茗弈花花
范文一：第二章_逻辑代数卡诺图
2.1
2.1 逻辑代数
? 逻辑代数 —— 布尔代数
– 分析和设计逻辑电路不可缺少的数学工具。 – 提供一种方法:使用二值函数进行逻辑运算。 – 逻辑代数有一系列的定律和规则,用它们对数 学表达式进行处理,可以完成对电路的化简、 变换、分析和设计。
2.1.1逻辑代数的定律和运算规则
一、逻辑代数的基本公式
在应用反演规则求反函数时要注意以下两点: (1)保持运算的优先顺序不变,必要时加括号 表明。
(2)变换中,几个变量(一个以上)的公共非 号保持不变。
2.1.3逻辑函数的代数化简法 一、逻辑函数式的常见形式
一个逻辑函数的表达式不是唯一的,可以有多种形 式,并且能互相转换。例如:
其中,与 — 或表达式是逻辑函数的最基本表达形式。
二、逻辑函数的最简 “ 与 — 或表达式 ” 的标准
(1)与项最少,即表达式中 “+” 号最少。
(2)每个与项中的变量数最少,即表达式中 “· ” 号最少 。
2.2逻辑函数的卡诺图化简法
)
一、 最小项的定义与性质
2 .卡诺图
最小项的定义:
n个变量的逻辑函数中,包含全部变量的乘积项称为最 小项。 n 变量逻辑函数的全部最小项共有 2n 个。
用小方格来表示最小项,一个小方格代表一个最小项, 然后将这些最小项按照相邻性排列起来。即用小方格几 何位置上的相邻性来表示最小项逻辑上的相邻性。
3.卡诺图的结构 (1
)二变量卡诺图
仔细观察可以发现,卡诺图具有很强的相邻性: (1)直观相邻性,只要小方格在几何位置上相邻 (不管上下左右),它代表的最小项在逻辑上一定 是相邻的。
(2)对边相邻性,即与中心轴对称的左右两边和上 下两边的小方格也具有相邻性。
2.2.3用卡诺图表示逻辑函数
1.从真值表到卡诺图
2.从逻辑表达式到卡诺图
(1)如果表达式为最小项表达式,则可直接填入卡诺 图。
(2)如表达式不是最小项表达式,但是 “ 与 — 或表达 式 ” ,可将其先化成最小项表达式,再填入卡诺图。也 可直接填入。
2.2.4逻辑函数的卡诺图化简法 1.卡诺图化简逻辑函数的原理 :
(1) 2个相邻的最小项结合,可以消去 1个取值不同的变量而 合并为 l 项。
(2) 4个相邻的最小项结合,可以消去 2个取值不同的变量而 合并为 l 项。
(3) 8个相邻的最小项结合,可以消去 3个取值不同的变量而 合并为 l 项。
注:即合并消去 n 个变量,要 2n 个相邻最小项
总之, 2n 个相邻的最小项结合,可以消去 n 个取值不 同的变量而合并为 l 项。
2.用卡诺图合并最小项的原则(画圈的原则) (1)尽量画大圈,但每个圈内只能含有 2n
(n=0,1,2,3…… )个相邻项。要特别注意对边相邻性和 四角相邻性。
(2)圈的个数尽量少。
(3)卡诺图中所有取值为 1的方格均要被圈过,即不能 漏下取值为 1的最小项。
(4)在新画的包围圈中至少要含有 1个未被圈过的为 1的方格,否则该包围圈是多余的。
3.用卡诺图化简逻辑函数的步骤:
(1)画出逻辑函数的卡诺图。
(2)合并相邻的最小项,即根据前述原则画圈。
(3)写出化简后的表达式。每一个圈写一个最简与项,规 则是,取值为 l 的变量用原变量表示,取值为 0的变量用反变 量表示,将这些变量相与。然后将所有与项进行逻辑加,即 得最简与 — 或表达式
例 用卡诺图化简逻辑函数:
L (A,B,C,D ) =∑ m (0,2,3,4,6,7,10,11,13,14,15) 解:(1)由表达式画出卡诺图。
(2)画包围圈,合并最小项, 得简化的与 —
或表达式:
例 4.8 某逻辑函数的真值表如表 3所示,用卡诺图化简该
逻辑函数。
解:(1)由真值表画出卡诺图。
(2)画包围圈合并最小项。 有两种画圈的方法:
(a):写出表达式: (b
):写出表达式:
4.卡诺图化简逻辑函数的另一种方 法 —— 圈 0法
例4.9 已知逻辑函数的卡诺图如图所
示,分别用 “ 圈1法 ” 和 “ 圈0法 ” 写出其最简
与 — 或式。
解:(1)用圈1法画包围圈,得:
(2)用圈0法画包围圈,得:
5. 具有无关项的逻辑函数的化简 1.无关项 —— 在有些逻辑函数中,输入变量的某些 取值组合不会出现,或者一旦出现,逻辑值可以是 任意的。这样的取值组合所对应的最小项称为无关 项、任意项或约束项。
带有无关项的逻辑函数的最小项表达式为:
L=∑ m () +∑ d ()
化简具有无关项的逻辑函数时,要充分利用 无关项可以当 0也可以当 1的特点,尽量扩大 卡诺圈,使逻辑函数更简。
例 10
:不考虑无关项时,表达式为:
考虑无关项时,表达式为:
注意 :
在考虑无关项时,哪些无关项当作 1,哪些无关项 当作 0,要以尽量扩大卡诺圈、减少圈的个数,使 逻辑函数更简为原则。
? 2.可用两种方法化简逻辑函数,公式法 和卡诺图法。
公式法是用逻辑代数的基本公式与规 则进行化简,必须熟记基本公式和规则 并具有一定的运算技巧和经验。
卡诺图法是基于合并相邻最小项的 原理进行化简的,特点是简单、直观, 不易出错,有一定的步骤和方法可循。
范文二：第二章 逻辑代数基础(卡诺图应用及无关项)
2.7.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项例2.6.1 用卡诺图简化下列逻辑函数，
并写成最简与或式和或与式 Y A B C D ? 01691415 ? d 247810111213解:Y
的卡诺图如表2.6.1所示 表2.6.1 Y的卡诺图 CD 则最简与或式为 AB 00 01 11 10 00 1 1 × Y D′ A B′C ′ 01 × × 1 11 × × 1 1 × 1 × ×2.7.1 约束项、任意项和逻辑函数式
中的无关项还有另一种圈法，如图2.6.2所示此种圈法圈数少，变量少， 表2.6.2 Y的卡诺图比上一种简单 CD简化后的逻辑函数为 AB 00 01 11 10 00 1 1 0 × Y B′C ′ BC 01 × 0 × 1 11 × × 1 1 10 × 1 × ×2.7.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无
关项 写成或与式为 Y B′ C B C ′ 表2.6.3 Y的卡诺图 CD AB 00 01 11 10 00 1 1 0 × 01 × 0 × 1 11 × × 1 1 10 × 1 0 ×2.7.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项
例1.4.13 试简化下列逻辑函数，写最简成与或式和或与式 Y A B C D A′BC ′ A′BCD′ AB′CD′ AB′CD 约束条件:A ? B,0解:约束条件为 CD 表2.6.4 Y的
卡诺图 A′B′ AB 0 AB 00 01 11 10 00 × × × ×(即AB取值不能相同) 01 1 1 1 则
Y的卡诺图如表2.6.4所示 最简与或式为 11 × × × × Y AC A′C ′ CD′ 10 1 12.7.1
“0” 表2.6.4 Y的卡诺图 则最简或与式约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项 圈
为 CD AB 00 01 11 10Y A′ C A C ′ D′ 00 × × × × 01 1 1 0 1 11 × × × × 10 0
0 1 12.7.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项练习:将下列函数简化成最简与
或式和或与式Y A B C D ? m015781014 ? d 391115Y A B C D ?
