嗫?暁雲?
范文一：自动控制原理(第2版)(余成波)_第5章习题解答 -
108
第 5章
频率特性法
教材习题同步解析
5.1 一放大器的传递函数为:
G (s ) =1
+Ts K
测得其频率响应,当 ω=1rad/s时,稳态输出与输入信号的幅值比为 12/2,稳态输出与输入信号的相位差为 -π/4。求放大系数 K 及时间常数 T 。
解:系统稳态输出与输入信号的幅值比为
A ==
222172K T ω=+ 稳态输出与输入信号的相位差
arctan 45T ?ω=-=-?,即 1T ω=
当 ω=1rad/s时,联立以上方程得
T =1, K =12
放大器的传递函数为:
G (s ) =
121
s +
5.2 已知单位负反馈系统的开环传递函数为
5() 1
K G s s =
+ 根据频率特性的物理意义,求闭环输入信号分别为以下信号时闭环系统的稳态输出。
(1) r (t ) =sin(t +30°) ; (2) r (t ) =2cos(2t -45°) ;
(3) r (t ) = sin(t +15°)-2cos (2t -45°) ; 解:该系统的闭环传递函数为
6
5
) (+=
Φs s 闭环系统的幅频特性为
109
36
5
) (2
+=
ωωA
闭环系统的相频特性为
6
arctan
) (ω
ω?-=
(1)输入信号的频率为 1ω=,因此有
37
37
5) (=
ωA , () 9.46?ω?=- 系统的稳态输出
() 20.54) ss c t t ?=
+ (2)输入信号的频率为 2ω=,因此有
() A ω=
, () 18.43?ω?=- 系统的稳态输出
() 63.43) 2
ss c t t ?=
- (3)由题(1)和题(2)有
对于输入分量 1:sin (t +15°) ,系统的稳态输出如下
1() 5.54) ss c t t ?=
+ 对于输入分量 2:-2cos (2t -45°) ,系统的稳态输出为
2() 63.43) ss c t t ?=- 根据线性系统的叠加定理,系统总的稳态输出为
) 4363. 632cos(2
) 537. 5sin(375) (??--+=
t t t c ss
5.3 绘出下列各传递函数对应的幅相频率特性与对数频率特性。 (1) 11. 010) (±=
s s G (2) G (s )=10(0.1s ±1) (3) )
2(4
) (+=s s s G
110
(4) ) 2)(1(4) (++=
s s s G (5) )
02. 0(2
. 0) (++=s s s s G
(6) )
1)(1(10
) (2
+++=s s s s G (7) 1) (2. 0+=-s e s G 解: (1) 1
1. 010
) (±=
s s G
幅相频率特性 开环系统 110
() 0.11
G s s =
-是一个不稳定的惯性环节,频率特性为
110
() 10.1G j j ωω
=
-+
相频特性为
1() (180arctan0.1) arctan0.1180?ωωω=-?-=-?
相频特性从-180?连续变化至-90?。
可以判断开环奈氏曲线起点为 (-10, j0) 点, 随 ω的增加, A 1(ω) 逐渐减小至 0, 而 ?1(ω) 逐渐增加至-90°, 绘制出系统开环频率特性 G 1(jω) 的轨迹,如图 5.1(a ) 虚线所示,是一个直径为 10的半圆。
而开环系统 210
() 0.11
G s s =+则是一个典型的惯性环节,其幅相频率特性 G 2(jω) 如图 5.1(a ) 实线所示。
对数频率特性
(a) 幅相频率特性
(b) 对数频率特性
图 5.1 题 5.3(1) 系统频率特性
111
开环系统 110() 0.11G s s =-与 210
() 0.11
G s s =+的对数幅频特性完全相同,仅对数相频特性不同,如图
5.1(b ) 所示。
(2) G (s )=10(0.1s ±1) 幅相频率特性
开环系统 G 1(s )=10(0.1s -1) 的频率特性为 1() 10(0.11) G j j ωω=-,其相频特性为
1() 180arctan 0.1?ωω=?-
相频特性从 180?连续变化至 90?。其开环频率特性 G 1(jω) 的轨迹,如图 5.2(a ) 虚线所示。
而开环系统 G 2(s )=10(0.1s +1) 则是一个典型的一阶微分环节,其幅相频率特性 G 2(jω) 如图 5.2(a ) 实线 所示。
对数频率特性
同题(1) ,二者的对数幅频特性完全相同,仅对数相频特性不同,如图 5.2(b ) 所示。 (3) )
2(4
) (+=
s s s G
系统开环传递函数的时间常数表达式为
2
() (0.51)
G s s s =
+
幅相频率特性
(a) 幅相频率特性
Im
-10
Re
ω→
ω→ 0
ω→ ∞
(b) 对数频率特性
图 5.2 题 5.3(2) 系统频率特性
10
1()
G j ω2()
G j ωω→ ∞
112
1)系统为Ⅰ 型系统, A (0)=∞ , ?(0)=-90o,低频特性始于平行于负虚轴的无穷远处。低频渐近线如下确 定:
将频率特性表达式分母有理化为
22222(10.5) 2
() (0.51) (10.5)(10.5) (10.25)
1210.25(10.25)
j j j G j j j j j j ωωωωωωωωωωωωω----=
==
++-+-=-++
则低频渐近线为
2
0001
lim Re[()]lim () lim
110.25x G j R ωωωσωωω
+
+
+→→→-====-+ 同时可知,频率特性实部与虚部均 <0,故曲线只在第三象限。 2)="" n="" -m="2,则" ?(∞)="">
3)此系统无开环零点,因此在 ω由 0增大到 ∞过程中,特性的相位单调连续减小,从-90o连续变化到 -180?。奈氏曲线是平滑的曲线,从低频段开始幅值逐渐减小,沿顺时针方向连续变化最后终于原点。系统 的幅相频率特性 G (jω) 见图 5.3(a ) 。
对数频率特性
1)可知系统包含有放大、积分、一阶惯性环节,转折频率为 ω T =2 rad·s -
1。
低频段斜率为-20dB/dec,低频段表达式为 L (ω)=20lg2-20lg ω,并通过点 L (2)= 0dB。经过转折频率 ωT
后斜率为-40dB/dec。
2)系统的相频特性为积分环节(-90o)与惯性环节(0o ~-90o)相频特性的叠加,为
(a) 幅相频率特性
(b) 对数频率特性
图 5.3 题 5.3(3) 系统频率特性
113
() 90arctan 0.5?ωω=-?-
转折频率处相位为 ?(2)=-135°,对数相频特性曲线对应于该点斜对称。 绘制开环伯德图 L (ω) 、 ?(ω) ,如图 5.3(b )所示。 (4) )
2)(1(4
) (++=
s s s G
系统开环传递函数的时间常数表达式为
2
() (1)(0.51)
G s s s =
++
幅相频率特性
1)系统为 0型系统, A (0)=2, ?(0)= 0o,开环奈氏曲线起点为 (2, j0) 点; n -m =2,则 ?(∞)=-180?。随 ω的增加, A (ω) 逐渐单调连续减小至 0,而 ?(ω) 滞后逐渐增加至-180°,幅相特性沿负实轴进入坐标原点。
2)将频率特性表达式分母有理化为
222
222222(1)(10.5)
() (1)(10.5) (1)(10.25) 2(10.5) 3(1)(10.25) (1)(10.25)
j j G j j j j
ωωωωωωωωω
ωωωω--=
=
++++-=
-++++
频率特性虚部均 <0,故曲线在第三、第四象限。 3)相位有="" ?(ω)="">
2222(10.5) Re[()]0
(1)(10.25) /,
Im[()]0.94
G j s G j ωωωωωωω-==++==
此系统无开环零点,因此在 ω由 0增大到 ∞过程中,奈氏曲线是平滑的曲线, G (jω) 见图 5.4(a ) 。
(a) 幅相频率特性
Im
-Re
ω→ ∞
(b) 对数频率特性
图 5.4 题 5.3(4) 系统频率特性
2 -()
G j ω0
114 对数频率特性
1)可知系统包含有放大、两个一阶惯性环节,转折频率分别为 ω 1 =1 rad·s -
1、 ω 2 =2 rad·s -
1。
系统为 0型,低频段斜率为 0dB/dec,低频段表达式为 L (ω)=20lg2=6dB。经过转折频率 ω1、 ω 2后斜率分 别为-20、-40dB/dec。
2)系统的相频特性是两个惯性环节相频特性的叠加,为
() arctan arctan 0.5?ωωω=--
两个转折频率处相位分别为 ?(1)=-72°, ?(2)=-109°。 绘制开环伯德图 L (ω) 、 ?(ω) ,如图 5.4(b )所示。 (5) )
02. 0(2
. 0) (++=
s s s s G
系统开环传递函数的时间常数表达式为
0.2(51) 10(51)
() 0.02(501) (501)
s s G s s s s s ++=
=++
幅相频率特性
1)系统为Ⅰ 型系统, A (0)=∞ , ?(0)=-90o,低频特性始于平行于负虚轴的无穷远处。低频渐近线如下确 定:
222
10(51) 10(51)(150) 45010(2501)
() (501) (150)(150) 12500(12500)
j j j j j G j j j j j j ωωωωωωωωωωωωω+-+-+===--++-++ (a) 幅相频率特性
(b) 对数频率特性
图 5.5 题 5.3(5) 系统频率特性
s -1)
s -1)
115
低频渐近线为
2
000450
lim Re[()]lim () lim 45012500x G j R ωωωσωωω+
+
+
→→→===-
=-+
同时可知,频率特性实部、虚部均 <0,故曲线只在第三象限。 2)="" n="" -m="1,则" ?(∞)="">
3)此系统有开环零点,因此在 ω由 0增大到 ∞过程中,特性曲线有凹凸,最后终于原点。系统的幅相频 率特性 G (jω) 见图 5.5(a ) 。
对数频率特性
1)系统转折频率分别为 ω 1 =0.02 rad·s -
1、 ω 2=0.2 rad·s -
1。
系统为 I 型,低频段斜率为-20dB/dec,低频段表达式为 L (ω)=20lg10-20lg ω,因此 L (0.02)=54dB。经 过转折频率 ω1、 ω 2后斜率分别为-40 dB/dec、-60dB/dec。
2)系统的相频特性为两个惯性环节相频特性的叠加,为
() arctan 590arctan 50?ωωω=-?-
两个转折频率处相位分别为, ?(0.02)=?(0.2)=-129°。 系统的对数频率特性 L (ω) 、 ?(ω) 见图 5.5(b ) 。 (6) )
1)(1(10
) (2
+++=
s s s s G 幅相频率特性
1)系统为 0型系统, A (0)=10, ?(0)= 0o,开环奈氏曲线起点为 (10, j0) 点; n -m =3,则 ?(∞)=-270?, 幅相特性沿正虚轴进入坐标原点。
2)同上,频率特性表达式分母有理化为
222222222
1010(12) (2)
() (1)(1) (1)[(1) (1)(10.25)
k G j j j j ωωωωωωωωωωωω--==-+-++-+++ 3)相位有 ?(ω)=-90?,因此与虚轴的交点为
0.71Re[()]0
0.71/,
Im[()]9.43
G j rad s G j ωωωω====-
相位有 ?(ω)=-180?,因此与实轴的交点为
Im[()]0
/,
Re[()]3.3
G j s G j ωωωω===-
此系统无开环零点,因此在 ω由 0增大到 ∞过程中,奈氏曲线是平滑的曲线, G (jω) 见图 5.6(a ) 。 对数频率特性
116
1)系统惯性环节、二阶振荡环节的转折频率均为 ω T =1 rad·s -
1。
系统为 0型,低频段斜率为 0dB/dec,低频段表达式为 L (ω)=20lg10=20dB,经过转折频率 ωT 后斜率为-60 dB/dec。渐近线上各点坐标可以通过坐标系直接读出,也可根据简单的计算求出。
例如,点 L (2)与 L (1)=20dB位于同一条斜线,斜率为-60dB/dec,则 L (2)的纵坐标值满足
(1)(2)
60lg1lg 2
L L -=--
求出 L (2)=2dB。
2)系统的相频特性为惯性环节与二阶振荡环节相频特性的叠加,为
2
() arctan arctan
1ω
?ωωω=---
转折频率处相位为 ?(1)=-136°,并有 ?(2)=-209°。 系统的对数频率特性 L (ω) 、 ?(ω) 见图 5.6(b ) 。
(7) 1
) (2
. 0+=-s e s G
幅相频率特性
1)延迟环节与其他典型环节相结合不影响幅频特性,但使相频特性的最大滞后为无穷大。系统频率特性 为
0.2G(j) 1
j e j ω
ωω-=
+
() () A G j ωω==
(a) 幅相频率特性
Im
-
j9.43
Re
→ 0
ω→ ∞
(b) 对数频率特性
图 5.6 题 5.3(6) 系统频率特性
10 -()
G j ω0
-3.3
117
180() arctan 11.4arctan 3.14
19(1)56.4, (108) ?ωτωωωω
???
=-
?-=--?-=-?=?
2)随 ω的增大,此系统幅频特性 A(ω) 单调减小,而相位滞后单调增加,相频特性 ?(ω) 从 0°一直变化到 负无穷大。故该系统的奈氏图是螺旋状曲线,绕原点顺时针旋转 ∞次,最后终止于原点,与实轴、虚轴有无 数个交点,如图 5.7(a )所示。
3)与虚轴的第一个交点为
Re[()]0
2.24/,
Im[()]0.42
G j rad s G j ωωωω====-
4)与实轴的第一个交点为
Im[()]0
8.77/,
Re[()]0.12
G j rad s G j ωωωω====-
对数频率特性
系统的对数幅频特性与典型惯性环节的对数幅频特性完全一致,但相频特性滞后无限增加。系统的对数 频率特性 L (ω) 、 ?(ω) 见图 5.7(b ) 。
5.4 求图 5.8所示的电网络的频率特性表达式,以及幅频特性与相频特性表达式,并绘制出对数频率特 性曲线。
(a) 幅相频率特性
(b) 对数频率特性
图 5.7 题 5.3(7) 系统频率特性
--
118
图 5.8 题 5.4图
解:
(a )电网络的传递函数为
22
211
2112
1212121211212(1)
() 1111
1()
R R R R Cs G s R R Cs R R R R R sC R R sC R R Cs Ts R R Cs R R Ts R R αα+=
=
=
++?
