范文一:乘积的极限运算规律 函数极限的运算法则
教学目标:掌握函数极限的运算法则,并会求简单的函数的极限 教学重点:运用函数极限的运算法则求极限 教学难点:函数极限法则的运用 教学过程: 一、引入:
一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限,如lim
1x
x
0,limx xo.若求极限的函
x xo
数比较复杂,就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的,已知函数
二 0).
说明:当三 例1 求lim(x,3x)
x 2
2
1
例2 求lim
例3 求lim
2x~x,1
x,1
32
x 1
x~16x~4
2
x 4
1
y
x~16
2
分析:当x 4时,分母的极限是0,不能直接运用上面的
极限运用法则.注意函数x~4
可求出函数的极限.
在定义域x 4内,可以将分子、分母约去公因式x~4后变
成x,4,由此即
2
例4 求lim
3x~x,3x,1
22
x
分析:当x 时,分子、分母都没有极限,不能直接运
用上面的商的极限运算法则.如果分子、
2
总结:limx xo
limx
例5 求lim
x
分析:同例计算了。
四 (1)limx
1
2
(3)limx 4
3x,4x~1
2
x 1
3
(5)lim
(7)lim
x~1x,1
2
x ~1
(6)lim
x~5x,6x~9
2
2
x 3
2x,x~23x~3x,1
3
2
2
x
(8)lim
2
2y~yy~5
3
4
2
y
五 小结
1 有限个函数的和(或积)的极限等于这些函数的和(或积);
2 函数的运算法则成立的前提条件是函数f(x),g(x) 的极限存在,在进行极限运算时,
要特别注意这一点.
3 两个(或几个)函数的极限至少有一个不存在时,他们的和、差、积、商的极限不一定不存在.
4 在求几个函数的和(或积)的极限时,一般要化简,再求极限. 六 作业(求下列极限)
(1)
limx ~2
(4)limx 0
(7)lim
(10) (13)lim lim(16)
3x~11x,62x~5x~3
22
x 2
5
x x,xx,3x,1
4
2
3
x
(14)lim(
x 2
2x,13x~2
3
3
) (15)lim
2
3x~11x,62x~5x~3
2
2
x 1
x
lim (17)
x~x~6x
2
6
233
x 0
2x~5x~3x
lim (18)
x~x~6x
2
233
x
2x~5x~3x
3
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7
范文二:矩阵乘积的运算法则的证明
矩阵乘积的运算法则的证明
矩阵乘积的运算法则
m,nn,pp,q,A,CB,CC,C 乘法结合律:若, , ,则. 1A(BC),(AB)C
, 乘法左分配律:若和是两个矩阵,且是一个矩阵,则C2m,nABn,p
. (A,B)C,AC,BC
,3 乘法右分配律:若是一个矩阵,并且和C是两个矩阵,则m,nABn,p
. A(B,C),AC,BC
, 若是一个标量,并且和是两个矩阵,则. 4,(A,B),,A,,B,n,mAB
,证明 1
A,(a)B,(b)C,(c)AB,(d)BC,(e)?先设阶矩阵为,, ,, nijijijijijABC,(f)A(BC),(g),,有矩阵的乘法得: ijij
d,ab,ab,?,ab.i,j,1,2?n iji11ji22jinnj
e,bc,bc,?,bc.i,j,1,2?n iji11ji22jinnj
f,dc,dc,?,dc.i,j,1,2?n iji11ji22jinnj
g,ae,ae,?,ae.i,j,1,2?n iji11ji22jinnj
i,j,1,2?n故对任意有:
f,dc,dc,?,dc iji11ji22jinnj
,(ab,ab,?,ab)c, i111i221inn11j
(ab,ab,?,ab)c, i112i222inn22j
?,(ab,ab,?,ab)c i11ni22ninnnnj
,a(bc,bc,?,bc), i1111j122j1nnj
a(bc,bc,?,bc),i2211j222j2nnj
?,a(bc,bc,?,bc)inn11jn22jnnnj
,ae,ae,?,aei11ji22jinnj
= gij
故 (AB)C,A(BC)
?再看 ,,, , , B,(b)C,(c)AB,(d)BC,(e)A,(a)kjnpjtpqijmpktnqikmn
A(BC),(g), itmq
有矩阵的乘法得:
d,ab,ab,?,ab.i,j,1,2?n iji11ji22jinnj
e,bc,bc,?,bc.k,1,2?n,t,1,2?q ktk11tk22tkppt
f,dc,dc,?,dc.i,1,2?m,t,1,2?q iti11ti22tippt
g,ae,ae,?,ae.i,1,2?m,t,1,2?qiti11ti22tinnt
故对任意的i,1,2?m, j,1,2?p, k,1,2?n, t,1,2?q有:
f,dc,dc,?,dc iti11ti22tippt
,(ab,ab,?,ab)c, i111i221inn11t
(ab,ab,?,ab)c, i112i222inn22t
?,(ab,ab,?,ab)c i11pi22pinnppt
,a(bc,bc,?,bc), i1111t122t1ppt
a(bc,bc,?,bc), i2211t222t2ppt
?,a(bc,bc,?,bc) inn11tn22tnppt
,ae,ae,?,ae6 i11ti22tinnt
g= ij
故 (AB)C,A(BC)
,证明 2
设表示矩阵的第行,第列上的元素,则有 AijAij
,,(A,B)C,(A,B)C,ikikkjijk
,AC,BC,,ikkjikkjkk
= (AC),(BC)ijij
故证出矩阵乘法左分配律.
