范文一:高二定积分试题
高二定积分试题 故选C(
一:选择题 (由曲线y=,直线y=x,2及y轴所围3
1((2012?湖北)已知二次函数y=f(x)的成的图形的面积为( ) 图象如图所示,则它与X轴所围图形的面积A( B( C( D( 4 6 为 ( )
解:联立方程得到两曲线的交点
(4,2),
因此曲线y=,直线y=x,2及y轴所围A( B( C( D( 成的图形的面积为
S=
解:根据函数的图象可知二次函数y=f(x)
图象过点(,1,0),(1,0),(0,1)
2从而可知二次函数y=f(x)=,x+1
?它与X轴所围图形的面积为(
故选C( =()
4((2013?永州一模)cos2xdx=( )
=(,+1),(,1)= A( B( C( D( 1 2 故选B(
2((2000?天津)如图中阴影部分的面积是
解:cos2xdx ( )
=sin2x
=(sin,sin0)
=( A( B( C( D( 故选A(
25((2013?汕头二模)如图所示,图中曲线解:直线y=2x与抛物线y=3,x
2解得交点为(,3,,6)和(1,2) ,1,用定积分表达围成封闭图方程为y=x
2形(阴影部分)的面积是( ) 抛物线y=3,x与x轴负半轴交点(,,
0)
设阴影部分面积为s,则
A( B( =
C( D( =
解:由微积分基本定理的几何意义可得:图所以阴影部分的面积为,
中围成封闭图形(阴影部分)的面积
S=
解:?==,=
(
=1,=,故选C(
6((2013?济南一模)设a=dx,==, b=dx,c=dx,则下列关系式成又,
立的是( ) ?c,b,a(
A( B( C(故选 A( D( ,, ,, ,, ,, 28((2010?湖南模拟)如图所示,曲线y=x
和曲线y=围成一个叶形图(阴影部分),解:?,其面积是( )
?=ln2,
=ln3,c==ln5(
,,,?
A( B( C( D( 1 ?,?,
?,?; 解:联立得, ?,,
解得 或,
,?,设曲线与直线围成的面积为S,
21?,?( 则S=?(,x)dx= 0
故选:C ?( 9(用max{a,b}表示a,b两个数中的最大故选C( 数,设
,那7((2013?长春一模)设,
么由函数y=f(x)的图象、x轴、直线
和直线x=2所围成的封闭图形的面积是,,则a、b、
( )
c的大小关系为( ) A( B( C( D( A(a ,b,c B( b,a,c C(a ,c,b D( b,c,a
解:由题设知:?曲边梯形的面积是 4
故选B(
212((2012?郑州二模)如图曲线y=x和直,
线x=0,x=1,y=所围成的图形(阴影部分)
?的面积为( ) ,
故选A
210(抛物线y=x在A(1,1)处的切线与y
轴及该抛物线所围成的图形面积为( )
A( B( C( D(
2解:由于曲线y=x(x,0)与y=的交点为
(),
2而曲线y=x和直线x=0,x=1,y=所围成
A( B( C(的图形(阴影部分)的面积为 D( 1 2
S=
解:先求导函数,可得y′=2x,
2?抛物线y=x在A(1,1)处的切线的斜
率为2
, ?切线为y=2x,1,由定积分的几何意义得,
所求图形的面积为 所以围成的图形的面积为
S=
故选A(
211(曲线y=4x和y=3x,2x所围成图形的
面积( )
==A( B( C( D( 2 4 6 8 解:先根据题意画出图形,
( 由?或
故答案选D(
2得到积分上限为2,积分下限为0 13((2012?江西模拟)设函数f(x)=ax+c
2(a?0),若曲线y=4x和y=3x,2x所围成图形的面积
22S=?(4x,3x+2x)dx 0,则22=?(6x,3x)dx 0232x的值为( ) =( 3x,x)|=3×4,8=4 00
A( B( C(16 ((2012?安徽模拟)计算D( f(x)a mm 0
= 2 ( 21解:?f(x)=ax+c(a?0),?f(x)=?f00333|x|+1=(x|x|)+1,其中函数x|x|解:因为x1(x)dx=[+cx]=+c(又?f(x)00是奇函数,而积分上限和下限互为相反数,
