【中考】2016年福建省泉州

范文一：【中考】2016年福建省泉州市中考数学试卷

2016年福建省泉州市中考数学试卷

一、选择题:每小题 3分, 共 21分. 每小题又四个答案, 其中有且只有一个答案是正确的, 请在答题卡上相应题目的答题区域内作答,答对的得 3分,答错或不答一律得 0分. 1. (3分) (2016? 泉州)﹣ 3的绝对值是()

A . 3 B .﹣ 3 C .﹣ D .

2. (3分) (2016? 泉州) (x 2y ) 3的结果是()

A . x 5y 3B . x 6y C . 3x 2y D . x 6y 3

3. (3分) (2016? 泉州)不等式组的解集是()

A . x ≤ 2 B. x >1 C. 1

4. (3分) (2016? 泉州) 如图, AB 和⊙ O 相切于点 B , ∠ AOB=60°, 则∠ A 的大小为 ()

A . 15°B . 30°C . 45°D . 60°

5. (3分) (2016? 泉州)一组数据:2, 5, 4, 3, 2的中位数是()

A . 4 B . 3.2 C . 3 D . 2

6. (3分) (2016? 泉州)如图,圆锥底面半径为 rcm ,母线长为 10cm ,其侧面展开图是圆心角为 216°的扇形,则 r 的值为()

A . 3 B . 6 C . 3πD . 6π

7. (3分) (2016? 泉州) 如图,已知点 A (﹣ 8, 0) , B (2, 0) ,点 C 在直线 y=﹣ 上, 则使△ ABC 是直角三角形的点 C 的个数为()

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

二、填空题:每小题 4分,共 40分,在答题卡上相应题目的答题区域内作答.

8. (4分) (2016? 泉州) 27的立方根为 .

9. (4分) (2016? 泉州)中国的陆地面积约为 9 600 000km2,把 9 600 000用科学记数法表示为 .

10. (4分) (2016? 泉州)因式分解:1﹣ x 2=.

11. (4分) (2016? 泉州)如图,在△ ABC 中, D 、 E 分别是边 AB 、 AC 的中点, BC=8,则 DE=

12. (4分) (2016? 泉州)十边形的外角和是 .

13. (4分) (2016? 泉州)计算:=.

14. (4分) (2016? 泉州)如图,在 Rt △ ABC 中, E 是斜边 AB 的中点,若 AB=10,则 CE=

15. (4分) (2016? 泉州)如图,⊙ O 的弦 AB 、 CD 相交于点 E ,若 CE :BE=2:3,则 AE : DE=

16. (4分) (2016? 泉州)找出下列各图形中数的规律,依此, a 的值为 .

17. (4分) (2016? 泉州)如图,在四边形 ABCD 中, AB ∥ DC , E 是 AD 中点, EF ⊥ BC 于点 F , BC=5, EF=3.

(1)若 AB=DC,则四边形 ABCD 的面积 S=;

(2) 若 AB >DC , 则此时四边形 ABCD 的面积 S ′ S (用 “ >” 或 “ =” 或 “ <” 填空)="">

三、解答题:共 89分,在答题卡相应题目的答题区域内作答.

18. (9分) (2016? 泉州)计算:(π﹣ 3) 0+|﹣ 2|﹣ ÷+(﹣ 1) ﹣ 1.

19. (9分) (2016? 泉州)先化简,再求值:(x +2) 2﹣ 4x (x +1) ,其中 x=.

20. (9分) (2016? 泉州) 如图, △ ABC 、 △ CDE 均为等腰直角三角形, ∠ ACB=∠ DCE=90°, 点 E 在 AB 上.求证:△ CDA ≌△ CEB .

21. (9分) (2016? 泉州) A 、 B 两组卡片共 5张, A 中三张分别写有数字 2, 4, 6, B 中两张分别写有 3, 5,它们除数字外没有任何区别.

(1)随机地从 A 中抽取一张,求抽到数字为 2的概率;

(2)随机地分别从 A 、 B 中各抽取一张,请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果. 现制定这样一个游戏规则:若所选出的两数之积为 3的倍数, 则甲获胜; 否则乙获胜. 请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗?为什么?

22. (9分) (2016? 泉州)近期,我市中小学广泛开展了 “ 传承中华文化,共筑精神家园 ” 爱国主义读书教育活动, 某中学为了解学生最喜爱的活动形式, 以 “ 我最喜爱的一种活动 ” 为主题,进行随机抽样调查, 收集数据整理后,绘制出以下两幅不完整的统计图表,请根据图中提供的信息,解答下面的问题:

多少度?

(2)如果这所中学共有学生 3800名,那么请你估计最喜爱征文活动的学生人数.

23. (9分) (2016? 泉州)已知反比例函数的图象经过点 P (2,﹣ 3) .

(1)求该函数的解析式;

(2) 若将点 P 沿 x 轴负方向平移 3个单位, 再沿 y 轴方向平移 n (n >0) 个单位得到点 P ′ , 使点 P ′ 恰好在该函数的图象上,求 n 的值和点 P 沿 y 轴平移的方向.

24. (9分) (2016? 泉州)某进口专营店销售一种 “ 特产 ” ,其成本价是 20元 /千克,根据以往的销售情况描出销量 y (千克 /天)与售价 x (元 /千克)的关系,如图所示.

(1)试求出 y 与 x 之间的一个函数关系式;

(2)利用(1)的结论:

① 求每千克售价为多少元时,每天可以获得最大的销售利润.

② 进口产品检验、运输等过程需耗时 5天,该 “ 特产 ” 最长的保存期为一个月(30天) ,若售价不低于 30元 /千克,则一次进货最多只能多少千克?

25. (13分) (2016? 泉州)我们知道:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧;平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.你可以利用这一结论解决问题:

如图,点 P 在以 MN (南北方向)为直径的⊙ O 上, MN=8, PQ ⊥ MN 交⊙ O 于点 Q ,垂足为 H , PQ ≠ MN ,弦 PC 、 PD 分别交 MN 于点 E 、 F ,且 PE=PF.

(1)比较与的大小;

(2)若 OH=2,求证:OP ∥ CD ;

(3)设直线 MN 、 CD 相交所成的锐角为 α,试确定 cos α=时,点 P 的位置.

26. (13分) (2016? 泉州)如图,在四边形 ABCD 中, AD ∥ BC ,∠ A=∠ C ,点 P 在边 AB 上.

(1)判断四边形 ABCD 的形状并加以证明;

(2) 若 AB=AD, 以过点 P 的直线为轴, 将四边形 ABCD 折叠, 使点 B 、 C 分别落在点 B ′ 、 C ′ 上,且 B ′ C ′ 经过点 D ,折痕与四边形的另一交点为 Q .

① 在图 2中作出四边形 PB ′ C ′ Q (保留作图痕迹,不必说明作法和理由) ;

② 如果∠ C=60°,那么为何值时, B ′ P ⊥ AB .

范文二：福建省泉州市2016年中考数学试卷及解析答案

2016年福建省泉州市中考数学试卷

一、选择题:每小题 3分,共 21分.每小题又四个答案,其中有且只有一个答案是正确的,请在答题卡上相应题目的答题区域内作答,答对的得 3分,答错或不答一律得 0分.

1.﹣ 3的绝对值是()

A . 3 B .﹣ 3 C

.﹣ D

2.(x 2y ) 3的结果是()

A . x 5y 3B . x 6y C . 3x 2y D . x 6y 3

3.不等式组的解集是()

A . x ≤ 2 B. x >1 C. 1

4.如图, AB 和⊙ O 相切于点 B ,∠ AOB=60°,则∠ A 的大小为()

A . 15°B . 30°C . 45°D . 60°

5.一组数据:2, 5, 4, 3, 2的中位数是()

A . 4 B . 3.2 C . 3 D . 2

6.如图,圆锥底面半径为 rcm ,母线长为 10cm ,其侧面展开图是圆心角为 216°的扇形,则 r 的值为 ()

A . 3 B . 6 C . 3πD . 6π

7.如图,已知点 A (﹣ 8, 0), B (2, 0),点 C 在直线 y=

﹣ 上,则使△ ABC 是直角三角形

的点 C 的个数为()

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

二、填空题:每小题 4分,共 40分,在答题卡上相应题目的答题区域内作答.

8. 27的立方根为 .

9.中国的陆地面积约为 9 600 000km2,把 9 600 000用科学记数法表示为 . 10.因式分解:1﹣ x 2=

11.如图,在△ ABC 中, D 、 E 分别是边 AB 、 AC 的中点, BC=8,则 DE=.

12.十边形的外角和是 °.

.计算:=.

14.如图,在 Rt △ ABC 中, E 是斜边 AB 的中点,若 AB=10,则 CE=

15.如图,⊙ O 的弦 AB 、 CD 相交于点 E ,若 CE :BE=2:3,则 AE :DE=.

16.找出下列各图形中数的规律,依此, a 的值为

17.如图,在四边形 ABCD 中, AB ∥ DC , E 是 AD 中点, EF ⊥ BC 于点 F , BC=5, EF=3.

(1)若 AB=DC,则四边形 ABCD 的面积 S=;

(2)若 AB >DC ,则此时四边形 ABCD 的面积 S ′ S (用 “ >” 或 “ =” 或 “ <”>

三、解答题:共 89分,在答题卡相应题目的答题区域内作答.

18.计算:(π﹣ 3) 0+|﹣ 2|

﹣

÷+(﹣ 1) ﹣ 1.

