多愁善感而初次等待的青春
范文一：数据模型案例
案例1 降低咖啡屋的成本
All-State大学的咖啡屋每个星期四的中午准时提供一道特殊的莱，这种想来十分美味的菜是一种炖菜，包含有炒过的洋葱、煮熟的土豆片、绿豆和蘑菇汤。不幸的是学生们没有能够看到这道菜的特殊质量。他们为这道莱起了一个令人讨厌的名字——杀手炖菜。学生们很不情愿吃这道菜，但是咖啡屋对星期四的午餐只提供了有限的选择(也就是炖菜)。
咖啡屋的经理MariaGonzalez希望明年可以降低成本。她相信降低成本的一种当然的方法是购买较为便宜而质量可能比较低的配料。由于这种炖菜是每星期咖啡屋菜单中的重要组成部分，因此她认为如果她能够降低为制作这种炖菜所购买的配料的成本，整个咖啡屋的营运成本将大大降低。因此她决定花一些时间看看在保持营养和口味要求的情况下如何将成本降到最低。
Maria集中研究降低这种炖菜的两种主要配料——土豆和绿豆的成本。这两种配料占据了大多数的成本和营养成分，是影响口味的主要因素。
Maria每星期从一个批发商那里购买土豆和绿豆。土豆的成本是每磅0(4美元，绿豆的成本是每磅1美元。
All-State大学规定了每一个咖啡屋的主菜都必须达到的营养要求。这道菜必须包含'180克的蛋质、80毫克的铁、1050毫克的维生素C(1磅相当于454克，1克等于1000毫克)。为了简化计划，Maria假设这道炖菜中只有土豆和绿豆提供了营养。
因为Maria在一个开放式的技术大学中工作，因此它可以从网络中获得大量的资源。她决定在网络上搜索土豆和绿豆营养成分的信息。通过搜索她得到了以下关于两种配料营养成分的信息:
表1 两种配料营养成分的信息
土 豆 绿 豆
蛋白质 1.5克,100克 5.67克,10盎司
铁 0.3毫克,100克 3.402毫克,10盎司
维生素C 12毫克,100克 28.35毫克,10盎司
(1盎司相当于28.35克)
EdsollBranner是咖啡屋的厨师(非常注重于口味。她告诉Maria为了使得炖菜可口，土豆和绿豆的总量比至少应当是6:5。
在得到了在咖啡屋就餐的学生数之后，Maria得知她必须购买足够数量的土豆和绿豆，为每星期至少10公斤的炖菜做好准备(1公斤等于1000克)。为了简化计划，她假设只有土豆和绿豆决定了能够准备的炖菜的数量。Maria没有为需要准备的炖莱设置上限(因为所有剩下的莱可以供应好几天，或者创造性地作为其他主莱的原料。
a(在满足营养、口味和需求量要求的前提下，确定了准备炖莱Maria所需要准备的土豆和绿豆的数量，使得配科的成本最小。
在进行最后决策之前，Maria计划独自解决下面的问题，除非问题自身表明需要合作解决。
b(Maria没有大多地考虑炖菜的口味。她只考虑了满足营养需求和削减成本。因此她要求Edson改变配方，使得土豆和绿豆最低重量比可以为1:2。在这种新的配方下，确定Maria每个星期需要购买的土豆和绿豆的数量。
c(由于Maria认为其他配料，如洋葱和蘑菇汤，也含有铁，因此她决定将铁含量的要求降低到65毫克。在这种新的铁含量的要求下，确定Maria每个星期需要购买的土豆和绿豆的数量。
d(Maria得知批发商有多余的绿豆，因此绿豆的价格降低到0(5美元每磅。使用c中对铁含量的要求和新的绿豆价格，确定Maria每个星期需要购买的土豆和绿豆的数量。 e(由于利马豆比绿豆便宜而且含有更多的蛋白质和铁，因此Maria决定用利马豆代替绿豆。她使用独有的权力要求F_((dBon改变配方，用利马豆取代绿豆。Maria可以从批发商那里以每磅0(6美元的价格买到利马豆。每10盎司利马豆含有22(68克蛋白质和6(804毫克铁，但是不舍有维生素C。使用利马豆的成本和营养成分，在满足营养、口味和需求量要求的前提下确定Maria每个星期需要购买的土豆和利马豆的数量。营养要求包括c中对铁含量降低了的要求。
f(Edson是否会对e的解决方案感到满意?为什么?
g(一个All-State大学学生工作组在All-State大学“重视健康周”期间召开会议。他们认为学校对于铁含量的要求大低而对维生素C含量的要求有些浪费。工作组说服学校改变政策，要求每一种主菜铁的含量至少是120毫克，维生素C的含量至少是,500毫克。使用土豆和利马豆作为配料，在新的营养要求下确定Maria每个星期需要购买的土豆和绿豆的数量。
案例2 分配学生和学校
斯普林菲尔德(Springfield)学校董事会打算在年底关闭它的一所中学(包括6年级、7年级和8年级)，并在下一年将这些年级的学生分配到另外三所中学去。学校为离校距离超过1英里的所有学生提供上下课的接送服务，因此，为了节省公交费用，学校将对学生进行分配。从该城市的6个居住区到各所学校，每个学生一年的公交费用如下表所示(表中还给出了下一年的其他一些基本数据)。其中，0表示不需要公交服务，而—表示这种分配不可能。
每学生的公交成本(美元) 地区 学生数量 6年级的比例 7年级的比例 8年级的比例 学校1 学校2 学校3 1 450 32 38 30 300 0 700 2 600 37 28 35 — 400 500 3 550 30 32 38 600 300 200 4 350 28 40 32 200 500 — 5 500 39 34 27 0 — 400 6 450 34 28 38 500 300 0
学校容量 900 1100 1000
学校的董事会规定每个学校里，每一年级的学生人数必须在总人数的30,—36,之间，上表显示了第二年每个地区学校的各年级的学生比例。可以划出学生上学的地区界限，以便于在多所学校之间分配学生。但是，不管如何分配，上表所要求的每所学校的各年级的比例必须保持。
假设学校雇用你作为管理科学的顾问，帮助学校决定如何在各所学校之间分配学生。 a(为该问题建立线性规划模型并求解。
b(你给学校董事会的最终建议是什么?
