一生_中_最爱
范文一：线与面、面与面的位置关系
编写人：邵凤颖 第一次上交日期： 2011-6-1课后 第二次上交日期2011-6-2晚
空间中直线、平面与平面的位置关系
学习目标：会用数学语言和图形语言描述线与面、面与面的位置关系关系
学习重点：线与面、面与面的几种位置关系关系
学习难点：想像线与面、面与面的位置关系关系的合理性
学习过程：
异面直线成角不能忘
如图：四面体ABCD中，O,E分别BD,BC中点，CA?CB?CD?BD?2,AB?AD?2
求异面直线AB,CD成角的余弦值大小 B E C
一、直线与平面的位置关系在点线面的位置关系中我们就知道了，不看书你能填空吗？
直线与平面的位置关系
图形
表示
公共点
符号表示
直线在平面外包括：
班级___________ 组 __________________ ____ 层学生 ___________
二、平面与平面的位置关系 平面与平面的位置关系图形
表示
公共点
符号表示
三、例题
例1、判断下列命题的对错（对的画出对应图形；错的画出否定的图形）
1如果一条直线与一个平面平行，那么○2如果一条直线与一个平面相交，那么 ○
这条直线与平面内的无数条直线垂直。 （ ）（ ）
3过平面外一点有且只有一条直线与○4一条直线上有两点与平面的距离 ○
平面平行。（ ）相等，则这条直线与平面平行（ ）
1 平面?内有两条直线与平面?○2平面例2、○?内有无数条直线与?平行
平行，那么这两个平面平行。（ ）则?与?平行（ ）
3 平面○?内△4平面?内的两条相交直线与平面?内的 ABC的三个顶点到?○
的距离相等，则
?与?平行。（ ）两条相交直线分别平行，则?与?平行（ ）
例3、求证：两条平行直线中的一条与已知平面相交，则另一条也与该平面相交。
例4、在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，M为AB中点，N为BB1中点，O为面
BCC1B1中心
（1） 过O作一直线与AN交于P，与CM交于Q，（只写作法，不写证明）
（2） 求PQ的长
思考：已知平面?, ?，直线a, b，且?∥?，a??， b??，则直线a与直线b具有怎样的位置关系？（有几种画几种）
反思：__________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________
范文二：线与面的位置关系
线与面的位置关系
一(导课:
1.复习:同一平面内的两条直线的三种位置关系,
平行、相交、异面(
注意:重合是平行的特殊情况，垂直是相交的特殊情况( 2.问:立体空间中直线与平面的位置关系有几种呢,
二(新课:
通过生活实例，我们可以看出，直线与平面的位置关系有且只有下列三种: (1)直线在平面内 有无数个公共点; 记作:a( ,,
注意:表示直线在平面内，要把直线画在表示平面的平行四边形内部( (2)直线与平面相交 有且只有一个公共点;
a
A
记作:a,A( ,,
注意:表示直线和平面相交时，被遮住的部分要么不画，要么画成虚线，避免出现一笔连下的情况，否则显示不出相交关系( (3)直线与平面平行 没有公共点(
a a
b
,,
记作:a//( ,
注意:表示直线与平面平行时，通常把表示直线的线段画在表示平面
的平行四边形的外面，并且使它平行于平行四边形的一边，或者与平行四边
形内表示直线的线段平行(
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外(
三(练习: P53实战演练、练习册
四(小结:
1(直线与平面的位置关系及其表示
2.直线与平面平行的判定定理
五(作业: P54牛刀小试及练习册(
范文三：空间点 线 面的位置关系
线面平行：1. 一条直线与一个平面无公共点（不相交），即直线与平面平行。（定义）
2. 如果平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。（线线平行推线面平行）
3.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面。（面面平行推线面平行)
线面垂直：1如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，即这条直线与此平面互相垂直。（定义）
2. 如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面。（线线垂直推线面垂直）
3.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。（线线平行推线面垂直）
4. 如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。（面面垂直推线面垂直）
5.如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么也垂直于另一个平面。（面面平行推线面垂直）
面面平行：1. 如果两个平面没有公共点，则这两个平面平行。（定义）
2. 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（线面平行推面面平行）
3. 如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行。（线线平行推面面平行）
4. 如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。（线面垂直推面面平行）
面面垂直：1. 若两个平面的二面角为直二面角(平面角是直角的二面角) ，则这两个平面互相垂直。(定义）
2. 一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（线面垂直推面面垂直）