19.先化简,再求值:(x +2) 2﹣ 4x (x +1),其中

x=.

20.如图,△ ABC 、△ CDE 均为等腰直角三角形,∠ ACB=∠ DCE=90°,点 E 在 AB 上.求证:△ CDA ≌△ CEB .

21. A 、 B 两组卡片共 5张, A 中三张分别写有数字 2, 4, 6, B 中两张分别写有 3, 5,它们除数字外没有任何区别.

(1)随机地从 A 中抽取一张,求抽到数字为 2的概率;

(2)随机地分别从 A 、 B 中各抽取一张,请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果.现制定这样一个游戏规则:若所选出的两数之积为 3的倍数,则甲获胜;否则乙获胜.请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗?为什么?

22.近期,我市中小学广泛开展了 “ 传承中华文化,共筑精神家园 ” 爱国主义读书教育活动,某中学为了解学生最喜爱的活动形式,以 “ 我最喜爱的一种活动 ” 为主题,进行随机抽样调查,收集数据整理后,绘制出以下两幅不完整的统计图表,请根据图中提供的信息,解答下面的问题:

最喜爱的一种活动统计表

(1)在这次抽样调查中,一共调查了多少名学生?扇形统计图中 “ 讲故事 ” 部分的圆心角是多少度?

(2)如果这所中学共有学生 3800名,那么请你估计最喜爱征文活动的学生人数.

23.已知反比例函数的图象经过点 P (2,﹣ 3).

(1)求该函数的解析式;

(2)若将点 P 沿 x 轴负方向平移 3个单位,再沿 y 轴方向平移 n (n >0)个单位得到点 P ′ ,使点 P ′ 恰好在该函数的图象上,求 n 的值和点 P 沿 y 轴平移的方向.

24.某进口专营店销售一种 “ 特产 ” ,其成本价是 20元 /千克,根据以往的销售情况描出销量 y (千克 /天)与售价 x (元 /千克)的关系,如图所示.

(1)试求出 y 与 x 之间的一个函数关系式;

(2)利用(1)的结论:

① 求每千克售价为多少元时,每天可以获得最大的销售利润.

② 进口产品检验、运输等过程需耗时 5天,该 “ 特产 ” 最长的保存期为一个月(30天),若售价不低于 30元 /千克,则一次进货最多只能多少千克?

25.我们知道:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧;平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.你可以利用这一结论解决问题:

如图,点 P 在以 MN (南北方向)为直径的⊙ O 上, MN=8, PQ ⊥ MN 交⊙ O 于点 Q ,垂足为 H , PQ ≠ MN ,弦 PC 、 PD 分别交 MN 于点 E 、 F ,且 PE=PF.

)比较

与的大小;

(2)若

OH=2,求证:OP ∥ CD ;

(3)设直线 MN 、 CD 相交所成的锐角为 α,试确定 cos α

=时,点 P 的位置.

26.如图,在四边形 ABCD 中, AD ∥ BC ,∠ A=∠ C ,点 P 在边 AB 上.

(1)判断四边形 ABCD 的形状并加以证明;

(2)若 AB=AD,以过点 P 的直线为轴,将四边形 ABCD 折叠,使点 B 、 C 分别落在点 B ′ 、 C ′ 上, 且 B ′ C ′ 经过点 D ,折痕与四边形的另一交点为 Q .

① 在图 2中作出四边形 PB ′ C ′ Q (保留作图痕迹,不必说明作法和理由);

② 如果∠ C=60°

,那么为何值时, B ′ P ⊥ AB .

2016年福建省泉州市中考数学试卷

参考答案与试题解析

1.﹣ 3的绝对值是()

A . 3 B .﹣ 3 C

.﹣ D

【考点】绝对值.

【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解.第一步列出绝对值的表达式;第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号.

【解答】解:﹣ 3的绝对值是 3.

故选:A .

【点评】此题主要考查了绝对值的定义,规律总结:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数; 0的绝对值是 0.

2.(x 2y ) 3的结果是()

A . x 5y 3B . x 6y C . 3x 2y D . x 6y 3

【考点】幂的乘方与积的乘方.

【分析】直接利用积的乘方运算法则与幂的乘方运算法则化简求出答案.

【解答】解:(x 2y ) 3=x6y 3.

故选:D .

【点评】此题主要考查了积的乘方运算与幂的乘方运算,正确掌握运算法则是解题关键.

3.不等式组的解集是()

A . x ≤ 2 B. x >1 C. 1

【考点】解一元一次不等式组.

【分析】求出第一个不等式的解集,根据口诀:大小小大中间找可得不等式组的解集.

【解答】解:解不等式 x ﹣ 1>0,得:x >1,

∴不等式组的解集为:1

故选:C .

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知 “ 同大取大; 同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到 ” 的原则是解答此题的关键.

4.如图, AB 和⊙ O 相切于点 B ,∠ AOB=60°,则∠ A 的大小为()

A . 15°B . 30°C . 45°D . 60°

【考点】切线的性质.

【分析】由切线的性质得出∠ ABO=90°,由直角三角形的性质得出∠ A=90°﹣∠ AOB ,即可得出结果.

【解答】解:∵ AB 和⊙ O 相切于点 B ,

∴∠ ABO=90°,

∴∠ A=90°﹣∠ AOB=90°﹣ 60°=30°;

故选:B .

【点评】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质;熟练掌握切线的性质,证出∠ ABO=90°是解决问题的关键.

5.一组数据:2, 5, 4, 3, 2的中位数是()

A . 4 B . 3.2 C . 3 D . 2

【考点】中位数.

【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数,众数是一组数据中出现次数最多的数据,注意众数可以不止一个.

【解答】解:将数据由小到大排列

2, 2, 3, 4, 5,

中位数是 3,

故选:C .

【点评】本题考查了中位数,一些学生往往对这个概念掌握不清楚,计算方法不明确而误选其它选项,注意找中位数的时候一定要先排好顺序,然后再根据奇数和偶数个来确定中位数,如果数据有奇数个,则正中间的数字即为所求,如果是偶数个则找中间两位数的平均数.

6.如图,圆锥底面半径为 rcm ,母线长为 10cm ,其侧面展开图是圆心角为 216°的扇形,则 r 的值为 ()

A . 3 B . 6 C . 3πD . 6π

【考点】圆锥的计算.

【分析】直接根据弧长公式即可得出结论.

【解答】解:∵圆锥底面半径为 rcm ,母线长为 10cm ,其侧面展开图是圆心角为 216°的扇形,

∴ 2π

r=×2π×10,解得 r=6.

故选 B .

【点评】本题考查的是圆锥的计算,熟记弧长公式是解答此题的关键.

7.如图,已知点 A (﹣ 8, 0), B (2, 0),点 C 在直线 y=

﹣ 上,则使△ ABC 是直角三角形

的点 C 的个数为()

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

【考点】一次函数图象上点的坐标特征;勾股定理的逆定理.

【分析】根据∠ A 为直角,∠ B 为直角与∠ C 为直角三种情况进行分析. 【解答】解:如图,

① 当∠ A 为直角时,过点 A 作垂线与直线的交点 W (﹣ 8, 10), ② 当∠ B 为直角时,过点 B 作垂线与直线的交点 S (2, 2.5),

③ 若∠ C 为直角

则点 C 在以线段 AB 为直径、 AB 中点 E (﹣ 3, 0)为圆心的圆与直线 y=

﹣ 的交点上.

过点 E 作垂线与直线的交点为 F (﹣ 3

, ),则

EF=

∵直线 y=

﹣ 与 x 轴的交点 M

为(, 0),

∴

EM=,

EF=

∵ E 到直线 y=

﹣ 的距离

d==5

∴以线段 AB 为直径、 E (﹣ 3, 0)为圆心的圆与直线 y=

﹣ 恰好有一个交点.

所以直线 y=

﹣ 上有一点 C 满足∠ C=90°.

综上所述,使△ ABC 是直角三角形的点 C 的个数为 3,

故选:C .

【点评】本题考查的是一次函数综合题,在解答此题时要分三种情况进行讨论,关键是根据圆周角定理判断∠ C 为直角的情况是否存在.

二、填空题:每小题 4分,共 40分,在答题卡上相应题目的答题区域内作答.

8. 27的立方根为

【考点】立方根.

【专题】计算题.

【分析】找到立方等于 27的数即可.

【解答】解:∵ 33=27,

∴ 27的立方根是 3,

故答案为:3.

【点评】考查了求一个数的立方根,用到的知识点为:开方与乘方互为逆运算.

9.中国的陆地面积约为 9 600 000km2,把 9 600 000用科学记数法表示为 9.6×106.

【考点】科学记数法 — 表示较大的数.

【分析】科学记数法的表示形式为 a ×10n 的形式,其中 1≤ |a |<10, n="" 为整数.确定="" n="" 的值时,要="" 看把原数变成="" a="" 时,小数点移动了多少位,="" n="" 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值="">1时, n 是正数;当原数的绝对值<1时, n="">

【解答】解:将 9600000用科学记数法表示为 9.6×106.

故答案为 9.6×106.

【点评】本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a ×10n 的形式,其中 1≤ |a | <10, n="" 为整数,表示时关键要正确确定="" a="" 的值以及="" n="">

10.因式分解:1﹣ x 2=(1﹣ x )(1+x ) .

【考点】因式分解 -运用公式法.

【分析】根据平方差公式可以将题目中的式子进行因式分解.

