我骗人时说的都是真话
范文一：空间任意力系平衡方程的独立性
第 20 卷第 2 期 J un. 2002
() 文章编号 :100022499 20020220066206
空间任意力系平衡方程的独立性
1 2 Ξ李越铭,李丰良
()1 . 中南大学铁道校区机电工程学院 ,湖南 长沙 410075 ;2 . 中南大学铁道校区数理力学系 ,湖南 长沙 410075
摘 要 :根据线性代数理论 ,证明了对于受空间任意力系作用的单个刚体的平衡问题. 最
多只有 6 个独立的平衡方程 ,当未知力系汇交于一点时 ,或者未知力系为力偶系时 ,只有
三个独立的平衡方程 .
:O312 . 2文献标识码 :A中图分类号 关键词 :静力学 ;空间任意力系 ;平衡方程 ;独立性
Independence of the Spacial General Force System Equations
1 2L I Yue2ming,L I Feng2liang
(1 . Eletromechanical Engineering College ,Central South University ,Changsha 410075 ,China ;
)2 . Department of Mathematics ,Physics and Mechanics ,Central South University ,Changsha 410075 ,China Abstract :According to the linear algebra theory ,there are only 6 independent equations for the spacial general force system of a single body. But when the unknown forces are concurrent at one point ,or are force couple ,there will be only 3 independent equations.
Key words : statics ; spacial general force system ;equilibrium equations ;intependence
在力学计算中 ,必须列出与未知力个数等同的独立方程 ,才能求解 . 如果独立方程的个数 少于未知力 ,或者列出的方程不独立 ,则不能求解 . 所以讨论其独立性是非常重要的 .
1 在理论力学教材中 ,当推导出空间任意力系的平衡方程后给出了这样一个结论 :对于受 空间任意力系作用的单个刚体的平衡问题 ,只可以写出 6 个独立的平衡方程 ,求解 6 个未知 量 . 任何第 7 个方程都是前 6 个方程的线性组合 ,因而是不独立的. 但是未见到有关证明 ,实际 上即使是空间任意力系 ,在某些特殊情况下 ,也没有 6 个独立的平衡方程 . 本文根据线性代数 的理论证明这一结论 ,并以定理形式给出.
在证明之前先给出几个力学教科书中习惯使用的几个表达式 : 用大
写的字母 X、Y、Z表示力 F分别在 x 轴 、y 轴和 z 轴上的投影. 用小i i i i
写的 x、y、z分别表示力 F作用点的坐标. i i i i
( ) ( ) ( ) 用 Mx >F、My >F、Mz >F表示力 F对 x 、y 、z 轴的矩. i i i i
Ξ 收稿日期 :2001 - 07 - 06 () 作者简介 :李越铭 1979 - ,女 ,湖南湘潭人 ,中南大学铁道校区机电学院本科生 1
定理 1 在一般情况下 ,对于受空间任意力系作用的单个刚体的平衡问题 ,只可以写出 6 个独 立的平衡方程 ,任何第 7 个方程都是前 6 个方程的线性组合.
一个物体如果受空间任意力系作用 ,能够写出的平衡方程组有四种形式 :1. 三矩式 、2 . 四
矩式 、3. 五矩式 、4. 六矩式. 而平衡方程的形式可能是向某一坐标轴的投影方程 ,也可能是关于
某一轴的力矩方程. 只要证明在每一种形式的平衡方程组的情况下 ,对于任意的投影方程或力 矩方程 ,都可以写成前 6 个方程的线性组合本定理即可证明. 情况 1 在一般情况下 ,受空间一般力系作用的单个刚体平衡时 ,任何平衡方程都可以写 成下面的 3 矩形式方程组的线性组合 .
n n n
= 0 = 0 = 0 XYZiii? ? ? i = 1 i = 1 i = 1 n n n
()( )( )( ) 1 M>F= 0 M>F= 0 M>F= 0x i y i z i ? ? ? i = 1 i = 1 i = 1
证 :
设有投影方程
n ( ) ()>F= 02 η i ? i = 1
( ) ηηαβγαβγ其中 >F是第 i 个力在轴上的投影 . 轴与 x 轴 、y 轴 、z 轴的夹角分别是、、,且 、、 i η
都不为零 . 则有 :
( ) α β γ? >F= Xco s+ Yco s+ Zco s η i i i i
n n n n
( ) ()? >F=α β γ3 η Xco s+Yco s+Zco si i i i ? ? ? ? i = 1 i = 1 i = 1 i = 1
() αβγη注意到当 3式中的轴选定之后 co s、co s和 co s都是确定
() () 的常数 ,可见 3式是方程组 1中前三个方程的线性组合.
n
()4 ( ) 又设有力矩方程 M>F= 0η i ? i = 1
) η(可先假定 轴通过原点 0 如图 1 所示.
[ 1 ] 根据理论力学教材, 有如下结论 : 力对点的矩矢在通过 该点的某轴上的投影 ,等于力对该轴的矩 . ( ) ( ) ( ) 因此 , M>F, M>F, M>F也就是 >F对 O 点的矩矢 x i y i z i i η图 1 轴通过原点的空间坐标系 ( ) 分别在 x , y , z 轴上的投影 . 而 M>F也就可以理解为 F>对 O η i i
η点的矩矢在 轴上的投影 . ( )( ) α ( ) β ( ) γ? M>F = M>Fco s+ M>Fco s+ M>Fco s η i x i y i z i n n n n
()( ) α ( ) β ( ) γ5 ( )= M>Fco s+M>Fco s+M>Fco s? M>Fη x i y i z i i ? ? ? ? i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 n
( ) () 因此 , M>F是方程组 1的后三个方程的线性组合 .η i ? i = 1
η( ) () 实际上 ,轴通过的已知点 A x, y, z如图 2 所示,不一定与 O 点重合 . 现证明 A 点与 A A A
O 点不重合的情况.
( ) η此时 M>F的含义可以理解为 >F对 A 点的矩矢在轴上的投影 . η i i
) ( ( ( )) y- yZ- z- ? M>F = zYi A i i x′i A i ( )) ( ) ( M>F = xZ z- zX- x- y′i A ii A i i ( )()M>F ( ) ( 6 = - xY- y- ) z′i xyX iA i iA i n n n n
()( )( ) α ( ) β ( ) γ7 ? M>F= M>Fco s+M>Fco s+M>Fco s又 η i x′i y′i z′i ? ? ? ? i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 () () 把 6式代入 7式可得到 :
n n n n
( )( ) α ( ) β ( ) γM>F= M>Fco s+M>Fco s+M>Fco sη i x i y i z i ? ? ? ? i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 n n
β)( γ ( α γ) + Xyco s-+ Yzco s- xco szco si A i A A A ? ? i = 1 i = 1 n
α)( β ()+ Zxco s-yco s8 i A A ? i = 1
( )M>F 其中 = yZ- zY x i i i i i ( )M>F = zX- xZ y i i i i i ( )M>F xY- = yX z i i i i i
n
αβγ( ) () 而 x, y, z,co s,co s,co s,都是确定的常数 ,所以 M>F是方程组 1中六个方程η A A A i ? i = 1 的线性组合 .
