范文一：5-7已知某理想气体分子的方均根速率为。当其压强为1atm

,15-7已知某理想气体分子的方均根速率为。当其压强为1atm时，气体的密度400ms,为多大,

51331.01310p，，2,3,,,p,,,,1.9.kgm解: 所以气体的密度为: 223400,

05-8容器中贮有氧气，其压强P=1atm，温度。试求: tC,27

,(1)单位体积内的分子数; (2)氧分子质量; (3)氧气密度; m

(4)分子的方均根速率; (5)分子的平均平动动能。

解: (1) 单位体积的分子数 ？pnkt,,

55p11.013101.01310，，，,253 nm,,,,，2.4510,,2323KT1.3810(27273)41410，，，，

32,,2326,,，,，mggkg5.31105.3110(2)氧分子的质量 23，6.0210

1133RT222,,,,(3),,,, ppmKT,,k322,

53,3311.013103210ppp,，，，，33？,,,,,pkgmkgm/1.30/ 23RTRT8.31(27273)，，,

,

1333KTRT22(4) ,,,？,,mKT22m,

338.31(27273)RT，，，22 分子的方均根速率,？,,,，4.8310/ms,3,3210，

33,,2321,,,，，，，,，KTJJ1.3810(27273)6.2110(5)分子的平均平动动能 k22

85-9某些恒星的温度可达到约，这也是发生聚变反应(也称热核反应)所需1.010，k

的温度。在此温度下，恒星可视为由质子组成的。问:(1)质子的平均动能是多少,(2)

质子的方均根速率为多大,

解:将组成恒星的大量质子视为理想气体，质子可作为质点，其自由度 i =3，因此，

质子的平均动能就等于平均平动动能

,152 (1)质子的平均动能为 ,,,，2.0710JmkT,232,k

2 (2)由平均平动动能与温度的关系，得质子的方均根速率为mkT,232,

3kT261,,,,，1.5810.ms m

0-10 求温度为时的氢气分子和氧气分子的平均速率、方均根速率及最概然速5127C

率。

,,31TK,400解:氢气的摩尔质量，气体温度， 则有 Mkgmol,，210H2

8RT31,,,,， 2.0610msM,H2

3RT231,,,,， 2.2310msMH2

2RT31,,,,，1.8210ms pMH2

,,21Mokgmol,，3.210, 氧气的摩尔质量为 则有 2

8RT21, ,,,，5.1610msMo,2

3RT221, ,,,，5.5810msMo2

2RT21, ,,,，4.5510mspMo2

,3325-11 在容积为的容器中，有内能为J的刚性双原子分子理想2.010，m6.7510，

22气体。求:(1)气体的压强;(2)若容器中分子总数为个，则分子的平均平动动5.410，

能及气体的温度为多少,

MiMERT,,pVRT 解:(1)对刚性双原子分子而言，i=5,由和可得气体压强,2,

5pEiVPa,,，2/1.3510

2nNV,/TpnkpVNkK,,,，//()3.6210(2)分子数密度，则该气体的温度

,21气体分子的平均动动能为: ,,,，3/27.4910kTJk

5-12 有N个质量均为m的同种气体分子，它们的速率分布如图所示。

(1)说明曲线与横坐标所包围面积的含义; (2)由N和 求a值; ,0

(3)求在速率/2到3/2间隔内的分子数; ,,00

(4)求分子的平均平动能。

解: (1)因为，所以分子所允许fdNNd()/,,,

,2,的速率在0到的范围内，由的归一化条件可知图中曲线下的面积f(),fd()1,,,0,02,0 即曲线下面积表示系统分子总数N 。 SNfdN,,(),,,0

,Nfa()/,,,,,2,(2)从图中可知，在0 到区间内;而在到区间，Nfa(),,0000

,,2a,00aN,2/3,则利用归一化条件有 得 ,，Ndad,,0,,0,0,0

,/23/2,(3)速率在到间隔内的分子数为 00

,,3/2a,00 ,,，,NdadN7/12,,,,/2,,00,0

(4)分子速率平方的平均值按定义为

,,222 ,,,,,,,dNNfd/(),,00

故分子的平均平动动能为

,,2,,1131aa002322 ,,,,,,,mmddm,,，,k,,0,,0,02236NN,0,,

5-15 设有N个粒子，其速率分布函数为

a,,,,,, 0 0,,0,,a f()=2a-,,,,,,, 2,00,0,,0 2,,,0,,

,(1)作出速率分布曲线; (2)由N和 求a; (3)求最可几速率; ,p0(4)求N个粒子的平均速率; (5)求速率介于0— /2之间的粒子数; ,0

(6)求/2— 区间内分子的平均速率。 ,,00

解:(1)速率分布曲线如图所示:

(2)根据归一化条件

aa,,,,0 ()1(2)01,,，,得fdadd,,,,,02o,,,,o,,oo

a112即 ,，,,,a1oo22,o

1 ？,a,o

,,,(3)根据最可几速率的定义，由速率分布曲线得 po

,,dN0,,(4) ,,()fd,,,,o,N

aa,,22oo ,，,,,,,,(2)dado,,,o,,oo

a142322 ,,，,,,,a()ooo333,o

122 ,,，,a,,,ooo,o

0—?/2,(5)在速率 之间的粒子数 o

,aaN11111,,/2/22ooo,,,,,，，，,NfNdNdaNNN()(),,,,,,oooo,,22888,,,ooo

,,/2—(6)区间内分子总数为: oo

aaN113，，,,'22oo,,,,,, NfNdNdN,,,,,,()()o/2/20,,,,oo,,228,,，，oo？,,/2—区间内分子的平均速率为: oo

