行走在冷夜中
范文一：中考数学压轴题及答案
中考数学压轴题及答案
1. 如图：抛物线经过A （-3，0）、B （0，4）、C （4，0）三点.
（1） 求抛物线的解析式.
（2）已知AD = AB（D 在线段AC 上），有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值；
（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ+MC的值最小？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。
（注：抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴为x =-b ） 2a
解：设抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c (a ≠0) ，
1?a =-??9a -3b +4=0?3依题意得：c=4且? 解得? 116a +4b +4=0??b =?3?
11 所以 所求的抛物线的解析式为y =-x 2+x +4 33
（2）连接DQ ，在Rt △AOB
中，AB ===5
所以AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD = 7 – 5 = 2
因为BD 垂直平分PQ ，所以PD=QD，PQ ⊥BD ，所以∠PDB=∠QDB
因为AD=AB，所以∠ABD=∠ADB ，∠ABD=∠QDB ，所以DQ ∥AB
所以∠CQD=∠CBA 。∠CDQ=∠CAB ，所以△CDQ ∽ △CAB
DQ CD DQ 210==, DQ = 即AB CA 577
所以AP=AD – DP = AD – DQ=5 –
所以t 的值是25 710252525÷1== ，t = 7777
（3）答对称轴上存在一点M ，使MQ+MC的值最小 理由：因为抛物线的对称轴为x =-
连接AQ 交直线x =1b 1=所以A （- 3，0），C （4，0）两点关于直线x =对称22a 21于点M ，则MQ+MC的值最小过点Q 作QE ⊥x 轴，于E ，所以∠QED=∠BOA=90 2
10
QE DQ DE QE DE ==DQ ∥AB ，∠ BAO=∠QDE ， △DQE ∽△ABO 即 所以==BO AB AO 453
86620208QE=，DE=，所以OE = OD + DE=2+=，所以Q （，） 777777
8?20?k +m =设直线AQ 的解析式为y =kx +m (k ≠0) 则?77 由此得
??-3k +m =0
1?x =?824?2所以直线AQ 的解析式为y =x + 联立? 4141?y =8x +24
??4141
1?x =由此得? ?2??y =8x +24
??41418?k =??41 ?24?m =??41 所以M (128128, ) 则：在对称轴上存在点M (, ) ，使MQ+MC的值最小。 241241
2. 如图9，在平面直角坐标系中，二次函数y =ax 2+bx +c (a >0) 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），
1OB ＝OC ，tan∠ACO＝． 3
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ，使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图10，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和△APG 的最大面积.
（1）由已知得：C （0，－3），A （－1，0） …1分
?a -b +c =0?将A 、B 、C 三点的坐标代入得?9a +3b +c =0 ……………………2分
?c =-3?
?a =1?解得：?b =-2 ……………………3分
?c =-3?
所以这个二次函数的表达式为：y =x 2-2x -3 ……………………3分
（2）存在，F 点的坐标为（2，－3） ……………………4分
理由：易得D （1，－4），所以直线CD 的解析式为：y =-x -3
∴E 点的坐标为（－3，0） ……………………4分
由A 、C 、E 、F 四点的坐标得：AE ＝CF ＝2，AE ∥CF
∴以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形
∴存在点F ，坐标为（2，－3） ……………………5分
（3）过点P 作y 轴的平行线与AG 交于点Q ，
易得G （2，－3），直线AG 为y =-x -1．……………8分
设P （x ，x 2-2x -3），则Q （x ，－x －1），PQ =-x 2+x +2．
S ?APG =S ?APQ +S ?GPQ =1(-x 2+x +2) ?3 ……………………9分 2
当x =1时，△APG 的面积最大 2
27?115?此时P 点的坐标为 , -?，S ?APG 的最大值为． ……………………10分 8?24?