至此 ,情况 1 得证.
情况 2 在一般情况下 ,受空间任意力系作用的单个刚体平衡时 ,任何平衡方程都可以写
成下面的四力矩式方程组的线性组合.
n n n
( ) XYM>F= 0= 0 = 0 证 : ηii′i ? ? ? i = 1 i = 1 i = 1 n n n
()( )( )( ) 9 M>F= 0 M>F= 0 M>F= 0x i y i z i ? ? ? i = 1 i = 1 i = 1 n
() η( )= 0 独立的条件 在证明的过程中给出. 轴通过′已 其中一定要注意使方程 M>Fη′i ? i = 1
( ) βγα知点 B x, y, z,其中 x , y , z 轴的夹角分别为,′,′.′ 具体位置如图 3 所示. B B B
η图 2 轴不通过原点的空间坐标系 图 3 证明四力距式方程的空间坐标系
n n n n
( ) α( ) β( ) γ( )= M>Fco s′+M>Fco s′+M>Fco s′M>Fηx i y i z i ′i ? ? ? ? i = 1 i = 1 i = 1 i = 1
n n
β)( γ( αγ)zco s′ + Xyco s′-+ Yzco s′- xco s′i B i B B B ? ? i = 1 i = 1 n
α)( βyco s′ ()+ Zxco s′-10 i B B ? i = 1
() βα则据 10式有 : 令 : xco s′- yco s′?0 B B
( ) α( ) β( ) γ( γβ) ( αγ) M>Fco s+′ M>Fco s+′ M>Fco s+ ′ Xyco s-′ zco s′+ Yzco s-′ xco s′ x i y i z i i B B i B B ()Z= 11 i αβy cos-′ x cos′ B B () () 把 11式代入 3式 : n n γβ yco s′- zco s′ B B ( ) γ)(α >F= Xco s+ η co si i ? ? αβy co s′- x co s′B B i = 1 i = 1
n αγzco s′- xco s′ B B (β γ)Yco s+ + co si ? αβy co s′- x co s′B B i = 1
n βγ co sc′o s ( ) + M>Fy i ? αβy co s′- x co s′B B i = 1
n γγ co sc′o s ()( ) 12 + M>Fz i ? αβy co s′- x co s′B B i = 1
αβγαβγ其中 x, y,co s,co s,co s,co s,′co s,′co s都是确定的常′数. B B
βα() () 所以当 xco s′- yco s′?0 12式是方程组 9的线性组合 . B B
() () 同理把 11式代入 8式
得 : n n α( β α)co s′x co s- y co s A A ( ) α ( )M>F[ co s+M>F= ] η x i i ? ? αβy co s′- x co s′ B B i = 1 i = 1
n β( β α)co s′x co s- y co s A A ( ) β ] + M>F[ co s+y i ? αβy co s′- x co s′ B B i = 1
n γ( β α)co s′x co s- y co s A A ( ) γ + M>F[ co s+] z i ? αβy co s′- x co s′ B B i = 1
n ( γβ) ( β α)y co s′- z co s′x co s- y co s B B A A γ γ ] + X[ yco s-zco s+i A A ? αβy co s′- x co s′ B B i = 1
n ( αγ) ( β α)z co s′- x co s′x co s- y co s B B A A ()γ α 13 ] + Y[ zco s-yco s+i A A ? αβy co s′- x co s′ B B i = 1
α() () βyco s′?0 . 所以当 xco s′- 13式也是方程组 9的线性组合B B
同理 ,对于下列方程组 :
n n n
( ) X= 0 Z= 0 M>F= 0ηii′i ? ? ? i = 1 i = 1 i = 1 n n n
()14 ( )= 0 ( )= 0 ( ) M>FM>FM>F= 0x i y i z i ? ? ? i = 1 i = 1 i = 1 n n n
( ) Z= 0 Y= 0 M>F= 0ηii′i ? ? ? i = 1 = 1 = 1 i i n n n
()( )( )( ) 15 M>F= 0 M>F= 0 M>F= 0x i y i z i ? ? ? i = 1 i = 1 i = 1
αγγβ() ()分别当 : zco s′- xco s′?0 , yco s′- zco s′?0 的条件成立时 ,方程组 14与 15 B B B B
可以用同样的方法证明起其独立性 .
至此 ,情况 2 得证.
至于五矩式 ,六矩式的情况可以利用上文同样的原理与方法证明 ,只是过程太繁 ,这里不 再赘述. 其中尤其要注意的是 ,所列出的五矩式或六矩式方程组 ,一定要保证其中每一个方程 的独立性 ,也就是对于轴的选取是有条件的 ,不能任意选取 . 定理 2 承受空间力系而平衡的单个刚体 ,只要未知力系汇交到一点 ,则无论已知力如何 分布 ,该空间力系则最多只有三个独立的平衡方程 ,这实际上是一个空间汇交力系 .
证以 >F表示未知力 , >P表示已知力 . 设图 4 所示刚体受未知力 >F, >F?>F,和已知力 i j 1 2 m >P, >P?>P作用而处于平衡. 其中 >F, >F?>F汇交于点 A ,整个力系组成空间一般力系. 设 A 1 2 m 1 2 m
( ) ( ) 点的坐标为 x, y, z, >P的坐标为 x, y, z, j = 1 ,2 , ?, n 根据空间一般力系平衡条件 : A A A j j j j
F+ + P+ PP = 0 X = 0+ ? + + ? + FF1 x1 x2 xnx2 x mx ?
Y = 0 + + ? + + + = 0 FF FPP+ ? + P2 ymy1 y 1 y 2 y ny ? Z = 0 + + + + = 0 FFFPPP ? + 1 z2 zmz1 z2 znz+ ? + ?
( )( )= 0 + M>P= 0 MM>Fx j xx i ? ? ?
( )MM>F ( ) + M>P= 0 = 0 yy i y j ???
()( )( )16 M= 0 M>F + M>P = 0 zz i z j ???
现证 M= 0 为非独立方程 . x?
( ) ( )? M= M>F+ M>Px x i x j ???
( ) - 而 M>F= yFFz x i AiziyA? ? ?
( ) ( ) ) ( )( M>P= yyP- z+ zPyPzP+ M>P = - + x j AAj jy A jz A jyx′j Ai jzA
y- y, z= z- = 其中 : y z且 x轴表示通过′ A 点与 x 轴平行的轴 . j A Aj j AjA
( )()M= y- + y - z + M>PFFPP17 z ? x AAAx′j iziyjzjyA? ? ? ? ? ?
