范文一：高考二次函数

二次函数

知识梳理

知识点1 二次函数的图象和性质

1. 二次函数的定义与解析式

(1)二次函数的定义 形如：f (x ) ＝ax ＋bx ＋c (a ≠0)的函数叫做二次函数. (2)二次函数解析式的三种形式

①一般式：f (x ) ＝___ ax＋bx ＋c (a ≠0)___ ___. ②顶点式：f (x ) ＝__ a(x －m ) ＋n (a ≠0)_____ __.

③零点式：f (x ) ＝___ a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)_______________ _.

点评：. 求二次函数解析式的方法：待定系数法. 根据所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或零点式中的一种来求. ①已知三个点的坐标时，宜用一般式.

②已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小) 值有关时，常使用顶点式. ③已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f (x ) 更方便. 2. 二次函数的图象和性质

2

2

2

3. 二次函数f (x ) ＝ax ＋bx ＋c (a ≠0)，当Δ＝b －4ac >0时，图象与x 轴有两个交点

2

2

M 1(x 1, 0) 、M 2(x 2, 0) ，|M 1M 2|＝|x 1－x 2|＝

Δ

|a |

知识点2 二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系

当?<0?f (x="" )="ax" 2+bx="" +c="" 的图像与x="" 轴无交点?ax="" 2+bx="" +c="">

?ax 2+bx +c >0(<0)>

22

当?=0?f (x ) =ax +bx +c 的图像与x 轴相切?ax +bx +c =0有两个相等的

实根?ax 2+bx +c >0(<0)>

22

当?>0?f (x ) =ax +bx +c 的图像与x 轴有两个不同的交点?ax +bx +c =0

有两个不等的实根? ax 2+bx +c >0(<0) 的解集为(α,="" β)=""><β)>

(-∞, α) (β, +∞) 。

2

知识点3 一元二次方程ax +bx +c =0实根分布的充要条件

2

一般地对于含有字母的一元二次方程ax +bx +c =0的实根分布问题，用图象求解，

有如下结论：

2

令f (x ) =ax +bx +c （a >0）（同理讨论a <>

??≥0??≥0

?

(1) x1<α,><α ,则?-b="" 2a="" )=""><α; (2)="" x1="">α, x2>α, 则??-b /(2a ) >α

?f (α) >0?f (α) >0??

??≥0

??f (α) <>

(3) α<><β,><><β, 则?f="" (α)="">0(4) x1<α, x2="">β (α<β),>

?

?f (β) <0?f (β)="">0

??α<-b 2a="" )=""><>

(5）若f(x)=0在区间( α ,β) 内只有一个实根，则有f (α) f (β) <>

点评：（1）讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：

①判别式； ②区间端点的函数值的符号； ③对称轴与区间的相对位置．

在讨论过程中，注意应用数形结合的思想.

知识点4 二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)在闭区间[p , q ]上的最值

二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)在闭区间[p , q ]上的最值一般分为三种情况讨论： （1）若对称轴x =-

b

在区间左边，则函数在此区间上具有单调性，只需比较2a

（或利用函数的单调性直接决定函数的最f (p ), f (q ) 的大小即可决定函数的最大（小）值；大（小）值）

（2）若对称轴x =-

b

在区间右边，则函数在此区间上具有单调性，只需比较2a

f (p ), f (q ) 的大小即可决定函数的最大（小）值；

（3）若对称轴x =-

b b

) 是函数的最小值在区间内，则f (-（a >0）或最大值（a <>

2a 2a

再比较f (p ), f (q ) 的大小决定函数的最大（小）值。

点评：（1）两个重要的结论：连续函数在闭区间上一定存在最大值和最小值；单调连续函数在闭区间的两个端点处取得最值。

（2）二次函数y =ax +bx +c (a ≠0)在闭区间[p , q ]上的最值的讨论的基点是对称轴

2

x =-

b

与区间[p , q ]的相对位置的讨论，尤其当顶点横坐标是字母时，则应抓住讨论的基2a

点进行讨论。特别要注意二次项系数a 的符号对抛物线开口及结论的影响。

题型一 求二次函数的解析式

例1 已知二次函数f (x ) 满足f (2)＝－1，f (－1) ＝－1，且f (x ) 的最大值是8，试确定此二次函数.

变式训练1：

已知二次函数f(x)满足：①在x=1时有极值；②图象过点(0，-3) ，且在该点处的切线与直线2x+y=0平行。

（1）求f(x)的解析式；

2

（2）求函数g(x)=f(x) 的单调递增区间。

题型二 二次函数中的单调性

2

例2 已知函数f (x ) ＝x ＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]. (1)当a ＝－2时，求f (x ) 的最值；

(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x ) 在区间[－4,6]上是单调函数； (3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间.

变式训练2：（1）. 已知函数f (x ) ＝x ＋2(a －1) x ＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a 的取值范围为__________

（2）已知函数f (x ) ＝x ＋mx ＋n 的图象过点(1,3)，且f (－1＋x ) ＝f (－1－x ) 对任意实数都成立，函数y ＝g (x ) 与y ＝f (x ) 的图象关于原点对称. (1)求f (x ) 与g (x ) 的解析式；

(2)若F (x ) ＝g (x ) －λf (x ) 在(－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围.

题型三 二次函数在闭区间上的最值

例3（1）设函数f(x)=x-2x+2，x∈[t，t+1]的最小值为g(t)，求g(t)的解析式。

22

2

2

（2）已知函数y =-sin x +a sin x -

a 1

+的最大值为2，求a 的值。 42

（3）已知

12

≤a≤1，若f(x)=ax-2x+1在区间[1，3]上的最大值为M(a)，最小值为N(a)，3

令g(a)=M(a)-N(a)，

① 求g(a)的函数表达式； ② 判断函数g(a)的单调性，并求出g(a)的最小值。

变式训练3：（1）已知函数f (x ) ＝－4x ＋4ax －4a －a 在区间[0,1]内有一个 最大值－5，求a 的值.

（2）已知函数y ＝x －2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为________.

(3) 设x 、y 是关于m 的方程m －2am +a +6=0的两个实根，则（x －1）+（y －1）的最小值是（ ） A. －12

2

2

2

2

2

2

13 B.18 C.8 D. 44

题型四 二次函数中的恒成立的问题

2

例4若二次函数f (x ) ＝ax ＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1) －f (x ) ＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x ) 的解析式；

(2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围.

变式训练4：(1)已知f (x ) =x +2(a -2) x +4，

2

① 如果对一切x ∈R ，f (x ) >0恒成立，求实数a 的取值范围； ②如果对x ∈[-3,1]，f (x ) >0恒成立，求实数a 的取值范围．

(2)已知二次函数f (x ) =ax +x （a ∈R ，a ≠0）．如果x ∈[0，1]时，总有|f (x ) |≤1．试求a 的取值范围．

题型五 二次函数与方程

例5已知二次函数f (x ) =ax +bx +c

（1）若a>b>c,且f(1)=0,证明f(x)的图象与x 轴有2个交点;

（2） 在(1)的条件下, 是否存在m∈R,使池f(m)= - a成立时,f(m+3)为正数,

若存在, 证明你的结论, 若不存在, 说明理由. （3）若对x 1, x 2∈R , 且x 1

有2个不等实根, 证明必有一个根属于(x 1, x 2)

例6 二次函数y =ax +x +1 (a >0) 的零点分别为x 1, x 2.

（1）证明(1+x 1) ?(1+x 2) =1; （2）证明x 1<-1, x=""><>

22

2

12

（3）若x 1, x 2满足不等式|lg

x 1

|≤1，试求a 的取值范围. x 2

例7 已知二次函数f (x ) =2x -4(a -1) x -a +2a +9.

