90空巢老人丨
范文一：海淀高三期末数学
海 淀 区 高 三 年 级 第 一 学 期 期 末 练 习
数学(文)试题
第?卷(选择题 共40分) 一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符
合题目要求的一项。
1(的值为 ( ) sin240:
3311, A( B( C( D( ,2222
2(若等差数列的前n项和为的值为 ( ) {}aSaaS,6,且则，,nn234
A(12 B(11 C(10 D(9
,,,,,,3(设为两个不同的平面，直线是“”成立的 ( ) ll,,,,,""则
A(充分不必要条件 B(必要不充分条件
C(充要条件 D(既不充分也不必要条件 4(某部门计划对某路段进行限速，为调查限速
60km/h是否合理，对通过该路段的300
辆汽车的车速进行检测，将所得数据按
[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]分组，
绘制成如图所示的频率分布直方图，则这
300辆汽车中车速低于限速的汽车有 ( )
A(75辆 B(120辆
C(180辆 D(270辆
xy,,,40,5(点表示的平面区域内，则点P(2,t)到直线Pt(2,)在不等式组,xy，,,30,
34100xy，，,距离的最大值为 ( )
A(2 B(4
C(6 D(8
6(3(一个空间几何体的三视图如图所示，则该
几何体的体积为 ( )
A(12 B(6
1
C(4 D(2
117(已知函数，那么下面结论正确的是 ,,,,,,,fxxxxxx()sin,[0,],cos([0,])0033
( )
A(上是减函数 B(上是减函数 fx()在[0,x]fx()在[x,],00
C( D( ，,,xfxfx[0,],()(),,,,xfxfx[0,],()(),00
22xylykx:1,，E:1，,8(已知椭圆，对于任意实数，下列直线被椭圆E截得的弦长与km4
被椭圆E截得的弦长不可能相等的是 ( ) (((
kxyk，，,0kxy,,,10 A( B(
kxyk，,,0kxy，,,20 C( D(
第?卷(共110分)
二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上。
210xy，,,9(若直线l 经过点(1，2)且与直线平行，则直线l的方程为 . 10(某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入4，则输出的S为 .
22xy，,111(椭圆的右焦点F的坐标为 .若顶点在原点的抛物线C的焦点2516
2
也为F，则其标准方程为 .
12(一个边长为1000米的正方形区域的每个顶点处都设有一个监测站，若向此区域内随机
投放一个爆破点，则爆破点距离监测站200米内都可以被检测到。那么随机投放一个爆
破点被监测到的概率为 .
13(已知向量= . atbtabba,,,,(1,),(1,),2,||若与垂直则
xOy14(在平面直角坐标系中，O为坐标原点，定义两点之间“直角距PxyQxy(,),(,)1122
离”为.若点A(—1，3)，则d(0，A)= ;dPQxxyy(,)||||,,，,1212
xy,，,20dBM(,)已知B(1，0)，点M为直线上动点，则的最小值为 . 三、解答题:本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15((本小题满分12分)
13fxxxxR()sincos,.,，, 设函数 22
fx() (?)求函数的周期和值域;
abc,, (?)记的内角A，B，C的对边分别为，若 ,ABC
33fAabc(),,,,且求的值。 22
3
16((本小题满分13分)
某学校三个社团的人员分布如下表(每名同学只参加一个社团)
围棋社 戏剧社 书法社
高中 45 30 a
初中 15 10 20
学校要对三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30
人，结果围棋社被抽出12人。
(?)求这三个社团共有多少人,
(?)书法社从3名高中生和2名初中成员中，随机选出2人参加书法展示，求这2人
中初、高中学生都有的概率。
17((本小题满分14分)
如图，棱柱ABCD—ABCD的底面ABCD为菱形，，侧棱AA?BD，ACBDO,,11111
点F为DC的中点。 1
(?)证明:OF//平面BCCB; 11
(?)证明:平面DBC?平面ACCA。 111
4
18((本小题满分13分)
32a2 已知函数 fxxa()1,0.,，，,其中x
yfx,()(1,(1))fy,1 (?)若曲线在处的切线与直线平行，求的值; a
fx() (?)求函数在区间[1，2]上的最小值。
19((本小题满分14分)
22 已知圆点P为直线lx:4, 的动点。 Oxy:4,，,
(?)若从P到圆O的切线长为，求P的坐标以及两条切线所夹劣弧长; 23
AB(2,0),(2,0), (?)若点，直线PA、PB与圆O的另一个交点为M，N，求证:直
MN线 过定点(1，0)。
5
20((本小题满分14分)
* 已知集合，对于A的一个子集S，若存在不大于的正整数AnnN,,{1,2,3,,2}()n
，使得对S中的任意一对元素，都有，则称S具有性质P。 ss,||ssm,,m1212
*BxAx,,,{|9} (?)当时，试判断集合和是n,10CxAxkkN,,,,,{|31,}
否具有性质P,并说明理由。
TnxxS,，,,{21|} (?)若集合S具有性质P，那么集合是否一定具有性质P,并
说明理由;
6
参考答案
第?卷(选择题 共40分) 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A A C B D B D
第II卷(非选择题 共110分) 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分, 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2
分)
2240xy，,,(3,0)9. 10. 19 11. yx,12
,212. 13. 14. 4 3 25
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15((共13分)
13,f(x),sinx，cosx解:(I) ，............................. 3分 ,sin(x，)？223
？f(x)2k,,k,Z,k,0的周期为2, (或答:). ................................4分
,xR因为，所以, xR,，,3
f(x)[,1,1]所以值域为 . ...............................5分
,(II)由(I)可知， , ...............................6分 f(A),sin(A，)3
3,？sin(A，), , ...............................7分 32
？0,A,,,
4,,,？,A，, , ..................................8分 333
7
,,2, 得到 . ...............................9分 A？，,,A,333
ab3？a,b,且 , ....................................10分 ,2sinAsinB
3bb2, , ....................................11分 sinB,1？,？sinB3
2
,， . ....................................12分 ？0,B,,？B,2
, . ....................................13分 ？C,,A,B,,6
16. (共13分)
解:(I)围棋社共有60人， ..................................1分
60由可知三个社团一共有150人. ...................................3分 ，30,15012
(II)设初中的两名同学为，高中的3名同学为, .................5分 b,b,ba,a12312
随机选出2人参加书法展示所有可能的结果: {,},{,},{,},{,},{,},aaabababab1211121321
，共10个基本事件. ..................................8分 {,}, {,},{,},{,},{,}ababbbbbbb2223121323
A设事件表示“书法展示的同学中初、高中学生都有”， ..................................9分
A则事件共有 6个基本事件. {,},{,},{,},{,},{,},{,}abababababab111213212223
...................................11分
63P(A),,. ？105
3故参加书法展示的2人中初、高中学生都有的概率为. ................................13分 5
17. (共13分)
ACBDO,解:(I)四边形ABCD为菱形且， ？
BD？O是的中点 . ...................................2分
又点F为的中点, DC1
8
在中，, ...................................4分 ？,DBCOF//BC11
平面，平面 , ？OF,BCCBBCCBBC,11111
平面 . ...................................6分 OF//BCCB？11
(II)四边形ABCD为菱形, ？
, ...................................8分 ？BD,AC
又BD,，且平面 ,.................................10分 AAACA,,AAAC,,ACCAAA11111
？BD,平面, ................................11分 ACCA11
？BD,平面 , DBC1
平面平面. ................................13分 DBC,ACCA？111
18. (共13分)
33322()axa,,解:，. .........................................2分 x,0fxx()2,,,22xx
3,(I)由题意可得，解得， ........................................3分 a,1fa(1)2(1)0,,,
(1,(1))fy,4y,1f(1)4,此时，在点处的切线为，与直线平行.
故所求值为1. ........................................4分 a
,fx()0,(II)由可得，， ........................................ 5分 a,0xa,
,(1,2]fx()0,?当时，在上恒成立 ， 01,,a
[1,2]yfx,()所以在上递增， .....................................6分
3[1,2]fx()所以在上的最小值为 . ........................................7分 fa(1)22,，?当时， 12,,a
(1,)a(,2)axa
,fx() 0 , ， ....................................10分
fx() 极小
9
2[1,2]yfx,()由上表可得在上的最小值为 ..........................11分 faa()31,，
,[1,2)fx()0,?当时，在上恒成立， a,2
[1,2]yfx,()所以在上递减 . ...................................12分
3[1,2]fx()所以在上的最小值为 . ....................................13分 fa(2)5,，
综上讨论，可知:
3[1,2]yfx,()当时， 在上的最小值为; 01,,afa(1)22,，
2[1,2]yfx,()当时，在上的最小值为; 12,,afaa()31,，
3[1,2]yfx,()当时，在上的最小值为. a,2fa(2)5,，
19. (共14分)
Pt(4,)解:根据题意，设 .
