日后而照
范文一：半径与弧长的关系[2篇]
以下是网友分享的关于半径与弧长的关系的资料2篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。
第1篇
探究半径与直径的关系
各位老师，大家下午好，今天我说带来的片段教学是人教版六年级上册圆的认识中探究半径与直径的关系，我的片段教学现在开始。
师:同学们，刚刚我们已经学习了半径与直径，知道半径是连接圆心和圆上 任意一点的线段，通常记作r，直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段， 通常记作d(学生与老师一起回答)
(ppt播放第一张)
1
师;那同学们有没有发现这两者有什么关系吗,现在分小组讨论并动手操 作，待会请同学起来回答)老师走下台。。。。。。
(ppt播放第二张)
(学生举手)
师;恩，非常好、我看的有的小组已经有讨论结果了，你起来说～
明芳:老师，我们小组画了几个圆，用尺子量了一下半径和直径分别是 2cm,4cm,3cm，6cm，8cm，16cm，10cm和20cm，发现直径是半径的2倍～ 师;恩、非常好～请坐～这一小组得出直径是半径的2倍，同学们可以动手 画一画，量一量，是不是这样的关系呢
学生们;是。。。。
师;刚刚这一小组是用尺子量，那其他同学有没有其他方法或者其他的发现 呢,
(学生举手，老师示意他站一起)
婉君;老师，我们小组是把圆对折一次是直径，再对折一次是半径，得出 来的结论是半径是直径的1/2～
师;ye，这一小组方法也不错哦～(示意请坐)同学们你们也可以动手折一 折，同学们，还有其他的吗,
(好，你来～)
晓娟;老师，我们小组画了两个圆剪出一个直径和两个半
2
径，刚刚可以叠 在一起，结论也是一样的～
师;很好～大家动手操作一下。。。。。。结果是不是这样的呀~~~~ (老师，不对~~~~)
师;有同学说不对～，为什么不对呀，你起来说
陈鸿;老师，我们小组也画了两个圆，但是他们两个不能重合～(拿出教具) 师;老师在黑板展示~，那同学说说，这两个为什么不一样啊 (画的两个圆不一样大，)
师;恩，非常好～那我们来概括一下，半径与直径之间有什么关系呀, 学生们;在同圆或者等圆中，半径是直径的1/2,直径是半径的2倍～ (ppt播放第三张)~~~~~
(ppt播放第四张)我的片段教学到此结束，谢谢大家～
第2篇
中
第29卷 第4期
国 科 学(B 辑)
1999年8月
SCIENCEINCHINA(SeriesB)
金属半径和阳离子半径与电子
构型的定量关系3
3
叶大年 艾德生33 曾荣树
(中国科学院地质研究所,北京100029)
摘要 元素的金属半径和阳离子半径与其电子构型密切相关.在周期表中金属半径可以用一个统一的公式计算出来,该公式说明金属半径完全可以从元素的电子构
型分析计算;理论联系.计算结果与文献公布的数值符合较好准确性.在周期表中位置的一种反映.
周期表
众所周知,金属半径(MR)有时亦称原子半径,是指原子形成配位数(CN)为12时的密堆积金属晶体时的球体半径,CN不是12时乘以一个系数即可[1].离子半径(IR)可理解为原子得失电子后形成正负离子时外层电子云的有效作用距离.Goldschmidt和Pauling分别用经验方法和理论计算方法各自确立了一套经典的IR数值并被广泛应用[2,3].后来许多科学家不断对MR及IR数值进行了测定和计算工作,其中较为著名的有:Shonnon和Prewitt根据新的晶体衍射数据重算的IR数值[4];Johnson建立的“X射线密度图半径”;Ahrens修正和补充的Pauling的离子半径[5];Donnary和Gryder修正及补充的Pauling的离子半径[1];Zhdanov的MR,IR数据[6]等等.他们的数据是在测量技术的进步和理论不断完善的基础上对Goldschmidt和Pauling数据的完善.本研究就是力图揭示MR和阳离子半径(CR)值与电子构型的关系,并建立
4
从电子构型计算MR,CR值的模型公式.采用的MR数据以Zhdanov的为准,CR值以Shonnon和Prewitt的为主,辅以Pauling的数据.而且MR值采用CN为12的金属半径值,CR值采用CN为6的离子半径值.CN的不同,可以导致MR和IR值的不同,一般的换算关系可以参见Bloss的论述[1].
1 金属半径与电子构型的关系
1.1 元素在周期表中的位置及原子的最外层电子构型
元素在周期表中的位置及原子的最外层电子层结构(按能量排布)见表1[7,8].从表1中不难看出,元素据其最外层电子的排布情况在周期表中可以分为主族、过渡族(副族)、镧系元素
1998207215收稿,1998212220收修改稿
3国家自然科学基金资助项目(批准号:49632090) 33联系人
304 中 国 科 学 (B 辑)第29卷
表1 元素在周期表中的位置及原子的最外层电子层结构a)
Lis1Nas1Ks1Rbs1Css1
Bes2Mgs2Cas2Srs2Bas2
Laf
1
?主族元素(sp区)?副族元素(过渡族元素,sd区)
5
Scs2d1Ys2d1La2Lu
Tis2d2Zrs2d2Hfs2d2Ced1f
1
Bs2p1Als2p1
Nis2d8Pds0d10Pts1d9Gdd1f
7
Cs2p2Sis2p2Ges2p2Sns2p2Pbs2p2Erf
12
Ns2p3Ps2p3Ass2p3Sbs2p3Bis2p3Tmf
13
Os2p4Ss2p4Ses2p4Tes2p4Pos2p4YFs2p5Cls2p5Brs2p5Is2
p5Ats2p5Lud1f
14
Vs2d3Nbs1d4Tas2d3Prf
3
Crs1d5Mos1d5Ws2d4Ndf
4
Mns2d5Tcs1d6Res2d5Pmf
5
Fes2d6Rus1d7Oss2d6Smf
6
Cos2d7Rhs1d8Irs2d7Euf
6
7
Cus1d10Ags1d10Aus1d10Tbf
9
Zns2d10Cds2d10Hgs2d10Dyf
Gas2p1Ins2p1Tls2p1Hof
11
镧系(df区)
a)第1周期的H,He不参加讨论,故未列入表中
区,f区3,CR值变化有一定的规律,MR,CR值来,这可能暗示着它们.
1.2 (N)的关系
MR与N的线性关系是显著的.例如主族元素第?主族和第?主族,可以用下列两式表示(r为相关系数):
MR=0.0285N+0.1052,r=0.99;MR=0.0271N+0.0728,r=0.96.
(1)(2)
同一族的过渡族元素MR与N的线性关系也较好,例如V,Nb,Ta和Mn,Tc,Re可以用下列两式表示:
(3)MR=0.0060N+0.1120,r=0.90;
(4)MR=0.0035N+0.1168,r=0.93.
1.3 金属半径与最外层电子数(E)的关系
最外层电子数是电子构型的一个重要参数,MR与E的关系也是很重要的.它们的关系是复杂的,在本研究中,发现这个关
7
系与元素周期表的分区一样也是随分区而变化的,这可能从某个角度上揭示出MR的本质.
从图1(a)可以看出,sd区中第1过渡族元素的MR有明显的驼峰现象;而第2,3过渡族元素由于镧系收缩的缘故较为接近,图1(a)中两条曲线几乎重合.大体上MR与最外层(d,s层)电子数E大致以Esd=8的元素对称.实际上sp区元素MR也有对称现象存在,但却是以
E=4的元素(即s,p层电子满足sp构型的第?主族元素)对称,这里由于MR值的数据较
22
少,没有进行图示说明.图1(b)说明镧系元素的MR随E(最外d,f层电子)的增加而大致呈线性减小,至于元素Eu,Yb的MR值的突然增大则可以从它们的电子构型分析.Eu的最外层电子构型是f7,Yb的是f14,分别处于半充满和全充满状态,根据洪特规则,它们的能量最低且最稳定.同样La之前的Ba,没有f电子,MR值比La高很多.与Eu,Yb相邻的Gd,Lu最外层电子构型中却加入了1个5d电子,导致它们能量的不稳定性而与其余的镧系元素保持大致的线
第4期叶大年等:金属半径和阳离子半径与电子构型的定量关系 305
图1 (a)与Esd(b与Edf的关系
1.4 根据上述分析不难得出这样的结论:MR与N大致呈
8
线性关系,而与E的关系则按周期
表中不同的分区有所不同.在sd,sp区MR与E有对称现象,在df区两者除能量最稳定的Eu,Yb外有线性关系.据此我们得到了从电子构型计算MR的公式:
(5)MR=f(N)+f(E),其中f(N),f(E)分别是主量子数N和最外层数E的
函数.我们经过对公式(5)的推导,得到了从电子构型计算MR的具体公式:
MR=0.0237N+[0.0099(Esp-4)2+0.0384]+[-0.0168N+7.266×
10-5(Esd-8)4+
0.0988]+[-8.652×10-4Edf+0.0435].
(6)
(6)式中,MR,N分别为金属半径(单位是nm)和主量
子数,Esp,Esd,Edf分别为sp,sd,df区元素的最外层电子数,右侧的3个方括号分别用于计算sp,sd,df区的MR.MR的计算值和文献值的对比列于表2,两者的偏差比较见图2.从计算结果和偏差图可知上述结论是正确的,由此可知从电子构型分析金属半径是有意义的.
图2 金属半径的计算值MRcal和文献
值MRref的偏差图
3———sd;×———df;+———sp
2 阳离子半径与电子构型的关系
9
Pauling计算相同电子构型的离子半径(IR)的理论公式是
306 中 国 科 学 (B 辑)第29卷
表2 金属半径的计算值和文献值的对比a)
元素
ScTiVCrMnFeCoNiCuZnYZrNbMoTcRuRhPdAgCd
MRref
MRcal
相对偏差
+0.008-0.001-0.002+0.001-0.0040.000+0.001+0.004+0.004+0.006-0.002-0.008-0.006-0.005-0.003--0.-0.0030.005-0.004
元素
HfTaWReOsIrPtAuHgLaCePrNdSmGdTboErTm
MRrefMRcal相对偏差
0.0000.000
元素
LuLiBeBNaMgAlKCaGaRbSrInBaTlPbBi
MRrefMRcal相对偏差
-0.001+0.020+0.012+0.007+0.010-0.011-0.023-0.014-0.024+0.004-0.0020180.001+0.006+0.002-0.001+0.020+0.006+0.009
0.1640.1460.1340.1270.1300.1260.1250.1240.1280.1390.1810.1600.1450.1390.1360.1340.1341370.2.809
0.1720.1450.1320.1280.1260.1260.1260.1280.1320.1450.179
10
0.1520.1390.1340.1330.1330.1522.784
0.1590.1460.1400.1370.1350.1350.1380.1440.1600.1870.1830.1820.1820.1810.0.1770.0.1750.1743.267
0.1590.146
0.1740.1550.1130.0890.1890.1600.1430.2360.1970.1390.2480.2151582680.2210.1710.1750.1823.560
0.1730.1750.1250.0960.1990.1490.1200.2220.1730.1430.2460.0.2700.2200.1910.1810.1913.563
0.139-0.0010.140+0.0030.140+0.0050.140+0.0050.141+0.0030.146+0.0020.159-0.0010.185-0.0020.184+0.0010.183+0.0010.1820.1810.1760.1750.1743.286
0000.0.0000.0000.000
1780.总和总和总和
a)文献值引自文献
[6].?MRref=2.809+3.267+3.560=9.636,?MRcal=2.784+3.286+3.563=9.633,|?MRref-?MRcal|=0.003,?绝对偏差=0.283,平
均绝对偏差=(?绝对偏差
??MRref)×100%=(0.283?9.636)×100%=2.94%.