在看了你的建议之后，学校董事会对将所有的居民区都在各个学校间划分开来这一点表示疑虑，他们认为，应该尽可能的让邻里的学生在同一所学校里。
c(根据这一点调整你的建议，使同一个地区的学生尽可能分配在同一所学校里(加入这一限制可能会使你不得不取消另外一些约束)。这样做会增加多少公交成本?(在案例9.4中将会对这一类分析进行进一步探讨)
学校董事会正考虑减少一些公交以减低成本，选项1是仅仅取消1—1.5英里的学生的公交服务，这些学生的单位成本如上表所示为2田美元。选项2是同时取消1.5—2英里距离的学生的公交服务，这些学生的估计年成本为300美元。
d(将a中的模型加入选项1重，新考虑，并求解。将结果与b中的结果相比较，包括公交总成本的减少。
e(以选项2代替选项1重复步骤d。
现在，学校董事会将在三种计划(目前的这一选项，以及选项1、选项2)中作出选择，其中，最重要的因素是成本。但是，学校对另一个因素也给予了同等的重视，即，因为迫使一些学生步行或骑车上学(超过l英里，特别是超过1(5英里)所引起的不方便和安全问题。因此，学校决定选择能使两个因素达到最好的平衡的计划。 ，
f(从b、d、e的结果中总结出与学校董事会要作出决策的两个因素有联系的重要的信息。 g(你认为应该作出怎样的决策，为什么?
案例3 纪念9(11
艾德琳?乔纳森在2001年9月11日世贸中心坍塌的时候失去了两位好朋友。她们是两位充满活力的女性，而现在她们离开了人世，留下她们的丈夫和孩子沉浸在无尽的悲伤中。这是多么可怕的失去。过去的每一天艾德琳都在想念她的朋友们，并对那些毫无意义的屠杀感到愤恨。现在，她感到有一种真实的使命感，要做一些事情。她被要求担任新组建的交通安全局的高层管理者，这是多么令人高兴的一件事。当她被告知这份工作将涉及领导一支 航空安全特别工作组时，她毫不犹豫地接受了这个职位。她之前很享受作为航空业管理科学顾问的工作。因为可以帮助多家航空公司节约大量的资金是一件让人满足的事。但是，她现在感受到了更强烈的愿望。她希望可以运用她在管理科学的专业知识帮助拯救生命。她没有办法让朋友再回到身边，但最起码她可以尽可能地避免不幸的事情再次发生。
艾德琳正在真正地实现她的使命。紧接2001年9月11日的惨剧之后，美国国会制定了紧急立法，提供全美400多个机场的保安措施是交通部的首要责任。于是在交通部里产生了交通安全局来实现这个职责。艾德琳的特别工作组接到的一个任务就是调查研究在预算的限制下哪些先进的安全技术应当被开发和在机场的检查站被使用，以使有效性最大化。
早在2001年之前，对安全检查站用来检查每个乘客的两种基本类型的检查系统，飞机乘客已经非常熟悉。一个在人口处，当乘客通过时可以检查隐藏的武器。另一个是筛选系统，用来扫描乘客的手提行李。已经有许多关于先进安全技术的各种不同的提议，可以用来改善这两种系统。艾德琳的特别工作组现在需要对下一代检查系统应如何发展做出建议。
特别工作组被告知了新型入口系统的功能性要求，即它必须能够检查出即使是一盎司的爆炸性的和危险的液体，以及乘客隐藏的金属武器。实现这个功能所需要的技术包括四极矩共振(与医学上所使用的磁共振技术非常接近)和磷传感器。利用这种技术来设计人口有很多种方法，都可以良好地满足功能性要求。但是(不同的设计在错误警报出现的频率上、以及人口的购买成本和维护成本上，都有很大的差别。错误警报的出现频率是关键的考虑因素，因为这对乘客队列行进的效率有很大的声响。而且更重要的是，错误警报出现频率过高会减少保安人员检查到确实隐藏破坏性装备的极少数恐怖分子时的警戒性。
满足功能性要求的最基本型的入口系统的购买价格是90000美元，并且平均每年的维护成本为15000美元;这个系统的缺点在于它的错误警报出现频率大约为乘客的lO,。使用更昂贵的人口系统可以降低错误警报率。人口系统的成本每增加15000美元，就可以将错误警报率降低一个百分点，同时会使每年的维修成本增加1500美元。最贵的人口系统的价值为210000美元，而它的错误警报率只有顾客的2,，年维修成本为27000美元。
对于手提行李的新型筛选系统，其功能性要求是必须能够清楚地显示小到瑞士军刀一样的可疑物体。满足这一要求所需要技术结合了X射线成像、热中子扫描器和计算机X线断层成像(可用来将可疑物体与已知的高危险性材料进行密度和其他物理特性的比较)。据估计，能够良好地满足功能性要求的最基本系统的成本为60000美元，每年的维护成本为9000美元。与最基本的人口系统一起，这个筛选系统的缺点在于它不能有效地区分有破坏性和无 危害的可疑物体。因此，这个系统产生的错误警报大约为顾客的6,。除了会浪费时间和延缓乘客之外，这么高的错误警报率将会使筛选系统操作者很难在极少数正确警报发生时保持必要的警觉性。但是，较为昂贵的筛选系统就具有相当高的识别力。具体来说，系统成本每增加30000美元就能减少1,的错误警报率，同时每年的维护成本也要增加1200美元。因此，最昂贵的筛选系统的成本高达150000美元，可以使错误警报率降到3,，每年的维护成本也增加到12600美元。
特别工作组被给定了两个预算方针:
第一预算方针:在每个安全检查点，入口系统和手提行李筛选系统的总支出为250000美元。
第二预算方针:在每个安全检查点，两个系统的平均总维护成本控制在30000美元以下。
这两个预算方针限定了不可能使用最昂贵的人口系统和手提行李筛选系统。因此，特别工作组需要决定，在财政允许的情况下两个系统分别用什么型号才能够将筛选乘客的有效性最大化。完成这一决定，首先要从交通安全委员会的最高管理层获得有关输入信息:有效性的测算方法是什么?管理层的目标，以及获得很高的有效性与满足预算方针两者之间的优先级别如何?
