工程力学第四章_范文大全网

范文一：工程力学第四章

第四章空间力系和重心

教学要求

空间力系是力系中最复杂最一般的情况，前面所讲的各种力系都是它的特殊情况，学习时主要掌握对空间力系的简化和平衡条件，并能应用平衡方程解决问题。对于重心，根据合力矩定理导出了确定物体重心的普遍公式，重点掌握重心位置的确定几种常用方法——积分法、组合法和实验法。

教学重点

力在空间直角坐标轴上的投影；

力对轴的矩；

空间力系的平衡方程和应用；

重心位置的确定方法。

教学难点

力对轴的矩；

空间力系平衡方程的应用；

重心位置确定的一般计算公式和积分计算。

课时安排

本章安排4课时。

教学大纲

1. 力在空间直角坐标轴上的投影

1）直接投影法

2）间接投影法

2. 空间力偶理论

1）力对轴的矩

2）合力矩定理

3. 空间力系的平衡问题

4. 物体的重心

1）重心的概念

2）用一般计算公式确定重心位置

3）均质物体的重心坐标积分计算公式

4）用对称性法计算均质组合形状物体的重心

5）用组合法计算均质组合形状物体的重心

6）用积分法计算均质组合形状物体的重心

7）用悬挂法确定非均质物体的重心

8）用称重法确定非均质物体的重心

主要概念

1. 空间力系

2. 直接投影法

3. 间接投影法

4. 力对轴的矩

5. 重心

范文二：工程力学第四章例题讲解

第四章例题讲解

1．请判断下列说法是否正确，并扼要说明理由：

（1）温度界限相同的一切可逆热机的ηt 都相等；（2）一切不可逆热机的ηt 总比可逆热机的小；（3）ηt =

q 1?q 2T ?T

与ηt =12完全相同。q 1T 1

2．（1）一可逆热机在热源T 1和环境（温度T 0）之间工作，从热源T 1传给热机的热量为Q 1，热机作出的功W 为多少？

（2）根据卡诺定理，降低T 2会使热机效率增高，有人设想将T 2降至T 2′，使

T 2′

解：（1）由卡诺定理，相同恒温热源间工作的可逆热机效率相同

∴热机效率

ηt =

W T

=1?0Q T 1

T 0

T 1

作出的功

W =Q (1?

（2）设定如下图所示工作方案：

A 为在T 1和T 2′热源间工作的可逆热机；C 为在T 0与T 2′间工作的可逆制冷机。

为了维持低温热源温度T 2′不变，制冷机C 从T 2′带走的热量Q 2c 应满足

Q 2c =Q 2

对制冷机

ε=

Q 2c T 2′

W c T 0?T 2′

∴W c =

Q 2c T ?T ′T

=Q 2c 02=Q 2c (0?1) εT 2′T 2′

T 2′

W A =Q 1(1?)

T 1

可逆热机A 在循环中作出的功

因此，热机－制冷机联合工作的结果，输出功

W ′=W A ?W C =Q 1(1?T 2′T 1

T 2′T ?Q 2c (0?1) T 1T 2′

∵Q 2c =Q 2=Q 1

∴W ′=Q 1(1? =Q 1[(1?

T 2′T ′T

) ?Q 12(0?1) T 1T 1T 2′

T 2′T 2′T 0

?(?1)]T 1T 1T 2′T

=Q 1(1?0T 1

可见，这时的W ′与（1）中的作功W 相同，此方案并无效果。

实际循环中W A 将比可逆时更小，而W c 要比可逆时更大些，因而联合循环输出的净功W ′还将更小。

由此可得出如下结论：企图利用耗功制冷的办法降低低温热源温度来提高热机的效率，是行不通的。除非利用余热的吸收式制冷方案，另当别论。

3．某循环在700K 的热源及400K 的冷源之间工作，其中Q 2=4000 kJ ，Q 1未知，而=10000 kJ 。试判断是热机循环？还是制冷循环？是可逆循环？还是不可逆循环？

解法一：用克劳修斯积分判断

如为热机循环，工质吸热14000kJ ，做功10000kJ ，放热4000kJ δQ Q 1Q 2140004000

T r =T 1+T 2=700?400=10 kJ/K>0

所以，热机循环不可能。

如为制冷循环，工质放热14000kJ ，耗功10000kJ ，吸热4000kJ δQ Q 1Q 2140004000

=+=?+=?10 kJ/K<0t r="" t="" 1t="">

700400

循环可能，且据克劳修斯积分不等式可判断是不可逆制冷循环。解法二：用孤立系熵增原理

取高低温热源和循环工质为孤立系如为热机循环高温热源熵变

?S H =

Q 114000

=?=?20 kJ/KT 1700Q 24000==10 kJ/KT 1400

低温热源熵变

?S L =

热机工质熵变?S E =0

则孤立系熵变?S iso =?S H +?S L +?S E =?20+10+0=?10 kJ/K<>

?S H =

Q 114000==20 kJ/KT 1700Q 24000=?=?10 kJ/KT 1400

低温热源熵变

?S L =

热机工质熵变?S E =0

则孤立系熵变?S iso =?S H +?S L +?S E =20?10+0=10 kJ/K>0据孤立系熵增原理，此循环可能，且应为不可逆制冷循环。

说明：

①克劳修斯积分不等式中系统取为系统工质，工质得到热量为正，放出热量为负，积分中的

δQ

在不可逆过程中不是工质熵的变化。T r

②用孤立系熵增原理分析，对象为孤立系统，由其组成部分分别求各自熵变，基于熵是广延量具可加性特点得到孤立系熵变。

③两种方法中都有不同所致其符号差异。

④判断还可以使用卡诺定理。如为热机循环，可逆循环热效率ηt.c =

Q 1Q 2

和，数值相同，但需注意由于对象不同，传热方向T 1T 2

W T 400

=1?2=1?=0. 4286Q 1T 1700

违背卡诺定理，不可能

实际热效率ηt =

W 10000

==0. 7143>ηt.c Q 114000

如为制冷循环，可逆制冷系数εc =实际制冷系数ε=

Q 2T 2400===1. 333W T 1?T 2700?400

为不可逆制冷循环

Q 24000==0. 4<εc w="">

4．空气在透平中由初态不可逆绝热膨胀到150℃，求熵的变化。已知，由同一初态可逆绝热膨胀到同一背压时，终态的温度为130℃。（设空气

c p =1. 005 kJ/(kg?K) ）

解法一：空气从状态1不可逆绝热膨胀到状态2' ，可逆绝热膨胀到同一背压时到达状态2。

由可逆绝热过程，空气视为理想气体

T 2p 2k k

=() T 1p 1

p 2′p 2T 2k k

==() ?1p 1p 1T 1

由理想气体熵变计算式

T 2′p 2′T 2′T 2k k ?1

?s =c p ln ?R ln =c p ln ?R ln(T 1p 1T 1T 1T k T T T

=c p ln 2′?R ln 2=c p ln 2′?c p ln 2

T 1k ?1T 1T 1T 1T 150+273

=c p ln 2′=1. 005ln =0. 0486 kJ/(kg?K)