31根据定积分的几何意义可知?(x|x|)dx,122=ax+c(?x=,?x?[0,1]?x=( 00003表示函数x|x|在x=,1,x=1与x轴围成图故选D( 形的面积的代数和为0, 14((2011?莆田模拟)若31?=?(x|x|)dx+?,1
1dx=0+x=0+2=2( ,1,则a,b,c的大小关系是( )
故答案为:2( A(a ,b,c B( a,c,b C(b ,a,c D( c,b,a
17(若函数f(x)解:根据定积分的几何意义,则a,b,c分
别表示表示三条曲线与x轴围成的图形的面
=,f(f(1))积,由图可得:a,b,c
故选A(
=8,则a的值是 2 (
解:由题意可得,f(1)=lg1=0,
?f(f(1))=f(0)
233{|}_{0}^{a}33tdt=t=t=a, =
3?a=8即a=2(
故答案为:2(
18((2011?遂溪县一模)=
π ( 二(填空题
15((2012?长春一模)设22,x解:令y+y=4,如图
由定积分的定义知的值(e为自然对
等于此圆面第二象限部分的面积
故所求的定积分的值为π 数的底数),则的值 故答案为π
解:?,
1e?=?f(x)dx+?f(x)dx=01
31e(x)|+(lnx)|=+1=, 01
故答案为(
19((2011?安徽模拟)设曲线y=2cos2x与x解:由积分的几何意义可得,轴、y轴、直线围成的面积为b,若g
== 2(x)=2lnx,2bx,kx在[1,+?)上单调递
减,则实数k的取值范围是 [0,+?) ( ?a= 解:由题意
故答案为:
b=2cos2xd=sin2x=sin= x
22((2010?武清区一模)已知
2?g(x)=2lnx,x,kx ,则f?g′(x)=
(a)的最大值为 ( 2?g(x)=2lnx,2bx,kx在[1,+?)上单
调递减, 解:=?g′(x)=,0在[1,+?)上
21=,a (,)|0恒成立
即在[1,+?)上恒成立 ?当a=时,f(a)取最大值,最大值为 ?故答案为:在[1,+?)上递减,
23((2009?济宁一模)已知函数f(x)? 32=x+ax+bx(a,b?R)的图象如图所示,它?k?0 与直线y=0在原点处相切,此切线与函数图由此知实数k的取值范围是[0,+?) 象所围区域(图中阴影部分)的面积为,故答案为:[0,+?)(
20((2012?济南三模)已知函数f(x)则a的值为 ,3 (
2=3x+2x+1,若
(a,0)成立,则a= (
112解:由?f(x)dx=?(3x+2x+1)dx ,,11 321解:由图知方程f(x)=0有两个相等的实=(x+x+x)|=4=2f(a), ,12得f(a)=3a+2a+1=2, 根x=x=0,于是b=0, 122f(x)=x?(x+a),有解得a=,1或(
?a,0(?a=
, 故答案为:( ?a=?3(
又,a,0?a,0,得a=,3( 21((2013?汕头一模)若曲线与直线
2故答案为:,3( x=a,y=0所围成封闭图形的面积为a(则
24(计算:正实数a= (
= π (
2解:?y=表示x轴上方的半圆, x= 解:cos
?dx= ? ?=2 ?=
dx,sinxdx=2×,
=, (,cosx)=π,0=π(
故答案为:π 故答案为225(由曲线y=x+2与直线y=3x,x=0,x=2
所围成平面图形的面积为 1 ( 三(解答题
28(已知函数; 解:联立曲线与直线得 ,
(1)若不等式f(x)+2x+2,m在[0,2]内
有解,求实数m的取值范围; 解得或
(2)若函数在区间2设曲线y=x+2与直线y=3x,x=0,x=2所围
[0,5成的平面图形的面积为A ]上没有零点,求实数a的取值范围(
122解:(1)则A=?[(x+2),3x]dx+?[3x,012(x+2)]dx=1 ?=故答案为1(
26(= 2=
2?f′(x)=x,4x , ( 2不等式(fx)+2x+2,m可化为m,x,2x+2
?不等式f(x)+2x+2,m在[0,2]内有解, ,表示解:先计算2?m,(x,2x+2)(x?[0,2]) min22以(1,0)为圆心,1为半径的圆在x轴上?x,2x+2=(x,1)+1,
2方的半圆的面积 ?当x?[0,2]时,(x,2x+2)=1 min
?m,1, ?= ?实数m的取值范围为(1,+?)