(I)设两切点为，则， CD,OCPCODPD,,,
2222222由题意可知即 ， ............................................242(23)，,，t||||||,POOCPC,，
分
(4,0)解得，所以点P坐标为. ...........................................3t,0
分
，,POC60，,DOC120在中，易得，所以. ....................4分 RtPOC,
24ππ，,2所以两切线所夹劣弧长为. ...............5分 33
MxyNxy(,),(,)Q(1,0)(II)设，， 1122
APt(2,0),(4,),PA依题意，直线经过点，
tAPyx:(2),，可以设， ............................................66
分
10
t,yx,，(2),22和圆联立，得到 ， xy，,46,22,xy，,4,
2222代入消元得到， ， ......................................7(36)441440txtxt，，，,,
分
因为直线AP经过点，所以是方程的两个根， AMxy(2,0),(,),,2,x111
224144t,722,t所以有， ， ..................................... 8,,2xx,1122t，36t，36分
2tttt72224,yx,，(2)代入直线方程得，. ..................................9y,，,(2)122663636tt，，分
t,yx,,(2),tBPyx:(2),,同理，设，联立方程有 ， 2,222,xy，,4,
2222代入消元得到， (4)44160，,，,,txtxt
因为直线BP经过点，所以是方程的两个根， BNxy(2,0),(,)2,x222
22416t,28t,， ， 2x,x,2222t，4t，4
2tttt288,,yx,,(2)代入得到 . .................11分 y,,,(2)2222244tt，，
228t,2t,12若，则，此时 x,1x,,1122t，4
MQN,,(1,0)Q显然x,1三点在直线上，即直线经过定点............................12分 MN
2t,12若x,1，则，x,1， 12
24t2yt,081t，36k,,,所以有， MQ22722,txt,,1121,12t，36
11
,8t2yt,,082t，4k,,,................13分 NQ2228t,xt,,1122,12t，4
MNQ,,， 所以三点共线， 所以kk,MQNQ
(1,0)Q即直线经过定点. MN
(1,0)Q综上所述，直线经过定点. .......................................14分 MN
20. (共14分)
)当时，集合， 解:(?n,10A,1,2,3,,19,20,,
BxAx,,,,910,11,12,,19,20不具有性质. ...................................1分 P,,,,
因为对任意不大于10的正整数m，
b,10bm,，10都可以找到集合中两个元素与， B12使得成立 . ...................................3分 bbm,,12
*集合具有性质P. ....................................4分 CxAxkkN,,,,,31,,,
*ckck,,,,31,31因为可取，对于该集合中任意一对元素，kkN,, m,,110112212
都有 . ............................................6分 cckk,,,,311212
(?)若集合S具有性质P，
TnxxS,，,,(21)P那么集合一定具有性质. ..........7分 ,,
tnxT,，,,(21),TnxxS,，,,(21)首先因为，任取 其中， xS,,,00
SA,因为，所以， xn,{1,2,3,...,2}0
1(21)2,，,,nxnTA,tA,,从而，即所以 ...........................8分 0
P由S具有性质，可知存在不大于的正整数m， n
ss,使得对S中的任意一对元素，都有 ， ..................................9分 ssm,,1212对上述取定的不大于的正整数m， n
12
tnxtnx,，,,，,21,21从集合中任取元素， TnxxS,，,,(21),,1122其中， 都有 ; xxS,,ttxx,,,121212
因为，所以有，即 xxS,,xxm,,ttm,,121212
所以集合TnxxS,，,,(21)具有性质( .............................14分 P,,
说明:其它正确解法按相应步骤给分.
13
范文二：2013海淀高三期末试卷数学(文)
北京市海淀区 2013届高三第一学期期末考试数学(文)试题
2013.1
本试卷共 4页, 150分。考试时长 120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共 8小题 , 每小题 5分 , 共 40分 . 在每小题列出的四个选项中 , 选出符合题目
要求的一项 . 1. 复数
21i
-化简的结果为
A. 1i + B. 1i -+ C. 1i - D. 1i -- 2. 向量 (1,1),(2,) t ==a b , 若 ⊥a b , 则实数 t 的值为
A. 2- B. 1- C. 1 D. 2 3. 在等边 ABC ?的边 BC 上任取一点 P ,则 23
ABP ABC S S ??≤的概率是
A.
13
B.
12
C.
23
D.
56
4. 点 P 是抛物线 24y x =上一点, P 到该抛物线焦点的距离为 4,则点 P 的横坐标为
A . 2 B. 3 C. 4 D.5 5. 某程序的框图如图所示 , 执行该程序,若输入的 p 为 24,则输出 的 , n S 的值分别为
A. 4, 30n S == B. 4, 45n S == C.
5, 30n S ==
D.
5, 45n S ==
6. 已知点 (1,0), (cos
,sin ) A B α
α-, 且 ||AB =, 则直线 AB
的方程为
A. y
=+
y = B. y x =
或 y x =
C. 1y
x =+或 1y x =-- D. y =或 y = 7. 已知函数 sin , sin cos ,
() cos , sin cos , x x x f x x x x ≥?=?<>
则下面结论中正确的是
A. () f x 是奇函数
B. () f x 的值域是 [1,1]-
C. () f x 是偶函数 D. () f x 的值域是 [
8. 如图,在棱长为 1的正方体 1111ABCD A B C D -中,点 , E F 分别是
棱 1, BC CC 的中点, P 是侧面 11BCC B 内一点,若 1//A P 平面 , AEF
则线段 1A P 长度的取值范围是
A . B. C. D.
二、填空题 :本大题共 6小题 , 每小题 5分 , 共 30分 . 9. tan 225 的值为 ________. 10. 双曲线
2
2
13
3
x
y
-
=的渐近线方程为 _____;离心率为 ______.
11. 数列 {}n a 是公差不为 0的等差数列,且 268a a a +=,则
55
_____.S a =
12. 不 等 式 组 0, 3, 1x x y y x ≥??
+≤??≥+?
表 示 的 平 面 区 域 为 Ω, 直 线
1y kx =-与区域 Ω有公共点, 则实数 k 的取值范围为
_________.
13. 三棱锥 D ABC -及其三视图中的主视图和左视图如
图所示,则棱 BD 的长为 ______.
14. 任給实数 , , a b 定义 , 0, , 0. a b a b a b a a b b
??≥??
⊕=??
则 1
(2)() 2
f f +=______;若 {}n a 是公比大于 0的等比数列,且 51a =,
123781() () () () (=, f a f a f a f a f a a +++++ ) 则 1___.
a =
三、解答题 : 本大题共 6小题 , 共 80分 . 解答应写出文字说明 , 演算步骤或证明过程 . 15. (本小题满分 13分)
已知函数 21() cos cos 2
f x x x x =-+, ABC ?三个内角 , , A B C 的对边分别为 , , ,
a b c 且 () 1f A =.
(I ) 求角 A 的大小;
(Ⅱ)若 7a =, 5b =, 求 c 的值 .
D
A B
C
左视图
B 1
C 1
D 1
A 1
F E C A
16. (本小题满分 13分)
某汽车租赁公司为了调查 A , B 两种车型的出租情况,现随机抽取这两种车型各 50辆, 分别统计了每辆车在某个星期内的出租天数,统计数据如下表 :
(I ) 试根据上面的统计数据,判断这两种车型在本星期内出租天数的方差的大小关系(只
需写出结果) ;
(Ⅱ)现从出租天数为 3天的汽车(仅限 A , B 两种车型)中随机抽取一辆,试估计这辆汽
车是 A 型车的概率;
(Ⅲ)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同,该公司需要购买一辆汽车,请你根据 所学的统计知识,给出建议应该购买哪一种车型,并说明你的理由 .
17. (本小题满分 14分)
如图,在直三棱柱 111ABC A B C -中, 90BAC ∠=?,
1AB AC AA ==,且 E 是 BC 中点 .
(I )求证:1//A B 平面 1AEC ; (Ⅱ)求证:1B C ⊥平面 1AEC .
18. (本小题满分 13分)
已知函数 2
11() 22
f x x =
-
与函数 () ln g x a x =在点 (1,0)处有公共的切线,设
() () () F x f x mg x =-(0) m ≠.
(I ) 求 a 的值
(Ⅱ)求 () F x 在区间 [1,e]上的最小值 . .