线线平行 ：1. 如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与这个平面交线，那么这条直线与交线平行。（线面平行推线线平行）
2. 垂直于同一平面的两条直线互相平行。（线面垂直推线线平行）
3. 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线互相平行。（面面平行推线线平行）
范文四：点、线、面之间的位置关系
点、线、面之间的位置关系
考纲要求：①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理． ◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，这条直线上所有的点在此平面内．
◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．
◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定． 理解以下判定定理．
◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．
◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行．
◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．
◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．
理解以下性质定理，并能够证明．
◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行． ◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．
◆垂直于同一个平面的两条直线平行．
◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线于另一个平面垂直．
③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．
1.2.1 平面的基本性质
重难点：理解平面的概念及表示，掌握平面的基本性质并注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言．
经典例题： 如图，设E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是正方体ABCD-A1B1C1D1
所在棱上的中点，求证：E ，F ，G ，H ，P ，Q 共面.
当堂练习：
1．下面给出四个命题： ①一个平面长4m, 宽2m; ②2个平面重叠在一起比一个平面厚; ③一个平面的面积是25m2; ④一条直线的长度比一个平面的长度大, 其中正确命题的个数是（ ）
A ． 0 B ．1 C ．2 D ．3
2．若点N 在直线a 上，直线a 又在平面
A ．N B ．N 内，则点N ，直线a 与平面之间的关系可记作（ ） C ．N D ．N
3． 空间不共线的四点，可以确定平面的个数为（ ）
A ．0 B ．1 C ．1或4 D ． 无法确定
4． 空间 四点A ，B ，C ，D 共面但不共线，则下面结论成立的是（ ）
A ． 四点中必有三点共线 B ． 四点中必有三点不共线
C ．AB ，BC ，CD ，DA 四条直线中总有两条平行 D ． 直线AB 与CD 必相交
5． 空间不重合的三个平面可以把空间分成（ ）
A ． 4或6或7个部分 B ． 4或6或7或8个部分 C ． 4或7或8个部分 D ． 6或7或8个部分
6．下列说法正确的是（ ）
①一条直线上有一个点在平面内, 则这条直线上所有的点在这平面内; ②一条直线上有两点在一个平面内, 则这条直线在这个平面内; ③若线段AB , 则线段AB 延长线上的任何一点一点必在平面内; ④一条射线上有两点在一个平面内, 则这条射线上所有的点都在这个平面内.
A ． ①②③ B ． ②③④ C ． ③④ D ． ②③
7．空间三条直线交于同一点，它们确定平面的个数为n ，则n 的可能取值为（ ）
A ． 1 B ．1或3 C ．1或2或3 D ．1或 4
8．如果
A ． B ．那么下列关系成立的是（ ） C ． D ．
9．空间中交于一点的四条直线最多可确定平面的个数为（ ）
A ．7个 B ．6个 C ． 5个 D ．4个
10．两个平面重合的条件是它们的公共部分有（ ）
A ．两个公共点 B ．三个公共点 C ．四个公共点 D ．两条平行直线
11．一条直线和直线外的三点所能确定的平面的个数是（ ）
A ． 1或3个 B ．1或4个 C ．1个、3个或4个 D ． 1个、2个或4个
12．三条直线两两相交，可以确定平面的个数是（ ）
A ．1个 B ．1个或2个 C ．1个或3个 D ．3个
13．空间四边形ABCD 各边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果EF
（ ）
A ．一定在直线BD 上 B ．一定在直线AC 上 C ．在直线AC 或BD 上 D ．不在直线AC 上也不在直线BD 上
14．设平面与平面交于直线, 直线
，直线CB 、CD , 直线, , 则M_______． GH=P，则点P 15．直线AB 、AD ，点E AB ，点F BC ，点G CD ，点H DA ，若直线HE
直线FG=M，则点M 必在直线___________上．
16．如图, 在棱长为a 的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M 、N 分别
为AA1、C1D1的中点，过D 、M 、N 三点的平面与直线A1B1交于
