横行无忌48769542
范文一：五行之木
最终预测——押题一套卷
一、选择题:1-8小题,每小题 4分,共 32分。下列每题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
(1)设数列 }{n a 满足 ! )! 1(!
! +=n n a n (,... 3, 2, 1=n ) ,数列 }{n b 满足 ???
??=为偶数
为奇数 n n b n , 2
, 1π,
则下列说法正确的是 (A )数列 }{n a 单调递减;
(B )数列 }{n n b a 单调递减; (C )数列 }{1+n n b a 单调递减;
(D )数列 {
1n
n a b +单调递增。
(2)已知 Dirichlet 函数 ???=为无理数
为有理数
x x x D , 0, 1) (,则 0=x 为 ) (x D 的
(A )连续点 (B )可去间断点 (C )跳跃间断点 (D )第二类间断点
(3)设函数 ??
?
??=≠=0, 00, 1cos ) (x x x
x f ,则下列说法正确的是 (A )函数 ) (x f 存在原函数,且在 ]1, 1[-上可积; (B )函数 ) (x f 存在原函数,但在 ]1, 1[-上不可积; (C )函数 ) (x f 不存在原函数,但在 ]1, 1[-上可积; (D )函数 ) (x f 不存在原函数,且在 ]1, 1[-上不可积。
(4)设函数 ) (x f 在 ) , 0[+∞上连续,则 ①若 0) (lim =+∞
→x f x ,则 ?
+∞
) (dx x f 收敛
②若 ?
+∞
) (dx x f 收敛,则 0) (lim =+∞
→x f x
(A )①正确,②正确 (B )①错误,②错误 (C )①正确,②错误 (D )①错误,②正确
(5)设函数 ????
?=≠=-)
0, 0() , (, 0)
0, 0() , (, ) , (2
21y x y x e y x f y x ,则下列说法正确的是
(A ) ) , (y x f 在点 ) 0, 0(处不连续;
(B ) ) , (y x f 在点 ) 0, 0(处连续,但它在点 ) 0, 0(处的两个偏导数不存在;
(C ) ) , (y x f 在点 ) 0, 0(处的两个偏导数存在,但这两个偏导数在点 ) 0, 0(处不连续; (D ) ) , (y x f 在点 ) 0, 0(处可微。
(6) 已知 f 连续, 则与 ?
?
??
+
2
1
1arcsin
1
02
) sin , cos () sin , cos (r
d r r f rdr
d r r f rdr
θ
θθθθθπ
不恒等价的是 (A ) ??
-1
0202
) , (y
dx y x f dy
(B ) ?
?
??-+
2
1
20
101
02
) , () , (x
dy y x f dx dx y x f dy
(C ) ?
??
+
1
24
2
) , () sin , cos (x
dy y x f dx rdr r r f d π
πθθθ
(D ) ?
??--+
1
220
1
2
2
) , () sin , cos (y y
dx y x f dy rdr r r f d π
θθθ
(7)设 ω为单位列向量,矩阵 T
E H ωω2-=,则下列说法不正确的是
(A ) H 自逆,即 H H
=-1
; (B ) H 的行列式的值为 1; (C ) H 可相似对角化;
(D ) H 为正交矩阵。
(8)已知实矩阵 A 负定,则下列说法不正确的是 (A ) A 的各阶主子式均为负;
(B ) A 的特征值均为实数且非正;
(C ) A 可逆, 1-A 必负定, *A 可能正定; (D )存在可逆矩阵 P ,使得 A P P T -=。
二、填空题:9-14小题,每小题 4分,共 24分。请将答案写在答题纸指定位置上。
(9)曲线 ?+-+=x
dt t
t t
x y 0
4
2
2
11的渐近线为 ________;
(10) =??
?
??+?dx x x ln ln ln 1
________;
(11)微分方程 0) 2(3
2
2
=??
?
??++dx dy e x dx
y d y
的通解为 ________;
(12)具有特解 21x y =和 x y 2cos 2=的最低阶常系数齐次线性微分方程为 ________;
(13)设 x y y x u =) , (,则 =)
2, 3(2
u d ________;
(14)若 O A k
k =+∞
→lim (k 为正整数) ,则 =∑+∞
=1
i i A ________。
三、解答题:15-23小题,共 94分。请将解答写在答题纸指定位置上。解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤。
(15)设函数 111ln 21) (-??
? ??+??? ??
+
=x x x f 。 (Ⅰ)求证:当 ∞→x 时, ) (x f 是关于 x
1的无穷小;
(Ⅱ)若当 ∞→x 时, ) (x f 是关于 x
1的 k 阶无穷小,求极限 ) (lim x f x k
x ∞
→的值。
(16) (本题满分 11分) 设函数 ) (x f 在 ]1, 0[上连续,在 ) 1, 0(内可导。
(Ⅰ)若 ?
?=
1
1
02
) () (dx x f dx x f x ,求证:在 ) 1, 0(内存在一点 ξ,使 0) (0
=?ξ
dx x f ;
(Ⅱ) 若 0) () (1
1
02==
?
?dx x f dx x f x , 求证:在 ) 1, 0(内存在四个不同的点 η, ζ, λ
和 μ, 使 ?=1
2
) () (' ) (η
ηηdx x f f f , ?=1
2
) () (' ) (ζζζdx x f f f , ?=1
2
) () (' ) (λ
λλdx
x f f f 和 ?=1
2
) () (' ) (μ
μμdx x f f f 。
(17) (本题满分 10分) 求微分方程 x xe y y y x sin 410' 6' ' 3=+-满足初始条件 1) 0(=y ,
2) 0(' =y 的特解。
(18) (本题满分 10分) 一个冬季的早晨开始下雪, 且以恒定的速度不停地下。 一台扫雪机 从早上 8点开始在公路上扫雪,到 9点共前进了 km 2,到 11点共前进了 km 4。假定扫雪机 单位时间内扫去积雪的量为常数,试问:雪是何时开始下的?
