范文一：应用微元法求旋转体体积的一般公式

第三期 Journal of Keshan Teachers College 2003

应用微元法求旋转体体积的一般公式

田 巍

:齐齐哈尔大学理学院 数学系,黑龙江 齐齐哈尔 161006:

摘 要:利用微元法求旋转体体积的一般公式,强调体积微元的应用。

关键词:微元;旋转体;体积;体积微元

中图分类号:O182 文献标识码:A 文章编号:1009—3958(2003)03—0028—02

在物理学、力学、工程技术、经济管理等学科中，许多重要的量是用积分表示的，为此，在积分应用中引入微分法，使得在求这些量时不必每次重复“分割、代替、求和、取极限”的过程而直接写出它们的积分 形式。在定积分的几何应用中，求旋转体体积是一个典型的问题。高等数学教科书中给出了平面光滑曲线 y f ( x) (或 x g ( y) )绕 x 轴及 y 轴旋转的旋转体体积公式，因高等数学研究问题的一般性，该曲线绕任何

直线 y kx b(k ) 及直线 x c (C 为常数)旋转而得的旋转体体积如何求得,笔者从寻找体积元素的角度导 出旋转体体积公式，其目的是在教学中引导学生充分掌握微元法的思想，展示微元法应用在解决实际问题中 的“魅力”。

一、 y f ( x), x a,b 绕 L : y kx b,k 旋转

设以 A 及 B 为端点的平面曲线方程 y f ( x), x a,b 在 a ,b 上连续，且有连续的导数 f ( x) ， L : y kx b,k 为平面上任一直线，则由 y f x , x a , x b , x轴 围成的曲边梯形 MNPQ 绕直线 L 旋转

b n 2 所得的旋转体体积为 V [ f ( x) kx b]1 k f ( x) dx 3 a 2 2(1 k )

[ 证 ] 在 a ,b 上任取点 x ，则在 x, x dx 上应用微元法可有体积微元

2 dV nrr dl ，其中 r 为点 A 到直线 L 的距离， 其中BA r，BB dl 为体积微元中

的高微元，因 x a,b ，则需得出 r与x 间的关系及 dl与dx 间的关系。

令曲线 y f ( x)在点( x, f ( x)) 的切线与直线 L 的夹角为 8 ，则

k f x tg8

1 k f x

1 2 1 k f x 而 dl cos8 .ds ，弧微元 ds 1 f x dx, cos8 22 2 1 tg 8 1 k 1 f x

1 k f x 故 dl dx 21 k

2 2 f x kx b 点 x , f x 到直线的距离为 r ，则 r 2 1 k

收稿日期:2003—03—10

作者简介:田巍:1971—:,女,黑龙江齐齐哈尔人,齐齐哈尔大学理学院数学系讲师。

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2 1 k f x f x kx b 故 dv n dx 221 k 1 k

n 2 即 dv f x k x b 1 k f x dx 3

2 2 1 k 而 x, x dx a,b 故有

2 b n v f x k x b 1 k f x dx a 3 2 2 1 k 二、 y f x , x a,b 的反函数 x y , y c,d 绕直线 x C 旋转

假设 y f x , x a,b 的反函数为 x y , y c,d ，此时直线平行于 y 轴，寻找体积微元 dV 。下面研究曲边 梯形 MNPQ 绕直线 x C ( C 为常数)旋转所得旋转体体积 V。分三种情形:

(1) x C 在曲线 x y , y c,d 左，即 C a ; 2 因 dv n y C dy d 2 故 V= n y C dy c

(2) x C 在曲线 x y , y c, d 右，即 C b Y d 2 因 dv n C y dy ? X+d 2 X= φ(x) y 故 V= n C y dy c c (3) x C 与曲线 x y , y c, d 相交，即 a C d O X=C X