优先级1:两种新系统的功能性要求必须满足(在特别工作组考虑范围之内的各种型号的系统都满足这个目标)。
优先级2:两个系统的总错误警报宰不能超过每个乘客0.1。
优先级3:满足第一个预算方针。
优先级4:满足第二个预算方针。
现在已经获得了所有需要的管理输人，特别工作组准备开始进行分析。 a(明确两个需要做出的决策，并为每一个决策定义决策变量。
b(利用a中定义的决策变量给出每个目标的数量化表达式，解释为什么这个问题是优先目标规划问题?
c(画出一个两维的图形，其中两个轴代表a中所定义的决策变量。按照优先级顺序依次考虑每个目标，利用b中获得的该目标的数量化表达式，在图上做出一条表示完全满足该目标的决策变量值的曲线。在完成所有目标的曲线之后，利用该图形来决定这个优先目标规划的最优解。 :
d(利用优先目标规划建立一个电子表格模型，并求解。
e(如果除了优先级最低的目标不能满足之外，所有其他目标都可以完全满足，那么可以先建立一个包括了除最后一个目标之外的所有目标作为约束条件的线性规划模型并求解，这样就能很快解决一个优先目标规划问题，接着利用目标函数尽量朝优先级最低的目标努力。为这个问题在电子表格上建立这样的一个线性规划模型，并求解。如果该线性规划模型没有可行解，应该如何解释这个优先目标规划问题?
f(在忽视第二个预算方针但必须完全满足第一个预算方针的情况下，通过决定每位乘客的总错误警报率可以降到何种程度(甚至可能低于目标)，做一些what-if分析。 g(为了给最高管理层提供作出合理决策所需的信息，有关每位乘客总错误警报率的最佳平衡、每个安全检查点的两种新安全系统的总支出、每个安全检查点两个新系统的年维护总成本，你认为还需要做那些what-if分析?
案例4 明智的选择
当厄尔尼诺正在加州北部倾泻大雨时，夏洛特?罗斯坦，克雷布罗索夫特(Cerebrosoft)的创建人，主要股东，CEO，坐在她的办公室里，考虑对她的公司的新产品Brainet的决策问题。这是一个非常困难的决策。Brainet可能会成为焦点并热销。然而，夏洛特正在考虑涉及到的风险。她是否应当继续前进，组织营销攻势?或者放弃这个产品?或者在决定推出产品前从一个当地的市场调查公司购买更多的市场调查信息?必须尽快地作出决策，因此当她在慢慢地喝高蛋白多维生素桔子汁时，她想起了过去几年的事。
Cerebrosoft是由夏洛特和两个朋友在从商学院毕业后建立起来的。这个公司位于硅谷的中心。夏洛特和她的两个朋友使得公司在第二年开始盈利并且保持到现在。Cerebrosoft是第一批在万维网上销售软件的公司之一，并且为多媒体部件开发了基于PC的软件工具。公司的两种产品创造了80%的收入:Audiatur和Videatur。去年每一种产品的销售量都超过了100000个单位。业务是在网上进行的:顾客可以下载软件堕蔼逛迪厶在试用后如果顾客对 他们所看到的表示满意，他们可以购买产品(通过使用一个口令停止试用版中吐回耸孕器的工作)。这两种产品的售价都为75(95美元，全部在网上销售。
尽管万维网连接不同类型、使用不同软件的计算机，一个计算机间的标准化的协议使得它们可以互相通信。使用者可以在网上冲浪(访问几千英里外的计算机，在网页上获得信息:使用者还可以在网上发布信息，这就是Cerebrosoft开展销售的途径。在网上销售软件消除了许多消费晶的传统成本:包装、存储、分销、雇用销售力量等，潜在顾客可以下载试用版，在使用期限结束前了解一下(也就是使用产品)，然后决定是否购买。此外，Cerebrosoft总是能够提供给顾客最新的文件(免去分销渠道中过时软件产生的问题;
夏洛特被杰妮?可恩的到来打断了思路。杰妮负责管理在线营销，并且从一开始她就对Brunet特别关注。她早已经准备好为夏洛特提供所需的建议。“夏洛特，我认为我们真的应当推出Brainet。软件工程师们已经使我确信现在的版本非常有用(我们需要尽可能快地抢占市场!从过去两年我们推出产品的有关数据来看，我们可以得到市场对新产品反应的相当可靠的估计。Q;不这样认为吗?看看这个。”她拿出一些作陈述用的幻灯片。“在那一个时期里我们总共推出了12种新产品，其中4种产品的销售量在头六个月就超过了30000个单位!还有更好的:我们推出的最后两种产品的销售量在头两个季度甚至超过了40000个拷贝!”夏洛特和杰妮同样清楚这些数据。毕竟这些产品中有两种是在她的亲自帮助下开发推出的。但她对这个产品的推出没有把握。在过去三年公司快速发展，财务能力已经相当有限。Brainet的推出失败会使公司损失大量的钱，由于Cerebrosoft目前的投资，这样的损失是公司无法承担的。
下午晚些时候，夏洛特与瑞杰?赖纷，生产经理，一个万事通，进行了会晤，瑞杰在他的领域有相当不错的记录，夏洛特想知道他对Brainet项目的看法。
“夏洛特，坦白地说，我认为这个项目的成功与三个主要因素有关:竞争、销售量、成本——啊，当然，我们的定价，你已经定好了价格了吗?”
