你说丶苍天饶过谁
范文一：变截面（变刚度）纵横弯曲梁
变截面(变刚度)纵横弯曲梁
唐雪平:变截面(变刚度)纵横弯曲粱47
变截面(变刚度)纵横弯曲梁
唐雪平
(中国石油天然气集团公司石油勘探开发科学研究院.北京100083)
摘要分析了受纵横弯曲毅荷联台作用的变截面(变
刖度)粱柱问题,并在钻柱力学分析中得到应用.
关键词纵横弯曲粱.变截面,钻柱力学
1引言
在钻井实践中,会遇到两个稳定器问使用不同截
面尺寸(变剐度)的钻具,如常用的Giiligan钻具组
合,VDS钻具组台和不带上稳定器的造斜螺杆钻具
组合,但一般都是一跨内为两种不同刚度的情况.而
对变截面粱柱_lj的力学分析.通常是采用从变截面的
台阶处截开,与相邻的稳定器构成两跨纵横弯曲简支
梁柱,即把台阶截面视为一个支座,再用弹性稳定理
论求出每跨简支粱柱的端部转角值和变截面处的
剪力,利用连续梁柱在支座处转角枉等和上切点处的
边界条件及变截面处剪力和位移相等的条件来列出三
弯矩方程组和求解的.在变截面台阶处新增了两个未
知数(截面处内弯矩和挠度),但方程是定嘏的
还有一种利用等效外径的计算方法来处理变截面
粱拄的力学问题,有刚度系数法(stiffnesscoefficient
method)和纯弯曲法(purebendingmethod)J,其原
理都是利用等效弯矩来处理的,只是边界条件不同而
已,这种方法不能保证挠度等效.
本文对于一跨内有两种不同刚度的梁柱,推导一
种直接计算的方法,用于嘏决钻井中所存在的变剐度
力学问题.
2均布载荷和弯矩同时作用下的力学模型
横向均布载荷和弯矩同时与轴向载荷联合作用下
的力学模型如图1所示.
图1轴向载荷与横向均布载荷及弯矩联台作用情况
本文于1999胼郅r
=
As_mkz+日c0s‰.一譬z+
生z2一些一百EI~qo2PP(7)P,’
ybCsinkbx+DCOS‰z一
z+冉P一.’p一.
一
Ma
一百
EAqb
2P
(8)PP2…
式中
k=,.
根据(7)式和(8)式可求得
=
A‰c.sz—Bk.s|nkz一鲁+z(9)
-,,期
力学与实践1999年第21卷
Y=CkbCOS‰一D‰sinh一
堕+iqb(L0)D.D一…,
由(7)式,(10)式及边界条件和连续条件有
:
等+警
『0sinkc0sh
sink.L.
kCOSk厶
一
sinh.
一
‰COSh二
bl
b2
一
cos如L
‰sinhL4
(11)
方程组(11)中
等El~qb
苇一(等+警)山
(等+警)n
由方程组(11)可解得
–
=
等+警
CC
,a
D击
&l(‰sinkbL.sinkL+
kCOSh厶coskbL.)
+b2kCOSkLcosh,一
63sinh厶COSkbL
6t(hcoshLsinL一
kCOSLsinkbL)
一
62hCOSk.L.sin如+
basink..sinkbL
(L2)
式中
-|
kCOSLasinkbLb+‰COSkbLbsinL
因此,可求得均布载荷和弯矩同时与轴向载荷联
台作用下的变截面(变剐度)粱拄端部转角的计算公式
如下
=I一=Ak一警=J4虬+甜+
(13)
―=一跳l=一‰COSL+DkbSillkbL+
,+(%一啦)qbL—
PP
且+A+(14)
式中
-4=lr=ishuCOSiu=cl1n
将相应的计算式代入以上计算公式,可求得P(0的
各计算公式.
3集中载荷作用下的力学模型
轴向载荷与横向集中载荷联合作用于变截面(变
刚度)梁拄的力学模型如图2所示.
]??II_l?J
第4期唐雪平:变截面(变刚度)纵横弯曲梁49
图2轴向载荷与横向集中载荷联台作用情况
由(22)式,(24)式可求得
i=一Ak.sin.+Bk.COSkQ(L—L)
P
f251
一
Ckn+Dks+(26)
=一
Ekbsin+Fkc0s,—QLc(27)
根据静力平衡关系可求得左右两端的支座反力为由(22)式,(27)式
厦边界条件和连续条件
RL:—Q—
(L—
-
一
L~)
R:
可求得任一点处的弯矩
ML():!+P(0sL)
(15)
(16)
fl71
A=0,E=一FtgkbL,C=(B—D)tgkLc
(B-.)+Gtgk.L=Q
c协Lr墅=o
c一一=o
?R()=—Q—
L~
1
(L_-,x)+P(L)(18)
由以上方程组可求得
粱柱变形的挠曲线微分方程为
ELy’/=一ML(Z)(0L)(19)
EI~y’2’=一Mn(x)(LL)(20)
–一Ma(x)(LzL)(21)
边界条件
yl(0)=0,yz(L)=0
连续条件
式中
yl(L.)=2(L)
y2(L)=y3(L)
微分方程的通解为
Yi(L.)=(L)
(L)=(k)
Q(L
.
-
,
L~)(0?L)
PL…
y2=CCOS?+Dsinz一
—
Q—
L
—
~(
五
L-
—一
x)(L
.)PL一一一一,
y3=Ecoskbz-6Fsin一
旦墨(LsL)
PL…一一一
.=‰=
?(.)
(22)
A=0
=
[警一
hsinL
COSL日(tgkbLb+k~tgk.L).
COSkL]—
J
Qsi?Lc.—
.=[訾一
sinkL
kc0sk?(ktgkbLb+kbtgkL)
E=(Qsi?七Lc)/【Pc.s..c.sbL..
(ctgkbL+tgkbL.)(n培,Lb+kbtgkL)
F=一(0si?L)/IPc.s.L.c.sh.
(1+tgkbLtghL.)(ktgkbLb+kbtgk.Lo)
故横向集中载荷作用在变截面(变刚度)下的梁桂端部
(23)转角计算公式为
f241
日=Yl:0=Bk.印(一)
PL
nLa+COS一
kbsink~Lc
i…Lc
L1]c0s.(ktg‰+6tgL.).J
(28J
力学与实践1990年第21卷
目‖=一l=L=Ekb$1nkbL—COSkbL-
0.Fkb0—
coskbL一下
p
Q--
{(kbsin..)/
[c0skoc0skbLcoskbL(1+tgkbLtgkbL.)
(g6+gk)卜LcJ(2g)
若轴向力P(0,即为拉力时,贝『f
屉.层c…
=
[一sn.t+chk.一
生
chkLf.thkbL~+kbthkL.1]
f3D)
=
f(hk)/[ehkoLdlh
(1一thkbLthkbL)(thkbLb+kbthkL.)]
r311
4应用
应用纵横弯曲法【1和本文的计算公式,根据支
座转角连续条件和边界条件,可求解钻井中各种井底
/\钻具组台(BHA)的受力与变形问题一所开发的BHA
/设计分析软{牛,在油田得到了应用,并取得了良好的
?教果.用该软件进行过大位移井的BHA设计,在常规
1—5
定向井中,对于难以增斜和降斜的井段,作过Gilligan
钻具和露性钟摆钻具的设计.达到了预期的目的在
―八五‖的水平井和‖九五‖的侧钻水平井项目中进行
过造斜螺杆钻具组台的受力分析,为螺杆钻具的设计
和使用提供了理论依据,并在油田得到了验证
参考文献
1自家祉,苏义脑着井斜控制理论与实赋北京:石油工
业出版社.1990
2TimoshenkoS弹性稳定理论.张福范译北京:科学
出版社,1958
3ChandraUBasjcConceptsinStaticBtIAAnalysis
forD[rectionalDrilling.SPE15467
TIM0SHENK0BEAM0FVARIABLE
CROSS?SECTION(VARIABLE
STIFFNESS)
TANGXueping
ResearchInstituteofPetroleumExplorationand
DevelopmentofCNPC,Beijing100083,China)
AbstractThispaperanalysesthebeamofvari?
ablecross—section(variablestiffness)loadedbya,x?
ialcompressiveforcestogetherwithtransverse0?es.
whichisappliedindrillstrings
KeywordsTimoshenkobeam,~riablecross—
section(variablestiffness),drillstring
弹性支承圆弧梁内力分析
蒋忘刚
(长沙工程兵学院.长沙410003)
摘要现代桥梁及房屋结构为工程背景提出弹性
支承曲线粱计算模型.接结构力学方法推导出弹性支
承圆孤粱的内力计算公式,分析讨论了竖向和抗扭弹
性支承对内力
关键词桥梁掣鹫,
1工程背景
由于高等级公路高速铁路及城市立交桥,高架
道路的发展,弯桥的应用越来越多II1.现代房屋建筑
本文于1999-01—20收到
2
因功能和美观的要求,也常常采用曲线粱作为承重构
件如江苏省公安交通指挥中心大楼设置了两根圆弧
形转换大梁.起‖1抬14‖的作用I现代弯桥大多
采用橡胶支座或与桥墩固结.而房屋结构中的曲线粱
通常与柱或挑梁固结.为了考虑支承(支座,柱或梁)
弹性变形对曲线梁内力的影响,宜接弹性支承模型计
算.本文着重讨论竖向和抗扭弹性支承单跨圆弧梁在
竖向和扭矩荷载作用下的内力,假定两端支承抗弯为
,?rk
范文二：第7章 梁的弯曲变形与刚度(2)
7.7 梁的刚度
7.7.1 梁的刚度条件
计算梁的变形的主要目的是为了判别梁的刚度是否足够以及进行梁的设计。工程中梁的刚度主要由梁的最大挠度和最大转角来限定，因此，梁的刚度条件可写为：
?w max ≤[w ]
（7-10） ?
