无情小疯子
范文一：高考数列不等式
篇一:高考常用数列不等式的证明方法
高考常用数列不等式的证明方法
知识点
一、放缩为等比数列
1(证明:11111?2?3?...?n? 3?13?13?13?12
二、裂项放缩
(一)???? (二)bn?1
2?n
2(求证:1?1n2?14?1n?12?1n?12(bn?14411???2(?)) 2n?12n?1n4n4n?11115??...?? 2232n23
3.
求证:2?1
???
4(求证:1?11171??????(n?2); 3252(2n?1)262(2n?1)
5(求证:1
4?1
16?1
36???111
1
4n2?2?4n;
三、构造函数放缩
5.ln(x+1)?x 证明:设n?2时，n?N，求证:*ln2ln3lnn????1
2!3!n!
ln2ln3ln4ln3n5n?67(求证:(n?N?)(( ?????n?3n?23436
8(证明:
ln2ln3ln4lnnn(n?1)??????(n?N?，n?1)( 345n?14
9((2012广东)设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn=an+1+1-2n+1，n?N,,且a1，a2+5，
a3成等差数列。
(1)求a1的值;(2)求数列{an}的通项公式。
(3)证明:对一切正整数n，有
11113???...??. a1a2a3an2
10(数列?an?中, 已知a1?2(n?1)an2,an?1?(n?N?). 52an?n
(1)求数列?an?的通项公式;
(2)设bn?
11((2011年全国)设数列?an?满足a1?0且(?)求?an?的通项公式;
(?)设bn?
an?an?11T?,求数列的前项和，求证: Tbn??nnnn?110n(n?1)211??1. 1?an?11?an记Sn??bk,证明:Sn?1. k?1n
2
篇二:2014高考数学放缩法在数列不等式证明的运用
高中数学放缩法在数列不等式证明中的运用
每年高考中，利用放缩方法证明不等式，文科涉及较少，但理科却常常出现，且多是在压轴题中出现。放缩法证明不等式有法可依，但具体到题，又常常没有定法，它综合性强，形式复杂，运算要求
高，往往能考查考生思维的严密性，深刻性以及提取和处理信息的能力，较好地体现高考的甄别功能。本文旨在归纳几种常见的放缩法证明不等式的方法，以冀起到举一反三的作用。
一、 放缩后转化为等比数列。
例1. {bn}满足:b1?1,bn?1?bn2?(n?2)bn?3
(1) 用数学归纳法证明:bn?n
(2) Tn?
解:(1)略
(2)
又 11111，求证:
Tn? ???...?23?b13?b23?b33?bnbn?1?3?bn(bn?n)?2(bn?3)
bn?n
* ?bn?1?3?2(bn?3) ， n?N
迭乘得:bn?3?2n?1(b1?3)?2n?1?11?n?1,n?N* bn?32
1111111???...???? 234n?1n?12222222 ?Tn?
3
点评:把握“bn?3”这一特征对“bn?1?bn2?(n?2)bn?3”进行变形，然后去掉一个正项，这是不等式证明放缩的常用手法。这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法，似乎是不可能的,为什么,值得体味～
二、放缩后裂项迭加
例2(数列{an}，an?(?1)
求证:s2n?
解:s2n?1?n?11，其前n项和为sn
n211111???...?? 2342n?12n
1
令bn?1，{bn}的前n项和为Tn 2n(2n?1)
1111?(?) 2n(2n?2)4n?1n当n?2时，bn?
?s2n?Tn?
?111111111111???(?)?(?)?...?(?)
212304344564n?1n71 ??104n2
点评:本题是放缩后迭加。放缩的方法是加上或减去一个常数，也是常用的放缩手法。值得注意的是若从第二项开始放大，得不到证题结论，前三项不变，从第四项开始放大，命题才得证，这就需要尝试和创新的精神。
例3.已知函数f(x)?ax?b?c(a?0)的图象在(1,f(1))处的切线方程为 x
y?x?1
4
(1)用a表示出b,c
(2)若f(x)?lnx在[1,??)上恒成立，求a的取值范围
(3)证明:1?
解:(1)(2)略
(3)由(II)知:当a?111n??...??ln(n?1)? 23n2(n?1)1
时,有f(x)?lnx(x?1) 2
111令a?,有f(x)?(x?)?lnx(x?1). 22x
11且当x?1时,(x?)?lnx. 2x
k?1??11k?1k111,有ln?[?]?[(1?)?(1?)], 令x?kk2kk?12kk?1
111),k?1,2,3,?,n. 即ln(k?1)?lnk?(?2kk?1
将上述n个不等式依次相加得
ln(n?1)?
整理得 11111?(????)?, 223n2(n?1)
1?111n?????ln(n?1)?. 23n2(n?1)
2
点评:本题是2010湖北高考理科第21题。近年，以函数为背景建立一个不等关系，然后对变量进行代换、变形，形成裂项迭加的样式，证明不等式，这是一种趋势，应特别关注。当然，此题还可考虑用数学归纳法，但仍需用第二问的结论。
三、 放缩后迭乘
5
例4
(a1?1,an?1?1(1?4ann?N*). 16
(1) 求a2,a3
(2)
令bn?{bn}的通项公式
(3) 已知f(n)?6an?1?3an，求证:f(1)f(2)f(3)...f(n)?
解:(1)(2)略 1 2
21n1n1()?()? 3423
13231 ?f(n)?n?n?2?n?n?1?1?n 42424
111211(1?n)(1?n?1)1?n?n?2n?11?n11?n???11141?n?11?n?11
?n?1444
11?n?f(n)?1?n?14
11111?1?21?n1?n?...??1 ?f(1)f(2)...f(n)?1?11?1?22
44n?1 由(2)得an?
评:裂项迭加，是项项相互抵消，而迭乘是项项约分，其
原理是一样的，都似多米诺骨牌效应。只是求n项和时用迭
加，求n项乘时用迭乘。(完毕)
3
篇三:2014数列不等式综合训练
[键入文字]
2014数列不等式综合训练
6
一(解答题(共30小题)
1((2014?东城区二模)设a是一个自然数，f(a)是a的各位数字的平方和，定义数列{an}:a1是自然数，an=f(an*(n?N，n?2)( ,1)
(?)求f(99)，f(2014);
(?)若a1?100，求证:a1,a2;
*(?)求证:存在m?N，使得am,100(
2((2014?日照一模)已知数列{an}是首项为a1=，公比q=的等比数列，设bn+2=3log足cn=an?bn(
(1)求证:{bn}是等差数列;
(2)求数列{cn}的前n项和Sn;
(3)若Cn?