(19) (本题满分 10分) 已知 ) , (y x u u =满足偏微分方程
02
2
22
=??+
??y
u x
u 。
(Ⅰ)试将该偏微分方程转化到极坐标下; (Ⅱ)若 ) , (y x u u =也满足 0=??+??y u y
x u x
,求 ) , (y x u ;
(Ⅲ)若 ) , (y x u u =也满足 0=??-??y
u x x u y ,求 ) , (y x u 。
(20) (本题满分 10分) 给定圆 θsin 2=r 。 对于圆上的动点 N , 作割线 ON , 交直线 2=y 于点 Q 。过点 Q 作与 x 轴垂直的直线,与过点 N 且与 x 轴平行的直线交于点 P 。
(Ⅰ)求点 P 的轨迹方程 ) (x y y =; (Ⅱ)求 ) (x y y =与 x 轴所围成区域的面积; (Ⅲ)求 ) (x y y =绕 x 轴旋转所围成旋转体的体积。
(21) (本题满分 12分) 设 }10|) , {(≤≤≤=x y y x D ,求二重积分 ??
+D
dxdy y x 2
2和
??
-D
dxdy y x 2
2的值。
(22) (本题满分 10分) 已知 A 是 n 阶矩阵,且满足 ???≠≠+===--11, 1
1, 1) 1() 1(j i a a j i a j i j
i ij 且 或 ,其
中 n i ,..., 2, 1=, n j ,..., 2, 1=。
(Ⅰ)求证:*1A A =-;
(Ⅱ)设 T n n b ) 1,..., 7, 3(2++=,求线性方程组 b Ax =的解; (Ⅲ)当 3=n 时,求可逆矩阵 P ,使得 AP P T 为对角矩阵。
(23) (本题满分 11分) 已知 n 阶(2>n )非零矩阵 A 满足 1) (=A r ,且 n A O =。
(Ⅰ)求证:2A O =;
(Ⅱ)求证:矩阵 A 必不可相似对角化,但 0
10
0~...
... ...
00n n
A ???
???
?
?
????????
?。
参考答案与评分标准
一、选择题:
(1) 【本题考点】函数的单调性、定积分的基本性质、 Wallis 公式
【详细解析】 ????
??
?+?+=+为偶数 为奇数
n n n n n n b a n n , !
)! 1(! ! , 2! )! 1(!
! 1
π,即 ?
++=2
1
1sin
π
xdx b a n n n 。其中被积函数
的值随着 n 的增大而减小,所以 C 正确。 A 、 B 、 D 都是虚构的。
【参考难度系数】 0.84(注:难度系数为题目的得分率,下同)
(2) 【本题考点】函数的左极限与右极限、函数间断点的类型 【详细解析】 ) (lim 0
x D x →不存在,则 0=x 为 ) (x D 的间断点。
1) (lim , 0=∈+→x D Q
x x , 0) (lim
\, 0=∈+→x D Q
R x x ,则 ) (lim 0x D x +
→不存在。同理 ) (lim 0x D x -
→不存在。
综上, 0=x 为 ) (x D 的第二类间断点。 D 正确。 (Q 代表有理数, Q R \代表无理数) 【参考难度系数】 0.76
【教材回顾】 1、设函数 ) (x f 在点 0x 的某去心邻域内有定义。在此前提下,如果函数 ) (x f 有下列三种情形之一: 1°在 0x x =没有定义;
2°虽在 0x x =有定义,但 ) (lim 0
x f x x →不存在;
3°虽在 0x x =有定义,且 ) (lim 0
x f x x →存在,但 ) () (lim 00
x f x f x x ≠→,
则函数 ) (x f 在点 0x 处不连续,点 0x 称为函数 ) (x f 的 间断点 。
2、 如果 0x 是函数 ) (x f 的间断点, 但左极限 ) (0-x f 和右极限 ) (0+
x f 都存在, 那么 0x 称为函
数 ) (x f 的 第一类间断点 。不是第一类间断点的任何间断点,称为 第二类间断点 。在第一类 间断点中, 左、 右极限相等者称为可去间断点, 不相等者称为跳跃间断点。 无穷间断点和震 荡间断点显然是第二类间断点。
(3) 【本题考点】原函数的概念、可积的概念
【详细解析】函数 ?????=≠-=0, 00, 1cos 1sin 2) (x x x x x x f 有一原函数 ???
?
?=≠=0, 00, 1sin ) (2
x x x x x F , 函数 ??
???
=≠=0, 00
, 1sin 2) (x x x
x x g 是连续的, 因此有一原函数 ) (x G 。 ) () (x F x G -即为 ) (x f 的 一个原函数。又由于函数 ) (x f 在 ]1, 1[-上有界,且只有一个间断点 0=x ,因此函数 ) (x f 在 ]1, 1[-上可积。 A 正确。
【参考难度系数】 0.66
【教材回顾】 1、连续函数一定有原函数;有第一类间断点的函数一定没有原函数;有第二 类间断点的函数可能有原函数,也可能没有原函数。
2、设 ) (x f 在区间 ], [b a 上有界,且只有有限个间断点,则 ) (x f 在 ], [b a 上可积。
(4) 【本题考点】反常(广义)积分
【详细解析】① 的反例:11) (+=
x x f ;② 的反例:??
???=≠+-=0
, 10, cos 2sin ) (2
2
2x x x x x x f (0) (0
=?
