叶子31188021
范文一：(1)证明R是等价关系
13、解：[a]=[b]={a,b},[c]=[d]={c,d}
14、证明：
（1）证明R 是等价关系，即证明R 是A 上的自反、对称、传递关系，要证R 是自反、对称、传递，采用按定义证明法证明。
① 自反性：对? 反关系。 ② 对称性：对?, c +d =a +b ，所以 ③ 传递性：对?, 则a +b =c +d , c +d =e +f ，即a +b =e +f 。所以R 由①，②，③知R 是A 上的等价关系。 （2） 首先求出A ＝S ×S 的全部元素，然后找出所有元素所对应的等价类即可。 因A ＝S ×S ＝{<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,1>,<3,2>,<3,3>, <3,4>,<4,1>,<4,2>,<4,3>,<4,4>}。 [<1,1>]R ={<1,1>} [<1, 2="">]R ={<1, 2="">, <2,1>}=[<2,1>]R [<1,3>]R ={<1,3>, <3,1>, <2, 2="">}=[<3,1>]R =[<2, 2="">]R [<1, 4="">]R ={<1, 4="">, <4,1>, <3, 2="">, <2,3>}=[<4,1>]R =[<3, 2="">]R =[<2,3>]R [<2, 4="">]R ={<2, 4="">, <4, 2="">, <3,3>}=[<4, 2="">]R =[<3,3>]R [<3, 4="">]R ={<3, 4="">, <4,3>}=[<4,3>]R [<4, 4="">]R ={<4, 4="">} 所以A /R ={[ {[<1,1>]R ,[<1, 2="">]R ,[<1,3>]R ,[<1, 4="">]R ,[<2, 4="">]R ,[<3, 4="">]R ,[<4, 4="">]R } 16、证明： ① 对任意x ∈A ，由R 是自反的，即有 T 是自反的。 ② 对?x , y ∈A ， ?( 所以T 是对称的。 ③ 对?x , y , z ，( ?( 所以T 是传递的。 由①，②，③知，T 是等价关系。 33、证明：（用反证法） 假设R 是传递的，因为R 是集合A 上的对称关系。若 35、证明： 由于对?a ∈A ，都有∈R ，R 是对称的，可得∈R ，R 是传递的，可得∈R ，所以R 是自反的，而题中已给出R 是对称和传递的，所以R 是一个等价关系。 数学分析中两个重要式子的等价关系及其证明 魏立明 ()梧州师范高等专科学校 数学系 , 广西 贺州 542800 n ? 1 1 [ 摘 要 ]指出数学分析中两个重要式子 lim〔1 + 〕= e 与 ? = e 的等价关系并予以证明 。n ?? n n = 0 n ! [ 关键词 ]数学分析 ;等价关系 ;证明 () [ 中图分类号 O17 [ 文献标识码 A [ 文章编号 1008 - 8377 200503 - 0090 - 02 1. 引言 n 1 式子 lim〔1 + 〕= e 是数学分析中相当重要的一个公式 ,通过它可以推导出有名的第二个重要极限 limx ?? n ?? x x ? 1 1 〔1 + 〕= e ,从而解决此类极限的求法问题 。而 ? = e 也是一个相当重要的式子 ,运用它可以解决某些x n = 0 n ! n 1 级数的求和问题 。但上述两个式子的真正价值是体现在理论研究上 ,比如从 lim〔1 + 〕= e 可以知道有理 n ?? x 数列的极限不一定是有理数 ,它可以是一个无理数 ,这就是为什么极限理论必须建立在实数基础上的原因 ;而 ? 1 利用式子 ? = e 则可以证明 e 是一个无理数 。其实这两个重要式子是等价的 ,下面给出其具体的证明 。n = 0 n ! 首先给出两个引理 ,由于它们都是《数学分析》教材中的结论 ,故只简要说明其证明方法 。 1 n () 2. 1 引理 1 数列 1 + 是收敛的. n 1 n )(证明 :设 a= 1 + ,则 : n n 1 1 1 n n + 1 n () (() ())1利用二项式定理将 a= 1 + 与 a= 1 + 展开对比即可得出数列{ 1 + }是严格增n n + 1 n + 1n n 加的 。 