一只被吓到的猫
范文一：勾股定理以及勾股定理的应用
第五课时
复习范围：勾股定理以及勾股定理的应用 知识点回顾：
知识点一：勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。即：∠C=900?a +b =c 。 同步测试：
1、直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边上的高为2、一个长方形的长为12cm ，对角线长为13cm ，则该长方形的周长为 . 知识点二：勾股定理逆定理
222
如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a ＋b ＝c ，那么这个三角形是直角三角形. 即：a +b =c ?∠C=900。
同步测试：
1、在△ABC 中, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，下列条件中，能判断△ABC 为直角三角形的是 ( )
A.a ＋b ＝c B. a：b ：c ＝3：4：5 C.a ＝b ＝2c D.∠A ＝∠B ＝∠C
2、下列各组中的比为三角形三边之比, 其中, 不能构成直角三角形的是( )
A.3∶4∶5 B.5∶12∶13 C.2∶4∶5 D.7∶24∶25 例题讲解：
例1. 如图是某地一的长方形大理石广场示意图, 如果小琴要从A 角走到C 角, 至少走( )
米
A. 90 B. 100 C. 120 D. 140 60米
米
例2. 如图, 所有的四边形都是正方形, 所有的三角形都是直角三角形, 其中最大的正方形的
边长为10cm, 正方形A 的边长为6cm 、B 的边长为5cm 、C 的边长为5cm, 则正方形D 的边长为( )
2
2
2
2
2
2
例3. 在△ABC 中，AB=13，AC=15，BC=14，。求BC 边上的高AD 。
随堂检测
1. 在Rt △ABC 中，∠C=90°若a=5，b=12，则c=________。
2. 若三角形三边长分别是6,8,10, 则它最长边上的高为( ) A.6 B.4.8 C.2.4 D. 8
3. 分别以下列四组数为一个三角形的边长：
①6、8、10； ②5、12、13； ③8、5、17； ④4、5、6. 其中能构成直角三角形的有（ ）
A.4组 B. 3组 C. 2组 D.1组
4. 已知ΔABC 的三边分别是3cm , 4cm ,5cm , 则ΔABC 的面积是( )cm ?
A.6 B.7.5 C.10 D. 12
5. 已知：等边三角形 ABC 的边长为6cm ，求一边上的高和三角形的面积。
同步练习
1. 三角形的三边长为a,b,c 且(a+b)=c+2ab,则这个三角形是( )
A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形.
2. 已知Rt ABC 两边为3，4，则第三边长________．
3. 如果梯子的底端离建筑物9米, 那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是______米.
2
2
A
B
D
C
2
4. 如图, 已知△ABC中,AB=5cm,BC=12cm,AC=13cm,那么AC 边上的中线BD 的长为
_____cm.
5. 如下图, 今年的冰雪灾害中, 一棵大树在离地面3米处折断, 树的顶端落在离树杆底部4米
处, 那么这棵树折断之前的高度是____________米.
6. 已知:如图(3),AD
是△ABC
的高,∠BAD =45°,AC =13cm,CD =5 cm, 则
AD =__________; S △ABC =__________.
7. 如图, 为测得到池塘两岸点A 和点B 间的距离, 一个观测者在C 点设桩, 使∠ABC =90,
并测得AC 长20米、BC 长16米, 则A 、B 两点间距离是______________米?
8. 如图, 一根旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩余1米, 若将绳子拉直, 则绳端离旗杆底端的距
离(BC)有5米. 求旗杆的高度.
9. 如图，在一张纸上画两个全等的直角三角形，并把它们拼成如图形状，请用两种方法表示这个梯形的面积。利用你的表示方法，你能得到勾股定理吗？
a
b
c b
范文二：勾股定理的应用
勾股定理的应用
学习目标：
1、能运用勾股定理及逆定理解决简单的实际问题。
2、能将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力。
3、（重难点）勾股定理及逆定理在实际问题中的简单应用。
一、 自疑自探
1、 勾股定理：
2、 下列三边能组成直角三角形的有：
是勾股数的有：
① 30、40、50 ②9、12、15 ③0.3、0.4、0.5 ④6、7、8
⑤0.6、0.8、1
3、有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的的最短路程是多少？(π的值取3)．
（1）同学们可自己做一个圆柱，尝试从A点B点沿圆柱的侧面画几条路线，你觉得那条路线最短
（2）如上图所示将圆柱侧面沿剪刀方向展成一个长方形，A点到B点的最短路线是什么？
（3）蚂蚁从A点出发，想吃到B点的食物它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
二、 合作研讨
1、有一圆柱的高为6厘米，底面周长为16厘米．在圆柱的底面
A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的
食物，需要爬行的的最短路程是多少？
A B A B
2、课本13页做一做
3、如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长。已知滑梯的高度CE=3米，CD=1米,试求滑道AC的长
.