,3证明
同理矩阵乘法左分配律可得
(AC),(BC) ,AC,BCijij,,ikkjikkjkk
,(A,B)C,ikikkjk
,,(A,B)C = ij
故证出矩阵乘法左分配律.
,证明4
aa?abb?b,,,,11121n11121n,,,,aa?abb?b21222n21222n,,,,()()A,a,B,b, 设,, ijmnijmn,,,,??????
,,,,aa?abb?bm1m2mnm1m2mn,,,,
,,,abab?ab,,111112121n1n,,,,,abab?ab212122222n2n,,可得, A,B,,,???
,,,,,abab?abm1m1m2m2mnmn,,
,,,(a,b)(a,b)?(a,b),,111112121n1n,,,,,(a,b)(a,b)?(a,b)212122222n2n,,,,(A,B) ,,???
,,,(a,b),(a,b)?,(a,b)m1m1m2m2mnmn,,
,,,,,,aa?abb?b,,,,11121n11121n,,,,,,,,,,aa?abb?b21222n21222n,,,,, ,, ,A,,B,,,,??????
,,,,,a,a?,a,b,b?,bm1m2mnm1m2mn,,,,
,,,(a,b)(a,b)?(a,b),,111112121n1n,,,,,(a,b)(a,b)?(a,b)212122222n2n,,,, ,A,,B,,???
,,,(a,b),(a,b)?,(a,b)m1m1m2m2mnmn,,所以=,A,,B. ,(A,B)
范文三:乘积的极限运算规律 极限的运算
极限的运算
一 极限的四则运算法则
定理:若limf,x, A,limg,x, B,则有 (,)lim f,x, g,x, A B limf,x, limg,x, (,)lim f,x, g,x, AB limf,x, limg,x, (,)lim
f,x,Alimf,x,,(B 0)
gxBlimgx注意:法则(1)和法则(2)可以推广到有限个函数的情况。另外,法则(2)还有三个推论。 推论:(,)limkf,x, klimf,x,, (k为常数)
(,)lim f,x, limf,x, n,(n为正整数) (,)lim f,x, limf,x,,(n为正整数)
22
例,lim5x~3x,2 lim5x~lim3x,lim2
x 2
x 2
x 2
1
x 2
1n
1n
n
,,
22
,5limx~3limx,,,5(limx)~3 2,,
x 2
x 2
x 2
,5 2~6,2,16
2
观察这个例子可以发现函数5x~3x,2在x 2时的极限正好等
于它在x 2这一
2
点的函数值,因此,我们可以得到这样一条规律:若f,x,是
多项式,则limf,x, f,x0,。
x x0
,2x,x~1,2 2,2~19
2x,x~1lim例,lim,,,,~3 x~5x,3x~5x,32~5 2,3~3
2
2
2
2
x 2
x 2
222
x 2
例,
lim
x 2
x~3x,2
,2
1~x
2
lim,x
x 2
x 2
2
~3x,2,
2
lim1~x,,
从以上三个例子可以看出极限四则运算法则的运用是比较
简单的,但是如果我们拿到的极限不满足极限四则运算法则
的条件,就不能用极限的四则运算法则来求极限了。比如以
3
下几种情况: ?【在lim
f,x,中,limf,x, A 0,limg,x, 0】 gx
例,
lim
x 2
x2~3
, x~2
f,x,中,limf,x, 0,limg,x, 0。常见的有以下两种情况】 gx
?【在lim
A( f,x,,g,x,均为多项式
例,
lim
x 1
,x3~1x~1,,x2,x,1,2
,lim,lim,x,x,1,,, x~1x~1x 1x 1,x~1,,x~2,,x~21x2~3x,2
,, lim2x~3x~1x~3x2~4x,3limx 1x 1
例,
lim
x 1
可以看到,在这种情况下,我们采用的方法是:先把分子、
分母进行因式分解,约去分
子、分母中的公因式,把原式变成符合极限四则运算法则
4
条件的情况,再用极限四则运算法则进行计算。这种方法叫