（1）若在区间[-1，1]内至少存在一个实数m ，使得f (m ) >0，求实数a 的取值范围； （2）若对区间[-1，1]内的一切实数m 都有f (m ) >0，求实数a 的取值范围。

题型六 二次函数与不等式

例8已知函数f (x ) 和g (x ) 的图象关于原点对称，且f (x ) ＝x ＋2x ．

（1）求函数g (x ) 的解析式； （2）解不等式g (x )≥f (x ) －|x －1|； （3）若h (x ) ＝g (x ) －λf (x ) ＋1在[－1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．

变式训练6：设a 为实数，函数f (x ) ＝2x ＋(x －a )|x －a |. (1)若f (0)≥1，求a 的取值范围； (2)求f (x ) 的最小值；

2

2

22

一、选择题

1. 设abc >0，二次函数f (x ) ＝ax ＋bx ＋c 的图象可能是 (

)

2

2. 函数f (x ) ＝x ＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是 ( ) A. m ＝－2

B. m ＝2 C.m ＝－1

2

2

D. m ＝1

3. 已知函数f (x ) ＝ax ＋(b ＋c ) x ＋1 (a ≠0)是偶函数，其定义域为[a －c ，b ]，则点(a ，

b ) 的轨迹是

A. 线段

( )

B. 直线的一部分 C. 点

2

D. 圆锥曲线

4. 设二次函数f (x ) ＝ax －2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是 ( )

A.(－∞，0] B.[2，＋∞) C.(－∞，0]∪[2，＋∞) D.[0,2] 5. 已知函数f (x ) ＝2mx －2(4－m ) x ＋1，g (x ) ＝mx ，若对于任一实数x ，f (x ) 与g (x ) 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是 A.(0,2)

( ) D.(－∞，0)

2

B.(0,8) C.(2,8)

2

6. 函数f (x ) ＝－x ＋(2a －1)|x |＋1的定义域被分成了四个不同的单调区间，则实数a 的取值范围是( ) 2 A.a 3二、填空题

7. 若二次函数f (x ) ＝ax ＋bx ＋2满足f (x 1) ＝f (x 2) ，则f (x 1＋x 2) ＝______. 8. 若函数y ＝x ＋(a ＋2) x ＋3，x ∈[a ，b ]的图象关于直线x ＝1对称，则b ＝______. 9. 二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为________. 10. 若函数y ＝mx ＋x ＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是_________ 11. 若函数f (x ) ＝ax ＋b (a ≠0)的一个零点是1，则函数g (x ) ＝bx －ax 的零点是_________.

2

22

2

131

B. a

1

D. a

2

12. 方程x －mx ＋1＝0的两根为α，β，且α>0，1<><2，则实数m>

13. 若方程x －11x ＋30＋a ＝0的两根均大于5，则实数a 的取值范围是________. 14. 已知f (x ) ＝ax ＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为[a －1,2a ]，则y ＝f (x ) 的值域为_________. 三、解答题

15. 是否存在实数a ，使函数f (x ) ＝x －2ax ＋a 的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a 的值；若不存在，说明理由.

16. 已知二次函数f (x ) ＝ax ＋bx (a ，b 为常数，且a ≠0)，满足条件f (1＋x ) ＝f (1－

2

2

2

2

2

x ) ，且方程f (x ) ＝x 有等根.

(1)求f (x ) 的解析式；

(2)是否存在实数m 、n (m

范文二：高考二次函数专题

１．二次函数

一．填空题：

112

1． 在区间, 2]上，函数f (x ) = x -px +q 与g (x ) = 2x + 2在同一点取得相同的最小值，

2x 1

那么f (x ) 在[ ,2]上的最大值是 4 ．

2

?x +bx +c x ≤0

2．设函数f (x ) = ?，若f (-4) = f (0)，f (-2)= -2，则关于x 的方程f (x ) =x

?2 x >0

2

的解的个数为 3(-2,-1,2) ．

3．函数y =x 2+bx +c (x ∈[0,+∞)) 是单调函数的充要条件的是 b>0 ．

4． 对于二次函数f (x ) =4x 2-2(p -2) x -2p 2-p +1，若在区间[-1,1]内至少存在一个数c 使得

f (c ) >0，则实数p 的取值范围是．

5．已知方程x 2+(1+a ) x +1+a +b =0的两根为x 1、x 2，并且0<>

6．若函数f (x ) = x +(a +2)x +3，x ∈[a , b ]的图象关于直线x = 1对称，则b = ． 7．若不等式x +2x +a -a -2≥0对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 8．已知函数f (x ) =|x -2ax +b | (x ∈R ) ，给出下列命题：①f (x ) 必是偶函数；②当f (0) = f (2) 时，f (x ) 的图象必关于直线x = 1对称；③若a 2-b ≤0，则f (x ) 在区间[a , +∞) 上是增函数；④f (x ) 有最大值|a 2-b|；其中正确命题的序号是 ．

9．已知二次函数f (x ) =ax 2+bx +c ，满足条件f (2+x ) =f (2-x ) ，其图象的顶点为A ，又图象与x 轴交于点B 、C ，其中B 点的坐标为(-1,0) ，?ABC 的面积S =54，试确定这个二次函数的解析式 ．

10． 已知a 、b 为常数，若f (x ) =x 2+4x +3, f (ax +b ) =x 2+10x +24，则5a -b = ． 11． 已知函数f (x ) =x 2+2x +1, 若存在实数t ，当x ∈[1, m ]时，f (x +t ) ≤x 恒成立，则实数m 的最

大值为 ．

12．设f (x ) 是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x ) =x 2，若对任意的x ∈[t ，t +2]， 不等式f (x +t ) ≥2f (x ) 恒成立，则实数t 的取值范围是 ．

?x 2 (|x |≥1)

13．设f (x ) =?, g (x ) 是二次函数，若f (g (x )) 的值域是[0，∞+)，则g (x ) 的值

?x (|x |<1) 域是="" ．="">

．函数f (x ) 二、解答题：

2

4

2

22

b

的取值范围a

．

13

15．已知函数f (x )=x 2+2mx +m 2-m -，当x ∈(0,+∞) 时，恒有f (x ) >0，求m 的取值范围．

22

16．设a 为实数，函数f (x ) = x +|x -a |+1，x ∈R ． （1）讨论函数f (x ) 的奇偶性； （2）求函数f (x ) 的最小值．

2

17．已知f (x ) =ax +bx +c (a ≠0) 的图象过点(-1，0) ，是否存在常数a ，b ，c ，使得不等式

x 2+1

对一切实数x 都成立． x ≤f (x ) ≤2

2

18．已知a 是实数，函数f (x ) =2ax 2+2x -3-a ，如果函数y =f (x ) 在区间[-1,1]上有零点，求a 的取值范围．

c 2

, 其中a 为实数． 19．设函数f (x )=2

x +ax +a

(Ⅰ) 若f (x ) 的定义域为R , 求a 的取值范围；

(Ⅱ) 当f (x ) 的定义域为R 时，求f (x ) 的单减区间．

20．已知函数f (x ) =x 2+x -1，α, β是方程f (x )=0的两个根(α>β) ，f '(x ) 是f (x ) 的导数；设a 1=1，

a n +1=a n -

f (a n )

（n =1,2,??） f '(a n )

（1）求α, β的值；（2）（理做）证明：对任意的正整数n ，都有a n >α； （3）记b n =ln

a n -β

（n =1,2,??），求数列{b n }的前n 项和S n ． a n -α

1．二次函数答案

新海高级中学 杨绪成 舒燕 一、填空题：

112

1. 在区间[, 2]上，函数f (x ) = x -px +q 与g (x ) = 2x + 2在同一点取得相同的最小值，

2x

1

那么f (x ) 在[ ,2]上的最大值是 4 ．

2

?x +bx +c x ≤0

2. 设函数f (x ) = ?，若f (-4) = f (0)，f (-2)= -2，则关于x 的方程f (x ) =x

?2 x >0

2

的解的个数为 3 .

3. 函数y =x 2+bx +c (x ∈[0,+∞)) 是单调函数的充要条件的是4. 对于二次函数f (x ) =4x 2-2(p -2) x -2p 2-p +1，若在区间[-1,1]内至少存在一个数c 使得

f (c ) >0，则实数p 的取值范围是5. 已知方程x 2+(1+a ) x +1+a +b =0的两根为x 1、x 2，并且0<>

6．若函数f (x ) = x +(a +2)x +3，x ∈[a , b ]的图象关于直线x = 1对称，则b = 6 . 7．若不等式x +2x +a -a -2≥0对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是(-∞, -1] [2,+∞) . 8．已知函数f (x ) =|x -2ax +b | (x ∈R ) ，给出下列命题：①f (x ) 必是偶函数；②当f (0) = f (2) 时，f (x ) 的图象必关于直线x = 1对称；③若a 2-b ≤0，则f (x ) 在区间[a , +∞) 上是增函数；④f (x ) 有最大值|a 2-b|；其中正确命题的序号是 ③ .