+m,1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围( an(n?N)，数列{cn}满*
3((2013?广州三模)已知函数f(x)=
为bn，数列{an}满足:a1=
(?)求数列{an}的通项公式;
(?)在数列中，仅当n=5时，
2(x,0)，设f(x)在点(n，f(n))(n?N*)处的切线在y轴上的截距N*)( 取最小值，求λ的取值范围; (?)令函数g(x)=f(x)(1+x)，数列{cn}满足:c1=，cn+1=g(cn)(n?N*)，求证:对于一切n?2的正整数，
7
都满足:1,
4((2012?芜湖二模)已知函数
(?)求a1的取值范围;
(?)若a1=，证明an,1+(n?N+，n?2)( ，an+1=f(an)，对于任意的n?N，都有an+1,an( *,2(
(?)在(?)的条件下证明
,n,+1(
5((2011?双流县三模)已知函数
(1)求;
(2)已知数列{an}满足a1=2，an+1=F(an)，求数列{an}的通项公式;
(3) 求证:a1a2a3…an,(
6((2014?南充一模)对于函数f(x)，若存在x0?R，使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点(如果函数f(x)=有且仅有两个不动点0和2(
(1)试求b、c满足的关系式(
(2)若c=2时，各项不为零的数列{an}满足4Sn?f(
(3)设bn=,
)=1，求证:,,( ，Tn为数列{bn}的前n项和，求证:T2009,1,ln2009,T2008(
7((2014?通州区二模)已知f(x)=
且bn+1=f(bn)，
8
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式
(2)令
8((2014?江西模拟)无穷数列{an}的前n项和Sn=npan(n?N)，并且a1?a2(
(1)求p的值;
(2)求{an}的通项公式;
(3)作函数f(x)=a2x+a3x+…+an+1x，如果S10=45，证明:
2n*，数列{an}为首项是1，以f(1)为公比的等比数列;数列{bn}中b1=，，{cn}的前n项和为Tn，证明:对?n?N+有1?Tn,4( (
9((2014?文登市二模)各项均为正数的数列{an}，其前n项和为Sn，满足(?)求数列{an}的通项公式;
2*(?)证明:7(an,1),3n+1(n?N);
(?)若n?N，令bn=an，设数列{bn}的前n项和为Tn(n?N)，试比较
10((2014?合肥一模)已知函数fn(x)=x+，(x,0，n?1，n?Z)，以点(n，fn(n))为切点作函数y=fn(x)图象的切线ln，记函数y=fn(x)图象与三条直线x=n，x=n+1，ln所围成的区域面积为an( (?)求an;
(?)求证:an,; *2*=1(n?N)，且S5+2=a6( *与的大小(
9
(?)设Sn为数列{an}的前n项和，求证:Sn,(
10
范文二：30.高考数列与不等式综合应用问题
高考数列与不等式综合应用问题
考情分析:数列与不等式的综合问题是近年来高考的一个热点,也是一个难点;
教学目标:掌握用常规的放缩思想去解决数列与不等式的证明问题;培养学生的探究分析能 力; 基础知识回顾:
(一)常用放缩和裂项拆项的结论 : (1)
*21111111(2, ) 1(1) (1) 1k k N k k k k k k k k k
-=<=-≥∈++-->
) *2, ) k k N =
<=≥∈>
*311111(2, ) (1)(1) 2(1) (1) k k N k k k k k k k k ??
<>
(4)
1211
111111() ... () k k k b b b b b b -=-++-+
(二)常用证明不等式的方法:
作差、作商、放缩、函数法、数学归纳法、反证法
例题讲解:
已知数列 {}n a 满足:2*
111
2, 2(1) () n n a a a n N n
+==+∈ (1)求证数列 2n a n ??
?
???
是等比数列,并求出数列 {}n a 的通项公式; (2)设 , n n n
n
c T a =
是数列 {}n c 的前 n 项和,求证:1724n T
跟踪训练:
1、等比数列 {n a }的前 n 项和为 n S , 已知对任意的 n N +
∈ ,点 (, ) n n S ,均在函数
(0x y b r b =+>且 1, , b b r ≠均为常数 ) 的图像上 .
(1)求 r 的值;
(11)当 b=2时,记 22(l o g 1) () n n b a n N +=+∈
证明:对任意的 n N +
∈
,不等式
1212111
····n n
b b b b b b +++> 解 :因为对任意的 n N +
∈, 点 (, ) n n S , 均在函数 (0x y b r b =+>且 1, , b b r ≠均为常数的图像 上 . 所以得 n n S b r =+, 当 1n =时 , 11a S b r ==+,
当 2n ≥时 , 1111() (1) n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-, 又因为 {n a }为等比数列 , 所以 1r =-, 公比为 b , 1(1) n n a b b -=-
(2)当 b=2时, 11(1) 2n n n a b b --=-=, 1222(log1) 2(log21) 2n n n b a n -=+=+=
则
1212n n b n b n
++=, 所以 1212111
35721····2462n n b b b n b b b n ++++=??
下面用数学归纳法证明不等式
1212111
35721····2462n n b b b n b b b n
++++=??> 成立 . ① 当 1n =时 , 左边 =
32, 右边
因为 3
2
>, 所以不等式成立 . ② 假设当 n k =时不等式成立 ,
即
1212111
35721····2462k k b b b k b b b k
++++=??> . 则 当 1n k =+时 , 左边 =
11212111113572123
····246222
k k k k b b b b k k b b b b k k ++++++++=?????
+
2322k k +>=+所以当 1n k =+时 , 不等式也成立 .
由①、②可得不等式恒成立 .
【命题立意】 :本题主要考查了等比数列的定义 , 通项公式 , 以及已知 n S 求 n a 的基本题型 , 并运用 数学归纳法证明与自然数有关的命题 , 以及放缩法证明不等式 . 2、已知 α为锐角,且 12tan -=
α,函数 ) 4
2sin(2tan ) (2π
αα+
?+=x x x f ,
数列 {}n a 的首项 ) (, 2
1
11n n a f a a ==+.