+++
+
++=?=++++
2
112
1, R T R C R R α=
<>
频率特性为 1
() 1
j T G j j T ωωααω+=+
幅频特性
() A ω=相频特性
20lg 03060(a ) (b )
图 5.9 题 5.4伯德图
s -1)
s -1)
-0
119
() arctan arctan T T ?ωωαω=-
伯德图见图 5.9(a ) ,此电网络是系统校正中常用的超前校正装置(见第六章) ,呈现以下特点: 1) 转折频率 T 1与 T α1之间渐近线斜率为 20dB/dec,起微分作用;
2) ?(ω) 在整个频率范围内都 >0,具有相位超前作用,故名超前校正装置; 3) ?(ω) 有超前最大值 ?m 。 (b )电网络的传递函数为
221212122211() 1
() 1
1, R R Cs G s R R Cs R R sC R R
T R C
R β+
+=
=
++++
+=>=
频率特性为 2121
() () 1
j R C G j j R R C ωωω+=++
幅频特性
() A ω=
相频特性
() arctan arctan T T ?ωωβω=-
伯德图见图 5.9(a ) ,此电网络是系统校正中常用的滞后校正装置(见第六章) ,呈现以下特点: 1) 转折频率 T 1与 T β1之间渐近线斜率为-20dB/dec,起积分作用;
2) ?(ω) 在整个频率范围内都 <>
3) ?(ω) 有滞后最大值 ?m 。
5.5 由实验测得某最小相位系统幅频特性如下,试确定系统的传递函数
表 5.1 最小相位系统的实验数据
解:
1)根据表 5.1,求出与每个频率对应的稳态输出与输入幅值比的分贝值 20lg A ,见表 5.2。
120
表 5.2 最小相位系统的实验数据
2)已知该系统为最小相位系统,可直接由幅频特性曲线求出传递函数,根据表 5.12绘出系统的对数幅 频性曲线 L (ω) ,如图 5.10虚线所示。
3)根据求得的 L (ω) ,由 0、 ±20、 ±40、
±0dB/dec斜率的线段近似,求出其渐近线,如图 5.10实线所示。 4)由低频段确定系统积分环节的个数 v 与开环传递系数 K 低频渐近线的表达式为 L (ω)=20lgK =20dB,系统为 0型, K =10。
5)由渐近线的每个转折点确定各典型环节的转折频率;并由渐近线在转折点斜率的变化量确定串联的 各典型环节。
在转折频率 13ω=处,斜率减小 20dB/dec,则必有惯性环节 11
() 31
G s s =
+; 在转折频率 230ω=处,斜率减去 40dB/dec,则有振荡环节 1
21
) (2
2++=
Ts s T s G ζ,阻尼比 ζ可由谐 振峰值的大小查表求取。由图 5.10, 230ω=处 L (ω) 的误差约为-6dB ,查教材表 5.7(振荡环节对数幅频特 性最大误差修正表)可得, ζ≈1。因此 , 221() 190015
G s s s =
++。
图 5.10 题 5.5控制系统的开环伯德图
-
1)
121
6)综上,系统的传递函数为
210
() 11
(31)(1)
90015
G s s s s =
+++
5.6 各系统开环传递函数如下,用奈氏稳定判据判断下列反馈系统的稳定性
(1) 2500
() (100) K G s s s s =
++
(2) 100(0.011)
() (1) K s G s s s +=
-
解:(1) 2500
() (100)
K G s s s s =
++
令 s =jω,得开环系统频率特性
2500
() (100)
K G j j j ωωωω=
+-
1)系统为Ⅰ 型系统, A (0)=∞ , ?(0)=-90o,低频特性始于平行于负虚轴的无穷远处。低频渐近线如下确 定:
将频率特性表达式分母有理化为
22
2222
222222222500500(100)
() (100) (100)(100)
500500(100) 500500(100)
[(100) ](100) [(100) ]
K j j G j j j j j j j
ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω---==+--+-------=
=--+-+-+
则低频渐近线为
222
000500
lim Re[()]lim () lim
0.05[(100) ]
x G j R ωωωσωωωω+
+
+→→→-====--+ 同时可知,频率特性实部 ≤0,故曲线只在第二与第三象限。 2) n -m =3,则 ?(∞)=-270?,幅相特性沿正虚轴进入坐标原点。
3)此系统无开环零点,因此在 ω由 0增大到 ∞过程中,特性的相位单调连续减小,从-90o连续变化到 -270?。奈氏曲线是平滑的曲线,从低频段开始幅值逐渐减小,沿顺时针方向连续变化最后终于原点。
4) ?(ω) 有-180?相位角,故曲线与负实轴有交点,交点坐标可以由下式确定
Im[G (jω)]=I (ω)=2222500(100)
0[(100) ]
ωωωω--=-+
122
解之得交点处频率 ω=10,代入实部 I (ω) ,即可得曲线与负实轴交点的坐标为
222
10
500
5(100) ωωω=-=--+
该系统开环奈氏曲线见图 5.11(1)。
5)曲线始于虚轴的无穷远处,与负实轴的交点为(-5, j0) 。故当 ω由 0变到 +∞ 时,开环频率特性曲 线顺时针包围(-1, j0)点的次数为 1/2, N’ -=1/2。由于开环右极点数为 P =0,故
Z = 2N’ + P=2
闭环系统有两个右极点,闭环不稳定。
解:(2) 100(0.011)
() (1)
K s G s s s +=
-
令 s =jω,得系统开环频率特性
100(0.011)
() (1)
K j G j j j ωωωω+=
-
该系统为非最小相位系统, P =1,开环系统的相频特性为
() arctan 0.0190(180arctan )
270arctan 0.01arctan ?ωωωωω
=-?-?-=-?++
1)系统为Ⅰ 型系统, A (0)=∞ , ?(0)=-270o,低频特性始于平行于正虚轴的无穷远处。低频渐近线如下 确定:
将频率特性表达式分母有理化为
(1) (2) 图 5.11 题 5.6系统幅相频率特性
123
2
2
222100(0.011) 100(10.01)(1)
() (1) (1)(1)
100(10.011.01) 101100(10.01)
(1) (1) (1)
K j j j j G j j j j j j j j
ωωωωωωωωωωωωωωωωω+++=
=
--+-+-=
=-++++
则低频渐近线为
2000101
lim Re[()]lim () lim 101(1)
x G j R ωωωσωωω+
+
+
→→→===-
=-+
同时可知,频率特性实部 ≤0,故曲线只在第二与第三象限。 2) ?(∞)=-90?,幅相特性沿负虚轴进入坐标原点。
3)此系统有开环零点 0.011s +,因此在 ω=100附近曲线有凹凸。
4) ?(ω) 有-180?相位角,故曲线与负实轴有交点,交点坐标可以由下式确定
Im[G (jω)]=I (ω)=22100(10.01)
0(1)
ωωω-=+
解之得交点处频率 ω=10,代入实部 I (ω) ,即可得曲线与负实轴交点的坐标为
210
101
1(1) ωω=-
=-+
5)该系统开环奈氏曲线见图 5.11(2),与负实轴的交点为(-1, j0) ,说明闭环系统临界稳定,有位于 虚轴上的共轭虚根。
若直接采用劳斯判据,系统的闭环特征方程为
22() 1001000A s s s s s =-++=+=
闭环极点为
1,210s j j ω=±=±
与奈氏判据的分析一致。
5.7 设系统的开环幅相频率特性如图 5.12所示,判断闭环系统是否稳定。图中 P 为开环传递函数在右 半 s 平面的极点数, v 为系统的型别。
解:
(a ) 0v =, 1P =, 1
' 2
N =-, 2' 0z N P =+=,故闭环系统稳定。 (b ) 0v =, 1P =, 12N -=
, 1N +=, 2() 0z N N P -+
=-+=,故闭环系统稳定。 (c ) 0v =, 1P =, 1
' 2
N =, 2' 2z N P =+=,故闭环系统不稳定。
124
(d ) 2v =, 在 ω→ 0附近,曲线以 ∞为半径,逆时针补画 θ= 2·90°=180°的圆弧与正实轴相交。
0P =, ' 0N =, 2' 0z N P =+=,故闭环系统稳定。
(e ) 1v =, 在 ω→ 0附近,曲线以 ∞为半径,逆时针补画 θ= 90°的圆弧与正实轴相交。
2P =, ' 1N =-, 2' 0z N P =+=,故闭环系统稳定。
(f ) 2v =, 在 ω→ 0附近,曲线以 ∞为半径,逆时针补画 θ= 2·90°=180°的圆弧与正实轴相交。
0P =, ' 1N =, 2' 2z N P =+=,故闭环系统不稳定。
(g ) 0v =, 1P =, 1
' 2
N =-
, 2' 0z N P =+=,故闭环系统稳定。 (h ) 0v =, 2P =, ' 0N =, 2' 2z N P =+=,故闭环系统不稳定。
5.8 已知最小相位系统开环对数幅频特性如图 5.13所示。 (1)写出其传递函数;
(2)绘出近似的对数相频特性。
图 5.12 题 5.7图
125
解:(a )
1) 由低频段确定系统积分环节的个数 v 与开环传递系数 K
由于低频段的斜率为 0dB/dec,该系统为 0型系统。由 20lg 60K =,求出 K =1000。 2)确定串联的各典型环节
第一个转折频率 ω1=1rad·s -
1,且斜率减小 20dB/dec,有一个惯性环节
1
1s +; 第二个转折频率 ω2=10rad·s -
1,且斜率减小 20dB/dec,有一个惯性环节 1110
s +;
第三个转折频率 ω3=300 rad·s -
1,且斜率减小 20dB/dec,有一个惯性环节 11300
s +。
3)综上所述,该系统的开环传递函数为
1000
() (1)(1)(1)
10300
K G s s s s =
+++
4) 绘出近似的对数相频特性
对于最小相位系统,对数频率特性的低频渐近线斜率为-20v dB/dec,相频特性 ?(ω)|ω→ 0=-90v °,均与 积分环节的个数 v 有关;当 ω → ∞时,若 n >m ,高频渐近线斜率为-20(n -m ) dB/dec的斜线, ?(ω)|ω→∞ =-90(n -m ) °。因此,本开环系统相频特性有, ?(0)=0°, ?(∞ )=-270°。
图 5.13 题 5.8图
126
最小相位系统的对数相频特性和对数幅频特性的变化趋势相同, 即若 L (ω) 的斜率减小 (或增大) , 则 ?(ω) 的相位也相应地减小(或增大) ;如果在某一频率范围内,对数幅频特性 L (ω) 的斜率保持不变,则在这些范 围内,相位也几乎保持不变。因此,系统的相频特性在每个惯性环节的转折频率处有相应的变化,并可直接 求取几个典型频率处(如转折频率)的相位,以提高曲线的准确性。如果系统有开环零点,则在相关转折频 率处特性曲线出现凹凸。
转折频率处相位为:?(1)=-51.7°, ?(10)=-131°, ?(300)=-223°。 本系统近似的对数相频特性见图 5.14(a)。 解:(b )
1)由低频段确定系统积分环节的个数 v 与开环传递系数 K
低频段的斜率为-20dB/dec,该系统为 I 型系统, v =1。将低频渐近线延长线上的点 L (100)=0,代入低 频渐近线的表达式 L (ω)=20lgK -20lg ω,可以求出 K =100。
2)确定串联的各典型环节
第一个转折频率 ω1=1rad·s -
1,且斜率减小 20dB/dec,有一个惯性环节
1
1
s +; 第二个转折频率 ω2=100rad·s -
1,且斜率减小 20dB/dec,有一个惯性环节 11100
s +;
3)综上所述,该系统的开环传递函数为
100
() (1)(1)
100
K G s s s s =
++
4) 绘出近似的对数相频特性
与题 (a ) 的分析相同, 本开环系统相频特性满足, ?(0)=-90°, ?(∞ )=-270°。 转折频率处相位为:?(1)=-135°, ?(10)=-180°, ?(100)=-225°。系统的相频特性在每个惯性环节的转折频率处有相应的变化。本系 统近似的对数相频特性见图 5.14(b ) 。
--90(a)图 5.14 题 5.8系统开环对数相频特性
-
--90(b)-
127
解:(c )
1)由低频段确定系统积分环节的个数 v 与开环传递系数 K
低频段的斜率为 0dB/dec,该系统为 0型系统。由 20lg 20K =,求出 K =10。 2)确定串联的各典型环节
第一个转折频率 ω1=5rad·s -
1, 且斜率减小 40dB/dec, 有一个二阶振荡环节, 其时间常数为 11
1
1
5
T ω=
=
, 由 11
0.25
ξ==
,此振荡环节为 21212525
s s ++;
第二个转折频率 ω1=80rad·s -
1,且斜率增加 40dB/dec,所以有一个二阶微分环节,其时间常数为
221
1
80
T ω==,由 210.110ξ==,此二阶微分为
216400400s s ++。 3)综上所述,该系统的开环传递函数为
2211
10(
1) () 12525
K s s G s s s ++=
++ 4) 绘出近似的对数相频特性
同上,本开环系统相频特性满足, ?(0)=0°, ?(∞ )= 0°,转折频率处相位为 ?(5)=?(80)=-91°。系统的相 频特性在每个二阶振荡环节的转折频率处有相应的变化。本系统近似的对数相频特性见图 5.15(c)。
解:(d)
1)由低频段确定系统积分环节的个数 v 与开环传递系数 K
由于低频段的斜率为 +20dB/dec,该系统有一个纯微分环节。低频渐近线表达式为 L (ω)=20lgK +20lgω, 将点 L (10)=0代入,可求出 K =0.1。
图 5.15 题 5.8系统开环对数相频特性
-1)
-(c)
90 45
0(d)
-
128
2)确定串联的各典型环节
转折频率 ω=100rad·s -
1,且斜率减小 20dB/dec,有一个惯性环节
11100
s
+。
3)综上所述,该系统的开环传递函数为
0.1() 1100
K s
G s s =
+
4) 绘出近似的对数相频特性
同上,本开环系统相频特性满足, ?(0)= 90°, ?(∞ )=0°。系统的相频特性在惯性环节的转折频率处为
?(100)=45°。本系统近似的对数相频特性见图 5.15(d)。
5.9 系统开环传递函数如下,求系统的相角裕量,并判断闭环稳定性。 (1) 22
10
() (1)(0.250.41) K G s s s s s s =
++++ (2) 100
() (1)(101)
K G s s s s =++
解:(1)
可知系统包含有放大、积分、两个二阶振荡环节,二阶振荡环节的参数为
22
1
:1, 1, 0.5
1
1
:0.5, 2, 0.40.250.41
n T n T T s s T s s ωωζωωζ====++====++
因此,转折频率分别为 ω1=1rad·s -
1、 ω2=2 rad·s -
1。
绘制开环伯德图如图 5.16所示。低频段斜率为-20dB/dec,并通过点 L (1)=20dB。经过转折频率 ω1后斜 率为-60dB/dec,经过转折频率 ω2后最终斜率为-100dB/dec。
并有
L (2)= L(1)-60lg2=2dB
开环传递函数中两个振荡环节的阻尼比分别为 ζ1=0.5, ζ2=0.4。由教材表 5.7可知,对数幅频特性的修正 值分别为 0dB 和 2dB ,误差很小,可不必修正,对分析闭环系统的稳定性与相对稳定性几乎没有影响。
系统的幅值穿越频率可以直接从半对数坐标系上读取,也可根据渐近线求取,方法如下:
() (2)
100,
() 0lg lg 2
c c c L L L ωωω-=-=-
求得系统的幅值穿越频率 ωc =2.2 rad·s -
1,代入系统的相频特性有
129
22
10
() (1)(10.250.4)
K G j j j j ωωωωωω=
-+-+ 220.4() 90arctan
arctan 110.25180() 1680c ωω
?ωωωγ?ω=-?----=?+=-?<>
直接求解三角函数 () 180?ω=-?,可以求出系统的相角穿越频率 ωg ,但计算十分复杂。实际上 ωg 也可 以从半对数坐标系上读取, 有 ωg =0.8 rad·s -
1。 将 ωg 代入低频渐近线表达式, 可求得 L (ωg )=20-20lg ωg =21.9dB,
系统的幅值裕量为
L h =-L (ωg )=-21.9dB<>
因此,闭环系统不稳定。 解:(2)
可知系统包含有放大、积分、两个惯性环节,转折频率分别为 ω1=0.1 rad·s -
1、 ω2=1 rad·s -
1。
绘制开环伯德图如图 5.17所示。低频段斜率为-20dB/dec,并通过点 L (0.1)=20lgK -20lg0.1=60dB。经 过转折频率 ω1后斜率为-40dB/dec,经过转折频率 ω2后最终斜率为-60dB/dec。
图 5.16 题 5.9(1)控制系统的开环伯德图
1)
s -
1)
130
可以求得 L (1)= L(0.1)-40lg1/0.1=20dB,并有
() (1)
60,
() 0lg lg1
c c c L L L ωωω-=-=-
系统的幅值穿越频率 ωc =2.1 rad·s -
1,代入系统的相频特性有
() 90arctan arctan10180() 61.80c ?ωωωγ?ω=-?--=?+=-?<>
相角穿越频率 ωg =0.32(rad/s) 。将 ωg 代入中频渐近线表达式,可求得
L (ωg )= L(0.1)-40lg ωg /0.1=40dB
系统的幅值裕量为
L h =-L (ωg )=-40dB<>
因此,闭环系统不稳定。
5.10 已知系统的开环传递函数如下
()10.11K K
G s s s s =
++
图 5.17 题 5.9(2)控制系统的开环伯德图
s -
1)
s -1)
131
(2)当 K =10时,求系统的相位裕量;
(3)分析开环传递系数的大小对系统稳定性的影响。 解:(1)当 K =1时,求系统的相位裕量;
绘制开环伯德图如图 5.18对数频率特性 (a)所示。低频段斜率为-20dB/dec,并通过点 L (1)=20lgK -20lg1=0dB。经过转折频率 ω1=1rad·s -1
后斜率为-40dB/dec,经过转折频率 ω2=10rad·s
-1
后最终斜率为-
60dB/dec。
系统的幅值穿越频率 ωc =1 rad·s -1,代入系统的相频特性有
() 90arctan arctan 0.1180() 39.30c ?ωωω
γ?ω=-?--=?+=?>?