2

4

2

22

b

的取值范 a

9. 已知二次函数f (x ) =ax 2+bx +c ，满足条件f (2+x ) =f (2-x ) ，其图象的顶点为A ，又图象与x 轴交于点B 、C ，其中B 点的坐标为(-1,0) ，?ABC 的面积S =54，试确定这个二次函数的解析式

y =2(x -2) 2-18或y =-2(x -2) 2-18.

10. 已知a 、b 为常数，若f (x ) =x 2+4x +3, f (ax +b ) =x 2+10x +24，则5a -b = 2 . 11. 已知函数f (x ) =x 2+2x +1, 若存在实数t ，当x ∈[1, m ]时，f (x +t ) ≤x 恒成立，则实数m 的最

大值为 4 .

12. 设f (x ) 是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x ) =x 2，若对任意的x ∈[t ，t +2]，不等式

f (x +t ) ≥2f (x ) 恒成立，则实数t

的取值范围是+∞) .

?x 2 (|x |≥1)

13. 设f (x ) =?, g (x ) 是二次函数，若f (g (x )) 的值域是[0，∞+)，则g (x ) 的值域

x (|x |<1)>

是[0,+∞) ；

14.

函数f (x )

二、解答题：

13

15．已知函数f (x ) =x 2+2mx +m 2-m -，当x ∈(0,+∞) 时，恒有f (x ) >0，求m 的取值范围．

22

思路点拨:此题为动轴定区间问题, 需对对称轴进行讨论. 解:f (x ) =(x +m ) 2-m -

123 2

当-m ≤0即m ≥0时, f (0)≥0?m 2-m -当-m >0即m <0时, -m="" -综上得:m=""><-3或m>

3. 2

123

>0∴m <-3.>

1233≥0∴m ≥; 22

点评:分类讨论要做到不漏掉任何情况, 尤其是端点处的数值不可忽视. 最后结果要取并集. 变式训练:

已知f (x ) =a cos 2x sin x cos x +1(a ∈R ) , 当x ∈[0,] 时, f (x ) 的最小值为-2, 求

π

2

a 的值.

解: f (x ) =a sin(π-2x ) +a +1，π-2x ∈[-5π, π],sin(π-2x ) ∈[-1, 1].

6666262

当a >0时，f (x ) min =-a +当a <0时，f (x="" )="" min="">

a

+1=-2, ∴a =6． 2

a a

++1=-2, ∴a =-3． 22

2

16．设a 为实数，函数f (x ) = x +|x -a |+1，x ∈R ， （1）讨论函数f (x ) 的奇偶性； （2）求函数f (x ) 的最小值．

思路点拨:去绝对值, 将问题转化成研究分段函数的性质. 解:(1)当a =0时, f (x ) =x 2+x +1, 函数f (x ) 为偶函数;

当a ≠0时, f (a ) =a 2+1, f (-a ) =a 2+2a +1, f (x ) ≠f (-a ) ， 此时函数f (x ) 为非奇非偶函数;

123?(x +) +-a (x ≥a )

??x +x -a +1(x ≥a ) ??242

(2)f (x ) =x +x -a +1=?2 =?

13??x -x +a +1(x ≤a ) ?(x -) 2++a (x ≤a ) ?24?

13

当a ≥时, (x 2+x -a +1) min =a 2+1,(x 2-x +a +1) min =+a ,

24

3

此时, f min (x ) =+a ;

4

11

当-

2213

当a ≤-时, f min (x ) =-a .

24

点评:把握每段函数, 同时综观函数整体特点, 是解决本题的关键.

2

17. 已知f (x ) =ax 2+bx +c ，是否存在常数a ，b ，c ，使得不等式(a ≠0) 的图象过点（-1，0）

x 2+1

对一切实数x 都成立. x ≤f (x ) ≤2

思路点拨:本题为不等式恒成立时探寻参数的取值问题. 解:当x =1时，1≤f (x ) ≤1∴f (1)=1, a +b +c =1, 又f (-1) =0?a -b +c =0可得b =a +c =

1

；由f (x ) ≥x 对一切实数X 都成立， 2

?a >0

?a >0?1

??则ax +(b -1) x +c ≥0?ax -x +c ≥0??1 ?≤02ac ≥??16?

2

2

a +c 2111

) =，∴ac =, 此时a =c =. 21616411x 2+1

综上可得, 存在a =c =, b =, 使得不等式x ≤f (x )≤对一切实数X 都成立.

422

于是c >0, 又ac ≤(

11x 2+1

点评: 挖掘不等式x ≤f (x ) ≤中隐含的特殊值, 得到1≤f (x ) ≤1以及≤ac ≤是解题关

16162

键.

ax 2+1

变式训练：设函数f (x ) =是奇函数（a , b , c 都是整数）且f (1)=2, f (2)<>

bx +c

（1）求a , b , c 的值；（2）当x <0, f="" (x="" )="" 的单调性如何？用单调性定义证明你的结论.="" 略解(1)a="b" =1,="" c="0.(2)" 当x=""><0, f="" (x="" )="" 在(-∞,="" -1]上单调递增,="" 在[-1,0)="">

18. 已知a 是实数，函数f (x ) =2ax 2+2x -3-a ，如果函数y =f (x ) 在区间[-1, 1]上有零点，求a

的取值范围.

解析1：函数y =f (x ) 在区间[-1，1]上有零点，即方程f (x ) =2ax 2+2x -3-a =0在[-1，1]上有解. a =0时，不符合题意，所以a ≠0, 方程f (x )=0在[-1，1]上有解<=>f (-1) ?f (1)≤0或

?af (-1) ≥0?af (1)≥0??

或a ≥

5?a 或a ≥1. ??=4+8a (3+a ) ≥0?1≤a ≤

5或a ≤

?

?-1∈[-1.1]??a

所以实数a

的取值范围是a ≤

或a ≥1. 点评：通过数形结合来解决一元二次方程根的分布问题. 解析2：a =0时，不符合题意，所以a ≠0, 又

12x 2-1

∴f (x ) =2ax +2x -3-a =0在[-1，1]上有解，1]上有解?=?(2x -1) a =3-2x 在[-1，

a 3-2x

2

2

2x 2-1

在[-1，1]上有解，问题转化为求函数y =[-1，1]上的值域；设t=3-2x，x ∈[-1，1]，

3-2x 1(t -3) 2-217

则2x =3-t ，t ∈[1,5],y =?=(t +-6) ，

2t 2t

7t 2-7

设g (t ) =t +. g '(t ) =

2，t ∈时，g '(t ) <>

单调递减，t ∈时，g '(t ) >0,

t t

此函数g (t)单调递增，∴y

的取值范围是3,1]，∴f (x ) =2ax 2+2x -3-a =0在[-1，1]上有解

1

∈3,1]?a ≥

1或a ≤a

12x 2-12x 2-1

点评: 将原题中的方程化成=的形式, 问题转化为求函数y =[-1，1]上的

a 3-2x 3-2x

值域的问题, 是解析2的思路走向.

变式训练:设全集为R ，集合A ={y |y =sin(2x -),

ππ

≤x ≤，集合B ={a ∈R |关于x 的方程642

R

π

x 2+ax +1=0的根一个在（0，1）上，另一个在（1，2）上}. 求(

解：由

A ) ∩(

R

B ) ．

5π1π

, ∴≤sin(2x -) ≤1，

42236626

11

即 A ={y |≤y ≤1}, ∴ R A ={y |y <或y>1}．

22

π

≤x ≤

π

得

π

≤2x ≤π,

π

≤2x -

π

≤

又关于x 的方程 x +ax +1=0的根一个在（0，1）上，另一个在（1，2）上， 设函数f (x ) =x 2+ax +1，则满足

2

?f (0)>0,

?2+a <>

，∴-

2?f (2)>0, ?5+2a >0

?

∴ ∴(

R

B ={a |a ≤-

R A ) ∩(

15

B ) ={x |-2≤x <或x>1或x ≤-． R

22

5

或a ≥-2} 2

c 2

, 其中a 为实数. 19. 设函数f (x )=2

x +ax +a

(Ⅰ) 若f (x ) 的定义域为R , 求a 的取值范围； (Ⅱ) 当f (x ) 的定义域为R 时，求f (x ) 的单减区间.