=2)由(1)得, (
2?g′(x)=x,4x=x(x,4) ,=x,=2则当x?[0,4]时,g′(x)?0;当x?(4,
5]时,g′(x),0 , ?当x=4时,g(x)的最小值为g(4)=a
,11 故答案为:2,?函数g(x)在区间[0,5]上没有零点,
27(= (
+S=, ?S=S12
?a,11,0或 2S′=4t,4t=4t(t,1),令S′=0得t=0(舍
去)或t=1,
当0,t,1时,S′,0,S单调递减, ?a,11,或a 当t,1时,S′,0,S单调递增, ?实数a的取值范围为(11,+?)?(,?,?当t=1时,S=2(…(14分) min
)( 30(如图,过点A(6,4)作曲线fxx()48,,
2的切线l( 29(已知S为直线x=0,y=4,t及y=4,122(1)求切线l的方程; x所围成的面积,S为直线x=2,y=4,t22(2)求切线l,x轴及曲线所围成的封及y=4,x所围成图形的面积(t为常数)(
闭图形的面积S( (1)若t=时,求S; 2
(2)若t?(0,2),求S+S的最大值( 12
y
A
l yx,,48
S x
O
21,fx(),,解:(1)?,?,f(6), 48x,2解:(1)当t=时,1?切线l的方程为:,yx,,,4(6)32S==(x,21即( yx,,122x)=(…(4分)
(2)令=0,则x=2(令fxx()48,,(2)t?(0,2),
1S==1=0,则x= -2。 yx,,12
?=,…(6分) 661A==,,,(1)48xdxxdx,,,222
S==2366161122=( ()(48)xxx,,,,22346
=,…
(10分)
范文二:高二定积分试题
高二定积分试题
一:选择题
1((2012?湖北)已知二次函数y=f(x)的图象如图所示,则它与X轴所围图形的面积为
( )
A( B( C( D( 解:根据函数的图象可知二次函数y=f(x)图象过点(,1,0),(1,0),(0,1)
2从而可知二次函数y=f(x)=,x+1
?它与X轴所围图形的面积为=()=(,+1),(,1)=
故选B(
2((2000?天津)如图中阴影部分的面积是( )
A( B( C( D(
2解:直线y=2x与抛物线y=3,x
解得交点为(,3,,6)和(1,2)
2抛物线y=3,x与x轴负半轴交点(,,0)
设阴影部分面积为s,则
=
=
所以阴影部分的面积为,
故选C(
3(由曲线y=,直线y=x,2及y轴所围成的图形的面积为( )
A( B( 4 C( D( 6
解:联立方程得到两曲线的交点(4,2),
因此曲线y=,直线y=x,2及y轴所围成的图形的面积为
S=(
故选C(
4((2013?永州一模)cos2xdx=( )
A( B( 1 C(2 D( 解:cos2xdx
=sin2x
=(sin,sin0)
=(
故选A(
25((2013?汕头二模)如图所示,图中曲线方程为y=x,1,用定积分表达围成封闭图形(阴影部分)的面积是( )
A( B(
C( D( 解:由微积分基本定理的几何意义可得:图中围成封闭图形(阴影部分)的面积S==(
故选C(
6((2013?济南一模)设a=dx,b=dx,c=dx,则下列关系式成立的是( )
A( B( C( D( ,, ,, ,, ,, 解:?,?=ln2,=ln3,c==ln5(
?,,,?,?,?,?;
?,,,?,?,?( ?(
故选C(
7((2013?长春一模)设,,,则a、b、c的大小关系为( )
A( a ,b,c B( b,a,c C( a,c,b D( b,c,a 解:?==,=1,=,
==,
又,
?c,b,a(
故选A(
28((2010?湖南模拟)如图所示,曲线y=x和曲线y=围成一个叶形图(阴影部分),其面积是( )
A( 1 B( C( D( 解:联立得,
解得 或,
设曲线与直线围成的面积为S,
21则S=?(,x)dx= 0
故选:C
9(用max{a,b}表示a,b两个数中的最大数,设,那么由函数y=f(x)的图象、x轴、直线和直线x=2所围成的封闭图形的面积是( )
A( B( C( D( 解:由题设知:,
?,
故选A
210(抛物线y=x在A(1,1)处的切线与y轴及该抛物线所围成的图形面积为( )
A( B( C(1 D( 2
解:先求导函数,可得y′=2x,
2?抛物线y=x在A(1,1)处的切线的斜率为2
?切线为y=2x,1,由定积分的几何意义得,所求图形的面积为
故选A(
211(曲线y=4x和y=3x,2x所围成图形的面积( )
A( 2 B( 4 C(6 D( 8 解:先根据题意画出图形,
由?或
得到积分上限为2,积分下限为0
2曲线y=4x和y=3x,2x所围成图形的面积
22S=?(4x,3x+2x)dx 022=?(6x,3x)dx 0232=( 3x,x)|=3×4,8=4 0
?曲边梯形的面积是 4
故选B(
212((2012?郑州二模)如图曲线y=x和直线x=0,x=1,y=所围成的图形(阴影部分)的面积为( )
A( B( C( D(
2解:由于曲线y=x(x,0)与y=的交点为(),
2而曲线y=x和直线x=0,x=1,y=所围成的图形(阴影部分)的面积为
S=,
所以围成的图形的面积为
S===
(
故答案选D(
213((2012?江西模拟)设函数f(x)=ax+c(a?0),若,则x的值为( ) 0
A( B( C( D( f(x)a mm 0
21122解:?(fx)=ax+c(a?0),?(fx)=?(fx)dx=[+cx]=+c(又?(fx)=ax+c(?x=,000000?x?[0,1]?x=( 00
故选D(
14((2011?莆田模拟)若,则a,b,c的大小关系是( )
A( a ,b,c B( a,c,b C(b ,a,c D( c,b,a 解:根据定积分的几何意义,则a,b,c分别表示表示三条曲线与x轴围成的图形的面积,由图可得:a,b,c
故选A(
二(填空题
15((2012?长春一模)设(e为自然对数的底数),则
的值
, 解:?