,,oo,,,,dNfNd,()/28a,,,,/2oo,o,,,,d ,,,,,',/2o33N,oN8

81187aa，，333 ,,,,,,,,,,()ooo,,332338,,，，oo

771722 ,,,,,,,,,a0.778oooo999,o

05-18 温度为时，1mol氦气、氢气和氧气各有多少内能,1g的这些气体各有多少27C

内能,

i33,,，，，，,，,ERTJJ18.31(27273)3.7410 解: 1mol氦气的内能 He22

i53,,，，，，,，,ERTJJ18.31(27273)6.23101mol氢气的内能 H222

i53,,，，，，,，,ERTJJ18.31(27273)6.23101mol氧气的内能 O222

132EJJ,，，，，,，8.31(27273)9.35101g氦气的内能 He42

152EJJ,，，，，,，8.31(27273)3.12101g氢气的内能 H222

152EJJ,，，，，,，8.31(27273)1.95101g氧气的内能 O2322

45-19 摩尔质量为89g/mol的氨基酸分子和摩尔质量为5.0 g/mol的蛋白质分子，10

0在的活细胞内的方均根速率各是多少, 37C

RT,,1.73解: rmsM

8.31(37273)，，2,ms,,，1.732.910/?氨基酸分子的方均根速率为: rms,38910，

8.31(37273)，，,ms,,1.7312/蛋白质分子的方均根速率为: rms43,5.01010，，

,2,35-20 真空管的线度为m，其中真空度为，设空气分子的有效直径为101.3310，Pa

-1003，m ，求时单位体积内的空气分子数、平均自由程和平均碰撞频率。 1027C

解: pKT,,

,3p1.3310，173,,,,,，3.2110m?单位体积内空气分子数 ,23KT1.3810(27273)，，，

,23KT1.3810(27273)，，，平均自由程: ,,,,7.79m23102,,221.3310(310)pd，，，，,

,2真空管的温度m，故真空管中分子间很难发生碰撞。 ,,,7.79m10

RT8.31(27273)，，,2平均碰撞频率 zms,,,,，，1.601.604.6910/ ,,3m2910，,

2,4.6910，,1 ？,,,,zs60.27.79,

05-21 自行车轮直径为71.12cm，内胎截面直径为3cm。在的空气里向空胎里打气。,3C

cm，截面半径为1.5cm。打了20下，气打足了，问此时胎内压强是多少,设车打气筒长30

0胎内最后气体温度为。 7C

,解: 设向自行车内胎所打的空气的摩尔数为

pV11由 得 ,,PVRT,,RT1

,,2223patmVmTk,,，，，，，,,，,1，203010(1.510),，3273270其中， 111

3,,2223,，，，，，,,Vm71.1210(10)气打足后，胎内空气的体积 22

,RT2Tk,，,7273280p温度 ，压强为 ，由得 ,PVRT,,p222V2

pV11,RT2522,,12TpVT1.01310203010(1.510)280，，，，，，，，,1112p？,,, 23VVT,,22221，，，，，，71.1210(10)270,,2,5,，,2.84102.8patm a

045-22 某柴油机的气缸充满空气，压缩前其中空气的温度为，压强为47C8.6110，Pa

6Pa。当活塞急剧上升时，可把空气压缩到原体积的1/17，其时压强增大到Pa，4.2510，Pa

0求这时空气的温度(分别以K和C表示)

PVPV1122解: 设压缩前空气的体积为 V，根据,得 TT12

164.2510，，V48.6110，，V17 ,47273，T2

？,Tk929 2

00tCC,,,(929273)?656

范文二：以太微子固有质量和方均根速率的计算

以太微子固有质量和方均根速率的计算

以太微子固有质量和方均根速率的计算 2011年04月05日

以太微子固有质量和方均根速率的计算

刘明成

(河北师范大学物理科学和信息工程学院，石家庄050016)

摘要:应用热力学和统计物理的概念，从带Λ项的引力埸方程求得了理想流体以太所属的六个基本参量.通过计算宇宙背景引力势函数,说明了本静态宇宙的稳定性问题和宇宙学红移之来源.结论是没有以太就没有万有引力.

关键词:以太,相对论,超光速,负压强,负密度

1 爱因斯坦不该丢开以太

迈克尔逊莫雷实验的零结果即可以用狭义相对论来解释也可以用以太论来解释.企图用光速不变来否定以太的存在，那是徒劳无功的. 1905年，爱

创建狭义相对论时，并未涉及以太的有无问题. 因斯坦

1920年爱因斯坦在《以太和相对论》的报告中说:“依照广义相对论，一个没有以太的空间是不可思义的，因为在这样一种空间里，不但光不能传播，而且量杆和时钟也不可能存在，因此也就没有物理意义上的时间空间间隔.”那时大多数科学家一直深信以太的存在，而对相对论还有些疑虑.所以他们虽然把1921年诺贝尔物理学奖颁给了爱因斯坦，但颁奖的主要依据却不是他创建了相对论.二十年代，爱因斯坦还写了好几篇关于以太的文章.到1929年，哈勃发现了与距离有关的所谓宇宙学红移后，爱因斯坦才在宇宙膨胀的诱惑和压力下，放弃了引力场方程中的项，并自称引入项(1917)是他一生中最大的错误.实际上，放弃项就等于放弃以太存在.1937年他便默认了英弗尔德在他们合著的《物理学的进化》一书中所作的结论:“我们力图发现以太的性质，但一切努

力都引起困难和矛盾.经过这么多的失败以后，现在是应该完全丢开以太的时候了，以后再也不要提起它的名字了.”这以后，以太不存在被写在教科书里，把历史误为物理学，贻害无穷.

然而，从今天的眼光看，倒是可以说，所有相对论效应都是以太存在的结果.若是真的没有以太，就不会有所谓的相对论效应.相对论效应，应称为以太效应.没有以太就不会有宏观物体的速度极限，不会有光波，连万有引力也不会存在.