E
C 1
B 1
C
B
A
19. (本小题满分 14分)
已知椭圆 M :
22
2
1(0) 3
x y
a a
+
=>的一个焦点为 (1,0) F -,左右顶点分别为 A , B .
经过点 F 的直线 l 与椭圆 M 交于 C , D 两点 . (Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)当直线 l 的倾斜角为 45 时,求线段 CD 的长;
(Ⅲ)记 ABD ?与 ABC ?的面积分别为 1S 和 2S ,求 12||S S -的最大值 .
20. (本小题满分 13分)
已知函数 () f x 的定义域为 (0,) +∞,若 () f x y x
=在 (0,) +∞上为增函数,则称 () f x 为
“ 一阶比增函数 ”.
(Ⅰ ) 若 2() f x ax ax =+是 “ 一阶比增函数 ” ,求实数 a 的取值范围;
(Ⅱ ) 若 () f x 是 “ 一阶比增函数 ” ,求证:12, (0,) x x ?∈+∞, 1212() () () f x f x f x x +<+; (ⅲ)若="" ()="" f="" x="" 是="" “="" 一阶比增函数="" ”="" ,且="" ()="" f="" x="" 有零点,求证:()="" 2013f="" x="">有解 .
海淀区高三年级第一学期期末练习
数 学 (文)
参考答案及评分标准 2013. 1
说明: 合理答案均可酌情给分,但不得超过原题分数 . 一、 选择题(本大题共 8小题 , 每小题 5分 , 共 40分)
二、填空题(本大题共 6小题 , 每小题 5分 , 有两空的小题,第一空 3分,第二空 2分, 共 30分)
三、解答题 (本大题共 6小题 , 共 80分 ) 15. (本小题满分 13分)
解:(I )因为 21() cos cos 2
f x x x x =-+
12cos 22
x x
=
-
πsin(2) 6
x =- ?????? 6分
又 π
() sin(2) 16
f A A =-=, (0,) A π∈, ?????? 7分
所以 ππ7π2(, ) 6
66A -
∈-
, πππ
2, 623
A A -== ?????? 9分 (Ⅱ)由余弦定理 2222cos a b c bc A =+-
得到 2
π
492525cos 3
c c =+-?,所以 25240c c --= ?????? 11分
解得 3c =-(舍)或 8c = ?????? 13分 所以 8c =
16. (本小题满分 13分)
解:(I )由数据的离散程度可以看出, B 型车在本星期内出租天数的方差较大
?????? 3分
(Ⅱ)这辆汽车是 A 类型车的概率约为
3A 333A,B 103
13
=
=
+出租天数为 天的 型车辆数 出租天数为 天的 型车辆数总和
这辆汽车是 A 类型车的概率为
313
?????? 7分
(Ⅲ) 50辆 A 类型车出租的天数的平均数为
334305156775
4.6250
A x ?+?+?+?+?=
= ?????? 9分
50辆 B 类型车出租的天数的平均数为
31041051561075
4.850
B x ?+?+?+?+?=
= ?????? 11分
答案一:一辆 A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为 4.62, B 类车型一个星期 出租天数的平均值为 4.8,选择 B 类型的出租车的利润较大 , 应该购买 B 型车
?????? 13分
答案二:一辆 A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为 4.62, B 类车型一个星期 出 租 天 数 的 平 均 值 为 4.8, 而 B 型 车 出 租 天 数 的 方 差 较 大 , 所 以 选 择 A 型 车 ?????? 13分 17. (本小题满分 14分)
解:(I) 连接 A C 1交 AC 1于点 O ,连接 EO
因为 1ACC A 1为正方形,所以 O 为 A C 1中点 又 E 为 CB 中点,所以 EO 为 1A BC ?的中位线,
所以 1//EO A B ?????? 3分 又 EO ?平面 1AEC , 1A B ?平面 1AEC
所以 1//A B 平面 1AEC ?????? 6分 (Ⅱ ) 因为 AB AC =,又 E 为 CB 中点,所以 AE BC ⊥ ?????? 8分 又因为在直三棱柱 111ABC A B C -中, 1BB ⊥底面 ABC , 又 AE ?底面 ABC , 所以 1AE BB ⊥,
又因为 1BB BC B = ,所以 AE ⊥平面 11BCC B ,
又 1B C ?平面 11BCC B ,所以 AE ⊥1B C ?????? 10分
在矩形 11BCC B 中
, 111tan tan CB C EC C ∠=∠=
, 所以 111CB C EC C ∠=∠,
所以 11190CB C EC B ∠+∠=
,即 11B C EC ⊥ ?????? 12分
又 1AE EC E = ,所以 1B C ⊥平面 11BCC B ?????? 14分 18. (本小题满分 13分) 解:(I )因为 (1)(1)0, f g ==所以 (1,0)在函数 (), () f x g x 的图象上
又 '() , '() a f x x g x x
==
,所以 '(1)1, '(1)f g a ==
所以 1a = ?????? 3分 (Ⅱ)因为 2
11() ln 2
2
F x x m x =
-
-,其定义域为 {|0}x x >
2
'() m x m F x x x x
-=-
=
?????? 5分
当 0m <时,>
'() 0m x m F x x x x
-=-=>,
所以 () F x 在 (0,) +∞上单调递增
所以 () F x 在 [1,e]上最小值为 (1)0F = ?????? 7分 当 0m >时,令 2
'() 0m x m F x x x x
-=-
==
,得到 120, 0x x =>=< (舍="">
1≤时,即 01m <≤时, '()="" 0f="" x="">对 (1,e)恒成立,
所以 () F x 在 [1,e]上单调递增 , 其最小值为 (1)0F = ?????? 9分
e ≥时,即 2e m ≥时 , '() 0F x <对>
所以 () F x 在 [1,e]上单调递减, 其最小值为 2
11(e)e 22
F m =
-
- ?????? 11分
当 1e <, 即="" 21e="" m=""><时 ,="" '()="" 0f="" x="">
对 成立 , '() 0F x >
对 成立 所以 () F x
在 单调递减 ,
在 上单调递增
其最小值为 1111ln 22
222m F m m m m =
-
-=
-
-??? 13分
综上,当 1m ≤时, () F x 在 [1,e]上的最小值为 (1)0F = 当 21e m <时, ()="" f="" x="" 在="">
上的最小值为 11ln 2
2
2
m F m m =--
当 2e m ≥时 , () F x 在 [1,e]上的最小值为 2
11(e)e 2
2
F m =-
-.
19. (本小题满分 14分)
解:(I )因为 (1,0) F -为椭圆的焦点 , 所以 1, c =又 23, b =
所以 2
4, a =所以椭圆方程为
2
2
14
3
x
y
+
= ?????? 3分
(Ⅱ)因为直线的倾斜角为 45 , 所以直线的斜率为 1,
所以直线方程为 1y x =+, 和椭圆方程联立得到
22
14
31x y
y x ?+=?
??=+?
, 消掉 y , 得到 27880x x +-= ?????? 5分 所以 121288288, , 7
7
x x x x ?=+=-=
所以 1224||||7
CD x x =-=
?????? 7分
(Ⅲ)当直线 l 无斜率时 , 直线方程为 1x =-,
此时 3
3
(1, ), (1, ) 2
2
D C ---, , ABD ABC ??面积相等, 12||0S S -= ?????? 8分
当直线 l 斜率存在(显然 0k ≠)时 , 设直线方程为 (1)(0) y k x k =+≠,
设 1122(, ), (, ) C x y D x y
和椭圆方程联立得到 22
143
(1) x y
y k x ?+=?
??=+?
, 消掉 y 得 2222(34) 84120k x k x k +++-= 显然 0?>,方程有根,且 22
12122
2
8412, 3434k
k x x x x k
k
-+=-
=
++ ?????? 10分
此时 122121|||2||||||2||S S y y y y -=-=+212|(1) (1) |k x k x =+++
212
12||2|() 2|34k k x x k k
=++=
+ ?????? 12分
因为 0k ≠,
上式 1234||
||
k k =
≤==+,
(k =时等号成立)
所以 12||S S -
?????? 14分
20. (本小题满分 13分) 解:(I )由题 2
() f x ax ax
y ax a x
x
+=
=
=+在 (0,) +∞是增函数,
由一次函数性质知
当 0a >时, y ax a =+在 (0,) +∞上是增函数,
所以 0a > ?????? 3分 (Ⅱ)因为 () f x 是“一阶比增函数” ,即
() f x x
在 (0,) +∞上是增函数,
又 12, (0,) x x ?∈+∞,有 112x x x <+, 212x="" x="" x=""><>
所以
1121
12
() () f x f x x x x x +
+,
2122
12
() () f x f x x x x x +
+ ?????? 5分
所以 112112
() () x f x x f x x x +
+, 212212
() () x f x x f x x x +
+
所以 112212121212
12
() () () () () x f x x x f x x f x f x f x x x x x x +++
+
=+++
所以 1212() () () f x f x f x x +<+ ??????="" 8分="" (ⅲ)设="" 0()="" 0f="" x=",其中" 00x="">.