1 1 1 1 1 1 1 1 n () ΛΛ()2a= 1 + < 2="" +="" +="" ++="">< 2="" +="" +="" ++="3" -="">< 3n="" 2="" n="" +="" 1="" n="" -="" 1="" 2="" !="" 3="" !="" n="" !="" 2="" n=""> 1 n () 即数列{ 1 + }有上界 3.n 1 n () () () 由 12根据实数连续性公理知数列{ 1 + }收敛 。 n ? 1 2. 2 引理 2 级数 ? 是收敛的.n = 0 n ! ? 1 证明 :因级数 ? 是正项级数 ,故只需证明其部分和数列{ S }有上界 。由于n n = 0 n ! n 1 1 1 1 1 1 ΛS= ? = 1 + + + ++ < 3="" -="">< 3="" n="" n="" -="" 1="" k="0" k="" !="" 1="" !="" 2="" !="" 3="" !="" n="" !=""> [ 收稿日期 2005 - 07 - 17 () [ 作者简介 ] 魏立明1966 —,男 ,广西贺州市人 ,现为广西梧州师专数学系讲师 ,主要研究方向为函数论。 90 第 21 卷第 3 期 广 西 梧 州 师 范 高 等 专 科 学 校 学 报2005 年 9 月 Vol121 No13 JOURNAL OF WUZHOU TEACHERS COLL EGE OF GUANGXI Sept12005 ? 1 故级数 ? 收敛 。n = 0 n ! ? 1 1 n 2. 3 定理 lim 〔1 + 〕= e Ζ ? = en ?? x n = 0 n ! ? 1 1 n () 证明 : 1先证必要性 ,即 lim〔1 + 〕= e Ζ ? = en ?? x n = 0 n ! ? ? 1 1 1 n 〕= e ,由引理 2 知故级数 ? 收敛 ,设 ? = A , 下证 A = e . 因 n ??,不妨设 n Ε 2. 由于 lim〔1 +n = 0 n ! n = 0 n ! n ?? n 故 : ? n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n 0 1 2 n () ( Λ ) ( A - e = ? - lim 1 + = lim ? - lim C+ C?+ C++ C?= lim 1 ++ + n n n n 2 n n = 0 n ! n ?? x n ??k = 0 k ! n ?? n n ?? 1 ! 2 ! 3 ! nn 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 n - 11ΛΛ Λ() ) () () ( ) () () ++ - lim〔1 + + 1 - + 1 - 1 -++ 1 - 1 - 1 - 〕= lim { n ! n ?? 1 ! 2 ! n 3 ! n n n ! n n n n ?? 2 ! 1 1 1 2 1 1 2 n - 1() () () ΛΛ() () ()1 - 1 - + 1 - 1 - 1 - + + 1 -1 - 1 - 1 - }n 3 ! n n n ! n n n 因此 ,须证上述极限为 0. 1 1 1 1 2 1 1 2 n - 1 ΛΛ() () () () () ()+ 1 -1 - 1 - 1 - }设 b= { 1 - 1 - + 1 - 1 - 1 - +n n ! n n 2 ! n 3 ! n n n 下面用两边夹证明 lim b= 0. 显然 b> 0 ,且 n n n ?? 1 1 1 1 2 1 1 2 n - 1 () b= { 1 - 1 - + () () ΛΛ() () ()n 1 - 1 - 1 - + + 1 - 1 - 1 - 1 - } 2 ! n 3 ! n n n ! n n n 1 1 1 2 1 n - 12 n - 1 () ) Λ () < 1="" -1="" -="" +="" 1="" -(++="" 1="" -1="" -="" ]1="" -="" 2="" !