2 以太所属六个基本参量的计算

经过多年对以太和相对论的研究和思考，到现在应该清楚了，上个世纪二十年代的科学家，主要是爱因斯坦，如果在相对论的基础上坚定不移的相信以太存在，那么以太所属的前四个基本参量(固有密度，有效密度，固有压强和以太微子的方均根速率)在二十年代就应该计算出来(以太另外两个参量

(以太微子固有质量和空间数密度)最晚1965年也应该计算出来(

现在我们就介绍一下计算过程(这里用得着一句中国古语:“踏破铁鞋无觅处，得来全不费工夫(”

在计算爱因斯坦宇宙度规时，情况是三个未知数 而两个独立方程[1](爱因斯坦仅用一个静态假设，就求出了最关键的未知数，宇宙学常数，

, (1)

其中K=8πG/c4. 为爱因斯坦宇宙中亚光速物质平均密度，由于假定宇宙是静态的，所以这个平均值就是固有值，是一个可观测的量.

由带项的引力场方程导出的经典力学泊松方程在爱因斯坦宇宙为， , (2) 为宇宙背景引力势函数，将值代入这个，(2)立即变成拉普拉方程方程

斯方程( . (3)

而在德西特宇宙中，方程(2)变成负密度的泊松方程， . (4)

这就说明德西特宇宙并不是空虚的，而是充满以太的宇宙，并且以太的有效密度是负的，与爱因斯坦宇宙正密度相等.爱因斯坦宇宙浸在德西特宇宙之中，这两个静态宇宙合二而一，才是我们的真实的宇宙.这样我们首先知道了以太的有效密度(相对论性密度)， . (5)

再从场方程时间分量方程可以看出，以太固有密度为, . (6)

从坐标分量方程看出以太固有压强为 , (7)

且压强在方程里，相对于亚光速粒子产生的压强为负.

再用相对论密度变换公式或相对论性压强公式，便可以求出以太微子之方均根速率为， , (8)

其中c为光波在以太中传播速度，以太微子是超光速粒子.

此时因为以太的温度尚没人知道，因而，以太微子之固有质量仍不能求出.1965年两位年轻人彭齐亚斯和威尔逊测出宇宙背景温度，即以太温度为.这样，利用以太状态方程便可求出以太微子固有质量， , (9)

其中k为玻尔兹曼常数，T为绝对温度.求出后，便可以求出数密度， . (10)

我们把这六个量归在一起.在取1×10-27千克每立方米,,,，T 取的假定下，求得这六个量的具体数值，我们把它们归到一起:

我们在相对论框架下，应用经典力学和分子物理的一些概念，求得以太所属的六个基本参量，这应该说明以太是真实存在的.相对论是一种成功的宇宙学的数学理论，也说明以太存在和相对论并不矛盾，研究以太并不是作反对相对论的工作.从计算中我们可以看到，爱因斯坦放弃项，就相当于令等于零，那么这六个量还从何算起～，就没有以太了，也就没有稳定的宇宙了.想起来真是太可怕了.所以说，他一生中最大的错误不是引入项而是放弃项.但爱因斯坦的错误并没有造成严重的后果，因为许多宇宙学家并不同意放弃项，因而项被保存在描写宇宙膨胀的弗里德曼方程里，这样在弗里德曼方程的众多解中，也

就包含这个静态的爱因斯坦宇宙，它是作为膨胀宇宙的特定阶段来理解的，在文献[5]中被称为爱因斯坦-爱丁顿宇宙.

3 宇宙背景引力势函数的计算

爱因斯坦宇宙有两个缺点.一是它不能解释宇宙学红移，二是它的不稳定.前边我们说过，爱因斯坦宇宙和德西特宇宙合二而一，才是我们真实的宇宙，我们称这个宇宙为爱德宇宙.我们再把爱德宇宙一分为二，即分为内区和外区.亚光速物质全部集中在内区，外区只有以太(超光速物质).在内区和外区的边界附近，可能有极少的天体.这样的爱德宇宙，相当稳定,并能够解释和距离有关的宇宙学红移.为了说明这两个问题，我们必须把宇宙背景引力势函数计算出来.

这个函数在两区的边界上应该是连续的，但左右微商不等.并且这个势

函数只能持续到德西特区的外边界，并在那里取为零点.于是算得这个函数为,

这个图横轴以Re为单位()，纵轴以c2为单位因而突显了二次曲线的形状.从这个图上可见，处于内区的发光天体，只能产生多普勒频移和引力红移.而处于外区的天体才能产生所谓的宇宙学红移即与距离有关的红移.我们观测到的外区天体的红移有三种产生机制，即多普勒红移(速度效应)，引力红移(质量效应)和宇宙学红移(距离效应).因而单从一个观测值并不能区分每种红移所占的比例，只有宇宙学红移和距离有关，但并不是线性关系.按理说外区是没有发光天体的，但在静态爱因斯坦宇宙形成之初，两区边界外侧可能存有少量天体，它们在以太斥力作用下向外运动,现在运动到哪里，速度有多大，天体质量如何，天体半径多大都不清楚.因此三种红移各占多少,现在也无法估计.但是,按理论计算，单是距离红移一项,从r=Re到r=Rd，红移可以连续从零变到无穷大(压强可以连续从P0变到零，温度T可以连续从3变到零).所以观测到多么大的红移都不奇怪.红移大，并不表示宇宙膨胀，只表示此发光天体处于德区内靠近外边界的位置，它可能要湮灭了.

再说稳定性问题.德区外边没有以太，那里才是真空，光波和电磁波都不能传播,所以更远处是否还有别的宇宙，我们不得而知，但即使有别的宇宙存在，它们也不能对本宇宙有任何影响.所以没有外因能破坏本宇宙的稳定性.宇宙的不稳定因素只能从本宇宙内部寻找.按熵增加原理，本宇宙不可能再收缩了，

但还有膨胀的内因存在，例如宏观天体(亚光速物质)内部发生巨大的普遍的核反应，造成严重的质量亏损，引起宇宙亚光速物质密度下降，宇宙就可能要膨胀了.如果核反应的规模不大，不足以对产生大的影响，其膨胀的速度可能是很慢的，甚致不膨胀.