+∞
dx x f ,但 ) (lim x f x +∞
→不存在)
。 B 正确。 【参考难度系数】 0.49
(5) 【本题考点】二元函数的性质 【详细解析】
0) 0, 0() , (lim
)
0, 0() , (==→f y x f y x ,则 ) , (y x f 在点 ) 0, 0(处连续。
0)
0, 0() 0, (lim
) 0, 0(0
=?-?=??→?x
f x f x
f x 0)
0, 0() , 0(lim ) 0, 0(0=?-?=??→?y
f y f y f y ,
则 ) , (y x f 在点 ) 0, 0(处的两个偏导数存在。
当 ) 0, 0() , (≠y x 时, 2
2
2
2
13
3
12
3
22) , (y
x y
x e y
x y e y x x
y x f -
-
=
=
??。当 ) 0, 0() , (→y x 时,根据洛
022
2
13
3
→-
y
x e y
x , 则 022
2
133
→-
y
x e y
x y , 进而
0) 0, 0() , (lim
)
0, 0() , (=??=
??→x
f x
y x f y x 。
同理
0) 0, 0() , (lim
)
0, 0() , (=??=
??→y
f y
y x f y x ,即 ) , (y x f 的两个偏导数在点 ) 0, 0(处连续。
) , (y x f 的两个偏导数在点 ) 0, 0(处连续,则 ) , (y x f 在点 ) 0, 0(处可微。 D 正确。
【参考难度系数】 0.68
【教材回顾】 1、设二元函数 ) , (y x f 的定义域为 D , ) , (000y x P 为 D 的聚点,且 D P ∈0。 如果
) , () , (lim
00)
, () , (00y x f y x f y x y x =→,则称函数 ) , (y x f 在点 ) , (000y x P 连续。
2、设函数 ) , (y x f z =在点 ) , (00y x 的某一邻域内有定义,当 y 固定在 0y ,而 x 在 0x 处有 增量 x ?时,相应的函数有增量 ) , () , (0000y x f y x x f -?+
,如果
其中第 3条请大家尝试亲自证明。
(6) 【本题考点】二重积分的基本性质
【详细解析】 题干和 A 、 B 、 D 选项的被积区域如图 1所示, C 选项的被积区域如图 2所示。 可见 C 正确。
图 1
图 2
【参考难度系数】 0.70
(7) 【本题考点】 行列式的概念和基本性质、 逆矩阵的概念和性质、 矩阵可相似对角化的充 分必要条件、正交矩阵及其性质、矩阵的特征值的概念和性质 【详细解析】 E H
=2
,则 1
-=H
H 。 A 命题正确,排除。
T
ωω有特征值 0,..., 0, 1,则 H 有特征值 1,..., 1, 1-,从而 1-=H 。 B 命题错误,入选。
对于 1-n 重特征值 1, 1) 2() (==-T
r H E r ωω
,则特征值 1有 1-n 个线性无关的特征向
量。从而 H 可相似对角化。 C 命题正确,排除。
H 为方阵,且 E H H T
=,则 H 为正交矩阵。 D 命题正确,排除。
【参考难度系数】 0.75
3、 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似(即 A 能对角化)的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特 征向量。
4、如果 n 阶矩阵 A 满足 E A A T =,那么称 A 为 正交矩阵 。
(8) 【本题考点】伴随矩阵、合同、矩阵的正定性和负定性 【详细解析】 A 的反例:??
?
?
??--=11
A 负定,但它的二阶主子式为正。或使用赫尔维茨定 理。入选。
B 是一个干扰项。实矩阵 A 负定,则 A 为实对称矩阵,那么它的特征值均为负实数。负数 均为非正数,因此该命题正确,排除。 C 的特例:????????
?
?---=
111A , 则 ???
?
?
??
??
?=11
1
*A , *A 正定。 另外 A 显然可逆, 且 1-A 负定。该命题正确,排除。
D 命题正确,排除。由于 A -正定,则 A -与单位矩阵合同。
【参考难度系数】 0.72
【教材回顾】 1、 赫尔维茨定理 :对称阵 A 为负定的充分必要条件是奇数阶主子式为负,而 偶数阶主子式为正。
2、对称阵的特征值为实数。
二、填空题:
(9) 【本题考点】函数的奇偶性、函数的渐近线
【详细解析】该函数无水平渐近线和垂直渐近线,下面讨论它的斜渐近线。
x
x
x
x
t t t t dt
t t dt t
t t
dt t
t t
x
y 00
2
22
2
4
2
2
1arctan 1
111
1
1111??? ?
?
-=+??? ?
?
-??? ?
?
-=-+
+=
+-+=
?
?
?
。
则 π=??? ?
?
-=+∞
+
+∞→01arctan lim t t x y
x , ???
? ??-+-+=-?+∞
→+∞→ππx x x dt t t t x x y 0422
11lim ) (lim 11111
11lim 2
4
2
2
0422-=-+-+=
???
? ?
?-+-+=?+∞→x
x
x x
x
dt t t t x x π,从而该渐近线为 1-=x y π。
又 y 为奇函数,则 y 关于原点对称,渐近线也要关于原点对称。从而可得另一条渐近线为 1+-=x y π。 (仅写出一条渐近线得 2分) 【参考难度系数】 0.71
(10) 【本题考点】不定积分的分部积分法 【详细解析】 ?????-
+=
+
=??
?
??+x
x xdx
x x dx x
xdx dx x
dx x x ln
ln ln ln
1ln ln ln
1ln ln ln 1
C x x +=ln ln (不写常数 C 不给分)
【参考难度系数】 0.91
(11) 【本题考点】反函数所确定的函数的微分法、二阶常系数非齐次线性微分方程 【详细解析】
'
1y x dx
dy =,
3
22
2
) ' (' ' ' 1)
' (' ' ) ' () ' (y y y y y x x x x x x x dx dy
dy y d dx
y d dx
y d -=?-=?==
,代入微 分方程,得
y
e x dy
x d 22
2
=-。解得 y
y
y
ye e
C e C x ++=-21,其中 1C 和 2C 为常数。
【参考难度系数】 0.37
(12) 【本题考点】常系数齐次线性微分方程解的性质及解的结构
【详细解析】 0=r 至少为特征方程的三重根, i r 2±=为特征方程的一对共轭复根。则有
0) 2)(2(3
=-+i r i r r ,即 0435=+r r 。它所对应的微分方程为 0' ' ' 4)
5(=+y y
。
【参考难度系数】 0.60
(13) 【本题考点】多元函数的偏导数和全微分 【详细解析】 dy y
u dx x
u du ??+
??=
, 2
2
2
2
2
2
2
2
2
dy y
u dydx x
y u dxdy y
x u dx
x
u u d ??+
???+
???+
??=
,
即 2
2
2
2
2
2
2
2
2
dy y
u dxdy y
x u dx
x
u u d ??+
???+??=
。又
y y x
u x
ln =??,
1
-=??x xy
y
u ,
y y x
u x 2
2
2
ln
=??,
2
2
2
) 1(--=??x y
x x y
u ,
1
1
2
ln --+=???x x y
y xy
y
x u ,将 ) 2, 3() , (=y x 代入,
即得 2
2
2
)
2, 3(2
12) 12ln 3(82ln 8dy dxdy dx
u
d +++=。
【参考难度系数】 0.43
(14) 【本题考点】方阵的幂
【详细解析】 k
k A E A A A E A E -=++++--) ... )((1
2
,那么
E A
A A E A E k k =++++--+∞
→) ... )((lim 1
2。则 1
1
2
)
() ... (lim --+∞
→-=++++A E A
A A E k k ,
即 11
) (-+∞
=--=∑A E E A i i 。
【参考难度系数】 0.58
三、解答题: (15) 【本题考点】无穷小的性质和无穷小的比较、极限的计算 (Ⅰ ) 0111211lim 111ln 21lim ) (lim =-=-???