因式分解法。 B( f,x,或g,x,中含有根式
例,
lim
x 4
x~2
,limx~4x 4
11
, x,24
x~4x~2x,2
,lim
x,2x~4x,2x 4x~4,,
lim
x 4
例,
lim
x 4
,2x~3
,limx~2x 4
,2x~3,2x,3x,2,
x~2x,2,2x,3,,
,
5
lim
x 4
42x,22,x~4,x,2
,lim,
x~4,2x,3x 4,2x,33
可以看到,在这种情况下,我们采用的方法是:先把分子、分母进行有理化,约去分子、分母中的公因式,把原式变成符合极限四则运算法则条件的情况,再用极限四则运算法则进行计算,这种方法叫有理化法。 ?【在lim
f,x,中,limf,x, ,limg,x, 。常见的有以下两种情况】 gx,.f,x,,g,x,均为多项式
例,
lim
n
2n2~2n,3
,lim2
3n,1n
2~
23
,2
,2 33,2
n
6
例,
lim
x
4x,2x~1
,lim4
3x,1x
32
421
,2~4,,
13,4
x
例,
lim
x
2x,1
,lim2
8x,7xx
3
1
3 ,xx22,
可以看到,在这种情况下,我们采用的方法是在分子、分
母中同时除以x的最高次幂,然后再求极限。总结以上三个
7
例子可以发现,在这种情况下有如下规律:当分子、分母中x的最高次幂相同时,极限为分子、分母最高次幂的系数的比,是常数;当分子的次数高于分母的次数时,极限为无穷大;当分子的次数低于分母的次数时,极限为零。 ,.f,x,或g,x,中含有根式
例,
lim
u ,
,u1,u
3
,
lim
u
11,4uu
,,
,1u
?【在lim f,x,~g,x, 中,limf,x, ,limg,x, 】
例,
limx ,
x2,x,1~x2~x,1
,
x
8
,lim
x ,
2
,x,1~x2~x,1
x
,
2
,x,1,x2~x,1
x2,x,1,x2~x,1
2x
,
lim
lim
x2,x,1~x2,x~1x,x,1,x~x,1
2
,
2
2
x ,
lim
x ,
9
x,x,1,x~x,1
22
,
x ,
1111,2,~,2xxxx
,,
例,
lim
x 1
1 3~ ,lim3
1~x 1~xx 1
3~,1,x,x2,
3 1~x
,
lim
x 1
x2,x~2 ,x~1,,x,2,
, 2 x3~1 limx 1x~1x,x,1
x,2
,,
x2,x,1
,
10
lim
x 1
可以看到,在这种情况下,如果f,x,或g,x,中含有根式,我们
采用的方法是进行分子有理化;如果f,x,或g,x,是分式,我们采
用的方法是先进行通分。 ?【其他一些常见的情况】
例,
lim
x
sinx
,, x
(有界量与无穷小量的乘积是无穷小量)
例,
lim
x
x2,1
,3,cosx,,,
x3,x
(有界量与无穷小量的乘积是无穷小量)
二 极限存在准则和两个重要极限
sinx
1 x
11
型不定式的0
,(
lim
x 0
利用这个重要极限的结果可以去求一些分子或分母中含有
三角函数的值。
部分必须相同,如果不同,要想办法化成相同的。变形 部
分仍然趋近于0。
例,
lim
x 0
sin5xsin5xsin5x
5,5lim,lim,5
x5x5xx 0x 0
一般地,
lim
x 0
sinkx
k x
例,
lim
x 0
12
1~cosx
,lim2
xx 0
2sin2
x2
x
,
lim
x 0
x 2 x 4 2 2sin2
,
12limx 0
x x
sinsin ,1 ,1 lim
22 x 0x x
2 2
22
例,
lim
x
x sin
1
13
,
xlimx
sin1
x
1
,,
例,
lim
x 0
tg3xsin3x1
,lim,3 1,,
xxcos3xx 0
例,
lim
x 0
tg3xsin3x1
,lim,lim
sin7xsin7xcos3xx 0x 0
sin3x
3x
13x
sin7xcos3x
14
7x7x
,
37limx 0
sin3x
31 ,
sin7xlim7cos3xx 07x
x
,(
lim
x
1