解：（1）由题意知，x +ax +a ≠0恒成立，∴?<>

2

x (x +a -2) e x （2）f '(x ) =2，令f '(x ) ≤0得x (x +a -2) ≤0；由f '(x ) =0得x =0或 2

(x +ax +a )

x =2-a 又 0

当a =2时，f '(x ) ≥0；当2

2-a ) ； 即当0

变式训练：已知函数f (x ) =() x , x ∈[-1,1]，函数g (x ) =f 2(x ) -2af (x ) +3的最小值为h (a ) . （Ⅰ）求h (a ) ；（Ⅱ）是否存在实数m ，n 同时满足下列条件：①m >n >3；②当h (a ) 的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]？ 若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由． 解：（Ⅰ）∵x ∈[-1,1],∴() x ∈[,3].

设t =() , t ∈[, 3]，则φ(t ) =t -2at +3=(t -a ) +3-a 当a <>

1

3

1313

13

x

13

222

11282a 时，y min =h (a ) =φ() =-； 3393

1

≤a ≤3时，y min =h (a ) =φ(a ) =3-a 2； 3

当a >3时，y min =h (a ) =φ(3) =12-6a .

?282a ?9-3??

∴h (a ) =?3-a 2

?

?12-6a ??

1(a <>

31

(≤a ≤3) 3

(a >3)

（Ⅱ）∵m >n >3， ∴h (a ) =12-6a 在(3,+∞) 上是减函数. ∵h (a ) 的定义域为[n ，m ]；值域为[n 2，m 2]，

2

??12-6m =n , ∴? 可得6(m -n ) =(m -n )(m +n ), 2

??12-6n =m .

∵m >n >3， ∴m +n =6，但这与“m >n >3”矛盾. ∴满足题意的m ，n 不存在．

20. 已知函数f (x ) =x 2+x -1，α, β是方程f (x ) =0的两个根(α>β) ，f '(x ) 是f (x)的导数；设a 1=1，

a n +1=a n -

f (a n )

（n =1,2,??） f '(a n )

（1）求α, β的值；（2）（理做）证明：对任意的正整数n ，都有a n >α； （3）记b n =ln

a n -β

（n=1,2,??），求数列{b n }的前n 项和S n .

a n -α

β=2

思路点拨:本题考察数列的综合知识, 将递推数列与函数、导数有机地结合，加大了题目的综合力度. 解：（1）由求根公式，及α>

β得方程两根为α=

(2)要证a n >α, 需证a n -α>0. f '(x ) =2x +1

2a n +1

下面用数学归纳法证明:

f (a n ) a +a n -1a n +1

∴a n +1=a n -=a n -n =.

f '(a n ) 2a n +12a n +1

a n 2-2a n α+1-αa n 2-2a n α+α2-(α2+α-1) (a n -α) 2

a n +1-α===.

2a n +1

2a n +1

>0, 命题成立； 2

①当n =1时

, a n -α=1-α=

②假设n =k (k ≥1) 时命题成立, 即a k -α>0, a k >α>0．

(a k -α) 2

>0, 命题成立. 则当n =k +1时, a k +1-α=

2a k +1

根据数学归纳法可知, 对任意的正整数都有a n >α成立.

a n +1-β(a n -β) 21-β==ln =2b n

(3)由已知和

(2),b 1=ln , b n +1=ln 2

1-αa n +1-α(a n -α)

所以S n =(2n +2-.

点评:本题考察了求根公式及数学归纳法等数学方法的同时，也考察了转化与化归的数学思想, 即

将已知数列转化成等比数列，本题对变形和运算要求较高. 补充:函数y =x +

a

(a 是常数, 且a >0) 有如下性质：①函数是奇函数；②函数在(0, ]上 x

是减函数，在[a , +∞) 上是增函数.

2b

（1）如果函数y =x +（x >0）的值域是[6, +∞) ，求b 的值；

x

（2）判断函数y =x 2+ （3）对函数y =x +

c

（常数c >0）在定义域内的奇偶性和单调性，并加以证明； 2x

a c

和y =x 2+2（常数c >0）分别作出推广，使它们是你推广的函数的特x x

例. 判断推广后的函数的单调性（只需写出结论，不要证明）.

2b 解:（1

）因为x >0, 所以y =x +≥6, 即b =log 29

x 2

（2）设f (x ) =x +

c

, 因为x ∈(-∞, 0) ?(0, +∞) 2x

f (-x ) =(-x ) 2+

c c 2

=x +=f (x ), (-x ) 2x 2

2

故函数f (x ) =x +

c

为偶函数. 2x

c c c 222

-x -=(x -x )(1-). 12122x 2x 12x 12x 2

2

设0

c ≤x 1f (x 1),

c 2

函数f (x ) =x +2在[-c , +∞) 上是增函数；

x

当0

f (x ) 则为减函数，设x 1

c 2

则-x 1>-x 2≥c , 因f (x ) =x +2是偶函数，

x

所以f (x 1) -f (x 2) =f (-x 1) -f (-x 2) >0,

c

在(-∞, -c ]上是减函数， 2x

c 2

同理可证，函数f (x ) =x +2在[-c , 0) 上是增函数.

x

a n

（3）可以推广为研究函数y =x +n (常数a >0, n 是正整数) 的单调性.

x a n

当n 是奇数时，函数y =x +n 在[2a , +∞) 和(-∞, -2a ]上是增函数，

x

2

所以函数f (x ) =x +

在(0, 2a ]和[-2a , 0) 上是减函数；

当n 是偶数时，函数y =x +n a 在[2a , +∞) 和[-2a , 0) 上是增函数， n x

在(0, 2a ]和[-∞, -2a ) 上是减函数．

范文三：高考数学复习二次函数

2.6 二次函数

●知识梳理

二次函数的基本性质

（1）二次函数的三种表示法： y =ax 2+bx +c ；y =a （x －x 1）（x －x 2）；y =a （x －x 0）2+n .

（2）当a ＞0，f （x ）在区间［p ，q ］上的最大值为M ，最小值为m ，令x 0=

1

（p +q ）. 2

b

25

解析：由y =f （x ）的对称轴是x =

m m

，可知f （x ）在［，+∞）上递增，由题设只88

需

m

≤－2?m ≤－16， 8

∴f （1）=9－m ≥25. 答案：A

4. 函数f （x ）=2x 2－6x +1在区间［－1，1］上的最小值是___________，最大值是___________.

解析：f （x ）=2（x －

327）－. 22

当x =1时，f （x ）min =－3；当x =－1时，f （x ）max =9.

答案：－3 9

5. 若函数y =x 2+（a +2）x +3，x ∈［a ，b ］的图象关于直线x =1对称，则b =__________. 解法一：二次函数y =x 2+（a +2）x +3的图象关于直线x =1对称，说明二次函数的对称轴为1，即－∴

a +2

=1.∴a =－4. 而f （x ）是定义在［a ，b ］上的，即a 、b 关于x =1也是对称的，2

a +b

=1.∴b =6. 2

解法二：∵二次函数y =x 2+（a +2）x +3的对称轴为x =1，∴f （x ）可表示为f （x ）=（x －1）2+c ，与原二次函数的表达式比较对应项系数，可得a +2=－2. ∴a =－4，b 的计算同解法一.

解法三：∵二次函数的对称轴为x =1，∴有f （x ）=f （2－x ），比较对应项系数，∴a =－4，b 的计算同解法一.

答案：6 ●典例剖析

【例1】 设x 、y 是关于m 的方程m 2－2am +a +6=0的两个实根，则（x －1）2+（y －1）2的最小值是

A. －12

1 4

B.18 C.8 D.

3 4

剖析：由Δ=（－2a ）2－4（a +6）≥0，得a ≤－2或a ≥3.

于是有（x －1）2+（y －1）2=x 2+y 2－2（x +y ）+2=（x +y ）2－2xy －2（x +y ）+2=（2a ）2

－2（a +6）－4a +2=4a 2－6a －10=4（a －

3249）－. 44

由此可知，当a =3时，（x －1）2+（y －1）2取得最小值8.

答案：C 深化拓展

Δ≥0是二次方程有实根的隐含条件.

2解析：由表知y =a （x +2）（x －3），又x =0，y =－6，代入知a =1.∴y =（x +2）（x －3）. 答案：{x |x ＞3或x 0的解是－

11

0的解是－

110（或0）. a a

答案：B

2. 已知f （x ）=x 2－2x +3，在闭区间［0，m ］上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是___________________.

解析：通过画二次函数图象知m ∈［1，2］. 答案：［1，2］

－

3. 已知函数y =（e x －a ）2+（e x －a ）2（a ∈R ，且a ≠0），求y 的最小值.