⑴ 求函数 ) (x f 的表达式;⑵ 求证:n n a a >+1;
⑶ 求证:
) , 2(21111111*
21N n n a a a n
∈≥<>< 解="" :⑴="">
12(1)
12(2tan 1tan 22tan 2
2=---=-=ααα 又∵ α为锐角 ∴ 42πα= ∴ 1) 4
2sin(=+π
α x x x f +=2) (
⑵ n n n a a a +=+2
1 ∵ 2
11=a ∴ n a a a , , 32都大于 0
∴ 02
>n a ∴ n n a a >+1
⑶ n
n n n n n n a a a a a a a +-
=+=+=+11
1) 1(11121 ∴ 1
1111+-=+n n n a a a ∴ 13221211
11111111111+-
++-+-=++++++n n n a a a a a a a a a 1
111
211++-
=-=n n a a a ∵ 4321) 21(22=+=a , 14
3
) 43(23>+=a , 又∵ n n a a n >≥+12
∴ 131>≥+a a n ∴ 21
211
<><+n>
∴ 211
1111121<>
n
a a a 课后练习:
1、 已 知 {}n a 满 足 21, (*n a n n N =-∈试 推 断 是 否 存 在 正 数
k , 使 得
12) 1
1() 11)(11(21+≥+++
n k a a a n
对一切 *N n ∈均成立?若存在,求出 k 的最大值; 若不存在,说明理由 . 解:设存在正数 k ,使 12) 1
1() 11)(11(21+≥+++
n k a a a n
成立 则 ) 11() 11)(11(1
2121n
a a a n k +++
+≤
,
记 ) 1
1() 11)(11(1
21
) (21n
a a a n n F +++
+=
,则
1
)
1(2)
1(21
) 1(4) 1(2)
32)(122
2) ()
1(), 11)(11() 11)(11(3
21
) 1(21
21=++>
+++=+++=+++++
+=
++n n n n n n n n F n F a a a a n n F n n
) () () 1(n F n F n F ∴>+∴是随 n 的增大而增大
, 332, 332) 1() (, 1*,min ≤∴=
==∴∈k F n F n N n 时 即 k 的最大值为
3
3
2 2、 已知 {}n a 满足 22[2(1) ]3n n n a -=
--, 证明:对任意的整数 4>m , 有 8
7
11154<+++m a="" a="" a="" 证明:观察要证的不等式,左边很复杂,先要设法对左边的项进行适当的放缩,使之能够求和。而左边="">
232451113111
[]221212(1) m m
m a a a -+++=+++-+-- , 如果我们把上式中的分母中的 1±去 掉,就可利用等比数列的前 n 项公式求和,由于 -1与 1交错出现,容易想到将式中两项两项地合并起来一起
进行放缩,尝试知:
3
23221
21121121+>++-,
4
34321
21121121+<-++,因此若 m="">
以从第一项开始两两组合在一起再放缩来解决,若 m 为奇数可将 1
21
2-保留,再将后面的项两两组合后放
缩,即可求和。这里需要对 m 进行分类讨论, (1)当 m 为偶数 ) 4(>m
时,
m a a a 11154+++ ) 11() 11(11654m
m a a a a a +++++=- ) 212121(2321243-++++<>
) 2
11(4123214--?+=
m 8321+<>
= (2)当 m 是奇数 ) 4(>m 时, 1+m 为偶数,
8
711111111165454<><++++m m="" m="" a="" a="" a="" a="" a="" a="" a="" a="" 所以对任意整数="" 4="">m
,有
m a a a 1
1154+
++ 8
7<。 本题的关键是并项后进行适当的放="" 缩。="" 3、已知="" ln="" x="" ≤="" x="" -1对定义域中的每一个="" x="">
求证:) 1(41
2ln 33ln 22ln 2222+--<+++n n="" n="">
n (n ∈ N , n ≥ 2)
证明: ln x ≤ x -1, 又 x >0,
x
x x x x 1
11ln .
-=-≤∴
)
1(412)]1121(1[21)]11141313121(1[21)]) 1(1
431321() 1[(21)]13121()]1[(21)
11311211(212ln 33ln 22ln ),
11(21ln . 11ln , , 2*,2222222222222
222+--=
+---=+-++-+---=+++?+?--<+++--=-++-+-≤+++∴-≤∴-≤=≥∈n n="" n="" n="" n="" n="" n="" n="" n="" n="" n="" n="" n="">
n n n n n n n n x n N n 得
令 时 ∴结论成立 .
4、已知 {}n a 满足 a n =41(21-) n -1
,若 n n na a a a T 23212232++++= , Q n =1
44422+++n n n n
(n ∈ N *
) ,试比较 9T 2n 与 Q n 的大小,并说明理由 .
解:∵ T 2 n = a 1+2a 2+3a 3+… +(2n -1) a 2 n -1+2na 2 n , ∴ 21-
T 2 n = (-21a 1) +(-21) 2a 2+(-21) 3a 3+… +(-21)(2n -1) a 2 n -1+) 2
1
(-2na 2 n
= a 2+2a 3+… +(2n -1) a 2 n -na 2 n .
两式相减,得
23
T 2 n = a 1+a 2+a 3+… +a 2 n +na 2 n . ∴ 23T 2n =
2
11) 21(1412+?
?????--n +n ×41(-21) 2n -1=61-61(-21) 2n +4n (-21) 2n -1. T 2n =91-91(-21) 2n +6n (-21) 2n -1=91(1-n n 22
1
3+) .
∴ 9T 2n =1-n n 221
3+.
又 Q n =1-2
)
12(1
3++n n , 当 n =1时, 22 n = 4,(2n +1) 2=9, ∴ 9T 2 n
当 n ≥ 3时, 22
31022) 12() (]) 11[(2+>++++=+=n C C C C n n n n n n n ,
∴ 9T 2 n >Q n .
5、在数列 {}{}, n n a b 中 , 112, 4a b ==, 且 1, , n n n a b a +成等差数列 , 11, , n n n b a b ++成等比数列 . ⑴求 234, , a a a 及 234, , b b b , 由此猜测 {}{}, n n a b 的通项公式 , 并证明你的结论 ; ⑵证明 :
11221115
12
n n a b a b a b +++<+++ .="">
用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力.满分 12分. 解析:
(Ⅰ)由条件得 2
1112n n n n n n b a a a b b +++=+=,
由此可得
2233446912162025a b a b a b ======, , , , , .
猜测 2(1) (1) n n a n n b n =+=+, . 用数学归纳法证明:
①当 n =1时,由上可得结论成立. ②假设当 n =k 时,结论成立,即
2(1) (1) k k a k k b k =+=+, ,
那么当 n =k +1时,
22
221122(1) (1) (1)(2) (2) k
k k k k k
a a b a k k k k k b k b +++=-=+-+=++==+, .
所以当 n =k +1时,结论也成立.
由①②,可知 2(1) (1) n n a n n b n =++, 对一切正整数都成立. (Ⅱ)
11115
612
a b =<>
n ≥ 2时,由(Ⅰ)知 (1)(21) 2(1) n n a b n n n n +=++>+. 故
112211111111622334(1) n n a b a b a b n n ??
+++<++++>
… … 111111116223341n n ??=
+-+-++- ?+??
…
111111562216412
n ??=
+-<+= ?+??="">
范文三：数列与不等式综合习题
数列与不等式的题型分类. 解题策略
题型一 求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题
求得数列与不等式结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：(1)若函数f(x)在定义域为D ，则当x ∈D 时，有f(x)≥M恒成立?f(x)min ≥M；f(x)≤M恒成立?f(x)max ≤M；(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得.
【例1】 等比数列{an }的公比q ＞1，第17项的平方等于第24项，求使a 1＋a 2＋…＋111
a n ＞…＋恒成立的正整数n 的取值范围.
a 1a 2a n
【分析】 利用条件中两项间的关系，寻求数列首项a 1与公比q 之间的关系，再利用等比数列前n 项公式和及所得的关系化简不等式，进而通过估算求得正整数n 的取值范围.
【解】 由题意得：(a1q 16) 2＝a 1q 23，∴a 1q 9＝1.
111
由等比数列的性质知：数列{为首项，以要使不等式成立，
a n a 1q
11－n ]n
q a 1(q－1) a 112
则须a 1＝q -18代入上式并整理，得q -18(qn －1) ＞q(1－，
1q q －1
1－q q n ＞q 19，∵q ＞1，∴n ＞19，故所求正整数n 的取值范围是n≥20. 【点评】 本题解答数列与不等式两方面的知识都用到了，主要体现为用数列知识化简，用不等式知识求得最后的结果. 本题解答体现了转化思想、方程思想及估算思想的应用.