三、 展示交流
1、 课本13页应用
2、 课本14页1、2
四、反馈总结
1、一个圆桶，底面半径为3cm,高为8cm,则桶内能容下的最长的木棒为 米
2、圆柱高8cm,底面半径为6
?cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最
短路程是________________
3、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高度 。
4、小丽从家出发向东方向前进40米，接着又向正北方向直线前进9米，此时小丽若以20米每分钟的速度回家，至少需要 分。
5、如图水池中离岸边D点1.5米的C处直立一根芦苇，露出水面部分BC的长为0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落在D点，求水池的水深
范文三：勾股定理的应用
默认标题 - 2012年5月18日
一．解答题（共30小题） 1．（2009?张家界）小明将一幅三角板如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知CD=2，求AC
的长．
2．（2008?江西）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处； （1）求证：B′E=BF；
（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c
之间的一种关系，并给予证明．
3．（2007?眉山）如图，在线段AE的同侧作正方形ABCD和正方形BEFG（BEc．
证明：连接BE，则BE=B′E．
由（1）知B′E=BF=c，
∴BE=c，
在△ABE中，AE+AB＞BE，
∴a+b＞c
． 222
点评：此题以证明和探究结论形式来考查矩形的翻折、等角对等边、三角形全等、勾股定理等知识．
第一，较好考查学生表述数学推理和论证能力，第（1）问重点考查了学生逻辑推理的能力，主要利用等角对等边、翻折等知识来证明；
第二，试题呈现显示了浓郁的探索过程，试题设计的起点低，图形也很直观，也可通过自已动手操作，寻找几何元素之间的对应关系，形成较为常规的方法解决问题，第（2）问既考查了学生对勾股定理掌握的程度又考查学生的数学猜想和探索能力，这对于培养学生创新意识和创新精神十分有益；
第三，解题策略多样化在本题中得到了充分的体现．
3．（2007?眉山）如图，在线段AE的同侧作正方形ABCD和正方形BEFG（BE30 ；
（2）我校参加旅游的人每人实际应收费 360﹣5（x﹣30） 元（用含x的代数式表示）；
（3）求我校这次到“文成铜铃山”观光旅游的女职工共有多少人？
考点：勾股定理；二次函数的应用。
专题：阅读型；动点型。
分析：【Ⅰ】（1）根据勾股定理求得AD的长；
（2）表示出PD=12﹣t，S△PDC=15，得
（3）假设存在t，使得S△PMD=，求得t的值即可； S△ABC．分两种情况进行讨论：①若点M在线段CD上，②若点M在射线DB上，从而求得t的值；
【Ⅱ】（1）先根据旅游的费用，求得我校参加旅游的人数x的取值范围；
（2）有x人参加旅游，每人的费用降低5（x﹣30）元，人均费用[360﹣5（x﹣30）]元，
（3）找到等量关系列出方程，人均费用×总人数=12400，求出这次到“文成铜铃山”观光旅游的女职工共有的人数． 解答：【Ⅰ】解：（1）∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=BC=5cm，
且∠ADB=90°．
∴
即AD的长为12cm；（3分）
．
（2）AP=t，PD=12﹣t，
又由S△PDC=15，得
解得，t=6．（4分）
（3）假设存在t，
使得S△PMD=S△ABC． ．
①若点M在线段CD上，
即
由S△PMD=
即时，PD=12﹣t，DM=5﹣2t， S△ABC， 2t﹣29t+50=0 2
解，得t1=12.5（舍去），t2=2．（2分）
②若点M在射线DB上，即
由S△PMD=
得
解，得
，
．（2分）
综上，存在t的值为2或
使得S△PMD=S△ABC．（1分） 或， S△ABC 2t﹣29t+70=0 2．
【Ⅱ】
解：（1）我校参加旅游的人数x的取值范围是x＞30；（2分）
（2）我校参加旅游的人每人实际应收费[360﹣5（x﹣30）]元（用含x的代数式表示）；（3分）
（3）依题意，得[360﹣5?（x﹣30）]?x=12400，（2分）
2化简、整理，得x﹣102x+2480=0．
解，得x1=40，x2=62．（2分）
当x1=40时，360﹣5?（x﹣30）=360﹣5?（40﹣30）=310＞300，符合题意．
当x2=62时，360﹣5?（x﹣30）=360﹣5?（62﹣30）=200＜300，不符合题意，应舍去．
∴x1=40．（2分）
答：我校这次参加旅游的共有40人．（1分）
点评：本题是两个题目，难度不大，考查了勾股定理、动点问题和不等式的实际应用．
15．长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长．
考点：勾股定理；翻折变换（折叠问题）。
专题：几何图形问题。
分析：注意发现：在折叠的过程中，BE=DE．从而设BE即可表示AE．在直角三角形ADE中，根据勾股定理列方程即可求解．
解答：解：设DE=xcm，则BE=DE=x，AE=AB﹣BE=10﹣x，
22222△ADE中，DE=AE+AD，即x=（10﹣x）+16． ∴x=（cm）．
点评：注意此类题中，要能够发现折叠的对应线段相等．
16．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AM是BC边上的中线，MN⊥AB于N．
222
求证：AC+BN=AN．
考点：勾股定理。
专题：证明题。