总之，如果以太存在，许多问题都可以解决.从图上看，光速不变原理是自然结果.物体的静能，E0=m0c2，是位能,也是自然结果.热力学绝对零度达不到原理，也是自然结果.量子力学中，粒子波粒两相性，能量的量子性，都可得到自然的理解.爱因斯坦宇宙的固有压强为负值，是因为位能零点取在最高处了.

我曾认为以太微子是中微子.如果真是中微子，那就连太阳中微子失踪之迷都可以解答了.

最后，宇宙长期稳定是非常重要的事，因为没有宇宙的长期稳定就不

宇宙学的出现是人类文明的重要标会有人类出现，而没有人类就不会有宇宙学.

志之一，宇宙学是宇宙的自我认识，宇宙学家是宇宙之子.

范文三：8.5气体分子运动论和热力学基础之平均速率和方均根速率

*{范例8.5} 平均速率和方均根速率

以最概然速率为速率单位，麦克斯韦速率分布函数的形式是 什么？速率分布函数曲线有什么特点？求所有分子的平均速 率和方均根速率。分子速率在区间0~v的分子数占总分子数 的比例的公式是什么？分子速率小于最概然速率、平均速率 和方均根速率的分子数占分子总数的比例为多少？

vp = 2kT / m [解析]利用公式 4 1 2 设x = v/vp，麦克斯韦速 = f (v ) x exp(? x 2 ) 率分布函数可表示为 π vp 这是无量纲的速率分布函数，归一化系数为 4/π vp

在v~ v + dv区间内的分子数为dN，总速率为vdN = N0vf(v)dv， 速率从0到∞积分可得全部分子的速率之和。 这个和除以总分子数N0就 v = 是所有分子的平均速率

v 用分部积分法可得 =

∞

vf (v)dv ∫=

0

4 vp ∫ x 3 exp(? x 2 )dx π 0

∞

2 = vp π

8kT . πm

*{范例8.5} 平均速率和方均根速率

以最概然速率为速率单位，麦克斯韦速率分布函数的形式是 什么？速率分布函数曲线有什么特点？求所有分子的平均速 率和方均根速率。分子速率在区间0~v的分子数占总分子数的 比例的公式是什么？分子速率小于最概然速率、平均速率和 方均根速率的分子数占分子总数的比例为多少？ 利用Γ函数可简化计算。 Γ函数的定义为

Γ( n) = ∫ x n ?1 e ? x dx

0 ∞

当n为整数时，通过分部积分可直接证明Γ(n) = (n – 1)!。 利用变量替换， ∞ n ?1 1 n 当n = 4时，可 x exp(? x 2Γ( x = )d ) ∫ 容易证明 2 2 0 得平均速率 ∞ 4 v vp ∫ x 3 exp(? x 2 )dx= 4 vp 1 × Γ(2) 2 vp . = π 0 ππ 2

*{范例8.5} 平均速率和方均根速率

所有分子速率平 2 = v = ∫ v 2 f (v)dv 方的平均值为 0 4 21 5 2 231 3 2 2 利用 Γ(1/ 2)π= = = = v vp Γ( π) vp vp 22 2 ππ 2 2 可得 对于同一种气体，在相同的温 3 3kT 方均根 = = v2 vp 度下，平均速率、方均根速率 速率为 2 m 与最概然速率之比都是常量。 1 1 3 2 3 2 分子的平均 ε mv m vp kT = = = k 平动动能为 2 2 2 2

4 2 4 vp ∫ x exp(? x 2 )dx π 0

∞ ∞

分子中的3表示三个自由度，kT/2是所 有分子一个自由度的平均平动动能。 温度越高，分子的平均平动动能 就越大，表示分子运动越剧烈。

平均速率、方均根 速率与最概然速率 都能表示分子运动 的剧烈程度。

*{范例8.5} 平均速率和方均根速率

分子速率在区间 N (v) = N f (v)dv 0∫ 0~v的分子数为 0 利用麦克斯韦无量纲的速率 N ( x) N 0 = 分布函数，上式可表示为 上式还可以 N ( x) N 0 = 继续化简

x

v

4 x 2 exp(? x 2 )dx π∫ 0

x

x

2 ?2 x exp(? x 2 )dx 2 = N0 xd[ exp(? x 2 )] π∫ π∫ 0 0

x

x x 2 ?2 2 2 [ ∫ exp(? x 2 )dx ? x exp(? x 2 )] = N0 [ x exp(? x ) ? ∫ exp(? x )dx] N0 π 0 π 0 0 x 利用误 erf ( x) 2 exp( ? x 2 )dx 可 N ( x) = N 0 [erf

( x) ? 2 x exp( ? x 2 )] = 得 π π∫ 差函数 0

这是用误差函数表示的解析式，不妨称为分子数函数。 当积分上限分别取1、2 /π 和 3/2 时， 由上式即可计算分子速率小于最概然速率、平均 速率和方均根速率的分子数占分子总数的比例。

以最概然速 率vp为速率 单位，速率 分布曲线就 只有一条。

任何一段曲线 下的面积都表 示分子数占总 分子数的比例。 而分子速率大于最概然 速率的分子占总数的比 例是57.2%，分子数大 于总分子数的一半。 分子数大于总分子数的一半。 当速率大于最概然速率的3 倍时，分子数比例就很小了。

分子速率小于等 于最概然速率的 分子数占分子总 数的比例是42.8%， 分子数小于总分 子数的一半。

分子速率在0~v 之间的分子数占 分子总数的比例 是v的单调增函 数，这是因为v 越大，0~v之间 的分子数就越多。

当 v = (2 /π) vp 时，N/N0 是分子速率小于平均 速率的分子数占分子 总数的比例，这就是 53.31%，分子数越过 总分子数的一半。 当 v = 3 / 2vp时，N/N0是 分子速率小于方均根速率 的分子数占分子总数的比 例，这就是60.84%。 当v = 2.5vp时，分子速率 从0到v的分子数就占了全 部分子数的绝大部分。

