范文一：高二数学简单几何解答题及答案

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解 答 题

9x,1(已知双曲线的两条渐近线方程为，一条准线方程为，求双曲线方4x,3y,05程(

22xy3,,1，，,2(过双曲线的左焦点F,c，0，斜率为的直线与两准线交于，lMN224ab

两点，以为直径的圆过原点，且点(3，2)在双曲线上，求双曲线方程( MN

3(过点(2，2)的双曲线的虚轴长、实轴长、焦距成等差数列，且它的右准线方程是，x,1求(1)双曲线的离心率;(2)双曲线右焦点的轨迹方程(

22，，P0，44(过点作直线，使它恰好与双曲线有一个交点，求直线方程( x,y,8

22xy*OP,5,,1FF(双曲线()的两个焦点、，为双曲线上一点，，5Pb,N1224b

PFFFPF、、成等比数列，求此双曲线方程( 1221

22xy,,1A(x,y)C(x,y)6(在双曲线上的一支上不同的三点，，与B(26,6)11221213

y，y焦点的距离成等差数列(?试求;?证明线段的垂直平分线经过某一定ACF(0,5)12

点，并求该定点坐标(

227(求双曲线，被点平分的弦的方程( A(8,3)PQ9x,16y,144

222228(双曲线与动圆()有公共点，求实数的取值a,Rax,y,1(x,a)，y,a

范围(

9(过原点的双曲线有一个焦点为，实轴长2，求双曲线中心的轨迹方程( F(4,0)

22tttt10(已知P(,2,0)、是过点的两条互相垂直的直线，且、与双曲线y,x,12211

kt各有两个交点，求的斜率的取值范围( 11

221xyy,x，2,,111(求直线与双曲线的两个交点和原点构成三角形的面积( 394

FF12(已知中心在原点，焦点都在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点、，且12FF,23，又椭圆的半长轴长与双曲线的半实轴长之差等于4，且它们的离心率之比为12

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3:7，?求椭圆和双曲线的方程;?若是它们的一个交点，求，FPF的余弦值( P12

参考答案:

22xy,,11(; 916

22xy,,12(; 32

22，，，，22x,，y,55，，x，y3((1);(2)设双曲线的右焦点为，由双曲线定义有，,4214,

2522，，，，x,2，y,2,即( 16

4(、( y,,3x，4y,,x，4

F(,c,0)F(c,0)5(设，，，依三角形中线定理有: P(x,y)12

222222222PF，PF,2(PO，FO),2(5，c)PF，PF,50，2c，.又 12112

222？PF，PF,(PF,PF)，2PF,PF 121212

22PF,PF,4PF,PF,FF,4c依双曲线定义有，又 121212

141422222？c,？c,4，b, 又 ？16，8c,50，2c33

25x222？b,,y,1 ，双曲线方程为 ？？b,134

5e,6(?双曲线中，，则、、三点的焦半径分别是: c,5ABCa,2323

555FA,y,23FB,,6,23FC,y,23，， 12232323？FA，FC,2FB？y，y,12 12

22yx11222211(y,y),(x,x)？,,1?？A、C均在双曲线上 ，上两式作差有 121212131213

12()y,yx，xx，x121212 k,,,AC13()13x,xy，y1212

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x，x12的中点的坐标为(，6) ACQ2

13x，x12的中垂线方程为: AC6()y,,,x,()2x，x12

252513x，(x，x)(y,),0(0,)即 可见必过定点 ？1222

227(令P(x,y)，Q(x,y) ? ？9x,16y,14411221122? 9x,16y,14422

2222?,?得:，即 9(x,x),16(y,y),01212

9(x，x)(x,x),16(y，y)(y,y),0 12121212

3k,？x，x,16y，y,6， 设的斜率为，则 PQk12122弦的方程为 ？PQ3x,2y,18,0

22,x,y,1,22228(联立方程消去得:，即 y(x,a)，x,1，a2x,2ax,1,0,222,(xa)ya,，,,

2xx设两根为、令 f(x),2x,2ax,112

22由可得或 x,,1x,1x,y,1

1？x,x,,,0xx，即与异号 12122

f(1),0f(,1),0,,双曲线与动圆有公共点的充要条件为或 ？,,f(0),0f(0),0,,

11a,,a,从而解得或 22

229(和点(2，0) (x,2)，y,16

tk,0t10(依题意、的斜率均存在，则t:y,k(x，2)，()， 21111,y,k(x，2),12222,(k,1)x，22kx，2k,1,0由 ,11122,y,x,1,

