >B 2R 2R ) 1, 1(1+c o s A 2++1c o B s 2+) 2c A o +s B (= 2
1(cos2A +cos 2B ) +cos 2(A +B ) =0, 2
cos(A +B )cos(A -B ) +cos 2(A +B ) =0
cos A cos B cos C =0
3. x
c
A +C A -C A +C A +C A +s i C n =2s B i n n o =s s i 4．1 s i n c o s 2222
A -C A +C A C A C cos =2cos ,cos cos =3sin sin 222222
1C 2A sin 2 则sin A sin C =4sin 322
1cos A +cos C -cos A cos C +sin A sin
C
π
5. [
3
π, A <>
6．1
1. 2. 解：2R sin A ?sin A -2R sin C ?sin C =-b )sin B ,
a sin A -c sin C =-b )sin B , a 2-c 2=-b 2,
a 2+b 2-c 2a +b -c =,cos C ==C =450
2ab 2
c =2R , c =2R sin C =, a 2+b 2-2R 2=, sin C
2
2222R =a +b ≥2ab , ab ≤222
122+12R
S =ab sin C =ab ≤S max =22441另法：S =ab sin C ==2R sin A ?
2R sin B 2=?2R sin A ?2R sin B =
2sin A sin B 4
1=2??[cos(A -B ) -cos(A +
B )] 2
1=2
??[cos(A -B ) +22≤
3. 解：
a 4. 解：( ?tan ? 得???tan =c =1), a =8 00当A =45, C =75时，b ==c =1), a =8 000∴当A =75, B =60, C =45时，a =8, b =c =1), 当A =75, C =45时，b =00
当A =45, B =60, C =75时，a =8, b =c =1) 。
000
范文二：解三角形
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解三角形
第 1章 解三角形
§1.1正弦定理、余弦定理
重难点:理解正、余弦定理的证明,并能解决一些简单的三角形度量问题.
考纲要求:①掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.
经典例题:半径为 R 的圆外接于△ ABC ,且 2R (sin2A -sin 2
C ) =(3a -b )sin B . (1)求角 C ;
(2)求△ ABC 面积的最大值.
当堂练习:
1.在△ ABC 中,已知 a=52 , c=10, A=30°, 则∠ B= ( )
(A) 105° (B) 60° (C) 15° (D) 105°或 15°
2在△ ABC 中,若 6 +2 ,则∠ A 的度数是 ( )
(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75°
3.在△ ABC 中,已知三边 a 、 b 、 c 满足 (a+b+c)·(a+b-c)=3ab, 则∠ C=( )
(A) 15° (B) 30° (C) 45° (D) 60°
4. 边 长 为 5、 7、 8的 三 角 形 的 最 大 角 与 最 小 角 之 和 为
( )
(A) 90° (B) 120° (C) 135° (D)
150°
5.在△ ABC 中,∠ A=60°, a=6 , b=4, 那么满足条件的△ ABC ( )
(A) 有 一个解 (B) 有两个解 (C) 无解 (D)不能确定
6.在平行四边形 ABCD 中, 3 BD, 那么锐角 A 的最大值为 ( )
(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75°
7. 在△ ABC 中,若 cos 2a
A =cos 2b B =cos 2c C ,则△ ABC 的形状是 ( )
(A) 等腰三角形 (B) 等边三角形 (C) 直角三角形 (D) 等腰直角三角形
8.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为( )
(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 由增加的长度决定
9.在△ ABC 中,若 a=50, b=256 , A=45°则
10.若平行四边形两条邻边的长度分别是 45°,则这个
平行四边形的两条对角线的长度分别为 .
11. 在 等腰 三角 形 ABC 中 , 已知 sinA ∶ sinB=1∶ 2, 底边 BC=10,则 △ ABC 的周 长
是 。
12.在△ ABC 中,若∠ B=30°3 , AC=2, 则△ ABC 的面积是 .
