ShanShaN若水
范文一：自然指数函数展开式的多重分割法_十一_应用部分
2004 3 Mar . 2004 NATURAL SCIENCE JO URNAL OF HAINAN UNIVERSITY
() 文章编号 :1004 - 1729 200401 - 0001 - 06
()自然指数函数展开式的多重分割法 十一
———应用部分
耿济
()海南大学 理工学院 , 海南 海口 570228
( ) (( ) 摘 要 : 提出函数另一种多重分割法的概念 , 即函数 f x在对称区间上分成 m 个函数f x1 ? k m π k - 1 2 2 k - 2 ( ) ( ( ) ) ( ) ) k ?m, 使得 f jx= j f x, 且 f jx= jf x, 其中 j = exp i , 证明了这种分割k k k ?m k = 1
( ) 法的唯一性. 当 m = 2 , f x= exp x 时 , 即得著名的 Euler 公式. 因此 , 这一新结果是 Euler 公式的 一般推广.
关键词 : 函数 ; 多重分割法 ; 广义三角函数 ; Euler 公式推广
中图分类号 : O 157 文献标识码 : A
本文是文献[ 1 , 10 ] 的续作.
( ) 1994 年笔者把 De Morgan 有穷常数项级数多重分割法应用到 形式幂级数上 , 特别是函数
[1 ] exp x 时获得广义双曲函数的概念, 克服了 Hoene Wronshi 提出的常微分方程组定义的循环双
)( 曲函数在理论与应用上出现的不协调现象 ; 接着 , 2001 年又提出函数多重分割法 , 即函数 f x
π2 k - 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 在对称区间上分成 m 个函数 f x1 ? k ? m之和 , 其中 f jx= j f x, j = exp i , 证k k k m [10 ] 明这一分割法存在且唯一. [2 ] ( ) ( ) 1995 年笔者提出 形式幂级数另一种多重分割法, 应用到特殊函数 exp x时获得广义
1 3 [11 ] ( ) 三角函数概念. 例如 , 当 m = 3 , j = + i 时 , 就有推广的 Euler 公式:exp jx( ) = Tx+ 1 2 2
12 3 x ( ) ( ) ( ) ( ) j Tx+ jTx, 其中广义三角函数 Tx= , Tx= 2 3 1 )x exp( 2 xexp - + 2co s 32 2
1 1 πx x 3 2π 3 ( ) ( ) ( ) - exp - x- 2cos exp exp - x- 2cos exp . , Tx= 3 x + x + 3 2 3 2 2 32 3通过广义三角函数的等价定理及其应用 , 已能看出函数另一种多重分割法的存在 , 最简单的例
1 2[12 ] ( (( ) ( ) ) ) 子 , 当 m = 2 , f x= ln 1 + x时 , 对应的 Euler 公式 ln 1 + ix= ln 1 + x+ i arctg x .2
关于函数另一种多重分割法的新结果 , 既与函数前一种多重分割法的结果遥相呼应 , 又是
一般 Euler 公式的推广 , 这正是本文探讨的主要目的.
收稿日期 : 2003 - 06 - 13
基金项目 : 海南省教育厅自然科学基金资助项目 ,琼教高 (1996 - 10)
() 作者简介 : 耿济 1929 - ,男 ,江苏镇江人 ,海南大学理工学院教授.
海 南 大 学 学 报 自 然 科 学 版 2004 年 2
定义 ( ) ( ) ( ) ( ) 整数 m ?2 时 , 函数 f x在对称区间上 , 如果存在 m 个函数组f x, f x, f x, 1 2 3 ( ) , f x适合下述条件 : m
m - 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j f x; + 1f jx= f x+ j f x+ jf x+ m 1 2 3
2 2 m - 2 2 2 2 2 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) , f jx= jf x. 2f jx= f x, f jx = jf x, f jx= jf x, m m 1 1 2 2 3 3
π ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 其中 j = exp i . 称函数组 f x, f x, f x,, f x是 f x的另一种 m 重分割 , 这一方法 1 2 3 m m
( ) 为 f x的另一种 m 重分割法.
( ) 例 1 试求 f x= exp x 的另一种两重分割.
π 解 当 m = 2 时 , j = exp i = i .2
( ) ( ) 从条件 1 得到的结果就是 Euler 公式 , 即得 f x= co s x , f x= sin x ; 又从条件 2 知道 1 2
2 2 2 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) f x, f x适合 f ix = co s - x= f x, f ix= sin - x= if x, 所以 f x= co s 1 2 1 1 2 2 1 ( ) ( )x , f x= sin x 是 f x = exp x 的另一种两重分割. 2
例 2 试求幂级数
? n ( )x f = ax , |x | < r="" n="" =="" 0="">
另一种 m 重分割.
? ? n nm n nm +1 ( ( ) 解 ) ( )( ) ( )= --x ,1ax , f x , f x= 函数组 f x 1anm 2 m = 1 nm +1 ??n = 0 n = 0 ? π( ) n n +1m - 1 ) ( 当 j = exp i 时 , 易知适合条件 1 与条件 2 , 正是所求另一种分割 , , -1a x( ) n +1m - 1 ?m n = 0 m - 1 ( )( ( )) 出现的 Euler 公式为 f jx + j f x. f x ( m = ) 1 + j f x+ 2 1 ( )例 3 试求函数 f x , | x | ?1 时的另一种 m 重分割. = 1 - x π 解 设 j = exp i 时 , 就有m m m 2 m - 1 ( ) () ( ) ( ) 1 + x= 1 - jx= 1 - jx[ 1 + jx + jx+ + jx.
由此得到
2 m - 1 xx 1 1 x 2 m - 1 = + j + jj+ + . m m mm1 - jx 1 + x1 + x1 + x1 + x
2 m - 1 1 x x x ( ) ( ) ( ) ( ), f x=, f x=, f x 是函数易知函数组 f x= , = 2 3 1 m mmmm1 + x 1 + x 1 + x 1 + x
1 ( ) f x= x | ?1 时的另一种 m 重分割. | 1 - x
通过以上例子说明特殊函数存在的另一种多重分割 , 反映出形形式式的 Euler 公式推广.
关于一般函数的另一种多重分割有下述重要结果.
( ) 定理 整数 m ?2 , 任意函数 f x在对称区间上另一种 m 重分割存在唯一的函数组 ( ) ( ) ( ) , f x, 使得 f x, f x, 1 2 m
πm - 1 ( ) ( )f x ( ) ( ) + j f x, 其中 j = exp i , 这是 Euler 公式的一般推广. = f x+ j f x+ m 1 2 m 证明 ( ) 根据函数 f x另一种 m 重分割定义中条件 1 就有
2 m - 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x+ j f x+ jf x+ + j f x= f jx, 1 2 3 m
()第 1 期 耿济 :孪生组合恒等式 十一 3
2 把上式中的 x 换成 jx 后 , 应用条件 2 又有
( ) 3 3 6 3 m - 1 ( ) ( ) ( ) + jf( )( ) f x+ jf x+ jf x+ x = f jx. 1 2 3 m
类似地 , 还有
5 10 5 ( ) 5 m - 1 ( ) ( ) ( ) f x+ jf x+ jf x+ 1 2 3 ( ) ( )+ jf= f jx, x m
2 m - 1 () ( ) () ( ) 2 2 m - 1 m - 12 m - 12 m - 1+1 ( )( ( ) ( )( )) f x+ jf x + jf x+ j ff jx. + x = 1 2 3 m
( ) ( ) ( ) ( ) , f x, 常数 现在把上述 m 个等式视为 m 个线性方程组 , 未知量为 f x, f x, f x, m 1 2 3
( ) 2 m - 1+1 3 5 , f ( jx) , 系数用矩阵表示出来 项为 f ( jx) , f ( jx) , f ( jx) ,
2 m - 1 jj 1 j
( )6 3 m - 1 3 jjj1 ( )10 5 m - 1 5 jjjA = , 1
()( ) ()2 m - 1 2 2 m - 1 m - 12 m - 1 jjj 1
就有矩阵方程
( )f x( ) jx f 1
3 ( )f x ( )2 f jx 5 ( )( )= . A f x f jx 3
( ) 2 m - 1+1 ( )( )f jxf x m
已知著名的 Vandemonder 行列式
2 m - 1 xx1 x1 1 1 2 m - 1 xx1 x 22 2 2 m - 1 ( )( ) = Dx, x, x, , x = x - x. xs m 1 2 3 m xr 1 x 3 33 ?1 ?s < r="">
2 m - 1 xx1 x mm m
π3 5 2 m - 1 = j, 其中 j = exp i , 显然 = j, 特别选取 x= j , x= j, x, x 1 2 3 mm 3 5 2 m - 1 )( ?0 , , jDj , j, j, m
3 5 2 m - 1 )( j, 即得det A = Dj , j, j, ?0 , m
- 1 - 1 AA A , 再通过验证得出 所以矩阵 A 的逆矩阵唯一存在 , 经过实际运算得出逆矩阵 =
- 1 A A= E , 这里 E 为单位矩阵 ,所求的逆矩阵为
1 1 1 1 ( ) ( ) 2 m - 1- 1 2 m - 2- 1 jj1/ j j
1- 1 ( ) ( ) 22 m - 2- 2 2 m - 4- 2 2 A = jj. 1/ j jm
m - 1 m - 1 m - 3 m - 5 j1/ j1/ j1/ j
最后得到
海 南 大 学 学 报 自 然 科 学 版 2004 年 4
( )f x ( )1 f jx 3 ( )f x ( )2 f jx
- 1 5 ( )f x 3 A ( )f jx = ,
( ) 2 m - 1+1 ( )( )f jxf x m
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , f x存在且唯一 , 即任意函数 f x的另一种 m 重分 这就是说 , 函数组 f x, f x, f x, m 1 2 3
割存在且唯一 , 定理证明完毕.
