范文一：幂级数收敛半径的一些求法

幂级数收敛半径的一些求法

()马娜蕊长安大学基础课部 西安 710064

摘 要 讨论了在一些特殊情形下 ,幂级数收敛半径的求法 。

中图分类号 O173 . 1 关键词 幂级数 ;收敛半径 ;比值审敛法

幂级数是一类重要的函数项级数 , 讨论它的收敛域是这部分学习的一个重点 。而求收敛域最

( ) 关键的是求它的收敛半径 。虽然所有教材 如 [ 1 ]中 257 页定理 2给出了求幂级数收敛半径的方 法 , 但有一定的局限性 :其一 , 当考虑的幂级数不是完全幂级数时不可直接使用 ; 其二 , 设定理的条

a n +1件仅是充分的 , 也就是说当 lim不存在且不为无穷大时 , 不能由此得出结论 。那么对于这 n ?? a n

些特殊情形的幂级数如何求它的收敛半径呢 ? 下面 举例说明 。

? ( ) 2 n ! 2 n + 1x 的收敛半径 。 例 1 求幂级数 ? 2n = 0 ( ) n !

解 1 用正项级数的比值审敛法

( ) ux () () n +1 () ()2 n + 22 n + 1 2 n + 2! 2 n! 2 n +3 2 n +1 2 2 x,因为lim = lim lim x = 4 x = x : 222n ?? ( )n ?? ( ) n ?? ( ) ux [ n + 1! n ! n ( ) n + 1

1 1 2 2 当 4 x < 1="" 即="" |="" x="" |="">< 时="" ,原级数收敛;="" 当="" 4="" |="" x="" |=""> 1 ,即 | x | >所以时 ,原级数发散。 2 2 故 所示收敛半径R = 2 ? ? ( ) ( ) 2 n ! 2 n ! 2 n +1 2 n 解 2= , xx x2 2 ?? ( ) ( ) n !n !n = 0 n = 0 ? ? ( ) ( ) 2 n !2 n! 2 n 2 n x t ,令= t , ? x = 22?n = 0 ( ) ( ) n !n ! n = 0 ? a n + 1) ( ) ( ( ) 1 2 n + 22 n + 1 2 n ! n 对于t, 由于 lim= lim = 4 , 所以其收敛半径 R=′ , 也就是 2 2 ? ( ) n ?? n ?? a 4 nn !( )n + 1 n = 0

1 1 说当| t| < 时该级数收敛="" ;当|="" t|=""> 时 ,该级数发散 。4 4 ? () 1 1 1 2 n! 1 2 22 n 2因为 x= t ,故当| x| < ,即|="" x|="">< 时="" ,="" x收敛="" ;="" 当|="" x|=""> 时 ,即| x | > 时 ,2 ? 4 2 4 2 ( )n ! n = 0 ? () 2 n! 2 n?x发散 。 2n = 0 ( ) n !

综上可知 , 所求收敛半径 R = 2 。

n? 2 + ( - 1) n 2 求幂级数 ? 例 x 的收敛半径 。 n n = 0 2

1 , n 为偶数时n + 1 6 ( ) a a2 + - 1 n + 1 n + 1 分析 lim = lim = 所以 lim 不存在 , 故不能用比值法 nn ??n ?? n ?? aa (( ) )nn2 2 + - 1 3 , n 为奇数时 2

高等数学研究2004 年 5 月38

求其收敛半径 。

解 1根值法 n | x| | x| | x| n 由于 ( ( ) ) = , 所以 , 当 < 1="" ,="" 即|="" x="" |="">< 2="" 时原级数收敛="" ;当lim="" |="" ux|="lim" 2="" +="" -="" 1〃="" n="" n="" n="" 2="" 2="" 2="">

| x| > 1 ,即| x| > 2 时原级数发散 。 2

故 所求收敛半径 R = 2 。

解 2 利用幂级数的运算性质

nn? ? ? ( ) ( ) 2 - 1 2 + - 1 n n n 由于 ? x 、? x 的收敛半径为 2 , 所以 ? x 的收敛半径 R = 2 。 n n n n = 0 n = 0 n = 0 2 2 2

解 3夹逼法

n nnnn? ? ( ) | x | 2 + - 1 3| x | 3| x | | x | n Φ | , 又|x | < 2="" 时="" ,?收敛="" ;="" |x="" |=""> 2 时 ,?由于x | Φ n n n n n n = 0 n = 0 2 2 2 2 2