,,1kk,,1,,11？ ？ ,,222224(3k,1),0,,(22k),4(k,1)(2k,1),0,1,111

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2,3k,1,01,,323,1,0k,k,3,,21 ,？,,3,,,1kk,,12k,,11,,k,,11,

33 ？k,(,3,,1),(,1,),(,1),(1,3)133

221xyy,x，2,,1PP11(设直线与双曲线的两个交点分别为、，将代入，整理12394

2xxPP得，此方程的两个根、分别是、的横坐标，由韦达定理可x,4x,24,01122得

x，x,4x,x,,24， 1212

2x,x,(x，x),4xx,47 121212

11？S,x,x,2,,47,2,47 ,OPP121222

22224xyxycos，FPF,，,1,,112(?椭圆，双曲线? 125493694

范文二：高二数学简单几何解答题及答案

解 答 题

1.已知双曲线的两条渐近线方程为 034=±y x ,一条准线方程为 5

9

=x ,求双曲线方 程.

2. 过双曲线 122

22=-b

y a x 的左焦点 ()0, c F -,

斜率为 43-的直线 l 与两准线交于 M , N 两点,以 MN 为直径的圆过原点,且点(3, 2)在双曲线上,求双曲线方程.

3. 过点 (2, 2) 的双曲线的虚轴长、 实轴长、 焦距成等差数列, 且它的右准线方程是 1=x , 求(1)双曲线的离心率; (2)双曲线右焦点的轨迹方程.

4.过点 ()40, P 作直线,使它恰好与双曲线 822=-y x 有一个交点,求直线方程.

5. 双曲线

1422

2=-b

y x (*N b ∈) 的两个焦点 1F 、 2F , P 为双曲线上一点, 5<, 1pf="" 、="" 21f="">

、 2PF 成等比数列,求此双曲线方程. 6.在双曲线

113

122

2=-y x 上的一支上不同的三点 ) , (11y x A , ) 6, 26(B , ) , (22y x C 与 焦点 ) 5, 0(F 的距离成等差数列.①试求 21y y +;②证明线段 AC 的垂直平分线经过某一定 点,并求该定点坐标.

7.求双曲线 1441692

2

=-y x ,被点 ) 3, 8(A 平分的弦 PQ 的方程.

8.双曲线 12

2

=-y x 与动圆 2

2

2

) (a y a x =+-(R a ∈)有公共点,求实数 a 的取值 范围.

9.过原点的双曲线有一个焦点为 ) 0, 4(F ,实轴长 2,求双曲线中心的轨迹方程. 10. 已知 1t 、 2t 是过点 ) 0, 2(-P 的两条互相垂直的直线, 且 1t 、 2t 与双曲线 122=-x y 各有两个交点,求 1t 的斜率 1k 的取值范围.

11.求直线 231+=x y 与双曲线

14

92

2=-y x 的两个交点和原点构成三角形的面积. 12.已知中心在原点,焦点都在 x 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点 1F 、 2F ,且

3221=F F ,又椭圆的半长轴长与双曲线的半实轴长之差等于 4,且它们的离心率之比为

3:7,①求椭圆和双曲线的方程;②若 P 是它们的一个交点,求 21PF F ∠的余弦值.

参考答案:

1.

11692

2=-y x ; 2. 12

32

2=-y x ; 3. (14

5; (2) 设双曲线的右焦点为 ()y x , , 由双曲线定义有

4

51

2222

2=

--+-y x , 即 ()()16

25222

2

=

-+-y x . 4. 4+±=x y 、 4+±=x y .

5.设 ) 0, (1c F -, ) 0, (2c F , ) , (y x P ,依三角形中线定理有:

) 5(2) (2222122221c O F PO PF PF +<+=+,>

221250c PF PF +<+. 又="">

22

12) (PF PF PF PF PF PF ?+-=+ 依双曲线定义有 421=-PF PF ,又

22

21214c F F PF PF ==?