( ) ( ) ( ) ( ) 上述定理证明过程中已经指出用函数 f x直接表示函数组 f x, f x, f x,( ) , f x 1 2 3 n
的另一种 m 重分割法 , 通过矩阵乘法就有
1 ( ) 3 5 2 m - 1+1 ( ) ( ) ( ) ( ) [ f jx+ f jx+ f jx+( )+ f jx,= f x 1 m
1 ( ) ( ) ( ) 2 m - 13 2 m - 25 2 2 m - 1+1 ( )( ) ( )( ) [ f jx+ jf jx+ jf jx+ jf jx( ),f x = + 2 mj
1 ( ) ( ) ( ) 2 m - 23 2 m - 45 4 2 m - 1+1 ( ) ( )( ) ( )( )jx + jf jx+ jf jx+ jf jx,[ f f x = + 3 2mj
1 ( )( ) 2 3 4 5 2 m - 1 2 m - 1+1 ( ) ( ) ( ) ( ( )[ f jx+ jf jx+ jf jx+ + jf j ) f x x. = m m - 1 mj
( ) ( ) ( ) ( ) , f x的具体方法. ( ) 这是直接用函数 f x表示函数组 f x, f x, f x, m 1 2 3
() 例 4 试求函数 ln 1 + x另一种 m 重分割.
π2 mm 解 假设 j = exp i , 显然 j = - 1 , j = 1. m
易知m - 1 m - 1 1 1 2 l +1 2 l +1 = ln( ) ()() f x= ln 1 + jx1 + jx=1 ??m m l = 0l = 0
2 1 1 m m ((( ) ) ) ln 1 + j xln 1 + - 1x.= m m
当 2 ? k ? m 时 , 得到 m - 1 m - 1 1 1 ( ) 2 l +1 ( ) ( )2 l +1 2 m - 2 k - 1l 2 m - 2 k - 1l - k - 1 ( ) () () f x=jln 1 + j x= ln 1 + j x. j k k - 1 ?? mjm l = 0 l = 0
( )π ( )π 2 l + 12 l + 12 l +1 其中() co s + i sin x1 + = ln 1 + jx= ln m m ( )π x + co s[ 2 l + 1/ m ] ( 2 l + 1)π 1 2 + 2 x co s arctg 1 + i ln+ x . (2 sin[ 2 l + 1)π/ m ] m
由此计算得出
1 ( ) ( ) [ 2 m - 2 k - 1l - k - 1] 2 )π( ln 1 + 2 x co s[ 2 l + 1/ m ] + x sin m - 1 2 m 1 ( ) f x= . k ? m ( ( l = 0 )π( ) ) x + co s[ 2 l + 1/ m ] [ 2 m - 2 k - 1l - k - 1] arctg co s ( )πsin[ 2 l + 1/ m ] m
[6 ] 上述结果笔者在 1997 年曾获得, 当时的步骤 , 首先把函数 ln ( 1 + x) 展开 , 其次对于幂级
数施行另一种 m 重分割 , 最后再求 m 个收敛的子级数之和的初等函数表达式. 从过去的方法中
已能说明了函数的另一种 m 重分割法的存在性.
()第 1 期 耿济 :孪生组合恒等式 十一 5
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 最后 , 谈谈函数 f x另一种 m 重分割得到函数组 f x, f x, f x, , f x具有的一 1 2 3 m
个关系式.
( )( )( )( )f x - f x - f x f x 1 m m - 1 - 2 ( )( ( ( )))f x f x - f x - f x 2 1 m 3 m - 1 2 k +1 ( ( ))( ( ))f x f x f x f x ( ) = f jx,2 1 3 - 4 ?k = 0
( )( )( )( )f x f x f x f x m m - 1 m - 2 1
π 其中 j = exp i .m
这一关系式的证明 , 主要应用定理证明过程中的 m 个等式 , 例如第 1 个等式
2 m - 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x+ j f x+ jf x+ + j f x= f jx. 1 2 3 m
2 m - 1 , m 各行分别乘以 1 , j , j, , j 后全部加到第 1 行上 , 不难发现第 1 行 把行列式中第 1 , 2 , 3 ,
的各元素中都含有因式 f ( jx) .
类似地 , 第 2 个等式
( ) 3 3 6 3 m - 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) fx= f jx. + jf x+ jf x+ jf x+ 1 2 3 m
( ) 3 m - 13 6 , j后全部加到第 1 行上 , 发现第 1 行各 , m 各行分别乘以 1 , j, j, 把行列式中第 1 , 2 , 3 ,
3 元素中都 含 有 因 式 f ( jx) , 如 此 继 续 下 去 , 直 到 应 用 第 m 个 等 式 从 行 列 式 中 得 出 因 式
( ) ( ) 2 m - 1+1 3 5 2 m - 1+1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f jx, 所以行列式中含有因式 f jxf jxf jxf jx的乘积 ; 又从行列式中
m 3 5 2 ( m - 1) +1 m 知道含有 f ( x) 的系数为 1 , 而乘积 f ( jx) f ( jx) f ( jx) f ( jx) 中 f ( x) 的系数为 1 , 最 1 1 后得出所求的关系式.
特别当函数 f ( x) = exp x 另一种 m 重分割得到函数组称为广义三角函数 T( x) ( x) T , ,1 2
() 2 m - 1+1 3 5 2 m - 1 3 5 ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )j x ( x = f + j , Tx时 , 由于 f jxf jxf jx = exp j + j + j + Tx, 3 m
2 m 2[2 ]( ) ( ) exp ox = 1 , 就有已知结果 = exp [ j 1 - j/ 1 - j] x
( ) ( ) ( )( ) Txxx xTTT- - - 1 m m - 1 2 ( )( )( )Tx Tx Tx 2 1 ( ) 3 - Tx- m ( )( Tx ( ))( )Tx 2 Tx Tx 3 4 = 1 1 -
( )( )( )( )Tx Tx Tx Tx m m - 1 m - 2 1 作为本文结束.
参考文献 : () 1 耿济. 自然指数函数展开式的多重分割法 一———广义双曲函数J . ( ) 海南大学学报 自然科学版,1994 ,12
() 4:283 - 290.
2 耿济. 自然指数函数展开式的多重分割法 (二) ———广义三角函数J . ( ) 海南大学学报 自然科学版,1995 ,13
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() 3 耿济. 自然指数函数展开式的多重分割法 三———抽象双曲函数J . ( ) 海南大学学报 自然科学版,1996 ,14 () 3:197 - 205.
4 耿济. 自然指数函数展开式的多重分割法 (四) ———抽象三角函数J . ( ) 海南大学学报 自然科学版,1997 ,15 () 1:1 - 8.
海 南 大 学 学 报 自 然 科 学 版 2004 年 6
() ( ) () 耿济. 自然指数函数展开式的多重分割法 五———应用部分J . 海南大学学报 自然科学版,1997 ,15 2: 5
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() ( ) () 耿济. 自然指数函数展开式的多重分割法 八———应用部分J . 海南大学学报 自然科学版,1998 ,16 3: 8 191 - 197.
() ( ) () 耿济. 自然指数函数展开式的多重分割法 九———应用部分J . 海南大学学报 自然科学版,2000 ,18 2: 9 109 - 114.
( ) ( ) 耿济 ,高泽图. 自然指数函数展开式的多重分割法 十———应用部分 J . 海南大学学报 自然科学版, 10 () 2001 ,19 2:103 - 111.
耿济. 正弦函数与余弦函数的推广J . 数学通报 ,1997 ,9 :32 - 37.
() () 耿济. 对应的 Euler 公式与应用J . 海南师范学院学报 自然科学版,2001 ,14 1:112 - 116. 11
12
Method of Multi2sepera ble Expansions
f or the Expansion of Exponential Function( ?)
———Application
GENG J i
()Science and Engineering College of Hainan University , Haikou 570228 , China Abstract : In this paper ,we put forward the new concept of anther method of multi2seperable expansions of
m k - 1 ( ) ( ) ( ) function ,dividing function f xon the symmetrical interval into f jx= j f x, 1 ?k ?m , a2k ?k = 1
π2 2 k - 2 ( ) ( ) mong which f jx= jf x, j = exp i , m ? N , m ?2 , and prove that the expansion is only k k m
one . Especially when m = 2 , f ( x) = exp x ,it is well known to be the famous Euler’s formula ,therefore
the nwe result is extended Euler’s formula .
Key words : function ; method of multi2seperable expansion ; extended triangle function ; extended Euler’s formula
范文二：自然指数函数展开式的多重分割法_九_应用部分
() 文章编号 :1004 - 1729 200002 - 0109 - 06
()自然指数函数展开式的多重分割法 九
———应用部分
耿济
()海南大学 , 海南 海口 570228
摘 要 : 对于一般常数项级数运用多重分割法获得两个求和的定理 ,在特殊常数项级数求和
上出现相映成趣的组合恒等式.
关键词 : 有穷级数 ; 无穷级数 ; 应用
中图分类号 : O 157 文献标识码 : A
本文是文献[ 1,8 ]的续作.
关于常数项级数多重分割求和法的最早记载是中国《周易》一书 , 该书《系辞传》中“天一 、 地二 、天三 、地四 、天五 、地六 、天七 、地八 、天九 、地十. 天数五 , 地数五 , 五位相得而各有合 , 天数
[ 9 ] 二十有五 , 地数三十 ; 凡天地之数五十有五”. 这是一个级数二重分割求和法的例子 , 现在用 数学语言来叙述 :
数列 a= 1 , a= 2 , a= 3 , a= 4 , a= 5 , a= 6 , a= 7 , a= 8 , a= 9 , a= 10. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
全部相加得到级数和
a+ a+ a++ a= 55 , 0 1 2 9
即“天地之数五十有五. ”
对于上述级数施行二重分割求和得到
a+ a+ a+ a+ a= 25 , 0 2 4 6 8
这是 5 个奇数相加的结果 , 即“天数五”“, 五位相得”“, 天数二十有五”.
类似地
a+ a+ a+ a+ a= 30 , 1 3 5 7 9
这是 5 个偶数相加的结果 , 即“地数五”“, 五位相得”“, 地数三十”.