相角穿越频率 ωg =3.16 rad·s -
1,可求得系统的幅值裕量为
L h =-L (ωg )=20dB>0
因此,闭环系统稳定,并具有较好的稳定裕量。
图 5.18 题 5.10控制系统的开环伯德图
-
1)
-1)
132
绘制开环伯德图如图 5.18对数频率特性 (b)所示。 相对于对数频率特性 (a), 开环传递系数增加 10倍, L (ω) 曲线上升 20dB ,相频特性保持不变。
系统的幅值穿越频率 ωc =3.16 rad·s -
1,也是系统的相角穿越频率,代入系统的相频特性有
180() 0c γ?ω=?+=?
系统的幅值裕量为
L h =-L (ωg )=-L (ωc )=0dB
因此,稳定裕量为零,闭环系统处于临界稳定状态。 (3)分析开环传递系数的大小对系统稳定性的影响。
由以上分析可见,对一结构、参数给定的最小相位系统,当开环传递系数增加时,由于 L (ω) 曲线上升, 导致幅值穿越频率 ωc 右移,从而使得相位裕量与幅值裕量都下降,甚至使系统不稳定。
5.11 某延迟系统的开环传递函数为
图 5.19 题 5.11控制系统的开环伯德图
-
1)
s -1)
133
() (1)
s
K e G s s s τ-=
+ 试确定系统稳定时所允许的最大延迟时间 τmax 。
解:
绘制最小相位系统
1(1)
s s +的对数幅频特性,如图 5.19所示,系统的幅值穿越频率 ωc =1 rad·s -
1。
延迟环节 s
e
τ-不影响系统的对数幅频特性, 但使相频特性随 ω增加而滞后无限增加, 延迟环节导致的相
位滞后对闭环系统的稳定性不利。
考虑到延迟环节 s
e
τ-的滞后作用,系统在 ωc =1 rad·s -
1处的相位裕量为
180180() 18090arctan 4557.33.14
c γ?ωωτωτ?
=?+=?-?--
?=?-? 当系统临界稳定时,有
4557.30γτ=?-?=
因此,系统稳定时所允许的最大延迟时间 τmax 为
max 0.79s τ=
注:在 MA TLAB 中,可建立滞后系统的数学模型 sys ,并直接利用 bode(sys)和 nyquist(sys)绘制滞后系 统的伯德图和奈氏图。指令如下:
sys=tf(num,den,'inputdelay',a)
其中, num 定义为系统连续部分的分子多项式, den 为系统连续部分的分母多项式, a 定义为延迟环节 as
e -的滞后时间。
也可建立系统的零极点模型:
sys=zpk(z,p,k, ’ inputdelay ’ ,a)
z 、 p 、 k 分别为系统的开环零点、开环极点与开环传递系数。
5.12 某系统结构如图 5.20所示,试按照开环频域指标 γ和 ωc 之值估算闭环系统的时域指标 σ%和 t s 。
图 5.20 题 5.12图
134
解
系统开环传递函数为
40(1)
() (0.051)(81)
K s G s s s s +=
++
绘制开环伯德图如图 5.21所示。 低频段斜率为-20dB/dec, 并通过点 L (0.1)=52dB。 经过转折频率 ω1=0.125 rad·s -
1后斜率为-40dB/dec, 经过转折频率 ω2=1rad·s -
1后斜率为-20dB/dec, 经过转折频率 ω3=20rad·s -
1后斜
率为-40dB/dec。
L (1)= L(0.1)-40lg1/0.1=12dB
并有
() (1)
20,
() 0lg lg1
c c c L L L ωωω-=-=-
可求得系统的幅值穿越频率 ωc =4 rad·s -
1,代入系统的相频特性有
() arctan 90arctan8arctan 0.05180() 66.40c ?ωωωω
γ?ω=-?--=?+=?>?
高阶系统的开环频域指标(γ、 ωc )与时域指标(σ%, t s )之间的对应关系比较复杂,通常采用经验公式 来近似。
1)高阶系统的超调量与相位裕量的关系通常用下述近似公式估算:
1%0.160.41100%19.8%sin σγ?
?
??=+-?=??
????
?
2)高阶系统的调节时间与相位裕量的关系通常用下述近似公式估算
图 5.21 题 5.12控制系统的开环伯德图
135
2
1121.512.511.75%sin sin s c
t s πωγγ??
????=
+-+-=?=?? ? ?????????
以上估算公式是在比较严格的情况下推导的,实际值往往更理想。通过 MA TLAB 仿真可得,此系统准 确的动态性能指标为:%12%σ=, 1.535%s t s
=?=。可见,利用开环频域指标 γ和 ωc 估算闭环高阶
系统的时域指标 σ%和 t s ,是完全满足工程实际的。
5.13 已知单位负反馈系统的开环传递函数,试绘制系统的闭环频率特性,计算系统的谐振频率及谐振 峰值,并估算闭环系统的时域指标 σ%和 t s 。
(1) ) 2(16
) (+=
s s s G
(2) ) 15()
15. 0(60) (++=
s s s s G
解:(1) )
2(16
) (+=
s s s G
方法一:可以先画出开环对数频率特性 L (ω) 及 ?(ω) ,再利用尼柯尔斯图线绘制系统闭环对数频率特性。 方法二:由于是二阶系统,可以根据闭环传递函数直接求取系统的闭环频率特性。
1)系统的闭环传递函数为
2
216
161(2)
() 16121611(2) 1680.25, 4, 0.25
n T s s s s s s s s s T ωωζ+Φ===++++++==== 根据伯德图的绘制规律,求出系统的闭环频率特性,见图 5.22(1)。对于振荡环节,以渐近线代替实际对 数幅频特性时,要特别注意误差修正。如果 ζ在 0.47~0.7范围内,误差不大;而当 ζ很小时,要有一个尖峰纠 正。对于 ζ=0.25,查教材表 5.6修正表,可得转折频率 ωT =4rad·s -
1处最大误差为 6dB 。在转折频率附近的修
正曲线见图 5.37虚线,可以明显地看出振荡环节出现了谐振。而且 ζ越小,谐振峰值 M r 越大,谐振角频率 ωr 越接近于转折频率 ωT (无阻尼自然振荡频率 ωn ) 。
已知二阶系统谐振频率 ωr 和谐振峰值 M r (ωr ) 与系统特征量 ζ 之间的关系为
3.74/r rad s ωω==
2.07
20lg 6r r M M dB
=
==
136
2)闭环系统的时域指标 σ%和 t s 计算如下
二阶系统的时域指标与频域指标之间有一一对应的关系,根据
%100%e σ=?
或由教材图 5.70二阶系统 σ%、 M r 、 γ与 ζ的关系曲线,可直接查得
%44%σ=
3
35%s n
t s ζω≈
=?=
解:(2) )
15()
15. 0(60) (++=
s s s s G
同理,由于是二阶系统,可以根据闭环传递函数直接求取系统的闭环频率特性。 系统的闭环传递函数为
2260(0.51)
60(0.51) 0.51(51)
() 60(0.51) 531600.0830.51711(51)
s s s s s s s s s s s s s ++++Φ===++++++
+
一阶微分环节的转折频率 ω1=2rad·s -
1处,渐近线斜率在此增加 20dB/dec。
二阶振荡环节的参数为
(1) (2)
图 5.22 题 5.11控制系统的开环伯德图
)
137
10.291
3.450.5170.89
2n T T s
rad s T T
ωωζ-====
=?==? 根据伯德图的绘制规律, 求出系统的闭环频率特性, 如图 5.22(2)所示。 对于振荡环节, 由于 ζ=0.89>0.707, 系统不产生谐振,并在转折频率 ω2=3.45rad·s -
1处有约 -5dB 的修正量。
由教材图 3.24,当 ζ=0.89时,系统过渡时间约为
41.165%s t T s
≈=?=
ζ=0.89>0.707,系统无振荡。但系统有闭环零点-z=-2,而闭环零点的作用将使系统响应加快,并有
超调,且闭环零点离闭环极点越近,影响就越大。本系统的闭环极点为 s 1,2=-3.11±j1.53,因此闭环零点对系 统响应的影响较大。通过 MATLAB 仿真,系统的单位阶跃响应的动态性能指标为:σ%=14%, t s =1.16s。
5.14 某单位负反馈的二阶Ⅰ 型系统,其最大超调量为 16.3%,峰值时间为 114.6ms 。试求其开环传递函 数,并求出闭环谐振峰值 M r 和谐振频率 ωr 。 解
二阶系统的开环传递函数为
2
() 2n
K n G s s s ωζω=
+ 对于二阶系统,开环频域指标与时域指标之间有着准确的数学关系。 1)二阶系统 γ与系统平稳性之间的关系 系统超调量 σ%和系统阻尼比 ζ之间的关系为
%100%e σ=?
开环频域指标相位裕量 γ与阻尼比 ζ之间的对应关系为
γ=arctan
1
42242++-ζζζ
将已知的最大超调量 16.3%代入,可求得
0.5
52ζγ==?
也可由教材图 5.70直接查曲线求得。 2)二阶系统 ωc 、 γ与系统快速性之间的关系
在时域分析中,已知二阶系统峰值时间 t s 为
0.1146
p
t s
≈=(误差 Δ=5%)
因此,有
31.6
n
ω==
二阶系统的开环传递函数为
1000
()
31.6
K
G s
s s
=
+
3)谐振峰值 M r (ωr ) 与 ζ之间的关系
已知二阶系统谐振频率 ωr 和谐振峰值 M r 与系统特征量 ζ之间的关系为
1
22.3
r
rad s
ωω-
==?