范文四：氧气分子在不同温度下的速率分布是怎样得到的？

氧气分子在不同温度下的速率分布是怎样得到的,

于文高

【专题名称】中学物理教与学

【专 题 号】G36

【复印期号】2010年03期

【原文出处】《物理教师:高中版》(苏州)2009年9期第15,16页

【作者简介】于文高，江苏省淮州中学(江苏 淮安223300)。

一、问题的提出

人教版物理选修3-3(2007年4月第2版)课本第27页写道:尽管大量分子做无规则运动，速率有大有小，但分子的速率却按一定的规律分布。课本中表8.4-1是氧气分子在0?和100?两种不同情况下的速率分布情况，而图8.4-2是根据表格中的数据绘制的图像。

学习该节内容后，学生提出了以下问题:

(1)气体分子是看不见，摸不着的，怎么知道分子的速率是多大,

(2)气体分子做杂乱无章的运动，怎么知道在某一温度下所有分子的速率大小,

(3)气体分子的速率是如何测量的,是不是用什么仪器进行跟踪测量的,测量的原理是什么,

(4)假如我们去做实验进行验证，能否直接得到与课本表8.4-1相同的实验结果,

(5)两条曲线与横轴所围面积的关系如何,

二、问题的探究

1.理论推导

早在1859年，英国物理学家麦克斯韦应用统计规律导出气体分子速率分布的规律，麦克斯韦的速率分布律指出:在平衡状态下，当气体分子之间的相互作用可以忽略时，分布在任一速率区间v,v+dv内的分子比率(也叫分子数占总分子数的百分比)为

图1

因此，课本表8.4-1中的百分比就是通过高等数学的积分方法算出的，然后绘制成图8.4-2中的图像。

2.实验验证

麦克斯韦提出气体分子速率分布律后，就于1860年做了著名的气体粘滞性随压强改变的实验，对速率分布律做了间接验证。但由于当时技术条件(如高真空技术、测量技术)的限制，测定气体分子速率分布的实验，直到上世纪才实现。1920年后，施特恩、葛正权、朗缪尔等人用分子束实验技术对分子速率分布律进行直接验证。1955年，米勒、库士对分子速率分布律进行了精确测定。

(1)施特恩实验

用实验的方法测定气体分子的速率，最初是由施特恩实现的，在1920年他测定了银分子在高度真空中运动的速率。

实验装置如图2所示，两个空心圆筒A和B可同时绕公共轴线OO'旋转。沿轴线OO'装置着一根表面镀银的铂丝，在内筒B的壁上开有一条狭缝S，整个装置放在一个容器中。外筒A的半径约为5,6cm，内筒B的半径约为2,3mm。实验时，将容器抽成高度真空，对铂丝通电流。当铂丝被加热到1000?以上时，银层汽化，有的银分子做辐射状运动。

如果圆筒不转动，射向狭缝S的银分子通过狭缝后，沿直线飞达外筒，在外筒A的内壁处镀上一窄条银。如果内、外筒同时绕轴OO′以同一角速度旋转，穿过狭缝S的银分子将落在A的内壁P′处。

图2

施特恩没有定量地研究分子按速率的分布规律。

(2)葛正权实验

我国物理学家葛正权曾在1934年测定铋蒸汽分子的速率分布。实验装置的主要部分如图3所示，O是铋蒸汽源(温度900?左右，蒸汽压0.2,0.9mmHg)，(宽0.05mm，长10mm)、、(宽0.6mm，长10mm)都是狭缝。A是一个可绕中心轴(垂直于图平面)转动的空心圆筒，其半径R=9.4cm，转速n=30000r/min，全部装置放在真空容器中(真空度约为mmHg)。

图3

实验时，如果A不转动，则铋分子通过狭缝进入圆筒后，沿直线射向装在A内壁上的弯曲玻璃板G，结果沉积在板上正对着的P处，使那里镀上一窄条铋;如果A转动，则铋分子通过狭缝进入圆筒后，由于铋分子速率的不同将沉积在距P处较近的不同地方。设速率为v的分子沉积在P′处，弧长pp′的长度为l，A圆筒的直径为D，则分子由狭缝到P′处的时间，得，因D、ω是保持不变的，所以一定的l值与一定的v值相对应。

实验时，要保证A圆筒以恒定的角速度转动较长的时间，然后取下玻璃板G，用光学的方法测定板上各处沉积铋层的厚度，找出铋层厚度随弧长l变化的关系，就确定了铋分子按速率分布的规律。实验结果与麦克斯韦速率分布律很好地符合。

(3)朗缪尔实验

它是一种用来产生分子射线并可观测射线中分子速率分布的实验，其全部装置放在高真空的容器里，如图4所示。图中A是一个恒温箱，其中产生着金属蒸汽(可用电炉将金属加热而得到)，蒸汽分子从A上小孔射出，经狭缝S形成一束定向的细窄射线。B和C是两个共轴圆盘，盘上各开一狭缝，两缝略为错开，成一小角θ(约2?)。D是一个接受分子的胶片屏。

图4

当圆盘转动时，每转一周就有分子射线通过C盘上的狭缝一次。但因分子速率的大小不同，自B到C所需的时间也不同，所以并非所有通过B盘狭缝的分子都能通过C盘上的狭缝而到达D。

设B、C盘之间的距离为l，转动的角速度为ω，分子从B到C所需的时间为t，则只有满足vt=l、ωt=θ关系的分子才能通过C狭缝射到屏D上。由上两式得，这就是说，B和C起着速率选择器的作用，改变ω(或θ)可使速率不同的分子通过。因两盘上的狭缝都有一定的宽度，所以当l和θ一定时，能射到D上的分子的速率并不严格相同，而是分布在一个区间v,v+?v内。