1, e
x
部分必须是11,要想办法化成1 部 部分必须相同,如果
不相同,要想办法化成相同的。变形完成之后,要保证 。
例,
lim
x
3
1, ,lim x x
x
15
1 1,
x
3
3 3
,
lim
x
3 1 ,e3 1, x
3
~10
3
例,
lim
x
5
1~
x
2x
,
lim
16
x
1 1,
x
~
5
x
~~10 5
,,
,
lim
x
~x
1 1, x ~ 5
,e
~10
例,
lim
x
x
17
x~1
3x~3
,
lim
x
1
1,
x~1
3,x~1,
,
lim
x
x~1 1 3
1, ,e
x~1
3
例,
lim
x
3
1~ x
2x~3
18
,
lim
x
3
1~ lim x x
2x
3
1~ x
~3
,
lim
x
~x
1 1, x
~
3
~6
lim
x
3 ~6~3~6
1~ ,e 1,e x
~3
19
1 1
【在lim 1, e中,现令z ,则当x 时z 0,上式
变成
xx x
x
lim,1,z,
z 0
1
z
e.】
例,
lim,1~3x,
x 0
1x
,
lim 1,,~3x,
x 0
1
,~3,~3x,
lim
x 0
1
20
~3 1,,~3x, ~3x ,e
~3
例,
lim
x 0
x
1~ ,lim 2 x 0
1
x
1 ~1 ~ x ~
,e2 1, ~ 2
三 其他一些常见的求极限的方法
1换元法
ex~1
例1lim
x 0x
解:令ex~1 y,则x ln,1,y,,x 0时,y 0
1y1ex~1
lim lim limlim1y 01y 0ln1,yy 0x 0x
ln,1,y,ln,1,y,yy1
1 lne
arctanx
21
例2lim
x 0x
解:令arctanx y,则x tany,x 0时,y 0
arctanxyyy
lim lim lim cosy 1 1 1
x 0y 0sinyy 0sinyy 0tanyx
cosylim
2等价无穷小代换
sinax
,ab 0
x 0sinbx
解:当x 0时,sinax~ax,sinbx~bx
sinaxaxalim lim x 0sinbxx 0bxb
例1lim例2lim
sinxx,3x
3
x 0
解:当x 0时,sinx~x
x 0
lim
22
sinxx3,3x
lim
xx3,3x
x 0
lim
1x2,3
x 0
1
3
注意:在乘、除运算中用等价无穷小进行代换是不会出错
的。但是在和、差运算中如果用等价无穷小进行代换,当等
价无穷小选取不恰当时就会出错,所以在和、差运算中尽量
不要用等价无穷小进行代换。
四 例题精选
例1
lim
x 1
x,1~2
x~1
(x,1)2~223x~33
23
lim 解:原式=limx 1(x~1)(x,1,2)x 1(x~1)(x,1,2)4
(~1)n,3n
例2 lim
n 2n,3n
上下同除以3
n
解:原式
1
(~)n,1lim3 1 n 2n
(),13
例3 limx 0
1~cosx
3x2
xx
2sin2
lim 1lim解:原式=
x 0x 026 3x2
12 ()
2
2sin2
24
例4
lim(1~3sinx)
x 0
1~6sinx
1
~3sinx
~6sinx2x
解:原式=lim(1~3sinx)
x 0
lim[(1~3sinx)
x 0
]
e~6 。
例5 lim(n
n~2n
) n,1
解:原式=lim(1,
n
~3
)n,1
25
n,1~3n
~3 lim[(1,
n
~3
)n,1
n,1~3
]
~3n e~3
例6
1
tan(xsin)
limx 0sinx
2
2
xsin解: 当x 0时,
111
是无穷小, tan(x2sin)与x2sin等价, xxx
x2sin
所以, 原式=lim
x 0
26
1
limxsin1 0 。
x 0xx
例7
lim
1~cosx
(例4) 2x 03x
sinx1 。(最后一步用到了重要极限)
x 06x6
解:原式=lim
cos
例8
x
lim
x 1
x~1
~
解:原式=lim
x 1
sin
27
x
~ 。 12