【解答】解:∵ 1﹣ x 2=(1﹣ x )(1+x ),

故答案为:(1﹣ x )(1+x ).

【点评】本题考查因式分解﹣运用公式法,解题的关键是明确平方差公式,会运用平方差公式进行因式分解.

11.如图,在△ ABC 中, D 、 E 分别是边 AB 、 AC 的中点, BC=8,则 DE=4

【考点】三角形中位线定理.

【专题】计算题.

【分析】根据三角形的中位线定理得到

DE=BC ,即可得到答案.

【解答】解:∵ D 、 E 分别是边 AB 、 AC 的中点, BC=8,

∴

DE=BC=4.

故答案为:4.

【点评】本题主要考查对三角形的中位线定理的理解和掌握,能正确运用三角形的中位线定理进行计算是解此题的关键.

12.十边形的外角和是 360°.

【考点】多边形内角与外角.

【专题】常规题型.

【分析】根据多边形的外角和等于 360°解答.

【解答】解:十边形的外角和是 360°.

故答案为:360.

【点评】本题主要考查了多边形的外角和等于 360°,多边形的外角和与边数无关,任何多边形的外角和都是 360°.

.计算:=3.

【考点】分式的加减法.

【专题】计算题;分式.

【分析】原式利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果.

【解答】解:原式

==3,

故答案为:3

【点评】此题考查了分式的加减法,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 14.如图,在 Rt △ ABC 中, E 是斜边 AB 的中点,若 AB=10,则 CE=5

【考点】直角三角形斜边上的中线.

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可得答案.

【解答】解:由直角三角形的性质,得

CE=AB=5,

故答案为:5.

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半, 利用直角三角形的性质是解题关键. 15.如图,⊙ O 的弦 AB 、 CD 相交于点 E ,若 CE :BE=2:3,则 AE :DE=23.

【考点】相交弦定理.

【分析】根据相交弦定理得到 AE ? BE=CE? DE ,于是得到结论.

【解答】解:∵⊙ O 的弦 AB 、 CD 相交于点 E ,

∴ AE ? BE=CE? DE ,

∴ AE :DE=CE:BE=2:3,

故答案为:2:3.

【点评】此题考查了相交弦定理,熟练掌握相交弦定理是解题的关键.

16.找出下列各图形中数的规律,依此, a 的值为 226.

【考点】规律型:数字的变化类.

【分析】由 0+2=1×2, 2+10=3×4, 4+26=5×6, 6+50=7×8,得出规律,即可得出 a 的值.

【解答】解:根据题意得出规律:14+a=15×16,

解得:a=226;

故答案为:226.

【点评】本题考查了数字的变化美;根据题意得出规律是解决问题的关键.

17.如图,在四边形 ABCD 中, AB ∥ DC , E 是 AD 中点, EF ⊥ BC 于点 F , BC=5, EF=3.

(1)若 AB=DC,则四边形 ABCD 的面积 S=15;

(2)若 AB >DC ,则此时四边形 ABCD 的面积 S ′ =S (用 “ >” 或 “ =” 或 “ <”>

【考点】平行四边形的判定与性质.

【专题】推理填空题.

【分析】(1)若 AB=DC,则四边形 ABCD 是平行四边形,据此求出它的面积是多少即可. (2)连接 EC ,延长 CD 、 BE 交于点 P ,证△ ABE ≌△ DPE 可得 S △ ABE =S△ DPE 、 BE=PE,由三角形

中线性质可知 S △ BCE =S△ PCE ,最后结合 S

四边形 ABCD

=S△ ABE +S △ CDE +S △ BCE 可得答案.

【解答】解:(1)∵ AB=DC, AB ∥ DC ,

∴四边形 ABCD 是平行四边形,

∴四边形 ABCD 的面积 S=5×3=15,

故答案为:15.

(2)如图,连接 EC ,延长 CD 、 BE 交于点 P ,

∵ E 是 AD 中点,

∴ AE=DE,

又∵ AB ∥ CD ,

∴∠ ABE=∠ P ,∠ A=∠ PDE , 在△ ABE 和△ DPE 中,

∵ ,

∴△ ABE ≌△ DPE (AAS ),

∴ S △ ABE =S△ DPE , BE=PE,

∴ S △ BCE =S△ PCE ,

则 S

四边形 ABCD

=S△ ABE +S △ CDE +S △ BCE =S△ PDE +S △ CDE +S △ BCE

=S△ PCE +S △ BCE

=2S△ BCE

××BC ×EF

=15,

∴当 AB >DC ,则此时四边形 ABCD 的面积 S ′ =S,

故答案为:=.

【点评】此题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用及全等三角形的判定与性质,通过构建全等三角形将梯形面积转化为三角形面积去求是解题的关键.

三、解答题:共 89分,在答题卡相应题目的答题区域内作答.

18.计算:(π﹣ 3) 0+|﹣ 2|

﹣

÷+(﹣ 1) ﹣ 1.

【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂.

【分析】分别进行零指数幂、绝对值的化解、二次根式的化简、负整数指数幂等运算,然后合并. 【解答】解:原式 =1+2﹣ 2﹣ 1

=0.

【点评】本题考查了实数的运算,涉及了零指数幂、绝对值的化解、二次根式的化简、负整数指数幂等知识,属于基础题.

范文三：福建省泉州市2016年中考数学试卷(解析版)

2016年福建省泉州市中考数学试卷

一、选择题选择题::每小题 3分 , 共 21分 . 每小题又四个答案每小题又四个答案, , 其中有且只有一个答案是正确的其中有且只有一个答案是正确的, , 请在答题卡上相应题目的答题区域内作答题卡上相应题目的答题区域内作答, , 答对的得 3分 , 答错或不答一律得 0分 . 1.﹣ 3的绝对值是() A . 3

B .﹣ 3C .﹣

. 2.(x 2y ) 3的结果是(

)

A . x 5y 3B . x 6y C . 3x 2y D . x 6y 33.不等式组

的解集是(

)

A . x ≤ 2B . x >1C . 1

4.如图, AB 和⊙ O 相切于点 B ,∠ AOB=60°,则∠ A 的大小为(

)

A . 15°B . 30°C . 45°D . 60°

5.一组数据:2, 5, 4, 3, 2的中位数是()

A . 4

B . 3.2

C . 3

D . 2

6.如图,圆锥底面半径为 rcm ,母线长为 10cm ,其侧面展开图是圆心角为 216°的扇形,则 r 的值为 (

)

A . 3B . 6C . 3πD . 6π

7.如图,已知点 A (﹣ 8, 0), B (2, 0),点 C 在直线 y=﹣ 上,则使△ ABC 是直角三角形

的点 C 的个数为(

)

A . 1B . 2C . 3D . 4

二、填空题

填空题:

:每小题 4分 , 共 40分 , 在答题卡上相应题目的答题区域内作答

在答题卡上相应题目的答题区域内作答.

8. 27

9.中国的陆地面积约为 9600000km 2,把 9600000用科学记数法表示为 . 10.因式分解:1﹣ x 2=

11.如图,在△ ABC 中, D 、 E 分别是边 AB 、 AC 的中点, BC=8,则 DE=

12.十边形的外角和是 .

.计算:=.

14.如图,在 Rt △ ABC 中, E 是斜边 AB 的中点,若 AB=10,则 CE=

. 15.如图,⊙ O 的弦 AB 、 CD 相交于点 E ,若 CE :BE=2:3,则 AE :

16.找出下列各图形中数的规律,依此, a 的值为 .

17.如图,在四边形 ABCD 中, AB ∥ DC , E 是 AD 中点, EF ⊥ BC 于点 F , BC=5, EF=3.

(1)若 AB=DC,则四边形 ABCD 的面积 S=;

(2)若 AB >DC ,则此时四边形 ABCD 的面积 S ′ S (用 “ >” 或 “ =” 或 “ <>

填空). 三、解答题

解答题:

:共 89分 , 在答题卡相应题目的答题区域内作答

在答题卡相应题目的答题区域内作答.

18.计算:(π﹣ 3) 0+|﹣ 2

|﹣

÷+(﹣ 1) ﹣ 1.

19.先化简,再求值:(x +2) 2﹣ 4x (x +1),其中

x=.

20.如图,△ ABC 、△ CDE 均为等腰直角三角形,∠ ACB=∠ DCE=90°,点 E 在 AB 上.求证:△ CDA ≌△ CEB

21. A 、 B 两组卡片共 5张, A 中三张分别写有数字 2, 4, 6, B 中两张分别写有 3, 5,它们除数字外没有任何区别.

(1)随机地从 A 中抽取一张,求抽到数字为 2的概率;

(2)随机地分别从 A 、 B 中各抽取一张,请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果.现制定这样一个游戏规则:若所选出的两数之积为 3的倍数,则甲获胜;否则乙获胜.请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗?为什么?

最喜爱的一种活动统计表

活动形式征文讲故事演讲网上竞答其他

人数 603039a

(1)在这次抽样调查中,一共调查了多少名学生?扇形统计图中 “ 讲故事 ” 部分的圆心角是多少度?

(2)如果这所中学共有学生 3800名,那么请你估计最喜爱征文活动的学生人数.

23.已知反比例函数的图象经过点 P (2,﹣ 3).

(1)求该函数的解析式;

(2)若将点 P 沿 x 轴负方向平移 3个单位,再沿 y 轴方向平移 n (n >0)个单位得到点 P ′ ,使点 P ′ 恰好在该函数的图象上,求 n 的值和点 P 沿 y 轴平移的方向.