22250816c c +<+∴><∴c 又="">

1442

2<+=b c="">

5

2

<>

12

=∴b , ∴双曲线方程为 14

22

=-y x

6.①双曲线中 5=c , 2=a , 25=

e 则 A 、 B 、 C 三点的焦半径分别是:

32251-=

y FA , 32625-?=

FB , 32252-=

y FC

FB FC 2=+∴ 1221=+∴y y

② A 、 C 均在双曲线上 113

122121=-∴

x y ,上两式作差有 ) (131) (1212

2212221x x y y -=- 13

) (13) (122

121212121x x y y x x x x y y k AC +=++=--=

AC 的中点 Q 的坐标为(

2

2

1x x +, 6)

AC 的中垂线方程为:) 2

() (1362121x

x x x x y +-+-

=-

即 0) 225)((1321=-

++y x x x ∴可见必过定点 ) 2

25

, 0( 7.令 ) , (11y x P , ) , (22y x Q

1441692121=-∴y x ①

1441692

222=-y x ②

①-②得:0) (16) (922212221=---y y x x ,即

0) )((16) )((921212121=-+--+y y y y x x x x 1621=+x x , 621=+y y

设 PQ 的斜率为 k ,则 2

3

=

k ∴弦 PQ 的方程为 01823=--y x

8. 联立方程 ?????=+-=-2

2222) (1a

y a x y x 消去 y 得:2

221) (a x a x +=+-, 即 01222=--ax x 设两根为 1x 、 2x 令 122) (2--=ax x x f 由 122=-y x 可得 1-≤x 或 1≥x

02

1

21<>

=?∴x x ,即 1x 与 2x 异号 ∴双曲线与动圆有公共点的充要条件为 ?

?

?<≤0) 0(0)="" 1(f="" f="" 或=""><≤-0)>

) 1(f f 从而解得 21-

≤a 或 2

1

≥a 9. 16) 2(2

2

=+-y x 和点(2, 0)

10.依题意 1t 、 2t 的斜率均存在,则 ) 2(:11+=x k y t , (01≠k ) ,

由 ?????=-+=1) 2(2

21x y x k y 01222) 1(2

121221=-++-?k x k x k ???>---=?±≠∴0

) 12)(1(4) 22(12

1212211k k k k ???>-±=∴0

) 13(41

2

11k k

???????±≠-=?>->-∴110130131

212221k k k k k ???

??±≠<>

33

31

1k k ) , 1() 1, 3

3

() 3,

1() 1, (1??-?--∈∴k 11. 设直线与双曲线的两个交点分别为 1P 、 2P ,将 231+=x y 代入

14

92

2=-y x , 整理 得 02442

=--x x ,此方程的两个根 1x 、 2x 分别是 1P 、 2P 的横坐标,由韦达定理可 得

421=+x x , 2421-=?x x

744) (2122121=-+=-x x x x x x

742742

1

2212121=??=?-=

∴?x x S P OP 12.①椭圆

1364922=+y x ,双曲线 14

92

2=-y x ② 54cos 21=∠PF F

范文三：高二数学抛物线的简单几何解答题及答案

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解 答 题

2y,2x，by,4xAB,351( 知抛物线截直线所得的弦长，试在轴上求一点 xP,ABP，使的面积为39

2y,4x2(若的焦点弦长为5，求焦点弦所在直线方程

2p,0,AOBOx,2py3(已知是以原点为直角顶点的抛物线()的内接直角三角

,AOB形，求面积的最小值(

2FPA(3,2)y,2xPF，PA4(若，为抛物线的焦点，为抛物线上任意一点，求的

P的坐标( 最小值及取得最小值时的

5(一抛物线拱桥跨度为52米，拱顶离水面6.5米，一竹排上一宽4米，高6米的大木 箱，问能否安全通过(

MyM(a,b)a,06(抛物线以轴为准线，且过点，()求证不论点的位置如何变化， 抛物线顶点的轨迹是椭圆，且离心率为定值(

2Aa,0B(a，4,0)y,4axBA7(已知抛物线()的焦点为，以为圆心，为半径，

MPNMN在轴上方画半圆，设抛物线与半圆交于不同的两点、，为线段的中点(?x

AM，ANAMAPAN求的值;?是否存在这样的，使、、成等差数列，若存在，a

求出的值;若不存在，说明理由( a

222y,x(x,3)，y,18(求抛物线和圆上最近两点之间的距离(

ABDABCDy,x，4C9(正方形中，一条边在直线上，另外两顶点、在抛物线 2y,x上，求正方形的面积(

2y,4x10(已知抛物线的一条过焦点的弦被焦点分为，两个部分，求证 mn

11( ，,1mn

4m52m6.5m6m11(一抛物线型拱桥的跨度为，顶点距水面(江中一竹排装有宽、高 的货箱，问能否安全通过(

2ABAy,xOOA,AB12(已知抛物线上两点，(在第二象限)，为原点，且，求 By,OABS当点距轴最近时，的面积(

2MMy,xOOMMNKO13(是抛物线上的动点，连接原点与，以为边作正方形，

K求动点的轨迹方程(

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参考答案:

b,,4P(15,0)P(,11,0)(先求得，再求得或 1

2x,y,2,0( 2

22xx221OA,OBxx,,4p3(设，Bx，则由得， Ax(,)(,)1212pp22

22xx22222212，，于是 OA,(x，4p)OB,(x，4p)12224p4p

xx1122222 S,OA,OB,(x，4p)(x，4p)12228p

114222422 ,32p，4p(x，x),32p，8pxx,4p121222

2A(2p,2p)B,(,2p,2p)x,xS,4p当，即，时， ？12小

12PPQQy,2x4(抛物线的准线方程为，过作垂直准线于点，由抛物线定义 x,2

APQPQ,PF？PF，PA,PA，PQPA，PQ得，，要使最小，、、三点必共

17PAQAQPA，PF线，即垂直于准线，与抛物线交点为点，从而的最小值为3，,，22P此时点坐标为(2，2)(

2x,,2py5(建立坐标系，设抛物线方程为，则点(26，,6.5)在抛物线上，

22？p,52y,,0.5？26,,2p(,6.5)x,,104y 抛物线方程为，当时，？

x,,213413,4，则有，所以木箱能安全通过(

222F(x,y)(x,a)，(y,b),a6(设抛物线的焦点为，由抛物线定义得，设顶点0000

a2(x,)2x,x2,(y,b)02222P(x,y)(2x,a)，(y,b),a为，则，所以，即为，,1,22y,yaa0,

4

3e,椭圆，离心率为定值( 2

,,,MPMPNN7(?设、、在抛物线的准线上射影分别为、、，则由抛物线定义

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,,AM，AN,MM，NN,x，x，2a得， MN

222,,y,4axx,(a，4)，y,16又圆的方程为，将代入得22x,2x(4,a)，a，8a,0

？x，x,2(4,a)？AM，AN,8 MN

2AP,AM，AN?假设存在这样的，使得 a

,,,？AM，AN,MM，NN,2PP

,PPMN？AP,PP，由定义知点必在抛物线上，这与点是弦的中点矛盾，所以这

样的不存在 a

PQC(3,0)PQ8(设、分别是抛物线和圆上的点，圆心，半径为1，若最小，则

PPCQCP,PQ，CQ也最小，因此、、共线，问题转化为在抛物线上求一点，使它

51111222222CP(y,y)(3)()到点的距离最小.为此设，则，PC,y,，y,y,，,00000244

11？PQ的最小值是 ,12

y,x，t,yCDy,x，t？9(设所在直线方程为，消去得,2y,x,

22x，(2t,1)x，t,0

22,,？CD,2(1,2t),4t,2(1,4t)

t,4ABCDAD,又直线与间距离为

2

？t,,2,6？AD,CD 或

223252S,(32),18S,(52),50从而边长为或，面积， 12

ABAB，，，，，，F1，0Ax，yBx，y10(焦点为，设焦点弦端点，，当垂直于轴，x1122

ABABm,n,2则，结论显然成立;当与轴不垂直时，设所在直线方程为x

2222，，，，y,kx,1k,0kx,，，2k，4x，kxx,1，代入抛物线方程整理得，这时，12

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1111x，x，212于是，命题也成立( ，,，,,1mnx，1x，1xx，x，x，1121212

y11(取抛物线型拱桥的顶点为原点、对称轴为轴建立直角坐标系，则桥墩的两端

2x,,2py，，p,0坐标分别为(,26，,6.5)，(26，,6.5)，设抛物线型拱桥的方程为，

13,,22p,52x,,104yx,2则，所以，抛物线方程为(当时，，，26,,2p,,,,2,,

111384,,y,,，而，故可安全通过( ,,,,,6,,2626213,,

12，，A，，,m，mm,0k,,mOA,OB，则，因为，所以，直12(设k,OAABm

122ABBy,x线的方程为，将代入，得点的横坐标为，，y,m,x，mm

1，，，，m,1A,1，1B2，4OA,2(当且仅当时取等号)，此时，，，x,m，,2m

1AB,32，所以( S,OA,AB,3,AOB2

,MKM，，，，Mx，yKx，y13(设，，过，分别作为轴的垂线，垂足分别为，x11

,,,,,,,KRt,OMMRt,KOKMM,OKOM,kKy,x，而证得?，则有，，即、1

2222y,xy,,xx,yy,x，而，因此，即为所求轨迹方程( 111

范文四：高二数学抛物线的简单几何解答题及答案

解 答 题

1. 知抛物线 x y 42=截直线 b x y +=2所得的弦长 53=AB ,试在 x 轴上求一点 P ,使 ABP ?的面积为 39

2.若 x y 42=的焦点弦长为 5,求焦点弦所在直线方程

3.已知 AOB ?是以原点 O 为直角顶点的抛物线 py x 22=(0>p )的内接直角三角 形,求 AOB ?面积的最小值.