T 2130+273

解法二：利用熵是状态参数的性质

?s 1?2′=s 2′?s 1=?s 1?2+?s 2?2′=(s 2?s 1) +(s 2′?s 2) 1-2过程为可逆绝热过程，s 1=s 2，所以?s 1?2′=s 2′?s 2

状态2和2' 压力相同，故

s 2′?s 2=c p ln

T 2′

=0. 0486 kJ/(kg?K) T 2

5．一个动力公司想用来自温泉的地下热水给热机提供动力。如果地下水为95℃，质量流量能达到0.5kg/s，请估算最大的输出功率。大气温度为20℃。

解：可逆热机效率最高

∴最大可能的效率为ηt.c =1?

T 220+273

=1?=0. 2038T 195+273

假定水排出时温度为大气温度，从高温热源的吸热速率为

?=m ?c p ?T =0. 2×4. 18×(95?20) =62. 7 kW Q 1

于是最大输出功率为

??=ηQ W t.c 1=0. 2038×62. 7=12. 8 kW

范文三：工程力学第四章练习题

一、判断题

1、物体系平衡，则组成该系统的所有物体均处于平衡状态。

2、列力矩方程时，矩心一般选择已知力作用线交点。

3、各力作用线互相平行的力系，都是平面平行力系。

4、平面任意力系平衡方程可用于求解各种平面力系的平衡问题。

5、坐标轴的取向不影响最终计算结果，故列平衡方程时选择坐标系指向无实际意义。

6、平面任意力系中各力作用线必须在同一平面内任意分布。

7、平面任意力系平衡时，力系中各力对力系所在平面内各点力矩的代数和为零。

二、选择题

4、力矩平衡方程中的每一单项必须是（）。

A 、力 B 、力矩 C 、力偶 D 、力的投影

5、若某刚体在平面任意力系作用下平衡，则此力系各分力对刚体（）之矩的代数和必为零。

A 、特定点 B 、重心 C 、任意点 D 、坐标原点

6、平面任意力系平衡条件是（）。

A 、合力为零 B 、合力矩为零

C 、各力对任意坐标轴投影代数和为零 D 、合力和合力矩都为零

7、为便于解题，力矩平衡方程的矩心应选取（）。

A 、坐标原点 B 、任意点

C 、未知力作用点 D 、未知力作用线交点

8、平面任意力系平衡方程组共有（）种形式。

A 、1 B 、2 C 、3 D 、4

9、平面任意力系平衡方程组可以求解（）个未知量。

A 、1 B 、2 C 、3 D 、4

10、平面平行力系平衡方程组可以求解（）个未知量。

A 、1 B 、2 C 、3 D 、4

11、若平面任意力系对力系所在平面任一点例句代数和为零，则其合力为（）。

A 、一定为零 B 、不一定为零 C 、一定不为零

范文四：工程力学课后习题答案第四章平面任意力系

第四章平面任意力系

习题

4.1

解：软绳AB的延长线必过球的中心，力FN在两个圆球圆心线连线上FN和FT的关系如图所示：AB于y轴夹角为? 对小球的球心O进行受力分析：

?0,FTsi?n?FN

R?rR?d

c?o s

L?rR?d

???Y?0,FTcos??FNsin??W sinFT?

?? cos

?R?d??L?r?

W22

?R?r???L?r?

FN?

?R?d??R?r?

W22

?R?r???L?r?

4.2。

解：对AB杆件进行受力分析：

?0,W1

sin??W2Lcos

解得： ??2arcs

对整体进行?

受力分析，由:

X?0FA,x?W2

?c os0

?0,FAy?W2sin?W1?0 FAy?

W1?W2

4.3 解：

FAx

FAy

（a）受力如图所示

?X?0,F?Y?0,F

?0.8cos30?0

?0,0.1?1?0.8?0.15?0.2FBy?

?FBy?1?0.8sin30?0 FAx?,FBy?1.1KN,FAy?0.3KN

（b）受力如图所示

?X?0,F?Y?0,F?X?0,F?Y?0,F

q?x??

?0.4?0

?0,0.8?2?0.5?1.6?0.4?0.7?2FBy?0

?FBy?2?0.5?0 FAx??0.4KN,FBy?0.26KN,FAy?0.24KN

（c）受力如图所示

?FBsin30?0

?0,3?8?3FBcos30?0

?FBcos30?4?0 FAx?2.12KN,FBy?4.23KN,FAy?0.3KN

（d）受力如图所示

?3?x? ?X?0,FAx?0

?0,FAy??

?q?x?dx??

330

?3?x?dx?1.5KN?MA

?0,MA?

xq?x?dx?0

x?3?x?dx??1.5KN?m

4.4

解：立柱底部A处的受力如图所示，取截面A以上的立柱为研究对象

?X?0,F?Y?0,F?

4.5

?qh?0 FAx??qh??20KN

?G?F?0 FAy?G?F?100KN

MA?0,MA??qxdx?Fa?0 M

qh?Fa?130KN?m

解：设A，B处的受力如图所示，整体分析，由：

?0,2aFBy?

qa?Wa?W?2a?e??0FBy?415KN

?Y?M?X

?0,FAy?FBy?2W?qa?0 FAy?1785KN

?0,aFBy?FBxa?W?a?e??0 FBx??191KN

取BC部分为研究对象

再以整体为研究对象

?0,FAx?191KN

4.7。解: （1）取系统整体为研究对象，画出受力如图所示。

显然，F?W，列平衡方程：

?M(F

)?0, 4 m?F?F?

?Fx?0, F?F?0，F

(1.5 ?mr?W)?