θ≤[θ]?max
其中，w max =w (x )
max
，θmax =(x )
分别是梁中的最大挠度和最大转角，
m ax
[w ]，[θ]分别是许可挠度和许可转角，它们由工程实际情况确定。工程中[θ]通常以度（）
表示，而许可挠度通常表示为：
[w ]=
l
m 是大的自然数 (l 是梁长，
m
上述两个刚度条件中，挠度的刚度条件是主要的刚度条件，而转角的刚度条件是次要的刚度条件。
7.7.2 刚度条件的应用
与拉伸压缩及扭转类似，梁的刚度条件有下面三个方面的应用。 （1）校核刚度
给定了梁的载荷，约束，材料，长度以及截面的几何尺寸等，还给定了梁的许可挠度和许可转角。计算梁的最大挠度和最大转角，判断其是否满足梁的刚度条件式（7-15）和式（7-16），满足则梁在刚度方面是安全的，不满足则不安全。
很多时候工程中的梁只要求满足挠度刚度条件式（7-15）即可，而梁的最大转角由于很小，一般情况下不需要校核。 （2）计算许可载荷
给定了梁的约束，材料，长度以及截面的几何尺寸等，根据梁的挠度刚度条件式（7-15）可确定梁的载荷的上限值。如果还要求转角刚度条件满足的话，可由式（7-16）确定出梁的另一个载荷的上限值，两个载荷上限值中最小的那个就是梁的许可载荷。 （3）计算许可截面尺寸
给定了梁的载荷，约束，材料以及长度等，根据梁的挠度刚度条件式（7-15）可确定梁的截面尺寸的下限值。如果还要求转角刚度条件满足的话，可由式（7-16）确定出梁的另一个截面尺寸的下限值，两个截面尺寸下限值中最大的那个就是梁的许可截面尺寸。
例7-21 如图7-41（a ）所示的梁，其长度为
L =1m ，抗弯刚度为EI =4. 9?105Nm 2，当梁的最
大挠度不超过梁长的1/300时，试确定梁的许可载荷。
F
F
(a)
A '
B '
(c)
F
A '
(b)
图7-41 例7-21图
解：原梁根据图7-41（b ）所示的变形过程，等价于图7-41（c ）所示的悬臂梁。梁的最大挠度在自由端B ' 处，也就是原梁的最大挠度在
A 点，为：w max
FL 3=3EI
根据刚度条件有：w max
FL 3L
=≤[w ]=
3EI 300
EI 4. 9?105Nm 23
所以得：F ≤==4. 9?10N =4. 9kN 222
100L 100?1m
故梁的许可载荷为：[F ]=4. 9kN
7.7.3 提高梁刚度的方法
如前所述，梁的变形与梁的弯矩及抗弯刚度有关，而且与梁的支承形式及跨度有关。如图7-42所示。所以，在梁的设计中，当一些因素确定后，可根据情况调整其它一些因素以达到提高梁的刚度的目的，具体方法如下：
q
载荷形式与大小
F
支承形式
抗弯刚度
梁长
图7-42 影响梁变形的因素
（1）调整载荷的位置，方向和形式
目的是降低梁的弯矩，这与提高梁的强度的方法相同。 （2）调整约束位置，加强约束或增加约束
梁的变形通常与梁的跨度的高次方成正比，因此，减小梁的跨度是降低变形的有效途径。，如图7-43（a ）所示，工程中常采用调整梁的约束位置或增加约束来减小梁的跨度（图7-43（b ），（c ）），还可以加强梁的约束减小梁的最大挠度（图7-43（d ））。
B B
(a) (b)
B
(c)
图7-43 提高梁的刚度的措施
(d)
（3）提高梁的抗弯刚度
选用弹性模量大的材料可提高梁的刚度，但采用此种方法是不经济的，即弹性模量大的材料价格较高。
选择合理的截面形状可提高梁的刚度，如采用工字形，箱形或空心截面等，增加截面对中性轴的惯性矩，既提高梁的强度也增加梁的刚度。但必须指出：小范围内改变梁截面的惯性矩，对全梁的刚度影响很小，因为梁的变形是梁的各段变形累积而成，但此种情况对梁的强度影响很大。
7.8 梁的简单超静定问题
如果梁弯曲时，仅由平衡方程无法求出梁的支反力，或由截面法无法求出梁的内力，则这种问题称为梁的超静定问题，相应的梁称为超静定梁。如果平衡方程比未知数（可以是支反力，内力或梁的几何尺寸）少一个，则称为一次超静定问题或简单超静定问题；少n 个则称为n 次超静定问题，相应的梁称为一次超静定梁或n 次超静定梁。典型的超静定梁如图7-44各图所示。
(a) (b)
(c)
(e) (f)
图7-44 梁的简单超静定问题
显然，梁的超静定问题关键是求出梁的支反力或内力，从而就可以按照前述过程计算梁的应力和强度或者计算梁的变形和刚度。
7.8.1 简单超静定梁问题的解法
超静定梁的典型特征是约束过度，这种过度约束有可能是外部的（图7-44（a ）~（d ）），也有可能是内部的（图7-44（e ）（f ））。过度的约束称为多余约束，如图7-45所示，一次超静定梁通常有一个多余约束，而n 次超静定梁通常有n 个多余约束。
q
多余约束
A
多余约束
多余约束
(a) 一次超静定梁
(b) 二次超静定梁 (c) 三次超静定梁
图7-45 超静定梁的多余约束
梁的超静定问题的解法与拉压及扭转超静定问题的解法类似，即：（a ）列出梁的整体（或部分）平衡方程，判别梁是否是超静定梁以及其超静定次数。（b ）在多余约束处列出梁的变形协调方程。（c ）在多余约束处列出梁的物理方程。（d ）将物理方程代入协调方程得到补充方程，即可求解多余约束处的反力（或内力）。一旦梁的内力求出后，即可按梁的正常过程计算梁的应力和变形，从而可解决超静定梁的强度和刚度问题。
很多时候梁是否超静定梁以及其超静定次数可直观判断。而梁在多余约束处的反力往往只需要变形协调方程和物理方程即可求解，因此，实际求解梁的简单超静定问题时，具体方法就是在多余约束处应用叠加法。其步骤如下：
1 确定简单超静定梁的某个约束为多余约束（图7-46（a ）），解除该约束代以未知反力X 1
（图7-46（b ））。解除多余约束后的静定梁称为静定基（图7-46（c ））。
2 简单超静定梁现简化为梁上实际载荷和多余约束处的未知反力共同作用下的静定梁
（图7-46（b ））。根据叠加法，该静定梁可分解为两个梁的叠加：一是实际载荷作用在静定基上的情况，也就是原超静定梁直接去掉多余约束后得到的梁，假设其在多余约束处产生的挠度或转角为?1F （图7-46（d ））。二是多余约束处的未知反力作用在静定基上的情况，假设其在多余约束处产生的挠度或转角为?1X （图7-46（e ））。由叠加法可算出图7-46（b ）所示的梁在多余约束处的挠度或转角为?1X +?1F 。
3 如果简单超静定梁在多余约束处存在的实际挠度或转角为?1（图7-46（f ）），则由叠
加法，应有变形协调条件：
?1X +?1F =?1 （7-11）
直接求解该方程，即可得到多余约束处的反力。
4 利用梁的整体平衡方程可求出梁的其它支反力，从而可计算梁的内力，应力或变形，
也可计算梁的强度和刚度问题。
A
A
B
A
B
(a)
多余约束
(b) 多余约束
(c)
F
(d)
(e)
(f)
1
多余约束
图7-46 简单超静定梁的解法
必须注意，挠度或转角?1X , ?1F , ?1等有两种可能的方向，若某个方向的挠度或转角规定为正的话，则其反方向的挠度或转角就为负。另外，如图7-47所示，根据叠加法，未知反力作用在静定基上在多余约束处产生的挠度或转角?1X 可以写成标准的形式，为：
?1X =δ11X 1，其中δ11是单位力作用在静定基上在多余约束处产生的挠度或转角。所以，
式（7-11）可写为：
δ11X 1+?1F =?1 （7-12）
上式称为简单超静定梁的正则方程，是求解各种简单超静定问题的基本方程。
A
=δ11X 1
A
X
1
(a)
(b)
图7-47 未知反力产生的挠度或转角
A
(a)
多余约束
B A
B
X 1=m
(b) 第一种简化方式
A (c) 第二种简化方式
还必须注意，静定基的选择并不是唯一的，即超静定梁可简化为不同形式的静定梁的叠加。
图7-48 静定基的不同选择
静定基的选择不一样时，相应的变形协调方程也不一样。如图7-48所示的超静定梁，其静定基就有两种不同的选择，一种选择为悬臂梁，是将右边支座看成是多余约束；另一种选择为简支梁，是将左边支座的转动约束看成是多余约束。通常静定基选择的原则是越简单越好。
例7--22 如图7-49（a ）所示，已知梁的抗弯截面系数为W ，抗弯刚度为EI ，许用应力为[σ]，梁长为L ，载荷集度为q 。（1）作梁的剪力图和弯矩图并求梁的许可载荷。（2）求梁的最大挠度所在的位置。（3）为提高梁的承载能力，可将右边支座提高少许，求支座提高的最佳值以及此种情况下梁的许可载荷，梁的承载能力提高了多少？
q
(b)
(c)
(d)
图7-49 例7-22图
解：（1）作梁的剪力图和弯矩图并求梁的许可载荷
梁为一次超静定梁，将支座B 作为多余约束，解除约束代以未知反力R ，静定基选择为悬臂梁，如图7-49（b ）所示。
实际载荷在多余约束处产生的挠度为：?1F
qL 4
=-
8EI
未知约束反力在多余约束处产生的挠度为：?1X
RL 3=3EI
多余约束处的实际挠度为零，即?1
=0 ，所以有：
?1X +?1F
3qL RL 3qL 4
=-=0 R =
83EI 8EI
（向上）
5qL
考虑梁的整体平衡可求出固定端处的反力为：R A =
8
qL 2
（向上）m A =
8
（逆时针）
梁的剪力图和弯矩图如图7-50所示。
q
A
-
qL 23EI ?
+8L 图7-50 例7-22梁的剪力图和弯矩
图7-51 例7-22支座提高后梁的剪力图和弯矩图
9qL 2
梁在距离固定端0. 6L 处有一极值弯矩，为M ' max =
128
，而梁的最大弯矩在固定端，为
M max
qL 2=8
。所以，由梁的强度条件有：σmax
M max qL 2==≤[σ]
W 8W
则梁的许可载荷为：[q ]=
8[σ]W
L 2
（2）梁的最大挠度所在的位置 假设最大挠度的位置离固定端的距离为（c ）所示。
由右段梁的平衡，有：
x ，则将梁从该处截断，考虑左边部分梁，其受力情况如图
7-51
3qL
F s =q (L -x ) -
8
q (L -x ) 23qL (L -x ) M =-+
28
因最大挠度所在处的转角为零，所以由叠加法左边梁在自由端的转角为：
qx 3F s x 2Mx qx 2F s x
θC =+-=0 +-M =0
6EI 2EI EI 62
x 25Lx L 2x
-+=0 令ξ=，最终有： 将F s , M 代入上式整理后得：
L 384
ξ2-
153
ξ+=0 84
=
15-33
≈0. 58，所以梁的最大挠度在x ≈0. 58L 处，靠近极值弯
16
在（0，1）区间的解为：ξ
矩处。
（3）支座提高的最佳值以及此种情况下梁的许可载荷。
由图7-51（d ）所示，此时多余约束处有实际挠度? ，于是根据和（1）中相同的分析有：
?1X +?1F
RL 3qL 4=-=? 3EI 8EI
=
3EI ?3qL
-8L 3
支座处的支反力为：R
梁在固定端的支反力为：
5qL 3EI ?
R A =qL -R =-3
8L
（向上）
qL 2qL 23EI ?
m A =-RL =-2（逆时针）
28L
梁的剪力图和弯力矩图如图7-53所示。 图中的极值弯矩为：M max =
15qL 3EI ?2
(-3) -m A 2q 8L
当M max =m A 时梁的承载能力最大，所以有：
15qL 3EI ?2qL 23EI ?
(-3) =2m A =2(-2) 2q 88L L
令：t =
5qL 3EI ?
-3，则上式化为：t 2-4qLt +2(qL ) 2=0 8L =
t 2
η+2=0 解得：η=2±2 ，取小根，有： ，则有：η-4
qL
再令：η
t =
5qL 3EI ?
-3=qL (2-2) 8L
11qL 4
) 所以支座提高的最佳值为：?=(2-
83EI
此种情况下梁的最大弯矩为：
M max
qL 23EI ?3=-2=(-2) qL 2
82L
由梁的强度条件有：σmax
M max 3qL 2
==(-2) ≤[σ]
W 2W
2[σ]W (3-22) L
2
于是梁的许可载荷为：[q ' ]=
两种情况下许可载荷的比值为：
[q ' ]213+22
=?==1. 455 [q ](3-22) 84
可见梁的承载能力提高了约46%。
例7-23 如图7-52(a)所示中间铰梁，左边梁的抗弯刚度为2EI ，右边梁的抗弯刚度为EI ，求梁在中间铰处的挠度。
B
B
R
R
(a) (b)
图7-52 例7-23
解：将梁从中间铰处拆开，左梁和右梁间的作用力假设为R （图7-52(b)）。 根据叠加法，左梁在中间铰处的挠度为：
qa 4Ra 3qa 4Ra 3
w 1=-=-
8(2EI ) 3(2EI ) 16EI 6EI
（向下）
qa 4Rb 3
+右梁在中间铰处的挠度为：w 2=
8EI 3EI
（向下）
qa 4Ra 3qb 4Rb 3
-=+两梁的变形协调条件为：w 1=w 2 所以有：
16EI 6EI 8EI 3EI b 1-2ξ43qa
ξ=?得：R = 其中
a 1+2ξ38
梁中点的挠度为：
qa 4Rb 3qa 4(1-2ξ4) ξ3
w C =w 1=w 2=+=[1+]（向下）
8EI 3EI 8EI 1+2ξ3
特别地当
a =b 时，ξ=1，有：R =-
3qa
8
（负号表示与图7-57中假设的方向相反）
qa 4
w C =
12EI
（向下）。
例7-24 如图7-53（a ）所示结构，各梁的抗弯刚度为EI ，CD 杆为刚性杆，求悬臂梁固定端的支反力以及梁的最大挠度。
q
q
(a)
A
M D
图7-53 例7-24
解：由于CD 杆为刚性杆，所以其对上梁和下梁的作用力是作用力和反作用力，假设该力为R （图7-53（b ））。而且C , D 两点的竖向位移是相同的。
5q (2a ) 4R (2a ) 35qa 4Ra 3
-=-由叠加法，上梁在C 点的挠度为：w C =
384EI 48EI 24EI 6EI Ra 3
下梁在D 点的挠度为：w D =
3EI
两梁的变形协调条件为：w C
（向下）
（向下）
=w D
解得：R
5qa 4Ra 3Ra 3
-=所以有：
24EI 6EI 3EI
=
5qa 12
5qa
R =R =下梁固定端的支反力为：G
12
下梁的最大挠度在D 点，为：w max
5qa 2
（向上）M G =
12
（逆时针）
Ra 35qa 4== 3EI 36EI
例7-25 如图7-54（a ）所示长梁放置在刚性平台上，但有长度为a 的一段梁位于平台之外，梁单位长度的重量为q ，抗弯刚度为EI ，求梁自由端C 点的挠度和转角。
q
(a)
q
C
(b)
q
C
B
A F s
C
B
(d)
(c)
图7-54 例7-25解法1图
A 点，梁脱离平台的距离为b ，则梁段ABC 可简化为图7-54（b ）
所示的悬臂梁。B 点的支反力及距离b 为未知，但梁有固定端的弯矩为零和B 点挠度为零两个条件，因此
解法一：假设梁在平台上的接触点为梁仍然是一次超静定梁。
q (a +b ) 2q (a +b ) 2
=0 R B b =平衡条件：M A =R B b -
22
qa 2M =
2
要计算B 点的挠度，可将梁从B 点右侧截开，只考虑左边部分梁，则其受力情况如图7-54（d ）所示，由右边部分梁的平衡有：F s
=qa
qb 4F s b 3Mb 2R B b 3
++-=0 所以由叠加法，B 点的挠度为：w B =
8EI 3EI 2EI 3EI R B b b 2ab a 23b 23a 2
++) -=0 R B b =q (+ab +) 整理有：q (8343843b 23a 2q (a +b ) 2
+ab +) =于是：q (842
q (a +b ) 232
=(1+) qa 解得：b =2a 则：R B =
2b 4
由图7-54（c ），应用叠加法可计算梁自由端的挠度和转角如下。
q (a +b ) 4R B b 3R B b 2
--?a 挠度：w C =
8EI 3EI 2EI
(1+2) 43222qa 412qa 4
=[-(1++1)]=(+)
843EI 812EI
（向下）
q (a +b ) 3R B b 2
-转角：θC =
6EI 2EI
(1+2) 332qa 312qa 3=[-(1+)]=(+)
64EI 612EI
解法二：梁段
（顺时针）
ABC
还可简化为图7-55（b ）所示外伸梁，该外伸梁左端截面的转角为零。图7-55（b ）
所示梁可分解为图7-55（c ）和图7-55（d ）所示两梁的叠加。
A 截面的转角：θA =θA 1+θA 2=0
θA 1
qb 3
=-
24EI
图7-55（d ）所示梁可采用逐段刚化法求解。有：θA 2
(qa 2/2) b qa 2b ==
6EI 12EI
qb 3qa 2b
+=0 解得：b =2a 于是有：-
24EI 12EI
q
(a)
q
(b)
θ(c)
q
q
w C
2'
θA 2
θC 2'
?