13. 在锐角三角形中, 边 a 、 b 是方程 x 2-23 x+2=0的两根, 角 A 、 B 满足 2sin(A+B)3
=0,求角 C 的度数,边 c 的长度及△ ABC 的面积。
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14.在△ ABC 中,已知边 c=10, 又知 cosA cosB b a =43
,求 a 、 b 及△ ABC 的内切圆的半径。
15.已知在四边形 ABCD 中, BC =a , DC=2a,四个角 A 、 B 、 C 、 D 度数的比为 3∶ 7∶ 4∶ 10, 求 AB 的长。
16. 在△ ABC 中, 已知角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c , 边 c=72
, 且 tanA+tanB=3 tanA·tanB -3 ,又△ ABC 的面积为 S △ ABC =
332,求 a+b的值。
必修 5 第 1章 解三角形
§1.2正弦定理、余弦定理及其应用
考纲要求:①能够运用正弦定理、 余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的 实际问题.
1. 有一长为 1公里的斜坡,它的倾斜角为 20°,现要将倾斜角改为 10°,则坡底要伸长 ( )
A. 1公里 B. sin10°公里 C. cos10°公里 D. cos20°公里
2. 已知三角形的三边长分别为 x 2+x +1,x 2-1和 2x +1(x >1) ,则最大角为 ( )
A. 150° B. 120° C. 60° D. 75°
3.在△ ABC 中, A B B A 22sin tan sin tan ?=?,那么△ ABC 一定是 ( )
A .锐角三角形 B.直角三角形
C .等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形
4.在△ ABC 中,一定成立的等式是 ( )
A.asinA=bsinB B.acosA=bcosB
C.asinB=bsinA D.acosB=bcosA
5.在△ ABC 中, A 为锐角, lg b +lg(c 1)=lgsinA =-lg 2, 则△ ABC 为 ( )
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
6.在△ ABC 中, ?=∠?=?=70, 50sin 2, 10sin 4C b a ,则△ ABC 的面积为 ( ) A. 81 B. 4
1 C. 21 D. 1 7.若 c C b B a A cos cos sin ==则△ ABC 为 ( )
A .等边三角形 B .等腰三角形
C .有一个内角为 30°的直角三角形 D .有一个内角为 30°的等腰三角形
8.边长为 5、 7、 8的三角形的最大角与最小角之和的 ( )
A. 90° B. 120° C. 135° D. 150°
9.在△ ABC 中,根据下列条件解三角形,则其中有两个解的是 ( )
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A . b = 10,A = 45°,B = 70° B. a = 60, c = 48,B = 100° C . a = 7, b = 5,A = 80° D. a = 14, b = 16,A = 45°
10. 在三角形 ABC 中 , 已知 A 60?=,b=1,
则 sin sin sin a b c A B c
++++为 ( )
A.
11. 某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来, 他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他 看见第二辆车与第三辆车的俯角差, 则第一辆车与第二辆车的距离 1d 与第二辆车与第三
辆车的距离 2d 之间的关系为 ( ) A. 21d d > B. 21d d =
C. 21d d < d.="">
12. 在 200米高的山顶上, 测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30°、 60°, 则塔高为 ( ) A. 3
400米 B. 33米 C. 2003米 D. 200米
13. 在△ ABC 中,若 2=c , ?=60C , 3320=
a ,则 =A . 14. 在△ ABC 中, B=1350, C=150, a=5,则此三角形的最大边长为 .
15. 在锐角△ ABC 中,已知 B A 2=,则的 b
a 取值范围是 . 16. 在△ ABC 中,已知 AB =4, AC =7, BC 边的 中线 72
AD =
,那么 BC 17. 已知锐角三角形的三边长分别为 2、 3、 x ,则 x 的取值范围是 . 18. 在△ ABC 中,已知 21tan =A , 3
1tan =B ,则其最长边与最短边的比为 . 19.为了测量上海东方明珠的高度,某人站在 A 处测得塔尖的仰角为 75.5
,前进 38.5m 后, 到达 B 处测得塔尖的仰角为 80.0 . 试计算东方明珠塔的高度(精确到 1m ) .
20.在 ABC ?中,已知 ) sin() () sin() (2222B A b a B A b a -+=+-,判定 ABC ?的形状.
21. 在△ ABC 中,最大角 A 为最小角 C 的 2倍 ,且三边 a 、 b 、 c 为三个连续整数,求 a 、 b 、 c 的值 .
22. 在△ ABC 中,若 22299190a b c +-=,试求 tan tan (tantan ) tan A B A B C
+的值.
23. 如图,已知 O 的半径为 1,点 C 在直径 AB 的延长线上, BC =
1,点 P 是 O 上半圆上的一个动点,以 PC 为边作正三角形 PCD ,且
点 D
与圆心分别在 PC 两侧 .