3. 如图，已知抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）。 ⑴求抛物线的解析式；
⑵设抛物线的顶点为D ，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标; 若不存在，请说明理由;
⑶若点M 是抛物线上一点，以B 、C 、D 、M 为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M 的坐标。
⑴∵抛物线与y 轴交于点C （0，3），
∴设抛物线解析式为y =ax 2+bx +3(a ≠0) ………1分
?a -b +3=0, ?a =-1, 根据题意，得?，解得? ?9a +3b +3=0, ?b =2.
∴抛物线的解析式为y =-x 2+2x +3………………………………………2分
⑵存在。…………………………………………………………………………3分
由y =-x 2+2x +3得，D 点坐标为（1，4），对称轴为x ＝1。…………4分
①若以CD 为底边，则PD ＝PC ，设P 点坐标为(x,y)，根据勾股定理，
得x 2+(3-y ) 2=(x -1) 2+(4-y ) 2，即y ＝4－x 。…………………………5分
又P 点(x,y)在抛物线上，∴4-x =-x 2+2x +3，即x 2-3x +1=0…………6分 解得x =3±53-53+<1，应舍去。∴x =，。……………………7分="">
∴y =4-x =?3+5-5?5-5?。……………………8分 , ，即点P 坐标为 2?2?2?
②若以CD 为一腰，因为点P 在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P 与点C 关于直线x ＝1对称，此时点P 坐标为（2，3）。
?3+55-??∴符合条件的点P 坐标为 2, 2?或（2，3）。……………………9分
??
⑶由B （3，0），C （0，3），D （1，4），根据勾股定理,
得CB ＝32,CD ＝2,BD ＝25, ………………………………………………10分
∴CB 2+CD 2=BD 2=20,
∴∠BCD ＝90°, ………………………………………………………………………11分
设对称轴交x 轴于点E ，过C 作CM ⊥DE ，交抛物线于点M ，垂足为F ，在Rt △DCF 中，
∵CF ＝DF ＝1,
∴∠CDF ＝45°,
由抛物线对称性可知，∠CDM ＝2×45°＝90°, 点坐标M 为（2，3），
∴DM ∥BC,
∴四边形BCDM 为直角梯形, ………………12分
由∠BCD ＝90°及题意可知，
以BC 为一底时，顶点M 在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;
以CD 为一底或以BD 为一底，且顶点M 在抛物线上的直角梯形均不存在。
综上所述，符合条件的点M 的坐标为（2，3）。……………13分
4. 已知：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB
（1）求A 、B 、C 三点的坐标；
（2）求此抛物线的表达式；
（3）求△ABC 的面积；
（4）若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；
（5）在（4）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．
解：（1）解方程x 2－10x ＋16＝0得x 1＝2，x 2＝8
∵点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，且OB 0) 的图象经过点B 、D ，求k 的值。
（2）解题后，你发现以上两小题有什么共同点？请简单写出。 解：（1）① ∵在△ADE 中，∠EDM=∠A+∠AED
∴∠AED=∠EDM-∠A ∵CD=DE ∴∠AED=∠DCE ∴∠DCE=∠EDM-∠A
∵在△ACD 中，∠DCE=∠A+∠ADC ∴∠ADC=∠DCE-∠A
=∠EDM-2∠A
∵BC=CD ∴∠ADC=∠DBC ∴∠DBC=∠EDM-2∠A
∵在△ABC 中，∠DBC=∠A+∠ACB ∴∠ACB=∠DBC-∠A
=∠EDM-3∠A
∵AB=BC ∴∠A=∠ACB
k
x
∴∠A=∠EDM-3∠A ∴∠A=1
4
∠EDM ∵∠EDM=84° ∴∠A=21°
② ∵点B 在反比例函数图象上，且横坐标为3 ∴可设点B 的坐标为（3，k 3
） ∵C 的横坐标是3，且BC=2 ∴点C 的坐标为（3，k 3
+2） ∵D 的横坐标为1，且AC ∥x 轴 ∴点D 的坐标为（1，k 3
+2） ∵点D 在反比例函数图象上 ∴1·（k 3