求曲线与直线交点纵坐标 e, e, d 部分利用(1)， c,e 部分利用(2)，故

2 2 2 e d d

V n C y dy n y C dy n y C dy c e c

综上，y f x , x a,b 的反函数 x y , y c,d 绕直线 x C 旋转所得旋转体体

d 2 积为 V n y C dy 。

c 该文强调了微元法并依此求出了旋转体体积的一般公式，在教学中可锻炼学生数学思维能力，可谓一举两得。

参考文献:

[1]曾庆黎(弓形区域绕直线 y=kx 旋转所生成立体的体积[J](数学通报，1994，(9)(

[2]程曹宗(旋转体体积计算的一般公式[J](数学通报，1994，(10)(

:责任编辑、校对:谢玉坤:

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范文二：微元法求旋转体体积课堂设计

微元法求旋转体体积课堂设计

高等数学具有“高度的抽象性、应用的广泛性”之特点，决定了它的严密和复杂.提起“高等数学”四个字，马上“枯燥”二字就会浮现在大多数学生的眼前.那么摆在我们教师面前的就是如何改变这种认识使死气沉沉的高等数学课堂活跃起来,如何生动有趣地组织高等数学课堂教学过程,如何让学生自主参与高等数学的课堂教学,这就是我们高职高等数学分层分类分专业教学改革设计与实施的主要内容，也是眼下迫在眉睫的问题.下面我结合类比教学法从课改的角度“提出问题--知识讲解--回归问题”，谈谈微元法求旋转体体积的教学课堂设计.如果能起到抛砖引玉的作用或对同行能有一点点启示即达到本文之目的.

第一，提出应用型问题.旋转体是由一个封闭的平面图形绕该平面内的一条定直线旋转一周而生成的几何体.玩的篮球、足球都是半圆绕直径旋转得来的，它们的体积就是圆的体积比较容易计算.同样玩的橄榄球，看上去是椭球体，是椭圆绕其长轴旋转一周得到的，可是体积是多少呢,(学生分组讨论5分钟，给出每组关于如何计算的讨论结果)此时，教师要对给出的结果予以肯定和激励.然后教师再拿出若干个纸灯笼(旋转开是灯笼)发给每个组(依组确定个数)，再给每个组3分钟讨论时间，时间到教师开始启发引导，确定旋转体

的每个垂直于轴的切面都是圆面，把旋转体垂直于轴切若干下就得到若干个近似于圆柱的小圆柱体，若干小圆柱的体积和正是旋转体的体积(时间3分钟).

第二，教师借助多媒体播放旋转体旋转的动画，以加深对旋转体体积的理解.推出微元法计算近似小圆柱的公式，从而结合定积分思想给出旋转体体积的表达式(时间5分钟).

讲个例题巩固微元法思想(时间5分钟).

第三，解决椭球体体积.有了纸灯笼做前奏，此时椭球体可以看作是椭圆x2142+y2102=1绕x轴旋转一周得到的，体积微元为dV=πf(x)2dx=πy2dx=π1,x2142×102dx,

体积为V=∫14,14π1,x2142×102dx=56003π(时间

10分钟).

第四，疑问解决.绕x轴旋转一周的体积已经解决了，那么绕y轴旋转一周的体积是多少呢,让一半的同学按照绕x轴旋转的方法计算，另一半的同学动脑想象(时间5分钟).结论是:计算得到椭圆x2142+y2102=1绕y轴旋转一周的体积为V=∫10,10π1,y2102×142dy=78403π，动脑想象的部分同学说体积应是相同的.(分组讨论2分钟)下面用类比教学法解答.类比教学法把与教学内容相似或相关联并且为学生较熟悉的事物作类比，以建立知识模型化抽象为具体，促使复杂化为简单.类比教学法是从日常生活中寻找较为接近的模型，让学生从简单模型入手，从了解与知识类似的模型入手，从中探究提炼构建知识体系，激发学生学习兴趣，促进学生主动

思维、充分联想，帮助学生形成概念，使之鉴别异同，准确且深刻理解该数学模型的形式，进而强化灵活应用之目的.

