张伟123666
范文一：函数求值域例题
求函数值域的几种常见方法 1直接法：利用常见函数的值域来求 一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R，值域为R； 反比例函数的定义域为{x|x≠0},值域为{y|y≠0}； 二次函数的定义域为R 当a>0时，值域为{y|y≥(4ac-b??)/4a}； 当a
∵1>0,∴y(min)=(4ac-b??)/4a=[4×1×3-（-2）??]/4×1=1 即函数的值域是{y|y≥2}2． 二次函数在定区间上的值域(最值)： ①f(x)=x??-6x+12 x∈[4,6] 因为对称轴x=-b/2a=-(-6)/2×1=3 二次项系数1>0 所以f(x)=x??-6x+12 在x∈[4,6]是增函数 所以f(x)min=f(4)=4 f(x)max=f(6)=12 f(x)的值域是[4,12] ②f(x)=x??-6x+12 x∈[0,5] 因为对称轴x=-b/2a=-(-6)/2×1=3 二次项系数1>0 所以f(x)=x??-6x+12 在x∈[0,3]是减函数，在x∈(3,5]是增函数 所以f(x)min=f(3)=3 而f(0)=12 f(5)=7，所以f(x)max=f(0)=12 f(x)的值域是[3,12] 3观察法求y=(√x)+1的值域 ∵√x≥0 ∴√x+1≥1∴y=(√x)+1的值域是[1,+∞) 4配方法求y=√(x??-6x-5)的值域 ∵-x??-6x-5≥0可知函数的定义域是[-5,-1] ∵-x??-6x-5=-(x+3)??+4因为-5≤x≤-1 所以-2≤x+3≤2 所以0≤(x+3)??≤4所以-4≤-(x+3)??≤0 终于得到0≤-(x+3)??+4≤4所以0≤√(x??-6x-5)≤2 所以y=√(x??-6x-5)的值域是[0,2]
5.图像法求y=｜x+3｜+｜x-5｜的值域 解：因为y=-2x+2(x
自己画图像由图可知y=｜x+3｜+｜x-5｜的值域是[8,＋∞)
6.利用有界性求y=3^x/（1+3^x）的值域 解y=3^x/（1+3^x）两边同乘以1+3^x 所以 3^x=y（1+3^x)3^x=y+y3^x3^x-y3^x=y(1-y)3^x=y3^x=y/(1-y) 因为3^x>0 所以 y/(1-y)>0 解得 0
上述关于x的二次方程有实数解Δ=9y??-8y(y-1)≥0所以y≤-8或y≥0 当y=0时，方程无解，所以=0不是原函数的值 所以y=1/(2x??-3x+1)的值域是(-∞,-8]∪(0,+∞) 8换元法求y=2x－√（x-1)的值域 解令t=√（x-1)显然t≥0以x=t??+1所以y=2(t??+1)-t=2t??-t+2=2(t-1/4)??+15/8 因为t≥0所以y=2x－√（x-1)的值域是[15/8,+∞)
范文二：函数求值域经典例题
求下列函数的值域
1、f(x)??x2?4x?5
2、f(x)?x2?4x?5
3、f(x)?sin2x?4sinx?5 4、f(x)?e2x?4ex?5
5、f(x)?log2x?4logx?5 6、f(x)?3x?1 x?2
27、f(x)?tanx?2tanx?3x?[0,
x8、f(x)?2014x?2015?3) x?[?1,1)
9、f(x)?2lnx?6x?[1,e] lnx?2
210、f(x)?ex
11、f(x)??2x?3 4x?2 x?1
12、f(x)?sin(cosx)
13、f(x)?|x?1|?|x?3| 14、f(x)?x|x?2|
15、f(x)?log1(3x)
2
16、f(x)?log2(x?2x?3) 2
范文三：[资料]函数求值域例题
求函数值域的几种常见方法 1直接法:利用常见函数的值域来求 一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R，值域为R; 反比例函数的定义域为{x|x?0},值域为{y|y?0}; 二次函数的定义域为R 当a>0时，值域为{y|y?(4ac-b??)/4a}; 当a<0时，值域为{y|y?(4ac-b??) a}="" 例1(求下列函数的值域?="" y="3x+2(-1?x?1)" =x??-2x+3="" 解:??-1?x?1，?-3?3x?="" 3，?-1?3x+2?5，即-1?y?5，="" 域是y?[-1，5]="" =x??-2x+3="">