点P ，则线段PB1的长为_______________．
17．如图, 正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线BD1与过A1、D 、
C1的平面交于点M ，则BM ：MD1=________________．
求证：B 、D 、O 三点共线． 18．如图，E 、F 、G 、H 分别是空间四边形AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且EH 与FG 交于点O ．
19．证明梯形是平面图形．
20．已知: 直线
, 且直线与a, b, c都相交． 求证: 直线共面．
21．在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 直线A1C 交平面ABC1D1于点M , 试作出点M 的位置．
参考答案：
经典例题：
证明：连接EF ，QG ，E ，F ，Q ，G 分别是A1D1，D1C1，A1A ，C1C 的中点，
，F ，G ，E ，P 确定平面，由于EF||A1C1||QG, 同理FG||EP，设E ，F ，G ，Q 确定平面
G ，故都经过不共线的三点E ，F ，重合，即E ，F ，G ，P ，Q 五点共面，同理可证E ，F ，G ，H ，Q 五点共面，故E ，F ，G ，H ，
P ，Q 共面．
当堂练习： 1.A; 2.B; 3.C; 4.B; 5.B; 6.B; 7.B; 8.A; 9.B; 10.D; 11.C; 12.C; 13.A; 14.
; 15. BD; 16. ; 17. 2:1;
18. 证明： E ，
.
.
. 同理可证O ,
, O 三点共线．
20. 证明: 如图 , 设与分别交于
A ,B ,C , 经过可确定一个平面经过a, b可确定一个平面
.
, 同理B , 则AB , 即 因经过的平面有且只有一个
, 与为同一平面
. 同理即共面．
21. 解: 连结D1B , A1B , CD1, 则D1B 与A1C 的交点即为所求作的点M.
证明: D1B 平面ABC1D1 , D1B平面A1BCD1 ,
平面ABC1D1平面A1BCD1= D1B. A1C 平面ABC1D1=M, M 平面AB C1D1, M平面A1BCD1 , M D1B ．故M 为D1B 与A1C 的交点．
即B 、D 、
范文五：点、线、面的位置关系
数学高考总复习:点、线、面的位置关系
知识网络:
目标认知
考试大纲要求
(一) 理解空间直线、 平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定 理 .
公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点在此平面内 . 公理 2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 .
公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直 线 .
公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行 .
定理:空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行, 那么这两个角相等或互补 .
(二)以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、垂 直的有关性质与判定 .
理解以下判定定理:
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行 .
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行 .
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直 .
如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直 .
(三)理解以下性质定理,并能够证明 .
如果一条直线与一个平面平行, 经过该直线的任一个平面与此平面相交, 那么这条直线 就和交线平行 .
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行 .
垂直于同一个平面的两条直线平行 .
如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直 .
(四)能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题 .
重点:
掌握平面的基本性质;掌握线线、线面、面面的位置关系及其判定定理和性质定理。
难点:
线线、线面、面面的位置关系的判定定理和性质定理的应用。
知识要点梳理:
知识点一:平面
1.概念:
平面是没有厚薄的,可以无限延伸,这是平面最基本的属性。
2.平面的画法及其表示方法:
①常用平行四边形表示平面, 通常把平行四边形的锐角画成 , 横边画成邻边的两倍, 画两个平面相
交时, 当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,
应把被遮住的部分画成虚线或不画。 ②一般用一个希腊字母 、 、 ??来表示,还可用平行四边形的对角顶点的字母 来表示如平面
等。
知识点二:点、线、面的基本位置关系
注意:(平面 外的直线 )表示 或
2. 空间两条直线的位置关系:
3. 直线与平面的位置关系:
(1)直线在平面内(有无数个公共点);
(2)直线与平面相交(有且只有一个公共点);
(3)直线与平面平行(没有公共点) .
分别记作:; ; .