1.15
r
M ==
MATLAB 实验指导
M5.1 某系统开环传递函数为
2
100(4)
()
(0.5)(50)
K
s
G s
s s s
+
=
++
试绘制出系统的 Bode 图与 nyquist 图,并判断闭环系统的稳定性。
解:MATLAB 程序如下
num=[100 400];
den=conv(conv(conv([1 0],[1 0.5]),[1 50]),[1 50]) %求分母(多项式相乘)
sys=tf(num,den); %建立开环系统传递函数模型
w=[0.1:0.2:10]; %定义频率范围
[mag,phase,w]=bode(sys); %求开环伯德图
[gm,pm,wcp,wcg]=margin(sys); %求系统的开环频域指标
figure(1) %将系统开环伯德图绘制在第一张图片上
138
139
margin(sys) %在图片上标注所求的开环频域指标 figure(2) %建立第二张图片
nyquist(sys) %在第二张图片上绘制开环奈氏图
所求得的系统 Bode 图与 Nyquist 图见图 5.23。
M a g n i t u d e (d B )
1010
10101010
P h a s e (d e g )
Bode Diagram
Gm = 66.6 dB (at 46.4 rad/sec) , Pm = 64.1 deg (at 0.28 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
Nyquist Diagram
Real Axis
I m a g i n a r y A x i s
(a)开环 Bode 图 (b) 开环 Nyquist 图
图 5.23 实验 M5.1系统 Bode 图与 Nyquist 图 开环系统为最小相位系统,并由开环奈氏图可得:
1v =, 0P =, ' 0N =, 2' 0z N P =+=
故闭环系统稳定。
M5.2 设控制系统的开环传递函数为
2
2
100(5) () (1)(9)
K s G s s s s +=+-+ 试用奈氏判据判别闭环系统的稳定性。
解:MATLAB 程序如下
num=100*conv([1 5],[1 5]); %求分子(多项式相乘) den=conv([1 1],[1 -1 9]); %求分母(多项式相乘) sys=tf(num,den); nyquist(sys)
所求得的系统 Bode 图与 Nyquist 图见图 5.24。
140
Nyquist Diagram
Real Axis
I m a g i n a r y A x i s
图 5.24 实验 M5.2系统开环 Nyquist 图
开环系统为非最小相位系统,并由开环奈氏图可得:
0v =, 2P =, ' 1N =-, 2' 0z N P =+=
故闭环系统稳定。
M5.3 单位负反馈系统开环传递函数为
5(2)
() (1)(0.051)
K s G s s s s +=
++
(1)试绘制系统开环对数频率特性,并求取相关频域指标 ωc 、 ωg 、 γ、 L h ; (2)求取闭环系统的单位阶跃响应曲线。 解:MATLAB 程序如下 num=[5 10];
den=conv(conv([1 0],[1 1]),[0.05 1]); %求分母(多项式相乘) sys=tf(num,den); w=[0.1:0.2:10];
[mag,phase,w]=bode(sys); [gm,pm,wcp,wcg]=margin(sys) figure(1) margin(sys) figure(2)
step(feedback(sys,1)) %求闭环系统的阶跃响应
141
计算结果如下: gm =
Inf %开环频域指标 L h pm =
65.3692 %开环频域指标 γ wcp =
Inf %开环频域指标 ωg wcg =
5.1060 %开环频域指标 ωc
所求得的系统 Bode 图与阶跃响应图见图 5.26。
M a g n i t u d e (d B )
10
10
10
10
10
10
P h a s e (d e g )
Bode Diagram
Gm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 65.4 deg (at 5.11 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
Step Response
Time (sec)
A m p l i t u d e
(a) 开环 Bode 图 (b) 闭环系统阶跃响应曲线
图 5.26 实验 M5.3系统 Bode 图与阶跃响应图
M5.4 试绘制二阶振荡环节的 Nichols 图。
解:以典型的欠阻尼二阶振荡环节为例, 1, 0.2, 1T K ζ===,传递函数为
21
() 0.41
G s s s =
++
MATLAB 程序如下 num=[1]; den=[1 0.4 1] sys=tf(num,den);
142
figure(1)
nichols(sys) %绘制二阶振荡环节的 Nichols 图 ngrid %添加 Nichols 图线
此典型二阶振荡环节的 Nichols 图见图 5.27。
图 5.27 实验 M5.4二阶振荡环节的 Nichols 图
M5.5 设单位负反馈系统的开环传递函数为
0.511K G s s s s =
++() ()()
试应用 Nichols 图线求取系统的闭环 Bode 图。 解:MATLAB 程序如下 num=[1];
den=conv(conv([1 0],[0.5 1]),[1 1]);
sys=tf(num,den); %建立开环传递函数模型 figure(1) nichols(sys) ngrid
sys1=feedback(sys,1) %建立闭环传递函数模型 figure(2)
143
bode(sys1) %绘制闭环伯德曲线 grid %在图片上添加比例栅格 hold on %在本张图片上继续绘制伯德曲线 bode(num,den) %绘制开环伯德曲线
系统 Nichols 图线与 Bode 图见图 5.28。
Nichols Chart
Open-Loop Phase (deg)
O p e n -L o o p G a i n (d B
)
M a g n i t u d e (d B ) 10
10
10
10
10
P h a s e (d e g )
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
(a) Nichols图 (b) 开环 Bode 图与闭环 Bode 图
图 5.28 实验 M5.5系统 Nichols 图线与 Bode 图
范文二：自动控制原理及其应用 黄坚主编 第2版 第五章答案
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自动控制原理及其应用 黄坚主编 第2版 第五章答案
自动控制原理及其应用(第五章)习题答案
第五章 频率特性法习题
5-1 单位反馈控制系统的开环传递函数G(s)?10，当把下列信号
作用在系统输入s?1
端时，求系统的稳态输出。
(1) r(t)?sin(t?30?) (2) r(t)?2cos(2t?45?)
(3) r(t)?sin(t?30?)?2cos(2t?45?)
解:本题注意事项:一定要用闭环传递函数求模求角，计算角度一定
要看象限
(1)?(s)?1010，?(j?)?，
s?11j??11
?(j1)?10101???tg?1?0.905??5.19? j?1111css(t)?0.905sin(t?30??5.19?)?0.905sin(t?24.8?) (2)?(j2)?10?0.894??10.3? j2?11
css(t)?1.788cos(2t?55.3?)
(3)css?0.905sin(t?24.8?)?1.788cos(2t?55.3?)
5-2 设控制系统的开环传递函数如下，试绘制各系统的开环幅相频率
特性曲线和开
环对数频率特性曲线。 ——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
(1)G(s)?10s?11000(s?1)750G(s)? (2) G(s)? (3) 23s?1s(s?8s?100)s(s?5)(s?15)
10750，???90?;终点3，0??270?;交点G(j75)??0.5 ss
101000(2)起点，???90?;终点2，0??180?; ss解:(1)起点
1000(s2?1)交点G(s)?， 32s(s?7s?92s?100)
自动控制原理及其应用(第五章)习题答案 1000(?2?1)，
G(j)??j13.03 G(j?)?j?[(7?2?100)?j?(92??2)]
(3)起点1;终点，3.33，与坐标轴无交点;曲线在第一象限
(1)
(2)
(3)、
自动控制原理及其应用(第五章)习题答案
以上是matlab软件作图，实际手画时:
(1)
5-4 最小相位系统对数幅频特性曲线如图所示，试写出他们的传
递函数。
(a) (b)
(c) (d)
自动控制原理及其应用(第五章)习题答案
解:(a)G(s)?100.1s100 (b)G(s)? (c)G(s)? ——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
0.1s?10.05s?1s(100s?1)(0.01s?1) (d)G(s)?
251.19(书后答案有误)
(s?1)(0.1s?1)(0.01s?1)
5-5 试由下述幅值和相角计算公式确定最小相位系统的开环传
递函数。
2?)?arctan(0.5?)?arctan(10?), A(1)?3 (1) ???90??arctan(
5?)?arctan??arctan(0.1?), A(5)?10 (2) ???180??arctan(
解: (1) 由相角公式可得G(s)?k(0.5s?1)， s(2s?1)(10s?1)
由A(1)?k(j0.5?1)k.25??3得k=60.3 j(j2?1)(j10?1)?101
(2) 由相角公式可得G(s)?k(5s?1)， s2(s?1)(0.1s?1)
由A(5)?k(j25?1)k626??10得k=56.96
-25(j5?1)(j0.5?1)26?1.25
5-6 画出下列传递函数的极坐标图。这些曲线是否穿越实轴,若
穿越，
求出与实轴交点的频率?及相应的幅值G(j?)。 (1) G(s)?11 (2) G(s)? (1?s)(1?2s)s(1?s)(1?2s)
——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
1(1?0.02s)(3) G(s)?2 (4) G(s)?2 s(1?0.005s)s(1?s)
解:(1)无穿越 (2)交点G(j0.71)??0.67
自动控制原理及其应用(第五章)习题答案 (3)无穿越
(4)无穿越
5-7开环系统的奈氏曲线如图所示，其中p为s的右半平面上开
环根的个数，
?为开环积分环节的个数，试判断系统的稳定性。
(a) (b) (c)
(e) (f) (g) 解:对型别不为零的补圆得下图:
自动控制原理及其应用(第五章)习题答案
(a) z=p-2N=0-2(-1)=2 系统不稳定，有2个特征根在s右半平面
(b) 系统为2型要补180度， z=0-0=0稳定 (c) z=p-2N=-2(-1)=2不稳定 (e) z=p-2N=-2(1-1)=0 (f) z=p-2N=-2(1-1)=0 稳定 (g) z=p-2N=1-2(0.5)=0 稳定
5-8 系统的开环传递函数如下，试绘制各系统的开环对数频率特性曲
线，
并用近似法求出幅值穿越频率?c。 (1)G(s)?1010(1?0.5s) (2)G(s)?
s(1?0.5s)(1?0.1s)s(0.01s2?0.1s?1)
——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
解:(1)
0???2时，G(s)?1010，令G(j?)??1得??10，它不是?c
s?
20202???10时，G(s)?2，令G(j?)?2?1得??4.472，在2?10之间，
是?cs?
(2)
自动控制原理及其应用(第五章)习题答案
0???2时，G(s)?1010，令G(j?)??1得??10，它不是?c
s?
2???10时，G(s)?5，没有?c 10????时，G(s)?500500，令G(j?)??1得??22.36.，它是?cs2?2
5-10 某反馈控制系统的开环传递函数为G(s)?10(s?1)，
s(s?1)
试画出系统的奈奎斯特曲线，并判断闭环系统的稳定性。 解:起点:G(s)??1010，???270?;终点:G(s)?，0??90?
ss
10(s2?1)?10(?2?1) 交点:G(s)?，G(j?)?，G(j)?10
22s(s?2s?1)j?[(1??)?j2?]
补圆前 补圆后
5-11 反馈控制系统开环奈奎斯特曲线如图所示，设开环增益K?50，
且在右半平面无开环极点，试确定使闭环系统稳定的K值范围。
解:k=1时实轴上的交点为-0.1、-0.04、-0.01 ——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------ 所以k不定时交点为-0.1k、-0.04k、-0.01k 令z=p-2N=0-2N=0，N必须为零， 当0.1k<1时N=0;当0.04k>1且0.01k<1时 N=1-1=0，最终答案:0<k<10;25<k<100
自动控制原理及其应用(第五章)习题答案
5-13 反馈控制系统的特征方程是s?4Ks?(K?3)s?10?0，
试确定使闭环系统稳定的K值范围。 解:特征方程可写为1?32ks(4s?1)?0，由劳斯判据得等效开环传递函
数的p=2 3s?3s?10
交点参数G(j1.92)??1.48k，要使z=p-2N=2-2N=0应有N=1，即
1.48k>1,k>0.68
5-14 系统的开环传递函数为G(s)?K，分别求当开环放大倍数
s(s?1)(0.1s?1)
K?5和K?20时，系统的相位裕量和幅值裕量，并判断闭环系统
的稳定性。 解: k=5时G(j)??0.4545，
kg1dB??20lg0.4545?6.85dB;
?(2.236)?10.8?，稳定。 k=20时G(j)??1.818，kg2dB??20lg1.818??5.19dB; ?
(4.472)??11.49?，不稳定。 5-15 单位反馈系统的开环传递函数为G(s)?K(s?3)，试用奈奎斯特判据
确定使闭s(s?1)
环系统稳定的K值范围。 ——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
解:起点:G(s)?3kk，???270?;终点:G(s)?，
0??90?; ?ss
k(s2?4s?3)交点:分子分母同乘以(s+1)，G(s)? s(s2?1)
自动控制原理及其应用(第五章)习题答案 k[(3??2)?j4?]，
G(j3)??k， G(j?)??j?(?2?1)
令z=p-2N=1-2N=0，N必须为0.5，由图可见k>1即可。
5-16 单位反馈控制系统的开环传递函数为G(s)?(1?2s)，试用奈奎
斯特稳(1?2s)(1?s)
定判据判断闭环系统的稳定性，并求出增益裕量Kg。 1?4s2
解:将分子有理化得G(s)?， 4s3?8s2?5s?1
1?4?2
G(j?)?22j?(5?4?)?(1?8?)
G(j1.118)??2/3，z=p=2N=0-2(0-0)=0系统稳定。 kg?1.5
(1) 写出系统开环传递函数;
(2) 利用相位裕量判断系统稳定性;
(3) 将其对数幅频特性向右平移十倍频，试讨论对系统性能的影
响。 5-17 某最小相位系统的开环对数幅频特性如
图所示，要求: 解:(1)由图可得:
G(s)?10 ——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
s(10s?1)(0.05s?1)
(2)由近似方法求截止频率:
G(s)?