="" n="" 3="" !="" n="" n="" !="" n=""> 1 11 2 2 1 3 3 3 1 n - 1 n - 1 2 () () () Λ ( ) ( = ?+ { 1 + 1 - } + { 1 + 1 - + 1 - } + +{ 1 +1 - + 1 -2 ! n 3 ! n n 4 ! n n n n ! n n n - 1 n - 12 n - 2 ) Λ() ++ 1 - }n n 1 11 2 3 n - 11 1 Λ( ) < 2="" +="" 3="" ++="" n="" -="" 12="" !="" n="" 3="" !="" n="" 4="" !="" n="" n="" !="" n=""> 1 1 1 1 1 2 1 1 31 ( ) 1 1 1 1 n - 1 1 1 < +="" +="">< [+λ+="" +="" +="" +λ+="" ]="" (="" )="" (="" )="" 0="" !="" n="" 2="" 1="" !="" n="" 3="" 2="" !="" n="" 4="" 1="" !="" 2="" !="" n="" -="" 2!="" n="" n="" n="" 2="" n="" -="" 2!=""> 1 1 - n - 2 1 111 11 1 12 5 1 ( ( ) Λ+ +< +="" 1="" +="" +="" +="=" -+="" 2="" 3="" n="" -="" 3="" n="" -="" 3n="" 2="" 2="" n="" 2="" 1="" 2n="" 222="" n?21="" -="" 2=""> 5 1 ( )即 0 <>< -="" n="" ε="" 2n="" n="" -="" 3="" 2n=""> 5 1 由于 lim -= 0 ,故由两边夹法则有 lim b = 0. n n - 3n ?? n ??2n n?2 ? 1 于是 A - e = 0 ,从而 A = e . 即 ? = e .n = 0 n ! ? 1 1 n () 2再证充分性 ,即 ? = e ] lim〔1 + 〕= en = 0 n ! n ?? x 1 1 n n 由引理 1 知数列{〔1 + 〕}收敛 ,设 lim〔1 + 〕= B ,下证 B = e .n ?? n n ()下转第 97 页 91 第 21 卷第 3 期 广 西 梧 州 师 范 高 等 专 科 学 校 学 报2005 年 9 月 Vol121 No13 JOURNAL OF WUZHOU TEACHERS COLL EGE OF GUANGXI Sept12005 由于温度对吸附的影响相差不大 , 所以本实验一般 采用在 30 ?下进行振荡吸附 。 2. 6 吸附等温曲线 在 30 ?条件下 , 称取若干份改性焦碳 , 每份 1. 000g ,各加入不同浓度的亚甲基蓝溶液 100. 00ml ,振 荡吸附 24h ,静置 4h 至平衡 , 取样离心分离 , 测定离 心液的吸光度 ,计算吸附量 Q ,作吸附等温曲线如图 3 。由图 3 中可知 : 吸附剂的吸附性能较好 , 吸附量 - 1 可达到 32. 08mg?g 。 图 4 吸附等温曲线 3 结论 焦碳通过改性后对亚甲基蓝染料废水具有较好 的吸附性能 ,适当的条件下脱色率达 81. 65 % ,吸附 - 1 量超过 32. 08mg ? g 。此方法可以大大降低了处理 成本 ,因此对寻求一种经济有效的染料废水脱色方 法具有一定意义 。 图 3 温度对吸附的影响 [ 参考文献 ] () 1 隋智慧. 粉煤灰基混凝剂处理印染废水J . 印染. 2004 , 20. 11 - 13 . () 2 柳荣展 ,李志国 ,刘绪利 ,石宝龙. 纺织染整工业废水污染物回收与废水处理J . 针织工业. 2004 , 5. 115 - 120 . 3 杨书铭 ,黄长盾. 纺织印染工业废水治理技术M. 北京 :化学工业出版社 ,2002 ,166 - 171 . () 4 梁志荣. 染料废水物理化学处理技术的现状与进展J . 