?
?+=-??? ??+??? ??+
=∞→∞
→∞
→x x x x x f x x x ,则当 ∞
→x 时, ) (x f 是无穷小。 (2分)
当 ∞→x 时, 11
3121121111ln 21) (33
2-??
?
?????? ??++-??? ??+=-??? ??+??? ?
?
+
=x o x x x x x x x f ??
?
??+=??? ??+--
+
+
-=22
22
2
112111412131211x o x x o x
x
x
x
, 即当 ∞→x 时, ) (x f 也是关 于 x
1的无穷小。
(4分)
(Ⅱ )由(Ⅰ )可知,当 ∞→x 时, ) (x f 是关于
x
1的 2阶无穷小。 (2分) 12
1) (lim 2
=
∞
→x f x x 。
(2分)
注意:由 0) (lim =∞
→x f x 直接得出 “ 当 ∞→x 时, ) (x f 是关于
x
1的无穷小 ” 的结论是不正确的,
要扣掉 2分。请思考原因。
【参考难度系数】 0.67
(16) 【本题考点】微分中值定理、积分中值定理 【详细解析】 (Ⅰ )构造辅助函数 ?
-=x
dt t f t x x F 0
2
2) () () (。
(2分) 则 0) 0(=F , 0) () 1() 1(1
2
=-=
?
dt t f t F 。
(1分)
又函数 ) (x F 在 ]1, 0[上连续,在 ) 1, 0(内可导,根据 Rolle 定理,在 ) 1, 0(内存在一点 ξ,使 得 0) (2) (' 0
==?ξ
ξξdt t f F 。
(1分) 又 0≠ξ,则只能 0) (0
=?ξ
dt t f ,即 0) (0
=?ξ
dx x f 。
(1分)
(Ⅱ ) 结合已知条件和题 (Ⅰ ) 结论, 构造辅助函数 ?
=1
) () (x
dt t f x G , 则 0) 1() 0(==G G ,
0) () () () (0
1
1
=-
=
=
?
?
?ξ
ξ
ξdt t f dt t f dt t f G 。 (1分)
根据 Rolle 定理, 存在 ) , 0(ξφ∈和 ) 1, (ξ?∈, 使 0) () (' =-=φφf G , 0) () (' =-=??f G 。 即 0) () (==?φf f 。
(1分)
构造函数 ?=1
) () () (x
dt t f x f x H ,则 0) 1() () () () 0(=====H H H H H ?ξφ。 (2分)
根据 Rolle 定理,存在四个不同的点 ) , 0(φη∈, ) , (ξφζ∈, ) , (?ξλ∈和 ) 1, (?μ∈,使得
0) (' ) (' ) (' ) (' ====μλζηH H H H 。
(2分)
整理即得 ?=1
2
) () (' ) (η
ηηdx x f f f , ?=1
2
) () (' ) (ζζζdx x f f f , ?=1
2
) () (' ) (λ
λλdx
x f f f
和 ?=1
2
) () (' ) (μ
μμdx x f f f 。
【参考难度系数】 0.38
【教材回顾】 1、 Rolle 定理 :如果函数 ) (x f 在闭区间 ], [b a 上连续, 在开区间 ) , (b a 内可导, 且 ) () (b f a f =,那么在 ) , (b a 内至少有一点 ) , (b a ∈ξ,使得 0) (' =ξf 。
2、 积分中值定理 :如果函数 ) (x f 在积分区间 ], [b a 上连续, 则至少存在一点 ], [b a ∈ξ, 使 得 ) )(() (a b f dx x f b
a -=?ξ。
3、 加强积分中值定理 :如果函数 ) (x f 在闭区间 ], [b a 上连续,则至少存在一点 ) , (b a ∈ξ, 使得 ) )(() (a b f dx x f b
a -=?ξ。
请尝试通过第 1条证明第 3条。
(17) 【本题考点】常系数非齐次线性微分方程解的性质及解的结构 【详细解析】该微分方程所对应的常系数齐次线性微分方程具有形如
) sin cos (~113x D x C e y x +=的通解。
(2分)
则该常系数非齐次线性微分方程具有形如
]sin ) (cos ) [(*22
32233x x D x D x x C x C e
y x
+++=的特解。
(5分)
(之所以这样安排分数,是为了提醒大家注意答题顺序。望再次引起注意! ) 将 *y 代入原微分方程,待定系数得 13-=C , 02=C , 03=D , 12=D 。 (2分) 将 ) sin cos (~2
3x x x x e
y x
+-+代入初始条件,待定系数得 11=C , 11-=D 。
(1分)
综上并整理,得微分方程 x xe y y y x
sin 410' 6' ' 3=+-满足初始条件 1) 0(=y , 2) 0(' =y 的
特解为 ) cos cos (sin) 1(3x x x x e
x y x
---=。
请查阅同济六版《高等数学上》第 341页,仿照题 12的方式自行总结这类考点。 【参考难度系数】 0.47
(18) 【本题考点】微分方程的简单应用
【详细解析】设 ) (t h 表示从开始下雪起到时刻 t 时的积雪深度,则
C dt
dh =。解这个微分方
程,得 1C Ct h +=。又 0=t 时, 0=h ,故 01=C 。从而 Ct h =。 (3分)
设 ) (t x 为扫雪机从开始下雪时起到时刻 t 时走过的距离,则
h k
dt
dx =(扫雪机每小时扫去的
积雪体积为常数,所以扫雪机前进的速度与积雪深度成反比) 。将 Ct h =代入该方程,可得
t
A dt
dx =(其中 C
k A =) 。解得 B t A x +=ln 。 (4分)
设 T 为开始下雪到扫雪机开始工作的时间,则有:T t =时, 0=x ; 1+=T t 时, 2=x ; 3+=T t 时, 4=x 。代入上式,得 ??