因为 () f x 是“一阶比增函数” ,所以当 0x x >时,
00
() () 0f x f x x
x >=
法一:取 (0,) t ∈+∞,满足 () 0f t >,记 () f t m =
由(Ⅱ)知 (2) 2f t m >,同理 (4) 2(2) 4f t f t m >>, (8) 2(4) 8f t f t m >> 所以一定存在 *n ∈N ,使得 (2) 22013n n f t m >?>,
所以 () 2013f x > 一定有解 ?????? 13分
法二:取 (0,) t ∈+∞,满足 () 0f t >,记 () f t k t
=
因为当 x t >时, () () f x f t k x
t
>=,所以 () f x kx >对 x t >成立
只要 2013x k
>
,则有 () 2013f x kx >>,
所以 () 2013f x > 一定有解 ?????? 13分
范文三：2013海淀高三第一学期期末数学文试题
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海淀区高三年级第一学期期末练习
数 学 (文科) 2013.1
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题
目要求的一项.
21. 复数化简的结果为1i,
1i，,，1i1i,,,1i A. B. C. D.
ab,, 若, 则实数的值为 2. 向量tab,,(1,1),(2,)t
,2,112A. B. C. D.
2,ABCBCSS,3. 在等边的边上任取一点，则的概率是P,,ABPABC3
1125 A. B. C. D. 2363
2PP4P4.点是抛物线上一点，到该抛物线焦点的距离为，则点的横坐标为 yx,4
A(2 B. 3 C. 4 D.5 开始
24p5.某程序的框图如图所示, 执行该程序，若输入的为，则输出 输入p
nS,,10， nS,的的值分别为
否 Sp,nS,,4,30nS,,4,45A. B. 是
输出n，S S=S+3nnS,,5,30nS,,5,45C. D. 结束 nn,，1 AB||3AB,6.已知点, 且, 则直线的方程为 AB(1,0),(cos,sin),,,
3333yx,，33yx,,,33A. 或 B. 或 yx,，yx,,,3333
yx,，22yx,,,22C. 或 D. 或 yx,，1yx,,,1
sin, sincos,xxx,,fx(),7. 已知函数 则下面结论中正确的是 ,cos, sincos,xxx,,
A. 是奇函数 B. 的值域是 fx()fx()[1,1],
2C. 是偶函数 D. 的值域是 [,1],fx()fx()2
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CD1EF, 1ABCDABCD,8. 1 如图，在棱长为的正方体中，点分别是1111BA11FAEF,BCCBBCCC,AP// 的中点，是侧面内一点，若平面棱P1111DCEABAP 则线段长度的取值范围是1
53255A B. C. D. [2,3]([,2][1,][,]2242
:6,5,30. 二、填空题本大题共小题每小题分共分
9. ________. 的值为tan225
22xy10. ___________. ,,1双曲线的渐近线方程为;离心率为33
S5,_____.{}aaaa，,11. 0数列是公差不为的等差数列，且，则n268a5
x,0,,,xy，,3,12. 不等式组表示的平面区域为，直线,,
,yx,，1,D
ykx,,1k与区域有公共点，则实数的取值范围为,4
AC_________. 2223主视图左视图BDABC,13. 三棱锥及其三视图中的主视图和左视图如
BD图所示，则棱的长为______.
abab，，,, 0,,,ab,,fxxx()ln,,ab,,14. 任給实数定义设函数，a,, 0.ab，,,b,
1{}aa,10ff(2)()，=______ 则;若是公比大于的等比数列，且，n52
fafafafafaa()()()()(=,，，，，，)a,___. 则1237811
: 6,80., . 三、解答题本大题共小题共分解答应写出文字说明演算步骤或证明过程15. 13 (本小题满分分)
12,ABCABC,,已知函数，三个内角的对边分别为fxxxx()3sincoscos,,，2
abc,,,且. fA()1,
A(I) 求角的大小;
a,7b,5(?)若，的值. 求c，
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16. (本小题满分13分)
某汽车租赁公司为了调查A，B两种车型的出租情况，现随机抽取这两种车型各50辆，分别统计了每辆车在某个星期内的出租天数，统计数据如下表:
A型车
出租天数 3 4 5 6 7
车辆数 3 30 5 7 5
B型车
出租天数 3 4 5 6 7
车辆数 10 10 15 10 5
(I) 试根据上面的统计数据，判断这两种车型在本星期内出租天数的方差的大小关系(只
需写出结果);
(?)现从出租天数为3天的汽车(仅限A，B两种车型)中随机抽取一辆，试估计这辆汽
车是A型车的概率;
(?)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要购买一辆汽车，请你根据
所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.
17. (本小题满分14分)
C1A1
，,:BAC90如图，在直三棱柱中，， ABCABC,111
B1
EBC，且是中点. ABACAA,,1
AC(I)求证:平面AEC; AB//11
EBBC,(?)求证:平面. AEC11
(本小题满分13分) 18.
112已知函数与函数在点处有公共的切线，设 gxax()ln,(1,0)fxx(),,22
. Fxfxmgx()()(),,(0)m,
(I) 求的值; a
(?)求在区间上的最小值. Fx()[1,e]
.
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19. 14 (本小题满分分)
22xyF(1,0),. ，,,1(0)aA已知椭圆:的一个焦点为，左右顶点分别为，MB2a3
Cl. 经过点的直线与椭圆交于，两点FMD
(?)求椭圆方程;
l(?)当直线的倾斜角为时，求线段CD的长; 45
,ABD(?)记与,ABC的面积分别为和，求的最大值. SS||SS,1212
20. (本小题满分13分)
fx()已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称 为 fx()(0,)，,y,(0,)，,fx()x
“一阶比增函数”.