用一个长为4，宽为2的矩形作类比，如下:

矩形绕x轴旋转一周的体积为Vx=π×12×4=4π，绕y轴旋转一周的体积为Vy=π×22×2=8π(5分钟时间).椭圆x2a2+y2b2=1绕x轴和y轴旋转一周后虽然他们都是椭球体，但是它们是形状完全不相同的椭球体，它们的差V差=Vx,Vy=43πab(a,b)，可见当a=b时V差=0，即a=b时绕x轴、y轴旋转后的体积相等都为圆的体积，当a≠b时必有V差≠0，故绕x轴、y轴旋转后的体积不相等.椭圆x2142+y2102=1绕x轴旋转一周后是标准的橄榄球，绕y轴旋转一周后是压缩加伸长了的橄榄球(形状酷似体育竞技中的铁饼)，这样形状改变就造成了体积的不一致，接着师生讨论纠错.(时间7分钟)

通过实际教学的检验和学生课堂教学的反馈意见，类比教学法“易学、易懂、易理解、易掌握”，可以浅化知识起到引水入河架桥过江的作用.学生在较轻松理解的基础上既能很好地接受教师传授的知识，同时也锻炼了他们的空间想象能力、逻辑推理能力及迁移转换能力.通过课堂上的启发--想象--引导--再想象--再引导--最后解决实际问题，这一步步的教学过程都离不开教学情境的精心设计和活跃的课堂气氛中师生间的精彩互动.有了学生的积极参与和教师的谆谆引导从而为教学营造了宽松的课堂氛围，使教师越上越有劲，学生越学越爱学.类比教学法中化抽象为具体的教学过程不但锻炼了学生的

类比思维及形象思维，而且可以激发学生的探索欲、成功欲及求知欲，更重要的是深深铭刻于学生头脑中的数学思想、数学思维、研究方法及着眼点也会随时随地发挥作用，使他们受益终生.这样的教学可以改变以解题技巧为主的传统教学方式，打破学科式教学内容体系的束缚，使课堂更灵活.类比教学法不仅应用于求旋转体的体积，它也可以应用于高等数学的其他讲授部分.

范文三：基于微元法旋转体体积的计算.sdpdf

第３０卷

２０１０矩第ｌ期１月高师理科学刊ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｃｉｅｎｃｅｏｆＴｅａｃｈｅｒｓ’ＣｏｌｌｅｇｅａｎｄＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＶ０１．３０Ｎｏ．１２０１０Ｊａｎ．