【例2】 （08·全国Ⅱ）设数列{an }的前n 项和为S n ．已知a 1＝a ，a n+1＝S n ＋3n ，n ∈N*．(Ⅰ) 设b n ＝S n －3n ，求数列{bn }的通项公式；（Ⅱ）若a n+1≥an ，n ∈N*，求a 的取值范围．
【分析】 第（Ⅰ）小题利用S n 与a n 的关系可求得数列的通项公式；第（Ⅱ）小题将条件a n+1≥an 转化为关于n 与a 的关系，再利用a≤f(n)恒成立等价于a≤f(n)min 求解．
【解】 (Ⅰ) 依题意，S n+1－S n ＝a n+1＝S n ＋3n ，即S n+1＝2S n ＋3n ， 由此得S n+1－3 n+1＝2(Sn －3n ) ．
因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n ＝(a－3)2 n-1，n ∈N*, ① (Ⅱ) 由①知S n ＝3n ＋(a－3)2 n-1，n ∈N*，
于是，当n≥2时，a n ＝S n －S n -1＝3n ＋(a－3)2 n-1－3n -1－(a－3)2 n-2＝2×3n -1＋(a－3)2 n-2， 3n -2a n+1－a n ＝4×3 n-1＋(a－3)2 n-2＝2 n-2·＋a －3]，
2
3n -23n -2
当n≥2时，a n+1≥an ，即2 n-2·() ＋a －3]≥0，(＋a －3≥0，∴a≥－9，
22
综上，所求的a 的取值范围是[－9，＋∞]．
【点评】 一般地，如果求条件与前n 项和相关的数列的通项公式，则可考虑S n 与a n
的关系求解. 本题求参数取值范围的方法也一种常用的方法，应当引起重视.
题型二 数列参与的不等式的证明问题
此类不等式的证明常用的方法：(1)比较法，特别是差值比较法是最根本的方法；(2)分析法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合法分析；(3)放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的.
【例3】 已知数列{an }是等差数列，其前n 项和为S n ，a 3＝7，S 4＝24．(Ⅰ) 求数列{an }1的通项公式；(Ⅱ) 设p 、q 都是正整数，且p ≠q ，证明：S p+qn ＋1n ∈N*.
31－3c 【分析】 第（1）小题可考虑用数学归纳法证明；第（2）小题可利用综合法结合不等
关系的迭代；第（3）小题利用不等式的传递性转化等比数列，然后利用前n 项和求和，再进行适当放缩.
【解】（Ⅰ）必要性：∵a 1＝0，a 2＝1－c ， 又∵a 2∈[0，1]，∴0≤1－c≤1，即c ∈[0，1]. 充分性：设c ∈[0，1]，对n ∈N*用数学归纳法证明a n ∈[0，1]. (1)当n ＝1时，a 1∈[0，1]. (2)假设当n ＝k 时，a k ∈[0，1](k≥1)成立，则
a k ＋1＝ca k 3＋1－c≤c＋1－c ＝1，且a k ＋1＝ca k 3＋1－c≥1－c≥0， ∴a k ＋1∈[0，1]，这就是说n ＝k ＋1时，a n ∈[0，1]. 由（1）、（2）知，当c ∈[0，1]时，知a n ∈[0，1]对所胡n ∈N*成立. 综上所述，a n ∈[0，1]对任意n ∈N*成立的充分必要条件是c ∈[0，1].
1
（Ⅱ）设02，结论成立.
31－3c
当n≥2时，由（Ⅱ）知a n ≥1－(3c)n -1＞0， ∴a n 2≥[(1－(3c)n -1)] 2＝1－2(3c)n -1＋(3c)(n-1) ＞1－2(3c)n -1，
a 12＋a 22＋…＋a n 2＝a 22＋…＋a n 2＞n －1－2[3c＋(3c)2＋…＋(3c)n -1]
2[1－(3c)n ]22n -1
＝n －1－2[1＋3c ＋(3c)＋…＋(3c)－1]＝n ＋1n ＋1－.
1－3c 1－3c
【点评】 本题是数列与不等式、数学归纳法的知识交汇题，属于难题，此类试题在高考中点占有一席之地，复习时应引起注意. 本题的第(Ⅰ) 小题实质也是不等式的证明，
题型三 求数列中的最大值问题
求解数列中的某些最值问题，有时须结合不等式来解决，其具体解法有：(1)建立目标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值；(2)首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；(3)利用条件中的不等式关系确定最值.
【例5】 (08·四川高考) 设等差数列{an }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为______.
【分析】 根据条件将前4项与前5项和的不等关系转化为关于首项a 1与公差d 的不等式，然后利用此不等关系确定公差d 的范围，由此可确定a 4的最大值.
【解】 ∵等差数列{an }的前n 项和为S n ，且S 4≥10，S 5≤15，
4×3
5－3d 5＋3d S ＝4a ＋d≥1041?2? a 1＋3d≥5? a 4＝a 1＋3d≥＋3d ＝22， ?∴? ，即? ，∴5×4?a 1＋2d≤3? ? S 5＝5a 1＋a 4＝a 1＋3d ＝(a1＋2d) ＋d≤3＋d 2
5＋3d 4≤3＋d ，则5＋3d≤6＋2d ，即d≤1.
2∴a 4≤3＋d≤3＋1＝4，故a 4的最大值为4.
【点评】 本题最值的确定主要是根据条件的不等式关系来求最值的，其中确定数列的公差d 是解答的关键，同时解答中要注意不等式传递性的应用.
1
【例6】 等比数列{an }的首项为a 1＝2002，公比q ＝－．(Ⅰ) 设f(n)表示该数列的前n
2
项的积，求f(n)的表达式；(Ⅱ) 当n 取何值时，f(n)有最大值．
【分析】 第(Ⅰ) 小题首先利用等比数列的通项公式求数列{an }的通项，再求得f(n)的表达式；第(Ⅱ) 小题通过商值比较法确定数列的单调性，再通过比较求得最值.
1n -11n(n-1) n
【解】 (Ⅰ)a n ＝2002·(－，f(n)＝2002·(－
22
|f(n＋1)|2002
(Ⅱ) 由(Ⅰ) ，得＝，则
|f(n)|2
|f(n＋1)|2002
当n≤10时，＞1，∴|f(11)|＞|f(10)|＞…＞|f(1)|，
|f(n)|2|f(n＋1)|2002
当n≥11时，＝|f(12)|＞|f(13)|＞…，
|f(n)|2
∵f(11)0，f(12)＞0，∴f(n)的最大值为f(9)或f(12)中的最大者．
200212(66
2f(12)12002
＝20023(30＝() 3＞1， f(9)122
20029(36
2
1
∴当n ＝12时，f(n)有最大值为f(12)＝200212() 66．
2
【点评】 本题解答有两个关键：(1)利用商值比较法确定数列的单调性；(2)注意比较f(12)与f(9)的大小. 整个解答过程还须注意f(n)中各项的符号变化情况.
题型四 求解探索性问题
数列与不等式中的探索性问题主要表现为存在型，解答的一般策略：先假设所探求对象存在或结论成立，以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到―否定‖的结论，即不存在. 若推理不出现矛盾，能求得在范围内的数值或图形，就得到肯定的结论，即得到存在的结果.