MRcal和MRref的单位为nm
),IR=Cn/(Z-δ(7)
其中Cn为取决于最外层的主量子数的常数,Z为核电荷
数,δ为屏蔽常数,Z-δ为有效核电荷数[3],可见Pauling考虑的
11
重点是最外层电子的分布.
阳离子半径(CR)较之于金属半径讨论起来要复杂得多,因为有的离子有不同的价态.在这里,我们采用定性和定量相结合的办法,从电子构型分析CR的变化规律,从而建立从周期表讨论CR的模式,以助于揭示CR的本质.2.1 sp区阳离子半径与电子构型的关系
从图3可以看出,sp区元素在最外层s,p电子全部丢失时,CR与N有较好的线性关系,而且族与族之间同一周期元素CR的差距接近一个固定值.
从电子构型考虑,相同电子构型的是同一族,从更大的范围而言同一区的元素电子构型是类似的.我们经过电子构型分析,得到了计算sp区元素在最外层s,p电子全部丢失时CR的公式:
CR=0.0239N+0.0310-Δi,
(8)
Δi为受元素的具体电子构型控制的族与族之间的差值.第?,?其中N为主量子数,族之间
Δ=0.011nm;第?,?Δ1=Δ=0.034nm;第?,?族之间Δ3=1/3族之间、第?,?族之间、第
第4期叶大年等:金属半径和阳离子半径与电子构型的定量关系 307
图3 sp区元素CR与N1———第?主族;2———第?主
12
族;3———第?——第?主族;6—第??nm;?,?4Δ2由于在第4周期后受过渡族和镧Δ(即0.017nm)变化到第4,6周期的Δ,(1+1/7)Δ(即,1/0.039,+1/3+1/7)Δ(即0.050nm).
在最外层s,p电子没有全部丢失时CR的计算也是一样的.在这种情况下一般只有从第?主族到第?主族的一些元素丢失最外层全部p电子,余下两个s电子的CR.分析结果表明这种情况的CR变化规律与最外层p电子数有关.计算sp区元素在只丢失最外层全部p电子时CR的公式是
(9)CR=0.0190N+0.0345-0.0782(p-1)/p,
其中p为元素最外层p电子数,该公式用于计算元素最外层有p电子的s,p区元素的CR值.
(8)式中的Δi是非常有意思的.在最外层s,p电子全部丢失时,从第?主族到第?主族,多丢失了一个s电子,导致同周期元素CR相差Δ=0.034nm.从第?主族到第?主族,多丢失了一个p电子,导致第2,3周期元素CR相差0.017nm,正好为Δ的一半;而在第4周期受3d电子层的影响,又变为Δ;在第5周期在受3d电子层的影响的同时,还受4d电子层的影响,变为(1+1/7)Δ(即0.039nm);在第6周期又受4f电子层的影响,变为(1+1/3+1/7)Δ(即
Δ=0.050nm).从第?主族到第?主族,多丢失了一个p电子,导致同周期元素CR相差1/3
0.011nm;从第?主族到第?主族,从第?主族到第?主族,
13
分别多丢失了一个p电子,导致
Δ=0.005nm.这些变化是受元素的电子构型所控制的.同周期元素CR相差1/7
sp区元素CR的计算值和文献值的对比列于表3,二者的偏差比较见图4.从表3和图4来看,我们的分析是较为成功的.2.2 sd区阳离子半径与电子构型的关系
sd区的离子价态多变,而且其电子构型较之于sp区离子更复杂.为了清晰地说明离子半径CR与电子构型的关系,将问题简单化,当然前提是计算的准确性与可靠性,我们有选择地分析了部分价态的CR值.第1过渡族2价的CR值与元素的最外层电子数之和sd=8的元素有对称关系,具体的计算公式是(H表示元素处于高自旋时要加上的附加项,H=1;低自旋时
308 中 国 科 学 (B 辑)第29卷
)
表3 sp区阳离子半径的计算值和文献值的对比a
元素
CRcalCRref
)Li(?0.0740.074)Na(?0.1040.102)K(?0.1290.133)Rb(?0.1510.149)Cs(?0.1710.170
)DB(?)ABe(?0.0400.039)Mg(?0.0700.072)Ca(?0.0950.100)Sr(?0.1170.116)Ba(?0.1370.136
0.0230.023)Al(?0.0530.053)Ga(?0.0610.062)In(?
14
0.0780.079)Tl(?0.0870.088
)Tl(?0.1490.147
)AC(?0.0120.016)Si(?0.0420.040)Ge(?0.0500.054)Sn(?0.0670.069)Pb(?0.0760.078
0.0710.073)Sn(?
0.0900.093)Pb(?0.1090.118
A
)AN(?)AN(?0.0070.013)P(?0.0370.035
))AAs(?Ge(?
0.0450.050)Sb(?0.0620.0610.0.0.0200.016)AP(?0.0390.0440.0580.058)Sb(?
0.0770.0760.A
(O)(F)
元素
CRcalCRref
)S(?0.0320.0300.0400.042)Te(?0.0570.0560.0660.A
)ACl(?)ACl(?)AS(?0.0330.0370.0520.050)Te(?0.0710.070
A
0.0270.0270.0350.039)AI(?0.0520.050)AAt(0.0.0290.027
元素
CRcalCR))ASe(?As(?))ABr(?Se(?
15
元素
CRcalCRref
)AI(?
0.0670.062
元素
CRcalCRref
)ABi(?)APo(?)ABi(?
a)元素括号内的数字为价态,上角标A[],D,[4].?CRref=3.234nm,?CRcal=3.,|ref-?CRcal|0.022,?=
(?绝对偏差??CRref)×()09%.refnm
H=0CR=1.043×10
-3
(sd-8
)2+0.0652+0.012H.
(10)
而第1过渡族3价的CR值与元素的最外层电子数之和sd(见表1)有一定的线性关系,具体的
计算公式是(H项同(10)式):
(11)CR=-2.691×10-3sd+0.0780+0.007H.第2,3过渡族的4价离子半径由于镧系收缩的缘故,上下元素的离子半径CR非常接近,可以
一起进行计算,经过分析,我们得到了从电子构型计算第2,3
16
过渡族元素4价CR的公式:
-3-3
(12)CR=-2.546×10N-1.758×10sd+0.090.
sd区CR的计算值和文献值的对比列于表4,两者的偏差比较见图4.从计算结果和偏差图可知,从
电子构型分析过渡族的CR是有意义的.2.3 镧系元素(df区)阳离子半径CR与电子构型的关系
镧系元素处于第6周期,故只讨论CR与离子的最外层电子数的关系.我们发现镧系元素的
CR与其离子的最外层电子数E′sd有极好的线性
图4 阳离子半径计算值CRcal和文献值
CRref的偏差图
+———sp;3———sd;Δ———df
关系,而且没有了类似图1(b)显示的元素Eu,Yb的MR值突然增大现象.即使是元素Dy,其离子的最外层电子构型为f7,f层电子处于半充满状态,但由于丢失电子导致的不稳定因素的重要影响,其CR值不可能像MR值一样由于电子层的稳定状态而最大.
第4期叶大年等:金属半径和阳离子半径与电子构型的定量关系 309
从电子构型计算df区元素CR的公式是
CR=-1.446×10
17
-3
df+0.1056-0.022(df′-3),(13)
其中df为df区元素未丢失电子时的最外层d,f电子数目之和;df′为元素丢失的最外层d,f
电子数目之和(实际是价态).df区离子半径的计算值和文献值的对比列于表4,两者的偏差比较见图4.
2.4 阳离子半径与电子构型的关系简要总结
从上述论述可知,CR与电子构型的关系是可以用公式来确定的.我们把第3部分所反映的CR与电子构型的关系用公式表示为
CR=f(N)+f(E),
(14)
其中f(N),f(E)分别是主量子数N和最外层数E的函数,具体的函数与元素在周期表中的位置分区有关.本部分揭示了(14)式在从电子构型分析阳离子半径过程中的重要意义.
)
表4 sd区及dfa
元素
CRcalCRref
)Sc(?0.070
)Ti(?0.082
)Ti(?0.067)(0.0.061)HNi(?0.0580.060)Hf(?
18
0.0680.071)Pr(?0.0790.078)Ho(?0.0900.090
)V(?0.079
)H?0770.077)Cu(?0.0750.073)Ta(?0.0660.066)Nd(?0.1000.100)Er(?0.0880.088
)V(?L0.0560.055)Zn(?0.0820.075)W(?0.0640.065)Pm(?0.0980.098)Tm(?0.0870.087
)(0.)HFe(?0.0630.065)Zr(?0.0700.072)Re(?0.0620.063)Sm(?0.0960.096)Yb(?0.0850.085
)(?)LCo(?0.0660.065)Nb(?0.0680.069)Os(?0.0610.063)Eu(?0.0960.096)Lu(?0.0840.084
)Cr(0.062
)HCo(?0.0780.074)Mo(?0.0670.065)Ir(?0.0590.063)Eu(?0.1180.117
L0.0660.067
)LCo(?0.0540.053)Tc(?0.0650.064)La(?0.1060.104)Gd(?0.0940.094
)H(0.0780.082
)HCo(?0.0610.061)Ru(?0.0630.062)Ce(?0.1030.103)Tb(?0.0920.092
CRcalCR0.073L(H)Ni(?0.0690.070)Rh(?0.0610.062)Ce(?0.0810.080)Tb(?0.0700.076
0.)LNi(?0.0510.056)Pd(?0.0600.062)Pr(?
19
0.1010.101)Dy(?0.0910.091
元素
CRcalCRref
元素
CRcalCRref
元素
CRcalCRref
元素
CRcalCR a)元素括号内的数字为该阳离子的价态,文献值引自文献[4],L表示低自旋,H表示高自旋,CRcal与CRref单位均为nm.
sd区?CRref=2.540nm,?CRcal=2.541nm,|?CRref-?CRcal|=0.00
1nm,?绝对偏差=0.073nm,平均绝对偏差=(?绝
对偏差??CRref)×100%=(0.073?2.540)×100%=2.87%;df
区
?CRref=1.762nm,?CRcal=1.757nm,|?CRref-?CRcal|=0.00
5nm,?绝对偏差=0.011nm,平均绝对偏差=(?绝对偏差??CRref)×100%=(0.011?1.762)×100%=
0.62%
3 结论
从本研究的结果来看,控制CR和MR的主要因素是元素的
20
电子构型,而其中主要的是主量子数和最外层电子数.MR与N大致呈线性关系,而与最外层电子数E的关系则按周期表中不同的分区有所不同.在sd,sp区MR与E有对称现象,在df区两者除能量最稳定的元素Eu,Yb外有线性关系.阳离子半径CR的分区性非常明显:在sp区,CR与N成正比,与离子
最外层电子数的关系则体现在族与族之间的差值非常有规律;在sd区,第1过渡族2价的CR
310 中 国 科 学 (B 辑)第29卷
值与元素的最外层电子数之和sd=8的元素有对称关系,而第1过渡族3价的CR值及第2,3过渡族的4价CR值与元素的最外层电子数之和sd有一定的线性关系;在df区,CR与离子最外层电子数的关系则体现为更严格的线性关系.至于sd区许多本研究未讨论的不同价态CR的变化规律,可能也与电子构型有关,但有待于深入研究.