31e1e?=?f(x)dx+?f(x)dx=(x)|+(lnx)|=+1=, 0101故答案为(
16((2012?安徽模拟)计算= 2 (
333解:因为x|x|+1=(x|x|)+1,其中函数x|x|是奇函数,而积分上限和下限互为相反数,
331根据定积分的几何意义可知?(x|x|)dx表示函数x|x|在x=,1,x=1与x轴围成图形的,1
面积的代数和为0,
311?=?(x|x|)dx+?dx=0+x=0+2=2( ,,11
故答案为:2(
17(若函数f(x)=,f(f(1))=8,则a的值是 2 (
解:由题意可得,f(1)=lg1=0,
233{|}_{0}^{a}3?f(f(1))=f(0)=3tdt=t=t=a,
3?a=8即a=2(
故答案为:2(
18((2011?遂溪县一模)= π (
22解:令y,x+y=4,如图
由定积分的定义知的值等于此圆面第二象限部分的面积 故所求的定积分的值为π
故答案为π
19((2011?安徽模拟)设曲线y=2cos2x与x轴、y轴、直线围成的面积为b,若g(x)
2=2lnx,2bx,kx在[1,+?)上单调递减,则实数k的取值范围是 [0,+?) ( 解:由题意b=2cos2xd=sin2x=sin= x
2?g(x)=2lnx,x,kx
?g′(x)=
2?g(x)=2lnx,2bx,kx在[1,+?)上单调递减,
?g′(x)=,0在[1,+?)上恒成立
即在[1,+?)上恒成立
?在[1,+?)上递减,
?
?k?0
由此知实数k的取值范围是[0,+?)
故答案为:[0,+?)(
220((2012?济南三模)已知函数f(x)=3x+2x+1,若(a,0)成立,则a= (
211解:由?f(x)dx=?(3x+2x+1)dx ,,11321=(x+x+x)|=4=2f(a), ,12得f(a)=3a+2a+1=2,
解得a=,1或(
?a,0(?a=
故答案为:(
221((2013?汕头一模)若曲线与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为a(则正实数a= (
== 解:由积分的几何意义可得,
?a=
故答案为:
22((2010?武清区一模)已知,则(fa)的最大值为 (
12解:=(,)|=,a 0
?当a=时,f(a)取最大值,最大值为
故答案为:
3223((2009?济宁一模)已知函数f(x)=x+ax+bx(a,b?R)的图象如图所示,它与直线y=0在原点处相切,此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为,则a的值为 ,3 (
解:由图知方程f(x)=0有两个相等的实根x=x=0,于是b=0, 12
2?f(x)=x(x+a),有, ?a=?3(
又,a,0?a,0,得a=,3(
故答案为:,3(
24(计算:= π (
解:?y=表示x轴上方的半圆,
?dx=
?=2 dx,sinxdx=2×,(,cosx)
=π,0=π(
故答案为:π
225(由曲线y=x+2与直线y=3x,x=0,x=2所围成平面图形的面积为 1 ( 解:联立曲线与直线得 ,
解得或
2设曲线y=x+2与直线y=3x,x=0,x=2所围成的平面图形的面积为A
2212则A=?[(x+2),3x]dx+?[3x,(x+2)]dx=1 01
故答案为1(
26(= 2, (
解:先计算,表示以(1,0)为圆心,1为半径的圆在x轴上方的半圆的面积
?=
=,=x,=2, 故答案为:2,
27(= (
2解:cosx=
?
?==,
故答案为
三(解答题
28(已知函数;
(1)若不等式f(x)+2x+2,m在[0,2]内有解,求实数m的取值范围;
(2)若函数在区间[0,5]上没有零点,求实数a的取值范围(
解:(1)?==
2?f′(x)=x,4x
2不等式f(x)+2x+2,m可化为m,x,2x+2 ?不等式f(x)+2x+2,m在[0,2]内有解,
2?m,(x,2x+2)(x?[0,2]) min22?x,2x+2=(x,1)+1,
2?当x?[0,2]时,(x,2x+2)=1 min
?m,1,
?实数m的取值范围为(1,+?)
(2)由(1)得,
2?g′(x)=x,4x=x(x,4)
则当x?[0,4]时,g′(x)?0;当x?(4,5]时,g′(x),0
?当x=4时,g(x)的最小值为g(4)=a,11 ?函数g(x)在区间[0,5]上没有零点, ?a,11,0或
?a,11,或a
?实数a的取值范围为(11,+?)?(,?,)(
22229(已知S为直线x=0,y=4,t及y=4,x所围成的面积,S为直线x=2,y=4,t及y=4122,x所围成图形的面积(t为常数)(
(1)若t=时,求S; 2
(2)若t?(0,2),求S+S的最大值( 12
3解:(1)当t=时,S==(x,2x)=(…2
(4分)
(2)t?(0,2),S===,…1
(6分)
S===,…(10分) 2
?S=S+S=, 12
2S′=4t,4t=4t(t,1),令S′=0得t=0(舍去)或t=1,
当0,t,1时,S′,0,S单调递减, 当t,1时,S′,0,S单调递增, ?当t=1时,S=2(…(14分) min
30(如图,过点A(6,4)作曲线的切线l( fxx()48,,
(1)求切线l的方程;
(2)求切线l,x轴及曲线所围成的封闭图形的面积S(
y
A
l yx,,48
S x
O
2111,,fx(),解:(1)?,?,?切线l的方程为:,即( yx,,,4(6)yx,,1f6)(,22248x,
1(2)令=0,则x=2(令=0,则x= -2。 fxx()48,,yx,,12
366661111622?A===( ,,,()(48)xxx,,,(1)48xdxxdx,,,223,22462
范文三:高二定积分试题
高二定积分试题
一:选择题
1. (2012? 湖北)已知二次函数 y=f(x )的图象如图所示,则它与 X 轴所围图形的面积为 ()
从而可知二次函数 y=f(x ) =﹣ x 2+1
∴它与 X 轴所围图形的面积为 =() =(﹣ +1)﹣ (﹣ 1) =
故选 B .