四川环境. 2003 ,22 6. 25 - 29 . () 5 李桂芳 ,孟范平. 污水污泥对染料废水的吸附脱色性能研究J . 中国海洋大学学报. 2005 ,35 1:91 - 94 . ? ? 1 1 1 n () 上接第 91 页因 n ??不妨设 n Ε 2 。由于 ? = e ,故 e - B = ? - lim〔1 + 〕,由上述必要性的证n = 0 n ! n = 0 n ! n ?? n 明类似得到 : 1 1 1 1 2 1 1 2 n - 1() () () ΛΛ() () ()e - B = lim{ 1 - 1 - + 1 - 1 - 1 - + + 1 - 1 - 1 - 1 - } = 0n ?? 2 ! n 3 ! n n n ! n n n 1 n 故 B = e . 即 lim〔1 + 〕= en ?? n ? 1 1 n () () 于是 ,由 12知 ? = e ] lim〔1 + 〕= e .n = 0 n ! n ?? n [ 参考文献 ] ( ) 1 刘玉琏 ,傅沛仁. 数学分析?上册第四版M. 北京 : 高等教育出版社. 2003 . 97 数学分析中两个重要式子的等价关系及其 证明 第21卷第3期 Vo1.21No.3 广西梧州师范高等专科学校学报 JOURNALOFWUZHOUTEACHERSGOLLEGEOFGUANGXI 2005年9月 Sept.2005 数学分析中两个重要式子的等价关系及其证明 魏立明 (梧州师范高等专科学校数学系,广西贺州542800) [摘要]指出数学分析中两个重要式子[1+]e与n ? =0 1e的等价关系并予以证明.1n?? [关键词]数学分析;等价关系;证明 [中图分类号]017[文献标识码]A[文章编号]1008—8377(2005)03—0090—02 1.引百 式子lh-n[1+专]e是数学分析中相当重要的一个公式,通过它可以推导出有名的第二个重要极限 lh-n一[1+?]=e,从而解决此类极限的求法问题.而?=e也是一个相当重要的式子,运用它可以解决某r+ =0Il! 些级数的求和问题.但上述两个式子的真正价值是体现在理论研究上,比如从1im[1+]=e可以知道有 … 理数列的极限不一定是有理数,它可以是一个无理数,这就是为什么极限理论必须建立在实数基础上的原因; 而利用式子 . 善1e则可以证明e是一个无理数.其实这两个重要式子是等价的,下面给出其具体的证明. 首先给出两个引理,由于它们都是《数学分析》教材中的结论,故只简要说明其证明方法. 2.1[引理1]数列{(1+)”}是收敛的. 证明:设aflrH)”,则: (1)利用二项式定理将afl=(1+i1)与afl+=(1+1)”+展开对比即可得出数列{(1+)”}是严格 增加的. (2)afl=(1+)”<2+++A+1<2+1++A+=3一 <3 即数列{(1+)n}有上界3. 由(1)(2)根据实数连续性公理知数列{(1+1)n}收敛. 2.2[引理2]级数?是收敛的. n=0n: 证明:因级数 n ? =O 是正项级数,故只需证明其部分和数列{}有上界.由于 ==1+击+++A+可1<3—211?<3 【收稿日期]2005一O7—17 [作者简介]魏立明(1966一).男,广西贺州市人,现为广西梧州师专数学系讲师,主要研究方向为函数论. 一 90— 第21卷第3期 Vo1.21No.3 广西梧州师范高营专科学校学报 JOURNALOFWUZHOUTEACHERSCOLLEGEOFGUANGXI 2005年9月 Sept.2005 故级数量收敛. 2.3[定理]船[1十]”=e甘黑可1=e 证明:(1)先证必要性,即[1+]”=e筒曼可1=e 由引理2知故级数可1收敛, 设=A,下证A=e.因o.,不妨设n三三=2.由于[1十]”e, A一:一(1+{)n_蔷-可1一船(+?i1+?+A+C=:.)=lim..(1+击+去+击 +A+)一[1++(1一)+(1一)(1一)十A+(1一)(1一)A(1一n-1_)3{ [1-(1一)]+[1一(1一)(1一)]十A+[1一(1一)(1一)A(1一)]} 设:{[1一(1一告)]+[1一(1一)(1一)]+A+[1一(1一)(1一)A(1一)]} 下面用两边夹证明 一 lim .. b~=0.