参 考 文 献
1
BlossFD.CrystallographyandCrystallChemistry.NewYork:H
olt,RinehartandWinston,Inc,1971.183,2202 GoldschmidtVM.Geochemistry.London:OxfordUnivPress,19
54.161,169
3
PaulingL.TheNatureoftheChemicalBond.3rded.Ithaca,NewY
21
ork:CornellUnivPress,1960.143,2114
ShonnonRD,PrewittCT.Effectiveionicradiiinoxidesandfluorids.ActaCrysta,1969,(2):925,9465
AhrensLH.Theuseofionizationpotentials.GeochimicaetCosmochimicaActa,19521):155,1696
ZhdanovGS.CrystalPhysics(BrownAF,translator).NewYork:Press,1927 华彤文,杨骏英,陈景祖,等.普通化学原理.北
京:392
8 艾德生,曾荣树,张振禹..,()22
22
范文二：弧长面积的计算、直线与圆的位置关系
弧长面积的计算、直线与圆的位置关
系
一、选择题
2. 如图， ⊙P 内含于 ⊙O ， ⊙O 的弦 AB 切 ⊙P 于点 C ， 且 AB∥OP .若阴影部分的面积为 9π ，则弦 AB 的长为 ．
A.
3
B.
4
C.
6
D.
9
3. 已知 ⊙O 的面积为 9πcm2，若点 O 到直线 l 的距离为 πcm，则直线 l 与 ⊙O 的位置关系是 ( )
A.
相交
B.
相切
C.
相离
D.
无法确定
5. 如图，一个半径为 r 的圆形纸片在边长为 a（a>2 ）的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“接触不到的部分”的面积是
A. C.
π2r 3 ?π r2
B. D.
πr2
3 ?π2
r 6. 已知：如图，AB 是半圆的直径，∠C 的两边分别与半圆相切 于 A 、 D 两点，DE⊥AB，垂足为 E，AE=3，BE=1，则图 中阴影部分的面积为
A.
4 ?4π
B.
94 ?π C.
9
?4π D.
44 ?π
7. 如图，AB 为 ⊙O 的切线，切点为 B，连接 AO，AO 与 ⊙O 交于点 C，BD 为 ⊙O 的直径，连接 CD．若 ∠A=30°，⊙O 的半径为 2，则图中阴影部分的面积为
8. 如图所示，AB 与 ⊙O 相切于点 B，AO 的延长线交 ⊙O 于点 C，连接 BC，若 ∠ABC=120°， 的长为
OC=3，则 BC
A.
4π
? B.
4π
?2 C.
π? D.
2π
?
A.
π
B.
2π
C.
3π
D.
5π
9. 如图，在边长为 2 的等边三角形 ABC 中，以 B 为圆心， ，在扇形 BAC 内作 ⊙O 与 AB 、 BC 、 AC AB 为半径作 AC
都相切，则 ⊙O 的周长等于
A.
4π B.
2π C.
43
π
D. π
10. 如图，等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，以 A 为圆心， AD 为半径的圆与 BC 切于点 M，与 AB 交于点 E，若 的长为 AD=2,BC=6，则 ED
A.
3π B.
3π C.
3πD.
3π
11. 如图所示，已知正方形的边长为 1，若圆与正方形的四条边都相切，则阴影部分的面积与下列各数最接近的是
A.
0.1
B.
0.2
C.
0.3
D.
0.4
12. 如图，在 △ABC 中，BC=4，以点 A 为圆心，2 为半径的 ⊙A 与 BC 相切于点 D，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，点 P 是 ⊙A 上的一点，且 ∠EPF=45°，图中阴影影部分的面积为
A.
4?π
B.
4?2π
C.
8+π
D.
8?2π
14. 如图，菱形 ABCD 的边长为 2，∠A=60°，以点 B 为圆心的圆与 AD，DC 相切，与 AB，CB 的延长线分别相交于点 E，F，则图中阴影部分的面积为
A.
π +
2
B.
+π
C.
π ?2
D.
π2 +2
15. 如图，在 △ABC 中，∠A=90°，AB=AC=2，点 O 是边 BC 的中点，半圆 O 与 △ABC 相切于点 D 、 E，则阴影部分的面积等于
A.
π1? B.
πC.
π1?
D.
π17. 如图所示，PA 、 PB 与 ⊙O 相切，切点分别为 A 、 B，PA=3，∠P=60°，若 AC 为 ⊙O 的直径，则图中阴影部分的面积为
A.
π B.
π
C.
D. π
18. 如图，⊙O 的半径为 3 厘米，B 为 ⊙O 外一点，OB 交 ⊙O 于点 A，AB=OA．动点 P 从点 A 出发，以 π 厘米/秒的速度在 ⊙O 上按逆时针方向运动一周回到点 A 立即停止．当点 P 运动的时间为 秒时，BP 与 ⊙O 相切．
A.
1
B.
5
C.
0.5 或 5.5
D.
1 或 5
19. 如图，在 △ABC 中，BC=4，以点 A 为圆心，2 为半径的 ⊙A 与 BC 相切于点 D，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，且 ∠EAF=80°，则图中阴影部分的面积为
A.
4
B.
8π C.
84?π
D.
88?π
20. 在矩形 ABCD 中，AB=6，BC=4，有一个半径为 1 的硬币与边 AB 、 AD 相切，硬币从如图所示的位置开始，在矩形内沿着边 AB 、 BC 、 CD 、 DA 滚动到开始的位置为止，硬币自身滚动的圈数大约是
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
22. 如图，⊙P 内含于 ⊙O，⊙O 的弦 AB 切 ⊙P 于点 C，且 AB∥OP．若阴影部分的面积为 9π，则弦 AB 的长为
A.
3
B.
4
C.
6
D.
9
23. 如图所示，某航天飞船在地球表面 P 点的正上方 A 处，从 A 处观测到地球上的最远点 Q，若 ∠QAP=α，地球半径为 R，则航天飞船距离地球表面的最近距离 AP，以及 P 、 Q 两点间的地面距离分别是
A.
， 180sinα
R
παR
B.
?R ， sinα
R 90?α πR180
C.
Rsinα
?R ，
90+α πR180
D.
Rcosα
?R ，
90?α πR180
二、填空题
24. 如图，在平行四边形 ABCD 中，以点 A 为圆心，AB 的长为半径的圆恰好与 CD 相切于点 C， 的长为 π，则图中阴影部分的面积交 AD 于点 E，延长 BA 与 ⊙A 相交于点 F．若 EF
2
为 ．
26. 如图，已知 AB 是 ⊙O 的一条直径，延长 AB 至 C 点，使 AC=3BC，CD 与 ⊙O 相切于 D 点，若 CD= ，则劣弧 AD 的长为 ．
28. 如图，PA 是 ⊙O 的切线，A 是切点，PA=4，OP=5，则 ⊙O 的周长为保留 π）．
的长31. 如图，半径为 1 的 ⊙O 与正五边形 ABCDE 的边 AB，AE 相切于点 M，N，则劣弧 MN度为 ．
32. 如图，⊙O 的半径为 3，OA=6，AB 切 ⊙O 于 B，弦 BC∥OA，连结 AC，图中阴影部分的面积为 ．
33. 如图所示，⊙O 的半径为 6，直线 AB 是 ⊙O 的切线，切点为点 B，弦 BC∥AO，若 的长为． ∠A=30°，则劣弧 BC
36. 如图 1，有一张矩形纸片 ABCD，其中 AD=6cm，以 AD 为直径的半圆，正好与对边 BC 相切，将矩形纸片 ABCD 沿 DE 折叠，使点 A 落在 BC 上，如图 2，则半圆被覆盖部分（阴影部分）的面积为 ．
38. 如图所示，一半径为 1 的圆内切于一个圆心角为 60° 的扇形，则扇形的周长为．
39. 如图所示，AB 是 ⊙O 的直径，点 D 、 T 是圆上的两点，且 AT 平分 ∠BAD，过点 T 作 AD 延长线的垂线 PQ，垂足为 C，若 ⊙O 的半径为 2，TC= ，则图中阴影部分的面积是 ．
40. 如图( a )，有一张矩形纸片 ABCD ，其中 AD=6cm ，以 AD 为直径的半圆，正好与对边 BC 相切，将矩形纸片 ABCD 沿 DE 折叠，使点 A 落在 BC 上，如图( b )．则半圆还露在外面的部分(阴影部分)的面积为 ．
42. 如图，在直角梯形 ABCD 中，∠ABC=90°，上底 AD 为 ，以对角线 BD 为直径的 ⊙O 与 CD 切于点 D，与 BC 交于点 E，且 ∠ABD 为 30°．则图中阴影部分的面积为 （不取近似值）．
三、解答题
44. 如图，在 ⊙O 中，AB 是直径，点 D 是 ⊙O 上一点且 ∠BOD=60°，过点 D 作 ⊙O 的切线 的中点．连接 DE，EB． CD 交 AB 的延长线于点 C，E 为 AD
(1)求证：四边形 BCDE 是平行四边形；
(2)已知图中阴影部分面积为 6π，求 ⊙O 的半径 r．
50. 如图，△ABC 内接于 ⊙O，点 D 在半径 OB 的延长线上，∠BCD=∠A=30°．
(1)试判断直线 CD 与 ⊙O 的位置关系，并说明理由；
(2)若 ⊙O 的半径长为 1，求由弧 BC 、线段 CD 和 BD 所围成的阴影部分面积（结果保留 π 和根号）．
51. 如图，OC 平分 ∠MON，点 A 在射线 OC 上，以点 A 为圆心，半径为 2 的 ⊙A 与 OM 相切于点 B，连接 BA 并延长交 ⊙A 于点 D，交 ON 于点 E．
(1)求证：ON 是 ⊙A 的切线；
(2)若 ∠MON=60°，求图中阴影部分的面积（结果保留 π）．
52. 如图，已知扇形 AOB 中，∠AOB=120°，弦 AB=2 ，点 M 是弧 AB 上任意一点（与端点 A 、 B 不重合），ME⊥AB 于点 E，以点 M 为圆心、 ME 长为半径作 ⊙M，分别过点 A 、 B 作 ⊙M 的切线，两切线相交于点 C．
(1)求弧 AB 的长；
(2)试判断 ∠ACB 的大小是否随点 M 的运动而改变，若不变，请求出 ∠ACB 的大小；若改变，请说明理由．
53. 如图，点 O 为 Rt△ABC 斜边 AB 上的一点，以 OA 为半径的 ⊙O 与 BC 切于点 D，与 AC 交于点 E，连接 AD．
(1)求证：AD 平分 ∠BAC；
(2)若 ∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留 π）．
54. 已知：如图，AB 是 ⊙O 的切线，切点为 A，OB 交 ⊙O 于 C 且 C 为 OB 中点，过 C 点的弦 的长为 π，求弦 AD，AC 的长． CD 使 ∠ACD=45°，AD
2
55. 如图，已知 PC 平分 ∠MPN，点 O 是 PC 上一点，PM 与 ☉ 相切于点O E，交 PC 于 A，B 两点．
(1)求证：PN 与 ☉ 相切； O
的长． (2)如果 ∠MPC=30°，PE=2 ，求劣弧 BE
，DE⊥BC，垂足为 E．
=AD56. 如图，四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形，AC 为直径，BD
(1)求证：CD 平分 ∠ACE；