近代组合数学中 De Morgan 的级数多重分割求和法 , 正如徐利治教授等所指“组合数学中 出现的各种有穷级数 , 其和常常表现为一串数列. 如果能够将该数列对应的发生函数确定出 来 , 则从组合分析观点看 , 就算解决了问题 , 因为从发生函数去寻求生成数列 , 这往往可按一种
[10 ] 标准的数学分析手续去完成”.
笔者把通常的多重分割法称为第 1 种多重分割法 , 又把 1995 年提出的另一种多重分割 [2 ] 法称为第 2 种多重分割法 , 目的是为了讨论常数项级数的 2 种多重分割求和法.
收稿日期 : 1999 - 09 - 02
( ) 基金项目 : 海南省教育厅自然科学研究资助项目 , 琼教高 199610 号.
(作者简介 : 耿济 1929 - ) , 男 , 江苏镇江人 , 海南大学教授.
海 南 大 学 学 报 自 然 科 学 版 2000 年 110
有穷级数上的应用 1
现在先行叙述有穷级数的 2 种多重分割法的概念.
定义 设 n , m 为正整数 , 且 1 < m="" +="" 1="" 时="" ,="">
, + aa+ a+ a+ n 0 1 2
按照一定规律分成 m 个子级数
n a+ a+ a+ + a , 0 m 2 m [ ] m m
n n + a 或 a ,[ ] m +1 [ ] m - m +1 a+ a+ a+ 1 m +1 2 m +1 m m
n n + a+ a+a+ a 或 a , [ ] m + m - 1 [ ] m - 1 m - 1 2 m - 1 3 m - 1 m m 称为级数的第 1 种 m 重分割法.
又按照另一规律分成 m 个子级数
n [ ] n m ( ) + - 1a , a- a+ a- [ ] m 0 m 2 m m
n n [ ] [ ] +1 n n m m ) ( ) ( 1a ,- aa+ a-+ - 1a 或 - 1 [ ] m +1 m +1 2 m +1 [ ] m - m +1 m m
n n [ ] +1 [ ] n n m m ) ( ) ( a- a+ a-- + 1a 或 - 1a , m - 1 2 m - 1 3 m - 1 [ ] m + m - 1 [ ] m - 1 m m 称为级数的第 2 种 m 重分割法.
关于有穷级数的 2 种多重分割求和法有下述结果.
定理 1 设 n , m 为正整数 , 且 1 < m="" +="" 1="" 时="" ,="">
. + aa+ a+ a+ n 0 1 2
施行第 1 种 m 重分割求和法 , 就有 m - 1 1 m - lkk n n ) ( ,= j f j + a 或 a a+ a+ a+[ ] m + l [ ] m - m + l l m + l 2 m + l ?m m m k = 0 π22 n ( ) ( ) , m - 1 , j = exp , f x= a其中 l = 0 , 1 , 2 , i + a x + a x+ + a x . 0 1 2 n m
施行第 2 种 m 重分割求和法 , 又有 m - 1 n n 1 [ ] [ ] +1 2 m - 2 lk2 k +1n n m m ( ( ) ε(ε) ) 1a a- = a+ a-+ - 1a 或 - f , [ ] m + l l m + l 2 m + l [ ] m - m + l l?m m ε mk = 0
π2 n ε() ( ) , m - 1 ,= exp i, f x= a+ a x + a x+ 其中 l = 0 , 1 , 2 , + a x . 0 1 2 n m
证明 假设常数项级数的发生函数为多项式
n 2 ( ) + ax.f x= a+ ax + ax+ n 0 1 2
[3 ] 施行第 1 种 m 重分割求和法 , 应用推广的 Waring 第 1 公式, 得到
n [ ] m + l l m + l 2 m + l n m + a x 或 ax+ ax+ ax+ [ ] m + l l m + l 2 m + l m m - 1 n 1 [ ] m - m + l m - lkk n m ax( ) ( ) = j f j x,l = 0 , 1 , 2 , , m - 1. [ ] m - m + l ?m m k = 0
特别当 x = 1 时 , 立刻得到定理 1 中第 1 部分的结果.
()第 2 期 耿 济 : 自然指数函数展开式的多重分割法 九 111
[7 ] 类似的方法 , 施行第 2 种 m 重分割求和法 , 应用推广的 Waring 第 2 公式得到定理 1 中
第 2 部分的结果 , 所以定理 1 成立. 定理 1 应用举例. 大家熟知的组合恒等式
n n n n n + + + + = 2 . 0 1 2 n
施行第 1 种二重分割求和法易知
n n n n n - 1 + + + + = 2 , 0 2 4 2 [ n/ 2 ] n n n n n n - 1 或+ + + + = 2 . 1 3 5 2 [ n/ 2 ] - 1 2 [ n/ 2 ] + 1 一般情况有下述结果.
例 1 设 n , m 为正整数 , 且 1 < m="" +="" 1="" 时="" ,="">
n nn n n 或+ + + + = l m + l 2 m + l [ n/ m ] m + l [ n/ m ] m - m + l m - 1 π ( n - 2 l ) kπ k 1 n )) ( ( co s , l = 0 , 1 , 2 , , m - 1. 2co s ?m mm k = 0 n 证明 设 n 为正整数 , 函数 f ( x) = ( 1 + x) , 应用二项式定理展开得到
n n n n 2 n ( ) + x + x+ + x.f x= 0 1 2 n 又设 m 为正整数 , 且 1 < m="" +="" 1="" 时="" ,="" 施行第="" 1="" 种="" m="" 重分割求和法="" ,="" 从定理="" 1="" 得到="">
n n n n n 或+ + + + = l m + l 2 m + l [ n/ m ] m + l [ n/ m ] m - m + l m - 1 1 m - lk k n ) ( j 1 + j , ?m k = 0
其中 l = 0 , 1 , 2 , - 1. , m
由于
π π π π π kkkkk2 2 k n n n n () (( () ) ) 1 + j = 1 + co s + i sin = 2co s co s + i sin =m m m m m
π π π knknkn ) (( ) 2co s co s + i sin ,m m m
以及
π ( )π)π π( lk2 m - lkm -2 22m - lk m - lk ) ( = co s + i sin j co s = + i sin , m m m m m - 1 1 m - lk k n ( ) 就有 j 1 + j 的实部与虚部依次为?k = 0m m - 1 ππ ( π nkπ )2 ( m - l k )π nkm - l k 2 1 kn ) ( = [ co s o s R c - sin sin ] = 2co s ?m m m m m m k = 0 m - 1 m - 1 π ππ ( ) π k 1 kn - 2 l k 1 nn ))( ( ) ( , 2co s co s[ nk + 2 m - lk] = 2co s co s ??m mmm m m k = 0 k = 0
I = 0 .
由此可见所证的组合恒等式成立.
海 南 大 学 学 报 自 然 科 学 版 2000 年 112
例 2 设 n , m 为正整数 , 且 1 < m="" +="" 1="" 时="" ,="" 试证="">
n n n n n n n [ ] [ ] +1 m m ( )( )或- 1 - + - - + 1 = l m + l 2 m + l [ n/ m ] m + l [ n/ m ] m - m + l m - 1 n ( )π ( ) ( )π2 k + 1 n - 2 l 2 k + 1 1 ) ( , co s 2co sl = 0 , 1 , 2 , , m - 1. ?m 2 m 2 m k = 0 n ) ( ) ( 证明 设 n 为正整数 , 函数 f x= 1 + x, 应用二项式定理展开得到
nn n n n 2 ( ) f x= x , + + x + x+ n 0 1 2
又设 m 为正整数 , 且 1 < m="" +="" 1="" 时="" ,="" 施行第="" 2="" 种="" m="" 重分割求和法="" ,="" 从定理="" 1="" 得到="">
n nn n n [ ] m ) ( 或1- + - + - 2 m + l l m + l [ n/ m ] m + l m - 1 n n 1 [ ] +1 ( ) 2 m - lk2 k +1m ) ( ε(ε)1- = = f l? ε[ n/ m ] m - m + l mk = 0 m - 12 m - l ε( )2 k +1 n m - 2 lk ε) (ε, 1 + ?m k = 0
其中
n ( )π ( )π2 k + 12 k + 12 k +1 n (ε) 1 + 1 + co s + i sin = = m m
n ()π ( )π ()π2 k + 1 n 2 k + 1n 2 k + 1 2co s co s + i sin , 2 m 2 m 2 m
以及
( ) π () π [ 2 m - 2 l + 1l ] [ 2 m - 2 l + 1]( ) ) (2 m - l 2 m - lk2 m - 2 k +1l εεε?= = co s + i sin ,m m m - 1 1 2 ( m - lk) 2 k + 1n ε( 1 +ε) 的实部与虚部依次为 就有?l k = 0mε m - 1 ( ( )π n ( 2 k + 1)π [ 2 m - 2 k + 1) l ]π 1 2 k + 1n) ( R + = co s = 2co s ?2 m 2 m m m k = 0 m - 1 ()π ( n - 2 l ) ( 2 k + 1)π 2 k + 1 1 n) (co s , 2co s ?m 2 m 2 m k = 0
I = 0.
由此可知所证的组合恒等式成立.
注 例 1 与例 2 中的组合恒等式是特殊多项式施行第 1 种与第 2 种的 m 重分割求和法后
得到的新结果 , 具有相映成趣的“孪生”组合恒等式组.
无穷级数上的应用 2
有穷级数的 2 种多重分割法概念中 , 把 n 趋于正穷大时 , 立即得到无穷级数的 2 种多重分
割法概念. 为节省篇幅 , 不再重复叙述.
关于无穷级上的应用有下述结果.