文章编号：１００７—９８３１【２０１０）０１—００２２—０３

基于微元法旋转体体积的计算

王培吉，王尚户，王嘉谋

（内蒙古科技大学数理与生物工程学院，内蒙古包头０１４０１０）

摘要：运用定积分中的元素法，给出按旋转轴的不同方向以及与平面图形的不同位置求旋转体体

积的计算方法和计算公式，其它已知的旋转体体积公式是它的特殊形式．

关键词：元素法；旋转体；体积

中图分类号：０１７２．２文献标识码：Ａ

计算旋转体体积在自然科学研究和工程技术实践中是经常遇到的一个问题“一，本文利用微元法对垂直旋转轴、斜旋转轴２类，平面图形与旋转轴左离、右离、左交、右交

４种情形分别求得旋转体体积．

若连续曲线Ｙ＝，（工）（ｆ（ｘ）≥０）沿ｘ轴正向上升，则函数Ｙ＝ｆ（ｘ）

在工＝ａ处取最小值．厂（口），在ｘ＝ｂ处取最大值，（６），用Ｄ表示由曲

线Ｙ＝，（工），２条直线ｘ＝ａ，戈＝ｂ和工轴所围成的平面图形（见图１），

求Ｄ绕直线ｘ＝ｃ旋转一周而成的旋转体体积Ｕ，本文按平面图形与

旋转轴的不同位置对旋转体体积进行求解并用换元法将选不同积分

变量所得体积化为同一公式．

１旋转轴为直线ｘ：ｃ（ｃ≤口或ｃ≥易）

首先讨论ｃ≤ａ的情形．

方法１图１平面图形Ｄ与旋转轴工＝ｃ取ｚ为积分变量，Ｕ对应ｚ的变化区间为【口，圳，体积元素ｄｒ，＝驯工一力?ｄｘ‘厂（力，得匕＝ｒ２７【（ｘ－ｃ）ｆ（工）ｄｘ．

方法２取Ｙ为积分变量，ｙ，ｌ相应于Ｙ的变化区间为【ｏ，．厂（口）】，ｙ，ｌ＝【７【（６一ｃ）２一ｒｃ（ａ—ｃ）２Ｉｆ（ａ），Ｅ２相应于Ｙ的变化区间为【，（口），，∞）１，体积元素ｄｙ，２＝ｒｔ［（ｂ—ｃ）２一（，＿１（ｙ）一ｃ）２ｌｄｙ．从而Ｕ２＝Ｊ，ＩＩＳ。ｂ））兀如一ｃ）２一（，一１（ｙ）一ｃ）２ｂ＝兀（６一ｃ）２（，（易）一ｍ））一ｅ７【（ｘ－ｃ）２ｄｆ（工）＝－ｎ（ｂ—ｃ）２似）＋兀（口一ｃ）２ｍ）＋Ｊ：ｎ２（ｘ－ｃ）ｆ（工）ｄｘ，所以Ｂ＝髟。＋Ｅ：＝ｒ２兀（ｘ－ｃ）ｆ（石）ｄｘ．

类似ｃ≤口的情形，当ｃ≥６时，Ｖｙ＝ｊ：２７ｃ（ｃ－ｘ）ｆ（ｚ）ｄｘ．

２旋转轴为直线工＝Ｃ（口口）及髫轴所围成曲边梯形时，（１）若转轴工为菇轴，且以菇）≥０，则ｄ（石，Ｙ）＝ＩＹｌ＝），，故Ｄ绕茹轴旋转所成旋转体的体积

圪＝ｆｆ２．ｔｒｙｄｘｄｙ＝订ｆ厂２（茹）ｄｘ“（１）荡

（２）若转轴Ｌ为Ｙ轴，且０≤ａａ）所围成的曲边扇形时，

（１）若转轴￡为极轴，且０≤“＜厣≤叮『，则ｄ（石，Ｙ）＝ＩＹｌ＝ｒｓｉｎ８，因而Ｄ绕极轴旋转所成旋转体的体积

Ｖｏ＝仃２，ｒｒｒｓｉｎ９?ｒｄｏｄｒ一戮ｒ３（班ｉｎＯｄ０（３）

（２）若转轴己为极垂线，且一孚≤理＜卢≤詈，则ｄ（ｘ，ｙ）＝Ｉ菇ｌ＝／＇（３０５０，因而Ｄ绕极垂线旋转所成旋转体的体积

晦＝肛１Ｔｒｃｏｓ９?ｒｄｏｄｒ＝孥ｒｒ３（ｐ）ｃ。ｓｏｄＯ（４）

以上公式（１）、（２）、（３）、（４）出现在文Ｄ’２１等不同材料中，都是本文给出公式的特例。

本文给出的公式作为旋转体体积模型，应用上也十分简便。

侧如，求由Ｙ＝茗，Ｙ＝菇２所围的图形Ｄ绕直线Ｌ：ｘ＋Ｙ＋１＝０旋转而成的旋转体的体积耽。因为ｄ（茗，，，）＝生生｛：丛上＝掣，所以（下转第３２页），收稿日期：２００４枷１珈８