(1)若 POB θ∠=,试将四边形 OPDC 的面积
y 表示成 θ的函数;
(2)求四边形 OPDC 面积的最大值 .
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范文三：解三角形
解三角形
1． 内角和定理：
在?ABC中，A+B+C=π；sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=-cosC cosCA+B=sin 22
2． 关于三角形面积问题：
111aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）； 222
111②S?ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB； 222①S?ABC=
3．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一：abc===2R (解三角形的重要工具) sinAsinBsinC
?a=2RsinA?形式二：?b=2RsinB (边角转化的重要工具)
?c=2RsinC?
4.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦
的积的两倍..
形式一：a=b+c-2bccosA 222
b2=c2+a2-2cacosB (解三角形的重要工具)
c2=a2+b2-2abcosC
b2+c2-a2c2+a2-b2a2+b2-c2
形式二：cosA= ； cosB= ； cosC= 2bc2ca2ab
考点1: 运用正、余弦定理求角或边
题型1.求三角形中的某些元素
例1 在△ABC中，已知a=3，3 ，∠A=30°，求∠C及b
a,b,c分别是其对边长，例2已知：A、B、C是?ABC的内角，向量m=3,cos(π-A)-1)，
??π??= cos-A?,1? 2?，⊥. ????
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2,cosB=
3,求b的长. 3
题型2判断三角形形状
例2 在△ABC中，已知acosA=bcosB，判断△ABC的形状．
考点2: 三角形中的三角变换
题型:利用正、余弦定理和三角函数的恒等变换,进行边角互换,结合三角函数的图象与性质进行化简求值.
例4 设?ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A=60，c=3b.求： （Ⅰ） a的值；（Ⅱ）cotB +cot C的值. c
考点3 与三角形的面积相关的题
例5.在三角形ABC
中，a=2,C=
例7:在△ABC中，cosA=-π4,cosB=，求三角形ABC的面积S。 2553，cosB=． 135
（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）设BC=5，求△ABC的面积．
随堂练习
1.在
?ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=,sinC=B,
00 则A=（A） A.30 B. 60 C. 120 D. 150 00
2.在
?ABC中， 内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若(a2+c2-b2)tanB=,B=（ ）
A.
πππ5ππ2π B. C. 或 D. 或 663363
batanCtanC3.在锐角?ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c.+=6cosC,则+abtanAtanB
的值是 5.某人要做一个三角形，要求它的三条高的长度分别为
A.不能做出满足要求的三角形 B.作出一个锐角三角形
C . 作出一个直角三角形 D.作出一个钝角三角形
111则此人将（ ） 13115
6.在三角形ABC中，角A,B,C对的边分别为a,b,c.若∠C=1200，c=，则（A)
A.a>b B.a
→→A9.在?ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足cos=，AB?AC=3. 2
（）求1?ABC的面积；（2）若b+c=6求,a的值
π110.在?ABC中，C-A=，sinB=，（）求1sinA的值； 23
（2）设?ABC的面积。
12.?ABC中，a,b,c分别是A,B,C的对边，且2asinA=(2b+c)sinB
+(2c+b)sinC. (1)求A的大小；（2）求sinB+sinC的最大值。
高考真题
1.（2010上海文数）18.若△ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC=5:11:13，则△
ABC
（A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形.
（C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.