m0271315 ? d 13456810 Y A′B′CD′ ACD′ ABC ′D 约束条件:C、D不可能相
同 2.7 卡诺图的其它应用卡诺图除了简化逻辑函数，还可以有下面的一些应用2.7.1.判明函数关系和进行函数的运算1 判明函数关系 利用卡诺图可以判明函数是否相
等、互补。若两个函数的卡诺图相同，则这两个函数一定相等。即若函数Y和G的卡
诺图相同，则Y,G。若两个函数的卡诺图中“0”和“1”对调，则这两个函数为互补。
2.7.1.判明函数关系和进行函数的运算例如 Y AB A′C BC G AB A′C 表
2.7.1 Y和G的卡诺图它们的卡诺图如表 BC2.7.1所示，则Y,G A 00 01 11 10 0 1 1 1 1 12.7.1.判明函数关系和进行函数的运算再例如 Y A′B C 表2.7.2 Y的卡诺图
BC A 00 01 11 10 G AC ′ B′C ′ 0 1 1 1它们的卡诺图如表2.7.2 1 1 1和2.7.3所示则
Y G′ BC 表2.7.3 G的卡诺图 A 00 01 11 10 0 1 1 1 12.7.1.判明函数关系和进行函数
的运算 2.函数运算若已知函数Y1和Y2，则可利用卡诺图做逻辑运算。例2.7.1若Y1
,A′B，AC ′ ，Y2,A，BC 试利用卡诺图求Y1，Y2 、Y1，Y2及Y1?Y2解: Y1
和Y2的卡诺图如表2.7.4及2.7.5所示 表2.7.4 Y1的卡诺图 表2.7.5 Y2的卡诺图 BC
BC A 00 01 11 10 A 00 01 11 10 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12.7.1.判明函数关系和进行函
数的运算则两个函数的与为 表2.7.4 Y1的卡诺图 表2.7.5 Y2的卡诺图 BC BC A 00 01 11 10 A 0 00 01 11 1 10 1 . 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 表2.7.6 Y的卡诺图 A BC 00 01 11 10 Y Y1 Y2 0 1 AC ′ A′BC 1 1 12.7.1.判明函数关系和进行函数的运算 则两个函
数的或为 表2.7.4 Y1的卡诺图 表2.7.5 Y2的卡诺图 BC BC A 00 01 11 10 A 00 01 11 10 0 1 1 ， 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 BC 表2.7.7 Y的卡诺图 A 00 01 11 10 Y Y1 Y2 A B 0 1 1 1 1 1 1 12.7.1.判明函数关系和进行函数的运算则两个函数的同或为 表
2.7.4 Y1的卡诺图 表2.7.5 Y2的卡诺图 BC BC A 00 01 11 10 A 00 01 11 10 0 1 1 ?
0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 BC 表2.7.8 Y的卡诺图 A 00 01 11 10 Y Y1 ?Y2 0 1 1 1 AC ′ B′C ′ A′C 1 1 12.7.2 逻辑函数表达式类型的转换 逻辑函数表达式的形式有
很多种，如与或式、或与式、与非式、与或非式等，不同的表达形式可由不同的门
电路来实现。一般的逻辑函数为与或式(乘积和)，这样需要转换成其它的形式，
利用卡诺图可以很方便的实现转换。1. 与或式转换成或与式 已知逻辑函数的与或
式，先画出逻辑函数的卡诺图，再圈“0”，便可得到最简的或与式。2.7.2 逻辑函数
表达式类型的转换例2.7.2将下面逻辑函数化成最简或与式 Y AB′ BC ′ A′C 解:其卡诺图如表2.7.8 表2.7.8 Y的卡诺图 所示 BC 则 A 00 01 11 10 0 0 1 1 1 Y AB′ BC ′ A′C A B C A′ B′ C ′ 1 1 1 0 12.将与或式转换成与或非式已
知逻辑函数式，先画出其卡诺图，然后圈“0”写出逻辑函数的补函数的与或式，再取
反即可得到与或非式2.7.2 逻辑函数表达式类型的转换例2.7.3 将下面逻辑函数简化
成最简与或非式 Y ABD AB′CD′ AC ′ CD 表2.7.9 Y的卡诺图 AB 00 01 11 10解:其卡诺图如表2.7.9所示 00 0 0 0 0圈“0”可得Y′为 01 0 0 0 0 Y ′ A′ BCD′ B′CD 11 1 1 1 0取反即得与或非式，即 10 1 1 0 1Y A′ B′CD BCD′′2.7.2 逻辑函
数表达式类型的转换 3.将与或式转换成或非式 已知逻辑函数的与或式，先画出卡
诺图，圈“0”，得到最简或与式，进行两次取反，利用摩根定理即可得到或非式 例
1.5.4 将下面逻辑函数化成最简或非式 Y A B C ′ A′ B′ C B′C ′D BCD 解: Y A B C ′ A′ B′ C B′C ′D BCD AB AC ′ A′B′ A′C B′C ′D
BCD 2.7.2 逻辑函数表达式类型的转换 Y A B C ′ A′ B′ C B′C ′D BCD AB AC ′ A′B′ A′C B′C ′D BCD 其卡诺图如图2.7.10所示，则 表2.7.10 Y的卡
诺图Y A B′ C A′ B C ′ CD AB 00 01 11 10Y A B′ C A′ B C ′′′
00 1 1 1 1 A B′ C ′ A′ B C ′′′ 01 0 0 1 1 11 1 1 1 1 10 1 1 0 02.7.2 逻辑函数
表达式类型的转换例1.5.5 将下面的逻辑函数简化成与非式、与或非式和或非式 Y
A B C D ? m0125891115解:卡诺图如表2.7.11所示， 表2.7.11 Y的卡诺图 CD
则最简与或式为 AB 00 01 11 10 Y B′C ′ ACD A′C ′D A′B′D′ 00 1 1 1 两次取
反可得与非式为: 01 1 Y B′C ′ ACD A′C ′D A′B′D′′′ 1 11 B′C ′′ ACD′
A′C ′D′ A′B′D′′′ 10 1 1 12.7.2 逻辑函数表达式类型的转换表2.7.11圈“0”，可得Y的
反函数的与或式为 表2.7.11 Y的卡诺图 表2.7.11 Y的卡诺图 CD CD AB 00 01 11 10 AB 00 01 11 10 00 1 1 1 00 1 1 0 1 01 1 01 0 1 0 0 11 1 11 0 0 1 0 10 1 1 1 10 1 1 1 0
Y ′ ABC ′ A′CD ACD′ A′BD′ Y ABC ′ A′CD ACD′ A′BD′′
范文三：数学电子技术第二章逻辑代数基础（可编辑）
数学电子技术第二章逻辑代数基础
第2章 逻辑代数基础 第 第2 2章 章 逻辑代数基础 逻辑代数基础 第2章 逻辑代数基础
2.12.1概述 概述
2.2逻辑代数中的常用运算
2.2逻辑代数中的常用运算
2.32.3逻辑代数中的基本定律和常用公式 逻辑代数中的基本定律和常用
公式
2.4逻辑函数及其表示方法
2.4逻辑函数及其表示方法
2.5逻辑函数的公式化简法
2.5逻辑函数的公式化简法
2.6逻辑函数的卡诺图化简法
2.6逻辑函数的卡诺图化简法
退出 退出2.1概述
2.1概述
逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数,是分 析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数,只有0 0和1 1 两种逻辑值,有与、或、非三种基本逻辑运算,还有与或、
与、或、非 与或、
与非、与或非、异或几种导出逻辑运算。
与非、与或非、异或
逻辑是指事物的因果关系,或者说条件和结果的关系, 这些因果关系可以用逻辑运算来表示,也就是用逻辑代数 来描述。
事物往往存在两种对立的状态,在逻辑代数中可以抽 象地表示为 0 和 1 ,称为逻辑0状态和逻辑1状态。
逻辑代数中的变量称为逻辑变量,用大写字母表示。 逻辑变量的取值只有两种,即逻辑0和逻辑1,0 和 1 称为 逻辑常量,并不表示数量的大小,而是表示两种对立的逻 辑状态。2.2 基本逻辑运算