( ) ( ) 因为未知力汇交于 A 点 ,所以有 M>F= 0 ,据平衡条件有 M>P= 0x′i x′j ??
() yZ -? M=Y 为方程组 16第二个和第三个方程的线性组合.z A x A? ? ?
M= 0 同理 M= 0y 都为不独立的方程. z ??
因此这样的空间力系只有三个独立的平衡方程 ,实际上是一个空间汇交力系.
定理 3 承受空间力系而平衡的单个刚体 ,无论已知力如何分布 ,只要未知力系是一个力 偶系 ,则给定的空间力系只有三个独立的平衡方程 . 即实际上是一个空间力偶系.
证明 :以 >P表示已知力 . M 表示未知力偶 . 据空间一般力系平衡条件 i
( )= 0 = 0 MM+ M>Pxixx i ? ? ?
( )+ M MM>P = 0 = 0 yiy y i ???
()( )18 = 0 M= 0 M+ M>P iz zz i ???
图 4 未知力系汇交于一点的空间力系 图 5 未知力系是力偶的空间系 因为未知力系是力偶系 ,由平衡条件得已知力在各轴上的投影也为 0 ,所以
X , Y , Z 恒为 0. ???
( ) βγηαA x, y, z,与 x , y , z 轴的夹角分别为,, 其中轴通过已知点 设另有方程 M= 0η A A A ?
βγα且 ,,都不为零 .
把
( )M= M+ M>Pxixx i ? ? ?
( )M MM>P = + yiy y i ???
= M+ ( )MM>P iz zz i ???
() X =PY =Z = P代入 8式得 :Pixiz iy ? ? ? ??
α β γMco s+ Mco s+ Mco sM=η ix iy iz ??? ?
( ) α ( ) β ( ) γ+ M>Pco s+ M>Pco s+ M>Pco s x i y i z i ???
( γ β) ( α γ)+ Pyco s- zco s+ Pzco s- xco s ix A A iy A A ??
( β α)+ Pxco s- yco s iz A A ?
?未知力系是力偶系 ,在各轴上投影为 0. ?已知力系在各轴上的投影 :
P= P= P= 0 ix iy iz???
? M为 M, M, M的线性组合 .η x y z ????
也就是说 ,这个空间力系实际上是一个力偶系 . 定理 3 得证.
综合本文讨论 ,可以得出这样一个结论 :判别一个力系是汇交力系还是力偶系或者是一般
力系完全由这个力系中的未知力的作用线的分布确定 ,而与已知力的分布无关 . 参考文献 :
哈尔滨工业大学理论力学教研组编. 理论力学M. 北京 :高等教育出版社 ,1997 . 1
范文二：[doc] 空间任意力系平衡的充分性判据
空间任意力系平衡的充分性判据
Jl’14善JiI2期东北重型机械学院Vo1.14
l990年lourn81ofNortheastinstiruteofHeavyMacMaery
No.2
l990
空间任意力系平衡的充分性判据
基础部宋浩契黄淑王平
捕要本文较简单地得到了空间任意力系平衡的一些充分性判据,韭提出
了选取各种平衡方程的力矩轴和投影轴的若干方法.
关键词:主矢,主矩,平衡的充分必要条件,六矩式
l引言
空间任意方系的平衡方程,除了常用的三矩三影式以外,还有四矩二影式,五矩一
影式和六矩式.
列写这些方程时,若力矩轴和力的投影轴选得不当,则写出的六个方程只是力系平
衡的必要条件,而不是充分条件.
文献[1]运用矩阵理论阐述了空间任意力系平衡方程独立性的限制条件.文献
(2]通过平衡方程的线性无关来讨论其独立性.本文通过讨论力系平衡的充要条件,
较简单地得到了空间任意力系平衡的充分性判据,监提出了选取各种平衡方程力矩轴和
力的投影轴的若干方法.此法简单,明了,实用.
2理论依据
空间任意力系的主矢是三维自由矢量,而主矩是三维定位矢量.因此,力系处于平
衡时,其独立的力的投影方程个数最多为三个,独立的力矩方程个数最少为三个.
另一方面,空间任意力系平衡方程是六维的?,根据线性方程独立理论h】,独立
的平衡方程个数最多为六个.所以,空间任意力系平衡方程,除了三矩三影等形式外,
不会出现二矩四影,一矩五影和六影等形式.
空间任意力系向K点简化,得主矢R和主矩M.K点可任意选取,试选三点:
K=A,B,C.设主矩M,M,Mc和主矢在一直角坐标系Oxyz的各轴上的投影
分别等于零,得九个力矩方程和三个力的投影方程:
MA
.
=
~_jmA(F)=0(1)
MBt=?.t,(F)=0(2)
198(】年3日30日,『欠至l】
9O东0重型瓤.械学院学强.
c-,=~_atP,cr(F)=0
』.=?埘(=0
.:?撕:(?-二0
Mc,=?7ci)一0
l
=?rl()=0
D.=?r:()=0
jc=?,,7cr.(f)==0
=
?一0
=?Y=0
:=?z=0
其中.,B2,3辖分别平行予,一轴,
BzI,Cz,轴分别平行于OZ轴.
l000卑
<3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(1O)
(ii)
(挖)
z,cs轴分;6i!平行予oy轴.
显然.这十二个方程中任意选取的六个方程都是力系平衡的必要条
件.但是.其充
分性有时不明显.需要通过讨论束判断和j囊志.
3力系平衡的充分洼判拱
究l据1六矩式方翟(i),(2,0).(4),(5),(6)不是空问
任意力系平衡的充分条件.
证明这很显然.事实上,(7).8).(9)p任何一个不等于零.则f《Ij体
在此力系作用下绕该轴加速转动,即力系不乎衙.
同理,式(1),(2),(3),(7),(8),(9)或式(4),(5).
(6),(7),(8),(0)也不是囊曩囊的充分条件.
翔据2六矩式方程(1),(),),(2),(5),(8)不是空闽
任意力系平衡的充分条件.
证明由空问任意力系主矩问天乐.
=D+AB×(13)
把式(1),4),(7)和(?),(5).(8)代入式(1,3),褥
B×=0
善lj』),,’,’.一0,.;,..:
,,-一一:.?.’k,.一一,——一——,一一
矗’契等!二j仁’置平tj充分性判n1
同理.式(1).(4).(7),(3.(6),(9)或式(2),(5),
(8),<3.(6),(9)也不是力系平鬈的充分条件.
判据3若,B,c三点在yz磺上的投影不共线.且AB不垂直子轴,则方
程(1),(:.(3).4),(5),(9)是空间任意力系平衡的充分条件,
空闻任意力系的六矩式j方.