2222222分析：在直角三角形BNM和ANM中利用勾股定理可以得到BN=BM﹣MN，AN=AM﹣MN，然后得到BN
2222222222﹣AN=（BM﹣MN）﹣（AM﹣MN）=BM﹣AM；又在直角三角形AMC中，AM=AC+CM，代入前面的式子中即可证明结论．
解答：证明：∵MN⊥AB于N，
∴BN=BM﹣MN，AN=AM﹣MN
2222∴BN﹣AN=BM﹣AM，
又∵∠C=90°，
∴AM=AC+CM
22222∴BN﹣AN=BM﹣AC﹣CM，
又∵BM=CM，
222∴BN﹣AN=﹣AC，
222即AC+BN=AN．
点评：本题主要利用了三角形中中线的性质、也考查了勾股定理．
17．如图，正方形ABCD边长为4，沿对角线所在直线l将该正方形向右平移到EFGH的位置，已知△ODH的面积为，求平移的距离． 222222222
考点：勾股定理；三角形的面积。
分析：由正方形沿对角线平移可得出DO，OH，EO，OC之间的数量和位置关系：DO=OH，EO=OE，DC⊥EH；由△DOH的面积可进一步求出DO，OH的长，最后由勾股定理求出平移距离DH即可．
解答：解：由正方形ABCD沿对角线平移可知：∠OCE=∠OEC=45°，且平移距离为DH．
∴∠EOC=90°，OE=OC
∴∠DOH=90°，OD=OH
∵S△ODH=
∴OD=OH=3
在Rt△DOH中，DH=== =
答：平移距离为．
点评：本题考查了正方形的性质，勾股定理，及平移问题．解决此类问题的关键准确把握平移前后图形之间的几何位置关系．
18．如图是三个周长相同的长方形，用不同的组合方法，它们的面积就会不一样，请分别计算它们的面积和对角线，
并根据计算结果观察一下对角线和面积之间有什么关系．
考点：勾股定理；实数的运算。
分析：此题主要一一计算，然后找出规律．利用长方形的面积公式计算即可．
解答：解：S（1）=32，对角线=；
S（2）=27，对角线=；
S（3）=35，对角线=．
∴按不同的方式组合，对角线短的面积反而大．
点评：本题只要利用长方形的面积公式求出面积再利用勾股定理求出对角线就可得出规律．
19．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B、C作经过点A的直线l的垂线BD、CE，若BD=3cm，CE=4cm，求DE
的长．
考点：勾股定理；相似三角形的判定与性质。
分析：由题意得出∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠CAE，即得出△DAB∽△ECA，由此可得CE=4cm，代入其中求出DA，AE即可，DE=AD+AE．
解答：解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠EAC=180°﹣∠BAC=90°，
又∵DB⊥l于D，CE⊥l于E，即：∠DAB+∠DBA=∠CAE+ECA=90°，
∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠CAE，
∴△DAB∽△ECA．
∴==， ==，又AB=AC，BD=3cm，
又∵AB=AC，BD=3cm，CE=4cm，
∴DA=CE=4cm，AE=BD=3cm，
∴DE=AD+AE=7cm．
即：DE的长为：7cm．
点评：本题利用三角形中两对角相等证明出两个三角形相似，进而得出边与边之间的关系，求出与DE相关的两条边，进而求出DE的长．
20．下面是数学课堂的一个学习片段，阅读后，请回答下面的问题：
学习勾股定理有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知直角三角形ABC的两边长分别为3和4，请你求出第三边．”
同学们经片刻的思考与交流后，李明同学举手说：“第三边长是5”；王华同学说：“第三边长是．”还有一些同学也提出了不同的看法…
（1）假如你也在课堂上，你的意见如何？为什么？
（2）通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？（用一句话表示）
考点：勾股定理。
专题：阅读型。
分析：（1）应分情况考虑：当4为直角边长时，第三边长为5；当4为斜边长时，第三边长为；
（2）在已知条件中没有明确斜边的时候，一定要注意分情况讨论计算，注意思维的严密性．
解答：解：（1）分两种情况：当4为直角边长时，第三边长为5；当4为斜边长时，第三边长为；
（2）考虑问题要严密，没有明确直角边和斜边的时候，注意分情况计算．
点评：此题考查了勾股定理的运用，在没有明确斜边的时候，注意考虑两种情况．
21．图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”
，则这个风车的外围周长是多少？
考点：勾股定理。
分析：由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．
解答：解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则
x=12+5=169
所以x=13
222
所以“数学风车”的周长是：（13+6）×4=76．
点评：本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．
22．已知：如图，AB=AC，PB=PC，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）求证：PD=PE；
（2）若AB=BP，∠DBP=45°，AP=2，求四边形ADPE
的面积．
考点：勾股定理；全等三角形的判定；角平分线的性质。
专题：计算题；证明题。
分析：（1）连接AP，构造全等三角形，再根据角平分线的性质即可证明；
（2）设DP=x，根据等腰直角三角形的性质表示出BP，则可表示出AB，根据勾股定理即可求解． 解答：（1）证明：连接AP．