11?1
得?c?1 ，
令s2s2??180??90??tg?110?tg?10.05?2.848??0 闭环系统稳定。
(3)此时G(s)?100，?c?10，?不变，稳定性不变，
s(s?1)(0.005s?1)
由于截止频率变大，所以快速性变好，动态响应速度加快。
自动控制原理及其应用(第五章)习题答案
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范文三：《自动控制原理(第2版)》李晓秀(习题参考答案)
《自动控制原理(第2版)》李晓秀
第1章 习题答案
1-3题 系统的控制任务是保持发电机端电压不变。 U
当负载恒定发电机的端电压等于设定值时，，电动机不动，电位器滑臂不动，励U,,U0U0
磁电流恒定;当负载改变，发电机的端电压不等于设定值时，，经放大器放IU,,U0,UUf0大后控制电动机转动，电位器滑臂移动动，使得励磁电流改变，调整发电机的端电压，直到IUf
。 UU,0
系统框图为:
负载
UIU,U0f 电动机 放大器 电位器 发电机
1-4题 (1)在炉温控制系统中，输出量为电炉内温度，设为;输入量为给定毫伏信号，设Tc为;扰动输入为电炉的环境温度和自耦调压器输入电压的波动等;被控对象为电炉;控制装置有ur
电压放大器、功率放大器、可逆电动机、减速器、调压器等。
系统框图为: 扰动
Tucuur电压、功率 可逆 电炉 减速器 调压器 放大 电动机
uf热电耦
系统的任务是使炉内温度值保持不变。当炉内温度与设定温度相等时，等于(2)炉温控制ur
，即，可逆电动机电枢电压为0，电动机不转动，调压器滑臂不动，炉温温度不改变。 uu,0f
若实际温度小于给定温度，，经放大后控制可逆电动机转动使调压器滑臂上移，uuu,,,0rf
使加热器电压增大，调高炉温;若实际温度大于给定温度，，经放大后控制可逆电uuu,,,0rf动机转动使调压器滑臂下移，使加热器电压减小，降低炉温。使得和之间的偏差减小甚至消除，uufr实现了温度的自动控制。
1-5题 (1) 在水位控制系统中，输出量为水位高度;输入量为给定电压;扰动输入为Hug出水量等。
系统原理框图为:
出水
H ug水箱 减速器 进水阀 放大器 电动机
uf 浮球
(2)当实际水位高度H为设定高度时，与受浮球控制的电位器滑臂位置对应的u与给定电f
压u相等，电动机不转动，进水阀门维持不变。若水位下降，电位器滑臂上移，u增大，偏差gf,,,,uuu0，经放大后控制电动机逆转调大进水阀门，加大进水量使水位升高;若水位升高gf
降，电位器滑臂下移，u减小，偏差,,,,uuu0，经放大后控制电动机正转调小进水阀门，fgf
减小进水量使水位下降，实现了水位的自动控制。
第2章 习题答案
2-1题
dut()dut()cra) ()()()RCRCutRCut，，,，122crdtdt
dut()111dut()cr，，,，()()()ututb) crdtRCRCdtRC211
2-2题
dF1.1 ,，,12.651.13.03yy,0.25dy
,,,Fy3.03
2-3题
dQ111 ,，,,，0.0020.002H,2.25dH23H0
11 QHH,，，,,，，0.0030.002(2.25)0.00150.002332-4题
1fsXs()kc2 a) , 11Xs()r()1，，fskk12
ff12(1)(1)ss，，Xs()kkc12 b) , fffXs()122r(1)(1)sss，，，kkk121
2-5题
Us()RCCsC，c2121a) , UsRRCCsCC()()，，，r121212
Us()LsR，c2b) ,2UsRLCsRRCLsRR()()，，，，r11212
2Us()RCRCsRCRCs，，，()1c11221122c) ,32UsRLCCsRRCCLCsRCRCRCs()()()1，，，，，，r11212122112212
2Us()RCRCsRCRCs，，，()1c11221122d) ,2UsRRCCsRCRCRCs()()1，，，，r1212112212
2-6题
UsRCsRCs()(1)(1)，，c1100,, a) 22UsRCCsRCs()2，r00101
Us()c,，RCs1b) Us()r
UsRCsRCs()(1)(1)，，Rc11002c) ,,UsRRRCs()()1，，r0121
2-7题
GG(1),Cs()12 a) ,RsGGG()1,，212
Cs()GG,12b) ,RsGG()1,23
GGGCs()123c) ,，G4RsGGHGHGGH()1，，，12121232
2-8题
解 由微分方程组建立系统结构图为
Cs()Rs()xxxKxK241433 ,sK，K 12Ts，1xs5
K 5
,，KKKsKKKKCs()2341234传递函数 , 2RsTsKKKKTsKKKKKKKK()(1)，，，，，，,2343312343452-9题
解 由有源电路建立系统结构图为
Us()Us() cr1RCs，1RR2230 RCsRCsRCs，1010233
传递函数
Us()KTs(1)，c2, UsTsTsKTs()(1)(1)(1)，，，，r132
R3KTRCTRCTRC,,,,,,,其中， 1012223332RC02
2-10题
GGGGG,Cs()12323 , RsGGGG()1，，2123
,,GGGCs()323 ,NsGGGG()1，，2123
2-11题
作信号流图略
PPPP,，,，,，,Cs()GGGGGH，，,11223344122111a) ,,RsGHGGHGH()1,，，，1112212
GGGGH，,(1)Cs()PP,，,123221122b) ,,RsGHGHGHGGHGHGHGHGH()1,，,，，,,11223312311222233
PPPP,，,，,，,Cs()11223344c),Rs(), GGGGGGGGGGGGGG，，,，,(1)(1)34514534251425,1，，,,，，,,，GGGGGGGGGGGGGGGGGG134534561345351545
PPPP,，,，,，,Cs(),，，GGGG2112233441212d) ,, RsGGGG()13,,，，12122-12 题
作信号流图略
GGGGGGH，，(1)Cs()PP,，,12334111122 ,,RsGHGHGGGHHGHGH()1,，，，，1132123121132
1，,GHGGHHEs()PP,，,3243121122 ,,RsGHGHGGGHHGHGH()1,，，，，1132123121132
2-13 题
PPP,，,，,Cs()112233,Rs(),
GGGGGGGGGGH，，，(1)12343451632,1，，，，，，，GHGHGGGGHGGGHGGHGHGHGGHGH1232123433453163113216332
2-14 题
Cs()50(10.5)20(110)295PP,，,，，，1122a) ,,,,15.13Rs()11020.5100.520.519.5,，，，，，，，
Csabcdedbg()(1)PP,，,，,1122b) ,,Rsafbgchefghafch()1,,,,,，
PPPP,，,，,，,Cs()11223344c) ,Rs(),
,,，，，，，，，1GHGHGHGGGGGGGGGHGGGGGH2142633451234564734564
GGGHGHGGHGHGHGHGHGHGHGH,,，，，， 18647186481214221634263
GHGGGHGHGHGGHGHGHGHGHGH,,，42186442718644281214263
PGGGGGG,,,1PGGGGG,,,1112345612734562
,,，1GHPGGGG,,,,，1GHPGGG,318614247186442
第3章 习题答案
3-1题 (1) 稳定
(2) 稳定
(3) 不稳定，2个正实部根
(4) 稳定
(5) 临界稳定
3-2题 (1) 0 < k="">< 3="">
(2) 0 < k="">< 1/2="">
3-3题 a) ,,0.1
b) K,0.85H
3-4题 不具有,,1的稳定裕度
2665-5题 系统响应持续振荡，即系统临界稳定时 3,,,K,4.062rad/s43-6题 Ka,,2,0.75
3-7题 KK,,0.9,10H0
3-8题 TeT,,,0.25min,102.5(C) ss
Cs()36,,49tt,3-9题 (1) 闭环传递函数 ，单位脉冲响应 ctee()7.27.2,,2Rsss()1336，，
(2) ,,,,6,1.08 n
,10t3-10题 (1) cte()0.5(1),,
Cs()8,t (2) ,， ctet()2.5[11.2sin(1.4855.9)],,，2Rsss()23.2，，
Cs()1.8272.3，3-11题 ， , ,,,,0.31,16.5n2Rsss()10.23272.3，，
3.12题 ， ,,,,0.33,2.27KKa,,,,1/0.751.33,3.87,1.5n21
(,,,5%)(2%),,,3-13题 (1) ，,,46%， ,,,,0.24,2.12ts,6ts,8pnss
(,,,5%)(2%),,,,,16.3%(2) ，， ,,,,0.5,1ts,6ts,8pnss
(,,,5%)(2%),,,,,0(3) ，， ,,,,1.25,0.4ts,20ts,15pnss3-14题 ,,,,0.517,1.45TK,,0.67,1.4n
3-15题 (1) ,,0.225
2 (2) K,,,,,2.89,0.69,,,,0.59,1.7nn
(,,,5%)(2%),,,,,4.3%3-16题 ,,,,20.707 ts,3ts,4npss3-17题 (1) KKKe,,,,,50,0,0, pvpss
7(2) KKKe,,,,,,,,0,pvpss8
(3) KKKe,,,,,,,,5,0.4 pvpss
3-18题 40 < k="">< 101="">
3-19题 K=125, A > 125/20 1
21e,，3-20题 (1) ssKKK121
(2) 应该提高部分的放大系数。 Gs()1
3-21题 (1)略
a3e, (2) ssa1
,,0.93-22题 (1) 无内反馈时，系统不稳定，内反馈存在时, 只要取系统稳定。 ,s,s
110，, (2) ，内反馈的存在使稳态误差增大。 e,,sss5
3-23题 , K,,32,0.1875,
第4章 习题答案 4-1略
(,2,，j0)(0,，j1)(,3,，j2)4-2在根轨迹上，和不在根轨迹上。 -3(1)实轴上的两个会合点为和，两个分离点为和; 4,0.63,3.59,2.5,7.28
, (2)实轴上的分离点为;渐进线:， ; ,0.6,,,,,,1.75,A2
1,j1 (3)实轴上的分离点为，根轨迹与虚轴交点为: ， ,3
,2 渐进线:,,,， ; ,,,,,,A33
222(0,0)4-4，圆方程:半径，圆心。 ,，,,(10)10
4-5(1)分离点为，会合点为 ; ,0.59,3.41
(2) 。 K,3,s,,2,j2r
4-6 分离点为; sK,,0.83,0.34sK,,,4.38,11.6611r22r
根轨迹与虚轴交点为: ,,jK2,2r
(1) 211.66,,Kr
(2) 稳定 。 K,2r
,0.8454-7 (1)实轴上的分离点为，根轨迹与虚轴交点为: ， ,j22
, 渐进线:， ; ,,,,,,,,,2A3
(2) ; 3.1,K,48r
(3) ; K,48,,,2.83rad/sr
(4); K,8.34r
8.34闭环传递函数为: 。 (s，4.56)(s，0.67，j1.16)(s，0.67,j1.16)
4-8(1)稳定范围是 ; 0,K,3
(2)当。 ,,0.5时,s,,0.33,j0.58,K,0.531,2
0.436可近似为二阶系统:， 。 G(s),,%,16.3%,t,9.1ss2s，0.66s，0.436
,j70.714-9(1)实轴上的分离点为;根轨迹与虚轴交点为: ; ,21.13
, 渐进线:， ; ,,,,,,,,,50A3
(2)临界稳定的开环增益为; 150
(3)开环增益为。 9.62
,,1454-10 分离点为;临界阻尼时; 出射角:; ,3.732K,5.46r
4-11 略;
10KsH4-12 特征方程为 , 开环零极点: ; p,,0.5,j3,.12,z,010，,1.212ss，，10
分离点为:s,,3.732。
,,,180,60,135K,1-13 出射角为;入射角为;与虚轴交点为，; 4,j2
6.68K(s，1.45)(,0.65，j1.07)4-14 由根轨迹通过求出，此时开环传递函数为 ; T,0.6681s(s，1)(s，2)
a,9或a,14-15(1)时有一个分离点;
a,9或a,1(2)时有二个分离点。
K(s，4)rG(s),4-16 分离点为:s,,0.354，，; s,1.292K,0.043r2s(s，1)
虚轴交点:; ,,,2
4-17 实轴上的分离点为,0.634,2.336，会合点为;
K,0增益对阻尼特性的影响:从根轨迹图可以看出，对于任意，闭环系统都是稳定的，但阻
(0,K,0.0718)(K,13.93)尼状况不同。在增益较小时系统是过阻尼系统，增益很大时也是过
0.0718,K,13.93)阻尼系统，但中等增益时(是欠阻尼系统。
24Ts,4-18等效开环传递函数 Gs(),32sss，，，3224
,,j2.828(1)渐进线:，;根轨迹与虚轴交点为:; ,,,,,,1.5,A2
出射角:,,140.1，,,,140.1; p1p2
1(2)稳定范围: 。 T,4
第5章 习题答案
5-1题 (1) ctt()1.58sin(218.4),,
(2) ctt()0.82sin(20.5),，
(3) ctt()1.58cos(263.4),,
(4) cttt()0.82sin(20.35)1.58cos(263.4),，,,
5-2题 (1) ，，穿越负实轴，穿越频率GjHj(0)(0)90,,，,lim()()0270GjHj,,,，,,,,
2,,0.707rad/s,幅值。 ,,A()3
(2) ，，不穿越负实轴 GjHj(0)(0)180,,，,lim()()0360GjHj,,,，,,,,
(3) ，，穿越负实轴，穿越频率GjHj(0)(0)270,,，,lim()()090GjHj,,,，,,,,
,,1.4rad/s,A()1,,幅值。
(4) ，，不穿越负实轴 GjHj(0)(0)180,,，,lim()()090GjHj,,,，,,,,
100.1s5-4题 a) b) GsHs()(),GsHs()(),0.11s，0.021s，
10050GsHs()(),GsHs()(),c) d) sss(1001)(0.051)，，ss(0.011)，
10100GsHs()(),GsHs()(),e) f) 22ss0.76ss0.6，，1s(1)，，227477475050
1Ks(1)，,1GsHsK()(),,,式中 5-5题 (1) ,,1212ss(1)，
,3
(2) 画出对应的对数相频特性曲线和奈氏图(略)。
131.62(1)s，0.15-6题 GsHs()(),1111(1)(1)(1)(1)ssss，，，，0.3164.21742.17100
5-7题 a)不稳定 b) 稳定 c) 不稳定
d) 稳定 e) 稳定 f) 稳定
g) 稳定 h) 不稳定
Im5-8题
(1) ,， P,0,,2
,,0,,,
,,0.35rad/s,穿越负实轴，穿越频率 0Re,10.7,,0，
A()10.7,,幅值。开环奈氏图如图。
N,,1，系统不稳定
题5-8 (1)图
ImP,1(2) ,,,1 ,,0，穿越负实轴频率 ,,5rad/s,
A()2,,幅值。开环奈氏图如图。
P， NNN,,,,,,10.50.5,,,，,2,,00Re,2系统稳定
题5-8 (2)图
，， (3) P,0,,,1,，，穿越负实轴GjHj(0)(0)90,,，,lim()()0270GjHj,,,，,,,,
,,4.47rad/s,A()8.3,,频率幅值。开环奈氏图略。N,,1，系统不稳定
Im
,,0,,, 0Re,,0，
P,0,,2(4),
,,0时不穿越负实轴，开环奈氏图如图。
N,0，系统稳定
题5-8 (4)图
5-9题 010,2510000,,,,KK或
5-10题 (1) 穿越负实轴，稳定条件 ,,0.458rad/s,AK()29.76,,00.0336,,Kgg
穿越负实轴，稳定条件 ,,3.16rad/s,AK()0.1,,K,10gg
,,()-11题 (1) 由Bode图，得 ，穿越-180系统临界稳定 5,,4.47rad/s,,,4.47rad/sgc
,,()(2) 由Bode图，得 ，不穿越-180，系统稳定 ,,2.23rad/sc
,,()(3) 由Bode图，得 ，穿越-180系统稳定 ,,9rad/s,,,1.41rad/sgc
,,()(4) 由Bode图，得 ，不穿越-180，系统稳定 ,,2rad/sc
5.12题 (1) 系统稳定，，,,,44.7,34hdB ,,,,6.32,17.2gc
(2) 系统不稳定，，,,,,0.86,33.4hdB ,,,,,3.42,77.3gc
(3) 系统稳定， ,,,,4.47,35.6c
5-13题 (1) ,,,,3.16,20hdB ,,,,1,39.3gc
45(2) 要求系统相位裕量为时，，K,0.85 ,,0.85c
K,1(3) 要求系统幅值裕量为20dB， 5-14题 K,1.03，或 K,9.6
5-15题 a,0.84
5-16题 ， ,,,,0.456,2.2,,43.3n
3-17题 ， ,,3.67,,52.6c
第6章 习题参考解答
6-1 题解 (1)
CMaxKK,,,6 (1/秒) Vess
6 G(s), s(0.2s，1)(0.5s，1)
o解得 ,,，,263.46， ,,,3.8c00
，系统不稳定 ,,3.220lg1()hdB,,g00
(2)超前校正后系统开环传递函数为
6041(.)s，GsGs()(), cssss(.)(.)(.)0081021051，，，
作校正后系统对数幅频特性曲线如图所示，由图得:
o ， ,,22.5,,4.8c
20lg7.5hdB, ,,7.3, h,2.371， 。 g
说明超前校正可以增加相角裕度，从而减小超调量，提高系统稳定性;同时增大了截止频率，
缩短调节时间，提高了系统的快速性。
1，0.38sG(s),6-2 题解: 超前校正网络传递函数为 c1，0.076s
10.03，sGs(),6-3题解: 超前校正校正网络 c5(10.0067)，s
1，Ts1，13.9sG(s),,6-4题解:串联滞后校正网络为 c1，,Ts1，154.3s
,,0.56-5题解: (1)，,,4， e,0.25nssv
(2)， K,0.15e,0.4cssv
(3)串联一个滞后校正装置
s，13571.s，028.Gs(),,6-6题解: cs3571s，，100028.