【例7】 已知{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝4.(Ⅰ) 求证：数列{a n }是等比数列；(Ⅱ) S k+1－2是否存在正整数k ，使2成立.
S k －2
【分析】 第(Ⅰ) 小题通过代数变换确定数列a n +1与a n 的关系，结合定义判断数列{an }为等比数列；而第(Ⅱ) 小题先假设条件中的不等式成立，再由此进行推理，确定此不等式成立的合理性.
【解】 (Ⅰ) 由题意，S n ＋a n ＝4，S n +1＋a n +1＝4， 1
由两式相减，得(S n +1＋a n +1) －(S n ＋a n ) ＝0，即2a n +1－a n ＝0，a n +1＝a n ，
21
又2a 1＝S 1＋a 1＝4，∴a 1＝2，∴数列{a n }是以首项a 1＝2，公比为q ＝的等比数列.
2
12[1―(n ]
2
(Ⅱ) 由(Ⅰ) ，得S n ＝＝4－22-n .
11―2
S k+1－24－21-k －223又由＞2，得＞2，整理，得3a).
当a 3a 存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有a c n
B ．b n b 6 C ．a 6b 6或a 60，其前n 项的和为S n ，则S 4a 5与S 5a 4的大小关系是（ ）
A ．S 4a 5S 5a 4 C ．S 4a 5＝S 5a 4 D ．不确定 S n
6．设S n ＝1＋2＋3＋…＋n ，n ∈N*，则函数f(n)＝的最大值为
(n＋32)S n+1
1A ．20
1B 30
1C ．
40
1D ．
50
（ ） （ ）
1
7．已知y 是x 的函数，且lg3，lg(sinx，lg(1－y) 顺次成等差数列，则
2A ．y 有最大值1，无最小值 11
C ．y 有最小值1
12
11
B ．y 有最小值，无最大值
12D ．y 有最小值－1，最大值1
8．已知等比数列{an }中a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是
Ａ．(－∞，－1] Ｂ．(－∞，－1) ∪(1，＋∞) Ｃ．[3，＋∞) Ｄ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
（ ）
9．设3b 是1－a 和1＋a 的等比中项，则a ＋3b 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
10．设等比数列{an }的首相为a 1，公比为q ，则―a1a n ‖的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分比要条件 D ．既不充分又不必要条件
a 11．{an }为等差数列，若1，|q|0，y ＞0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则cd 值是________. Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．4
16．等差数列{an }的公差d 不为零，S n 是其前n 项和，给出下列四个命题：①A ．若d 0，则{Sn }中一定有最小的项；④存在k ∈N*，使a k －a k+1和a k －a k -1同号
其中真命题的序号是____________. 三、解答题
17．已知{an }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5．（Ⅰ）求{an }的通项a n ；（Ⅱ）求{an }前n
项和S n 的最大值．
18．已知{a n }是正数组成的数列，a 1＝1，且点a n ，a n +1)(n ∈N *）在函数y ＝x 2＋1的图象上.(Ⅰ)
求数列｛a n ｝的通项公式；(Ⅱ) 若列数｛b n ｝满足b 1＝1, b n +1＝b n ＋2a n ，求证：b n ·b n +2
2
0，且q≠1时，b n 0，b 11＞0，所以b 1≠b11，则a 6＝＝b 1b 11＝b 6.
224．B 【解析】因数列为等差数列，a n ＝S n －S n -1＝2n －10，由50时，S 3＝1＋q ＋≥1＋2
q
1＝3，当公比q 0，且q ＞1，故选A. 120(a1＋a 20) 2a 10＋a 11a 1＋a 20a 11S 20
11．C 【解析】由1，得0?0?0?0，且S 200，点(n，S n ) 分布在开口向上的抛物线，故{Sn }中一定有最小的项，故③正确；而a k －a k+1＝－d ，a k －a k -1＝d ，且d≠0，故④为假命题. 三、解答题
? a 1＋d ＝1
17．【解】（Ⅰ）设{an }的公差为d ，由已知条件，? ，解出a 1＝3，d ＝－2．
?a 1＋4d ＝－5
所以a n ＝a 1＋(n－1)d ＝－2n ＋5．
n(n－1)
（Ⅱ）S n ＝na 1＋＝－n 2＋4n ＝－(n－2) 2＋4，所以n ＝2时，S n 取到最大值4．
2
18．【解】(Ⅰ) 由已知得a n +1＝a n ＋1，即a n +1－a n ＝1，
又a 1＝1，所以数列｛a n ｝是以1为首项，公差为1的等差数列，故a n ＝1＋(a －1)×1＝n. (Ⅱ) 由（Ⅰ）知：a n ＝n 从而b n +1－b n ＝2n .
1－2n n n -1n -2
b n ＝(b n －b n -1) ＋(b n -1－b n -2) ＋…＋（b 2－b 1）＋b 1＝2＋2＋…＋2＋1＝＝2－1.
1－2
n n +2n -12
因为b n ·b n +2－b 2＝(2－1)(2－1) －(2－1) n +1
＝(22n +2－2n +2－2n ＋1) －(22n +2－2－2n +1－1) ＝－5·2n ＋4·2n ＝－2n 0．那么，
2b n+12－b n 2＝a n+12(3－2a n+1) －a n 2(3－2a n ) ＝(
3－a 23－a 9a (3－－a n 2(3－2a n ) ＝(an －1) 2. 224
b n 0，且a n ≠1，故b n+12－b n 2＞0，因此
20．【解】（Ⅰ）由题设：a n+1＝(2－1)(an ＋2) ＝2－1)(an －2) ＋2－1)(22) ，
＝2－1)(an －2) ＋2，∴a n+1－2＝(2－1)(an －2) ．
1) ，
即a n 的通项公式为a n 2[(2－1) n ＋1]，n ＝1，2，3，….
（Ⅱ）用数学归纳法证明．
（ⅰ）当n ＝120， 2b k ＋32b k ＋32b k ＋3又113－2， 2b k ＋322＋3
(3－2)(bk －2) 所以b k+1－2＝＜(3－2) 2(bk －22－1) 4(a4k -32) ＝a 4k+1－2 2b k ＋3也就是说，当n ＝k ＋1时，结论成立．
根据（ⅰ）和（ⅱ）知2＜b n ≤a4n -3，n ＝1，2，3，….
21．【解】（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax 2＋bx (a≠0) ，则 f`(x)＝2ax ＋b ，由于f`(x)＝6x －2， 得a ＝3 ，b ＝－2，所以f(x)＝3x 2－2x. ，
又因为点(n，S n )(n∈N*)均在函数y ＝f(x)的图像上，所以S n ＝3n 2－2n ，
当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2－2n ）－[3(n－1) 2－2(n－1)]＝6n －5，
当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5（n ∈N*）.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得知b n ＝
n 33111＝－， a n a n ＋1(6n－5)[6(n－1) －5]26n －56n ＋111111111故T n ＝∑b i ＝－＋＋…＋()]＝(1–， 2771326n ＋16n －56n ＋1i=1
11m 1m 因此，要使(1－n ∈N*）成立的m ，必须且仅须满足，即m≥10，所2202206n ＋1
以满足要求的最小正整数m 为10.