(2)判断直线 ED 与 ⊙O 的位置关系，并说明理由； (3)若 CE=1，AC=4，求阴影部分的面积．
62. 如图，⊙O 的半径为 1，直线 CD 经过圆心 O，交 ⊙O 于 C，D 两点，直径 AB⊥CD，点 M 是直线 CD 上异于点 C，O，D 的一个动点，AM 所在的直线交 ⊙O 于点 N，点 P 是直线 CD 上另一点，且 PM=PN．
(1)当点 M 在 ⊙O 内部，如图①，试判断 PN 与 ⊙O 的关系，并写出证明过程．
(2)当点 M 在 ⊙O 外部，如图②，其他条件不变时，（1）的结论是否还成立？请说明理由． (3)当点 M 在 ⊙O 外部，如图③，∠AMO=15°，求图中阴影部分的面积．
范文三：弧长与扇形的面积关系导学案
2013,2014南关学校九年级下 数学导学案
?3.7 弧长及扇形的面积 课型:新授课 主备人:吴自惠 审核:肖生俊 学习目标
1.了解扇形的概念，理解n??的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用(
2nR,2.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n?的圆心角所对的弧长L=和扇形面积 180
2nR,S=的计算公式，并能熟练的运用公式解题。 扇360
一、课前预习
1.请你写出圆的周长计算公式: ;并求半径为3cm的圆的周长: 。 请你写出圆的面积计算公式: ;并求半径为3cm的圆的面积: 。 2.弧长的概念:弧的长度;弧长的表示方法:弧AB的长记作 3.扇形的概念:由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形;
.扇形表示方法:阴影部分扇形可记作 ; ,
探究活动
(一)独立思考 解决问题
5.探究扇形面积公式
B若将360?的圆心角分成360等份，这360条半径将圆分割成 个小扇形， 每个小扇形的圆心角等于
n?6.如果圆的半径为R，那么，圆心角1?的扇形面积等于 ; O如果圆的半径为R，那么，圆心角30?的扇形面积等于 ; AC如果圆的半径为R，那么，圆心角n?的扇形面积等于 ; 因此，扇形面积公式为:
S=_ ____(其中r为扇形的半径，n是圆心角) 扇形
A,.探究弧长公式
O90:n:1:设圆的半径为r，求圆心角分别为、、所对的弧长。 B
B 90?圆心角所对的弧占整个圆的_______，弧长=_______
A 1?圆心角所对的弧占整个圆的_______，弧长=_______ n?OOBn: 圆心角所对的弧占整个圆的_______，弧长=_______ AC因此，弧长的计算公式为:
- 9 -
2013,2014南关学校九年级下 数学导学案
l,_ ____(其中为扇形的半径，n是圆心角) r
(二)师生探究 合作交流
Ol8.如果扇形的半径为R，弧长为.那么，扇形面积等
于 ;
n?由此,得到扇形面积计算公式: S, . 扇形
理解窍门:图形:扇形OAB类比?OAB;公式:扇形面积公式类比三角形面.积公式
BA(三)推理归纳?畅谈收获
在你得到的半径为R的圆中，n?圆心角所对的弧长计算公式和扇形面积计算公式中，n的意义
是什么,哪些量决定了弧长,哪些量决定了扇形的面积,
三、达标检测
9(在半径为24的圆中，60?的圆心角所对的弧长l= ; 10(75?的圆心角所对的弧长是2.5π，则此弧所在圆的半径为 ( 11.若扇形的圆心角n为50?，半径为R=1，则这个扇形的面积S= ; 扇
212.若扇形的圆心角n为60?, 面积为,则这个扇形的半径R= ; ,3
13.若扇形的半径R=3, S,3π,则这个扇形的圆心角n的度数为 ; 扇形
414.若扇形的半径R=2?,弧长?，则这个扇形的面积，S= 扇,l,3
四、拓展延伸
15.如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径为2cm，
其中最高水深CD为1cm，求截面上有水部分的面积。(结果保留根号和)。 ,
教学反思
- 10 -
2013,2014南关学校九年级下 数学导学案
圆综合复习测试题
O6O1(如图，?O中，弦的长为cm，圆心到的距离为4cm，则的半径长为( ) ABAB
A(3cm B(4cm C(5cm D(6cm
,ABC，，?AOB2(如图，点都在?O上，若，则的度数为( ) ?C,34
,,,,A( B( C( D( 34566068
?3(已知:如图，四边形ABCD是?O的内接正方形，点P是劣弧CD上不同于点C的任意 一点，则?BPC的度数是( )
A(45? B(60? C(75? D(90?
13cmABCD?AB,24cmCD,10cmABCD，4(圆的半径为，两弦，，，则两弦的距离是( )
7cm17cm12cm7cm17cm,( ,( ,( ,(或
A BAD C A D O OP O CB B A BC O 第3题 第6题 第1题 第2题
5(?O的半径是6，点O到直线a的距离为5，则直线a与?O的位置关系为( )( A(相离 B(相切 C(相交 D(内含
1OBCOAD6(如图，已知扇形，的半径之间的关系是，则弧,,的长是弧,,长的OBOA,2
1124( ) ,(倍 ,(倍 ,(倍 ,(倍
24, OABCBCEF?AEF607(如图，已知是的直径，把为的直角三角板的一条直角边放在直线
OOABCOEABPBB上，斜边与交于点，点与点重合;将三角形沿方向平移，使得点与点
,E?POFx,重合为止(设，则的取值范围是( ) x
60120??x3060??x3090??x30120??x,( ,( ,( ,( 8(若小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为10 cm、深约为2 cm的小坑，则该铅球的直径约为( ) A. 10 cm B. 14.5 cm C. 19.5 cm D. 20 cm
9(如图是一个零件示意图，A、B、C处都是直角，弧,,是圆心角为90o的弧，其大小尺寸如图标
3示(弧,,的长是( )(,.π ,.π ,.2π ,.4π 2
110(如图，如果从半径为9cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接3
缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为( )
3553A(6cm B(cm C(8cm D(cm 3 A N A P
(B) 7 E M C O F 3
第7题图 BC 第9题图 7 第10题图
- 11 -
2013,2014南关学校九年级下 数学导学案 11(若?O所在平面内一点P到?O上的点的最大距离为a，最小距离为b(a>b)，则此圆的半径为( )
a，ba,ba，ba,bA( B( C( D( a，b或a,b或2222
12(已知在?ABC中，AB=AC=13，BC=10，那么?ABC的内切圆的半径为( )
1012A( B( C(2 D(3 35
13(如图，AB切?0于点B，AB=4 cm，AO=6 cm，则?O的半径为 cm(
AB，AB,10AB，14(如图，点是?O上两点，，点是?O上的动点(与不重合)，连结PP
APPB，OOEAP,OFPB,，过点分别作于，于，则 ( EFEF,015(已知，如图:AB为?O的直径，AB,AC，BC交?O于点D，AC交?O于点E，?BAC,45。
,,0给出以下五个结论:??EBC,22.5，;?BD,DC;?AE,2EC;?劣弧是劣弧DE的2AE
倍;?AE,BC。其中正确结论的序号是 。
OA , 108B A EB60cm O F P 第18题图 第15题图 第14题图 第13题
d16.两圆的半径分别为3和5，当这两圆相交时，圆心距的取值范围是 。 17.已知一个圆锥体的底面半径为2，母线长为4，则它的侧面展开图面积是 ((结果保留) ,
,OA,60cm?AOB,10818(如图所示为一弯形管道，其中心线是一段圆弧AB(已知半径，，则
管道的长度(即的长)为 cm((结果保留) ,AB
19(?O的半径为3cm，B为?O外一点，OB交?O于点A，AB=OA，动点P从点A出发，以cm/s,
的速度在?O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止(当点P运动的时间为 s时，
BP与?O相切.
126，20(如图，在的网格图中(每个小正方形的边长均为1个
单位)，?,的半径为1，?,的半径为2，要使?,与静止
的?,相切，那么?,由图示位置需向右平移 个单
A B 位(
三、解答题(每题10分，共60分)
ACCDAB21(如图，已知是?O的直径，是弦，切?O于点
,CBD,10ABD?ACD,120，交的延长线于点，，( 第20题
CACD,(1)求证:;(2)求?O的半径( C
A D B O
22(如图，AB是?O的直径，弦BC=5，?BOC=60?，OE?AC，垂足为E(
(1)求OE的长(
- 12 -
2013,2014南关学校九年级下 数学导学案
(2)求劣弧AC的长(
ACOOHAC,OH,223(如图，是?O的切线，为切点，是?O的弦，过作于点(若，ABAH
BO,13，( AB,12
求:(1)?O的半径; B
sin?OAC(2)的值;
AC(3)弦的长(
O
A C H
24(如图是某城市一个主题雕塑的平面示意图，它由置放于地面l上两个半径均为2米的半圆与半径
为4米的?A构成(点B、C分别是两个半圆的圆心，?A分别与两个半圆相切于点E、F，BC
长为8米(求EF的长(
A
E F
l B C
23(如图，已知?O的半径为8cm，点A为半径OB的延长线上一点，
8,cm射线AC切?O于点C，BC的长为，求线段AB的长。 3
24(如图，AD、BC是?O的两条弦，且AD=BC，
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2013,2014南关学校九年级下 数学导学案
求证:AB=CD。
12cm2πcm/s25(.如图，是半径为的?O上的定点，动点从出发，以的速度沿圆周逆时针APA
运动，当点P回到A地立即停止运动( ? ,(1)如果，求点P运动的时间; ，,POA90, OAABOA,(2)如果点B是延长线上的一点，，那么当点P运动
2s的时间为时，判断直线BP与?O的位置关系，并说明理由(
, , ,
26(已知:?ABC内接于?O，过点A作直线EF。
(1)如图1，AB为直径，要使EF为?O的切线，还需添加的条件是(只需写出三种情况): ? ;? ;? 。
(2)如图2，AB是非直径的弦，?CAE=?B，求证:EF是?O的切线。
图1 图2
- 14 -
范文四：一角的概念，弧度制与角度制，弧长与面积公式（2课时）
一角的概念，弧度制与角度制，弧长与面积公式(2课时)
1角的概念的推广
一、学习目标:
1、掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的
新疆王新敞奎屯角”的含义
2、掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法
3、体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念;
二、教学重点、难点
重点:理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法.
难点:终边相同的角的表示.