24.某进口专营店销售一种 “ 特产 ” ,其成本价是 20元 /千克,根据以往的销售情况描出销量 y (千克 /天)与售价 x (元 /千克)的关系,如图所示.

(1)试求出 y 与 x 之间的一个函数关系式;

(2)利用(1)的结论:

① 求每千克售价为多少元时,每天可以获得最大的销售利润.

② 进口产品检验、运输等过程需耗时 5天,该 “ 特产 ” 最长的保存期为一个月(30天),若售价不低于 30元 /千克,则一次进货最多只能多少千克?

25.我们知道:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧;平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.你可以利用这一结论解决问题:

如图,点 P 在以 MN (南北方向)为直径的⊙ O 上, MN=8, PQ ⊥ MN 交⊙ O 于点 Q ,垂足为 H , PQ ≠ MN ,弦 PC 、 PD 分别交 MN 于点 E 、 F ,且 PE=PF.

)比较与的大小;

(2)若

OH=2,求证:OP ∥ CD ;

(3)设直线 MN 、 CD 相交所成的锐角为 α,试确定 cos α=时,点 P

的位置.

26.如图,在四边形 ABCD 中, AD ∥ BC ,∠ A=∠ C ,点 P 在边 AB 上.

(1)判断四边形 ABCD 的形状并加以证明;

(2)若 AB=AD,以过点 P 的直线为轴,将四边形 ABCD 折叠,使点 B 、 C 分别落在点 B ′ 、 C ′ 上, 且 B ′ C ′ 经过点 D ,折痕与四边形的另一交点为 Q .

① 在图 2中作出四边形 PB ′ C ′ Q (保留作图痕迹,不必说明作法和理由);

② 如果∠ C=60°

,那么为何值时, B ′ P ⊥ AB .

2016年福建省泉州市中考数学试卷

参考答案与试题解析

B .﹣ 3C .﹣

【考点】绝对值.

【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解.第一步列出绝对值的表达式;第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号. 【解答】解:﹣ 3的绝对值是 3. 故选:A .

【点评】此题主要考查了绝对值的定义,规律总结:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数; 0的绝对值是 0.

2.(x 2y ) 3的结果是(

)

A . x 5y 3B . x 6y C . 3x 2y D . x 6y 3【考点】幂的乘方与积的乘方.

【分析】直接利用积的乘方运算法则与幂的乘方运算法则化简求出答案. 【解答】解:(x 2y ) 3=x6y 3. 故选:D .

【点评】此题主要考查了积的乘方运算与幂的乘方运算,正确掌握运算法则是解题关键.

3.不等式组的解集是()

A . x ≤ 2B . x >1C . 1

【分析】求出第一个不等式的解集,根据口诀:大小小大中间找可得不等式组的解集. 【解答】解:解不等式 x ﹣ 1>0,得:x >1,

∴不等式组的解集为:1

故选:C .

4.如图, AB 和⊙ O 相切于点 B ,∠ AOB=60°,则∠ A 的大小为(

)

A . 15°B . 30°C . 45°D . 60°

【考点】切线的性质.

【分析】由切线的性质得出∠ ABO=90°,由直角三角形的性质得出∠ A=90°﹣∠ AOB ,即可得出结果.

【解答】解:∵ AB 和⊙ O 相切于点 B ,

∴∠ ABO=90°,

∴∠ A=90°﹣∠ AOB=90°﹣ 60°=30°;

故选:B .

【点评】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质;熟练掌握切线的性质,证出∠ ABO=90°是解决问题的关键.

5.一组数据:2, 5, 4, 3, 2的中位数是()

A . 4B . 3.2C . 3D . 2

【考点】中位数.

【解答】解:将数据由小到大排列

2, 2, 3, 4, 5,

中位数是 3,

故选:C .

6.如图,圆锥底面半径为 rcm ,母线长为 10cm ,其侧面展开图是圆心角为 216°的扇形,则 r 的值为 (

)

A . 3B . 6C . 3πD . 6π

【考点】圆锥的计算.

【分析】直接根据弧长公式即可得出结论.

【解答】解:∵圆锥底面半径为 rcm ,母线长为 10cm ,其侧面展开图是圆心角为 216°的扇形, ∴ 2πr=×2π×10,解得 r=6.

故选 B .

【点评】本题考查的是圆锥的计算,熟记弧长公式是解答此题的关键.

7.如图,已知点 A (﹣ 8, 0), B (2, 0),点 C 在直线 y=﹣ 上,则使△ ABC 是直角三角形的点 C 的个数为(

)

A . 1B . 2C . 3D . 4

【考点】一次函数图象上点的坐标特征;勾股定理的逆定理.

【分析】根据∠ A 为直角,∠ B 为直角与∠ C 为直角三种情况进行分析.

【解答】解:如图,

① 当∠ A 为直角时,过点 A 作垂线与直线的交点 W (﹣ 8, 10),

② 当∠ B 为直角时,过点 B 作垂线与直线的交点 S (2, 2.5),

③ 若∠ C 为直角

则点 C 在以线段 AB 为直径、 AB 中点 E (﹣ 3, 0)为圆心的圆与直线 y=﹣ 的交点上.

过点 E 作垂线与直线的交点为 F (﹣ 3, ),则

EF=

∵直线 y=﹣ 与 x 轴的交点 M 为(, 0),

∴ EM=, EF=

∵ E 到直线 y=﹣ 的距离 d==5

∴以线段 AB 为直径、 E (﹣ 3, 0)为圆心的圆与直线 y=﹣ 恰好有一个交点.

所以直线 y=﹣ 上有一点 C 满足∠ C=90°.

综上所述,使△ ABC 是直角三角形的点 C 的个数为 3,

故选:C .

【点评】本题考查的是一次函数综合题,在解答此题时要分三种情况进行讨论,关键是根据圆周角定理判断∠ C 为直角的情况是否存在.

二、填空题

填空题:

:每小题 4分 , 共 40分 , 在答题卡上相应题目的答题区域内作答

在答题卡上相应题目的答题区域内作答.

8. 27.

【考点】立方根.

【专题】计算题.

范文四：2016年福建省泉州市中考数学试卷(解析版)

2016年福建省泉州市中考数学试卷

总分：150

一、选择题：每小题3分，共21分．每小题又四个答案，其中有且只有一个答案是正确的，请在答题卡上相应题目的答题区域内作答，答对的得3分，答错或不答一律得0分．

1．-3的绝对值是（）

A ．3 B．-3 C． 1 D．1

【考点】绝对值．

【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解. 第一步列出绝对值的表达式; 第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．

【解答】解： |-3|=3．故-3的绝对值是3．故选A ．

【点评】考查了积的绝对值的定义，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．

2．（x y ）的结果是（）

A ．x y B．x y C．3x y D．x y

【考点】幂的乘方与积的乘方．

【分析】直接利用积的乘方运算法则与幂的乘方运算法则化简求出答案．

【解答】解：（x y ）=xy ．

故选：D ．

【点评】此题主要考查了积的乘方运算与幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．

3．不等式组 x?1＞0 的解集是（）

x≤2

A ．x ≤2 B．x ＞1 C．10，得：x ＞1，

∴不等式组的解集为：11时，n 是正数；当原数的绝对值DC ，则此时四边形ABCD 的面积S ′ _____ S（用“＞”或“=”或“DC ，则此时四边形ABCD 的面积S ′=S，

故答案为：=．

【点评】此题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用及全等三角形的判定与性质，通过构建全等三角形将梯形面积转化为三角形面积去求是解题的关键．

三、解答题：共89分，在答题卡相应题目的答题区域内作答．

18．计算：（π-3）+|-2|-20 +（-1）．

【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．

【分析】分别进行零指数幂、绝对值的化解、二次根式的化简、负整数指数幂等运算，然后合并．

【解答】解：原式=1+2-2-1=0．

【点评】本题考查了实数的运算，涉及了零指数幂、绝对值的化解、二次根式的化简、负整数指数幂等知识，属于基础题．

19．先化简，再求值：（x+2）-4x （x+1），其中x=．

【考点】整式的混合运算—化简求值．

【专题】计算题；整式．

【分析】原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值．

【解答】解：原式=x+4x+4-4x-4x=-3x+4，

当x=2时，原式=-6+4=-2．

【点评】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20．如图，△ABC 、△CDE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点E 在AB 上．求证：△CDA ≌△CEB ．

22220-1

【考点】全等三角形的判定；等腰直角三角形．

【专题】证明题．

【分析】根据等腰直角三角形的性质得出CE=CD，BC=AC，再利用全等三角形的判定证明即可．

【解答】证明：∵△ABC 、△CDE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，

∴CE=CD，BC=AC，

∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE ，

∴∠ECB=∠DCA ，

在△CDA 与△CEB 中

BC＝AC

∠ECB ＝∠DCA ，

EC＝DC

∴△CDA ≌△CEB ．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记等腰直角三角形的性质是解题的关键．

21．A 、B 两组卡片共5张，A 中三张分别写有数字2，4，6，B 中两张分别写有3，5，它们除数字外没有任何区别．

（1）随机地从A 中抽取一张，求抽到数字为2的概率；

（2）随机地分别从A 、B 中各抽取一张，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果．现制定这样一个游戏规则：若所选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜．请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？