例9 limx 0
x~sinx x3
1~cosxsinx1
lim 。=(连续用洛比达法则,最后用重要极限)
2x 0x 06x63xsinx~xcosx
x2sinx
解:原式=lim
例10 limx 0解:
原式 lim
sinx~xcosxcosx~(cosx~xsinx)
lim
x 0x 0x2 x3x2
xsinx1 lim 2x 033x
x3~1, x 2 x2~5x,3
例11 , 求lim
lim(x3~1)3~1x x 22 解 lim2
x 2 x~5x,3lim(x~5x,3)
x 2
28
x 2x 2limx2~5limx,lim3x 2x 2x 2
limx3~lim1
x 2
(limx)2~5 2,3x 2
(limx)3~1
23~1 ~7 22~10,33
例12, 求limx2~3,
x 3 x~9
lim1
x~3x~31x 3
1, 解 lim2 lim lim
lim(x,3)6x 3 x~9x 3 (x~3)(x,3)x 3 x,3
x 3
例13, 求lim
2x~3,
x 1 x2~5x,4
22
解 limx~5x,4 1~5 1,4 0,
x 1 2x~32 1~3
根据无穷大与无穷小的关系得lim
29
2x~3 ,
x 1 x2~5x,4
32
例14, 求lim3x3,4x2,2,
x 7x,5x~3
解 先用x3 去除分子及分母, 然后取极限 3,4,23
lim 3, lim3
2x 7x,5x~3x
7,~37xx
3x3,4x2,2
x~1, 例15.. 求lim3x3~22
x 2x~x,5
2
解 先用x3 去除分子及分母, 然后取极限 3~2~1
230
lim32 lim 0,
x 2x~x,5x
2~,32xx
3x2~2x~1
32
例16, 求lim2x2~x,5,
x 3x~2x~1
30
x~1 0, 所以 解 因为lim3x3~22
x 2x~x,5
2
32
lim2x2~x,5 ,
x 3x~2x~1
例17 求(
解
(
例18 求(
解 因为,所以
例19 求解 当
(
时,分子分母都为,,故可约去公因式(
)(
例20 求.
解
(
41例21 求下列极限:(1)lim(5,);(2)lim(~1)2 n n nn
44解:(1)lim(5,) lim5,lim 5,0 5; n n nnn
31
11(2)lim(~1)2 (lim~lim1)2 (0~1)2 1 n nn nn
例22 求下列极限:
2n2,n3n3,n123n~2 (1)lim(2,). (2)lim. (3)lim2. (4)lim4.
2n nn n n nn3n,22n~n
解:(1)lim(n 12121,) lim,lim 0,2lim 0,0 0. n nn2nn n2n n
3n~2221 lim(3~) lim3~lim 3~2lim 3~0 3. n n n nnnn n n(2) (方法一)lim
(方法二)?n??,?n?0.分子、分母同除n的最高次幂.
22lim(3~)3n~2 n 3 3.
lim limn n n1lim113~n
第二个题目不能体现“分子、分母同除n的最高次幂”这个
方法的优势.这道题目就可以.使用上述方法就简单多了.因为
分母上是3n2+2,有常数项,所以
(2)的方法一就不能用了.
111lim(2,)lim2,lim2n2,n n n n 2,0 2.
lim(3)lim2n 3n,2n 3,2lim(3,2)lim3,lim23,03n n
nnn n2,
规律一:一般地,当分子与分母是关于n的次数相同的多
项式时,这个公式在n??时的极限是分子与分母中最高次
项的系数之比.
解:(4)分子、分母同除n的最高次幂即n4,得.
32
3131,3lim,lim33n,n n n 0,0 0. lim4 limn 2n~n2n 112~2lim2~lim22~0n n nn3
规律二:一般地,当分子、分母都是关于n的多项式时,且分母的次数高于分子的次数时,当n??时,这个分式极限为0.
例22求下列极限. n2~3n~2,3n~1,5(1)lim(. (3)lim. ~n).