?
??=++=++=+4) 3ln(2) 1ln(0
ln B T A B T A B T A 。
(2分)
解上述方程组,得 1=T 。则雪是从早上 7点开始下的。
(1分)
【参考难度系数】 0.48
(19) 【本题考点】偏导数的链式法则、微分方程 【详细解析】 (Ⅰ )由 ???==θθsin cos r y r x 得 ???
??=+=x y y x r arctan
2
2θ。 θθθ??+-
??+=
????+
????=
??u y
x y r u y
x x x u x r r u x u 2
2
2
2
, (1分)
θ
θθ??++
??+=
????+????=??u y x x r u
y x y y u y
r r u y
u 2
2
2
2
, (1分)
θ
???+-
??++??+=
??r u
y x xy r
u y x y
r
u
y
x x
x
u 2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
3
2
3
)
(2)
(
θ
θ
??++
??++
u y x xy u
y x y
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
(2) (, (2分)
θ
???++
??++
??+=
??r u y x xy r
u y x x
r
u y
x y
y
u 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
32
3
)
(2)
(
θ
θ
??+-
??++
u y x xy u
y x x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
(2) (, (2分)
则
0112
2
2
2
2
22
2
2
=??+
??+
??=
??+??θ
u r
r
u r r
u y
u x
u 。
(Ⅱ )把(Ⅰ )中的部分结论代入条件中,整理得
0=??r u 。再代入结果,得
02
2
=??θ
u 。从
而
1C u =??θ
, 21C C u +=θ。 21arctan ) , (C x
y C y x u +=,其中 1C 和 2C 为常数。 (2分)
(Ⅲ )把(Ⅰ )中的部分结论代入条件中,整理得
0=??θ
u 。再代入结果得
012
2
=??+
??r
u r r
u 。
从而 r
C r
u =
??, 22212) ln(||ln C y x C C r C u ++=+=,其中 1C 和 2C 为常数。 (2分)
【参考难度系数】 0.61
(20) 【本题考点】函数关系的建立、定积分的几何应用、反常(广义)积分 【详细解析】 (Ⅰ )如图,设 ) , (y x P ,则 ) 2, (x Q ,
) , (0y x N 。 N 既在圆 1) 1(2
2
=-+Y X
上, 又在
直线 X x
Y 2=上。代入,整理得点 P 的轨迹方程 为 4
8
) (2
+=
x x y 。
(3分) (Ⅱ ) π44
82
=+=?
+∞
∞
-x dx
S x 。
(3分)
(Ⅲ ) 2
2
2
2
4)
4(8ππ=+?=
?
∞
+∞
-x dx
V x 。 (4分)
【参考难度系数】 0.90
(21) 【本题考点】定积分、直角坐标系和极坐标系下的二重积分
【详细解析】 ??
?
??
=
?=
+40
3
4
sec 0
2
2sec 3
1
π
π
θ
θθθ
d rdr r d dxdy y x D
。
(3分)
C d +++=
?|)tan sec |ln tan (sec2
1sec 3
θθθθθθ。
(3分)
)]21ln(2[2
1|)
tan sec |ln tan (sec2
1sec 4
4
3
++=
++=
?
π
π
θθθθθθd ,则原式的值为
)]21ln(2[6
1++。
(2分)
12
4
11
2
1
2
2
2
2π
π=
=
-=
-?
?
?
??
dx x dy y x dx dxdy y x x
D
。 (4分)
【参考难度系数】 0.77
(22) 【本题考点】行列式的按行(列)展开定理、伴随矩阵、线性方程组、用配方法化二 次型为标准形
【详细解析】 (Ⅰ )经计算,无论 n 为何值, 1=A 。
(1分)
**1
A A
A A ==
-。 (2分) (Ⅱ )根据线性方程组的性质, b Ax =有唯一解。
(1分)
通过 Crammer 法则或观察可知, T x ) 0,... 0, 2, 0, 1(=为 b Ax =的解。 (2分)
(Ⅲ )当 3=n 时, ????
?
???
??=63
1
321
111A 。 则 2
3322231212132166222) , , (x x x x x x x x x Ax x x x x f T +++++==。
(1分) 配方法:232322321321) 2() () , , (x x x x x x x x x f +++++=。
(1分)
令 ?????=+=++=3332232112x
y x x y x x x y ,则 ?????=-=+-=333223
2112y x y y x y y y x 。
(1分)
令 ????????
??--=10
210
111P ,则 ????
?
??
??
?=11
1
AP P T
。 (1分)
【参考难度系数】 0.64
2、如果含有 n 个未知数的 n 个线性方程的方程组的系数行列式不等于 0,则该线性方程组
一定有解,且解是唯一的。
(23) 【本题考点】矩阵的运算、矩阵的秩、向量组的线性相关与线性无关、向量组的秩、 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件、 非齐次线性方程组有解的充分必要条件、 齐次线 性方程组的基础解系和通解、 非齐次线性方程组的通解、 矩阵的特征值和特征向量的概念和 性质、相似矩阵的概念和性质、矩阵可相似对角化的充分必要条件 【详细解析】 (Ⅰ )不妨设 T
A αβ=,则 O A k A n n ==-1
。 (1分) 又 A 是非零矩阵,只能 0=k 。 (1分) 则 O kA A ==2
。
(1分)
(Ⅱ ) O A n =,则 A 有 n 重特征值 0。但 1) () 0(==-A r A E r ,则特征值 0有 1-n 个线
性无关的特征向量,从而矩阵 A 必不可相似对角化。
(1分)
若要证明 n
n A ?????????