三、教学方法:
讲授法、讨论法、媒体课件演示
四、内容分析:
本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念以及终边相同的角的表示方法.树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念.教学方法可以选用讨论法，通过实际问题，教师抽象并通过用几何画板多媒体课件演示角的形成更加形象直观，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，明确“规定”的实际意义，突出角的概念的理解与掌握.通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的.
五、教学过程:
教学教学内容 师生互动 设计意图 环节
1(角的概念的推广
?“旋转”形成角
Bα A O 1、教师指导学生依定义分别作出新
大小和方向不同的角，并指出角一条射线由原来的位置OA，绕概 1、促使学生从本质上
的“顶点”“始边”“终边” 念 着它的端点O按逆时针方向旋转到认识角的形成以及角产 的分类。 另一位置OB，就形成角α(旋转开
生 始时的射线OA叫做角α的始边，旋
转终止的射线OB叫做角α的终边，
射线的端点O叫做角α的顶点(
突出“旋转” 注意:“顶点”
“始边”“终边” 2、教师设计以下问题组织学生讨
?(“正角”与“负角”“0论思考回答: 2、通过观察旋转绝对
(1)正角与负角有何本质区别, 量的变化学习角的加角”
(2)正角与负角的实际意义有何减运算。 我们把按逆时针方向旋转所形不同, 成的角叫做正角，把按顺时针方向(3)角的概念推广以后应该包括 旋转所形成的角叫做负角，如图，哪些角,
以OA为始边的角α=210?，β
=-150?，γ=660?，
0210
3让学生清楚角的正
负规定纯系习惯。
0-150
3教师应注意指明:正角与负角是0660具有相反意义的旋转量，它的正
负规定纯系习惯，就好像与正数、
负数的规定一样，零角无正负。
特别地，当一条射线没有作任
何旋转时，我们也认为这时形成了
一个角，并把这个角叫做零角(记
新疆王新敞奎屯，,法:角或 可以简记成 ,,
?意义
用“旋转”定义角之后，角的
新疆王新敞奎屯范围大大地扩大了
1: 角有正负之分 如:
,=210: ,=,150: ,=660:
2: 角可以任意大
实例:体操动作:旋转2
周(360:?2=720:) 3周(360:?
3=1080:)
3: 还有零角
一条射线，没有旋转
角的概念推广以后，它包括任
意大小的正角、负角和零角(要注
意，正角和负角是表示具有相反意
义的旋转量，它的正负规定纯系习
惯，就好象与正数、负数的规定一
样，零角无正负，就好象数零无正
负一样(
2(“象限角”
为了研究方便，我们往往在平
面直角坐标系中来讨论角
角的顶点合于坐标原点，角的
提出问题，学生讨论回答: 始边合于轴的正半轴，这样一来，x(1)在坐标系中表示角时，对角新 角的终边落在第几象限，我们就说的顶点与角的始边有什么要求, 学习新概念与问题讨概 这个角是第几象限的角(角的终边(2)你对“角的终边落在坐标轴论相结合，进一步加念 上，则此角不属于任何一个象限”深学生对于新概念的落在坐标轴上，则此角不属于任何形 这句话是怎么理解的, 理解与掌握。 成 一个象限) (3)分别举出几个第一、二、三、
例如:30:、390:、,330:是第?四象限角的例子。 象限角，300:、,60:是第?象限角，
585:、1180:是第?象限角，,2000:
新疆王新敞奎屯是第?象限角等
3(终边相同的角 引导学生观察分析:
(1)终边相同的角有何特点,?观察:390:，,330:角，它们从观察分析入手，通(相差整数个周角)。 的终边都与30:角的终边相同 过具体例子，归纳总(2)试表示出与30:终边相同的结出终边相同的角的?探究:终边相同的角都可以角。 表示方法，并初步认表示成一个0:到360:的角与(3)用集合表示终边相同的角请识用集合表示终边相注意以下问题: 个周角的和: k(k,Z)同的角需注意的几个kZ,; ?问题。 ?,是任意角; 390:=30:+360: 新 ?终边相同的角不一定相等，但概 (k,1)是相等的一定终边相同，终边相念 同的角有无数多个，它们相差 ,330:=30:,360: 形 360:的整数倍。 成 (k,,1) 30:=30:+0?360: (k,0) 1470:=30:+4?360: (k,4)
,1770:=30:,5?360:
(k,,5)
?结论:所有与,终边相同的角
连同,在内可以构成一个集合:
,S,,,,|,,,，k,360,k,Z
即:任何一个与角,终边相同的角，
都可以表示成角,与整数个周角的
新疆王新敞奎屯和
?注意以下四点:
k,Z(1)
(2) ,是任意角;
0(3)与,之间是“+”号， k,360
0如-30?，应看成k,360
0+(-30?); k,360
(4)终边相同的角不一定相等，但相
等的角，终边一定相同，终边相同
的角有无数多个，它们相差360?的
整数倍
例1 在0?到360?范围内，1、例1主要让学生学1、选例1的第一小题板书来示范
解题的步骤，其他例题请几个学找出与下列各角终边相同的角，并会如何在0?到360?
生板演，，其他学生在下面自己完判断它是哪个象限的角 范围内，找出与某个成，针对板演同学所出现的步骤
角终边相同的角，并(1)120(2)640,::上的问题及时给予更正，教师要新疆王新敞奎屯 判断它是哪个象限的适时引导学生做好总结归纳。 (3)95012',:
角。 解:??-120o=-360o+240o， ?240o的角与-140o的角终边讲
2、例4主要想解决:解 相同，它是第三象限角(
所有与,终边相同的范 ??640o=360o+280o， 例 角连同,在内可以构?280o的角与640o的角终边相 成一个集合: 同，它是第四象限角(
,,,|,，,, ，??-950o12’=-3360o+129S,,,, kkZ,,360,,,o48’， 2、例2可以组织学生讨论，然后?129o48’的角与-950o12’即:任何一个与角,让学生回答，互相更正，对出现的角终边相同，它是第三象限角( 终边相同的角，都可的错误进行纠正讲解，并要求学
生熟练掌握这些常见角的集合的例2写出与下列各角终边相同以表示成角,与整数
表示方法。 的角的集合S，并把S中在个周角的和。在这里:
kZ,; ?,360:~720:间的角写出来:?,是任意角;
?终边相同的角不一?60:?,21:
定相等，但是相等的新疆王新敞奎屯?363:14, 一定终边相同，终边解:(1) 相同的角有无数多
个，它们相差360:的 ,,S,,|,,60:，k,360:，k,Z
整数倍。
S中在-360?,720间的角是
-1?360?+60?=-280?;
0?360?+60?=60?;
1?360?+60?=420?(
(2)
,,S,,|,,,21:，k,360:，k,Z
S中在-360?,720间的角是
0?360?-21?=-21?;
1?360?-21?=339?;
2?360?-21?=699?(
(3)
,,S,,|,,363:14,，k,360:，k,Z
S中在-360?,720?间的角是
-2?360?+363o14’=-356o
46’;
-1?360?+363o14’=3o14’;
0?360?+363o14’=363o
14’(
1(锐角是第几象限的角,第一
象限的角是否都是锐角,小于90?
课堂练习的目的是对的角是锐角吗,0?,90?的角是课 本节课的内容进行综锐角吗, 堂 合回顾，教师可以放练 (答:锐角是第一象限角;第一手让学生自行解决，习 象限角不一定是锐角;小于90?的然后教师加以点拨。
角可能是零角或负角，故它不一定
是锐角;0?,90?的角可能是零
角，故它也不一定是锐角()
总结有关角的集合表示(
锐角:{θ|0?,θ,90?}，
0?,90?的角:{θ|0??θ
?90?};
小于90?角:{θ|θ,90?}(
2(已知角的顶点与坐标系原点
重合，始边落在x轴的正半轴上，
作出下列各角，并指出它们是哪个
象限的角,
(1)420?，(2)-75?，
(3)855?，(4)-510?(
(答:(1)第一象限角，(2)第四
象限角，(3)第二象限角，(4)第三
象限角)
0420
0-750855
0-510
本节课我们学习了正角、负角和
零角的概念，象限角的概念，要
注意如果角的终边在坐标轴上，
归 就认为这个角不属于任何象 请学生在教师的叙述纳 限(本节课重点是学习终边相同从知识、方法两个方面对本节课的回顾中再现本节的核小 的角的表示法(严格区分“终边心内容。 内容进行归纳总结。 结 相同”和“角相等”;“轴线角”“象
限角”和“区间角”;“小于90?
的角”“第一象限角”“0?到90?
的角”和“锐角”的不同意义.
课 本次作业主要涉及以下重要内通过作业让学生巩固 后 容: 以下三点:
作 1、正角、负角、象限角的基本概1、角的概念推广后的业 念; 范围;
2、终边相同的角的概念及终边相2、弄清角的分类;
同的角的集合表示法。 3、终边相同的角的集
这些内容对以后的学习有很重要合表示法。
的作用，请同学们认真落实完成。
2弧度制和弧度制与角度制的换算
一、教学目标
1(知识目标:
? 了解弧度制，能进行弧度与角度的换算.
? 认识弧长公式，能进行简单应用. 对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.
2. 能力目标:
?了解弧度制引入的必要性及弧度制与角度制的区别与联系.
?了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题.
? 通过角度制与弧度制的换算，对学生进行算法训练，提高学生的计算能力.
3(情感目标:使学生认识到角度制、弧度制都是角的度量制度，二者虽单位不同，但是二者相互联系、辩证统一. 进一步加强学生对辩证统一思想的理解.
二、教学重点、难点
重点:了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算.
难点:弧度的概念及其与角度的关系.
三、教学方法
自学—讨论—讲授—练习
先由学生自学，而后教师设置一些问题供学生思考，在此基础上，可以通过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学.