定理 2 常数项级数
. + a+ a+ a+ a+ n 0 1 2
施行第 1 种 m 重分割求和法 , 就有
()第 2 期 耿 济 : 自然指数函数展开式的多重分割法 九 113
m - 1 1 m - lk k ( ) a+ a+ a+= j f j , l m + l 2 m + l ?m k = 0
π22 n ( ) ( ) , m - 1 , 常数 j = exp , f x= a其中 l = 0 , 1 , 2 , i + a x + a x+ + a x + . 0 1 2 n m
施行第 2 种 m 重分割求和法 又有 ,m - 1 1 ( ) 2 m - lk2 k +1 ε(ε ) = f - a+ a-a, l m + l 2 m + l l ? εmk = 0
πn 2 () ( ) ε, m - 1 , 常数= exp i , f x= a + a x + a x+其中 l = 0 , 1 , 2 , . + a x + 0 1 2 nm
证明 常数项级数的发生函数
n 2 ) ( x + + af x= a+ ax + ax+ . n 0 1 2
[3 ]施行第 1 种 m 重分割求和法 , 应用抽象双曲函数表达式定理得到 m - 1 1 l m + l 2 m - lkk ( ) ) ( j f j,= l = 0 , 1 , 2 , , m - 1. ax+ ax+ ax+ l m + l 2 m + l x ?m k = 0 特别当 x = 1 时就有定理 2 中第 1 部分结果.
[4 ] 类似地 , 施行第 2 种 m 重分割求和法 , 应用抽象三角函数表达式定理, 当 x = 1 时又有
定理 2 中第 2 部分结果.
例 3 试求常数项级数
1 1 1 1 1 + + + + + + . 1 ! 2 ! 3 ! n ! 施行 2 种 m 重分割求和法.
解 已知函数展开式
1 1 1 1 n 2 3 ( ) + x + . exp x= 1 + x + x+ x+ 1 ! 2 ! 3 ! n !
[1 , 7 ] 施行第 1 种 m 重分割求和法就是广义双曲函数, 根据定理 2 得到 m - 1 2 π π 1 kk2 2 ( ) ( ) [ exp 1 + 2 co s sin exp co s , m 为奇数 , ?m m m k = 1
S = m 1 - 12 2π π kk2 2 ) ) ( ( ch 1 + co s sin exp co s , m 为偶数 , ?mm m k = 1 m - 1 2 π π π1 k2 kk2 2 ( ( ) ) [ exp 1 + 2 co s sin - exp co s , m 为奇数 , ?m m m m k = 1
m S = 2 - 12 π π π 2 2 k2 k2 k( ) ( ) [ sh 1 + co s sin - exp co s , m 为偶数 , ?m m m m k = 1
m - 1 2 π ) π π( 2 m - 1 k2 1kk2 ( ) ) ( exp co s , m 为奇数 , [ exp 1 + 2 co s sin - ?m m m m k = 1
S = m m - 12 π ) π π ( 2 k1kk2 2 2 m - ( ) ) ( exp co s , m 为偶数.[ sh 1 + co s sin - ?m m m m k = 1 [2 , 7 ] 施行第 2 种 m 重分割求和法就是广义三角函数, 根据定理 2 得到
海 南 大 学 学 报 自 然 科 学 版 2000 年 114
m - 3 2 (π ()π )1 2 k + 12 k + 1( ) (() ) [exp - 1+ 2 cos sin exp cos , m 为奇数 , ?m m m k = 0 T= m 1 - 12 π)2 k + 1 2 k + 1π ( () 2 ) () (, m 为偶数 , exp cos cos sin? m m m k = 0 m - 3 2 (π ( )1) (2 k + 1)π (2 k + 1)π - 12 k + 1m -( ) [exp - 1-) (, m 为奇数 , ]exp cos 2 cos sin + [ ?m m m m k = 0
T= m 2 - 12 (π( ) ()π ()π)2 k + 1 m - 12 k + 1 2 k + 1 - 2 ) (, m 为偶数 , cos[ sin]exp cos + ?m m m m k = 0
m - 3 2 ()π ()π ()π 1 2 k + 12 k + 12 k + 1) ( ) (] - [exp - 12 cos[ sin + exp cos , m 为奇数 , ?m m m m k = 0
T= m m - 12 (π ()π) (2 k + 1)π 2 2 k + 12 k + 1) (, m 为偶数. ]exp cos - cos[ sin + ?m m m m k = 0
参考文献 :
() () () 耿济. 自然指数函数展开式的多重分割法一J . 海南大学学报自然科学版,1994 ,124:283,290. 1
() () () 耿济. 自然指数函数展开式的多重分割法二J . 海南大学学报自然科学版,1995 ,132:95,104. 2 () () () 耿济. 自然指数函数展开式的多重分割法三J . 海南大学学报自然科学版,1996 ,143:197,205. 3 () () () 耿济. 自然指数函数展开式的多重分割法四J . 海南大学学报自然科学版,1997 ,151:1,8. 海4 () () () 耿济. 自然指数函数展开式的多重分割法五J . 南大学学报自然科学版,1997 ,152:85,92. 海5 () () () 南大学学报耿济. 自然指数函数展开式的多重分割法六J . 自然科学版,1997 ,153:176,183. 海
() () () 6 耿济. 自然指数函数展开式的多重分割法七J . 南大学学报自然科学版,1997 ,154:258,264. 海
() () () 耿济. 自然指数函数展开式的多重分割法八J . 南大学学报自然科学版,1998 ,163:191,197. 7
8
9 徐子宏. 周易全译M. 贵阳 :贵州人民出版社 ,1991. 362,363.
徐利治 ,蒋茂森 ,朱自强. 计算组合数学M. 上海 :上海科学技术出版社 ,1983. 55,59. 10
Method of Multi2seperable Expansions for the Expansion of
Exponential Function( ?) ———Application
GENGJi
( )Hainan University , Haikou 570228 , China
Abstract : In this paper ,the author applies the method of multi2separable expansions to the series of constant terms.
Key words : finite series ; infinite series ; application
范文三：自然指数函数展开式的多重分割法（十）
自然指数函数展开式的多重分割法(十)
…,厶(豇)=,一厂m(),=exp,证明
了这一分割法的唯一性,同时指出当,()=exp时,这一分割法就是广义双曲函数组,且与
已知的广义双曲函数组的定义【IJ是等价的.
1双曲函数概念推广的历史
双曲函数组F.()=ch,()=sh的等价条件是常微分方程组
=F2(:
以及初值条件
n(O)=1,n(O)=0
的解.
波兰着名学者}{0eneWmnshiNo]首先把上结果推广得出.
整数m?2个函数组FI(),F2(),(),…,()满足常微分方程组
=
叭删F3(,…,?,
初值条件
FI(0)=1,F2(0)=F3(O)…一(0)=0时,称FI(),F2(),(),…,()为m
收稿日期:2000—08—31
基金项目:悔南省教育厅自然科学资助项目,琼教高(t996—10)
作者简介:耻跻(1929一),男,江苏镇江人.海南大学理工学院教授
104簿南大学自然科学版2001年
个循环函数组.
关于循环函数组的概念曾引起学者们的兴趣和研究.例如1970年PipesLAD1]应用矩阵
方法研究循环函数组i卫如1994年笔者[]发现循环函数组在理论上和应用上存在着不协调的
现象,反映在函数组的次序上各不一致,最简单的例子当m=4时,循环函数组为
Ft():{(ch+.0s),r2():{(s}I一s-?),r3():{(ch一~o6),()=
{(sh+sin),即理论上出现的次序为F1(),(),Fz(),F4(),应用上出现的次序为
s1()=F1(),s2()=,4(),s3()=F3(),S4()=F2().
为了揭开不同次序的问题,发现把函数组展成幂级数,就有
s=
妻赢,sz?=妻,
=
妻,s?=妻,
这正是函数exp展开式的4重分割法,为了区分起见.又称sl(),()(),s4()
为广
义双曲函数组.
由此说明循环函数组具有人为的形式美,广义双曲函数组具有天然
的内在美,正如唐代着
名诗人李白所说:天然去雕饰.
2广义双曲函数组
已知广义双曲函数组的定义有3种等价的表示方法LIJ,现在叙述另一种用代数方程组表
示的新定义.
定义1(广义双曲函数组)整数m?2,对于函数expx而言,如果存在m个函数组
Si(),S2(),S3(),…,sm()适合函数方程组
Sl()+s2()+岛()+…+sm()=exp,
以及
s1():St(),s2(豇)=2(),s3(豇)=s3(),…,s(豇)=I1sm(),其中=
exp,称Sl(),Sx(),S3(),…,()为广义双曲函数组.
在定义1中特别当m=2,=一1时,就有S一()+S2()=exp以及S一(一):S1(),
s2(一*)=一sz().由此可知,把exp分成一个偶函数与另一个奇函数之和,显然得到双曲
函数组St()=ch,s2()=sh.
接着叙述2个简单的性质.
性质1(存在性)整数m?2时,m个广义双曲函数组是存在的.
证明选取特殊的函数组
s,=妻南?=妻榭+l(rtm+1)S3()=
妻2,…?=妻11(m+)!’一[(n+)m一]!
不难验证符合定义1中的条件,所以m个广义双曲函数组是存在的.
!!竺耿济等:自然指数函数展开式的多重分割法(十)105
性质2(唯一性)整数m?2时,m个广义双曲函数组存在且唯一.
证明已知J=exp等,分别以,豇,,…,Jm一代替定义1中第1个条件中的,再应
用第2个条件,得到下列函数方程组
s1()+s2()+S()+…+():唧,
si()+()+岛()-+一()=唧如,
sl()+s2()+,s3()+…+,’m一():exp,
sl()+』s2()+_『2(m-1)()?+(‘():exp
此时sl(),s2(),s3(),…,()系数对应的行列式
D=
现在证明D0.
已知Vandem~nder行列式
Dm(l,2,?,…,)=
1
___
m
1
一
广一
一
,
=
?(一)
不妨选取1l,2=,匈=广,…,=,,其中=唧,显然(1,,,…,m一)?o,
即得.穿用r法则解出l(),岛(),岛(),…,sm()的唯一解,所以性质2成立.
现在总结广义
双曲函数组的4种等价形式.
…妻竺(价表示式)整数m?2,广义双曲函数组sl(),s2(),S3().…,sm()的
4种等价表示式’…,’
第1种函数方程组表示式
sI()+s2()+岛()+…+():xp,
以及
h)Is3(豇)=,s,…,s朋(丘)=一sm(),其中=唧.
第2种幂级数表示式”‘
=
塞南妻,
,互,…?=塞.