4. 平面的位置关系:
(1)平行(没有公共点),记作 ;
(2)相交(有一条公共直线),记作 .
知识点三:平面的基本性质
借助实物模型,在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上,从文字语言、 图形语言、符号语言三个角度,了解可以作为推理依据的公理和定理 . 列表如下:
知识点四:平行位置关系
1. 直线与平面
(1)直线和平面的位置关系
①直线在平面内(无数个公共点);符号表示为 :;
②直线和平面相交(有且只有一个公共点);符号表示为 : ;
③直线和平面平行(没有公共点);符号表示为 : .
(2)线面平行的判定定理:
如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个 平面平行.
推理模式:.
(3)线面平行的性质定理:
如果一条直线和一个平面平行, 经过这条直线的平面和这个平面相交 , 那么这条直 线和交线平行.
推理模式:.
2. 平面与平面
(1)面面平行的定义:
如果两个平面没有公共点,那么这两个平面互相平行.
(2)图形表示:
画两个平面平行时,通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平 行的.
(3)平行平面的判定定理:
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面,那么这两个平面互相平 行.
推理模式:.
(4)平行平面的性质定理:
如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行.
推理模式:.
(5)面面平行的另一性质:
如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.
推理模式:.
知识点五:垂直位置关系
1. 直线与平面
(1)线面垂直定义:
如果一条直线和一个平面相交,并且和这个平面内的任意一条直线都垂直,我们 就说这条直线和
这个平面互相垂直,其中直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面,交点叫做 垂足。
直线与平面垂直简称线面垂直,记作:a ⊥ α。
(2)直线与平面垂直的判定定理:
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平 面。
(3)直线和平面垂直的性质定理 :
如果两条直线同垂直于一个平面 , 那麽这两条直线平行。
2. 平面与平面
(1)两个平面垂直的定义:
两个相交成直二面角的两个平面互相垂直;相交成直二面角的两个平面叫做互相 垂直的平面
(2)两平面垂直的判定定理:
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直
推理模式:.
(3)两平面垂直的性质定理:
若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个 平面
推理模式:
规律方法指导
1.证明三点共线和三线共点的方法
(1)证明空间三点共线问题,通常证明这些点都在两个平面的交线上,即先确定出某 两点在某两个平
面的交线上, 再证明第三点既在第一个平面内, 又在第二个平面内 , 当然必在两个 平面的交线上.
(2)证明空间三线共点问题,可把其中一条作为分别过其余两条的两个平面的交线, 然后再证明另两
条的交点在此交线上.
2.解决平行问题时,还要注意使用以下结论
(1)经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行;
(2)两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面;
(3)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,必垂直于另一个平面;
(4)夹在两个平行平面间的平行线段相等.
3.三垂线定理及其逆定理
三垂线定理及其逆定理所论述的是三个垂直关系:一是直线与平面垂直(这是前提); 二是平面内一条直线与斜线的射影 (或斜线) 垂直; 三是这条直线与斜线 (或射影) 垂直. 构 成定理的五个元素是 “一面四线”. 运用三垂线定理及其逆定理的步骤是:确定平面→作出 垂线→找到斜线→连成射影→找垂面内线,其关键是确定平面及平面的垂线.
4.证明线面垂直的方法
(1)利用定义,即证垂直于平面内任一直线.
(2)利用线面垂直的判定定理.
(3)利用线面垂直的性质, 即两平行线之一垂直于平面, 则另一条线必垂直于该平面.
(4) 利用面面垂直的性质定理, 即两平面互相垂直 , 在一个平面内垂直于交线的直线垂 直于另一平面.
(5)用面面平行的性质,即一直线垂直于两平行平面之一,则必垂直于另一平面.
(6)用面面垂直的性质,即两相交平面都垂直于第三个平面,则它们的交线垂直于第 三个平面.
5.证明线线垂直的思路
(1)证明线线垂直要转化为证明一条直线垂直于另一条曲线所在的平面,其关键是寻 找一条直线与这两条直线中的一条垂直,而与另一条相交.
(2)联想三垂线定理及其逆定理.
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