(2)limn n,1n n n,1n,1~2
3
n~3n~3~n~n~n~3 1. ~n) lim lim lim解:(1)lim(n n,1n n n,1n n,11,n222~1~
2,3n~2,3n lim (2)limn n,1~2n 11,~n3~3n 3,0 3. 1~02n
315315~2,lim~2,limn n n3n~1,50,0nnnnn lim 0. (3)limn n 11n,11,01,lim1,limn n nn
说明:当n无限增大时,分式的分子、分母都无限增大,分子、分母都没有极限,有一个不存在,但它们的和、差、积、商的极限不一定不存在.
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范文四:极限的运算法则
极限的运算法则
目的要求
1.掌握数列极限与函数极限的运算法则。
2.能运用极限的运算法则,求出较复杂的函数和数列的极限。
3.让学生体验“化归”、“类比”的数学思想方法。
内容分析
1.简单的函数极限可以从函数值的变化趋势中找出,但较为复杂的函数极限,就必须把它“化归”为简单的函数的极限,通过运算而得出。因此,极限的运算法则是我们实现化繁为简的基本手段。
2.教科书中给出了x?x0时,函数f(x)极限的四则运算法则,我们类似地可以给出当x→∞时,函数f(x)极限的运算法则,即
如果极限limf(x)与limg(x)都存在,那么 x??x??
f(x)?g(x),f(x)?g(x),f(x)(当x→∞时)的极限也存在,并且 g(x)
x??lim[f(x)?g(x)]?limf(x)?limg(x), x??x??
lim[f(x)?g(x)]?limf(x)?limg(x), x??x??x??
f(x)f(x)limx??lim?(limg(x)?0)。 x??g(x)limg(x)x??
x??
这些法则,可用类比的方法,直接改变式中的x?x0为x→∞而得出,以便学生理解记忆。
3.对于函数极限的运算法则,教科书只给出结论,不要求证明。
4.在上一节课中,已经给学生讲述了数列与函数的关系,即把数列看成是特殊的函数,根据演绎推理,很自然地得出数列的极限运算法则。进一步地令bn?C(C为常数),则可推得:lim(C?an)?C?liman。 n??n??
5.极限运算法则可以推广到有限多个数列的情况,让学生感受数学思维的一般规律,养成从特殊到一般,从具体到抽象的归纳思维习惯。
6.教科书中的例1~例5,共包含了x?x0与x→∞两类极限的计算问题。其中,x?x0的函数f(x)的极限计算时,分f(x)在x?x0处有定义和无定义的两种(例1、例2是有定
义的;例3是无定义的),另一类x→∞时的函数极限也有两种;一种是每项的极限都存在,可以直接用运算法则而求出的,另一种必须对原来的函数进行恒等变形转化为第一种(例4、例5)。无论是哪一种,它都体现了一种化繁为简,化难为易的基本思想。
教学过程
1.导入新课 3x2?x?1①提出问题:函数f(x)?,当x→∞时,你能否直接看出函数值的变化趋x2?1
势?
②接着提问:怎么办?怎样才能把问题转化为已知能求的函数极限?转化的数学方法与依据是什么?
③导出课题:极限的运算法则。
2.给出x?x0的极限运算法则
①用多媒体展示法则的表达式与文字叙述。
②强调法则运用的条件:limf(x)、limg(x)都必须存在。 x?x0x?x0
③当C为常数、n是正整数时,从第二个式子推出:
x?x0lim[C?f(x)]?C?limf(x) x?x0
x?x0lim[f(x)]n?[limf(x)]n x?x0
3.把展示出来的法则的表达式中的x?x0用x→∞替换,并指出式子仍然成立(用多媒体手段直接在原式上更换)
4.分析讲解例题
例1与例2是同一种类型,当x?x0时,f(x)有定义,学生比较容易掌握。例3中的f(x)在x?x0处无定义,必须通过代数变形才能达到目的。例4、例5都是当x→∞时,分子、分母都没有极限的情况,不能直接运用运算法则,只有帮助学生寻找代数变形的规律与方法,化未知为已知,创造运用法则的条件,才能解决问题。
5.利用数列与函数的关系,直接推出数列极限的运算法则(用多媒体技术,直接把表达式中的f(x)、g(x)分别改成an、bn把x→∞改成n→∞)
6.提出问题:能否把法则推广到有限多个数列的情况?如果有无限多个数列,法则是否仍然成立?