2.2.1 基本逻辑运算
1.与运算
与逻辑举例:
设1表示开关闭合
功能表
或灯亮;
0表示开关不闭合
或灯不亮,
则得到真值表C,
也称作逻辑状态表
若用逻辑表达式
来描述,则可写为
YAB
与运算? ?只有当决定一件事情的条件全部具备之后, 这件事情才会发生。我们把这种因果关系称为与逻辑。2.或运算??当决定一
件事情的几个条件中,只要有一个或一个
以上条件具备,这件事情就发生。我们把这种因果关系称为或 逻辑。
或逻辑举例:
若用逻辑表达式来描述,
则可写为: Y=A+B 3.非运算??某事情发生与否,仅取决于一个条件,
而且是对该条件的否定。即条件具备时事情不发生; 条件不具备时事情才发生。
非逻辑举例:
若用逻辑表达式来描述,
则可写为:1
逻辑符号
A
Y
AY二、其他常用逻辑运算
1.与非 ? ?由与运算和非运算组合而成。
YAB
A B Y A
00 1 &
Y
01 1 B
10 1 11 0 与非门的逻辑符号真值表
LA+B 2.或非 ??由或运算和非运算组合而成。
YAB
A B Y A
00 1 ?1 Y
01 0 B
10 0 11 0 或非门的逻辑符号真值表
LA+B 3.与或非逻辑关系 与或非逻辑关系是与关系、或关系和非关系的 合成,如图所示。
与或非逻辑关系 4.异或
4.异或 异或是一种二变量逻辑运算,当两个变量取值相同时,逻辑函数 值为0;当两个变量取值不同时,逻辑函数值为1。 异或的逻辑表达式为: YA BA BAB
A B Y
A
00 0
1
Y
01 1
B
10 1
异或门的逻辑符号
11 0
LA+B真值表5.同或
5.同或
同或是一种二变量逻辑运算,当两个变量取值相同时,逻辑函数值为1; 当两个变量取值不同时,逻辑函数值为0。
Y A? B
同或的逻辑表达式为:
YA BA BAB
AB
Y
0
0
1
0 1 0
1 0
0
1 1
1
a2.3 逻辑代数的基本定律及常用公式
2.3.1逻辑代数的基本定律 1.常量间的运算 10?001?001?11 20+00 1+01
1+11 3 0 1 0
1 4若A ?0,则A1;若A ?1,则A0 2.基本定律1交换律:A?BB?AA+BB+A 2
结合律:ABCABCABC A+B+CA+B+CA+B+C 3分配律:AB+CAB+AC A+BCA+BA+C 40、
1律:0?A0 1?AA 1+A1 0+AA 5互补律:A? 0A + 1 A
A
6 重叠律:A?AAA+AA
7 还原律: A
A
8 反演律摩根定律:
A ?BA ?B
A ?B ?A ?B证明分配率:A+BCA+BA+C
证明:
分配率
A+BA+CAA+AB+AC+BC AB+CAB+AC
A+AB+AC+BC
等幂率AAA
分配率
A1+B+C+BC
AB+CAB+AC
A+BC
0-1率A+112.3.2常用公式ABABA
还原律: AB AB A? AABA AABAB
吸收率:?
AABAAABAB?
分配率
AAB ?AAA ?B 证明:
A+BCA+BA+C
互补率A+A11 AB
0-1率A?11ABABACBCABAC
冗余律:
ABACBC
证明:
互补率A+A1ABACAABCABACABCABC 分配率
AB+CAB+ACAB1CAC1B
0-1率A+11ABAC2.3.3逻辑代数的基本规则
2.3.3逻辑代数的基本规则
*逻辑表达式:由逻辑变量和与、或、非3种运算符连接起 来所构成的式子。在逻辑表达式中,等式右边的字母A、B、 C、D等称为输入逻辑变量,等式左边的字母Y称为输出逻辑 变量,字母上面没有非运算符的叫做原变量,有非运算符的 叫做反变量。
*逻辑函数:如果对应于输入逻辑变量A、B、C、?的每 一组确定值,输出逻辑变量Y就有唯一确定的值,则称Y是 A、B、C、?的逻辑函数。记为
Yf A, B,C, ?
注意:与普通代数不同的是,在逻辑代数中,不管是变量 注意
还是函数,其取值都只能是0或1,并且这里的0和1只表示两种
不同的状态,没有数量的含义。*逻辑函数相等的概念:设有两个逻辑函数 Yf A, B,C, ? Yg A, B,C, ? 1 2
它们的变量都是A、B、C、?,如果对应于变量A、B、 C、?的任何一组变量取值,Y 和Y 的值都相同,则称Y 和Y 1 2 1 2
是相等的,记为Y Y 。
1 2
若两个逻辑函数相等,则它们的真值表一定相同;反之, 若两个函数的真值表完全相同,则这两个函数一定相等。因此, 要证明两个逻辑函数是否相等,只要分别列出它们的真值表, 看看它们的真值表是否相同即可。
证明等式:
ABAB
A B AB AB A B A+B
00 0 1 11 1
01 0 1 10 1
10 0 1 01 1
11 1 0 00 02.3.3逻辑代数的基本规则
(1)代入规则:任何一个含有变量A的等式,如果将所有出 现A的位置都用同一个逻辑函数代替,则等式仍然成立。这个规 则称为代入规则。
例如,已知等式 ,用函数YAC代替等式中
ABAB
的A,根据代入规则,等式仍然成立,即有:
ACBACBABC
(2)反演规则:对于任何一个逻辑表达式Y,如果将表达式 中的所有“?”换成“+”,“+”换成“?”,“0”换成“1”,“1”换成“0”, 原变量换成反变量,反变量换成原变量,那么所得到的表达式就 原变量换成反变量,反变量换成原变量
是函数Y的反函数Y(或称补函数)。这个规则称为反演规则。 例如:
YABCDE
YA BC D E
YABCDE
YABCDE (3)对偶规则:对于任何一个逻辑表达式Y,如果将表达式中 的所有“?”换成“+”,“+”换成“?”,“0”换成“1”,“1”换成“0”,
而
变 变量 量保 保持 持不 不变 变,则可得到的一个新的函数表达式Y',Y'
称为
函Y的对偶函数。这个规则称为对偶规则。例如:Y AB CDE YA BC D EYABCDE
YAB ?CDE
对偶规则的意义在于:如果两个函数相等,则它们的对偶函
数也相等。利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少
一半。例如:
ABABA
ABABA
ABCABAC ABCABAC
注意 注意:在运用反演规则和对偶规则时,必须按照逻辑运算的
优先顺序进行:先算括号,接着与运算,然后或运算,最后非运
算,否则容易出错。2.4 逻辑函数的建立及其表示方法
一、逻辑函数的建立
例1.6.1 三个人表决一件事情,结果按“少数服从多数”的原则决
定,试建立该逻辑函数。
解 第一步:设置自变量和因变量。 第二步:状态赋值。 对于自变量A、B、C设: 同意为逻辑“1”, 不同意为逻辑“0”。 对于因变量Y设: 事情通过为逻辑“1”, 没通过为逻辑“0”。
第三步:根据题义及上述规定 列出函数的真值表如表。 一般地说,若输入逻辑变量A、B、C?的取
值确定以后,输出逻辑变量Y的值也唯一地确
定了,就称L是A、B、C的逻辑函数,写作:
Y f(A,B,C?) 逻 辑 函 数 与 普 通 代 数 中 的 函 数 相 比 较 , 有 两
个突出的特点:
( 1 )逻辑变量和逻辑函数只能取两个值0 和1 。
( 2 ) 函 数 和 变 量 之 间 的 关 系 是 由 “ 与 ” 、 “ 或 ” 、
“ 非” 三种基本运算决定的。二、逻辑函数的表示方法
二、逻辑函数的表示方法
1、真值表
真值表:是由变量的所有可 ABC Y
能取值组合及其对应的函数值所构 000 0
成的表格。
001 0
真值表列写方法:每一个变量均 010 0
i
有0、1两种取值,n个变量共有2种不 i
同的取值,将这2种不同的取值按顺 011 1
序(一般按二进制递增规律)排列起 100 0
来,同时在相应位置上填入函数的值, 101 0
便可得到逻辑函数的真值表。
110 1
例如:当AB1、或则BC1时, 111 1
函数Y1;否则Y0。2、逻辑表达式 3、卡诺图
逻辑表达式:是由逻 卡诺图:是由表示变量的所有可
辑变量和与、或、非3种
能取值组合的小方格所构成的图形。 运算符连接起来所构成的
逻辑函数卡诺图的填写方法: 式子。
在那些使函数值为1的变量取值组
函数的标准与或表达
合所对应的小方格内填入1,其余 式的列写方法:将函数的