2(s，1)G(s),-7题解:(1) 所用的是串联迟后-超前校正方式: 6c(10s，1)(0.1s，1)
(2)校正后系统稳定时的开环增益 。 0,K,110
,,1,cK,1 (3)当时， ,,10，100,31.6,g,
,,,,180:，(),83.72:,c所以有 ,h,1G(j,),109.8g,
20(s，1)G(s),G(s),G(s),6-8 题解:(a) (1) ca0sss(，1)(，1)100.1
o,,,稳定性增强，减小;,55:,,35.26:,oa0, (2) 响应变慢;,2,,14.14,,,cac0,抗高频干扰能力增强。高频段被压低,
s，1202010(b) (1) G(s),G(s),G(s),,, cb0sss，1s(，1)s(，1)10010100
,,,20,,14.14,cbc0响应速度加快;,(2) 0,180:，(),78.7:,,35.26:,,,,,,减小;bbcb00,高频段被抬高抗高频干扰能力下降。,
6-9题解:， T,0.6K,3.5411
6-10题解: ， K,0.0199,0.02T,0.1tr
106-11题解: Gs(),cs
6-12题解: ,,1
6-13题解: G(s),,s(s，KK),,s(s，1.387)n1t
第7章 习题答案
Gs()1GsGsGs()()1(),，,,7-2 a) b) Gs(),121()()，GsGs12
GsGs()()12c) Gs(),1()，Gs1
-3 a)交点为自振点;b) 交点为不稳定工作点; c)交点为自振点; d)交点a为不稳定工作点;7
交点b为自振点;e) 系统不稳定;f) 系统不稳定;g)交点a,c为自振点、b不稳定工作点;h) 系
统稳定。
-17-4 ,,2,1.414s，A,2.13
22K,27-6 1) 0,K,系统稳定;不稳定;产生周期运动。 ,K,233
6K,42-12) ,,1s，A,(,K,2)2,K3
-17-7 1) 系统有自振， ,,2,1.414s，A,5.25
3, b,a 2) 为使系统稳定，继电器参数a，b应满足4
7-8 略
7-9 e,0为开关线，相轨迹如图所示。
2Me,0 时，相轨迹在开关线上有幅度为
e,0e,0的跳变。当时，相轨迹下跳，当时 相轨迹上跳，最终收敛于坐标原点。
e,,1e,17-10 、为开关线，相轨迹如图所示， 为闭合的环形。说明系统运动为等幅振荡，且和初 始条件无关。
7-11 略
第8章 参考答案
z8-1(1); E(z),z,a
zzE(z),， (2); ,2T1z,z,e
,aT,zesinTE(z), (3); 2,aT,2aTz,2zecos,T，e
23T3TTez(ez，1) (4); E(z),3T3(ez,1)
,aTK(1,e)z(5); E(z),,aTa(z,1)(z,e)
1zz，，E(z),,(6); ,aT,bT,,b,azeze,,，，
a,TTze(7); (),Ez,aT2(,)ze
2z，z(z,1)(8)。 E(z),2(z,1)
,*ke(t),0.5,(t,kT)8-2(1); ,k0,
,*ke(t),(2,1),(t,kT)(2); ,k,0
akTbkT,,,e,e*e(t),,(t,kT)(3); ,aTbT,,e,ek0,
,81*kke(t),(0.8,0.1),(t,kT)(4); ,77k0,
*(5); e(t),11,(t)，29,(t,T)，67,(t,2T)，145,(t,3T)，303,(t,4T)，621,(t,5T)，？
*(6)。 e(t),(t)，3.5(t,T)，4.75(t,2T)，6.375(t,3T)，7.187(t,4T)，7.593(t,5T)，？,,,,,,
e(0),1,e(,),08-3(1);
e(0),1,e(,),02); (
e(0),1,e(,),0(3);
e(0),0,e(,),,(4)。
k8-4(1); y(k),1，0.5(0.5)，0.25k
y(k),1(2) 。
2GG(z)10z128-5 (a) ; (b) ; ,2T,5T1，GG(z)H(z)(z,e)(z,e)12
G(z)G(z)G(z)12(c) ; (d) 。 1，GF(z)，G(z)H(z)1，G(z)，G(z)GH(z)212
20.632zC(z),8-6 32z,2.368z，1.736z,0.368
8-7 (1)不稳定 ; (2)不稳定 ; (3)稳定 ; (4)不稳定 。
8-8 (1)不稳定 ; (2)稳定 。
kk,0,1,2,？8-9 () c(kT),1,0.47(0.37)
8-10 不稳定 。
8-11K,4.32 。
0.368z，0.2640.368z，0.264,(z),G(z),8-12 ， ， 22z,z，0.632z,1.368z，0.368
* 。 c(t),0.368,(t,T)，,(t,2T)，1.4,(t,3T)，1.4,(t,4T)，1.147,(t,5T)，？
k8-13 (1) C(kT),0.5,0.5(,0.264),k,0
0,K,8.658 (2) 。
8-14 (1)系统稳定;
K,,,e,0 (2); ; ; K,0,e,,K,1,e,1pssvssass
(3)e,1 。 ss
*8-15 。 c(t),0.158,(t,T)，0.349,(t,2T)，0.522,(t,3T)，0.662,(t,4T)，？
8-16 。 K,10
8-17 。 0,K,38
范文四：《自动控制原理(第2版)》李晓秀(习题参考答案)
《自动控制原理(第 2版) 》李晓秀
第 1章 习题答案
1-3题 系统的控制任务是保持发电机端电压 U 不变。
当负载恒定发电机的端电压 U 等于设定值 0U 时, 0U ?=,电动机不动,电位器滑臂不动,励 磁电流 f I 恒定;当负载改变,发电机的端电压 U 不等于设定值 0U 时, 0U ?≠, U ?经放大器放 大后控制电动机转动,电位器滑臂移动动,使得励磁电流 f I 改变,调整发电机的端电压 U ,直到
0U U =。
系统框图为:
1-4题 (1)在炉温控制系统中,输出量为电炉内温度,设为 c T ;输入量为给定毫伏信号,设 为 r u ;扰动输入为电炉的环境温度和自耦调压器输入电压的波动等;被控对象为电炉;控制装置有 电压放大器、功率放大器、可逆电动机、减速器、调压器等。
(2)炉温控制系统的任务是使炉内温度值保持不变。当炉内温度与设定温度相等时, r u 等于
f u ,即 0u =,可逆电动机电枢电压为 0,电动机不转动,调压器滑臂不动,炉温温度不改变。
若实际温度小于给定温度, 0r f u u u =->, 经放大后控制可逆电动机转动使调压器滑臂上移, 使加热器电压增大,调高炉温;若实际温度大于给定温度, 0r f u u u =-<,经放大后控制可逆电 动机转动使调压器滑臂下移,="" 使加热器电压减小,="" 降低炉温。="" 使得="" f="" u="" 和="" r="" u="" 之间的偏差减小甚至消除,="">
1-5题 (1) 在水位控制系统中,输出量为水位高度 H ;输入量为给定电压 g u ;扰动输入为 出水量等。
(2)当实际水位高度 H 为设定高度时,与受浮球控制的电位器滑臂位置对应的 f u 与给定电 压 g u 相等,电动机不转动,进水阀门维持不变。若水位下降,电位器滑臂上移, f u 增大,偏差
0g f u u u ?=-<>
降,电位器滑臂下移, f u 减小,偏差 0g f u u u ?=->,经放大后控制电动机正转调小进水阀门, 减小进水量使水位下降,实现了水位的自动控制。
第 2章 习题答案
2-1题
a) 122() ()
() () () c r c r du t du t R C R C u t R C u t dt dt
++=+ b)
211() () 111
() () () c r c r du t du t u t u t dt R C R C dt R C
++=+ 2-2题
1.112.651.13.030.25dF
y y dy
=?==
3.03F y ?=? 2-3题
011
0.0020.0022.2523
dQ dH =?=?= 1
10.0030.002(2.25) 0.00150.0023
3
Q H H =+?-=+? 2-4题
a) 2
12
1() () () 1c r fs
X s k X s fs k k =++
b) 1212
122121
(
1)(1)
() () (1)(1) c r f f
s s X s k k X s s s s
k k k ++=+++ 2-5题
a)
2121
121212
() () () c r U s R C C s C U s R R C C s C C +=
+++ b)
2
2
11212
() () () c r U s Ls R U s R LCs R R C L s R R +=++++ c) 21122112232
11212122112212() () 1() () () 1c r U s R C R C s R C R C s U s R LC C s R R C C LC s R C R C R C s +++=++++++ d) 21122112221212112212() () 1() () 1
c r U s R C R C s R C R C s U s R R C C s R C R C R C s +++=
++++
2-6题 a)
110022
00101() (1)(1)
() 2c r U s R C s R C s U s R C C s R C s ++=-+ b)
()
1()
c r U s RCs U s =+
c) 11
0020121() (1)(1)
() () 1
c r U s R C s R C s R U s R R R C s ++=-++ 2-7题 a)
12212(1) ()
() 1G G C s R s G G G -=
-+ b)
12
23
() () 1G G C s R s G G -=
- c)
123412121232
()
() 1G G G C s G R s G G H G H G G H =++++ 2-8题
解 由微分方程组建立系统结构图为
传递函数
23412342
234331234345
()
() (1) K K K s K K K K C s R s Ts K K K K T s K K K K K K K K ττ+=++++++ 2-9题
解 由有源电路建立系统结构图为
2132() (1)
() (1)(1) (1)
c r U s K T s U s T s T s K T s +=++++ 其中, 3
1012223332
02
, , , R K T R C T R C T R C R C ==== 2-10题
12323
2123
() () 1G G G G G C s R s G G G G -=++
3232123
()
() 1G G G C s N s G G G G --=
++ 2-11题
作信号流图略
a)
112233441221111112212
() () 1P
P P P G G G G G H C s R s G H G G H G H ?+?+?+?++-==
?+++ b)
123221122
112233123112222
33
(1) () () 1G G G G H P P C s R s G H G H G H G G H G H G H G H G H +-?+?==
?+-++--
11223344
34514534251425134534561345351545
() )
() (1) (1)
1P
P P P C s c R s G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G ?+?+?+?=?
++-+-=
++--++--+
d)
1122334412121212
2() () 13P
P P P G G G G C s R s G G G G ?+?+?+?-++==
?-++ 2-12 题
作信号流图略
123341111221132123121132(1) () () 1G G G G G G H P
P C s R s G H G H G G G H H G H G H ++?+?==
?++++ 32431211221132123121132
1() () 1G H G G H H P
P E s R s G H G H G G G H H G H G H +-?+?==
?++++
2-13 题
112233
123434516321232123433453163113216332
() () (1)
1P
P P C s R s G G G G G G G G G G H G H G H G G G G H G G G H G G H G H G H G G H G H ?+?+?=?
+++=
+++++++
2-14 题
a)
1122() 50(10.5) 20(110) 29515.13() 11020.5100.520.519.5P P C s R s ?+?+++====?++++?+? b)
1122() (1)
() 1P P C s abcd ed bg R s af bg ch efgh afch
?+?+-==
?----+ c)
11223344() () P
P P P C s R s ?+?+?+?=?
2142633451234564
7341864718648121422163
4263
421864
42718644281214263
1G H G H G H G G G G G G G G G H G G G G G H
G G G H G H G G H G H G H G H G H G H G H G H G H G G G H G H G H G G H G H G H G H G H G H ?=+++++++--++++--+ 112345P G G G G G G = 11?= 273456P G G G G G = 21?= 3186P G G G = 1421G H ?=+ 47186P G G G G =- 4421G H ?=+
第 3章 习题答案
3-1题 (1) 稳定
(2) 稳定
(3) 不稳定, 2个正实部根 (4) 稳定 (5) 临界稳定
3-2题 (1) 0 < k=""><>
(2) 0 < k=""><>
3-3题 a) 0.1τ> b) 0.85H K > 3-4题 不具有 1=σ的稳定裕度
3-5题 系统响应持续振荡,即系统临界稳定时 ,
4.062rad/sK ω==
3-6题 2, 0. 7
5K a == 3-7题 00. 9, 1
0H K K ==
3-8题 0. 25m i n , 10
2. 5(
ss T e T ===
3-9题 (1) 闭环传递函数
2() 36() 1336
C s R s s s =++,单位脉冲响应 49() 7.27.2t t
c t e e --=- (2)
6,
1.08n ωζ==
3-10题 (1) 10() 0.5(1) t
c t e -=-
(2)
2
() 8
() 23.2
C s R s s s =++, () 2.5[11.2sin(1.4855.9)]t c t e t -=-+ 3-11题
0. 31, 16.
n ζω== , 2
() 1.8272.3
() 10.23272.3
C s R s s s ?=++ 3.12题
0. 33, 2. 2n ζω==
, 211/0.751.33, 3.87, 1.5K K a ====
3-13题 (1)
0.24, 2.12n ζω==, 46%p σ=, 6s t s =%)5(±=?8s t s =(2%)?=± (2) 0.5, 1n ζω==, 16.3%p σ=, 6s t s =%)5(±=?8s t s =(2%)?=±
(3)
1.25, 0.4n ζω==, 0p σ=, 15s t s =%)5(±=?20s t s =(2%)?=±
3-14题
0. 517, 1.
4n ζω==
0. 67, 1.