w
C 2
w
C 2' '
(d)
图7-57 例7-26解法2
C
点的挠度为：w C =w C 1+w C 2=w C 1+w C 2' +w C 2' '
（向上）
w C 1
qb 32qa 4
=θB 1a =?a =
24EI 12EI
qa 4(qa 2/2) b 2qa 4
w C 2' =?a =（向下） w C 2' ' =θB 2a =
8EI 3EI 6EI
（向下）
2qa 4qa 42qa 412qa 4
++=(+) 所以：w C =-
12EI 8EI 6EI 812EI C
截面的转角为：θC
（向下）
=θC 1+θC 2=θC 1+θC 2' +θC 2' '
θC 1=θB 1=θA 1
qa 3
θC 2' =
6EI
2qa 3=
12EI
（逆时针）
(qa 2/2) b 2qa 3
=（顺时针） θC 2' ' =
3EI 6EI
（顺时针）
2qa 3qa 32qa 312qa 3
++=(+) 所以：θC =-
12EI 6EI 6EI 612EI
例7-26 如图7-56（a ）所示，体重W 衡木的弹性模量为E
（顺时针）
=450N 的运动员可以在长L =5m 的平衡木上任意移动，平
=10GPa
，其截面对中性轴的惯性矩为I
=2. 8?107mm 4，（1）求运动员
在任意位置时平衡木中点的挠度。（2）运动员在什么位置时，平衡木的挠度最大，其值是多少？
B
(a)
(b)
F /2
F
/2F /2
(c)
B
F /2
B
(d)
M
(e)
图7-56 例7-26图
解：平衡木可简化为在任意位置受集中力作用且两端固定的力学模型，如图7-56（b ）所示。
由于结构的约束既是对称的也是反对称的，所以结构可简化为一个对称梁和一个反对称梁的叠加，如图7-56（c ）和图7-56（d ）所示，由于反对称梁中点的挠度为零，所以图7-56（c ）所示对称梁中点G 的挠度就等于原结构中点的挠度。将该对称梁从中间点G 处截开，只考虑左边半部分梁，根据对称性，该半部分梁右端截面上的剪力为零，且转角θG 为零。所以有：
Fx 2(F /2) x 2M (L /2)
θG =-=0 M =
2EI EI 2L
于是，
(0≤x ≤
L
) 2
G 点的挠度为：
(F /2) x 3(F /2) x 2L M (L /2) 2
w G =
+(-x ) -
3EI 2EI 22EI
L Fx 3Fx 2L Fx 2L Fx 2
=+(-x ) -=(3L -4x ) (0≤x ≤)
26EI 4EI 216EI 48EI
450?(103x ) 233
[3?5?10-4?(10x )] 即：w G =
48?10?103?2. 8?107
=0. 033x 2(15-4x ) mm (0≤x ≤2. 5m)
这即是平衡木中点的挠度，其中
x 的单位为米。
d w G Fx L
=(L -2x ) =0x =因：
2d x 8EI
则当运动员移动到平衡木中点时其挠度最大，最大挠度为：
w max =w G
x =L /2
FL 3450?(5?103) 3
===1. 04mm 37192EI 192?10?10?2. 8?10
7-27 如图7-57（a ）所示正三角形刚架结构，每边长a 梁截面为正方形，其边长b
=100mm ，材料的许用应力[σ]=160MPa ，
=10mm ，试求结构的许可载荷。
M
F (x )
M
(a) (b) (c)
图7-57 例7-27图
解：由于对称性，以及
A , B , C 各结点均为刚性结点，只考虑AO 1段梁，其相当于一个悬臂梁，如图
7-57（b ）所示，且在O 1点的转角为零。
(F /2)(a /2) 2M (a /2)
-=0 由叠加法，O 1点的转角为：θ1=
2EI EI
所以：M
=
Fa
8
=M -
F Fa F x =-x
282
梁中的弯矩函数为：M (x )
所以最大弯矩只可能在
A 截面或靠近O 1截面处，因：
M A =
Fa F a Fa
-?==M =M max 8228
根据强度条件有：σmax
=
M max 6Fa
=≤[σ] 3
W 8b
4b 3[σ]4?103?160
==2133N =2. 133kN 故结构的许可载荷为： [F ]=
3a 3?100
例7-28 如图7-58（a ）所示矩形刚架结构，长为2l ，宽为2a ，材料的弹性模量为E ，刚架截面为矩形截面，其宽为b ，高为h ，不考虑轴力的影响，试求结构
A , B 两点以及C , D 两点间的相对位移。
F
(a)
(b)
(c)
图7-58 例7-28图
解：根据结构的对称性，
A , C 截面的转角为零，结构的四分之一部分可简化为图7-58（b ）所示的结构。
继续将图7-58（b ）所示结构简化为图7-58（c ）所示的结构 ，结构为一次超静定问题，结构中C 点的水平位移就是
A , B 两点间相对位移的一半，而C 点的竖向位移是C , D 两点间相对位移的一半。
采用叠加法以及逐段刚化法进行求解。
(F /2) a 2Ma Ml
C 点的转角：θC =--=0
2EI EI EI
Fa 2Fa
所以：M ==
4(a +l ) 4(1+ξ)
其中： ξ=
l a
(F /2) a 3Ma 2(1+4ξ) Fa 3
C 点的水平位移：u C =-=
3EI 2EI 24(1+ξ) EI
(F /2) a 2Ml Ma ξFa 3ξFa 3
?l -?l -?l =-=0 C 点的竖向位移：w C =
2EI EI EI 4EI 4EI
于是，
A , B 两点间的相对位移为：?AB
(1+4ξ) Fa 3
=2u C =
12(1+ξ) EI
C , D 两点间的相对位移：?CD =0
特别当ξ
=1即l =a 时，有：?AB
5Fa 3Fa 3=，ξ=2即l =2a 时，?AB =24EI 4EI
。
而当l
>>a 时，?AB
Fa 3
→3EI
（2）* 高次超静定结构问题 使用叠加法。
高次超静定结构问题是指超静定次数大于或等于二的超静定结构问题，其解法依然是在结构的多余约束处如图7-59（a ）所示的梁就是一典型的二次超静定结构，将B 点确定为1号多余约束，而C 点确定为2号多余约束，其相应的未知反力分别为
X 1和X 2，超静定梁在1号和2号多余约束处的实际位移分别为?1
和?2（图7-59（b ）），则原超静定梁可分解为图7-59（c ），图7-59（d ）和图7-59（e ）三个梁的叠加，分别在1号和2号多余约束处写出梁变形的协调方程，于是有：
q
B
(a)
1
1
2
(b)
1
(c)
1F
δ11
?X 1
12
?X 2
(e)
(d)
图7-59 高次超静定梁的解法
?δ11X 1+δ12X 2+?1F =?1?
?δ21X 1+δ22X 2+?2F =?2
（7-13）
其中，系数δ11和δ21是单位力作用在静定基（去掉多余约束后的静定结构）的1号多余约束处时分别在1号和2号多余约束处所产生的位移；而系数δ12和δ22是单位力作用在静定基的2号多余约束处时分别在1号和2号多余约束处所产生的位移；在能量法一章可以证明，δ12
=δ21；?1F 和?2F
分别是实际载荷
作用在静定基上时在1号和2号多余约束处所产生的位移。特别要注意，多余约束反力X 1和X 2可以是集
中力也可以是集中力偶，而式（7-19）中的两个协调方程可以是线位移的协调方程也可以是角位移的协调方程 。
式（7-13）还可以写成矩阵形式：
?δ11 δ?21
未知反力
δ12??X 1???1F ???1?
? ???+ = （7-14） ? ? ? δ22??X 2???2F ???2??
式（7-13）或式（7-14）称为二次超静定结构问题的正则方程；是一线性代数方程组，直接求解即可得到
X 1和X 2，从而可按正常的过程分析结构的内力，应力与强度或者变形与刚度 。
更一般地，n 次超静定结构问题的正则方程可写为：
?δ11
δ21 : δ?n 1
δ12δ22
:
δ1n ??X 1?
? ?
.. δ2n ? X 2?
.. .. ..
δn 1
??1F ?2F +
:? :? :? ? ? δnn ??X n ????nF ???1?
? ?? ?2?
?= :? （7-15） ? ?? ????n ?
以上各式关键是计算系数δij 和?iF ，采用前述积分法或叠加法进行计算许多时候是不简便的，特别是复杂的超静定结构问题更是如此，因此本教材在能量法一章中再介绍高次超静定结构问题各系数的简便计算方法。式（7-15）的系数仍然满足：δij
=δji ，即系数矩阵是对称矩阵。
范文三：平面弯曲梁的强度和刚度计算
第八章 平面弯曲梁的强度与刚度计算 §8-1 纯弯曲时横截面的正应力
一．纯弯曲试验：
纯弯曲：内力只有弯矩，而无剪力的弯曲变形。 剪切弯曲：既有弯矩，又有剪力的弯曲变形。
为了研究梁横截面上的正应力分布规律，取一矩形截面等直梁，在表面画些平行于梁轴线的纵线和垂直干梁轴线的横线。在梁的两端施加一对位于梁纵向对称面内的力偶，梁则发生弯曲。梁发生弯曲变形后，我们可以观察到以下现象：
①横向线仍是直线且仍与梁的轴线正交，只是相互倾斜了一个角度；
②纵向线（包括轴线）都变成了弧线； ③梁横截面的宽度发生了微小变形，在压缩区变宽了些，在拉伸区则变窄了些。
根据上述现象，可对梁的变形提出如下假设：
①平面假设：梁弯曲变形时，其横截面仍保持平面，且绕某轴
转过了一个微小的角度。
②单向受力假设：设梁由无数纵向纤维组成，则这些纤维处于
单向受拉或单向受压状态。
可以看出，梁下部的纵向纤维受拉伸长，上部的纵向纤维受压缩短，其间必有一层纤维既不伸长也木缩短，这层纤维称为中性层。中性层和横截面的交线称为中性轴，即图中的Z轴。梁的横截面绕Z轴转动一个微小角度。 二．梁横截面上的正应力分布：
图中梁的两个横截面之间距离为dx，变形后中性层纤维长度仍为dx且dx=ρdθ。距中性层为y的某一纵向纤维的线应变ε为：
对于一个确定的截面来说，其曲率半径ρ是个常数，因此上式说明同一截面处任一点纵向纤维的线应变与该点到中性层的距离成正比。
由单向受力假设，当正应力不超过材料的比例极限时，将虎克定律代入上式，得：
由上式可知，横截面上任一点的弯曲正应力与该点到中性轴的距离成正比，即正应力沿截面高度呈线性变化，在中性轴处，y=0，所以正应力也为零。
三．梁的正应力计算：
在梁的横截面上任取一微面积dA，作用在这微面积上的微内力为σdA，在整个横截面上有许多这样的微内力。微面积上的微内力σdA对z轴之矩的总和，组成了截面上的弯矩
则 式中
称为横截面对中性轴的惯性矩，是截面图形的几何性质，仅与截面形状和尺寸有关。
上式是梁纯弯曲时横截面上任一点的正应力计算公式。应用时M及y均可用绝对值代入，至于所求点的正应力是拉应力还是压应力，可根据梁的变形情况，由纤维的伸缩来确定，即以中性轴为界，梁变形后靠凸的一侧受拉应力，靠凹的一侧受压应力。也可根据弯矩的正负来判断，当弯矩为正时，中性轴以下部分受拉应力，以上部分受压应力，弯矩为负时，则相反。 横截面上最大正应力发生在距中性轴最远的各点处。即
令
则
WZ称为抗弯截面模量，也是衡量截面抗弯强度的一个几何量，其值与横截面的形状和尺寸有关。
弯曲正应力计算公式是梁在纯弯曲的情况下导出来的。对于一般的梁来说，横截面上除弯矩外还有剪力存在，这样的弯曲称为剪切弯曲。在剪切弯曲时，横截面将发生翘曲，平截面假设不再成立。但较精确的分析证明，对于跨度l与截面高度h之比 l/h>5的梁，计算其正应力所得结果误差很小。在工程上常用的梁，其跨高比远大于5，因此，计算式可足够精确地推广应用于剪切弯曲的情况。
§8-2 常用截面二次矩 平行移轴公式
一、常用截面二次矩： 1、矩形截面：
2、圆形截面与圆环形截面：
4
①圆形截面： IZ＝Πd/64
WZ＝Πd/32
44
②圆环形截面： IZ＝Π（D－d）/64
34
WZ＝Πd{1-(d/D)}/32
3
3、型钢的截面：查表，见附录。
二．组合截面二次矩 平行移轴公式：
计算弯曲正应力时需要截面对中性轴的惯性矩，截面的中性轴又是截面的形心主轴。在截面上任一点K，取邻域dA，K点到z轴、y轴的距离分别为y、z，定义y2dA、z2dA为微元对z轴、y轴的惯性矩，分别记作：
dIz=y2dA dIy=z2dA
上式对整个截面积分，得截面对z轴、y轴的惯性矩：
2 IZ?ydA
A 2
I?zdAy
A
图所示的截面形心为C，面积为A，zc轴、yc轴通过截面形心C，现有不通过形心的z轴、y轴分别与zc轴、yc轴平行，两轴之间的距离分别为a、b，截面对z轴、zc轴以及对y轴、yc轴的惯性矩有以下关系：
IZ=IZc+a2A IY=IYc+b2A
上式称为惯性矩的平行移轴公式，即截面对任一轴z的惯性矩等于该截面对过形心而平行于z轴的zc轴的惯性矩加上两轴之间的距离的平方与截面面积的乘积 见教材P146例题8.1。
?
?
§8-3 弯曲正应力强度计算
为保证梁安全地工作，危险点处的正应力必须小于梁的弯曲许用应力[σ]，这是梁的正应力强度条件。对于塑性材料，其抗拉和抗压强度相同，宜选用中性轴为截面对称轴的梁，其正应力强度条件为： Mmax
?max???