????
?
??
?00...
... ...
00
10
~,只需构造出一个可逆矩阵 P ,使得
n n AP P ?-????????????
?
??
?=00...
... ...
00
101
,即 n
n P AP ?????????
??
?????
?=00...
... ...
00
10
。 (1分)
不妨设 ) ,..., , (21n P ξξξ=, 则 ) 0.
, , 0() . , , (121ξξξξ=n A A A 。 由于 1) (=A r , 0=Ax 必 有 1-n 个线性无关的解,不妨将它们记作 n ξξξ,..., , 31。
(1分)
由于 0=αA ,不妨令 αξ=1。对线性方程组 12ξξ=A ,即 αξ=2A ,由于
1) |() (==αA r A r ,则 αξ=2A 必有解。
(1分)
因此仅需证明:对任意满足 αξ=2A 的 2ξ,都有 n ξξξ,..., , 21线性无关。 设存在常数 n k k k ,..., , 21,使得 0... 2211=+++n n k k k ξξξ。
(1分) 该等式左乘 A ,得 021222===αξξk k Ak 。又 α为非零向量,则 02=k 。
(1分)
代入 0... 2211=+++n n k k k ξξξ,有 0... 3311=+++n n k k k ξξξ。作为 0=Ax 的线性无关 的解 n ξξξ,..., , 31,必有 0... 31====n k k k 。
(1分)
综上 0... 21====n k k k ,从而 n ξξξ,..., , 21线性无关,进而 P 可逆。因此只需按照上述步
骤构造矩阵 P ,就有 n n AP P ?-????????????
?
??
?=00...
... ...
00
10
1
,即:n
n A ?????????
??
?????
?00...
... ...
00
10
~。
(1分)
【参考难度系数】 0.19
【教材回顾】 1、 n 元齐次线性方程组 0=Ax 有非零解的充分必要条件是 n A r <) (。="" 2、线性方程组="" b="" ax="有解的充分必要条件是" )="" |()="" (b="" a="" r="" a="" r="">
3、给定向量组 n A ααα,..., , :21,如果存在不全为零的数 n k k k ,..., , 21,使
0... 2211=+++n n k k k ααα,则称向量组 A 是 线性相关 的,否则称它 线性无关 。
4、设 n m ?矩阵 A 的秩 r A r =) (,则 n 元齐次线性方程组 0=Ax 的解集 S 的秩为 r n -。
范文二：牛山之木
牛山之木
孟子曰：“牛山之木尝美矣，以其郊于大国也，斧斤伐之，可以为美乎？是其日夜之所息，雨露之所润，非无萌櫱之生焉，牛羊又从而牧之，是以若彼濯濯也。人见其濯濯也，以为未尝有材焉，此岂山之性也哉？櫱，五割反。牛山，齐之东南山也。邑外谓之郊，言牛山之木，前此固尝美矣，今为大国之郊，伐之者众，故失其美耳。息，生长也。日夜之所息，谓气化流行未尝间断，故日夜之闲，凡物皆有所生长也，萌，芽也。櫱，芽之旁出者也。濯濯，光洁之貌。材，材木也。言山木虽伐，犹有萌櫱，而牛羊又从而害之，是以至于光洁而虽存乎人者，岂无仁义之心哉？其所以放其良心者，亦犹斧斤之于木也，旦旦而伐之，可以为美乎？其日夜之所息，平旦之气，其好恶与人相近也者几希，则其旦昼之所为，有梏亡之矣。梏之反复，则其夜气不足以存；夜气不足以存，则其违禽兽不远矣。人见其禽兽也，而以为未尝有才焉者，是岂人之情也哉？好、恶，并去声。良心者，本然之善心，即所谓仁义之心也。平旦之气，无草木也。谓未与物接之时，清明之气也。好恶与人相近，言得人心之所同然也。几希，不多也。梏，械也。反复，展转也。言人之良心虽已放失，然其日夜之间，亦必有所生长。故平旦未与物接，其气清明之际，良心犹必有发见者。但其发见至微，而旦昼所为之不善，又已随而梏亡之，如山木既伐，犹有萌櫱，而牛羊又牧之也。昼之所为，既有以害其夜之所息，又不能胜其昼之所为，是以展转相害。至于夜气之生，日以寖薄，
故苟得其养，
无物不长；苟失其养，无物不消。长，上声。山木人心，其理一也。孔子曰：‘操则存，舍则亡；出入无时，而不足以存其仁义之良心，则平旦之气亦不能清，而所好恶遂与人远矣。
莫知其乡。’惟心之谓与？”舍，日暴之，十日寒之，未有能生者也。吾见亦罕矣，吾退而寒之者至矣，吾如有萌焉何哉？易，去声。暴，步卜反。见，音现。暴，温之也。我见王之时少，犹一日暴之也，我退则谄谀杂进之日多，是十日寒之也。虽有萌櫱之生，我亦安能如之何哉？
范文三：创意之木·石·砖