2. (2000? 天津)如图中阴影部分的面积是()
解得交点为(﹣ 3,﹣ 6)和(1, 2)
抛物线 y=3﹣ x 2与 x 轴负半轴交点(﹣ , 0)
设阴影部分面积为 s ,则
=
=
所以阴影部分的面积为 ,
故选 C .
解:联立方程 得到两曲线的交点(4, 2) ,
因此曲线
y=,直线 y=x﹣ 2及 y 轴所围成的图形的面积为
S=.
故选 C .
4. (2013? 永州一模) cos2xdx=( )
解:
cos2xdx
=sin2x =(sin ﹣ sin0)
=.
故选 A .
5. (2013? 汕头二模) 如图所示, 图中曲线方程为 y=x2
﹣ 1, 用定积分表达围成封闭图形 (阴 影部分)的面积是( )
S==
.
故选 C .
6. (2013? 济南一模) 设 a=dx , b=dx , c=dx , 则下列关系式成立的是 ( )
解:∵
,∴
=ln2,
=ln3, c=
=ln5.
∵ , , ,∴ ,∴ ,∴ ,
∴ ;
∵ , , , ∴ , ∴ , ∴ .
∴ .
故选 C .
7. (2013? 长春一模)设
, , ,则 a 、 b 、 c 的
解:∵
==,
=1﹣
=,
=
=,
又
,
∴ c
8. (
2010? 湖南模拟)如图所示,曲线 y=x2
和曲线
y=围成一个叶形图(阴影部分) ,其
面积是( )
解:联立得 ,
解得 或 ,
设曲线与直线围成的面积为 S , 则 S=∫ 01
(﹣ x 2
) dx=
故选:C
9.用 max{a, b}表示 a , b
两个数中的最大数,设 ,
那么由函数 y=f(x ) 的图象、 x 轴、 直线 和直线 x=2所围成的封闭图形的面积是 ( )
解:由题设知:,
∴ ,
故选 A
10.抛物线 y=x2
在 A (1, 1)处的切线与 y 轴及该抛物线所围成的图形面积为( )
∴抛物线 y=x2
在 A (1, 1)处的切线的斜率为 2
∴切线为 y=2x﹣ 1,由定积分的几何意义得,所求图形的面积为
故选 A .
2
由
?
或
得到积分上限为 2,积分下限为 0
曲线 y=4x和 y=3x2
﹣ 2x 所围成图形的面积
S=∫ 02(4x ﹣ 3x 2
+2x) dx =∫ 02(6x ﹣ 3x 2
) dx
=( 3x 2﹣ x 3) |02
=3×4﹣ 8=4 ∴曲边梯形的面积是 4
12. (2012? 郑州二模)如图曲线 y=x2
和直线 x=0, x=1, y=所围成的图形(阴影部分)的 面积为( )
解:由于曲线 y=x2
(x >0)与 y=的交点为(
) ,
而曲线 y=x2
和直线 x=0, x=1, y=所围成的图形(阴影部分)的面积为
S=
,
所以围成的图形的面积为 S=
==
.
故答案选 D .
13. (2012? 江西模拟) 设函数 f (x ) =ax2
+c(a ≠ 0) , 若 ,
解:∵ f (x ) =ax2
+c(a ≠ 0) , ∴ f (x 0) =∫ 01
f (x ) dx=[+cx]01
=+c. 又∵ f (x 0) =ax02
+c. ∴ x 02
=,
∵ x 0∈ [0, 1]∴ x 0=.
故选 D .
14. (2011? 莆田模拟)若
,则 a , b , c
由图可得:a <>
二.填空题
15. (2012? 长 春 一 模 )
设 (e 为 自 然 对 数 的 底 数 ) ,
则 的值
解:∵ ,
∴ =∫ 01f (x ) dx+∫ 1e f (x ) dx=(x 3) |01+(lnx ) |1e =+1=,
故答案为 .
16. (2012? 安徽模拟)计算 =.
解:因为 x 3|x|+1=(x 3|x|) +1,其中函数 x 3|x|是奇函数,而积分上限和下限互为相反数, 根据定积分的几何意义可知 ∫ ﹣ 11(x 3|x|) dx 表示函数 x 3|x|在 x=﹣ 1, x=1与 x 轴围成图形的 面积的代数和为 0,
∴ =∫ ﹣ 11(x 3|x|) dx+∫ ﹣ 11dx=0+x=0+2=2.
故答案为:2.