WZ
对于脆性材料，其抗拉和抗压强度不同，宜选用中性轴不是截面对称轴梁，并分别对抗拉和抗压应力建立强度条件： ?
?max???
? ?max???
对于中性轴不是截面的对称梁，其最大拉应力值与最大压应力值不相等。如图所示的T形截面梁，最大拉应力和最大压应力分别为：
Mmax?y2?Mmax?y1 ?
?max?,?
max? IZIZ
强度条件可解决三类强度计算问题：
① 强度校核：验算梁的强度是否满足强度条件，判断梁在工作时是否安全。
??
??
??
② 截面设计：根据梁的最大载荷和材料的许用应力，确定梁截面的尺寸和形状，或选用合适的标准型钢。
③ 确定许用载荷：根据梁截面的形状和尺寸及许用应力，确定梁可承受的最大弯矩，再由弯矩和载荷的关系确定梁的许用载荷。
注：对于非对称截面，需按公式 分别计算三类问题。
【例】图示T形截面铸铁外伸梁，其许用拉应力[σ]＝30MPa，许用压应力[σ]＝60MPa，截面尺寸如图。截面对形心轴z的惯性矩Iz＝763mm4，且y1=52cm。试校核梁的强度。 解：
1、求支座反力：FA=2.5kN FB=10.5kN
画出弯矩图，最大正弯矩在C点，最大负弯矩在B点，即C点为上压下拉，而B点为上拉下压。 2、求出B截面最大应力： 最大拉应力（上边缘）
最大压应（下边缘）
3、求出C截面最大应力： 最大拉应力（下边缘）
最大压应力（上边缘）
最大拉应力在C点且σCmax=28.83MPa
见教材P147例题8.2/8.3/8.4。
师生小结：
1、纯弯曲的定义及应用； 2、梁的弯曲强度计算； 3、应用。
§8-5 梁的弯曲变形概述
梁在外载荷作用下将产生变形，梁不但要满足强度条件，还要满足刚度条件，即要求梁在工作时的变形不能超过一定的范围，否则就会影响梁的正常工作。 一、挠曲线方程：
悬臂梁在纵向对称面内的外力P的作用下将发生平面弯曲，变形后梁的轴线将变为一条光滑的平面曲线，称为梁的挠曲轴线，也称弹性曲线、挠曲线。
y=f(X)→梁的绕曲线方程。
二、挠度和转角：
梁上任一截面C，变形后其形心在C/处，C截面的形心产生线位移CC/。CC/既有水平分量，也有垂直分量，而水平分量很小，只讨论垂直分量C/C//。截面形心位移的垂直分量称该截面的挠度，用y表示。
C截面不但产生线位移，还产生了角位移，横截面绕中性轴转动产生了角位移，此角位移称转角，用θ表示。
挠度和转角的正负号作如下规定： 挠度与y轴正方向同向为正，反之为负；截面转角以逆时针方向转动为正，反之为负。
只要知道梁的挠曲轴线方程y=f(x)，就可求出挠度和转角。
§8-6 用叠加法求梁的变形
一、挠曲轴线近似微分方程：
1M?x?梁任一截面的曲率：…………(1) ??xEI
曲线y=f(x)的曲率： …………(2) 1y//
??3 ?x2/21?y
代入（1）式得： y//M?x?…………(3) ?? 3EI/221?y
式（3）称梁的挠曲轴线微分方程。由于y/很小，y/2更小，可忽略。 M?x?y
//?? EI
方程的正负号与弯矩M的正负号的规定以及挠度的正方向规定有关，规定挠度向上为正。弯矩M与曲线的二阶导数y//的正负号关系为：
1）梁的挠曲轴线是一下凸曲线，梁的下侧纤维受拉，弯矩M>0，曲线的二阶导数y//>0；
2）梁的挠曲轴线是一上凸曲线，梁的上侧纤维受拉，弯矩M
由此可知，这两种情况下弯矩与曲线的二阶导数均同号，上式应取正号，即： M?x?//y? ??EI
注：书本P153表8.1给出了梁在简单载荷下的挠曲线方程，
端截面转角和最大挠度。
二、用叠加法求梁的变形：
小变形时梁弯曲挠度的二阶导数与弯矩成正比，而弯矩是载荷的线性函数，所以梁的挠度与转角是载荷的线性函数，可以使用叠加法计算梁的转角和挠度，即梁在几个载荷同时作用下产生的挠度和转角等于各个载荷单独作用下梁的挠度和转角的叠加和，这就是计算梁弯曲变形的叠加原理。 举例：
外伸梁在外伸段作用有均布载荷q，梁的抗弯刚度为EI，求C截面的挠度。
解：把外伸梁段上的均布载荷向B截面简化，得集中力qa，力偶qa2/2，将使B截面产生转角θB，BC段的实际变形等于固
定端产生转角θB的悬臂梁。C截面的挠度由以下两部分构成：
悬臂梁由于B截面产生转角引起的挠度yC1和悬臂梁在载荷下
产生的挠度yC2。
首先计算B截面转角θB：
12qa?3aqa32?B????3EI2EIyC2yC1qa4??8EIqa4?a??B??2EIqa4qa45qa4
?????2EI8EI8EIyC?yC1?yC2
三、梁的刚度条件：
梁除了要满足强度条件外，还要满足刚度条件，即工作中的梁的挠度和转角不能太大。
设梁的最大挠度和最大转角分别为ymax和θmax，而[y]和
[θ]分别为挠度和转角的许用值，则梁的刚度条件为：
ymax≤[y]
θmax≤[θ]
举例：
简支梁选用32a工字钢，P=20KN，l=8.86m，E=210Gpa，梁的许用挠度[f]=l/500，试校核梁的刚度。
解：查表得：IZ=11100cm4。
查表得梁的跨中挠度为：
， Pl320?103?8.863
?2?m?y ???1.24?10；9?848EI48?210?10?11100?10
?f??1l
?8.86?1.77?10?2
500500
因为y
见教材P155例题8.6。
§8-7 提高梁的强度和刚度的措施
1、合理安排梁的支承：
均布载荷作用在简支梁上时，最大弯矩与跨度的平方成正比，如能减少梁的跨度，将会降低梁的最大弯矩。 举例：
2、合理地布置载荷：（P158图8.20）
使梁上载荷分散布置，可以降低最大弯矩。
举例：
3、选择梁的合理截面：
①根据抗弯截面系数与截面面积比值Wz/A选择截面：
抗弯截面系数越大，梁能承受载荷越大；横截面积越小，梁使用的材料越少。同时考虑梁的安全性与经济性，可知Wz/A值越大，梁截面越合理。以下比较具有同样高度h的矩形、圆形和工字形（槽形）截面的Wz/A值：
高为h、宽为b的矩形截面：
bh2
WZ??0.167hAbh
直径为h的圆形截面：
。 ?h3
WZ??0.125h12 A?h4
高为h的工字形与槽形截面：
。 WZ??0.27~0.31?h A
可见这三种截面的合理顺序是：1）工字形与槽形截面；2）矩形截面；3）圆形截面。截面形状的合理性，可以从梁截面弯曲正应力的分布规律说明，梁截面的弯曲正应力沿截面高度呈线性变化，截面边缘处的正应力最大，中性轴处的正应力值为零，中性轴附近的材料没有得到充分的应用，如果减少中性轴附近的材料，而把材料布置到距中性轴较远处，截面形状则较为合理，所以，工程上常采用工字形、圆环形、箱形等截面形式。
②根据材料的拉压性能选择截面：
对于塑性材料，其抗拉强度和抗压强度相等，宜采用中性轴为截面对称轴的截面，使最大拉应力与最大压应力相等。如矩形、工字形、圆环形、圆形等截面形式。对于脆性材料，其抗压强度大于抗拉强度，宜采用中性轴不是对称轴的截面，如T形截面，使中性轴靠近受拉端，使得：
??maxy1???? ????maxy2??
范文四：第7章 梁的弯曲变形与刚度(1)
第7章 梁的弯曲变形与刚度
概述
梁平面弯曲时其变形特点是：梁轴线既不伸长也不缩短，其轴线在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线，而且处处与梁的横截面垂直，而横截面在纵向对称面内相对于原有位置转动了一个角度（图7-1）。显然，梁变形后轴线的形状以及截面偏转的角度是十分重要的，实际上它们是衡量梁刚度好坏的重要指标。
x
(a)
图7-1 梁平面弯曲时的变形
(b)
本章的主要目的是：1研究梁变形后轴线以及截面偏转角度应满足的方程。2梁的变形与梁横截面上内力间的关系。3 建立梁的刚度条件，从而判别工程中的梁是否满足刚度要求，或者控制梁的变形以满足实际工程的刚度要求。
7.1 梁弯曲变形的基本概念
7.1.1 挠度
在线弹性小变形条件下，梁在横力作用时将产生平面弯曲，则梁轴线由原来的直线变为纵向对称面内的一条平面曲线，很明显，该曲线是连续的光滑的曲线，这条曲线称为梁的挠曲线（图7-2）。
梁轴线上某点在梁变形后沿竖直方向的位移（横向位移）称为该点的挠度。在小变形情况下，梁轴线上各点在梁变形后沿轴线方向的位移（水平位移）可以证明是横向位移的高阶小量，因而可以忽略不计。
θ(x)
图7-3 梁的转角
图7-2 梁的挠曲线
挠曲线的曲线方程：
w=w(x) （7-1）
称为挠曲线方程或挠度函数。实际上就是轴线上各点的挠度，一般情况下规定：挠度沿轴的正向（向上）为正，沿y轴的负向（向下）为负（图7-4）。
y
必须注意，梁的坐标系的选取可以是任意的，即坐标原点可以放在梁轴线的任意地方，另外，由于梁的挠度函数往往在梁中是分段函数，因此，梁的坐标系可采用整体坐标也可采用局部坐标。
7.1.2 转角
梁变形后其横截面在纵向对称面内相对于原有位置转动的角度称为转角（图7-3）。 转角随梁轴线变化的函数：
θ=θ(x) （7-2）
称为转角方程或转角函数。
由图7-3可以看出，转角实质上就是挠曲线的切线与梁的轴线坐标轴x的正方向之间的夹角。所以有：tanθ
=
dw(x)
,由于梁的变形是小变形，则梁的挠度和转角都很小，所以θdx
和tanθ是同阶小量，即：θ≈tanθ，于是有：
θ(x)=
dw(x)
（7-3） dx
即转角函数等于挠度函数对x的一阶导数。一般情况下规定：转角逆时针转动时为正，而顺时针转动时为负（图7-4）。
需要注意，转角函数和挠度函数必须在相同的坐标系下描述，由式（7-3）可知，如果挠度函数在梁中是分段函数，则转角函数亦是分段数目相同的分段函数。
x
x
(a) 正的挠度和转角 (b) 负的挠度和转角
图7-4 梁的挠度和转角的符号
7.1.3 梁的变形
材料力学中梁的变形通常指的就是梁的挠度和转角。但实际上梁的挠度和转角并不是梁的变形，它们和梁的变形之间有联系也有本质的差别。
如图7-5（a）所示的悬臂梁和图7-5（b）所示的中间铰梁，在图示载荷作用下，悬臂梁和中间铰梁的右半部分中无任何内力，在第二章曾强调过：杆件的内力和杆件的变形是一一对应的，即有什么样的内力就有与之相应的变形，有轴力则杆件将产生拉伸或压缩变形，有扭矩则杆件将产生扭转变形，有剪力则杆件将产生剪切变形，有弯矩则杆件将产生弯曲变形。若无某种内力，则杆件也没有与之相应的变形。因此，图示悬臂梁和中间铰梁的右半部分没有变形，它们将始终保持直线状态，但是，悬臂梁和中间铰梁的右半部分却存在挠度和转角！ 事实上，材料力学中所说的梁的变形，即梁的挠度和转角实质上是梁的横向线位移以及梁截面的角位移，也就是说，挠度和转角是梁的位移而不是梁的变形。回想拉压杆以及圆轴扭转的变形，拉压杆的变形是杆件的伸长?l，圆轴扭转变形是截面间的转角?，它们实质上也是杆件的位移，?l是拉压杆一端相对于另一端的线位移，而?是扭转圆轴一端相对于另一端的角位移，但拉压杆以及圆轴扭转的这种位移总是和其变形共存的，即只要有位移则杆件一定产生了变形，反之只要有变形就一定存在这种位移（至少某段杆件存在这种位移）。但梁的变形与梁的挠度和转角之间就不一定是共存的，这一结论可以从上面对图7-5（a）所示的悬臂梁和图7-5（b）所示的中间铰梁的分析得到。
无变形
(a) 悬臂梁的变形 (b)中间铰梁的变形
实际上，图示悬臂梁和中间铰梁右半部分的挠度和转角是由于梁左半部分的变形引起的，因此可得如下结论：1梁（或梁段）如果存在变形，则梁（或梁段）必然存在挠度和转角。2
图7-5 挠度和转角实质上是梁的位移
梁（或梁段）如果存在挠度和转角，则梁（或梁段）不一定存在变形。所以，梁的变形和梁的挠度及转角有联系也存在质的差别。
7.2 挠曲线的近似微分方程 在上一章曾得到梁变形后轴线的曲率方程为：
1M(x)
=
ρ(x)EIz
高等数学中，曲线w=w(x)的曲率公式为：
1
=±ρ(x)
w''(x)[1+w'(x)2]
32
由于梁的变形是小变形，既挠曲线
w=w(x)仅仅处于微弯状态，则其转角
θ(x)=w'(x)<>
1
=±w''(x)
ρ(x)
上章也分析了曲率的正负号的问题，结论是变形后梁轴线曲率的正负号与梁弯矩的正负号一致。因此综合上列几式有：
d2wM(x)
（7-4） =
dx2EI
上式称为挠曲线的近似微分方程。其中，I=Iz是梁截面对中性轴的惯性矩。根据式（7-4），只要知道了梁中的弯矩函数，直接进行积分即可得到梁的转角函数θ(x)=w'(x)以及挠度函数w(x)，从而可求出梁在任意位置处的挠度以及截面的转角。
7.3 积分法计算梁的变形
根据梁的挠曲线近似微分方程式（7-4），可直接进行积分求梁的变形，即求梁的转角函数
θ(x)和挠度函数w(x)。下面分两种情况讨论。
7.3.1 函数M(x)/
EI在梁中为单一函数
此时被积函数M(x)/EI在梁中不分段（图7-6）。则可将挠曲线近似微分方程式（7-4）两边同时积分一次得到转角函数θ(x)，然后再积分一次得到挠度函数w(x)，注意每次积分均出现一待定常数。所以有：
图7-6被积函数在梁中为单一函数
M(x)?