－－－

解：y ＝（e x ＋e x ）2－2a （e x ＋e x ）＋2a 2－2. 令t ＝e x ＋e x ，则f （t ）＝t 2－2at ＋2a 2－2.

－

∵t ＝e x ＋e x ≥2，∴f （t ）＝（t －a ）2＋a 2－2的定义域为［2，＋∞）. ∵抛物线的对称轴方程是t ＝a ，

∴当a ≥2时，y min ＝f （a ）＝a 2－2；当a －1时，f （x ）min =f （a ）=a 2－2a 2+2=2－a 2，x ∈［－1，+∞），f （x ）≥a 恒成立?f （x ）min ≥a ，即2－a 2≥a ?a 2+a －2≤0?－2≤a ≤1. 故此时－10恒成立?对任意实数b ，b 2+2（1－4a ）b +1+4a ＞0恒成立?Δ′=4（1－4a ）2－4（1+4a ）0， m +2m +1m

m

）0，所以pf （

m

）0，则f （0）＞0，又f （）0，

m +2m m +2m

m

又f （）0时，由（1）知f （

因此方程f （x ）=0在（0，1）内恒有解. ②当p |β+|.

2a 2a

（2）当a ＞0时，f （α）0时，二次不等式（f x ）＞0在［p ，q ］上恒成立??2a 或?

??f (-b ) >0?f (p ) >0?2a ??b

≥q , ?-

或?2a ??f (q ) ≥0.

?a >0, ?a =b =0,

（4）f （x ）＞0恒成立??或?

?Δ<0?c>0; ?a <0, ?a="b">

f （x ）＜0恒成立??或?

Δ<0c><0.>

拓展题例

【例1】 已知当m ∈R 时，函数f （x ）＝m （x 2－1）＋x －a 的图象和x 轴恒有公共点，求实数a 的取值范围.

解：（1）m =0时，f （x ）=x －a 是一次函数，它的图象恒与x 轴相交，此时a ∈R . （2）m ≠0时，由题意知，方程mx 2＋x －（m ＋a ）＝0恒有实数解，其充要条件是Δ＝1＋4m （m ＋a ）＝4m 2＋4am ＋1≥0. 又只需Δ′＝（4a ）2－16≤0，解得－1≤a ≤1，即a ∈［－1，1］.

∴m ＝0时，a ∈R ；

m ≠0时，a ∈［－1，1］.

评述：g （a ）是a 的函数，可作出g （a ）的草图来求最大值. 【例2】 已知f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点（－1，0），是否存在常数a 、b 、c ，使

x 2+1不等式x ≤f （x ）≤对一切实数x 都成立？

2

解：∵f （x ）的图象过点（－1，0）， ∴a －b +c =0 ①

x 2+1

∵x ≤f （x ）≤对一切x ∈R 均成立，

2

∴当x =1时也成立，即1≤a +b +c ≤1. 故有a ＋b ＋c ＝1.

1111

由①②得b =，c =－a . ∴f （x ）＝ax 2＋x ＋－a .

2222

x 2+1112

故x ≤ax ＋x ＋－a ≤对一切x ∈R 成立，

222

②

1?1

-4a (-a ) ≤0, ?Δ1≤0?412?21???ax -x +-a ≥0, ?Δ2≤0?

22也即?恒成立????1-8a (1-2a ) ≤0,

?(1-2a ) x 2-x +2a ≥0?a >0?a >0, ???1-2a >0???1-2a >0.

111

. ∴c =－a =. 424

x 2+1111

∴存在一组常数a =，b =，c =，使不等式x ≤f （x ）≤对一切实数x 均成立.

2424

解得a =

评述：赋值法（特殊值法）可以使“探索性”问题变得比较明朗，它是解决这类问题比

较常用的方法.

范文四：高考数学一元二次函数

题目 高考要求三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具不等式的思想和方法

1二次函数的基本性质 (1)二次函数的三种表示法y =ax 2+bx +c ; y =a (x －x 1)(x －x 2); y =a (x －x 0) 2+n (2)当a >0,f (x ) 在区间［p , q ］上的最大值M ，最小值m , 令x 0=若－

1

(p +q 2

b

b b

若p ≤－

2a 2a b b

若x 0≤－

2a 2a b 若－≥q , 则f (p )=M , f (q )=m 2a

2二次方程f (x )=ax 2+bx +c =0的实根分布及条件

(1)方程f (x )=0的两根中一根比r 大，另一根比r 小?a ·f (r )<>

??=b 2-4ac >0, ??b

>r , (2)二次方程f (x )=0的两根都大于r ??- 2a ?

a ?f (r ) >0??

??=b 2-4ac >0,

?

b ?<>

(3)二次方程f (x )=0在区间(p , q ) 内有两根?? 2a

?a ?f (q ) >0, ???a ?f (p ) >0;

(4)二次方程f (x )=0在区间(p , q ) 内只有一根?f (p ) ·f (q )<0,或f (p="" )="">

或f (q )=0(检验) 检验另一根若在(p , q )

?a ?f (p ) <>

(5)方程f (x )=0两根的一根大于p , 另一根小于q (p 0

3二次不等式转化策略

(1)二次不等式f (x )=ax 2+bx +c ≤0的解集是

(－∞, α]) ∪［β,+∞) ?a <0且f (α)="f" (β)="">

b b |<|β+|, 2a="" 2a="" b="">

当a <0时，f>|β+|;

2a 2a

(3)当a >0时，二次不等式f (x )>0在［p , q ］恒成立

(2)当a >0时，f (α)

b ?p ≤-

b ?f (-) >0, ??f (p ) >0, ??f (q ) ≥0; ?2a ?

(4)f (x )>0恒成立

?a >0, ?a =b =0, ?a <0, ?a="b" =0??或?f="" (x="" )=""><>

?<0, c="">0; ?<0, c=""><0.>

典型题例示范讲解

例1已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 和一次函数g (x )=－bx ，其中a 、b 、c 满足a >b >c , a +b +c =0,(a , b , c ∈R )

(1)求证A 、B ；

(2)求线段AB 在x 轴上的射影A 1B 1的长的取值范围

命题意图 知识依托 解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合

错解分析由于此题表面上重在“形”，因而本题难点就是一些考生可能走入误区，老是想在“形”上找解问题的突破口，而忽略了“数”技巧与方法利用方程思想巧妙转化?y =ax 2+bx +c

(1)证明?消去y 得ax 2+2bx +c =0

?y =-bx

c 3

Δ=4b 2－4ac =4(－a －c ) 2－4ac =4(a 2+ac +c 2)=4［(a +) 2+c 2］

24

∵a +b +c =0,a >b >c , ∴a >0,c <>

∴

32

c >0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点4

(2)解设方程ax 2+bx +c =0的两根为x 1和x 2, 则x 1+x 2=－

2b , x 1x 2a |A 1B 1|2=(x 1－x 2) 2=(x 1+x 2) 2－4x 1x 2

2b 24c 4b 2-4ac 4(-a -c ) 2-4ac =(-) -==

a a a 2a 2

c c c 13=4[() 2++1]=4[(+) 2+]

a a a 24

∵a >b >c , a +b +c =0,a >0,c <>

c 1

∈(－2, －)

2a

c c c c ∵f () =4[() 2++1]的对称轴方程是=a a a a c 1

∈(－2, －) 时，为减函数

2a

∴a >－a －c >c , 解得

∴|A 1B 1|2∈(3,12),故|A 1B 1|∈(3, 23)

例2已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0 (1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0) 内，另一根在区间(1，2) 内，求m 的范围(2)若方程两根均在区间(0，1) 内，求m 的范围 命题意图本题重点考查方程的根的分布问题知识依托 解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义错解分析答本题的难点技巧与方法设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制

解 (1)条件说明抛物线f (x )=x 2+2mx +2m +1与x 轴的交点分别在区间(－1，0) 和(1，2) 内，画出示意图，得

1?m <-?2f (0)="2m"><0,>

m ∈R , ?f (-1) =2>0, ?????1

?

f (1) =4m +2<0, m=""><-, ??2???f="" (2)="6m" +5="">0

?m >-5?6?

5<6 (2)据抛物线与x="" 轴交点落在区间(0，1)="">

∴-

1?m >-, ??f (0) >0, 2??f (1) >0,

??m >-1,

?? ?2?≥0, ??