四、教学过程
教
学教学内容 师生互动 设计意图 环
节
1、复习初中学习过的知识:角的度量、圆心角的教师提出问题:?初中的角
度数与弧的度数及弧长的关系. 是如何度量的,度量单位是
2、复习角的概念推广:什么,
复学生回答:
习? 1?的角是如何定义的,B温故而知新 α引弧长公式是什么, A入 O 学生回答: 一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O
按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角? 角的范围是什么,如何
分类的, α(旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转
终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O
叫做角α的顶点(
角分为正角、负角、零角。
1(学生自学课本第7、8页.1(引导学生切
通过自学回答老师提出的以身感受角的弧1( 初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、下问题: 度制引入的必
秒，它们是60进制，角是否可以用其它单位? 角的弧度制是如何引入要性. 概度量，是否可以采用10进制, 的, 念2( 通过自学，老师引导，总结1弧度角的定义、? 为什么要引入弧度制, 形角的弧度与角的关系。 好处是什么, 成 ?1弧度角的定义:长度等于半径长的弧所对的? 1弧度是如何定义的, 2(通过学生自新疆王新敞奎屯圆心角称为1弧度的角它的单位是rad 学、老师引导加?角度制与弧度制的区别与
深学 联
教
学教学内容 师生互动 设计意图 环
节
系. 生对弧度制的读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度2(学生动手画图来探究: 理解。 叫做弧度制( ?平角、周角的弧度数 3(学生亲手作?平角、周角的弧度数:平角=, rad、周角=2, rad ?角的弧度制与角的大小有图，感受角的弧?正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，关，与角所在圆的半径的大度制与角度制零角的弧度数是0 小是否有关, 都是角的度量
?角的弧度与角所在圆的半单位，都可以刻ll,,?角,的弧度数的绝对值 (为弧长，r径、角所对的弧长有何关画角的大小，与r
系, 角所在圆的半为半径)
3(角度制与弧度制如何换径无关。 3(角度制与弧度制的换算: 算, 概 ? 360:=2, rad 念 ?180:=, rad 形 ,成 rad,0.01745rad ? 1:= 3( 引导学生从180
弧度定义出,180,,,, 发归纳出角 1rad,,57.30,5718',,,,, 度制与弧度
制的换算公4( 用弧度制表示弧长及扇形面积
式。 公式:
4(初中学过用角度制计算弧 l,r,,? 弧长公式:
长及扇形面积，现在用角的 l弧度制如何计算弧长及扇形4(进一步巩固,,,l,r,,由公式: 比公式r面积呢, 弧度定义，从不
同角度加深学n,r简单 l,生对弧度制的 180
弧长等于弧所对的圆心角(的弧度数)的绝对值理解。
与半径的积
?扇形面积公式 1R S,lR o 2l S
l其中是扇形弧长，
新疆王新敞奎屯是圆的半径 R
5(角度制与弧度制都能在角的集合与实数的集合
新疆王新敞奎屯之间建立一种一一对应的关系
正实数 正角
零 5(角度制、弧度制是度量角零角
负实数 的两种不同的方法，虽然单负角
位、进制不同，但反映了事
物的本质属性不变，改变的
是不同的观察、处理方法，
新疆王新敞奎屯因此结果就有所不同
教
学教学内容 师生互动 设计意图 环
节
1(例1的第(1)问由老师1(让学生跟随,6730'例1:(1)把化成弧度 板书，并归纳出算法步骤。 老师规范书写
把角度值n换算为弧度制的格式，加强算法(精确到0.001) 算法步骤如下: 训练。
,? 给变量n和圆周率π的 6730'(2)把化成弧度
近似值赋值; (用π表示) ? 如果角度值n是以“度、
,应分、秒”形式给出的，先把 6730'解:(1)n,，π,3.1416;
用n化为以“度”为单位的10
30举进制表示; 67 (2)n,,67.5; 60,例 (把1?换算为? 计算, 180 (3)a,?0.0175; 180弧度值)，得出的结果赋给变2(让学生掌握
(4)α,na,1.18125 量a; 换算过程并提
? α?1.18125 rad ? 计算na，赋值给变量α. 高学生计算的
α就是这个角的弧度值. 准确性.
2(例1的第(2)问由一个
学生板书，教师及时指出解
题过程中出现的问题. 3例2: 把化成度 ,rad 5
3(例2由学生回答，老师3(弧度制换算33,,解: ,rad,，180,108板书。 为角度制比较55
例3:填写下表: 简单， 角 注意书写规范 90? 0? 30? 45? 60? 120? 度
4(例3学生自行完成，若 弧
度 有错误，由学生检查订正. 4( 一些特殊角
的弧度数应角135? 150? 180? 210? 225? 240?
加强记忆. 度
弧
度
角270? 300? 315? 330? 360?
度
弧
度
例4:直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的
,4,弧长 ? ? 165 5(巩固公式，3
5(例4由学生完成，老师加强计算。 r,10cm解:
指导 440,,l,,r,，10,(cm)? ,33
11,,,165,，165(rad),rad ? 18012
教
学教学内容 师生互动 设计意图 环
节
1155,, l,，10,(cm)? 126
2例5: 已知扇形周长为10cm，面积为6cm，求6(师生共同分析，寻找解决6(弧长公式、扇形中心角的弧度数( 问题的方法 扇形面积公式
解:设扇形中心角的弧度数为α(0<><2中涉及四个量应π)，弧长为l，半径为r， α、l、r、s="" 知用二求二.="" l，2r,10,举,21r,5r，6,0由题意:="" ,,l,r,6例="">
学习，学会反r,3r,2,,? 或 思，学会总结，,,l,4l,6,,重视数学思想
l4方法在分析问,, ? =3 或 题和解决问题3r
中的作用。
1(1弧度的定义
2(弧度与角度的换算公式归(注意算法) 学生跟随老师纳3(弧长及扇形面积公式 从知识和方法两个方面对本节课进行归纳总结 回顾本节课的小4(引入弧度制的必要性及角重点内容 结 的集合与实数集的一一对应
关系
通过完成作业布巩固本节知识1( 练习A的2、3的(1)、(3)、(5) 置巩固本节课所学过的重点内点，并加强书写2( 练习B的3、4(2)、5(3)(4) 作容。 训练及提高计3( 思考:习题1—1B的4、5 业 算的准确性。
板书设计:
角的概念
角度制与弧度制
面积和弧长公式 例 练
课后反思:
本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念以及终边相同的角的表示方法，通过角度制与弧度制的换算增强学生的计算能力。其中象限角的应用和阴影部分角的表示对学生始终是个难点，课堂上应注重讲练结合，切实突破这一难点。角度制与弧度制的换算对今后学习非常重要，对于几个特殊的角度的转化应让学生练习到熟悉。
3 任意三角函数的定义(2课时)
一。、教学目标
1(知识目标:(1)让学生理解任意角的三角函数的定义;
(2)掌握三角函数(正弦、余弦、正切)的定义域;
(3) .理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号.
2(能力目标:(1)培养学生应用图形分析数学问题的能力;
(2)学会运用任意三角函数的定义求相关角的三角函数值;
(3)树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数;
(4)判断.三角函数值在各象限内的符号.
3(情感目标:(1)通过网络载体，利用几何画板的直观演示，培养学生主动探索、善于发
现的创新意识和创新精神;
(2)在学习过程中通过相互讨论培养学生的团结协作精神;
(3)通过三角函数定义的学习，从中体会三角函数像一般函数一样，具有一般
函数的抽象美。
二、教学重点
(1) 任意角的正弦、余弦、正切的定义;
(2) 三角函数的定义域;
(3) 根据任意角的三角函数定义求三角函数值。
(4) 判断.三角函数值在各象限内的符号.
三、教学难点
任意角的正弦、余弦、正切的定义;
教学 教学内容 师生互动 设计意图
环节
1(用坐标的形式表示出初1、 将初中定义的锐 1(以坐标原点为角α 中所学的锐角三角函数: 角三角函数放到
的顶点，以OX轴的正方向为 坐标系中讨论，概 指明研究函数问 设点P (x,y)是锐角α终角α的始边，则角α的终边念 题的工具，完成
边上的任意一点，,点P到落在直角坐标系的第一象限形 从三角形到坐标成 系的转化，为后原点O的距离是r内，若点P (x,y)是角α终
面在直角坐标系22边上的任意一点，,点P到原r,x，y,0(), 中定义任意角的
三角函数搭建平点O的距离是r
台。 22r,x，y,0 则用含x、y、r的式子),试将( 2、通过对比，让学生
对知识进行类比、迁表示角α的正弦、余弦、角α的三角函数用x、y、r 移及联想，树立他们正切值分别是: 勇于探索的信心。 的式子表示出来。 yxsinα=，cosα=， 通过分组讨论，加rr 强学生间的交流与合学生作图，教师在此过程ytanα=。 作，充分发挥学生学x中要引导学生在坐标系中作 习的主动性。
出符合锐角三角函数定义要2(任意角的三角函数
求的直角三角形。该过程中要
适时指点学生，并加强学生与(1)确立任意角α在直角
学生之间的讨论与流。 坐标系中的位置;
回答问题:教师通过多媒以坐标原点为角α的顶
体将此过程展示给学生，明确点，以OX轴的正方向为角
坐标与三角函数的关系。 α的始边;;
2(教师提出问题: (2)在其终边上任取一
点P(x,y)，设点P到原点的 问题1:根据刚才我们在概 距离为r，OP =r(r?0)，
直角坐标系中讨论的锐角三念 根据三角形的相似知识得: 形 角函数，你能给出任意三角的成
三角函数定义吗, yx ,l,m rr
教师一边鼓励学生大胆说
出自己的想法，一边组织学生
ym讨论，并及时肯定。 , xl
回答问题:
xy 由此得 ,l,mrr 通过鼓励和肯定一些好的
想法，让一位能代表大多数意ym ,xl 见的学生主动说出自己对任
意角三角函数的定义。 (3) 三角函数定义如
下: 问题2:角α的三角函数
值不受终边上的点P的位置x叫做角α的余弦，记 r的影响吗, x 作cosα ,即cosα=; r 这是一个较有思考价值的
y问题，教师要注意正确地引导 叫做角α的正弦，记 r和必要地提示，锐角三角函数 y作sinα，即sinα=; 的大小仅与锐角的大小有关，r
与直角三角形的大小无关。类 y 叫做角α的正切， 似地??(留给学生思考)教x
y记作tanα，即tanα= 师边引导，边结合多媒体演 x
示。
角α的其他三种函数: 问题3.依据函数的定义,
概 这几个比值可以分别构成函角α的正割:
1r念 secα== 数吗?若能构成,它们的自变cos,x形
量是什么? X还是y? r还是成
角α? 角α的余割:
1r, csc,= sin,y
角α的余切:
1x, = cot,,tan,y
1( 角是“任意角”，当 对于第1到第3点教师要点1、让学生明确定义是概 β=2kπ+α(k?Z)时，拨,学生思考.对于第4点教师对任意角而言的，OP念 β与α的同名三角函提出问题:谈到函数，定义域是角α的终边，至于深 数值应该是相等的，即要先行。在此，对三角函数的是转了几圈，按什么化 凡是终边相同的角的定义域要进一步明确，确定三方向旋转的不清楚，
三角函数值都相等。 角函数的定义域的依据是任也只有这样，才能说
2( 定义中只说怎样的比意三角函数的定义。三角函数明角α是任意的。
值叫做α的什么函数，是以角为自变量的函数，如何2、 使学生明确任意
并没有说α的终边在去确定这些函数的定义域(即角的三角函数的
什么位置(终边在坐标限定角的变化范围),它们的定义与锐角三角
轴上除外)，即函数的定义域是什么, 函数的定义的联
定义与α的终边位置 由学生讨论回答。 系与区别。任意
无关。实际上，如果终 角的三角函数包
边在坐标轴上，上述定 含锐角三角函
义同样适用。 数。实质上锐角
3( 三角函数是以“比值” 三角函数的定义概 为函数值的函数。 与任意角的三角念 4( 对于正弦函数 函数定义是一致
y深 的，锐角三角函sinα=,因为r>0，化 数定义是任意角r
y 三角函数定义的所以恒有意义，即α特例。所不同的r
y是，锐角三角函取任意实数，恒有意数是以边的比来r
义，也就是说sinα恒定义的，任意角
有意义，所以正弦函数的三角函数定义
的定义域是R;类似地是以坐标与距
可写出余弦函数的定离、坐标与坐标、
义域;对于正切函数距离与坐标的比
tanα, 因为x=0时，来定义的。
y3、让学生掌握正弦函无意义，又当且仅当数、余弦函数、正切x
α的终边落在y轴上函数的定义域。
时，才有x=0，所以当
α的终边落不在y轴上
y时，恒有意义，即使学生进一步巩x
tanα恒有意义，所以固和应用所学知识。
正切函数的定义域是
,{α?α?kπ+2
(k?K)}
从而有y=sinα, α?R
y=cosα, α?R
y=tanα ,
,α?kπ+(k?K) 2
应 例1 已知角α的终边过 学生板演，教师对学生在让学生巩固六种用 点 解题思路和规范方面进行指三角函数的概念，感举 P(-2，3)，求α的其他导。 受三角函数的定义在例 三角函数值。 三角函数求值中的应
例2 求下列各角六个三用。
角函数值: 熟记0到2π范围
(1)0; 内的某些特殊角的三
(2)π 角函数值。
,3 (3) 2
归 1( 知识:三角函数的定义 学生反思本节内容，对知让学生学会学习，纳 及其定义域。 识进行总结，教师对思想方法学会反思，学会总结，小 2( 数学思想方法:数形结进行提炼。 重视数学思想方法在结 合思想;类比法。 分析问题和解决问题
中的作用。
布 层次一:教材练习A，1―3 层次一的题目要求所有学生使学生进一步巩置 层次二:教材习题1―2A，完成，层次二的题目要求中等固和应用所学知识。 作 1，2。 以上水平以上的学生完成。
业
1(21 任意三角函数的定义(二)
一。、教学目标
1(知识目标:
(1). 理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号.