4T K == 3-15题 (1) 0.225τ= (2) 0.59, 1.7n ζω== 22.89, 0.69n K ωτ===
3-16题
0.707n ωζ= 4. 3%
p σ= 3s t s =%)5(±=?4s t s =(2%) ?=± 3-17题 (1) 50, 0, 0,
p v p ss K K K e ====∞
(2) , , 0,
p v p ss K K K e =∞===∞
(3) , , 5,
0.4p v p ss K K K e =∞=∞==
3-18题 40 < k="">< 101="" 3-19题="" k="" 1="125," a=""> 125/20 3-20题 (1) 121
21ss e K K K =
+ (2) 应该提高 1() G s 部分的放大系数。 3-21题 (1)略 (2) 3
1
ss a e a =
3-22题 (1) 无内反馈 s τ时,系统不稳定,内反馈 s τ存在时 , 只要取 0.9τ>系统稳定。 (2) 1105
ss e τ
+=
,内反馈 s τ的存在使稳态误差增大。
3-23题 32, 0. 18
7K τ==,
第 4章 习题答案
4-1略
4-2) 0, 2(j +-在根轨迹上, ) 1, 0(j +和 ) 2, 3(j +-不在根轨迹上。
4-3(1)实轴上的两个会合点为 63. 0-和 59. 3-,两个分离点为 5. 2-和 28. 7-; (2)实轴上的分离点为 6. 0-;渐进线:75. 1-=-A σ, 2
π
θ±= ;
(3)实轴上的分离点为 3
1
-
,根轨迹与虚轴交点为:1j ± , 渐进线:32-
=-A σ, ππ
θ, 3
±= ; 4-4222) (=+ωσ,圆方程:半径 ,圆心 ) 0, 0(。 4-5(1)分离点为 59. 0-,会合点为 41. 3- ; (2) 22, 3j s K r ±-== 。
4-6 分离点为 110.83, 0.34r s K ==; 224.38, 11.66r s K =-=
根轨迹与虚轴交点为:2, 2r j K ±= (1) 211.66r K < (2)="" 2r="" k=""> 稳定 。
4-7 (1)实轴上的分离点为 845. 0-,根轨迹与虚轴交点为:22j ± , 渐进线:2-=-A σ, ππ
θ, 3
±= ;
(2) 481. 3
(3) s rad K r /83. 2, 48==ω ; (4) 34. 8=r K ;
闭环传递函数为:
)
16. 167. 0)(16. 167. 0)(56. 4(34
. 8j s j s s -++++ 。
4-8(1)稳定范围是 30
(2)当 53. 0, 58. 033. 0, 5. 02, 1=±-==K j s 时 ξ。
可近似为二阶系统:436
. 066. 0436
. 0) (2
++=
s s s G , s t s 1. 9%,3. 16%==σ 。 4-9(1)实轴上的分离点为 13. 21-;根轨迹与虚轴交点为:71. 70j ± ;
渐进线:50-=-A σ, ππ
θ, 3
±= ;
(2)临界稳定的开环增益为 150; (3)开环增益为 62. 9。
4-10 分离点为 732. 3-;临界阻尼时 46. 5=r K ; 出射角:
145±; 4-11 略; 4-12 特征方程为 2
101010
H K s
s s +
=++ , 开环零极点:0, 12,. 35. 012. 1=±-=z j p ; 分离点为:732. 3-=s 。
4-13 出射角为 60180±;入射角为
135±;与虚轴交点为 2j ±, 1K =;
4-14 由根轨迹通过 ) 07. 165. 0(j +-求出 668. 01=T ,此时开环传递函数为 )
2)(1()
45. 1(68. 6+++s s s s K ;
4-15(1) 19==a a 或 时有一个分离点;
(2) 19<>a a 或 时有二个分离点。 4-16 2
)
1()
4() (++=
s s s K s G r 分离点为:354. 0-=s , 04. 0=r K , 292. 13=s ; 虚轴交点:2±=ω;
4-17 实轴上的分离点为 634. 0-,会合点为 336. 2-;
增益对阻尼特性的影响:从根轨迹图可以看出,对于任意 0>K ,闭环系统都是稳定的,但阻
尼状况不同。在增益较小时 ) 0718
. 00( Ts G s s s s '= +++ (1)渐进线:5. 1-=-A σ, 2 π θ± =;根轨迹与虚轴交点为:828. 2j ±; 出射角:1140.1p θ= , 2140.1p θ=- ; (2)稳定范围:4 1 >T 。 第 5章 习题答案 5-1题 (1) () 1.58sin(218.4) c t t =- (2) () 0.82sin(20.5) c t t =+ (3) () 1. 58c o s (26 3c t t =- (4) () 0. 82s i n ( 20. 35) 1. 58c o s (c t t t =+-- 5-2题 (1) (0) (0) 90G j H j =∞∠- , lim () () 0270G j H j ωωω→∞ =∠- ,穿越负实轴,穿越频率 0.707rad/s,ω=幅值 () A ω=。 (2) (0) (0) 180G j H j =∞∠- , lim () () 0360G j H j ωωω→∞ =∠- ,不穿越负实轴 (3) (0) (0) 270G j H j =∞∠- , lim () () 090G j H j ωωω→∞ =∠- ,穿越负实轴,穿越频率 1.4rad/s,ω=幅值 () 1A ω=。 (4) (0) (0) 180G j H j =∞∠- , lim () () 090G j H j ωωω→∞ =∠- ,不穿越负实轴 5-4题 a) 10() () 0.11G s H s s =+ b) 0.1() () 0.021 s G s H s s =+ c) 100() () (1001)(0.051) G s H s s s s = ++ d) 50 () () (0.011) G s H s s s =+ e) 2210() () 0.761747747G s H s s s = ++ f) 2 2 100 () () 0.6(1) 5050 G s H s s s s =++ 5-5题 (1) 1 122 3 1 ( 1) () () , 1 ( 1) K s G s H s K s s ωωωω+= =+式中 (2) 画出对应的对数相频特性曲线和奈氏图(略) 。 5-6题 1 31. 61) () () (1(1) 0. 3164. 21742. 17100 s G s H s s s s s +=++++ 5-7题 a) 不稳定 b) 稳定 c) 不稳定 d) 稳定 e) 稳定 f) 稳定 g) 稳定 h) 不稳定 5-8题 (1) 0P =, 2ν=, 穿越负实轴,穿越频率 0.35rad/s,ω= 幅值 () 10.7A ω=。开环奈氏图如图。 1N =-,系统不稳定 (2) 1P =, 1ν= 穿越负实轴频率 ω= 幅值 () 2A ω=。开环奈氏图如图。 10.50.52 P N N N +-=-=-== , 系统稳定 (3) 0P =, 1ν=, (0) (0) 90G j H j ++=∞∠- , lim () () 0270G j H j ωωω→∞ =∠- ,穿越负实轴 频率 4.47rad/s,ω=幅值 () 8.3A ω=。开环奈氏图略。 N (4) 0P =, 2ν= 0ω>时不穿越负实轴,开环奈氏图如图。 0N =,系统稳定 =ω=ω 5-9题 010, 251000 K K <> 5-10题 (1) 穿越负实轴 0.458rad/s,g ω=() 29.76g A K ω=,稳定条件 00.0336K < 穿越负实轴="" 3.16rad/s,g="" ω="()" 0.1g="" a="" k="" ω=",稳定条件" 10k=""> 5-11题 (1) 由 Bode 图,得 4.47rad/sc ω=, () ?ω穿越 -1804.47rad/s,g ω=系统临界稳定 (2) 由 Bode 图,得 2.23rad/sc ω=, () ?ω不穿越 -180,系统稳定 (3) 由 Bode 图,得 1.41rad/sc ω=, () ?ω穿越 -1809rad/s,g ω=系统稳定 (4) 由 Bode 图,得 2rad/sc ω=, () ?ω不穿越 -180,系统稳定 5.12题 (1) 系统稳定, 6.32, 17.2c ωγ== , 44.7, 34g h dB ω== (2) 系统不稳定, 3.42, 77.3c ωγ==- , 0.86, 33.4g h dB ω==- (3) 系统稳定, 4.47, 35.6c ωγ== 5-13题 (1) 1, 39.3c ωγ== , 3.16, 20g h dB ω== (2) 要求系统相位裕量为 45 时, 0.85c ω=, 0.85K = (3) 要求系统幅值裕量为 20dB , 1K = 5-14题 1. 03K =,或 9. 6K = 5-15题 0.84a = 5-16题 0. 456, 2. n ζω== , 43.3γ= 3-17题 3. 67 c ω=, 52.6γ= 题 5-8 (4)图 第 6章 习题参考解答 6-1 题 解 (1) K K C e V Max ss == ≥6(1/秒) ) 15. 0)(12. 0(6 ) (++= s s s s G 解得 03.46c ω==, 03.8o γ=- 03.2g ω= 020l g 1() h d B =-,系统不稳定 (2)超前校正后系统开环传递函数为 G s G s s s s s s c () () (. ) (. )(. )(. ) = ++++60410081021051 作校正后系统对数幅频特性曲线如图所示,由图得: 4.8c ω=, 22.5o γ= 7. 3 g ω=, 2.371h =, 20lg 7.5h dB =。 说明超前校正可以增加相角裕度,从而减小超调量,提高系统稳定性;同时增大了截止频率, 缩短调节时间,提高了系统的快速性。 6-2 题 解: 超前校正网络传递函数为 s s s G c 076. 0138. 01) (++= 6-3题 解: 超前校正校正网络 10. 03 () 5(10.0067) c s G s s += + 6-4题 解:串联滞后校正网络为 s s Ts Ts s G c 3. 15419. 13111) (++=++= β 6-5题 解: (1) 5. 0=ξ, 4=n ω, 25. 0=ssv e (2) 15. 0=c K , 4. 0=ssv e (3) 串联一个滞后校正装置 6-6题 解: G s s s s c () . . =++=++1 00028 135713571 6-7题 解:(1) ) 11. 0)(110() 1() (2 +++=s s s s G c 所用的是串联迟后 -超前校正方式: (2)校正后系统稳定时的开环增益 1100 (3)当 1=K 时, ?? ?=?==6 . 311001 g c ωω 所以有 ? ??==? =+?=8. 109) (72. 83) (180g c j G h ωω?γ 6-8 题 解:(a ) (1) ) 11 . 0)(110() 1(20) () () (0+++= ?=s s s s s G s G s G ca (2) ?? ???=<> =>?=高 频 段 被 压 低 14. 14226. 35550 0c ca a ωωγγ 抗高频干扰能力增强。 响应变慢; 减小; 稳定性增强, σ (b ) (1) ) 1100 (20) 110(2011001 ) () () (0+= +?++=?=s s s s s s s G s G s G cb (2) ?? ? ???=>?=+?==>=高频段被抬高 26. 357. 78) (18014. 142000γω?γωωcb b b c cb 抗高频干扰能力下降。 减小; 响应速度加快; σ 6-9题 解:6. 01=T , 54. 31=K 6-10题 解: 02. 00199. 0≈=t K , 1. 0=r T 6-11题 解: s s G c 10) (= 6-12题 解:1=τ 6-13题 解: ) 387. 1() () (1+-=+-=s s K K s s s G t n 第 7章 习题答案 7-2 a ) 112() () 1() () G s G s G s G s = + b) []12() () 1() G s G s G s =+ c ) 121() () () 1() G s G s G s G s = + 7-3 a )交点为自振点; b) 交点为不稳定工作点; c )交点为自振点; d )交点 a 为不稳定工作点; 交点 b 为自振点; e) 系统不稳定; f) 系统不稳定; g )交点 a , c 为自振点、 b 不稳定工作点; h) 系 统稳定。 7-4 3.12s 14.4121-=== A , ω 7-6 1) 320 2 2(246s 11 -<> =K K K A , ω 7-7 1) 系统有自振, 5.25s 14.4121-===A , ω a b 4 3π 2) 为 使 系 统 稳 定, 继 电 器 参 数 a , b 应满 足 7-8 略 7-9 0e =为开关线,相轨迹如图所示。 0e =时,相轨迹在开关线上有幅度为 2M 的跳变。当 0e > 时,相轨迹下跳,当 0e < 时=""> 7-10 1e =-、 1e =为开关线,相轨迹如图所示, 为闭合的环形。说明系统运动为等幅振荡,且和初 始条件无关。 7-11 略 第 8章 参考答案 8-1(1) a z z z E -= ) (; (2) T e z z z z z E 21) (--+-=; (3) aT aT aT e T ze z T ze z E 22cos 2sin ) (---+-=ωω; (4) 3 3332) 1() 1() (-+=z e z e z e T z E T T T ; (5) ) )(1() 1() (aT aT e z z z e a K z E -----=; (6) ?? ? ???----= --bT aT e z z e z z a b z E 1) (; (7) 2 ) () (T T e z a Tze z E ---=; (8) 2 2) 1() 1() (--+=z z z z z E 。 8-2(1) ∑∞ =-= * ) (5. 0) (k k kT t t e δ; (2) ∑∞ =--= * ) () 12 () (k k kT t t e δ; (3) ∑∞ =-------=0* ) () (k bT aT bkT akT kT t e e e e t e δ; (4) ∑∞ =--= * ) () 1. 0718. 078() (k k k kT t t e δ; (5) +-+-+-+-+-+=) 5(621) 4(303) 3(145) 2(67) (29) (11) (* T t T t T t T t T t t t e δδδδδδ; (6) +-+-+-+-+-+=) 5(593. 7) 4(187. 7) 3(375. 6) 2(75. 4) (5. 3) () (*T t T t T t T t T t t t e δδδδδδ。 8-3(1) 0) (, 1) 0(=∞=e e ; (2) 0) (, 1) 0(=∞=e e ; (3) 0) (, 1) 0(=∞=e e ; (4) ∞=∞=) (, 0) 0(e e 。 8-4(1) k k y k 25. 0) 5. 0(5. 01) (++=; (2) 1) (=k y 。 8-5 (a)) )((10522 T T e z e z z ---- ; (b) ) () (1) (2121z H z G G z G G +; (c) ) () () (1) (z H z G z GF z G ++; (d)) () () (1) () (21221z H G z G z G z G z G ++ 。 8-6 368 . 0736. 1368. 2632. 0) (2 32 -+-=z z z z z C 8-7 (1)不稳定 ; (2)不稳定 ; (3)稳定 ; (4)不稳定 。 8-8 (1)不稳定 ; (2)稳定 。 8-9 k kT c ) 37. 0(47. 01) (-= ( , 2, 1, 0=k ) 8-10 不稳定 。 8-1132. 4=K 。 8-12 368 . 0368. 1264 . 