2(?) 若是“一阶比增函数”，求实数的取值范围; fxaxax(),，a
fx(),,，,xx,(0,)fxfxfxx()()()，,，() “” ?若是一阶比增函数，求证:，;121212
fx()fx()fx()2013,“”. (?)若是一阶比增函数，且有零点，求证:有解
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数 学 (文)
参考答案及评分标准 2013(1 说明: 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A C B C B D B
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分)
39(1 10(yx,,;2 11(
e[3,)，,12( 13( 14(0; 42
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15((本小题满分13分)
12fxxxx()3sincoscos,,，解:(I)因为 2
31,,sin2cos2xx22
π,,sin(2)x ??????6分 6
πA,(0,),fAA()sin(2)1,,, 又，， ??????7分 6
ππ7ππππ2(,)A,,,2,AA,,, 所以， ??????9分 666623
222 (?)由余弦定理 abcbcA,，,2cos
π22492525cos,，,，cc得到，所以 ??????11分 cc,,,52403
c,,3c,8解得(舍)或 ??????13分
c,8 所以
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16. (本小题满分13分)
解:(I)由数据的离散程度可以看出，B型车在本星期内出租天数的方差较大
??????3分 (?)这辆汽车是A类型车的概率约为
出租天数为天的型车辆数3A33,, 出租天数为天的型车辆数总和3A,B10313，
3这辆汽车是A类型车的概率为 ??????7分
13
(?)50辆A类型车出租的天数的平均数为
，，，，，，，，，334305156775x,,4.62 ??????9分 A50
50辆B类型车出租的天数的平均数为
31041051561075，，，，，，，，，x,,4.8 ??????11分 B50
答案一:一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B类车型一个星期
出租天数的平均值为4.8，选择B类型的出租车的利润较大,应该购买B型车
??????13分
答案二:一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B类车型一个星期
出租天数的平均值为4.8，而B型车出租天数的方差较大，所以选择A型
车 ??????13分 17. (本小题满分14分)
ACACOEO解:(I) 连接交于点，连接 11
ACCAACO因为为正方形，所以为中点 111
,ABCCBEO又为中点，所以为的中位线， E1
EOAB// 所以 ??????3分 1
AECAB,AECEO,又平面，平面 111
AECAB// 所以平面 ??????6分 11
ABAC,AEBC,CB (?)因为，又E为中点，所以 ??????8分
ABCABC,BB,ABC 又因为在直三棱柱中，底面， 1111
AEBB,ABC又AE,底面, 所以, 1
BBBCB,BCCB又因为，所以AE,平面， 111
BCBC,BCCB又平面，所以AE, ??????10分 1111
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2BCCB，,，CBCECC在矩形中, ,所以， tantan，,，,CBCECC111111112
BCEC,，，，,CBCECB90所以，即 ??????12分 11111
BCAEECE,BCCB又，所以平面 ??????14分 ,1111
18. (本小题满分13分)
fg(1)(1)0,,,(1,0)fxgx(),()解:(I)因为所以在函数的图象上
afga'(1)1,'(1),,fxxgx'(),'(),, 又，所以x
a,1 所以??????3分
112Fxxmx()ln,,,(?)因为，其定义域为 {|0}xx,22
2mxm,Fxx'(),,, ??????5分 xx
2mxm,Fxx'()0,,,,m,0当时，， xx
所以在上单调递增， Fx()(0,)，,
所以在上最小值为 ??????7分 Fx()[1,e]F(1)0,
2mxm,Fxx'()0,,,,xmxm,,,,,0,0 m,0当时，令，得到(舍) 12xx
01,,m当时，即时，对恒成立， Fx'()0,(1,e)m,1
所以在上单调递增,其最小值为 ??????9分 Fx()[1,e]F(1)0,
2当时，即时, 对成立， Fx'()0,(1,e)m,em,e
所以在上单调递减， Fx()[1,e]
112Fm(e)e,,,其最小值为 ??????11分 22
2(1,)m(,e)m 当,即时, 对成立, 对成立 Fx'()0,Fx'()0,1e,,m1e,,m
(1,)m(,e)m 所以在单调递减,在上单调递增 Fx()
1111mFmmmmmm()lnln,,,,,, 其最小值为???13分 22222
m,1综上，当时， 在上的最小值为 Fx()[1,e]F(1)0,
11m2Fmmm()ln,,, 当时，在上的最小值为 Fx()[1,e]1e,,m222
1122Fm(e)e,,, 当时, 在上的最小值为. Fx()[1,e]m,e22
19. (本小题满分14分)
2F(1,0),c,1, , 解:(I)因为为椭圆的焦点所以又b,3,
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22xy2 所以所以椭圆方程为，,1 ??????3分a,4,43
(?)因为直线的倾斜角为,所以直线的斜率为1, 45
,和椭圆方程联立得到 所以直线方程为yx,，1
22,xy，,1,2,消掉,得到 ??????5分 y7880xx，,,43,
,yx,，1,
88,,，,,,288,,xxxx所以 121277
242||1||CDkxx,，,, 所以 ??????7分 127
x,,1l, ,(?)当直线无斜率时直线方程为
33,,ABDABC,||0SS,,DC(1,),(1,),,,, 此时面积相等，??????8分1222
ykxk,，,(1)(0)k,0l , ,当直线斜率存在(显然)时设直线方程为
CxyDxy(,),(,) 设1122
22,xy，,1,2222和椭圆方程联立得到,消掉y得 (34)84120，，，,,kxkxk43,
,ykx,，(1),
228412kk,,,0显然，方程有根，且 ??????10分 xxxx，,,,,1212223434，，kk
,，，，2|(1)(1)|kxkx|||2||||||2||SSyyyy,,,,， 此时21122121
12||k,，，,2|()2|kxxk ??????12分 21234，k
1212123k,0,,,,3因为,上式，(时等号成立) k,,332122，4||k24||k||k||k
所以的最大值为 ??????14分 ||SS,312
20. (本小题满分13分)
2fxaxax()，解:(I)由题在是增函数， (0,)，,yaxa,,,，xx
由一次函数性质知
a,0yaxa,，当时，在上是增函数， (0,)，,
a,0所以 ??????3分
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fx()(?)因为是“一阶比增函数”，即在上是增函数， fx()(0,)，,
x
,,，,xx,(0,)xxx,，xxx,， 又，有，12112212
fxfxx()()，fxfxx()()，112212所以， ??????5分 ,,xxx，xxx，212112
xfxx()，xfxx()，212112所以， fx(),fx(),21xx，xx，1212
xfxxxfxx()()，，112212所以 fxfxfxx()()()，,，,，1212xxxx，，1212
??????8分 所以fxfxfxx()()()，,，1212
fx()0,x,0. (?)设，其中00
fxfx()()0因为是“一阶比增函数”，所以当时， xx,fx(),,00xx0
法一:取，满足，记 t,，,(0,)ft()0,ftm(),
由(?)知，同理， ftm(2)2,ftftm(4)2(2)4,,ftftm(8)2(4)8,,
nn*所以一定存在，使得， ftm(2)22013,,,n,N
fx()2013, 所以一定有解??????13分
ft()法二:取，满足，记 t,，,(0,)ft()0,,kt
fxft()()因为当时，，所以对成立 xt,xt,fxkx(),,,kxt
2013只要 ，则有， fxkx()2013,,x,k
fx()2013, 所以一定有解??????13分
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范文四：北京2013届海淀上期末高三数学理
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数 学 (理科) 2013.1
一、选择题:本大题共 8小题 , 每小题 5分 , 共 40分 . 在每小题列出的四个选项中 , 选出符合题目要 求的一项 .
1. 复数
2
1i
-化简的结果为 A.1i + B.1i -+ C. 1i - D.1i -- 2. 已知直线 2, :2x t l y t =+??=--?(t 为参数)与圆 2cos 1,
:2sin x C y θθ=+??=?
(θ为参数) ,则直线 l 的倾斜角及圆心 C 的直角
坐标分别是
A.π,(1,0)4 B.π,(1,0) 4- C.3π,(1,0)4 D.3π
,(1,0) 4
-
3. 向量 (3,4),(,2) x ==a b , 若 ||?=a b a , 则实数 x 的值为
A. 1- B.12-
C.1
3
- D.1 4. 某程序的框图如图所示 , 执行该程序,若输入的 p 为 24,则输出 的 , n S 的值分别为
A. 4, 30n S == B.5, 30n S == C. 4, 45n S == D.5, 45n S ==
5. 如图, PC 与圆 O 相切于点 C ,直线 PO 交圆 O 于 , A B 两点,
弦 CD 垂直 AB 于 E . 则下面结论中,错误 .. 的结论是 A . BEC ?∽ DEA ? B.ACE ACP ∠=∠ C. 2DE OE EP =? D.2PC PA AB =?
6. 数列 {}n a 满足 111, n n a a r a r +==?+(*
, n r ∈∈N R 且 0r ≠) , 则“ 1r =”是“数列 {}n a 成等差数列”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 用数字 0,1,2,3组成数字可以重复的四位数 , 其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为 A. 144 B.120 C. 108 D.72
8. 椭圆 22
22:1(0) x y C a b a b
+=>>的左右焦点分别为 12, F F ,若椭圆 C 上恰好有 6个不同的点 P ,使得 12F F P ?为
等腰三角形,则椭圆 C 的离心率的取值范围是
A.12(, ) 33 B.1(,1) 2 C. 2(,1) 3 D.111(, ) (,1) 322
二、填空题 :本大题共 6小题 , 每小题 5分 , 共 30分 .
9. 以 y x =±为渐近线且经过点 (2,0)的双曲线方程为 ______.
B
P
10. 数列 {}n a 满足 12, a =且对任意的 *, N m n ∈,都有
n m
n m
a a a +=,则 3_____;a ={}n a 的前 n 项和 n S =_____. 11. 在 261
(
3) x x
+的展开式中,常数项为 ______.(用数字作答 ) 12. 三棱锥 D ABC -及其三视图中的主视图和左视图 如图所示,则棱 BD 的长为 _________.
13. 点 (, ) P x y 在不等式组 0, 3, 1x x y y x ≥??
+≤??≥+?
表示的平面区域内,
若点 (, ) P x y 到直线 1y kx =-
的最大距离为 ___.k =
14. 已 知 正 方 体 1111ABCD A B C D -的 棱 长 为 1, 动 点 P 在 正 方 体 1111ABCD A B C D -表 面 上 运 动 , 且 PA r =
(0r <, 记点="" p="" 的轨迹的长度为="" ()="" f="" r="" ,="" 则="">
() 2
f =______________;关于 r 的方程 () f r k =的解的个数可以
为 ________.(填上所有可能的值) .
三、解答题 : 本大题共 6小题 , 共 80分 . 解答应写出文字说明 , 演算步骤或证明过程 .
15. (本小题满分 13分)
已知函数 21
() cos cos 2222
x x x f x +-, ABC ?三个内角 , , A B C 的对边分别
为 , , a b c .