在△ABP和△ACP中，
∵AB=AC，PB=PC，AP=AP，
∴△ABP≌△ACP（SSS）．
∴∠BAP=∠CAP，
又∵PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，
∴PD=PE（角平分线上点到角的两边距离相等）．
（2）解：∵PD⊥AB，∠DBP=45°，
∴△BDP是等腰直角三角形
设DP=x，则BP=x．
在直角△ADP中，
由勾股定理，得
，
整理得
．
∴四边形ADPE的面积=2×△APD的面积=
． ，
点评：综合运用全等三角形的判定和性质、角平分线的性质以及勾股定理．
23．请阅读下列材料：
已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：
（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；
（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；
（3）已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE=30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB
能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．
考点：勾股定理；全等三角形的性质；全等三角形的判定；等腰三角形的判定。
专题：探究型。
分析：（1）DE=BD+EC，将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE，容易证明△AFD≌△ABD，然后可以得到AF=AB，FD=DB，∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD，再利用已知条件可以证明△AFE≌△ACE，从而可以得到∠DFE=∠AFD﹣∠AFE=135°﹣45°=90°，根据勾股定理即可证明猜想的结论；
（2）根据（1）的思路一样可以解决问题；
（3）当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．如图，与（1）类似，以CE为一边，作∠ECF=∠ECB，在CF上截取CF=CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA，然后可以得到AD=DF，EF=BE．由此可以得到∠DFE=∠1+∠2=∠A+∠B=120°，这样就可以解决问题．
222解答：解：（1）DE=BD+EC；
（2）关系式DE=BD+EC仍然成立．
证明：将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE
∴△AFD≌△ABD，
∴AF=AB，FD=DB，
∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD，
又∵AB=AC，
∴AF=AC，
∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45°，
∠EAC=∠BAC﹣∠BAE=90°﹣（∠DAE﹣∠DAB）=45°+∠DAB，
∴∠FAE=∠EAC，
又∵AE=AE，
∴△AFE≌△ACE，
∴FE=EC，∠AFE=∠ACE=45°，∠AFD=∠ABD=180°﹣∠ABC=135°
∴∠DFE=∠AFD﹣∠AFE=135°﹣45°=90°，
222∴在Rt△DFE中，DF+FE=DE，
222即DE=BD+EC；
（2）当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．
如图，与（1）类似，以CE为一边，作∠ECF=∠ECB，在CF上截取CF=CB，
可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA．
∴AD=DF，EF=BE．
∴∠DFE=∠1+∠2=∠A+∠B=120°．
222222
若使△DFE为等腰三角形，只需DF=EF，即AD=BE，
∴当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，且顶角∠DFE为120°
．
点评：此题比较复杂，考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理的应用等知识点，此题关键是正确找出辅助线，通过辅助线构造全等三角形解决问题，要掌握辅助线的作图根据．
24．图甲是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由图乙中的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1．
细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：
（）+1=2，S1=2；（）+1=3，S2=2；（）+1=4，S3=2；…
（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律，并计算出OA10的长；
2222
（2）求出S1+S2+S3+…+S10的值．
考点：勾股定理。
专题：规律型。
分析：解答此题要熟悉勾股定理，根据定理求出OA1、OA2、OA3、OA4、OA5…OAn的值，得出规律，进一步得出面积的变化规律．
解答：解：（1）根据勾股定理，OA2=
OA4=2，…，OA10=
S1=
（2）S1+S2+S3+…+S10=
2222==；Sn=，OA3=． ； ， ，OAn=；…；S10=；S2=；S3=+++…+==． 点评：此题是一道规律探索题，首先进行具体数的计算，根据数字找出规律，得出一般性规律．