证明由合力矩定理,有
=
?7”(F)=?(F,)=0
i,.一?”D:,(F)=?.,(F):0
‘
c一?c(F)=?掰c(F.)=0
{,1.B,C三点在乎面上投影不共钱,所这三个方程又是空间任意力
系向z平
面投影所得平面盈力系的三矩式平方程.因此.=0.即
P=0(14)
一
(15)
将式(3)辅方向投,i:
}=B
,十(D—)一(B—)(16)
把式(4),(5),(15)代入式(j6).并注意到:不垂直予轴,即日,得
=0(17)
由式(14),(15).(17)得=0.因为力系的主矢R=0.所以.力系的主矩
这时是自由矢量,即=,也邸
,=上c(18)
粤簪式(9)代入上式,立芝注意到式(1),(4)可得=0,于是力系平衡.
同理,式(t).(2),(3),(4),(5),(8)或式(1),(2),
(3),(4),(5),(7)也是力系平桶的充分条件.
判据4若,D,三点不共线,方程(1),(2),(4).(5),(8),
9)是空间压意力系平橱的充分条件,嗣力系的六矩式平衡方程.
证明由空问任意力系主矩间关系,有
口=c?l-Be×
把式(8).(9)代入上式的z轴投影式.再把式(1),(2)和(4),(5)分
别代入式(13)的轴和轴投影式,得
(c一B)一(c一口)=0
(D一):一(D一2’A);=0
(口一z)天一(月一)=O
92东北重型机械学院1990年
对;,尺,:而言,这是线性齐次方程组.因,B,C三点不共线,故其系数
行列式
f0ZA—Y—Yf
z日一z0一口:V-0
1
}—YAc—日0I
予是这方程组只有零解:一0,R=0,:=0,即R,=0.
再由式(2),(5),(8)得一0,于是力系平衡.
同理,式(1),(2),(4),(5),(7),(9)或式(1),(2).
(5),(6),(8),(9)也是力系平衡的充分条件.
判据5若A,B,C三点在L,z平面上投影不共线,则方程(1),(2),(3),
(4),(7),(10)是空间仟意力系平的充分条件,即空间任意力系的五矩一
影
式平衡方程.
证明由式(1),(2),(3)得=0,R一0,由式(10)知=0,
故R一0.
再由式(1),(4),(7)得=0.于是力系平衡.
同理,式(1),(2),(3),(4),(8),(10)或式(1),(2),
(3),(4),(9),(10)也是力系平衡的充分条件.
判据6若AB不垂直于z轴,则方程(1),(2),(4),(5),(7),(12)
是空间任意力系平衡的充分条件,即空间任意力系的五矩一影式平衡方程.
证明把式(1),(2)和式(4),(5)代入式(13),得
(Y日一)一(B—)R=0
(B--Z)一(B一)月=0
由式(12)知=0,注意到Zz,则由上两式得=0,=0,故R=0.
再由式(1),(4),(7)得M=0,于是力系平衡.
同理,式(1),(2),(4),(5),(8),(12)或式(1),(2).
(4),(5),(9)(】2)也是力系平衡的充分条件.
判据7若AB不垂直于轴,则方程(1),(4),(5),(7),(11),
(12)是空间任意力系平衡的充分条件,即空间任意力系的四矩二影式平衡方程.
i~.qJi把式(4),(5)代入式(16),监注意到4-zA及式(11).(12),
得;=0.R=0,R:=0,即R=0.
再由式(1),(4),(7)得M一0,于是力系平衡.
判据8式(1),(4),(7),(10),(11),(12)是空间任意力系平
衡的充分条件,即常用的空间任意力系三矩三影式平衡方程.
第2期宋浩契等空间任意力系平衡的充分性判据93
证明由式(1),(4),(7)得3f=0,由式(1O),(11),(12)得R’=0.
于是力系平衡.
4选取力矩轴和力的投影轴的若干方法
4.1六矩式平衡方程力矩轴选取方法
1.第一,二,三轴相互平行,且不共面;第四,五轴相互平行,且分别与第一,
二轴垂直相交;第六轴垂直于第一,四轴,且与两个交点的连线不垂直.
2.第一,二,三轴垂直汇交于一点;第四,五轴分别平行于第一.二轴.且相交
于另一点;第六轴平行于第三轴,且通过与以上两点不共线的第三点.
4.2五矩一影平衡方程力矩轴和投影轴选取方法
1.第一,二,三力矩轴相互平行.且不共面;第四力矩轴垂直于第一轴;第五力
矩轴垂直于第一.四轴;力的投影轴平行于第一轴.
2.第一,二力矩轴相互平行.且不共面;第三,四力矩轴相互平行,且分别与第
一
.
二力矩轴垂直相交l第五力矩轴垂直于第一,二轴,且与两个交点的连线不垂直,力
的投影轴平行于第五轴.
4.3四矩二影式平衡方程力矩轴和投影轴选取方法
第一.二力矩轴垂直相交;第三力矩轴平行于第一轴.且与第二轴不相交:第四力
矩轴垂直于第一,二轴;两个力的投影轴分别平行于第一,四轴.
4.4三矩三影式平衡方程力矩轴和投影轴选取方法
三个力矩轴垂直汇交于一点.三个力的投影轴分别与三个力矩轴平行.
5结束语
为了简单和实用起见.本文只讨论了力矩轴和力的投影轴相互平行或垂直的情况.
但是这种讨论可推广到某些轴之间互不垂直的情况.
如六矩式平衡方程(1),(2),(3),(4),(5),(7)中,方程(4)的
轴可绕方程(1)的轴转一锐角口.设此轴为,则沿此轴方向上的单位矢量为
c=COs口?j+COs(90.一口)k
予是,M4在这轴上的投影为
MaI:Ma?
=(MAi+,.J+Marlk)(COSaj+sinak)
=M
I
co.口+MfI
ina
94东北重型机械学院
把式(7)代入上式,韭注意到cosa%0及式(4),得
MAy:=yl=0
l990年
即力系对5,.轴和:轴的力矩方程是等效的.
其它形式的平衡方程的一些轴也可旋转.不过,得出的结果大多不太实用.
参考文献
1朱畏.空间剐体平衡条件的矩阵理论.力学与实践,1983.
2谈开孚.赵永凯.郭子弟.空间力系平衡方程独立性讨论.东北重型机械学院学
报;1984;(4):84,,,91
3宋浩契,杜国军.解单体静力学平衡方程的BASIC程序.东北重型机械学院教学
研究,1984;(3):18-.’21
4{:京大学编.高等代数.北京,人民教育出版社,1978
Some,Sufficiency—CriterionsforEquilibriumofSpatial
ArbitraryForceSystem
SongHaoqi,Huangsl’,ubi,wanging
ABSTRACT
Thepaperprovedsimplysomesurficiency-criter~ionsforthe
equi1ibriumofspatia1abrieraryforcesysternaswe11asseveraImethods
tochoosemomentaxisandprOjectionaxisofforcesforvarietie’
ofequi’libriumequationsareintroduced.