【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．

【分析】（1）根据概率的定义列式即可；

（2）画出树状图，然后根据概率的意义分别求出甲、乙获胜的概率，从而得解．

【解答】解：（1）P=；

（2）由题意画出树状图如下：

一共有6种情况，

甲获胜的情况有4种，P=4=2，

乙获胜的情况有2种，P=2=1，

所以，这样的游戏规则对甲乙双方不公平．

【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比

22．近期，我市中小学广泛开展了“传承中华文化，共筑精神家园”爱国主义读书教育活动，某中学为了解学生最喜爱的活动形式，以“我最喜爱的一种活动”为主题，进行随机抽样调查，收集数据整理后，绘制出以下两幅不完整的统计图表，请根据图中提供的信息，解答下面的问题：

最喜爱的一种活动统计表

（1）在这次抽样调查中，一共调查了多少名学生？扇形统计图中“讲故事”部分的圆心角是多少度？

（2）如果这所中学共有学生3800名，那么请你估计最喜爱征文活动的学生人数．

【考点】扇形统计图；用样本估计总体．

【专题】计算题；数据的收集与整理．

【分析】（1）根据“演讲”的人数除以占的百分比，得到调查的总学生人数，并求出扇形统计图中“讲故事”部分的圆心角度数即可；

（2）求出最喜爱征文活动的学生人数占的百分比，乘以3800即可得到结果．

【解答】解：（1）根据题意得：39÷13%=300（名），

则“讲故事”所占的比例为30÷300×100%=10%，

所以扇形统计图中“讲故事”部分的圆心角是10%×360°=36°，

则在这次抽样调查中，一共调查了300名学生，扇形统计图中“讲故事”部分的圆心角是36°；

（2）根据题意得：3800×20%=760（名），

则最喜爱征文活动的学生人数为760名．

【点评】此题考查了扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键．

23．已知反比例函数的图象经过点P （2，-3）．

（1）求该函数的解析式；

（2）若将点P 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴方向平移n （n ＞0）个单位得到点P ′，使点P ′恰好在该函数的图象上，求n 的值和点P 沿y 轴平移的方向．

【考点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-平移．

【分析】（1）将点P 的坐标代入反比例函数的一般形式即可确定其解析式；

（2）首先确定平移后的横坐标，然后代入确定其纵坐标，从而确定沿y 轴平移的方向和距离．

【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y =

∵图象经过点P （2，-3），

∴k=2×（-3）=-6， ∴反比例函数的解析式为y =-

（2）∵点P 沿x 轴负方向平移3个单位，

∴点P ′的横坐标为2-3=-1，

∴当x=-1时，y =-k ， x 6； x 6=6， -1

∴∴n=6-（-3）=9，

∴沿着y 轴平移的方向为正方向．

【点评】本题考查了待定系数法确定反比例函数的解析式及坐标的平移的知识，解题的关键时确定反比例函数的解析式．

24．某进口专营店销售一种“特产”，其成本价是20元/千克，根据以往的销售情况描出销量y （千克/天）与售价x （元/千克）的关系，如图所示．

（1）试求出y 与x 之间的一个函数关系式；

（2）利用（1）的结论：

①求每千克售价为多少元时，每天可以获得最大的销售利润．

②进口产品检验、运输等过程需耗时5天，该“特产”最长的保存期为一个月（30天），若售价不低于30元/千克，则一次进货最多只能多少千克？

【考点】二次函数的应用．

【分析】（1）我们根据图中的信息可看出，图形经过（37，38），（39，34），（40，32），根据待定系数法可求函数关系式；

（2）①根据函数的最值问题即可求解；

②根据“特产”的保存时间和运输路线的影响，“特产”的销售时间最多是25天．要想使售价不低于30元/千克，就必须在最多25天内卖完，当售价为30元/千克时，销售量已经由（1）求出，因此可以根据最多进货的量÷30元/千克时的销售量≤25天，由此来列不等式，求出最多的进货量．

【解答】解：（1）设y 与x 之间的一个函数关系式为y=kx+b，则

38＝37k+b ，解得 k＝?2 ．

34＝39k+b b＝112

故函数关系式为y=-2x+112；

（2）依题意有 w=（x-20）（-2x+112）=-2（x-38）+324，

故每千克售价为38元时，每天可以获得最大的销售利润；

（3）由题意可得，售价越低，销量越大，即能最多的进货，

设一次进货最多m 千克，则m ≤30-5， 2×30+112

解得：m ≤1300．

故一次进货最多只能是1300千克．

【点评】本题通过考查一次函数的应用来考查从图象上获取信息的能力．得出销售定价和销售量的函数关系是解题的关键．

25．我们知道：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦．你可以利用这一结论解决问题：

如图，点P 在以MN （南北方向）为直径的⊙O 上，MN=8，PQ ⊥MN 交⊙O 于点Q ，垂足为H ，PQ ≠MN ，弦PC 、PD 分别交MN 于点E 、F ，且PE=PF．

（1）比较与的大小；

（2）若OH=22，求证：OP ∥CD ；

（3）设直线MN 、CD 相交所成的锐角为α，试确定cos α=时，点P 的位置．

【考点】圆的综合题．

【专题】综合题．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质，由PE=PF，PH ⊥EF 可判断PH 平分∠FPE ，然后根据圆中角定理得到为等腰直角三角形得到∠POQ=90°，然后根据垂径的推理由则根据平行线的判定方法得OP ∥CD ；

（3）直线CD 交MN 于A ，如图，由特殊角的三角函数值得∠α=30°，即直线MN 、CD 相交所成的锐角为30°，利用OB ⊥CD 得到∠AOB=60°，则∠POH=60°，然后在Rt △POH 中利用正弦的定义计算出PH 即可．

【解答】（1）解：∵PE=PF，PH ⊥EF ，

∴PH 平分∠FPE ，

∴∠DPQ=∠CPQ ， ∴

=；

（2）证明：连结CD 、OP 、OQ ，OQ 交CD 于B ，如图，

=得到OQ ⊥CD ， =；（2）连结CD 、OP 、OQ ，OQ 交CD 于B ，如图，先计算出PH=22，则可判断△OPH 为等腰直角三角形得到∠OPQ=45°，再判断△OPQ

∵OH=22，OP=4，

∴PH=42-(22) 2 2，

∴△OPH 为等腰直角三角形，

∴∠OPQ=45°，

而OP=OQ，

∴△OPQ 为等腰直角三角形，

∴∠POQ=90°，

∴OP ⊥OQ ， ∵

=，

∴OQ ⊥CD ，

∴OP ∥CD ；

（3）解：直线CD 交MN 于A ，如图，

∵cos α=，

∴∠α=30°，即直线MN 、CD 相交所成的锐角为30°，

而OB ⊥CD ，

∴∠AOB=60°，

∵OH ⊥PQ ，

∴∠POH=60°，

在Rt △POH 中，∵sin ∠POH=PH ，

∴PH=4sin60°=2，

即点P 到MN 的距离为2．

【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理及其推理、圆周角定理；能够灵活应用等腰直角三角形的性质和三角函数进行几何计算．

26．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=∠C ，点P 在边AB 上．

（1）判断四边形ABCD 的形状并加以证明；

（2）若AB=AD，以过点P 的直线为轴，将四边形ABCD 折叠，使点B 、C 分别落在点B ′、C ′上，且B ′C ′经过点D ，折痕与四边形的另一交点为Q ．

①在图2中作出四边形PB ′C ′Q （保留作图痕迹，不必说明作法和理由）；

②如果∠C=60°，那么AP 为何值时，B ′P ⊥AB ．

【考点】四边形综合题；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．

【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行判断；

（2）①根据轴对称的性质进行作图即可；②先根据折叠得出一些对应边相等，对应角相等，并推导出B ′D=B′E ，再设AP=a，BP=b，利用解直角三角形将DQ 和CQ 长用含a 的代数式表示出来，最后根据CD=DQ+CQ列出关于a 、b 的关系式，求得a 、b 的比值即可．

【解答】解：（1）四边形ABCD 是平行四边形

证明：∵在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，

∴∠A+∠B=180°，

∵∠A=∠C ，

∴∠C+∠B=180°，

∴AB ∥CD ，

∴四边形ABCD 是平行四边形；

（2）①作图如下：

②当AB=AD时，平行四边形ABCD 是菱形，

由折叠可得，BP=B′P ，CQ=C′Q ，BC=B′C ′，∠C=∠C ′=60°=∠A ，

当B ′P ⊥AB 时，由B ′P ∥C ′Q ，可得C ′Q ⊥CD ，

∴∠PEA=30°=∠DEB ′，∠QDC ′=30°=∠B ′DE ，

∴B ′D=B′E ，

设AP=a，BP=b，则直角三角形APE 中，PE=a，且B ′P=b，BC=B′C ′=CD=a+b，

∴B ′E=b-a=B′D ，

∴C ′D=a+b-（b-a ）=a+a ，

∴直角三角形C ′QD 中，C ′Q=1+3a =CQ，DQ=C ′Q=3+3a ，

∵CD=DQ+CQ=a+b， ∴3+3a +1+a =a+b，

整理得（+1）a=b， ∴a =b -1． 1-1，即AP ==PB 22+1

【点评】本题主要考查了平行四边形以及菱形，解题的关键是掌握平行四边形的判定以及菱形的判定与性质．在解题时注意，菱形的四条边都相等，此外在折叠问题中，需要抓住对应边相等，对应角相等这些等量关系，折叠问题的实质是轴对称的性质．

范文五：福建省泉州市2016年中考数学试卷(解析版)

2016年福建省泉州市中考数学试卷

一、选择题:每小题 3分,共 21分.每小题又四个答案,其中有且只有一个答案是正确的,请在答题卡上相应题目的答题区域内作答,答对的得 3分,答错或不答一律得 0分. 1.﹣ 3的绝对值是( ) A . 3

B .﹣ 3 C .﹣ D .