“我还在考虑三种战略中哪一种可以为我们带来最大的收益。以50美元的价格销售，使收入最大化——或者以30美元的价格销售，使市场份额最大化。当然还有第三个选择:以40美元销售(使二者兼得。”
这时，瑞杰正聚精会神于他面前的一张纸。“我仍然认为以40美元的价格销售的选择是最好的。考虑到成本。我检查了一下记录。我们必须在销售中分摊我们花在Brainet面上的开发费用。到目前为止，我们已经花费了800000美元，我们估计每年还需要花费50000美元用于支持和运送CD到需要软件硬拷贝的顾客那里。”瑞杰接下来给了夏洛特一份报告。“我们有一些这个行业的数据。我昨天才得到，刚刚出版的。让我们看看能从行业中得到什
么启示。”他给夏洛特看了一些重要部分。瑞杰同意将这份报告中的相关信息整理一下，第二天早上给夏洛特。他一直干到深夜，从这份报告中搜集数据。最后他总结出三个表格，每一个表格用于一种定俭战，L每一个表格显示了在其他公司的竞争影响下(激烈、中等、温和)不同的销售量对应的概率。
表1 50美元销量的概率分布
销售量 竞争水平
激烈 中等 温和 50000个单位 0. 2 0. 25 0. 3 30000个单位 0. 25 0. 3 0. 35 20000个单位 0.55 0.45 0.35
表2 40美元销量的概率分布
销售量 竞争水平
激烈 中等 温和 50000个单位 0.25 0.3 0.4 30000个单位 0.35 0.4 0.5 20000个单位 0.4 0.3 0.1
表3 30美元销量的概率分布
销售量 竞争水平
激烈 中等 温和 50000个单位 0.35 0.4 0.5 30000个单位 0.4 0.5 0.45 20000个单位 0.25 0.1 0.05
第二天早晨，夏洛特正在喝另一种机能饮料，杰妮和瑞杰马上就会到办公室来，在他们的帮助下，她将要对如何处理Brainet做出决策。他们是否应该推出这个产品?如果推出，价格应该定在什么水平上?
当杰妮和瑞杰一走进办公室，杰妮马上告诉夏洛特:“伙伴们，我刚刚联系过我们的营销调查公司他们说他们能够在一星期内为我们提供关于推出Brainet面临的竞争状况和销售结果的研究报告，”
他们为这个研究开价多少?
“我知道你要问这个，瑞杰。他们要10000美元。我认为这是一笔合算的交易。”
这时夏洛特加入了谈话。“我们有这家营销调查公司的工作质量数据吗?”
“是的，我这里有一些报告。通过对他们的分析，我得出结论，这家营销调查公司的预
测相当不错:对于激烈竞争的情况，他们有80,的慨率能够准确预测，有15,的概率预测为中等竞争水平。对于中等竞争水平的情况(他们有80,的概率能够准确预测，有15,的概率预测为激烈竞争。最后，对于温和竞争的情况，他们有90,的概率能够准确预测，有7,的概率预测为中等竞争水平，有7%的概率预测为激烈竞争。”
夏洛特对这些数据感到厌烦:“我们就没有一个关于市场反应的简单估计吗?”
“你是说一些简单的先验概率?当然有(从我们过去的经验来看，面对激烈竞争的可能性是20,，70%的可能性是中等水平的竞争，10,的可能性是温和的竞争。”杰妮总是能够在需要的时候提供数据
现在坐下来完成下面的工作:
a(对于原始的分析，不考虑雇用营销调查公司获得更多的信息。明确备择方案和自然状态，构建损益表。然后用一个决策树将这个决策问题表示出来。明确区分决策节点和事件节点并包含所有的相关数据。
b(如果夏洛特使田最大可能性准则，她的决策是什么?使用等可能性准则呢? c(如果夏洛特使用贝叶斯决策规则，她的决策是什么?
d(现在考虑进行市场调查的可能性。做出相应的决策树。计算相关的概率并分析决策树。Cerebrosoft是否应当花10000美元进行营销调查?总的最优策略是什么?