25．如图1，有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，如图2，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形．再经过一次“生长”后，变成图3；“生长”10次后，4．如果继续“生长”下去，它将变得更加“枝繁叶茂”
．
（1）随着不断的“生长”，形成的图形中所有正方形的面积和也随之变化．若生长n次后，变成的图中所有正方形的面积用Sn表示，则Sn=
（2）S0= 1 ，S1= 2 ，S2= 3 ，S3= 4 ；
（3）S0+S1+S2+…+S10=．
考点：勾股定理。
专题：规律型。
分析：根据勾股定理，发现：经过一次生长后，两个小正方形的面积和等于第一个正方形的面积，故经过一次生长后，所有正方形的积和等于2；依次类推，经过n次生长后，所有正方形的面积和等于第一个正方形的面积的（n+1）倍．
解答：解：（1）根据勾股定理以及正方形的面积公式，可以发现：经过n次生长后，所有正方形的面积和等于第一个正方形的面积的（n+1）倍．故为n+1；
（2）1，2，3，4；
（3）根据上述规律，得：原式=1+2+3+…+11=12×5+6=66．
点评：注意根据勾股定理发现规律，还要注意1+2+…+11的简便计算方法，原式=12×5+6=66．
26．已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N．
（1）如图①，当AM=BN时，将△ACM沿CM折叠，点A落在弧EF的中点P处，再将△BCN沿CN折叠，点B也恰好落在点P处，此时，PM=AM，PN=BN，△PMN的形状是 等腰直角三角形 ．线段AM、BN、MN之间的数量关系是 AM（或AM=BN=
222222MN） ； （2）如图②，当扇形CEF绕点C在∠ACB内部旋转时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是 AM ．试证明你的猜想；
222（3）当扇形CEF绕点C旋转至图③的位置时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是 AM ．（不要
求证明）
考点：勾股定理；全等三角形的判定；翻折变换（折叠问题）。
专题：探究型。
分析：（1）根据折叠的性质知：△CAM≌△CMP、△CNB≌△CNP，所以∠A+∠B=∠FPC+∠EPC=90°，首先可得到△PMN是直角三角形，故PM、AM、BN的数量关系符合勾股定理，即AM+BN=MN；而AM=BN，所以可得到PM=PN，即△PMN是等腰直角三角形，因此PM=PN=MN． 222
（2）参照（1）的思路，可将△ACM沿CM折叠，得△DCM，然后连接DN，证△DCN≌△BCN，后面的解法同（1）．
（3）解法同（2）．
解答：解：（1）根据折叠的性质知：
△CAM≌△CPM，△CNB≌△CNP；
∴AM=PM，∠A=∠CPM，PN=NB，∠B=∠CPN；
∴∠MPN=∠A+∠B=90°，PM=PN=AM=BN，
故△PMN是等腰直角三角形，AM+BN=MN（或AM=BN=
（2）AM+BN=MN；
将△ACM沿CM折叠，得△DCM，连DN，则△ACM≌△DCM，
∴CD=CA，DM=AM，∠DCM=∠ACM，进而可知∠DCN=∠BCN，
△DCN≌△BCN，DN=BN，而∠MDC=∠A=45°，∠CDN=∠B=45°
∴∠MDN=90°，
∴DM+DN=MN，
222故AM+BN=MN．
（3）AM+BN=MN；解法同（2）
． 222222222222MN）．
点评：此题主要考查了图形的翻折变换以及勾股定理的应用，难度适中．
27．如图①，分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2+S3．
（1）如图②，分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，写出它们的关系；（不必证明）
（2）如图③，分别以Rt△ABC三边为边向外作正三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，确定它们的关系并证明；
（3）若分别以Rt△ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与（2
）相同的关系，所作三角形应满足什么条件？
考点：勾股定理。
专题：探究型。
分析：（1）从图一的规律可得S1=S2+S3；
（2）根据勾股定理求得等边三角形的高，再求出面积，可得S1=S2+S3；
（3）根据两相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得
，∴=1，∴S1=S2+S3．
解答：解：由设Rt△ABC三边BC，CA，AB的长分别为a，b，c，则c=a+b．
（1）S1=S2+S3
（2）S1=S2+S3，证明如下：
显然S1=
∴S2+S3=
（3）当所作的三个三角形相似时，S1=S2+S3．
∵所作三个三角形相似． ∴，∴=1． c，S2=（a+b）=22222a，S3=2b， c=S1．
∴S1=S2+S3．
即凡是向△ABC外做相似多边形，S1=S2+S3．
点评：此题主要涉及的知识点：三角形、正方形、圆的面积计算以及勾股定理的应用．
28．（1）如图1，AD是△ABC边BC上的高．
2222①求证：AB﹣AC=BD﹣CD；
22②已知AB=8，AC=6，M是AD上的任意一点，求BM﹣CM的值；
（2）如图2，P是矩形ABCD内的一点，若PA=3，PB=4，PC=5，求PD
的值．
考点：勾股定理。
专题：计算题；证明题。