2.(x 2y ) 3的结果是( ) A . x 5y 3 B . x 6y C . 3x 2y D . x 6y 3 3.不等式组

的解集是( )

A . x ≤ 2 B. x >1 C. 1

4.如图, AB 和⊙ O 相切于点 B ,∠ AOB=60°,则∠ A 的大小为( )

A . 15° B . 30° C . 45° D . 60°

5.一组数据:2, 5, 4, 3, 2的中位数是( ) A . 4

B . 3.2 C . 3

D . 2

6.如图,圆锥底面半径为 rcm ,母线长为 10cm ,其侧面展开图是圆心角为 216°的扇形,则 r 的值为 ( )

A . 3 B . 6 C . 3π D . 6π

7.如图,已知点 A (﹣ 8, 0), B (2, 0),点 C 在直线 y=﹣ 上,则使△ ABC 是直角三角

形的点 C 的个数为( )

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

二、填空题:每小题 4分,共 40分,在答题卡上相应题目的答题区域内作答. 8. 27的立方根为 .

9.中国的陆地面积约为 9 600 000km2,把 9 600 000用科学记数法表示为 . 10.因式分解:1﹣ x 2=

11.如图,在△ ABC 中, D 、 E 分别是边 AB 、 AC 的中点, BC=8,则 DE=.

12.十边形的外角和是 °. 13.计算:

14.如图,在 Rt △ ABC 中, E 是斜边 AB 的中点,若 AB=10,则 CE=

15.如图,⊙ O 的弦 AB 、 CD 相交于点 E ,若 CE :BE=2:3,则 AE :DE=.

16.找出下列各图形中数的规律,依此, a 的值为

17.如图,在四边形 ABCD 中, AB ∥ DC , E 是 AD 中点, EF ⊥ BC 于点 F , BC=5, EF=3. (1)若 AB=DC,则四边形 ABCD 的面积 S= ;

(2)若 AB >DC ,则此时四边形 ABCD 的面积 S ′ S (用 “ >” 或 “ =” 或 “ <”>

三、解答题:共 89分,在答题卡相应题目的答题区域内作答. 18.计算:(π﹣ 3) 0+|﹣ 2|﹣

+(﹣ 1) ﹣ 1.

19.先化简,再求值:(x +2) 2﹣ 4x (x +1),其中 x=

20.如图,△ ABC 、△ CDE 均为等腰直角三角形,∠ ACB=∠ DCE=90°,点 E 在 AB 上.求证:△ CDA ≌△ CEB .

21. A 、 B 两组卡片共 5张, A 中三张分别写有数字 2, 4, 6, B 中两张分别写有 3, 5,它们除数字外没有任何区别.

(1)随机地从 A 中抽取一张,求抽到数字为 2的概率;

(2)随机地分别从 A 、 B 中各抽取一张,请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果.现制定这样一个游戏规则:若所选出的两数之积为 3的倍数,则甲获胜;否则乙获胜.请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗?为什么?

22.近期,我市中小学广泛开展了 “ 传承中华文化,共筑精神家园 ” 爱国主义读书教育活动,某中学为了解学生最喜爱的活动形式,以 “ 我最喜爱的一种活动 ” 为主题,进行随机抽样调查,收集数据整理后,绘制出以下两幅不完整的统计图表,请根据图中提供的信息,解答下面的问题: 最喜爱的一种活动统计表

(1)在这次抽样调查中,一共调查了多少名学生?扇形统计图中 “ 讲故事 ” 部分的圆心角是多少度? (2)如果这所中学共有学生 3800名,那么请你估计最喜爱征文活动的学生人数.

23.已知反比例函数的图象经过点 P (2,﹣ 3). (1)求该函数的解析式;

(2)若将点 P 沿 x 轴负方向平移

3个单位,再沿 y 轴方向平移 n (n >0)个单位得到点 P ′ ,使点 P ′ 恰好在该函数的图象上,求 n 的值和点 P 沿 y 轴平移的方向.

24.某进口专营店销售一种 “ 特产 ” ,其成本价是 20元 /千克,根据以往的销售情况描出销量 y (千克 /天)与售价 x (元 /千克)的关系,如图所示. (1)试求出 y 与 x 之间的一个函数关系式; (2)利用(1)的结论:

① 求每千克售价为多少元时,每天可以获得最大的销售利润.

② 进口产品检验、运输等过程需耗时 5天,该 “ 特产 ” 最长的保存期为一个月(30天),若售价不低于 30元 /千克,则一次进货最多只能多少千克?

25.我们知道:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧;平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.你可以利用这一结论解决问题:

如图,点 P 在以 MN (南北方向)为直径的⊙ O 上, MN=8, PQ ⊥ MN 交⊙ O 于点 Q ,垂足为 H , PQ ≠ MN ,弦 PC 、 PD 分别交 MN 于点 E 、 F ,且 PE=PF. (1)比较

与

的大小;

(2)若 OH=2

,求证:OP ∥ CD ;

(3)设直线 MN 、 CD 相交所成的锐角为 α,试确定 cos α=

时,点 P 的位置.

26.如图,在四边形 ABCD 中, AD ∥ BC ,∠ A=∠ C ,点 P 在边 AB 上. (1)判断四边形 ABCD 的形状并加以证明;

(2)若 AB=AD,以过点 P 的直线为轴,将四边形 ABCD 折叠,使点 B 、 C 分别落在点 B ′ 、 C ′ 上, 且 B ′ C ′ 经过点 D ,折痕与四边形的另一交点为 Q .

① 在图 2中作出四边形 PB ′ C ′ Q (保留作图痕迹,不必说明作法和理由); ② 如果∠ C=60°,那么

为何值时, B ′ P ⊥ AB .

2016年福建省泉州市中考数学试卷

参考答案与试题解析

B .﹣ 3 C .﹣ D .

【考点】绝对值.

【点评】此题主要考查了绝对值的定义,规律总结:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数; 0的绝对值是 0.

2.(x 2y ) 3的结果是( ) A . x 5y 3 B . x 6y C . 3x 2y D . x 6y 3 【考点】幂的乘方与积的乘方.

【分析】直接利用积的乘方运算法则与幂的乘方运算法则化简求出答案. 【解答】解:(x 2y ) 3=x6y 3. 故选:D .

【点评】此题主要考查了积的乘方运算与幂的乘方运算,正确掌握运算法则是解题关键.

3.不等式组

的解集是( )

A . x ≤ 2 B. x >1 C. 1

【分析】求出第一个不等式的解集,根据口诀:大小小大中间找可得不等式组的解集. 【解答】解:解不等式 x ﹣ 1>0,得:x >1,

∴不等式组的解集为:1

故选:C .

4.如图, AB 和⊙ O 相切于点 B ,∠ AOB=60°,则∠ A 的大小为()

A . 15°B . 30°C . 45°D . 60°

【考点】切线的性质.

【分析】由切线的性质得出∠ ABO=90°,由直角三角形的性质得出∠ A=90°﹣∠ AOB ,即可得出结果.

【解答】解:∵ AB 和⊙ O 相切于点 B ,

∴∠ ABO=90°,

∴∠ A=90°﹣∠ AOB=90°﹣ 60°=30°;

故选:B .

【点评】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质;熟练掌握切线的性质,证出∠ ABO=90°是解决问题的关键.

5.一组数据:2, 5, 4, 3, 2的中位数是()

A . 4 B . 3.2 C . 3 D . 2

【考点】中位数.

【解答】解:将数据由小到大排列

2, 2, 3, 4, 5,

中位数是 3,

故选:C .

6.如图,圆锥底面半径为 rcm ,母线长为 10cm ,其侧面展开图是圆心角为 216°的扇形,则 r 的值为 ( )

A . 3 B . 6 C . 3π D . 6π

【考点】圆锥的计算.

【分析】直接根据弧长公式即可得出结论.

【解答】解:∵圆锥底面半径为 rcm ,母线长为 10cm ,其侧面展开图是圆心角为 216°的扇形, ∴ 2πr=×2π×10,解得 r=6.

故选 B .

【点评】本题考查的是圆锥的计算,熟记弧长公式是解答此题的关键.

7.如图,已知点 A (﹣ 8, 0), B (2, 0),点 C 在直线 y=﹣ 上,则使△ ABC 是直角三角形

的点 C 的个数为( )

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

【考点】一次函数图象上点的坐标特征;勾股定理的逆定理.

【分析】根据∠ A 为直角,∠ B 为直角与∠ C 为直角三种情况进行分析. 【解答】解:如图,

① 当∠ A 为直角时,过点 A 作垂线与直线的交点 W (﹣ 8, 10), ② 当∠ B 为直角时,过点 B 作垂线与直线的交点 S (2, 2.5), ③ 若∠ C 为直角

则点 C 在以线段 AB 为直径、 AB 中点 E (﹣ 3, 0)为圆心的圆与直线 y=﹣ 的交点上.