θ(x)=dx+C???EI
（7-5） ?
M(x)?w(x)=[dx]dx+Cx+D???EI?
其中，C,D是待定常数，可见，转角函数θ(x)和挠度函数w(x)在梁中也是单一函数。 积分常数C,D可由梁的支承条件（又称为约束条件或边界条件）确定。常见的梁的支承条件如下。
A
固定铰支承：
w(A)=0
移动铰支承：
w(A)=0
固定端支承： w(A)=
θ(A)=0
-
Rk
弹簧支承：
w(A)=-
Rk
k
为弹簧系数
-?l
拉杆支承：
-?
w
(A)=-?l ?l为拉杆伸长量 梁支承：
w(A)=-? ?为支承梁在A点的挠度
一般情况下，梁的支承条件有两个，正好可以确定积分常数C和D。 7.3.2 函数M(x)/
EI在梁中为分段函数
此时被积函数M(x)/EI在梁中分若干段（图7-7）。则在每个梁段中将挠曲线近似微分方程式（7-4）两边同时积分一次得到该段梁的转角函数θi(x)，然后再积分一次得到该段梁的挠度函数wi(x)，注意每段梁有两个待定常数Ci,Di，一般情况下各段梁的积分常数是不相同的。所以有：
iwi
θ1w1C1D1
nwn
CnDn
CiDi
图7-7 被积函数在梁中为分段函数
M(x)?
θ(x)=[]idx+Cii??EI?
(xi-1≤x≤xi) （7-6） ?
M(x)??w(x)=?[]dx??dx+Cix+Dii???EI???
可见，梁的转角函数θ(x)和挠度函数w(x)在梁中也是分段函数。
x..1..,假设梁分为n段（图7-7），x0,.xi-1,x..,xn称为梁的分段点，则共有2n个积i.
分常数Ci,Di(i=1,2,...n)，梁的支承条件有两个，另外，梁变形后轴线是光滑连续的，这就要求梁的转角函数以及挠度函数在梁中是连续的函数。这个条件称为梁的连续性条件。
因此，可列出除梁约束点外其它分段点的连续性条件为：
?θi-1(xi)=θi(xi)
.). （7-7） (i=2,.n?
w(x)=w(x)ii?i-1i
共有2n-2个方程，加上梁的两个支承条件，则可确定2n个积分常数
Ci,Di(i=1,2,...n)，从而即可求得各段梁的转角函数θi(x)以及挠度函数wi(x)。
注意，积分法求分段梁的变形时，可以采用局部坐标系进行求解，相应的弯矩函数M(x)，抗弯刚度EI以及支承条件和连续性条件都必须在相同的局部坐标系下写出。 一些常见梁的转角函数与挠度函数以及其在特殊点的值见附录B。
例7-1 如图7-8所示，悬臂梁下有一刚性的圆柱，当F至少为多大时，才可能使梁的根部与圆柱表面产生贴合？当F足够大且已知时，试确定梁与圆柱面贴合的长度。
(a)
图7-8 例7-1图
(b)
解：欲使梁的根部与圆柱面贴合，则梁根部的曲率半径应等于圆柱面的半径（图7-8（a）），所以有：
EIMA1FL 得：
F===
LRREIEI
这就是梁根部与圆柱面贴合的最小载荷。 如果：F>
EI
则梁有一段是与圆柱面贴合的，假设贴合的长度为x，那么贴合点C处的曲率半LR
径也应等于圆柱面的半径（图7-9（b）），所以有：
MC1F(L-x) ==REIEIx=L-
EI
FR
例7-2 梁AB以拉杆BD支承，载荷及尺寸如图7-9（a）所示。已知梁的抗弯刚度为EI，拉杆的抗拉刚度为EA，试求梁中点的挠度以及支座处的转角。
RB
RB
(a)
(b)
图7-9 例7-2图
解：（1）求支反力和弯矩函数 由于梁是载荷对称梁，所以
A处的支反力和B
处拉杆的拉力是相等的，为：
RA=RB=
ql
2
建立图7-9（a）所示的坐标系，则梁中的弯矩函数函数为：M(x)=（2）求转角函数和挠度函数
qx(l-x)
(0≤x≤l)
2
M(x)qx2lx
θ(x)=?dx+C=(-)+C
EI2EI23
qx3x
w(x)=?θ(x)dx+D=(l-)+Cx+D
12EI2
（3）确定积分常数
qllql2
约束条件为：w(0)=0 w(l)=-?l=-( ?)/EA=-
224EAql3ql
代入挠度函数表达式得：D=0 C=-(+)
24EI4EA
于是转角函数和挠度函数为：
qx2lxql
θ(x)=(-)-
2EI234EIqx3xqlx
w(x)=(l-)-
12EI24EI
梁中点的挠度为：
l2I
(+) 6Al2I(+) 6A
（3）求梁中点的挠度以及支座处的转角
lq(l/2)3lql2l2I5ql4ql2
wC=w()=(l-)-(+)=-(+)(向下）
212EI48EI6A384EI8EA
支座处的转角：
θA
qll2Iql3ql
=θ(0)=-(+)=-(+)(顺时针）
4EI6A24EI4EA
例7-3 如图7-10所示阶梯状悬臂梁自由端的挠度以及梁中点截面的转角。
AB，在自由端受集中力F作用，梁长度及抗弯刚度如图示，试求
(
M2EI
(
A
C
M1EI
θ2w2
C2
D2
θ1
C1
B
w1
D1
(a)阶梯状梁 (b)梁的分段图
图7-10 例7-3图
解：（1）求梁的弯矩函数
建立图7-10（a）所示的坐标系，由截面法可求得梁中的弯矩函数为：M(x)由于梁分为两段，则两段梁的被积函数分别为：
=-Fx(0≤x≤l)
(
MFxlMFxl
)2=-(≤x≤l) )1=-(0≤x≤) (EI2EI2EIEI2
（2）求转角函数和挠度函数 转角函数：
?MFx2l
θ(x)=()dx+C=-+C(0≤x≤)11??EI1?12EI2 θ(x)=?2
?θ2(x)=(M)2dx+C2=-Fx+C2(l≤x≤l)
?EI?4EI2?
挠度函数：
?Fx3lw1(x)=?θ1dx+D1=-+C1x+D1(0≤x≤)??6EI2 w(x)=?3
?w2(x)=θ2dx+D2=-Fx+C2x+D2(l≤x≤l)
??12EI2?
（3）确定积分常数 约束条件：θ(l)
=0 w(l)=0
根据梁的分段图可见：
Fl2Fl2
θ(l)=θ2(l)=-+C2=0 C2=
4EI4EI
Fl3Fl3Fl3Fl3
-=-w(l)=w2(l)=-+C2l+D2=0D2=
12EI4EI6EI12EI
llll连续性条件：θ1()=θ2() w1()=w2() 2222
F(l/2)2F(l/2)25Fl2
-+C1=+C2 C1=
2EI4EI16EI
3Fl3F(l/2)3lF(l/2)3l-+C1+D1=+C2+D2 D1=-
16EI6EI212EI2
所以，梁的转角函数和挠度函数为：
?Fx25Fl2lθ(x)=-+(0≤x≤)??12EI16EI2
θ(x)=?22
FxFll?θ2(x)=-+(≤x≤l)
?4EI4EI2?
?Fx35Fl2x3Fl3lw(x)=-+-(0≤x≤)??16EI16EI16EI2
w(x)=?323
?w2(x)=-Fx+Flx-Fl(l≤x≤l)?12EI4EI4EI2?
（4）求自由端的挠度以及梁中点截面的转角 由梁的分段图，自由端的挠度为：
wB
3Fl3
=w1(0)=-(向下）
16EI
2
llFl梁中点截面的转角为：θC=θ1()=θ2()= （顺时针）228EI
因梁
x轴正方向是向左的，因此转角为正的时候是顺时针转角。
7.4 梁弯曲变形的一些重要特性
7.4.1 影响梁内力、应力及变形的因素
梁的内力只与作用于梁上的载荷（包括支反力）有关，而与梁材料的力学性能、梁的几何形状以及约束类型无关。相同长度的梁只要其受力（包括支反力）情况相同，则其内力是完全一样的。
根据梁的正应力公式σ(x,y)=-
M(x)yF(x)S'(y)
和切应力公式τ(x,y)=s可知，IzbIz
在线弹性小变形条件下，梁的应力除了与梁的受力情况（包括支反力）有关外，还与梁的截
面形式和形状有关，如果截面不具有左右对称轴，梁通常将产生组合变形，而梁的应力与梁材料的种类以及梁的约束情况无关，即当作用于梁上的外力（包括支反力）和梁截面的几何形状和尺寸相同时，则在线弹性小变形条件下，无论梁约束类型如何，梁材料是什么材料，梁的应力是完全相同的。
从积分法计算梁变形的基本公式7-5及7-6可知，梁的变形也即梁的转角和挠度与梁的受力情况、梁材料的力学性能、梁截面的几何形状和尺寸以及梁的约束情况均有关系。因此，工程中梁的刚度受诸多因素的影响。
7.4.2 载荷与梁的内力及变形的关系
梁上的载荷与梁的内力及变形的关系见表7-1。 表7-1载荷与梁的内力及变形的关系
集中力偶m
剪力 Fs
集中力F
分布载荷q
不受影响
Fs∝F
M∝Fa
Fs∝qa
弯矩 M转角 θ挠度 w
M∝mM∝qa2
qa3
θ∝
EI
maθ∝
EI
Fa2
θ∝
EIFa3
w∝
EI
ma2
w∝
EIqa4
w∝
EI
其中，a为梁的特征长度，m,F,q等为作用于梁上的特征载荷，EI为梁的抗弯刚度。 7.4.3 梁与刚性地基或平台的接触问题 当梁有一段与刚性地基或平台接触时，
梁的内力以及变形有一些非常重要的性质。如图7-11（a）所示，一很长的梁置于刚性地基或平台上，在梁的某一点用力将梁提起一段（图7-11（b）
），一般情况下需要考虑梁的自重，下面分析梁的内力和变形特点。
(b)
(a)
F
A
θA=B=0
A(c)
B0
图7-11 刚性地基或平台上的梁
(d)
假设梁单位长度的重量为q，梁的AB段从刚性地基或平台上被提起，梁与刚性地基或平台的接触点为A,B点，显然
A,B点无横向位移，而且梁的A,B截面也无转动，亦即
θA=0,θB=0，wA=0
,wB=0，因此，梁段AB的A,B端可简化成固定端（图
7-12（c）），也可简化为转角为零的简支端（图7-11（d））。
又因留置于刚性地基或平台上的梁段始终保持为直线，其轴线上任何一点的曲率半径为无穷大，由于梁轴线的连续和光滑性，接触点式，则梁的
A,B点的曲率半径也是无穷大，所以根据曲率公
A
,B截面上的弯矩应等于零，即MA=0,MB=0。
结论：当梁有一段与刚性地基或平台接触时，则接触点处一般可简化为弯矩为零的固定端，也可简化为转角为零的简支端。
图7-12是几种常见接触问题的简化模型。
F
q
q
C
B
AC
MA
B
R
(a)
2
θA=
=0
(b)
(c)
图7-12 几种常见接触问题的简化模型
7.4.4 对称梁与反对称梁问题
在梁的内力部分曾介绍过载荷对称梁和载荷反对称梁的内力特点，这里所说的是严格意义上的对称梁与反对称梁，既如果梁上作用的载荷对称，梁的约束也对称，则梁称为对称梁（图7-13）；如果梁上作用的载荷反对称，梁的约束也反对称，则梁称为反对称梁（图7-14）。 对称梁和反对称梁是载荷对称梁和载荷反对称梁的特殊情况，因此，其内力特点是：对称梁的剪力图是反对称图形，而弯矩图是对称图形；反对称梁的剪力图是对称图形，而弯矩图是反对称图形。显然对称梁的变形是对称的，而反对称梁的变形是反对称的。
q
2
2
图7-13 对称梁
图 7-14 反对称梁
观察图7-15（a）所示的对称梁的变形，根据对称性，梁中间截面变形后仍然处于竖直状态，即其转角为零（7-15（b））。另外，从中间截面将梁截开，截面上的受力情况如图7-15（c）所示，根据对称性，只有中间截面上的剪力为零梁才对称。因此，可得如下结论：
1 对称梁中间截面的转角为零，若梁中点无集中力作用时，中间截面上的剪力为零。即：
）。3 θC=0，FsC=0。2 对称梁从中点截开后，中点可简化为定向铰支座（7-15（d）
对称梁如果中点受有集中力作用，则梁从中点截开后，集中力可平分到左右梁上（图7-16）。
(a)
(b)
q
C
F
sC=0
(c)
(d)
图 7-15 对称梁中点的内力和变形特点
(a)
C
C
F2
(b)
图7-16 对称梁中点集中力的处理
(c)
观察图7-17（a）所示的反对称梁的变形，根据反对称性，梁中间点变形后不动，即其挠度为零（7-17（b））。另外，从中间截面将梁截开，截面上的受力情况如图7-17（c）所示，根据反对称性，只有中间截面上的弯矩为零梁才反对称，因此，可得如下结论：
1 反对称梁中点的挠度为零；若梁中点无集中力偶作用时，中间截面上的弯矩为零。即：
）。wC=0，MC=0。2 反对称梁从中点截开后，中点可简化为移动铰支座（7-17（d）则梁从中点截开后，集中力偶可平分到左右梁上（图3 反对称梁如果中点受有集中力偶作用，7-18）。
q
2
2
(a)
q
C(b)
sC
MC
=0
(c)
C
(d)
图7-17 反对称梁中点的内力和变形特点
(a)
m
m
C
(b)
图
7-18 反对称梁中点集中力偶的处理
(c)