22．【解】（Ⅰ）由于a n +1=(n +n -λ) a n (n =1，2，) ，且a 1=1．
所以当a 2=-1时，得-1=2-λ，故λ=3．从而a 3=(22+2-3) ?(-1) =-3． （Ⅱ）数列{a n }不可能为等差数列，证明如下：由a 1=1，a n +1=(n +n -λ) a n 22
得a 2=2-λ，a 3=(6-λ)(2-λ) ，a 4=(12-λ)(6-λ)(2-λ) ．
若存在λ，使{a n }为等差数列，则a 3-a 2=a 2-a 1，即(5-λ)(2-λ) =1-λ，
解得λ=3．于是a 2-a 1=1-λ=-2，a 4-a 3=(11-λ)(6-λ)(2-λ) =-24． 这与
{a n }为等差数列矛盾．所以，对任意λ，{a n }都不可能是等差数列． 11
（Ⅲ）记b n =n 2+n -λ(n =1，2，) ，根据题意可知，b 1<0且b n="" ≠0，即λ="">2 且λ≠n 2+n (n ∈N *) ，这时总存在n 0∈N *，满足：当n ≥n 0时，b n >0； 当n ≤n 0-1时，b n <0．所以由a n="" +1="b" n="" a="" n="" 及a="" 1="1">0可知，若n 0为偶数， 则a n 0<0，从而当n>n 0时，a n <0；若n 0为奇数，则a="" n="" 0="">0， 从而当n >n 0时a n >0．因此―存在m ∈N ，当n >m 时总有a n <0‖ 的充分必要条件是：n="">
2??b 2k =(2k ) +2k -λ>0记n 0=2k (k =1． ，2，) ，则λ满足?2b =(2k -1) +2k -1-λ<0??2k>
故λ的取值范围是4k 2-2k <><4k 2+2k="" (k="" ∈n="" *)="" ．="">
12
范文四：高中不等式数列综合难题
1、已知函数在上的最小值为，，是函数图像上的两点，且线段的中点P的横坐标为.
(1)求证:点P的纵坐标是定值;
(2)若数列的通项公式为, 求数列的前项和; m
(3)设数列满足:，设，
若(2)中的满足对任意不小于2的正整数n, 恒成立, 试求m的最大值.
2、 (本小题共13分)
*对数列，规定为数列的一阶差分数列，其中N)(对正整数k，规定 为
的k阶差分数列，其中(
(?)若数列的首项，且满足，求数列的通项公式; (?)对(?)中的数列，若数列是等差数列，使得
*对一切正整数N都成立，求;
(?) 在(?)的条件下，令设若成立，求最小正整数的值(
3、 (本小题满分14分)
已知数列是各项均不为的等差数列，公差为，为其前项和，且满足，(数列满足，为数列的前n项和(
1)求、和; (
(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围;
3)是否存在正整数，使得成等比数列,若存在，求出所有的值;若不存在，请说(
明理由(
4、(本小题14分)
设函数y,f(x)的定义域为(0，，?)，且在(0，，?)上单调递增，若对任意x，y?(0，，?)都有:f(xy),f(x)，f(y)成立，数列{a}满足:a,f(1)，1，n1
(1)求数列{a}的通项公式，并求S关于n的表达式; nn
(2)设函数g(x)对任意x、y都有:g(x，y),g(x)，g(y)，2xy，若g(1),1，正项数列{b}满足:，Tnn为数列{b}的前n项和，试比较4S与T的大小。 nnn
5、已知定义在上的奇函数满足，且对任意有( (?)判断在上的奇偶性，并加以证明(
(?)令，，求数列的通项公式(
(?)设为的前项和，若对恒成立，求的最大值( 6、对于给定数列，如果存在实常数，使得对于任意都成立，我们称数列是 “M类数列”(
(I)若，，，数列、是否为“M类数列”,若是，指出它对应的实常数，
若不是，请说明理由;
(II)若数列满足，(
(1)求数列前项的和(
(2)已知数列是 “M类数列”，求.
7、(本小题满分14分)
已知函数(
(1)当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围; (2)当时，试比较与的大小;
(3)求证:()(
8、(本小题满分14分)
已知函数(
(1)当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围; (2)当时，试比较与的大小;
(3)求证:()(
9、(本小题满分14分)已知函数
(?)求函数的定义域，并证明在定义域上是奇函数; (?)若恒成立，求实数的取值范围; (?)当时，试比较与的大小关系( 10、已知函数f(x)的导函数是。对任意两个不相等的正数，证明:
(?)当时，;
(?)当时，。
11、已知数列中，，且 (1)求证:;
(2)设，是数列的前项和，求的解析式; (3)求证:不等式对于恒成立。
12、设为正整数，规定:，已知( (1)解不等式:;
(2)设集合，对任意，证明:;
(3)求的值;
(4)若集合，证明:中至少包含有个元素(
13、已知函数满足下列条件:
?函数的定义域为[0，1];
?对于任意;
?对于满足条件的任意两个数
(1)证明:对于任意的;
(2)证明:于任意的;
(3)不等式对于一切x?[0，1]都成立吗,试说明理由.
15、设不等式组所表示的平面区域为，记内的格点(格点即横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为.
(1)求的值及的表达式;
(2)记，试比较的大小;若对于一切的正整数，总有成立，求实数的取值范围;
(3)设为数列的前项的和，其中，问是否存在正整数，使成立,若存在，求出正整数;若不存在，说明理由.
16、函数的定义域为{x| x ?1}，图象过原点，且( (1)试求函数的单调减区间;
(2)已知各项均为负数的数列前n项和为，满足，求证:;
参考答案
一、综合题
1、解:(1)当时，在上单调递减，又的最小值为， ?，得t=1 ;
当时，在上单调递增，又的最小值为， ?，得=2(舍) ; t
当t = 0时，(舍)，
?t = 1, .
? ?，
?，即p点的纵坐标为定值。
(2)由(1)可知, , 所以, 即
由, ? ?
得 ??
由?，?, 得
?
(3) ?, ???
. ??? ?对任意的
由?、?, 得 即. ?. ?
?数列是单调递增数列.
?关于n递增. 当, 且时, . ?
??即 ? ?m的最大值为6.
2、解:(?)由及， 得 ，
?
? ———————————————2分
?数列是首项为公差为的等差数列，
? (————————4分 (?)? ， ? ( ?，
? (————————————9分
(?)由(?)得 ， ?
有 ， ? ?-? 得 ，
?， ——————————10分 又，
?，
?是递增数列，且，
? 满足条件的最小正整数的值为6(————————13分
3、解:(1)(法一)在中，令，，
得 即 ??????????????2分 解得，， ???????????????3分
(
，
( ????????5分 (法二)是等差数列，
( ??????????2分 由，得 ， 又，，则( ?????????3分 (求法同法一)
(2)?当为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成
立( ?????????????6分
，等号在时取得(
此时 需满足( ????????????????7分
?当为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立( ?????????????8分
是随的增大而增大， 时取得最小值( 此时 需满足( ????????????????9分 综合?、?可得的取值范围是( ????????????????10分 (3)，
若成等比数列，则，即(?11分 (法一)由， 可得， 即， ?????????????12分
( ??????????????13分 又，且，所以，此时(
因此，当且仅当， 时，数列中的成等比数列(????14分 (法二)因为，故，即，
，(以下同上)( ????????????????13分
【说明】考查了等差数列、等比数列的概念及其性质，以及数列的求和、利用均值不等式求最值等知识;考查了学生的函数思想方法，及其推理论证和探究的能力(
4、 5、解:(?)(对任意有?????