实验时，固定l和θ，令圆盘先后以各种不同的角速度转动相同较长的时间。转动停止后，用光学的方法测量各次在透明胶片上所沉积的金属层的厚度，从而可比较分布在不同速率区间内分子数的相对比值。

(4)米勒和库士实验

米勒和库士在1955年用钍蒸汽的原子射线做实验精确地验证了麦克斯韦速率分布律，实验装置如图5所示，整个装置都放在抽成高真空的容器内(真空度约为)。O是钍蒸汽源，实验时钍蒸汽的温度为870K，蒸汽压为

，R是用铝合金制成的圆柱体，柱长l=20.40 cm，半径r=10cm，可绕中心轴转动，在它上面均匀地刻制一些螺旋形细槽，图中画出了其中一条。细槽的入口狭缝与出口狭缝之间的夹角θ=4.8?。D是根据电离计的原理制成的检测器，用来接受原子射线并测定其强度，其中心是一根通电加热的钨丝，外面套着一个开有狭缝(与蒸汽源的狭缝S平行)的圆筒，圆筒与钨丝共轴，它们间产生辐射状的电场，电场方向自中心轴垂直指向圆筒。当原子射线通过狭缝打到热钨丝上时，每个钍原子都被电离成正离子，并被圆筒的内壁所接受。检测器测得离子的电流强度直接反映出原子射线的强度。

图5

实验时，圆柱体R以一定的角速度ω，转动，由于不同速率的分子通过细槽所需的时间不同，各种速率的分子射入入口狭缝后，并非所有的分子都能从出口狭缝射出并进入检测器.只有满足关系的分子才能通过细槽，其他速率的分子将沉积在槽壁上，因此，圆柱体R与图4中B、C盘一样，起着速率选择器的作用。

上述实验中获得的分子射线，是容器中平衡状态下气体分子的取样，因而测定射线中分子的速率分布就可以验证麦克斯韦的速率分布律。

速率分布律的科学性、准确性经得起实验的检验。通过大量实验可以得出，一定种类的气体在一定温度下，其分子按速率的分布是确定的，并且具有共同的特点。其一般特点如下:分子数在总分子数中所占的百分比与速率、所取速率间隔的大小有关;速率特别大或特别小的分子数所占百分比都比较小，即速率呈现“中间多、两头少”的分布;在某一速率间隔中分子数所占百分比最大;改变气体的温度或气体的种类再做实验时发现，以上分布情况随气体温度及气体种类的不同而有差异，但都具有上述特点。

三、几点启示

通过对这段历史的回顾，了解相关科学探究的过程:理论推导?实验验证?规律的应用。自1859年麦克斯韦提出分子速率分布律，至1955年米勒和库士实验的精确测定，时间跨度为96年，体会到科学探究的艰巨性和长期性。

通过对4个实验的比较，体会实验的继承与创新，激发学生勇于实验、勇于创新的内驱力。上述4个实验，它们既有许多共同点，又有不同点，并逐步完善与精确，如?使用的蒸汽源均为金属，材料有差异，从而获得相关的分子射线;?1、2实验均需测量分子沉积在接受屏上的长度，但分子射线的方向不同，一是由中心到内壁，另一是通过外狭缝到内壁;?2、3实验均用光学的方法测定板或胶片上所沉积金属层的厚度，它们区别在于，一是确定了分子按速率分布的规律，另一是比较分布在不同速率区间内分子数的相对比值;?3、4实验均在蒸汽源、接受屏之间使用速率选择器，表面上看有区别，一是两圆盘，另一是圆柱体，实质是一样的;另外一个不同点是:3实验用测微光度计测定金属层的厚度，4实验用电离计原理制成的检测器测得离子电流的强度;?4个实验都运用运动的等时性:。

通过对问题的探究，学生们的许多问题迎刃而解，科学的思维方法得到有效的训练，同时也加强人文精神的培养，对物理学家麦克斯韦产生敬佩之情，并进一步理解“实践是检验真理的唯一标准”的哲学内涵，同样，物理学的理论研究也离不开实验的支撑，其正确与否应有待于实验的检验。

【参考文献】 [1]普通高中课程标准实验教科书?物理(选修3-3).北京:人民教育出版社，2007. [2]陶洪.物理实验论.南宁:广西教育出版社，1998. [3]李椿，章立源，钱尚武.热学.北京:人民教育出版社，1978. [4]黄淑清，聂宜如，申先甲.热学教程(第2版).北京:高等教育出版社，2001.^NU1DA20100519

范文五：C)图中b表示氧气分子的速率分布曲线；(和)O／(中)H2：1／4

(D)等压过程中最大，等温过程中最小。

7、一定量的理想气体，经历某过程后，它的温度升高了。则根据热力学定律可以断定：

(1)该理想气体系统在此过程中吸了热。

1、两个相同的容器，一个盛氢气，一个盛氦气(均视为刚性分子理想气体)，开始时它们 (2)在此过程中外界对该理想气体系统作了正功。 的压强和温度都相等，现将6J热量传给氦气，使之升高到一定温度。若使氢气也升高同样 (3)该理想气体系统的内能增加了。 温度，则应向氢气传递热量 (4)在此过程中理想气体系统既从外界吸了热，又对外作了正功。

(A)6J （B)10J (C)10 (D)5J [ ] 以上正确的断言是：

2、一定量氦气(He)和甲烷(CH(A)(3) (B)(1)(3) (C)(2)(3) (D)(3)(4) (E)(4) [ ] )，都可视为理想气体，它们分子的平均平动动能相同。那 4