的方格内填入0,便得到该函数的 真值表中那些使函数值为
卡诺图。
1的最小项相加,便得到
函数的标准与或表达式。AB 00 01 11 10
C
YABCABCABC 0 0 0 1 0m3,6,71 0 1 1 04、逻辑图 5、波形图
波形图:是由输入变量的
逻辑图:是由表
所有可能取值组合的高、低电 示逻辑运算的逻辑符
平及其对应的输出函数值的高、 号所构成的图形。
低电平所构成的图形。 Y=AB+BC
Y=AB+BC
0 0 0
AB
A 0 0 11
1 1
&
A
B
0 1 0
0 1 01 0 1
?1
B
0 0 0 1 1 10 0 1
Y
Y
B
&
C
0 0 0 0 1 01 0 1
C
BC
Y三、 逻辑函数表示方法之间的转换
1、由真值表到逻辑图的转换 Y ?ABCABCAB CABC
真值表
ABC Y
000 0
1 m2,5,6,7 1
001 0
或
010 1
逻辑表
011 0
AB
达式或
100 0
00 01 11 10 C
卡诺图
0 0 1 0 1 101 1
化
1 0 0 1 1 简
110 1
2111 1
2最简与或
YABCABAC 表达式YABCABAC
最简与或
A
3表达式 & ABC B
C
AB
A Y
3& ?1
B
A AC
&
画逻辑图
C
YABCABAC 若用与非门实
A
ABC
&
B
现,将最简与 C
或表达式变换 AB
A Y
& &
乘最简与非- B
AC
A
与非表达式 &
C2、由逻辑图到真值表的转换
A
Y
1
逻辑图
?1
B
逐从 C
Y
级输 Y
2
A Y
&
?1 写入 B
1出到
Y
3
A
输
?1 C
出
1YA ?B ?C
1
Y ?Y ?Y ?Y 逻辑表
1 2 3
YA ?B
2
达式
?AB ?CABA ?C 化
简 YA ?C
3
2 2最简与或
Y ?A ?B ?CA ?BA ?C ?A ?B ?CA ?BC
表达式ABCABACYABCABAC
3最简与或
表达式
ABC Y
000 0
3001 1
010 0
011 0
100 1
真值表
101 0
110 1
111 1四、逻辑函数的两种标准形式
一、逻辑函数的最小项及其性质
1、最小项:如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量,其 中每个变量都以原变量或反变量的形式出现,且仅出现一次,则这个乘积 项称为该函数的一个标准积项,通常称为最小项。
3个变量A、B、C可组成8个最小项:
ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABC
2、最小项的表示方法:通常用符号m来表示最小项。下标i的确定:把 i
最小项中的原变量记为1,反变量记为0,当变量顺序确定后,可以按顺序排 列成一个二进制数,则与这个二进制数相对应的十进制数,就是这个最小项 的下标i。
3个变量A、B、C的8个最小项可以分别表示为:
mABC、mABC、mABC、mABC
0 1 2 3
mABC、mABC、mABC、mABC
4 5 6 7 3、最小项的性质:
3变量全部最小项的真值表
ABC
ABC
ABC m m m m m m m m 0 1 2 3 4 5 6 7
000 1 0 0 0 0 0 0 0 001 0 1 0 0 0 0 0 0 010 0 0 1 0 0 0 0 0 011 0 0 0 1 0 0 0 0 100 0 0 0 0 1 0 0 0 101 0 0 0 0 0 1 0 0 110 0 0 0 0 0 0 1 0 111 0 0 0 0 0 0 0 1 ?任意一个最小项,只有一组变量取值使其值为1。 ?任意两个不同的最小项的乘积必为0。 ?全部最小项的和必为1。 二、逻辑函数的最小项表达式 任何一个逻辑
函数表达式都可以转换为一组最小项和称为最小项表 达式,又称标准与或表达式。
Y A, B,CABAC
例:将以下逻辑函数转换成最小项表达式: 例:将以下逻辑函数转换成最小项表达式: 解: Y A, B,CABACABCCACBB m +m +m +mABCABCABCABC 7 6 3 1
[例]将下列逻辑函数转换成最小项表达式:
YACCDAB 解:
(1)利用摩根定律将逻辑函数式变换为与-或表达式
YACCDABACCDABACCDABACCDABABCACDBCD (2)利用A+?1的形式作配项,将上式变成标准与-或表达式
YABCDDACDBBBCDAAABCDABCDABCDABCDABCDABCD
(3)利用A+AA的形式合并相同的最小项。
YABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCBABCDm4,5,8,12
?25逻辑函数的公式化简法
25逻辑函数的公式化简法
1.逻辑函数式的常见形式
一个逻辑函数的表达式不是唯一的,可以有多种形式,并且能互转换。 例 例如 如: :
其中,与?或表达式是逻辑函数的最基本表达形式。2.逻辑函数的最简“与 ?
或表达式 ” 的标准 (1)与项最少,即表达式中 “+”号最少。 (2)每个与项中
的变量数最少,即表达式中 “ ? ”号最少。2.5.2 逻辑函数的公式化简法
逻辑函数的公式化简法就是运用逻辑代数的基本公式、定 理和规则来化简逻辑函数。
1、并项法
利用公式A+A=1,将两项合并为一项,并消去一个变量。
变并相和包
运用分配律
量成同反含
的一时变同若
YABCABCBC ?AABCBC 1
因项 量一两
子 则 个个BCBCBC ?CB 并这而因乘
运用分配律 消两其子积
去项他的项
YABCABACABCABC 互可因原中
2
为以子变分ABCABCABCBCA 反合都量别
运用摩根定律2、吸收法
(1)利用公式A+AB=A,消去多余的项。 是另项是
多外的另
YABABCDEFAB
1
余一因外如
运用摩根定律
的个子一果
乘 个乘
积则乘积
YABCDADBABCDADB
2
项这积项AADBBCDAB (2)利用公式A+AB=A+B,消去多余的变量。
因项的
子的反
如
YABCACDBCD 是因是
YABACBC
果
多子另ABCC ABD 一
余 一ABABC
个ABCABD
的则个
乘
这乘ABABC
积ABCABD
个积
项ABCABCD3、配项法
(1)利用公式A=A(B+B),为某一项配上其所缺的变
量,以便用其它方法进行化简。
YABBCBCABABBCAABCABCCABBCABCABCABCABCAB1CBC1AACBBABBCAC
(2)利用公式A+A=A,为某项配上其所能合并的项。
YABCABCABCABCABCABC ABCABCABCABCABACBC4、消去冗余项法 利用冗余律AB+AC+BC=AB+AC,
将冗余项BC消去。
YABACADECD
1ABACCDADEABACCD
YABBCACDEFG
2ABBC例:化简函数
Y ?B ?DB ?D ?A ?GC ?EC ?GA ?E ?G 解:?先求出Y的对偶函数Y',并对其进行化简。 YB DB DAGCEC GAEGB DCEC
G
?求Y'的对偶函数,便得Y的最简或与表达式。
YBDCECG在化简逻辑函数时,要灵活运用上述方法,才能将逻辑数 在化简逻
辑函数时,要灵活运用上述方法,才能将逻辑数
化为最简。
化为最简。
再举几个例子:
再举几个例子:
例 化简逻辑函数:
YADADABACBDABEFBEF YAABACBDABEFBEF 解:
AA1
(利用 )
(利用A+ABA)AACBDBEF AABAB
(利用)ACBDBEF
范文四：第二章逻辑代数和逻辑函数化简
§1 基本逻辑运算和复合逻辑运算
?在数字逻辑电路中，用1位二进制数码的0和1表示一个事物的两种不同逻辑状态。?所谓“逻辑”，在这里是指事物间的因果关系。当0和1表示不同的逻辑状态时，它们之间可以按照指定的某种因果关系进行推理运算，这种运算称为逻辑运算。?可以用多变量的不同状态组合表示事物的多种逻辑状态，处理复杂的逻辑问题。
§2 逻辑代数的基本定律及规则
一、逻辑代数的基本定律
交换律、结合律、分配律
0-1律、互补律、重叠律、还原律、摩根定理、吸收律、冗余律二、逻辑代数的基本规则