一
.,,,
l
??一,一
??
.建
一?
?钆
海南大学自然科学版2001拄
制,?,?,…,)
以及初值条件
s1(0)=1,S2(O)=s3(0)…--sm(O)=0.
第4种初等函数表示式
s)=摹cos
s?=去摹一
s=去摹cos
n
2k~:
,Iexc.s),
n,
)exp(…s)mm,’,m,
n,
)exp(…s)mm,’,m,
)=去0.又有
=C一
,()
豇)
-r()
,(豇)
,(j2X)
J一)
把已知的C代人便得定理2中的结果.
定理2中当,()=exp时的特例作为推论.
推论m个广义双曲函数组sI(),s2().s3(),…,Sm()时,就有
sl()=p+p豇+e】甲+…e】甲一’],
sd)=日p+一.e】甲豇+一exp,’+e】甲,一’],
s3()=[日p+一e】甲豇+一’expj2’+-1.2e】甲一’],
()=lEe】甲+e】甲豇+j:~exp-+j=-texpj]
?
广
i
一
.
产
24
一一
.
,产
l2
一一
mm?
I.,.J..J
,,,.............................
L
?
一m
II
—
C
第2期驮济等:自然指数函数展开式的多重分割诸(十)1139
这是广义双曲函数组另一等价的直接表示式.
例3试证函数,()=lIl(1+)的重分割法得到的函数组
()=
[1+(一1)],当=1时,
l,
In(1+)+?
{h(…oo学版2001妊
4附注
最后应该指出广义双曲函数新概念的应用,现在通过几个具体的例子加以说明,以作本文
结束.
例1m>2时.广义双曲函数S1(),s2(),….s()构成的m阶循环行列式.
就有
()=
S1()S2()…sm()
()S1()…sm—l()
s2()S3()…s2()
证明从广义双曲函数等价新概念容易得出函数方程组
sl()+s2()+s3()+…+sm()=xp(),
s1()+2()+/aS3()+…+m-I()=xp(豇).
sx()+广s2()+,s3()+…+j2(一sm()=xp(-1.2)
sl()+一s2()+,’一.S3()+…+,(‘sm()=既p(m-I)
,’,
这里=explmJ-
由于exp()exp()exp(-l_2)…~xp(j一.)=l,
立即得出
一
l
?(Sl()+jlS2()+,3()+…+一)sm()):1.
最后不难证明行列式()可以分解戚上述乘积.所证结果成立.
例2试求广义双曲函数的和角公式.
解从广义双曲函数等价新概念得到
e~p(i(xy)):sl(y)+2(+y)+…+,一s(y).
由于exp(,(y))=exp()exp(),又有
.rp((y))=(sl()+2()+…+sm())?
(sl(y)+2(y)+…+(y)).
展开即得和角公式
s1(Y)=Sl()l(y)+()s2(,)+…+岛(*)(),
S2(xY):S2()Sl(Y)+S1()s2(y)+…+S3()s眦(y),
S(,)=s()SI(Y)+sm—Is2(y)+…+Sl()sm(Y).
以上2例的证明大大简化了文献[1]中的证明,下面再举一个新结果,类似于广义三角函
数中的DeMoivrc定理的推广.
例3试证
(S1()+2()+,s3()+…+一sm())=
s1()+』s2()+,s3(w)+…+一sm().
第2期耿济等:自然指散函散展开式的多重分割法(十)lI1
其中=e冲(),为任意实数.
证明(s1()+js2()+广s3()+…+,S())=(唧(豇))=e(,())=
SI()+2(w)+s3(m)+…+一.sm(w).
参考文献:
[1耿济.自然指散函散展开式的多重分割法(,)——广义双曲函散[J]
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【3]驮济.自然指散蘧散展开式的多重分割法(三)——抽象双曲姻散【J]
14(3):197—205.
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15(1):1—8.
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海南大学(自然科学版).1995
海南大学(自然科学版),1996
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[6]驮济.自然指散函散展开式的多重分割法(六)——应用部分[J].海南大学(自然科学版).1997,15
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[7]耿济.自然指散函散展开式的多重分割法(七)——应用部分[J].海南大学(自然科学版).1997,15
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ti?macBB[】].1beMatlixandTeme~Qeecterly,1970,2O(4):99—111.
MethodofMulti—seperableExpansionsfortheExpansion
ofExponentialFunction(X)
GENGJi,GAOZe-tu
(舯?andEn#ne,etlr~c0【le}哪lUnKv~y.附k椰卯0,01_哪)
Abstr~:Inthispaper.putforwardthenconceptofmethodofmaid?sepembleex
pansionoffa~.e-
锄.dividingfunction,()~tof,()+,2()+…+,m()onthesymmetricalinte~M(1??
m).
which,(豇)=一(),=眈p.m??,m?2,andprovethattheexpansianism】0ne.
Especi~lyw}l?,()=exp,thosefunctionsoftheexpansionareextendedhyperbolicfxmction~..
Keywords:funcdcn;methodofmulti-perableexpansion;extendedhyperbolicfunctJotl;equival~t
范文四：二个指数函数泰勒展开式的余项估计
3
二个指数函数泰勒展开式的余项估计
1 2 金小萍, 张小明
()1 . 浙江广播电视大学 长兴学院 , 浙江 长兴 313100 ; 2 . 浙江广播电视大学 海宁学院 , 浙江 海宁 314400
- x x ( ) ( ) 摘 要 :利用几何凸函数的积分性质和二个指数函数的几何凸性 , 分别得到了 ex > 0和 e x > 0的泰勒展开式余项的一个新的估计 ,得出了两个新的不等式 ,应用这两个新的不等式可以有效地改进一些影响较广的已知结 果 ,并且对具有同样性质的祁锋不等式给出一个简证.
关键词 :泰勒展开式 ; 余项 ; 不等式 ; 几何凸函数
() O178 文章编号 :100921734 20090120011205 中图分类号 :O173 . 1文献标识码 : A
MSC 2000 :6D15 30B10
0 引言及引理
x [ 1 ] ( ) 关于 ex > 0的泰勒展开式的余项估计 , 不等式著作《常用不等式》已有结论. 本文利用几何凸函x - x ( ) ( ) 数的性质 , 分别得到了 ex > 0和 ex > 0的泰勒展开式余项的一个新的估计 , 改进了一些已知结果 ,
并对具有同样性质的祁锋不等式给出一个简证.
一维几何凸函数定义如下 :
[ 2,4 ] ( ) ( ) (定义 1设 I Α 0 , + ?一区间 , 函数 f ?I ?0 , + ?为连续 , 且对任取 x , y ?I , 都有 f )x y ( ) ( ) ( ) Φ f xf y成立 , 则称 f 为 I 上的几何凸函数; 称 f 为 I 上的几何凹函数 , 当且仅当 1/ f x为几何凸
函数.
[ 2,14 ] 关于几何凸函数的研究 , 最近成果较多. 大量的事实表明 , 几何凸函数具有与凸函数同样的优
点 , 即能够把许多已知的用不同方法得到的不等式 , 用一种统一的模式推导出来 , 这是证明和推广已知不
等式、发现新的不等式的一个强有力的工具. 本文的结果也可以看作几何凸函数的一些应用.
本文在主要结果的证明过程中需介绍以下引理.
[ 2 , 4 ]( ) ( ) ( ) 设 I Α 0 , + ?一区间 , 函数 f ?I ?0 , + ?为二阶可导 , 则 f 是几何凸 凹函数的 引理 1
充要条件是 :
2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x [ f xf ″x- f x] + f xf ′xΕ Φ0 .
[ 7 , 11 ] ) ) ( ) ( 引理 2设函数 f ?[ a , b] Α [ 0 , + ??[ 0 , + ?在 a , b上为几何凹函数 , 且当 x ?a , b] 时 ,
x ( ) ( ) ( ( ) F x= f xd t 存在 , 则 F ?a , b] ? 0 , + ?为几何凹函数. a ?
[ 4 , 13 ]) ( ( ( ) 引理 3设函数 f ?[ 0 , b] ?[ 0 , + ?在 0 , b] 上为几何凸函数 , 且当 x ? 0 , b] 时 , F x=x ( ) ( ( ) f xd t 存在 , 则 F ?0 , b] ?0 , + ?为几何凸函数. 0 ?
[ 11 ]( ) ( ) ( ) ( ) 设 f x为[ a , b] 上的几何凸 凹函数 , 且 x f ′x+ f x在[ a , b] 取恒号 , 则 引理 4
2 2 b (( )) af a bf b ( ) ( ) d t Ε Φ f t- . a ( ) ( ) ( )( ) f b+ bf ′bf a+ af ′a ?
3 收稿日期 :2008211220 ; 修回日期 :2008212215
作者简介 :金小萍 ,高级讲师 ,从事数学教学和不等式研究.
湖 州 师 范 学 院 学 报 12 第 31 卷
x ) ( 1 > 0的泰勒展开式余项的估计ex
n k x x ( ) ( ) ( ) ( )本节设 x > 0 , n ?N , S n x= x / k ! , T n x= e - S n x. 由幂级数知识易知 , T n x= e - k = 0 ? ?k x ( ) S n x= x / k ! > 0 是 e 的幂级数展开式的余项.k = n+1 ?
定理 1 若 x > 0 , 则
2n+1 ( ) n + x - n 4 n + 4 + x - x ( ) )( 1 T n xΕ. ( ) 2 n + 1!
x x t ( ) ( ) > 0 , T x> e为几何凸函数. 由引理 3 知 , Tx= ed t 为几何 证明- 1 0 由引理 1 易知 :对于 x0 ?x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )凸函数 , 进而 Tx=Ttd t ,, T x=T td t 为几何凸的 , 且此时 T x+ x T ′x= 1 0 n n- 1 n nT n x 0 0 ??