(I )求 () f x 的单调递增区间;
(Ⅱ)若 () 1, f B C +
=1a b ==,求角 C 的大小 . 16. (本小题满分 13分)
汽车租赁公司为了调查 A,B 两种车型的出租情况 , 现随机抽取了这两种车型各 100辆汽车,分别统计了每 辆 车某个星期内的出租天数,统计数据如下表 :
A 型车
(I )从出租天数为 3天的汽车(仅限 A,B 两种车型)中随机抽取一辆,估计这辆汽车恰好是 A 型车的概率; (Ⅱ)根据这个星期的统计数据,估计该公司一辆 A 型车,一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4天的概率; (Ⅲ)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同,该公司需要从 A , B 两种车型中购买一辆,请你根据所学 的统计知识,给出建议应该购买哪一种车型, 并说明你的理由 . 17. (本小题满分 14分)
D
A
B
C
主视图
左视图
如图,在直三棱柱 111ABC A B C -中, 90BAC ∠=?,
12, AB AC AA ===E 是 BC 中点 .
(I )求证:1//A B 平面 1AEC ;
(II )若棱 1AA 上存在一点 M ,满足 11B M C E ⊥,求 AM 的长;
(Ⅲ)求平面 1AEC 与平面 11ABB A 所成锐二面角的余弦值 .
18. (本小题满分 13分)
已知函数
e () . 1
ax
f x x =-
(I ) 当 1a =时 , 求曲线 () f x 在 (0,(0))f 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 () f x 的单调区间 . 19. (本小题满分 14分)
已知 ()2,2E 是抛物线 2:2C y px =上一点,经过点 (2,0)的直线 l 与抛物线 C 交于 , A B 两点(不同于点 E ) , 直线 , EA EB 分别交直线 2x =-于点 , M N . (Ⅰ)求抛物线方程及其焦点坐标;
(Ⅱ)已知 O 为原点,求证:MON ∠为定值 . 20. (本小题满分 13分)
已知函数 () f x 的定义域为 (0,) +∞,若 ()
f x y x
=在 (0,) +∞上为增函数,则称 () f x 为“一阶比增函数” ; 若 2()
f x y x
=
在 (0,) +∞上为增函数,则称 () f x 为“二阶比增函数” . 我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为 1Ω,所有“二阶比增函数”组成的集合记为 2Ω. (Ⅰ ) 已知函数 3
2
() 2f x x hx hx =--,若 1() , f x ∈Ω且 2() f x ?Ω,求实数 h 的取值范围; (Ⅱ ) 已知 0a b c <, 1()="" f="" x="" ∈ω且="" ()="" f="" x="">
求证:(24) 0d d t +->;
(Ⅲ ) 定义集合 {}
2() |() , , (0,) () , f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数 使得任取="">
请问:是否存在常数 M ,使得 () f x ?∈ψ, (0,) x ?∈+∞,有 () f x M <成立?若存在,求出 m="" 的最小值;若不存在,说明理由="">
E
C 1
B 1
C
B
A
海淀区高三年级第一学期期末练习 数 学 (理)
参考答案及评分标准 2013. 1
一、选择题(本大题共 8小题 , 每小题 5分 , 共 40分)
二、填空题(本大题共 6小题 , 每小题
5分 , 有两空的小题,第一空 3分,第二空 2分,共
30分)
9. 224x y -=; 10. 1
8; 22n +-; 11. 135; 12. 13. 1± ; 14. 3
π; 0,2,3,44.
三、解答题 (本大题共 6小题 , 共 80分 ) 15. (本小题满分 13分)
解:(I )因为 21() cos cos 2222x x x f x +-cos 1cos 2212
1x x
x x +-++ π
sin() 6x =+6分 又 sin y x =的单调递增区间为
ππ2π,2π 22
k k -+() , () Z k ∈ 所以令 πππ2π2π262k x k -
<><+ 解得="">
2π2π 33
k x k -<+ 所以函数="" ()="" f="" x="" 的单调增区间为="">
(2π,2π) 33
k k -
+, () Z k ∈ ?????? 8分
(Ⅱ ) 因为 () 1, f B C +=所以 πsin() 16B C ++=,又 (0,π) B C +∈, ππ7π
(, ) 666
B C ++∈
所以 πππ, 623
B C B C ++=+=,所以 2π
3A = ?????? 10分 由正弦定理
sin sin B A b a
= 把 1a b =代入,得到 1
sin 2B =?? 12分 又 , b a <,所以 π6b=",所以">
6
C = ?????? 13分
16. (本小题满分 13分) 解:(I )这辆汽车是 A 型车的概率约为
3A 3A,B =出租天数为 天的 型车辆数 出租天数为 天的 型车辆数总和 30
0.63020
=+ 这辆汽车是 A 型车的概率为 0.6??? 3分
(II )设“事件 i A 表示一辆A型车在一周内出租天数恰好为 i 天” ,
“事件 j B 表示一辆B型车在一周内出租天数恰好为 j 天” ,其中 , 1,2,3,...,7i j = 则该公司一辆 A 型车,一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4天的概率为
132231132231() () () () P A B A B A B P A B P A B P A B ++=++ ?????? 5分
132231() () () () () () P A P B P A P B P A P B =++ ?????? 7分
520102030149100100100100100100
125
=?=
该公司一辆 A 型车,一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4天的概率为 9
125
?????? 9分
设 Y 为 B
() 10.0520.1030.3040.3550.1560.0370.02=3.62E X =?+?+?+?+?+?+?
() 10.1420.2030.2040.1650.1560.1070.05E Y =?+?+?+?+?+?+?=3.48????? 12分
一辆 A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为 3.62天, B 类车型一个星期出租天数的平均值为 3.48天 . 从
出租天数的数据来看, A 型车出租天数的方差小于 B 型车出租天数的方差 , 综合分析,选择 A 类型的出租车更加 合理 . ?????? 13分 17. (本小题满分 14分)
(I) 连接 A C 1交 AC 1于点 O ,连接 EO . 因为 1ACC A 1为正方形,所以 O 为 A C 1中点, 又 E 为 CB 中点,所以 EO 为 1A BC ?的中位线,所以 1//EO A B ?????? 2分 又 EO ?平面 1AEC , 1A B ?平面 1AEC , 所以 1//A B 平面 1AEC ?????? 4分 (Ⅱ)以 A 为原点, AB 为 x 轴, AC 为 y 轴, 1AA 为 z 轴建立空间直角坐标系 所以 111(0,0,0),(0,0,2),(2,0,0),(2,0,2),(0,2,0),(0,2,2),(1,1,0),A A B B C C E 设 (0,0,)(02) M m m ≤≤,所以 11(2,0, 2), (1,1, 2) B M m C E =--=--
,
因为 11B M C E ⊥,所以 110B M C E ?=
,解得 1m =,所以 1AM = ?????? 8分 (Ⅲ)因为 1(1,1,0),(0,2,2)AE AC == ,设平面 1AEC 的法向量为 (, , ) n x y z =
,
则有 10
AE n AC n
??=???=??
,得 00x y y z +=??+=?,令 1, y =-则 1, 1x z ==,所以可以取 (1,1,1) n =- , ??? 10分
因为 AC ⊥平面 1ABB A 1, 取平面 1ABB A 1的法向量为 (0,2,0)AC =
?????? 11分 所以 cos , ||||
AC n AC n AC n ?<>==
?????? 13分
平面 1AEC 与平面 1ABB A 1 ?????? 14分 18. (本小题满分 13分)
解:当 1a =时, e () 1
ax
f x x =-, 2e (2) '() (1) x x f x x -=
- ?????? 2分 又 (0)1f =-, '(0)2f =-,所以 () f x 在 (0,(0))f 处的切线方程为 21y x =--?????? 4分
(II ) 2
e [(1)]
'() (1)
ax ax a f x x -+=- 当 0a =时, 21'() 0(1) f x x -=<- 又函数的定义域为="" {|1}x="" x="" ≠="" 所以="" ()="" f="" x="" 的单调递减区间为="" (,1),(1,)="" -∞+∞="" ??????="" 6分="" 当="" 0a="" ≠时,令="" '()="" 0f="" x=",即" (1)="" 0ax="" a="" -+=",解得">
a x a
+=
?????? 7分 当 0a >时, 1
1a x a
+=
>, 所以 () f x ', () f x 随 x 的变化情况如下表:
所以 () f x 的单调递减区间为 (,1) -∞, 1(1,
) a a +,单调递增区间为 1
(, ) a a
++∞ ???? 10分 当 0a <时,>
1a x a
+=
< 所以="" ()="" f="" x="" ',="" ()="" f="" x="" 随="" x="">
所以 () f x 的单调递增区间为 1(, ) a a +-∞,单调递减区间为 1
(,1) a a
+, (1,) +∞ ???? 13分 19. (本小题满分 14分)
解:(Ⅰ)将 ()2,2E 代入 22y px =,得 1p =, 所以抛物线方程为 2
2y x =,焦点坐标为 1
(,0) 2
?? 3分
(Ⅱ)设 2
11(, ) 2
y A y , 222(, ) 2y B y , (, ), (, ) M M N N M x y N x y ,
法一:因为直线 l 不经过点 E ,所以直线 l 一定有斜率
设直线 l 方程为 (2) y k x =-与抛物线方程联立得到 2(2)
2y k x y x =-??=?,消去 x ,得:
2240ky y k --= 则由韦达定理得:12122
4, y y y y k
=-+=
?????? 6分 直线 AE 的方程为:()12
12
2222
y y x y --=
--,即 ()12222y x y =-++, 令 2x =-,得 1124
2
M y y y -=
+ ?????? 9分 同理可得:2224
2
N y y y -=
+ ?????? 10分
又 4(2, ), (2, ) m m OM y ON y -=-=- ,所以 121224244422M N y y OM ON y y y y --?=+=+?