范文二：线性规划案例
第五章 案例分析
线性规划案例
案例1 机械产品生产计划
机械加工厂有以下设备：
以及生产单位产品需要的各种设备的加工工时（小时）如下表。表中的短划线表示这种产品不需要相应的设备加工。
每种产品的最大库存量为100件，库存费用为每件每月5元，在一月初，所有产品都有50件库存；而要求在六月底，每种产品仍旧保持50件库存。
工厂每天开两班，每班8小时。
为了不使模型过分复杂，对以下问题作了一些必要的简化：
1、 假定每班8小时都能正常生产，即不考虑上班后的准备工时和下班前的清
理工时。
2、 假定每月都是22个工作日（即每个月2×8×22＝352工作小时）。不考虑
每月工作日的不同。
3、 假定对任何一种产品，生产加工过程中，各种设备的加工没有先后次序的
要求。并且，每个月末所有产品都完成所有的加工工序，没有任何一种产品只完成一部分加工工序，剩下的工序需要到下个月加工。即任何一个月的月末没有任何在制品。
4、 同一种设备中（例如车床），所有的设备（10台车床）性能完全相同。如
安排检修这种设备，只需要考虑这种设备数量的减少，不必考虑具体检修的是哪几台。
5、 产品的利润和生产批量无关。
建立利润最大化的生产计划优化模型，编制这5种产品6个月的生产－库存－销售计划。并利用模型分析评价制约该工厂利润进一步增加的各种瓶颈因素。例如，可以讨论以下问题：
1、在最优生产计划中，提高哪几个月中哪些产品的市场销售量上限可以增加利润？其中对利润影响最大的销售量是哪些。在保持最优生产计划不变的前提下，
这些市场销售量上限提高的幅度是多大？如果采用促销手段来提高市场销售量，促销费用应如何控制？
2、哪几个月中哪些产品的最大库存量对增加利润构成限制？库存费用的变化是否会导致最优生产－库存－销售计划变化？
2、哪几个月哪些设备的能力是紧缺的，哪些设备的能力是冗余的？列出增加设备能力的优先顺序。如果增加一台某种紧缺设备，该工厂的生产状况会发生怎样的变化？
3、现有的设备检修计划是否合理？列出其中不合理的因素。
4、建立最优设备检修计划模型，使在这半年中完成表6列出的各种设备的应检修台数，让每种设备被安排在最合适的月份检修，对利润影响最小。比较设备检修计划优化前后，效益变化的情况。
根据分析结果，写出综合性的分析报告。分析报告要用文字和表格，对该工厂七种产品六个月的生产－库存－销售量、产品仓库的容量、设备利用和检修、产品销售价格、产品市场容量等相关因素作出详细描述，并对其中值得注意的问题进行讨论。
混合整数规划案例
案例2 邮局职工值班计划
(1) 规定邮局职工每周上班5天，休息2天，但具体上班和休息时间由邮局决定，
但领导保证每名职工每周至少有一个休息日安排在周六或周日。问该邮局至少应配备多少名职工。
(2) 在上述条件的基础上，又假定该邮局有主任、副主任各一人，上级规定每天
值班人员中至少有一名主任或副主任，又同样保证主任或副主任每周至少休息一个周六或周日。问该邮局至少应配备多少名职工。
(3) 在以上条件下，为了保证每个职工每月至少有一周的周六、周日同时休息，
问应配备多少名职工，还需增加副主任多少名？
非线性规划案例
案例3 营销战略问题
某装饰材料公司欲以每桶2元的价钱购进一批彩漆一般来说随着彩漆售价的提高，预期销售量将减少，并对此进行了估算，见表1。为了尽快收回资金并获得较多的赢利，装饰材料公司打算做广告，投入一定的广告费后，销售量将有一个增长，可由销售增长因子来表示。根据经验，广告费与销售增长因子关系见 表2。现在的问题是装饰材料公司采取怎样的营销战略预期的利润最大？
范文三：线性规划案例
线性规划案例:某配合饲料厂关于饲料配方的优化研究
一、问题的提出
某配合饲料厂是生产以猪饲料为主的专业厂家。主要产品是以玉米、麦麸、骨粉等为原料加工而成的各种配合饲料。随着养猪事业的发展，涌现出一批养猪
饲料的需求量很大，尽管该厂每年的猪饲料销售量为1000万kg专业户，故对猪
左右，但依然供不应求。目前，该厂面临着两个主要问题需要认真研究解决，第一是如何设法提高产品(饲料)产量，这主要可在挖潜改造方面下功夫;第二就是如何降低产品成本，尽管当前销售情况良好，但由于原料价格有上涨趋势，影响成本看涨，长此下去，前景不容乐观。为此，厂生产科一方面组织技术力量改造旧设备，改革生产工艺，发动群众大搞技术革新以提高产量;另一方面则提出向管理要效益，试图将各种现代化管理方法引人实际生产过程并推广应用。提出第一个课题就是饲料配方的优化研究。由于以往都是按经验配方生产猪饲料，由有经验的工人师傅把关配方，质量基本上均能达到要求，但成本核算结果不稳定。据统计资料核算，平均每公斤饲料成本约为0.42元。为了保证生产与销售能协调发展，降低饲料成本就成为当务之急，而解决这个问题的突破口就是科学地制定饲料配方。
二、饲料配方的现状分析
厂方目前生产的配合饲料是选用玉米、豆饼、麦麸、鱼粉(靠进口解决)、骨粉(加工产品) 、鸡促进素(人工合成)等作为原料加工制成的，原料的进价每公斤分别为0.314元、0.54元、0.22元、1.20元、0.40元和0.50元，上述6种原料所含营养成分如表1所示。配合饲料中以喂养肉用猪的饲料销量最大，故这里选用相应的配方作为研究对象，肉用猪饲养标准如表2所示，该厂现行的肉用猪饲料配方如表3所示。
表1各种原料主要营养成分
营养成分 粗蛋白 钙 总磷 赖氨酸 蛋氨酸 色氨酸 胱氨酸 原料
玉 米 8.6 0.04 0.21 0.27 0.13 0.08 0.18
豆 饼 43 0.32 0.50 2.45 0.48 0.60 0.60
麦 麸 15.4 0.14 1.06 0.54 0.18 0.27 0.40
鱼 粉 62 3.91 2.90 4.35 1.65 0.80 0.56
骨 粉 - 36.4 16.4 - - - -
鸡促进素 - 31.5 4.5 - - - -
表2肉用猪饲养标淮
所需营养 粗蛋白 钙 总磷 赖氨酸 蛋氨酸 色氨酸 胱氨酸
成分(%)
品种
19.0 1.0 0.70 0.94 0.36 0.19 0.32 肉用仔鸡
1
表3该厂现行的内用猪饲料配方
玉 米 豆 饼 麦 麸 鱼 粉 骨 粉 鸡促进素 饲料
59 25 7 7 1.5 0.5 配比(%)
按照上述配方生产的配合饲料，其成本经过核算为0.42元/kg。 三、配方优化研究
根据经验并通过实验，有部分职工提出了一个新的配比方案，即上述6种原料的配比依次为:
37%， 8%， 41%， 12%， 1%， 1%
玉米、豆饼、麦麸、鱼粉、骨粉、鸡促进素
通过计算可知，这个新的配方在满足肉用猪营养需要的同时，使每公斤饲料的成本由0.42元下降为0.40元。这就说明猪的饲料可有多个配方方案可供选用。此问题的目标是在保证满足肉用猪生长过程中所需的营养成分的前提下寻求一个成本最小的配比方案。因比，优化条件和约束条件均都具备。这样，只要能将上述条件表达成线性表达式，那就可以利用线性规划模型来实现寻优目标(以100kg饲料为单位)。
四、讨论题
1、如果全年饲料销售量为1000万kg，每年共可节约成本多少万元? 2、松驰(剩余)变量取值的经济意义?