+2）=k ∴k
=3
（2）两小题的共同点是：用已知的量通过一定的等量关系去表示未知的量，建立方程解答问题
【2013·杭州·23题】如图，已知正方形ABCD 的边长为4，对称中心为点P ，点F 为BC 边上一个动点，点E 在AB 边上，且满足条件∠EPF=45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC 成轴对称，设它们的面积为S 1. （1）求证：∠APE=∠CFP ；
（2）设四边形CMPF 的面积为S 2，CF=x ，y =S 1。
S 2
① 求y 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围，并求出y 的最大值； ② 当图中两块阴影部分图形关于点P 成中心对称时，求y 的值。 解：（1）过点P 作PG ⊥AB 于G ，PH ⊥BC 于H 。
∵AC 是正方形ABCD 的对角线 ∴∠HPC=∠HCP=45° ∵∠EPF=45°
∴∠APE+∠HPF=180°-∠EPF-∠HPC=90° ∵∠PHF=90° ∴∠CFP+∠HPF=90° ∴∠APE=∠CFP
（2）①∵P 是正方形ABCD 的对称中心，边长为4
∴PH=GP=2，
∵CF=x ∴S △PFC =CF·PH=x ∴S 2=2S△PFC =2x
∵∠APE=∠CFP ，∠PAE=∠PCF=45° ∴△APE ∽△CFP AE AP
= CP CF
12
∴AE=
AP CP 8
CF
x 182x 1
∵S △ABC =AB·BC=8
2
∴S △APE =AE·GP=
∴S 四边形BFPE =S△ABC -S △APE -S △PFC =8--x ∴S 1=2S四边形BFPE =16-∴y =S 1=
S 2
8
x
16
-2x x
16-
16-2x
88=-2+-1
2x x x
∵点F 在BC 边上，点E 在AB 边上，且∠EPF=45° ∴2≤x ≤4
11x 211∴当=，即x =2时，y 有最大值，最大值为1
x 2
∵y =-8(-) 2+1
② 因为两块阴影部分图形关于直线AC 成轴对称，要使其关于点P 成中心对称，则两块阴影部分图形还要关于直线BD 成轴对称，此时BE=BF
∴AE=CF
则=x ，得x
舍去) ∴x
8x
∴y
==-
888+-1=-+-
1
x 2x 8
【2013·南京·26题】已知二次函数y =a (x -m) 2-a (x -m) （a 、m 为常数，且a ≠0）。 （1）求证：不论a 与m 为何值，该函数与x 轴总有两个公共点；
（2）设该函数的图象的顶点为C ，与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点D 。 ① 当△ABC 的面积等于1时，求a 的值；
② 当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，求m 的值。 解：（1）当y =0时，a (x -m) 2-a (x -m)=0
∵a ≠0
∴x 2-(2m+1)x +m2+m=0 ∵Δ=(2m+1)2-4(m2+m)
=4m2+4m+1-4m2-4m =1＞0
∴方程a (x -m) 2-a (x -m)=0恒有两个不相等的实数根 故，不论a 与m 为何值，该函数与x 轴总有两个公共点 （2）由y =a (x -m) 2-a (x -m)=a (x -m)(x -m-1)=0
解得：x =m或m+1 ∴点A 的坐标为（m ，0） 点B 的坐标为（m+1，0） ∴AB=m+1-m=1
① 由y =a (x -m) 2-a (x -m)=a (x -m-) 2 -a 得
11
2411
顶点C 的坐标为（m+，-a ）
24
∵△ABC 的面积等于1 ·1·|-a |=1 ∴a =±8
1
214
② ∵当x =0时，y =a m 2+a m
∴点D 的坐标为（0，a m 2+a m ）
1
21
=|a m 2+a m| 21
=|a |·|m2+m| 2
111
由①可得S △ABC =·1·|-a |=|a |
248
∴S △ABD =·1·|a m 2+a m|
∵S △ABC =S△ABD |a |·|m2+m|=|a | ∵a ≠0
1
411
当m 2+m=时，m 2+m-=0
441
2
18
∴|m2+m|=
解得
m=
1
4
141
解得m=-
2
当m 2+m=-时，m 2+m+=0
∴m=-
或
1
2-1
-1或 22
【2013·合肥·22题】某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营，了解到了一种成本20元/件的新型商品在第x 天销售的相关信息如下表示。
（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？