( ) + x T n- 1 x> 0 . 由引理 4 知 , 对于任何 a , x , 当 0
2 2 x ( )( )x T x a T a n n d t Ε ( )t T ( ) 2 n- . a ( ) ( )( ) ( )T a+ a T ′a?T x + x T n′ x n n n
( ) 在 2式中 , 令 a ?0 + , 有 : 2 ( )x T n x ( )a T an ( ) ( )T xΕ3 n+1 - li m . a ?0 + ( ) ( ) ( ) ( )T x+ x T x1 + a T ′a/ T a n n- 1 nn
多次使用罗必塔法则 , 有 :
n- 1 a i )( a / i !a e - 1 - ( )a T ′ai = 1 n ? ( )= n + 1 . 4 li m= li mn a i a ?0 + a ?0 + ( ) T an e- 1 - a / i ! i = 1 ?
( ) ( ) 结合 3式和 4式 , 有 :2 n+1 ( )x T n xx Ε ( )T x- , n n ( ) n + 1! x ( )xT + ( ) T x + x n n n !
n+1 n+2 n+1 2 n+2 x x x 2 x ( ) ( ) ( ) Ε 0 . Txx-5 + - T n - n ( ) ( ) n + 1! n + 1! n ! ( ) n ! n + 1! ( ) 解 5式可以得到 :
2 n+1 n+2 n+1 n+1 n+2 n+1 2 n+2 x x x x x x x + - + -+ 4+ ( ) ( ) ) ( ) n + 1! n + 1! n !( ) ( n + 1! n + 1! !n ! n + 1n ! ( ) T xΕ = n 2 2 n+1 ( ) n + x - n+ 4 n + 4 x x - . ( ) 2 n + 1!
n+1 [ 1 ] x ( ) Ε 注 :定理 1 结果明显强于 T x. n ( ) n + 1!
推论 1对于任何 n ? N , 都有 :
2 n 1 + 2 n + 5 - n + 1 1 n( )Ε 6 e - 1 - .i = 1 ? ( ) i ! 2 n + 1!( ) ( ) 在 1式令 x= 1 , 立得 6式 , 其也强于文献[ 1 ] 中的如下结论 :
n 1 1 Ε e - 1 - .i = 1 ? ) ( i ! n + 1!- x ) ( 2 > 0的泰勒展开式余项的估计ex
2 n - x xn- 1 x )( ( ) e - 1 + x - + - 1 + 0 , n ? N , Px=> 设 xn . 2 ! n !
定理 2若 x > 0 , 则
13 第 1 期金小萍 ,等 :二个指数函数泰勒展开式的余项估计
2n+1 ( ) x + n x + 4 n + 4 - x - n ( )Ε ( ) .7 Pn x ( ) n + 1!2
x - x - t ( ) ( ) 证明由引理 1 易知 , 对于 x> 0 , Px> e为几何凹函数. 由引理 2 知 , Px= ed t 为几何- 1 0 0 ?x t ( ) ( ( ( ) ( ( ) ) ))( )凹函数 , 进而 Px=Ptd t ,, Px=Ptd t 为几何凹的 , 且此时 Px+ x P ′x= 1 0 n n- 1 n n Pn x 0 0 ??
( ) + x P n- 1 x> 0 . 由引理 4 知 , 对于任何 a , x , 当 0
2 2 x ( )( )x Px a Pa n n ( ) ( )d t Φ 8 P tn - . a P P ( x ) + x P n′ x( ) n ( a ) + a P n′ a( ) ?n
( ) 在 8式中 , 令 a ?0 + , 有 : 2 ( )x ( x P)n a P an Φ ( )( )- li m . 9 Pxn+1 a ?0 + ( ) ( )( ) ( )1 + a P ′a/ PaPx+ x P xnn n n- 1
多次使用罗必塔法则 , 可以知 :
- a ( )( )a P ″aa P ′an ae n n + ( )li m 1 + = = n + 1 . = li m= li m10 - a a ?0 +a ?0 + a ?0 + ( )( )P′a1 - e Pan n
( ) ( ) 联立 9、10式 , 有 :
2 ( )x Px n ( )( ) Φ 11 Pxn+1 . ( ) ( ) Pn x+ x P n- 1 x
若 n = 2 m 为偶数 , 则2 2 m +1 - x x x ( ) = e1 + x - Pn+1 x- + + , ( ) 2 ! 2 m + 1! 2 2 m xx - x ( ) + 1 - x + Px= -en + + , ( ) 2 ! 2 m! 2 2 m - 1 x x - x ( )Px= e- 1 + x - + + . n- 1 ( ) 2 m - 1! 2 !
( ) 代入 11式 , 有 : 2 2 m +1 ( )x P xx 2 m ( ) Φ - Px+2 m , 2 m ( ) 2 m + 1! x ( ) ( ) + xP- 2 m 2 m P x + x ( ) 2 m!
2 m +2 2 m +1 2 m +1 4 m +2 x x x 2 x ( )( ) Ε 0 . + - P( x ) - 12 x+P22 m m ( ) ( ) ( ) 2 m + 1! 2 m! 2 m + 1! ( ) ( ) 2 m! 2 m + 1! ( ) 解 12式 , 有 :
22 m +1 ( ) x + 2 m + 8 m + 4 - x - 2 m x( ) ( ) .P2 m xΕ13 ( ) 2 m + 1! 2
若 n = 2 m + 1 为偶数 , 则
2 2 m +2 x- x x ( )Pxn+1 = - e+ 1 - x + + + , ( ) 2 m + 2! 2 !
2 2 m +1 x x - x ( ) = ePn x- 1 + x - + + , 2 ! ( ) 2 m + 1! 2 2 m x- x x ( ) e+ 1 - x + Pn- 1 x= -+ + . ( ) 2 ! 2 m! ( ) 代入 11式 , 有 :
2 2 m +2 ( ) x P 2 m +1 xx ( )Φ - + , Px2 m +1 2 m +1 ( ) 2 m + 2! x ( ( )+ ) - Px P x + x2 m +1 2 m +1 ( ) 2 m + 1!
2 m +2 2 m +3 2 m +2 4 m +4 x x x x 2 ( )+ - P2 x( )Φ 0 , - - + m +1 Px2 m +1 ( ) ( ) ( ) 2 m + 1! 2 m + 2! 2 m + 2! ( ) ( ) 2 m + 1! 2 m + 2! 2 m +2 2 m +3 2 m +2 4 m +4 x x x 2 x ( )( ) ( ) Ε 0 . 14 Px++ - xP2 m +2 m +1 1 - ( ) ( ) ( ) 2 m + 1! 2 m + 2! 2 m + 2! ( ) ( ) 2 m + 1! 2 m + 2! ( ) 解 14式 , 有 :
湖 州 师 范 学 院 学 报 14 第 31 卷
22 m +2 ( ) 2 m + 1 + x ( ) ( )x+ 4 2 m + 2- 2 m + 1 - x ( )Ε ( ) .15 P2 m +1 x ( ) 2 m + 2!2
( ) ( ) ) ( 结合 13、15式知 , 7式成立.
推论 1对于任何 n ? N , 都有 :
2 1 1 1n 1n + 6 n + 5 - 1 - n 1 ( ) + 1( )-Ε + - 16 .e 2 ! 3 ! n ! 2 ( ) n + 1! ( ) ( ) 在 7式令 x = 1 , 立得 16式.
3 祁锋不等式的简证
k n xx [ 1 , 15 ]( )( ) = e 设 b > 0 , n ? N , T x- < x="">< b="" 时="" ,="" 有="" :定理="" 3="" 祁锋不等式,="" 则当="" 0n="" k="0">
b ( ) αn + 1!-en n+1 n+1 n+1 α( )( ) ( ) α17 b - + Φ T xΦx ,n x xx n n ( ) ( ) b n + 1n + 1!
(α)- 1/ n !n- 1 b αα . 其中 ,= e,=- 1 n b
(α)n- 1 - 1/ n ! b αα 对于= e,= 证明- 1 n , 不难用数学归纳法证明 :b k + ?bα .= n k = 0? ( ) n + 1 + k!
则当 0 < x="">< b="" 时="" ,n+1="" +k="" +="" x="" (="" )="" (="" )="" t="" x="e" s="" xn="" n="" -="=" k="0" )="" n="" +="" 1="" +="" k!="">
k k + ?+ ?x n+1 bn+1 n+1 αΦ xx= x. n k = 0 k = 0 ?? ( ) ( ) n + 1 + k! n + 1 + k!
( ) 17式的右边得证. 又
k k + ? x - b n+1n+1 α( ) x - x T xn = = n k = 1 ?( ) n + 1 + k! k - 2 k - 1 k - 1 n+1 + ?) + x b + ( x + bxx b - Ε - k = 1 ?( ) ( )( )( ) n + 2n + 3 n + k + 1 n + 1!
k - 1 n+1 + ?( ) kb b -xx ( )18 - . k = 1 ?( )( )( ) n + 2 n + k + 1 n + 1!
同时 ,kk + ?+ ?+ ? ( ) ( ) ( ) !b n + 1n + 1! k ! - n + 1 + k! bb k ( ) αn + 1!- =e- = b = n k = 0 k = 0 k = 1 ???( ) ( ) k !n + 1 + k! k ! n + 1 + k!
+ ? ( ) ( ) n + 1 + k! - n + 1! k ! k - 1 ( )( )- bn + 1 b . 19 k = 1 ?( ) ( ) k ! n + 1n + 1 + k! ( ) ( ) ( ) 考虑 17、18式 , 欲证 17式的左边 , 只要证当 k Ε 1 时 ,
( ) ( ) n + 1 + k! - n + 1! k ! k ,Ε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k ! n + 1n + 1 + k! n + 2n + 3n + k + 1!
( ) ( ) ( ) ( ) n + 1 + k! - n + 1! k ! Ε kk ! n + 1n + 1! ,
( ) ( ) ( ) ( )n + k + 1Ε k ! kn + k + 1, n + 2n + 3
( ) ( ) ( )( )( )! n Ε k + 1!. - kk n + 2n + 3 n + k + 1 20
在上式左边关于 n 的展开式中 , n 的系数为 :
1 1 k 1 ( ) ( ) ( ) + - kk ! > k + 1! - kk ! = 0 . k + 1! + +2 3 k + 1 k + 1 ( ) 所以在 20式左边关于 n 的展开式中 , n 的多项式的系数都为正 , 故
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 + k + 1= k + 1!. n + 2n + 3n + k + 1- kk ! n Ε 0 + 20 + 3
( ) ( ) 20式得证 , 17式成立.