2.（2010湖南文数）7.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C= 120°，
a，则
A.a＞b B.a0，所以
22
2
2
2
2
22
2
2
，
0，故cosB=
2
所以B=45°
点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．解题的过程主要是利用了正弦定理和余弦定理对边角问题进行了互化． 10、（2011?江西）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边是a ，b ，c ，已知3acosA=ccosB+bcosC （1）求cosA 的值 （2）若a=1，
，求边c 的值．
考点：正弦定理；同角三角函数基本关系的运用。 专题：计算题。 分析：（1）利用正弦定理分别表示出cosB ，cosC 代入题设等式求得cosA 的值．
（2）利用（1）中cosA 的值，可求得sinA 的值，进而利用两角和公式把cosC 展开，把题设中的等式代入，利用同角三角函数的基本关系求得sinC 的值，最后利用正弦定理求得c ． 解答：解：（1）由余弦定理可知2accosB=a+c﹣b ；2abcosc=a+b﹣c ； 代入3acosA=ccosB+bcosC； 得cosA=； （2）∵cosA= ∴sinA=
sinC ③
2
2
2
2
2
2
cosB=﹣cos （A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣cosC+又已知 cosB+cosC=cosC+
sinC=
代入 ③
2
2
，与cos C+sinC=1联立
解得 sinC=已知 a=1
正弦定理：c===
点评：本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用．考查了基础知识的综合运用． 11、（2011?江苏）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c （1）若（2）若
，求A 的值； ，求sinC 的值．
考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数。 专题：计算题。 分析：（1）利用两角和的正弦函数化简，求出tanA ，然后求出A 的值即可．
（2）利用余弦定理以及b=3c，求出a 与c 的关系式，利用正弦定理求出sinC 的值．
解答：解：（1）因为所以
sinA=
，
，
所以tanA=， 所以A=60° （2）由
及a =b+c﹣2bccosA
222得a =b﹣c
故△ABC 是直角三角形且B=所以sinC=cosA=
点评：本题是基础题，考查正弦定理的应用，两角和的正弦函数的应用，余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．
12、（2011?湖北）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a=1，b=2，cosC= （I ） 求△ABC 的周长； （II ）求cos （A ﹣C ）的值．
考点：余弦定理；两角和与差的余弦函数。 专题：计算题。 分析：（I ）利用余弦定理表示出c 的平方，把a ，b 及cosC 的值代入求出c 的值，从而求出三角形ABC 的周长；
（II ）根据cosC 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC 的值，然后由a ，c 及sinC 的值，利用正弦定理即可求出sinA 的值，根据大边对大角，由a 小于c 得到A 小于C ，即A 为锐角，则根据sinA 的值利用同角三角函数间的基本关系求出cosA 的值，然后利用两角差的余弦函数公式化简所求的式子，把各自的值代入即可求出值．
解答：解：（I ）∵c =a+b﹣2abcosC=1+4﹣4×=4， ∴c=2， ∴△ABC 的周长为a+b+c=1+2+2=5． （II ）∵cosC=，∴sinC=
=
=
．
2
2
2
2
2
2
∴sinA===．
∵a ∠C，AD为∠BAC的平分线，AE⊥BC，垂足为E，试说明∠DAE=
（∠B-∠C）。
解：∵AD为∠BAC的平分线
∴∠DAC=
∠BAC
又∵∠BAC=180°-（∠B+∠C）
∴∠DAC=90°-
（∠B+∠C）
又∵AE⊥BC
∴∠DAE+∠ADE=90°
又∵∠ADE=∠DAC+∠C
∴∠DAE=90°-[90°-
（∠B+∠C）]-∠C
∴∠DAE=
（∠B-∠C）。
如图，∠MON=90°，点A、B分别在射线OM、ON上移动，BD是∠NBA的平分线，BD的反向延长线与∠BAO的平分线相交于点C。
试猜想：∠ACB的大小是否随A、B的移动发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果随点A、B的移动发生变化，请给出变化范围。
解：∠C的大小不会随A、B的移动而发生变化；
理由如下：
证明：∵∠MON=90°，
∴∠ABO+∠BAC+∠CAO=90°，
∵BD是∠NBA的平分线，
∴令∠NBD=∠DBA为x，
而∠NBD+∠DBA=180°-∠ABO，
∴x=90°-
∠ABO，
∵CA平分∠BAO，