,,8、一定量的理想气体，从a态出发经过?或?过程到达 么它们分子的平均速率之比:,,为 HeCH4

b态，acb为等温线(如图)，则?、?两过程中外界对系统传 、Q是 (A)1:1 (B)l:4 (C)4:1 (D)1:2 (E)2:1 [ ] l2

递的热量Q (A)Q>0，Q>0 (B)Q<><0 3、="" 一定质量的理想气体的内能e随体积v的变化关系为一="" e="">

(C)Q直线(其延长线过E～V图的原点)，则此直线表示的过程为： >0，Q<0><0，q>0 [ ] l2l2

(A)等温过程 （B）等压过程 9、如图所示，一绝热密闭的容器，用隔板分成相等的两

(C)等容过程 （D）绝热过程 [ ] O V 部分，左边盛有一定量的理想气体，压强为P，右边为真 o4、在一容积不变的封闭容器内理想气体分子的平均速率若提高为原来的2倍，则 空，今将隔板抽去，气体自由膨胀，当气体达到平衡时，

(A)温度和压强都提高为原来的2倍。 气体的压强是

~ (B)温度为原来的2倍，压强为原来的4倍。 ~a a (A)P2p／2 (B)Po (C) (D)P／2000 (C)温度为原来的4倍，压强为原来的2倍。

~(D)温度和压强都为原来的4倍。 [ ] a,C/C() pv

5、图示两条曲线分别表示在相同温度下氧气和氢

10，一定量的理想气体经历acb过程时吸热500J。 气分子速率分布曲线，(~~则经历acbda过程时，吸热为 ,,)0和()H分别表示氧 22

(A)-1600J (B)-1200J 气和氢气的最可几速率，则

~~ (C)-9001 (D)-700J [ ] (A)图中a表示氧气分子的速率分布曲线；(,,)O／()H=4 22

11、一定量的理想气体，起始温度为了，体积为Vo。后经历绝热过程，体积变为2Vo。再~~(B)图中a表示氧气分子的速率分布曲线；(,,)O／()H二1／4 2

经过等压过程，温度回升到起始温度，最后再经过等温过程，回到起始状态。则在此循环过程~~(C)图中b表示氧气分子的速率分布曲线；(,,)O／()H=1／4 22

中 ~~ (D)图中b表示氧气分子的速率分布曲线：(,,)O／()H=4 [ ] 22(A)气体从外界净吸的热量为负值。 6、质量一定的理想气体，从状态A出发，分别经历等温、等压和绝热过程(AB、AC、AD)，

(B)气体对外界净作的功为正值。 使其体积增加一倍，那么气体温度的改变(绝对值)在

(C)气体从外界净吸的热量为正值。 (A)绝热过程中最大，等压过程中最小。

(D)气体内能减少。 [ ] (B)绝热过程中最大，等温过程中最小。

12、(本题3分) (C)等压过程中最大，绝热过程中最小。

一E=600J。 ba

bc为等容过程，经此过程系统放热Q一定质量的理想气体完成一循环过程。此过程在 =一800J，cd为 bcab为等压过程，经此过程系统内能变化了EV—T图中用图线1?2?3?1描写，该气体在循环过 等温过程，da为绝热过程，由此知，ab过程系统吸热 程中吸热、放热的情况是 Q= J，da过程系统作功WJ。 abba

(A)在1?2，3?1过程吸热；在2?3过程放热。 4、有一卡诺热机，用29kg空气为工作物质，工作在27?的高温热源与-73?的低温热源

(B)在2?3过程吸热；在1?2，3?1过程放热。 之间，此热机的效率 。若在等温膨胀的过程中气缸体积增大2.718倍，则此热,,

(C)在1?2过程吸热；在2?3，3?1过程放热。 -3.-1机每一循环所作的功为 。(空气的摩尔质量为29X10kgmol)

(D)在2?3，3?1过程吸热：在1?2过程放热。 [ ]

13、根据热力学第二定律判断下列哪种说法是正确的 5、一定量的理想气体，在P---T图上经历一个如图所示的循环过程(a?b?c?d?a)，其中a?b，

(A)热量能从高温物体传到低温物体，但不能从低温物体传到高温物体。 c?d两个过程是绝热过程，则该循环的效率 。 ,,

(B)功可以全部变为热，但热不能全部变为功。

(C)气体能够自由膨胀，但不能自动收缩。

(D)有规则运动的能量能够变为无规则运动的能量，但无规则运动的能量不能变为有规则运

动的能量。 [ ]

14、关于热功转换和热量传递过程，有下面一些叙述：

(1)功可以完全变为热量，而热量不能完全变为功；

(2)一切热机的效率都不可能等于l ；

(3)热量不能从低温物体向高温物体传递；

(4)热量从高温物体向低温物体传递是不可逆的。 1、(本题10分)

以上这些叙述 一定质量的水蒸气(视为理想气体)作abcda循环，

(A)只有(2)、(4)是正确的 (B)只有(2)、(3)、(4)正确。 P

(C)只有(1)、(3)、(4)正确 (D)全部正确 [ ] =2P，V=2V。 2121

二、填空题 求：(1)循环效率,,?

1、体积和压强都相同的两瓶理想气体(刚体分子)A和B，A为1mol氢(H (2)工作在此循环最高温度和最低温度之间的 )，B为1m01水2

,,卡诺循环效率蒸气(H,,?O)。它们分子的平均平动动能之比 ，平均速率之比 :,2wwAB,,2、(本题10分) ，它们的内能之比E：E= 。 :,ABvvAB

气缸内贮有一定量的水蒸气(视为刚性分子理想气体)，经abcda循环过程如图所示，其中2、图示的两条曲线分别表示氮、氧两种气体在相同

a—b、c—d为等容过程，b—c为等温过程，d—a为等压过程。试求：循环效率T时分子按速率的分布，其中 ,,?

5(1)曲线I表示 气分子的速率分布曲线； （注：1atrn=l.013×10Pa)

曲线?表示 气分子的速率分布曲线。

(2)画有斜线的小长条面积表示 。

(3)分布曲线下所包围的面积表示 。

3、一定量单原子分子理想气体，沿abcda变化。

3、(本题5分) 如图所示，AB、CD是绝热过程，CEA是等温过程，BED是任意过程，组成一个循环，

若图中EDCE所包围面积为70J，EABE所包围的面积为30J，CEA过程中系统放热100J，求

BED过程中系统吸热为多少?