让学生对上述问题进行讨论,并各举实例,如lim(11???)的极限情况研究。 n??nn?????
n个
7.课堂训练
①学生板演例6、例7、例8。
②学生口答P52练习。
③学生笔算P53练习。
8.归纳总结(学生回答下列问题)
①概述极限的运算法则。
②数列的极限计算分几类?具体解决问题的方法如何?
③函数的极限计算分哪几类?如何解决?
布置作业
教科书习题2.2第3题、第6题、第7题。
思考题:求下列式子的极限。
a?xn?an?1xn?1???a1x?a0(1)lim(n?N*,an?0,bn?0) n?1x??bxn?b???b1x?b0?n?1x
asns?as?1ns?1???a1n?a0(2)lim(as?0,bt?0,s,t?N*) n??bnt?bnt?1???bn?btt?110
(孙惠华)
范文五:极限的运算法则
7.7 (2)极限的运算法则
一、教学内容分析
本小节的教学内容是在理解无穷数列极限的概念的基础上学习数列极限的运算性质及四个重要的极限,鉴于高二学生现有的数学基础,教材采取从实际的例子引入,给出数列极限的运算性质及四个重要极限的结论,然后通过例题加以说明的方式.
教学重点是数列极限的运算性质,教学中要强调运算性质成立的条件是两个数列的极限都存在.
教学难点是数列极限的运算性质及四个重要极限结论的灵活运用,会进行恒等变形,运算性质可从两个数列推广到有限个数列,注意有限与无限的本质区别.
二、教学目标设计
掌握数列极限的运算性质,会利用这些性质计算数列的极限.
知道数列极限的四个重要结论,并会用它们来求有关数列的极限;
会运用式的恒等变形,把分子、分母极限不存在的分式转化为若干个极限存在的数列的代数和,从而求出极限,提高观
察,分析以及等加转换的能力.
三、教学重点及难点
重点:数列极限的运算性质.
难点:数列极限的运算性质及重要极限的灵活运用.
四、教学流程设计
五、教学过程设计
一、复习回顾
1、数列极限的定义.
2、已知an?3n试判断数列?an?是否有极限,如果有,写 2n?1
出它的极限.
二、讲授新课
1、实例引入
计算由抛物线y2?x,x轴以及直线x=1所围成的区域
Sn?lim面积S:S?limn??n??(n?1)(2n?1) 6n2
2、数列极限的运算性质
(1)数列极限的运算性质
an?A,limbn?B,那么 如果limn??n??
(an?bn)?liman?limbn?A?B; (1)limn??n??n??
(an?bn)?liman?limbn?A?B; (2)limn??n??n??
anAanlimn??(3)lim??; n??blimbnBnn??
(C?bn)?limC?liman?C?A (2)的推论:若C是常数,则limn??n??n??
说明:1、运算性质成立的条件
2、在数列商的极限中,作为分母的数列的项及其极 限都不为零.
(2)常用的数列极限的几个结论
qn?0 (1)对于数列?qn?,当q?1时,有limn??
11?lim?0 (2)对于数列?,有??n???n?n
C?C (3)对于无穷常数列?C?,有limn??
(3)例题解析
(7?);例1:(1)lim(2)limn??n??2n3n?4(n?1)(2n?1);(3)lim 2n??n6n
1473n?23n?2?4n?3
(?2?2???)(2)limn例2:(1)lim 2n?1n??n2n??nnn4?3
说明:1、(2)(3)中,当n无限增大时,分式中的分子,分
母的极限都不存在,因式极限的运算性质不能直接运 用,为此,可将公式中的分子,分母同时除以n的最 高次幂,再运用极限的运算性质求出极限;
2、极限的运算性质可由两个数列的和、差、积、商推
广到有限项的和、差、积、商.
3、巩固练习
an?A,limbn?B”是“lim(an?bn)?A?B”成立的 1.“limn??n??n??
什么条件?为什么?
an?3,limbn??2,求lim2.已知limn??n??an?2bn n??bn
3.计算:
n3(n?2)2
(2?); (1)lim(2)lim; n??n??(2n?1)2n?3
( (3)limn??123n?????) 2222n?1n?1n?1n?1
5n?1?3n?2 (4)lim n??3n?1?5n
三、课堂小结
1、数列极限的运算性质
(1)条件
(2)运算
(3)推广
2、四个重要极限 思考题:设a?0,b?0,求liman?1?bn
n??an?bn?2
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