分析：（1）AD是△ABC边BC上的高．第一问中BD移到左边，AC移到右边即可．第二问中BM=BD+DM，2222222CM=CD+DM，BM﹣CM=BD﹣CD，再通过AB，AC的转化即可．
（2）分别作三条边的高，利用辅助线及勾股定理解答．
解答：解：（1）①证明：∵AD是△ABC边BC上的高，
∴在Rt△ABD及Rt△ACD中，
222222AD=AB﹣BD，AD=AC﹣CD，
22222222∴AB﹣BD=AC﹣CD，即AB﹣AC=BD﹣CD．
222222②BM=BD+DM，CM=CD+DM，
2222∴BM﹣CM=BD﹣CD，
222222又CD=AC﹣ADBD=AB﹣AD，
222222∴BM﹣CM=AB﹣AC=8﹣6=28
． 22222
（2）矩形ABCD内，作PE⊥AB，PF⊥BC，PM⊥AD，
分别与AB，BC，AD相交于E，F，M，PA=3，PB=4，PC=5
，
；
222则PD=AE+MD，又MD=FC，BF=PE，解之得PD=3．
点评：熟练掌握勾股定理及矩形的性质及运用，能够运用勾股定理进行等效代换．
29．（1）如图甲，直角三角形ABC中，∠C=90°，分别以AB，AC，BC为边作正方形ABEF，ACMN，BCGH，面积分别设为S，P，Q，则S，P，Q满足怎样的等量关系？（直接写出结果，不需证明）
（2）如图乙，直角三角形ABC中，∠C=90°，分别以AB，AC，BC为边作等边三角形ABE，ACM，BCH，面积分别设为S，P，Q，则S，P，Q满足怎样的等量关系？并证明；
（3）如图丙，锐角三角形ABC中，分别以AC，BC为边作任意平行四边形ACMN，BCGH，面积分别设为P，Q，NM和HG的延长线相交于点D，连接CD，在AB外侧作平行四边形ABEF，使得BE，AF平行且等于CD，面积设为S，则S，P，Q
满足怎样的等量关系？并证明．
考点：勾股定理；等边三角形的性质；平行四边形的性质；平行四边形的判定。
专题：探究型。
分析：（1）S=P+Q．由于△ABC为直角三角形，所以根据勾股定理即可得到题目的结论；
（2）S=P+Q．如图，作EH⊥AB于H，由于△ABE为等边三角形，可以得到AB=BE=AE，∠ABE=60
°，接着得到
所以，同理可以求出另外两个三角形的面积，利用勾股定理的逆定理
就可以证明结论正确；
（3）S=P+Q．如图，连接DB，CE，DA，CF，根据平行四边形的性质可以得到S=SDCEB+SDAFCSDCEB=2SDCB，SDACF=2SDAC，P=2SDCA，Q=2SDCB，然后即可证明结论成立．
解答：解：（1）S=P+Q；
（2）S=P+Q
证明：作EH⊥AB于H，
∵△ABE为等边三角形，
∴AB=BE=AE，∠ABE=60°，
∴
∴， ，
，
又∵∠ACB=90°，
∴AC+BC=AB
∴S=P+Q；
（3）S=P+Q．
证明：连接DB，CE，DA，CF
∵BE，AF
平行且等于CD 222
∴四边形BECD，CFAD为平行四边形，
∴S=SDCEB+SDAFCSDCEB=2S△DCB，
SDACF=2S△DCA，
又∵四边形BCGH，ACMN为平行四边形，
∴P=2S△DCA，Q=2S△DCB，
∴S=P+Q．
点评：此题是一个探究性题目，首先由特殊的三角形利用勾股定理证明猜想的结论，然后到一般图形﹣等边三角形、平行四边形等，探究结论是否成立，然后利用勾股定理给予证明即可解决问题．
30．在讨论问题：“如图1，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=CD，请问：BD、AB、BC三边满足什么关系”时，某同学在图中作△ACE≌△DCB，连接BE得图2，然后指出三边的关系为BD=AB+BC．
他的判断是否正确？请说明理由． 222
考点：勾股定理；全等三角形的性质；等边三角形的判定。
分析：根据全等关系把BD、AB、BC的关系，转化成AE、AB和BE的关系，再根据角的度数，得到△ABE为直角三角形，利用勾股定理即可得出三边关系．
解答：解：其判断正确；
∵AD=DC，∠ADC=60°，
∴△ADC为等边三角形；
∴AC=CD，∠ACD=60°，
∴△ACE≌△DCB；
此时，AE=BD，BC=CE，∠ACE=∠DCB，
∴∠BCE=∠ACD=60°；
∴△BCE为等边三角形；
∴BE=BC，∠BCE=60°；
又∠ABC=30°，
∴∠ABE=90°；
在Rt△ABE中，AE=AB+BE∴BD=AB+BC．
点评：将三边通过等量代换转换到直角三角形，利用勾股定理得到其数量关系，然后作出正确判断是本题考查的重点．
222222
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范文四：《勾股定理的应用》
勾股定理是一个初等几何定理,是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,用代数思 想解决几何问题的最重要的工具之一, 也是数形结合的纽带之一。 《勾股定理的应用》 由数学 网为你提供,欢迎大家学习。
一、一周知识概述
勾股定理可以解决直角三角形的许多问题,在现实生活和数学中有着广泛的应用 .
(1)理解方向角等概念,根据题意画出图形,利用定理或逆定理解决航海中距离问题 ;
(2)判定实际问题中两线段是否垂直的问题。 以已知线段为边构造三角形, 根据三边的长 度,利用勾股定理的逆定理解题 ;
(3)解决折叠问题。 正确画出折叠前、 后的图形, 运用勾股定理及方程的思想, 用代数方 法解题 ;
(4)圆柱侧面上两点问题。 转化为将侧面展开成平面长方形, 构造直角三角形, 利用勾股 定理解决 ;
(5)其它涉及直角三角形的问题。
二、重、难点知识
应用勾股定理及其逆定理对具体问题具体分析,灵活运用定理是重点也是难点。 三、典型例题讲解
例 1、有一圆柱形油罐,底面周长是 12米,高是 5米,现从油罐底部 A 点环绕油罐建梯 子,正好到 A 点的正上方 B 点,问梯子最短需多少米 ?