(2)三角函数定义及符号的应用
2(能力目标:(1)培养学生分析数学问题的能力;
(2) 判断.三角函数值在各象限内的符号. 3(情感目标:(1)通过网络载体，利用几何画板的直观演示，培养学生主动探索、善于发
现的创新意识和创新精神;
(2)在学习过程中通过相互讨论培养学生的团结协作精神; 二、教学重点;
(1)判断.三角函数值在各象限内的符号.
教学 教学内容 师生互动 设计意图
环节
教师提出问题学生回答 温故知新 1.设是一个任意角，在的,,
终边上任取(异于原点的)一点P (x,y)
则P与原点的距离
2222 r,x，y,x，y,0复
y习 2(比值叫做,的正弦 引 r
y入 sin,,记作: r
x, 比值叫做的余弦 r
x,cos,记作: r
y, 比值叫做的正切 x
y记作: ,tan,x
x比值叫做的余切 ,y
x记作: ,cot,y
r比值叫做的正割 ,x
r记作: , sec,x
r 比值叫做的余割 ,y
r记作: ,csc,y
以上六种函数，统称为三角函数.
概 在初讲三角函数正负号规1让学生从
念 律时一定要充分重视让学本质上理解角是“任意角”， 由三角函数形 生明白道理也就是如何确任意角三角
r,0定义可知，而x,y的正负是成 定比值的正负号。要让学生函数的符号
随象限的变化而不同，故三角函数自己去观察、思考、总结。2总结三角
正弦余弦正切函数值的符函数符号的的符号应由象限确定.
号是根据这三种函数的定规律 义和各象限内坐标的符号 导出的。 三角函数在各象限内的符号由学生讨论回答 规律:
第一象限: .x,0,y,0?sin,0,cos,0,tan,0, ,,,cot,0,sec,0,csc,0 ,,,第二象限: .x,0,y,0?sin,0,cos,0,tan,0, ,,,cot,0,sec,0,csc,0 ,,,第三象限:.x,0,y,0
sin,0,cos,0,tan,0,,,,
cot,0,sec,0,csc,,,,
0
第四象限: .x,0,y,0
?
sin,0,cos,0,tan,0,,,,
cot,0,sec,0,csc,,,,
0
记忆法则:
第一象限全为正,二正三切四余弦.
sin,>0sin,>0
cos,>0 cos,<>
tan,>0tan,<>
cot,>0cot,<>
sin,<><0cos,>0cos,<><0tan,>0cot,<0cot,>0
应 例3 确定下列三角函数值的让学生上黑板板书解题过让学生能够
用 符号 程，让其他学生给他挑错误 准确判断三
举 (1)cos250? 角函数的符
,例 号并能正确sin(,)(2) 的应用 4
(3)tan(,672?)
,11tan()(4) 3
例4设sinθ<0且tanθ>0，确定
θ是第几象限的角
例5已知角,终边上一点P
(-15a，8a)(a?R且a?0)
例6当,为第二象限角时，求
,sin,cos-的值 cos,sin,
归 知识上:判断三角函数的符号 让学生谈本节课程的收获
纳 并进行反思 小
结
布 层次一:P练习A第4题，练习B第2、3、4题 18
置 层次二:B组第5题，习题A1-2 第3、5题
作
业
板书设计:
三角函数的概念
各象限符号
例 练
课后反思:重点是让学生理解任意角的三角函数的定义;并掌握三角函数(正弦、余弦、正切)的定义域; 能根据定义理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号由此培养学生应用图形分析数学问题的能力。难点角的终边上的点不在单位圆上容易错，应注重区分和练习突出。特殊叫的三角函数值应熟练掌握以备用。
1.2.4 诱导公式(2课时)
一、学习目标
2k,1(通过本节内容的教学，使学生掌握+，-角的正弦、余弦和正切的诱导公,,
式及其探求思路，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明;
2(通过公式的应用，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力;
二、教学重点、难点
重点:四组诱导公式及这四组诱导公式的综合运用.
难点:公式(四)的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透. 三、教学方法
先由学生自学，然后由教师设置一些问题供学生思考，在此基础上，可以通过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学.
四、教学过程
教学教学内容 师生互动 设计意图 环节
1、 初中我们已经会求锐角的三教师提问:0?、30?、45?、
角函数值。 60?、90?的正弦、余弦、正
复习2、 和30?、45?、60?终边相切的三角函数值是多少, 温故知新 引入 同的角如何表示, 学生回答
本节我们将研究任意角三角函我们如何求360?、390?、
数值之间的某中关系，以及如何,315?的三角函数值呢,
求任意角的三角函数值。
1(根据任意角的
1.公式(一) y三角函数定义可
sin(,，k,2,),sin,知两个角若终边P(x,y) cos(,，k,2,),cos,相同，那么它们的
,三角函数值也应 tan(,，k,2,),tan,
OM该相同。由此导出k,Zx(其中) ,,公式(一) 诱导公式(一)的作用:把
P′(x，-y) 把绝对值大于360o的任意角的正
弦、余弦、正切的三角函数问题(4-5-2)
转化为绝对值小于360o角的正
弦、余弦、正切三角函数问题，
其方法是先在绝对值小于360o角
找出与角终边相同的角，再把,
它写成诱导公式(一)的形式，
新疆王新敞奎屯然后得出结果
2(学生在单位圆 2(公式(二): sin(,,),-sin,中画出α角与, cos(,,),cos,α角，观察出角的 tan(,,),,tan,终边关于x轴对 它说明角-与角的正弦值互,,称，结合三角函数 为相反数，而它们的余弦值相定义可得到公式 公式等(这是因为，若没的终边与,(二) 导入 单位圆交于点P(x，y)，则角-, 的终边与单位圆的交点必为P? 让学生在单位圆中画出α角(x，-y)(如图4-5-2)(由正弦 与,α角，观察两个角的位置函数、余弦函数的定义，即可得 关系。 sin=y， cos=x, ,, sin(-)=-y, cos(-)=x, ,, 所以:sin(-)= -sin, ,, cos(-)= cosα , 公式二的获得主要借助于单位圆 及正弦函数、余弦函数的定义(根 据点P的坐标准确地确定点P?的 坐标是关键，这里充分利用了对 称性质(事实上，在图1，点P? 与点P关于x轴对称(直观的对 称形象为我们准确写出P?的坐标 铺平了道路，体现了数形结合这 一数学思想的优越性( 公式(三) 3(利用角的终边
在单位圆中的不,,cos,，(2k，1),,,cos,
同位置关系而得
,,sin,，(2k，1),,,sin, 到相应的诱导公
引导学生在单位圆中画出α式。 ,,tan,，(2k，1),,tan,角与π，α角，观察其位置关由公式(一)可以看出，角和系，在结合公式(一)得到公,,
加上偶数倍的所有三角函数值式(三) ,
相等。角和加上奇数倍的 ,,,
正，余弦值互为相反数; 角和,
y加上奇数倍的正切函数值相,,
等。
,P(x,y)180，,,,,，为奇数sin,,M′,,，,sin(n),MOxsin,，,为偶数,
P′(-x，-y),,,cos，为奇数,,,cos(，n),,cos,,，为偶数,(4-5-1)
tan(,，n,),tan,
例1(下列三角函数值: 分析:本题是诱导公式三(1)cos210o; 的巩固性练习题(求解时，只
,5须设法将所给角分解成180o(2)sin 或(π+)，为锐角即+,,,4
解:(1)cos210o=cos(180o+30o)=可(
3 ,cos30o=,; 2
,,5 ，(2)sin=sin()=, 44
2,新疆 王新敞奎屯,sin=, 42 应用例2(求下列各式的值: (1) 举例 ,4 sin(,);(2)cos(,60o), 3
sin(,210o) 分析:本题是诱导公式
,4二、三的巩固性练习题(求解解:(1)sin(,) 时一般先用诱导公式二把负3
角的正弦、余弦化为正角的正,,3弦、余弦，然后再用诱导公式，=,sin()=sin=; ,332三把它们化为锐角的正弦、余(2)原式=cos60o+sin(180o+30弦来求(
o)
11 =cos60o,sin30o=,=0 22
例3(化简
,,sin(1440:，),cos(,1080:) 分析:这是诱导公式一、cos(,180:,,),sin(,,,180:)二、三的综合应用(适当地改解:原式 变角的结构，使之符合诱导公
式中角的形式，是解决问题的=关键(
,,sin,cos cos(180:，,),[,sin(180:，,)]
,,sin,cos ==,1 (,cos,),sin,
1例4(已知cos(π+)=, ，, 2
,3<2π，则sin(2π,)的,,>
值是( )(
分析:通过本题的求解，
3可进一步熟练诱导公式一、(A) (B) 2二、三的运用(求解时先用诱
导公式三把已知条件式化简，133然后利用诱导公式一和二把(C), (D)? 222sin(2π,)化成,sin,,,
选A 再用同角三角函数的平方关
系即可(
1(求下式的值:2sin(,1110选题目的:通过本题练习，o) ,sin960o使学生熟练诱导公式一、二、
三的运用( + 2cos(,225:)，cos(,210:)使用方法:供课堂练习
答案:,2 用(
提示:原式=2sin(,30评估:求解本题时，在灵o)+sin60o,活地进行角的配凑，使之符合加强格式的规范课堂诱导公式中角的结构特点方化，减少计算错2cos45:,cos30:=,2 练习 面有着较高的要求(若只计算误。 2(化简sin(,2)+cos(,2一次便获得准确结果，表明在,π)?tan(2,4π)所得的结果利用诱导公式一、二、三求解是( ) 三角函数式的值方面已达到(A)2sin2 (B)0 了较熟练的程度( (C),2sin2 (D) ,1
答案:C
课堂 通过本节课的教学，我们获得了本节课我们学习了哪些诱导师生共同回顾本
小结 诱导公式(值得注意的是公式右公式,它们角的终边具有什节课所学习的诱
端符号的确定(在运用诱导公式么几何特征,如何记住公导公式，加强记
进行三角函数的求值或化简中，式, 忆，熟能生巧。
我们又一次使用了转化的数学思
想(通过进行角的适当配凑，使
之符合诱导公式中角的结构特
征，培养了我们思维的灵活性(
通过完成作业巩固诱导布置练习A、练习B 记准公式，计算准公式的(一)、(二)、(三)，作业 确 达到熟练运用。
诱导公式(二)
一、学习目标
,1，(通过本节内容的教学，使学生掌握+，角的正弦、余弦和正切,,(2k，1),2
的诱导公式及其探求思路，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明;
2(通过公式的应用，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力;
二、教学重点、难点
重点:四组诱导公式及这四组诱导公式的综合运用.