0368. 0) (2 +-+= z z z z G , 632. 0264. 0368. 0) (2+-+=Φz z z z , +-+-+-+-+-=) 5(147. 1) 4(4. 1) 3(4. 1) 2() (368. 0) (* T t T t T t T t T t t c δδδδδ。 8-13 (1) 0, ) 264. 0(5. 05. 0) (≥--=k kT C k (2) 658. 80 (2) 0, =∞=ss p e K ; 1, 1==ss v e K ; ∞==ss a e K , 0; (3) 1=ss e 。 8-15 +-+-+-+-=) 4(662. 0) 3(522. 0) 2(349. 0) (158. 0) (*T t T t T t T t t c δδδδ 。 8-16 10>K 。 8-17 380 第二章 题2-1：题2-1图中a 、b 所示电路为RC 无源网络，图c 和图d 为RC 有源网络。 试求以u r (t)为输入量，u c (t)为输出量的各电网络的传递函数。 b) u u c) d) 题2-1图 电网络 1 U (s ) sC 2R 2C 1C 2s +C 1 ==(a) T (s ) =c U r (s ) R +R +(R 1+R 2) C 1C 2s +C 1+C 2 +12 sC 1sC 21R 2+ U c (s ) sC 2R 1R 2C 1C 2s 2+(R 1C 1+R 2C 2) s +1 ==(b) T (s ) = 2 U r (s ) R R C C s +(R C +R C +R C ) s +11212112212//R 1+R 2+sC 1sC 2 U (s ) R 2C 2s +1U c (s ) U (s ) ?T (s ) =c =(c) r = 1U r (s ) R 1C 2s R 1 R 2+ sC 2U c (s ) U (s ) U (s ) R 21 (d) r =?T (s ) =c = R 1U (s ) R R C s +1r 122(R 2//) sC 2 R 2+ 题2-2：试用运算法建立题2-2图所示LC 、RLC 电网络的动态结构图，并求解 自u i (t)至u o (t)信号传输的传递函数。 a) b) 题2－2图 a) LC网络 b) RLC网络 U i (s ) =sL 1I L 1(s ) +U c (s ) ?U c (s ) =sL 2I L 2(s ) +U o (s ) ?U 0(s ) 1?(a) =??T (s ) = U i (s ) L 1L 2C 1C 2s 4+(L 1C 1+L 2C 2+L 1C 2) s 2+1sC 1U c =I L 1(s ) -I L 2(s ) ? ?sC 2U o =I L 2(s ) ? U i (s ) =R 1I R 1(s ) +U c (s ) ?U c (s ) =sLI R 2(s ) +U o (s ) ?U 0(s ) R 2?(b) T (s ) ==??2 U i (s ) LCR 1s +(R 1R 2C +L ) s +R 1+R 2sCU c =I R 1(s ) -I R 2(s ) ? ?U o =R 2I R 2(s ) ? 题2-3：热敏电阻随温度变化的特性为R =10000e -0.2T ，其中T 为温度，R 为阻值。试用小信号线性化方法提取温度分别为20 C 、60 C 时的线性化近似关系式。 R =10000e -0.2T 0-2000e -0.2T 0(T -T 0) T 0=20 时，R =-36.6T +916 T 0=60 时，R =-0.0122T +0.799 题2-4：题2-4图a 为机器人手臂双质量块缓解运动冲击的物理模型；图b 为由 两级减震环节构成的运动系统，它可以是汽车减震系统的物理模型。试分别建立它们以F(t)为输入量，x 1(t)为输出量的传递函数模型。 x (t) x (t) x 1(t) k x 2(t) 题2-4图 弹簧－质量－阻尼器平移运动模型 (a) ?d 2x 1(t ) d [x 1(t ) -x 2(t )]M +k +f [x 1(t ) -x 2(t )]=F (t ) ?2?dt dt ?222 ?k d [x 1(t ) -x 2(t )]+f [x (t ) -x (t )]=m d x 2(t ) 或F (t ) -M d x 1(t ) =m d x 2(t ) 12 ?dt dt 2dt 2dt 2? 2 ??Ms X 1(s ) +ks [X 1(s ) -X 2(s )]+f [X 1(s ) -X 2(s )]=F (s ) ??222 ks [X (s ) -X (s )]+f [X (s ) -X (s )]=ms X (s ) 或F (s ) -Ms X (s ) =ms X ??1212212X 1(s ) ms 2+ks +f = ? F (s ) s 2[Mms 2+(M +m ) ks +(M +m ) f ] (b) ?d 2x 1(t ) d [x 1(t ) -x 2(t )]m +f +k 1[x 1(t ) -x 2(t )]=F (t ) 1?2?dt dt ?2 ?f d [x 1(t ) -x 2(t )]+k [x (t ) -x (t )]=k x (t ) 或F (t ) -m d x 1(t ) =k x (t ) 11122222?dt dt 2? 2??ms X 1(s ) +f 1s [X 1(s ) -X 2(s )]+k 1[X 1(s ) -X 2(s )]=F (s ) ??2 ??fs [X 1(s ) -X 2(s )]+k 1[X 1(s ) -X 2(s )]=k 2X 2(s ) 或F (s ) -ms X 1(s ) =k 2X 2(s ) ? X 1(s ) f 1s +k 1+k 2 = F (s ) mf 1s 3+m (k 1+k 2) s 2+k 2f 1s +k 1k 2 题2-5：题2-5图所示系统中，他励直流电动机拖动经减速器减速的负载运转， 作用其上的大小可变的直流电压由晶闸管整流装置提供。设电网电压u 2的幅值、频率、初相均不变，整流装置输出的电压u d (t)与形成触发移相脉冲的电压u i (t)满足u d (t ) =2.34U 2cos[K 1u i (t )]，其中K 1为常数。试完成： (1) K 1u i (t)=35?时整流装置非线性特性的线性化； (2) 绘制系统动态结构图； (3) 求出分别以u i (t)、M c (t)为输入量，ω1(t)为输出量的传递函数。 + i - 题2-5图 电枢控制直流电动机拖动开环系统 (1) u d (t ) =2.34U 2{0.82-0.57[K 1u i (t ) -35 ]}=2.34U 2{1.168-0.57K 1 u i (t )} (2) 参照教材式(2-5)、(2-6)、(2-17) 2.73U 2?'(s ) =M c (s ) /i U (s ) =-1.34K 1U 2U i (s ) 本题第(1)问?M c ?d s ?i =r /r ?21??LsI (s ) +RI (s ) +C Ω(s ) =U (s ) 教材式(2-5) ?a 其中，? a e 1d 2 J =J +J /i 12??M (s ) =C I (s ) 教材式(2-6) m a ?f =f +f /i 2? ?12'(s ) 教材式(2-17) ??Js Ω1(s ) +f Ω1(s ) =M (s ) -M c '(s ) =0 ① M c (s ) =0?M c Ω1(s ) 1 = ?32 2.73C m U 2-1.34K 1C m U 2sU i (s ) JLs +(JR +fL ) s +(fR +C m C e ) s ② U i (s ) =0 1 32 '(s ) JLs +(JR +fL ) s +(fR +C m C e ) s 2.73C m U 2-(Ls +R ) M c Ω1(s ) 1 =?32 2.73iC m U 2-(Ls +R ) M c (s ) iJLs +(iJR +ifL ) s +(ifR +iC m C e ) s ? Ω1(s ) = 题2-6：运算放大器电路如题2-6图所示，其中各参数为：C 1=C 2=1μF ， 试计算传递函数U c (s)/U r (s)。 R 1=160k Ω，R 2=220k Ω，R 3=1k Ω，R 4=100k Ω。 题2-6图 运算放大器电路 U r (s ) U 1(s ) =-, //R 1+R 2sC 1sC 2 U (S ) U 1(S ) =-c R 3R 4 U c (s ) U c (s ) U 1(s ) R 4R 1R 2C 1C 2s 2+R 1C 1s +R 2C 2s +1 ?T (s ) ==?=(-)(-) U r (s ) U 1(s ) U r (s ) R 3R 1C 2s R 1R 2R 4C 1C 2s 2+R 1R 4C 1s +R 2R 4C 2s +R 422s 2+237.5s +625== R 1R 3C 2s s 题2-7：题2-7图为单容水箱控制水位的闭环控制系统，两个调节阀的开度分别 为μ1和μ2。其中μ1的开度由直流伺服电动机控制，旋转角度与开度成正比，比例系数为K μ1。试绘制动态结构图，并求解以给定电压u r (t)为输入量，水位高度 h(t)为输出量的传递函数。 题2-7图 单容水箱水位闭环控制系统 参照教材式(2-8b)、(2-58) 设水箱横截面积为F ，反馈电压为u f (t ) ，水面高度与反馈电压比例为K f ； ?U d (s ) U r (s ) -U f (s ) =由题图得出?R R 0?1?U d (s ) 2(TT s +T s +1) Ω(s ) =教材式(2-8b ) ?l m m C e ? ??Ω(s ) =K μ1?μ1(s ) 由题图得出 其中， ??s K 1?H (s ) =教材式(2-58) ?μ(s ) T s +11?1 ?H (s ) =K f U f (s ) 由题图得出??? L a ?T =?l R a ??JR a T =?m C C e m ? ? ?K =?12? ?T =?1 2? 将动态结构图化简可得： KK f H (s ) = 2 U r (s ) s (T 1s +1)(TT l m s +T m s +1) +K K 1R 1 其中，K = K μ1K f R 0C e 题2-8：试用动态结构图简化方法求解题2-8图所示两系统的传递函数。 题2-8图 系统动态结构图 (a) T (s ) = G 3G 4(G 1G 2+H 1) ，简化步骤如下： 1+G 1G 2G 3G 4-G 2G 3H 2 ? 自动控制原理习题详解(任彦硕版) ? ? ? ? (b) T (s ) = G 1G 2G 3G 4 ，简化步骤如下： 1+G 2G 3H 1+G 3G 4H 2+G 1G 2G 3G 4H 3 方法一： ? ? ? ? ? 方法二： 方法三： 方法四： 题2-9：试应用梅逊增益公式计算题2-9图所示信号流图的如下传输： (1) T 1= C(s)C(s) ； (2) T 2(s)=。 R(s)N(s) 1 (1) T 1=abcd ，?1=1 L 1=-e ，L 2=-bg ，L 3=-ch ?=1-L 1-L 2-L 3+L 1L 3=1+e +bg +ch +ech C (s ) abcd T 1(s ) == R (s ) 1+e +bg +ch +ech (2) T 1=fcd ，?1=1+e L 1=-e ，L 2=-bg ，L 3=-ch ?=1-L 1-L 2-L 3+L 1L 3=1+e +bg +ch +ech C (s ) fcd (1+e ) T 2(s ) == N (s ) 1+e +bg +ch +ech 题2-10：试应用梅逊增益公式计算题2-10图所示信号流图的传递函数。 d C(s) 题2-10图 信号流图 T 1=G 1G 3，?1=1 T 2=G 2G 4，?2=1 T 3=-G 1G 2G 4，?1=1 T 4=-G 2G 1G 3，?1=1 L 1=-G 1G 3，L 2=-G 2G 4，L 3=G 1G 2G 4，L 4=G 2G 1G 3，L 5=G 1G 2 ?=1+G 1G 3+G 2G 4-G 1G 2(1+G 3+G 4) G 1G 3+G 2G 4-G 1G 2G 3-G 1G 2G 4C (s ) T (s ) == R (s ) 1 +G 1G 3+G 2G 4-G 1G 2(1+G 3+G 4) 题2-11：试绘出题2-11图所示系统的信号流图，并应用梅逊增益公式计算它们 的传递函数。 a) b) 题2-11图 系统动态结构图 (a) 系统的信号流图为： T 1=G 1G 2G 3G 4，?1=1 G 3G 4+G 1G 2G 3H 1+G 2G 3H +G 1G 2G ?=1+ 3G H 2 G 1G 2G G C (s ) 34 T (s ) = = R (s ) 1+G 3G 4+G G +G G G 1G 2H 3+ G 1G H 23G 21H 23 (b) 系统的信号流图为： L 1=-G 3G 4，L 2=-G 2G 3H 2，L 3=-G 1G 2G 3H 1，L 4=-G 1G 2G 3G 4H 3 43 T 1=G 1G 2G 3G 4，?1=1 T 2=G 5G 2G 3G ，4?2=1+G 1H 1 L 1=-G 1H ，1L 2=-G 2H 2，L 3=-G 2G 3H 3， L 4=-G 1G 2G 3G 4H ，L 5=-G 5G 2G 3G 4H 4 ?=1-L 1-L 2-L 3-L 4-L 5+L 1L 2+L 1L 3+L 1L 5 =1+G 1H 1+G 2H 2+G 2G 3H 3+G 1G 2G 3G 4+H 4 G 2G 3 G 4G 5H 4 +G 1G 2H 1H 2+G 1G 2G 3H 1+H 3G 1G 2G 3G 4G 5H 1H 4 G (H ) C (s ) G 2G 34G +1G +5G G 15 T (s ) = 1= R (s ) ? R 2(s)对C 1(s)题2-12：题2-12图为双输入双输出控制系统信号流图。由图可见， 没有信息传输（传递函数为0）。如果R 1(s)对C 2(s)的传输也为0，则系统实现了解耦控制（等效于C 1(s)由R 1(s)单独控制，C 2(s)由R 2(s)单独控制）。试求传递函数C 2(s)/R 1(s)；G 5(s)所在支路是人为设置的，希望通过配置其传递函数来实 现解耦，试找出G 5(s)由其它支路传递函数表达的解耦条件。 自动控制原理习题详解(任彦硕版) -H (s) 题2-12图 双输入双输出系统信号流图 T 1=G 1(s ) G 2(s ) G 6(s ) G 3(s ) G 4(s ) ，?1=1 ) G ) G s ) ?2=1 T 2=G 1(s 5(s 4(， ) G ) H s ) L 2=-G 3(s ) G 4(s ) H 2(s ) L 1=-G 1(s 2(s 1(， G 1(s ) G ) 3G (s ) ) H +(s ) 1G (2s ) G ((s ) G 1(s ) H (s ) H (s ) ?=1+2(s ) H 1(s +4G (s 23s ) G 4 G 1(s ) G 2(s ) G 3(s ) G 4(s ) G 6(s ) +G 1(s ) G 4(s ) G 5(s ) C (s ) T (s ) =2= R 1(s ) 1+G 1(s ) G 2(s ) H 1(s ) +G 3(s ) G 4(s ) H 2(s ) +G 1(s ) G 2(s ) G 3(s ) G 4(s ) H 1(s ) H 2(s ) 解耦条件：G 5(s ) =-G 2(s ) G 3(s ) G 6(s ) 点拨： 1 传递函数中分母多项式等于“0”的s 值是极点；传递函数中分子多项式等于“0”的s 值是零点．开环系统的极点是开环极点，闭环系统的极点是闭环极点；开环系统的零点是开环零点，闭环系统的零点是闭环零点．闭环传递函数的分母多项式称为特征多项式；令特征多项式等于“0”就是特征方程，特征方程的根是特征根．特征方程是对系统进行系统分析、系统设计的根本依据． 2 由系统动态结构图的简化过程可知，增加前馈环节使系统前向通路数增加，由此增加了系统闭环传递函数分子因式的个数；增加反馈环节使系统回路数增加，由此增加了系统闭环传递函数分母因式的个数． 3 系统在扰动量作用下输出量的传递函数的特征式与其在输入量作用下输出量的传递函数的特征式是相同的． 11 转载请注明出处范文大全网 » 自动控制原理(第2版)(余成范文五：自动控制原理习题详解(任彦硕版)-第2章