分析:
环绕油罐建梯子,想到将圆柱沿 AB 展开,得到一个长方形,由两点之间,线段最短,构 造直角三角形,再利用勾股定理解题 .
解:
如图所示,将圆柱的侧面沿 AB 展开,得到长方形 AABB ,
则 AB=AB=5米,
AA=BB=12米, A=90.
因此沿 AB 建梯子,梯子最短 .
在 Rt △ AAB 中,
AB2=AA2+AB2=122+52=169.
AB=13(米 ).
答:梯子最短需 13米 .
例 2、小明想知道旗杆的高度,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了 2米,当他把绳子 的下端拉开距旗杆底部 8米时,发现绳子的末端刚好接触地面,求旗杆的高度 .
分析:
旗杆与地面垂直,绳子拉开后构成直角三角形,其中一直角边为 8米,斜边比另一直角 边长 2米,根据勾股定理,可列方程求解 .
解:
如图所示,在 Rt △ ABC 中, B=90, BC=8米, AC 比 AB 长 2米 .
设 AB=x,则 AC=x+2,
由勾股定理,得 AC2=AB2+BC2,
(x+2)2=x2+82, x=15(米 ).
答:旗杆的高度是 15米 .
例 3、在一棵树的 10 m高处有两只猴子,其中一只猴子爬下树走到离树 20 m的池塘 A 处,另一只爬到树顶后直接跃向池塘的 A 处,如果两只猴子所经过的路程相等,试问这棵树
有多高 ?
分析:
如图所示,一只猴子经过的路径 BCA ,共走了 10+20=30(m),另一只猴子经过的路径是 BDA ,也走了 30 m ,且树垂直于地面,于是此问题转化到直角三角形中,利用勾股定理解决 .
解:
如图所示,设 BD=x,
则 CD=BD+BC=x+10.
BC+CA=BD+DA=30, AD=30-BD=30-x.
在 Rt △ ADC 中, AD2=CD2+AC2,
(30-x)2=(x+10)2+202,解得 x=5.
CD=x+10=15(m).
答:这棵树高 15 m.
小结:此题的关键是正确地画出图形,运用勾股定理及方程的思想解决问题 .
例 4、 如图所示, 公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇, 且 QPN=30, 点 A 处有一所中学, AP=160米,假设一拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶,周围 100米以内会受到噪声的影响,那么学 校是否会受到噪声的影响 ? 说明理由, 若受影响, 已知拖拉机的速度为 18千米 /时, 则学校受 影响的时间有多长 ?
分析:
学校 A 到公路 MN 的距离 AB=
PA=80(米 ) ,因为 80100,所以学校会受到噪声的影响 . 要求受影响的时间,就需求出受 影响时拖拉机行驶的路程,因此,在 MN 上找到两点 C , D ,使 AC=AD=100米,那么 CD 间的距 离就是受影响时拖拉机行驶的路程, 由勾股定理及等腰三角形的性质, 可求出 C , D 之间的距 离 .
解:
过 A 点作 ABMN ,垂足为 B ,
∵ QPN=30, AB=
AP=
160=80(米 ).
∵ 80100,学校会受到噪声的影响 .
在 MN 上找两点 C , D ,使 AC=AD=100(米 ).
这说明拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶到 C 处时,学校开始受到噪声的影响,当行驶 到 D 处时,学校开始脱离噪声的影响 .
由勾股定理,得 BC2=AC2-AB2=1002-802=3600(米 2) , BC=60米 .
CD=2BC=260=120米 .
学校受到噪声影响的时间为 120100018=
(时 )=24(秒 ).
小结:
解几何类应用题的关键,是将实际问题转化为几何问题,利用数形结合的思想方法进行 求解 .
例 5、如图所示,南北线 PQ 为我国的领海线, PQ 以东为我国的领海,以西为公海,晚上 11时 28分,我边防反偷渡巡逻艇 112号在 A 处发现其正西方向有可疑船只 C 向我国领海靠 近,便立刻通知正在 PQ 上 B 处巡逻的 113号艇注意其动向,经观察发现, A 艇与可疑船只 C 之间的距离为 10海里, A , B 两艇之间的距离为 6海里, B 艇与可疑船只 C 之间的距离为 8海里, 若该可疑船只航行的速度为 12.8海里 /时 . 问该可疑船只最早在何时进入我国领海 ?112号巡逻艇以怎样的速度向西行驶能在可疑船只进入我领海之前截住可疑船只 ?
解:
设 PQ 与 AC 相交于点 D ,则 CDB =90.
∵ AB=6, BC=8, AC=10.
AB2+BC2=62+82=36+64=100=102=AC2.