更进一步，复杂的对称结构和反对称结构中点截面的内力及位移也具有与对称梁和反对称梁类似的性质。在梁的内力一章介绍过内力的物理性质，即相对于截面来说，剪力是反对称的物理量，而弯矩是对称的物理量。如果截面上还存在扭矩和轴力，情况又将怎样呢？如图7-19所示，如果杆件截面上存在四种内力，很明显有下述结论：相对于截面来说，轴力和弯矩是对称的物理量，而剪力和扭矩是反对称的物理量。关于复杂的对称结构和反对称结构的问题在能量法一章中介绍，这里不多赘述。
T
图7-19 杆件内力的对称性和反对称性
另外，如图7-20所示，如果结构的约束既是对称也是反对称的约束时，则当其受任意载荷作用时，总可以分解为一个对称结构和一个反对称结构的叠加。这一结论是材料力学问题应用叠加原理的一个非常重要的结论，在处理一些复杂结构时有很重要的应用。
q
+
+
(a) (b)
图 7-20 结构分解为对称结构和反对称结构的叠
例7-4 如图7-21所示的悬臂梁，梁截面为矩形截面，试问：（1）当梁的高度增大一倍而其它条件不变时，则梁中最大正应力减小了多少？最大挠度减小了多少？（2）如果只是梁的宽度增大一倍，结果如何？（3）当梁的长度增加一倍而其它条件不变时，结果又如何？
F
图 7-21 例7-4图
解：梁的最大弯矩在固定端，而最大挠度在梁的自由端。 原梁的最大正应力为：σmax
=
Mmax6FL
=2
Wzbh
FL3∝
EI
即：wmax
3
FL312kFL=k=
EIEbh3
最大挠度由表7-1可知，有：wmax
当梁的高度增大一倍而其它条件不变时，最大正应力为：σ'max即梁中的最大正应力减小到原来的四分之一，减小了75%
=
6FL1
=σmax 2
b(2h)4
3
FL312kFL1
最大挠度为：w'max=k==wmax
EIEb(2h)38
即梁的最大挠度减小到原来的八分之一，减小了87.5%。 当只是梁的宽度增大一倍时，最大正应力为：σ''max
=
6FL1
=σmax
(2b)h22
即梁中的最大正应力减小到原来的二分之一，减小了50%
3
FL312kFL1
最大挠度为：w''max=k==wmax
EIE(2b)h32
即梁的最大挠度也减小到原来的一半，减小了50%。
当梁的长度增大一倍而其它条件不变时，σ'''max即梁中的最大正应力增大到原来的两倍。
=
6F(2L)
=2σmax
bh2
FL312kF(2L)3
==8wmax 最大挠度为：w'''max=kEIEbh3
即梁的最大挠度增大到原来的8倍。
=20kN/m，伸出平
台的部分长度为a=1m，梁截面为50?100的矩形截面，今在梁端用力F=20kN将梁提起，求梁
中的最大正应力。
例7-5 如图7-22（a）所示，一长梁置于刚性平台上，梁单位长度的重量为q
C
(b)
F
(a)
A
F
F(C)
MA(d)
图7-22 例7-5图
解：如图7-22（b）所示，假设梁与平台的接触点为A点，从平台上提起的长度为L。则梁段简化为图7-22（c）所示的悬臂梁。
根据：MA
ABC可
=0有：F(L+a)-q(L+a)2=0
2
L=
2F2?20
+a=-1=1m q20
1
qx2-Fx 2
梁中的剪力函数和弯矩函数分别为：
Fs(x)=qx-F M(x)=
由
F20dM(x)
==1m =Fs(x)=0有： x=
dxq20
所以，最大弯矩在梁中间截面上，也即在平台边缘的截面上，为；
Mmax=
11
qx2-Fx=?20?1-20?=10kNm 22x=1
所以梁中的最大正应力为：
σmax
Mmax6Mmax6?10?106====120MPa
Wzbh250?1002
EI
。
例7-6 计算图7-23（a）所示梁中点的挠度和转角，梁的抗弯刚度为
q
q(a)
q
q2
2
2
2
(b)
(c)
2
(d)
图 7-23 例7-6图
解：图7-23（a）所示梁
AB
可分解成图7-23（b）和图7-23（c）所示的对称梁和反对称梁的叠加。
因对称梁中点截面的转角为零，而反对称梁中点的挠度为零。
所以，原梁中点的挠度就是图7-23（b）所示对称梁中点的挠度，该梁是受均布载荷作用的简支梁，查附录2，可得该梁中点的挠度为：
5(q/2)L45qL4
wC==
384EI768EI
此即原梁中点的挠度。
（向下）
原梁中间截面的转角就是图7-23（c）所示反对称梁中点的转角，由于反对称梁中点的挠度为零，中间截面的弯矩为零，所以，将梁从中点截开后，中点相当于一个移动铰支座，故图7-23（c）所示反对称梁的左半部相当于受均布载荷作用的简支梁，如图7-23（d）所示，其C点的转角就是反对称梁中间截面的转角，也即是原梁中间截面的转角。查附录2，可得C点的转角为：
θC
(q/2)(L/2)3qL3
==
24EI384EI
（逆时针）
此即原梁中间截面的转角。
例7-7 计算图7-24（a）所示梁中点的挠度和支座
B
处截面的转角，梁的抗弯刚度为
EI
。
(a)
q0
q0
(b)
AB
(c)
(d)
图7-24
例7-7图
解：图7-24（a）所示梁可分解成图7-24（b）和图7-24（c）所示的对称梁和反对称梁的叠加。
因反对称梁中点的挠度为零，所以原梁中点的挠度就是图7-24（b）所示对称梁中点的挠度，该梁是受均
布载荷作用的简支梁，查附录2，可得该梁中点的挠度为：
5(q0/2)L45qL4
wC==
384EI768EI
此即原梁中点的挠度。 原梁在支座
（向下）
B
处截面的转角等于图7-24（b）和图7-24（c）所示的对称梁和反对称梁在
B
处转角θB1
和θB2的叠加，
图7-24（b）所示的对称梁在
B
处的转角查附录2可得：
θB1
(q/2)L3qL3
==
24EI48EI
（逆时针）
由于反对称梁的中点相当于一个移动铰支座，故图7-24（c）所示反对称梁的右半部相当于受三角分布载荷作用的简支梁，实际上就是将原梁的载荷和梁长缩小一半的情况，如图7-24（d）所示。
假设原梁在支座
B
处截面的转角为θB，而图7-24（d）所示梁在支座
B
处截面的转角为θB2。根据
表7-1有：
θB
q0L3
∝
EI
θB2
q0L3∝
EI
若：θB
q0L3
=k
EI
（逆时针） ，k>0为比例常数，则有：
θB2
(q0/2)(L/2)31=k?=θB
EI16
=θB1+θB2=θB1+
1
θB 16
（逆时针）
由于：θB
所以：θB
q0L31616q0L3
=θB1=?=151548EI45EI
7.5 叠加法计算梁的变形
用积分法计算梁的变形是相当烦琐的，特别是梁分段很多的情况下，需要用截面法写出各段梁的弯矩函数，还需要确定出各段梁的积分常数，这一过程十分复杂和烦琐。因此，有必要寻求更简单的方法计算梁的变形，在工程中，很多时候并不需要求出整个梁的转角函数和挠度函数，而是只需要求出某些特殊点处的转角和挠度，也即往往只需要求出梁中最大的转角和挠度，也就可以进行梁的刚度计算了。所以，下面介绍的叠加法就是一种计算梁某些特殊点处的转角和挠度的简便方法。
叠加原理：在线弹性小变形条件下，任何因素引起的结构中的内力、应力和应变以及变形和位移等都是可以叠加的。这一原理称为线弹性体的叠加原理。
如图7-25所示的杆件结构系统，在任何因素影响下，只要满足线弹性小变形条件，则结构中的内力FN,Fs,T,M，应力σ,τ以及变形?l,?,θ,w等就等于每种因素在结构中引起
(i)的内力FN,Fs(i),T(i),M(i)，应力σ
(i)
,τ(i)以及变形?l(i),?(i),θ(i),w(i)的叠加。即：
?(i)(i)(i)(i)?(FN,Fs,T,M)=(∑FN,∑Fs,∑T,∑M)
iiii
??(i)(i) （7-8） ?(σ,τ)=(∑σ,∑τ)
ii?
?(?l,?,θ,w)=(?l(i),∑?(i),∑θ(i),∑w(i))∑?iiii?
材料力学的研究对象是杆件或杆件结构系统，所以材料力学中主要考虑的问题是杆件的内力、应力以及变形等的叠加问题，而所考虑的影响因素主要是机械载荷以及结构支承等因素，也涉及少量的温度应力问题。本教材对叠加原理不予证明，读者可参阅相关教材和专著。 基于叠加原理，叠加法计算梁变形的原理是：在线弹性小变形条件下，任何因素引起的梁的变形（也即转角和挠度）都是可以叠加的。即：
图7-25 线弹性小变形杆件结构系统
(θ,w)=(∑θ(i),∑w(i)) （7-9）
i
i
叠加法是计算结构特殊点处转角和挠度的简便方法，其先决条件是必须预先知道一些简单梁的结果。附录B给出的就是一些常见和简单梁的转角和挠度计算公式。
叠加法的主要操作手段或技巧是：将实际情况下的梁分解或简化为若干简单梁的叠加。
7.5.1 常见情况叠加法的应用
下面就一些常见的引起梁变形的因素以实例的形式应用叠加法计算梁在一些特殊点处的转角或挠度。
(1) 多个载荷作用在梁上的情况
此种情况下只需将每个载荷引起的梁的变形进行叠加即可。
例7-8 求图7-26（a）所示梁中点C的挠度wC，梁的抗弯刚度为
m
2
EI
。
ql
4
m=ql2(a)
4
ql
4
4
4
(c)
4
4
(d)
(b)
4
图 7-26 例7-8图
解：原梁可分解为图7-26（b），（c），（d）所示三个简单梁的叠加，每根梁只有单一的载荷作用。下面分别计算各梁在中点C处的挠度。
图7-26（b）所示梁在中点的挠度就是简支梁受均布载荷的情况，由附录B可查得：
wC1=-
5ql
384EI
4
（向下）
4
4
图7-26（c）所示梁，无论集中力偶作用在外伸段的什么地方，其在梁中点产生的挠度都是相同的。所以图7-26（c）所示梁在中点的挠度就是简支梁在支座处受集中力偶作用的情况，由附录B可查得：
m=ql2
4
wC2=-
mlql
=-
16EI16EI
24
4
（向下）
图7-26（d）所示梁，计算梁中点的挠度时，可将外伸端的集中力等效移动到支座处，而作用在支座处的集中力不会引起梁的变形，所以图7-6（d）所示梁在中点的挠度就是简支梁在支座处受集中力偶作用的情况，由附录B可查得：
wC3=
m'lql
=
16EI64EI
24
4
4
（向上）
由叠加法，原梁在中点的挠度为：
wC=wC1+wC2+wC3
5ql4ql4ql423ql4
=--+=-
384EI16EI64EI384EI
（向下）
例7-9 如图7-27(a)所示简支梁受均布载荷q作用，梁与其下面的刚性平台间的间隙为δ，梁的抗弯刚度为
EI
，求梁与刚性平台的接触长度以及梁支座处的支反力。
wA=δ
ARA
（b）
（a）
（c）
C
C=0
图 7-27 例7-9图
5ql4
解：由附录B，简支梁受均布载荷作用时，梁中点的挠度最大且为：w0=
384EI
4
384EIδ5ql所以，当δ≥也即载荷q≤ 时，梁最多只有中点与刚性平台接触，此时梁与刚性5l4384EI
平台的接触长度为零，而支座处的支反力为RA
当δ
=RB=ql/2。
5ql4也即q>384EIδ时，梁将有一段与刚性平台接触，假设接触点为C,D点，接触
5l4384EI
长度为a，根据对称性，C,D对称，其到左右支座的距离均为b。
根据前述接触问题的分析，考虑
AC
段梁，其相当于一悬臂梁受均布载荷和自由端受集中力作用的情况，
如图7-27（b）（c）所示，且有条件：MC=0 wA=δ（向上）
因：MC
qb2
=-RAb=0 得： RA=qb
22
由附录B，悬臂梁受均布载荷和自由端集中力作用时，自由端的挠度可由叠加法得：
RAb3qb4
wA=-=δ
3EI8EI
qb4qb4
所以有：wA=-=δ b=
6EI8EI
于是，梁与刚性平台的接触长度为：a
24EIq
=L-2b=L-224EIδq
qb1梁支座处的支反力为：RA=RB==24EIδq3=
22
3EIδq3
2
(2) 梁支承为弹性支承的情况
当梁的支承为弹性支承时，梁在支承点将存在位移。此种情况下应将弹性支座移动引起的梁的转角和挠度与载荷所引起的梁的转角和挠度进行叠加。
例7-10 求图7-29（a）所示梁中点的挠度和支座处的转角，梁的抗弯刚度为
EI，弹簧系数为k。
(a)
B
(b)
+
B(c)
图7-29 例7-10图
解：梁的变形可认为是分两步完成的（图7-29（b）），第一步是支座
B
产生一个竖向位移?B，从而引
起了梁中点的挠度为
，同时还引起了梁所有截面转动一个角度θwC1（向下）
（顺时针）；第二步是载荷引
起梁中点的挠度为wC2，梁支座A,B处的转角分别为θA2，θB2。