4.若 ) 2, 3(A , F 为抛物线 x y 22=的焦点, P 为抛物线上任意一点,求 PF +的 最小值及取得最小值时的 P 的坐标.

5.一抛物线拱桥跨度为 52米,拱顶离水面 6.5米,一竹排上一宽 4米,高 6米的大木 箱,问能否安全通过.

6.抛物线以 y 轴为准线,且过点 ) , (b a M , (0≠a )求证不论点 M 的位置如何变化, 抛物线顶点的轨迹是椭圆,且离心率为定值.

7.已知抛物线 ax y 42=(0>a )的焦点为 A ,以 ) 0, 4(+a B 为圆心, 为半径, 在 x 轴上方画半圆,设抛物线与半圆交于不同的两点 M 、 N , P 为线段 MN 的中点.① 求 AN AM +的值;②是否存在这样的 a ,使 AM 、 AP 、 AN 成等差数列,若存在, 求出 a 的值;若不存在,说明理由.

8.求抛物线 x y =2和圆 1) 3(22=+-y x 上最近两点之间的距离.

9.正方形 ABCD 中,一条边 AB 在直线 4+=x y 上,另外两顶点 C 、 D 在抛物线 x y =2上,求正方形的面积.

10.已知抛物线 2

4x y =的一条过焦点的弦被焦点分为 m , n 两个部分,求证 111=+n

m . 11. 一抛物线型拱桥的跨度为 m 52, 顶点距水面 m 5. 6. 江中一竹排装有宽 m 4、 高 m 6 的货箱,问能否安全通过.

12.已知抛物线 2x y =上两点 A , B (A 在第二象限) , O 为原点,且 AB OA ⊥,求

当 B 点距 y 轴最近时, OAB ?的面积 S .

13. M 是抛物线 2

x y =上的动点,连接原点 O 与 M ,以 OM 为边作正方形 MNKO , 求动点 K 的轨迹方程.

参考答案:

1.先求得 4-=b ,再求得 ) 0, 15(P 或 ) 0, 11

(-P 2. 022=-±y x

3.设 ) 2, (211p x x A , ) 2, (222p

x x B ,则由 OB OA ⊥得 2214p x x -=, ) 4(42212212

p x p x OA +=, ) 4(42222222p x p x OB +=,于是 ) 4)(4(8212222212

21p x p x p x x OB OA S ++=?= 2212422212448322

1) (421p x x p p x x p p =+≥++= ∴当 21x x =,即 ) 2, 2(p p A , ) 2, 2(p p B -=时, 24p S =小

4.抛物线 x y 22=的准线方程为 2

1=x ,过 P 作 PQ 垂直准线于 Q 点,由抛物线定义 得 PF =, PQ PF +=+∴,要使 PQ PA +最小, A 、 P 、 Q 三点必共 线, 即 AQ 垂直于准线, AQ 与抛物线交点为 P 点, 从而 PF +的最小值为 2

7213=+, 此时 P 点坐标为(2, 2) .

5.建立坐标系,设抛物线方程为 py x 22-=,则点(26,-6.5)在抛物线上, ) 5. 6(2262--=∴p 52=∴p ∴抛物线方程为 y x 1042-=,当 5. 0-=y 时, 2±=x ,则有 44>,所以木箱能安全通过.

6.设抛物线的焦点为 ) , (00y x F ,由抛物线定义得 22020) () (a b y a x =-+-,设顶点

为 ) , (y x P , 则 ???==y y x x 0

02, 所以 222) () 2(a b y a x =-+-, 即 1) (4

) (2222=-+-a b y a a x 为 椭圆,离心率 2

3=e 为定值. 7.①设 M 、 N 、 P 在抛物线的准线上射影分别为 M '、 N '、 P ',则由抛物线定义 得, a x x N N M M AN AM N M 2++='+'=+