KeYWords:resultantforcevector,
suffiCientconditionof
resultantmoment,neceSSarYand
equiIibrium,formofSixmoment
范文三：空间力系
第四章 空间力系
若力系中各力的作用线在空间任意分布，则该力系称为空间任意力系，简称空间力系。
本章研究的主要内容 空间力系 分解
空间力偶系 空间汇交力系 简化
导出平衡方程。
应用: 重心、平行力系中心
§4–1空间汇交力系
平面汇交力系合成的力多变形法则对空间汇交力系是否适用？
对空间多个汇交力是否好用？ 用解析法又如何？ 1、力在直角坐标轴上的投影 直接投影法
F x =F cos ? F y =F cos θ
F z =F cos γ
间接（二次）投影法
F xy =F sin γF x =F sin γcos ?
F y =F sin γsin ?F z =F cos γ
2、空间汇交力系的合力与平衡条件 空间汇交力系的合力 合矢量（力）投影定理
F Rx =∑F ix =∑F x F Ry =∑F iy =∑F y F Rz =∑F iz =∑F z
F R =
(∑F X ) +(∑F Y ) +(∑F Z )
2
2
2
合力的大小
空间汇交力系平衡的充分必要条件是： 该力系的合力等于零，即可由上式得：
∑F
x
=0
∑F
y
=0
∑F
z
=0
称为空间汇交力系的平衡方程。 §4–2 力对点的矩和力对轴的矩 1、 力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢 三要素
(1）大小:力F 与力臂的乘积 (2)方向:转动方向 (3)作用面：力矩作用
M O (F ) =r ?F
又r =xi +yj +zk
F =F x i +F y j +F z k
则M O (F ) =(r ?F ) =(xi +yj +zk ) ?(F x i +F y j +F z k )
力对O 点的矩在三个坐标轴的投影
=(yF x -zF y ) i +(zF x -xF z ) j +(xF y -yF x ) k
?M o (F ) ?=yF z -zF y ??x
?M o (F ) ?=zF x -xF z
??y
M o (F ) ?=xF y -yF z
???z
2. 力对轴的矩
M z (F ) =M o (F xy ) =±F xy ?h
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零。 3、 力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系
已知：力 ,力
在三根轴上的分力 ， ， ，力 作用点的坐标 x, y, z
F 求：力F 对 x, y, z轴的矩
F
M x (F ) ==F M ?x (y F -x ) F +?M z x (F y ) +M x (F z )
z
y
F x
F y F z
F
M y (F ) =M y (F x ) +M y (F y ) +M y (F z )
=F x ?z -F z ?x
M z (F ) =M z (F x ) +M z (F y ) +M z (F z )
=F y ?z -F x ?y
比较力对点之矩和力对轴之矩，可得如下关系式： ?M o (F ) ?
??x
=yF z -zF y
=M x (F )
?M o (F ) ?=zF x -xF =M y (F )
?y ?
?M (F ) ?=xF -yF =M (F ) o y z z ??z
即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。 §4–3 空间力偶
1、力偶矩以矢量表示 力偶矩矢 F 1=F 2=F 1'=F 2'
空间力偶的三要素
（1） 大小：力与力偶臂的乘积； （2） 方向：转动方向； （3） 作用面：力偶作用面。
力偶矩
2、力偶的性质
BA
(1
）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 。
M =r AB ?F
M =r ?F
（2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。 力偶矩
（3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变。
M o (F , F ') =M o (F ') +M o (F ') =r A ?F +r B ?F '
M =r BA ?F
M o (F , F ') =(r A -r B ) ?F =M
因F '=-F
M (F , F ') =r ?F 11BA 1
(4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变。
定位矢量
F 1=F 1'=F 2
M (F , F ') =r
?F
R =r BA ?(F 1+F 2) R R BA
=r BA ?F 1+r BA ?F 2=r BA ?F 1=M (F 1, F 1')
=F 2'=F 3=F 3'
滑移矢量
自由矢量（搬来搬去，滑来滑去） 力偶矩矢是自由矢量 力偶矩相等的力偶等效
(5)力偶没有合力，力偶平衡只能由力偶来平衡。 3．力偶系的合成与平衡条件
M =
∑M
i
M =∑M i
则得:
为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和。
M 1=r 1?F 1, M 2=r 2?F 2,......, M n =r n ?F n
M x =∑M ix , M y =∑M iy , M z =∑M iz
合力偶矩矢的大小和方向余弦
简写：
M =
22
(∑M xi ) +(∑M yi ) +(∑M zi )
2
空间力偶系平衡的充分必要条件是 :合力偶矩矢等于零，即
∑M ix =0
∑M
=0
iy
∑M iz =0
=0, ∑M
称为空间力偶系的平衡方程。
x
∑M
y
=0, ∑M z =0
§
4–4 空间任意力系向一点的简化·主矢和主矩
简化过程：将力系向已知点 O 简化 ——
O 点称为简化中心。
结论
空间 一般力系
向一点O 简化 一个力 作用于简化中心O
R
一个力偶M 主矢与主矩
F R '=F 1'+F 2'+ +F n '=F 1+F 2+ +F n =∑F i
——原力系的主矢
主矢与简化点O 位置无关
M =M 1+M 2+ +M n =M O (F 1) +M O (F 2) + +M O (F n ) =
力线平移
合成 汇交力系
合成 力偶系
=M O
F '
∑M
O
(F i ) =M O
M O ——称为原力系对O 点的主矩
主矩与简化点O 位置有关
建立直角坐标系Oxyz ，主矢F ’在各坐轴上的投影分别为：
R
F
' Rx
n n
xi
n
yi
=
∑F
i =1
F
' Ry
=
∑F
i =1
F
' Rz
=
∑F
i =1
zi
主矩M O 在各坐标轴上的投影分别为：
2． 空间任意力系的简化结果分析（最后结果） 1
） 合力
当 F R '≠0, M o = 0最后结果为一个合力。
合力作用点过简化中心。 当 F R '≠0, M o ≠0, F R '⊥M o
M ox =
∑[M
i =1
n
(F ) i ]x =(F ) i ]y =(F ) i ]z =
n
∑M
i =1n
x
(F i )
M oy =
∑[M
i =1
n
∑M
i =1n
y
(F i )
M oz =
∑[M
i =1
n
∑M
i =1
z
(F i )
=d ?F R =M O (F R ) =∑M O (F ) M
O
当
F R '=0, M O ≠0时，最后结果为一个合力偶。此时与简化中心无关。
（3）力螺旋
当F R '≠0, M o ≠0
力螺旋中心轴过简化中心
k π
'≠0，'，M ≠0，F R M 成θ角，且θ≠时 当F R
力螺旋中心轴距简化中心为
2
合力矩定理：合力对某点（或轴）之矩等于各分力对同一点（或轴）之矩的矢量（代数）和。 （2）合力偶
M o 时
当
'=0, M O =0时，空间力系为平衡力系 F R
§4–5 空间任意力系的平衡方程
空间任意力系平衡的充分必要条件：该力系的主矢、主矩分别为零。 即： F ' =0?