(2? rm，?F)By?010.5kN

AxAx

?F?W?12 kN

?Fy

列平衡方程

?0, FAy?W?FBy?0，FAy?W?FBy?1.5 kN

（2）为了求得BC杆受力，以ADB杆为研究对象，画出受力图所示。

(F)?0,?FAy?2 m?FBy?2 m?D

2 m?0

解得 FBC??15kN 解得负值，说明二力杆BC杆受压。

4.8 解：

先研究整体如（a）图所示

?M?M

?0,Facos??FNB2Lcos??0

再研究AB部分，受力如（b）图所示

?0,FTh?FNBLcos??0

Fa2L

,FT?

Facos?2h

解得 FNB?

4.9解：

FDy

（a）显然D处受力为0

对ACB进行受力分析，受力如图所示：

?X?0,F?100?0 F??100KN ?Y?0,F?F?4q?0 F??80KN

?M?0,6F?600?12q?0 F?120KN （b）?X?0,F?F?50KN

AyByAy

AByBy

取CD为研究对象取整体为研究对象

MC?0,3F

?1?0

0FDy?15KN

?M?0,6F?9F

?Y?0,F?F?F

ByAy

?3F?7.5?10?3?0 FBy??10KN ?3q?0 FAy?25KN

4.10 解：

先研究CD梁，如右图所示

?X?0,F?0?Y?0,F?M?0,?4F?2q?3?M

?FCy?2q?0

解

得

?15KN,F?0,FC?Cxy

5K N

再研究ABC梁，如图（b）

?X?0,F?F?0 ?Y?M?0,?2F?2q?1?2F

'Cx

?0,F?FNB?2q?FCy?0Ay?0

?15K N解得 FNB?40KN,FAx?0,FA?y

4.11

解：去整体为研究对象，受力如图所示 F

?M?0,200F?250F?0 ?F

?X?0,F??F?250KN

??250KN

取ED为研究对象，受力如图所示

?X?0,F?F?M?0,200F

?F?0

?0,F?FDy?0 Ey

?300FEy?150F

2003

?FEy??

2003

N,FDx?450N,FDy?

再去整体为研究对象

?Y?0,FEy?FAy?0 FAy?

4.12。解：

2003

140

120

FAx

取ABC为研究对象

X?0,FAx?

FC?F?0

Y?0,FA

FC?0

?M?Y

4.13

?0,200FC?140F ?FAx??58N,FAy?56N

取整体为研究对象

?0,FAy?FDy?0

?0,20F0Ax?

8F0?

2F0D0x?1F6 A0y

?FDx?62.8N,FDy??56N

解：A与B一起作为研究对象，则与地面摩擦力为F地?60N A与B之间的摩擦力为FAB?20N F力在水平与竖直方向分解

Ax?Fsin30?30N FAy?Fcos30?

由于FAB?FAx?F地所以是A与B相对滑动 4.14

解：A与B之间的摩擦力为：FAB?fsWB?0.1KN A与地面之间的摩擦力为：F地?fs?WA?WB??0.3KN

F?F地?F

AB?0.4KN

4.17 解：

设提起砖时系统处于平衡状态，则由右图可知 W?F

接着取砖为研究对象（图（b）），由?Mo?0，可得FSA?FSD再由得 FSA?FSD?

?0,W?F?F?0SASD

?F N

?0,FN

?FND?0

最后研究曲杆AGB，如图（c），由?MG?0,95F?30FSA?dFNA?0 解出 d?

220FSA

FNA

砖不下滑满足条件 FSA?fSFNA 由此两式可得 d?110mm 4.19。

解：

FBH

桁架中零力杆有BI，HC，GD 所以GD受力为零，FCD?FBC 以

整?0,F?FEB

体

为研

究F1E5?

对象6 0 FE?

803

?0,FBx?0

220

KN 3

?10 0

?0,20?0

KN,F

By?

如图所示截取左部分

X?0,F

HIFBH?FBC?0

?Y?0,

FBC??

FBH?FBy?0

?0,20?0F5 HI

KN,FHI?40KN,F

BH??KN,FGD?0,FBH??

?FCD??

203

4.20

解：（a）1,2 (b) 1,2,5,11,13 (c) 2,3,6,7,11 4.21

解：以G点为研究对象

X?0,FH

FGE?0

?Y??

GE?F?0 FHG??F?F10

以右部分为研究对象，受力如图所示

X?0,F1?

228?F10?0

?Y?0,F4?

E F8?F?0

MH?0,2F1?F4?

2F8?F?0

F1?F,F4??F,F8??

4.22解：

整体分析

?X?0,F?0 ?Y?0,F?F

?M?0,40?80?120?16F?0

?3 0

FB?15KN,FAy?15KN以m线截取整体之右部分为研究对象，受力如图所示,设5杆与

GH杆夹角为? sin??

,cos??

X?0,F?4

F?F?0 56

Y?0,

F5?FB?30

?0,3F6?F4B?

F4??40KN,F5?25KN,F6?20KN

范文五：工程力学第一章∽ 第四章习题答案

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第一章静力学基本概念与物体的受力分析下列习题中，未画出重力的各物体的自重不计，所有接触面均为光滑接触。 1.1 试画出下列各物体(不包括销钉与支座)的受力图。

解:如图

FA TFBFFFABA

W PW BF(c) (d) (b) (a)

FFFABAFB A C

,FFBFB

FD(g) FA YFFFBBBFA Y(f) (e) qqFFFAC B C B A ,A A B ,FXA (i) (j)

(h) 1.2画出下列各物体系统中各物体(不包括销钉与支座)以及物体系统整体受力图。解:如图

FFC

CC,FFCF 21BCCFAAxFABBF,AFCFFBAyFCFCN

FFF21ABCCFAxFB

,ABFFFNAAyFB(a)(b)

河南理工大学资料库工程力学答案竹五616打印室 TEL:15138012751

FBF BA

,FFCDDFCFBDDFBBCBFAF,FCCFFAA

CCCFCDAWAWFB

(c)(d) FB

,FFCCCCCFC,FFDBFAEDAFDFDABD

FDFA

FCCC

FBE

FFAAD

DAB

FFAD

(e)(f) FOAAAOFOFOFABAFAABAFFODOO,FFADDFAOFOOFEBFOBDOCOFDDFCFEOFDEE

BBCWWFCFBOFBO(g) (h) FBCC W2KBFBCBF12,FFFF KW1,F2FE2FDK DW 1 FFDFWFX1A EFXAEA AFFYYFA EA

(i)

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CFY,FFFCY

C CFXCC,FCX

EDDFEDBBFDFBEXFEAXA

AFFBYFBYAF

(j)