??m ≥1+2或m ≤1-, ?0<-m><>

?-1<0.>

(这里0<－m><1是因为对称轴x =－m="" 应在区间(0，1)="">

例3已知对于x 的所有实数值，二次函数f (x )=x 2－4ax +2a +12(a ∈R ) 的

x

=|a －1|+2a +2

3

解Δ≤0, 即(－4a ）2－4(2a +12)≤0, ∴－≤a ≤2

2

3

(1)当－≤a ＜1时，原方程化为

2

1x =－a 2+a +6,∵－a 2+a +6=－(a －) 22391∴a =－时，x mi n =, a =时，x max 2429∴≤x 431

(2)当1≤a ≤2时，x =a 2+3a +2=(a +) 2－

24

∴当a =1时，x mi n =6,当a =2时，x max =12,∴6≤x ≤12

9

综上所述, ≤x ≤124

1若不等式(a －2) x 2+2(a －2) x －4<0对一切x ∈r="" 恒成立，则a="" 的取值范围是(="">

A (－∞,2] －2,2] C －2,2] D (－∞, －2)

值都是非负的，求关于x 的方程

2设二次函数f (x )=x 2－x +a (a >0),若f (m )<0,则f (m="" －1)="" 的值为(="" )="" a="" 正数="" b="" d="" 3已知二次函数f="" (x="" )="4x" 2－2(p="" －2)="" x="" －2p="" 2－p="" +1,若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c="" ,="" 使f="" (c="" )="">0,则实数p 的取值范围是_________4二次函数f (x ) 的二次项系数为正，且对任意实数x 恒有f (2+x )=f (2－x ),

若f (1－2x 2)

5已知实数t 满足关系式log a 3=log a 3 (a >0且a ≠1)

a a

(1)令t=a x , 求y =f (x ) 的表达式；

(2)若x ∈(0,2]时，y 有最小值8，求a 和x 的值6如果二次函数y =mx 2+(m －3) x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m 的取值范围

7二次函数f (x )=px 2+qx +r 中实数p 、q 、r 满足

p q r

++=0,其m +2m +1m

中m >0,求证m

)<0; m="">

(2)方程f (x )=0在(0，1) 内恒有解

8一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x (件) 与售价P (元/件) 之间的关系为P =160－2x , 生产x 件的成本R =500+30x 元

(1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元？

(2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？ 参考答案

1解析 当a －2=0即a =2时, 不等式为－4＜0, 恒成立a =2,当a －2≠0

(1)pf (

?a -2<>

时，则a 满足?, 解得－2＜a ＜2, 所以a 的范围是－2＜a ≤2?<>

答案C

2f (x )=x 2－x +a 的对称轴为x =

1

, 且f (1)>0,则f (0)>0,而f (m ) ＜0, ∴2

m ∈(0,1), ∴m －1＜0, ∴f (m －1)>0

答案3解析只需f (1)=－2p 2－3p +9>0或f (－1)=－2p 2+p +1>0即－3＜p ＜

32

13＜p ＜1p ∈(－3, ) 22

3

答案(－3，）

2

4解析 由f (2+x )=f (2－x ) 知x =2为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小，

∴|1－2x 2－2|＜|1+2x －x 2－2|,∴－2＜x ＜0答案2＜x ＜0

或－

5解(1）由log a t =log t y 得log a t －3=logt y －3log t a

a 3a 3

log a y 3

由t =a x 知x =loga t ，代入上式得x －3=-,

x x

∴log a y =x 2－3x +3，即y =a x (2)令u =x 2－3x +3=(x －

2

-3x +3

(x ≠0) 323

) + (x ≠0), 则y =a u 24

①若0＜a ＜1, 要使y =a u 有最小值8，

33

则u =(x －) 2+在(0，2]上应有最大值，但u 在(0，2]上不存在最大

24

值

②若a >1,要使y =a u 有最小值8，则u =(x －

323

) +, x ∈(0,2]应有最小值 24

33

∴当x =时，u mi n =, y mi n =a 4

24

由a =8得a =16∴所求a =16,x 3

34

6解∵f (0)=1>0

(1)当m ＜0时，二次函数图象与x 轴有两个交点且分别在y 轴两侧，符合题意??≥0?

(2）当m >0时，则?3-m 解得0＜m ≤1

>0??m

综上所述，m 的取值范围是{m |m ≤1且m ≠0}7证明 (1)pf (

m m 2m ) =p [p () +q () +r ] m +1m +1m +1

=pm [

pm q r pm p ++]=pm [-]

(m +1) 2m +1m (m +1) 2m +2

m (m +2) -(m +1) 22

=p m []

(m +1) 2(m +2)

=pm 2

-1

, 由于f (x ) 是二次函数，故p ≠0, 又m >0,所以，

(m +1) 2(m +2)

m

) ＜0m +1

(2)由题意，得f (0)=r , f (1)=p +q +r

m

①当p ＜0时，由(1）知f () ＜0

m +1m m

若r >0,则f (0)>0,又f () ＜0, 所以f (x )=0在(0，) 内有解;

m +1m +1

p r p r

若r ≤0, 则f (1)=p +q +r =p +(m +1)=(－-)+r =->0,

m +2m m +2m

m m 又f () ＜0, 所以f (x )=0在(,1) m +1m +1②当p ＜0时同理可证8解(1）设该厂的月获利为y , 依题意得 y =(160－2x ) x －(500+30x )=－2x 2+130x －500 由y ≥1300知－2x 2+130x －500≥1300

∴x 2－65x +900≤0，∴(x －20)(x －45) ≤0，解得20≤x ≤45 ∴当月产量在20~45件之间时，月获利不少于1300元

65

(2）由(1）知y =－2x 2+130x －500=－2(x －) 2+16122

∵x 为正整数，∴x =32或33时，y 取得最大值为1612元， ∴当月产量为32件或33件时，可获得最大利润1612元

pf (

范文五：高考数学二次函数综合

二次函数专题

一．填空题：

112

1． 在区间, 2]上，函数f (x ) = x -px +q 与g (x ) = 2x + 在同一点取得相同的最小值，

2x 1

那么f (x ) 在[ ,2]上的最大值是 4 ．

2

?x +bx +c x ≤0

2．设函数f (x ) = ?，若f (-4) = f (0)，f (-2)= -2，则关于x 的方程f (x ) =x

?2 x >0

2

的解的个数为 3(-2,-1,2) ．

3．函数y =x 2+bx +c (x ∈[0,+∞)) 是单调函数的充要条件的是

4． 对于二次函数f (x ) =4x 2-2(p -2) x -2p 2-p +1，若在区间[-1,1]内至少存在一个数c 使得

f (c ) >0，则实数p 的取值范围是．

5．已知方程x 2+(1+a ) x +1+a +b =0的两根为x 1、x 2，并且0<>

6．若函数f (x ) = x +(a +2)x +3，x ∈[a , b ]的图象关于直线x = 1对称，则b = ． 7．若不等式x +2x +a -a -2≥0对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 8．已知函数f (x ) =|x -2ax +b | (x ∈R ) ，给出下列命题：①f (x ) 必是偶函数；②当f (0) = f (2) 时，f (x ) 的图象必关于直线x = 1对称；③若a 2-b ≤0，则f (x ) 在区间[a , +∞) 上是增函数；④f (x ) 有最大值|a 2-b|；其中正确命题的序号是 ．

9．已知二次函数f (x ) =ax 2+bx +c ，满足条件f (2+x ) =f (2-x ) ，其图象的顶点为A ，又图象与x 轴交于点B 、C ，其中B 点的坐标为(-1,0) ，?ABC 的面积S =54，试确定这个二次函数的解析式 ．

10． 已知a 、b 为常数，若f (x ) =x 2+4x +3, f (ax +b ) =x 2+10x +24，则5a -b = 11． 已知函数f (x ) =x 2+2x +1, 若存在实数t ，当x ∈[1, m ]时，f (x +t ) ≤x 恒成立，则实数m 的最

大值为 ．

12．设f (x ) 是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x ) =x 2，若对任意的x ∈[t ，t +2]， 不等式f (x +t ) ≥2f (x ) 恒成立，则实数t 的取值范围是 ．

?x 2 (|x |≥1)