1、代入规则2、对偶规则3、反演规则
二、逻辑代数的基本规则
1、代入规则
将逻辑等式中的某一变量代以另一函数，等式仍然成立。
例题A (B +E ) =AB +AE
E =C +D
A (B +E ) =A [B +(C +D )]=AB +AC +AD AB +AE =AB +A (C +D ) =AB +AC +AD
一、逻辑表达式
2、逻辑函数的标准形式
（2）最小项的性质
☆ 每个最小项有且仅有一组使其值为1的对应变量取值；☆ 任意两个最小项之积0；
☆ 全部最小项之和为1；
☆ 任意两个相邻项均可合并为一项并消去一个互补因子。
一、逻辑表达式
2、逻辑函数的标准形式（5）最大项的性质
☆ 每个最大项有且仅有一组使其值为0的对应变量取值；☆ 任意两个最大项之和为1；☆ 全部最大项之积为0；（6）最大项的编号
找出使最大项值为0的对应变量取值组合，与这个二进制组合对应的十进制数即为该最大项的编号。
二、逻辑真值表
将逻辑变量的所有取值组合与函数值一一对应地画在一张表格上。优点：
☆ 简单方便，直观明了；
☆ 便于将实际问题抽象为逻辑问题。缺点：
☆ 难以应用公示和定理进行运算和变换；☆ 当变量个数较多时真值表会相当繁琐。
§4 逻辑函数的化简方法
☆ 关于逻辑函数化简的几个问题☆ 逻辑函数的代数化简法☆ 逻辑函数的卡诺图化简法☆ 具有约束项的逻辑函数的化简
一、关于逻辑函数化简的几个问题1、化简的意义
一般而言，表达式越简单，实现的电路也越简单，成本也相对较低，同时电路的可靠性也较好。2、化简的标准
☆ 逻辑电路所用门的个数最少；☆ 各个门的输入端数目要少；☆ 逻辑电路所用级数要少；☆ 逻辑电路要能可靠地工作。
1、约束项的概念
实例1 一家三口A 、B 、C 去水上公园玩碰碰船，其中A 、B 为父母，C 为小孩，规定碰碰船限乘2人，且儿童不能单独一人乘驾。
实例2 大小两台水泵M L 、M S 给一个水箱供水，水箱中3个水位检测元件由低到高依次为A 、B 、C ，水面低于检测元件时给出高电平，水面高于检测元件时给出低电平。要求：水位高于C 时水泵不工作；水位低于A 时两水泵同时工作；水位低于B 而高于A 时大水泵单独工作；水位低于C 而高于B 时小水泵单独工作。
1、约束项的概念
由有约束的变量所决定的逻辑函数称为具有约束的逻辑函数。
按一定规则不允许出现或客观实际中不可能出现的变量取值组合所对应的最小项称为约束项。 约束项对应的是不出现的变量取值，故其值总为0。由约束项加起来构成的值为0的逻辑表达式即为约束条件。
☆ 在真值表和卡诺图中用“×”表示。
☆ 在逻辑表达式中用等于0的条件等式表示，记作∑d (…) 。
范文五：第二章 逻辑代数的基本运算
第二章 逻辑代数的基本运算…………………………………………………………… 2.1 逻辑代数 2.1.1 与运算…………………………………………………………………… 2.1.2 或运算…………………………………………………………………… 2.1.3 非运算…………………………………………………………………… 2.1.4 几种常见的复合逻辑关系…………………………………………………
2.2 逻辑函数及其表示方法……………………………………………………… 2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式………………………………………………… 2.3.1 逻辑代数的基本定律和恒等式……………………………………………
2.3.2 逻辑代数的三个规则……………………………………………………… 2.3.3 逻辑函数的代数变换与化简法……………………………………………… 2.4 逻辑函数的卡诺图化简法…………………………………………………… 2.4.1 最小项的定义和性质……………………………………………………… 2.4.2 逻辑函数的卡诺图表达法………………………………………………… 2.4.3 利用卡诺图化简逻辑函数………………………………………………… 本章小结……………………………………………………………………………
第二章 逻辑代数的基本运算
本章要点：
基本逻辑关系与逻辑运算 逻辑代数基本定律与基本规则 逻辑函数的表示方法 逻辑函数的变换与化简
2.1 逻辑代数
逻辑代数又称布尔代数，其基本思想是19世纪英国数学家乔治. 布尔首先提出的。所谓逻辑就是事物因果之间所遵循的规律。为了避免用冗繁的文字来描述逻辑问题，逻辑代数采用逻辑变量和一套运算符组成逻辑函数表达式来描述食物的因果关系。它是用数学的方法来研究、证明、推理放逻辑问题的一种数学工具。逻辑代数虽然和普通代数一样也是用字母表示变量，但是两种代数中的变量含义是完全不同的，逻辑代数中的每个变量（逻辑变量）只有0和1两种取值。0和1不再表示数量的大小，而是表示对立的两种逻辑状态。例如，电灯的亮与灭、电动机的工作与停止。
在数字电路中，输入的信号是“条件”，输出的信号是“结果”，因此输入、输出信号之间存在一定的因果关系，这种因果关系称为逻辑关系。描述逻辑关系可以用语句、逻辑表达式、图形和表格等来描述，描述逻辑关系的表格又称为真值表。表示逻辑运算所用的规定的图形符号称为逻辑符号。逻辑代数中有三种基本运算：“与”运算、“或”运算和“非”运算。下面就分别讨论这三种基本逻辑运算。
2.1.1 与运算
首先，我们来看一个具体的电路试验，电路图如图2-1所示，电源E 通过A 、B 两个串联的开关给电灯Y 供电。
图2-1（a ）与逻辑的逻辑电路图 （b ）与逻辑的电路符号
表2-1 与逻辑关系表 表2-2 与逻辑真值表
从图2-1（a ）可以看出只有开关A 、B 同时闭合灯泡Y 才会亮，A 、B 中有一个或两个都断开灯泡Y 就不亮。其逻辑关系如表2-1所示，当开关的闭合用1表示、断开用0表示；灯泡的亮用1表示、不亮用0表示时，表2-1的逻辑关系就可以写成表2-2的形式，表2-2就是该逻辑的真值表。以上试验说明了这样的逻辑关系：“只有当一个事件的几个条件全部具备之后，这个事件才会发生”这种逻辑关系称为与逻辑。与逻辑的表达式可以下式来描述：
Y =A ?B 或 Y =AB (2-1)
式中的小圆点“·”表示A 、B 的与运算，又叫逻辑乘。在不致引起混淆的前提下，乘号“·”可以被省略，而写成：Y ＝ A B 。在有些文献里，用符号∧、?表示与运算，请读者在注意。在电路中与逻辑的逻辑符号如图2-1（b ）所示。
2.1.2 或运算
“当决定事件结果的几个条件中，只要有一个或一个以上的条件得到满足，结果就会发生”，这种逻辑关系称为或逻辑。图2-2（a ）就是或逻辑模型电路，图中A 、B 是两个并联开关，Y 是灯泡，E 是电源。当A 、B 均不通时，则灯泡Y 不亮；只要开关A 或B 有一个接通或两个均接通，则灯泡Y 亮。可以看出该电路满足或逻辑关系，其逻辑关系如表2-3所示。
图2-2(a)或逻辑的逻辑电路图 （b ）或逻辑的电路符号
表 2-3或逻辑关系表 表 2-4或逻辑真值表
仿照前面的方法，用0和1表示的或逻辑真值表如表1.7所示，用逻辑表达式描述可写为：
Y =A +B （2-2）
式中的符合“+”表示A 、B 的或运算，也称为逻辑加。在有些文献里，用符号∨、?表示或运算，请读者在注意。在电路中或逻辑的逻辑符号如图2-2（b ）所示。
2.1.3 非运算
另外一种基本的逻辑运算就是非运算，即“一件事情（灯泡）的发生是以其相反的条件为依据”。这种非逻辑的逻辑电路如图2-3（a ）所示。图中E 是电源，R 是限流电阻。开关A 闭合时，灯泡Y 不亮；开关A 断开时，灯泡Y 则亮。其逻辑关系如表2-5所示，同样也可写成真值表的形式，其真值表如表2-6所示，从真值表中可以看出，非逻辑的运算规律为：
输入0则输出1；输入1则输出0，即“输入、输出始终相反”。非运算的逻辑表达式可写为： Y = （2-3）
式中，字母A 上方的“－”表示非运算。在某些文献里，也有用“～”或“﹁”来表示非运算的。用非逻辑门电路实现非运算，其逻辑符号如图2-3（b ）或（c ）所示。
图2-3（a ）非逻辑的逻辑电路图 （b ）、（c ）非逻辑的电路符号
表 2-5 非逻辑关系表 表 2-6非逻辑真值表
2.1.4 几种常见的复合逻辑关系