四、问答题

在下列理想气体各种过程中，哪些过程可能发生?哪些过程不可能发生?为什么?

(1)等容加热时，内能减少，同时压强升高。

1、一个容器内贮有1摩尔氢气和1摩尔氦气，若两种气体各自对器壁产生的压强分别为(2)等温压缩时，压强升高，同时吸热。

p1和P2，则两者的大小关系是； (3)等压压缩时，内能增加，同时吸热。

(A)P1>P2 (B)h

2、三个容器A、B、C中装有同种理想气体，其分子数密度n相同，而方均根速率之比为

1：2：4，则其压强之比PA：Ps：Pc为

(A)1：2：4 (B)4：2：1 (C)1：4：16 p)1：4：8 [ ]

3、两容器内分别盛有氢气和氦气，若它们的温度和质量分别相等，则：

(A)两种气体分子的平均平动动能相等。

(B)两种气体分子的平均动能相等。

(C)两种气体分子的平均速率相等。

(D)两种气体的内能相等。 [ ]

4、一定量氢气和氧气，都可视为理想气体，它们分子的平均平动动能相同，那么它们分子

的

11、一定量的理想气体，其状态改变在P--T图上

平均速率之比l：：l：为 沿着一条直线从平衡态口到平衡态b(如图)

(A)1：1 (B)1：4 (C)4：1 p)1：16 (E)16：1 [ ] (A)这是一个绝热压缩过程。

5、两瓶理想气体A和B，A为lmol氧，B为lmol甲烷(CH4)，它们的内能相同，那么它 (B)这是一个等容吸热过程。

们分子的平均平动动能之比 (C)这是一个吸热压缩过程。

(A)1／1 (B)2／3 (C)4／5 (D)6／5 [ ] (D)这是一个吸热膨胀过程。 [ ]

6、水蒸气分解成同温度的氢气和氧气，内能增加了百分之几? (不计振动自由度) 12、 所列四图分别表示某人设想的理想气体的四个循环过程。请选出其中一个在物理

(A)75％ 田)67％ (C)50％ O)25％[ ] 上可能实现的循环过程的图的标号。

7、速率分布函数／(9的物理意义为：

(A)具有速率{的分子占总分子数的百分比。

(B)速率分布在f附近的单位速率间隔中的分子数占总分子数的百分比。

(C)具有速率f的分子数。

(D)速率分布在f附近的单位速率间隔中的分子数。 [ ]

8、图示给出温度为了1与丁2的某气体分子的麦克

斯韦速率分布曲线，则

(A)T1；T2 (B)T1；言T2

(C)Tl：2T： (D)T1：T：／4 [ ]

9、下列各图所示的速率分布曲线，哪一图中的两条曲线)和氦气(He)的分子速率分布曲线? 2能是同一温度下氮气(N 13、气缸中有一定量的氦气(He视为刚性分子理想气体)，经过绝热压缩，其体积变为原来

的一半，问气体分子的平均速率变为原来的几倍?

／／／2313 25 1/5 (A)2 (B)2 (C)2 (D)2 [ ]

1、lmol双原子分子(刚性分子)理想气体在温度T(k)时，其分子的平均平动动能为 ，

平均转动动能为 ，气体的内能为 。

2、一热机由温度为727~(2的高温热源吸热，向温度为527~C的低温热源放热。若热

机在最大效率下工作，且每一循环吸热2000J，则此热机每

一循环作功 。

3、图示的两条／(9～{曲线分别表示氢气和氧气在同一

温度下的麦克斯韦速率分布曲线。由图上数据可得

10、理想气体向真空作绝热膨胀。 氢气分子的最可几速率(最概然速率)为 ；

(A)膨胀后，温度不变，压强减小。 (B)膨胀后，温度降低，压强减小。 氧气分子的最可几速率(最概然速率)为 。

(C)膨胀后，温度升高，压强减小。 (D)膨胀后，温度不变，压强不变。 [ ] 4、一定量的理想气体，从状态A出发，分别经历等压、等温、

4，bc为绝热过程，气体经ca等温过程时，外界对系统作功3，J10

3。 3.78，10J 绝热三种过程(AB、AC、AD)，由体积V1膨胀到体积V2，试 能转化了Eb--Ea= 求(1)此循环的效率? 示意地画出这三种过程的P---V图曲线(标注等压、等温、绝热)，

(2)bc过程中系统作功多少? 在上述三种过程中：

(1)气体的内能增加的是 过程；

(2)气体的内能减少的是 过程。

5、某理想气体等温压缩到给定体积时外界对气体作功lI，又经绝热膨胀返回原来体积时气

体,对外作功内I，则整个过程中气体

(1)从外界吸收的热量O= ；(2)内能增加了?E 。

6、一定量理想气体从a状态经绝热过程到达c状态，这一 W,,360J，那么，气体经历这两状态时内能的增量Ec—ac 过程气体作功Ea= 。

若气体沿a—b—c变化，此过程中气体作功

WQ= ，从外界净吸热量= 。 abcabc

7、一定量理想气体沿a?b?c变化时作功Wabc=615J，气

体在b、c两状态的内能差Eb-Ec=500J。那么气体循环一周，

所作净功|w|= J，向外界放热为Q= J，

等温过程中气体作功Wab= J。

8、如图所示，理想气体从状态A出发经ABCDA循环过程，回到初态A点，则循环过程中气体净吸的热量为

Q= 。

1.以单原子分子理想气体为工作物质的热机，

沿如图所示循环工作，ca为等温过程(1n2

,0．69)

求(1)此循环效率宁?

(2)工作在此循环最高温度和最低温度之间的循环效率?

2、一定量双原子分子理想气体，经历如图所示循环。 ab为等压过程，经此过程系统内

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