13．设f (x ) =?, g (x ) 是二次函数，若f (g (x )) 的值域是[0，∞+)，则g (x ) 的值

?x (|x |<1) 域是="" ．="">

．函数f (x ) 二、解答题：

2

4

2

22

b

的取值范围a

．

13

15．已知函数f (x )=x 2+2mx +m 2-m -，当x ∈(0,+∞) 时，恒有f (x ) >0，求m 的取值范围．

22

16．设a 为实数，函数f (x ) = x +|x -a |+1，x ∈R ． （1）讨论函数f (x ) 的奇偶性； （2）求函数f (x ) 的最小值．

2

17．已知f (x ) =ax +bx +c (a ≠0) 的图象过点(-1，0) ，是否存在常数a ，b ，c ，使得不等式

2

x +1

对一切实数x 都成立． x ≤f (x ) ≤2

2

18．已知a 是实数，函数f (x ) =2ax 2+2x -3-a ，如果函数y =f (x ) 在区间[-1,1]上有零点，求a 的取值范围．

c 2

, 其中a 为实数． 19．设函数f (x )=2

x +ax +a

(Ⅰ) 若f (x ) 的定义域为R , 求a 的取值范围； (Ⅱ) 当f (x ) 的定义域为R 时，求f (x ) 的单减区间．

20．已知函数f (x ) =x 2+x -1，α, β是方程f (x )=0的两个根(α>β) ，f '(x ) 是f (x ) 的导数；设a 1=1，

a n +1=a n -

f (a n )

（n =1,2,??） f '(a n )

（1）求α, β的值；（2）（理做）证明：对任意的正整数n ，都有a n >α； （3）记b n =ln

a n -β

（n =1,2,??），求数列{b n }的前n 项和S n ． a n -α

1．二次函数答案

一、填空题：

112

1. 在区间[, 2]上，函数f (x ) = x -px +q 与g (x ) = 2x + 2在同一点取得相同的最小值，

2x

1

那么f (x ) 在[ ,2]上的最大值是 4 ．

2

?x +bx +c x ≤0

2. 设函数f (x ) = ?，若f (-4) = f (0)，f (-2)= -2，则关于x 的方程f (x ) =x

?2 x >0

2

的解的个数为 3 .

3. 函数y =x 2+bx +c (x ∈[0,+∞)) 是单调函数的充要条件的是 b ≥0 .

4. 对于二次函数f (x ) =4x 2-2(p -2) x -2p 2-p +1，若在区间[-1,1]内至少存在一个数c 使得

f (c ) >0，则实数p 的取值范围是5. 已知方程x 2+(1+a ) x +1+a +b =0的两根为x 1、x 2，并且0<>

6．若函数f (x ) = x +(a +2)x +3，x ∈[a , b ]的图象关于直线x = 1对称，则b = 6 . 7．若不等式x +2x +a -a -2≥0对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是(-∞, -1] [2,+∞) . 8．已知函数f (x ) =|x -2ax +b | (x ∈R ) ，给出下列命题：①f (x ) 必是偶函数；②当f (0) = f (2) 时，f (x ) 的图象必关于直线x = 1对称；③若a 2-b ≤0，则f (x ) 在区间[a , +∞) 上是增函数；④f (x ) 有最大值|a 2-b|；其中正确命题的序号是 ③ .

2

4

2

22

b

的取值范 a

9. 已知二次函数f (x ) =ax 2+bx +c ，满足条件f (2+x ) =f (2-x ) ，其图象的顶点为A ，又图象与x 轴交于点B 、C ，其中B 点的坐标为(-1,0) ，?ABC 的面积S =54，试确定这个二次函数的解析式

y =2(x -2) 2-18或y =-2(x -2) 2-18.

10. 已知a 、b 为常数，若f (x ) =x 2+4x +3, f (ax +b ) =x 2+10x +24，则5a -b =11. 已知函数f (x ) =x 2+2x +1, 若存在实数t ，当x ∈[1, m ]时，f (x +t ) ≤x 恒成立，则实数m 的最

大值为 4 .

12. 设f (x ) 是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x ) =x 2，若对任意的x ∈[t ，t +2]，不等式

f (x +t ) ≥2f (x ) 恒成立，则实数t

的取值范围是+∞) .

?x 2 (|x |≥1)

13. 设f (x ) =?, g (x ) 是二次函数，若f (g (x )) 的值域是[0，∞+)，则g (x ) 的值域

x (|x |<1)>

是[0,+∞) ；

14.

函数f (x )

二、解答题：

13

15．已知函数f (x ) =x 2+2mx +m 2-m -，当x ∈(0,+∞) 时，恒有f (x ) >0，求m 的取值范围．

22

思路点拨:此题为动轴定区间问题, 需对对称轴进行讨论. 解:f (x ) =(x +m ) 2-m -

123 212

当-m ≤0即m ≥0时, f (0)≥0?m 2-m -当-m >0即m <0时, -m="">

3

>0∴m <-3.>

1233≥0∴m ≥; 22

综上得:m <-3或m>

3. 2

点评:分类讨论要做到不漏掉任何情况, 尤其是端点处的数值不可忽视. 最后结果要取并集. 变式训练:

已知f (x ) =a cos 2x sin x cos x +1(a ∈R ) , 当x ∈[0,] 时, f (x ) 的最小值为-2, 求

π

2

a 的值.

解: f (x ) =a sin(π-2x ) +a +1，π-2x ∈[-5π, π],sin(π-2x ) ∈[-1, 1].

6666262

当a >0时，f (x ) min =-a +当a <0时，f (x="" )="" min="">

a

+1=-2, ∴a =6． 2

a a

++1=-2, ∴a =-3． 22

2

16．设a 为实数，函数f (x ) = x +|x -a |+1，x ∈R ， （1）讨论函数f (x ) 的奇偶性； （2）求函数f (x ) 的最小值．

思路点拨:去绝对值, 将问题转化成研究分段函数的性质. 解:(1)当a =0时, f (x ) =x 2+x +1, 函数f (x ) 为偶函数;

当a ≠0时, f (a ) =a 2+1, f (-a ) =a 2+2a +1, f (x ) ≠f (-a ) ， 此时函数f (x ) 为非奇非偶函数;

123?(x +) +-a (x ≥a )

??x +x -a +1(x ≥a ) ??242

(2)f (x ) =x +x -a +1=?2 =?

13??x -x +a +1(x ≤a ) ?(x -) 2++a (x ≤a ) ?24?

13

当a ≥时, (x 2+x -a +1) min =a 2+1,(x 2-x +a +1) min =+a ,

24

3

此时, f min (x ) =+a ;

4

11

当-

2213

当a ≤-时, f min (x ) =-a .

24

点评:把握每段函数, 同时综观函数整体特点, 是解决本题的关键.

2

17. 已知f (x ) =ax 2+bx +c ，是否存在常数a ，b ，c ，使得不等式(a ≠0) 的图象过点（-1，0）

x 2+1

对一切实数x 都成立. x ≤f (x ) ≤2

思路点拨:本题为不等式恒成立时探寻参数的取值问题. 解:当x =1时，1≤f (x ) ≤1∴f (1)=1, a +b +c =1, 又f (-1) =0?a -b +c =0可得b =a +c =

1

；由f (x ) ≥x 对一切实数X 都成立， 2

?a >0

a >0?1?

??则ax 2+(b -1) x +c ≥0?ax 2-x +c ≥0??1 ?≤02ac ≥??16?

a +c 2111

) =，∴ac =, 此时a =c =. 21616411x 2+1

综上可得, 存在a =c =, b =, 使得不等式x ≤f (x )≤对一切实数X 都成立.

422

于是c >0, 又ac ≤(

11x 2+1

点评: 挖掘不等式x ≤f (x ) ≤中隐含的特殊值, 得到1≤f (x ) ≤1以及≤ac ≤是解题关

16162

键.

ax 2+1

变式训练：设函数f (x ) =是奇函数（a , b , c 都是整数）且f (1)=2, f (2)<>

bx +c

（1）求a , b , c 的值；（2）当x <0, f="" (x="" )="" 的单调性如何？用单调性定义证明你的结论.="" 略解(1)a="b" =1,="" c="0.(2)" 当x=""><0, f="" (x="" )="" 在(-∞,="" -1]上单调递增,="" 在[-1,0)="">

18. 已知a 是实数，函数f (x ) =2ax 2+2x -3-a ，如果函数y =f (x ) 在区间[-1, 1]上有零点，求a

的取值范围.

解析1：函数y =f (x ) 在区间[-1，1]上有零点，即方程f (x ) =2ax 2+2x -3-a =0在[-1，1]上有解. a =0时，不符合题意，所以a ≠0, 方程f (x )=0在[-1，1]上有解<=>f (-1) ?f (1)≤0或

?af (-1) ≥0?af (1)≥0??