难点:公式(四)的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透. 三、教学方法
先由学生自己看书，在此基础上，可以通过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学.
四、教学过程
教学教学内容 师生互动 设计意图 环节
复习提问:
诱导公式(一)，(二)及(三)的内容
公式(一)
sin(,，k,2,),sin,
cos(,，k,2,),cos,复习学生默写 温故知新 tan(,，k,2,),tan, 引入 k,Z(其中)
公式二:
sin(,,),-sin,
cos(,,),cos,
tan(,,),,tan,
公式(三)
,,cos,，(2k，1),,,cos,
,,sin,，(2k，1),,,sin,
,,tan,，(2k，1),,tan,
公式(四)
,cos(,，),,sin, 2
, sin(,，),cos,2
, cos(,,，),sin, 2
,1、在上一课时的sin(,,，),cos, 基础上，可以请学2
,生先讨论探索性tan(,，),,cot, 2的进行讲解，充分
,发挥学生学习的cot(,，),,tan, 潜能，既有助于激2
,发学习数学的积tan(,,，),cot, 极性，又便于在学2
,新课生的讲解过程中cot(,,，),tan, 2讲授 发现他们理解知
识上的不足，最后
再由老师进行纠
正和深入讲解。 P ,
OMM'
P'
四组诱导公式的作用:任意一个角都可以表示为
,,k,，(其中,)的形式。这样由前面的公,,24
式就可以把任意角的三角函数求值问题转化为0
,到之间角的三角函数求值问题。 4
例题1、例题1-3主要以教师适当的分讲解 是对诱导公式例1 求证: 析为主，学生自练 (一)和(四)的为辅。 直接运用，检验学
生是否已正确掌,,,3,,,,,sin(，),cos(,)sin(4k,)sin(,) 握，既是检测，又222,,,,,,tan(2k,)，cot(,k，) 是下一步教学的cos(5,，,),cos(，,)2 辅助。
,,,, cos，sinsincos证: 左边,, ,tan,，cot,cos,,sin,
,sin,cos,sin,cos, 右边,, ,cos,，sin,cos,,sin,
左边 = 右边 ?等式成立
,,22例2 求cos(,,)，cos(，,)的值。 44
,,, 22,,,cos[,(，)]，cos(，)原式 2、例2是一道综244
,, 合性较强的题目，22,sin(，)，cos(，),1,,归纳既有对诱导公式44
小结 例3 的灵活应用，又有
1与函数知识的结已知sin,,，sin(,，,),1,求sin(2,，,)合，意在使学生建3
解: 立知识之间的综
,合练习。 ？sin(，),1？，,2k，(k,Z),,,,, 2
从而
,,,,,sin(2，),sin[2(2k，),] 2 1k,,,,,sin(4，,),sin, 33、课堂练习仍然
紧紧围绕本节的例4 若f(cosx),cos17x,求f(sinx)重点内容设置，因
解: 此，主要以学生自
练为主，适当可以
小组为单位进行,, f(sinx),f[cos(90,x)],cos[17(90,x)]互查，对于习题的
解答过程中反映
出来的错误，及时,,, ,cos(4，360，90,17x),cos(90,17),sin17x给予纠正，同时，
四、课堂练习: 对解答步骤也必
1(计算:sin315:,sin(,480:)+cos(,330:) 须给予规范。
解:原式 = sin(360:,45:) + sin(360:+120:) +
cos(,360:+30:)= ,sin45: + sin60: + cos30:
2 3,= 2
2(已知
,35, cos(，,),，求cos(,,)的值。636 解:
,,55,,,cos(,),,cos[,(,)] 66
,34、作业的布置照,,,cos(，),,63顾到了不同层次3(求证: 学生的需求，既有
对基础知识的巩cos(k,,,)cos(k,，,),,1,k,Z固反馈，又有对前sin[(k，1),，,]cos[(k，1),，,]面所学知识的综
合练习。 证:若k是偶数，即k = 2 n (n,Z) 则:
,,,,,,nncos(2,)cos(2，),sincos左边,,,,1 n,,,n,,,,,sin[2，(，)]cos[2，(，)],sin(,cos) 若k是奇数，即k = 2 n + 1 (n,Z) 则:
cos[2n,，(,,,)]cos[2n,，(,，,)]sin,(,cos,)左边,,,,1 sin[2(n，1),，,)]cos[2(n，1),，,)]sin,cos, ?原式成立
4(已知方程sin(, , 3,) = 2cos(, , 4,)，求 ,,,, sin(,)，5cos(2,)的值。 ,32sin(,,),sin(,,) 2
解: ?sin(, , 3,) = 2cos(, , 4,) ?, sin(3, , ,) = 2cos(4, , ,)
?, sin(, , ,) = 2cos(, ,) ?sin, = , 2cos, 且cos, , 0
?
,,,,sin，5cos,2cos，5cos,,原式 ,,,,,2cos，sin,2cos,2cos ,3cos3,,, ,4cos,4 5(已知
2,,,,,,,a,,,tan(),|cos()|cos, 1求的值。,，,cos()
解:由题设:
2,,,tan,,a,0,|cos|,,cos, 即cos,,0
由此:当a , 0时，tan, < 0,="" cos,="">< 0,="" ,为第二象限角，="">
124？原式,,,,sec,,1，tan,,1，acos,
当a = 0时，tan, = 0, , = k,, ?cos, = ?1，
cos,,0 ? ?cos, = ,1 ,
14 ？原式,,,1,1，a(a,0)cos,
12 综上所述: ,1，acos(,，,)
26(若关于x的方程2cos(, + x) , sinx + a = 0 有实根，求实数a的取值范围。
2 解:原方程变形为:2cosx , sinx + a = 0 即 2 ,
22sinx , sinx + a = 0
?
117222sinsin22(sin)a,x，x,,x，, 48
?, 1?sinx?1
117sin当x,,时，a,,?; min48当sinx,1时，a,1 max
17,,1 ?a的取值范围是[] 8
五、小结 应用诱导公式化简三角函数的一般步骤:1:用“, ,”公式化为正角的三角函数;2:用“2k, + ,”公式化为[0，2,]角的三角函数;3:用“,?,”或“2, , ,”公式化为锐角的三角函数 六、课后作业:习题及补充练习
七、板书设计
板书设计:
三角函数概念
诱导公式 例 练
课后反思:通过本节课的教学，我们通过定义以及点的对称关系获得了诱导公式(值得注意的是公式右端符号的确定(注重推导过程的同时注重公式的记忆方法的培养。对于本节课应用是重点，要理解将角当成锐角的意义。
范文五：坡度与角度的关系
2、角度:普遍非专业?人员，例如广大车?友都喜欢以?角度(?)来描述一个?坡，45角度(?)坡=100%
坡度。
常用坡度%和角度转换?如下; 坡度(%) 角度(?)
5 2.86240?5
10 5.71059?3
15 8.53076?6
20 11.30993?
25 14.03624?
30 16.69924?
35 19.29005?
40 21.80141?
45 24.22775?
50 26.56505?
55 28.81079?
60 30.96376?
65 33.02387?
70 34.99202?
75 36.8699 80 38.65981?
85 40.36454?
90 41.98721?
95 43.5312 100 45
?=============华丽的分割?线=========?
图1:坡度“%”和角度“?”理论示意图?
图2:坡度“%”和角度“?”关系对比图?
图3:车库和公路?坡度%设计参考值?
1、
图4: 45度?力学分析计?算图
当要爬上4?5度的坡时?，以4驱匀速?来算(因为4驱前?后轮的摩擦?力均可向前?提供来动力?，)，
则摩擦力来?抵消重力的?分力
即uN=mg*sin45? ,N=mg*cos45?,
则应该um?g*cos45?=mg*sin45? ..........1 而动摩擦因?素u1,
则umg*cos45?mg*sin45?(cos45?=sin45?)........2 由2得到1?不可能成立?，即不可能爬?上45的坡?。
(此资料来自?于互联网，经过本人验?算分析非常?的正确。)
图5: 60%坡度(30?-角度)真实汽车爬?坡图
?============华丽的分割?线================?
---------------------------------------
?============C:日常常识================= ?
其它关于坡?度的常识简?述:
1、高速公路的?坡度最大为?3度(5%坡度)坡，坡度再大的?话，估计就高速?不起来了。不排除有超?过这个坡度?的路段，但不可能差?很多，5度(9%坡度)坡已经非常?惊人了。 2、车库的坡道?最大为8度?(15%坡度)坡。肯定不能排?除大于这个?度数的车库?坡道，因为现在不?少建筑由于?受到各种条?件限制，不得不违反?设计规范。但是能大到?多少呢,15度(27%坡度)坡应该很过?分了吧,
3、轿车因为不?越野爬山，所以设计和?生产都不强?求轿车的爬?坡，一般认为，轿车的最大?爬坡能力为?20度(37%坡度)坡就已经足?够，再大的坡就?不该开轿车?去爬了。设想如果有?一段路为2?0度(37%坡度)坡，用轿车的极?限能力开上?去(不是远远的?开足马力冲?上去，而是慢慢开?上去)，这样有多危?险～所以我们不?会遇到正常?修建的机动?车道路有2?0度(37%坡度)坡以上的坡?。
4、一些越野车?可以达到爬?30(60%坡度)坡度坡的能?力，请记住这是?指极限能力?，就算有这样?的能力，想开上去也?是不容易的?。经查阅，一般正规建?筑内的楼梯?，大量采用3?0度(60%坡度)坡的坡度来?修建，你可以随便?找一处大楼?内的楼梯看?看
5、35度(60%坡度)坡坡是悍马?H2爬坡的?极限，当今世界还?没有哪种越?野车能突破?这个极限，要是谁遇到?了35度(72%坡度)坡坡，开的还不是?车，赶快掉头回?去。(特种改装车?或带绞盘车?除外)
6、45度坡用?百分比来表?示是100?%，也就是百分?之一百的坡?度。用这种坡度?来修建楼梯?都怪吓人的?，大概只有风?景名胜区才?有这样的梯?道。没有人会修?建这样的机?动车道，也不会有人?看见这样的?车道，因为能开上?这种坡的车?不存在(山地车、履带车、月球车、火星车除外?，因为它们不?需要修建道?路)。
?============华丽的分割?线================?
转载请注明出处范文大全网 » 半径与弧长的关系[2篇]