发散 。nn? ? ( ) ( ) 2 + - 1 2 + - 1 n 由比较法知当| x | < 2="" 时="" ,="" x="" |="" 收敛="" ;="" 原级数收敛="" ;="" 当|="" x="" |=""> 2 时 , ? 〃 n n n = 0 n = 0 2 2 n | x | 发散 , 原级数发散 。所以所求收敛半径 R = 2 。

nnn? ? ? ( ) ( ) | x | 2 + - 1 2 + - 1 n n , 故 ?注 由于 ? 发散是由比值法得出 | x | 发散时 , ? x 也发 n n n n = 0 n = 0 n = 0 2 2 2 散 。

? ? a n n n ( 例 3 已知 ax 的收敛域为 -4 , 4 , 求幂级数 x 的收敛半径 。n ?? n ! n = 1 n = 1 ? n n n 解 由 ax 在 x = 4 处收敛 , 可得 lim a 〃4 = 0 , 故存在 M > 0 , 对任意 n Ε 1 , 有| a 〃4 | Φn n n ? n ?? n = 1

M 。

n n x a | x| nn a〃4 〃( ) Φ M = 又因 对于任意 x ?- ?, + ?,n , nnn !〃4 n ! 〃4 n ! ? nn ? ax 1 | x | n + 1 ( ) ,因 lim= lim 对于 ? = 0 。故对于任意 x ?- ?, + ?, M 〃 收 n n ? n ??( )n = 1 n ??4 n + 1 a n ! 〃4n〃4 n n = 1 ? n an ( ) 敛 。由比较法知 ,对于任意 x ?- ?, + ?,收敛 。即 , 所求收敛半径 R = + ?。x ? n ! n = 1 ? a n +1 1 n 注( = 。 由 ax 的收敛域为 - 4 , 4 ] 不能推出 lim n ? n ?? 4 a nn = 1

参考文献

( ) ( ) 同济大学数学教研室. 高等数学 下册第四版. 北京 :高等教育出版社 ,1996 年

() 上接 30 页办得更加出色 。徐利治教授在 1999 年 12 月 11 日评当年 9 月出版的我刊时说 “: 我联想到了美国

() 数学月刊 Amer . Mat h. Mo nt hly刊物 。它们编的 Elementary Problems 和 Advanced p roblems 栏特别引起数学界人士

) (的兴趣 。我建议《高数研》是否也可设立 Reseach Problems研究问题栏 。凡属于高等数学范围而“具有创新性的问 题均可投稿这一栏。”现在有第 1 、4 期 ,可考虑这一建议 。

( ) 《美国数学月刊》是一份著名的历史悠久的国际范围发行的大学数学杂志 所谓 College Mat hematics。设有论 () ( ) ( ) ( ) ( 文 Articles、注记 Notes、数学教学 Teaching of Mat hematics、未解决问题 U nsolved Problems、问题解答 Solu2

) tio ns of Problems等栏目 ,我认为我刊可向它靠近 、借鉴 ,特别是第 1 、第 4 期 ,要加强审稿 ,把好的质量关 ,特别要避 免重复及抄袭之作 。

范文二：求幂级数收敛半径的方法

第18卷第6期2002年12月

工　科　数　学

JOURNALOFMATHEMATICSFORTECHNOLOGY

.18,№.6Vol

Dec.2002

求幂级数收敛半径的方法

高国成,　宋治涛

(山东科技大学公共课部,济南250031)

　　[摘　要]指出了文[1]中一个考研题的错误解法,并给出求幂级数收敛半径的几种方法.

[关键词]幂级数;收敛半径;收敛区间

[中图分类号]O173　　[文献标识码]C　　[文章编号]100724120(2002)0620122204

1　引　　言

一,lim

n→∞

∞

不存在且不为无穷大,但幂级数an+1

∑ax

n

n=0

n

,为此我们作如下工作.如文[1]给出了一九九七年研究生入学考

∞

n

n=0

:

∞

设幂级数∑anx的收敛半径为3,则幂级数∑nan(x-1)n+1的收敛区间为

n=1

解　幂级数的收敛半径为3]

∞

limnn→∞anx

n+1

=lim

n→∞

?

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