17.若函数 f (x ) =, f (f (1) ) =8,则 a 的值是 .
解:由题意可得, f (1) =lg1=0,
∴ f (f (1) ) =f(0) =3t 2dt=t3=t3{|}_{0}^{a}=a3,
∴ a 3=8即 a=2.
故答案为:2.
18. (2011? 遂溪县一模) =.
解:令 y , x 2+y2=4,如图
由定积分的定义知 的值等于此圆面第二象限部分的面积
故所求的定积分的值为 π
故答案为 π
19. (2011? 安徽模拟)设曲线 y=2cos2x与 x 轴、 y 轴、直线 围成的面积为 b ,若 g (x ) =2lnx﹣ 2bx 2﹣ kx 在 [1, +∞ )上单调递减,则实数 k 的取值范围是 [0, +∞ ) .
解:由题意 b=2cos2xd x =sin2x=sin=
∴ g (x ) =2lnx﹣ x 2﹣ kx
∴ g ′(x ) =
∵ g (x ) =2lnx﹣ 2bx 2﹣ kx 在 [1, +∞ )上单调递减,
∴ g ′(x ) =<0在 [1,="" +∞="">0在>
即 在 [1, +∞ )上恒成立
∵ 在 [1, +∞ )上递减,
∴
∴ k ≥ 0
由此知实数 k 的取值范围是 [0, +∞ )
故答案为:[0, +∞ ) .
20. (2012? 济南三模)已知函数 f (x ) =3x2+2x+1,若 (a >0)
成立,则 a=
.
解:由 ∫ ﹣ 11f (x ) dx=∫ ﹣ 11(3x 2+2x+1) dx =(x 3+x2+x) |﹣ 11=4=2f(a ) ,
得 f (a ) =3a2+2a+1=2,
解得 a=﹣ 1或 .
∵ a >0.∴ a=
故答案为:.
21. (2013? 汕头一模)若曲线 与直线 x=a, y=0所围成封闭图形的面积为 a 2.则正实
数 a=
.
解:由积分的几何意义可得,
==
∴ a=故答案为:
22. (2010? 武清区一模) 已知 , 则 f (a ) 的最大值为
.
解:=(﹣ ) |01=﹣ a 2
∴当 a=时, f (a )取最大值,最大值为
故答案为:
23. (2009? 济宁一模)已知函数 f (x ) =x3+ax2+bx(a , b ∈ R )的图象如图所示,它与直线 y=0在原点处相切, 此切线与函数图象所围区域 (图中阴影部分) 的面积为 , 则 a 的值为 ﹣ 3.
解:由图知方程 f (x ) =0有两个相等的实根 x 1=x2=0,于是 b=0,
∴ f (x ) =x2(x+a) ,有 ,
∴ a=±3.
又﹣ a >0? a <0,得 a="﹣">0,得>
故答案为:﹣ 3.
24.计算:=.
解:∵
y=表示 x 轴上方的半圆,
∴ dx=
∴
=2 dx ﹣ sinxdx=2×﹣(﹣ cosx
) =π﹣ 0=π.
故答案为:π
25.由曲线 y=x2+2与直线 y=3x, x=0, x=2所围成平面图形的面积为 .
解:联立曲线与直线得
,
解得 或
设曲线 y=x2+2与直线 y=3x, x=0, x=2所围成的平面图形的面积为 A
则 A=∫ 01[(x 2+2)﹣ 3x ]dx+∫ 12[3x﹣(x 2+2) ]dx=1
故答案为 1.
26
. =
解:先计算 ,表示以(1, 0)为圆心, 1为半径的圆在 x 轴上方的 半圆的面积
∴ =
=﹣ =x﹣ =2﹣ 故答案为:2﹣
27. =
解:cos 2x=
∵
∴ ==,
故答案为
三.解答题
28.已知函数 ;
(1)若不等式 f (x ) +2x+2
(2)若函数 在区间 [0, 5]上没有零点,求实数 a 的取值范围. 解:(1)∵ ==
∴ f ′(x ) =x2﹣ 4x
不等式 f (x ) +2x+2 ∵不等式 f (x ) +2x+2 ∴ m >(x 2﹣ 2x+2) min (x ∈ [0, 2]) ∵ x 2﹣ 2x+2=(x ﹣ 1) 2+1, ∴当 x ∈ [0, 2]时, (x 2﹣ 2x+2) min =1 ∴ m >1, ∴实数 m 的取值范围为(1, +∞ ) (2)由(1)得 , ∴ g ′(x ) =x2﹣ 4x=x(x ﹣ 4) 则当 x ∈ [0, 4]时, g ′(x ) ≤ 0;当 x ∈ (4, 5]时, g ′(x )>0 ∴当 x=4时, g (x )的最小值为 g (4) =a﹣ 11 ∵函数 g (x )在区间 [0, 5]上没有零点, ∴ a ﹣ 11>0或 ∴ a >11,或 a ∴实数 a 的取值范围为(11, +∞ )∪(﹣ ∞ , ) . 29.已知 S 1为直线 x=0, y=4﹣ t 2及 y=4﹣ x 2所围成的面积, S 2为直线 x=2, y=4﹣ t 2及 y=4﹣ x 2所围成图形的面积(t 为常数) . (1)若 t=时,求 S 2; (2)若 t ∈ (0, 2) ,求 S 1+S2的最大值. 