令得;??????????????????,分
令由?得，
用替换上式中的有???????????????,分
在上为奇函数(??????????????????,分
(?)(满足，则必有 否则若则必有，依此类推必有，矛盾
??????????????????,分
，又
是为首项，为公比的等比数列，?????????????,分
??????????????????,分 (?)(??????????????????,分 故???????????????
?????????? ??得
??????????????????,,分
??????????????????,,分 若对恒成立须，解得????????,,分
的最大值为-( ??????????????????,,分 6、解:(I)因为则有
故数列是“M类数列”， 对应的实常数分别为( ???2分 因为，则有
故数列是“M类数列”， 对应的实常数分别为( ???????????4分 (II)(1)因为
则有，，
?????..6分
故数列前项的和
++++
??????9分 (2)数列是“M类数列”， 存在实常数，
使得对于任意都成立，????????????????..10分 且有对于任意都成立，
因此对于任意都成立，
而，且
则有对于任意都成立，
即对于任意都成立，
因此，????????????12分
此时，????????????13分 7、解:(1)当时，，定义域是，
， 令，得( ?2分 或
当或时，，当时，，
函数在、上单调递增，在上单调递减( ?????4分
的极大值是，极小值是(
当时，; 当时，，
当仅有一个零点时，的取值范围是或(?????5分
(2)当时，，定义域为(
令，
，
在上是增函数( ?????????????7分
?当时，，即;
?当时，，即;
时，，即( ?????????????9分 ?当
(3)(法一)根据(2)的结论，当时，，即( 令，则有， ( ?????12分
( ??????????????14分
(法二)当时，(
，，即时命题成立( ????????????10分 设当时，命题成立，即 (
时，( 根据(2)的结论，当时，，即(
令，则有，
则有，即时命题也成立(?????13分
因此，由数学归纳法可知不等式成
立( ????????????14分
(法三)如图，根据定积分的定义，
得(??11分
，
( ????????????12分
， 又，，
(
( ?????????????14分 【说明】本题主要考查函数导数运算法则、利用导数求函数的极值、证明不等式等基础知识，考查分类讨论思想和数
形结合思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识(
8、解:(1)当时，，定义域是，
， 令，得( ?2分 或
当或时，，当时，，
函数在、上单调递增，在上单调递减( ?????4分
的极大值是，极小值是(
当时，; 当时，，
当仅有一个零点时，的取值范围是或(?????5分
(2)当时，，定义域为(
令，
，
在上是增函数( ?????????????7分 ?当时，，即;
?当时，，即;
?当时，，即( ?????????????9分
(3)(法一)根据(2)的结论，当时，，即( 令，则有， ( ?????12分
，[来源:学科网ZXXK]
( ??????????????14分
(法二)当时，(
，，即时命题成立( ????????????10分 设当时，命题成立，即 (
时，( 根据(2)的结论，当时，，即(
令，则有，
则有，即时命题也成立(?????13分
因此，由数学归纳法可知不等式成
立( ????????????14分
(法三)如图，根据定积分的定义，
得(??11分
，
( ????????????12分
， 又，，
(
( ?????????????14分 【说明】本题主要考查函数导数运算法则、利用导数求函数的极值、证明不等式等基础知识，考查分类讨论思想和数
形结合思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识( 9、解:(?)由，解得或，
? 函数的定义域为
当时，[来
? 在定义域上是奇函数。 ???4分 (?)由时，恒成立， ?
? 在成立
令，，由二次函数的性质可知
时函数单调递增，时函数单调递减，
时，
? ???8分
(?)= 证法一:设函数, 则时，，即在上递减， 所以，故在成立，
则当时,成立. ???14分 证法二:构造函数， 当时，，?在单调递减，
???12分
当()时， ?14分 10、证明:(?)由
得
而 ?
又
? ?
? ?
? ? ?
由?、?、?得
即
(?)证法一:由，得
下面证明对任意两个不相等的正数,有恒成立 即证成立
?
设，则
令得，列表如下:
极小值
?
?对任意两个不相等的正数，恒有 证法二:由，得 ? ?是两个不相等的正数
?
设
则，列表:
极小值
? 即
?即对任意两个不相等的正数，恒有 二、计算题
11、解:(1)，
又因为，则，即，又，
，
(2)， 因为，所以
当时，
当时，，?
，?
?-?:，
.综上所述， (3)，
又，易验证当时不等式成立;
假设，不等式成立，即，两边乘以3得
又因为
所以
即时不等式成立.故不等式恒成立.
12、解:(1)?当0??1时，由?得，?(???1(
?当1,?2时，因?恒成立(?1,?2(
由?，?得，?的解集为{|??2}(
(2)?，，，
?当时，;
当时，;
当时，( 即对任意，恒有(
(3)，，
，
，
一般地，()(
(4)由(1)知，，?(则(?(
由(2)知，对，或1，或2，恒有，?( 则0，1，2(
由(3)知，对，，， ，恒有， ?，，，(
综上所述，，0，1，2，，，，(?中至少含有8个元素( 13、(1)证明:对于任意的
即对于任意的
(2)证明:由已知条件可得
所以对于任意的
(3)解:取函数
则显然满足题目中的(1)，(2)两个条件， 任意取两个数
即不等式 15、(本小题主要考查数列、不等式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和
创新意识)
解:? -----------------2分 当时，
取值为1，2，3，?，共有个格点
当时，
取值为1，2，3，?，共有个格点
? -----------------4分 ?
-------------5分 当时，
当时，
------------------6分 ?时，
时，
时，
?中的最大值为. ------------------8分 要使对于一切的正整数恒成立，
只需
? -------------------9分
?
. ---------------10分 将代入，
化简得，(,)-------------------11分 若时 ，
，
显然-------------------12分
若时
(,)式化简为
不可能成立 --------------13分
综上，
存在正整数
使成立. - --------------14分
16、解:(1)由己知.