B
存在竖向位移的无载荷空梁和在中点
因此，原梁可以看成如图7-29（c）所示的两梁的叠加，即支座受集中力作用的简支梁叠加。
梁的支反力为：空梁：
RA=RB=
F2
RBF
=-（向下） k2k?BF
=-梁中点的挠度为wC1=-（向下） 24k
?BF
=-梁支座A,B处的转角为：θA1=θB1=-θ=-L2kL
支座
B
的竖向位移?B
=-
（顺时针）
简支梁：
梁中点的挠度为：wC2
FL3
=-
48EI
（向下）
梁支座
A,B处的转角为：θA2
FL2
=-
16EI
（顺时针）θB2
FL2=
16EI
（逆时针）
由叠加法，原梁中点的挠度为：wC=wC1+wC2
FFL3
=-(+)（向下）
4k48EI
梁支座
A处的转角为：θA=θA1+θA2
FFL2
=-(+)（顺时针）
2kL16EIFFL2
=-+
2kL16EI
（逆时针）
梁支座
B
处的转角为：θB=θB1+θB2
例7-11 用叠加法计算积分法中的例7-2。
解：根据与上例相同的分析，例7-2中的梁（图7-9，7-31(a)）相当于图7-30(b)(c)两梁的叠加。
(a)
q
(b)
(c)
图7-30 例7-11图
梁的支反力为：
RA=RB=
ql2
ql
BD杆中的轴力为：FN=RB=
2
所以：wC1
?lBD
FNlBD(ql/2)(l/2)ql2===
EAEA4EA
（顺时针）
?lBDql?lql2
=-=-=-（向下） θA1=-l4EA28EA
查附录B可得：wC2
5ql4
=-
384EI
（向下）
θA2
ql3
=-
24EI
（顺时针）
故由叠加法，原梁中点的挠度为：wC=wC1+wC2
5ql4ql2
=-(+)（向下）
384EI8EA
原梁支座
A处截面的转角为：θA=θA1+θA2
ql3ql=-(+)（顺时针）
24EI4EA
与例7-2中的结果完全一样，可见，求梁在某些特殊点处的挠度和转角采用叠加法比采用积分法要简单方便得多。
例7-12 求图7-31(a)所示中间铰梁C,D点处的挠度以及中间铰处梁截面转角的突变值，梁的抗弯刚度为
EI
。
q
(a)
q
(b)
(c)
图7-31 例7-12图
解：将梁在中间铰处拆开，左梁为简支梁受均布载荷作用但支座C存在竖向位移?C，右梁为悬臂梁在自由端受集中力作用。
考虑左梁的平衡，其支反力为：
RA=RC=R=
ql2
所以右梁C点的挠度为：wC这即是原梁在中间铰处的挠度。 右梁C截面的转角为：
=?C
Ra3qla3==3EI6EI
（向下）
θ
+
C
Ra2qla2==2EI4EI
（逆时针）
根据前几例的分析方法，左梁可分解为支座C存在竖向位移?C的空梁以及受均布载荷作用的简支梁的叠加。
所以由叠加原理，D点的挠度为：
wD=wD1+wD2
?C5ql4qla3
=+wD2=+
2384EI12EI=θC2-θC1=θC2
（向下）
C
截面的转角为：
θ
-
C
?Cql3qa3-=-
l24EI6EI
（逆时针）
于是，在中间铰处梁截面转角的突变值为：
?θC=θ
其中，ξ
+
C
-θ
-C
qla2ql3qa3ql3=-+=(4ξ3+6ξ2-1)
4EI24EI6EI24EI
=a/l。
注意：在具体使用叠加法时，为了方便起见和避免书写麻烦，一般不采用前述的挠度和转角的正负号规定，可视情况而定其正方向，求解完毕后注明其方向即可。例题7-12就是一例，挠度采用的是向下为正，而转角依然采用的是逆时针转向为正。
(3) 多种因素引起所考察点变形的情况
此种情况下应将各种因素引起的所考察点的转角和挠度进行逐项叠加。
例7-13 求图7-32(a)所示悬臂梁自由端的挠度和转角，梁的抗弯刚度为
A
EI
。
A
(b)
wB1wB2
(a)
图7-32 例7-13图
解：明显梁段CB中没有内力，因此该段梁没有变形，但是和转角。
如图7-32(b)所示，所考察点
AC段梁的变形将引起CB段梁产生挠度
B
点的挠度和转角是由于
AC段梁的变形所引起，B点的挠度由AC
段
梁的两种变形因素引起，即C点的挠度引起的B
点的挠度为wB1，C截面的转角引起的
B
点的挠度为
wB2，所以有：
wB1
F(l/2)3Fl3
=wC==
3EI24EI
（向下）
wB2=atanθC=aθC
F(l/2)2lFl3
=?=
2EI216EI
（向下）
wB=wB1+wB2
Fl3Fl3Fl3
=+=24EI16EI48EI
（向下）
由于CB段梁始终保持为直线，所以C截面的转角就等于B
截面的转角，所以有：
θB=θC
F(l/2)2Fl2
==
2EI8EI
（顺时针）
例7-14 求图7-33(a)所示悬臂梁任意点处的挠度和转角，梁的抗弯刚度为
q
A
EI
。
q
A
M
Fs
(a)
图7-33 例
7-14图
(b)
解：考察距固定端距离为
x的C点，将梁在C点处截开，只考虑左段梁，其受力情况如图7-33(b)所示，
即受均布载荷q作用，同时在自由端受集中力角由这三种载荷引起。
Fs和集中力偶M
的作用，则C点的挠度和C截面的转
由右段梁的平衡有：
Fs=q(l-x)
q(l-x)2
M=
2
所以由叠加法，C点的挠度为：
Fsx3qx4Mx2qx4qx3(l-x)qx2(l-x)2
w(x)=++=++
8EI3EI2EI8EI3EI4EIqx2
=(x2-4lx+6l2)（向下） 24EI
C
截面的转角为：
Fsx2qx3Mxqx3qx2(l-x)qx(l-x)2
θ(x)=++=++
6EI2EIEI6EI2EI2EI
=
qx
(x2-3lx+3l2)（顺时针）
6EI
可见，影响C点的挠度和C截面的转角的因素是：左段梁上的载荷q以及右段梁作用在左段梁上的载荷
Fs和M
。实质上w(x)和θ(x)也就是图7-33(a)所示悬臂梁的挠曲线函数和转角函数。这说明有些
简单梁的挠曲线函数及转角函数也可由叠加法求得。
例7-15 求图7-34(a)所示矩形截面悬臂梁自由端的挠度和转角，已知温升沿梁高度方向的变化规律为
?T=
T02y，梁的抗弯刚度为EI，材料的热膨胀系数为。
α(1-)
2h
A
z
h
b
1
A
B1
图7-34 例7-15
解：梁自由端的挠度和转角由两种因素引起，一是均布载荷所引起的，为：
wB1
ql4=
8EI
（向下）
θB1
ql3=
6EI
（顺时针）
二是由温度引起的，可如下计算。
梁上缘的温升为零，所以其固定端到任意位置下缘的温升为：?T
x处的伸长?l1(x)=0。
y=-h/2
=T0，其固定端到任意位置x处的伸长为： x=αT0x
?l2(x)=α?T
y=-h/2
所以梁任意位置
x处截面的转角为：θ2(x)=
?l2(x)-?l1(x)αT0x
=（逆时针）
hh
梁任意位置
x处的挠度为： w2(x)=?θ2(x)dx+C=
αT0x2
2h
+C
因：
x=0w2(0)=0 所以：C=0 则：w2(x)=
αT0x2
2h
（向上）
于是梁自由端因温度引起的转角和挠度为：
θB2=θ2(l)=
αT0l
h
（逆时针）
wB2=w2(l)=
αT0l2
2h
（向上）
根据叠加法，梁自由端的挠度和转角为：
wB=wB1-wB2
αT0l2ql4
=-8EI2h
（向下）
θB=θB1-θB2
αT0lql3=-（顺时针） 6EIh
7.5.2 叠加法的常用技巧
为了利用一些简单梁的结果，在不改变梁的变形的情况下可以将梁简化为一些简单梁的叠加，所以叠加法的常用技巧就是如何简化实际的梁。除了前面介绍的刚性地基或平台上的梁以及对称梁和反对称梁的简化技巧外，还可以采用下面的一些方法简化实际的梁。 (1) 载荷的分解与重组
在不改变梁的变形条件下，可以将梁上载荷进行分解或重组，从而将原梁简化为几个简单梁的叠加。
例7-16 求图7-35(a)所示悬臂梁自由端的挠度，梁的抗弯刚度为
A
EI
。
2
2
B
A
B
2
2
(a)
A
(b)
B
1
A
2
2
2
B3B2
2
(c) (d)
解：原梁的变形等价于图7-35(b)所示的梁，即将梁上的分布载荷加满到固定端，然后在左半边梁加上反方向的分布载荷。所以原梁可分解为图7-35(c)，（d) 所示两梁的叠加。
图7-35 例7-16图
wB1
ql4
=
8EI
（向下）
wB2
q(l/2)4ql4
=wC==
8EI128EI
（向上）
wB3
lq(l/2)3lql4
=θC?=?=
26EI296EI
=wB1-wB2-wB3
（向上）
所以：wB
111ql441ql4
=(--)=812896EI384EI
（向下）
(2) 逐段刚化法
欲求梁某点的挠度和转角，可将梁分为若干段，分别考虑各段梁的变形对所考察点引起的挠度和转角，然后进行叠加，这种方法称为逐段刚化法。如图7-36（a）所示，今欲求梁自由端B点的挠度，可先将梁分为AC和CB两段，B点的挠度是由AC和CB两段梁的变形引起的，所以计算CB段梁变形引起的B点的挠度时，可将AC段梁刚化（图7-36（b）），而计算AC段梁变形引起的B点的挠度时，可将CB段梁刚化（图7-37（c）），注意计算AC段梁变形时，要考虑作用于其上的所有载荷的影响（图7-36（d）），然后将两段梁引起的B点的挠度叠加，就可求得B点的挠度。实际上原梁就是图7-36（b）和图7-37（c）两梁的叠加，因此逐段刚化法实质上就是考虑梁的逐段变形然后进行叠加。
注意：逐段刚化法是计算梁某点变形的非常有力的方法。它可以处理阶梯状梁，复杂的外伸梁以及刚架等问题。
A
1
B
(a)
B
1
A
(b)
A
(c)
B
2
B3
(d)
图7-36 逐段刚化法
例7-17 求图7-37(a)所示阶梯状简支梁中点的挠度和支座处的转角。中间段梁的抗弯刚度为2EI，两边段梁的抗弯刚度为
EI
。
(a)
(b)
A
A
B
F2
(c)
A
F2
(d)
B1
A
刚化
(e)
wB3B2
F2
F2(f)
图7-37 例7-17图
解：根据对称性，只考虑右半部分梁。由前面的分析（图7-37(b)），原梁可简化为图7-37(c)所示的梁，而图7-37(c)所示的梁又等价于图7-37(d)所示的悬臂梁，图中即：wA
B
点向上的挠度也就是原梁中点
A向下的挠度。
=wB
AC
段梁（图7-37(e)），则：
采用逐段刚化法求解，先刚化
wB1
(F/2)a3Fa3
==
3EI6EI
（向上）
再刚化CB段梁（图7-37(f)），AC段梁的受力情况是在C点受集中力作用。则由叠加法，有：
F/2及集中力偶Fa/2的
wB2
(F/2)a3(Fa/2)a25Fa3
=w'C+w''C=+=
3(2EI)2(2EI)24EI
（向上）
其中w'C,w''C分别是集中力F/2及集中力偶Fa/2在C
点产生的挠度。
wB3
(F/2)a2(Fa/2)a5Fa3
=(θ'C+θ''C)a=[+]a=
2(2EI)2EI12EI
（向上）
其中θ'C,θ''C分别是集中力F/2及集中力偶Fa/2在C
点产生的转角。
所以，由叠加法原梁中点的挠度为：
wA=wB=wB1+wB2+wB3
155Fa319Fa3
=(++)=
62412EI24EI
EI
（向下）
此亦即梁中的最大挠度。如果梁是抗弯刚度为的等截面梁，由附录2，其中点的挠度也即梁中的最大
挠度为：
F(4a)34Fa3
w'max==
48EI3EI
因：
wmaxwA19319==?==0.595
w'maxw'max24432
可见，采用图7-37(a)所示阶梯状形式的梁可以将梁中的最大挠度降低约40%。
例7-18 求图7-38（a）所示空间刚架自由端的竖立向位移。刚架各梁的抗弯曲刚度为抗扭刚度为GIp。
EI
，
AB
梁的
B
(a)
B
(c)
B
(b)
m=Fa
图7-38 例7-15图
解：采用逐段刚化法求解。 先刚化为：
AB梁（图7-38（b）），则BC梁的变形相当于B端固定的悬臂梁，所以C点的竖立向位移
wC1
再刚化
Fa3
=
3EI
BC
（向下）
梁（图7-38（c）），则作用在
AB
梁上的载荷是在
B点的一个集中力F和一个扭矩Fa
，
集中力引起的C点的竖立向位移为wC2，扭矩引起的C点的竖立向位移为wC3，所以有：
wC2
Fl3
=
3EI
（向下）
wC3
FalFa2l
=?ABa=?a=
GIpGIp
（向下）
由叠加法，C点的竖立向位移为：
wC=wC1+wC2+wC3
F(a3+l3)Fa2l
=+
3EIGIp
（向下）
(3) 梁的其它简化方法