又 圆 的 方 程 为 []16) 4(22=++-y a x , 将 ax y 42=代 入 得 08) 4(222=++--a a a x x

) 4(2a x x N M -=+∴ 8=+∴AN AM

②假设存在这样的 a ,使得 AN AM AP +=2

P P N N M M AN AM '='+'=+∴2

P P AP '=∴,由定义知点 P 必在抛物线上,这与点 P 是弦 MN 的中点矛盾,所以这 样的 a 不存在

8.设 P 、 Q 分别是抛物线和圆上的点,圆心 ) 0, 3(C ,半径为 1,若 PQ 最小,则 CQ CP +=也最小,因此 C 、 P 、 Q 共线,问题转化为在抛物线上求一点 P ,使它

到点 C 的距离最小 . 为此设 ) , (020y y P ,则 4

11411) 25() 3(22002202≥+-=+-=y y y PC , PQ ∴的最小值是 12

- 9. 设 CD 所 在 直 线 方 程 为 t x y +=, ???=+=x

y t x y 2 消 去 y 得 0) 12(22=+-+t x t x ) 41(24) 21(222t t t CD -=--=∴

又直线 AB 与 CD 间距离为 24-=t AD

CD AD = 2-=∴t 或 6-

从而边长为 23或 25,面积 18) 23(21==S , 50) 2(22==S

10.焦点为 ()01

, F ,设焦点弦 AB 端点 ()11y x A , , ()22y x B , ,当 AB 垂直于 x 轴, 则 2==n m ,结论显然成立;当 AB 与 x 轴不垂直时,设 AB 所在直线方程为 ()()01≠-=k x k y ,代入抛物线方程整理得 ()222242k x k x k ++-,这时 121=x x , 于是 11

211111121212121=+++++=+++=+x x x x x x x x n m ,命题也成立.

11. 取抛物线型拱桥的顶点为原点、 对称轴为 y 轴建立直角坐标系, 则桥墩的两端 坐标分别为 (-26, -6.5) , (26, -6.5) , 设抛物线型拱桥的方程为 ()022>-=p py x , 则 ()??

? ??-?-=2132262p ,所以 52=p ,抛物线方程为 y x 1042-=.当 2=x 时, 261-=y ,而 613

84213261>=??? ??---,故可安全通过. 12.设 ()()02>-m m m A , ,则 m k OA -=,因为 OB OA ⊥,所以 m k AB 1=

,直 线 AB 的 方 程 为 ()m x m

m y +=-12, 将 2x y =代 入 , 得 点 B 的 横 坐 标 为 21≥+=m

m x (当且仅当 1=m 时取等号) ,此时 ()11, -A , ()42, B , 2=OA , 23=AB ,所以 32

1=?=?AB OA S AOB . 13. 设 ()11y x M , , ()y x K , , 过 M , K 分别作为 x 轴的垂线, 垂足分别为 M ', K ', 而证得 M OM Rt '?≌ K KO Rt '?, 则有 K O M M '='K k M O '=', 即 x y =1、 y x =1,而 2121x y =,因此 x y =2,即 x y ±=2为所求轨迹方程.

范文五：初一数学讲义(简单的几何图形)(答案)

初一数学讲义（几何图形认识初步） 知识梳理 1、【立体图形与平面图形】

(1)几何图形包括立体图形和平面图形。

各部分不都在同一平面内的图形是 图形；如 各部分都在同一平面内的图形是 图形。如 ▲会画出同一个立体图形从不同方向（正面、上面、侧面）看得的平面图形（主（正）视图，侧（左）视图，俯视图）

▲知道并会画出常见几何体的表面展开图.

(2)、点、线、面、体组成几何图形，点是构成图形的 动 动 点 线 面体基本元素。点、线、面、体之间有如图所示的联系：

交 交 点 交 点 ▲ 知道由常见平面图形经过旋转所得的几何体的形状。

2、【直线、射线、线段】、

(1)直线公理：经过两点有一条直线， 一条直线。简述) 为： .

·两条不同的直线有一个 时，就称两条直线相交， 这个公共点叫它们的 。 ·射线和线段都是直线的一部分。

(2)、直线、射线、线段的记法【如下表示】

类似的，把线段分成相等的三条线段的点，叫线段的三等分点。把线段分成相等的n 条线段的点，叫线段的n 等分点。

(4)、线段公理：两点的所有连线中，线段最短。 简述为：之间， ·两点之间的距离的定义：连接两点之间的 ，叫做这两点的距离。 ▲会结合图形比较线段的大小；会画线段的“和”“差”图。