与、或、非运算是逻辑代数中最基本的三种运算，任何复杂的逻辑关系都可以通过与、或、非组合而成。常见的几种复合逻辑关系的逻辑表达式、逻辑符号以及逻辑真值表分别介绍如下：
（1）、与非运算
逻辑表达式为： Y =AB (2-4) 逻辑符号为：
图2-4
真值表为： 表2-7与非逻辑真值表
从其真值表中可以看出，只有A 、B 全为1时，Y 才为0。与非逻辑正好和与逻辑相反。即“当一件事情的几个条件全部具备之后，这件事情才不发生”。 （2）、或非运算
逻辑表达式为： Y =A +B (2-5)
逻辑符号 真值表为：
表2-8或非逻辑真值表
图2-5
同样可以从真值表中可以看出，或非逻辑与或逻辑也正好相反的。它的逻辑关系读者可以自己整理一下。 （3）、异或运算
逻辑表达式： Y =A +B 或者 Y =A ⊕B (2-6)
逻辑符号为： 真值表为：
表2-9 异或逻辑真值表
图2-6
异或逻辑的特点是：输入相同时，输出为0；输入相异时，输出为1。
（4）、同或运算
逻辑表达式： Y =+AB 或者 Y ＝ A ⊙B (2-7) 逻辑符号为： 真值表为：
表2-10 同或逻辑真值表
图2-7
同或逻辑的特点是：输入相同时，输出为1；输入相异时，输出为0。 （5）、与或非运算
这是一个很典型的组合逻辑运算，从字面上也可以看出，它是由与运算、或运算和非运算三种逻辑运算的组合。图2-8是其逻辑符号，图2-9是其等效逻辑电路图。
图2-8 图2-9
逻辑表达式为： Y =AB +CD (2-8)
真值表为：
表2-11 与或非逻辑真值表
根据实际需要可以选用不同数量输入端的与或非逻辑电路。
2.2 逻辑函数及其表示方法
2.2.1 逻辑函数
一般地，函数是由自变量、因变量和对应法则构成，当自变量A 、B 、C 、?的取值确定以后，因变量Y 的值也就唯一确定了。Y 称为A 、B 、C 、?的函数。逻辑函数也是如此，但其变量取值只有0和1。逻辑函数的一般表达式可写为：
Y =F (A , B , C , ) (2-9)
与、或、非是三种基本的逻辑运算，即三种基本的逻辑函数。但在实际的逻辑问题中，往往是由三种基本逻辑运算组合起来，构成一种复杂的运算形式。
2.2.2 逻辑函数的表示方法
逻辑函数可以用逻辑真值表、逻辑表达式、逻辑图、波形图等方法来表示。其中，逻辑图是用逻辑符号连接构成的图形。下面说明它们之间的转换。
例 2. 1 已知函数的连接表达式 Y =B +C 。要求：列出相应的真值表；已知输入波形，画出输出波形；画出逻辑图。
解：（1）根据逻辑表达式，画出逻辑图如图2-10所示。
（2）将A ，B ，C 的所有组合代入逻辑表达式中进行计算，得到真值表如表2-12所示。 （3）根据真值表，画出的波形图如图2-11所示。
图2-10 图2-11 表 2-12
图2-12
例 2. 2 已知函数Y 的逻辑图如图2-12所示，写出函数Y 的逻辑表达式。 解： 根据逻辑图逐级写出输出端函数表达式如下：
Y 1=A C Y 2=A Y 3=C
最后得到函数Y 的表达式为：
Y =A +A +C
通过真值表也可以直接写出逻辑表达式。方法是将真值表中Y 为1的输入变量相与，取值为1的用原变量表示，为0的用反变量表示，将这些与项相加，就得到逻辑表达式。例如，异或逻辑关系，根据真值表可以直接写出 Y =B +A 。
2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式
逻辑代数有一系列的定律和规则，用它们对数学表达式进行处理，可以完成对电路的化简、变换、分析和设计。
2.3.1 逻辑代数的基本定律和恒等式
常用的逻辑代数定律和恒等式如下： 自等律 A +0=A A ?1=A 0-1律 A +1=1 A ?0=0 重叠律 A +A =A AA =A
互补律 A +A =1 A A =0 还原律 A =A
交换律 A +B =B +A AB =BA
结合律 (A +B )+C =A +(B +C ) (AB ) C =A (BC ) 分配律 A (B +C ) =AB +AC A +BC =(A +B )(A +C ) 反演律 A +B =A B AB =A +B 反演律公式或以推广到多个变量(摩尔根定律)
A +B +C =A B C ABC =A +B +C 吸收率 A +AB =A A (A +B )=A
A +B =A +B (A +B )(A +C )=A +BC 其他常用恒等式
AB +C +BC =AB +C AB +C +BCD =AB +C
这些基本定律可以直接利用真值表证明，如果等式两边的真值表相同，则等式成立。
例2. 3 证明反演率 A +B =A B AB =A +B 。
证明：列举A B的所有取值，并计算出A +B AB +。其真值表如下：
表2-13
从上面的真值表可以直接看出反演率A +B =A B AB =A +B 是成立的。 几个常用公式的证明如下： （1） A +AB =A
证明：A +AB =A (1+B ) =A ?1=A （2） AB +A B =A
证明：AB +A B =A (B +B ) =A ?1=A （3） A (A +B ) =A
证明： A (A +B ) =AA +AB =A +AB =A （4） A +A B =A +B
证明： A +A B =(A +A )(A +B ) =1?(A +B ) =A +B （5） AB +A C +BC =AB +A C 证明：
AB +A C +BC =AB +A C +(A +A ) BC =AB +A C +ABC +A BC =AB (1+C ) +A C (1+B ) =AB +A C
（6） A B +A B =AB +A B
证明：A B +A B =A B A B =(A +B )(A +B ) =A A +A B +AB +B B =AB +A B
2.3.2 逻辑代数的三个规则
（1）. 代入规则：在任何一个逻辑等式中，如果将某个变量用同一个函数式来代换，则等式仍然成立。
例2. 4 已知等式A +AB =A ，若令Y =C +D 代替等式中的A ，则新等式（C+D）+（C+D）
B=C+D成立。 证明：（C+D）+（C+D）B =（C+D）（1+B）=（C+D）·1 = C+D
（2）. 反演规则
对于任意一个逻辑函数Y ，如果要求其反函数Y 时，只要将Y 表达式中的所有“· ”换成“+”，“+”换成“· ”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，即可求出函数Y 的反函数。
注意：
① 要注意运算符号的优先顺序。不应改变原式的运算顺序。 例2. 5Y =A B +CD 应写为Y =(A +B )(C +D ) 证明： Y =A B +CD =A B CD =(A +B )(C +D )
② 不是一个变量上的非号应保持不变。
例如：Y =A B C +C (D E ) 则Y =(A +B +C ) C +(D +E )
]
Y =A B C +D 则Y =A +B +C D
（3）. 对偶规则
对于函数Y ，若把其表达式中的“· ”换成“+”，“+”换成“· ”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，就可得到一个新的逻辑函数Y ，Y 就是Y 的对偶式。
例如：Z =A (B +C ) 则Z '=A +B C
Z =A +B C Z '=A (B +C ) Z =A B +AC Z '=(A +B )(A +C )
Z =A +B +C Z '=A B C
若两个逻辑式相等，它们的对偶式也一定相等。这就是对偶规则
例如：A +BCD =(A +B )(A +C )(A +D ) 则：A (B +C +D ) =AB +AC +AD 使用对偶规则时，同样要注意运算符号的先后顺序和不是一个变量上的“非”号应保持不变。
利用对偶规则，可以从已知的公式中得到更多的运算公式，例如，吸收律A +B =A +B 成立，则它的对偶式A +B =AB 也是成立的。
()
2.3.3 逻辑函数的代数变换与化简法
（1）. 化简的意义
逻辑函数的简化意味着实现这个逻辑函数的电路元件少，从而降低成本，提高电路的可靠性。例如：
Y =A B C +A B C +A BC +A B C
=A B (C +C ) +B C (A +A )