∴令∠BAC=∠CAO为y，
∴∠AB0=90°-2y，
∴∠C=x-y=[90°-
（90°-2y）]-y=45°。
http://www.mofangge.com/html/qDetail/02/c2/201203/6j6kc202168295.html
如图所示，在△ABC中，AB=AC，在AB上取一点E，在AC延长线上取一点F，使BE=CF，EF交BC于G.求证：EG=FG。
证明：过E作ED∥AF，交BC于D。
如图，已知D为△ABC边BC的中点，DE⊥DF，则BE+CF（ ） A．大于EF
B．小于EF
C．等于EF
D．与EF的大小关系无法确定
答案
延长ED到G使DG=ED，连接CG，FG，
BD=CD，∠BDE=∠CDG，
可证得△BED≌△CGD，
∴CG=BE，
∵DE⊥DF，DG=ED，
∴EF=FG，
在△FCG中，FC+CG＞FG，
∴BE+CF＞EF．
故选A．
如图所示，P是△ABC内一点，连接PB、PC，试比较PB+PC与AB+AC的大小．
答案
如图，
延长BP交AC于点D，
在△ABD中，AB+AD＞PB+PD；
在△PCD中，PD+DC＞PC，
∴AB+AD+PD+DC＞PB+PD+PC，
∴AB+AC＞PB+PC．
如图，已知ABC中，AD为BC边上的中线，且AB=4cm，AC=3cm，则AD的取值范围是（ ） A．3＜AD＜4B．1＜AD＜7C． 1
2
＜AD＜ 7
2
D． 1
3
＜AD＜ 7
3
答案
如图，延长AD到E，使DE=AD，连接CE．
∵点D是中点，
∴BD=CD．
又∠ADB=∠CDE，
∴△ABD≌△EDC，
∴CE=AB．
根据三角形的三边关系，得：（CE-AC）＜AE＜（AC+CE），
即1＜AE＜7．
而AD= 1
2
AE，
∴ 1
2
＜AD＜ 7
2
．
故选C．
如图所示，已知在△ABC中，AE是∠BAC的平分线，CD⊥AE于D，求证：∠ACD>∠B
答案
证明：延长CD交AB于F(如图)．
在Rt△ACD和Rt△AFD中，
∠ACD+ ∠CAD=90°，∠AFD+∠DAF=90°．
∵AE是∠BAC的平分线．????∴∠CAD=∠FAD．
∴∠ACD=∠AFD（等角的余角相等）．
又∵∠AFD=∠B+ ∠FCB>∠B，
∴∠ACD>∠B
如图，△ABC中，A1，A2，A3，…，An为AC边上不同的n个点，首先连接BA1，图中出现了3个不同的三角形，再连接BA2，图中便有6个不同的三角形…
（1）完成下表：
连接个数
出现三角形个数
（2）若出现了45个三角形，则共连接了多少个点？
（3）若一直连接到An，则图中共有
个三角形．
解 析 解：（1） 连接个数 1 2 3 4 5 6
出现三角形个数 3 6 10 15 21 28
（2）8个点；
（3）1+2+3+…+（n+1）= 1
2
（n+1）（n+2）．
（1）根据图形，可以分析：数三角形的个数，其实就是数AC上线段的个数．所以当上面有3个分点时，有6+4=10；4个分点时，有10+5=15；5个分点时，有15+6=21；6个分点时，有21+7=28；7个分点时，有28+8=36；
（2）若出现45个三角形，根据上述规律，则有8个分点；
（3）若有n个分点，则有1+2+3+…+n+1= 1
2
（n+1）（n+2）．
（2013?遂宁）钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛?海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号）
解 析 首先过点B作BD⊥AC于D，由题意可知，∠BAC=45°，∠ABC=90°+15°=105°，则可求得∠ACB的度数，然后利用三角函数的知识求解即可求得答案．
解 答 解：过点B作BD⊥AC于D．
由题意可知，∠BAC=45°，∠ABC=90°+15°=105°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=30°，
在Rt△ABD中，BD=AB?sin∠BAD=20×
2
2
=10
2
（海里），
在Rt△BCD中，BC= BD
sin∠BCD
= 10
2
1
2
=20
2
（海里）．
答：此时船C与船B的距离是20
2
海里．
http://www.ykw18.com/expaper/epdetail.html?st=2&ep=6964
如图，AB∥CD，AC与BD交于点O，则图中面积相等的三角形有（ ）
A 、1对 B 、2对 C 、3对 D 、4对
解 析 解：过点A作AE⊥BC于E，过点B作BF⊥CD于F．
∵AB∥CD，
∴AE=BF，
∵S△ACD= 1
2
CD?AE，S△BCD= 1
2
CD?BF，
∴S△ACD=S△BCD，
同理：S△ABD=S△ABC，
∵S△ACD-S△OCD=S△BCD-S△OCD，
∴S△AOD=S△BOC．
∴图中面积相等的三角形有3对．
故选C．
首先过点A作AE⊥BC于E，过点B作BF⊥CD于F，由AB∥CD，即可得AE=BF，然后由等高等底的两三角形的面积相等，即可求得S △ACD=S△BCD与S△ABD=S△ABC，又由S△ACD-S△OCD=S△BCD-S△OCD，即可求得S△AOD=S△BOC，则可求得答案．
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