FDF2F2DDDFBF1B

,,FDFBFα1BB

FFCxCxECCAEFEFEFCyFCy

(k)

1.3 铰链支架由两根杆AB、CD和滑轮、绳索等组成，如题1.3图所示。在定滑轮上吊有重为W的物体H。试分别画出定滑轮、杆CD、杆AB和整个支架的受力图。解:如图

'F'ByF'FD'FCxBAFD'CAxBFBx'FCyFFBx

FBDWFFByDAy 1.4 题1.4图示齿轮传动系统，O为主动轮，旋转 1

方向如图所示。试分别画出两齿轮的受力图。

解:

Fo x1

Fo x2F

Fo y1Fo y2 1.5 结构如题1.5图所示，试画出各个部分的受力图。

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解:

第二章汇交力系

2.1 在刚体的A点作用有四个平面汇交力。其中F,2kN，F=3kN，F=lkN， F=2.5kN，方1234

向如题2.1图所示。用解析法求该力系的合成结果。

0000解 FXFFFFKN,,，,,,cos30cos45cos60cos451.29,Rx1423

0000 FYFFFFKN,,,，,,sin30cos45sin60cos452.54,Ry1423

22FFFKN,，,2.85 RRxRy

FRy0 (,)tan63.07，,,FXarcRFRx

2.2 题2.2图所示固定环受三条绳的作用，已知F,1kN，F=2kN，F=l.5kN。求该力系的合123成结果。

解:2.2图示可简化为如右图所示 F10 FXFFKN,,，,cos602.75,Rx23

0 FYFFKN,,,,,sin600.3,Ry13

22FFFFKN,，,2.77 2RRxRy

FRy0 (,)tan6.2，,,,FXarcRFRxF3 2.3 力系如题2.3图所示。已知:F,100N，F=50N，F=50N，123求力系的合力。

解:2.3图示可简化为如右图所示

80F01 ，,,,,BACarctan5360

FXFFKN,,,,cos80,F2,Rx32

FYFFKN,,，,sin140,,Ry12

22FFFKN,，,161.25 RRxRy

F3FRy 0 (,)tan60.25，,,FXarcRFRx

2.4 球重为W,100N，悬挂于绳上，并与光滑墙相接触，如题2.4 图所示。已知，,,30

河南理工大学资料库工程力学答案竹五616打印室 TEL:15138012751 试求绳所受的拉力及墙所受的压力。 F拉解:2.4图示可简化为如右图所示

XFF,,,sin0,,拉推

YF,,,cosW0,,拉

F推？,,FF115.47N57.74N，拉推O墙所受的压力F=57.74N ？

2.5 均质杆AB重为W、长为 l ，两端置于相互垂直的两

W光滑斜面上，如题2.5图所示。己知一斜面与水平成角，,

求平衡时杆与水平所成的角及距离OA。 , 解:取 AB杆为研究对象，受力如图所示

由于杆件再三力作用下保持平衡，故三力应汇交于

C点。

AB杆为均质杆，重力作用在杆的中点，则W作

用线为矩形ACBO的对角线。由几何关系得

，,，,COBCAB,

,,,,902所以又因为 ABl,

所以 OAl,sin,

2.6 一重物重为20kN，用不可伸长的柔索AB及BC

悬挂于题2.6图所示的平衡位置。设柔索的重量不计，AB与铅垂线夹角FA，BC水平，求柔索AB及BC的张力。 ,,30

F解:图示力系可简化如右图所示 C

FF,,sin0, X,0CA,

FWcos0,,, Y,0A,W？,,FKNFKN23.09,11.55 AC

2.7 压路机的碾子重W=20 kN,半径r=40 cm，若用一通过其中心的水平力 F拉碾子越过高h=8 cm的石坎，问F应多大,若要使F值为最小，力 F与水平线的夹角应为多大，此时,F值为多少,

解:(1)如图解三角形OAC

OCrh,F sin0.8，,,,OACOOAr

2 cos10.80.6，,,,OACFCAA XFFOAC,,，,0,cos0,A

W YFOACW,，,,0,sin0,A

解得: FKN,15

(2)力 F与水平线的夹角为 ,

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XFFOAC,,，,0,coscos0,YFOACWF,，,，,0,sinsin0,,,AA

300 ,F,,，15sin20cos

'0由可得= F,036.9FKN,12,

2.8 水平梁AB及支座如题图2.8所示，在梁的中点D作用倾斜的力F,20 kN。不计梁的45自重和摩擦，试求图示两种情况下支座A和B的约束力。解:受力分析

FFAxAx

FFAyBFFB Ay

00(a) XFF,,,0,sin450YFFF,，,,0,sin450,,AxAyB

0 MFABFAD,,,0,sin450,AB

FKNFKNFKN,,,14.1,7.07,7.07AxAyB

00(b) XFFF,,,,0,sin45sin450,AxB

00 YFFF,，,,0,sin45sin450,AyB

00 MFABFAD,,,0,sin45sin450,AB

FKNFKNFKN,,,21.2,4.14,10AxAyB

2.9 支架由杆AB、AC 构成，A、B、C三处均为铰接，在A点悬挂重W的重物，杆的自重

不计。求图a、b两种情形下，杆 AB、AC所受的力，并

FAB说明它们是拉力还是压力。

A解:受力分析如图

0(a) XFF,,,0,sin300,CAAB

0 YFW,,,0,cos300,CAW2WWFF,F,(压) (拉) CACAAB33 00(b) XFF,,,0,sin30sin300,CAABFABF00CA YFFW,，,,0,cos30cos300,CAAB

WFF,,(拉) CAAB3A

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2.10 如图2.10，均质杆AB重为W、长为l，在B端用跨过定滑轮的绳索吊起，绳索的末端1

挂有重为W的重物，设A、C两点在同一铅垂线上，且 AC=AB。求杆平衡时角的值。 ,2

,解:过A点做BC的垂线AD ADl,cos2W2

,WlD2 sin,,,,0,sin0,MWWAD,A122W21

2.11 题图2.11所示一管道支架，由杆AB与CD

组成，管道通过拉杆悬挂在水平杆AB的B端，

FAx每个支架负担的管道重为2kN，不计杆重。求 W1杆CD所受的力和支座A处的约束力。 A

F解:受力分析如图 Ay

0 XFF,,,0,sin450,AxDFD0 YFFW,，,,0,cos450,AyD

0FAAx MFW,,,0,0.8sin451.20,AD

FKNFKNFKN,,,,3,1,32 AxAyDFWAy

其中，负号代表假设的方向与实际方向相反

2.12 简易起重机用钢丝绳吊起重量W=2 kN的重物，如题图2.12所示。不计杆件自重、摩擦及滑轮大小，A、B、C三处简化为铰链连接，试求杆AB和AC所受的力。