解:(1)当 t=时, S 2==(x 3﹣ 2x ) =. … (4分) (2) t ∈ (0, 2) , S 1===, … (6分) S 2===, … (10分) ∴ S=S1+S2= , S ′ =4t2﹣ 4t=4t(t ﹣ 1) ,令 S ′ =0得 t=0(舍去)或 t=1, 当 0 当 t >1时, S ′>0, S 单调递增, ∴当 t=1时, S min =2. … (14分) 30. 如图,过点 A (6, 4) 作曲线 () f x =l . (1)求切线 l 的方程; (2)求切线 l , x 轴及曲线所围成的封闭图形的面积 S . 解:(1) ∵ () f x '=, ∴ 1(6) 2f '= , ∴切线 l 的方程为:14(6) 2y x -=-, 即 112y x =+. (2 )令 () f x =,则 x =2.令 112y x =+=0,则 x = -2。 ∴ A =6 221(1) 2x dx -+-??=3226611() (48) 2246x x x +---=163. 不定积分的运算法则,包含如下两个性质(注意性质适用条件): 1、设函数f(x)的原函数存在(即f(x)可积,下同),k是常数,则: (1) (k?0) (2) (k=0) 2、设f(x),g(x)两个函数存在原函数,则: 3、常见积分几种运算法 换元积分法: ?设f(u)具有原函数F(u) ,如果u是中间变量:u= (x),且 (x)可微,那么,根据复合函数微分法,有 dF=[ (x)]=f[ (x)] '(x)dx,从而根据不定积分的定义就得: 若要求 ,若 可化为 的形式,那么: 这种方法称为第一类换元法。 ?利用第二类换元法化简不定积分的关键仍然是选择适当的变换公式 x = φ(t)。此方法主要是求无理函数(带有根号的函数)的不定积分。由于含有根式的积分比较困难,因此我们设法作代换消去根式,使之变成容易计算的积分。 下面简单介绍第二类换元法中常用的方法: (1)根式代换:被积函数中带有根式 ,可直接令 t = (2)三角代换:利用三角函数代换,变根式积分为有理函数积分,有三种类型: 被积函数含根式 ,令 被积函数含根式 ,令 ;被积函数含根式 ,令 。 注:记住三角形示意图可为变量还原提供方便。 (3)倒代换(即令 ):设m,n 分别为被积函数的分子、分母关于x 的最高次数,当 n-m>1时,用倒代换可望成功 (4)指数代换:适用于被积函数由指数 所构成的代数式; (5)万能代换(半角代换):被积函数是三角函数有理式,可令 ,则: 分部积分法: 设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数,则其乘积的导数为: ,移项得: 对两边求不定积分,得: 也可写为: 如果求 有困难,而求 比较容易时,分部积分公式就可以发挥作用了。 一、教学目标: 1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理,并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念:函数f (x ) 在区间[a ,b ]上的定积分表示为:2. 定积分的几何意义: (1)当函数f (x )在区间[a,b]上恒为正时,定积分与x=a,x=b及x 轴围成的曲边梯形面积,在一般情形下. ? b a f (x ) dx ? a b a f (x ) dx 的几何意义是:y=f(x ) ? b f (x ) dx 的几何意义是介于x 轴、 函数f (x )的图象、以及直线x=a,x=b之间的各部分的面积代数和,在x 轴上方的面积取正号,x 轴下方的面积取负号. 在图(1)中:f (x ) dx =s >0,在图(2)中:f (x ) dx =s <0,在图(3)中:f (x="" )="">0,在图(3)中:f> a a a ? b ? b ? b 表示函数y=f(x )图象及直线x=a,x=b、x 轴围成的面积的代数和. 注:函数y=f(x )图象与x 轴及直线x=a,x=b围成的面积不一定等于当在区间[a,b]上f (x )恒正时,其面积才等于 ? b a f (x ) dx ,仅 ? b a f (x ) dx . 3. 定积分的性质,(设函数f (x ),g (x )在区间[a ,b ]上可积) (1)(2)(3) ?? b a b [f (x ) ±g (x )]dx =?f (x ) dx ±?g (x ) dx a a b b a b (k 为常数) kf (x ) dx =k ?f (x ) dx , a b ? a f (x ) dx =?f (x ) dx +?f (x ) dx a c c b (4)若在区间[a ,b ]上,f (x ) ≥0, 则 ? b a f (x ) dx ≥0 推论:(1)若在区间[a ,b ]上,f (x ) ≤g (x ), 则(2)| ? b a f (x ) dx ≤?g (x ) dx a b ? b a f (x ) dx |≤?|f (x ) |dx a b (3)若(f x )是偶函数,则4. 