15 第 1 期金小萍 ,等 :二个指数函数泰勒展开式的余项估计
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The Est imat ion of t he Rema in der Terms
in Ta yl or Series Expansion of the Two Exponent ial Funct ions
1 2J IN Xiao2pi ng, Z H A N G Xiao2mi ng
(1 . Cha ngxing College , Zhejia ng Radio & TV U niver sit y , Changxing 313100 , China ;
)2 . Haini ng College , Zhejiang Radio & TV U niver sit y , Haining 314400 , China Abstract :B y ma ki ng u se of t he i nt egral p rop er t y of geo met ricall y co nve x f unctio n s a nd geo met rical co n2 ve xit y of t he t wo e xpo ne ntial f unctio n s , t hi s p ap er o bt ai n s t wo new e sti matio n fo r mula s of t he re mai nde r
x - x ( ) ( ) t er m i n Ta ylo r e xp a n sio n of ex > 0a nd e x > 0, a nd t wo new i nequalitie s. The new i nequalitie s ca n be u sed to eff ectivel y i mp ro ve so me wi del y2aff ect ed k no w n re sult s. Mea nw hile , it brief l y p ro ve s t he co r rect ne ss of Qi Fe ng’s i nequalit y t hat ha s t he sa me p rop e r t y .
Key words : Taylo r e xp a n sio n ; re mai nder t er m ; geo met ricall y co nve x f unctio n s ; i nequalit y MSC 2000 :53C17
范文五：P次Kadomtsev_Petviashvili方程的指数函数展开式型孤子解
第 7卷 第 5期 红河学院学报 Vol. 7 No. 5
2009年 10月 Oct. 2009 Journal of Honghe University
P次 Kadom tsev - Petviashvili方程的指数函数展开式型孤子解
1 2纳自华 ,李薇
( )1. 蒙自教师进修学校 ,云南蒙自 661100; 2. 红河学院数学学院 , 云南 蒙自 661100
摘 要 :文章结合齐次平衡法原理并利用指数函数展开法 ,研究了 p次 Kadom tsev - Petviashvili方程 ,在一个特定的 变换下 ,借助于数学软件 Map le的运算功能 ,获得了 p次 Kadom tsev - Petviashvili方程的指数函数展开型新孤子 解 ,从而丰富了相关文献中关于 p次 Kadom tsev - Petviashvili方程的解的类型 。
关键词 : p次 Kadom tsev - Petviashvili方程 ;齐次平衡法; 用指数函数展开法 ;指数函数展开型孤子解
( ) 中图分类号 : O175. 0 文献标识码 : A 文章编号 : 1008 - 9128 200905 - 0019 - 05
0 引言 [ 1, 2 ]在这篇文章中 ,我们将研究下列 p次 Kadom tsev - Petviashvili方程
p ( ) ( )u + uu + u = u . 1 t x x x x x y y
( )当 p = 1时 , 方程 1就是经典的 KP方程 ,可以当作各种物理模型使用 ,已被国内外许多作者研究过 ,见文 献
( )[ 3 - 12 ]以及这些文献中所引用的文献. 当 p > 1时 ,方程 1 的孤立波解的稳定性和奇异情形 , 最近也相继
4 ( )被 L iu和 Dai等作者研究过 ,见文献 [ 1, 2 ]. 在文献 [ 1 ]中 ,当 1 ?p? , L iu研究了方程 1 的孤立波解的爆破
3
( )性和强稳定性. 文献 [ 2 ]中 ,在 p = 2和 p = 2k + 1的情形下 Dai等作者获得了方程 1 的一些奇异和非奇异孤 立波解 ,并讨论了解的爆破现象。
本文结合齐次平衡法原理并利用指数函数展开法 ,将再次研究 p次 Kadom tsev - Petviashvili方程 , 在一个 特定的变换下 ,可以获得 p次 Kadom tsev - Petviashvili方程的指数函数展开式型新孤子解 ,这些新孤子解与文 献 [ 1, 2 ]中的结果是完全不相同的 。
1 方法简述
象文献 [ 13 - 15 ]那样 ,我们给出指数函数展开法的简单求解过程 :
考虑非线性偏微分方程
( ) ( ) P u, u, u, u, u, u, u, u, = 0 . 2 t x y t t x x y y x t
( ) 为求方程 2的行波解, 做变换
ξ) ξω( ) (( )u x, y, t= u ,= kx + ky - t, 3 1 2
ω( )( )( )(ξ)其中 k, k,为待定常数, 将 3代入方程 2可将式 2行波约化为 u 的常微分方程 : 1 2
2 2 2 ( ωω ω) ( )P u, - u ′, ku ′, ku ′,u" , k u" , - ku" , = 0. 4 1 2 1u" , k 12
ξ)ξ)((设 u 可表示为 exp 的有限幂级数, 即: c ?( ξ) ( ξ)exp c+ + a exp - d a( ξ)c - d aexp n n = - d n ( )= , 5 (ξ) u = r ξ)(( ξ) ( ξ)?bexp m bexp r + + bexp - q n = - q m r - q
( )其中 c, d, r, q是待定正整数, a , b是待定常数 。为了确定c和 r的关系, 平衡方程 4 的非线性项和线性 项的n m
( )最高次数, 同理平衡方程 4的非线性项和线性项的最低次数, 可以得到 d和 q的关系 。再把c和 r, d和 q
收稿日期 : 2009 - 01 - 10
( )基金项目 :云南省教育厅科研基金项目 06Y147A
( ) 第一作者 :纳自华 1963 - ,女, 云南蒙自人, 讲师 。研究方向:非线性物理方程 。
20 红河学院学报 2009. 5 /数学
( )( ξ)( ξ)取一些特定的值 , 可将方程 4的左边化为 exp n的多项式 。令 exp n的系数为零 , 得到相应的代数方程 组 ,
( )( ( ξ))求解这些代数方程 , 并将这些结果代入 5 式便得到方程 2 用 exp n表示的行波解的一般形式 。这些 类型的解, 在某些参数条件下可以化为各种孤子解 。
2 p Kadom tsev - Petviashvili 次方程的精确解
( )( )( )下面将用上述方法求解方程 1的行波解 ,将 3式代入 1得到下列常微分方程 3 2 p ( ω) k- u′+ ku u′+ ku ′′′′= k 1 1 12u".
ξ上式两边对 积分两次, 均取积分常数为零得 2 k 14 2 ω- ku + ( )1p + 1 + ku" = ku. 6 12up + 1 1 p p νν)( 作变换 u=即 u =, 7
( )则 6式变为: 2 2 2 2 2 2 3 4 2 2 4 ( ) ( ) (ν)( )νν( )ωp + 1+ k ( ) ν ν 1 - p ′ - k p p + 1" = 0. 8 [ kp 2p p + 1]- k p- k 11113 ( )( )ννν为了平衡方程 8中非线性项 "和 的最高次数, 由 5式可得
( )ξcexp [ 2c + 3 r] + 1 ( ), 9 νν" = ξcexp [ 5r ] + 2 ( )ξcexp [ 3c + 2 r] + 3 ξcexp [ 3c] + 3 ( )3 = , 10 ν= ξξcexp [ 3r ] + cexp [ 5r ] + 4 4
( )( )( )其中 ci = 1, , 4是系数. 平衡 9和 10式中的最高次 , 则有: i
2c + 3 r = 3c + 2 r, 即 : r = c. 3 ( )( )ννν同样为了找到 d和 q的关系 , 平衡方程 8中非线性项 "和 的最低次, 由 5式可得
( )ξexp [ 2d + 3q] + d 1 νν" = , ( 11)ξ+ dexp [ - 5q] 2
ξ( )ξ+ dexp [ - 3d] + dexp [ - 3d + 2q] 3 3 3 ν= = , ( 12)ξξ+ dexp [ - 3q] + dexp [ - 5q] 4 4
( )( )( )其中 di = 1, , 4是系数 。平衡11 和 12式中的最低次, 则有: i
2d + 3q = 3d + 2q, 即: q = d.