?1>0,?y(min)=(4ac-b??)/4a=[4×1×3-(-2)??]/4×1=1 即函数的值域是{y|y?2}2( 二次函数在定区间上的值域(最值): ?f(x)=x??-6x+12 x?[4,6] 因为对称轴x=-b/2a=-(-6)/2×1=3 二次项系数1>0 所以f(x)=x??-6x+12 在x?[4,6]是增函数 所以f(x)min=f(4)=4 f(x)max=f(6)=12 f(x)的值域是[4,12] ?f(x)=x??-6x+12 x?[0,5]
-b/2a=-(-6)/2×1=3 二次项系数1>0 因为对称轴x=
所以f(x)=x??-6x+12 在x?[0,3]是减函数，在x?(3,5]是增函数 所以f(x)min=f(3)=3 而f(0)=12 f(5)=7，所以f(x)max=f(0)=12 f(x)的值域是[3,12] 3观察法求y=(?x)+1的值域 ??x?0 ??x+1?1?y=(?x)+1的值域是[1,+?) 4配方法求y=?(x??-6x-5)的值域 ?-x??-6x-5?0可知函数的定义域是[-5,-1] ?-x??-6x-5=-(x+3)??+4因为-5?x?-1 所以-2?x+3?2 所以0?(x+3)???4所以-4?-(x+3)???0 终于得到0?-(x+3)??+4?4所以0??(x??-6x-5)?2 所以y=?(x??-6x-5)的值域是[0,2] 5.图像法求y=,x+3,+,x-5,的值域 解:因为y=-2x+2(x<-3) y="8"><5) y="2x-2(x?5)">
自己画图像由图可知y=,x+3,+,x-5,的值域是[8,，?) 6.利用有界性求y=3^x/(1+3^x)的值域 解y=3^x/(1+3^x)两边同乘以1+3^x 所以 3^x=y(1+3^x)3^x=y+y3^x3^x-y3^x=y(1-y)3^x=y3^x=y/(1-y)
因为3^x>0 所以 y/(1-y)>0 解得 0<><1值域为(0，1) 7判别式法求y="1/(2x??-3x+1)解" x??-3x+1?0?函数的定义域是{x,x?r,且x?1,="" x?1/2}="" 将函数变形可得2yx??-3yx+y-1="">
上述关于x的二次方程有实数解Δ=9y??-8y(y-1)?0所以y?-8或y?0
当y=0时，方程无解，所以=0不是原函数的值
所以y=1/(2x??-3x+1)的值域是(-?,-8]?(0,+?)
8换元法求y=2x,?(x-1)的值域
解令t=?(x-1)显然t?0以x=t??+1所以y=2(t??+1)-t=2t??-t+2=2(t-1/4)??+15/8
因为t?0所以y=2x,?(x-1)的值域是[15/8,+?)
范文四：求值域经典例题
求值域
(1)y=log0.5?(3-2x-x2)
(2)y=1/?(1-lgx)
注;“?"为开二次方根
解
1)y=log0.5?(3-2x-x2)
y=1/2*log0.5 [4-(x+1)^2] 因为4-(x+1)^2值域为(0,4],所以函数值域为:
[-1,正无穷)
(2)y=1/?(1-lgx)
?(1-lgx)的值域为(0,正无穷)，所以函数值域为
(0,正无穷)
0
已知函数y=f(x)对任意实数x都有f(,x)=f(x)，f(x)=,f(x+1)，且在【0，1】上单调递减，
则f(7/2),f(7/3),f(7/5)的大小关系为什么(用不等号连接)
提问者: 昵称流星雨 - 二级
解:
?函数y=f(x)对任意实数x都有f(,x)=f(x)
?根据偶函数定义得 f(x)为R上的偶函数
?f(x)=-f(x+1) 即f(x+1)=-f(x)
?f(x+1)=-f(x+2)=-f(x)
?f(x)=f(x+2) 即f(x)周期为2
?f(x)在【0，1】上单调递减 7/2 7/3 7/5 都不在这个范围内, 所以我们要用单调性 将
其等价转换入[0,1]这个范围内
?f(x)周期为2且f(x)为偶函数
?f(7/2)=f(7/2-2×2)=f(-1/2)=f(1/2)
f(7/3)=f(7/3-2)=f(1/3)
f(7/5)=f(7/5-2)=f(-3/5)=f(3/5)
?1/3,1/2,3/5
f(x)在[0,1]上为单调减函数
?综上:f(7/3),f(7/2),f(7/5)
例1. 判断下列函数的奇偶性(板书)
(1); (2);
(3); ;
(5); (6).