00F解: XFFFW,,,,,0,sin45sin300AB,ABACABA00 YFWW,,,,,0,sin45cos300,AC

FACFKNFKN,,,2.732,1.319 ABAC

WW其中，负号代表假设的方向与实际方向相反 2.13 四根绳索AC、CB、CE、ED连接如题图2.13所示，其中 B、D两端固定在支架上，A端系在重物上，人在 E点向下施力F，若F=400N, 。求所能,,40吊起的重量W。

解:分别取E、C点为研究对象

FFCE ？,,F476.7？,,568.11NWNEC,,tantan

2.14 饺接四连杆机构CABD的CD边固定，如题图2.14所FA示，在饺链A上作用一力F，在饺链B上作用一力F。杆FB AA

重不计，当中杆在图示平衡位置时，求力F与F的关系。 AB

解:饺链A受力如图(b)

FED0 X,0FFcos450，,,ABACFC0FEEFF，,cos300饺链B受力如图(c) X,0BAB,

FFBA,0.6124由此两式解得: CFB

W2.15 如题2.15 图所示是一增力机构的示意图。A、B、C均为铰链

B 7 FFABBC

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联接，在铰接点B上作用外力,,3000,，通过杆AB、BC使滑块C 向右压紧工件。已知压紧时，如不计各杆件的自重及接触处的摩擦，求杆AB、BC所受的力和工件所受的压,,8

力。

FF,解: ABBC

FFsin0,,, BC

FFKN,,10.8 ABBC

FKNsin10.69,,工件所受的压力为 BC

2.16 正方形匀质平板的重量为18kN，其重心在G点。平板由三根绳子悬挂于A、B、C三点并保持水平。试求各绳所受的拉力。

解: ，,，,，,BDGADGCDG,,,

3652,,,,,,,,sin,cos,sin,cos F3355ADFDC00 XFF,,,0,sin45sinsin45sin0,,,ADBD

00YFFF,，,,0,sin45sinsin45sinsin0,,,,BDADCD

ZFFFM,，，,,0,coscoscos0,,,,ADBDCD

FBDFFKN,,7.61 ADBD

FKN,4.17 CD

G 第三章力偶系

3.1 如图3.1 A、B、C、D均为滑轮，绕过B、D两轮的绳子两端的拉力为400N，绕过A、C两轮的绳子两端的拉力F为300N，30?。求这两力偶的合力偶的大小和转向。滑轮,,

大小忽略不计。

解:两力偶的矩分别为

MNmm,,，,,,400sin60240400cos602001231381

MNmm,,，,,,300sin30480300cos302001239622

FMMMNm,，,,247.1RA合力偶矩为(逆时针转向) 12

3.2 已知粱AB上作用一力偶，力偶矩为M，粱长为L，粱重不计。求在图3.2中a，b，;三种情况下，支座A和B的约束力。

解:AB梁受力如个图所示， FNB

由，对图(a)(b)有 M,0,i

FlM,,0 RAlFRA3M得 FF,,RANBl

FlMcos0,,,对图(c)有 RAFFRANBFNB

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M得 ,,FFRANBcos,l

3.3 齿轮箱的两个轴上作用的力偶如图所示，它们的力偶矩的大小分别为M,500 N?m，1

M,125N?m。求两螺栓处的铅垂约束力。图中长度单位为cm。 2

解: MFdMM,，,,00，12合

,F FN,,750

力的方向与假设方向相反

3.4 汽锤在锻打工件时，由于工件偏置使锤头受力偏心而发生偏斜，它将在导轨DA和BE上产生很大的压力，从而加速导轨的磨损并影响锻件的精度。F已知锻打力F=1000kN，偏心距e=20mm，试求锻锤给两侧导轨的压力。

解:锤头受力如图，这是个力偶系的平衡问题，由 FN2

MFeFh,,,0,0,iN1

解得

FN120KN FF,,NN12h

3.5四连杆机构在图示位置平衡，已知OA=60 m，BC=40 cm，作用在BC上力偶的力偶矩大小M,1 1 N?m，试求作用在OA上力偶的力偶矩大小M和AB1所受的力F 。各杆重量不计。 AB

解:CA和OB分别受力如图

由 M,0,i

FCBM,,,sin300 BA2

MFOA,,,0 1AB

FN,5解得 (拉) AB

MNm,,3 1

3.6 齿轮箱三根轴上分别作用有力偶，它们的转向如图所示，各力偶矩的大小为

M=36kN?m，=6 kN?m，=6kN?m，试求合力偶矩。 MM312

解: MMMNm,,,,,sin40cos400.74x23

MMMNm,,,,sin4032.14y13

MMNm,,,cos404.6z2

222MMMMNm,，，,,32.48 xyz

OOOO 3.7 和圆盘与水平轴AB固连，盘垂直z轴，盘垂直x轴，盘面上分别作用力偶 1212

,,(F,F)(F,F)F,3F,5 ，如图所示。如两盘半径为r,20 cm，N，N，AB=80 cm，不计构件112212

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自重，试计算轴承A和B处的约束力。

解:取整体为研究对象，由于构件自重不计，主动力为

F两力偶，由力偶只能由力偶来平衡的性质，轴承A，BBzFAz处的约束力也应该形成力偶。设A，B处的约束力为

FAxFFFF,,,,方向如图，由力偶系的平衡方程，有 AxAzBxBzFBx

MmmFmmF,,,0,4008000,xAz2

MmmFmmF,，,0,4008000,yAx1

FFNFFN,,,,,1.5,2.5 解得AxBxBzAz

第四章平面任意力系 4.1 重W，半径为r的均匀圆球，用长为L的软绳AB及半径为R的固定光滑圆柱面支持如图，A与圆柱面的距离为d。求绳子的拉力及固定面对圆球的作用力。 FFTN解:软绳AB的延长线必过球的中心，力在两个圆FN