显然bn>0,且 bn:{[1一(1一)]+刍[1一(1一)(1一)]十A十[1一(1一{)(1一)A(1一)]} <[1一(1一)]十[1一(1一n)]十A+[1一(1一n-1)] :.i1+1+(1一}+者1+(1一)+(1一詈)]}+A十可1n-1[1+(1一)+(1一 )z+A+(1一)nz]} nn <?{+??2+??3十A+.n-1.(n一-) <击..+击??吾十?{?寻+A十1.i1?<[吉+可1+1+A十孤] <{c+-+丢+++A十={c+},5一 即O<b<一(2) 由于一参了o,故由两边夹法则有lim..b.=0. 于是A—e:0,从而A:e.即黑1=e. (2)再证充分性,即量=船(1+]”e 由引理1知数列{[1+]”}收敛,~lim[1+{]”=B,Titq!Be. 一 91— 第21卷第3期 V01.21No.3 .r--西梧州师范高等专科学校学报 JOURNALOFWUZHOUTEACHERSCOLLEGEOFGUANGXI 2005年9月 Sept.2005 但是由于温度对吸附的影响相差不大,所以本实验 一 般采用在30?下进行振荡吸附. 2.6吸附等温曲线 在30?条件下,称取若干份改性焦碳,每份1. 000g,各加入不同浓度的亚甲基蓝溶液100.O0ml,振 荡吸附24h.静置4h至平衡,取样离心分离,测定离 心液的吸光度,计算吸附量Q,作吸附等温曲线如图 3.由图3中可知:吸附剂的吸附性能较好,吸附量 可达到32.08mg?g,. ?蕾? 温童【C) 图3温度对吸附的影响 口111射 平衡浓度(nag/l 图4吸附等温曲线 3结论 焦碳通过改性后对亚甲基蓝染料废水具有较好 的吸附性能.适当的条件下脱色率达81.65%,吸附 量超过32.08mg?g,.此方法可以大大降低了处 理成本,因此对寻求一种经济有效的染料废水脱色 方法具有一定意义. [参考文献] f1]隋智慧.粉煤灰基混凝刺处理印染废水[J].印染.2004,(20).11—13, [2]柳荣展,李志国,刘绪利,石宝龙.纺织染整工业废水污染物回收与废水处理[J]针织工业.2004,(5),115—120 [3]杨书铭,黄长盾.纺织印染工业废水治理技术[M].北京:化学_r-.Ik出版社,2002,166—171. [4]梁志荣.染料废水物理化学处理技术的现状与进展[J].四川环境.2003,22(6).25—29. [5]李桂芳,孟范平.污水污泥对染料废水的吸附脱色性能研究[J].中国海洋大学学报.2005,35(1):91—94, (上接第91页)因n—oo不妨设n三三=2.由于?=e,故e—B=?一lim[1+]”,由上述必要性的n:0n:n:0n!o.n 证明类似得到: e—B=lim{1 . [1一(1,)]+[1一(1一{)(1一)]+A+[1一(1一--1)(1一--2n)A(1一)]}= O 故B=e.即lim[1+]n_err—o.n o.11 于是,由(1)(2)知?:plim[1十]”=e,n:0n!rr—o.n [参考文献] [1]刘玉琏,傅沛仁.数学分析?上册(第四版)『M].北京:高等教育出版社.2003. —--—— 97?--—— :专竹5o 饕*一x】 等价关系和划分 1. 等价关系 定义：如果集合A 上的等价关系R 是自反的、对称的和传递的，则称R 是等价关系。 1）自反性：A 上的每一个芫荽都和自己等价； 2）对称性：如果a 等价于b ，则b 也等价于a ，在有向图中，如果有从a 到b 的弧，则也有从b 到a 的弧。 3）传递性：如果a 等价于b ，b 等价于c ，则a 等价于c. 在有向图中，如果a 到c 有一条路径，则a 到此有一条弧。 4）数中的相等关系、集合中的相等关系、命题演算中的?关系都是等价关系。 5）空集合中的二元关系时等价关系。 定理：设k 是一个正整数而a 、b ∈I . 如果对某整数m , a -b =m ?k ，则a 和b 是模k 等价，写成 a ≡b (mod k ) 整数k 叫做等价的模数。 定理：模k 等价是任何集合A ?I 等等价关系。 定义：设R 是集合A 上的等价关系，对每一个a ∈A ，a 关于R 的等价类是集合{x |xRa }，记为[a ]R ，或者[a ]；称a 是等价类[a ]的表示元素。