R
?
M o =0?
n
∑F xi =0,
则有： i =1
n
n
∑M
i =1n
x
(F i ) =0(F i ) =0(F i ) =0
∑F
i =1n
yi
=0,
∑M
i =1n
y
∑F
i =1
zi
=0,
∑M
i =1
z
例4－1已知：T 1=200N, T 2=100N,皮带轮直径 D 1=160mm，柱齿圆轮节圆直径D =20mm，压力角α=20
求： 力P 大小及A 、B 处的反力
解： 分析：
传动轴AB 匀速转动时，可以认为处于平衡状态。
以AB 轴及其上的齿轮和皮带轮所组成的系统为研究对象。 P y =P cos 200, 0
P z =P sin 20
∑
M x (F ) =0,
z
-P y ?
D 2
+(T 1-T 2)
D 12
=0
∑M ∑F ∑M ∑F
(F ) =0, =0,
-P y ?150+F By ?350=0P y -F By -F Ay =0
-P z ?150+F Bz +(T 1+T 2) ?500=0F Az +F Bz +T
1+T
2-P z =0
y
y
(F ) =0,
z
=0,
P =71N, F Ay =38. 1N, F By =28. 6N,
F Az =142N, F Bz =-418N
例
00
已知：物重P=10kN ，CE=EB=DE； θθ==3030 求：杆受力及绳拉力 解：画受力图如图，列平衡方程
∑F
x
=0
F 1sin 45-F 2sin 45=0
∑F y =0
F A sin 30 -F 1cos 45 cos 30 -F 2cos 45 cos 30 =0
∑F z =0
F 1cos 45 sin 30 +F 2cos 45
sin 30
+
F A cos 30 -P =0
结果：
F 1=F 2=3. 54kN
F A =8. 66kN
已知：F 、P 及各尺寸求：杆内力 解：研究对象，长方板 受力图如图 列平衡方程
F 5=0
F 4=0
F 1=0
F 2=1. 5P
已知：P =1000N ,各杆重不计。 求：三根杆所受力。
解：各杆均为二力杆，取球铰O ，画受力图建坐标系如图。
∑F x =0
∑F
y
F OB sin 45-F OC sin 45=0
=0
-F OB cos 45-F OC cos 45-F OA cos 45=0
∑F z =0
F OA sin 45-P =0
解得 （压） F OA =-1414N
F OB =F OC =707N （拉）
§4 －6 重心 · 平行力系中心 一、重心的概念
物体的重量（力）：
物体每一微小部分地球引力的合力。
物体每一微小部分地球引力 ：构成一汇交力系，
汇交点为地球中心。近似为一空间平行力系。
重心：物体每一微小部分地球引力合力 P 的作用点C 。 (P =空间平行力系的中心——几何点 重心C —— 唯一性 二、重心位置的确定 1. 一般计算公式
设合力P 的作用点位置坐标为：x C 、y C 、z C ，由合力矩定理得： Px =
c
M y (P ) =∑M y (?P i )
重心坐标的一般计算公式，P 为物体的总重量。
∑y i ?P i ∑x i ?P i
, y c =x c =, z c =
P P
?P i
P
∑?P )
i
∑x ?P
i
i
∑z ?P
i
i
P
设：
?P i =?m i g , P =Mg
其中 ?m i , M 分别为微元体的质量和物体的总质量，g 为重力加速度。则有：
x =
c
x c =
∑x ?P
i
i
P
i
i
=
∑x ?m g
i
i
Mg
=
∑x ?m
i
i
M
∑x ?m
M
y c =
∑
y i ?m i M
z c =
∑z ?m
i
i
M
物体质心坐标的一般计算公式。
可见：在重力场中，重心与质心为同一几何点。 重心与质心的区别
重心：仅在重力场中存在。 质心：任何地方都存在。
2. 均质物体的重心坐标积分计算
γ=常数—— 单位体积的重量（N/m3）， 设物体内一点容重
则有： ?P i =γ??V , P =γ?V
ΔV 、V 分别为微元体和物体的体积。
x c =
∑x ?P
i
i
V V 均质物体的重心位于物体的几何形心。 上式可表示为：
xdV ?V
x c = V
x c =
∑
P
x i ?V i
=
∑x γ?V
i
i
γV
=
∑x ?V
i
i
V
y c =
∑
y i ?V i
z c =
∑z ?V
i
i
V
y c =
?
V
ydV V
z c =
?zdV
V
V
对平面图形，上式变为：
xdA ydA ??
A A
x c =y c = A A 注：适用于几何形状规则的物体 3. 均质组合形状物体的重心计算 （1）对称性法
重心一定在物体的对称轴、对称面、对称中心上。 （2）组合法（叠加法） 求图示平面图形的重心。
x C =
x C 1A 1+x C 1A 1+x C 1A 1
A 1+A 2+A 3
=
y C 1A 1+y C 1A 1+y C 1A 1
y == C
A +A +A
（3）负面积法
1
2
3
∑x A ∑A
Ci i Ci
i
∑y A ∑A
i
i
x A -x C 1A 1-x C 1A 1
x C =C 11
A 1-A 2-A 3
y C =
y C 1A 1-
y C 1A 1-y C 1A 1
A 1-A 2-A 3
小问题:如何设计不倒翁？
三、 重心确定的实验方法
适用于非均质、形状不规则等一般物体。 （1）悬挂法
注：适用于小物体。 （2） 称重法 有
整理后，得
P ?x C =
F 1?l
若汽车左右不对称，如何测出重心距左（或右）轮的距离？
已知：均质等厚Z 字型薄板尺寸如图所示。 求：其重心坐标
解:厚度方向重心坐标已确定，只求重心的x,y 坐标即可。用虚线分割如图，为三个小矩形，其面积与坐标分别为
已知：等厚均质偏心块的
R =100mm , r =17mm , b =13mm
求：其重心坐标。 解：用负面积法，
设大半圆面积为A1，小半圆（半径为r+b）面积为A2 , 小圆（半径为r ）面积为A3，为负值。 由对称性，有
x
C
x 1=-15mm x 2=5mm
x 3=15mm
y 1=45mm y 2=30mm
y 3=5mm
A 1=300mm A 2=400mm A 3=300mm
2
2
2
=0,
范文四：空间力系
第三章 空间力系
一、是非题
1．一个力沿任一组坐标轴分解所得的分力的大小和这力在该坐标轴上的投影的大小相等。
（ ）