球圆心线连线上和的关系如图所示:AB于y轴FFNT

夹角为 ,yFT对小球的球心O进行受力分析: FN

XFF,,0,sincos,,,TN

xO YFFW,，,0,cossin,,,TN

RrLr，， sin,cos,,,RdRd，，

RdLr，，，，，， FW, T22RrLr，，，，，，，

RdRr，，，，，，FW, N22RrLr，，，，，，，

4.2 吊桥AB长L，重，重心在中心。A端由铰链支于地面，B端由绳W1

拉住，绳绕过小滑轮C挂重物，重量已知。重力作用线沿铅垂线AC，W2

AC=AB。问吊桥与铅垂线的交角θ为多大方能平衡，并求此时铰链A对吊桥的约束力。 FA

解:对AB杆件进行受力分析:

L,A ,,,0,sincos0MWWL,F,A12x22

WA2F,,2arcsin解得: yW1

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对整体进行受力分析，由:

,, XFW,,,0,cos0FW,cos,Ax2Ax222

22,WW，12 YFWW,，,,0,sin0F,,Ay21Ay2W14.3 试求图示各梁支座的约束力。设力的单位为kN，力偶矩的单位为kN?m，长度单位为m，

分布载荷集度为kN,m。 (提示:计算非均布载荷的投影和与力矩和时需应用积分。)

解:

FAx

FBy

FFAyAyFBy

FMAxAFAx

FBFAy

FAy

(a)受力如图所示

XF,,,0,0.8cos300,Ax

MF,，，，,,0,0.110.80.150.20YFF,，,,,0,10.8sin300,,AByAyByFKNFKNFKN,,,0.43,1.1,0.3 AxByAy

(b)受力如图所示

XF,，,0,0.40,Ax

MF,，,，,，,,0,0.820.51.60.40.720YFF,，,，,0,20.50,,AByAyBy

FKNFKNFKN,,,,0.4,0.26,0.24AxByAy

(c)受力如图所示

XFF,,,0,sin300MF,，,,0,383cos300,,AxBAB

YFF,，,,0,cos3040,AyB

FKNFKNFKN,,,2.12,4.23,0.3AxByAy

1(d)受力如图所示 XF,,0,0qxx,,3，，，，,Ax3

3331 YFqxdxxdxKN,,,,,MMxqxdx,，,0,00,31.5，，，，，，,,AyAA,,,0003

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31 MxxdxKNm,,,,,31.5，，A,03

4.4 露天厂房立柱的底部是杯形基础。立柱底部用混凝土砂浆与杯形基础固连在一起。已知吊车梁传来的铅垂载荷为F,60 kN，风压集度q,2kN,m，又立柱自重G=40kN，长度a=0.5m，h=10m，试求立柱底部的约束力。

解:立柱底部A处的受力如图所示，取截面A以上的立柱为研究对

象

XFqh,，,0,0,Ax

FqhKN,,,,20 Ax

YFGF,,,,0,0,Ay

FGFKN,，,100 Ay

h MMqxdxFa,,,,0,0,AA,0

12 MqhFaKNm,，,,130A2FAy =4.5 图示三铰拱在左半部分受到均布力q作用，A，B，C三点都是铰链。已知每个半拱重W,300kN，m，e,4m，q=10kN,m求支座A，B的约束力。 a,16

解:设A，B处的受力如图所示，

q整体分析，由:

12eeCMaFqaWaWae,,,,,,0,220，，,ABy2aFKN,415 WWByFAaaBxB YFFWqa,，,,,0,20FKN,1785,FAyByAyAxFByFAy取BC部分为研究对象

FKN,,191 MaFFaWae,，,,,0,0，，Bx,CByBx

再以整体为研究对象

XFKN,,0,191,Ax

4.6 图示汽车台秤简图，BCF为整体台面，杠杆AB可绕轴O转动，B，C，D均为铰链，杠杆处于水平位置。求平衡时砝码重与汽车重的关系。 WW12

4.7 图示构架中，物体重W=1200N，由细绳跨过滑轮E而水平系于墙上，尺寸如图，求支承A和B处的约束力及杆BC的内力。 FBC

解: (1)取系统整体为研究对象，画出受力如图所示。

显然，， FW,

列平衡方程: ，MF()0,,4 m(1.5 m)(2 m)0，,，,,，，,FFrWr,ABy

FFW,,,12 kNFF,,0kN ， F,0,F,10.5AxAx,xBy

FWF,，,0 ， F,0,FWF,,,1.5 kNAByy,yAByy

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FAy

FAx

F FBy FFFAyDyBC

FAxFDx

FBy W

,,FBc

,FBC

(2)为了求得BC杆受力，以ADB杆为研究对象，画出受力图所示。

1.5FBC列平衡方程,，，，，，,FF2 m2 m2 m0 MF()0,,,yyABD2221.5，

F,,15解得 kN解得负值，说明二力杆BC杆受压。 BC

4.8 活动梯子置于光滑水平面

上，并在铅垂面内，梯子两部分

AC和AB各重为Q，置心在中点，

彼次用铰链A和绳子DE连接。

一人重为P立于F处，试求绳子

DE的拉力和B，C两点的约束力。

解:先研究整体如(a)图所示

MFaFL,,,0,cos2cos0,,,CNB

再研究AB部分，受力如(b)图所示 MFhFL,,,0,cos0,,ATNB

FaFacos,解得 ,,FF,NBT22Lh

4.9刚架ACB和刚架CD凹通过铰链C连接。并与地面通过铰链(A，B，D连接(如图所示，载荷如图。试求刚架的支座约束力(尺寸单位为m，力的单位为kN(载荷集度单位为kN/m)。

解:(a)显然D处受力为0对ACB进行受力分析，

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受力如图所示: XF,，,0,1000,Ax

FKN,,100 YFFq,，,,0,40Ax,AyBy

FKN,,80 Ay

MFq,,,,0,6600120,ABy

FKN,120By

(b)XFFKN,,,0,50,Ax

取CD为研究对象

12FKN,15 MF,,，，,0,31030Dy,CDy2

取整体为研究对象 MFFF,，，,，，,0,6937.51030,AByDy

FKN,,10 By

YFFFq,，，,,0,30,AyByDy

FKN,25FAyCyq

M4.10 由AC和CD构成的组合梁通过铰链

C连接，其支座和载荷如图所示。已知

FkN/m，力偶矩M,40kN?m，不q,10Cx计梁重。求支座A、B、D和铰链C处所FND

受的约束力。

解:先研究CD梁，如右图所示

XF,,0,0YFFq,，,,0,20,,CxNDCy

MFqM,,，,,,0,4230,DCy

解得

FKNFFKN,,,15,0,5NDCxCy

再研究ABC梁，如图(b) '' XFF,,,0,0YFFqF,，,,,0,20,,AxCxAyNBCy

' MFqF,,,,,,0,22120,BAyCy

解得 FKNFFKN,,,,40,0,15FNBAxAyEx4.11 承重框架如图4.11所示，A、D、E均为铰链，各杆件和滑轮的重量不计。试求A、D、E点的约束力。 FEy解:去整体为研究对象，受力如图所示