如果等价类个数有限，则R 的不同等价类的个数叫做R 的秩；否则秩是无限的。 定理：设R 是非空集合A 上的等价关系，aRb 当且仅当[a ]=[b ]。 证明： 充分性： a ∈[a ]=[b ],∴a ∈[b ],∴aRb aR b , ?x ∈[a ],xRa , 又aRb , 又传递性可知, xRb . ∴x ∈[b ].必要性： ∴[a ]?[b ]。同理, [b ]?[a ].∴[a ]=[b ] 以上说明：一个等价类中的任意元素都可以作为此等价类的表示元素。因为对同一等价类中的任两个元素a 和b ，都有aRb 。 定理：设R 是集合A 上的等价关系，则对于所有a , b ∈A ，或者[a ]=[b ]，或者[a ] [b ]=φ。 证明：[a ] [b ]≠φ, ?c ∈[a ]和c ∈[b ],则[a ]=[c ]=[b ]。又[a ],[b ]非空， [a ] [b ]≠φ和[a ]=[b ]不可兼得。 以上说明，不同的等价类是不相交的。 定义：给定非空集合A 和非空集合族π={A 1, A 2,... A m }，如果A = A i ，则 i =1m 称集合族π是A 的覆盖。 定理：设R 是集合A 上的等价关系，则A = [x ]。 x ∈A A 上的等价关系R 的等价类集合是A 的覆盖。 定理：设R 1, R 2是集合A 上的等价关系，则R 1=R 2当且仅当{[a ]R 1|a ∈A }={[a ]R 1|a ∈A }。 证明：必要性： R 1=R 2, ?a ∈A , 有[a ]R 1={x |xR 1a }={x |xR 2a }=[a ]R 2 ∴{[a ]R 1|a ∈A }={[a ]R 2|a ∈A }。 充分性：{[a ]R 1|a ∈A }={[a ]R 1|a ∈A }，∴[a ]R 1=[a ]R 2，所以，对任意x ∈A ， xR 1a =xR 2a ，又a 是任意的，R 1=R 2。 定理 设R 是A 上的二元关系，设R '=tsr (R ) 是R 的自反对称传递闭包，则 A) R '是A 上的等价关系，叫做R 诱导的等价关系。 B) 如果R ''是一等价关系且R ''?R ，则R ''?R ，也就是说，R '是包含R 的最小等价关系。 2 划分 定义 给定非空集合A 和非空集合族π={A 1, A 2,..., A n }，如果 （i ）π是A 的覆盖，即A = A n ； i =1n （ii ）则集合族π叫做集合A 的一个划分。 A i A j =φ或A i =A j (i , j =1, 2,..., n ) ， 划分的元素A i 称为划分π的块，如果划分是有限集合，则不同块的个数叫划分的秩，若划分是无限集合，则它的秩是无限的。划分的秩就是划分的大小。 定理：设A 是非空集合，R 是A 上的等价关系。R 的等价集合{[a ]R |a ∈A }是A 的划分。 定义：设R 是非空集合A 上的等价关系，称划分{[a ]R |a ∈A }为商集A/R， 也叫A 模R 。 定理：设R 1, R 2是非空集合A 上的关系，则R 1=R 2当且仅当A /R 1=A /R 2 以上定理说明A 上的等价关系可以诱导出A 的划分，且是唯一的。反之，A 的划分也可诱导出A 上的等价关系。即划分与等价关系可相互诱导。 定理：设π是非空集合A 的一个划分，则A 上的二元关系：R = B ?B 或 B ∈π 写成aRb ??B [B ∈π∧a ∈B ∧b ∈B ]是A 上的等价关系。 定理：设π是非空集合A 上的划分，R 是A 上的等价关系，则π诱导出R 当且仅当R 诱导出π。 3 划分的积与和 定义：设π与π'是非空集合A 上的划分。如果π'的每一块都包含于π的一块中，那么说π'细分π，或说π'是π的细分。 定理：设π和π'是非空集合A 上的划分，并设R 和R '分别是由π和π'诱导的等价关系，则π'细分π当且仅当R '?R 。 定理：设F 是非空集合A 上划分的族，则关系细分是F 上的偏序。 定义：设π1和π2是非空集合A 的划分。π1和π2的积，表示为π1?π2，是A 的划分π，它使 （i ）π细分π1和π2两者。 （ii ）如果π'细分π1和π2，则π'细分π。 对于集合S 中的关系，我们指的是S 集合本身。例如，对于全人类这一集合，“相关性”就是其集合上的关系（假设我们都配备了一个详尽的家谱）。让W 是一个关系，我们用xwy 来描述x 与y 之间存在的关系w ，例如（x,y ）属于w, 那么，我们常用像~的符号来描述这一关系，因此，对于xwy 这一关系，就会写成x~y。 许多关系都存在一种或几种如下属性： E.1 对于每一个x ∈s,x~x(反射性) E.2 对于所有的x,y 属于s, 如果x~y，那么y~x(对称性) E.3 对于所有的x,y,z 属于s ，如果x~y且y~z ,那么x~z(传递性) 例如, 关系“x 是y 的父亲”（ 在所有人类的集合中）没有这些属性。另一方面，“'X 和y 具有相同的父母”就有这三种属性。“X 是Y 的祖先”是传递性，“x 是y 的兄弟”则体现的是对称性，这些都是基于男性集合而言而不是所有人类。这一点说明，我们要明确所设定的集合。 集合s 的反射性、对称性和传递性叫做集合s 的等价性。这是一个重要的概念，这一概念在某种程度上概括了平等的概念。对于等价关系而言（对于s 集合的关系A 是y 的反射）满足E.1-3. 集合s 的等价性把s 中的元素分成不同类，将某些方面相同的对象组合在一起。例如，集合“'X 和y 具有相同的父母”和兄弟组成的集合是等价的。同理，集合“x 和Y 除2后具有相同的余数”和所有偶数和奇数组成的自然数集是等价的。 我们来看看如何将这一性质普遍化。任一和s 等价的集合，对于任意x 属于s ，将所有和x 等价的元素组合成一个等价集合Sx, 并使 Sx={ y属于S/x~y }。 根据反射性，x 属于s ，我们认为任意两个分段Sx 和Sy 相交或重合。假设，SX 和SY 不相交，必须证明Sx=Sy并且要从展示x~y这一关系开始。因为Sx ∩Sy ≠空集，那么存在z ∈Sx ∩Sy ，定义这一关系意味着x~z并且y~z。由对称性，可得z~y，由传递性性可得，x~y。现令u ∈Sy, 那么y~u,故x~u（根据传递 性）且u ∈Sx ；由此可证Sx 包含于Sy 因而Sx=Sy得证。因此，不同的Sx 将集合S 分成不同的非空子集，任意两个非空子集是相交的。这就称作集合S 的分拆。 假设集合S 中的一种等价关系“~”，重新设一个新集合S/~,新集合中的每一个元素都是不同的分段Sx; 存在一个映射λ：S-S/~，该映射将每一个x ∈S 分配给Sx ；λ称作集合S 到S/~的自然映射。这是满射而不是单射，如果S 的等价集合和S 是相等的，那么S/~叫做商数集。 反之，能够发现，S 集合每一个分拆都以等价的方式出现。假设将S 分拆成不同的A,B, …。那么每一个x ∈Z 只属于一个分拆，也就是说x ∈A 。设存在关系x~y,如果x,y 在同一分拆中，那么这就是S 集合上的等价块A ，B … 之前提到的例子，集合“x 和Y 除2后具有相同的余数”将自然数N 分成了两块，偶数和奇数。类似的，在任意给定的一年中，“x 和y 落在的一周的同一天”这一关系一年的日子分成七块，对应于一个星期的七天。 任一映射f: S----T，通过规则:x~y当且仅当xf=yf时产生等价S 。读者应当证明这确实是一个等价。 练习： （1） 下列正整数之间的关系哪些具有反 射性，哪些有对称性，哪些有传递性？i)a ≠b,ii) a＜b, iii) a比b 小2 iv 任何能整除a 的正整数也能整除b （2） 下列哪些是等价关系？i ）,x 在见得到 y 的地方（指的是在地球表面的事物），ii) x 和y 在相同的纬度，iii) x 和y 有相同的数字（指的是十进制中的数字） （3） 设“~”是反射关系，证明“~”具有 对称性和传递性，当且仅当 a~b ,a~c推出b~c （4） 下列对于S 的关系是对称性、传递性 还是反射性的“检验”是错误的？对于任意a,b ∈S ，a~b说明b~a(根据对称性) 因而由传递性可得，a~a. 对该论断举一反例。 转载请注明出处范文大全网 » (1)证明R是等价关系范文二：数学分析中两个重要式子的等价关系及其证明
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