2．在空间问题中，力对轴的矩是代数量，而对点的矩是矢量。 （ ）
3．力对于一点的矩在一轴上投影等于该力对于该轴的矩。 （ ）
4．一个空间力系向某点简化后，得主矢’、主矩o ，若’与o 平行，则此力系可进一步简
化为一合力。 （ ）
5．某一力偶系，若其力偶矩矢构成的多边形是封闭的，则该力偶系向一点简化时，主矢一定等于
零，主矩也一定等于零。 （ ）
6．某空间力系由两个力构成，此二力既不平行，又不相交，则该力系简化的最后结果必为力螺旋。
（ ）
7．一空间力系，若各力的作用线不是通过固定点A ，就是通过固定点B ，则其独立的平衡方程只
有5个。 （ ）
8．一个空间力系，若各力作用线平行某一固定平面，则其独立的平衡方程最多有3个。
（ ）
9．某力系在任意轴上的投影都等于零，则该力系一定是平衡力系。 （ ）
10．空间汇交力系在任选的三个投影轴上的投影的代数和分别等于零，则该汇交力系一定成平衡。
（ ）
二、选择题
1．已知一正方体，各边长a ，沿对角线BH 作用一个力，则该力在X 1轴上的投影为 。
① 0； ② F/2； ③ F/； ④ －F/。
题1图 题4图
2．空间力偶矩是
① 代数量； ② 滑动矢量； ③ 定位矢量； ④ 自由矢量。
3．作用在刚体上仅有二力A 、B ，且A +B =0，则此刚体二力偶，其力偶矩矢分别为M A 、M B ，且M A +M B =0，则此刚体
① 一定平衡； ② 一定不平衡； ③ 平衡与否不能判断。
4．边长为a 的立方框架上，沿对角线AB 作用一力，其大小为P ；沿CD 边作用另一力，其大小为
P/3，此力系向O 点简化的主矩大小为。
① 6Pa ；② Pa ；③ 6Pa/6；④
Pa/3。
5．图示空间平行力系，设力线平行于OZ 轴，则此力系的相互独立的平衡方程为。
① Σmx （）=0，Σmy （）=0，Σmz （）=0；
② ΣX=0，ΣY=0，和Σmx （）=0；
③ ΣZ=0，Σmx （F ）=0，和Σm Y （）=0。
题5图 题6图
6．边长为2a 的均质正方形簿板，截去四分之一后悬挂在A 点，今欲使BC 边保持水平，则点A 距右端的距离X= 。
① a ； ② 3a/2； ③ 5a/2； ④ 5a/6。
三、填空题
1．通过A （3，0，0），B （0，4，5）两点（长度单位为米），且由A 指向B 的力，在z 轴上投影为 ，对z 轴的矩的大小为。
2．已知F=100N，则其在三个坐标轴上的投影分别为：； 。
题2图 题3图 题4图
3．已知力F 的大小，角度φ和θ，以及长方体的边长a ，b ，c ，则力F 在轴z 和y 上的投影：； F 对轴x 的矩mx(F 。
4．力通过A （3，4、0），B （0，4，4）两点（长度单位为米），若F=100N，则该力在x 轴上的投影为 ，对x 轴的矩为 。
5．正三棱柱的底面为等腰三角形，已知OA=OB=a，在平面ABED 内有沿对角线AE 的一个力F ，图中α=30°，则此力对各坐标轴之矩为： m x （F ）= ； m Y （F ）= 。m z （F ）= 。
题5图 题6图
6．已知力F 的大小为60（N ），则力F 对x 轴的矩为z 轴的矩为。
第三章 空间力系参考答案
一、是非题
1、错 2、对 3、错 4、错 5、对 6、对 7、对 8、错 9、错 10、错
二、选择题
1、① 2、④ 3、③① 4、④ 5、③ 6、④
三、填空题
2；62R/5
2、Fx=－402N ，Fv=302N ，Mz=2402N ·m 1、R/
3、Fz=F·sin φ；Fv=－F ·cos φ·cos φ；Mx （）=F（b ·sin φ+c·cos φ·cos θ）。
4、－60N ；320N.m
5、m x （F ）=0，m Y （）=－Fa/2；m z （）=Fa/4
6、m x （F ）=160（N ·cm ）；m z （F ）=100（N ·cm ）。
范文五：【doc】空间力系矩式平衡方程相互独立的几何条件
空间力系矩式平衡方程相互独立的几何条
件
第20卷第4期
1994年l2月
甘肃工业大学
JournalofGansuUniversityofTechno]ogy Vo】.20No.4
Dec.1994
空问力系矩式平衡方程相互独立的几何条件
一
}.}(甘肃工业大学基础课部.兰州730050)
抖摘要采用矢量分析方法讨论了空间任意力系矩式平衡方程相互独立的几何条 件.首先给出了空问直线之间线性相关的几何条件,然后推导出空问力系六矩式平衡
方程对取矩轴之问几何关系的限制条件,并指出力矩平衡方程相互独立的充要条件
是取矩轴所在直线一定线性无关.
关键词空问力系;线性;豆衡方程;几何条件;直线的特征量
分类号O312.3
'
——一
描述空间任意力系平衡的独立方程有六个,其中力矩式平衡方程的个数n满足3?n?6.
在现行的理论力学教科书"中只对平面一般力系和空间平行力系的力矩式平衡方程取矩轴
之间的几何限制条件进行过讨论,而缺少一般性的讨论.显然,要保证矩式平衡方程之间相互
独立,就必须对取矩轴之间的几何关系给出一定限制条件.这里,作者将采用矢量分析方法0,
先讨论空间直线线性相关的几何条件,然后进一步分析空间六矩式方程取矩轴之间应满足的
几何条件,并给出一般性结论.
曩1预备知识
在空间直角坐标系oxyz中,任意一条直线/可表示为
z:r—r+凤…<..(1)
其中,=(,,)为直线z上的一已知点,一(x.y,z)为直线z的方向矢量,显然,× 一
莨×为直线z的一个不变量,它确定了方向矢量为的空间直线/的位置,由此定义: L一(莨.×)t(2)
为直线/的特征量.
设空间力的主矢为,,作用点为.则该力的作用线可记为直线: ;一+莨…<..(3)
由刚体力学可知,力可看作沿式(3)直线的措移矢量.在此意义上,可将力记为(, ),如图1所示.力对直线z上点之矩可由空间力对点之矩定义表示为 砘一(一)×一,×()(4)
由力对轴之矩定义可知,力对直线z之矩为.
一[]I=—莨?[×(一)](5)
收稿日期:1994—03?09
甘肃工业大学第20卷
由此,可得如下结论:
引理若力(,)对直线f之矩为零,则
有:
定,?[×(一)]一0(6)
式(6)说明矢量,充,ro一在同一平面上.
2空间直线线性相关的条件
设空间力(,roF)对直线r.,r之矩分别为 零,则由引理可知:
壳,?暖.×(.一role)]:0(7) 壳,.[×(.一)]:0(8)
对任意实数n,,可把式(7)和式(8)线性组合,得 圈1空间直线和力的矢量表示 .