MFF,，,0,2002500,AEx

？,,FKN250 XFFKN,,,,0,250Ex,AxExFAx取ED为研究对象，受力如图所示 FAy

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XFFF,，,,0,0,DxExFEx YFF,，,0,0,EyDy

MFFF,，,0,200300150FF,DExEyEy

200200 ？,,,,FNFNFN,450,EyDxDyF33Dx再去整体为研究对象

FDy200 YFF,，,0,0FN,,EyAyAy3

1404.12 三角形平板A点铰链支座，销钉C固结在杆DE上，并与滑道光滑接触。已知，F,100 N各杆件重量略去不计，试求铰链支座A和D的约束反力。

解:取ABC为

研究对象

FE3FCXFFF,,，,0,0,AxC512080

4YFF,,,0,0,AyC5FAxMFF,,0,200140,AC

FFAxDxFAy？,,,FNFN58,56AxAy160 FFAyDy取整体为研究对象

YFF,，,0,0MFFFF,，，,0,20080200160,,AyDyEAxDxAy

？,,,FNFN62.8,56DxDy

4.13 两物块A和B重叠地放在粗糙水平面上，物块A的顶上作用一斜力F，已知A重100N，B重200N;A与B之间及物块B与粗糙水平面间的摩擦因数均为f=0.2。问当F=60N，是物块A相对物块B滑动呢,还是物块A，B一起相对地面滑动,

FN,60解:A与B一起作为研究对象，则与地面摩擦力为地

FN,20A与B之间的摩擦力为 AB

F力在水平与竖直方向分解

FFN,,cos30303 FFN,,sin3030AyAx

FFF,,由于所以是A与B相对滑动 ABAx地

4.14 物块,，,分别重kN，kN，,，,以及,与地面间的摩擦因数均为f=0.2，W,1W,0.5sAB

,，,通过滑轮C用一绳连接，滑轮处摩擦不计。今在物块,上作用一水平力F，求能拉动物块,时该力的最小值。

FfWKN,,0.1解:A与B之间的摩擦力为: ABsB

FFFKN,，,0.4A与地面之间的摩擦力为: FfWWKN,，,0.3，，AB地sAB地

W4.15 重量为的轮子放在水平面上，并与垂直墙壁接触。已知接触面的摩擦因数为，求fs

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使轮子开始转动所需的力偶矩, M

MfWr,解: s

4.16 均质梯长为，重为N，今有一人重N，试问此人若要爬到梯顶，而梯lW,200W,60021

41子不致滑倒，B处的静摩擦因数至少应为多大,已知，。 ,arctanf,f,sAsB334.17 砖夹的宽度250mm，杆件AGB和GCED在点G铰接。砖重为W，提砖的合力F作用在砖夹的对称中心线上，尺寸如图所示。如砖夹与砖之间的静摩擦因数f=0.5，问d应为多大s才能将砖夹起(d是点G到砖块上所受正压力作用线的距离)。解:

设提起砖时系统处于平衡状态，则由右图可知 WF,

接着取砖为研究对象(图(b))，由， M,0,o

FF,可得再由 YWFF,,,,0,0XFF,,,0,0SASD,,SASDNAND

W得 ,FFFF,,,SASDNAND2

最后研究曲杆AGB，如图(c)，

220F''SA由d, 解出 MFFdF,，,,0,95300,GSANAFNA

FfF,砖不下滑满足条件由此两式可得 dmm,110SASNA

4.18 一直角尖劈，两侧面与物体间的摩擦角均为，不计尖劈自重，欲使尖劈打入物体后,f

不致滑出，顶角α应为多大,

4.19 桁架的载荷和尺寸如图所示。求杆BH，CD和GD的受力。解:

FIH

FFBxBH

FBxFByFEFBC

FBy

FF,桁架中零力杆有BI，HC，GD，所以GD受力为零， CDBC

以整体为研究对象 XF,,0,0YFF,,,0,100,,BxEBy

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80220 MF,，,0,20015600FKNFKN,,,,BEEBy33

2XFFF,，，, 如图所示截取左部分 0,0,HIBHBC2

2YFF,，,0,0 MF,,0,2005,BHBy,BHI2

201002FKNFKNFKN,,,,,,40, BCHIBH33

201002？,,,,,FKNFFKN,0, CDGDBH33

4.20 判断图示平面桁架的零力杆(杆件内力为零)。解:(a)1,2 F1(b) 1,2,5,11,13

F44.21 利用截面法求出图中杆1、4、8的内力。

1XFF,，,0,0 解:以G点为研究对象 ,HGGEF85

21F10YFF,,,0,0 FFF,,,,GEHG10G25

以右部分为研究对象，受力如图所示 2XFFF,，，,0,0 ,18102

2FGEYFFF,，，,0,0 ,482

2MFFFF,，，,,0,20 F,H148GH2

12FFFFFF,,,,,,, 14822

4.22利用截面法求出杆4、5、6的内力。

解:

FAxF4FFBAyF5FB

整体分析 XF,,0,0YFF,，,0,30,,AxAyB

MF,，，,,0,4080120160,AB

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FKNFKN,,15,15以m线截取整体之右部分为研究对象，受力如图所示,设5杆与BAy