微积分基本定理: ? a -a 若(f x )是奇函数,则?f (x ) dx =0 f (x ) dx =2?f (x ) dx , -a b a a 一般地,若F ' (x ) =f (x ), 且f (x ) 在[a , b ]上可积,则 ' ? a f (x ) dx =F (b ) -F (a ) 注:(1)若F (x ) =f (x ) 则F (x )叫函数f (x )在区间[a ,b ]上的一个原函数,根据导数定义知:F (x )+C也是f (x )的原函数,求定积分 ? b a f (x ) dx 的关键是求f (x )的 原函数,可以利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求F (x ). (2)求导运算与求原函数的运算互为逆运算. 【典型例题】 知识点一:定积分的几何意义 例1.根据 ? 2π sin xdx =0推断:求直线x=0,x=2π,y=0和正弦曲线y=sinx所围成 的曲边梯形面积下列结论正确的是( ) A .面积为0 B .曲边梯形在x 轴上方的面积大于在x 轴下方的面积 C .曲边梯形在x 轴上方的面积小于在x 轴下方的面积 D .曲边梯形在x 轴上方的面积等于在x 轴下方的面积 题意分析:本题考查定积分的几何意义,注意围成的面积的区别. 思路分析:作出函数y=sinx在区间[0,2π]内的图象及积分的几何意义及函数的对称性可判断. 解:对于(A ):由于直线x=0,x=2π,y=0和正弦曲线y=sinx所围成的曲边梯形面积为正可判断A 错. 对于(B ),(C )根据y=sinx在[0,2π]内关于(π, 0) 对称知两个答案都是错误的. 根据函数y=sinx的图象及定积分的几何意义可知:答案(D )是正确的. 解题后的思考:本题主要考查定积分的几何意义,体现了数与形结合的思想的应用,易错点是混淆函数y=sinx与x 轴、直线x=0,x=2π围成的面积等于 2π ? 2π sin x dx 与y=sinx及直线x=a,x=b和x 轴 ? f (x ) dx . 例2.利用定积分的几何意义,说明下列等式的合理性 (1)(2) 1 ?2xdx =1 ? 1 -x 2dx = π 4 . 2 题意分析:本题主要考查定积分的几何意义:在区间[0,1]上函数y=2x,及y=-x 恒 解题后的思考:本题主要考查利用定积分的几何意义来验证函数y=2x及函数y=-x 在区间[0,1]上的定积分的值,体现了数与形结合的思想的应用,易错点是画函数图象的不准确造成错误的结果. 例3.利用定积分的几何意义求 2 ?(|x -1|+|x -3|)dx 的值. 4 题意分析:本题考查定积分的几何意义, ?(|x -1|+|x -3|)dx 的值是函数 4 y =|x -1|+|x -3|的图象与直线x=0,x=4所围成图形的面积. 思路分析:首先把区间[0,4]分割为[0,1],[1,3],[3,4],在每个区间上讨论x -1,x -3的符号,把函数y =|x -1|+|x -3|化为分段函数,再根据定积分的几何意义求 4 ?(|x -1|+|x -3|)dx 的值. -2x +4, (x ∈[0, 1] 15117A . B . C .ln 2 D .2ln2 424 题意分析:本题表面上考查定积分的几何意义,实质是考查定积分的基本运算,关键是理解所求图形面积是定积分 2 1 2 1 的值. x 1x 21112' 解: (lnx ) =,∴1=ln x |1=ln 2-ln =2ln 2. 2x 2x 2 故选(D ) 思路分析:利用导数求出的原函数是ln x . 再利用微积分的基本定理求. 解题后的思考:求定积分的值关键是求被积函数的原函数,可利用导数求被积函数的原函数,易错的地方是:求被积函数的原函数有误. 算法则的应用. 例3.求下列定积分的值 π (1) ? 2 sin 2 x dx 2 (2) π π3 cos(x - π 6 ) dx 题意分析:本题仍是定积分的运算,被积函数不是我们学过的基本初等函数,要把被积函数转化为基本的初等函数. 思路分析:利用三角函数的降幂公式把被积函数化为:sin 差角公式把被积函数化为:cos(x -2 x 1 =(1-cos x ) ,利用余弦的22 π ) = 1 cos x +sin x ,再利用定积分的运算法则及A .一定是正的 k a B .一定是负的 D .以上都不对 C .当0 ? (2x -3x 2) dx =0, 则k=( ) 3π A .0 B .1 C .0或1 D .以上都不对 3.与定积分? -cos x dx 相等的是( ) x A .2?sin dx 023πx C .2|?sin dx | 02 3π B .2 ? 3π x |sin |dx 2 D .以上都不对. π 4. ? 20 (3x +sin x ) dx =( ) 333A .π2+1 B.π 2+1 C .π2-1 D.π2-1 3 【试题答案】 一、选择题 1.(A )解析:由定积分的几何意义可知:选(A ) 2.(C )解析: k ? k (2x -3x 2) dx =0?? k k k 2xdx -?3x 2dx =x 2|0-x 3|0 , =k 2-k 3=0?k =0或k =1 1π12 所以?-(x -1) -x ) dx =-. 042范文四:积分运算法则
范文五:高二定积分的计算(理科)