还未走进亚邑，一阵轻柔的班得瑞“蓝色天际”就在耳畔轻响，纯净的声音仿若来自瑞士阿尔卑斯山。一曲响完，紧接着是肆意抒发的蓝调和爵士乐。在情境打造上，视觉与听觉的共同触发更易打动人心。饱含情感的音乐，入口处触目可及的青砖墙面分割摞起，古拙大气，一方木凳静静候着，未入其问，就似乎能感受到美的力量。 “为‘设计师’打造一个富有设计创意的工作空间，这本身是一个有趣并富有冲动的设计题材”，对室内设计师而言，这确实是一个需共同面对的课题。亚邑主持设计师孙建亚一手打造了亚邑办公室，无论是选址、布局还是氛围营造、材质选择，他都认真阐释，长远考量。 孙建亚先生来自台湾，在内地已有十数年的从业经验，特别是对上海有一种特殊的情感。独栋别墅、良好的园林景观这些被认为是创意办公场域不可或缺的条件，皆因上海市中心的昂贵地租而无法实现。2005年的一次因缘巧合，亚邑参与了华纳风格酒店的改造设计，老厂房的古早感和空间布局既成就了亚邑的设计，也让他们开始着意将办公室搬入这片创意园中。2012年设计完成的亚邑办公室终于实现了可与绿草同伴、与光线同行的预想。对设计师来说，激发创作灵感，是设计办公空间的最大核心――“我们希望打破传统办公空间的有形格局，让空间‘流淌’起来，为设计师提供一个能让思想自由生长的场所，创作‘无间断，可发展’”的格局。 踏入其间，最大的感受是开放布局与绿色的设计理念，尤其材质的运用令人叹服。“我们尽可能选择环保、原生态的材料，尊重材质的本色，不做过多修饰，素混凝土、原木、石材平和地组合在一起。于是，整个空间以最质朴的方式呈现，摈弃过多的人工痕迹，还空间以本来面目……”在这里，上海上世纪五十年代老房子拆迁下的木头被铺设在过道上，历史沉淀下的斑驳图纹，美丽却富有质感。整块天然实木桌面，厚重又将规矩化为无形。过道上的木格搭起来的开放书架，是可重新组合的材料。这是设计师对历史的体认，态度严谨，技巧轻盈。他在自己的办公室运用石条摞起创造的背景墙，特设的凹洞处放上蜡烛香薰，让嗅觉也加入情境氛围的营造。 这里有全程的轻音乐，工作疲劳时，开放吧台后有咖啡机，烹煮的袅袅烟气中，总能放任舌尖于甘苦的味觉中，想一想未解难题。虽然公司男女生的比例较为均衡，孙建亚却“任性”地设了撞球桌，他想，拼上一局总能酣畅琳琳，痛快无比。事实也确实如此。 对话录 《现代装饰?家居》对话孙建亚 公司当时为何选址于此，有何考量？ 孙建亚：我们公司设立在上海华纳风格酒店园区的裙房内。华纳风格酒店是2005年我们和之前的华纳风格酒店的老板一起设计的，是亚邑的设计代表作之一。办公室的前身是建于上世纪80年代的老厂房，柱子不多，条件较好，我们做了包括外立面的大量整改，使其能体现出空间的开阔度，也能彰显我们公司在室内到室外的整体改造和设计的实力，正是出于这样的双重考量，我们才选址于此。 谈谈你设计自己工作室的初衷是为了视觉、观感还是为了体现设计理念或是企业价值？最后它是否达到了预期的效果？ 孙建亚：这个问题问得挺好的，首先，在设计时我们是将视觉观感和设计理念或企业价值一并考虑的。设计公司在社会上起的是什么作用？我个人希望在未来能在绿色环保、节能、减碳等方面充当引领人的角色。在自身的办公室设计中，无论公司用材还是设计概念，我们都做了比较认真的诠释。 从入口开始，利用天然质朴的青砖横过来摞在墙上，打破了以往正面贴墙的方式，并以一些分割手法来体现设计效果和意图。地面运用水泥加新沙混合比例的这种最原始的处理方法。在公共过道的地面上，我们铺设上从上世纪50年代的上海老房子拆迁下的木头，它们经过几十年的沉淀，材料稳定，本身富有斑驳的岁月痕迹，很能体现出旧年代及Loft的感觉。过道上的书架是以同样尺寸及大小的木格子搭起来的，以后若要搬迁，可以拆卸下来再次利用。会议桌和我的办公桌桌面都用了大块的天然实木，表现得更为质朴，在很长的一段时间内是可以永续使用的。我们利用这些最朴实的木石砖建材，希望表现出最朴实的一面，加上一些软装点缀，出来的效果既有Loft的感觉，又是设计师或建筑师喜欢的空间诠释，当然造价会相对便宜。它没有强烈的流行性语汇，五年、十年后一样是现在的状况，不会因为用旧了而好象破败了，还是有最质朴的味道体现出来。 对于设计师的工作场域，如何提高灵感及创意的进发，似乎都是不容忽视的话题，你觉得你设计的工作室在创意设计上做了哪些布局？开放式空间无论从空间利用率还是团队合作上都更有益处，你赞同么？ 孙建亚：设计办公室我首先考虑的是开放、通透的空间，一来弥补了办公室原本存在的缺陷：只有单面采光，而且这个单面相对较窄，又是办公室入口。通过入口处设置大面积落地玻璃，希望无障碍地将光线穿透过玄关、接待室、前台和休息区域，能到达办公场域。二来，整体的开放空间可以让设计师更开放、自由地交流。 在设计方面，办公空间包括会议室都是可通过折叠门全部打开的，大家可以随时讨论，播放PPT。阅读区也是开放的，它与工作区域结合在一起，可随意地取放书籍，达到最高的互动。主管没有设立独立办公间，大家都是在通透、开放的空间做创意设计。我们会在上班时间全程播放轻音乐，工作间隙可以去开放的吧台泡咖啡，希望能给设计团队营造出轻松、舒适，像家一样的环境，让他们在没有压力的情况下做设计。 很多人说，设计师的工作室因为工作的高强压力不可能是干净整齐的，你是否也认同？如果这样又当如何让有意向的合作方拜访时对贵公司保持比较好的印象？ 孙建亚：这并不会构成我们的困扰。我们在工作区域安排有足够的收纳空间，入口也有足够大的玄关和陈列布置过的情境空间，两个空间虽然是通透的，但并没有太大的干扰。