（2）求该网店第x 天获得的利润y 关于x 的函数关系式； （3）在40天中该网店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？
解：（1）当1≤x ≤20时，q =30+12
x =35
解得x =10
当21≤x ≤40时，q =20+
525
x
=35 解得x =35
故，第10天或第35天该商品的销
售单价为35元/件。
（2）由题意得，y =p (q -20) ，则
当1≤x ≤20时
y =(30+12
x -20)(50-x )
=-1
2
x 2+15x +500 当21≤x ≤40时
y =(20525
+
x -20)(50-x ) =
26250
x
-525 ∴利润y 关于x 的函数关系式为：
?-1x 2
+15x +500(1≤x ≤y =???220)
?26250??x
-525(21≤x ≤40) （3）
当
1≤x ≤20
时，
y =-12
(x -
12+5
)
6
1
2
. 5
∴当x =15时，y 有最大值为612.5
当21≤x ≤40时，由y =26250
x
-525知，y 随x 的增大而减小
∴当x =21时，y 有最大值，此时最大值为
26250
21
-525=725 ∵612.50
∴对于任意的n ，关于a 的方程总有两个不相等的实数根，即对于直线l 上任意给定的一点P ，在抛物线上都能找到两个满足条件的点A 。
（3）∵△AOB 的外心在边AB 上 ∴∠AOB=90°
过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足为E 、F 。
易证得△AEO ∽△OFB ，则
OE AE
BF =OF
设A （r ，r 2
），B （t ，t 2
），其中r 0，则OE=-r ，AF=r 2，OF=t ，BF=t 2 ∴-rt =r 2t 2，得rt =-1
设直线m 的解析式为y =kx +b ，，联立抛物线解析式可得x 2-kx -b =0，由韦达定理得，rt =-b
∴b =1，则点D 坐标为（0，1） 由直线l ：y =-2x -2得，点C 坐标为（0，-2） ∴DC=3
∵∠BPC=∠OCP ∴DP=DC=3 设点P 坐标为（n ，-2n-2），过点P 作PK ⊥y 轴于K ，则PK=|n|，DK=|-2n-3|
∵PK 2+DK2=DP2=9
∴n 2+(-2n-3)2=9，即5n 2+12n=0
∴n=0(舍去) 或-
12
5 则-2n-2=-2×(-1214
5)-2=5
∴点P 坐标为（-1214
5，5
）
【2013·长沙·25题】设a 、b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a ，b ]。对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m ≤x ≤n 时，有m ≤y ≤n ，我们就称此函数是闭区间[m ，n ]上的“闭函数”。
（1）反比例函数y =
2013
是闭区间[1，2013]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由； x
（2）若一次函数y =kx +b (k ≠0)是闭区间[m ，n ]上的“闭函数”，求此函数的解析式； （3）若二次函数y =x 2-x -是闭区间[a ，b ]上的“闭函数”，求实数a 、b 的值。
解：（1）反比例函数y =
2013
是闭区间[1，x
154575
由题意知，当x =m 时，y =km +b =n
当x =n 时，y =kn +b =m
解此方程组得：k =-1，b =m +n ∴函数解析式为y=-x +m +n
2013]上“闭函数”，理由如下：
∵当x =1时，y =2013；当x =2013时，y =1
且函数y =
2013
在闭区间[1，2013]x
（3）由y =x 2-x -=(x -2) 2-
1545751511
知，5
上，y 随x 的增大而减小
∴当1≤x ≤2013时，有1≤y ≤2013，符合“闭函数”定义，故是闭函数。 （2）分如下两种情况：
① 当k ＞0时，y 随x 的增大而增大 由题意知，当x =m 时，y =km +b =m
当x =n 时，y =kn +b =n
解此方程组得：k =1，b =0 ∴函数解析式为y=x
② 当k 2时，y 随x 的增大而增大。
① 当b ≤2时，y 随x 的增大而减小，则
当
15
45
75
x =a 时，
y =a 2-a -=b ……(i)
当
15
45
75
x =b 时，
y =b 2-b -=a ……(ii)
(i)-(ii)并整理得：(a -b )(a +b +1)=0
∵a ≠b
∴a +b +1=0 ……(iii)
解(i)(iii)方程组的得?