++ 12124[2() 4]4[2() 4]y y y y y y y y -++=++++ 4
4(44)
44(44) k
--
+=+
-++0= ?????? 13分 所以 OM ON ⊥,即 MON ∠为定值 π2
?????? 14分 法二:设直线 l 方程为 2x my =+与抛物线方程联立得到 2
22x my y x
=+??
=?,消去 x ,得:
2240y my --=则由韦达定理得:12124, 2y y y y m =-+= ?????? 6分
直线 AE 的方程为:()
1212
2222
y y x y --=
--,即 ()12222y x y =-++, 令 2x =-,得 1124
2
M y y y -=
+ ?????? 9分 同理可得:2224
2
N y y y -=
+ ?????? 10分
又 4(2, ), (2, ) m m OM y ON y -=-=- , 12124(2)(2)
44(2)(2)
M N y y OM ON y y y y --?=+=+++
12124[2() 4]
4[2() 4]
y y y y y y y y -++=+
+++4(424) 44(424) m m --+=+
-++0= ?????? 12分 所以 OM ON ⊥,即 MON ∠为定值 π2
?????? 13分 20. (本小题满分 14分)
解:(I )因为 1() , f x ∈Ω且 2() f x ?Ω, 即 2()
() 2f x g x x hx h x
=
=--在 (0,) +∞是增函数,所以 0h ≤ ?????? 1分 而 2() () 2f x h h x x h x x =
=--在 (0,) +∞不是增函数,而 2
'() 1h
h x x =+ 当 () h x 是增函数时,有 0h ≥, 所以当 () h x 不是增函数时, 0h < 综上,得="" 0h="">< ??????="">
(Ⅱ ) 因为 1() f x ∈Ω,且 0a b c a b c <++>
() () 4=f a f a b c a a b c a b c ++<++++,所以 4()="" a="" f="" a="" d="" a="" b="">
=<++, 同理可证="" 4()="" b="" f="" b="" d="" a="" b="" c="">
++, 4() c
f c t a b c
=<>
三式相加得 4()
() () () 24, a b c f a f b f c d t a b c
++++=+
=++ 所以 240d t +-
因为 , d d a b <所以>
) 0, b a
d ab
-<而 0a="" b=""><, 所以="" 0d="">< 所以="" (24)="" 0d="" d="" t="" +-=""> ?????? 8分
(Ⅲ ) 因为 集合 {}
2() |() , , (0,) () , f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数 使得任取="" ,="" 所以="" ()="" f="" x="" ?∈ψ,存在常数="" k="" ,使得="" ()="" f="" x="" k="">< 对="" (0,)="" x="" ∈+∞成立="" 我们先证明="" ()="" 0f="" x="" ≤对="" (0,)="" x="" ∈+∞成立="" 假设="" 0(0,),="" x="" ?∈+∞使得="" 0()="" 0f="" x="">,记 02
0()
0f x m x => 因为 () f x 是二阶比增函数,即
2
() f x x
是增函数 . 所以当 0x x >时, 0220() () f x f x m x x >=,所以 2() f x mx > 所以一定可以找到一个 10x x >,使得 211() f x mx k >>这与 () f x k < 对="" (0,)="" x="" ∈+∞成立矛盾???="">
() 0f x ≤对 (0,) x ∈+∞成立
所以 () f x ?∈ψ, () 0f x ≤对 (0,) x ∈+∞成立 下面我们证明 () 0f x =在 (0,) +∞上无解
假设存在 20x >,使得 2() 0f x =,则因为 () f x 是二阶增函数,即 2
()
f x x 是增函数 一定存在 320x x >>,
3222
32() ()
0f x f x x x >=,这与上面证明的结果矛盾 . 所以 () 0f x =在 (0,) +∞上无解 综上,我们得到 () f x ?∈ψ, () 0f x <对 (0,)="" x="">
所以存在常数 0M ≥,使得 () f x ?∈ψ, (0,) x ?∈+∞,有 () f x M <>
又令 1
() (0) f x x x
=->,则 () 0f x <对 (0,)="" x="">
又有 23() 1
f x x x
-=在 (0,) +∞上是增函数 ,所以 () f x ∈ψ,
而任取常数 0k <,总可以找到一个 00x="">,使得 0x x >时,有 () f x k >
所以 M 的最小值 为 0 ?????? 13分
范文五：2013海淀高三期末物理
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海淀区高三年级第一学期期末练习
2013.1
物 理
本试卷共8页，100分。考试时长90分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后.将本试卷和答题纸一并交回。
一、本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项是正确的。有的小题有多个选项是正确的。全部选对的得3分，选不全的得2分。有选错或不答的得0分。将正确答案的序号填涂在机读卡上。
1.分别放在两个绝缘架上的相同金属球，相距为d，球的半径比d小得多，分别带有q和3q的电荷量，相互斥力为3F。现用绝缘工具将这两个金属球接触后再分开，然后放回原处。则它们的相互作用力将变为 ( )
A.0 B. F C.3F D.4F
2.如图1所示，某理想变压器的原、副线圈的匝数均可调节，原线圈两端电压为一峰值不变的正弦交变电压，副线圈接一可变电阻R。在其他条件不变的情况下，为使变压器输入功率增大，下面的措施正确的是
( )
A.仅增加原线圈匝数n 1
B.仅增加副线圈匝数n 2
仅减小电阻R的阻值 C.