( )情形 1:令 r = c = 1和 q = d = 1时, 由 5式得:
(ξ) ( ξ) exp + a+ a exp - a 1 0 - 1 ν(ξ) = . ( 13)(ξ) ξ)( exp + b+ bexp - 0 - 1
( )( ) ( ξ)( ξ)将 13式代入方程 8, 可将方程的左边化为 exp n的多项式 。令exp n的系数为零, 从而得到关于 a - , a, a, b, b, b的代数方程组 。借助 M aple, 解上述代数方程组得到下列解: 1 0 1 - 1 0 1 2 2 4 2 2 ( ) ( ) kp + 1 p + 2 b b k- p k 1 00 1 2 ω ,= . a= 0, a= , a = 0, b= b, b= 1 0 - 1 0 0 - 1 2 2 4 p p k 1
( ) ( )( )将以上结果代入 13、7式中, 则方程 1有如下精确解: 1 p 1 2 ( ) ( ) kp + 1p + 2b 1 0 2 p ( ) ( )u x, y, t= . 14 2 4 2 2 b4 22 k- pk k- pk 1 20 12- kx + ky - kx + ky - 1212tt e 22pk pk 1 1 + b0 + e 4 ( )) 这里只要我们适当地选取参数 b, k, k就可由 14式得到多种形式的孤波解和周期解。 i0 1 2
( )如取 b= 2, 则可得方程 1的钟状孤波解: 0 12 4 2 2 p ( ) ( ) kp + 1 p + 2 k- p k 1 1 2 12 ( ) ( )( )u x, y, t= sech k x + k y - t . 15 2 21 2 2p p k 12 ) ( )ii如取 b= - 2, 则可得方程 1的孤波解: 0 12 4 2 2 p ( ) ( ) kp + 1 p + 2 k- p k 1 1 2 12 ( )( ) ( ). 16 u x, y, t= - csch k x + k y - t 2 21 2 pk 2p 1 2
纳自华, 李薇: P次 Kadom tsev - Petviashvili方程的指数函数展开式型孤子解 21
) iii如取 b= 2, 且 k, k是虚数 , 记 k= Ki, k= Ki, 由变换: 0 1 2 1 1 2 2 4 2 24 2 2K + pK K + pK 4 22 K+ pK 12ξ ) ?ti 1 2 1 2 ( ?Kx + Ky + 212PK 1) = cos Kx + Ky + t. ) e = e 1 2 t?isin Kx + Ky + 1 2 2 2 p Kp K 11 ( )则可得方程 1的周期解 : 1 2 22 K4 1 12 p + pK ( ) ( )Kp + 1p + 2 1 ( 2 secK x + K y + )( )( ) t . 17 u x, y, t= - 22 1 2 2p p K 12
( )) )iv类似 iii的做法 , 如取 b= - 2, k= Ki, k= Ki, 则可得方程 1的周期解 : 0 1 1 2 2 1 2 22 4 K1 1p 2 + pK ( ) ( )p + 1p + 2 K1 ( 2 ( ) cscK x + K y + )( )u x, y, t= - t . 18 22 2p 1 2 pK 1 2
( )情形 2:令 r = c = 2和 q = d = 1时 , 由 5式得 :
ξ) ξ) ξ) ( (( aexp 2+ aexp + a+ a exp - 2 1 0 - 1 u (ξ) = . ( 19)( ξ) (ξ) ( ξ)exp 2+ bexp + b+ bexp - 1 0 - 1 用同样的方法可得下列解: 2 2 4 2 2 ( ) ( ) kp + 1 p + 2 b b k- p k 1 11 1 2 ω )1. a= 0, a= , a = 0, a = 0, b = b , b = , b = 0,= . 2 1 0 - 1 1 1 0 2 2 - 1 pk p 1 4 ( ) ( )( )将以上结果代入 19、7式中, 则方程 1有如下精确解 : 1 p 1 2 ( ) ( ) p + 1p + 2b k1 1 2 p ( )( ) u x, y, t= . 20 2 224 24 2 kpk kpk- - 12 b12 1 - kx + ky - kx + ky - t1212t 2pk e 21 pk 1 + b1 + e 4 4 2 2 4 2 4 2 2 4 2 ( ) ( ) ( ) ( ) p + 1 p + 2 - p ap p + 3 4 kb 4 kb+ 1 + 2 p a 1 0 1 1 0 1 , )2. a= 0, a= a, a= , a = 0, b= 2 1 1 0 - 1 1 2 2 2 2 ( ( ) ( )) ( )4kp p + 1p + 2 4akp p + 1p + 2 1 1 1 4 2 2 4 2 2 4 2 2 ( ) ( ) [ 4 kbp + 1 p + 2 - p a] p a k- p k 1 0 1 11 2 b= b, b= .0 0 - 1 ω ,= 6 32 3 ( ) ( )16k p + 1 p + 2 pk 11
( ) ( )( )将以上结果代入 20、7式中, 则方程 1有如下精确解: 14 2 2 4 2 p( ) ( ) 4 kbp + 1 p + 2 - p a ξ 1 0 1 ae + 1 2 2 ( ) ( )4kp p + 1p + 2 1 ( ) ( )u x, y, t= , 21 2 4 2 2 4 4 2 2 4 2 2 ( ( ) ( ) ) ( ) 4 kbp + 1 p + 2 + 3 p a [ 4 kbp + 1 p + 2 - p a] p a ξ 1 0 1 ξ1 0 1 1 ξ2- e +e 2e + b+ 3 o 6 3( ) ( ) ( )( ) p + 2 p + 1p + 2 16kp + 1 4ak1 1 14 2 2 k- p k 1 2 ξ其中 = kx + ky - 1 2 t. 2 p k 1
( )下面讨论式 21中几种特殊情形下的解。 2 ( ) ( ) p + 1p + 2b 2k1 0 2 4 24 2) i如取 4k ( )( ) = 0, 即 a= ? . 1bp + 1 p + 2 - pa 1 0 1 2 p ( )( )由 21式可得方程 1的解: 1 1 2 p ( ) ( ) ? kp + 1p + 2b 102 p ( ) ( )u x, y, t= . 22 4 22 k- pk 124 22 k- pk 12kx + ky - kx + ky - 12- 12tt 2e 2pk pk + b be 1 1 ?200
( )可以看出, 当 b> 0时就可由 22式得到情形 1里那些类型的解 。 0 p ( )( )) , 由 22式可得方程 1的孤波解: ii如取 a= 1, b= 3, k= 1 0 1 ( ) ( )2 p + 1p + 2 ξ ξ 1 1 ξ p- e + 1 2 2 p e+ e( ) ξ ξξ ξu x, y, t= = 3 3 2ξ ξξ -- - 2 2 2 2e + 3e + 3 + e e+ 3e+ 3e+ e
22 红河学院学报 2009. 5 /数学 14 2 2 - p kk1 2 1 p ( )cosh k x + k y - t 2 1 2 pk 1 2 = ( )4 2 2 , 23 4 2 2 k- p k- p kk3 1 2 1 2 1 ( ) ( )cosh k x + k y - t+ 3cosh k x + k y - t 2 2 1 2 1 2 p kp k 112 2 p 其中 k= . 1 ( ) ( )2 p + 1p + 2
p ( ) ( ) ) ) iii如取 a= 1, b= 3, k= = Ki类似情形 1 里 iii的做法则由 23 得方程 1 的周 i, k1 0 1 2 2 ( ) ( )2 p + 1p + 2
期解: ξ ξ 1 1 ξ p- e - 1 2 2 p e- e( ) 3ξ ξu x, y, t= ξ ξ= ξ ξ- 3 ξ 2- - 2 2 2 2e- 3e + 3 - e e- 3e+ 3e- e 1 4 2 2 pk1 1 + pk ( 2 )sin k x + k y + t 2 1 2 p k 1= 2 4 2 2 ( ), 24 4 2 2 kk3 111 + p k 2( + p k( ) sin k x + k y + 2t- 3 sin k x + k y + )t 2 2 1 2 1 2 pk pk 1 1 2 2 p
其中 k= . 1 ( ) ( )2 p + 1p + 2
( )情形 3:令 r = c = 2和 q = d = 2时, 由 5式得:
ξ) ξ) ( ξ) ξ) ( (( exp 2+ aexp + a+ a exp - + a exp - 2a 2 1 0 - 1 - 2 u (ξ) = . ( 25)( ξ) ξ) ξ) ξ)(( ( exp 2+ bexp + b+ bexp - + bexp - 2 1 0 - 1 - 2 ( )( )在 25中有许多参数, 不妨令 b= b= 0, 则 25变为: - 1 2
( ξ) (ξ) ( ξ) ( ξ) aexp 2+ aexp + a+ a exp - + a exp - 2 2 1 0 - 1 - 2 u (ξ) = . ( 26)( ξ) ( ξ)exp 2+ b+ bexp - 2 0 - 2 用同样的方法可得下列解: 2 4 2 2 2 ( ) ( ) 4 kp + 1 p + 2 b b 4 k- p k 1 00 1 2 ω ,= )1. a= 0, a= 0, a= , a = 0, a = 0, b= b, b= .2 1 0 - 1- 200 - 2 2 2 4 pk p 1
( ) ( )( )将以上结果代入 26、7式中, 则方程 1有如下精确解 :
1 p 4 2 ( ) ( ) p + 1p + 2b k 1 0 2 p ( ) ( )u x, y, t= . 27 2 4 2 2 b 4 22 4k- pk 0 4k- pk 1 212t t2- 2 2pk kx + ky - pk 2 1121 kx + ky - + b+ 120 ee4 2 2 4 3 a pa p1 1 )2. a= 0, a= a, a= - , a = , a = 0. 2 1 1 0 - 1 - 2 2 2 4 2( ( ) ( )) kp + 1p + 2 p + 1 ( )1 4kp + 2 14 2 8 4 4 2 2 p a p a k- p k 1 1 1 2 b= - , b= .0 - 2 ω 2 ,= 8 242 4 4 ( ) ( )( ) ( )2kp + 1 p + 2 16kp + 1 p + 2 pk 111
( ) ( )( )将以上结果代入 27、7式中, 则方程 1有如下精确解 : 12 2 4 3 p p a p a ξ1 1 ξ - e- + 2 224ae 1 ( ) ( ) p + 2 ( ) ( )p + 1 kp + 1p + 2 4k 1 1( ) ( )u x, y, t= 28 4 2 8 4ξ p a p a - 2ξ1 1 2+ e - 2 8 e 44 24( ) ( ( ( p + 2 ) )) p + 1 p + 2 p + 1 2k 16k 11 1 p a 1 2 2 2 p a 1 1 ξ( )= p a- , 29 ξ1 e + + e 2 2 ( ) ( )( kp + 1p + 2 ) ( ) 4kp + 1p + 2 1 1 4 2 2 k- p k 1 2 ξ其中 = kx + ky - 1 2 t. . 2 p k 1
纳自华, 李薇: P次 Kadom tsev - Petviashvili方程的指数函数展开式型孤子解 23
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[ 责任编辑 张灿邦 ]
Soliton Solution s of Exp—Function on Expan sion Type for Kadom tsev
—Petv ia shv ili Equa tion w ith - power
1 2NA Z i - hua, L IW ei
(1. Mengzi Teacher Training School,Mengzi 661100, China;
)2. Departm ent of Mathem atics, Honghe University, Mengzi 661100, China
Abstract: In this paper, by using exp - function method com bined with homogeneous balance method, the
Kadom tsev - Petviashvili equation with power was studied. Under a special transfo rm ation, by use of function of
Mp le, many new so lutions of exp - function on expan sion type were obtained. Thus enriching the types about so lution
of Kadom tsev - Petviashvili equation with power.
Key words: Kadom tsev - Petviashvili equation with power; homogeneous balance method; exp - function meth2
od; periodic wave so lutions; so liton so lutions;
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