即 AB2+BC2=AC2,△ ABC 为直角三角形, ABC=90.
∵ S △ ABC=
ABBC=
ACBD ,
.
在 Rt △ BCD 中, CD2=BC2-BD2=82-4.82=6.42, CD=6.4(海里 ).
从 C 到 D 所需的时间为 6.412.8=0.5(时 )=30(分 ).
该可疑船只最早在晚上 11时 58分进入我国领海 .
又∵ AC=10海里, CD=6.4海里,
AD=AC-CD=10-6.4=3.6(海里 ) ,
112号巡艇从 A 到 D 所需速度为 3.60.5=7.2(海里 /时 ).
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范文五：勾股定理的应用
黄山外国语学校备课稿
主备人： 李 教学内容 教学课时 教学目标 勾股定理的应用 共 1 课时 第 1 课时 坤 2013 年 9 月 15 日
年级学科 课 型
八年级 新授
1．能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题． 2．在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想，进一步发展有条理 思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值． 在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”和“建模”思想(把解斜三角 形问题转化为解直角三角形的问题)，体会数学的 应用价值
[来
教学重点 教学难点 教学准备
感受数学的“转化”和“建模”的思想，解决实际问题。
教
学 过
程
二次备课
一、情景创设，引入新课 想一想，说一说; 1、应用勾股定理求线段长的前提条件是什么？如果不是直角三角形怎么办？ 2、课本 86 页求拉索 AC、AD 、AE、 AF、 AG 的长，需要知道哪些线段的长？ 引入：利用勾股定理解决实际问题，在现实生活中有较大的用途。 二、合作探索，发现新知 （一）问题一： 已知一个等腰三角形的底边和腰长分别是 12cm 和 10cm ，求这个三角形的面积。 这个问题并不难，关键是让学生在解决问题的过程中积累经验，树立“转化”和 “建模”思想。 此题设计的目的是使学生主动地在等腰三角形、等边三角形中构造直角三角形， 从而把解斜 三角形的问题转化为解直角三角形的问题，这是研究问题的一种策略．其 次，要引导学生注意解题格式与步骤。 （二）问题二： 《九章算术》中有一道“折竹”问题 今有竹高一丈，末折低地，去根三尺，问折者高几何？ 这个问题对学生有一定的难度：一是题意的理解，弄懂古文的意义；二是把实际问题 转化为数学问题，这是问题的关键；三是在几何中树立代数（方程）意识 此题设计的目的是让学生在读懂题意的基础上，构建直角三角形，把实际问题转 化为数学问题，这是问题的关键，并在解决问题中树立“转化”思想及用代数解几何 的思想。其次，是引导学生注意解题格式步骤。 解：设 AC=x 尺，则 AB=(10-X). 由勾股定理得，x2 +32= ( 10 – x )2 解得 x = 4.55 ∴折断处离地面 4.55 尺 （三）问题三：一架长为 10m 的梯子 AB 斜靠在墙上. ⑴ 若梯子的顶端距地面的垂直距离为 8m,则梯子的顶端 A 与它的底端 B 哪个距墙角 C 远? ⑵在⑴中如果梯子的顶端下滑 1m,那么它的底端是否也滑动 1m?
⑶有人说,在滑动过程中,梯子的底端滑动的距离总比顶端下滑的距离大,你赞同吗? 此题设计的目的是让学生把实际问题转化为数学问题，构建直角三角形，运用勾股定 理计算梯子滑动前、滑动
后底端到墙的垂直距离的差。教学中不要把寻找规律作为这 个探索活动的目标，使学生学会运用数学的眼光，从不同的角度去思考问题，获得一 些研究问题的经验和方法． 三、尝试练习，活学活用。 问题四、如图，有两棵树，一棵高 8m，另一棵高 2m，两树相距 8m，一只小鸟从一 棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 （ ） A.7m B.8m C.9m D.10m 要求：画出图形，标出已知线段与求解的线段。 问题五 一种盛饮料的圆柱形杯（如图） ，测得内部底面半径为 2.5 ㎝，高为 12 ㎝，吸 管放进杯里，杯口外面至少要露出 4.6 ㎝，问吸管要做多长？ 要求：画出图形，标出已知线段与求解的线段。 四、课堂总结，布置作业：利用勾股定理解决问题，就是把 实际问题—抽象—数学问题—归类—直角三角形的问题—已知两边求第三边—利用勾 股定理—解决—实际问题。 课堂练习 得分
1.甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往东走了 4km，乙往 南走 了 6km，这时甲、乙两人相距__________km． 2．如图，一圆柱高 8cm，底面半径 2cm，一只蚂蚁从点 A 爬到点 B 处吃食，要爬行的最短路程（ ? 取 3）是（ ） ． （A）20cm （B）10cm （C）14cm （D）无法确定
3.如图， 一块草坪的形状为四边形 ABCD， 其中∠B=90°， AB=3m， BC=4m， ?CD=?12m， AD=13m．求这块草坪的面积
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