▲会根据几何作图语句画出符合条件的图形，会用几何语句描述一个图形。 3、【角】的定义

(从构成上看) Ⅰ: 有组成的图形叫做角。

(从形成上看) Ⅱ: 由一条射线而形成的图形叫做角。 (1)、角的表示方法

（1）用三个大写英文字母表示任意一个角；

（2）用一个大写英文字母表示一个独立的角（在一顶点处只有一个角）； (2)、角的度量

●1个周角=2个平角=4个直角=360° ●1°=60′=3600″

●用一副三角尺能画的角都是15°的整数倍。 (3)、角的平分线

——从一个角的 出发，把这个角分成 的两个角的 ，叫做这个

的n 条线段的点，叫线段的n 等分点。 (4)、角的比较与运算

●会结合图形比较角的大小 。●进行角度的四则运算。 (5)、互余、互补

（1）如果两个角的和为90o，那么这两个角互为余角。·锐角α的余角是 （2）如果两个角的和为180o，那么这两个角互为补角。· 角α的补角是 。

（3）互余、互补的性质同角（或等角）的余角（或补角）相等。 (6)、用角度表示方向：一般以正北、正南为基准，用向东或向西旋转的角度表示方向，如图所示，OA 方向可表示为北偏西60o 。 60o

基本问题：

1. 长方形的长为6厘米，宽为4厘米，若绕着它的宽旋转一周得到的圆柱的体积为（ ）立方厘米.

(A)36π（B ）72π（C ）96π（D ）144π 2. 伟大的数学家欧拉发现并证明的关于一个多面体的顶点（V ）、棱数（E ）、面数（F ）之间关系的公式为_______________。

3. 已知三棱柱有5个面6个顶点9条棱，四棱柱有6个面8个顶点12条棱，五棱柱有7个面10个顶点15条棱，??，由此可以推测n 棱柱有_____个面，____个顶点，_____条侧棱。

4. 将长方形截去一个角，剩余几个角（ ）.

（A ） 三个角 （B ） 四个角 （C ） 五个角 （D ）不能确定 5. 下面的四个图形, 能折叠成三棱柱的有( ) 个.

(A)1

(B)2

(C)3

(D)4

6. 下图是

(

) 的平面展开图.

(A)六棱柱(B)五棱柱(C)四棱柱(D)五棱锥

7. 从上面看下图，能看到的结果是图形（ ）.

（A ）

（B ）

（C ） （D ）

8. 一个直立在水平面上的圆柱体的主视图、俯视图、左视图分别是（ ） A 长方形 、圆、长方形 B 长方形、长方形、圆 C 圆、长方形、长方形 D

长方形、长放形、圆

9. 如图所示的圆锥，从它的前面、上面、左面三个方向看到的图形分别是 、 .

10. 判断下列说法是否正确

（1）直线AB 与直线BA 不是同一条直线（ ） （２）用刻度尺量出直线AB 的长度 （ ）

（3）直线没有端点，且可以用直线上任意两个字母来表示（ ）

（4）线段AB 中间的点叫做线段AB 的中点 （ ）

（5）取线段AB 的中点M ，则AB-AM=BM （ ）

（6）连接两点间的直线的长度，叫做这两点间的距离 （ ）

11．C 为线段AB 上的一点，点D 为CB 的中点，若AD=4，求AC+AB的长。

12．把一条长24cm 的线段分成三段，使中间一段的长为6cm ，求第一段与第三段中点的距离。

13. 如图：已知∠AOB=2∠BOC ，且OA ⊥OC ，则∠AOB=_________0

C B

A

O

14. 已知有共公顶点的三条射线OA 、OB 、OC ，若∠AOB=1200，∠BOC=300，则∠AOC=_________。15. 如图所示：已知OE ⊥OF 直线AB 经过点O ，则∠BOF —∠AOE=__________

F

若∠AOF=2∠AOE ，则∠BOF=___________

A

O E

16.2点30分时，时钟与分钟所成的角为

17. 如图，从家A 上学时要走近路到学校B ，最近的路线为 （填序号），

理由是 ；

18. 79. 42

19. 如果∠α=29°35′，那么∠α的余角的度数为 ；

B

20. 如图，把书的一角斜折过去，使点A 落在E 点处，BC 为折痕，BD 是∠EBM 的平分线，则∠CBD ＝

综合问题：

21. 下列图形中是正方体的展开图的是（ ）

(A) （B ）

（C ） （D

）

22. 下列各图经过折叠后不能围成一个

正方体

的是 （ ）

（A ）（B （C ）（D ）

23. （1） 经过平面内四点中的任意两点画直线，总共可以画

（2）经过平面内n 个点（任意三点不共线）中的任意两点画直线，总共可以画 条

直线；

24. 如图，将两块三角板的直角顶点重合，若∠AOD=128°，则∠BOC=

24题 25题

25. 用小立方块搭一几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体最少要_____个立方块，最多要____个立方块。