如果是充满朝气的设计公司，工作的领域和桌面稍微有一些高强度工作的感觉，甲方应该也能体谅和理解，毕竟设计公司收纳得太干净，感觉很冷清，我觉得这一点并不是太大的问题。 很多工作室都有很多人性化的空间，比如说花园、茶水间、休息区等，细部体现设计者独有的人性关怀，你的工作室是否也有这些既有趣又放松的空间？ 孙建亚：这个非常棒，我们在做自己的办公室时，当初就想要找有这样环境甚至是独栋的别墅，有庭院，有休息的空间，但上海有这样条件的不是成本过高就是很难找。现在的办公室有一个开放的水吧台，后边有一个可供员工休息、抽烟、聊天、吃饭的独立休息区。在大片、开放的书架前面，我们特意留了二十平米的空余空间，放了一台撞球桌，大家可以在加班甚至下班后自由地打打撞球，调节一下。 就风格而言，你觉得你设计的工作室有哪些元素会让造访者眼前一亮，且一以贯之了你的设计理念？ 孙建亚：我觉得可以从两个角度来看待：一是从设计的角度出发。我希望设计公司的空间应该是通透、内敛、简单、质朴并且充满创意的空间，但是不要过多的强调设计和玩弄设计；二是从公司的文化角度而言，我希望空间让造访者在看到公司的环境和氛围时能体现出工作效率，并且充满休闲、娱乐和人性化，让他们都能感受到公司的独特氛围。我相信在有文化的空间背景下，我们才能出好的作品。
范文四：肝属五行之木
肝属五行之木，春木旺，肝主事，因此春季护肝尤为重要。从免疫学意义和实践中看，春季护肝，对于增强对其他疾病的免疫能力亦有着重要作用。在春季的饮食结构中，她们建议大家常食菠菜、山药、银耳等养肝食品，并特别推荐了两道食谱。
银耳百合香蕉羹 美容护肝脏
银耳入肺、胃、肾经，能提高肝脏解毒能力，起保肝作用，又有“菌中之冠”的美称，富含天然植物性胶质，长期食用可滋阴润肤，并有祛除脸部黄褐斑、雀斑的功效。银耳中的有效成分酸性多糖类物质，能增强人体的免疫力，丰富的膳食纤维可以促进肠蠕动，减少人体对脂肪的吸收，起到减肥、通便作用。
做法：将干银耳20克浸泡，摘去蒂梗，洗净，蒸30分钟；鲜百合100克去蒂洗净，香蕉2根去皮切片；将以上食材同放炖盅内，加枸杞、冰糖、水适量蒸30分钟即可。
点评：银耳百合香蕉羹富含蛋白质、糖类、钾、磷、钙、维生素。搭配补肾调色的枸杞，具有养阴润肺、美容生津的作用。
特别提醒：左小霞强调说，这道菜对患有支气管炎、肺炎、肺气肿、肺结核等呼吸系统疾病的老年患者很有帮助，但当有黏痰且痰不易咳出时，不要食用银耳。
山药薏米粥 排湿补脾胃
春季肝火旺盛，易导致脾虚，脾虚会引起消化系统紊乱，如消化不良、拉肚子等。因此，养肝时要注意健脾。山药含有淀粉酶、多酚氧化酶等物质，有利于脾胃消化吸收功能，是一味平补脾胃的药食两用之品。临床上常用治脾胃虚弱、食少体倦、泄泻等病症。
做法：将山药，薏米，莲肉，大枣（干）与小米共煮粥，粥熟后，加白糖少许。
点评：春季雨水丰沛，人体内湿气加重，薏米有利于人体内湿气排出，促进体内血液和水分的新陈代谢，并可帮助排便。山药和薏米都有美白的功效，爱美的女士们不妨经常食用。
特别提醒：王晶特别提醒，煮山药以15-20分钟为宜，以免破坏其中的淀粉酶，制作时要先放薏米，后放山药。另外，这道粥患有糖尿病和大便干燥的人禁食。
范文五：牛山之木.doc
孟子曰:“牛山之木尝美矣，以其郊于大国也，斧斤伐之，可以为美乎,是其日夜之所息，雨露之所润，非无萌櫱之生焉，牛羊又从而牧之，是以若彼濯濯也。人见其濯濯也，以为未尝有材焉，此岂山之性也哉,櫱，五割反。牛山，齐之东南山也。邑外谓之郊，言牛山之木，前此固尝美矣，今为大国之郊，伐之者众，故失其美耳。息，生长也。日夜之所息，谓气化流行未尝间断，故日夜之闲，凡物皆有所生长也，萌，芽也。櫱，芽之旁出者也。濯濯，光洁之貌。材，材木也。言山木虽伐，犹有萌櫱，而牛羊又从而害之，是以至于光洁而无草木也。虽存乎人者，岂无仁义之心哉,其所以放其良心者，亦犹斧斤之于木也，旦旦而伐之，可以为美乎,其日夜之所息，平旦之气，其好恶与人相近也者几希，则其旦昼之所为，有梏亡之矣。梏之反复，则其夜气不足以存;夜气不足以存，则其违禽兽不远矣。人见其禽兽也，而以为未尝有才焉者，是岂人之情也哉,好、恶，并去声。良心者，本然之善心，即所谓仁义之心也。平旦之气，谓未与物接之时，清明之气也。好恶与人相近，言得人心之所同然也。几希，不多也。梏，械也。反复，展转也。言人之良心虽已放失，然其日夜之间，亦必有所生长。故平旦未与物接，其气清明之际，良心犹必有发见者。但其发见至微，而旦昼所为之不善，又已随而梏亡之，如山木既伐，犹有萌櫱，而牛羊又牧之也。昼之所为，既有以害其夜之所息，又不能胜其昼之所为，是以展转相害。至于夜气之生，日以寖薄，而不足以存其仁义之良心，则平旦之气亦不能清，而所好恶遂与人远矣。故苟得其养，无物不长;苟失其养，无物不消。长，上声。山木人心，其理一也。孔子曰:‘操则存，舍则亡;出入无时，
莫知其乡。’惟心之谓与,”舍，日暴之，十日寒之，未有能生者也。吾见亦罕矣，吾退而寒之者至矣，吾如有萌焉何哉,易，去声。暴，步卜反。见，音现。暴，温之也。我见王之时少，犹一日暴之也，我退则谄谀杂进之日多，是十日寒之也。虽有萌櫱之生，我亦安能如之何哉,