43GH杆夹角为， ,,,,,sin,cos55

43 YFF,,,XFFF,，，,0,00,30,,4565B55

FKNFKNFKN,,,,40,25,20 MFF,,,0,340456,GB6

第五章空间任意力系 5.1 托架A套在转轴z上，在点C作用一力F = 2000 N。图中点C在Oxy平面内，尺寸如图

z轴之矩。所示，试求力F对x，y，

解: FFKN,,cos45cos600.7FFKN,,cos45sin601.22yx

MFmmKNmm,,,6084.85 FFKN,,sin451.4xzz

MFmmKNmm,,,5070.71 yz

MFmmFmmKNmm,，,,6050108.84zxy

5.2 正方体的边长为a，在其顶角A和B处分别作用着力F和F，如图所示。求此两力在轴12

x，y，z上的投影和对轴x，y，z的矩。

FFF,,sincossin,,,解: FF,,coscos,,x21y1

FFF,，sincos,,MFaaFaF,,，sincos,, z12xz12

MaF,sin, MFaFaaFaFaF,,,,,,coscossincossin,,,,,y1zyx121

5.3 如图所示正方体的表面ABFE内作用一力偶，其矩M = 50 kN?m，转向如图。又沿GA、

2BH作用两力F、F′，F = F′= 50kN，a = 1 m。试求该力系向C点的简化结果。

M解:两力F、F′能形成力矩， MFaKNm,,,50211

M,0MM,sin45 ，，， MM,cos45MMKNm,,,cos455011z1y11xx1

MMMMKNm,，,，,,sin4550100zz11

22MMMKNm,，,,505,,26.56,,90 ,,63.4Czx

5.4 如图所示，置于水平面上的网格，每格边长a = 1m，力系如图所示，选O点为简化中心，坐标如图所示。已知:F= 5 N，F= 4 N，F= 3 N;M= 4 N?m，M= 2 N?m，求力系向O点1 2 3 1 2

'F简化所得的主矢和主矩M。 OR

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'FFFFN,，,,6解: R123

方向为Z轴正方向

MMFFFNm,，，,,,2248 ， MMFFFNm,,,，,,,312x2123y1123

22MMMNm,，,,14.42 Oyx

,,,33.9,,90 ，， ,,56.63

05.5 如图所示圆柱重W =10kN，用电机链条传动而匀速提升。链条两边都和水平方向成30

r,角。已知鼓轮半径10cm，链轮半径20cm，链条主动边(紧边)的拉力T大小是从r,11

动边(松边)拉力T大小的两倍。若不计其余物体重量，求向心轴承A和B的约束力和链2

的拉力大小(图中长度单位cm)。

解: XFFTT,，，，,0,cos30cos300,AxBx12

ZFFTTW,，,，,,0,sin30sin300,AzBz21

MTTF,,,,,0,60cos3060cos301000,zBx12

MWTTF,,，,，,0,3060sin3060sin301000,xBz12

MWrTrTr,，,,0,0,y2111

FKNFKN,,,20.78,13FKNFKN,,7.79,4.5TKNTKN,,10,5，， AxAzBxBz125.6 如图所示均质矩形板ABCD重为W = 200 N，用球铰链A和蝶形铰链B固定在墙上，并用绳索CE维持在水平位置。试求绳索所受张力及支座A，B处的约束力。解:取长方形板ABCD为研究对象，受力如图所示重力W作用于板的型心上。选坐标系Axyz，设AD长为2a，AB长为2b，列出平衡方程并求解

F,0 Bz

FN,100 Az

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5.7 如图所示，水平轴上装有两个凸轮，凸轮上分别作用已知力F=800N和未知力F。如轴1

平衡，求力F和轴承约束力的大小。

解: ， XFFF,，，,0,0ZFFF,，，,0,0,,AxBx1AzBz

， MFF,,,,0,1401000MFF,,,0,20200,,zBx1y1

FNFN,,,320,480 ， MFF,，,0,401000AxAz,xBz

FNFN,,,,1120,320 ， FN,800BxBz

5.8 扒杆如图所示，立柱 AB 用 BG 和 BH 两根缆风绳拉住，并在 A点用球铰约束，A、H、G三点位于Oxy平面内，G、H两点的位置对称于y轴，臂杆的D端吊悬的重物重W = 20 kN;求两绳的拉力和支座A的约束反力。

FF,解:G、H两点的位置对称于y轴， BGBH

XFFF,,，，,0,sin45cos60sin45cos600,BGBHAx

YFFF,,,，,0,cos45cos60cos45cos600,BGBHAy

ZFFFW,,,,,0,sin60sin600,AzBGBH

MFFW,，,,0,5sin45cos605sin45cos6050,xBGBH

FFKNFFKNFKN,,,,,28.28,0,20,68.99BGBHAxAyAz

5.9 如图所示，一重量W = 1000N的均质薄板用止推轴承A、B和绳索CE支持在水平面上，可以绕水平轴AB转动，今在板上作用一力偶，其力偶矩为M，并设薄板平衡。已知a = 3 m，b = 4 m，h = 5 m，M = 2000 N?m，试求绳子的拉力和轴承A、B的约束力。 5.10 如图所示作用在踏板上的铅垂力F使得位于铅垂位置的连杆上产生的拉力F = 400 N，1

o，a = 60 mm，b = 100 mm，c = 120 mm。求轴承A、B处的约束力和主动力F。 ,,301解: ， YFF,，,0,0ZFFFF,，,,,0,0,,ByAyAzBz1

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， MbFcF,,,0,2cos0,MaFbFbF,,，,0,0,,x1yBzAz

FN,183.92 ，，FN,423.92， MbFbF,,,0,0FF,,0AzBz,zByAyAyBy

FN,207.84 1

5.11 如图所示为一均质薄板，其尺寸单位为mm并标示于图中，求该薄板的重心。

2解:三角形OAB的中心为: ， 15,6.67Amm,300，，1

A,16,小圆重心为: ， 6,6，，2

yAyA,1122该薄板的重心: y,,,0.4xAxA,1122x,,16.8AA,12AA, 12

5.12 如图所示，从 R = 120 mm的均质圆板中挖去一个等腰三角形。求板的重心位置。

2解:圆重心: ， 0,0Amm,14400,，，1

xAxA,21122三角形重心: ，，板的重心位置: 0,30Amm,8100x,,0，，2AA,125.13 试求图所示均质板OABCD的重心位置(图中尺寸的单位为

mm)。

2,解:部分重心: 45,20Amm,2700，，1

2Amm,900, 部分重心: 105,20，，2

2,,部分重心: 60,20,Amm,4800，，3

均质板OABCD的重心: xAxAxA，，yAyAyA，，112233112233xmm,,60ymm,,,2.86AAA，，AAA，， 1231235.14 试求图所示均质等厚板的重心位置(图中尺寸的单位为mm)。

2y ,解:部分重心: 45,60,10800Amm,，，190

2,部分重心: 73,60,800Amm,,，，220 20 60

2,,部分重心: 45,20,2700,,Amm，，40 3?

? 均质等厚板的重心:

xAxAxA，， 112233xmm,,49.4AAA，，x O 123

? yAyAyA，，112233ymm,,46.5AAA，，123

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