?a =-2
?b =-1
或
??a =1?
b =-2 ∵a -1
π
时，S 1+S2随m 的增大而
增大
∴当m 最小时，S 1+S2就最小 ∵m=a +b -2=a +2a
-2=() 2
+2-2
∴
=
，即a =b
m 最小，最小值为
∴S 1+S2的最小值=π
2
(2-2) 2
+
=
【2013·南昌·25题】已知抛物线y n =-(x -a n ) 2+a n (n为正整数，且00 ∴a 1=1
则抛物线y 1的对称轴为x =1 由抛物线的对称性得，A 1 (2，0) ∴b 1=2
由题意知，抛物线y 2=-(x -a 2) 2+a 2过点A 1 (2，0)
∴-(2-a 2) 2+a 2=0，解得a 2=1或4 ∵a 2＞a 1=1 ∴a 2=4
∴抛物线y 2的解析式为y 2=-(x -4) 2+4 （2）与(1)同理可得：
抛物线y 3的解析式为y 2=-(x -9) 2+9 ∴抛物线y 3的顶点坐标为（9，9） 由抛物线y 1的顶点坐标为（1，1） 抛物线y 2的顶点坐标为（4，4） 抛物线y 3的顶点坐标为（9，9）
…… 依此类推可得
抛物线y n 的顶点坐标为（n 2，n 2） ∴所有的顶点坐标满足的函数关系式是：y =x (其中x 为正整数) （3）① 由(1)可得，A 0 A1=2
由y n =-(x -n 2) 2+n2得， ∵当y n =0时，-(x -n 2) 2+n2=0 解得x =n2+n或n 2-n ∴A n-1 (n2-n ，0) ，A n (n2+n，0) ∴A n-1 An = n2+n-(n2-n)=2n
② 假设存在满足题述条件的直线，因为直线过点A （2，0），则可设其表达式为y =kx -2k
由-(x -n 2) 2+n2=kx -2k 得
x 2+(k -2n 2) x +n4-n 2-2k =0 ∵Δ=(k -2n 2) 2-4(n4-n 2-2k )
=(4k -4)n 2+k 2+8k
∴当k =1时，对于任意的n ，都有Δ=9＞0，即该直线和所有抛物线都相交。
设直线与抛物线y n 的交点横坐标为x 1n ，x 2n ，截得的线段为M n N n 。
当k =1时，有x 2+(1-2n2) x +n4-n 2-2=0 由韦达定理得，x 1n +x 2n =2n2-1，x 1n x 2n =n4-n 2-2
则M n N n 2=(x 1n -x 2n ) 2
=(x 1n +x 2n ) 2-4x 1n x 2n =(2n2-1) 2-4(n4-n 2-2) =9
∴M n N n =3为定值，与n 无关，即该直线被每一条抛物线截得的线段的长度都相等。
故，存在满足题述条件的直线，该直线的表达式为y =x -2
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