(要求学生口答,选出1-2个题说过程)
解: (1)是奇函数.(2) 是偶函数.
(3),是偶函数. 例2. 已知函数既是奇函数也是偶函数,求证: .(板书) (试由学生
来完成)
证明:既是奇函数也是偶函数,
=,且,
=.
,即.
例3. 判断下列函数的奇偶性(板书)
(1); (2); (3)
.
由学生回答,不完整之处教师补充.
解: (1)当时,为奇函数,当时, 既不是奇函数也不是偶函
数.
(2)当时, 既是奇函数也是偶函数,当时, 是偶函数.
(3) 当时,于是,
当时,,于是=,
综上是奇函数.
7
(1) 定义域为的任意函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函
数的和,你能试证明之吗?
(2) 判断函数在上的单调性,并加以证明.
在此基础上试利用这个函数的单调性解决下面的问题: 设为三角形的三条边,求证:.
范文五：求值域经典例题
四、经典例题
例1、求下列函数的值域：
（1
）
（2
）
（3
）
（4
）
（5
）
（6
）
分析：对于形如（1）（2）（3
）的函数求值域，基本策略是（ⅰ）化归为 的值域；（ⅱ）转化为sinx（或cosx）的二次函数；对于（4）（5）（6）之类含有绝对值的函数求值域，基本策略则是（ⅰ）在适当的条件下考察y2；（ⅱ）转化为分段函数来处理；（ⅲ）运用其周期性、奇偶性或函数图象对称性转化.
解：
（1
）
∵
∴ ，
即所求函数的值域为
.
（2
）由
1
∴
∴
注意到这里x∈R
， ，
∴
∴所求函数的值域为[－1，1].
（3
）这里
令sinx＋cosx＝t
则有
且由
于是有
∵
∴
因此，所求函数的值域为 .
（4）注意到这里y>0
，且
∵
2
∴
.
即所求函数的值域为
（5）注意到所给函数为偶函数，
又当
∴此时
同理，当 亦有 .
∴所求函数的值域为 .
（6
）令
则易见f（x
）为偶函数，且
∴ 是f（x）的一个正周期.
只需求出f（x）在一个周期上的取值范围.
当x∈[0
， ]时，
又注意到 ，
∴x
＝ 为f（x）图象的一条对称轴
∴只需求出f（x）在[0， ]上的最大值.
而在[0
， ]上， 递增.
亦递增
∴由③④得f（x）在[0， ]上单调递增.
① ② ③ ④ 3
∴
即 ⑤
.
于是由①、②、⑤得所求函数的值域为
点评：解（1）（2）运用的是基本化归方法；解（3）运用的是求解关于sinx＋cosx与sinxcosx的函数值域的特定方法；解（4）借助平方转化；解（5）（6）则是利用函数性质化繁为简，化暗为明.这一点在解（6）时表现得淋漓尽致.
例2、求下列函数的周期：
（1
）
（2
） ； ；
（3
）
（4
）
（5
）
； ；
分析：
与求值域的情形相似，求三角函数的周期，首选是将所给函数化为
有绝对值的三角函数，在不能利用已有认知的情况下，设法转化为分段函数来处理.
解： ＋k的形式，而后运用已知公式.对于含
（1
）
＝
＝
∴所求最小正周期
.
（2
）
4
＝
＝
＝
∴所求周期
.
（3
）
＝
＝
＝ .
注意到
的最小正周期为
，故所求函数的周期为 .
（4
）
注意到3sinx及-sinx的周期为2
∴所求函数的周期为2
. ，又sinx≥0（或sinx
（5
）
注意到sin2x
的最小正周期
，又sinx≥0（或sinx
）的解区间重复出现的最小正周期 ，这里5 的最小公倍
数为 .
.
∴所求函数的周期
点评：对于（5）
，令
则由
又
∴
知， 是f（x）的一个正周期. ① 不是f（x）的最小正周期. ②
. 于是由①②知，f（x
）的最小正周期为
在一般情况下，探求上述一类分段函数的周期，仅考虑各段函数的最小正周期的最小公倍数是不够的，还要考虑各分支中的条件区间重复出现的最小正周期.双方结合，方可能获得正确结果.
请大家研究 的最小正周期，并总结自己的有关感悟与经验.
6