=A B +B C
逻辑涵数表达式的表达形式大致可分为五种：“与或”式、“与非-与非”式、“与或非”式、“或与”式、“或非-或非”式。它样可以相互转换。例如：
Y =A B +A C =A B +A C =A B A C =(A +B )(A +C ) =A C +AB =A C AB =(A +C )(A +B ) =(A +C )(A +B ) =A +C +A +B
逻辑函数的化简，通常指的是化简为最简与或表达式。因为任何一个逻辑函数表达式都比较容易展开成与或表达式，一旦求得最简与或式，又比较容易变换为其它形式的表达式。
所谓最简与或式，是指式中含有的乘积项最少，并且每一个乘积项包含的变量也是最少的。 （2）. 逻辑函数的化简法
代数化简法就是运用逻辑代数的基本定律、规则和常用公式化简逻辑函数。代数化简法经常用下列几种方法： ① 合并项法
利用公式A +A =1，将两项合并为一项，消去一个变量。 例如：Y =ABC +A BC +BC =BC (A +A ) +BC =BC +BC =1 Y =ABC +A B +AB C =B (AC +A +A C ) =B ② 吸收法
利用公式A +AB =A 及AB +C +BC =AB +C ，消去多余乘积项。 例如：Y =A B +A B CD (E +F ) =A B
Y =A B D +A B C +CD =A B D +A B C
③ 消去法
利用公式A +B =A +B 消去多余因子。
例如：Y =A +AB +B E =A +B +B E =A +B +E
Y =AB +A C +B C =AB +(A +B ) C =AB +AB C =AB +C
Y =A B +A B +ABCD +A B CD =A B +A B +(AB +A B ) CD =A B +A B +A B +A B CD =A B +A B +CD
④ 配项法
利用公式A +A =1，给某个乘积项配项，以达到进一步简化。例如：
Y =A B +B C +BC +AB =A B (C +C ) +B C +BC (A +A ) +AB =A B C +A B C +B C +ABC +A BC +AB =AB +B C +A C (B +B ) =AB +B C +A C
又如：
Y =AD +A D +AB +A C +BD +A B EF +B EF =A +AB +A C +BD +A B EF +B EF =A +BD +B EF
使用配项的方法要有一定的经验，否则越配越繁。通常对逻辑表达式进行化简，要综合使用上述技巧。例如：
Y =AC +A BC +B C +AB C =AC A BC B C +AB C =(A +C )(A +B +C )(B +C ) +AB C
=A (A +B +C )(B +C ) +C (A +B +C )(B +C ) +AB C =A (B +C )(B +C ) +C (A +B +1)(B +1) +AB C =A (B C +B C +C ) +C +AB C =A C +C +AB C =C +AB C =C
在数字电路中，大量使用与非门，所以如何把一个化简了的与或表达式转换与与非-与非式，并用与非门去实现它，是十分重要的。一般，用两次求反法可以将一个化简了的与或式转换成与非-与非式。
例：Y =AB +BC +C D =AB +BC +C D =AB BC C D
2.4 逻辑函数的卡诺图化简法
由前面的内容我们可以看出，利用代数法可使逻辑函数变成较简单的形式。但使用这种方法要求熟练掌握逻辑代数的基本定律，而且需要一些技巧，特别是经代数化简后得到的逻辑表达式是否是最简式较难把握，这就给使用代数法带来一定的困难。本节介绍的卡诺图法可以比较简便地得到最简的逻辑表达式。
2.4.1 最小项的定义和性质
（1）. 最小项的定义
对于N 个变量，如果P 是一个含有N 个因子的乘积项，而在P 中每一个变量都以原变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次，那么就称P 是N 个变量的一个最小项。例如：
ABC 、A C 是三个变量A 、B 、C 的最小项，而、A 、A (B +C )则不是。
因为每个变量都有以原变量和反变量两种可能的形式出现，所以N 个变量有2 个最小项。
（2）. 最小项的性质
性质1：每个最小项仅有一组变量的取值会使它的值为“1”，而其他变量取值都使它的值为“0”。
性质2：任意两个不同的最小项的乘积恒为“0”。 性质3：全部最小项之和恒为“1”。
为了分析最小项的性质，下面列出3个变量的所有最小项的真值表，如表2-14所示。
表2-14 3变量最小项真值表
N
由函数的真值可以很容易地写出函数的标准与或式，此外，利用逻辑代数的定律、公式，可以将任何逻辑函数式展开或变换成标准与或式。 例：
Y =AB +BC +AC =AB (C +C ) +BC (A +A ) +AC (B +B ) =ABC +AB C +A BC +A B C
（3）. 最小项编号及表达式
为便于表示，要对最小项进行编号。编号的方法是：把与最小项对应的那一组变量取值组合当成二进制数，与其对应的十进制数，就是该最小项的编号。代表符合如表2-15所示。
表2-15 3变量最小项编号
在标准与或式中，常用最小项的编号来表示最小项。如：
Y =A BC +A B C +AB C +ABC
常写成
Y =F (A , B , C ) =m 3+m 5+m 6+m 7
或
Y =∑m (3, 5, 6, 7)
利用逻辑代数的基本公式，可以把任一个逻辑函数化成一种典型的表达式，这种典型的表达式是一组最小项之和，称为：最小项表达式。下面举例说明把逻辑表达式展开为最小项表
达式的方法。例如：，要将Y (A , B , C ) =AB +C 化成最小项表达式，这时可以利用A +=1的基本运算关系，将逻辑函数中的每一项都化成包含所有变量A,B,C 的项, 即：
Y (A , B , C ) =AB +C ＝AB (C +)+C (B +)=ABC +AB +BC +C
对照表1.18，上式中各最小项可分别表示为m 7、m 6、m 3、m 1，所有可写为：
此式是由四个最小项构成的，它是一组最小项之和，因此是一个最小项表达式。
Y =(A , B , C ) =∑m (1, 3, 6, 7)
又如：Y (A , B , C ) =(AB ++) AB ＝AB +++AB
=AB ??C +AB =(+)(A +B )C +AB
=BC +A C +AB =BC +A C +AB (C +) =BC +A C +ABC +AB =m 3＋m 5＋m 6＋m 7＝∑m (3，5，6，7)
由此可见，任何一个逻辑函数都可以化成为唯一的最小项表达式。
)
2.4.2 逻辑函数的卡诺图表达法
（1）. 逻辑变量卡诺图
卡诺图也叫最小项方格图，它将最小项按一定的规则排列成方格阵列。根据变量的数目N ，则应有2个小方格，每个小方格代表一个最小项。
卡诺图中将N 个变量分成行变量和列变量两组，行变量和列变量的取值，决定了小方格的编号，也即最小项的编号。行、列变量的取值顺序一定要按格雷码排列。图2-13分别列出了二变量、三变量和四变量的卡诺图。
n
a. 二变量卡诺图 b. 三变量卡诺图 c. 四变量卡诺图
图 2-13
卡诺图的特点是形象地表达了各个最小项之间在逻辑上的相邻性。图中任何几何位置相邻的最小项，在逻辑上也是相邻的。
所谓逻辑相邻，是指两个最小项只有一个是互补的，而其余的变量都相同，
所谓几何相邻，不仅包括卡诺图中相接小方格的相邻，方格间还具有对称相邻性。对称相邻性是指以方格阵列的水平或垂直中心线为对称轴，彼此对称的小方格间也是相邻的。也就是说，各小方格上下左右在几何上相邻的方格内只有一个因子不同，有些资料上称此特点为循环邻接
，这个重要特点成为卡诺图化简逻辑函数的主要依据。
卡诺图的主要缺点是随着变量数目的增加，图形迅速复杂化，当逻辑变量在五个以上时，很少使用卡诺图。
（2）. 逻辑函数的卡诺图表达法
根据逻辑函数的最小项表达式化函数卡诺图时，只要将表达式中包含的最小项对应的小方格内填上1，没有包含的最小项填上0（或不填），就可以得到函数的卡诺图。 例 2. 6 请画出逻辑函数 Y (A , B )=A +B 的卡诺图。 解：第一步，求出逻辑函数的最小项表达式：