3、原料的选择对成本的影响分析?
4、原料的价格对成本的影响分析?
5、降低成本提高经济效益的途径分析?
2
范文四：线性规划案例
线性规划案例1
北方某金属罐铸造厂生产计划的优化分析 一、 问题提出
北方某金属罐铸造厂历史悠久，一直是制造各类金属罐的专业厂家。其主要产品有4种，遵照厂家的意见，分别用代号A、B、C、D表示。近年来，产品销售情况良好，市场对这4种产品的需求量很大，而且预测结果表明，需求还有进一步扩大的趋势，但有些用户希望能有更多的不同功能的新产品问世，至少对原产品在现有基础上加以改进以满足某些特殊需要。这就面临着进一步扩大再生产，努力开发适销对路的新产品问题。已经做的一些基础工作是:对引进新的制罐技术和生产线有关资料和信息的调查和整理;对目前生产计划情况的成本核算及分析等等。但对如何调整当前的生产计划，是否下决心引进新技术和生产线，开发出来的新产品何时投入批量生产和正式投产最为有利等一系列问题尚缺乏科学的定量的决策依据。而厂里目前最关心的是资源问题，主要是各种加工设备的生产能力情况。关于对优化后生产计划进行灵敏度分析就是在这样的背景下提出来的。为了研究这个问题，首先必须将现有的4种主要产品生产的简单过程及生产计划的有关资料熟悉一下。
二、 生产主要过程
生产A、B、C、D 4种金属罐主要经过4个阶段:第一阶段是冲压:金属经冲压机冲压，制造成金属罐所需要的零件;第二阶段是成形:在该车间里把零件制成符合规格的形状;第三阶段是装配:在装
配车间，各种成形的零件按技术要求焊接在一起成为完整的金属罐;最后阶段是喷漆:装配好的金属罐送到喷漆车间被喷上防火的瓷漆装饰外表。
根据工艺要求及成本核算，单位产品所需要的加工时间、利润以及可供使用的总工时如下表所示。
可利用总
A B C D 产品 工时(分/单产加工时间(分) 天)
工序
1 1 1 1 480 冲压
4 8 2 5 2400 成形
4 2 5 5 2000 装配
6 4 8 4 3000 喷漆
9 6 11 8 单产利润(元)
该厂仅有一台冲压机，每天工作8小时，共计480分钟可供利用;另有若干成形车间、装配车间和喷漆车间，这些车间除承担本厂生产任务外，还承担科研实验和新产品开发试制等工作。这些车间每天可利用的总计时间分别不超过2400分，2000分和3000分。 要求:
1、最优生产计划:要求列出线性规划数学模型，打印输入数据表，
最优计算结果表;
Max f(x) = 9x+6x+11x+8x1234
x+x+x+x<= 4801234="">
4x+8x+2x+5x<= 24001234="">
4x+2x+5x+5x<= 20001234="">
6x+4x+8x+4x<=>
2、计算结果简单分析:说明各个松弛变量值及其意义;
说明4种资源的影子价格及其意义。制约当前生产的
关键资源是什么,
3、灵敏度分析
1)评价新产品:为了满足市场需求，不断开发新产品，该厂计划引进一种新型金属罐技术，生产E型金属罐。根据设计和计算得知，生产一个E型金属罐需要1分钟冲压时间，2分钟成形时间，6分钟装配时间和12分钟喷漆时间，单位产品利润为13元。试确定是否应生产E型金属罐,
2)B型金属罐在什么条件下可投产,
4、结论和建议
内部资料，
请勿外传～
20-2NSGA-IIMOGLS-4-6f2(x)-8-10-12-14-21-20-19-18-17-16-15-14-13f1(x)
范文五：线性规划案例
附录1 线性规划案例
1 Appendix 1: Projects of
Linear Programming
案例1 食油生产问题(1)
食油厂精炼两种类型的原料油——硬质油和软质油，并将精制油混合得到一种食油产品。硬质原料油来自两个产地:产地1和产地2，而软质原料油来自另外三个产地:产地3，产地4和产地5。据预测，这5种原料油的价格从一至六月分别为:
表1 原料油的价格(元/吨)
硬质1 硬质2 软质3 软质4 软质5
一月 110 120 130 110 115
二月 130 130 110 90 115
三月 110 140 130 100 95
四月 120 110 120 120 125
五月 100 120 150 110 105
六月 90 110 140 80 135
产品油售价为200元/吨。
硬质油和软质油需要由不同的生产线来精炼。硬质油生产线的每月最大处理能力为200吨，软质油生产线最大处理能力为250吨/月。五种原料油都备有贮罐，每个贮罐的容量均为1000吨，每吨原料油每月的存贮费用为5元。而各种精制油以及产品无油罐可存贮。精炼的加工费用可略去不计。产品的销售没有任何问题。
产品食油的硬度有一定的技术要求，它取决于各种原料油的硬度以及混合比例。产品食油的硬度与各种成份的硬度以及所占比例成线性关系。根据技术要求，产品食油的硬度必须不小于3.0而不大于6.0。各种原料油的硬度如下表(精制过程不会影响硬度):