过点 E 作垂线与直线的交点为 F (﹣ 3, ),则 EF=

∵直线 y=﹣

与 x 轴的交点 M 为(

, 0),

∴ EM=, EF==

∵ E 到直线 y=﹣ 的距离 d==5

∴以线段 AB 为直径、 E (﹣ 3, 0)为圆心的圆与直线 y=﹣ 恰好有一个交点.

所以直线 y=﹣

上有一点 C 满足∠ C=90°.

综上所述,使△ ABC 是直角三角形的点 C 的个数为 3, 故选:C .

【点评】本题考查的是一次函数综合题,在解答此题时要分三种情况进行讨论,关键是根据圆周角定理判断∠ C 为直角的情况是否存在.

二、填空题:每小题 4分,共 40分,在答题卡上相应题目的答题区域内作答. 8. 27的立方根为【考点】立方根. 【专题】计算题.

【分析】找到立方等于 27的数即可.

【解答】解:∵ 33=27,

∴ 27的立方根是 3,

故答案为:3.

【点评】考查了求一个数的立方根,用到的知识点为:开方与乘方互为逆运算.

9.中国的陆地面积约为 9 600 000km2,把 9 600 000用科学记数法表示为 9.6×106.

【考点】科学记数法 — 表示较大的数.

【解答】解:将 9600000用科学记数法表示为 9.6×106.

故答案为 9.6×106.

10.因式分解:1﹣ x 2=(1﹣ x )(1+x ) .

【考点】因式分解 -运用公式法.

【分析】根据平方差公式可以将题目中的式子进行因式分解.

【解答】解:∵ 1﹣ x 2=(1﹣ x )(1+x ),

故答案为:(1﹣ x )(1+x ).

【点评】本题考查因式分解﹣运用公式法,解题的关键是明确平方差公式,会运用平方差公式进行因式分解.

11.如图,在△ ABC 中, D 、 E 分别是边 AB 、 AC 的中点, BC=8,则 DE=4

【考点】三角形中位线定理.

【专题】计算题.

【分析】根据三角形的中位线定理得到 DE=BC ,即可得到答案. 【解答】解:∵ D 、 E 分别是边 AB 、 AC 的中点, BC=8, ∴ DE=BC=4. 故答案为:4.

【点评】本题主要考查对三角形的中位线定理的理解和掌握,能正确运用三角形的中位线定理进行计算是解此题的关键.

12.十边形的外角和是 360°. 【考点】多边形内角与外角. 【专题】常规题型.

【分析】根据多边形的外角和等于 360°解答. 【解答】解:十边形的外角和是 360°. 故答案为:360.

【点评】本题主要考查了多边形的外角和等于 360°,多边形的外角和与边数无关,任何多边形的外角和都是 360°. 13.计算:

= 3 .

【考点】分式的加减法. 【专题】计算题;分式.

【分析】原式利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果. 【解答】解:原式 ==

=3,

故答案为:3

【点评】此题考查了分式的加减法,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

14.如图,在 Rt △ ABC 中, E 是斜边 AB 的中点,若 AB=10,则 CE=5

【考点】直角三角形斜边上的中线.

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可得答案.

【解答】解:由直角三角形的性质,得

CE=AB=5,

故答案为:5.

【考点】相交弦定理.

【分析】根据相交弦定理得到 AE ? BE=CE? DE ,于是得到结论.

【解答】解:∵⊙ O 的弦 AB 、 CD 相交于点 E ,

∴ AE ? BE=CE? DE ,

∴ AE :DE=CE:BE=2:3,

故答案为:2:3.

【点评】此题考查了相交弦定理,熟练掌握相交弦定理是解题的关键.

16.找出下列各图形中数的规律,依此, a 的值为 226.

【考点】规律型:数字的变化类.

【分析】由 0+2=1×2, 2+10=3×4, 4+26=5×6, 6+50=7×8,得出规律,即可得出 a 的值.

【解答】解:根据题意得出规律:14+a=15×16, 解得:a=226; 故答案为:226.

【点评】本题考查了数字的变化美;根据题意得出规律是解决问题的关键.

17.如图,在四边形 ABCD 中, AB ∥ DC , E 是 AD 中点, EF ⊥ BC 于点 F , BC=5, EF=3. (1)若 AB=DC,则四边形 ABCD 的面积 S= 15 ;

(2)若 AB >DC ,则此时四边形 ABCD 的面积 S ′ = S (用 “ >” 或 “ =” 或 “ <”>

【考点】平行四边形的判定与性质. 【专题】推理填空题.

【分析】(1)若 AB=DC,则四边形 ABCD 是平行四边形,据此求出它的面积是多少即可. (2)连接 EC ,延长 CD 、 BE 交于点 P ,证△ ABE ≌△ DPE 可得 S △ ABE =S△ DPE 、 BE=PE,由三角形中线性质可知 S △ BCE =S△ PCE ,最后结合 S 四边形 ABCD =S△ ABE +S △ CDE +S △ BCE 可得答案. 【解答】解:(1)∵ AB=DC, AB ∥ DC , ∴四边形 ABCD 是平行四边形, ∴四边形 ABCD 的面积 S=5×3=15, 故答案为:15.

(2)如图,连接 EC ,延长 CD 、 BE 交于点 P ,

∵ E 是 AD 中点,

∴ AE=DE, 又∵ AB ∥ CD ,

∴∠ ABE=∠ P ,∠ A=∠ PDE , 在△ ABE 和△ DPE 中, ∵

∴△ ABE ≌△ DPE (AAS ), ∴ S △ ABE =S△ DPE , BE=PE, ∴ S △ BCE =S△ PCE ,

则 S 四边形 ABCD =S△ ABE +S △ CDE +S △ BCE =S△ PDE +S △ CDE +S △ BCE =S△ PCE +S △ BCE =2S△ BCE =2××BC ×EF =15,

∴当 AB >DC ,则此时四边形 ABCD 的面积 S ′ =S, 故答案为:=.

三、解答题:共 89分,在答题卡相应题目的答题区域内作答. 18.计算:(π﹣ 3) 0+|﹣ 2|﹣

+(﹣ 1) ﹣ 1.

【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂.

【分析】分别进行零指数幂、绝对值的化解、二次根式的化简、负整数指数幂等运算,然后合并. 【解答】解:原式 =1+2﹣ 2﹣ 1 =0.

【点评】本题考查了实数的运算,涉及了零指数幂、绝对值的化解、二次根式的化简、负整数指数幂等知识,属于基础题.

19.先化简,再求值:(x +2) 2﹣ 4x (x +1),其中 x=.

【考点】整式的混合运算 — 化简求值.

【专题】计算题;整式.

【分析】原式利用完全平方公式,单项式乘以多项式法则计算,去括号合并得到最简结果,把 x 的值代入计算即可求出值.

【解答】解:原式 =x2+4x +4﹣ 4x 2﹣ 4x=﹣ 3x 2+4,

当 x=时,原式 =﹣ 6+4=﹣ 2.

【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

20.如图,△ ABC 、△ CDE 均为等腰直角三角形,∠ ACB=∠ DCE=90°,点 E 在 AB 上.求证:△ CDA ≌△ CEB .

【考点】全等三角形的判定;等腰直角三角形.

【专题】证明题.

【分析】根据等腰直角三角形的性质得出 CE=CD, BC=AC,再利用全等三角形的判定证明即可. 【解答】证明:∵△ ABC 、△ CDE 均为等腰直角三角形,∠ ACB=∠ DCE=90°,

∴ CE=CD, BC=AC,

∴∠ ACB ﹣∠ ACE=∠ DCE ﹣∠ ACE ,

∴∠ ECB=∠ DCA ,

在△ CDA 与△ CEB 中 ,

∴△ CDA ≌△ CEB .

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,熟记等腰直角三角形的性质是解题的关键.

21. A 、 B 两组卡片共 5张, A 中三张分别写有数字 2, 4, 6, B 中两张分别写有 3, 5,它们除数字外没有任何区别.

(1)随机地从 A 中抽取一张,求抽到数字为 2的概率;

(2)随机地分别从 A 、 B 中各抽取一张,请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果.现制定这样一个游戏规则:若所选出的两数之积为 3的倍数,则甲获胜;否则乙获胜.请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗?为什么?

【考点】游戏公平性;列表法与树状图法.

【分析】(1)根据概率的定义列式即可;

(2)画出树状图,然后根据概率的意义分别求出甲、乙获胜的概率,从而得解.

【解答】解:(1) P=;

(2)由题意画出树状图如下:

一共有 6种情况,

甲获胜的情况有 4种, P==,

乙获胜的情况有 2种, P==,

所以,这样的游戏规则对甲乙双方不公平.

【点评】本题考查的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个事件的概率,概率相等就公平,否则就不公平.用到的知识点为:概率 =所求情况数与总情况数之比

最喜爱的一种活动统计表

(1)在这次抽样调查中,一共调查了多少名学生?扇形统计图中 “ 讲故事 ” 部分的圆心角是多少度?

(2)如果这所中学共有学生 3800名,那么请你估计最喜爱征文活动的学生人数.

【考点】扇形统计图;用样本估计总体.

【专题】计算题;数据的收集与整理.

【分析】 (1) 根据 “ 演讲 ” 的人数除以占的百分比, 得到调查的总学生人数, 并求出扇形统计图中 “ 讲故事 ” 部分的圆心角度数即可;

(2)求出最喜爱征文活动的学生人数占的百分比,乘以 3800即可得到结果.