Y (A , B )=A +B ＝AB +A +B =m 3＋m 2＋m 1＝∑m (1，2，3)
第二步，画出其卡诺图： 图2-14
例 2. 7 画出逻辑函数Y (A , B , C , D ) =(+++)(++C +)(+B ++D )
(A +++D )(A +B +C +D ) 的卡诺图。
解：第一步, 由摩尔根定律，上式化成
=ABCD +AB +BC +A C +
=∑m (15，13，10，6，0)
所以Y =
∑(1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 14)
第二步，画出其卡诺图：
图 2-15
2.4.3 利用卡诺图化简逻辑函数
（1）．化简的依据
我们知道，卡诺图具有循环邻接的特性，若图中两个相邻的方格均为1，则这两个相邻在小项的和将消去一个变量，如图2-13(c)所示四变量卡诺图中的M 5和方格M 7, 它们的逻辑加是 B D +=BD C +=BD ，消去了变量C, 即消去了相邻方格中不相同的那个因子。若卡诺图中4个相邻的方格为1，则这4个相邻的最小项的和将消去两个变量，如图2-13(c)所示四变量卡诺图中的M 2、M 3、M 6、M 7，它们的逻辑加是：
()
C +CD +BCD +=(D +)+BC (D +) =
C +BC =A (B +)=A
消去了变量B 和D , 即消去相邻4个方格中不相同的那两个因子，这样反复应用A +=1的关系，就可使逻辑表达式得到化简。这就是利用卡诺图法化简逻辑函数的基本原理。 ⑵. 化简的步骤
用卡诺图化简逻辑函数的步骤如下： ① 将逻辑函数写成最小项表达式。
② 按最小项表达式填卡诺图，凡式中包含了的最小项，其对应方格填1，其余方格填0。 ③ 合并最小项，即将相邻的1方格圈成一组，每一组含2个方格，对应每个组写成一个新的乘积项。
④ 将所有组对应的乘积项相加。
有时也可以由真值表直接填卡诺图，以上的⑴、⑵两步就和为一步。
注意: 画卡诺图的包围圈时应遵循以下原则:
① 包围圈内的方格数必定为2个，n 等于0、1、2、3、?。 ② 相邻方格包含上下底相邻，左右边相邻和四角相邻。
③ 同一方格可以被不同的包围圈重复包围，但新增包围圈中一定要有新的方格，否则该包围圈是多余的。
④ 包围圈内的方格数要尽可能多，包围圈的数目要尽可能少。
化简后，一个包围圈对应一个与项（乘积项），包围圈越大，所得乘积项中的变量越少。实际上，如果做到了使每个包围圈尽可能大，结果包围圈个数也就会少，使得消失的乘积项个数也越多，就可以获得最简的逻辑函数表达式。下面通过例子来熟悉用卡诺图化简逻辑函数的方法。
例2. 8 化简Y (A , B , C , D )＝
n
n
1，2，3，4，5，8，10，11) ∑ｍ(0，
解：① 画出函数的卡诺图，如图2-16所示。
② 按合并最小项的规律画出卡诺图圈。 ③ 写出化简后的逻辑表达式：
Y (A , B , C , D )=++C
图2-16 图2-17
例 2. 9 化简
Y (A , B , C , D )=∑m (3, 4, 5, 7, 9, 13, 14, 15)
解: 画函数的卡诺图, 化简过程如同图2-17所示。 合并最小项得到的逻辑表达式为：
Y =B +CD +A D +ABC
⑶. 具有约束项的逻辑函数的化简
在解决实际逻辑问题时，经常会遇到一些变量是任意的或者是不允许的、不可能的、不应该出现的，这些取值对应的最小项称为约束项，有些文献中也称为任意项、无关项、禁止项。这样以来约束项在卡诺图化简时，我门对它的取值就是任意的了，也就是说它既可以取0也可以取1，可以根据使函数尽量得到简化而定。
具有约束项的逻辑函数的化简步骤如下： ① 填入具有约束项的逻辑函数的卡诺图。
② 画卡诺圈合并（约束项画“×”，使化简结果简化的视为“1”，否则视为“0”）。 ③ 写出化简结果。
例 2. 10要求设计一个逻辑电路，能够判断1位十进制数的奇偶性，当十进制数为奇数时，电路输出1，当十进制数为偶数时，电路输出0。
解：第一步，写出真值表。用8421BCD 码表示十进制数，4位码即为输入变量，当对应的十进制数为奇数时，函数值为1，反之为0，得到表2-16所示的真值表。
我门知道，8421BCD 码只有10个，表中4位二进制码的后6种组合是无效的，是无关项，根本不会出现，它们对应的函数值可以任意假设，为0为1都可以，通常以×表示。
第二步，将真值表的内容填入4变量卡诺图，如图2-18所示。
第三步，画包围圈，此时应利用约束项（无关项），显然，将m 11、m 13、m 15对应的方格视为1，可以得到最大的包围圈。
第四步，写出结果：Y =D 。若不利用约束项，Y =D +D , 结果将复杂很多。
表 2-16
图2-18
例 2. 11 十字路口的交通信号灯有红、绿、兰三种颜色，分别用A 、B 、C 表示。灯亮为1，灭为0。车辆通行状态Y 表示，通车Y 为1，停车Y 为0。用卡诺图化简该逻辑函数。
解：⑴ 在实际交通信号灯工作时，不可能有两个或两个以上的灯同时亮（灯全灭时，允许车辆感到安全时可以通行）。根据题目的要求列出真值表，如表2-17所示。 ⑵ 根据真值表画出卡诺图，如图2-19所示。
图2-19
⑶ 画卡诺圈合并最小项，得到最简结果。Y =
表2-17
本章小结
逻辑代数有三种基本运算（与、或、非），逻辑代数的基本公式和运算规则是逻辑运算的基础。
逻辑函数通常有五种表示方式，即真值表、逻辑表达式、逻辑图、波形图和卡诺图，它们之间是可以互相转换的。
逻辑函数的化简方法有公式法和卡诺图法两种。公式法适用于任何复杂的逻辑函数，卡诺图法在化简时比较直观、简便，也容易掌握。
习 题
1. 用真值表证明下列恒等式：
⑴ A (B ⊕C )=AB ⊕AC ⑵ +B (A +C )(B +C )=+B (A +C )
()()
2. 用基本定律和运算规则证明下列恒等式：
⑴ (A +B +C )++=A +C +B ⑵ AB +A +AB =A +AB ⑶ A +C +B =ABC + 3. 化简下列逻辑函数：
⑴ Y =(A ⊕B )C +ABC +C ⑵ Y =BC B +
⑶ Y =A +ABC +A B +A ⑷ Y =+ABC ++
⑸ Y =+B +A +B +AB A
4. 将下列各式转换成最简的与或形式和与非形式，并且画出最简与非逻辑图： ⑴ Y =AB ++A +AB + ⑵ Y =A +B +C +D +C +D +A +D 5. 将下列函数展开为最小项表达式： ⑴ Y =A +B ++B ⑵ Y =+ABD B + 6. 用卡诺图化简下列函数：
⑴ Y =A C +C +BC +C ⑵ Y =AB (C +D )+++C ⊕D
()
()
()
(2，4，5，6) ∑m (0，
⑷ Y (A , B , C , D )=∑m (2, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15) ⑸ Y (A , B , C , D )=∑m (0, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 10, 11, 12) 7. 用卡诺图化简下列具有约束条件的逻辑函数：（∑d 表示约束条件） ⑴ Y (A , B , C , D )=∑m (0，1，2, 3，6, 8)＋∑d (10，11，12，13，14，15) ⑵ Y (A , B , C , D )=∑m (0，2, 4，6, 9, 13)＋∑d (3，5，7，11，15)
8. 用卡诺图将下列函数化简成最简的与或式、与非－与非式、与或非式和非或非式： ⑴ Y (A , B , C , D )=
⑵ Y =A ⊕B +C B +C +D 9. 思考题
⑴ 逻辑代数与普通代数有何异同？ ⑵为什么说逻辑等式都可以用真值表证明？ ⑶对偶规则有什么用处？
⑷逻辑函数的三种表示方法如何相互转换？
⑶ Y (A , B , C )=
1，2, 3，4，6, 8, 10, 12, 13, 14, 15) ∑m (0，
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