195
附录1 线性规划案例
表2 各种原料油的硬度(无量纲)
硬质1 硬质2 软质3 软质4 软质5
8.8 6.1 2.0 4.2 5.0
假设在一月初，每种原料油都有500吨存贮而要求在六月底仍保持这样的贮备。
问题1:根据表1预测的原料油价格，编制逐月各种原料油采购量、耗用量及库存量计划，使本年内的利润最大。
:考虑原料油价格上涨对利润的影响。据市场预测分析，如果二月份硬质问题2
原料油价格比表1中的数字上涨,,，则软质油在二月份的价格将比表1中的数字上涨2,,，相应地，三月份，硬质原料油将上涨2,,，软质原料油将上涨4,,，依此类推至六月份。试分析,从1到20的各情况下，利润将如何变化, 案例2 食油生产问题(2)
在案例1中，附加以下条件，求解新的问题:
1.每一个月所用的原料油不多于三种。
2.如果在某一个月用一种原料油，那么这种油不能少于20吨。
3.如果在一个月中用了硬质油1或硬质油2，则在这个月中就必须用软质油5。 案例3 机械产品生产计划问题
机械加工厂生产7种产品(产品1到产品7)。该厂有以下设备:四台磨床、两台立式钻床、三台水平钻床、一台镗床和一台刨床。每种产品的利润(元/件，在这里，利润定义为销售价格与原料成本之差)以及生产单位产品需要的各种设备的工时(小时)如下表。表中的短划表示这种产品不需要相应的设备加工。
表3 产品的利润(元/件)和需要的设备工时(小时/件)
产品 1 2 3 4 5 6 7
单位产品利润 10.00 6.00 3.00 4.00 1.00 9.00 3.00
磨 床 0.50 0.70 -- -- 0.30 0.20 0.50
立 钻 0.10 2.00 -- 0.30 -- 0.6 --
水 平 钻 0.20 6.00 0.80 -- -- -- 0.60
镗 床 0.05 0.03 -- 0.07 0.10 -- 0.08
刨 床 -- -- 0.01 -- 0.05 -- 0.05
196
附录1 线性规划案例
从一月份至六月份，每个月中需要检修的设备是(在检修的月份，被检修的设备全月不能用于生产):
表4 设备检修计划
月份 计划检修设备及台数 月份 计划检修设备及台数
一月 一台磨床 四月 一台立式钻床
二月 二台立式钻床 五月 一台磨床和一台立式钻床
三月 一台镗床 六月 一台刨床和一台水平钻床
每个月各种产品的市场销售量的上限是:
表5 产品的市场销售量上限(件/月)
产品 1 2 3 4 5 6 7
一月 500 1000 300 300 800 200 100
二月 600 500 200 0 400 300 150
三月 300 600 0 0 500 400 100
四月 200 300 400 500 200 0 100
五月 0 100 500 100 1000 300 0
六月 500 500 100 300 1100 500 60
每种产品的最大库存量为100件，库存费用为每件每月0.5元，在一月初，所有产品都没有库存;而要求在六月底，每种产品都有50件库存。工厂每天开两班，每班8小时，为简单起见，假定每月都工作24天。
生产过程中，各种工序没有先后次序的要求。
问题1:制定六个月的生产、库存、销售计划，使六个月的总利润最大。
问题2:在不改变以上计划的前提下，哪几个月中哪些产品的售价可以提高以达到增加利润的目的。价格提高的幅度是多大,
问题3:哪些设备的能力应该增加,请列出购置新设备的优先顺序。
问题4:是否可以通过调整现有设备的检修计划来提高利润,提出一个新的设备检修计划，使原来计划检修的设备在这半年中都得到检修而使利润尽可能增加。
197
附录1 线性规划案例 案例4 最优设备检修计划问题
对案例3中的生产计划问题。构造一个最优设备检修计划模型，使在这半年中各
设备的检修台数满足案例3中的要求而使利润为最大。 案例5 人力计划问题
一个公司需要以下三类人员:不熟练工人、半熟练工人和熟练工人。据估计，当
前以及以后三年需要的各类人员的人数如下表:
表6 当前已有的各类人员数量及后三年需要的数量(人)
不熟练 半熟练 熟练
当前拥有 2000 1500 1000
第一年 1000 1400 1000
第二年 500 2000 1500
第三年 0 2500 2000 为满足以上人力需要，该公司考虑以下四种途径: 1、招聘工人
2、培训工人
3、辞退多余人员
4、用短工
每年都有自然离职的人员。在招聘的工人中，第一年离职的人数特别多，工作一
年以上再离职的人数就很少了。离职人数的比例如下表:
表7 离职的人数比例
不熟练 半熟练 熟练
工作不到一年 25, 20, 10,