【解答】解:(1)根据题意得:39÷13%=300(名),

则 “ 讲故事 ” 所占的比例为 30÷300×100%=10%,

所以扇形统计图中 “ 讲故事 ” 部分的圆心角是 10%×360°=36°,

则在这次抽样调查中,一共调查了 300名学生,扇形统计图中 “ 讲故事 ” 部分的圆心角是 36°;

(2)根据题意得:3800×20%=760(名),

则最喜爱征文活动的学生人数为 760名.

【点评】此题考查了扇形统计图,以及用样本估计总体,弄清题中的数据是解本题的关键.

23.已知反比例函数的图象经过点 P (2,﹣ 3).

(1)求该函数的解析式;

(2)若将点 P 沿 x 轴负方向平移 3个单位,再沿 y 轴方向平移 n (n >0)个单位得到点 P ′ ,使点 P ′ 恰好在该函数的图象上,求 n 的值和点 P 沿 y 轴平移的方向.

【考点】待定系数法求反比例函数解析式; 反比例函数图象上点的坐标特征; 坐标与图形变化 -平移. 【分析】(1)将点 P 的坐标代入反比例函数的一般形式即可确定其解析式;

(2)首先确定平移后的横坐标,然后代入确定其纵坐标,从而确定沿 y 轴平移的方向和距离. 【解答】解:(1)设反比例函数的解析式为 y=,

∵图象经过点 P (2,﹣ 3),

∴ k=2×(﹣ 3) =﹣ 6,

∴反比例函数的解析式为 y=﹣ ;

(2)∵点 P 沿 x 轴负方向平移 3个单位,

∴点 P ′ 的横坐标为 2﹣ 3=﹣ 1,

∴当 x=﹣ 1时, y=﹣ =6,

∴∴ n=6﹣(﹣ 3) =9,

∴沿着 y 轴平移的方向为正方向.

【点评】本题考查了待定系数法确定反比例函数的解析式及坐标的平移的知识,解题的关键时确定反比例函数的解析式.

24.某进口专营店销售一种 “ 特产 ” ,其成本价是 20元 /千克,根据以往的销售情况描出销量 y (千克 /天)与售价 x (元 /千克)的关系,如图所示.

(1)试求出 y 与 x 之间的一个函数关系式;

(2)利用(1)的结论:

① 求每千克售价为多少元时,每天可以获得最大的销售利润.

② 进口产品检验、运输等过程需耗时 5天,该 “ 特产 ” 最长的保存期为一个月(30天),若售价不低于 30元 /千克,则一次进货最多只能多少千克?

【考点】二次函数的应用.

【分析】(1)我们根据图中的信息可看出,图形经过(37, 38),(39, 34),(40, 32),根据待定系数法可求函数关系式;

(2) ① 根据函数的最值问题即可求解;

② 根据 “ 特产 ” 的保存时间和运输路线的影响, “ 特产 ” 的销售时间最多是 25天.要想使售价不低于 30元 /千克,就必须在最多 25天内卖完,当售价为 30元 /千克时,销售量已经由(1)求出,因此可以根据最多进货的量÷30元 /千克时的销售量≤ 25天,由此来列不等式,求出最多的进货量. 【解答】解:(1)设 y 与 x 之间的一个函数关系式为 y=kx+b ,则 ,

解得

故函数关系式为 y=﹣ 2x +112;

(2)依题意有

w=(x ﹣ 20)(﹣ 2x +112) =﹣ 2(x ﹣ 38) 2+324, 故每千克售价为 38元时,每天可以获得最大的销售利润;

(3)由题意可得,售价越低,销量越大,即能最多的进货, 设一次进货最多 m 千克, 则

≤ 30﹣ 5,

解得:m ≤ 1300.

故一次进货最多只能是 1300千克.

【点评】本题通过考查一次函数的应用来考查从图象上获取信息的能力.得出销售定价和销售量的函数关系是解题的关键.

25.我们知道:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧;平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.你可以利用这一结论解决问题:

如图,点 P 在以 MN (南北方向)为直径的⊙ O 上, MN=8, PQ ⊥ MN 交⊙ O 于点 Q ,垂足为 H , PQ ≠ MN ,弦 PC 、 PD 分别交 MN 于点 E 、 F ,且 PE=PF. (1)比较

与

的大小;

(2)若 OH=2

,求证:OP ∥ CD ;

(3)设直线 MN 、 CD 相交所成的锐角为 α,试确定 cos α=

时,点 P 的位置.

【考点】圆的综合题.

【专题】综合题.

【分析】(1)根据等腰三角形的性质,由 PE=PF, PH ⊥ EF 可判断 PH 平分∠ FPE ,然后根据圆中角定理得到 =;

(2)连结 CD 、 OP 、 OQ , OQ 交 CD 于 B ,如图,先计算出 PH=2

,则可判断△ OPH 为等腰直角三角形得到∠ OPQ=45°, 再判断△ OPQ 为等腰直角三角形得到∠ POQ=90°, 然后根据垂径的推理由 =得到 OQ ⊥ CD ,

则根据平行线的判定方法得 OP ∥ CD ;

(3)直线 CD 交 MN 于 A ,如图,由特殊角的三角函数值得∠ α=30°,即直线 MN 、 CD 相交所成的锐角为 30°,利用 OB ⊥ CD 得到∠ AOB=60°,则∠ POH=60°,然后在 Rt △ POH 中利用正弦的定义计算出 PH 即可.

【解答】(1)解:∵ PE=PF, PH ⊥ EF ,

∴ PH 平分∠ FPE ,

∴∠ DPQ=∠ CPQ ,

∴ =;

(2)证明:连结 CD 、 OP 、 OQ , OQ 交 CD 于 B ,如图,

∵ OH=2

, OP=4, ∴ PH==2,

∴△ OPH 为等腰直角三角形,

∴∠ OPQ=45°,

而 OP=OQ,

∴△ OPQ 为等腰直角三角形,

∴∠ POQ=90°,

∴ OP ⊥ OQ ,

∵ =,

∴ OQ ⊥ CD ,

∴ OP ∥ CD ;

(3)解:直线 CD 交 MN 于 A ,如图,

∵ cos α=,

∴∠ α=30°,即直线 MN 、 CD 相交所成的锐角为 30°,

而 OB ⊥ CD ,

∴∠ AOB=60°,

∵ OH ⊥ PQ ,

∴∠ POH=60°,

在 Rt △ POH 中,∵ sin ∠ POH=,

∴ PH=4sin60°=2,

即点 P 到 MN 的距离为 2.

【点评】本题考查了圆的综合题:熟练掌握垂径定理及其推理、圆周角定理;能够灵活应用等腰直角三角形的性质和三角函数进行几何计算.

26.如图,在四边形 ABCD 中, AD ∥ BC ,∠ A=∠ C ,点 P 在边 AB 上.

(1)判断四边形 ABCD 的形状并加以证明;

(2)若 AB=AD,以过点 P 的直线为轴,将四边形 ABCD 折叠,使点 B 、 C 分别落在点 B ′ 、 C ′ 上, 且 B ′ C ′ 经过点 D ,折痕与四边形的另一交点为 Q .

① 在图 2中作出四边形 PB ′ C ′ Q (保留作图痕迹,不必说明作法和理由);

② 如果∠ C=60°,那么为何值时, B ′ P ⊥ AB .

【考点】四边形综合题;平行四边形的判定;菱形的判定与性质;翻折变换(折叠问题).

【分析】(1)根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行判断;

(2) ① 根据轴对称的性质进行作图即可; ② 先根据折叠得出一些对应边相等,对应角相等,并推导出 B ′ D=B′ E ,再设 AP=a, BP=b,利用解直角三角形将 DQ 和 CQ 长用含 a 的代数式表示出来,最后根据 CD=DQ+CQ 列出关于 a 、 b 的关系式,求得 a 、 b 的比值即可.

【解答】解:(1)四边形 ABCD 是平行四边形

证明:∵在四边形 ABCD 中, AD ∥ BC ,

∴∠ A +∠ B=180°,

∵∠ A=∠ C ,

∴∠ C +∠ B=180°,

∴ AB ∥ CD ,

∴四边形 ABCD 是平行四边形;

(2) ① 作图如下:

② 当 AB=AD时,平行四边形 ABCD 是菱形,

由折叠可得, BP=B′ P , CQ=C′ Q , BC=B′ C ′ ,∠ C=∠ C ′ =60°=∠ A ,

当 B ′ P ⊥ AB 时,由 B ′ P ∥ C ′ Q ,可得 C ′ Q ⊥ CD ,

∴∠ PEA=30°=∠ DEB ′ ,∠ QDC ′ =30°=∠ B ′ DE ,

∴ B ′ D=B′ E ,

设 AP=a, BP=b,则直角三角形 APE 中, PE=a ,且 B ′ P=b, BC=B′ C ′ =CD=a+b ,

∴ B ′ E=b﹣ a=B′ D ,

∴ C ′ D=a+b ﹣(b ﹣ a ) =a+a ,

∴直角三角形 C ′ QD 中, C ′ Q=

a=CQ, DQ=C ′ Q=a , ∵ CD=DQ+CQ=a+b ,

∴ a +a=a+b ,

整理得(+1) a=b,

∴ ==,即 =.

【点评】本题主要考查了平行四边形以及菱形,解题的关键是掌握平行四边形的判定以及菱形的判定与性质.在解题时注意,菱形的四条边都相等,此外在折叠问题中,需要抓住对应边相等,对应角相等这些等量关系,折叠问题的实质是轴对称的性质.

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