[×r..+:×一(.+:)×]一0(9) 令
.一n.+,×一×rol+:×(10) :
;一+莨.#…<oo【11)
则由式(9)知,力(茛,,)对直线r之矩也为零.由此,称直线r为直线f,fz的线性组合.
式
(10)也可记为
66
?一0,?×rol一0(12)
其中,"一1,2,3)不全为零.因此也称直线j.,f:和j;线性相关.不失一般性,如果存在一
组不
全为零的数(一1,2,…,n),使得: ?q壳.一0,?n.充.×一0(13) im1'.1
则称直线f.,f:,…,r.线性相关.现记 一
(x,y.,暑),=(…y,)
则式(13)可表示为矩阵形式:
一0(14)
l?i?n
于是,空间n条直线线性相关的条件等价于线性方程组(14)关于(1,2,…,")有非零
解.由代数知识可知,rank(Ft])一一时,只有零解;rank([明)<n时,?有非零解.显然
rank
([L])?6,所以当n>6时,一条直线必定线性相关;当n?6时,n条直线线性无关的
条件是
AC
??????
墨
凸
咒
一..一五
一
一
^
其
第4期赵永刚等:空间力系矩式平衡方程相互独立的几何条件 rank([,])一.由此可知,六条直线线性无关的条件是它们的特征量应满足 act[L]?0(15)
3取矩轴之间应满足的几何条件
设所选取的六个轴为满足式(15)的6条有向直线^(一:,2,…,6),记它们的特征量构
成
矩阵为
ELI—ELL:LLLL](16)
其中,L,一(.Y.Z.A,B.C.)为第条直线的特征量.设一(YZABc)是任一空 间直线f的特征量,令
[,]一EL1L2LaLIL5L6](17)
则可知rank(EL'])一6,于是存在数组(岛,岛,…,.9)?0使得: 6
K一:厶(18)
iRl
式(18)也可表示为
一
?p,.,X一?,×(19)
现设,蔚分别为任意空间力系向一点简化所得的合力矢和合力矩矢量.显然,如果空间
力系平衡,则有一o,蔚一o,和面对满足式(15)条件的6条直线(轴)之矩均为零. ?
暖.X(一)]+丽?一0(1??6)(20)
为证明充分性,设,满足式(2o),计算和面对任意一条直线f之矩,并利用式 (19)可得:
,?[X(一)]+蔚?一?卢i{?[,×(一)]+蔚?.)一0(21)
由于式(21)对任意的(,X)都成立,所以特意分别选取
R—i,,k,i,,k;RXr一i,j,k,,k,(22)
其中,;,j,i满足
iXj—k,J×k—,kXi一』(23)
将式(82)代入式(21)可得:
M?i一0,M?一0,M?k一0(24)
RF?k+M?一0,RF?+M?j一0,R,?+M?k一0(25)
由上述两式可得:一0,蔚一0,由此可知原力系平衡.
定理设空间任意六条线(轴)线性无关,即特征量满足条件aetEC]~o,则空间任意力系
平衡的充要条件是该力系对这六条直线(轴)之矩为零.
4结论与讨论
1)关于空间直线有下列结论(证明从略):
?一条直线线性相关无意义.
?两条直线线性相关,则这两条直线重合.
甘肃工业大学第20卷
?三条直线线性相关,则三条直线共面,且要么相互平行,要么交于同一点.
?四条直线线性相关,则四条直线共面-四条直线平行;四条直线共点-两条平行直
线平
行于另两条相交直线所确定的平面,且两平行直线所确定的平面过另两条直线的
交点;平行直
线f,f确定平面,平行直线,.确定平面卢,且平面平行于平面卢'等等. ?七条及七条以上直线必定线性相关.
2)关于取矩轴选取有下列结论:
?力矩平衡方程要相互独立.则作为取矩轴的直线必须线性无关. ?对于平面任意力系的三矩式平衡方程,要求作为矩心的三点不共线. 证明不失一般性,取
R,一(0,0.1)一(Y.0)(一1,2,3)
则有A.一一Y,,B一x,,C,一0,i一1,2,3,方程(14)退化为 ++一0]
】al十za2+3a3—0}(26)
+2+3一0J
于是可得式(26)关于?r只有零解的条件是
以三点(z,,Y.,0)为顶点的三角形的面积不
为零.(证毕)
3)体积不为零的四面体的6条棱边所在
直线可作为空间任意力系六矩式平衡方程的
取矩轴.
证明如图2所示四面体,取
r.1一2一a一(0,0,0)
r..一(,0,O)
r.B一(0,Y,0)
roR一(0,0.,)
反一(1,0,0)
z一(0,1.0)
瓦=(0,0,1)
R'一(一T,Y,0)
砭一(0,一,)
R一(,0,一z)
易得:
A,一B,一e(一1,2,3)
A'一B4一Bs—C5一C6一A6—0
A5一一yzB6一一TC'一一xy
于是得:
detEL]一一Y.}0
图2空间四面体
(27)
,
第4期赵永刚等:空间力系矩式平衡方程相互独立的几何条件?101?
显然,若.ryz:~O,即四边体体积不为零,则六条棱边所在直线线性无关.经过空间仿
射坐
标变换,可知任意四边体六条棱边可作为六矩式方程取矩轴.(证毕)
参考文献
1罗远祥,宫飞,关冀华,等.理论力学:上册.北京,高等教育出版杜+1986107,119
2王铎,王宏钰,洪敏谦,等.理论力学:上册.北京:高等教育出版杜,1988.180,234
3冯潮清,赵愉深,何浩法,等.矢量和张量分析.北京t国防工业出版杜,19865,I;
GeometricConditionsofIndependentMomentalEquations ofEquilibriumforThreeDimensionalForceSystem ZhaoYonggang,LiShirong
(DivisionofBasicCourge.GansuUniv.ofTech.,Lanzhou73~J050)
AbstractByvectoranalysismethod.thegeometricconditions0findependentmomentale—
quationsofequilibriumforthreedimensionalforcesystemarediscussedThegeometr/econ
—
ditionsofspatialstraightlineswhicharelinearlycorelatedwitheachotheraregivenfirst.
Therestrictivegeometriccond/t/onstosixaxisaboutwhichthemomentalequationsof
equilibriumaretakenarederivedthen.ThenecessaryandSUffic[entconditionwNchassures themomentalequationsofequilibriumforspatialforcesystembeindependentisthatthe straightlineswhichcoincidewiththeaxisaboutwhichthemomentesistakensrelinearlyin dependent.
Keywordsspaceforcesystem;linear~equilibriumequation;geometricconditions;char—
acteristlcquantityofstraightline
转载请注明出处范文大全网 » 空间任意力系平衡方程的独立性