或a ≥

5?a 或a ≥1. ??=4+8a (3+a ) ≥0?1≤a ≤

5或a ≤

?

?-1∈[-1.1]??a

所以实数a

的取值范围是a ≤

或a ≥1. 点评：通过数形结合来解决一元二次方程根的分布问题. 解析2：a =0时，不符合题意，所以a ≠0, 又

12x 2-1

∴f (x ) =2ax +2x -3-a =0在[-1，1]上有解，1]上有解?=?(2x -1) a =3-2x 在[-1，

a 3-2x

2

2

2x 2-1

在[-1，1]上有解，问题转化为求函数y =[-1，1]上的值域；设t=3-2x，x ∈[-1，1]，

3-2x 1(t -3) 2-217

则2x =3-t ，t ∈[1,5],y =?=(t +-6) ，

2t 2t

7t 2-7

设g (t ) =t +. g '(t ) =

2，t ∈时，g '(t ) <>

单调递减，t ∈时，g '(t ) >0,

t t

此函数g (t)单调递增，∴y

的取值范围是3,1]，∴f (x ) =2ax 2+2x -3-a =0在[-1，1]上有解

1

∈3,1]?a ≥

1或a ≤a

12x 2-12x 2-1

点评: 将原题中的方程化成=的形式, 问题转化为求函数y =[-1，1]上的

a 3-2x 3-2x

值域的问题, 是解析2的思路走向.

变式训练:设全集为R ，集合A ={y |y =sin(2x -),

ππ

≤x ≤，集合B ={a ∈R |关于x 的方程

642

π

x 2+ax +1=0的根一个在（0，1）上，另一个在（1，2）上}. 求(

解：由

R

A ) ∩(

R

B ) ．

5π1π

, ∴≤sin(2x -) ≤1，

42236626

11

即 A ={y |≤y ≤1}, ∴ R A ={y |y <或y>1}．

22

π

≤x ≤

π

得

π

≤2x ≤π,

π

≤2x -

π

≤

又关于x 的方程 x +ax +1=0的根一个在（0，1）上，另一个在（1，2）上， 设函数f (x ) =x 2+ax +1，则满足

2

?f (0)>0,

?2+a <>

，∴f (1)<0,>

5+2a >02?f (2)>0, ?

?

∴ ∴(

R

B ={a |a ≤-

R

R

A ) ∩(

15

B ) ={x |-2≤x <或x>1或x ≤-．

22

5

或a ≥-2} 2

c 2

, 其中a 为实数. 19. 设函数f (x )=2

x +ax +a

(Ⅰ) 若f (x ) 的定义域为R , 求a 的取值范围； (Ⅱ) 当f (x ) 的定义域为R 时，求f (x ) 的单减区间.

解：（1）由题意知，x +ax +a ≠0恒成立，∴?<>

2

x (x +a -2) e x （2）f '(x ) =2，令f '(x ) ≤0得x (x +a -2) ≤0；由f '(x ) =0得x =0或 2

(x +ax +a )

x =2-a 又 0

当a =2时，f '(x ) ≥0；当2

2-a ) ； 即当0

变式训练：已知函数f (x ) =() x , x ∈[-1,1]，函数g (x ) =f 2(x ) -2af (x ) +3的最小值为h (a ) . （Ⅰ）求h (a ) ；（Ⅱ）是否存在实数m ，n 同时满足下列条件：①m >n >3；②当h (a ) 的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]？ 若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由． 解：（Ⅰ）∵x ∈[-1,1],∴() x ∈[,3].

设t =() , t ∈[, 3]，则φ(t ) =t -2at +3=(t -a ) +3-a 当a <>

1

3

1313

13

x

13

222

11282a 时，y min =h (a ) =φ() =-； 3393

1

≤a ≤3时，y min =h (a ) =φ(a ) =3-a 2； 3

当a >3时，y min =h (a ) =φ(3) =12-6a .

?282a ?9-3??

∴h (a ) =?3-a 2

?

?12-6a ??

1(a <>

31

(≤a ≤3) 3

(a >3)

（Ⅱ）∵m >n >3， ∴h (a ) =12-6a 在(3,+∞) 上是减函数. ∵h (a ) 的定义域为[n ，m ]；值域为[n 2，m 2]，

2

??12-6m =n , ∴? 可得6(m -n ) =(m -n )(m +n ), 2

12-6n =m . ??

∵m >n >3， ∴m +n =6，但这与“m >n >3”矛盾. ∴满足题意的m ，n 不存在．

20. 已知函数f (x ) =x 2+x -1，α, β是方程f (x ) =0的两个根(α>β) ，f '(x ) 是f (x)的导数；设a 1=1，

a n +1=a n -

f (a n )

（n =1,2,??） f '(a n )

（1）求α, β的值；（2）（理做）证明：对任意的正整数n ，都有a n >α； （3）记b n =ln

a n -β

（n=1,2,??），求数列{b n }的前n 项和S n .

a n -α

β=2

思路点拨:本题考察数列的综合知识, 将递推数列与函数、导数有机地结合，加大了题目的综合力度. 解：（1）由求根公式，及α>

β得方程两根为α=

(2)要证a n >α, 需证a n -α>0. f '(x ) =2x +1

2a n +1

下面用数学归纳法证明:

f (a n ) a +a n -1a n +1

∴a n +1=a n -=a n -n =.

f '(a n ) 2a n +12a n +1

a n 2-2a n α+1-αa n 2-2a n α+α2-(α2+α-1) (a n -α) 2

a n +1-α===.

2a n +1

2a n +1

>0, 命题成立； 2

①当n =1时

, a n -α=1-α=

②假设n =k (k ≥1) 时命题成立, 即a k -α>0, a k >α>0．

(a k -α) 2

>0, 命题成立. 则当n =k +1时, a k +1-α=

2a k +1

根据数学归纳法可知, 对任意的正整数都有a n >α成立.

a n +1-β(a n -β) 21-β==ln =2b n

(3)由已知和

(2),b 1=ln , b n +1=ln 1-αa n +1-α(a n -α) 2

所以S n =(2n +2-. 点评:本题考察了求根公式及数学归纳法等数学方法的同时，也考察了转化与化归的数学思想, 即

将已知数列转化成等比数列，本题对变形和运算要求较高.

补充:函数y =x +

a

(a 是常数, 且a >0) 有如下性质：①函数是奇函数；②函数在(0, a ]上 x

是减函数，在[a , +∞) 上是增函数.

2b

（1）如果函数y =x +（x >0）的值域是[6, +∞) ，求b 的值；

x

（2）判断函数y =x 2+ （3）对函数y =x +

c

（常数c >0）在定义域内的奇偶性和单调性，并加以证明； 2x

a c

和y =x 2+2（常数c >0）分别作出推广，使它们是你推广的函数的特x x

例. 判断推广后的函数的单调性（只需写出结论，不要证明）.

2b 解:（1

）因为x >0, 所以y =x +≥6, 即b =log 29

x 2

（2）设f (x ) =x +

c

, 因为x ∈(-∞, 0) ?(0, +∞) 2x

f (-x ) =(-x ) 2+

c c 2

=x +=f (x ), (-x ) 2x 2

2

故函数f (x ) =x +

c

为偶函数. 2x

c c c 222

-x -=(x -x )(1-). 12122x 2x 12x 12x 2

2

设0

c ≤x 1f (x 1),

c 2

函数f (x ) =x +2在[-c , +∞) 上是增函数；

x

当0

f (x ) 则为减函数，设x 1

c 2

则-x 1>-x 2≥c , 因f (x ) =x +2是偶函数，

x

所以f (x 1) -f (x 2) =f (-x 1) -f (-x 2) >0,

c

在(-∞, -c ]上是减函数， 2x

c 2

同理可证，函数f (x ) =x +2在[-c , 0) 上是增函数.

x

a n

（3）可以推广为研究函数y =x +n (常数a >0, n 是正整数) 的单调性.

x a n

当n 是奇数时，函数y =x +n 在[2a , +∞) 和(-∞, -2n a ]上是增函数，

x

2

所以函数f (x ) =x +

在(0, 2a ]和[-2a , 0) 上是减函数； 当n 是偶数时，函数y =x +

n

a

在[2a , +∞) 和[-2a , 0) 上是增函数， n x

在(0, 2n a ]和[-∞, -2a ) 上是减函数．

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