D.仅增大电阻R的阻值
3.将定值电阻R=10Ω、R=20Ω串联接在正弦交流电路中，通过电阻R的电流122i随时间t变化的情况如图所示。则 ( )
A.通过R的电流有效值是1.2A 1
B.R两端的电压有效值是6V 1
C.通过R的电流有效值是1.2A 22
D.R两端的电压有效值是6V 22
4.如图3所示，两块相互靠近彼此绝缘的平行金属板组成平行板电容器，极板?与静电计金属球相连，极板M和静电计的外壳
均接地。用静电计测量平行板电容器两极板间的
电势差U。在两板相距为d时，给电容器充电，静
电计指针张开一定角度。在整个实验过程中，保
持电容器的带电量Q不变，下面的操作中将使静
电计指针张角变小的是 ( )
A.仅将M板向下平移
B.仅将M板向左平移
C.仅在M、N之间插入云母板(介电常数大于1)
D.仅在M、N之间插入金属板，且不和M、N接触
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5.如图4所示，电场中的一簇电场线关于y轴对称分
布，0点是坐标原点，M、N、P、Q是以0为圆心的一个
圆周上的四个点，其中M、N在y轴上，Q点在x轴上，
则 ( )
A.M点电势比P点电势高
B.OM间的电势差等于NO间的电势差
C.一正电荷在0点的电势能小于在Q点的电势能
D.将一负电荷从M点移到P点，电场力做正功
X k B 1 . c o m
6.氧化锡传感器主要用于汽车尾气中一氧化碳浓度的检测，它的电阻随一氧化碳浓度的变化而变化。在图5所示电路中，不同的一氧化碳浓度对应传感器不同的电阻值，电压表的示数与一氧化碳的浓度一一对应，观察电压表示数就能判断一氧化碳浓度是否超标。已知氧化锡传感器的电阻的倒数与一氧化碳浓度成正比，那么，电压表示数U与一氧化碳浓度ρ之间的对应关系正确
的是 ( )
A.U越大，表示ρ越大，ρ与U成正比
B.U越大，表示ρ越小，ρ与U成反比
c.U越大，表示ρ越大，但ρ与U无关
D.U越大，表示ρ越小，但ρ与U无关
7.如图6所示，电路中的A、B是两个完全相同的灯泡，
L是一个自感系数很大、电阻可忽略的自感线圈，C是电容很
大的电容器。当开关S断开与闭合时，A、B灯泡发光情况是 ( )
A.S刚闭合后，A灯亮一下又逐渐变暗，B灯逐渐变亮
B.S刚闭合后，B灯亮一下又逐渐变暗，A灯逐渐变亮
c.s闭合足够长时间后，A灯泡和B灯泡一样亮
D.S闭合足够长时间后再断开，B灯立即熄灭，A灯逐渐熄灭
8.如图7所示，在0?x?2L的区域内存在着匀强磁场，磁场方向垂直于xy坐标系平面(纸面)向里。具有一定电阻的矩形线框abcd位于xy坐标系平面内，线框的ab边与y轴重合，bc边长为L。设线框从t=0
时刻起在外力作用下由静止开始沿x轴正方向做匀加
速运动，则线框中的感应电流i(取逆时针方向的电流
为正)随时间t变化的函数图象可能是图中的
( )
9.霍尔式位移传感器的测量原理如图9所示，有一
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个沿z轴方向均匀变化的匀强磁场，磁感应强度B=B+kz(B、k均为常数)。将霍00尔元件固定在物体上，保持通过霍尔元件的电流I不变(方向如图9所示)，当物
体沿z轴正方向平移时，由于位置不同，霍尔元件在y轴方向的上、下表面的电
势差U也不同。则 ( )
A.磁感应强度B越大，上、下表面的电势差U越大
DU B.k越大，传感器灵敏度()越高 Dz
.若图中霍尔元件是电子导电，则下板电势高 C
D.电流，越大，上、下表面的电势差U越小
10.狄拉克曾经预言，自然界应该存在只有一个磁极的磁单极子，其周围磁感
线呈均匀辐射状分布，距离它r处的磁
k感应强度大小为B=(k为常数)。磁单2r
极S的磁场分布如图甲所示，它与如图
乙所示负点电荷Q的电场分布相似。假
设磁单极子S和负点电荷Q均固定，有
一带电小球分别在S和Q附近做匀速圆
周运动，则关于小球做匀速圆周运动的
判断正确的是
A.若小球带正电，其运动轨迹平面可在S正上方，如图甲所示 B.若小球带正电，其运动轨迹平面可在Q正下方，如图乙所示 C.若小球带负电，其运动轨迹平面可在S正上方，如图甲所示 D.若小球带负电，其运动轨迹平面可在Q正下方，如图乙所示
二、本题共2小题。共15分。
11.(7分)用图11甲所示
电路测量一个蓄电池的电动
势和内电阻。蓄电池的内电
阻很小。除蓄电池、开关、
导线外，可供使用的器材还
有:
A.电压表(量程3v)
B.电流表(量程0.6A)
C.电流表(量程3A)
D.定值电阻R(阻值3Ω， 0
额定功率4W)
E.滑动变阻器R(阻值范围0,5Ω，额定电流为2A)
(1)电流表应选_____________;(选填器材前的字母序号)
(2)根据实验数据做出U-I图象，如图乙所示，蓄电池的电动势E=_____ V，
内电阻r=______Ω。
12.(8分)某同学用电压表和电流表测量R的电阻，已知电压表内阻约3kΩ，电x
流表内阻约1Ω。
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(1)某同学用如图甲所示电路测量电阻R，R的测量值比真实值_______(选填xx
“偏大”或“偏小”);若被测电阻R的阻值约为10Ω，应采用图______(选填x
“甲”或“乙”)所示由路误差会比较小。
(2)无论是用图甲还是图乙所示电路测量，都不可避免地会产生由电表内阻引起的系统误差。某学习小组设计了以下方案，以避免电表内阻引起的系统误差。该方案利用图丙所示的电路进行测量，主要实验步骤如下:
第一步:将单刀双掷开关S接2，闭合开关S，调节滑动变阻器R和R，使21p1p2电表读数接近满量程，但不超过量程，记录此时电压表和电流表的示数U、I 11
? 请你写出第二步操作步骤，并说明需要记录的数据;______________
________________________________________________________
? 用测得数据计算被测电阻阻值的计算式是R=____________________。 x
? 简要说明此实验方案为什么能避免由电表内阻引起的实验误差。_______
_____________________________________________________________
三、本题包括6小题，共55分。解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤。只写出最后答案的不能得分，有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。
13.(8分)如图13所示，在水平向右场强为E的匀强电场中，有一质量为m、电荷量为q的占由荷从A点由静止释放，仅在由场力的作用下经时间t运动到B点.求.
(1)点电荷从A点运动到B点过程中电场力对点电荷做的功;
(2)A、B两点间的电势差。
14.(8分)如图14所示，空间同时存在水平向右的匀强电场和方向垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场。质量为m，电荷量为q的液滴，以某一速度沿与水平方向成θ角斜向上进入正交的匀强电场和匀强磁场叠加区域，在时间t内液滴从M点匀速运动到N点。重力加速度为g。
(1)判定液滴带的是正电还是负电，并画出液滴受力示意
图;
(2)求匀强电场的场强E的大小;
(3)求液滴从M点运动到N点的过程中电势能的变化量。
15.(9分)如图15所示，MN、PQ为足够长的平行金属导轨，间距L=0.50m，导轨0平面与水平面间夹角θ=37，N、Q间连接一个电阻R=5.0Ω，匀强磁场垂直于导轨
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www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载～ 平面向上，磁感应强度B=1.0T。将一根质量m=0.050kg的金属棒放在导轨的ab位置，金属棒及导轨的电阻不计。现由静止释放金属棒，金属棒沿导轨向下运动过程中始终与导轨垂直，且与导轨接触良好。已知金属棒与导轨间的动摩擦因数μ=0.50，当金属棒滑行至cd处时，其速度大小开始保持不变，位置cd与ab之间002=0.60，cos37=0.80。求: 的距离s=2.0m。已知g=10m/s，sin37
(1)金属棒沿导轨开始下滑时的加速度大小;
(2)金属棒达到cd处的速度大小;新 课 标 第 一 网
(3)金属棒由位置ab运动到cd的过程中，电阻R产生的热量。
16.(10分)下图是用直流发电机为保温室中电热器供电的电路图，直流发电机的电
，内阻为0.50Ω，输电线电阻R=R=1.0Ω。保温室中装有若干只完全动势为250V12
相同的电热器用来调节室温，每只电热器的额定电压为200V，额定功率为1000W，其他电阻不计，也不考虑电热器电阻随温度的变化。求:
(1)为使电热器能正常工作，应接入多少个电热器;
(2)在电热器正常工作状态下，直流发电机对保温室供热的效率;
(3)保温室内的电热器可能消耗的最大电功
率。
17.(10分)如图所示，水平地面上方有一高度为H、上、下水平界面分别为PQ、MN的匀强磁场，磁感应强度为B。矩形导线框ab边长为l，bc边长为l，导线框12的质量为m，电阻为R。磁场方向垂直于线框平
面向里，磁场高度H> l。线框从某高处由静止落2
下，当线框的cd边刚进入磁场时，线框的加速
3g度方向向下、大小为;当线框的cd边刚离5
g开磁场时，线框的加速度方向向上、大小为。5
在运动过程中，线框平面位于竖直平面内，上、
下两边总平行于PQ。空气阻力不计，重力加速
度为g。求:
(1)线框的cd边刚进入磁场时，通过线框导
线中的电流;
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(2)线框的ab边刚进入磁场时线框的速度大小;
(3)线框abcd从全部在磁场中开始到全部穿出磁场的过程中，通过线框导线横截面的电荷量。
)图18甲所示，平行金属板PQ、MN水平地固定在地面上方的空间，金属18.(10分
板长 l=20cm，两板间距d=10cm，两板间的电压U=100V。在距金属板M端左下方MP
某位置有一粒子源A，从粒子源竖直向上连续发射速度相同的带电粒子，射出的带电粒子在空间通过一垂直于纸面向里的磁感应强度B=0.20T的圆形区域匀强磁场(图中未画出)后，恰好从金属板 PQ左端的下边缘水平进入两金属板间，带电粒子在电场力作用下恰好从金属板MN的右边缘飞出。已知带电粒子的比荷q6=2.0×10C/kg，粒子重力不计，计算结果保留两位有效数字。 m
求:
(1)带电粒子射人电场时的速度大小;
(2)圆形匀强磁场区域的最小半径;
(3)若两金属板间改加如图乙所示的电压，在哪些时刻进入两金属板间的带电粒子不碰到极板而能够飞出两板间。
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