梁的简化并不局限于前述的各种方法，有的时候应视情况根据具体条件采用较灵活且合理的简化方法。
例7-19 求图7-39（a）所示简支梁的最大挠度及其位置，梁的抗弯刚度为
m
EI
。
RAm
(a)
=
ml
(b)
w
C
RA=
l
C
C
wC
l
RB=
(c)
图7-39 例7-19
(d)
解：本例附录2已经给出了结果，这里采用叠加法求解。 首先求出梁的支反力，为：
RA=RB=
ml
点，因wA
假设梁的最大挠度位置在离左端支座距离
x的C
=wB=0，则梁变形后轴线上C
点
一定是极值点，既该处截面的转角一定为零，如图7-39（b）所示。将梁从C点截开，则左边的梁可简化为图7-39（c）所示的悬臂梁，而右边梁可简化为图7-39（d）所示的悬臂梁，它们的自由端的挠度就是原梁C点的挠度，也就是原梁的最大挠度。所以有：
(m/l)x3
左梁：wC=
3EI
所以有：
m(l-x)2(m/l)(l-x)3
- 右梁：wC=
2EI3EI
x3=
2
3
l(l-x)2-(l-x)3 2
-x(l-x)+(l-x)2]=
3
l(l-x)2 3x2=l2 2
整理得：l[x
即在
x=
l处梁的挠度最大，且最大挠度为：
wmax
(m/l)x3=
3EI
x=
lml2
=
93EI
（向下）
总之，叠加法的关键点在于如何将实际情况下的梁简化或分解为一些简单梁的叠加。
7.6* 奇异函数法计算梁的变形
采用积分法计算梁的变形时，当梁分段较多的情况下，则需多次利用截面法确定梁中的弯矩函数，而且还需确定较多的积分常数，这一过程非常的烦琐和麻烦。为了避免这种麻烦，除采用叠加法计算梁的变形外，还可采用奇异函数法，无论梁分多少段，可直接通过作用在梁上的载荷将梁的内力函数表示为梁中的单一函
数。如图7-40所示的梁，根据奇异函数法，其载荷函数可写为：
x
图7-40 梁上作用的常见载荷
q(x)=RA 剪力函数为： Fs(x)=RA+F 弯矩函数为： M(x)=RAx+F 如果梁的抗弯刚度EI也是常数，则积分公式（7-5）中的被积函数在梁中也是单一函数，所以由式（7-5）可直接积分得到梁的转角函数和挠度函数，这时只有两个积分常数，可根据梁的约束条件确定。所以奇异函数法计算梁的变形相对于积分法来说要简单方便的多。 原则上奇异函数法可以求解任何直梁的变形，但若梁的抗弯刚度EI不为常数，则也不能避免分段积分。所以建议抗弯刚度EI为常数的梁才使用奇异函数法计算其变形。 特别注意，载荷的正负号一定要按照梁的内力一章的规定来写。 例7-20 用奇异积分法求解例7-16。 2 2A22 (a) 图7-40 例7-20图 (b) 解法一：建立如图7-40（a）所示的坐标系，固定端的支反力为： ll1l3ql2 mA=q()(+?)=22228 则梁的载荷函数为：q(x) RA=ql 2qll qll剪力函数为：Fs(x)=-q 3ql2qlql弯矩函数为：M(x)=-+x- 所以梁的转角函数和挠度函数为： 3ql2qlqlEIθ(x)=?M(x)dx+C=-x+x2- 3ql2 2ql3qlEIw(x)=?θ(x)dx+D=-x+x- 梁的约束条件为：θ(0)=0 w(0)=0 ，代入上两式有：C=0 D=0 所以，梁自由端的挠度为： 13ql22ql3ql441ql4 （向下） wB=w(l)=[-l+l-()]=-EI1612242384EI 解法二：本例题还可采取图7-42（b）所示的坐标系求解，此时不需要求支反力，可直接写出梁的载荷函数，为： l0l>=-q+q l1剪力函数为：Fs(x)=-qx+q q2ql 所以梁的转角函数和挠度函数为： q3qlx+ q4qlEIw(x)=?θ(x)dx+D=-x+ 梁的约束条件为：θ(l)=0 w(l)=0 341ql47ql代入上两式可解得：C= D=- 38448 D41ql4 所以：wB=w(0)=（向下） =-EI384EI 第二十四讲 纯弯曲时梁的正应力 常用截面的二次矩 目的要求：掌握弯曲梁正应力的计算和正应力分布规律。 教学重点：弯曲梁正应力的计算和正应力分布规律。 教学难点：平行移轴定理及其应用。 教学内容： 第八章 平面弯曲梁的强度与刚度计算 §8-1 纯弯曲时梁的正应力 一、 纯弯曲概念： １、纯弯曲：平面弯曲中如果某梁段剪力为零，该梁段称为纯弯曲梁段。 ２、剪切弯曲：平面弯曲中如果某梁段剪力不为零（存在剪力），该梁段称为剪切弯曲梁段。 二、纯弯曲时梁的正应力： １、中性层和中性轴的概念： 中性层：纯弯曲时梁的纤维层有的变长，有的变短。其中有一层既不伸长也不缩短，这一层称为中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。 ２、纯弯曲时梁的正应力的分布规律： 以中性轴为分界线分为拉区和压区，正弯矩上压下拉，负弯矩下压上拉，正应力成线性规律分布，最大的正应力发生在上下边沿点。 ３、纯弯曲时梁的正应力的计算公式： （１）、任一点正应力的计算公式： （２）、最大正应力的计算公式： 其中：M---截面上的弯矩； I Z ---截面对中性轴(z轴) 的惯性矩； y---所求应力的点到中性轴的距离。 说明：以上纯弯曲时梁的正应力的计算公式均适用于剪切弯曲。 §8-2 常用截面的二次矩 平行移轴定理 一、常用截面的二次矩和弯曲截面系数： １、矩形截面： ２、圆形截面和圆环形截面： 圆形截面 圆环形截面 其中： ３、型钢： 型钢的二次矩和弯曲截面系数可以查表。 二、组合截面的二次矩 平行移轴定理 １、平行移轴定理： 截面对任一轴的二次矩等于它对平行于该轴的形心轴的二次矩，加上截面面积与两轴之间的距离平方的乘积。 IZ1=IZ +aA ２、例题： 例1：试求图示T 形截面对其形心轴 的惯性矩。 解：1、求T 形截面的形心座标yc 2 2、求截面对形心轴z 轴的惯性矩 第二十五讲 弯曲正应力强度计算（一） 目的要求：掌握塑性材料弯曲 正应力强度计算。 教学重点：弯曲正应力强度条件的应用。 教学难点：弯曲正应力强度条件的理解。 教学内容： §8-3 弯曲正应力强度计算 一、 弯曲正应力强度条件： １、 对于塑性材料，一般截面对中性轴上下对称，最大拉、压应力相等，而塑性材料的抗拉、压强度又相等。所以塑性材料的弯曲正应力强度条件为： （1）、强度校核 （2）、截面设计 （3）、确定许可荷载 ２、 弯曲正应力强度计算的步为： (１) 、 画梁的弯矩图，找出最大弯矩（危险截面）。 (２) 、 利用弯曲正应力强度条件求解。 二、例题： 例1：简支矩形截面木梁如图所示，L=5m,承受均布载荷q=3.6kN/m，木材顺 纹许用应力［σ］＝10MPa ，梁截面的高宽比h/b=2，试选择梁的截面尺寸。 解：画出梁的弯矩图如图，最大弯矩在梁中点。 由 得 矩形截面弯曲截面系数： h=2b=0.238m 最后取h=240mm,b=120mm 例2：悬臂梁AB 如图，型号为No.18号式字钢。已知［σ］＝170MPa ，L=1.2m 不计梁的自重，试求自由端集中力F 的最大许可值［F ］。 解：画出梁的恋矩图如图。 由M 图知：M max =FL=1.2F 查No.18号工字钢型钢表得 Wz=185cm3 由 得 M max ≤Wz [σ] 1.2F≤185×10-6×170×106 [F]=26.2×103N=26.2kN 第二十六讲 弯曲正应力强度计算（二） 目的要求：掌握脆性材料的弯曲正应力强度计算。 教学重点：脆性材料的弯曲正应力强度计算。 教学难点：脆性材料的正应力分布规律及弯曲正应力强度条件的建立。 教学内容： 一、 脆性材料梁的弯曲正应力分析 1、脆性材料的弯曲梁其截面一般上下不对称，例如T 字形截面梁（图）。 2、脆性材料的弯曲正应力强度计算中，脆性材料的抗拉强度和抗压强度不等，抗拉能力远小于抗压能力，弯曲正应力强度计算要分别早找出最大拉应力和最大压应力。 ３、 由于脆性材料的弯曲梁其截面一般上下不对称，上下边沿点到中性轴的距离不等，因此最大拉、压应力不一定发生在弯矩绝对值最大处，要全面竟进行分析。 三、 例题： 例1：如图所示的矩形截面外伸梁，b=100mm，h=200mm，P1=10kN， P2=20kN，[σ]=10MPa，试校核此梁的强度。 解：1、作梁的弯矩图如图（b ） 由梁的弯矩图可得： 2、强度校核 σmax >[σ] 即：此梁的强度不够。 例2：T 型截面铸铁梁如图， Iz=136×104mm4,y1=30mm,y2=50mm,铁铸的抗拉许用应力[σt]＝30MPa ，抗压许用应力[σc]＝160MPa ，F=2.5kN,q=2kN/m，试校核梁的强度。 解：（1）求出梁的支座反力为 F A =0.75kN,FB =3.75kN （2）作梁的弯矩图如图（b ） （3）分别校核B 、C 截面 B 截面 可见最大拉应力发生在C 截 的下边缘。以上校核知：梁 的正应力强度满足。 C 截面 可见最大拉应力发生在C 截 的下边缘。以上校核知：梁 的正应力强度满足。 第二十七讲 弯曲切应力简介 目的要求：掌握弯曲切应力的强度计算。 教学重点：最大弯曲切应力的计算。 教学难点：弯曲切应力公式的理解。 教学内容： §8-4 弯曲切应力简介 一、 弯曲切应力： １、 梁横截面上的剪力由弯曲切应力组成。 ２、 梁横截面上的弯曲切应力成二次抛物线规律分布，中性 轴处最大，上下边沿点为零。 （如图） 三、 最大弯曲切应力的计算： １、 矩形截面梁：最大弯曲切应力是平均应力的1、5倍 ２、 圆形截面梁：最大弯曲切应力是平均应力的三分之四 ３、 工字钢：最大弯曲切应力有两种算法 （１）、 公式： （２）、 认为最大弯曲切应力近似等于腹板的平均切应力。 四、 弯曲切应力的强度计算： １、 强度条件： τ max ≤[τ] [τ]---梁所用材料的许用切 应力 ２、 例题： 例１：如图所示简支梁，许用正应力[σ]=140MPa，许用切应力[τ]=80MPa，试选择工字钢型号。 解： （１）由平衡方程求出支座反力 F A =6kN, F B =54kN （２）画出剪力图弯矩图 （３）由正应力强度条件选择型号 查型钢表：选用No.12.6号工字钢。 W z =77.529cm3,h=126mm，δ=8.4mm, b=5mm （４）切应力校核 故需重选。 重选No.14号工字钢，h=140mm,δ=9.1mm,b=5.5mm。 虽然大于许用应力，但不超过５％，设计规范允许。故可选用No.14工字钢。 第二十八讲 梁的变形概述 提高梁的 强度和刚度的措施 目的要求：掌握叠加法计算梁的变形。 教学重点：叠加法计算梁的变形。 教学难点：提高梁的强度和刚度的措施的理解。 教学内容： §8-5 梁的变形概述 概念： １、挠度和转角：梁变形后杆件的轴线由直线变为一条曲线。梁横截面的形心在铅垂方向的位移称为挠度。挠度向上为正，向下为负。梁横截面转动的角度称为 转角，转角逆时针转动为正，顺时针转动为负。 ２、挠曲线方程：梁各点的挠度若能表达成坐标的函数，其函数表达式称为挠曲线方程。 挠曲线方程 ｗ＝ｆ(ｘ) 挠曲线方程对坐标的一阶导数等于转角方程。 §8-6 用叠加法计算梁的变形 一、 叠加原理：在弹性范围内，多个载荷引起的某量值（例如挠度），等于每单个载荷引起的某量值（挠度）的叠加。 二、 用叠加法计算梁的变形： １、步骤：将梁分为各个简单载荷作用下的几个梁，简单载荷作用下梁的变形 （挠度和转角）可查表得到。然后再叠加。 ２、例题： 例1：用叠加法求(a)图所示梁的最大挠度yc 和最大转角θc 。 解：图(a)可分解为(b)、（c ）两种情况的叠加，分别查表得 三、梁的刚度条件：梁的刚度计算以挠度为主 梁的刚度条件： ωmax ≤[ω] θ max ≤[θ] 1、刚度校核 2、截面设计 3、确定许可荷载 在设计梁时，一般是先按强度条件选择截面或许可荷载，再用刚度条件校核，若不满足，再按刚度条件设计。 §8-7 提高梁的强度和刚度的措施 一、 合理安排梁的支承： 例如剪支梁受均布载荷，若将两端的支座均向内移动0.2L ，则最大弯矩只有原来最大弯矩的五分之一。（图） 二、 合理布置载荷： 将集中力变为分布力将减小最大弯矩的值。（图） 三、 选择合理的截面： １、截面的布置应该尽可能远离中性轴。工字形、槽形和箱形截面都是很好的选择。 ２、脆性材料的抗拉能力和抗压能力不等，应选择上下不对称的截面，例如T 字形截面。 转载请注明出处范文大全网 » 变截面（变刚度）纵横弯曲梁范文五：平面弯曲梁的强度与刚度计算