万　方数据

３２高等数学研究２００５年３月

解本题是求盘山公路的长度，即求光滑曲线弧长问题。

建立坐标系如图Ｉ。

ｆｘ＝菇（ｔ）

设曲线的参数方程为｛，，＝，，（。），其中ｚ（ｔ）随ｔ单增，０

【ｚ＝彳（ｔ）ｓｔｓｔｏ

曲线在点（茗（ｔ），Ｙ（ｔ），ｚ（ｔ））处的切向量为壳。＝｛菇’，Ｙ’，ｚ’｝，

０１－４．讯伊＿Ｉ揣＝而‰＝上得１００ｌ石矿石砰“一＝一＝一得ｎ＾Ｊｘｏｙ平面的法向量为胃：＝｛０，０，ｌ｝，由已知条件：Ｉｃｏｓ（壳。，元：）ｌ＝图１ＨＩ三ｌ＝＾，茁Ｖ十Ｚ．。…。７。

Ｉ元。ｌＩ元１

由ｚ，≥０得ｌＯＯｚ’ｄｔ＝０≯了７ｆ忑砑‘，从而ｌＯＯｄｚ＝也

０‘５，

ｌＯＯｄｚ＝１００×．０５＝５０Ｔ＝ｉ＝一＝１＝ｆ‘０如＝ｆ＝Ｉ如＝ＩＳ１／（５０２．＝０５Ｊｏ丽＝Ｓｉ＝Ｔ９，０５＝５．×５２Ｖ．

叶ＵＡｆｔ、时）

注：由求解过程可看出，路程ｓ与山的上、下底半径无关，只与高度有关。迸一步，路程只与山的高度有关，与山的形状无关。

三、微分方程的应用

例５某湖泊的水量为ｙ，每年排人湖泊内的含污染物Ａ的污水量为Ｖ／６，流人湖泊内不含污染物Ａ的水量为Ｖ／６，流出湖泊的水量为Ｖ／３，已知１９９９年底湖中Ａ的含量为５ｍｏ，超过了国家规定指标。为了治理污染，从２０００年初起，限定排人湖中含Ａ的污水浓度不超过ｍｏ／Ｖ，问至少需要经过多少年，湖泊中污染物Ａ的含量降至ｍ。以内？（设湖水中Ａ的浓度是均匀的）

解本题需要建立湖泊中污染物Ａ的含量与时间的函数关系。

设从２０００年初（令此时为ｔ＝Ｏ）开始，第ｔ年湖中污染物Ａ的含量为ｍ，浓度为ｍ／Ｖ，则在时间间隔［ｔ，ｔ＋出］内，排人湖泊中Ａ的量为警?挚ｔ＝等疵，流出湖泊的水中Ａ的量为号?詈也＝詈也，Ｎ此在时ＮＮＮ［州＋ａｔ］内湖泊中污染物Ａ的改变量等于拥＝（百ｍｏ一詈）出，解此方程得ｍ＝丁ｍｏ—ｃｅ一。再由初始条件ｍＩⅢ：５ｔｏｏ，得到ｃ＝一导ｍｏ，于是ｍ：字（１＋９ｅ－＿１）。

参考文献令ｍ＝ｍｏ，得ｔ＝６１ｎ３，即至少经过６１ｎ３年，湖泊中污染物Ａ的含量降至ｍ。以内。

［１］李心灿主编．高等数学应用２０５例．北京：高等教育出版社，１９９７

（上接第２９页）

屹＝庐训钳）ｄ矿＝压１１如（（菇＋ｙ＋１）妙＝警订Ｄ。一

参考文献

［１］陈传璋，金福临，朱学炎等．数学分析（第二版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９８３．［２］同济大学编．高等数学（第四版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９７．

万方数据　

求旋转体体积的一个公式

作者：

作者单位：

刊名：

英文刊名：

年，卷(期)：

被引用次数：李德新福建农林大学计算机与信息学院,福州,350002高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS2005，8(2)0次

参考文献(2条)

1. 陈传璋. 金福临. 朱学炎 数学分析 1983

2. 同济大学 高等数学 1997

本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_gdsxyj200502013.aspx

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