且
? 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4
于是
由得或
故函数的单调减区间为和 .。。。。。。。。。。。。。。。。6 (2)由已知可得，
当时，
两式相减得
?(各项均为负数)
当时，， ? 。。。。。。。。。。。8 于是，待证不等式即为(
为此，我们考虑证明不等式.。。。。。。。。。。。10 令则，
再令， 由知
?当时，单调递增 ? 于是 即 ?.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12
令， 由知 ?当时，单调递增 ? 于是 即 ?.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。14 由?、?可知
所以，，即 .。。。。。16
范文五：三角、不等式、数列综合练习
解三角形
1.已知△ ABC 中, a =4, b =4,∠ A =30°,则∠ B 等于 ( )
A . 30° B . 30°或 150° C . 60° D . 60°或 120°
2. 已知△ ABC 中, AB =6, ∠ A =30°, ∠ B =120°, 则△ ABC 的面积为 ( ) A . 9 B . 18
C . 93
D . 183
3. 在△ ABC 中, sin A :sinB :sinC =3:2:4,则 cos C 的值为( ) A . 23
B.-23
C. 14
D.-14
4.关于 x 的方程 22cos cos cos 02
C
x x A B -??-=有一个根为 1,则△ ABC 一定是 ( )
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 锐角三角形 D. 钝角三角形
5.在△ ABC 中,若 AB =, AC =5,且 cos C =
10
9
,则 BC =________. 6、 ABC ?中,若 b=2a , B=A+60°, 则 7. 在△ ABC 中, ∠ C =60°, a 、 b 、 c 分别为∠ A 、 ∠ B 、 . C 的对边, 则
c
a b
c b a +++=________.
8、已知 a =33, c =2, B =150°,求边 b 的长及 S △ 9、在 ?ABC 中,设
, 2tan tan b
b
c B A -=,求 A 的值。 10在三角形 ABC 中,已知 cosA=5
3
,(1)求
) (2
sin 2
C B COS A
+-的值 (2)若△ ABC 的面积为 4, AB=2 求 BC 的长
数列
1、设 {}n a 是等差数列,若 2
73, 13a a ==, 则数列 {}n a 前 8项的和为 ( )
A.128 B.80 C.64 D.56
2、记等差数列的前 n 项和为
n S ,若 244, 20S S ==,则该数列的公差 d =( )
A 、 2 B 、 3 C 、 6 D 、 7
3、设等比数列 {}n a 的公比 2q =,前 n 项和为 n S ,则 4
2S a =
( )
A . 2 B . 4
C . 215 D . 217
4、 设等差数列 {}n a 的前 n 项和为 n S , 若 39S =, 636S =, 则 789a a a ++=( ) A . 63 B . 45 C . 36 D . 27
5、若等差数列 {}n a 的前 5项和 525S =,且 23a =,则 7a =( ) (A ) 12 (B ) 13 (C ) 14 (D ) 15 6、已知 {}n a 是等比数列,
41
252=
=a a , ,则 12231n n a a a a a a ++++ =( )
(A ) 16(n --41) (B ) 16(n --21) (C ) 332(n --41) (D ) 332
(n
--21)
7.已知 {}n a
为等差数列, 3822a a +=, 67a =,则 5a =____________
8.设数列 {}n a
中, 112, 1n n a a a n +==++,则通项 n a = ___________。 9.设 n S 是等差数列 {}n a 的前 n 项和, 128a =-, 99S =-, 则 16S =____________ 10. 设
S n 是 等 差 数 列
{}
n a 的 前 n 项 和 , 若
==5
935, 95S S
a a 则 ( ) A . 1 B .-1
C . 2
D .
2
1 11、已知数列 {}n a 是等差数列,且 . 12, 23211=++=a a a a (Ⅰ)求数列 {}n a 的通项公式;
(Ⅱ)令 ). (R x x a b n n n ∈=求数列 {}n b 前 n 项和的公式 .
12、 已 知 等 比 数 列 {}n x 的 各 项 为 不 等 于 1的 正 数 , 数 列 {}n y 满 足
)
1, 0(log 2≠>=a a x y n
a n , y 4=17, y7=11
(1)证明:{}n y 为等差数列
(2) 问数列 {}n y 的前多少项的和最大, 最大值为多少? 13、 已知数列 {}n a 的首项 123a =, 1
21n
n n a a a +=+, 1,2,3, n =?. (Ⅰ) 证明:数列 11}n a -是等比数列; (Ⅱ)数列 {n n
a 的前 n 项和 n S
14、已知各项均为正数的数列 {}n a 前 n 项和为 n S ,首项为 a 1, 且 2, a n , sn 成等 差数列,求数列 {}n a 的通项
不等式
1、若 R c b a ∈, , ,且 b a >,则下列不等式一定成立的是 ( )
A . c b c a -≥+ B . bc ac > C .
02
>-b
a c D . 0) (2≥-c b a 2、函数 ) 12lg(21) (-+-=x x
x f 的定义域为
( )
A . ) , 21(+∞ B . ) 2, 21( C . ) 1, 2
1
( D . ) 2, (-∞
3、已知 01<-a ,则(="">
A . a a a
2212. 0>??? ??> B . a
a a ??
?
??>>212. 02
C . a a a 22. 021>>??? ?? D . a a
a 2. 0212>???
??>
4、不等式 21
≥-x
x 的解集为 ( )
A .
) 0, 1[- B . ) , 1[∞+- C . ]1, (--∞ D . ) , 0(]1, (∞+--∞ 5、已知等比数列 }{n a 的各项均为正数,公比 1≠q ,设 2
9
3a a P +=
, 75a a Q ?=, 则 P 与 Q 的大小关系是( )
A . P > Q B . P < q="" c="" .="" p="Q" d="" .无法确定="" 6、="" 已="" 知="" 正="">
x 、 y
满 足
81
1x y
+=, 则 2x y +的 最 小 值 是 ( )
A. 18 B. 16 C . 8 D . 10
7、下列命题中正确的是 ( )
A .当 2lg 1lg , 10≥+≠>x
x x x 时 且
B .当 0>x , 21≥+x
x
C .当 2
0π
θ≤<, θθsin="" 2sin="">
的最小值为 22 D .当 x
x x 1
, 20-≤<时 无最="">
8、在约束条件 0024
x y y x s y x ≥??≥?
?+≤??+≤?下,当 35x ≤≤时,目标函数
32z x y =+的最大值的变化范围是 ( )
A . [6,15] B . [7,15] C . [6,8] D . [7,8]
9、若关于 x 的不等式 m x x ≥-42对任意 ]1, 0[∈x 恒成立,则 实数 m 的取值范围 是( )
A . 3-≤m
B . 3-≥m
C . 03≤≤-m
D . 03≥-≤m m 或
10、 设 y x , 满 足 , 404=+y x 且 , , +∈R y x 则 y x lg lg +的 最 大 值 是 。
11、已知变量 y x , 满足约束条件 1≤ y x +≤ 4, -2≤ y x -≤ 2。若目标函数
(0) z ax y a =+>仅在点 (3,1)处取得最大值,则 a 的取值范围为 ___________.
12、已知正数 y x , 满足 12=+y x , 求
y
x 1
1+的最小值有如下解法: 解:∵ 12=+y x 且 0, 0>>y x . ∴
242212) 2)(11(11=?≥++=+xy xy
y x y x y x ∴ 24) 1
1(min =+y x . 判断以上解法是否正确?说明理由;若不正确,请给出正
确解法.
13、已知函数 3222) (a b x a ax x f -++=,当 ) 6() 2(∞+--∞∈, ,
x 时, 0) ( ) (-+++-=k x k x f k x F , 则当 k 取何值时 , 函数 F(x ) 的值恒为负数 ? 14解不等式:(x-2)(mx-2)0≥ 充要条件