工作一年以上 10, 5, 5, 当前没有招工，现有的工人都已工作一年以上。 1.招工。假定每年可以招聘的工作数量有一定的限制，如下表所示:
表8 每年招工人数限制(人)
不熟练 半熟练 熟练
198
附录1 线性规划案例
500 800 500
2.培训。每年最多可以将200个不熟练工人培训成半熟练工。每人每年的培训费是400元，每年将半熟练工培训成熟练工的人数不能超过该年初熟练工人的四分之一，培训半熟练工人成为熟练工人的费用是每人500元。
公司可以把工人降等使用(即让熟练工去做半熟练工或不熟练工的工作等等)，虽然这样公司不需要支付额外的费用，但被降等使用的工人中有50,会放弃工作而离去(以上所说的自然离职不包括这种情况)。
3.辞退多余人员。辞退一个多余的不熟练工人要付给他200元，而辞退一个半熟练工人或熟练工人要付给他500元。
4.额外招工。该公司总共可以额外招聘150人，对于每个额外招聘的人员，公司要付给他额外的费用如下表:
表9 额外招工的附加费用(元/人年)
不熟练 半熟练 熟练
1500 2000 3000
5.用短工。对每类人员，最多可招收50名短工，每个工的费用为
表10 短工的费用(元/人年)
不熟练 半熟练 熟练
500 400 400
每个短工的工作量相当于正常工作的一半。
问题1:如果公司的目标是尽量减少辞退人员。试提出相应的招工和培训计划。
问题2:如果公司的政策是尽量减少费用，这样额外的费用与上面的政策相比，可以减少多少,而辞退的人员将会增加多少,
案例6 炼油厂的优化问题
炼油厂购买两种原油(原油1和原油2)，这些原油经过四道工序处理:分馏、重整、裂化和调和，得到油和煤油用于销售。
1、分馏
分馏将每一种原油根据沸点不同分解为轻石脑油、中石脑油、重石脑油、轻油、重油和残油。轻、中、重石脑油的辛烷值分别是90、80和70，每桶原油可以产生的
199
附录1 线性规划案例
各种油分如下表:
表11 原油分馏得到的油分(桶/桶)
轻石脑油 中石脑油 重石脑油 轻 油 重油 残油
原油1 0.10 0.20 0.20 0.12 0.20 0.13
原油2 0.15 0.25 0.18 0.08 0.19 0.12
在分馏过程中有少量损耗。
2、重整
石脑油可以直接用来调合成不同等级的汽油，也可以进入重整过程。重整过程产生辛烷值为115的重整汽油，不同的石脑油经过重整可以得到的重整汽油为:
表12 石脑油经过重整后提到的重整汽油(桶/桶)
轻石脑油 中石脑油 重石脑油
重整汽油 0.6 0.52 0.45
3、裂化
轻油和重油可以直接经调合产生航空煤油，也可以经过催化裂化过程而产生裂化油和裂化汽油，裂化汽油的辛烷值为105，轻油和重油裂化产生的产品如下:
表13 轻油重油裂化产生的产品(桶/桶)
裂化油 裂化汽油
轻油 0.68 0.28
重油 0.75 0.20
裂化油可以用于调合成煤油和航空煤油，裂化汽油可用于调合或汽油。残油可以用来生产润滑油或者用于调合成航空煤油或煤油，一桶残油可以产生5.5桶润滑油。
4、调合
(1)汽油(发动机燃料)
有两种类型的汽油，普通汽油和高级汽油,这两种汽油都可以用石脑油、重整汽油和裂化汽油调合得到。普通汽油的辛烷值必须不低于84，而高级汽油的辛烷值必须不低于94，我们假定，调合成的汽油的辛烷值与各成份的辛烷值及含量成线性关系。
(2)航空煤油
航空煤油可以用汽油、重油、裂化油和残油调合而成。航空煤油的蒸汽压必须不
200
附录1 线性规划案例
超过每平方厘米1公斤，而轻油、重油、裂化油和残油的蒸汽压如表13。 表14 各种油品的蒸汽压(公斤,平方厘米)
轻油 重油 裂化油 残油
蒸汽压 1.0 0.6 1.5 0.05
可以认为，航空煤油的蒸汽压与各成份的蒸汽压及含量成线性关系。 (3)煤油
煤油由轻油、裂化油、重油和残油按10:4:3:1调合而成。各种油品的数量及处理
能力:
(A)每天原油1的可供应量为20,000桶;
(B)每天原油2的可供应量为30,000桶;
(C)每天最多可分馏45,000桶原油;
(D)每天最多可重整10,000桶石脑油;
(E)每天最多可裂化处理8,000桶;
(F)每天生产的润滑油必须在500桶到1,000桶之间; (G)高级汽油的产量必须是普通汽油产量的40,。
各种产品的利润如表14所示。
表15 各种最终产品的利润(元,桶)
高级汽油 普通汽油 航空煤油 煤 油 润滑油
利 润 0.7 0.6 0.4 0.35 0.15 问题:应如何制定炼油厂的生产计划，以得到最大利润。 为了清楚地表示整个炼油过程的工艺过程，用下图表示炼油厂的生产流程。
201
附录1 线性规划案例
汽高级汽油
油
普通汽油调轻石脑油重原油1分整合中石脑油
装馏
重石脑油置
装轻油裂原油2
化重油航空汽油置装煤置
油残煤油油调
合 润滑油润滑油装置
202