26. 已知下图为一几何体的三视图：（1）写出这个几何体的名称；（2）任意画出它的一种表

面展开图；（3）若主视图的长为10cm ，俯视图中三角形的边长为4cm ，求这个几何体的侧面积。

主视图：长方形

左视图：长方形

俯视图：等边三角形

27. 探索规律：用棋子按下面的方式摆出正方形

①按图示规律填写下表：

②按照这种方式摆下去，摆第n 个正方形需要多少个棋子？

③按照这种方式摆下去，第第20个正方形需要多少个棋子？

28. 若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这个角的度数。

29. 已知线段AB 的长度为4cm ，延长线段AB 到C ，使得BC ＝2AB ，取AC 的中点D ，画出草图，并求出BD 的长．

30. 直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠AOD ，∠FOC=90°，∠1=40°，求∠2与∠

3的度数。

2

A

E

3

1

F

C 31. 已知:A、B 、C 、D 、E 在一条直线上，线段AB=15cm，点C 为线段AB 点D 为线段AE 的中点,DE=6cm，求:线段CE 的长.

课后作业

1. 下列各图形中，

不是正方体的展开图（填序号）.

①

② ③ ④

2. 已知M 、N 是线段AB 的三等分点，C 是BN 的中点，CM ＝6cm ，则AB ＝cm. 3. 已知线段AB ，延长AB 到C ，使BC ＝2AB ，D 为AB 的中点，若BD ＝3cm ，则AC 的长为 cm.

4. 若时针由2点30分走到2点55分，则时针转过度. 5. 一个角的补角是这个角的余角的4倍，则这个角的度数是.

6. 如图，已知点O 是直线AD 上的点，∠AOB 、∠BOC 、∠COD 三个角从小到大依 次相差25°，则这三个角的度数分别为. C

B

D A O

第18题

7. 如图，是由7块正方体木块堆成的物体，请说出图⑴、图⑵、图⑶分别是从哪一个方向看得到的？

(1)

⑵

⑶

8. 如图是一个正方体的平面展开图，标注了A 字母的是正方体的正面，如果正方体的

左面与右面标注的式子相等. ⑴ 求x 的值.

⑵ 求正方体的上面和底面的数字和.

－2

x 31

A 3x －2

第24题图

9. 如图，将书页一角斜折过去，使角的顶点A 落在A /处，BC 为折痕，BD 平分

∠A /BE ，求∠CBD 的度数.

A /

C A

D

B E 第25题图

60 ，85 ；7. （1）上作业答案：1. （3）；2.12；3.18；4.12.5 ；5. 60 ；6. 35 ，

面；

（2）前面；（3）左面；8. （1）1；（2）4；9. 90

答案：1.D ；2. V +F -E =2 ；3. n +2，2n ，n ;4.D;5.C;6.B;7.D;8.A ；9. 等腰三角形，圆，等腰三角形；10. 略；11. 略；12. 略；17. 两点之间，线段最短

18. 79 25 12 ； 19. 60°25′ ；20. 90°；21.D ；22.D ；23. 一或四或六

；24.52度；25.9,13；26. 略；27. 二、

（2）需要4n 个棋子；（3）第20个正方形需要80个棋子；

28. 设这个角的度数为x °则180-x=4（90-x ） ∴x=60答：这个角的度数为60°

29. ∵AB=4cm ，BC ＝2AB ，∴BC ＝8cm ∴AC=AB+BC=12cm ∵D 为AC 的中点∴AD=0.5AC=6 cm∴BD=AD-AB=2 cm

30 ∵∠FOC=90°，∠1=40°且AB 为直线∴∠3=180° -∠FOC-∠1=50° ∵CD 为直线∴∠AOD=180°-∠3=130°∵OE 平分∠AOD ∴∠2=0.5∠AOD=65° 31. ∵D 为线段AE 的中点, 且DE=6cm，∴AE=2DE=12 cm又AB=15cm ∴E 在线段AB 上或在BA 延长线上

⑴当E 在线段AB 上，…CE=CE-EB=0.5AB-（AB-AE ）=4.5 ⑵当E 在BA 延长线上，…CE=AE+AC=12+0.5AB=19.5

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